एक विमान पर एक रेखा का समीकरण।

जैसा कि ज्ञात है, समतल पर किसी भी बिंदु को किसी समन्वय प्रणाली में दो निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जाता है। आधार और उत्पत्ति की पसंद के आधार पर समन्वय प्रणाली भिन्न हो सकती है।

परिभाषा। रेखा समीकरणइस रेखा को बनाने वाले बिंदुओं के निर्देशांकों के बीच संबंध y = f(x) है।

ध्यान दें कि रेखा समीकरण को पैरामीट्रिक तरीके से व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात प्रत्येक बिंदु के प्रत्येक निर्देशांक को कुछ स्वतंत्र पैरामीटर के माध्यम से व्यक्त किया जाता है टी.

एक विशिष्ट उदाहरण एक चलती बिंदु का प्रक्षेपवक्र है। इस मामले में, समय एक पैरामीटर की भूमिका निभाता है।

एक समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा। समतल में किसी भी रेखा को प्रथम कोटि के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

आह + वू + सी = 0,

इसके अलावा, स्थिरांक ए, बी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, अर्थात। ए 2 + बी 2  0. इस प्रथम-क्रम समीकरण को कहा जाता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

सी \u003d 0, ए 0, बी  0 - रेखा मूल से गुजरती है

ए \u003d 0, बी  0, सी 0 (बाय + सी \u003d 0) - रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर है

बी \u003d 0, ए 0, सी  0 ( कुल्हाड़ी + सी \u003d 0) - रेखा ओए अक्ष के समानांतर है

बी \u003d सी \u003d 0, ए 0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है

ए \u003d सी \u003d 0, बी 0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाती है

किसी दी गई प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर एक सीधी रेखा के समीकरण को विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा। एक कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, घटकों (ए, बी) के साथ एक वेक्टर समीकरण एक्स + बाय + सी = 0 द्वारा दी गई रेखा के लंबवत है।

उदाहरण।सदिश के लंबवत बिंदु A (1, 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए (3, -1).

आइए हम A \u003d 3 और B \u003d -1 पर सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें: 3x - y + C \u003d 0. गुणांक C को खोजने के लिए, हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं।

हमें मिलता है: 3 - 2 + सी \u003d 0, इसलिए सी \u003d -1।

कुल: वांछित समीकरण: 3x - y - 1 \u003d 0।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु M1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण:

यदि हर में से कोई भी शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए।

एक तल पर, ऊपर लिखी गई एक सीधी रेखा का समीकरण सरल होता है:

यदि x 1 x 2 और x \u003d x 1, यदि x 1 \u003d x 2।

अंश
=k कहा जाता है ढलान कारकसीधा।

उदाहरण।बिंदुओं A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक बिंदु और एक ढलान द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सरल रेखा Ax + Vy + C = 0 का सामान्य समीकरण रूप की ओर ले जाता है:

और नामित करें
, तो परिणामी समीकरण कहलाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरणक.

एक बिंदु पर एक सीधी रेखा का समीकरण और एक निर्देशन वेक्टर।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा के असाइनमेंट और एक सीधी रेखा के एक निर्देशन वेक्टर में प्रवेश कर सकते हैं।

परिभाषा। प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर ( 1 ,  2), जिसके घटक A 1 + B 2 = 0 शर्त को पूरा करते हैं, रेखा का निर्देशन सदिश कहलाते हैं

आह + वू + सी = 0।

उदाहरण।एक दिशा वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण खोजें (1, -1) और बिंदु A(1, 2) से गुजरते हुए।

हम वांछित सीधी रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0। परिभाषा के अनुसार, गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1A + (-1)B = 0, अर्थात्। ए = बी।

तब एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: Ax + Ay + C = 0, या x + y + C/A = 0।

x = 1, y = 2 पर हमें С/A = -3 प्राप्त होता है, अर्थात्। वांछित समीकरण:

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सरल रेखा के सामान्य समीकरण में Ah + Wu + C = 0 C 0, तो –C से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं:
या

, कहाँ पे

गुणांक का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक एक x-अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के चौराहे के बिंदु का समन्वय।

उदाहरण।रेखा x - y + 1 = 0 के सामान्य समीकरण को देखते हुए। खंडों में इस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

सी \u003d 1,
, ए = -1, बी = 1।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

यदि समीकरण के दोनों पक्षों को कुल्हाड़ी + वाई + सी = 0 संख्या से विभाजित किया जाता है
, जिसे कहा जाता है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcos + ysin - p = 0 -

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

सामान्यीकरण कारक के चिह्न को चुना जाना चाहिए ताकि< 0.

p मूल बिंदु से सीधी रेखा पर गिराए गए लंब की लंबाई है, और  इस लंब द्वारा ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ बनने वाला कोण है।

उदाहरण।रेखा के सामान्य समीकरण को देखते हुए 12x - 5y - 65 = 0. इस रेखा के लिए विभिन्न प्रकार के समीकरणों को लिखना आवश्यक है।

खंडों में इस सीधी रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण:

; cos = 12/13; पाप = -5/13; पी = 5।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, अक्षों के समानांतर या मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाएं।

उदाहरण।सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों पर समान धनात्मक खंडों को काटती है। एक सरल रेखा का समीकरण लिखिए यदि इन खण्डों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 सेमी 2 है।

एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप है:
, ए = बी = 1; एबी/2 = 8; ए = 4; -चार।

a = -4 समस्या की स्थिति के अनुकूल नहीं है।

कुल:
या एक्स + वाई - 4 = 0।

उदाहरण।बिंदु A (-2, -3) और मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप है:
, जहाँ x 1 \u003d y 1 \u003d 0; एक्स 2 \u003d -2; वाई 2 \u003d -3।

समतल पर रेखाओं के बीच का कोण।

परिभाषा। यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हों, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण इस प्रकार परिभाषित होगा

.

दो रेखाएँ समांतर हैं यदि k 1 = k 2 ।

दो रेखाएँ लंबवत हैं यदि k 1 = -1/k 2 ।

प्रमेय। सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C = 0 और A 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0 समांतर होते हैं जब गुणांक A समानुपाती होता है 1 =  ए, बी 1 =  B. यदि भी C 1 =  सी, तो रेखाएं मेल खाती हैं।

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

इस रेखा के लंबवत।

परिभाषा। बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा y \u003d kx + b के लंबवत को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी।

प्रमेय। यदि एक बिंदु M(x .) 0 , आप 0 ), तो रेखा Ax + Vy + C = 0 की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

.

सबूत। मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

x 1 और y 1 निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जा सकते हैं:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत है।

यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण।रेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण करें: y = -3x + 7; वाई = 2x + 1।

के 1 \u003d -3; कश्मीर 2 = 2tg =
; = /4.

उदाहरण।दिखाएँ कि रेखाएँ 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण।त्रिभुज A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0 या वाई = केएक्स + बी।

कश्मीर = . फिर वाई =
. इसलिये ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
जहां से बी = 17. कुल:
.

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति।

अंतरिक्ष में रेखा समीकरण।

एक बिंदु द्वारा अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का समीकरण और

दिशा वेक्टर।

एक मनमाना रेखा और एक सदिश लें (एम, एन, पी) दी गई रेखा के समानांतर। वेक्टर बुलाया गाइड वेक्टरसीधा।

आइए दो मनमाना बिंदु M 0 (x 0 , y 0 , z 0) और M(x, y, z) सीधी रेखा पर लें।

जेड

एम1

आइए हम इन बिंदुओं के त्रिज्या सदिशों को निरूपित करें: तथा , यह स्पष्ट है कि - =
.

इसलिये वैक्टर
तथा संरेख हैं, तो संबंध सत्य है
= टी, जहां टी कुछ पैरामीटर है।

कुल मिलाकर, हम लिख सकते हैं: = + टी।

इसलिये यह समीकरण रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, तो परिणामी समीकरण होता है एक सीधी रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण.

इस सदिश समीकरण को निर्देशांक रूप में दर्शाया जा सकता है:

इस प्रणाली को बदलने और पैरामीटर टी के मूल्यों की बराबरी करते हुए, हम अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण प्राप्त करते हैं:

.

परिभाषा। दिशा कोज्याप्रत्यक्ष वेक्टर की दिशा कोसाइन हैं , जिसकी गणना सूत्रों द्वारा की जा सकती है:

;

.

यहाँ से हम प्राप्त करते हैं: m: n: p = cos : cos : cos।

संख्याएँ m, n, p कहलाती हैं ढलान कारकसीधा। इसलिये एक गैर-शून्य वेक्टर है, एम, एन और पी एक ही समय में शून्य नहीं हो सकते हैं, लेकिन इनमें से एक या दो संख्याएं शून्य हो सकती हैं। इस मामले में, एक सीधी रेखा के समीकरण में, संबंधित अंशों को शून्य के बराबर किया जाना चाहिए।

अंतरिक्ष से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

दो बिंदुओं के माध्यम से।

यदि दो मनमाना बिंदु M1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा पर चिह्नित किया जाता है, तो इन बिंदुओं के निर्देशांक को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए ऊपर प्राप्त सीधी रेखा:

.

इसके अलावा, बिंदु M 1 के लिए हम लिख सकते हैं:

.

इन समीकरणों को एक साथ हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

.

यह अंतरिक्ष में दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण।

एक सीधी रेखा के समीकरण को दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा का समीकरण माना जा सकता है।

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, समीकरण द्वारा वेक्टर रूप में एक विमान दिया जा सकता है:

+ डी = 0, जहां

- सामान्य विमान; - विमान के एक मनमाना बिंदु का त्रिज्या-सदिश।

"ज्यामितीय एल्गोरिदम" श्रृंखला से पाठ

नमस्कार प्रिय पाठक!

आज हम ज्यामिति से संबंधित एल्गोरिदम सीखना शुरू करेंगे। तथ्य यह है कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से संबंधित कंप्यूटर विज्ञान में ओलंपियाड की बहुत सारी समस्याएं हैं, और ऐसी समस्याओं का समाधान अक्सर कठिनाइयों का कारण बनता है।

कुछ पाठों में, हम कई प्राथमिक उप-समस्याओं पर विचार करेंगे, जिन पर कम्प्यूटेशनल ज्यामिति की अधिकांश समस्याओं का समाधान आधारित है।

इस पाठ में, हम इसके लिए एक कार्यक्रम लिखेंगे एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करनादिए गए के माध्यम से गुजर रहा है दो बिंदु. ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, हमें कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के कुछ ज्ञान की आवश्यकता है। हम उन्हें जानने के लिए पाठ का एक हिस्सा समर्पित करेंगे।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से जानकारी

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति कंप्यूटर विज्ञान की एक शाखा है जो ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम का अध्ययन करती है।

इस तरह की समस्याओं के लिए प्रारंभिक डेटा विमान पर बिंदुओं का एक सेट, खंडों का एक सेट, एक बहुभुज (दिया गया, उदाहरण के लिए, दक्षिणावर्त क्रम में इसके शीर्षों की सूची द्वारा) आदि हो सकता है।

परिणाम या तो किसी प्रश्न का उत्तर हो सकता है (जैसे कि एक बिंदु एक खंड से संबंधित है, दो खंड प्रतिच्छेद करते हैं, ...), या कुछ ज्यामितीय वस्तु (उदाहरण के लिए, दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाला सबसे छोटा उत्तल बहुभुज, का क्षेत्रफल एक बहुभुज, आदि)।

हम केवल समतल पर और केवल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में कम्प्यूटेशनल ज्यामिति की समस्याओं पर विचार करेंगे।

वेक्टर और निर्देशांक

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के तरीकों को लागू करने के लिए, ज्यामितीय छवियों को संख्याओं की भाषा में अनुवाद करना आवश्यक है। हम मानते हैं कि समतल पर एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली दी गई है, जिसमें घूर्णन की दिशा वामावर्त धनात्मक कहलाती है।

अब ज्यामितीय वस्तुओं को एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है। तो, एक बिंदु निर्धारित करने के लिए, इसके निर्देशांक निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है: संख्याओं की एक जोड़ी (x; y)। एक खंड को इसके सिरों के निर्देशांक निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसके बिंदुओं की एक जोड़ी के निर्देशांक निर्दिष्ट करके एक सीधी रेखा निर्दिष्ट की जा सकती है।

लेकिन समस्याओं को हल करने का मुख्य साधन वैक्टर होंगे। इसलिए मैं आपको उनके बारे में कुछ जानकारी याद दिला दूं।

रेखा खंड अब, जिसमें एक बिंदु है लेकिनशुरुआत (आवेदन का बिंदु), और बिंदु माना जाता है पर- अंत को सदिश कहा जाता है अबऔर या तो , या एक बोल्ड लोअरकेस अक्षर द्वारा दर्शाया गया है, उदाहरण के लिए एक .

एक वेक्टर की लंबाई (अर्थात, संबंधित खंड की लंबाई) को दर्शाने के लिए, हम मॉड्यूल प्रतीक (उदाहरण के लिए, ) का उपयोग करेंगे।

एक मनमाना वेक्टर के अंत और शुरुआत के संबंधित निर्देशांक के बीच अंतर के बराबर निर्देशांक होंगे:

,

यहाँ बिंदु एतथा बी निर्देशांक हैं क्रमश।

गणना के लिए, हम अवधारणा का उपयोग करेंगे उन्मुख कोण, यानी एक कोण जो वैक्टर की सापेक्ष स्थिति को ध्यान में रखता है।

सदिशों के बीच उन्मुख कोण एक तथा बी सकारात्मक अगर रोटेशन वेक्टर से दूर है एक वेक्टर के लिए बी सकारात्मक दिशा (वामावर्त) में किया जाता है और दूसरे मामले में नकारात्मक। अंजीर देखें। 1 ए, अंजीर। 1 बी। यह भी कहा जाता है कि वैक्टर की एक जोड़ी एक तथा बी सकारात्मक (नकारात्मक) उन्मुख।

इस प्रकार, उन्मुख कोण का मान वैक्टर की गणना के क्रम पर निर्भर करता है और अंतराल में मान ले सकता है।

कई कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समस्याएं वैक्टर के वेक्टर (तिरछा या स्यूडोस्केलर) उत्पादों की अवधारणा का उपयोग करती हैं।

वैक्टर ए और बी का वेक्टर उत्पाद इन वैक्टरों की लंबाई और उनके बीच के कोण की साइन का उत्पाद है:

.

निर्देशांक में सदिशों का सदिश गुणनफल:

दाईं ओर का व्यंजक दूसरे क्रम का निर्धारक है:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में दी गई परिभाषा के विपरीत, यह एक अदिश राशि है।

क्रॉस उत्पाद का चिन्ह एक दूसरे के सापेक्ष वैक्टर की स्थिति निर्धारित करता है:

एक तथा बी सकारात्मक रूप से उन्मुख।

यदि मान है , तो सदिशों का युग्म एक तथा बी नकारात्मक उन्मुख।

गैर-शून्य वैक्टर का क्रॉस उत्पाद शून्य है यदि और केवल अगर वे संरेख हैं ( ) इसका मतलब है कि वे एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं।

आइए अधिक जटिल कार्यों को हल करने के लिए आवश्यक कुछ सरल कार्यों पर विचार करें।

आइए दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण को परिभाषित करें।

दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण उनके निर्देशांकों द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए कि रेखा पर दो गैर-संपाती बिंदु दिए गए हैं: निर्देशांक (x1;y1) और निर्देशांक (x2; y2) के साथ। तदनुसार, बिंदु पर शुरुआत और बिंदु पर अंत वाले वेक्टर में निर्देशांक (x2-x1, y2-y1) होते हैं। यदि P(x, y) हमारी रेखा पर एक मनमाना बिंदु है, तो सदिश के निर्देशांक (x-x1, y - y1) हैं।

क्रॉस उत्पाद की मदद से, वैक्टर की समरूपता की स्थिति और निम्नानुसार लिखी जा सकती है:

वे। (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

हम अंतिम समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0, (1)

सी = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

तो, सरल रेखा को फॉर्म (1) के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है।

कार्य 1. दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। ax + by + c = 0 के रूप में इसका निरूपण ज्ञात कीजिए।

इस पाठ में, हम कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से कुछ जानकारी से परिचित हुए। हमने दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा रेखा के समीकरण को खोजने की समस्या को हल किया।

अगले पाठ में, हम अपने समीकरणों द्वारा दी गई दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए एक प्रोग्राम लिखेंगे।

यूक्लिडियन ज्यामिति में एक सीधी रेखा के गुण।

किसी भी बिंदु से होकर जाने वाली अपरिमित रूप से अनेक रेखाएँ होती हैं।

किन्हीं दो गैर-संयोग बिंदुओं के माध्यम से, केवल एक सीधी रेखा होती है।

समतल में दो गैर-संयोग रेखाएं या तो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, या हैं

समानांतर (पिछले एक से अनुसरण करता है)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, दो पंक्तियों की सापेक्ष स्थिति के लिए तीन विकल्प हैं:

• रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं;

• सीधी रेखाएँ समानांतर हैं;

• सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

सीधा रेखा- पहले क्रम का बीजगणितीय वक्र: कार्तीय समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा

पहली डिग्री (रैखिक समीकरण) के समीकरण द्वारा विमान पर दिया जाता है।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

परिभाषा. समतल में किसी भी रेखा को प्रथम कोटि के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

आह + वू + सी = 0,

और स्थिर ए, बीएक ही समय में शून्य के बराबर नहीं। इस प्रथम कोटि के समीकरण को कहा जाता है सामान्य

सीधी रेखा समीकरण।स्थिरांक के मूल्यों के आधार पर ए, बीतथा सेनिम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

. सी = 0, ए 0, बी ≠ 0- रेखा मूल से होकर गुजरती है

. ए = 0, बी ≠0, सी ≠0 (द्वारा + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा ओह

. बी = 0, ए 0, सी ≠ 0 ( कुल्हाड़ी + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा कहां

. बी = सी = 0, ए 0- रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है कहां

. ए = सी = 0, बी 0- रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है ओह

एक सीधी रेखा के समीकरण को किसी दिए गए के आधार पर विभिन्न रूपों में दर्शाया जा सकता है

आरंभिक स्थितियां।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा. एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों के साथ एक वेक्टर (ए, बी)

समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लंबवत

आह + वू + सी = 0।

उदाहरण. एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ए(1, 2)वेक्टर के लंबवत (3, -1).

समाधान. आइए A \u003d 3 और B \u003d -1 पर सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें: 3x - y + C \u003d 0. गुणांक C खोजने के लिए

हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांकों को परिणामी व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं। हमें प्राप्त होता है: 3 - 2 + C = 0, इसलिए

सी = -1। कुल: वांछित समीकरण: 3x - y - 1 \u003d 0।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं एम 1 (एक्स 1 , वाई 1 , जेड 1)तथा एम 2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2),फिर सीधी रेखा समीकरण,

इन बिंदुओं से गुजरते हुए:

यदि हर में से कोई भी शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए। पर

समतल, ऊपर लिखी गई एक सीधी रेखा का समीकरण सरल है:

यदि एक्स 1 एक्स 2तथा एक्स = एक्स 1, यदि एक्स 1 = एक्स 2 .

अंश = केबुलाया ढलान कारक सीधा.

उदाहरण. बिंदुओं A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक बिंदु और एक ढलान द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण आह + वू + सी = 0फॉर्म में लाओ:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहलाता है

ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

एक बिंदु पर एक सीधी रेखा का समीकरण और एक निर्देशन वेक्टर।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप कार्य में प्रवेश कर सकते हैं

एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा और एक सीधी रेखा का एक दिशा वेक्टर।

परिभाषा. प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1, α 2), जिनके घटक शर्त को पूरा करते हैं

Aα 1 + Bα 2 = 0बुलाया सीधी रेखा का दिशा वेक्टर।

आह + वू + सी = 0।

उदाहरण. दिशा सदिश (1, -1) और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम फॉर्म में वांछित सीधी रेखा के समीकरण की तलाश करेंगे: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0।परिभाषा के अनुसार,

गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी।

तब एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: कुल्हाड़ी + आय + सी = 0,या एक्स + वाई + सी / ए = 0।

पर एक्स = 1, वाई = 2हम पाते हैं सी/ए = -3, अर्थात। वांछित समीकरण:

एक्स + वाई - 3 = 0

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में Ah + Wu + C = 0 C≠0, तो -C से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

या कहाँ

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक a प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है

सीधे धुरी के साथ ओह,एक बी- अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय ओ.यू.

उदाहरण. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है एक्स - वाई + 1 = 0।इस सीधी रेखा का समीकरण खण्डों में ज्ञात कीजिए।

सी \u003d 1, , ए \u003d -1, बी \u003d 1.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

यदि समीकरण के दोनों पक्ष आह + वू + सी = 0संख्या से विभाजित करें , जिसे कहा जाता है

सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि μ * सी< 0.

आर- मूल से रेखा तक गिराए गए लंबवत की लंबाई,

एक φ - अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ इस लंबवत द्वारा बनाया गया कोण ओह।

उदाहरण. एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को देखते हुए 12x - 5y - 65 = 0. विभिन्न प्रकार के समीकरण लिखने के लिए आवश्यक

यह सीधी रेखा।

खंडों में इस सीधी रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

एक सीधी रेखा का समीकरण:

cos = 12/13; पाप = -5/13; पी = 5।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएं,

कुल्हाड़ियों के समानांतर या मूल से गुजर रहा है।

समतल पर रेखाओं के बीच का कोण।

परिभाषा. यदि दो पंक्तियाँ दी गई हों वाई \u003d के 1 एक्स + बी 1, वाई \u003d के 2 एक्स + बी 2, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण

के रूप में परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समानांतर हैं यदि कश्मीर 1 = कश्मीर 2. दो रेखाएँ लंबवत हैं

यदि के 1 \u003d -1 / के 2 .

प्रमेय.

प्रत्यक्ष आह + वू + सी = 0तथा ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 \u003d 0समानांतर होते हैं जब गुणांक आनुपातिक होते हैं

ए 1 \u003d ए, बी 1 \u003d बी. अगर भी 1 \u003d, तो रेखाएँ मेल खाती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक

इन रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण किसी दी गई रेखा पर लंबवत होता है।

परिभाषा. एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा एम 1 (एक्स 1, वाई 1)और रेखा के लंबवत वाई = केएक्स + बी

समीकरण द्वारा दर्शाया गया:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी।

प्रमेय. यदि एक बिंदु दिया जाता है एम (एक्स 0, वाई 0),फिर रेखा की दूरी आह + वू + सी = 0के रूप में परिभाषित किया गया है:

सबूत. बात करने दो एम 1 (एक्स 1, वाई 1)- बिंदु से गिराए गए लंब का आधार एमकिसी प्रदत्त के लिए

प्रत्यक्ष। फिर बिंदुओं के बीच की दूरी एमतथा एम 1:

(1)

COORDINATES एक्स 1तथा 1समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

निकाय का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से लंबवत रूप से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है

दी गई पंक्ति। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से एक दिशा वेक्टर तक जाने वाली सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

मान लीजिए कि एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिया गया है। एक मनमाना बिंदु एक रेखा पर स्थित है मैंकेवल तभी जब सदिश और संरेखी हों, अर्थात्, वे शर्त को पूरा करते हैं:

.

उपरोक्त समीकरण रेखा के विहित समीकरण हैं।

नंबर एम , एनतथा पीनिर्देशांक अक्षों पर दिशा वेक्टर के प्रक्षेपण हैं। चूँकि सदिश अशून्य है, तो सभी संख्याएँ एम , एनतथा पीएक ही समय में शून्य नहीं हो सकता। लेकिन उनमें से एक या दो शून्य हो सकते हैं। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अंकन की अनुमति है:

,

जिसका अर्थ है कि कुल्हाड़ियों पर वेक्टर के अनुमान ओएतथा आउंसशून्य के बराबर हैं। इसलिए, विहित समीकरणों द्वारा दी गई सदिश और सीधी रेखा दोनों अक्षों के लंबवत हैं ओएतथा आउंस, यानी विमान योज़ .

उदाहरण 1समतल के लंबवत अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरणों की रचना करें और अक्ष के साथ इस विमान के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरते हुए आउंस .

समाधान। अक्ष के साथ दिए गए समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए आउंस. चूंकि अक्ष पर कोई बिंदु आउंस, निर्देशांक है, तो, विमान के दिए गए समीकरण में मानते हुए एक्स = वाई = 0, हमें 4 . प्राप्त होता है जेड- 8 = 0 या जेड= 2। इसलिए, दिए गए समतल का अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु आउंसनिर्देशांक हैं (0; 0; 2)। चूंकि वांछित रेखा तल के लंबवत है, इसलिए यह अपने सामान्य वेक्टर के समानांतर है। इसलिए, सामान्य वेक्टर सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के रूप में काम कर सकता है विमान दिया।

अब हम बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के वांछित समीकरण लिखते हैं ए= (0; 0; 2) वेक्टर की दिशा में:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण

एक सीधी रेखा को उस पर पड़े दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है तथा इस मामले में, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर वेक्टर हो सकता है। तब रेखा के विहित समीकरण रूप लेते हैं

.

उपरोक्त समीकरण दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

उदाहरण 2बिंदुओं से होकर जाने वाली अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान। हम सैद्धांतिक संदर्भ में ऊपर दिए गए रूप में सीधी रेखा के वांछित समीकरण लिखते हैं:

.

चूँकि , तब वांछित रेखा अक्ष के लंबवत होती है ओए .

समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में सीधी

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को दो गैर-समानांतर विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और, यानी, दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के एक सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

निकाय के समीकरणों को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण भी कहा जाता है।

उदाहरण 3सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए स्थान में एक सीधी रेखा के विहित समीकरणों की रचना करें

समाधान। एक सीधी रेखा के विहित समीकरण लिखने के लिए या, क्या समान है, दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को लिखने के लिए, आपको सीधी रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने होंगे। वे किन्हीं दो समन्वय विमानों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हो सकते हैं, उदाहरण के लिए योज़तथा xOz .

समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु योज़एब्सिस्सा है एक्स= 0। इसलिए, समीकरणों की इस प्रणाली में मानते हुए एक्स= 0 , हमें दो चरों वाला एक सिस्टम मिलता है:

उसका निर्णय आप = 2 , जेड= 6 साथ में एक्स= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है ए(0; 2; 6) वांछित रेखा का। समीकरणों की दी गई प्रणाली में मान लें आप= 0, हमें सिस्टम मिलता है

उसका निर्णय एक्स = -2 , जेड= 0 साथ में आप= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है बी(-2; 0; 0) एक समतल वाली रेखा का प्रतिच्छेदन xOz .

अब हम बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण लिखते हैं ए(0; 2; 6) और बी (-2; 0; 0) :

,

या हर को -2 से विभाजित करने के बाद:

,

यह लेख एक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण के विषय को जारी रखता है: हम इस तरह के समीकरण को एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के रूप में मानेंगे। हम एक प्रमेय को परिभाषित करते हैं और उसका प्रमाण देते हैं; आइए जानें कि एक सीधी रेखा का अधूरा सामान्य समीकरण क्या है और एक सामान्य समीकरण से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण कैसे करें। हम पूरे सिद्धांत को दृष्टांतों और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के साथ समेकित करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

मान लीजिए कि समतल पर एक आयताकार निर्देशांक तंत्र O x y दिया गया है।

प्रमेय 1

पहली डिग्री का कोई भी समीकरण, जिसका रूप A x + B y + C \u003d 0 है, जहाँ A, B, C कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं (A और B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं) एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली। बदले में, विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में कोई भी रेखा एक समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है जिसमें ए, बी, सी के एक निश्चित सेट के लिए ए एक्स + बी वाई + सी = 0 होता है।

सबूत

इस प्रमेय में दो बिंदु हैं, हम उनमें से प्रत्येक को सिद्ध करेंगे।

1. आइए हम सिद्ध करें कि समीकरण A x + B y + C = 0 समतल पर एक रेखा को परिभाषित करता है।

मान लीजिए कोई बिंदु М 0 (x 0 , y 0) है जिसके निर्देशांक समीकरण A x + B y + C = 0 के संगत हैं। अत: A x 0 + B y 0 + C = 0। समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाएँ A x + B y + C \u003d 0 समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, हमें एक नया समीकरण मिलता है जो A जैसा दिखता है (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0। यह A x + B y + C = 0 के बराबर है।

परिणामी समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 वैक्टर n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x) की लंबवतता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है। 0, वाई - वाई 0)। इस प्रकार, बिंदुओं का सेट M (x, y) एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में वेक्टर n → = (A, B) की दिशा के लंबवत एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। हम मान सकते हैं कि ऐसा नहीं है, लेकिन तब सदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) लंबवत नहीं होंगे, और समानता A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 सत्य नहीं होगा।

इसलिए, समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक निश्चित रेखा को परिभाषित करता है, और इसलिए समतुल्य समीकरण A x + B y + C \u003d 0 एक ही पंक्ति को परिभाषित करता है। इस प्रकार हमने प्रमेय के पहले भाग को सिद्ध कर दिया है।

1. आइए हम सिद्ध करें कि समतल पर एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में कोई भी सीधी रेखा पहली डिग्री A x + B y + C = 0 के समीकरण द्वारा दी जा सकती है।

आइए समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा a सेट करें; बिंदु M 0 (x 0 , y 0) जिसके माध्यम से यह रेखा गुजरती है, साथ ही इस रेखा का सामान्य सदिश n → = (A , B) ।

मान लीजिए कि कुछ बिंदु M (x , y) भी है - रेखा का एक अस्थायी बिंदु। इस स्थिति में, सदिश n → = (A , B) और M 0 M → = (x - x 0 , y - 0) एक दूसरे के लंबवत हैं, और उनका अदिश गुणन शून्य है:

एन →, एम 0 एम → = ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0

आइए समीकरण A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 को फिर से लिखें, C: C = - A x 0 - B y 0 को परिभाषित करें और अंत में समीकरण A x + B y + C = 0 प्राप्त करें।

तो, हमने प्रमेय के दूसरे भाग को सिद्ध कर दिया है, और हमने संपूर्ण प्रमेय को समग्र रूप से सिद्ध कर दिया है।

परिभाषा 1

एक समीकरण जो दिखता हैए एक्स + बी वाई + सी = 0 - ये है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरणएक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान परओ एक्स वाई।

सिद्ध प्रमेय के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक निश्चित आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक समतल पर दी गई एक सीधी रेखा और उसका सामान्य समीकरण अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। दूसरे शब्दों में, मूल रेखा अपने सामान्य समीकरण से मेल खाती है; एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दी गई सीधी रेखा से मेल खाता है।

यह प्रमेय के प्रमाण से यह भी निकलता है कि चर x और y के लिए गुणांक A और B, सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, जो कि सीधी रेखा A x + B y + के सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया है। सी = 0।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 दिया गया है, जो किसी दिए गए आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक सीधी रेखा के संगत है। इस रेखा का सामान्य सदिश सदिश है n → = (2 , 3) ​​। चित्र में दी गई सीधी रेखा खींचिए।

निम्नलिखित पर भी तर्क दिया जा सकता है: जिस सीधी रेखा को हम चित्र में देखते हैं वह सामान्य समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 द्वारा निर्धारित की जाती है, क्योंकि किसी दी गई सीधी रेखा के सभी बिंदुओं के निर्देशांक इस समीकरण के अनुरूप होते हैं।

हम सामान्य सीधी रेखा समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करके समीकरण λ · A x + λ · B y + · C = 0 प्राप्त कर सकते हैं। परिणामी समीकरण मूल सामान्य समीकरण के बराबर है, इसलिए, यह समतल में समान रेखा का वर्णन करेगा।

परिभाषा 2

एक सीधी रेखा का पूर्ण सामान्य समीकरण- रेखा A x + B y + C \u003d 0 का ऐसा सामान्य समीकरण, जिसमें संख्याएँ A, B, C गैर-शून्य हैं। अन्यथा, समीकरण है अधूरा.

आइए हम सरल रेखा के अपूर्ण सामान्य समीकरण के सभी रूपों का विश्लेषण करें।

1. जब A \u003d 0, B 0, C ≠ 0, सामान्य समीकरण B y + C \u003d 0 हो जाता है। ऐसा अधूरा सामान्य समीकरण आयताकार समन्वय प्रणाली O x y में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो O x अक्ष के समानांतर है, क्योंकि x के किसी भी वास्तविक मान के लिए, चर y मान पर ले जाएगा - सी बी। दूसरे शब्दों में, रेखा A x + B y + C \u003d 0 का सामान्य समीकरण, जब A \u003d 0, B ≠ 0, उन बिंदुओं (x, y) के स्थान को परिभाषित करता है जिनके निर्देशांक समान संख्या के बराबर होते हैं - सी बी।
2. यदि ए \u003d 0, बी 0, सी \u003d 0, सामान्य समीकरण y \u003d 0 हो जाता है। ऐसा अधूरा समीकरण x-अक्ष O x को परिभाषित करता है।
3. जब A 0, B \u003d 0, C ≠ 0, हमें एक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C \u003d 0 मिलता है, जो y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।
4. चलो A 0, B \u003d 0, C \u003d 0, फिर अधूरा सामान्य समीकरण x \u003d 0 का रूप लेगा, और यह समन्वय रेखा O y का समीकरण है।
5. अंत में, जब A 0, B ≠ 0, C \u003d 0, अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + B y \u003d 0 का रूप लेता है। और यह समीकरण एक सीधी रेखा का वर्णन करता है जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है। वास्तव में, संख्याओं का युग्म (0 , 0) समानता A x + B y = 0 से मेल खाता है, क्योंकि A · 0 + B · 0 = 0।

आइए हम एक सीधी रेखा के अधूरे सामान्य समीकरण के उपरोक्त सभी प्रकारों का आलेखीय रूप से वर्णन करें।

उदाहरण 1

यह ज्ञात है कि दी गई सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर है और बिंदु 2 7 , - 11 से होकर गुजरती है। किसी दी गई सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

Y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा A x + C \u003d 0 के रूप के समीकरण द्वारा दी गई है, जिसमें A 0 है। शर्त उस बिंदु के निर्देशांक भी निर्दिष्ट करती है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस बिंदु के निर्देशांक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C = 0 की शर्तों के अनुरूप होते हैं, अर्थात। समानता सही है:

ए 2 7 + सी = 0

ए को कुछ गैर-शून्य मान देकर सी को निर्धारित करना संभव है, उदाहरण के लिए, ए = 7। इस मामले में, हमें मिलता है: 7 2 7 + सी \u003d 0 सी \u003d - 2। हम गुणांक A और C दोनों को जानते हैं, उन्हें समीकरण A x + C = 0 में प्रतिस्थापित करें और रेखा का वांछित समीकरण प्राप्त करें: 7 x - 2 = 0

उत्तर: 7 एक्स - 2 = 0

उदाहरण 2

ड्राइंग एक सीधी रेखा दिखाती है, इसके समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

दी गई ड्राइंग हमें समस्या को हल करने के लिए प्रारंभिक डेटा आसानी से लेने की अनुमति देती है। हम चित्र में देखते हैं कि दी गई रेखा O x अक्ष के समानांतर है और बिंदु (0, 3) से होकर गुजरती है।

सीधी रेखा, जो भुज के समांतर होती है, अपूर्ण सामान्य समीकरण B y + = 0 से निर्धारित होती है। B और C के मान ज्ञात कीजिए। बिंदु (0, 3) के निर्देशांक, चूंकि दी गई सीधी रेखा इससे होकर गुजरती है, सीधी रेखा B y + С = 0 के समीकरण को संतुष्ट करेगी, तो समानता मान्य है: В · 3 + С = 0। आइए B को शून्य के अलावा किसी अन्य मान पर सेट करें। मान लें कि B \u003d 1, इस मामले में, समानता B · 3 + C \u003d 0 से हम C: C \u003d - 3 पा सकते हैं। बी और सी के ज्ञात मूल्यों का उपयोग करके, हम सीधी रेखा के लिए आवश्यक समीकरण प्राप्त करते हैं: y - 3 = 0।

उत्तर:वाई - 3 = 0।

समतल के किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

दी गई रेखा को बिंदु M 0 (x 0, y 0) से गुजरने दें, तो इसके निर्देशांक रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप होते हैं, अर्थात। समानता सत्य है: A x 0 + B y 0 + C = 0। इस समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को सीधी रेखा के सामान्य पूर्ण समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाएँ। हम प्राप्त करते हैं: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, यह समीकरण मूल सामान्य के बराबर है, बिंदु M 0 (x 0, y 0) से होकर गुजरता है और एक है सामान्य वेक्टर n → \u003d (ए, बी) ।

हमने जो परिणाम प्राप्त किया है, उससे सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और इस सीधी रेखा के एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक के लिए एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना संभव हो जाता है।

उदाहरण 3

एक बिंदु M 0 (- 3, 4) दिया गया है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस रेखा का सामान्य वेक्टर एन → = (1 , - 2)। दी गई सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

प्रारंभिक शर्तें हमें समीकरण संकलित करने के लिए आवश्यक डेटा प्राप्त करने की अनुमति देती हैं: ए \u003d 1, बी \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. फिर:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 1 (एक्स - (- 3)) - 2 वाई (वाई - 4) = 0 एक्स - 2 वाई + 22 = 0

समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता था। एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का रूप A x + B y + C = 0 होता है। दिया गया सामान्य वेक्टर आपको गुणांक ए और बी के मान प्राप्त करने की अनुमति देता है, फिर:

ए एक्स + बी वाई + सी = 0 1 एक्स - 2 वाई + सी = 0 ⇔ एक्स - 2 वाई + सी = 0

अब समस्या की स्थिति, जिससे होकर रेखा गुजरती है, द्वारा दिए गए बिंदु M 0 (- 3, 4) का उपयोग करके C का मान ज्ञात करते हैं। इस बिंदु के निर्देशांक समीकरण x - 2 · y + C = 0 के अनुरूप हैं, अर्थात। - 3 - 2 4 + सी \u003d 0। इसलिए सी = 11. आवश्यक सीधी रेखा समीकरण का रूप लेता है: x - 2 · y + 11 = 0 ।

उत्तर:एक्स - 2 वाई + 11 = 0।

उदाहरण 4

एक रेखा 2 3 x - y - 1 2 = 0 और एक बिंदु M 0 इस रेखा पर स्थित है। इस बिंदु का केवल भुज ही ज्ञात होता है, और यह - 3 के बराबर होता है। दिए गए बिंदु की कोटि निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान

आइए बिंदु M 0 के निर्देशांकों का पदनाम x 0 और y 0 के रूप में सेट करें। प्रारंभिक डेटा इंगित करता है कि x 0 \u003d - 3। चूंकि बिंदु किसी दी गई रेखा से संबंधित है, इसलिए इसके निर्देशांक इस रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप होते हैं। तब निम्नलिखित समानता सत्य होगी:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2 परिभाषित करें

उत्तर: - 5 2

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण और इसके विपरीत

जैसा कि हम जानते हैं, समतल में एक ही सीधी रेखा के समीकरण कई प्रकार के होते हैं। समीकरण के प्रकार का चुनाव समस्या की स्थितियों पर निर्भर करता है; इसके समाधान के लिए जो अधिक सुविधाजनक है उसे चुनना संभव है। यहीं पर एक प्रकार के समीकरण को दूसरे प्रकार के समीकरण में बदलने का कौशल बहुत काम आता है।

सबसे पहले, फॉर्म A x + B y + C = 0 के सामान्य समीकरण से विहित समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y में संक्रमण पर विचार करें।

यदि A 0 है, तो हम पद B y को सामान्य समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। बाईं ओर, हम A को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं। परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं: A x + C A = - B y।

इस समानता को अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: x + C A - B = y A ।

यदि बी 0, हम सामान्य समीकरण के बाईं ओर केवल ए एक्स छोड़ते हैं, हम दूसरों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है: ए एक्स \u003d - बी वाई - सी। हम बाहर निकालते हैं - B कोष्ठक से बाहर, फिर: A x \u003d - B y + C B।

आइए समानता को अनुपात के रूप में फिर से लिखें: x - B = y + C B A ।

बेशक, परिणामी सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। सामान्य समीकरण से विहित में संक्रमण के दौरान क्रियाओं के एल्गोरिथ्म को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 5

रेखा 3 y - 4 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। इसे एक विहित समीकरण में बदलने की जरूरत है।

समाधान

हम मूल समीकरण को 3 y - 4 = 0 के रूप में लिखते हैं। अगला, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं: शब्द 0 x बाईं ओर रहता है; और दाईं ओर हम निकालते हैं - कोष्ठक में से 3; हम पाते हैं: 0 x = - 3 y - 4 3।

आइए परिणामी समानता को अनुपात के रूप में लिखें: x - 3 = y - 4 3 0 । इस प्रकार, हमने विहित रूप का एक समीकरण प्राप्त किया है।

उत्तर: x - 3 = y - 4 3 0.

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को पैरामीट्रिक में बदलने के लिए, सबसे पहले, विहित रूप में संक्रमण किया जाता है, और फिर सीधी रेखा के विहित समीकरण से पैरामीट्रिक समीकरणों में संक्रमण किया जाता है।

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण 2 x - 5 y - 1 = 0 द्वारा दी गई है। इस रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए।

समाधान

आइए सामान्य समीकरण से विहित समीकरण में परिवर्तन करें:

2 x - 5 y - 1 = 0 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

अब आइए परिणामी विहित समीकरण के दोनों भागों को के बराबर लें, फिर:

x 5 = y + 1 5 2 = x = 5 y = - 1 5 + 2 , आर

उत्तर:x = 5 y = - 1 5 + 2 , R

सामान्य समीकरण को ढलान y = k x + b के साथ एक सीधी रेखा समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है, लेकिन केवल तभी जब B 0 हो। बाईं ओर संक्रमण के लिए, हम शब्द B y छोड़ देते हैं, बाकी को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। हम पाते हैं: बी y = - ए एक्स - सी। आइए परिणामी समानता के दोनों भागों को B से विभाजित करें, जो शून्य से भिन्न है: y = - A B x - C B।

उदाहरण 7

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है: 2 x + 7 y = 0। आपको उस समीकरण को एक ढलान समीकरण में बदलने की जरूरत है।

समाधान

आइए एल्गोरिथम के अनुसार आवश्यक क्रियाएं करें:

2 x + 7 y = 0 7 y - 2 x y = - 2 7 x

उत्तर:वाई = - 2 7 एक्स।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से, यह केवल x a + y b \u003d 1 के रूप के खंडों में एक समीकरण प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। ऐसा संक्रमण करने के लिए, हम संख्या C को समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, परिणामी समानता के दोनों भागों को - से विभाजित करते हैं और अंत में, चर x और y के गुणांक को हर में स्थानांतरित करते हैं:

ए एक्स + बी वाई + सी = 0 ⇔ ए एक्स + बी वाई = - सी ए - सी एक्स + बी - सी वाई = 1 ⇔ एक्स - सी ए + वाई - सी बी = 1

उदाहरण 8

सरल रेखा x - 7 y + 1 2 = 0 के सामान्य समीकरण को खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण में बदलना आवश्यक है।

समाधान

आइए 1 2 को दाईं ओर ले जाएं: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2।

समीकरण के दोनों पक्षों को -1/2 से विभाजित करें: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1।

उत्तर:एक्स - 1 2 + वाई 1 14 = 1।

सामान्य तौर पर, रिवर्स ट्रांज़िशन भी आसान होता है: अन्य प्रकार के समीकरणों से सामान्य तक।

खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण और ढलान वाले समीकरण को समीकरण के बाईं ओर सभी शब्दों को एकत्रित करके आसानी से एक सामान्य में परिवर्तित किया जा सकता है:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

निम्नलिखित योजना के अनुसार विहित समीकरण को सामान्य में बदल दिया जाता है:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 A x + B y + C = 0

पैरामीट्रिक से गुजरने के लिए, पहले विहित में संक्रमण किया जाता है, और फिर सामान्य में:

x = x 1 + a x y = y 1 + a y x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

उदाहरण 9

सरल रेखा x = - 1 + 2 · y = 4 के पैरामीट्रिक समीकरण दिए गए हैं। इस रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

आइए पैरामीट्रिक समीकरणों से विहित में संक्रमण करें:

x = - 1 + 2 y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 = x + 1 2 = y - 4 0 x + 1 2 = y - 4 0

आइए विहित से सामान्य की ओर बढ़ते हैं:

x + 1 2 = y - 4 0 0 (x + 1) = 2 (y - 4) y - 4 = 0

उत्तर:वाई - 4 = 0

उदाहरण 10

खंड x 3 + y 1 2 = 1 में एक सीधी रेखा का समीकरण दिया गया है। समीकरण के सामान्य रूप में संक्रमण करना आवश्यक है।

समाधान:

आइए समीकरण को आवश्यक रूप में फिर से लिखें:

x 3 + y 1 2 = 1 1 3 x + 2 y - 1 = 0

उत्तर: 1 3 x + 2 y - 1 = 0।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाना

ऊपर, हमने कहा कि सामान्य समीकरण को सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और उस बिंदु के निर्देशांक के साथ लिखा जा सकता है जहां से रेखा गुजरती है। ऐसी सीधी रेखा को समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 द्वारा परिभाषित किया जाता है। उसी स्थान पर हमने इसी उदाहरण का विश्लेषण किया।

अब आइए अधिक जटिल उदाहरणों को देखें, जिसमें सबसे पहले, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

उदाहरण 11

रेखा 2 x - 3 y + 3 3 = 0 के समानांतर एक रेखा दी गई है। वह बिंदु M0 (4 , 1) भी ज्ञात है जिससे होकर दी गई रेखा गुजरती है। दी गई सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

प्रारंभिक स्थितियां हमें बताती हैं कि रेखाएं समानांतर हैं, जबकि, उस रेखा के सामान्य वेक्टर के रूप में, जिसके समीकरण को लिखने की आवश्यकता होती है, हम रेखा n → \u003d (2, - 3): 2 x - 3 का निर्देशन सदिश लेते हैं। वाई + 3 3 \u003d 0। अब हम एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना के लिए सभी आवश्यक डेटा जानते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 2 (एक्स - 4) - 3 (वाई - 1) = 0 ⇔ 2 एक्स - 3 वाई - 5 = 0

उत्तर: 2 एक्स - 3 वाई - 5 = 0।

उदाहरण 12

दी गई रेखा मूल बिंदु से होकर रेखा x - 2 3 = y + 4 5 पर लंबवत जाती है। किसी दी गई सीधी रेखा का सामान्य समीकरण लिखना आवश्यक है।

समाधान

दी गई रेखा का प्रसामान्य सदिश रेखा x - 2 3 = y + 4 5 का दिशा देने वाला सदिश होगा।

तब n → = (3 , 5) । सीधी रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है, अर्थात्। बिंदु 0 (0, 0) के माध्यम से। आइए किसी दी गई सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना करें:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 3 (एक्स - 0) + 5 (वाई - 0) = 0 ⇔ 3 एक्स + 5 वाई = 0

उत्तर: 3 एक्स + 5 वाई = 0।

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