गणितीय अर्थ में समानता और समाधान के विभिन्न तरीकों की अदला-बदली के आधार पर, सभी अंकगणितीय विधियों को निम्नलिखित समूहों में जोड़ा जा सकता है:

• 1) एक इकाई में कमी की विधि, एक सामान्य माप में कमी, एक इकाई में व्युत्क्रम कमी, संबंधों की विधि;
• 2) "अंत" से समस्याओं को हल करने का एक तरीका;
• 3) अज्ञात को समाप्त करने की एक विधि (एक अज्ञात को दूसरे के साथ बदलना, अज्ञात की तुलना करना, डेटा की तुलना करना, घटाव द्वारा दो स्थितियों की तुलना करना, दो स्थितियों को एक में जोड़ना); अनुमान लगाने का तरीका;
• 4) आनुपातिक विभाजन, समानता या भागों का पता लगाना;
• 5) एक समस्या को दूसरी में बदलने की विधि (एक जटिल समस्या को सरल, प्रारंभिक में विघटित करना; अज्ञात को ऐसे मूल्यों पर लाना जिनके लिए उनका अनुपात ज्ञात हो; अज्ञात मात्राओं में से एक के लिए एक मनमाना संख्या निर्धारित करने की विधि) .

इन विधियों के अलावा, अंकगणित माध्य विधि, अधिशेष विधि, ज्ञात और अज्ञात को क्रमित करने की विधि, "झूठे" नियमों की विधि पर विचार करना उचित है।

चूंकि यह आमतौर पर पहले से निर्धारित करना असंभव है कि कौन सी विधियाँ नैरेशनल हैं, यह देखने के लिए कि उनमें से कौन छात्र के लिए सबसे सरल और सबसे अधिक समझने योग्य समाधान की ओर ले जाएगा, छात्रों को विभिन्न तरीकों से परिचित कराया जाना चाहिए और उन्हें चुनने का अवसर दिया जाना चाहिए। किसी विशिष्ट समस्या को हल करते समय उपयोग करें।

अज्ञात बहिष्करण विधि

इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब समस्या में कई अज्ञात होते हैं। ऐसी समस्या को पाँच विधियों में से एक का उपयोग करके हल किया जा सकता है: 1) एक अज्ञात को दूसरे के साथ बदलना; 2) अज्ञात की तुलना; 3) घटाव द्वारा दो स्थितियों की तुलना; 4) डेटा तुलना; 5) कई स्थितियों को एक में मिलाना।

उपरोक्त विधियों में से एक को लागू करने के परिणामस्वरूप, कई अज्ञात के बजाय, एक अवशेष पाया जा सकता है। इसकी गणना करने के बाद, अन्य अज्ञात खोजने के लिए निर्भरता की स्थिति में डेटा का उपयोग करें।

आइए कुछ तरीकों पर करीब से नज़र डालें।

1. एक अज्ञात को दूसरे के साथ बदलना

तकनीक का नाम इसके विचार को प्रकट करता है: निर्भरता (बहु या अंतर) के आधार पर, जो समस्या की स्थिति के अनुसार दिए जाते हैं, उनमें से एक के माध्यम से सभी अज्ञात को व्यक्त करना आवश्यक है।

काम। सर्गेई और एंड्री के पास कुल 126 डाक टिकट हैं। सर्गेई के एंड्री से 14 अंक अधिक हैं। प्रत्येक लड़के के पास कितने टिकट थे?

शर्त का संक्षिप्त विवरण:

सर्गेई -? टिकट, 14 टिकट अधिक

आंद्रेई -? टिकटों

कुल -- 126 टिकट

समाधान 1

• (एक बड़े अज्ञात को एक छोटे से बदलना)
• 1) बता दें कि सर्गेई के पास एंड्री के जितने स्टैम्प हैं। तब टिकटों की कुल संख्या 126 - 14 = 112 (अंक) होगी।
• 2) चूंकि लड़कों के पास अब समान टिकटों की संख्या है, हम पाएंगे कि पहले एंड्री के पास कितने टिकट थे: 112: 2 = 56 (अंक)।
• 3) यह देखते हुए कि सर्गेई के पास एंड्री से 14 अंक अधिक हैं, हमें मिलता है: 56 + 14 = 70 (अंक)।

समाधान 2

• (छोटे अज्ञात को बड़े से बदलना)
• 1) मान लें कि आंद्रेई के पास सर्गेई के समान टिकटों की संख्या है। तब डाक टिकटों की कुल संख्या 126 + 14 = 140 (मुद्रांक) होगी।
• 2) चूंकि लड़कों के पास अब समान टिकटों की संख्या है, हम पाएंगे कि पहले सर्गेई के पास कितने टिकट थे: 140: 2 = 70 (अंक)।
• 3) यह देखते हुए कि आंद्रेई के सर्गेई से 14 अंक कम थे, हमें मिलता है: 70 - 14 = 56 (अंक)।

उत्तर सर्गेई के 70 अंक थे और एंड्री के 56 अंक थे।

एक छोटे से अज्ञात को एक बड़े से बदलने की विधि के छात्रों द्वारा सर्वोत्तम आत्मसात करने के लिए, इस पर विचार करने से पहले, छात्रों के साथ निम्नलिखित तथ्य को स्पष्ट करना आवश्यक है: यदि संख्या ए संख्या बी से सी इकाइयों से अधिक है, तो में संख्याओं ए और बी की तुलना करने के लिए यह आवश्यक है:

• ए) संख्या ए से संख्या सी घटाएं (फिर दोनों संख्याएं संख्या बी के बराबर हैं);
• बी) संख्या सी को संख्या बी में जोड़ें (तब दोनों संख्याएं संख्या ए के बराबर हैं)।

एक बड़े अज्ञात को एक छोटे से बदलने के लिए छात्रों की क्षमता, और इसके विपरीत, एक समीकरण बनाते समय अज्ञात को चुनने और इसके माध्यम से अन्य मात्राओं को व्यक्त करने की क्षमता के विकास में योगदान देता है।

2. अज्ञात की तुलना

काम। चार अलमारियों पर 188 किताबें थीं। दूसरे शेल्फ पर पहले की तुलना में 16 कम किताबें थीं, तीसरे पर - दूसरे की तुलना में 8 अधिक, और चौथी पर - तीसरी शेल्फ की तुलना में 12 कम। प्रत्येक शेल्फ पर कितनी किताबें रखी हुई हैं?

कार्य का विश्लेषण

चार अज्ञात मात्राओं (प्रत्येक शेल्फ पर पुस्तकों की संख्या) के बीच निर्भरता की बेहतर समझ के लिए, हम योजना का उपयोग करते हैं:

मैं _________________________________

II_____________________

III______________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

प्रत्येक शेल्फ पर पुस्तकों की संख्या को योजनाबद्ध रूप से दर्शाने वाले खंडों की तुलना करते हुए, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर आते हैं: पहले शेल्फ पर दूसरे की तुलना में 16 अधिक पुस्तकें हैं; तीसरे पर, दूसरे से 8 अधिक; चौथे पर - 12 - 8 = 4 (पुस्तकें) दूसरे से कम। इसलिए, प्रत्येक शेल्फ पर पुस्तकों की संख्या की तुलना करके समस्या का समाधान किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम पहली शेल्फ से 16 किताबें, तीसरे से 8 किताबें और चौथे शेल्फ पर 4 किताबें रख देंगे। फिर सभी अलमारियों पर उतनी ही किताबें होंगी, जितनी पहले दूसरी पर थीं।

• 1) समस्या के विश्लेषण में वर्णित संक्रियाओं के बाद सभी अलमारियों पर कितनी पुस्तकें हैं?
• 188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (पुस्तकें)
• 2) दूसरी शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?
• 168:4 = 42 (पुस्तकें)
• 3) पहली शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?
• 42 + 16 = 58 (पुस्तकें)
• 4) तीसरी शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?
• 42 + 8 = 50 (पुस्तकें)
• 5) चौथी शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?
• 50 -- 12 = 38 (पुस्तकें)

उत्तर: चारों अलमारियों में से प्रत्येक पर 58, 42, 50 और 38 पुस्तकें थीं।

टिप्पणी। आप छात्रों को इस समस्या को अन्य तरीकों से हल करने की पेशकश कर सकते हैं, यदि हम उन पुस्तकों की अज्ञात संख्या की तुलना करते हैं जो पहली, या दूसरी, या चौथी अलमारियों पर थीं।

3. घटाव द्वारा दो स्थितियों की तुलना

इस तकनीक द्वारा हल की गई समस्या की साजिश में अक्सर दो आनुपातिक मात्रा (माल की मात्रा और इसकी लागत, श्रमिकों की संख्या और उनके द्वारा किए गए कार्य आदि) शामिल होते हैं। शर्त एक मात्रा के दो मान और दूसरी मात्रा के दो संख्यात्मक मानों का अंतर उनके समानुपाती देती है।

काम। 4 किलो संतरे और 5 किलो केले के लिए उन्होंने 620 रूबल का भुगतान किया, और अगली बार उन्होंने 4 किलो संतरे के लिए 500 रूबल और समान कीमतों पर खरीदे गए 3 किलो केले का भुगतान किया। 1 किलो संतरे और 1 किलो केले की कीमत कितनी है?

शर्त का संक्षिप्त विवरण:

• 4 किलो ऐप। और 5 किलो प्रतिबंध। - 620 रूबल,
• 4 किलो ऐप। और 3 किलो प्रतिबंध। - 500 रूबल।

• 1) दो खरीद की लागत की तुलना करें। पहली बार और दूसरी बार दोनों ने समान कीमत पर समान संख्या में संतरे खरीदे। पहली बार उन्होंने अधिक भुगतान किया क्योंकि उन्होंने अधिक केले खरीदे। आइए जानें कि पहली बार कितने किलोग्राम केले अधिक खरीदे गए: 5 - 3 = 2 (किलो)।
• 2) आइए जानें कि उन्होंने दूसरी बार की तुलना में पहली बार कितना अधिक भुगतान किया (अर्थात, हमें पता चलता है कि 2 किलो केले की कीमत कितनी है): 620 - 500 = 120 (रूबल)।
• 3) 1 किलो केले का मूल्य ज्ञात कीजिए: 120: 2 = 60 (रूबल)।
• 4) पहली और दूसरी खरीद की लागत जानने के बाद, हम 1 किलो संतरे की कीमत का पता लगा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले खरीदे गए केले की कीमत, फिर संतरे की कीमत और फिर 1 किलो की कीमत का पता लगाते हैं। हमारे पास है: (620 - 60 * 5): 4 \u003d 80 (रूबल)।

उत्तर: 1 किलो संतरे की कीमत 80 रूबल है, और 1 किलो केले की कीमत 60 रूबल है।

4. डेटा तुलना

इस तकनीक के उपयोग से डेटा की तुलना करना और घटाव विधि लागू करना संभव हो जाता है। आप डेटा मानों की तुलना कर सकते हैं:

• 1) गुणन का उपयोग करना (उनकी तुलना कम से कम सामान्य गुणक से करना);
• 2) विभाजन का उपयोग करना (उनकी तुलना सबसे बड़े सामान्य भाजक से करना)।

आइए इसे एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं।

काम। 4 किलो संतरे और 5 किलो केले के लिए उन्होंने 620 रूबल का भुगतान किया, और अगली बार 6 किलो संतरे और 3 किलो केले उसी कीमत पर खरीदे, उन्होंने 660 रूबल का भुगतान किया। 1 किलो संतरे और 1 किलो केले की कीमत कितनी है?

शर्त का संक्षिप्त विवरण:

• 4 किलो ऐप। और 5 किलो प्रतिबंध। - 620 रूबल,
• 6 किग्रा ऐप। और 3 किलो प्रतिबंध। - 660 रूबल।

आइए संतरे और केले की संख्या को सबसे छोटे सामान्य गुणक से तुलना करके बराबर करें: LCM(4;6) = 12.

समाधान 1।

• 1) आइए पहले मामले में खरीदे गए फलों की संख्या और उनकी लागत को 3 गुना और दूसरे में - 2 गुना बढ़ाएं। हमें शर्त के लिए निम्नलिखित आशुलिपि मिलती है:
• 12 किग्रा ऐप। और 15 किग्रा प्रतिबंध। - 1860 रूबल,
• 12 किग्रा ऐप। और 6 किग्रा प्रतिबंध। - 1320 रूबल।
• 2) पता करें कि पहली बार कितने और केले खरीदे गए: 15-6 = 9 (किलो)।
• 3) 9 किलो केले की कीमत कितनी है? 1860 - 1320 = 540 (रूबल)।
• 4) 1 किलो केले का मूल्य ज्ञात कीजिए: 540: 9 = 60 (रूबल)।
• 5) 3 किलो केले का मूल्य ज्ञात कीजिए: 60 * 3 = 180 (रूबल)।
• 6) 6 किलो संतरे का मूल्य ज्ञात कीजिए: 660 - 180 = 480 (रूबल)।
• 7) 1 किलो संतरे का मूल्य ज्ञात कीजिए: 480: 6 = 80 (रूबल)।

समाधान 2.

आइए संतरे और केले की संख्या को सबसे बड़े सामान्य भाजक के साथ तुलना करके बराबर करें: gcd (4; 6) = 2।

• 1) पहली बार और दूसरी बार खरीदे गए संतरे की संख्या को बराबर करने के लिए, हम खरीदे गए सामान की मात्रा और पहले मामले में इसकी लागत को 2 गुना, दूसरे में - 3 गुना कम करते हैं। आइए एक ऐसा कार्य प्राप्त करें जिसमें इतनी छोटी स्थिति का रिकॉर्ड हो
• 2 किलो ऐप। और 2.5 किलो प्रतिबंध। - 310 रूबल,
• 2 किलो ऐप। और 1 किलो प्रतिबंध। - 220 रूबल।
• 2) अब और कितने केले खरीदे गए: 2.5 - 1 = 1.5 (किलो)।
• 3) पता लगाएं कि 1.5 किलो केले की कीमत कितनी है: 310 - 220 = 90 (रूबल)।
• 4) 1 किलो केले का मूल्य ज्ञात कीजिए: 90: 1.5 = 60 (रूबल)।
• 5) 1 किलो संतरे का मूल्य ज्ञात कीजिए: (660 - 60 * 3): 6 = 80 (रूबल)।

उत्तर: 1 किलो संतरे की कीमत 80 रूबल है, 1 किलो केले 60 रूबल है।

डेटा की तुलना करने की विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करते समय, आप इतना विस्तृत विश्लेषण और रिकॉर्ड नहीं कर सकते हैं, लेकिन केवल उन परिवर्तनों को रिकॉर्ड कर सकते हैं जो तुलना के लिए किए गए थे, और उन्हें एक तालिका के रूप में लिखें।

5. कई स्थितियों को एक में मिलाना

कभी-कभी आप कई स्थितियों को एक में जोड़कर अनावश्यक अज्ञात से छुटकारा पा सकते हैं।

काम। पर्यटकों ने शिविर छोड़ दिया और पहले 4 घंटे तक चले, और फिर 4 घंटे के लिए वे एक निश्चित गति से साइकिल पर सवार हुए और शिविर से 60 किमी दूर चले गए। दूसरी बार वे शिविर से निकले और पहले 7 घंटे तक समान गति से साइकिल चलाते रहे, और फिर विपरीत दिशा में मुड़े और 4 घंटे पैदल चलकर शिविर से 50 किमी की दूरी पर समाप्त हुए। पर्यटक कितनी तेजी से साइकिल चला रहे थे?

समस्या में दो अज्ञात हैं: जिस गति से पर्यटक साइकिल चलाते हैं, और जिस गति से वे चलते हैं। उनमें से किसी एक को बाहर करने के लिए, आप दो स्थितियों को एक में जोड़ सकते हैं। फिर पहली बार पैदल चलते हुए पर्यटक 4 घंटे में जो दूरी तय करते हैं, वह दूसरी बार पीछे जाने पर 4 घंटे में तय की गई दूरी के बराबर होती है। इसलिए हम इन दूरियों पर ध्यान नहीं देते। इसका मतलब है कि पर्यटक साइकिल से 4+7=11 (घंटे) में जो दूरी तय करेंगे वह 50 + 60 = 110 (किमी) होगी।

फिर साइकिल पर पर्यटकों की गति: 110: 11 = 10 (किमी/घंटा)।

उत्तर: साइकिलें 10 किमी/घंटा की गति से चलती हैं।

6. प्रवेश की विधि

समस्याओं को हल करने में धारणा पद्धति के उपयोग से अधिकांश छात्रों को कठिनाई नहीं होती है। इसलिए, इस पद्धति के चरणों की योजना के छात्रों द्वारा यांत्रिक याद से बचने के लिए और उनमें से प्रत्येक पर किए गए कार्यों के सार की गलतफहमी से बचने के लिए, छात्रों को पहले परीक्षण की विधि ("गलत नियम" और "नियम का नियम) दिखाया जाना चाहिए। प्राचीन बेबीलोनियाई")।

परीक्षणों की विधि का उपयोग करते समय, विशेष रूप से "गलत नियम", अज्ञात मात्राओं में से एक को कुछ मूल्य ("अनुमति") दिया जाता है। फिर, सभी शर्तों का उपयोग करते हुए, वे दूसरी मात्रा का मान ज्ञात करते हैं। परिणामी मूल्य की तुलना शर्त में निर्दिष्ट मूल्य से की जाती है। यदि प्राप्त मूल्य शर्त में दिए गए एक से भिन्न है, तो निर्दिष्ट पहला मान सही नहीं है और इसे 1 से बढ़ाया या घटाया जाना चाहिए और फिर से दूसरे मूल्य का मूल्य पाया जाता है। तो यह तब तक करना आवश्यक है जब तक हमें दूसरी मात्रा का मान नहीं मिल जाता जैसे समस्या की स्थिति में।

काम। खजांची के पास 50 कोप्पेक और 10 कोप्पेक के 50 सिक्के हैं, कुल 21 रूबल। पता लगाएं कि कैशियर के पास अलग से कितने 50k सिक्के थे। और 10k.

समाधान 1। (नमूनाकरण विधि)

आइए "प्राचीन" बेबीलोनियों के शासन का उपयोग करें। मान लीजिए कि कैशियर के पास प्रत्येक मूल्यवर्ग के बराबर सिक्के हैं, यानी 25 टुकड़े। तब राशि 50 * 25 + 10 * 25 \u003d 1250 + 250 \u003d 1500 (k।), या 15 रूबल होगी। लेकिन 21 रूबल की स्थिति में, यानी प्राप्त से अधिक, 21 UAH - 15 रूबल = 6 रूबल। इसका मतलब यह है कि 50 कोप्पेक के सिक्कों की संख्या में वृद्धि करना और 10 कोप्पेक के सिक्कों की संख्या को कम करना आवश्यक है, जब तक कि हमें कुल 21 रूबल नहीं मिल जाते। हम तालिका में सिक्कों की संख्या और कुल राशि में परिवर्तन लिखते हैं।

सिक्कों की संख्या	सिक्कों की संख्या	पैसे की राशि	पैसे की राशि	कुल राशि	शर्त से कम या अधिक
					6 रूबल से कम।
					5rub60k . से कम
					शर्त के रूप में

जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, खजांची के पास 50 कोप्पेक के 40 सिक्के और 10 कोप्पेक के 10 सिक्के थे।

जैसा कि समाधान 1 में निकला, अगर खजांची के पास 50k के बराबर सिक्के थे। और 10k प्रत्येक, तो कुल मिलाकर उसके पास 15 रूबल थे। यह देखना आसान है कि एक सिक्के का प्रत्येक प्रतिस्थापन 10k है। 50k सिक्के के लिए। कुल राशि में 40k की वृद्धि करता है। इसका मतलब यह है कि यह पता लगाना आवश्यक है कि ऐसे कितने प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम सबसे पहले यह पता लगाते हैं कि कुल राशि को बढ़ाने के लिए कितना धन आवश्यक है:

21 रगड़ - 15 रगड़। = 6 रूबल। = 600 के.

आइए जानें कि इस तरह के प्रतिस्थापन को कितनी बार करने की आवश्यकता है: 600 k.: 40 k. = 15.

फिर 50 k के लिए 25 +15 = 40 (सिक्के) होंगे, और 10 k के लिए 25 - 15 = 10 होंगे।

सत्यापन पुष्टि करता है कि इस मामले में कुल राशि 21 रूबल है।

उत्तर: कैशियर के पास 50 कोप्पेक के 40 सिक्के और 10 कोप्पेक के 10 सिक्के थे।

छात्रों को स्वतंत्र रूप से 50 कोप्पेक के सिक्कों की संख्या के लिए अलग-अलग मूल्यों का चयन करने की पेशकश करने के बाद, उन्हें इस विचार में लाना आवश्यक है कि तर्कसंगतता के दृष्टिकोण से सबसे अच्छा यह धारणा है कि कैशियर के पास केवल उसी के सिक्के थे मूल्यवर्ग (उदाहरण के लिए, 50 कोप्पेक के सभी 50 सिक्के या 10k के सभी 50 सिक्के)। इसके कारण, अज्ञात में से एक को बाहर रखा जाता है और दूसरे अज्ञात द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

7. अवशेष विधि

परीक्षण और त्रुटि द्वारा समस्याओं को हल करते समय इस पद्धति में सोच के साथ कुछ समानताएं हैं। हम एक दिशा में आंदोलन के लिए समस्याओं को हल करते समय अवशिष्ट की विधि का उपयोग करते हैं, अर्थात्, उस समय का पता लगाना आवश्यक है जिसके दौरान पहली वस्तु, जो उच्च गति के साथ पीछे चलती है, दूसरी वस्तु के साथ पकड़ लेगी, जिसमें एक है कम गति। 1 घंटे में, पहली वस्तु दूसरे के पास इतनी दूरी पर पहुंचती है जो उनकी गति के अंतर के बराबर होती है, अर्थात गति के "शेष" के बराबर होती है जो कि दूसरी की गति की तुलना में होती है। उस समय का पता लगाने के लिए जब पहली वस्तु को उस दूरी को दूर करने की आवश्यकता होती है जो उसके बीच और दूसरी गति की शुरुआत में थी, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि इस दूरी में कितनी बार "शेष" रखा गया है।

यदि हम कथानक से सार निकालते हैं और समस्या की केवल गणितीय संरचना पर विचार करते हैं, तो यह दो कारकों (दोनों वस्तुओं की गति की गति) या इन कारकों और दो उत्पादों के बीच के अंतर (दूरी जो वे कवर करते हैं) या उनके अंतर के बारे में बात करते हैं। अज्ञात गुणक (समय) समान हैं और उन्हें खोजने की आवश्यकता है। गणितीय दृष्टिकोण से, अज्ञात कारक यह दर्शाता है कि ज्ञात कारकों का अंतर उत्पादों के अंतर में कितनी बार निहित है। इसलिए, अवशिष्ट की विधि द्वारा हल की जाने वाली समस्याओं को दो अंतरों द्वारा संख्याओं को खोजने की समस्या कहा जाता है।

काम। छात्रों ने एल्बम में छुट्टी से तस्वीरें चिपकाने का फैसला किया। यदि वे प्रत्येक पृष्ठ पर 4 फ़ोटो चिपकाते हैं, तो एल्बम में 20 फ़ोटो के लिए पर्याप्त स्थान नहीं होगा। यदि आप प्रत्येक पृष्ठ पर 6 फोटो चिपकाते हैं, तो 5 पृष्ठ निःशुल्क रहेंगे। छात्र एल्बम में कितनी तस्वीरें लगाने जा रहे हैं?

कार्य का विश्लेषण

पहले और दूसरे ग्लूइंग विकल्पों के लिए तस्वीरों की संख्या समान रहती है। समस्या की स्थिति के अनुसार, यह अज्ञात है, लेकिन यह पाया जा सकता है कि एक पृष्ठ पर रखे गए फ़ोटो की संख्या और एल्बम में पृष्ठों की संख्या ज्ञात हो।

एक पृष्ठ पर चिपकाई गई तस्वीरों की संख्या ज्ञात है (पहला गुणक)। एल्बम में पृष्ठों की संख्या अज्ञात है और अपरिवर्तित रहती है (दूसरा गुणक)। चूंकि यह ज्ञात है कि एल्बम के 5 पृष्ठ दूसरी बार मुक्त रहते हैं, आप पा सकते हैं कि एल्बम में कितनी और तस्वीरें चिपकाई जा सकती हैं: 6 * 5 = 30 (फ़ोटो)।

तो, एक पृष्ठ पर फ़ोटो की संख्या में 6 - 4 = 2 की वृद्धि, चिपकाई गई तस्वीरों की संख्या में 20 + 30 = 50 की वृद्धि होती है।

चूंकि दूसरी बार प्रत्येक पृष्ठ पर दो और फ़ोटो चिपकाए गए थे और प्रत्येक पृष्ठ पर कुल 50 और फ़ोटो चिपकाए गए थे, हम एल्बम में पृष्ठों की संख्या पाते हैं: 50: 2 = 25 (पृष्ठ)।

इसलिए कुल मिलाकर 4*25+20=120 फोटो थे।

उत्तर: एलबम में 25 पेज थे और 120 फोटो चिपकाए गए थे।

प्राथमिक विद्यालय के शिक्षक को बस यह जानने की जरूरत है कि किस प्रकार के कार्य उपलब्ध हैं। आज आप साधारण पाठ्य अंकगणितीय समस्याओं के बारे में जानेंगे। सरल पाठ अंकगणितीय समस्याएं ऐसी समस्याएं हैं जिन्हें एक अंकगणितीय ऑपरेशन द्वारा हल किया जाता है।. जब हम किसी कार्य को पढ़ते हैं, तो हम स्वचालित रूप से इसे किसी प्रकार से सहसंबंधित करते हैं, और यहां तुरंत यह समझना आसान हो जाता है कि उसे किस क्रिया को हल करने की आवश्यकता है।

मैं आपको न केवल सरल शब्द समस्याओं का वर्गीकरण दूंगा, बल्कि उनके उदाहरण भी दूंगा, और अंकगणितीय तरीके से पाठ की समस्याओं को हल करने के बारे में भी बताऊंगा। मैंने ग्रेड 2 (भाग 1, भाग 2) के लिए गणित की पाठ्यपुस्तकों से सभी उदाहरण लिए, जो बेलारूसी स्कूलों में पढ़ाए जाते हैं।

सभी साधारण अंकगणितीय समस्याओं को दो बड़े समूहों में बांटा गया है:

- एडी I (+/-), यानी, जो पहले क्रम अंकगणितीय संचालन (जोड़ या घटाव) द्वारा हल किए जाते हैं;

- AD II (* /:), यानी वे जिन्हें दूसरे क्रम की अंकगणितीय संक्रियाओं (गुणा या भाग) द्वारा हल किया जाता है।

सरल पाठ अंकगणितीय समस्याओं (AD I) के पहले समूह पर विचार करें:

1) कार्य जो जोड़ के विशिष्ट अर्थ को प्रकट करते हैं (+)

दौड़ प्रतियोगिता में 4 बालिका व 5 बालकों ने भाग लिया। प्रतियोगिता में कक्षा के कितने विद्यार्थियों ने भाग लिया?

साशा ने 9 उदाहरण हल करने के बाद, उसे 3 और उदाहरण हल करने पड़े। साशा को कितने उदाहरणों को हल करने की आवश्यकता थी?

ऐसे कार्यों को अतिरिक्त द्वारा हल किया जाता है: a+b=?

2) कार्य जो घटाव के विशिष्ट अर्थ को प्रकट करते हैं (-)

माँ ने 15 पाई बेक की। 10 पाई खाने के बाद कितने पाई बचे हैं?

जार में 15 गिलास जूस था। रात के खाने में हमने 5 गिलास पिया। रस के कितने गिलास बचे हैं?

ऐसी समस्याओं को घटाकर हल किया जाता है: a-b=?

3) घटकों के बीच संबंध और जोड़ या घटाव की क्रिया के परिणाम पर कार्य:

a) अज्ञात पहला पद ज्ञात करने के लिए (? + a = b)

लड़के ने डिब्बे में 4 पेंसिलें रखीं। उनमें से 13 थे। मूल रूप से डिब्बे में कितनी पेंसिलें थीं?

इस समस्या को हल करने के लिए, ज्ञात 2 पद को क्रिया के परिणाम से घटाना आवश्यक है: b-a=?

b) अज्ञात दूसरा पद ज्ञात करने के लिए (a+?=b)

बर्तन और केतली में 13 गिलास पानी डाला गया। बर्तन में 5 गिलास डालने पर केतली में कितने गिलास पानी डाला गया?

इस प्रकार की समस्याओं को घटाव द्वारा हल किया जाता है, ज्ञात 1 पद को क्रिया के परिणाम से घटाया जाता है: b-a=?

c) अज्ञात मीन्यूएंड को खोजने के लिए (?-a=b)

ओल्गा ने एक गुलदस्ता एकत्र किया। उसने गुलदस्ते में 3 रंग डाले और उसके पास 7 फूल बचे हैं। गुलदस्ते में कितने फूल थे?

अंकगणितीय रूप से, इस प्रकार की पाठ समस्याओं का समाधान क्रिया के परिणाम और सबट्रेंड को जोड़कर किया जाता है: b+a=?

d) अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए (а-?=b)

2 दर्जन अंडे खरीदे। कुछ अंडे बेक करने के लिए लिए जाने के बाद, 15 शेष रह गए, कितने अंडे लिए गए?

इन कार्यों को घटाव द्वारा हल किया जाता है: कार्रवाई के परिणाम को कम से घटाएं: a-b=?

4) प्रत्यक्ष, अप्रत्यक्ष रूप में कई इकाइयों द्वारा घटाने/बढ़ाने के कार्य

प्रत्यक्ष रूप में कई इकाइयों द्वारा कम करने के कार्यों के उदाहरण:

एक डिब्बे में 20 किलो केले थे, और दूसरे में - 5 कम। दूसरे डिब्बे में कितने किलोग्राम केले थे?

पहले वर्ग ने सेब के 19 डिब्बे एकत्र किए, और दूसरे ने - 4 बक्से कम। द्वितीय श्रेणी ने सेब के कितने डिब्बे चुने?

इन समस्याओं को घटाकर (a-b=?)

मुझे गणित में दूसरी कक्षा की पाठ्यपुस्तक में अप्रत्यक्ष रूप में घटने के साथ-साथ प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप में बढ़ने के कार्यों के उदाहरण नहीं मिले। यदि आवश्यक हो, तो टिप्पणियों में लिखें - और मैं लेख को अपने उदाहरणों के साथ पूरक करूंगा।

5) अंतर तुलना के लिए कार्य

हंस का द्रव्यमान 7 किलो है, और मुर्गी 3 किलो है। मुर्गी का वजन हंस के वजन से कितने किलोग्राम कम है?

पहले डिब्बे में 14 पेंसिलें और दूसरे डिब्बे में 7 पेंसिलें हैं। पहले डिब्बे में दूसरे डिब्बे की तुलना में कितनी अधिक पेंसिलें हैं?

अंतर तुलना के लिए पाठ समस्याओं का समाधान बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाकर किया जाता है।

हमने पहले समूह की सरल पाठ्य अंकगणितीय समस्याओं से निपटना समाप्त कर दिया है और दूसरे समूह की समस्याओं पर आगे बढ़ रहे हैं। अगर आपको कुछ समझ में नहीं आया हो तो कमेंट में पूछें।

सरल पाठ अंकगणितीय समस्याओं का दूसरा समूह (एडी II):

1) गुणन के विशिष्ट अर्थ को प्रकट करने वाले कार्य

दो कुत्तों के कितने पैर होते हैं? तीन कुत्ते?

घर के सामने तीन कारें हैं। प्रत्येक कार में 4 पहिए होते हैं। तीन कारों में कितने पहिए होते हैं?

इन कार्यों को गुणा करके हल किया जाता है: a*b=?

2) कार्य जो विभाजन के विशिष्ट अर्थ को प्रकट करते हैं:

ए) सामग्री

बच्चों को दो-दो केक बांटे गए। कितने बच्चों को केक मिले?

2 किलो के बैग में 14 किलो आटा होता है। ऐसे कितने पैकेज?

इन कार्यों में, हम यह पता लगाते हैं कि समान सामग्री के साथ कितने भाग निकले।

बी) समान भागों में

10 सेमी लंबी एक पट्टी को दो बराबर भागों में काटा गया। प्रत्येक टुकड़े की लंबाई क्या है?

नीना ने 10 केक को 2 प्लेटों में बराबर-बराबर बांटा। एक प्लेट में कितने केक होते हैं?

और इन समस्याओं में हमें पता चलता है कि एक समान भाग की सामग्री क्या है।

जैसा भी हो, इन सभी कार्यों को विभाजन द्वारा हल किया जाता है: a:b=?

3) घटक और गुणन और विभाजन के परिणाम के बीच संबंध पर कार्य:

ए) अज्ञात पहला कारक खोजने के लिए: ?*а=b

खुद का उदाहरण:

6 पेंसिल के कई बॉक्स। डिब्बे में 24 पेंसिलें हैं। कितने डिब्बे?

यह ज्ञात दूसरे कारक द्वारा उत्पाद को विभाजित करके हल किया जाता है: b:a=?

बी) अज्ञात दूसरा कारक खोजने के लिए: a*?=b

कैफे में एक टेबल पर 3 लोग बैठ सकते हैं। यदि 15 लोग वहां आ जाएं तो इनमें से कितनी मेजों पर कब्जा कर लिया जाएगा?

यह ज्ञात पहले कारक द्वारा उत्पाद को विभाजित करके हल किया जाता है: b:a=?

c) अज्ञात लाभांश ज्ञात करने के लिए: ?:a=b

खुद का उदाहरण:

कोल्या ने कक्षा में मिठाइयाँ लाईं और सभी विद्यार्थियों के बीच समान रूप से बाँट दीं। कक्षा में 16 बच्चे हैं। प्रत्येक को 3 कैंडी मिलीं। कोल्या कितनी मिठाइयाँ लाई?

इसे भाजक द्वारा भागफल को गुणा करके हल किया जाता है: b*a=?

d) एक अज्ञात भाजक ढूँढना: a:?=b

खुद का उदाहरण:

Vitya कक्षा में 44 मिठाइयाँ लाई और उन्हें सभी छात्रों के बीच समान रूप से बाँट दिया। प्रत्येक को 2 कैंडी मिलीं। कक्षा में कितने विध्यार्थी है?

इसे भागफल से भाग देकर हल किया जाता है: a:b=?

4) प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप में कई गुना बढ़ाने / घटाने के कार्य

दूसरी कक्षा की पाठ्यपुस्तक में ऐसी पाठ्य अंकगणितीय समस्याओं का कोई उदाहरण नहीं मिला।

5) एकाधिक तुलना के लिए कार्य

बड़े को छोटे से भाग देकर हल करें।

मित्रों, सरल शब्द समस्याओं का उपरोक्त वर्गीकरण सभी शब्द समस्याओं के एक बड़े वर्गीकरण का एक हिस्सा मात्र है। इसके अलावा, प्रतिशत खोजने के लिए अभी भी कार्य हैं, जिनके बारे में मैंने आपको नहीं बताया। यह सब आप इस वीडियो से जान सकते हैं:

और मेरा आभार आपके साथ रहेगा!

पाठ समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणितीय विधि उन्हें हल करने के लिए एक अंकगणितीय तरीका खोजने के लिए

जूनियर्स द्वारा शब्द समस्याओं का समाधानशकोओलनिक को एक साधन के रूप में और एक शिक्षण पद्धति के रूप में माना जा सकता है, जिसके उपयोग के दौरान गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम की सामग्री में महारत हासिल होती है: गणितीय अवधारणाएं, अंकगणितीय संचालन का अर्थ और उनके गुण, कम्प्यूटेशनल कौशल और व्यावहारिक कौशल का निर्माण।

एक शिक्षक जो स्कूली बच्चों द्वारा समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया को निर्देशित करता है, उसे सबसे पहले स्वयं समस्याओं को हल करने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही दूसरों को इसे सिखाने के लिए आवश्यक ज्ञान और कौशल भी होना चाहिए।

पाठ समस्याओं को हल करने के लिए छोटे छात्रों को पढ़ाने के लिए शिक्षक की गणितीय तैयारी का आधार समस्याओं को हल करने की क्षमता है।

पाठ समस्याओं (बीजगणितीय, अंकगणित और ज्यामितीय) को हल करने के लिए सामान्य तरीकों में से अधिकांश समस्याओं के लिए प्राथमिक ग्रेड में सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाता हैअंकगणितीय विधि, उन्हें हल करने के विभिन्न तरीकों सहित। हालाँकि, शिक्षक के लिए, कई मामलों में, समस्याओं को हल करने का यह तरीका बीजीय की तुलना में अधिक कठिन होता है। यह मुख्य रूप से के कारण है, क्या सेहाई स्कूल गणित पाठ्यक्रम

अंकगणित के पाठ्यक्रम को व्यावहारिक रूप से बाहर रखा गया था, जो स्कूली बच्चों की अंकगणितीय विधि द्वारा समस्याओं को हल करने की क्षमता के गठन के लिए प्रदान करता था। दूसरे, विश्वविद्यालय के गणित के पाठ्यक्रम में भी इस पर उचित ध्यान नहीं दिया जाता है।

साथ ही, अंकगणित विधि द्वारा समस्याओं को हल करने की आवश्यकता छोटे छात्र के गणितीय ज्ञान के भंडार से निर्धारित होती है, जो उन्हें बीजगणित के तत्वों का उपयोग करके अधिकांश समस्याओं को हल करने की अनुमति नहीं देती है।

शिक्षक, एक नियम के रूप में, किसी भी समस्या को बीजगणितीय रूप से हल करने में सक्षम है, लेकिन हर कोई किसी भी समस्या को अंकगणितीय रूप से हल नहीं कर सकता है।

साथ ही, ये विधियां आपस में जुड़ी हुई हैं, और शिक्षक को न केवल इस संबंध पर ध्यान देना चाहिए, बल्कि इसे अपने काम में भी इस्तेमाल करना चाहिए। इस लेख में, कुछ समस्याओं को हल करने के उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणितीय और अंकगणितीय विधियों के बीच संबंध दिखाने का प्रयास करेंगे ताकि शिक्षक को किसी समस्या को बीजगणितीय रूप से हल करके एक अंकगणितीय तरीका खोजने में मदद मिल सके।

आइए कुछ प्रारंभिक टिप्पणियां करें:

1. हमेशा नहीं (और हमेशा से भी दूर) एक बीजगणितीय विधि द्वारा हल की गई पाठ समस्या को अंकगणित द्वारा हल किया जा सकता है। यह याद रखना चाहिए कि एक समस्या को अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करके हल किया जा सकता है जब उसके बीजगणितीय मॉडल को रैखिक समीकरण या रैखिक समीकरणों की प्रणाली में घटा दिया जाता है।

2. एक रेखीय समीकरण का रूप हमेशा समस्या को हल करने के अंकगणितीय तरीके का "सुझाव" नहीं देता है, हालांकि, समीकरण के आगे के परिवर्तनों से इसे खोजना संभव हो जाता है। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान, हमारी राय में, समस्या को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके से तर्क के पाठ्यक्रम की रूपरेखा तैयार करना लगभग तुरंत संभव बनाता है।

उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1 समस्या समीकरण में कम हो गई है

तरहआह + बी= एस.

काम। सुबह 8 बजे एक ट्रेन 60 किमी/घंटा की गति से बिंदु A से बिंदु B के लिए निकलती है। 11 बजे एक अन्य ट्रेन 70 किमी/घंटा की गति से उससे मिलने के लिए बिंदु B से निकलती है। यदि बिंदुओं के बीच की दूरी 440 किमी है तो ट्रेनें किस समय मिलेंगी?

बीजगणितीय विधि समीकरण की ओर ले जाती है: (60 + 70) x + 60 3 \u003d 440 या 130x + 18 \u003d 440, जहाँ x घंटे बैठक से पहले दूसरी ट्रेन का समय है। फिर: 130एक्स = 440- 180= 130

एक्स = 260, एक्स =2 (एच)।

उपरोक्त तर्क और गणना समस्या को हल करने के निम्नलिखित अंकगणितीय तरीके का "सुझाव" देते हैं। आइए जानें: ट्रेन की गति का योग (60 + 70 = 130 (किमी / घंटा), दूसरी ट्रेन के शुरू होने से पहले पहली ट्रेन का समय (11-8 \u003d 3 (एच), पहले द्वारा तय की गई दूरी 3 घंटे में ट्रेन (60 3 \u003d 180 ( किमी), बैठक से पहले मिलने वाली ट्रेनों के लिए शेष दूरी (440 - 180 = = 260 (किमी), बैठक से पहले दूसरी ट्रेन का समय (260: 130)-2 (एच))।

भविष्य में, बीजगणितीय विधि द्वारा प्रत्येक समस्या को हल करने के चरण और अंकगणितीय विधि द्वारा समस्या को हल करने के संबंधित चरणों को समानांतर में एक तालिका में लिखा जाएगा जो आपको नेत्रहीन रूप से यह पता लगाने की अनुमति देगा कि समीकरणों को हल करने के दौरान बीजीय परिवर्तन कैसे होते हैं जो एक पाठ समस्या का एक मॉडल है समाधान की एक अंकगणितीय विधि खोलें। तो, इस मामले में हमारे पास निम्न तालिका होगी (तालिका 1 देखें)।

तालिका नंबर एक

माना बैठक से पहले x घंटे दूसरी ट्रेन का समय है। समस्या की स्थिति के अनुसार, हम समीकरण प्राप्त करते हैं:

(60+70)-x+60*3=440 या 130x+180=440

आइए समीकरण को रूपांतरित करें:

130x=440-180 130x=260.

आइए ज्ञात खोजें;

एक्स = 260:130; एक्स = 2

आइए ट्रेन की गति का योग ज्ञात करें: 60+70=130(किमी/घंटा)।

आइए दूसरी ट्रेन के शुरू होने से पहले पहली ट्रेन का समय ज्ञात करें: 11-8=3(h)। पहली ट्रेन द्वारा 3 घंटे में तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए: 60*3=180(किमी)

आइए मिलते हैं मिलने से पहले ट्रेनों की यात्रा के लिए शेष दूरी ज्ञात करें: 440-180=260(किमी)।

आइए दूसरी ट्रेन के चलने का समय ज्ञात करें: 260:130=2(h)।

तालिका 1 के डेटा का उपयोग करके, हम एक अंकगणितीय समाधान प्राप्त करते हैं।

1. 1. 3 (एच) -पहली ट्रेन दूसरी के शुरू होने से पहले चल रही थी;

1. 3 = 180 (किमी) - पहली ट्रेन 3 घंटे में गुजरी;

3) 440 - 180 \u003d 260 (किमी) - एक साथ चलते समय ट्रेनों द्वारा तय की गई दूरी;

1. 70 = 130 (किमी/घंटा) - ट्रेन की गति की गति;

1. 130 \u003d 2 (एच) - दूसरी ट्रेन की आवाजाही का समय;

6) 11 + 2 = 13 (एच) - इस समय ट्रेनें मिलेंगी।

उत्तर: 13:00 बजे।

उदाहरण 2 ए 1 एक्स + वी 1 \u003d ए एक्स + बी

काम। स्कूली बच्चों ने 4 किताबें खरीदीं, जिसके बाद उनके पास 40 रूबल बचे। यदि वे समान पुस्तकों में से 7 खरीदते, तो उनके पास 16 रूबल शेष रहते। एक किताब की कीमत कितनी है?

बीजीय विधि समीकरण की ओर ले जाती है:4 एक्स + 40 = 7x + 16, जहां एक्स - एक किताब की कीमत। इस समीकरण को हल करने के क्रम में, हम निम्नलिखित गणना करते हैं: 7 x - 4एक्स \u003d 40-16 -> Zx \u003d 24 \u003e x \u003d 8, जो समीकरण को संकलित करने में उपयोग किए जाने वाले तर्क के साथ समस्या को हल करने का एक अंकगणितीय तरीका है। आइए जानें: और कितनी किताबें खरीदी गईं: 7-4 = 3 (पुस्तक); कितना कम पैसा बचेगा, यानी। कितना अधिक पैसा खर्च किया गया: 40 - 16 = 24 (पी); एक किताब की कीमत कितनी है: 24:3 = 8 (पी)। उपरोक्त विचारों को तालिका 2 में संक्षेपित किया गया है।

समस्या समाधान के चरण

बीजीय विधि

अंकगणितीय विधि द्वारा समस्या को हल करने के चरण

मान लीजिए x एक पुस्तक का मूल्य है। कार्य के अनुसार

हमें समीकरण मिलता है: 4x+40=7x+16।

आइए समीकरण को रूपांतरित करें:

7x-4x=40-16 (7-4)x=24 3x=24

आइए ज्ञात ज्ञात करें:

एक्स = 24:3; एक्स = 8

चार पुस्तकों और अन्य 40r की लागत। 7 पुस्तकों और अन्य 70r की लागत के बराबर।

आइए देखें कि वे और कितनी किताबें खरीदेंगे: 7-4=3(kn)। आइए जानें कि वे और कितना पैसा देंगे: 40-16 = 24 (पी।)।

आइए एक पुस्तक की कीमत ज्ञात करें: 24:3=8(r.)।

तालिका 2

तालिका 2 में डेटा का उपयोग करके, हम एक अंकगणितीय समाधान प्राप्त करते हैं:

1) 7-4 = 3 (पुस्तक) - और भी बहुत सी पुस्तकें खरीदी जाएंगी;

1. 16 \u003d 24 (आर।) - इतने रूबल वे अधिक भुगतान करेंगे;

3) 24: 3 = 8 (पी.) - एक किताब है।

उत्तर: 8 रूबल।

उदाहरण 3 समस्या को फॉर्म के समीकरण में घटा दिया गया है:ओह + बी एक्स + सीएक्स = डी

काम। पर्यटक ने 2,200 किमी की यात्रा की, और जहाज पर उसने कार से दुगनी यात्रा की, और ट्रेन में जहाज की तुलना में 4 गुना अधिक। पर्यटक ने नाव, कार और ट्रेन से अलग-अलग कितने किलोमीटर की यात्रा की?

तालिका 3 में डेटा का उपयोग करके, हम एक अंकगणितीय समाधान प्राप्त करते हैं।

आइए एक भाग के रूप में पर्यटक द्वारा कार द्वारा तय की गई दूरी को लें:

1 2 \u003d 2 (एच) - उस दूरी पर पड़ता है जो पर्यटक जहाज पर तय करता है;

2) 2 4 \u003d 8 (एच) - उस दूरी पर पड़ता है जो पर्यटक ट्रेन से यात्रा करता है;

3) 1+2+8=11(एच) - पूरी यात्रा पर पड़ता है

टेबल तीन

माना नाव पर तय की गई दूरी x किलोमीटर है।

समस्या की स्थिति के अनुसार, हम समीकरण प्राप्त करते हैं: x + 2x + 2 * 4x \u003d 2200।

आइए समीकरण को रूपांतरित करें:

(1+2+8)x=2200 11x=2200.

आइए ज्ञात ज्ञात करें:

एक्स = 2200:11; एक्स = 200

आइए उस दूरी को लें जो पर्यटक ने कार से (कम से कम) 1 भाग के रूप में तय किया। फिर उसने जहाज पर जो दूरी तय की वह दो भागों के अनुरूप होगी, और ट्रेन में - 2 - 4 भाग। इसका मतलब है कि पर्यटक का पूरा पथ (2200 किमी) 1+2+8=11 (घंटे) के अनुरूप है।

आइए जानें कि पर्यटक के पूरे रास्ते में कितने हिस्से बनते हैं: 1 + 2 + 8 = 11 (घंटे)।

आइए जानें कि एक हिस्से पर कितने किलोमीटर पड़ते हैं: 2200:11=200 (किमी)।

1. 200: 11= 200 (किमी) - पर्यटक द्वारा कार द्वारा तय की गई दूरी;

1. 2 = 400 (किमी) - नाव पर पर्यटक द्वारा तय की गई दूरी;

6) 200 -8 = 1 600 (किमी) - पर्यटक द्वारा ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी।

जवाब:200 किमी, 400 किमी, 1,600 किमी।

उदाहरण 4 समस्या समीकरण में कम हो गई हैतरह (एक्स + ए) में = सीएक्स + डी.

काम। प्रदर्शन के अंत में, थिएटर से 174 दर्शक पैदल चले गए, और बाकी 18 कारों में ट्राम पर चले गए, और प्रत्येक कार में सीटों की तुलना में 5 अधिक लोग मिले। यदि ट्राम पर थिएटर छोड़ने वाले दर्शक सीटों की संख्या के अनुसार उसमें चढ़ गए, तो 3 और कारों की जरूरत होगी, और आखिरी में 6 खाली सीटें होंगी। थिएटर में कितने दर्शक थे?

तालिका 4

बता दें कि प्रत्येक ट्राम में x सीटें होती हैं। फिर, समस्या की स्थिति के अनुसार, हमारे पास समीकरण है: (x+5)*18=x*(18+3)-6.

आइए समीकरण को रूपांतरित करें: 21x - 18x \u003d 90 + 6 या 3x \u003d 96।

आइए अज्ञात को खोजें:

एक्स = 96: 3; एक्स = 32.

प्रत्येक गाड़ी में सीटों की तुलना में 5 अधिक लोग शामिल थे। 18 कारों में - 5*18=90 लोग ज्यादा। 90 लोगों ने 3 अतिरिक्त कारों में प्रवेश किया और 6 और खाली सीटें थीं। इसलिए, तीन कारों में 90 + 6 = 96 सीटें हैं।

एक कार में सीटों की संख्या ज्ञात कीजिए:

96: 3 = 32 (एम।)

तालिका 4 में डेटा का उपयोग करके, हम एक अंकगणितीय समाधान प्राप्त करते हैं:

1)5 18 \u003d 90 (व्यक्ति) - 18 कारों में सीटों की तुलना में इतने अधिक लोग;

90 + 6 = 96 (एम) - तीन कारों में;

96: 3 = 32 (एम) - एक कार में;

32 + 5 = 37 (लोग) - 18 कारों में से प्रत्येक में था;

37 18 \u003d 666 (व्यक्ति) - ट्राम पर छोड़ दिया;

666 + 174 = 840 (लोग) - थिएटर में थे।

उत्तर: 840 दर्शक।

उदाहरण 5 समस्या को फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली में घटा दिया गया है: x + y = a, x - y =बी.

काम। एक बकसुआ के साथ एक बेल्ट की कीमत 12 रूबल है, और बेल्ट बकसुआ की तुलना में 6 रूबल अधिक महंगा है।

बेल्ट कितनी है, बकल कितनी है?

बीजीय विधि समीकरणों की एक प्रणाली की ओर ले जाती है:

एक्स+वाई=12,

एक्स-वाई \u003d 6 जहां एक्स: रूबल - बेल्ट की कीमत,पररूबल - बकसुआ की कीमत।

इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया जा सकता है: एक अज्ञात को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना। पहले समीकरण से, इसके मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, परिणामी समीकरण को एक अज्ञात के साथ हल करें, दूसरा अज्ञात खोजें। हालांकि, इस मामले में हम समस्या को हल करने के अंकगणितीय तरीके को "महसूस" नहीं कर पाएंगे।

सिस्टम के समीकरणों को जोड़ने के बाद, हमारे पास तुरंत समीकरण होगा2x = 18.
हम बेल्ट की कीमत कहां पाते हैंएक्स = 9 (आर।)। प्रणाली को हल करने की यह विधि हमें तर्क की निम्नलिखित अंकगणितीय रेखा प्राप्त करने की अनुमति देती है। मान लीजिए कि बकल की कीमत बेल्ट के समान है। फिर एक बेल्ट (या 2 बेल्ट) के साथ एक बकसुआ की कीमत 12 + 6 = 18 (आर।) होगी (क्योंकि वास्तव में एक बकसुआ की कीमत 6 रूबल कम है)। इसलिए, एक बेल्ट का मूल्य 18:2=9 (p.) है।

यदि हम पहले समीकरण से दूसरे पद के पद को घटाते हैं, तो हमें समीकरण 2 . प्राप्त होता हैपर \u003d 6, जहाँ से y \u003d 3 (आर।) इस मामले में, अंकगणितीय विधि द्वारा समस्या को हल करते हुए, इस प्रकार तर्क देना चाहिए। मान लीजिए कि बेल्ट की कीमत बकल के समान है। फिर बकल और बेल्ट (या दो बकल) की कीमत 12-6=6 (पी.) होगी (क्योंकि बेल्ट की कीमत वास्तव में 6 रूबल अधिक है)।
इसलिए, एक बकल की कीमत 6:2=3 (पृष्ठ) है।

तालिका 5

बता दें कि x रूबल बेल्ट की कीमत है, y रूबल की कीमत बकसुआ है। समस्या की स्थिति के अनुसार, हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

एक्स + वाई \u003d 12,

एक्स - वाई \u003d 6.

सिस्टम टर्म के समीकरणों को शब्द से जोड़ने पर, हमें मिलता है: 2x \u003d 12 + 6 2x \u003d 18।

अज्ञात खोजें:

एक्स = 18: 2; एक्स = 9

बकल के साथ बेल्ट की कीमत 12r है। और बेल्ट बकसुआ से 6r अधिक महंगा है।

अज्ञात को बराबर करें:

मान लीजिए कि बकल की कीमत बेल्ट के बराबर है, तो दो बेल्टों की कीमत 12 + 6 = 18 (r.) है।

बेल्ट की कीमत पाएं:

18: 2 = 9 (पी।)।

तालिका 5 में डेटा का उपयोग करके, हम एक अंकगणितीय समाधान प्राप्त करते हैं:

12 + 6 = 18 (आर.) - यदि बकल की कीमत बेल्ट के बराबर हो तो दो बेल्ट खर्च होंगे;

2) 18:2=9 (पी.) - एक बेल्ट है;

3) 12-9 = 3 (पी।) - एक बकसुआ है।

उत्तर: 9 रूबल, 3 रूबल।

उदाहरण 6 समस्या फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली में कम हो गई है:

कुल्हाड़ी + बू = सी 1एक्स+वाई=सी2

काम। बढ़ोतरी के लिए, 46 स्कूली बच्चों ने चार और छह सीटों वाली नावें तैयार कीं। उनमें से कितनी और अन्य नावें थीं यदि सभी लोगों को दस नावों में बिठाया गया और कोई खाली सीटें नहीं बची थीं ?

तालिका 6

मान लीजिए x चार सीटों वाली नौकाओं की संख्या है और y छह सीटों वाली नौकाओं की संख्या है। समस्या की स्थिति के अनुसार, हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है:

एक्स + वाई = 10,

4x + 6y = 46।

पहले समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से गुणा करें।

हमारे पास है:

4x + 4y = 40।

हम परिणामी समीकरण को दूसरे से घटाते हैं (पद दर पद)। हमारे पास है:

(6 - 4) y \u003d 46 - 40 या 2y \u003d 6।

आइए अज्ञात को खोजें:

वाई = 6: 2; वाई = 3.

कुल 10 नावें हैं और उनमें 46 स्कूली बच्चों को बैठाया गया है।

अज्ञात को बराबर करें।

मान लीजिए कि सभी नावें चार सीटों वाली थीं। तब मी उनमें 40 लोगों को समायोजित किया जाएगा।

आइए जानें कि चार सीटों वाली नाव की तुलना में छह सीटों वाली नाव में कितने अधिक लोग हो सकते हैं: 6 - 4 = 2 (व्यक्ति)। आइए देखें कि कितने स्कूली बच्चों के पास पर्याप्त जगह नहीं होगी यदि सभी नावें चार सीटों वाली हों: 46 - 40 \u003d 6 (व्यक्ति)।

आइए छह सीटों वाली नावों की संख्या ज्ञात करें: 6: 2 = 3 (पीसी।)।

तालिका 6 में डेटा का उपयोग करके, हम एक अंकगणितीय समाधान प्राप्त करते हैं:

1) 4- 10 \u003d 40 (व्यक्ति) - यदि सभी नावें चार सीटों वाली हों तो समायोजित होंगी;

2) 6 - 4 \u003d 2 (व्यक्ति) - इतने सारे लोगों के लिए एक छह-सीटर नाव चार-सीटर से अधिक रखती है;

3) 46 - 40 - 6 (व्यक्ति) - इतने सारे छात्रों के पास पर्याप्त जगह नहीं होगी यदि

सभी नाव चौगुनी हैं;

4) 6: 2 = 3 (पीसी।) - छह सीटों वाली नावें थीं;

5) 10 - 3 = 7 (पीसी।) - चार सीटों वाली नावें थीं।

उत्तर: 3 सिक्स सीटर बोट, 7 फोर सीटर बोट.

उदाहरण 7 समस्या फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली में कम हो गई है: a x+b y=c1; ए एक्स + बी वाई \u003d c2

काम। 3 पेन और 4 नोटबुक की कीमत 26 रूबल है, और 7 पेन और 6 समान नोटबुक की कीमत 44 रूबल है। नोटपैड की कीमत कितनी है?

तालिका 7

मान लें कि x रूबल एक पेन की कीमत है, और y रूबल एक नोटबुक की कीमत है। समस्या की स्थिति के अनुसार, हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

3 एक्स + 4 वाई \u003d 26,

7 x + 6 y = 44.

पहले समीकरण के दोनों पक्षों को 7 से गुणा करें।

21 x + 28 y \u003d 182,

21 x + 18 y = 132।

पहले समीकरण से दूसरे को घटाएं (पद द्वारा पद)।

हमारे पास है:

(28 - 18) y \u003d 182 - 132 या 10 y \u003d 50।

आइए अज्ञात को खोजें:

वाई \u003d 50: 10, वाई \u003d 5.

3 पेन और 4 नोटपैड की कीमत 26 रूबल है। 7 पेन और 6 नोटबुक की कीमत 44 रूबल है।

दो खरीद में पेन की संख्या बराबर करें। ऐसा करने के लिए, हम संख्याओं 3 और 7 (21) का सबसे छोटा गुणज पाते हैं। फिर, पहली खरीद के परिणामस्वरूप, 21 पेन और 28 नोटबुक खरीदे गए, और दूसरी - 21 पेन और 18 नोटबुक। आइए इस मामले में प्रत्येक खरीद की लागत पाएं:

26 * 7 \u003d 182 (आर।), 44 * 3 \u003d 132 (आर।)।

आइए जानें कि पहली बार कितनी और नोटबुक खरीदी गईं:

28 - 18 \u003d 10 (पीसी।)।

पता लगाएं कि आप पहली खरीदारी के लिए कितना अधिक भुगतान करेंगे:

182 - 132 \u003d 50 (पी।)।

जानिए नोटपैड की कीमत कितनी है:

50: 10 = 5 (पी.)।

तालिका 7 के डेटा का उपयोग करते हुए, हम एक अंकगणितीय हल प्राप्त करते हैं:

1) 26 7 \u003d 182 (पी.) - 21 पेन और 28 नोटबुक हैं;

2) 44 3 \u003d 132 (पी।) - 21 पेन और 18 नोटबुक हैं;

3) 28 - 18 \u003d 10 (पीसी।) - पहली खरीद में इतने सारे नोटबुक दूसरे की तुलना में अधिक होंगे;

4) 182 - 132 = 50 (पी।) - 10 नोटबुक हैं;

5) 50: 10 = 5 (पी।) - एक नोटबुक है।

उत्तर: 5 रूबल।

हमने प्राथमिक कक्षाओं के लिए गणित की विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में पाई जाने वाली कुछ प्रकार की पाठ्य समस्याओं पर विचार किया है। बीजगणितीय और अंकगणितीय विधियों के बीच संबंध स्थापित करने की स्पष्ट सादगी के बावजूद, इस तकनीक को अभी भी व्यावहारिक कक्षाओं में छात्रों के साथ सावधानीपूर्वक अभ्यास और पाठ के लिए स्व-तैयारी के दौरान शिक्षक के श्रमसाध्य कार्य की आवश्यकता है।

1. बीजीय विधि द्वारा समस्याओं के समाधान पर सामान्य टिप्पणी।

2. आंदोलन के लिए कार्य।

3. काम के लिए कार्य।

4. मिश्रण और प्रतिशत के लिए कार्य।

पाठ समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके खोजने के लिए बीजीय पद्धति का उपयोग करना।

1. बीजगणितीय विधि द्वारा समस्याओं को हल करते समय, वांछित मात्रा या अन्य मात्राएं, जिन्हें जानकर वांछित निर्धारित करना संभव है, अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं (आमतौर पर) एक्स, वाई,जेड). डेटा और अज्ञात मात्राओं के बीच सभी स्वतंत्र संबंध, जो या तो सीधे स्थिति में (मौखिक रूप में) तैयार किए जाते हैं, या समस्या के अर्थ से अनुसरण करते हैं (उदाहरण के लिए, भौतिक नियम जो विचाराधीन मात्राओं का पालन करते हैं), या से पालन करते हैं स्थिति और कुछ तर्क, असमानताओं की समानता के रूप में लिखे गए हैं। सामान्य स्थिति में, ये संबंध एक निश्चित मिश्रित प्रणाली बनाते हैं। विशेष मामलों में, इस प्रणाली में असमानताएं या समीकरण नहीं हो सकते हैं, या इसमें केवल एक समीकरण या असमानता शामिल हो सकती है।

बीजगणितीय विधि द्वारा समस्याओं का समाधान किसी एकल, पर्याप्त सार्वभौमिक योजना के अधीन नहीं है। इसलिए, सभी कार्यों से संबंधित कोई भी संकेत सबसे सामान्य प्रकृति का होता है। व्यावहारिक और सैद्धांतिक मुद्दों को हल करने में उत्पन्न होने वाले कार्यों की अपनी व्यक्तिगत विशेषताएं होती हैं। इसलिए, उनका अध्ययन और समाधान सबसे विविध प्रकृति का है।

आइए हम उन समस्याओं को हल करने पर ध्यान दें जिनका गणितीय मॉडल एक अज्ञात के साथ समीकरण द्वारा दिया गया है।

याद रखें कि समस्या को हल करने की गतिविधि में चार चरण होते हैं। पहले चरण में कार्य (समस्या की सामग्री का विश्लेषण) चयनित समाधान पद्धति पर निर्भर नहीं करता है और इसमें कोई मूलभूत अंतर नहीं है। दूसरे चरण में (समस्या को हल करने के लिए एक रास्ता खोजते समय और इसे हल करने के लिए एक योजना तैयार करते समय), हल करने की बीजीय पद्धति का उपयोग करने के मामले में, निम्नलिखित किए जाते हैं: संकलन के लिए मुख्य अनुपात का चुनाव समीकरण; अज्ञात की पसंद और उसके लिए एक पदनाम की शुरूआत; अज्ञात और डेटा के माध्यम से मुख्य अनुपात में शामिल मात्राओं की अभिव्यक्ति। तीसरे चरण (समस्या को हल करने के लिए योजना का कार्यान्वयन) में एक समीकरण और उसके समाधान का संकलन शामिल है। चौथा चरण (समस्या के समाधान की जाँच) मानक तरीके से किया जाता है।

आमतौर पर एक अज्ञात के साथ समीकरण लिखते समय एक्सनिम्नलिखित दो नियमों का पालन करें।

नियम मैं . इनमें से एक राशि को अज्ञात के रूप में व्यक्त किया जाता है एक्सऔर अन्य डेटा (अर्थात, एक समीकरण तैयार किया जाता है जिसमें एक भाग में एक दिया गया मान होता है, और दूसरे में वही मान होता है, जिसे व्यक्त किया जाता है एक्सऔर अन्य दी गई मात्रा)।

नियम द्वितीय . समान मात्रा के लिए, दो बीजीय व्यंजकों को संकलित किया जाता है, जो तब एक दूसरे के बराबर हो जाते हैं।

बाह्य रूप से, ऐसा लगता है कि पहला नियम दूसरे की तुलना में सरल है।

पहले मामले में, हमेशा एक बीजीय व्यंजक की रचना करना आवश्यक होता है, और दूसरे में, दो। हालांकि, अक्सर ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें पहले से ज्ञात एक को चुनने और उसके लिए एक व्यंजक बनाने की तुलना में समान मात्रा के लिए दो बीजीय व्यंजक बनाना अधिक सुविधाजनक होता है।

पाठ समस्याओं को बीजगणितीय तरीके से हल करने की प्रक्रिया निम्नलिखित एल्गोरिथम के अनुसार की जाती है:

1. सबसे पहले उस अनुपात को चुनें जिसके आधार पर समीकरण तैयार किया जाएगा। यदि समस्या में दो से अधिक अनुपात हैं, तो सभी अज्ञात के बीच कुछ संबंध स्थापित करने वाले अनुपात को समीकरण के संकलन के आधार के रूप में लिया जाना चाहिए।

फिर अज्ञात को चुना जाता है, जिसे संबंधित अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।

समीकरण को संकलित करने के लिए चुने गए अनुपात में शामिल सभी अज्ञात मात्राओं को मुख्य को छोड़कर, समस्या में शामिल शेष अनुपातों के आधार पर, चुने हुए अज्ञात के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए।

4. इन तीनों संक्रियाओं से, एक समीकरण का संकलन सीधे गणितीय प्रतीकों की सहायता से एक मौखिक रिकॉर्ड के डिजाइन के रूप में होता है।

सूचीबद्ध कार्यों के बीच केंद्रीय स्थान पर समीकरणों के संकलन के लिए मुख्य संबंध की पसंद का कब्जा है। विचार किए गए उदाहरण बताते हैं कि समीकरणों के निर्माण में मुख्य अनुपात का चुनाव निर्णायक होता है, समस्या के कभी-कभी अस्पष्ट मौखिक पाठ में तार्किक सामंजस्य का परिचय देता है, अभिविन्यास में विश्वास देता है और इसमें शामिल सभी मात्राओं को व्यक्त करने के लिए अराजक क्रियाओं से बचाता है। डेटा और वांछित लोगों के माध्यम से समस्या।

समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय पद्धति का अत्यधिक व्यावहारिक महत्व है। इसकी मदद से वे प्रौद्योगिकी, कृषि और रोजमर्रा की जिंदगी के क्षेत्र से कई तरह के कार्यों को हल करते हैं। पहले से ही माध्यमिक विद्यालय में, छात्रों द्वारा भौतिकी, रसायन विज्ञान और खगोल विज्ञान के अध्ययन में समीकरणों का उपयोग किया जाता है। जहां अंकगणित शक्तिहीन साबित होता है या, सर्वोत्तम रूप से, अत्यधिक बोझिल तर्क की आवश्यकता होती है, वहां बीजगणितीय विधि आसानी से और जल्दी से उत्तर की ओर ले जाती है। और यहां तक ​​​​कि तथाकथित "विशिष्ट" अंकगणितीय समस्याओं में, जिन्हें अंकगणित द्वारा हल करना अपेक्षाकृत आसान है, बीजगणितीय समाधान, एक नियम के रूप में, दोनों छोटे और अधिक प्राकृतिक हैं।

समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय विधि यह दिखाना आसान बनाती है कि कुछ समस्याएं जो केवल कथानक में एक-दूसरे से भिन्न होती हैं, न केवल डेटा और वांछित मूल्यों के बीच समान संबंध होते हैं, बल्कि विशिष्ट तर्क भी होते हैं जिसके माध्यम से ये संबंध स्थापित होते हैं। इस तरह की समस्याएं एक ही गणितीय तर्क, समान संबंधों की केवल अलग-अलग विशिष्ट व्याख्याएं देती हैं, अर्थात उनका एक ही गणितीय मॉडल है।

2. आंदोलन के कार्यों के समूह में ऐसे कार्य शामिल हैं जो तीन मात्राओं के बारे में बात करते हैं: पथ (एस), रफ़्तार ( वी) और समय ( टी) एक नियम के रूप में, वे एक समान आयताकार गति के बारे में बात कर रहे हैं, जब गति परिमाण और दिशा में स्थिर होती है। इस मामले में, तीनों मात्राएँ निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं: एस = वीटी. उदाहरण के लिए, यदि एक साइकिल चालक की गति 12 किमी/घंटा है, तो 1.5 घंटे में वह 12 किमी/घंटा 1.5 घंटे = 18 किमी की यात्रा करेगा। ऐसी समस्याएं हैं जिनमें समान रूप से त्वरित रेक्टिलिनियर गति पर विचार किया जाता है, अर्थात निरंतर त्वरण के साथ गति (ए)।तय की गई दूरी एस इस मामले में सूत्र द्वारा गणना की जाती है: एस = वी 0 टी + पर 2 /2, कहाँ पे वी 0 – प्रारंभिक गति। तो, 5 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति और 9.8 मीटर 2/सेकेंड के मुक्त गिरावट त्वरण के साथ गिरने के 10 सेकंड में, शरीर 5 मीटर/सेकेंड  10s + 9.8 मीटर 2/एस  10 के बराबर दूरी उड़ जाएगा 2 एस 2/2 = 50 मीटर + 490 मीटर = 540 मीटर।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, पाठ समस्याओं को हल करने के दौरान और, सबसे पहले, आंदोलन से संबंधित समस्याओं में, एक उदाहरण चित्र बनाना (समस्या का एक सहायक चित्रमय मॉडल बनाने के लिए) बहुत उपयोगी है। ड्राइंग इस तरह से किया जाना चाहिए कि यह सभी बैठकों, स्टॉप और टर्न के साथ आंदोलन की गतिशीलता को दिखाता है। एक अच्छी तरह से डिज़ाइन किया गया चित्र न केवल समस्या की सामग्री की गहरी समझ की अनुमति देता है, बल्कि समीकरणों और असमानताओं के संकलन की सुविधा भी देता है। ऐसे चित्र के उदाहरण नीचे दिए जाएंगे।

निम्नलिखित सम्मेलनों को आमतौर पर गति समस्याओं में अपनाया जाता है।

जब तक कार्य में विशेष रूप से कहा न जाए, अलग-अलग वर्गों में आंदोलन को एक समान माना जाता है (चाहे वह एक सीधी रेखा में या एक सर्कल में आंदोलन हो)।

गतिमान पिंडों के घुमाव तात्कालिक माने जाते हैं, अर्थात वे बिना समय व्यतीत किए होते हैं; गति भी तुरन्त बदल जाती है।

कार्यों के इस समूह को, बदले में, कार्यों में विभाजित किया जा सकता है जिसमें निकायों की गतिविधियों पर विचार किया जाता है: 1) एक दूसरे के प्रति; 2) एक दिशा में ("बाद"); 3) विपरीत दिशाओं में; 4) एक बंद प्रक्षेपवक्र के साथ; 5) नदी के किनारे।

यदि निकायों के बीच की दूरी है एस, और पिंडों के वेग समान हैं वी 1 और वी 2 (चित्र 16 ए), तब जब पिंड एक-दूसरे की ओर बढ़ते हैं, तो जिस समय के बाद वे मिलेंगे वह बराबर है एस/(वी 1 + वी 2).

2. यदि पिंडों के बीच की दूरी है एस, और पिंडों के वेग समान हैं वी 1 और वी 2 (चित्र 16 बी), तब जब पिंड एक दिशा में चलते हैं ( वी 1 > वी 2) वह समय जिसके बाद पहला शरीर दूसरे से आगे निकल जाता है एस/(वी 1 – वी 2).

3. यदि पिंडों के बीच की दूरी है एस, और पिंडों के वेग समान हैं वी 1 और वी 2 (चित्र 16 में), फिर, विपरीत दिशाओं में एक साथ सेट होने पर, शरीर समय पर होंगे टी दूरी पर हो एस 1 = एस + (वी 1 + वी 2 ) टी.

चावल। सोलह

4. यदि पिंड लंबाई के एक बंद प्रक्षेपवक्र के साथ एक दिशा में चलते हैं एस गति के साथ वी 1 और वी 2, जिस समय के बाद शरीर फिर से मिलेंगे (एक शरीर दूसरे से आगे निकल जाएगा), एक बिंदु से एक साथ छोड़कर, सूत्र द्वारा पाया जाता है टी = एस/(वी 1 – वी 2) बशर्ते कि वी 1 > वी 2 .

यह इस तथ्य से निम्नानुसार है कि एक दिशा में एक बंद प्रक्षेपवक्र के साथ एक साथ शुरू होने के साथ, उच्च गति वाला शरीर कम गति वाले शरीर के साथ पकड़ना शुरू कर देता है। की दूरी तय करने के बाद पहली बार यह उसके साथ पकड़ में आता है एस दूसरे शरीर से अधिक। यदि वह उसे दूसरी, तीसरी बार, इत्यादि से आगे निकल जाती है, तो इसका अर्थ है कि वह 2 . की दूरी तय करती है एस, 3 . तक एस और इसी तरह दूसरे शरीर से अधिक।

यदि पिंड लंबाई के बंद पथ के साथ अलग-अलग दिशाओं में चलते हैं एस गति के साथ वी 1 और वी 2, जिस समय के बाद वे मिलेंगे, एक बिंदु से एक साथ प्रस्थान करते हुए, सूत्र द्वारा पाया जाता है टी = वी(वी 1 + वी 2))। इस मामले में, गति शुरू होने के तुरंत बाद, एक स्थिति उत्पन्न होती है जब शरीर एक दूसरे की ओर बढ़ने लगते हैं।

5. यदि पिंड नदी के साथ-साथ चलता है, तो उसकी गति तट के सापेक्ष होती है औरशांत जल में शरीर की गति का योग है वीऔर नदी की गति वू: और =वी + वू. यदि कोई पिंड नदी की धारा के विपरीत गति करता है, तो उसकी गति होती है और =वी – वू. उदाहरण के लिए, यदि नाव की गति वी\u003d 12 किमी / घंटा, और नदी की गति वू \u003d 3 किमी / घंटा, फिर 3 घंटे में नाव नदी के किनारे (12 किमी / घंटा + 3 किमी / घंटा) 3 घंटे = 45 किमी, और वर्तमान के खिलाफ - (12 किमी / घंटा - 3 किमी /) के साथ रवाना होगी। ज) 3 घंटे = 27 किमी। ऐसा माना जाता है कि शांत जल (बेड़ा, लॉग, आदि) में शून्य गति वाली वस्तुओं की गति नदी की गति के बराबर होती है।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण. हर 20 मिनट में एक बिंदु से एक दिशा में। कारें जा रही हैं। दूसरी कार 60 किमी/घंटा की गति से चलती है, और पहली की गति दूसरी की गति से 50% अधिक है। तीसरी कार की गति ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि उसने पहली कार को दूसरी कार से 5.5 घंटे बाद पार किया।

फेसला. माना x किमी/घंटा तीसरी कार की गति है। पहली कार की गति दूसरी की गति से 50% अधिक है, इसलिए यह के बराबर है

एक दिशा में चलते समय, मिलने का समय वस्तुओं के बीच की दूरी और उनकी गति के अंतर के अनुपात के रूप में पाया जाता है। 40 मिनट में पहली कार। (2/3 घंटे) 90 (2/3) = 60 किमी की यात्रा करता है। इसलिए, तीसरा उससे आगे निकल जाएगा (वे मिलेंगे) 60/( एक्स- 90) घंटे। 20 मिनट में दूसरा। (1/3 घंटे) 60 (1/3) = 20 किमी की यात्रा करता है। इसका मतलब है कि तीसरा उसके साथ (वे मिलेंगे) 20/( एक्स- 60) घंटे (चित्र। 17)।

पी
समस्या की स्थिति के बारे में

चावल। 17

सरल परिवर्तनों के बाद, हम एक द्विघात समीकरण 11x 2 - 1730x + 63000 = 0 प्राप्त करते हैं, जिसे हल करते हुए हम पाते हैं

चेक से पता चलता है कि दूसरी जड़ समस्या की स्थिति को संतुष्ट नहीं करती है, क्योंकि इस मामले में तीसरी कार अन्य कारों के साथ नहीं पकड़ पाएगी। उत्तर तीसरी कार की गति 100 किमी/घंटा है।

उदाहरणमोटर जहाज नदी के किनारे 96 किमी गुजरा, वापस लौटा और कुछ देर लदान के नीचे खड़ा रहा, सभी के लिए 32 घंटे खर्च किया।नदी की गति 2 किमी / घंटा है। स्थिर जल में जहाज की गति ज्ञात कीजिए यदि लदान समय पूरे चक्कर में व्यतीत समय का 37.5% है।

फेसला. माना शांत जल में जहाज की गति x किमी/घंटा है। फिर ( एक्स+ 2) किमी/घंटा - इसकी गति अनुप्रवाह में; (एक्स - 2) किमी/घंटा - धारा के विपरीत; 96/( एक्स+ 2) घंटे - प्रवाह के साथ आंदोलन का समय; 96/( एक्स- 2) घंटे - करंट के खिलाफ आंदोलन का समय। चूंकि जहाज के कुल समय का 37.5% लदान के अधीन था, इसलिए संचलन का शुद्ध समय 62.5% 32/100% = 20 (घंटे) है। इसलिए, समस्या की स्थिति के अनुसार, हमारे पास समीकरण है:

इसे रूपांतरित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 24( एक्स – 2 + एक्स + 2) = 5(एक्स + 2)(एक्स – 2) => 5एक्स 2 – 4एक्स– 20 = 0. द्विघात समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं: एक्स 1 = 10; एक्स 2 = -0.4। दूसरी जड़ समस्या की स्थिति को संतुष्ट नहीं करती है।

उत्तर: शांत जल में जहाज की गति 10 किमी/घंटा है।

उदाहरण. कार शहर से बाहर निकल गई लेकिनशहर सी के माध्यम से शहर के लिए परबिना रुके। दूरी एबी, 120 किमी के बराबर, वह दूरी से 1 घंटे तेज गति से यात्रा करता है रवि, 90 किमी के बराबर। शहर से कार की औसत गति निर्धारित करें लेकिनशहर सी के लिए, यदि यह ज्ञात है कि खंड पर गति अबसाइट पर 30 किमी/घंटा अधिक गति सूरज।

फेसला. रहने दो एक्सकिमी / घंटा - साइट पर कार की गति सूरज।

फिर ( एक्स+ 30) किमी/घंटा - खंड पर गति एबी, 120/(एक्स+ 30) एच, 90/ एक्स h वह समय है जब कार यात्रा करती है अबऔर सूरजक्रमश।

इसलिए, समस्या की स्थिति के अनुसार, हमारे पास समीकरण है:

.

आइए इसे रूपांतरित करें:

120एक्स+ 1(एक्स + 30)एक्स = 90(एक्स + 30) => एक्स 2 + 60एक्स – 2700 = 0.

द्विघात समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं: एक्स 1 = 30, एक्स 2 = -90। दूसरी जड़ समस्या की स्थिति को संतुष्ट नहीं करती है। तो खंड में गति सूरजखंड पर 30 किमी/घंटा के बराबर एबी - 60 किमी/घंटा यह इस प्रकार है कि दूरी अबकार ने 2 घंटे में यात्रा की (120 किमी: 60 किमी/घंटा = 2 घंटे), और दूरी सूरज - 3 घंटे में (90 किमी: 30 किमी/घंटा = 3 घंटे), तो पूरी दूरी एसीउसने 5 घंटे (3 घंटे + 2 घंटे = 5 घंटे) में यात्रा की। फिर साइट पर गति की औसत गति एयू,जिसकी लंबाई 210 किमी है, 210 किमी के बराबर है: 5 घंटे \u003d 42 किमी / घंटा।

उत्तर: 42 किमी / घंटा - साइट पर कार की औसत गति जैसा।

कार्य के लिए कार्यों के समूह में ऐसे कार्य शामिल हैं जो तीन मात्राओं के बारे में बात करते हैं: कार्य लेकिन, समय टी, जिसके दौरान काम किया जाता है, उत्पादकता आर -प्रति इकाई समय में किया गया कार्य। ये तीन मात्राएँ समीकरण द्वारा संबंधित हैं लेकिन = आरटी. कार्य के कार्यों में पाइप, पंप और अन्य उपकरणों का उपयोग करके टैंक (जहाज, टैंक, पूल, आदि) को भरने और खाली करने से संबंधित कार्य भी शामिल हैं। इस मामले में, पंप किए गए पानी की मात्रा को किए गए कार्य के रूप में माना जाता है।

काम के लिए कार्य, आम तौर पर बोलना, आंदोलन के लिए कार्यों के समूह के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, क्योंकि इस प्रकार के कार्यों में यह माना जा सकता है कि सभी कार्य या जलाशय की कुल मात्रा दूरी की भूमिका निभाती है, और वस्तुओं की उत्पादकता जो कि कार्य करना गति की गति के समान है। हालाँकि, कथानक के अनुसार, ये कार्य स्वाभाविक रूप से भिन्न होते हैं, और कार्य के लिए कुछ कार्यों को हल करने के अपने विशिष्ट तरीके होते हैं। इसलिए, उन कार्यों में जिनमें किए गए कार्य की मात्रा निर्दिष्ट नहीं है, सभी कार्यों को एक इकाई के रूप में लिया जाता है।

उदाहरण।दो टीमों को 12 दिनों में ऑर्डर पूरा करना था। 8 दिनों के संयुक्त कार्य के बाद, पहली टीम को एक और कार्य मिला, इसलिए दूसरी टीम ने और 7 दिनों के लिए आदेश समाप्त कर दिया। प्रत्येक दल अलग-अलग कार्य करते हुए कितने दिनों में आदेश को पूरा कर सकता है?

फेसला. प्रथम ब्रिगेड को कार्य पूरा करने दें एक्सदिन, दूसरी ब्रिगेड - के लिए आपदिन। आइए सभी कार्यों को एक इकाई के रूप में लें। फिर 1/ एक्स -पहली ब्रिगेड की उत्पादकता, 1/ आप – दूसरा। चूंकि दो टीमों को 12 दिनों में ऑर्डर पूरा करना होगा, हमें पहला समीकरण 12 (1/ एक्स + 1/पर) = 1.

दूसरी स्थिति से यह इस प्रकार है कि दूसरी टीम ने 15 दिन काम किया, और पहली - केवल 8 दिन। तो दूसरा समीकरण है:

8/एक्स+ 15/पर= 1.

इस प्रकार, हमारे पास एक प्रणाली है:

पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाकर, हम प्राप्त करते हैं:

21/आप = 1 => वाई = 21.

फिर 12/ एक्स + 12/21 = 1 => 12/एक्स – = 3/7 => एक्स = 28.

उत्तर पहली ब्रिगेड 28 दिनों में, दूसरी 21 दिनों में ऑर्डर को पूरा करेगी।

उदाहरण. मज़दूर लेकिनऔर काम कर रहा है पर 12 दिनों में काम पूरा कर सकते हैं लेकिनऔर काम कर रहा है साथ में- 9 दिनों में, काम करना परऔर काम सी - 12 दिनों में। उन्हें एक साथ कार्य करते हुए कार्य को पूरा करने में कितने दिन लगेंगे?

फेसला. चलो कार्यकर्ता लेकिनके लिए काम कर सकते हैं एक्सदिन, काम करना पर- पीछे परदिन, काम करना साथ में- पीछे जेड दिन। आइए सभी कार्यों को एक इकाई के रूप में लें। फिर 1/ एक्स, 1/आप और 1/ जेड – कार्यकर्ता उत्पादकता ए, बीऔर साथ में क्रमश। समस्या की स्थिति का उपयोग करते हुए, हम तालिका में प्रस्तुत समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली पर पहुंचते हैं।

तालिका नंबर एक

समीकरणों को बदलने के बाद, हमारे पास तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली है:

सिस्टम टर्म के समीकरणों को टर्म से जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

या

योग श्रमिकों की संयुक्त उत्पादकता है, इसलिए उनके द्वारा सभी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय बराबर होगा

उत्तर : 7.2 दिन।

उदाहरण. पूल में दो पाइप रखे जाते हैं - आपूर्ति और निर्वहन, और पहले पाइप के माध्यम से पूल को दूसरे पाइप के माध्यम से पूल से पानी डालने की तुलना में 2 घंटे अधिक समय तक भरा जाता है। जब पूल एक तिहाई भरा हुआ था, तो दोनों पाइप खोल दिए गए थे, और पूल 8 घंटे के बाद खाली हो गया था। पूल कितने घंटे पहले एक पाइप से भर सकता है और कितने घंटे एक पूरा पूल एक दूसरे पाइप से निकल सकता है ?

फेसला. रहने दो वी मी 3 - पूल का आयतन, एक्सएम 3 / एच - आपूर्ति पाइप का प्रदर्शन, परएम 3 / एच - आउटलेट। फिर वी/ एक्स घंटे - पूल को भरने के लिए आपूर्ति पाइप के लिए आवश्यक समय, वी/ आप घंटे - आउटलेट पाइप द्वारा पूल को निकालने के लिए आवश्यक समय। कार्य के अनुसार वी/ एक्स – वी/ आप = 2.

चूंकि आउटलेट पाइप की उत्पादकता फिलिंग पाइप की उत्पादकता से अधिक है, जब दोनों पाइप चालू होते हैं, तो पूल सूखा जाएगा और पूल का एक तिहाई समय पर सूख जाएगा। (वी/3)/(आप – एक्स), जो, समस्या की स्थिति के अनुसार, 8 घंटे के बराबर है। तो, समस्या की स्थिति को तीन अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है:

कार्य खोजना है वी/ एक्स और वी/ आप. आइए हम समीकरणों में अज्ञात के संयोजन को अलग करें वी/ एक्स और वी/ आप, सिस्टम को इस प्रकार लिखना:

नए अज्ञात का परिचय वी/ एक्स= एऔर वी/ आप = बी, हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलती है:

दूसरे समीकरण में व्यंजक रखने पर ए= बी + 2, हमारे पास के लिए एक समीकरण है बी:

निर्णय जो हम पाते हैं बी 1 = 6, बी 2 = -आठ। समस्या की स्थिति पहले मूल 6, = 6 (p.) से संतुष्ट होती है। अंतिम प्रणाली के पहले समीकरण से हम पाते हैं ए= 8 (एच), यानी पहला पाइप पूल को 8 घंटे में भरता है।

उत्तर: पहले पाइप से पूल 8 घंटे में भर जाएगा, दूसरे पाइप से पूल 6 घंटे में खाली हो जाएगा।

उदाहरण. एक ट्रैक्टर टीम को 240 हेक्टेयर और दूसरे को पहले की तुलना में 35% अधिक जुताई करनी होती है। पहली ब्रिगेड ने प्रतिदिन दूसरी ब्रिगेड से 3 हेक्टेयर कम जुताई करके दूसरी ब्रिगेड से 2 दिन पहले काम पूरा किया. प्रत्येक ब्रिगेड प्रतिदिन कितने हेक्टेयर की जुताई करती थी?

फेसला. आइए 240 हेक्टेयर का 35% ज्ञात करें: 240 हेक्टेयर 35% / 100% = 84 हेक्टेयर।

नतीजतन, दूसरी टीम को 240 हेक्टेयर + 84 हेक्टेयर = 324 हेक्टेयर जोतना पड़ा। पहले ब्रिगेड को रोज हल चलाने दें एक्सहा. फिर दूसरी ब्रिगेड रोज जोता ( एक्स+ 3) हे; 240/ एक्स- पहली ब्रिगेड के काम के घंटे; 324/( एक्स+ 3) - दूसरी ब्रिगेड का समय। समस्या की स्थिति के अनुसार, पहली टीम ने दूसरी की तुलना में 2 दिन पहले काम पूरा किया, इसलिए हमारे पास समीकरण है

जिसे परिवर्तन के बाद निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

324एक्स – 240एक्स - 720 = 2x 2 + 6x=> 2x 2 - 78x + 720 = 0 => x 2 - 39x + 360 = 0।

द्विघात समीकरण को हल करने के बाद, हम x 1 \u003d 24, x 2 \u003d 15 पाते हैं। यह पहली ब्रिगेड का आदर्श है।

नतीजतन, दूसरी ब्रिगेड ने प्रति दिन क्रमशः 27 हेक्टेयर और 18 हेक्टेयर की जुताई की। दोनों समाधान समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।

उत्तर: 24 हेक्टेयर प्रति दिन पहले ब्रिगेड द्वारा, 27 हेक्टेयर दूसरे द्वारा जोता गया था; पहली ब्रिगेड ने 15 हेक्टेयर प्रति दिन जुताई की, दूसरी ने 18 हेक्टेयर की जुताई की।

उदाहरण. मई में, दो कार्यशालाओं ने 1080 भागों का उत्पादन किया। जून में, पहली दुकान ने भागों के उत्पादन में 15% की वृद्धि की, और दूसरी ने भागों के उत्पादन में 12% की वृद्धि की, इसलिए दोनों दुकानों ने 1224 भागों का उत्पादन किया। जून में प्रत्येक दुकान ने कितने भागों का उत्पादन किया?

फेसला. रहने दो एक्सपहली कार्यशाला द्वारा मई में पुर्जे बनाए गए थे, परविवरण - दूसरा। चूंकि मई में 1080 भागों का निर्माण किया गया था, समस्या की स्थिति के अनुसार, हमारे पास समीकरण है एक्स + आप = 1080.

15% छूट पाएं एक्स:

तो, 0.15 . पर एक्सभागों ने पहली कार्यशाला के उत्पादन में वृद्धि की, इसलिए जून में इसका उत्पादन हुआ एक्स + 0,15 एक्स = 1,15 एक्सविवरण। इसी तरह, हम पाते हैं कि जून में दूसरी दुकान ने 1.12 . का उत्पादन किया आपविवरण। तो दूसरा समीकरण इस तरह दिखेगा: 1.15 एक्स + 1,12 पर= 1224. इस प्रकार, हमारे पास प्रणाली है:

जिससे हम पाते हैं एक्स = 480, वाई = 600. नतीजतन, जून में कार्यशालाओं ने क्रमशः 552 भागों और 672 भागों का उत्पादन किया।

उत्तर: पहली कार्यशाला ने 552 भागों का उत्पादन किया, दूसरा - 672 भागों का।

4. मिश्रण और प्रतिशत पर कार्यों के समूह में ऐसे कार्य शामिल हैं जिनमें हम विभिन्न पदार्थों को निश्चित अनुपात में मिलाने की बात कर रहे हैं, साथ ही प्रतिशत पर कार्य भी शामिल हैं।

एकाग्रता और प्रतिशत के लिए कार्य

आइए कुछ अवधारणाओं को स्पष्ट करें। चलो का मिश्रण हो पीविभिन्न पदार्थ (घटक) लेकिन 1 लेकिन 2 , ..., लेकिन एन क्रमशः, जिसका आयतन बराबर है वी 1 , वी 2 , ..., वी एन . मिक्स वॉल्यूम वी 0 शुद्ध घटकों की मात्रा के होते हैं: वी 0 = वी 1 + वी 2 + ... + वी एन .

मात्रा एकाग्रतापदार्थों लेकिन मैं (मैं = 1, 2, ..., पी)मिश्रण में मात्रा c . कहा जाता है मैं, सूत्र द्वारा परिकलित:

पदार्थ A . का आयतन प्रतिशत मैं (मैं = 1, 2, ..., पी)मिश्रण में मात्रा कहा जाता है पी मैं , सूत्र द्वारा परिकलित आर मैं = साथ मैं ,  100%। सांद्रता साथ 1, साथ 2 , ..., साथ एन, जो आयामहीन मात्राएं हैं, समानता से संबंधित हैं साथ 1 + साथ 2 + ... + साथ एन = 1, और संबंध

दिखाएँ कि मिश्रण के कुल आयतन का कौन सा भाग अलग-अलग घटकों का आयतन है।

यदि प्रतिशत ज्ञात है मैं-वें घटक, तब इसकी सांद्रता सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:

अर्थात अनुकरणीय – एकाग्रता है मैंमिश्रण में वां पदार्थ, प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया गया। उदाहरण के लिए, यदि किसी पदार्थ का प्रतिशत 70% है, तो उसकी संगत सांद्रता 0.7 है। इसके विपरीत, यदि सांद्रता 0.33 है, तो प्रतिशत 33% है। तो योग आर 1 + पी 2 + …+ पी एन = 100%। यदि सांद्रता ज्ञात हो साथ 1 , साथ 2 , ..., साथ एन मात्रा के इस मिश्रण को बनाने वाले घटक वी 0 , तब घटकों के संगत आयतन सूत्रों द्वारा ज्ञात किए जाते हैं:

अवधारणाएं वजन (द्रव्यमान) conकेंद्रीकरणमिश्रण के घटक और संबंधित प्रतिशत। उन्हें शुद्ध पदार्थ के वजन (द्रव्यमान) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है लेकिन मैं , मिश्र धातु में पूरे मिश्र धातु के वजन (द्रव्यमान) तक। किसी विशेष समस्या में क्या एकाग्रता, आयतन या वजन शामिल है, यह हमेशा उसकी स्थितियों से स्पष्ट होता है।

ऐसे कार्य हैं जिनमें वॉल्यूम एकाग्रता को वजन एकाग्रता या इसके विपरीत पुनर्गणना करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, समाधान या मिश्र धातु बनाने वाले घटकों के घनत्व (विशिष्ट गुरुत्व) को जानना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, घटकों की मात्रा सांद्रता के साथ दो-घटक मिश्रण पर विचार करें साथ 1 और साथ 2 (साथ 1 + साथ 2 = 1) और घटकों के विशिष्ट गुरुत्व डी 1 और डी 2 . मिश्रण का द्रव्यमान सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

जिसमें वी 1 और वी 2 – मिश्रण बनाने वाले घटकों की मात्रा। घटकों की भार सांद्रता समानता से पाई जाती है:

जो इन मात्राओं का आयतन सांद्रता के साथ संबंध निर्धारित करते हैं।

एक नियम के रूप में, ऐसी समस्याओं के ग्रंथों में एक ही दोहराई जाने वाली स्थिति होती है: घटकों वाले दो या दो से अधिक मिश्रण से ए 1 , ए 2 , लेकिन 3 , ..., लेकिन एन , एक निश्चित अनुपात में लिए गए मूल मिश्रण को मिलाकर एक नया मिश्रण तैयार किया जाता है। इस मामले में, यह पता लगाना आवश्यक है कि घटक किस अनुपात में हैं लेकिन 1, लेकिन 2 , लेकिन 3 , ..., लेकिन एन परिणामी मिश्रण दर्ज करें। इस समस्या को हल करने के लिए, प्रत्येक मिश्रण की मात्रा या वजन की मात्रा के साथ-साथ इसके घटक घटकों की सांद्रता को ध्यान में रखना सुविधाजनक है। लेकिन 1, लेकिन 2 , लेकिन 3 , ..., लेकिन एन . सांद्रता की मदद से, प्रत्येक मिश्रण को अलग-अलग घटकों में "विभाजित" करना आवश्यक है, और फिर, समस्या की स्थिति में निर्दिष्ट तरीके से, एक नया मिश्रण लिखें। इस मामले में, यह गणना करना आसान है कि परिणामी मिश्रण में प्रत्येक घटक कितना शामिल है, साथ ही इस मिश्रण की कुल मात्रा। उसके बाद, घटकों की सांद्रता निर्धारित की जाती है लेकिन 1, लेकिन 2 , लेकिन 3 , ..., लेकिन एन नए मिश्रण में।

उदाहरणतांबे-जस्ता मिश्र धातु के दो टुकड़े क्रमशः 80% और 30% के तांबे के साथ हैं। इन मिश्र धातुओं को किस अनुपात में लिया जाना चाहिए, एक साथ लिए गए टुकड़ों को पिघलाकर, 60% तांबा युक्त मिश्र धातु प्राप्त करने के लिए?

फेसला. माना पहली मिश्रधातु ली जाए एक्सकिलो, और दूसरा - परकिलोग्राम। शर्त के अनुसार, पहले मिश्र धातु में तांबे की सांद्रता 80/100 = 0.8 है, दूसरे में - 30/100 = 0.3 (यह स्पष्ट है कि हम वजन सांद्रता के बारे में बात कर रहे हैं), जिसका अर्थ है कि पहले मिश्र धातु में 0.8 एक्सतांबे का किलो और (1 - 0.8) एक्स = 0,2एक्सकिलो जस्ता, दूसरे में - 0.3 परतांबे का किलो और (1 - 0.3) आप = 0,7परजस्ता का किलो। परिणामी मिश्रधातु में तांबे की मात्रा है (0.8 .) एक्स + 0,3  वाई)किलो, और इस मिश्र धातु का द्रव्यमान होगा (एक्स + वाई)किलोग्राम। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, मिश्र धातु में तांबे की नई सांद्रता बराबर है

समस्या की स्थिति के अनुसार यह एकाग्रता 0.6 के बराबर होनी चाहिए। इसलिए, हमें समीकरण मिलता है:

इस समीकरण में दो अज्ञात हैं एक्सऔर वाईहालाँकि, समस्या की स्थिति के अनुसार, मात्राओं को स्वयं निर्धारित करने की आवश्यकता नहीं है एक्सऔर वाई,लेकिन केवल उनका रवैया। सरल परिवर्तनों के बाद, हम प्राप्त करते हैं

उत्तर मिश्र धातुओं को 3:2 के अनुपात में लेना चाहिए।

उदाहरणपानी में सल्फ्यूरिक एसिड के दो घोल हैं: पहला 40% है, दूसरा 60% है। इन दोनों घोलों को मिलाया गया, जिसके बाद इसमें 5 किलो शुद्ध पानी मिलाया गया और 20% घोल प्राप्त हुआ। यदि 5 किलो शुद्ध पानी के बजाय, 80% घोल में 5 किलो घोल मिलाया जाए, तो 70% घोल प्राप्त होगा। 40% और 60% समाधान कितने थे?

फेसला. रहने दो एक्सकिलो पहले समाधान का द्रव्यमान है, परकिलो - दूसरा। फिर 20% घोल का द्रव्यमान ( एक्स + पर+ 5) किग्रा। चूंकि एक्सकिलो 40% घोल में 0.4 . होता है एक्सकिलो एसिड परकिलो 60% घोल में 0.6 . होता है आपकिलो एसिड, और (एक्स + वाई + 5) किलो 20% घोल में 0.2 ( एक्स + वाई + 5) किलो एसिड, तो शर्त के अनुसार हमारे पास पहला समीकरण 0.4 . है एक्स + 0,6आप = 0,2(एक्स +y + 5).

यदि, 5 किलो पानी के बजाय, 80% घोल में 5 किलो घोल डालें, तो आपको द्रव्यमान का घोल मिलता है (एक्स + वाई+ 5) किग्रा, जिसमें (0.4 .) होगा एक्स + 0,6पर+ 0.8 5) किलो एसिड, जो 70% . होगा (एक्स + वाई+ 5) किग्रा।

बीजगणितीय तरीके से समस्याओं को हल करना (समीकरणों का उपयोग करके)पाठ्यपुस्तक के अनुसार I.I. जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच

गणित के शिक्षक, समझौता ज्ञापन "एलएसओएसएच नंबर 2"

लिखोस्लाव, तेवर क्षेत्र

लक्ष्य:- बीजीय तरीके से समस्याओं को हल करने के लिए नियम दिखाएं; - अंकगणित और बीजगणितीय तरीकों से समस्याओं को हल करने की क्षमता बनाना।

तरीके

समस्या को सुलझाना

अंकगणित (कार्रवाई द्वारा समस्या हल करना)

बीजगणितीय (समीकरण का उपयोग करके किसी समस्या को हल करना)

समस्या #509

कार्य पढ़ें।

विभिन्न समाधान खोजने का प्रयास करें।

दो बक्सों में 16 किलो कुकीज़ हैं। प्रत्येक डिब्बे में बिस्किटों का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि उनमें से एक में दूसरे से 4 किग्रा अधिक बिस्किट हैं।

1 समाधान

(देखना)

हल करने का 3 तरीका

(देखना)

हल करने का 2 तरीका

हल करने का 4 तरीका

1 रास्ता (अंकगणित)

• 16 - 4 \u003d 12 (किलोग्राम) - पहले डिब्बे से 4 किलो कुकीज़ लिए जाने पर कुकीज़ दो बक्सों में रहेंगी।

• 12:2 = 6 (किलो) - कुकीज दूसरे बॉक्स में थीं।

• 6 + 4 = 10 (किलो) - कुकीज़ पहले बॉक्स में थीं।

जवाब

इस्तेमाल किया समाधान समायोजन विधि .

प्रश्न: इसे ऐसा नाम क्यों मिला?

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2 रास्ता (अंकगणित)

• 16 + 4 \u003d 20 (किलोग्राम) - दूसरे बॉक्स में 4 किलो कुकीज़ जोड़ने पर कुकीज़ दो बॉक्स में होंगी।

• 20: 2 = 10 (किलो) - कुकीज पहले बॉक्स में थीं।

• 10 - 4 = 6 (किलो) - कुकीज़ दूसरे बॉक्स में थीं।

जवाब: पहले बॉक्स में कुकीज़ का द्रव्यमान 10 किग्रा और दूसरे में 6 किग्रा है।

इस्तेमाल किया समाधान समायोजन विधि .

वापस)

3 तरह (बीजगणितीय)

कुकीज़ के द्रव्यमान को निरूपित करें क्षण मेंबॉक्स लेटर एक्सकिलोग्राम। तब पहले डिब्बे में कुकीज़ का द्रव्यमान होगा ( एक्स+4) किग्रा, और दो बक्सों में कुकीज़ का द्रव्यमान है (( एक्स +4)+ एक्स) किलोग्राम।

(एक्स +4)+ एक्स =16

एक्स +4+ एक्स =16

2 एक्स +4=16

2 एक्स =16-4

2 एक्स =12

एक्स =12:2

दूसरे डिब्बे में 6 किलो कुकीज थी।

6+4=10 (किलो) - कुकीज पहले बॉक्स में थीं।

इस्तेमाल किया समाधान बीजगणितीय तरीका।

व्यायाम: अंकगणितीय विधि और बीजीय विधि में अंतर स्पष्ट करें?

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4 रास्ता (बीजगणितीय)

कुकीज़ के द्रव्यमान को निरूपित करें पहली बार मेंबॉक्स लेटर एक्सकिलोग्राम। तब दूसरे डिब्बे में कुकीज़ का द्रव्यमान बराबर होगा ( एक्स-4) किग्रा, और दो बक्सों में कुकीज़ का द्रव्यमान है ( एक्स +(एक्स-4)) किग्रा.

समस्या की स्थिति के अनुसार दो बक्सों में 16 किलो कुकीज थी। हमें समीकरण मिलता है:

एक्स +(एक्स -4)=16

एक्स + एक्स -4=16

2 एक्स -4=16

2 एक्स =16+4

2 एक्स =20

एक्स =20:2

पहले डिब्बे में 10 किलो कुकीज थी।

10-4=6 (किलो) - कुकीज दूसरे बॉक्स में थी।

इस्तेमाल किया समाधान बीजगणितीय तरीका।

वापस)

• समस्या को हल करने के लिए किन दो विधियों का उपयोग किया गया?
• समकारी विधि क्या है?
• पहली संरेखण विधि दूसरे से कैसे भिन्न होती है?
• एक जेब में दूसरे की तुलना में 10 रूबल अधिक है। आप दोनों जेबों में पैसे की बराबरी कैसे कर सकते हैं?
• किसी समस्या को हल करने का बीजगणितीय तरीका क्या है?
• समस्या को हल करने की तीसरी विधि और चौथी विधि में क्या अंतर है?
• एक जेब में दूसरे की तुलना में 10 रूबल अधिक है। यह ज्ञात है कि एक छोटी राशि को एक चर के रूप में नामित किया गया था एक्स. इसे के माध्यम से कैसे व्यक्त किया जाएगा? एक्स
• अगर के लिए एक्सअपनी जेब में अधिक धन को इंगित करें, जबकि इसे के माध्यम से व्यक्त किया जाएगा एक्सदूसरी जेब में कितना पैसा?
• स्टोर में, सुपरमार्केट की तुलना में शैम्पू की कीमत 25 रूबल अधिक है। एक चर को एक अक्षर से लेबल करें परऔर इस चर के संदर्भ में एक और लागत व्यक्त करें।

समस्या #510

समस्या को अंकगणित और बीजगणितीय तरीकों से हल करें।

तीन भूखंडों से 156 सेंटीमीटर आलू काटा गया। आलू पहले और दूसरे भूखंड से समान रूप से काटा गया था, और पहले दो में से प्रत्येक की तुलना में तीसरे भूखंड से 12 क्विंटल अधिक था। प्रत्येक भूखंड से कितने आलू काटे गए।

बीजीय तरीका

(देखना)

अंकगणितीय तरीका

(देखना)

उत्पादन)

अंकगणितीय तरीका

• 156 - 12 \u003d 144 (सी) - यदि सभी भूखंडों की उपज समान होती तो आलू तीन भूखंडों से काटा जाता।

• 144: 3 = 48 (सी) - पहले से आलू काटा गया और दूसरे भूखंड से काटा गया।
• 48 + 12 = 60 (सी) - तीसरे भूखंड से आलू एकत्र किए गए थे।

जवाब

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बीजीय तरीका

उन्हें पहली साइट से इकट्ठा करने दें एक्सग आलू। फिर दूसरी साइट से उन्होंने भी एकत्र किया एक्सक्यू आलू, और तीसरी साइट से काटा ( एक्स+12) ग आलू।

शर्त के मुताबिक तीनों प्लॉटों से 156 सेन्टर आलू इकठ्ठा किया गया।

हमें समीकरण मिलता है:

एक्स + एक्स + (एक्स +12) =156

एक्स + एक्स + एक्स + 12 = 156

3 एक्स +12 = 156

3 एक्स = 156 – 12

3 एक्स = 144

एक्स = 144: 3

पहले और दूसरे प्लॉट से 48 सेंटीमीटर आलू एकत्र किया गया।

48 +12 \u003d 60 (सी) - तीसरी साइट से आलू एकत्र किए गए थे।

जवाब: पहले और दूसरे खंड से 48 क्विंटल आलू और तीसरे खंड से 60 क्विंटल आलू एकत्र किया गया.

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