यदि एक सजातीय प्रणाली का सारणिक शून्य के बराबर है तो। सारणिक को त्रिकोणीय रूप में लाना

क्रैमर की विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में निर्धारकों के उपयोग पर आधारित है। यह समाधान प्रक्रिया को बहुत तेज करता है।

क्रैमर की विधि का उपयोग कई रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक समीकरण में अज्ञात होते हैं। यदि निकाय का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान में Cramer की विधि का उपयोग किया जा सकता है, यदि यह शून्य के बराबर है, तो यह नहीं हो सकता है। इसके अलावा, क्रैमर की विधि का उपयोग एक अद्वितीय समाधान वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा. निर्धारक, अज्ञात के गुणांकों से बना होता है, जिसे प्रणाली का निर्धारक कहा जाता है और इसे (डेल्टा) द्वारा निरूपित किया जाता है।

निर्धारकों

संबंधित अज्ञात पर गुणांकों को मुक्त पदों से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

;

क्रैमर का प्रमेय. यदि सिस्टम का निर्धारक गैर-शून्य है, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक एकल समाधान होता है, और अज्ञात निर्धारकों के अनुपात के बराबर होता है। हर में सिस्टम का निर्धारक होता है, और अंश में सिस्टम के निर्धारक से प्राप्त निर्धारक होता है, जो गुणांक को अज्ञात के साथ मुक्त शर्तों से बदल देता है। यह प्रमेय किसी भी क्रम के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए है।

उदाहरण 1रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

इसके अनुसार क्रैमर का प्रमेयअपने पास:

तो, प्रणाली का समाधान (2):

ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर की समाधान विधि।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में तीन मामले

जैसा से प्रतीत होता है क्रैमर के प्रमेय, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, तीन मामले हो सकते हैं:

पहला मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है

(प्रणाली सुसंगत और निश्चित है)

दूसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं

(प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है)

** ,

वे। अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद समानुपाती होते हैं।

तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है

(सिस्टम असंगत)

तो सिस्टम एमके साथ रैखिक समीकरण एनचर कहा जाता है असंगतअगर इसका कोई समाधान नहीं है, और संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है। समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली जिसका केवल एक ही हल होता है, कहलाता है निश्चित, और एक से अधिक ढुलमुल.

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

चलो सिस्टम

क्रैमर के प्रमेय पर आधारित

………….
,

कहाँ पे
-

सिस्टम पहचानकर्ता। शेष निर्धारक कॉलम को संबंधित चर (अज्ञात) के गुणांक के साथ मुक्त सदस्यों के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है:

उदाहरण 2

अतः व्यवस्था निश्चित है। इसका हल खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, (1; 0; -1) प्रणाली का एकमात्र समाधान है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

यदि एक या अधिक समीकरणों में रैखिक समीकरणों के निकाय में कोई चर नहीं हैं, तो सारणिक में उनके संगत तत्व शून्य के बराबर होते हैं! यह अगला उदाहरण है।

उदाहरण 3क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

फेसला। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

समीकरणों के निकाय और निकाय के सारणिक को ध्यान से देखें और उस प्रश्न का उत्तर दोहराएँ जिसमें सारणिक के एक या अधिक अवयव शून्य के बराबर हों। अतः सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए निकाय निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, सिस्टम का समाधान (2; -1; 1) है।

पृष्ठ के सबसे ऊपर

हम एक साथ Cramer पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, और अज्ञात के लिए निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, तो सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। आइए निम्नलिखित उदाहरण के साथ स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 6क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

फेसला। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है, इसलिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली या तो असंगत और निश्चित है, या असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। स्पष्ट करने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

अज्ञात के लिए निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए, सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की समस्याओं में, ऐसे भी होते हैं जहां, चर को निरूपित करने वाले अक्षरों के अलावा, अन्य अक्षर भी होते हैं। ये अक्षर कुछ संख्या के लिए खड़े होते हैं, अक्सर एक वास्तविक संख्या। व्यवहार में, ऐसे समीकरण और समीकरण प्रणाली किसी भी घटना और वस्तुओं के सामान्य गुणों को खोजने के लिए समस्याओं का कारण बनती हैं। यही है, आपने कुछ नई सामग्री या उपकरण का आविष्कार किया है, और इसके गुणों का वर्णन करने के लिए, जो आकार या प्रतियों की संख्या की परवाह किए बिना सामान्य हैं, आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है, जहां चर के लिए कुछ गुणांक के बजाय अक्षर हैं। आपको उदाहरणों के लिए दूर देखने की जरूरत नहीं है।

अगला उदाहरण इसी तरह की समस्या के लिए है, केवल समीकरणों, चरों और अक्षरों की संख्या कुछ वास्तविक संख्या में वृद्धि दर्शाती है।

उदाहरण 8क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

फेसला। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना

n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों का निकायफॉर्म की एक प्रणाली कहा जाता है

कहाँ पे ऐजोऔर बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1 ,…,एक्स एन- अनजान। गुणांकों के अंकन में ऐजोपहला सूचकांक मैंसमीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जेअज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक खड़ा है।

अज्ञात के गुणांक को मैट्रिक्स के रूप में लिखा जाएगा , जिसे हम कहेंगे सिस्टम मैट्रिक्स.

समीकरणों के दाईं ओर की संख्याएँ बी 1 ,…,बी एमबुलाया मुक्त सदस्य।

सकल एननंबर सी 1 ,…,सी एनबुलाया फेसलाइस प्रणाली का, यदि सिस्टम का प्रत्येक समीकरण इसमें संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद एक समानता बन जाता है सी 1 ,…,सी एनसंबंधित अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…,एक्स एन.

हमारा काम सिस्टम का समाधान खोजना होगा। इस मामले में, तीन स्थितियां उत्पन्न हो सकती हैं:

रैखिक समीकरणों का वह निकाय जिसका कम से कम एक हल हो, कहलाता है संयुक्त. अन्यथा, अर्थात्। यदि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.

सिस्टम के समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए कि तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सिस्टम के मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स कॉलम

आइए उत्पाद खोजें

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हम इस प्रणाली के समीकरणों के बाईं ओर प्राप्त करते हैं। फिर, मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, इस प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स = बी.

यहाँ मैट्रिसेस एऔर बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअनजान। उसे खोजने की जरूरत है, क्योंकि। इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

मान लीजिए मैट्रिक्स सारणिक शून्य से भिन्न है | ए| 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण निम्नानुसार हल किया जाता है। बाईं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स द्वारा गुणा करें एक-1, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ए: . जहां तक कि ए -1 ए = ईऔर इ∙एक्स = एक्स, तो हम रूप में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं एक्स = ए -1 बी .

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के समान है. हालाँकि, सिस्टम का मैट्रिक्स नोटेशन उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर नहीं होती है, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं है और इसलिए सिस्टम का समाधान फॉर्म में खोजना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

उदाहरण।समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

क्रैमर का नियम

तीन अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक, यानी। अज्ञात पर गुणांक से बना,

बुलाया प्रणाली निर्धारक.

हम तीन और सारणिकों की रचना इस प्रकार करते हैं: हम निर्धारक D में क्रमिक रूप से 1, 2 और 3 स्तंभों को मुक्त पदों के एक स्तंभ से प्रतिस्थापित करते हैं

तब हम निम्नलिखित परिणाम को सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि प्रणाली का निर्धारक 0 है, तो विचाराधीन प्रणाली का एक और केवल एक ही समाधान है, और

प्रमाण. तो, तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। सिस्टम के पहले समीकरण को बीजीय पूरक द्वारा गुणा करें ए 11तत्व एक 11, दूसरा समीकरण - पर ए21और तीसरा - पर ए 31:

आइए इन समीकरणों को जोड़ें:

इस समीकरण के प्रत्येक कोष्ठक और दाईं ओर पर विचार करें। पहले कॉलम के तत्वों के संदर्भ में निर्धारक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि और .

अंत में, यह देखना आसान है कि

इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।

इसलिये, ।

समानताएं और समान रूप से व्युत्पन्न होती हैं, जहां से प्रमेय का अभिकथन इस प्रकार है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि यदि निकाय का सारणिक 0 है, तो निकाय का एक अद्वितीय हल है और इसके विपरीत। यदि निकाय का सारणिक शून्य के बराबर है, तो निकाय के पास या तो समाधानों का अनंत समुच्चय है या कोई समाधान नहीं है, अर्थात। असंगत

उदाहरण।समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

गॉस विधि

पहले मानी गई विधियों का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और सिस्टम का निर्धारक शून्य से भिन्न होना चाहिए। गाऊसी विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी संख्या में समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन शामिल हैं।

तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर फिर से विचार करें:

हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे और तीसरे से हम शब्दों को शामिल नहीं करते हैं एक्स 1. ऐसा करने के लिए, हम दूसरे समीकरण को से विभाजित करते हैं ए 21 और गुणा करें - ए 11 और फिर 1 समीकरण के साथ जोड़ें। इसी तरह, हम तीसरे समीकरण को . में विभाजित करते हैं ए 31 और गुणा करें - ए 11 और फिर इसे पहले वाले में जोड़ें। परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली का रूप ले लेगा:

अब, अंतिम समीकरण से, हम युक्त पद को समाप्त करते हैं x2. ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को से विभाजित करें, गुणा करें और इसे दूसरे में जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:

इसलिए अंतिम समीकरण से इसे खोजना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से x2और अंत में 1 से - एक्स 1.

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, यदि आवश्यक हो तो समीकरणों को आपस में बदला जा सकता है।

अक्सर, समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखने के बजाय, वे सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने के लिए खुद को सीमित कर लेते हैं:

और फिर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।

सेवा प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:

पंक्तियों या स्तंभों का क्रमपरिवर्तन;
एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
एक पंक्ति में अन्य पंक्तियों को जोड़ना।

उदाहरण:गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें।

इस प्रकार, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

अज्ञात के साथ एन रैखिक बीजीय समीकरण (एसएलएई) की एक प्रणाली दी गई है, जिसके गुणांक मैट्रिक्स के तत्व हैं, और मुक्त सदस्य संख्याएं हैं

गुणांक के आगे पहला सूचकांक इंगित करता है कि गुणांक किस समीकरण में स्थित है, और दूसरा - यह किस अज्ञात स्थान पर स्थित है।

यदि मैट्रिक्स निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है

तब रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल होता है।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं का एक ऐसा क्रमबद्ध सेट होता है, जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को एक सही समानता में बदल देता है।

यदि निकाय के सभी समीकरणों की दाहिनी भुजाएँ शून्य के बराबर हों, तो समीकरणों का निकाय सजातीय कहलाता है। मामले में जब उनमें से कुछ गैर-शून्य हैं, गैर-वर्दी

यदि रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली में कम से कम एक समाधान होता है, तो इसे संगत कहा जाता है, अन्यथा यह असंगत है।

यदि निकाय का हल अद्वितीय है, तो रैखिक समीकरणों का निकाय निश्चित कहलाता है। ऐसे मामले में जब संयुक्त प्रणाली का समाधान अद्वितीय नहीं है, समीकरणों की प्रणाली को अनिश्चित कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की दो प्रणालियों को समतुल्य (या समतुल्य) कहा जाता है यदि एक प्रणाली के सभी समाधान दूसरे के समाधान हैं, और इसके विपरीत। समतुल्य (या समतुल्य) प्रणालियाँ समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करके प्राप्त की जाती हैं।

SLAE . के समतुल्य परिवर्तन

1) समीकरणों की पुनर्व्यवस्था;

2) एक गैर-शून्य संख्या द्वारा समीकरणों का गुणन (या भाग);

3) कुछ समीकरण में एक और समीकरण जोड़ना, एक मनमाना गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।

SLAE समाधान विभिन्न तरीकों से खोजा जा सकता है।

क्रैमर की विधि

क्रैमर का प्रमेय। यदि अज्ञात के साथ रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, तो इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान होता है, जो क्रैमर सूत्रों द्वारा पाया जाता है:

निर्धारक हैं जो मुक्त सदस्यों के एक कॉलम द्वारा i-वें कॉलम के प्रतिस्थापन के साथ बनते हैं।

यदि , और इनमें से कम से कम एक शून्येतर है, तो SLAE के पास कोई समाधान नहीं है। अगर , तो SLAE के पास कई समाधान हैं। क्रैमर विधि का उपयोग करने वाले उदाहरणों पर विचार करें।

—————————————————————

तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। Cramer's method द्वारा सिस्टम को सॉल्व करें

अज्ञात के लिए गुणांक के मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं

तब से, समीकरणों की दी गई प्रणाली सुसंगत है और इसका एक अनूठा समाधान है। आइए निर्धारकों की गणना करें:

Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके, हम अज्ञात का पता लगाते हैं

इसलिए व्यवस्था का एकमात्र समाधान।

चार रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। क्रैमर विधि द्वारा तंत्र को हल करें।

आइए हम अज्ञात के लिए गुणांक के मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, हम इसे पहली पंक्ति से विस्तारित करते हैं।

सारणिक के घटकों का पता लगाएं:

पाए गए मानों को निर्धारक में बदलें

इसलिए, सारणिक, समीकरणों की प्रणाली सुसंगत है और इसका एक अनूठा समाधान है। हम क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके निर्धारकों की गणना करते हैं:

आइए प्रत्येक निर्धारक को उस स्तंभ द्वारा विस्तारित करें जिसमें अधिक शून्य हैं।

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं

सिस्टम समाधान

इस उदाहरण को गणितीय कैलकुलेटर से हल किया जा सकता है युखिमकैल्क. कार्यक्रम का एक अंश और गणना के परिणाम नीचे दिखाए गए हैं।

——————————

सी आर ए एम ई आर विधि

|1,1,1,1|

डी=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

डी=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= दस

|0,1,1,1|

डीएक्स1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

डीएक्स2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

डीएक्स3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

डीएक्स4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

सामग्री देखें:

(टिप्पणियों पर)

सामान्य स्थिति में, वें क्रम के निर्धारकों की गणना करने का नियम बल्कि बोझिल है। दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों के लिए, उनकी गणना करने के तर्कसंगत तरीके हैं।

दूसरे क्रम के निर्धारकों की गणना

दूसरे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए, मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद से द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाना आवश्यक है:

उदाहरण

व्यायाम।दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना करें

फेसला।

जवाब।

तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के तरीके

तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए नियम हैं।

त्रिभुज नियम

योजनाबद्ध रूप से, इस नियम को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

पहले सारणिक में तत्वों का गुणनफल जो रेखाओं से जुड़ा होता है, एक धन चिह्न के साथ लिया जाता है; इसी तरह, दूसरे निर्धारक के लिए, संबंधित उत्पादों को ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है, अर्थात।

उदाहरण

व्यायाम।गणना निर्धारक त्रिकोण विधि।

फेसला।

जवाब।

सरस नियम

सारणिक के दायीं ओर, पहले दो कॉलम जोड़े जाते हैं और मुख्य विकर्ण पर और इसके समानांतर विकर्णों पर तत्वों के उत्पादों को प्लस चिह्न के साथ लिया जाता है; और द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद और इसके समानांतर विकर्ण, एक ऋण चिह्न के साथ:

उदाहरण

व्यायाम।गणना निर्धारक सरस नियम का उपयोग करना।

फेसला।

जवाब।

निर्धारक का पंक्ति या स्तंभ विस्तार

सारणिक, सारणिक की पंक्ति के तत्वों के गुणनफल और उनके बीजीय पूरक के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर उस पंक्ति/स्तंभ का चयन करें जिसमें/वें शून्य हों। जिस पंक्ति या स्तंभ पर अपघटन किया जाता है उसे एक तीर द्वारा दर्शाया जाएगा।

उदाहरण

व्यायाम।पहली पंक्ति में विस्तार करते हुए, निर्धारक की गणना करें

फेसला।

जवाब।

यह विधि निर्धारक की गणना को निचले क्रम के निर्धारक की गणना के लिए कम करने की अनुमति देती है।

उदाहरण

व्यायाम।गणना निर्धारक

फेसला।आइए हम निर्धारक की पंक्तियों पर निम्नलिखित परिवर्तन करते हैं: दूसरी पंक्ति से हम पहली चार घटाते हैं, और तीसरी पंक्ति से पहली पंक्ति को सात से गुणा करते हैं, परिणामस्वरूप, निर्धारक के गुणों के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं दिए गए के बराबर निर्धारक।

सारणिक शून्य है क्योंकि दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ आनुपातिक हैं।

जवाब।

चौथे क्रम और उच्चतर के निर्धारकों की गणना करने के लिए, या तो पंक्ति / स्तंभ विस्तार, या त्रिकोणीय रूप में कमी, या लाप्लास के प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

एक पंक्ति या स्तंभ के तत्वों के संदर्भ में सारणिक का अपघटन

उदाहरण

व्यायाम।गणना निर्धारक , इसे किसी पंक्ति या किसी स्तंभ के तत्वों द्वारा विघटित करना।

फेसला।आइए पहले हम सारणिक की पंक्तियों पर एक पंक्ति में या एक स्तंभ में यथासंभव अधिक से अधिक शून्य बनाकर प्राथमिक परिवर्तन करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले हम पहली पंक्ति से नौ तिहाई घटाते हैं, दूसरी से पांच तिहाई और चौथी से तीन तिहाई, हम प्राप्त करते हैं:

हम पहले कॉलम के तत्वों द्वारा परिणामी निर्धारक का विस्तार करते हैं:

परिणामी तीसरे क्रम के निर्धारक को पंक्ति और स्तंभ के तत्वों द्वारा भी विस्तारित किया जाता है, जिसमें पहले शून्य प्राप्त होता है, उदाहरण के लिए, पहले कॉलम में।

ऐसा करने के लिए, हम पहली पंक्ति से दो दूसरी पंक्तियाँ घटाते हैं, और दूसरी तीसरी से:

जवाब।

टिप्पणी

अंतिम और अंतिम निर्धारकों की गणना नहीं की जा सकी, लेकिन तुरंत निष्कर्ष निकाला कि वे शून्य के बराबर हैं, क्योंकि उनमें आनुपातिक पंक्तियाँ हैं।

सारणिक को त्रिकोणीय रूप में लाना

पंक्तियों या स्तंभों पर प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, निर्धारक को त्रिकोणीय रूप में घटाया जाता है, और फिर इसका मूल्य, निर्धारक के गुणों के अनुसार, मुख्य विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर होता है।

उदाहरण

व्यायाम।गणना निर्धारक इसे त्रिकोणीय आकार में लाना।

फेसला।सबसे पहले, हम मुख्य विकर्ण के नीचे पहले कॉलम में शून्य बनाते हैं।

4. निर्धारकों के गुण। मैट्रिक्स के उत्पाद का निर्धारक।

यदि तत्व 1 के बराबर है तो सभी परिवर्तन करना आसान हो जाएगा। ऐसा करने के लिए, हम निर्धारक के पहले और दूसरे कॉलम को स्वैप करेंगे, जो कि निर्धारक के गुणों के अनुसार, इसके विपरीत संकेत को बदलने का कारण बनेगा। :

इसके बाद, हम मुख्य विकर्ण के तहत तत्वों के स्थान पर दूसरे कॉलम में शून्य प्राप्त करते हैं। और फिर, यदि विकर्ण तत्व के बराबर है, तो गणना सरल हो जाएगी। ऐसा करने के लिए, हम दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करते हैं (और साथ ही निर्धारक के विपरीत संकेत में बदलते हैं):

जवाब।

लाप्लास की प्रमेय

उदाहरण

व्यायाम।लाप्लास के प्रमेय का उपयोग करते हुए, सारणिक की गणना करें

फेसला।हम इस पांचवें क्रम के निर्धारक में दो पंक्तियों को चुनते हैं - दूसरी और तीसरी, फिर हमें मिलता है (हम शून्य के बराबर पदों को छोड़ देते हैं):

जवाब।

रैखिक समीकरण और असमानताएँ I

31 वह स्थिति जब समीकरणों की एक प्रणाली का मुख्य निर्धारक शून्य के बराबर होता है, और सहायक निर्धारकों में से कम से कम एक शून्य से भिन्न होता है

प्रमेय।यदि समीकरणों की प्रणाली का मुख्य निर्धारक

(1)

शून्य के बराबर है, और सहायक निर्धारकों में से कम से कम एक शून्य से अलग है, तो सिस्टम असंगत है।

औपचारिक रूप से, इस प्रमेय का प्रमाण विरोधाभास से प्राप्त करना कठिन नहीं है। आइए मान लें कि समीकरणों की प्रणाली (1) का एक समाधान है ( एक्स 0 , आप 0)। जबकि, जैसा कि पिछले पैराग्राफ में दिखाया गया है,

Δ एक्स 0 = Δ एक्स , Δ आप 0 = Δ आप (2)

लेकिन शर्त Δ = 0, और कम से कम एक निर्धारक Δ एक्स और Δ आप शून्य से भिन्न। इस प्रकार, समानताएं (2) एक साथ नहीं रह सकतीं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

हालांकि, यह अधिक विस्तार से स्पष्ट करना दिलचस्प लगता है कि समीकरणों की प्रणाली (1) विचाराधीन मामले में असंगत क्यों है।

इसका मतलब है कि समीकरणों की प्रणाली में अज्ञात के गुणांक (1) आनुपातिक हैं। चलो, उदाहरण के लिए,

ए 1 = का 2 ,बी 1 = केबी 2 .

इसका मतलब है कि गुणांक पर और निकाय (1) के समीकरणों के मुक्त पद समानुपाती नहीं हैं। जहां तक कि बी 1 = केबी 2, फिर सी 1 === केसी 2 .

इसलिए, समीकरणों की प्रणाली (1) को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

इस प्रणाली में, अज्ञात के लिए गुणांक क्रमशः आनुपातिक होते हैं, लेकिन गुणांक के लिए पर (या कब एक्स ) और मुक्त शर्तें आनुपातिक नहीं हैं। ऐसी प्रणाली, निश्चित रूप से, असंगत है। वास्तव में, अगर उसके पास कोई समाधान होता ( एक्स 0 , आप 0), फिर संख्यात्मक समानताएँ

क (ए 2 एक्स 0 + बी 2 आप 0) = सी 1

ए 2 एक्स 0 + बी 2 आप 0 = सी 2 .

लेकिन इनमें से एक समानता दूसरे का खंडन करती है: आखिरकार, सी 1 === केसी 2 .

हमने केवल उस मामले पर विचार किया है जब Δ एक्स === 0. इसी तरह, हम मामले पर विचार कर सकते हैं जब Δ आप =/= 0."

सिद्ध प्रमेय को निम्नलिखित तरीके से तैयार किया जा सकता है।

यदि अज्ञात के लिए गुणांक एक्सऔर परसमीकरणों की प्रणाली में (1) आनुपातिक हैं, और इनमें से किसी भी अज्ञात और मुक्त शर्तों के गुणांक आनुपातिक नहीं हैं, तो समीकरणों की यह प्रणाली असंगत है।

उदाहरण के लिए, यह सत्यापित करना आसान है कि इनमें से प्रत्येक सिस्टम असंगत होगा:

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए क्रैमर की विधि

क्रैमर के सूत्र

क्रैमर की विधि का उपयोग कई रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक समीकरण में अज्ञात होते हैं।

क्रेमर की विधि। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के लिए आवेदन

यदि निकाय का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान में Cramer की विधि का उपयोग किया जा सकता है, यदि यह शून्य के बराबर है, तो यह नहीं हो सकता है। इसके अलावा, क्रैमर की विधि का उपयोग एक अद्वितीय समाधान वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

निर्धारकों

;

उदाहरण 1रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

इसके अनुसार क्रैमर का प्रमेयअपने पास:

तो, प्रणाली का समाधान (2):

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में तीन मामले

पहला मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है

(प्रणाली सुसंगत और निश्चित है)

(प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है)

**
,

वे। अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद समानुपाती होते हैं।

तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है

(सिस्टम असंगत)

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

चलो सिस्टम

क्रैमर के प्रमेय पर आधारित

………….
,

कहाँ पे
—

उदाहरण 2

अतः व्यवस्था निश्चित है। इसका हल खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, (1; 0; -1) प्रणाली का एकमात्र समाधान है।

उदाहरण 3क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

फेसला। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, सिस्टम का समाधान (2; -1; 1) है।

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रैखिक समीकरणों के निकाय पर एक प्रश्नोत्तरी लें

उदाहरण 4क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

फेसला। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

उदाहरण 6क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

फेसला। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

और अंत में, चार अज्ञात के साथ चार समीकरणों की एक प्रणाली।

उदाहरण 7क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

ध्यान! चौथे क्रम के निर्धारकों की गणना के तरीकों की व्याख्या यहां नहीं की जाएगी। उसके बाद - साइट के उपयुक्त अनुभाग में। लेकिन कुछ टिप्पणियां होंगी। फेसला। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

एक छोटी सी टिप्पणी। मूल निर्धारक में, चौथी पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के तत्वों से घटाया गया, चौथी पंक्ति के तत्वों को 2 से गुणा किया गया, तीसरी पंक्ति के तत्वों से, पहली पंक्ति के तत्वों को 2 से गुणा किया गया। , चौथी पंक्ति के तत्वों से पहले तीन अज्ञात के साथ प्रारंभिक निर्धारकों के परिवर्तन एक ही योजना के अनुसार किए गए थे। अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना

चौथे अज्ञात के साथ निर्धारक के परिवर्तन के लिए, चौथी पंक्ति के तत्वों को पहली पंक्ति के तत्वों से घटाया गया था।

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, सिस्टम का समाधान (1; 1; -1; -1) है।

सबसे चौकस लोगों ने शायद देखा कि लेख में रैखिक समीकरणों की अनिश्चित प्रणाली को हल करने के उदाहरण नहीं थे। और सभी क्योंकि क्रैमर विधि द्वारा ऐसी प्रणालियों को हल करना असंभव है, हम केवल यह कह सकते हैं कि सिस्टम अनिश्चित है। ऐसी प्रणालियों के समाधान गॉस विधि द्वारा दिए जाते हैं।

समाधान में तल्लीन करने का समय नहीं है? आप नौकरी का आदेश दे सकते हैं!

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रैखिक समीकरणों के निकाय पर एक प्रश्नोत्तरी लें

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निर्धारकों

इस लेख में, हम रैखिक बीजगणित के खंड से एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा से परिचित होंगे, जिसे निर्धारक कहा जाता है।

मैं एक महत्वपूर्ण बिंदु को तुरंत नोट करना चाहूंगा: एक निर्धारक की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स (पंक्तियों की संख्या = स्तंभों की संख्या) के लिए मान्य है, अन्य मैट्रिक्स में यह नहीं है।

एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक(निर्धारक) - मैट्रिक्स की संख्यात्मक विशेषता।

निर्धारकों का पदनाम: |A|, det A, ∆ ए।

सिद्ध"एन" क्रम को इसके तत्वों के सभी संभावित उत्पादों का बीजगणितीय योग कहा जाता है जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करते हैं:

1) ऐसे प्रत्येक उत्पाद में बिल्कुल "n" तत्व होते हैं (अर्थात दूसरा क्रम निर्धारक 2 तत्व है)।

2) प्रत्येक उत्पाद में कारक के रूप में प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ का प्रतिनिधि होता है।

3) प्रत्येक उत्पाद में कोई भी दो कारक एक ही पंक्ति या स्तंभ से संबंधित नहीं हो सकते हैं।

उत्पाद का चिन्ह स्तंभ संख्याओं के प्रत्यावर्तन के क्रम से निर्धारित होता है, यदि उत्पाद में तत्वों को पंक्ति संख्याओं के आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।

मैट्रिक्स के सारणिक को खोजने के कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

प्रथम-क्रम मैट्रिक्स के लिए (अर्थात।

रेखीय समीकरण। रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना। क्रेमर की विधि।

केवल 1 तत्व है), निर्धारक इस तत्व के बराबर है:

2. दूसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स पर विचार करें:

3. तीसरे क्रम (3×3) के एक वर्ग मैट्रिक्स पर विचार करें:

4. और अब वास्तविक संख्याओं वाले उदाहरणों पर विचार करें:

त्रिभुज नियम।

त्रिभुज नियम एक मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने का एक तरीका है, जिसमें इसे निम्नलिखित योजना के अनुसार खोजना शामिल है:

जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, इस विधि को त्रिभुज नियम कहा जाता है क्योंकि गुणित मैट्रिक्स तत्व अजीबोगरीब त्रिभुज बनाते हैं।

इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए एक उदाहरण लेते हैं:

और अब त्रिभुज नियम का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं के साथ एक मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना पर विचार करें:

कवर की गई सामग्री को समेकित करने के लिए, हम एक और व्यावहारिक उदाहरण हल करेंगे:

निर्धारकों के गुण:

1. यदि किसी पंक्ति या स्तंभ के अवयव शून्य के बराबर हों, तो सारणिक शून्य के बराबर होता है।

2. यदि किसी भी 2 पंक्तियों या स्तंभों की अदला-बदली की जाती है तो निर्धारक चिह्न बदल देगा। आइए इसे एक छोटे से उदाहरण से देखें:

3. स्थानांतरित मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है।

4. सारणिक शून्य होता है यदि एक पंक्ति के अवयव दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों के बराबर हों (स्तंभों के लिए भी)। निर्धारकों के इस गुण का सबसे सरल उदाहरण है:

5. सारणिक शून्य होता है यदि इसकी 2 पंक्तियाँ समानुपाती हों (स्तंभों के लिए भी)। उदाहरण (पंक्ति 1 और 2 आनुपातिक हैं):

6. सारणिक के चिह्न से एक पंक्ति (स्तंभ) का उभयनिष्ठ गुणनखंड निकाला जा सकता है।

7) यदि किसी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को किसी अन्य पंक्ति (स्तंभ) के संगत तत्वों में जोड़ा जाता है, तो उसी मान से गुणा करने पर सारणिक नहीं बदलेगा। आइए इसे एक उदाहरण के साथ देखें:

लघु और बीजीय जोड़

उदाहरण के द्वारा आव्यूहों का जोड़ और घटाव

मैट्रिसेस के साथ क्रिया

"मैट्रिक्स" की अवधारणा

दृश्य: 57258

निर्धारक (उर्फ निर्धारक (निर्धारक)) केवल वर्ग मैट्रिक्स में पाया जाता है। निर्धारक एक मान से अधिक कुछ नहीं है जो एक मैट्रिक्स के सभी तत्वों को जोड़ता है, जो पंक्तियों या स्तंभों को स्थानांतरित करते समय संरक्षित होता है। इसे det(A), |A|, (A), के रूप में निरूपित किया जा सकता है, जहां A एक मैट्रिक्स और इसे दर्शाने वाला एक अक्षर दोनों हो सकता है। आप इसे विभिन्न तरीकों से पा सकते हैं:

ऊपर प्रस्तावित सभी विधियों का विश्लेषण तीन या अधिक आकार के आव्यूहों पर किया जाएगा। द्वि-आयामी मैट्रिक्स का निर्धारक तीन प्राथमिक गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके पाया जाता है, इसलिए, द्वि-आयामी मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजना किसी भी विधि में नहीं आएगा। खैर, एक अतिरिक्त के अलावा, लेकिन उस पर बाद में और अधिक।

2x2 आव्यूह का सारणिक ज्ञात कीजिए:

हमारे मैट्रिक्स के सारणिक को खोजने के लिए, एक विकर्ण की संख्याओं के गुणनफल को दूसरे से घटाना आवश्यक है, अर्थात्

दूसरे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजने के उदाहरण

पंक्ति/स्तंभ अपघटन

मैट्रिक्स में किसी भी पंक्ति या कॉलम का चयन किया जाता है। चयनित पंक्ति में प्रत्येक संख्या को (-1) i+j से गुणा किया जाता है जहां (i,j उस संख्या की पंक्ति, स्तंभ संख्या है) और i-पंक्ति को हटाने के बाद शेष तत्वों से बने दूसरे क्रम निर्धारक के साथ गुणा किया जाता है और जे - कॉलम। आइए मैट्रिक्स पर एक नज़र डालें

एक पंक्ति/स्तंभ चुनें

उदाहरण के लिए, दूसरी पंक्ति लें।

टिप्पणी: यदि यह स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है कि निर्धारक को किस रेखा से खोजना है, तो वह रेखा चुनें जिसमें शून्य हो। गणना कम होगी।

एक अभिव्यक्ति लिखें

यह निर्धारित करना मुश्किल नहीं है कि किसी संख्या का चिन्ह हर बार बदलता है। इसलिए, इकाइयों के बजाय, आपको निम्न तालिका द्वारा निर्देशित किया जा सकता है:

आइए अपने नंबरों का चिन्ह बदलें

आइए हमारे मैट्रिक्स के निर्धारकों को खोजें

हम यह सब मानते हैं

समाधान इस तरह लिखा जा सकता है:

पंक्ति/स्तंभ विस्तार द्वारा एक सारणिक खोजने के उदाहरण:

त्रिकोणीय रूप में कमी की विधि (प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके)

सारणिक मैट्रिक्स को त्रिकोणीय (चरणबद्ध) रूप में कम करके और मुख्य विकर्ण पर तत्वों को गुणा करके पाया जाता है

त्रिकोणीय मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसके विकर्ण के एक तरफ के तत्व शून्य के बराबर होते हैं।

मैट्रिक्स बनाते समय, तीन सरल नियम याद रखें:

हर बार जब तार आपस में बदल जाते हैं, तो सारणिक संकेत को विपरीत में बदल देता है।
एक पंक्ति को गैर-शून्य संख्या से गुणा / विभाजित करते समय, इसे विभाजित (यदि गुणा किया जाता है) / गुणा (यदि विभाजित) किया जाना चाहिए, या परिणामी निर्धारक के साथ यह क्रिया करें।
जब एक स्ट्रिंग को किसी संख्या से दूसरी स्ट्रिंग में गुणा किया जाता है, तो सारणिक नहीं बदलता है (गुणा किया गया स्ट्रिंग अपना मूल मान लेता है)।

आइए पहले कॉलम में शून्य प्राप्त करने का प्रयास करें, फिर दूसरे में।

आइए हमारे मैट्रिक्स पर एक नज़र डालें:

ता-ए-अक। गणना को और अधिक सुखद बनाने के लिए, मैं शीर्ष पर निकटतम संख्या रखना चाहता हूं। आप इसे छोड़ सकते हैं, लेकिन आपको ऐसा करने की जरूरत नहीं है। ठीक है, हमारे पास दूसरी पंक्ति में एक ड्यूस है, और पहली पर चार।

आइए इन दो पंक्तियों को स्वैप करें।

हमने लाइनों की अदला-बदली की, अब हमें या तो एक लाइन का चिन्ह बदलना होगा, या अंत में सारणिक के चिन्ह को बदलना होगा।

निर्धारक। निर्धारकों की गणना (पृष्ठ 2)

हम इसे बाद में करेंगे।

अब, पहली पंक्ति में शून्य प्राप्त करने के लिए, हम पहली पंक्ति को 2 से गुणा करते हैं।

पहली पंक्ति को दूसरी से घटाएँ।

हमारे तीसरे नियम के अनुसार, हम मूल स्ट्रिंग को प्रारंभिक स्थिति में लौटाते हैं।

अब तीसरी पंक्ति में शून्य बनाते हैं। हम पहली पंक्ति को 1.5 से गुणा कर सकते हैं और तीसरी से घटा सकते हैं, लेकिन भिन्नों के साथ काम करने से थोड़ा आनंद मिलता है। इसलिए, आइए एक संख्या ज्ञात करें जिससे दोनों तारों को कम किया जा सके - यह 6 है।

तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें।

अब हम पहली पंक्ति को 3 से गुणा करते हैं और तीसरी पंक्ति से घटाते हैं।

आइए अपनी पहली पंक्ति वापस करें।

यह मत भूलो कि हमने तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा किया है, इसलिए हम सारणिक को 2 से विभाजित करेंगे।

एक कॉलम है। अब, दूसरे में शून्य प्राप्त करने के लिए - आइए पहली पंक्ति के बारे में भूल जाएं - हम दूसरी पंक्ति के साथ काम करते हैं। दूसरी पंक्ति को -3 से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें।

दूसरी पंक्ति वापस करना न भूलें।

इसलिए हमने एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स बनाया है। हमारे पास क्या बचा है? और यह मुख्य विकर्ण पर संख्याओं को गुणा करने के लिए बनी हुई है, जो हम करेंगे।

खैर, यह याद रखना बाकी है कि हमें अपने सारणिक को 2 से विभाजित करना चाहिए और चिन्ह को बदलना चाहिए।

सरस का नियम (त्रिभुजों का नियम)

सरस का नियम केवल तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स पर लागू होता है।

सारणिक की गणना मैट्रिक्स के दाईं ओर पहले दो कॉलम जोड़कर, मैट्रिक्स के विकर्णों के तत्वों को गुणा करके और उन्हें जोड़कर, और विपरीत विकर्णों के योग को घटाकर की जाती है। नारंगी विकर्णों से बैंगनी घटाएं।

त्रिभुजों का नियम एक ही है, केवल चित्र भिन्न है।

लाप्लास की प्रमेय पंक्ति/स्तंभ अपघटन देखें

1.1. दो रैखिक समीकरणों और दूसरे क्रम के निर्धारकों के निकाय

दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

कठिनाइयाँ अज्ञात के साथ और दो सूचकांक हैं: पहला समीकरण की संख्या को इंगित करता है, दूसरा - चर की संख्या।

क्रैमर का नियम: सिस्टम के मुख्य निर्धारक द्वारा सहायक निर्धारकों को विभाजित करके सिस्टम का समाधान पाया जाता है

टिप्पणी 1.क्रैमर नियम का प्रयोग संभव है यदि तंत्र का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।

टिप्पणी 2.क्रैमर के सूत्रों को उच्च क्रम प्रणालियों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण 1समाधान प्रणाली:
.

फेसला।

;
;

;

इंतिहान:

निष्कर्ष:सिस्टम सही है:
.

1.2. तीन रैखिक समीकरणों और तीसरे क्रम के निर्धारकों के निकाय

तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

अज्ञात के गुणांकों से बना सारणिक कहलाता है सिस्टम क्वालीफायर या मास्टर क्वालीफायर:

यदि एक
तब सिस्टम का एक अनूठा समाधान होता है, जो क्रैमर सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

निर्धारक कहां हैं
सहायक कहलाते हैं और निर्धारक से प्राप्त होते हैं इसके पहले, दूसरे, या तीसरे कॉलम को फ्री सिस्टम मेंबर्स के कॉलम से बदलकर।

उदाहरण 2सिस्टम को हल करें
.

आइए मुख्य और सहायक निर्धारक बनाते हैं:

यह तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के नियमों पर विचार करना बाकी है। उनमें से तीन हैं: स्तंभ जोड़ नियम, सरस नियम और विस्तार नियम।

ए) मुख्य निर्धारक में पहले दो कॉलम जोड़ने का नियम:

गणना निम्नानुसार की जाती है: उनके संकेत के साथ मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद होते हैं और इसके समानांतर, विपरीत संकेत के साथ, वे द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पादों को लेते हैं और इसके समानांतर होते हैं .

बी) सरस नियम:

उनके संकेत के साथ, वे मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पादों और उसके समानांतर के साथ लेते हैं, और लापता तीसरा तत्व विपरीत कोने से लिया जाता है। विपरीत चिन्ह के साथ, वे द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के गुणनफल लेते हैं और इसके समानांतर के साथ, तीसरा तत्व विपरीत कोने से लिया जाता है।

ग) एक पंक्ति या स्तंभ के तत्वों द्वारा विस्तार का नियम:

यदि एक
, तब ।

बीजीय जोड़संबंधित पंक्ति और स्तंभ को हटाकर और चिन्ह को ध्यान में रखते हुए प्राप्त किया गया एक निचला क्रम निर्धारक है
, कहाँ पे - लाइन नंबर - कॉलम नंबर।

उदाहरण के लिए,

,
,
आदि।

आइए हम इस नियम के अनुसार सहायक निर्धारकों की गणना करें और , पहली पंक्ति के तत्वों द्वारा उनका विस्तार करना।

सभी निर्धारकों की गणना करने के बाद, हम क्रैमर के नियम के अनुसार चर पाते हैं:

इंतिहान:

निष्कर्ष:सिस्टम सही है:।

निर्धारकों के मूल गुण

यह याद रखना चाहिए कि सारणिक है संख्या, कुछ नियमों के अनुसार पाया जाता है। इसकी गणना को सरल बनाया जा सकता है यदि हम उन मूल गुणों का उपयोग करते हैं जो किसी भी क्रम के निर्धारकों के लिए मान्य हैं।

संपत्ति 1. सारणिक का मान नहीं बदलेगा यदि उसकी सभी पंक्तियों को संगत स्तंभों से बदल दिया जाए और इसके विपरीत।

पंक्तियों को स्तंभों से बदलने की क्रिया को स्थानान्तरण कहा जाता है। इस गुण से यह निष्कर्ष निकलता है कि कोई भी कथन जो सारणिक की पंक्तियों के लिए सत्य है, उसके स्तंभों के लिए भी सत्य होगा।

संपत्ति 2. यदि सारणिक में दो पंक्तियों (स्तंभों) को आपस में बदल दिया जाए, तो सारणिक का चिन्ह विपरीत दिशा में बदल जाएगा।

संपत्ति 3. यदि सारणिक की किसी पंक्ति के सभी अवयव 0 के बराबर हैं, तो सारणिक 0 के बराबर है।

संपत्ति 4. यदि सारणिक स्ट्रिंग के तत्वों को किसी संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है , तो सारणिक का मान बढ़ जाएगा (कमी) in एक बार।

यदि किसी पंक्ति के तत्वों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो उसे सारणिक चिह्न से निकाला जा सकता है।

संपत्ति 5. यदि सारणिक की दो समान या समानुपाती पंक्तियाँ हैं, तो ऐसा सारणिक 0 के बराबर है।

संपत्ति 6. यदि सारणिक की किसी पंक्ति के अवयव दो पदों का योग हो, तो सारणिक दो सारणिकों के योग के बराबर होता है।

संपत्ति 7. सारणिक का मान नहीं बदलता है यदि एक पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के तत्वों में जोड़ा जाता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

इस सारणिक में पहले तीसरे को 2 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया, फिर तीसरे स्तंभ में से दूसरा घटा दिया गया, जिसके बाद पहली और तीसरी पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ दी गई, परिणामस्वरूप हमें बहुत कुछ मिला शून्य और गणना को सरल बनाया।

प्राथमिकपरिवर्तनों इन गुणों के उपयोग के कारण निर्धारकों को इसका सरलीकरण कहा जाता है।

उदाहरण 1गणना निर्धारक

उपरोक्त नियमों में से किसी एक के अनुसार सीधी गणना करने से जटिल गणनाएँ होती हैं। इसलिए, गुणों का उपयोग करना उचित है:

ए) पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति घटाएं, 2 से गुणा करें;

बी) तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएं, 3 से गुणा करें।

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

आइए हम इस सारणिक को पहले स्तंभ के तत्वों के रूप में विस्तारित करें, जिसमें केवल एक गैर-शून्य तत्व होता है।

उच्च क्रम के सिस्टम और निर्धारक

प्रणाली के साथ रैखिक समीकरण अज्ञात को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

इस मामले के लिए, मुख्य और सहायक निर्धारकों की रचना करना और क्रैमर के नियम के अनुसार अज्ञात का निर्धारण करना भी संभव है। समस्या यह है कि उच्च क्रम के निर्धारकों की गणना केवल क्रम को कम करके और उन्हें तीसरे क्रम के निर्धारकों तक कम करके की जा सकती है। यह पंक्ति या स्तंभ तत्वों में प्रत्यक्ष अपघटन के साथ-साथ प्रारंभिक प्रारंभिक परिवर्तनों और आगे के अपघटन द्वारा किया जा सकता है।

उदाहरण 4चौथे क्रम के निर्धारक की गणना करें

फेसलादो तरह से खोजें:

ए) पहली पंक्ति के तत्वों पर प्रत्यक्ष विस्तार द्वारा:

बी) प्रारंभिक परिवर्तनों और आगे अपघटन द्वारा

	ए) लाइन 1 से लाइन 3 घटाएं
	b) पंक्ति II को पंक्ति IV में जोड़ें

उदाहरण 5चौथे कॉलम का उपयोग करके तीसरी पंक्ति में शून्य प्राप्त करते हुए, पांचवें क्रम के निर्धारक की गणना करें

पहली पंक्ति से दूसरी घटाएं, तीसरी से दूसरी घटाएं, और चौथी से दूसरी गुणा 2 घटाएं।

दूसरे कॉलम से तीसरा घटाएं:

तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएँ:

उदाहरण 6समाधान प्रणाली:

फेसला।आइए हम प्रणाली के निर्धारक की रचना करें और, निर्धारकों के गुणों को लागू करते हुए, इसकी गणना करें:

(पहली पंक्ति से हम तीसरे को घटाते हैं, और फिर तीसरे कॉलम से परिणामी तीसरे क्रम के निर्धारक में हम पहले को घटाते हैं, 2 से गुणा करते हैं)। सिद्ध
, इसलिए, क्रैमर के सूत्र लागू होते हैं।

आइए शेष निर्धारकों की गणना करें:

चौथे कॉलम को 2 से गुणा किया जाता है और बाकी से घटाया जाता है

चौथे कॉलम को पहले से घटाया गया, और फिर, 2 से गुणा किया गया, दूसरे और तीसरे कॉलम से घटाया गया।

यहां, वही परिवर्तन किए गए जो for . के रूप में किए गए थे
.

जब मिला पहले कॉलम को 2 से गुणा किया गया और बाकी से घटाया गया।

क्रैमर के नियम के अनुसार, हमारे पास है:

पाए गए मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने के बाद, हम सुनिश्चित करते हैं कि सिस्टम का समाधान सही है।

2. मैट्रिक्स और उनका उपयोग

रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रणाली में

2.यदि │A│=0, तो मैट्रिक्स A पतित है और उलटा मैट्रिक्स A -1 मौजूद नहीं है।

यदि मैट्रिक्स A का सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है।

3. ए को स्थानांतरित ए टी खोजें।

4. ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स के तत्वों के बीजगणितीय पूरक खोजें और उनसे आसन्न मैट्रिक्स की रचना करें। 5. हम सूत्र के अनुसार व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करते हैं: 6. व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना की शुद्धता की जांच करें, इसकी परिभाषा ए -1 ∙ ए = ए ∙ ए -1 = ई के आधार पर।

· №28

· एक mxn मैट्रिक्स में, किसी भी पंक्ति और कॉलम को हटाकर, कोई kth क्रम के वर्ग सबमैट्रिस का चयन कर सकता है, जहां k≤min(m; n)। ऐसे सबमैट्रिसेस के निर्धारकों को मैट्रिक्स A के k-वें कोटि के अवयस्क कहा जाता है।

· मैट्रिक्स A की रैंक इस मैट्रिक्स के गैर-शून्य नाबालिगों का उच्चतम क्रम है।

· एक मैट्रिक्स A की रैंक को रंग A या r(A) द्वारा दर्शाया जाता है।

· परिभाषा से इस प्रकार है:

· 1) आकार के मैट्रिक्स की रैंक m x n इसके सबसे छोटे आकार से अधिक नहीं है, अर्थात। आर (ए) मिनट (एम; एन)।

· 2) r(A)=0 यदि और केवल तभी जब आव्यूह के सभी अवयव शून्य के बराबर हों, अर्थात। ए = 0।

· 3) nवें कोटि के वर्ग आव्यूह के लिए, r(A) = n यदि और केवल यदि आव्यूह A एकवचन है।

· सामान्य स्थिति में, सभी अवयस्कों की गणना द्वारा मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करना काफी श्रमसाध्य है। इस कार्य को सुविधाजनक बनाने के लिए, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है जो मैट्रिक्स के रैंक को बनाए रखते हैं:

· 1) शून्य पंक्ति (स्तंभ) की अस्वीकृति।

· 2) एक मैट्रिक्स की एक पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।

· 3) मैट्रिक्स की पंक्तियों (कॉलम) के क्रम को बदलना।

· 4) एक पंक्ति (स्तंभ) के प्रत्येक तत्व में दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के संगत तत्वों को किसी भी संख्या से गुणा करने पर जोड़ना।

· 5) मैट्रिक्स ट्रांसपोजिशन।

· प्रमेय। मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तनों के तहत मैट्रिक्स की रैंक नहीं बदलेगी।

№31

मान लें कि निकाय में समीकरणों की संख्या (1) चरों की संख्या के बराबर है, अर्थात्। एम = एन। तब निकाय का आव्यूह वर्गाकार होता है, और इसके सारणिक =│А│ को निकाय का निर्धारक कहा जाता है।

मान लीजिए कि │А│ शून्य के बराबर नहीं है, तो एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 है।

मैट्रिक्स समानता के दोनों हिस्सों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 से गुणा करने पर हमें मिलता है:

ए -1 (एएक्स) \u003d ए -1 बी।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली का समाधान कॉलम मैट्रिक्स होगा:

एक्स \u003d ए -1 बी।

(ए -1 ए) एक्स \u003d पूर्व \u003d एक्स

क्रैमर का प्रमेय। मान लीजिए Δ सिस्टम A के मैट्रिक्स का निर्धारक है, और Δ j मैट्रिक्स से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक हो, jth कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम से बदल देता है। फिर यदि शून्य के बराबर नहीं है, तो सिस्टम के पास क्रैमर फ़ार्मुलों द्वारा परिभाषित एक अनूठा समाधान है:

जहां j=1..n.

№33

गॉस विधि - चर के क्रमिक उन्मूलन की विधि - इस तथ्य में शामिल है कि, प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, समीकरणों की प्रणाली को एक चरणबद्ध या त्रिकोणीय रूप के समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है।

मैट्रिक्स पर विचार करें:

इस मैट्रिक्स को सिस्टम (1) का विस्तारित मैट्रिक्स कहा जाता है, क्योंकि सिस्टम ए के मैट्रिक्स के अलावा, इसमें अतिरिक्त रूप से मुक्त शर्तों का एक कॉलम शामिल है।

№26

एक एन-आयामी वेक्टर n वास्तविक संख्याओं का एक क्रमबद्ध सेट है जिसे X=(x 1,x 2,...x n) लिखा जाता है, जहां x i वेक्टर X का i-th घटक है।

दो n-विमीय सदिश समान होते हैं यदि और केवल यदि उनके संबंधित घटक समान हों, अर्थात्। एक्स = वाई अगर एक्स मैं = वाई मैं , मैं = 1… एन।

वास्तविक घटकों वाले सदिशों का समुच्चय, जिसमें सदिशों को जोड़ने और एक सदिश को एक संख्या से गुणा करने की संक्रियाएँ जो उपरोक्त गुणों को संतुष्ट करती हैं, परिभाषित की जाती हैं, सदिश समष्टि कहलाती हैं।

एक सदिश समष्टि R को n-विमीय कहा जाता है यदि इसमें n रैखिकतः स्वतंत्र सदिश हों और कोई भी n + 1 सदिश पहले से ही आश्रित हों। संख्या n को सदिश समष्टि R का आयाम कहा जाता है और इसे dim(R) दर्शाया जाता है।

№29

रैखिक ऑपरेटरों

परिभाषा। यदि एक नियम (नियम) दिया गया है, जिसके अनुसार अंतरिक्ष का प्रत्येक सदिश x अंतरिक्ष के एक सदिश y से जुड़ा है

तब वे कहते हैं: कि संचालिका (रूपांतरण, मानचित्रण) A(x) दिया गया है, से अभिनय कर रहा है और

वाई = ए (एक्स) लिखें।

एक संकारक को रैखिक कहा जाता है यदि अंतरिक्ष के किसी सदिश x और y के लिए

और कोई भी संख्या , निम्नलिखित संबंध धारण करते हैं:

№37

चलो А तत्वों की एक सीमित संख्या से मिलकर एक सेट बनें a 1, a 2 , a 3 …a n । समुच्चय A के विभिन्न तत्वों से समूह बनाए जा सकते हैं। यदि प्रत्येक समूह में समान संख्या में तत्व m (n में से m) हों, तो वे n तत्वों के प्रत्येक m के साथ यौगिक बनाते हैं। कनेक्शन तीन प्रकार के होते हैं: प्लेसमेंट, संयोजन और क्रमपरिवर्तन।

सम्बन्ध,जिनमें से प्रत्येक में समुच्चय A के सभी n तत्व शामिल हैं और इसलिए, केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं, n तत्वों के क्रमपरिवर्तन कहलाते हैं। ऐसे क्रमपरिवर्तनों की संख्या को प्रतीक n द्वारा निरूपित किया जाता है।

№35

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा घटनाओं की समसंभाव्यता की अवधारणा पर आधारित है।

घटनाओं की समानता का मतलब है कि उनमें से किसी एक को दूसरों पर पसंद करने का कोई कारण नहीं है।

आइए एक परीक्षण पर विचार करें, जिसके परिणामस्वरूप घटना ए हो सकती है। प्रत्येक परिणाम, जिसमें घटना ए होती है, को अनुकूल घटना ए कहा जाता है।

किसी घटना A की प्रायिकता (P(A) द्वारा निरूपित) घटना A (k द्वारा निरूपित) के अनुकूल परिणामों की संख्या और सभी परीक्षण परिणामों की संख्या का अनुपात है - N अर्थात। पी (ए) = के / एन।

निम्नलिखित गुण प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

किसी भी घटना की प्रायिकता शून्य और एक के बीच होती है।

एक निश्चित घटना की संभावना एक के बराबर होती है।

असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है

№39, 40

जोड़ प्रमेय। यदि A और B असंगत हैं, तो P(A + B) = P(A) + P(B)

छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में तीन मामले

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

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हम एक साथ Cramer पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं

दूसरे क्रम के निर्धारकों की गणना

तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के तरीके

त्रिभुज नियम

सरस नियम

निर्धारक का पंक्ति या स्तंभ विस्तार

एक पंक्ति या स्तंभ के तत्वों के संदर्भ में सारणिक का अपघटन

टिप्पणी

सारणिक को त्रिकोणीय रूप में लाना

4. निर्धारकों के गुण। मैट्रिक्स के उत्पाद का निर्धारक।

लाप्लास की प्रमेय

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए क्रैमर की विधि

क्रैमर के सूत्र

क्रेमर की विधि। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के लिए आवेदन

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में तीन मामले

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

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रैखिक समीकरणों के निकाय पर एक प्रश्नोत्तरी लें

रेखीय समीकरण। रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना। क्रेमर की विधि।

निर्धारक। निर्धारकों की गणना (पृष्ठ 2)

1.2. तीन रैखिक समीकरणों और तीसरे क्रम के निर्धारकों के निकाय

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