गणितीय प्रेरण गणितीय प्रमाणों के सबसे सामान्य तरीकों में से एक है। इसकी सहायता से, आप अधिकांश सूत्रों को प्राकृतिक संख्याओं n के साथ सिद्ध कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति के पहले पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र S n \u003d 2 a 1 + n - 1 d 2 n, न्यूटन का द्विपद सूत्र ए + बी एन \u003d सी एन 0 ए एन सी एन 1 ए एन - 1 बी +। . . + सी एन एन -1 ए बी एन -1 + सी एन एन बी एन।

पहले पैराग्राफ में, हम मूल अवधारणाओं का विश्लेषण करेंगे, फिर हम विधि की मूल बातों पर विचार करेंगे, और फिर हम आपको बताएंगे कि इसका उपयोग समानता और असमानताओं को साबित करने के लिए कैसे किया जाए।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

प्रेरण और कटौती की अवधारणा

सबसे पहले, आइए देखें कि सामान्य रूप से प्रेरण और कटौती क्या हैं।

परिभाषा 1

प्रवेशविशेष से सामान्य में संक्रमण है, और कटौतीइसके विपरीत, सामान्य से विशेष तक।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक कथन है: 254 को पूरी तरह से दो में विभाजित किया जा सकता है। इससे हम कई निष्कर्ष निकाल सकते हैं, जिनमें सत्य और असत्य दोनों होंगे। उदाहरण के लिए, यह कथन कि सभी पूर्णांकों, जिनके अंत में संख्या 4 है, को शेषफल के बिना दो से विभाजित किया जा सकता है, सत्य है, लेकिन यह कि तीन अंकों की कोई भी संख्या 2 से विभाज्य है, गलत है।

सामान्य तौर पर, यह कहा जा सकता है कि आगमनात्मक तर्क की मदद से एक ज्ञात या स्पष्ट तर्क से कई निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। गणितीय प्रेरण हमें यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि ये निष्कर्ष कितने वैध हैं।

मान लीजिए हमारे पास 1 1 2 , 1 2 3 , 1 3 4 , 1 4 5 , जैसी संख्याओं का एक क्रम है। . . , 1 n (n + 1), जहाँ n कुछ प्राकृत संख्या को दर्शाता है। इस मामले में, अनुक्रम के पहले तत्वों को जोड़ने पर, हमें निम्नलिखित मिलते हैं:

एस 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 2, एस 2 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 \u003d 2 3, एस 3 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 \u003d 3 4, एस 4 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + 1 4 5 = 4 5, . . .

प्रेरण का प्रयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि S n = n n + 1 । तीसरे भाग में हम इस सूत्र को सिद्ध करेंगे।

गणितीय प्रेरण की विधि क्या है

यह विधि उसी नाम के सिद्धांत पर आधारित है। इसे इस प्रकार तैयार किया गया है:

परिभाषा 2

प्राकृतिक मान n के लिए एक निश्चित कथन सत्य होगा जब 1) यह n = 1 और 2 के लिए सत्य होगा) इस तथ्य से कि यह अभिव्यक्ति एक मनमाना प्राकृतिक मान n = k के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह भी सत्य होगा एन = के + 1 के लिए।

गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग 3 चरणों में किया जाता है:

1. सबसे पहले, हम n के एक मनमाना प्राकृतिक मूल्य के मामले में मूल कथन की शुद्धता की जांच करते हैं (आमतौर पर परीक्षण एकता के लिए किया जाता है)।
2. उसके बाद, हम n = k पर निष्ठा की जांच करते हैं।
3. और फिर हम कथन की वैधता सिद्ध करते हैं यदि n = k + 1 है।

असमानताओं और समीकरणों को हल करते समय गणितीय प्रेरण की विधि कैसे लागू करें

आइए उस उदाहरण को लें जिसके बारे में हमने पहले बात की थी।

उदाहरण 1

सूत्र S n = 1 1 2 + 1 2 3 + सिद्ध कीजिए। . . + 1 एन (एन + 1) = एन एन + 1।

फेसला

जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, गणितीय प्रेरण की विधि को लागू करने के लिए, लगातार तीन चरणों का प्रदर्शन किया जाना चाहिए।

1. सबसे पहले, हम जाँचते हैं कि क्या यह समानता n बराबर एक के लिए मान्य होगी। हमें एस 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 1 + 1 \u003d 1 2 मिलता है। यहां सब कुछ सही है।
2. इसके अलावा, हम यह मान लेते हैं कि सूत्र S k = k k + 1 सही है।
3. तीसरे चरण में, हमें पिछली समानता की वैधता के आधार पर यह साबित करना होगा कि S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 ।

हम k + 1 को मूल अनुक्रम के पहले पदों और k + 1 के योग के रूप में निरूपित कर सकते हैं:

एस के + 1 = एस के + 1 के + 1 (के + 2)

चूँकि दूसरे चरण में हमें S k = k k + 1 मिला है, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:

एस के + 1 = एस के + 1 के + 1 (के + 2)।

अब हम आवश्यक परिवर्तन करते हैं। हमें भिन्न को एक सामान्य हर में कम करने, समान पदों को कम करने, संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करने और जो हुआ उसे कम करने की आवश्यकता होगी:

एस के + 1 = एस के + 1 के + 1 (के + 2) = के के + 1 + 1 के + 1 (के + 2) = = के (के + 2) + 1 के + 1 (के + 2) = के 2 + 2 के + 1 के + 1 (के + 2) = (के + 1) 2 के + 1 (के + 2) = के + 1 के + 2

इस प्रकार, हमने गणितीय प्रेरण की विधि के तीनों चरणों का प्रदर्शन करके तीसरे बिंदु में समानता साबित कर दी है।

जवाब:सूत्र S n = n n + 1 के बारे में धारणा सत्य है।

आइए त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ एक और अधिक जटिल समस्या लेते हैं।

उदाहरण 2

पहचान का प्रमाण दें क्योंकि 2 α · cos 4 α · । . . cos 2 n α \u003d पाप 2 n + 1 α 2 n पाप 2 α।

फेसला

जैसा कि हमें याद है, पहला कदम समानता की शुद्धता की जांच करना होना चाहिए जब n एक के बराबर हो। इसका पता लगाने के लिए, हमें मूल त्रिकोणमितीय सूत्रों को याद रखना होगा।

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

इसलिए, n बराबर एक के लिए, सर्वसमिका सत्य होगी।

अब मान लीजिए कि इसकी वैधता n = k के लिए संरक्षित है, अर्थात्। यह सच होगा कि cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k α \u003d sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α।

हम समानता साबित करते हैं cos 2 α · cos 4 α · । . . cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α उस स्थिति के लिए जब n = k + 1, पिछली धारणा के आधार पर।

त्रिकोणमितीय सूत्र के अनुसार,

पाप 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (पाप (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + पाप (2 k + 1 α - 2 k + 1 α) = 1 2 पाप (2 2 k + 1 α) + पाप 0 = 1 2 पाप 2 k + 2 α

इसलिये,

cos 2 α cos 4 α । . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k α cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α cos 2 k + 1 α = 1 2 sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 पाप 2 α

इस पद्धति का उपयोग करके असमानता साबित करने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण लेख में कम से कम वर्ग विधि पर दिया गया है। उस अनुच्छेद को पढ़िए जिसमें सन्निकटन गुणांक ज्ञात करने के सूत्र निकाले गए हैं।

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परिचय

यह विषय प्रासंगिक है, क्योंकि हर दिन लोग विभिन्न समस्याओं को हल करते हैं जिसमें वे हल करने के विभिन्न तरीकों का उपयोग करते हैं, लेकिन ऐसे कार्य हैं जिनमें गणितीय प्रेरण की विधि को समाप्त नहीं किया जा सकता है, और ऐसे मामलों में इस क्षेत्र में ज्ञान बहुत उपयोगी होगा।

मैंने इस विषय को शोध के लिए चुना, क्योंकि स्कूली पाठ्यक्रम में गणितीय प्रेरण की विधि को बहुत कम समय दिया जाता है, छात्र सतही जानकारी सीखता है जो उसे इस पद्धति का केवल एक सामान्य विचार प्राप्त करने में मदद करेगा, लेकिन आत्म-विकास होगा इस सिद्धांत का गहराई से अध्ययन करने की आवश्यकता है। इस विषय के बारे में अधिक जानना वास्तव में उपयोगी होगा, क्योंकि यह व्यक्ति के क्षितिज का विस्तार करता है और जटिल समस्याओं को हल करने में मदद करता है।

उद्देश्य:

गणितीय प्रेरण की विधि से परिचित हों, इस विषय पर ज्ञान को व्यवस्थित करें और इसे गणितीय समस्याओं को हल करने और प्रमेयों को सिद्ध करने में लागू करें, सिद्ध करें और स्पष्ट रूप से गणितीय प्रेरण की विधि के व्यावहारिक महत्व को समस्याओं को हल करने के लिए एक आवश्यक कारक के रूप में दिखाएं।

सौंपे गए कार्य:

साहित्य का विश्लेषण करें और विषय पर ज्ञान को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

गणितीय प्रेरण के सिद्धांतों को समझें।

समस्या समाधान के लिए गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग का अन्वेषण करें।

किए गए कार्य पर निष्कर्ष और निष्कर्ष तैयार करें।

अनुसंधान का मुख्य निकाय

मूल इतिहास:

केवल उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में तार्किक कठोरता के लिए आवश्यकताओं के मानक विकसित हुए, जो आज तक व्यक्तिगत गणितीय सिद्धांतों के विकास पर गणितज्ञों के व्यावहारिक कार्य में प्रमुख है।

प्रेरण एक संज्ञानात्मक प्रक्रिया है जिसके माध्यम से उपलब्ध तथ्यों की तुलना से उनका सामान्यीकरण करने वाला एक बयान निकाला जाता है।

गणित में, प्रेरण की भूमिका काफी हद तक यह है कि यह चुने हुए स्वयंसिद्ध सिद्धांतों का आधार है। एक लंबे अभ्यास के बाद पता चला कि एक सीधा रास्ता हमेशा घुमावदार या टूटे हुए से छोटा होता है, एक स्वयंसिद्ध बनाना स्वाभाविक था: किन्हीं तीन बिंदुओं ए, बी और सी के लिए, असमानता संतुष्ट है।

एक अलग महत्वपूर्ण विधि के रूप में गणितीय प्रेरण की विधि के बारे में जागरूकता ब्लेज़ पास्कल और गेर्सोनाइड्स में वापस जाती है, हालांकि आवेदन के कुछ मामले प्राचीन काल में भी प्रोक्लस और यूक्लिड द्वारा पाए जाते हैं। विधि का आधुनिक नाम डी मॉर्गन द्वारा 1838 में पेश किया गया था।

गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है: हम निम्नतम से शुरू करते हैं, तार्किक सोच के परिणामस्वरूप हम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने हमेशा अपने विचार को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए प्रगति के लिए प्रयास किया है, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे स्वाभाविक रूप से सोचने के लिए नियत किया है।

प्रेरण और कटौती

यह ज्ञात है कि विशेष और सामान्य दोनों कथन हैं, और दिए गए दो पद एक से दूसरे में संक्रमण पर आधारित हैं।

कटौती (अक्षांश से। कटौती - व्युत्पत्ति) - से अनुभूति की प्रक्रिया में संक्रमण आमकरने के लिए ज्ञान निजीऔर एक. कटौती में, सामान्य ज्ञान तर्क के शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य करता है, और इस सामान्य ज्ञान को "तैयार" माना जाता है, मौजूदा। कटौती की ख़ासियत यह है कि इसके परिसर की सच्चाई निष्कर्ष की सच्चाई की गारंटी देती है। इसलिए, कटौती में अनुनय की एक बड़ी शक्ति है और इसका व्यापक रूप से न केवल गणित में प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जाता है, बल्कि जहां भी विश्वसनीय ज्ञान की आवश्यकता होती है।

इंडक्शन (लैटिन इंडक्टियो से - मार्गदर्शन) अनुभूति की प्रक्रिया में एक संक्रमण है निजीकरने के लिए ज्ञान आमदूसरे शब्दों में, यह अनुसंधान, ज्ञान की एक विधि है, जो अवलोकनों और प्रयोगों के परिणामों के सामान्यीकरण से जुड़ी है। प्रेरण की एक विशेषता इसकी संभाव्य प्रकृति है, अर्थात। प्रारंभिक परिसर की सच्चाई को देखते हुए, प्रेरण का निष्कर्ष केवल सच है, और अंतिम परिणाम में यह सच और गलत दोनों हो सकता है।

पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण

आगमनात्मक तर्क अमूर्त सोच का एक रूप है जिसमें विचार सामान्यता की कम डिग्री के ज्ञान से अधिक व्यापकता के ज्ञान तक विकसित होता है, और परिसर से आने वाला निष्कर्ष मुख्य रूप से संभाव्य है।

शोध के दौरान, मुझे पता चला कि प्रेरण दो प्रकारों में विभाजित है: पूर्ण और अपूर्ण।

एक पूर्ण प्रेरण एक अनुमान है जिसमें इस वर्ग की सभी वस्तुओं के अध्ययन के आधार पर वस्तुओं के एक वर्ग के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकाला जाता है।

उदाहरण के लिए, यह स्थापित करने की आवश्यकता है कि 6≤ n≤ 18 के भीतर प्रत्येक प्राकृतिक सम संख्या n को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम ऐसी सभी संख्याएँ लेते हैं और संगत विस्तार लिखते हैं:

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

ये समानताएं दर्शाती हैं कि हमारे लिए ब्याज की प्रत्येक संख्या वास्तव में दो सरल शब्दों के योग के रूप में दर्शायी जाती है।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें: अनुक्रम yn= n 2 +n+17; आइए पहले चार पद लिखें: y 1 =19; y2=23; y3=29; y4=37; तब हम मान सकते हैं कि पूरे अनुक्रम में अभाज्य संख्याएँ हैं। लेकिन ऐसा नहीं है, आइए y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17 लें। यह एक संयुक्त संख्या है, जिसका अर्थ है कि हमारी धारणा गलत है, इस प्रकार, अपूर्ण प्रेरण पूरी तरह से विश्वसनीय निष्कर्ष नहीं देता है, लेकिन हमें एक परिकल्पना तैयार करने की अनुमति देता है, जिसे बाद में गणितीय प्रमाण या खंडन की आवश्यकता होती है।

गणितीय प्रेरण की विधि

पूर्ण प्रेरण में गणित में केवल सीमित अनुप्रयोग हैं। कई दिलचस्प गणितीय कथन अनंत संख्या में विशेष मामलों को कवर करते हैं, और हम इन सभी स्थितियों के लिए परीक्षण नहीं कर सकते हैं। लेकिन अनंत मामलों की जांच कैसे करें? यह विधि बी. पास्कल और जे. बर्नौली द्वारा प्रस्तावित की गई थी, यह गणितीय प्रेरण की एक विधि है, जो आधारित है गणितीय प्रेरण का सिद्धांत.

यदि वाक्य A(n), जो एक प्राकृत संख्या n पर निर्भर करता है, n=1 के लिए सत्य है, और इस तथ्य से कि यह n=k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए सत्य है, तो यह इस प्रकार है कि यह भी है अगली संख्या n=k +1 के लिए सत्य है, तो मान लें कि A(n) किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

कई मामलों में, एक निश्चित कथन की वैधता को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n>p के लिए साबित करना आवश्यक हो सकता है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है:

यदि वाक्य A(n) n=p के लिए सत्य है और यदि A(k)  A(k+1) किसी भी k>p के लिए, तो वाक्य A(n) किसी भी n>p के लिए सत्य है।

एल्गोरिथम (इसमें चार चरण होते हैं):

1.आधार(हम दिखाते हैं कि सिद्ध किया जा रहा दावा कुछ सरलतम विशेष मामलों के लिए सही है ( पी = 1));

2.अनुमान(हम मानते हैं कि कथन पहले के लिए सिद्ध होता है को मामले); 3 .कदम(इस धारणा के तहत हम मामले के लिए दावा साबित करते हैं पी = को + 1); 4.आउटपुट (वाईकथन सभी मामलों के लिए सत्य है, अर्थात सभी के लिए पी) .

ध्यान दें कि गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा सभी समस्याओं को हल नहीं किया जा सकता है, लेकिन केवल कुछ चर द्वारा पैरामीटर की गई समस्याएं। इस चर को प्रेरण चर कहा जाता है।

गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग

आइए इस सभी सिद्धांत को व्यवहार में लागू करें और पता करें कि इस पद्धति का उपयोग किन समस्याओं में किया जाता है।

असमानताओं के प्रमाण के लिए समस्याएँ।

उदाहरण 1बर्नौली असमानता साबित करें (1+x)n≥1+n x, x>-1, n N.

1) n=1 के लिए, असमानता सत्य है, क्योंकि 1+х≥1+х

2) मान लें कि असमानता कुछ n=k के लिए सही है, अर्थात।

(1+एक्स) के 1+के एक्स।

असमानता के दोनों पक्षों को एक धनात्मक संख्या 1+x से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि kx 2 0, हम असमिका पर पहुँचते हैं

(1+x) k+1 1+(k+1) x।

इस प्रकार, यह धारणा कि बर्नौली की असमानता n=k के लिए सही है, का अर्थ है कि यह n=k+1 के लिए सही है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी भी n N के लिए मान्य है।

उदाहरण 2सिद्ध कीजिए कि किसी प्राकृत संख्या n>1 के लिए।

आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके सिद्ध करें।

असमानता के बाएँ पक्ष को किसके द्वारा निरूपित करें।

1), इसलिए, n=2 के लिए असमानता सत्य है।

2) मान लीजिए कुछ k. आइए हम साबित करें कि तब और हमारे पास है ।

तुलना करना और, हमारे पास है, अर्थात्। .

किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए, अंतिम समानता का दाहिना भाग धनात्मक होता है। इसलिए। लेकिन, इसलिए, और। हमने n=k+1 के लिए असमानता की वैधता को साबित कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, असमानता किसी भी प्राकृतिक n>1 के लिए सही है।

पहचान के प्रमाण के लिए समस्याएँ।

उदाहरण 1सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4।

मान लीजिए n=1, फिर X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लीजिए कि समानता n=kX k =k 2 (k+1) 2 /4 के लिए सही है।

3) आइए हम n=k+1, यानी X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4 के लिए इस कथन की सच्चाई को साबित करें। एक्स के+1 = 3 +2 3 +…+के 3 +(के+1) 3 =के 2 (के+1) 2 /4+(के+1) 3 =(के 2 (के+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

उपरोक्त प्रमाण से यह स्पष्ट है कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है, इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है।

उदाहरण 2सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृतिक n समानता के लिए

1) जाँच करें कि यह सर्वसमिका n = 1 के लिए सत्य है; - सही।

2) मान लीजिए कि n = k के लिए भी सर्वसमिका सत्य है, अर्थात्।

3) आइए हम सिद्ध करें कि यह सर्वसमिका n = k + 1 के लिए भी सत्य है, अर्थात्;

क्योंकि समानता n=k और n=k+1 के लिए सही है, तो यह किसी भी प्राकृतिक n के लिए सच है।

सारांश कार्य।

उदाहरण 1सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ।

हल: 1) हमारे पास n=1=1 2 है। इसलिए, कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सच है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि (k) A(k+1)।

मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए कथन सत्य है, अर्थात् 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 ।

आइए हम सिद्ध करें कि यह अभिकथन अगली प्राकृत संख्या n=k+1, अर्थात् के लिए भी सत्य है। क्या

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 ।

दरअसल, 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 ।

तो, ए (के)  ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी nN के लिए धारणा A(n) सत्य है।

उदाहरण 2सूत्र सिद्ध कीजिए, n एक प्राकृत संख्या है।

हल: जब n=1, समानता के दोनों भाग एक में बदल जाते हैं और इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की पहली शर्त संतुष्ट होती है।

मान लें कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, अर्थात। .

आइए इस समानता के दोनों पक्षों को जोड़ें और दाईं ओर को रूपांतरित करें। तब हमें मिलता है

इस प्रकार, इस तथ्य से कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह n=k+1 के लिए सत्य है, तो यह कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।

विभाज्यता कार्य।

उदाहरण 1सिद्ध कीजिए कि (11 n+2 +12 2n+1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है।

फेसला: 1) मान लीजिए n=1, तब

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23 × 133।

(23 × 133) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, इसलिए n=1 के लिए कथन सत्य है;

2) मान लीजिए कि (11 k+2 +12 2k+1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है।

3) आइए हम साबित करें कि इस मामले में

(11 k+3 +12 2k+3) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है। दरअसल, 11 k+3 +12 2n+3 =11×11 k+2 +

12 2 ×12 2k+1 =11× 11 k+2 +(11+133)× 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133× 12 2k+1 ।

परिणामी योग शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, क्योंकि इसका पहला पद अनुमान द्वारा शेष के बिना 133 से विभाज्य है, और दूसरे में कारकों में से 133 है।

तो, A(k) → A(k+1), तो गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।

उदाहरण 2सिद्ध कीजिए कि एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 3 3n-1 +2 4n-3, 11 से विभाज्य है।

हल: 1) मान लीजिए n=1, तो X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 बिना शेष के 11 से विभाज्य है। अत: n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k . के लिए

X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 शेषफल के बिना 11 से विभाज्य है।

3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है।

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 *3 3k-1 +2 4 *2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =(16+11)* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16* 3 3k-1 +

11* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11* 3 3k-1 ।

पहला पद 11 से विभाज्य है और शेषफल नहीं है, क्योंकि 3 3k-1 +2 4k-3, अनुमान से 11 से विभाज्य है, दूसरा 11 से विभाज्य है, क्योंकि इसका एक गुणनखंड 11 है। इसलिए, योग है किसी भी प्राकृतिक n के लिए शेषफल के बिना 11 से भी विभाज्य है।

वास्तविक जीवन से कार्य।

उदाहरण 1सिद्ध कीजिए कि किसी उत्तल बहुभुज के अंतः कोणों का योग Sn होता है ( पी- 2)π, जहां पीइस बहुभुज की भुजाओं की संख्या है: Sn = ( पी- 2)π (1)।

यह कथन सभी के लिए स्वाभाविक नहीं है पी, लेकिन केवल के लिए पी > 3, चूँकि त्रिभुज में कोणों की न्यूनतम संख्या 3 होती है।

1) कब पी= 3 हमारा कथन रूप लेता है: एस 3 = । लेकिन किसी भी त्रिभुज के अंत:कोणों का योग वास्तव में होता है। इसलिए, जब पी= 3 सूत्र (1) सत्य है।

2) मान लें कि यह सूत्र n . के लिए सत्य है = के, वह है, S क = (क- 2)π, जहां क > 3. आइए हम सिद्ध करें कि इस मामले में सूत्र भी यही मानता है: S कश्मीर+ 1 = (क- 1) .

चलो ए 1 ए 2 ... ए क ए कश्मीर+ 1 - मनमाना उत्तल ( क+ 1) -गॉन (चित्र। 338)।

बिंदुओं A1 और A . को जोड़कर क , हम उत्तल प्राप्त करते हैं क-गॉन ए 1 ए 2 ... ए क — 1ए क . जाहिर है, कोणों का योग ( क+ 1) -गॉन ए 1 ए 2 ... ए क ए कश्मीर+ 1 कोणों के योग के बराबर होता है क-गॉन ए 1 ए 2 ... ए क साथ ही त्रिभुज A 1 A . के कोणों का योग क ए कश्मीर+ एक । लेकिन कोणों का योग क-गॉन ए 1 ए 2 ... ए क माना जाता है ( क- 2)π, और त्रिभुज A 1 A . के कोणों का योग क ए कश्मीर+ 1 पाई के बराबर है। इसलिए

एस कश्मीर+ 1=एस क + π = ( क- 2)π + = ( क- 1) .

तो, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, और इसलिए सूत्र (1) किसी भी प्राकृतिक के लिए सही है पी > 3.

उदाहरण 2एक सीढ़ी है, जिसकी सभी सीढ़ियाँ एक जैसी हैं। पदों की न्यूनतम संख्या को इंगित करना आवश्यक है जो किसी भी चरण में "चढ़ाई" की संभावना की गारंटी देगा।

सभी सहमत हैं कि एक शर्त होनी चाहिए। हमें पहले कदम पर चढ़ने में सक्षम होना चाहिए। इसके बाद, उन्हें पहले चरण से दूसरे चरण पर चढ़ने में सक्षम होना चाहिए। फिर दूसरे में - तीसरे पर, आदि। nवें चरण तक। बेशक, कुल मिलाकर, "एन" स्टेटमेंट एनएम की गारंटी देते हैं कि हम एन-वें चरण तक पहुंचने में सक्षम होंगे।

आइए अब 2, 3,…., n स्थितियों को देखें और उनकी एक दूसरे से तुलना करें। यह देखना आसान है कि उन सभी की संरचना समान है: यदि हम k चरण पर पहुँच जाते हैं, तो हम (k + 1) चरण पर चढ़ सकते हैं। यहाँ से, "n" पर निर्भर कथनों की वैधता के लिए ऐसा स्वयंसिद्ध स्वाभाविक हो जाता है: यदि वाक्य A (n), जिसमें n एक प्राकृतिक संख्या है, n = 1 से संतुष्ट है और इस तथ्य से कि यह संतुष्ट है n = k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के साथ, यह इस प्रकार है कि यह n=k+1 के लिए भी धारण करता है, फिर मान लें कि A(n) किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए है।

अनुबंध

विश्वविद्यालयों में प्रवेश करते समय गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करने वाले कार्य।

ध्यान दें कि उच्च शिक्षण संस्थानों में प्रवेश करते समय, ऐसे कार्य भी होते हैं जो इस पद्धति द्वारा हल किए जाते हैं। आइए एक नजर डालते हैं उन पर ठोस उदाहरण.

उदाहरण 1साबित करें कि कोई भी प्राकृतिक पीनिष्पक्ष समानता

1) कब एन = 1हमें सही समानता पाप मिलता है।

2) आगमनात्मक धारणा बनाकर कि n= . के लिए कसमानता सत्य है, समानता के बाईं ओर के योग पर विचार करें, n . के लिए = के+1;

3) न्यूनीकरण सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम व्यंजक को रूपांतरित करते हैं:

फिर, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, समानता किसी भी प्राकृतिक n के लिए सही है।

उदाहरण 2सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत n के लिए व्यंजक 4n +15n-1 का मान 9 का गुणज होता है।

1) n=1: 2 2 +15-1=18 के साथ - 9 का गुणज (क्योंकि 18:9=2)

2) समानता को कायम रहने दें एन = कश्मीर: 4k +15k-1, 9 का गुणज है।

3) आइए हम साबित करें कि समानता अगली संख्या के लिए है एन = के + 1

4k+1 +15(k+1)-1=4k+1 +15k+15-1=4.4k +60k-4-45k+18=4(4k +15k-1)-9(5k-2)

4(4k +15k-1) - 9 का गुणज;

9(5k-2) - 9 का गुणज;

परिणामस्वरूप, संपूर्ण व्यंजक 4(4 k +15k-1)-9(5k-2) 9 का गुणज है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

उदाहरण 3सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए पीशर्त पूरी होती है: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ n(n+1)(n+2)=.

1) जाँच करें कि यह सूत्र के लिए सत्य है एन = 1:बाईं तरफ = 1∙2∙3=6.

दायां भाग = . 6 = 6; सच में एन = 1।

2) मान लें कि यह सूत्र n . के लिए सत्य है = के:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=.एस क =.

3) आइए हम सिद्ध करें कि यह सूत्र n . के लिए सत्य है = के+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.

एस कश्मीर+1 =.

प्रमाण:

तो, यह शर्त दो मामलों में सही है और साबित कर दिया है कि यह n . के लिए भी सच है = के+1,इसलिए यह किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है पी।

निष्कर्ष

संक्षेप में, अनुसंधान की प्रक्रिया में, मुझे पता चला कि प्रेरण क्या है, जो पूर्ण या अपूर्ण है, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित गणितीय प्रेरण की विधि से परिचित हुआ, इस पद्धति का उपयोग करने वाली कई समस्याओं पर विचार किया।

मैंने बहुत सी नई जानकारी भी सीखी, जो स्कूल के पाठ्यक्रम में शामिल है।गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन करते समय, मैंने विभिन्न साहित्य, इंटरनेट संसाधनों का उपयोग किया, और एक शिक्षक से भी परामर्श किया।

निष्कर्ष: गणितीय प्रेरण पर ज्ञान को सामान्यीकृत और व्यवस्थित करने के बाद, मैं वास्तव में इस विषय पर ज्ञान की आवश्यकता के बारे में आश्वस्त हो गया। गणितीय प्रेरण की विधि का एक सकारात्मक गुण समस्याओं को हल करने में इसका व्यापक अनुप्रयोग है: बीजगणित, ज्यामिति और वास्तविक गणित के क्षेत्र में। साथ ही, यह ज्ञान विज्ञान के रूप में गणित में रुचि बढ़ाता है।

मुझे यकीन है कि काम के दौरान हासिल किए गए कौशल भविष्य में मेरी मदद करेंगे।

​ ग्रन्थसूची

सोमिन्स्की आई.एस. गणितीय प्रेरण की विधि। गणित पर लोकप्रिय व्याख्यान, अंक 3-एम: नौका, 1974।

एल। आई। गोलोविना, आई। एम। याग्लोम। ज्यामिति में प्रेरण। - फ़िज़मतगीज़, 1961. - टी। 21. - 100 पी। - (गणित पर लोकप्रिय व्याख्यान)।

डोरोफीव जी.वी., पोतापोव एम.के., रोज़ोव एन.के.एच. विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए गणित मैनुअल (प्राथमिक गणित के चयनित प्रश्न) - एड। 5 वीं, संशोधित, 1976 - 638।

ए शेन। गणितीय अधिष्ठापन। - एमटीएसएनएमओ, 2004. - 36 पी।

एमएल गैलिट्स्की, एएम गोल्डमैन, एलआई ज़वाविच बीजगणित में समस्याओं का संग्रह: 8-9 कोशिकाओं के लिए पाठ्यपुस्तक। एक गहरी . के साथ गणित का अध्ययन 7 वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2001. - 271 पी।

यू.एन. - एम।: प्रो-सेव-शे-नी, 2002।

विकिपीडिया मुक्त विश्वकोश है।

यदि वाक्य A(n), जो एक प्राकृत संख्या n पर निर्भर करता है, n=1 के लिए सत्य है, और इस तथ्य से कि यह n=k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए सत्य है, तो यह इस प्रकार है कि यह भी है अगली संख्या n=k +1 के लिए सत्य है, तो मान लें कि A(n) किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

कई मामलों में, एक निश्चित कथन की वैधता को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n>p के लिए साबित करना आवश्यक हो सकता है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है।

यदि प्रस्ताव A(n) n=p के लिए सत्य है और यदि किसी k>p के लिए A(k) X A(k+1), तो प्रस्ताव A(n) किसी भी n>p के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, सिद्ध किए जाने वाले अभिकथन को n = 1 के लिए जाँचा जाता है, अर्थात, कथन A(1) की सत्यता स्थापित होती है। प्रमाण के इस भाग को प्रेरण आधार कहा जाता है। इसके बाद प्रूफ का एक भाग आता है जिसे इंडक्शन स्टेप कहा जाता है। इस भाग में, n=k+1 के लिए कथन की वैधता इस धारणा के तहत सिद्ध होती है कि कथन n=k (प्रेरण धारणा) के लिए सत्य है, अर्थात। सिद्ध कीजिए कि A(k) ~ A(k+1)

सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ।

• 1) हमारे पास n=1=1 2 है। इसलिए, कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सच
• 2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k) ~ A(k+1)

मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए कथन सत्य है, अर्थात्।

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

आइए हम सिद्ध करें कि यह अभिकथन अगली प्राकृत संख्या n=k+1, अर्थात् के लिए भी सत्य है। क्या

• 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 वास्तव में,
• 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

तो, ए (के) एक्स ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि धारणा A(n) किसी भी n N . के लिए सही है

साबित करो

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n + 1 -1) / (x-1), जहां x नंबर 1

• 1) n=1 के लिए हमें प्राप्त होता है
• 1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

इसलिए, n=1 के लिए सूत्र सत्य है; ए (1) सच

• 2) मान लें कि k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए सूत्र को सत्य होने दें,
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

आइए हम सिद्ध करें कि तब समानता

• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) वास्तव में
• 1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

तो ए (के) ⋅ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n . के लिए सत्य है

सिद्ध कीजिए कि उत्तल n-gon के विकर्णों की संख्या n(n-3)/2 . है

हल: 1) n=3 के लिए, कथन सत्य है, क्योंकि त्रिभुज में

ए 3 \u003d 3 (3-3) / 2 \u003d 0 विकर्ण; ए 2 ए(3) सच

2) मान लीजिए कि किसी भी उत्तल k-gon में A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 विकर्ण हैं। A k आइए साबित करें कि एक उत्तल A k+1 (k+1)- में विकर्णों की संख्या A k+1 =(k+1)(k-2)/2 है।

मान लीजिए 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -उत्तल (k+1)-gon। आइए इसमें एक विकर्ण A 1 A k बनाते हैं। इस (k + 1)-gon के विकर्णों की कुल संख्या की गणना करने के लिए, आपको k-gon A 1 A 2 ...A k में विकर्णों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या में k-2 जोड़ें, अर्थात। a (k+1) के विकर्णों की संख्या - शीर्ष से निकलने वाले k+1 , और, इसके अलावा, किसी को विकर्ण А 1 А k को ध्यान में रखना चाहिए

इस प्रकार,

जी के+1 =जी के +(के-2)+1=के(के-3)/2+के-1=(के+1)(के-2)/2

तो ए (के) ⋅ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n के लिए कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

2) मान लें कि n=k

एक्स के \u003d के 2 \u003d के (के + 1) (2k + 1) / 6

3) n=k+1 . के लिए इस कथन पर विचार करें

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।

सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

हल: 1) मान लीजिए n=1

फिर एक्स 1 = 3 = 1 2 (1+1) 2 /4=1। हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि समानता n=k . के लिए सही है

एक्स के \u003d के 2 (के + 1) 2/4

3) आइए हम इस कथन की सत्यता को n=k+1, अर्थात् सिद्ध करें।

एक्स के+1 =(के+1) 2 (के+2) 2 /4। एक्स के+1 = 3 +2 3 +…+के 3 +(के+1) 3 =के 2 (के+1) 2 /4+(के+1) 3 =(के 2 (के++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

उपरोक्त प्रमाण से यह देखा जा सकता है कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है, इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है

साबित करो

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ((3 3 +1)/(3 3 -1)) … ((एन 3 +1)/(एन 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), जहां n>2

हल: 1) n=2 के लिए, सर्वसमिका इस प्रकार दिखती है:

• (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), यानी। ये सच है
• 2) मान लें कि n=k . के लिए व्यंजक सत्य है
• (2 3 +1) / (2 3 -1) ... (के 3 +1) / (के 3 -1) \u003d 3के (के + 1) / 2 (के 2 + के + 1)
• 3) हम n=k+1 . के लिए व्यंजक की सत्यता सिद्ध करेंगे
• (((2 3 +1)/(2 3 -1)) … ((के 3 +1)/(के 3 -1)) (((के+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ((k+2)((k+)

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2

((के+1) 2 +(के+1)+1)

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी n>2 के लिए सत्य है।

साबित करो

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) किसी भी प्राकृतिक n के लिए

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

• 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
• 2) मान लें कि n=k, तब
• 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
• 3) हम n=k+1 . के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करेंगे
• (1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

n=k+1 के लिए समानता की वैधता भी सिद्ध हो गई है, इसलिए यह कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।

पहचान की वैधता साबित करें

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2/3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए

• 1) n=1 के लिए सर्वसमिका सत्य है 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
• 2) मान लें कि n=k . के लिए
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
• 3) हम सिद्ध करते हैं कि n=k+1 . के लिए सर्वसमिका सत्य है
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(के 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (के+2)/2(2(के+1)+1)

उपरोक्त प्रमाण से यह देखा जा सकता है कि अभिकथन किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि (11 n+2 +12 2n+1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

लेकिन (23 133) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, इसलिए n=1 के लिए कथन सत्य है; ए (1) सच है।

• 2) मान लें कि (11 k+2 +12 2k+1) बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि इस स्थिति में (11 k+3 +12 2k+3) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है। वास्तव में
• 11 k+3 +12 2k+3 =11 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 11 k+2 +

+(11+133) 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

परिणामी योग शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, क्योंकि इसका पहला पद अनुमान द्वारा शेष के बिना 133 से विभाज्य है, और दूसरे कारक में 133 है। तो, ए (के) यू ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n 7 n -1 के लिए बिना शेषफल के 6 से विभाज्य है

• 1) मान लीजिए n=1, फिर X 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 को बिना शेष के 6 से विभाजित किया जाता है। तो n=1 के लिए कथन सत्य है
• 2) मान लीजिए कि n \u003d k 7 k -1 के लिए शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है

एक्स के+1 \u003d 7 के + 1 -1 \u003d 7 7 के -7 + 6 \u003d 7 (7 के -1) + 6

पहला पद 6 से विभाज्य है, क्योंकि 7 k -1, 6 से विभाज्य है, और दूसरा पद 6 है। इसलिए 7 n -1 किसी भी प्राकृतिक n के लिए 6 का गुणज है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 3 3n-1 +2 4n-3, 11 से विभाज्य है।

1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 बिना शेष के 11 से विभाजित है।

तो n=1 के लिए कथन सत्य है

• 2) मान लीजिए कि n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 शेषफल के बिना 11 से विभाज्य है
• 3) हम सिद्ध करते हैं कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 =(16+11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16 3 3k-1 +

11 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 3 3k-1

पहला पद 11 से विभाज्य है और शेषफल नहीं है, क्योंकि 3 3k-1 +2 4k-3, अनुमान से 11 से विभाज्य है, दूसरा 11 से विभाज्य है, क्योंकि इसका एक गुणनखंड 11 है। इसलिए, योग है किसी भी प्राकृतिक n के लिए शेषफल के बिना 11 से भी विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 11 2n -1 बिना शेषफल के 6 से विभाज्य है

• 1) मान लीजिए n=1, तो 11 2 -1=120 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है। तो n=1 के लिए कथन सत्य है
• 2) मान लीजिए कि n=k 1 2k -1 के लिए शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है
• 11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

दोनों पद शेषफल के बिना 6 से विभाज्य हैं: पहले में 6 संख्या 120 का गुणज है, और दूसरी धारणा द्वारा शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है। अतः योग शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि 3 3n+3 -26n-27 एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 26 2 (676) से विभाज्य है, बिना शेष बचे

आइए पहले हम सिद्ध करें कि 3 3n+3 -1 बिना किसी शेषफल के 26 से विभाज्य है

• 1. जब एन = 0
• 3 3 -1=26 26 . से विभाज्य है
• 2. मान लीजिए कि n=k . के लिए
• 3 3k+3 -1 26 . से विभाज्य है
• 3. आइए हम सिद्ध करें कि n=k+1 . के लिए कथन सत्य है
• 3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - 26 से विभाज्य है

आइए अब समस्या की स्थिति में तैयार किए गए अभिकथन को सिद्ध करें

• 1) यह स्पष्ट है कि n=1 के लिए कथन सत्य है
• 3 3+3 -26-27=676
• 2) मान लीजिए कि n=k के लिए व्यंजक 3 3k+3 -26k-27 शेषफल के बिना 26 2 से विभाज्य है
• 3) आइए सिद्ध करें कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है
• 3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

दोनों पद 26 2 से विभाज्य हैं; पहला 26 2 से विभाज्य है क्योंकि हमने साबित कर दिया है कि कोष्ठक में व्यंजक 26 से विभाज्य है, और दूसरा आगमनात्मक परिकल्पना से विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है

साबित करें कि अगर n>2 और х>0, तो असमानता (1+х) n >1+n ґ

• 1) n=2 के लिए, असमानता सत्य है, क्योंकि
• (1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

तो A(2) सत्य है

• 2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k) A(k+1) यदि k> 2. मान लें कि A(k) सत्य है, अर्थात असमानता
• (1+х) k >1+k x. (3)

आइए हम सिद्ध करें कि तब A(k+1) भी सत्य है, अर्थात् असमानता

(1+x) k+1 >1+(k+1) x

वास्तव में, असमानता के दोनों पक्षों (3) को एक धनात्मक संख्या 1+x से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

अंतिम असमानता के दाहिने पक्ष पर विचार करें; अपने पास

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि (1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x

तो ए (के) ⋅ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी भी n> 2 . के लिए मान्य है

सिद्ध कीजिए कि असमानता (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 a> 0 के लिए सही है

हल: 1) m=1 . के लिए

• (1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 दोनों भाग बराबर हैं
• 2) मान लें कि m=k . के लिए
• (1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
• 3) आइए हम साबित करें कि m=k+1 के लिए गैर-समानता सत्य है
• (1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((के+1)(के+2)/2) ए 2

हमने m=k+1 के लिए असमानता की वैधता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए गणितीय प्रेरण की विधि के कारण, असमानता किसी भी प्राकृतिक m के लिए मान्य है।

साबित करें कि n>6 असमानता 3 n>n ґ 2 n+1 . के लिए

आइए इस असमानता को (3/2) n >2n . के रूप में फिर से लिखें

• 1. n=7 के लिए हमारे पास 3 7/2 7 =2187/128>14=2 7 असमानता सत्य है
• 2. मान लीजिए कि n=k (3/2) k >2k . के लिए
• 3) आइए n=k+1 . के लिए असमानता की वैधता साबित करें
• 3k+1 /2k+1 =(3k /2k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

k>7 के बाद से, अंतिम असमानता स्पष्ट है।

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, असमानता किसी भी प्राकृतिक n . के लिए मान्य है

साबित करें कि n>2 के लिए असमानता

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/एन 2)<1,7-(1/n)

• 1) n=3 के लिए असमानता सत्य है
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
• 2. मान लीजिए कि n=k . के लिए
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/के 2)=1.7-(1/के)
• 3) आइए हम n=k+1 . के लिए असमानता की वैधता साबित करें
• (1+(1/2 2)+…+(1/के 2))+(1/(के+1) 2)

आइए हम सिद्ध करें कि 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

एस (1/(के+1) 2)+(1/के+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

एस के (के + 2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

उत्तरार्द्ध स्पष्ट है, और इसलिए

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(के+1) 2)<1,7-(1/k+1)

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर असमानता सिद्ध होती है।

प्रेरण विशेष टिप्पणियों से एक सामान्य विवरण प्राप्त करने की एक विधि है। मामले में जब एक गणितीय कथन वस्तुओं की एक सीमित संख्या से संबंधित होता है, तो इसे प्रत्येक वस्तु की जाँच करके सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कथन: "प्रत्येक दो अंकों की सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग है," समानता की एक श्रृंखला से अनुसरण करती है जो स्थापित करने के लिए काफी यथार्थवादी हैं:

10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.

प्रमाण की विधि, जिसमें सभी संभावनाओं को समाप्त करते हुए, सीमित संख्या में मामलों के लिए एक बयान सत्यापित किया जाता है, पूर्ण प्रेरण कहलाता है। यह विधि अपेक्षाकृत कम ही लागू होती है, क्योंकि गणितीय कथन, एक नियम के रूप में, चिंता सीमित नहीं है, लेकिन वस्तुओं के अनंत सेट हैं। उदाहरण के लिए, पूर्ण प्रेरण द्वारा सिद्ध दो अंकों की संख्याओं के बारे में कथन केवल प्रमेय का एक विशेष मामला है: "कोई भी संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग है।" यह प्रमेय अभी तक सिद्ध या खंडित नहीं हुआ है।

गणितीय प्रेरण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर किसी भी प्राकृतिक n के लिए एक निश्चित कथन को साबित करने की एक विधि है: "यदि कोई कथन n = 1 के लिए सत्य है और n = k के लिए इसकी वैधता से यह निम्नानुसार है कि यह कथन n = के लिए सत्य है। k+1, तो यह सभी n "के लिए सत्य है। गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण की विधि इस प्रकार है:

1) प्रेरण का आधार: n=1 (कभी-कभी n=0 या n=n 0) के लिए कथन की वैधता को सिद्ध या सीधे सत्यापित करें;

2) प्रेरण चरण (संक्रमण): वे कुछ प्राकृतिक n=k के लिए कथन की वैधता मानते हैं और इस धारणा के आधार पर, n=k+1 के लिए कथन की वैधता साबित करते हैं।

समाधान के साथ समस्या

1. सिद्ध कीजिए कि किसी प्राकृत n के लिए संख्या 3 2n+1 +2 n+2 7 से विभाज्य है।

A(n)=3 2n+1 +2 n+2 को निरूपित करें।

प्रेरण का आधार। यदि n=1, तो A(1)=3 3 +2 3 =35 और स्पष्ट रूप से 7 से विभाज्य है।

प्रेरण परिकल्पना। मान लीजिए A(k) 7 से विभाज्य है।

आगमनात्मक संक्रमण। आइए हम सिद्ध करें कि A(k+1) 7 से विभाज्य है, अर्थात n=k के लिए समस्या के कथन की वैधता।

А(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 3 2 +2 k+2 2 1 =3 2k+1 9+2 k+2 2=

3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)-7 2 k +2 ।

अंतिम संख्या 7 से विभाज्य है, क्योंकि यह 7 से विभाज्य दो पूर्णांकों का अंतर है। इसलिए, 3 2n+1 +2 n+2 किसी भी प्राकृतिक n के लिए 7 से विभाज्य है।

2. सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए संख्या 2 3 n +1 3 n+1 से विभाज्य है और 3 n+2 से विभाज्य नहीं है।

आइए संकेतन का परिचय दें: a i =2 3 i +1।

n=1 के लिए हमारे पास है, और 1 =2 3 +1=9। अत: a 1 3 2 से विभाज्य है और 3 3 से विभाज्य नहीं है।

मान लीजिए n=k के लिए संख्या a k 3 k+1 से विभाज्य है और 3 k+2 से विभाज्य नहीं है, अर्थात a k =2 3 k +1=3 k+1 m, जहां m 3 से विभाज्य नहीं है।

और k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k +1)(2 3 k 2 –2 3 k +1)=3 k+1 m m ((2 3 k +1) 2 -3 2 3 k)=3 k+1 m ((3 k+1 m) 2 -3 2 3 k)=

3 k+2 m (3 2k+1 m 2-2 3 k)।

स्पष्ट रूप से, a k+1 3 k+2 से विभाज्य है और 3 k+3 से विभाज्य नहीं है।

इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए अभिकथन सिद्ध होता है।

3. यह ज्ञात है कि x+1/x एक पूर्णांक है। सिद्ध कीजिए कि n +1/х n भी किसी पूर्णांक n के लिए एक पूर्णांक है।

आइए अंकन का परिचय दें: a i \u003d x i +1 / x i और तुरंत ध्यान दें कि a i \u003d a -i, इसलिए हम प्राकृतिक सूचकांकों के बारे में बात करना जारी रखेंगे।

नोट: और 1 शर्त के अनुसार एक पूर्णांक है; a 2 एक पूर्णांक है, क्योंकि a 2 \u003d (a 1) 2 -2; और 0=2।

मान लें कि k किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए एक पूर्णांक है जो n से अधिक नहीं है। तब a 1 ·a n एक पूर्णांक है, लेकिन a 1 ·a n =a n+1 +a n–1 और a n+1 =a 1 ·a n –a n–1। हालाँकि, और n-1 प्रेरण परिकल्पना द्वारा एक पूर्णांक है। अत: а n+1 भी एक पूर्णांक है। इसलिए, n +1/х n किसी भी पूर्णांक n के लिए एक पूर्णांक है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

4. सिद्ध कीजिए कि 1 से बड़ा किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए दोहरी असमानता है

5. सिद्ध कीजिए कि प्राकृत n > 1 और |x| . के लिए

(1-एक्स)एन +(1+एक्स)एन

n=2 के लिए असमानता सत्य है। सच में,

(1–x) 2 + (1 + x) 2 \u003d 2 + 2 x 2

यदि असमानता n=k के लिए सही है, तो n=k+1 के लिए हमारे पास है

(1–x)k+1 +(1+x)k+1

असमानता किसी भी प्राकृतिक संख्या n > 1 के लिए सिद्ध होती है।

6. तल पर n वृत्त हैं। सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों की किसी भी व्यवस्था के लिए इनके द्वारा बनाए गए मानचित्र को दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है।

आइए गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करें।

n=1 के लिए अभिकथन स्पष्ट है।

मान लीजिए कि n वृत्तों द्वारा बनाए गए किसी भी मानचित्र के लिए कथन सत्य है, और मान लीजिए कि समतल पर n + 1 वृत्त दिए गए हैं। इन वृत्तों में से किसी एक को हटाने पर, हमें एक नक्शा मिलता है, जो कि की गई धारणा के आधार पर, दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है (नीचे पहला चित्र देखें)।

फिर हम हटाए गए सर्कल को पुनर्स्थापित करते हैं और इसके एक तरफ, उदाहरण के लिए अंदर, प्रत्येक क्षेत्र का रंग विपरीत में बदलते हैं (दूसरी तस्वीर देखें)। यह देखना आसान है कि इस मामले में हमें दो रंगों के साथ सही रंग का नक्शा मिलता है, लेकिन अब केवल n + 1 सर्कल के साथ, जिसे साबित करना था।

7. यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं तो हम उत्तल बहुभुज को "सुंदर" कहेंगे:

1) इसके प्रत्येक कोने को तीन रंगों में से एक में चित्रित किया गया है;

2) किन्हीं दो निकटवर्ती शीर्षों को अलग-अलग रंगों में रंगा गया है;

3) बहुभुज का कम से कम एक शीर्ष तीन रंगों में से प्रत्येक में रंगीन है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी सुंदर n-gon को अप्रतिच्छेदी विकर्णों द्वारा "सुंदर" त्रिभुजों में काटा जा सकता है।

आइए गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करें।

प्रेरण का आधार। कम से कम संभव n=3 के लिए, समस्या का बयान स्पष्ट है: "सुंदर" त्रिकोण के कोने तीन अलग-अलग रंगों में चित्रित किए गए हैं और किसी कटौती की आवश्यकता नहीं है।

प्रेरण परिकल्पना। आइए मान लें कि समस्या का बयान किसी भी "सुंदर" एन-गॉन के लिए सही है।

प्रेरण कदम। एक मनमाना "सुंदर" (n + 1) - पर विचार करें और आगमनात्मक धारणा का उपयोग करके साबित करें कि इसे कुछ विकर्णों द्वारा "सुंदर" त्रिकोण में काटा जा सकता है। 1 , А 2 , А 3 , … n , А n+1 से निरूपित करें - (n+1)-gon के क्रमागत शीर्ष। यदि (n + 1)-गॉन का केवल एक शीर्ष तीन रंगों में से किसी एक रंग में रंगा हुआ है, तो इस शीर्ष को विकर्णों के साथ उन सभी शीर्षों से जोड़कर जो इसके निकट नहीं हैं, हमें (n + 1) का आवश्यक विभाजन प्राप्त होता है। "सुंदर" त्रिकोण में चले गए।

यदि तीन रंगों में से प्रत्येक में (n + 1)-गॉन के कम से कम दो शीर्षों को चित्रित किया जाता है, तो हम शीर्ष A 1 के रंग को संख्या 1 से और शीर्ष A 2 के रंग को संख्या 2 से निरूपित करते हैं। . मान लीजिए k सबसे छोटी संख्या इस प्रकार है कि शीर्ष A k तीसरे रंग में रंगा हुआ है। यह स्पष्ट है कि k > 2. आइए हम त्रिभुज А k–2 k–1 А k को (n+1)-गॉन से k–2 А k के विकर्ण के साथ काटते हैं। संख्या k के चुनाव के अनुसार इस त्रिभुज के सभी शीर्षों को तीन अलग-अलग रंगों में रंगा गया है, अर्थात यह त्रिभुज "सुंदर" है। उत्तल n-gon A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... A n+1 , जो रहता है, आगमनात्मक धारणा के कारण भी "सुंदर" होगा, जिसका अर्थ है कि यह "सुंदर" त्रिभुजों में विभाजित किया गया है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

8. सिद्ध कीजिए कि एक उत्तल n-गॉन में n से अधिक विकर्णों को चुनना असंभव है ताकि उनमें से किन्हीं दो का एक उभयनिष्ठ बिंदु हो।

आइए गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण को पूरा करें।

आइए हम एक अधिक सामान्य कथन को सिद्ध करें: उत्तल n-gon में, n भुजाओं और विकर्णों से अधिक चुनना असंभव है, ताकि उनमें से किन्हीं दो का एक उभयनिष्ठ बिंदु हो। n = 3 के लिए अभिकथन स्पष्ट है। आइए मान लें कि यह अभिकथन एक मनमाना n-gon के लिए सही है और, इसका उपयोग करके, एक मनमाना (n + 1)-gon के लिए इसकी वैधता साबित करें।

मान लीजिए कि a (n + 1)-gon के लिए यह कथन सत्य नहीं है। यदि (n+1)-gon के प्रत्येक शीर्ष से दो से अधिक चुनी हुई भुजाएँ या विकर्ण नहीं निकलते हैं, तो उनमें से अधिक से अधिक n+1 चुने जाते हैं। इसलिए, कम से कम तीन चुनी हुई भुजाएँ या विकर्ण AB, AC, AD किसी शीर्ष A से निकलते हैं। माना AC, AB और AD के बीच स्थित है। चूँकि CA के अलावा C से निकलने वाली कोई भी भुजा या विकर्ण एक ही समय में AB और AD को पार नहीं कर सकता, C से केवल एक चुना हुआ विकर्ण CA निकलता है।

बिंदु C को विकर्ण CA के साथ छोड़ने पर, हमें एक उत्तल n-gon प्राप्त होता है जिसमें n से अधिक भुजाएँ और विकर्ण चुने जाते हैं, जिनमें से किन्हीं दो में एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। इस प्रकार, हम इस धारणा के साथ एक विरोधाभास पर पहुंचते हैं कि अभिकथन एक मनमाना उत्तल n-gon के लिए सही है।

अत: a (n + 1)-gon के लिए, कथन सत्य है। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।

9. तल में n रेखाएँ खींची गई हैं, जिनमें से कोई भी दो समानांतर नहीं हैं और कोई भी तीन एक ही बिंदु से नहीं गुजरती हैं। ये रेखाएँ समतल को कितने भागों में विभाजित करती हैं।

प्राथमिक रेखाचित्रों की सहायता से यह सुनिश्चित करना आसान है कि एक सीधी रेखा समतल को 2 भागों में, दो सीधी रेखाओं को 4 भागों में, तीन सीधी रेखाओं को 7 भागों में और चार सीधी रेखाओं को 11 भागों में विभाजित करती है।

N(n) से निरूपित करें उन भागों की संख्या जिनमें n रेखाएँ समतल को विभाजित करती हैं। यह देखा जा सकता है

एन(2)=एन(1)+2=2+2,

एन(3)=एन(2)+3=2+2+3,

एन(4)=एन(3)+4=2+2+3+4.

यह मान लेना स्वाभाविक है कि

N(n)=N(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n,

या, जैसा कि स्थापित करना आसान है, एक अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करना,

एन (एन) = 1 + एन (एन + 1) / 2।

आइए हम गणितीय आगमन विधि द्वारा इस सूत्र की वैधता सिद्ध करें।

n=1 के लिए, सूत्र पहले ही सत्यापित हो चुका है।

आगमनात्मक धारणा बनाने के बाद, समस्या की स्थिति को संतुष्ट करने वाली k + 1 रेखाओं पर विचार करें। हम मनमाने ढंग से उनमें से k सीधी रेखाएँ चुनते हैं। आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, वे विमान को 1+ k(k+1)/2 भागों में विभाजित करते हैं। शेष (k + 1)-वीं पंक्ति को k + 1 भागों में चयनित k लाइनों द्वारा विभाजित किया जाएगा और इसलिए, (k + 1)-वें भाग से होकर गुजरेगा जिसमें विमान पहले ही विभाजित हो चुका है, और प्रत्येक इन भागों को 2 भागों में विभाजित किया जाएगा, अर्थात k+1 और भागों को जोड़ा जाएगा। इसलिए,

N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2,

क्यू.ई.डी.

10. व्यंजक x 1: x 2: ...: x n में, क्रियाओं के क्रम को इंगित करने के लिए कोष्ठक रखे गए हैं और परिणाम भिन्न के रूप में लिखा गया है:

(इस स्थिति में, प्रत्येक अक्षर x 1, x 2, ..., x n या तो भिन्न के अंश में या हर में है)। कोष्ठक को व्यवस्थित करने के सभी संभावित तरीकों से इस तरह से कितने भिन्न व्यंजक प्राप्त किए जा सकते हैं?

सबसे पहले तो यह स्पष्ट है कि परिणामी भिन्न में x 1 अंश में होगा। यह लगभग समान रूप से स्पष्ट है कि x 2 कोष्ठक की किसी भी व्यवस्था के लिए हर में होगा (x 2 से पहले का विभाजन चिह्न या तो x 2 को या अंश में x 2 वाले किसी भी व्यंजक को संदर्भित करता है)।

यह माना जा सकता है कि अन्य सभी अक्षर x 3 , x 4 , ... , x n अंश या हर में पूरी तरह से मनमाने तरीके से स्थित हो सकते हैं। यह इस प्रकार है कि कुल मिलाकर आप 2 n-2 अंश प्राप्त कर सकते हैं: प्रत्येक n-2 अक्षर x 3, x 4, ..., x n अंश या हर में दूसरों से स्वतंत्र रूप से हो सकता है।

आइए हम इस अभिकथन को प्रेरण द्वारा सिद्ध करें।

n=3 से आप 2 भिन्न प्राप्त कर सकते हैं:

इसलिए कथन सत्य है।

हम मानते हैं कि यह n=k के लिए मान्य है और इसे n=k+1 के लिए सिद्ध करें।

मान लीजिए कि व्यंजक x 1: x 2: ...: x k, कोष्ठों की कुछ व्यवस्था के बाद भिन्न Q के रूप में लिखा जाता है। यदि x k के स्थान पर x k: x k+1 को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो x k होगा जैसा कि भिन्न Q में था, और x k + 1 वह स्थान नहीं होगा जहाँ x k खड़ा था (यदि x k हर में था, तो x k + 1 अंश में होगा और इसके विपरीत)।

अब आइए सिद्ध करें कि हम x k+1 को उसी स्थान पर जोड़ सकते हैं जहां x k है। भिन्न Q में, कोष्ठक लगाने के बाद, आवश्यक रूप से q:x k के रूप का एक व्यंजक होगा, जहाँ q अक्षर x k–1 है या कोष्ठक में कुछ व्यंजक है। q: x k को व्यंजक (q: x k) से प्रतिस्थापित करने पर: x k + 1 = q: (x k x k + 1), हमें स्पष्ट रूप से वही भिन्न Q प्राप्त होता है, जहां x k के स्थान पर x k x k+1 है।

इस प्रकार, n=k+1 के मामले में संभावित भिन्नों की संख्या n=k के मामले में 2 गुना अधिक है और 2 k-2 ·2=2 (k+1)-2 के बराबर है। इस प्रकार कथन सिद्ध होता है।

उत्तर: 2 n-2 भिन्न।

समाधान के बिना समस्या

1. सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए:

क) संख्या 5 n -3 n + 2n 4 से विभाज्य है;

बी) संख्या n 3 +11n 6 से विभाज्य है;

ग) संख्या 7 n +3n-1, 9 से विभाज्य है;

d) संख्या 6 2n +19 n -2 n+1 17 से विभाज्य है;

ई) संख्या 7 n+1 +8 2n-1 19 से विभाज्य है;

च) संख्या 2 2n-1 -9n 2 +21n-14 27 से विभाज्य है।

2. सिद्ध कीजिए कि (n+1)·(n+2)· …·(n+n) = 2 n ·1·3·5·…·(2n–1)।

3. असमानता साबित करें |sin nx| n|sinx| किसी भी प्राकृतिक एन.

4. ऐसी प्राकृत संख्याएँ a, b, c ज्ञात कीजिए जो 10 से विभाज्य नहीं हैं और ऐसी कि किसी भी प्राकृत n के लिए संख्या a n + b n और c n के अंतिम दो अंक समान हों।

5. सिद्ध कीजिए कि यदि n बिंदु एक ही रेखा पर नहीं हैं, तो उन्हें जोड़ने वाली रेखाओं में से कम से कम n भिन्न हैं।

गणितीय प्रेरण की विधि

रूसी में इंडक्शन शब्द का अर्थ है मार्गदर्शन, और आगमनात्मक को टिप्पणियों, प्रयोगों के आधार पर निष्कर्ष कहा जाता है, अर्थात। विशेष से सामान्य के अनुमान द्वारा प्राप्त किया गया।

उदाहरण के लिए, हम प्रतिदिन देखते हैं कि सूर्य पूर्व से उदय होता है। इसलिए, आप सुनिश्चित हो सकते हैं कि कल यह पूर्व में दिखाई देगा, न कि पश्चिम में। हम आकाश में सूर्य की गति के कारण के बारे में किसी भी धारणा का सहारा लिए बिना यह निष्कर्ष निकालते हैं (इसके अलावा, यह आंदोलन स्वयं स्पष्ट हो जाता है, क्योंकि ग्लोब वास्तव में घूम रहा है)। और फिर भी, यह आगमनात्मक व्युत्पत्ति उन टिप्पणियों का सही वर्णन करती है जो हम कल करेंगे।

प्रयोगात्मक विज्ञानों में आगमनात्मक अनुमानों की भूमिका बहुत महान है। वे वे प्रावधान देते हैं, जिनसे फिर कटौती करके आगे के निष्कर्ष निकाले जाते हैं। और यद्यपि सैद्धांतिक यांत्रिकी न्यूटन के गति के तीन नियमों पर आधारित है, ये कानून स्वयं प्रायोगिक डेटा पर गहन प्रतिबिंब का परिणाम थे, विशेष रूप से केप्लर के ग्रहों की गति के नियम, जो डेनिश खगोलशास्त्री द्वारा दीर्घकालिक टिप्पणियों के प्रसंस्करण के दौरान उनके द्वारा प्राप्त किए गए थे। टाइको ब्राहे। अवलोकन और प्रेरण भविष्य में की गई धारणाओं को परिष्कृत करने के लिए उपयोगी साबित होते हैं। गतिमान माध्यम में प्रकाश की गति को मापने के माइकलसन के प्रयोगों के बाद, भौतिकी के नियमों को स्पष्ट करना और सापेक्षता का सिद्धांत बनाना आवश्यक हो गया।

गणित में, प्रेरण की भूमिका काफी हद तक यह है कि यह चुने हुए स्वयंसिद्ध सिद्धांतों का आधार है। एक लंबे अभ्यास के बाद पता चला कि एक सीधा रास्ता हमेशा घुमावदार या टूटे हुए से छोटा होता है, एक स्वयंसिद्ध बनाना स्वाभाविक था: किन्हीं तीन बिंदुओं ए, बी और सी के लिए, असमानता

अनुसरण करने के लिए अंकगणित की अंतर्निहित धारणा भी सैनिकों, जहाजों और अन्य आदेशित सेटों के गठन को देखने से उभरी।

हालांकि, किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि यह गणित में प्रेरण की भूमिका का अंत है। बेशक, हमें उन प्रमेयों को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित नहीं करना चाहिए जो तार्किक रूप से स्वयंसिद्धों से निकाले गए हैं: यदि व्युत्पत्ति में कोई तार्किक त्रुटि नहीं की गई थी, तो वे सही हैं क्योंकि जिन स्वयंसिद्धों को हमने स्वीकार किया है वे सत्य हैं। लेकिन स्वयंसिद्धों की इस प्रणाली से बहुत सारे कथन निकाले जा सकते हैं। और उन कथनों का चयन जिन्हें सिद्ध करने की आवश्यकता है, फिर से प्रेरण द्वारा सुझाया गया है। यह वह है जो हमें उपयोगी प्रमेयों को अनुपयोगी प्रमेयों से अलग करने की अनुमति देती है, इंगित करती है कि कौन से प्रमेय सत्य हो सकते हैं, और यहाँ तक कि प्रमाण के मार्ग को रेखांकित करने में भी मदद करता है।

गणितीय प्रेरण की विधि का सार

अंकगणित, बीजगणित, ज्यामिति, विश्लेषण के कई खंडों में, वाक्यों ए (एन) की सच्चाई को साबित करना होता है जो एक प्राकृतिक चर पर निर्भर करता है। चर के सभी मूल्यों के लिए प्रस्ताव ए (एन) की सच्चाई का प्रमाण अक्सर गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा किया जा सकता है, जो निम्नलिखित सिद्धांत पर आधारित है।

वाक्य A(n) को चर के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए सही माना जाता है यदि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:

प्रस्ताव A(n) n=1 के लिए सत्य है।

इस धारणा से कि A(n) n=k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह अगले मान n=k+1 के लिए सत्य है।

इस सिद्धांत को गणितीय प्रेरण का सिद्धांत कहा जाता है। यह आमतौर पर संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों में से एक के रूप में चुना जाता है, और इसलिए बिना सबूत के स्वीकार किया जाता है।

गणितीय प्रेरण की विधि को प्रमाण की निम्न विधि के रूप में समझा जाता है। यदि सभी प्राकृतिक n के लिए प्रस्ताव ए (एन) की सच्चाई को साबित करना आवश्यक है, तो सबसे पहले, किसी को प्रस्ताव ए (1) की सच्चाई की जांच करनी चाहिए और दूसरी बात, प्रस्ताव ए (के) की सच्चाई मानते हुए , यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि प्रस्ताव A(k +1) सत्य है। यदि यह सिद्ध किया जा सकता है, और प्रमाण k के प्रत्येक प्राकृतिक मान के लिए मान्य रहता है, तो, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, प्रस्ताव A(n) को n के सभी मानों के लिए सत्य माना जाता है।

गणितीय प्रेरण की विधि व्यापक रूप से प्रमेयों, सर्वसमिकाओं, असमानताओं को सिद्ध करने, विभाज्यता समस्याओं को हल करने, कुछ ज्यामितीय और कई अन्य समस्याओं को हल करने में उपयोग की जाती है।

समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि

भाजकत्व

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संबंध में विभिन्न कथनों को सिद्ध किया जा सकता है।

निम्नलिखित कथन को अपेक्षाकृत सरलता से सिद्ध किया जा सकता है। आइए हम दिखाते हैं कि गणितीय आगमन विधि का उपयोग करके इसे कैसे प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण 1. यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो वह संख्या सम होती है।

n=1 के लिए हमारा कथन सत्य है: - एक सम संख्या। आइए मान लें कि यह एक सम संख्या है। चूँकि , 2k एक सम संख्या है, तो यहाँ तक की। तो, n = 1 के लिए समता सिद्ध होती है, समता को समता से घटाया जाता है तो, n के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए भी।

उदाहरण 2वाक्य की सच्चाई साबित करें

A(n)=(संख्या 5 19 का गुणज है), n एक प्राकृत संख्या है।

फेसला।

कथन A(1)=(संख्या 19 का गुणज है) सत्य है।

मान लीजिए कि कुछ मान n=k . के लिए

A(k)=(संख्या 19 का गुणज है) सत्य है। तब से

जाहिर है, A(k+1) भी सच है। वास्तव में, पहला पद इस धारणा के आधार पर 19 से विभाज्य है कि A(k) सत्य है; दूसरा पद भी 19 से विभाज्य है, क्योंकि इसमें कारक 19 है। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए, प्रस्ताव A(n) n के सभी मूल्यों के लिए सही है।

गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग

श्रृंखला सारांश

उदाहरण 1सूत्र सिद्ध करें

, n एक प्राकृत संख्या है।

फेसला।

n=1 के लिए, समानता के दोनों भाग एक में बदल जाते हैं और इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की पहली शर्त संतुष्ट होती है।

मान लें कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, अर्थात।

.

आइए इस समानता के दोनों पक्षों को जोड़ें और दाईं ओर को रूपांतरित करें। तब हमें मिलता है

इस प्रकार, इस तथ्य से कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह n=k+1 के लिए भी सत्य है। यह कथन k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए सत्य है। तो, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दूसरी शर्त भी संतुष्ट है। सूत्र सिद्ध हुआ है।

उदाहरण 2सिद्ध कीजिए कि प्राकृत श्रेणी की प्रथम n संख्याओं का योग होता है।

फेसला।

आइए हम आवश्यक राशि को निरूपित करें, अर्थात। .

n=1 के लिए, परिकल्पना सत्य है।

रहने दो . आइए दिखाते हैं कि .

वास्तव में,

समस्या सुलझ गयी।

उदाहरण 3सिद्ध कीजिए कि प्राकृत श्रेणी की पहली n संख्याओं के वर्गों का योग बराबर होता है .

फेसला।

रहने दो ।

.

चलो दिखावा करते हैं कि . फिर

और अंत में।

उदाहरण 4साबित करो ।

फेसला।

तो अगर

उदाहरण 5साबित करो

फेसला।

n=1 के लिए, परिकल्पना स्पष्ट रूप से सत्य है।

रहने दो ।

आइए इसे साबित करें।

सच में,

गणितीय प्रेरण की विधि को लागू करने के उदाहरण

असमानता का सबूत

उदाहरण 1सिद्ध कीजिए कि किसी प्राकृत संख्या n>1 . के लिए

.

फेसला।

असमानता के बाएँ पक्ष को द्वारा निरूपित करें।

इसलिए, n=2 के लिए, असमानता सत्य है।

चलो कुछ k. आइए हम साबित करें कि तब और . हमारे पास है , .

तुलना करना और , हमारे पास है , अर्थात। .

किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए, अंतिम समानता का दाहिना भाग धनात्मक होता है। इसलिए । लेकिन, इसलिए, और।

उदाहरण 2तर्क में त्रुटि का पता लगाएं।

कथन। किसी भी प्राकृतिक n के लिए, असमानता सत्य है।

प्रमाण।

. (1)

आइए हम सिद्ध करें कि असमानता n=k+1 के लिए भी मान्य है, अर्थात।

.

दरअसल, किसी भी प्राकृतिक k के लिए कम से कम 2। आइए असमानता (1) को बाईं ओर और 2 को दाईं ओर जोड़ें। हमें एक निष्पक्ष असमानता मिलती है, या . अभिकथन सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण 3साबित करो , जहाँ >-1, , n एक प्राकृत संख्या है जो 1 से बड़ी है।

फेसला।

n=2 के लिए, असमानता सत्य है, क्योंकि .

मान लीजिए कि n=k के लिए असमानता सही है, जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है, अर्थात्।

. (1)

आइए हम दिखाते हैं कि असमानता n=k+1 के लिए भी मान्य है, अर्थात।

. (2)

दरअसल, धारणा से, इसलिए, असमानता

, (3)

असमानता (1) के प्रत्येक भाग को से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। आइए असमानता (3) को इस प्रकार फिर से लिखें: . अंतिम असमानता के दाईं ओर धनात्मक पद को छोड़कर, हम वैध असमानता (2) प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 4साबित करो

(1)

जहाँ , n 1 से बड़ी प्राकृत संख्या है।

फेसला।

n=2 के लिए, असमानता (1) रूप लेती है

. (2)

तब से, असमानता

. (3)

असमानता के प्रत्येक भाग (3) से जोड़ने पर, हम असमानता (2) प्राप्त करते हैं।

यह साबित करता है कि असमानता (1) n=2 के लिए है।

मान लीजिए कि असमानता (1) n=k के लिए मान्य है, जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है, अर्थात्।

. (4)

आइए हम सिद्ध करें कि असमानता (1) n=k+1 के लिए भी मान्य होनी चाहिए, अर्थात।

(5)

आइए असमानता के दोनों भागों (4) को a+b से गुणा करें। चूंकि, शर्त के अनुसार, हम निम्नलिखित निष्पक्ष असमानता प्राप्त करते हैं:

. (6)

असमानता साबित करने के लिए (5), यह दिखाना पर्याप्त है कि

, (7)

या, जो एक ही है,

. (8)

असमानता (8) असमानता के बराबर है

. (9)

यदि , तो , और असमानता के बाईं ओर (9) हमारे पास दो सकारात्मक संख्याओं का गुणनफल है। यदि , तो , और असमानता के बाईं ओर (9) हमारे पास दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल है। दोनों ही मामलों में असमानता (9) वैध है।

यह साबित करता है कि n=k के लिए असमानता (1) की वैधता का अर्थ n=k+1 के लिए इसकी वैधता है।

गणितीय प्रेरण की विधि जैसा कि दूसरों पर लागू होता है

कार्य

संख्या सिद्धांत और बीजगणित में इस पद्धति के उपयोग के करीब, ज्यामिति में गणितीय प्रेरण की विधि का सबसे प्राकृतिक अनुप्रयोग, ज्यामितीय कम्प्यूटेशनल समस्याओं के समाधान के लिए आवेदन है। आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1दाईं ओर की भुजा की गणना करें - त्रिज्या R के एक वृत्त में अंकित एक वर्ग।

फेसला।

n=2 सही 2 . के लिएएन - एक वर्ग एक वर्ग है; उसकी ओर। आगे, दोहरीकरण सूत्र के अनुसार

एक नियमित अष्टभुज की भुजा ज्ञात कीजिए , एक नियमित षट्भुज की ओर , एक नियमित बत्तीस-कोण की भुजा . इसलिए हम मान सकते हैं कि एक नियमित रूप से अंकित 2 . का पक्षएन - किसी के लिए एक वर्ग बराबर होता है

. (1)

आइए मान लें कि नियमित रूप से अंकित -गॉन का पक्ष सूत्र (1) द्वारा व्यक्त किया जाता है। इस मामले में, दोहरीकरण सूत्र द्वारा

,

जहाँ से यह उस सूत्र का अनुसरण करता है (1) सभी n के लिए मान्य है।

उदाहरण 2एक n-gon (जरूरी नहीं कि उत्तल हो) को उसके अप्रतिच्छेदी विकर्णों द्वारा कितने त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है?

फेसला।

एक त्रिभुज के लिए, यह संख्या एक के बराबर होती है (त्रिभुज में कोई विकर्ण नहीं खींचा जा सकता); एक चतुर्भुज के लिए यह संख्या स्पष्ट रूप से दो के बराबर है।

मान लीजिए कि हम पहले से ही जानते हैं कि प्रत्येक k-gon, जहाँ k 1 ए 2 ... ए n त्रिकोण में।

एक

ए 1 ए 2

मान लीजिए 1 А k इस विभाजन के विकर्णों में से एक है; यह n-gon А 1 А 2 …А n को k-gon A 1 A 2 …A k और (n-k+2)-gon А 1 А k A k+1 …A n में विभाजित करता है। की गई धारणा के आधार पर, विभाजन त्रिभुजों की कुल संख्या बराबर होगी

(के-2)+[(एन-के+2)-2]=एन-2;

इस प्रकार हमारा दावा सभी n के लिए सिद्ध होता है।

उदाहरण 3संख्या P(n) की गणना के लिए एक नियम निर्दिष्ट करें जिसमें एक उत्तल n-gon को गैर-प्रतिच्छेदी विकर्णों द्वारा त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।

फेसला।

एक त्रिभुज के लिए, यह संख्या स्पष्ट रूप से एक के बराबर होती है: P(3)=1.

मान लीजिए कि हमने पहले ही सभी k . के लिए संख्या P(k) निर्धारित कर ली है 1 ए 2 ... ए n . त्रिभुजों में इसके किसी भी विभाजन के लिए, भुजा A 1 ए 2 विभाजन त्रिभुजों में से एक की भुजा होगी, इस त्रिभुज का तीसरा शीर्ष प्रत्येक बिंदु A के साथ संपाती हो सकता है 3 , 4 ,…,А n . एन-गॉन को विभाजित करने के तरीकों की संख्या जिसमें यह शीर्ष बिंदु ए के साथ मेल खाता है 3 , (n-1)-gon A . को त्रिभुजित करने के तरीकों की संख्या के बराबर है 1 ए 3 ए 4 ... ए एन , अर्थात। पी (एन -1) के बराबर है। विभाजन के तरीकों की संख्या जिसमें यह शीर्ष A . के साथ मेल खाता है 4 , विभाजन के तरीकों की संख्या के बराबर है (n-2)-gon A 1 ए 4 ए 5 ... ए एन , अर्थात। बराबर P(n-2)=P(n-2)P(3); विभाजन के तरीकों की संख्या जिसमें यह A . के साथ मेल खाता है 5 , P(n-3)P(4) के बराबर है, क्योंकि (n-3)-gon A के प्रत्येक विभाजन के बाद से 1 ए 5 ... ए n चतुर्भुज A . के प्रत्येक विभाजन के साथ जोड़ा जा सकता है 2 ए 3 ए 4 ए 5 , आदि। इस प्रकार, हम निम्नलिखित संबंध पर पहुंचते हैं:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n) -एक)।

इस सूत्र का उपयोग करते हुए, हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं:

पी(4)=पी(3)+पी(3)=2,

पी(5)=पी(4)+पी(3)पी(3)+पी(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

आदि।

साथ ही, गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, आप रेखांकन के साथ समस्याओं को हल कर सकते हैं।

मान लीजिए कि समतल पर कुछ बिंदुओं को आपस में जोड़ने वाली और कोई अन्य बिंदु न होने पर, समतल पर रेखाओं का एक जाल दिया जाता है। हम रेखाओं के ऐसे नेटवर्क को मानचित्र कहेंगे, दिए गए बिंदु इसके शीर्ष हैं, दो आसन्न शीर्षों के बीच वक्रों के खंड - मानचित्र की सीमाएँ, विमान के वे भाग जिनमें यह सीमाओं से विभाजित है - के देश नक्शा।

मान लीजिए कि विमान पर कुछ नक्शा दिया गया है। हम कहेंगे कि यह सही ढंग से रंगा हुआ है यदि इसके प्रत्येक देश को एक निश्चित रंग में चित्रित किया गया है, और एक समान सीमा साझा करने वाले किन्हीं दो देशों को अलग-अलग रंगों में चित्रित किया गया है।

उदाहरण 4विमान पर n वृत्त हैं। सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों की किसी भी व्यवस्था के लिए इनके द्वारा बनाए गए मानचित्र को दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है।

फेसला।

n=1 के लिए हमारा अभिकथन स्पष्ट है।

मान लीजिए कि n वृत्तों द्वारा बनाए गए किसी भी मानचित्र के लिए हमारा कथन सत्य है, और मान लीजिए कि समतल पर n + 1 वृत्त दिए गए हैं। इनमें से किसी एक वृत्त को हटाकर, हमें एक नक्शा मिलता है, जो कि की गई धारणा के आधार पर, दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है, उदाहरण के लिए, काला और सफेद।