साधारण अंतर समीकरण एक समीकरण कहा जाता है जो एक स्वतंत्र चर, इस चर के एक अज्ञात कार्य और विभिन्न आदेशों के इसके डेरिवेटिव (या अंतर) को जोड़ता है।

अवकल समीकरण का क्रम इसमें निहित उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

सामान्य समीकरणों के अतिरिक्त आंशिक अवकल समीकरणों का भी अध्ययन किया जाता है। ये स्वतंत्र चर से संबंधित समीकरण हैं, इन चरों का एक अज्ञात कार्य और समान चर के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न। लेकिन हम केवल विचार करेंगे सामान्य अवकल समीकरण और इसलिए हम संक्षिप्तता के लिए "साधारण" शब्द को छोड़ देंगे।

अंतर समीकरणों के उदाहरण:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

समीकरण (1) चौथे क्रम का है, समीकरण (2) तीसरे क्रम का है, समीकरण (3) और (4) दूसरे क्रम का है, समीकरण (5) पहले क्रम का है।

अंतर समीकरण एनआदेश में स्पष्ट रूप से एक फ़ंक्शन शामिल नहीं है, इसके सभी डेरिवेटिव पहले से . तक एनवें क्रम और एक स्वतंत्र चर। इसमें स्पष्ट रूप से कुछ ऑर्डर, एक फ़ंक्शन, एक स्वतंत्र चर के डेरिवेटिव शामिल नहीं हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण (1) में स्पष्ट रूप से तीसरे और दूसरे क्रम का कोई व्युत्पन्न नहीं है, साथ ही साथ कार्य भी हैं; समीकरण (2) में - दूसरे क्रम के व्युत्पन्न और कार्य; समीकरण (4) में - स्वतंत्र चर; समीकरण में (5) - कार्य। केवल समीकरण (3) में स्पष्ट रूप से सभी डेरिवेटिव, फ़ंक्शन और स्वतंत्र चर शामिल हैं।

अवकल समीकरण को हल करके किसी भी फ़ंक्शन को कहा जाता है वाई = एफ (एक्स), जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, यह एक पहचान में बदल जाता है।

अवकल समीकरण का हल ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है एकीकरण.

उदाहरण 1अवकल समीकरण का हल ज्ञात कीजिए।

फेसला। हम इस समीकरण को रूप में लिखते हैं। इसका समाधान इसके व्युत्पन्न द्वारा फ़ंक्शन को खोजना है। मूल कार्य, जैसा कि समाकलन कलन से जाना जाता है, के लिए प्रतिअवकलन है, अर्थात।

यह वही है दिए गए अवकल समीकरण का हल . इसमें बदल रहा है सी, हमें अलग-अलग समाधान मिलेंगे। हमने पाया कि प्रथम कोटि के अवकल समीकरण के अनंत हल हैं।

अवकल समीकरण का सामान्य हल एनवां क्रम इसका समाधान अज्ञात फ़ंक्शन के संबंध में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है और इसमें शामिल है एनस्वतंत्र मनमाना स्थिरांक, अर्थात्।

उदाहरण 1 में अवकल समीकरण का हल सामान्य है।

अवकल समीकरण का आंशिक हल इसका समाधान कहलाता है, जिसमें मनमाने स्थिरांक को विशिष्ट संख्यात्मक मान दिए जाते हैं।

उदाहरण 2अवकल समीकरण का सामान्य हल और के लिए एक विशेष हल ज्ञात कीजिए .

फेसला। हम समीकरण के दोनों पक्षों को इतनी बार एकीकृत करते हैं कि अवकल समीकरण का क्रम बराबर हो।

,

.

नतीजतन, हमें सामान्य समाधान मिला -

तृतीय-क्रम अवकल समीकरण दिया गया है।

अब आइए निर्दिष्ट शर्तों के तहत एक विशेष समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, हम मनमाने गुणांक के बजाय उनके मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

.

यदि अवकल समीकरण के अतिरिक्त प्रारंभिक अवस्था को रूप में दिया जाता है, तो ऐसी समस्या कहलाती है कौची समस्या . मान और समीकरण के सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित किए जाते हैं और एक मनमाना स्थिरांक का मान पाया जाता है सी, और फिर पाए गए मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान सी. यह कौची समस्या का समाधान है।

उदाहरण 3शर्त के तहत उदाहरण 1 से अवकल समीकरण के लिए कॉची समस्या को हल करें।

फेसला। हम सामान्य समाधान में प्रारंभिक स्थिति से मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं आप = 3, एक्स= 1. हमें प्राप्त होता है

हम पहले क्रम के दिए गए अवकल समीकरण के लिए कॉची समस्या का हल लिखते हैं:

विभेदक समीकरणों को हल करना, यहां तक ​​कि सबसे सरल समीकरणों को भी, जटिल कार्यों सहित, एकीकृत करने और डेरिवेटिव लेने में अच्छे कौशल की आवश्यकता होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में देखा जा सकता है।

उदाहरण 4अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

फेसला। समीकरण को इस तरह से लिखा जाता है कि दोनों पक्षों को तुरंत एकीकृत किया जा सके।

.

हम चर (प्रतिस्थापन) को बदलकर एकीकरण की विधि लागू करते हैं। चलो, फिर।

लेने के लिए आवश्यक डीएक्सऔर अब - ध्यान - हम इसे एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियमों के अनुसार करते हैं, क्योंकि एक्सऔर एक जटिल कार्य है ("सेब" - वर्गमूल निकालना या, जो समान है - शक्ति "एक सेकंड", और "कीमा बनाया हुआ मांस" - जड़ के नीचे अभिव्यक्ति):

हम अभिन्न पाते हैं:

चर पर लौट रहा है एक्स, हम पाते हैं:

.

यह पहली डिग्री के इस अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है।

विभेदक समीकरणों को हल करने में न केवल उच्च गणित के पिछले वर्गों के कौशल की आवश्यकता होगी, बल्कि प्राथमिक, यानी स्कूल गणित से भी कौशल की आवश्यकता होगी। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी भी क्रम के अंतर समीकरण में एक स्वतंत्र चर नहीं हो सकता है, अर्थात एक चर एक्स. स्कूल बेंच से अनुपात के बारे में ज्ञान जिसे भुलाया नहीं गया है (हालांकि, किसी को भी यह पसंद है) इस समस्या को हल करने में मदद करेगा। यह अगला उदाहरण है।

उस समस्या को याद करें जिसका सामना हमें निश्चित समाकलों को खोजने में करना पड़ा था:

या डीई = एफ (एक्स) डीएक्स। उसका समाधान:

और यह अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना के लिए कम हो जाता है। व्यवहार में, एक अधिक कठिन कार्य अधिक सामान्य है: एक फ़ंक्शन ढूंढना आप, यदि यह ज्ञात है कि यह प्रपत्र के संबंध को संतुष्ट करता है

यह संबंध स्वतंत्र चर से संबंधित है एक्स, अज्ञात समारोह आपऔर इसके डेरिवेटिव ऑर्डर तक एनसमावेशी, कहलाते हैं .

एक अंतर समीकरण में एक आदेश या किसी अन्य के डेरिवेटिव (या अंतर) के संकेत के तहत एक फ़ंक्शन शामिल होता है। उच्चतम के क्रम को क्रम कहा जाता है (9.1) .

विभेदक समीकरण:

- पहले के आदेश

द्वितीय आदेश,

- पाँचवाँ क्रम, आदि।

एक फलन जो किसी दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है, उसका हल कहलाता है , या अभिन्न . इसे हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान खोजना। यदि वांछित कार्य के लिए आपएक सूत्र प्राप्त करने में सफल हुए जो सभी समाधान देता है, तो हम कहते हैं कि हमें इसका सामान्य समाधान मिल गया है , या सामान्य अभिन्न .

सामान्य निर्णय शामिल है एनमनमाना स्थिरांक और दिखता है

यदि कोई संबंध प्राप्त होता है जो संबंधित है एक्स, वाईऔर एनमनमाना स्थिरांक, एक रूप में जिसकी अनुमति नहीं है आप -

तो ऐसे संबंध को समीकरण का सामान्य समाकल (9.1) कहा जाता है।

कौची समस्या

प्रत्येक विशिष्ट हल, अर्थात् प्रत्येक विशिष्ट फलन जो किसी दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है और स्वेच्छ अचरों पर निर्भर नहीं करता है, विशेष हल कहलाता है। , या निजी अभिन्न। सामान्य से विशेष समाधान (अभिन्न) प्राप्त करने के लिए, स्थिरांक के लिए विशिष्ट संख्यात्मक मान संलग्न करना आवश्यक है।

किसी विशेष विलयन के आलेख को समाकलन वक्र कहते हैं। सामान्य समाधान, जिसमें सभी विशेष समाधान शामिल हैं, अभिन्न वक्रों का एक परिवार है। प्रथम-क्रम समीकरण के लिए, यह परिवार समीकरण के लिए एक मनमाना स्थिरांक पर निर्भर करता है एनवें क्रम - से एनमनमाना स्थिरांक।

कॉची समस्या समीकरण का एक विशेष समाधान खोजना है एनवें क्रम, संतोषजनक एनआरंभिक स्थितियां:

जो n स्थिरांक с 1 , с 2 ,..., c n निर्धारित करते हैं।

पहला क्रम अंतर समीकरण

व्युत्पन्न के संबंध में एक अनसुलझे के लिए, पहले क्रम के अंतर समीकरण का रूप है

या अपेक्षाकृत अनुमति के लिए

उदाहरण 3.46. समीकरण का एक सामान्य हल खोजें

फेसला।एकीकृत करना, हमें मिलता है

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है। यदि हम सी विशिष्ट संख्यात्मक मान देते हैं, तो हमें विशेष समाधान मिलते हैं, उदाहरण के लिए,

उदाहरण 3.47. 100 r . के उपार्जन के अधीन, बैंक में जमा धन की बढ़ती हुई राशि पर विचार करें प्रति वर्ष चक्रवृद्धि ब्याज। यो को प्रारंभिक राशि होने दें, और समाप्ति के बाद Yx एक्सवर्षों। जब ब्याज की गणना वर्ष में एक बार की जाती है, तो हमें प्राप्त होता है

जहाँ x = 0, 1, 2, 3,.... जब ब्याज की गणना वर्ष में दो बार की जाती है, तो हमें प्राप्त होता है

जहां x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... ब्याज की गणना करते समय एनसाल में एक बार और अगर xक्रमिक रूप से मान 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., फिर . लेता है

1/n = h को निरूपित करें, फिर पिछली समानता इस तरह दिखेगी:

असीमित आवर्धन के साथ एन(पर ) सीमा में हम निरंतर ब्याज उपार्जन के साथ धन की राशि बढ़ाने की प्रक्रिया में आते हैं:

इस प्रकार, यह देखा जा सकता है कि निरंतर परिवर्तन के साथ एक्समुद्रा आपूर्ति में परिवर्तन का नियम प्रथम क्रम के अवकल समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है। जहाँ Y x एक अज्ञात फलन है, एक्स- स्वतंत्र चर, आर- लगातार। हम इस समीकरण को हल करते हैं, इसके लिए हम इसे निम्नानुसार फिर से लिखते हैं:

कहाँ पे , या , जहां P का अर्थ e C है।

प्रारंभिक स्थितियों Y(0) = Yo से, हम P: Yo = Pe o, कहाँ से, Yo = P पाते हैं। इसलिए, समाधान इस तरह दिखता है:

दूसरी आर्थिक समस्या पर विचार करें। मैक्रोइकॉनॉमिक मॉडल को पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा भी वर्णित किया जाता है, जो समय के एक समारोह के रूप में आय या आउटपुट वाई में परिवर्तन का वर्णन करता है।

उदाहरण 3.48. मान लीजिए राष्ट्रीय आय Y अपने आकार के समानुपाती दर से बढ़ती है:

और मान लीजिए, सरकारी खर्च में घाटा आनुपातिकता गुणांक के साथ आय Y के सीधे आनुपातिक है क्यू. खर्च में कमी से राष्ट्रीय ऋण में वृद्धि होती है D:

प्रारंभिक शर्तें Y = Yo और D = t = 0 पर करें। पहले समीकरण Y= Yoe kt से। Y को प्रतिस्थापित करने पर हमें dD/dt = qYoe kt प्राप्त होता है। सामान्य समाधान का रूप है
डी = (क्यू/ के) यो केटी +С, जहां С = स्थिरांक, जो प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होता है। प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करने पर, हम Do = (q/k)Yo + C प्राप्त करते हैं। इसलिए, अंत में,

डी = करो +(क्यू/के)यो (ई केटी -1),

इससे पता चलता है कि राष्ट्रीय ऋण उसी सापेक्ष दर से बढ़ रहा है कहै, जो राष्ट्रीय आय है।

सबसे सरल अंतर समीकरणों पर विचार करें एनक्रम, ये रूप के समीकरण हैं

इसका सामान्य समाधान का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है एनएकीकरण के समय।

उदाहरण 3.49।उदाहरण y """ = cos x पर विचार करें।

फेसला।एकीकृत करना, हम पाते हैं

सामान्य समाधान का रूप है

रैखिक अंतर समीकरण

अर्थशास्त्र में, वे बहुत काम के हैं, ऐसे समीकरणों के समाधान पर विचार करें। यदि (9.1) का रूप है:

तब इसे रैखिक कहा जाता है, जहां po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) फलन दिए गए हैं। यदि f(x) = 0, तो (9.2) को सजातीय कहा जाता है, अन्यथा इसे गैर-सजातीय कहा जाता है। समीकरण का व्यापक हल (9.2) इसके किसी विशेष हल के योग के बराबर होता है वाई (एक्स)और इसके अनुरूप सजातीय समीकरण का सामान्य हल:

यदि गुणांक p o (x), p 1 (x),..., p n (x) स्थिरांक हैं, तो (9.2)

(9.4) कोटि के अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण कहलाता है एन .

(9.4) के लिए इसका रूप है:

हम व्यापकता के नुकसान के बिना p o = 1 सेट कर सकते हैं और (9.5) को रूप में लिख सकते हैं

हम y = e kx के रूप में एक समाधान (9.6) की तलाश करेंगे, जहां k एक स्थिरांक है। हमारे पास है: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx। प्राप्त व्यंजकों को (9.6) में प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होगा:

(9.7) एक बीजीय समीकरण है, इसका अज्ञात है क, विशेषता कहलाती है। अभिलक्षणिक समीकरण की घात होती है एनऔर एनजड़ें, जिनमें से कई और जटिल दोनों हो सकते हैं। मान लीजिए k 1, k 2 ,..., k n वास्तविक और भिन्न हैं, तो विशेष समाधान हैं (9.7), जबकि सामान्य

स्थिर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण पर विचार करें:

इसकी विशेषता समीकरण का रूप है

(9.9)

इसका विभेदक D = p 2 - 4q, D के चिन्ह के आधार पर, तीन स्थितियाँ संभव हैं।

1. यदि D>0, तो मूल k 1 और k 2 (9.9) वास्तविक और भिन्न हैं, और सामान्य समाधान का रूप है:

फेसला।अभिलक्षणिक समीकरण: k 2 + 9 = 0, जहाँ से k = ± 3i, a = 0, b = 3, सामान्य हल है:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x।

दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों का उपयोग माल के स्टॉक के साथ एक वेब-जैसे आर्थिक मॉडल का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, जहां मूल्य पी के परिवर्तन की दर स्टॉक के आकार पर निर्भर करती है (पैराग्राफ 10 देखें)। यदि आपूर्ति और मांग कीमत के रैखिक कार्य हैं, अर्थात,

ए - एक स्थिरांक है जो प्रतिक्रिया दर निर्धारित करता है, फिर मूल्य परिवर्तन की प्रक्रिया को एक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है:

किसी विशेष समाधान के लिए, आप एक स्थिरांक ले सकते हैं

जिसका अर्थ संतुलन कीमत है। विचलन सजातीय समीकरण को संतुष्ट करता है

(9.10)

विशेषता समीकरण निम्नलिखित होगा:

मामले में, शब्द सकारात्मक है। निरूपित . विशेषता समीकरण k 1,2 = ± i w की जड़ें, इसलिए सामान्य समाधान (9.10) का रूप है:

जहां सी और मनमानी स्थिरांक, वे प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। हमने समय में मूल्य परिवर्तन का नियम प्राप्त कर लिया है:

अपना अंतर समीकरण दर्ज करें, एपोस्ट्रोफ """ का उपयोग व्युत्पन्न में प्रवेश करने के लिए किया जाता है, सबमिट दबाएं और समाधान प्राप्त करें

या तो पहले से ही व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया है, या उन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है .

सामान्य निर्णय विभेदक समीकरणअंतराल पर टाइप करें एक्स, जो दिया गया है, इस समानता के दोनों पक्षों का अभिन्न अंग लेकर पाया जा सकता है।

पाना .

यदि हम अनिश्चित समाकल के गुणों को देखें, तो हमें वांछित सामान्य हल प्राप्त होता है:

वाई = एफ (एक्स) + सी,

कहाँ पे एफ (एक्स)- फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक एफ (एक्स)बीच में एक्स, ए साथ मेंएक मनमाना स्थिरांक है।

कृपया ध्यान दें कि अधिकांश कार्यों में अंतराल एक्सइंगित न करें। इसका मतलब है कि सभी के लिए एक समाधान खोजना होगा। एक्स, जिसके लिए और वांछित कार्य आप, और मूल समीकरण समझ में आता है।

यदि आपको प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाले अंतर समीकरण के किसी विशेष समाधान की गणना करने की आवश्यकता है y(x0) = y0, फिर सामान्य अभिन्न की गणना के बाद वाई = एफ (एक्स) + सी, स्थिरांक का मान निर्धारित करना अभी भी आवश्यक है सी = सी0प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करना। यानी एक स्थिरांक सी = सी0समीकरण से निर्धारित एफ (एक्स 0) + सी = वाई 0, और अवकल समीकरण का वांछित विशेष समाधान रूप लेगा:

वाई = एफ (एक्स) + सी0.

एक उदाहरण पर विचार करें:

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए, परिणाम की शुद्धता की जाँच कीजिए। आइए इस समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक शर्त को पूरा करेगा।

फेसला:

दिए गए अवकल समीकरण को एकीकृत करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

.

हम इस अभिन्न को भागों द्वारा एकीकरण की विधि से लेते हैं:

उस।, अवकल समीकरण का एक सामान्य हल है।

आइए यह सुनिश्चित करने के लिए जांचें कि परिणाम सही है। ऐसा करने के लिए, हम उस समाधान को प्रतिस्थापित करते हैं जो हमें दिए गए समीकरण में मिला है:

.

अर्थात्, अत मूल समीकरण एक पहचान में बदल जाता है:

इसलिए, अवकल समीकरण का सामान्य हल सही ढंग से निर्धारित किया गया था।

हमने जो हल खोजा है, वह प्रत्येक के लिए अवकल समीकरण का सामान्य हल है वैधतर्क मान एक्स.

यह ओडीई के एक विशेष समाधान की गणना करने के लिए बनी हुई है जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगी। दूसरे शब्दों में, स्थिरांक के मान की गणना करना आवश्यक है साथ में, जिस पर समानता सत्य होगी:

.

.

फिर, प्रतिस्थापित करना सी = 2ओडीई के सामान्य समाधान में, हम अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है:

.

साधारण अंतर समीकरण समीकरण के 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है एफ (एक्स). यह परिवर्तन समतुल्य होगा यदि एफ (एक्स)किसी के लिए शून्य पर नहीं जाता एक्सअंतर समीकरण के एकीकरण के अंतराल से एक्स.

स्थितियाँ तब संभव हैं, जब तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सकार्यों एफ (एक्स)और जी (एक्स)एक ही समय में शून्य की ओर मुड़ें। समान मूल्यों के लिए एक्सअवकल समीकरण का सामान्य हल कोई फलन होता है आप, जो उनमें परिभाषित है, क्योंकि .

अगर तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सशर्त संतुष्ट है, जिसका अर्थ है कि इस मामले में ODE के पास कोई समाधान नहीं है।

अन्य सभी के लिए एक्सअंतराल से एक्सअवकल समीकरण का सामान्य हल रूपांतरित समीकरण से निर्धारित होता है।

आइए उदाहरण देखें:

उदाहरण 1

आइए हम ODE का सामान्य हल खोजें: .

फेसला।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों से, यह स्पष्ट है कि तर्क के गैर-नकारात्मक मूल्यों के लिए प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है, इसलिए, अभिव्यक्ति का डोमेन लॉग (एक्स+3)एक अंतराल है एक्स > -3 . इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण समझ में आता है एक्स > -3 . तर्क के इन मूल्यों के साथ, अभिव्यक्ति एक्स + 3गायब नहीं होता है, इसलिए 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में ओडीई को हल किया जा सकता है एक्स + 3.

हम पाते हैं .

अगला, हम व्युत्पन्न के संबंध में हल किए गए परिणामी अंतर समीकरण को एकीकृत करते हैं: . इस समाकल को लेने के लिए, हम अवकलन के चिह्न के नीचे समाकलन की विधि का प्रयोग करते हैं।

6.1. बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं

गणित और भौतिकी, जीव विज्ञान और चिकित्सा की विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, अक्सर अध्ययन के तहत प्रक्रिया का वर्णन करने वाले चर को जोड़ने वाले सूत्र के रूप में एक कार्यात्मक निर्भरता को तुरंत स्थापित करना संभव नहीं होता है। आमतौर पर, किसी को स्वतंत्र चर और अज्ञात फ़ंक्शन के अलावा, इसके डेरिवेटिव वाले समीकरणों का उपयोग करना पड़ता है।

परिभाषा।एक स्वतंत्र चर, एक अज्ञात फलन और विभिन्न कोटि के इसके व्युत्पन्न से संबंधित समीकरण कहलाता है अंतर।

अज्ञात फ़ंक्शन को आमतौर पर दर्शाया जाता है वाई (एक्स)या केवल वाई,और इसके डेरिवेटिव हैं वाई", वाई"आदि।

अन्य संकेतन भी संभव हैं, उदाहरण के लिए: if आप= एक्स (टी), फिर एक्स"(टी), एक्स""(टी)इसके डेरिवेटिव हैं, और टीएक स्वतंत्र चर है।

परिभाषा।यदि फलन एक चर पर निर्भर करता है, तो अवकल समीकरण को साधारण कहा जाता है। सामान्य फ़ॉर्म साधारण अंतर समीकरण:

या

कार्यों एफऔर एफहो सकता है कि इसमें कुछ तर्क न हों, लेकिन समीकरणों के विभेदक होने के लिए, एक व्युत्पन्न की उपस्थिति आवश्यक है।

परिभाषा।अवकल समीकरण का क्रमइसमें शामिल उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

उदाहरण के लिए, एक्स 2 वाई"- आप= 0, वाई" + पाप एक्स= 0 प्रथम-क्रम समीकरण हैं, और वाई"+ 2 वाई"+ 5 आप= एक्सद्वितीय कोटि का समीकरण है।

अंतर समीकरणों को हल करते समय, एकीकरण ऑपरेशन का उपयोग किया जाता है, जो एक मनमाना स्थिरांक की उपस्थिति से जुड़ा होता है। अगर एकीकरण कार्रवाई लागू की जाती है एनसमय, तो, जाहिर है, समाधान शामिल होगा एनमनमाना स्थिरांक।

6.2. पहला आदेश विभेदक समीकरण

सामान्य फ़ॉर्म पहला क्रम अंतर समीकरणअभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

समीकरण में स्पष्ट रूप से शामिल नहीं हो सकता है एक्सऔर वाई,लेकिन आवश्यक रूप से y" शामिल है।

यदि समीकरण को के रूप में लिखा जा सकता है

तब हमें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया प्रथम-क्रम अंतर समीकरण मिलता है।

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण (6.3) (या (6.4)) का सामान्य हल हलों का समुच्चय है , कहाँ पे साथ मेंएक मनमाना स्थिरांक है।

अवकल समीकरण को हल करने के लिए ग्राफ को कहा जाता है अभिन्न वक्र।

एक मनमाना स्थिरांक देना साथ मेंविभिन्न मूल्यों, विशेष समाधान प्राप्त करना संभव है। सतह पर xOyसामान्य समाधान प्रत्येक विशेष समाधान के अनुरूप अभिन्न वक्रों का एक परिवार है।

यदि आप एक बिंदु निर्धारित करते हैं ए (x0, y0),जिसके माध्यम से अभिन्न वक्र पारित होना चाहिए, फिर, एक नियम के रूप में, कार्यों के सेट से एक को अलग किया जा सकता है - एक विशेष समाधान।

परिभाषा।निजी निर्णयएक अवकल समीकरण का वह हल होता है जिसमें स्वेच्छ अचर नहीं होते हैं।

यदि एक एक सामान्य समाधान है, तो स्थिति से

आप एक स्थायी पा सकते हैं साथ।हालत कहा जाता है आरंभिक दशा।

प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाले अवकल समीकरण (6.3) या (6.4) के लिए एक विशेष समाधान खोजने की समस्या पर बुलाया कॉची समस्या।क्या इस समस्या का हमेशा समाधान होता है? उत्तर निम्नलिखित प्रमेय में निहित है।

कॉची का प्रमेय(अस्तित्व का प्रमेय और समाधान की विशिष्टता)। चलो अवकल समीकरण में वाई"= एफ (एक्स, वाई)समारोह एफ (एक्स, वाई)और उसकी

आंशिक व्युत्पन्न कुछ में परिभाषित और निरंतर

क्षेत्रों डी,एक बिंदु युक्त फिर क्षेत्र में डीमौजूद

समीकरण का एकमात्र समाधान जो प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता है पर

कॉची के प्रमेय में कहा गया है कि कुछ शर्तों के तहत एक अद्वितीय अभिन्न वक्र होता है आप= एफ (एक्स),एक बिंदु से गुजरना वे बिंदु जहां प्रमेय की शर्तें संतुष्ट नहीं हैं

बिल्लियों को कहा जाता है विशेष।इन बिंदुओं पर टूटा एफ(एक्स, वाई) या।

या तो कई अभिन्न वक्र एकवचन बिंदु से गुजरते हैं, या कोई नहीं।

परिभाषा।यदि समाधान (6.3), (6.4) के रूप में पाया जाता है एफ(एक्स, वाई, सी)= 0 y के संबंध में अनुमत नहीं है, तो इसे कहा जाता है सामान्य अभिन्नअंतर समीकरण।

कॉची का प्रमेय केवल इस बात की गारंटी देता है कि समाधान मौजूद है। चूँकि हल खोजने की कोई एकल विधि नहीं है, हम केवल कुछ प्रकार के प्रथम-कोटि अवकल समीकरणों पर विचार करेंगे जो कि समाकलनीय हैं। वर्ग

परिभाषा।अवकल समीकरण कहलाता है चतुर्भुज में एकीकृत,यदि इसके समाधान की खोज को कार्यों के एकीकरण तक सीमित कर दिया जाए।

6.2.1. वियोज्य चर के साथ पहले क्रम के अंतर समीकरण

परिभाषा।प्रथम कोटि के अवकल समीकरण को के साथ समीकरण कहा जाता है वियोज्य चर,

समीकरण का दायां पक्ष (6.5) दो फलनों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक केवल एक चर पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण अलग करने वाला एक समीकरण है

पासिंग वेरिएबल्स
और समीकरण

फॉर्म (6.5) में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

मान लीजिये , हम (6.5) को फिर से लिखते हैं

इस समीकरण से हम अलग-अलग चर के साथ एक अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं, जिसमें अंतर में ऐसे कार्य होते हैं जो केवल संबंधित चर पर निर्भर करते हैं:

टर्म को टर्म से इंटीग्रेट करते हुए, हमारे पास है

जहां सी = सी 2 - सी 1 एक मनमाना स्थिरांक है। व्यंजक (6.6) समीकरण (6.5) का सामान्य समाकल है।

समीकरण (6.5) के दोनों भागों को से भाग देने पर, हम उन हलों को खो सकते हैं जिनके लिए, दरअसल, अगर पर

तब स्पष्ट रूप से समीकरण (6.5) का एक हल है।

उदाहरण 1संतोषजनक समीकरण का हल खोजें

स्थिति: आप= 6 बजे एक्स= 2 (y(2) = 6).

फेसला।आइए बदलें पर"तब के लिए . दोनों पक्षों को से गुणा करें

डीएक्स,चूंकि आगे एकीकरण में छोड़ना असंभव है डीएक्सहर में:

और फिर दोनों भागों को विभाजित करके हमें समीकरण मिलता है,

जिसे एकीकृत किया जा सकता है। हम एकीकृत करते हैं:

फिर ; पोटेंशियेटिंग करने पर हमें y = C प्राप्त होता है। (एक्स + 1) - ओब-

उपाय।

प्रारंभिक डेटा के आधार पर, हम उन्हें सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करके एक मनमाना स्थिरांक निर्धारित करते हैं

अंत में हमें मिलता है आप= 2(x + 1) एक विशेष हल है। वियोज्य चरों वाले समीकरणों को हल करने के कुछ और उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2समीकरण का हल खोजें

फेसला।मान लीजिये , हम पाते हैं .

समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हमारे पास है

कहाँ पे

उदाहरण 3समीकरण का हल खोजें फेसला।हम समीकरण के दोनों भागों को उन कारकों से विभाजित करते हैं जो एक चर पर निर्भर करते हैं जो अंतर चिह्न के तहत चर के साथ मेल नहीं खाता है, अर्थात, द्वारा और एकीकृत करें। तब हमें मिलता है

और अंत में

उदाहरण 4समीकरण का हल खोजें

फेसला।यह जानकर कि हमें क्या मिलेगा। खंड-

लिम चर। फिर

एकीकृत करना, हमें मिलता है

टिप्पणी।उदाहरण 1 और 2 में, वांछित फलन आपस्पष्ट रूप से व्यक्त (सामान्य समाधान)। उदाहरण 3 और 4 में - परोक्ष रूप से (सामान्य समाकलन)। भविष्य में, निर्णय का रूप निर्दिष्ट नहीं किया जाएगा।

उदाहरण 5समीकरण का हल खोजें फेसला।

उदाहरण 6समीकरण का हल खोजें संतुष्टि देने वाला

स्थिति वाई (ई)= 1.

फेसला।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करना डीएक्सऔर आगे, हमें मिलता है

समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर (दाईं ओर का समाकल भागों द्वारा लिया जाता है), हम प्राप्त करते हैं

लेकिन शर्त आप= 1 पर एक्स= इ. फिर

पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें साथ मेंएक सामान्य समाधान में:

परिणामी व्यंजक अवकल समीकरण का विशिष्ट हल कहलाता है।

6.2.2 प्रथम कोटि के समांगी अवकल समीकरण

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहलाता है सजातीययदि इसे के रूप में दर्शाया जा सकता है

हम सजातीय समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हैं।

1. इसके बजाय आपफिर एक नया फ़ंक्शन पेश करें और इसलिए

2. कार्य के संदर्भ में तुमसमीकरण (6.7) रूप लेता है

यानी, प्रतिस्थापन सजातीय समीकरण को वियोज्य चर वाले समीकरण में कम कर देता है।

3. समीकरण (6.8) को हल करने पर, हम पहले u पाते हैं, और फिर आप= ux.

उदाहरण 1प्रश्न हल करें फेसला।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:
फिर

आइए बदलें

डीएक्स से गुणा करें: से भाग एक्सऔर पर तब

समीकरण के दोनों भागों को संगत चरों के संबंध में समाकलित करने पर, हमें प्राप्त होता है

या, पुराने चरों पर लौटने पर, हम अंत में प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2प्रश्न हल करें फेसला।रहने दो तब

समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें x2: आइए कोष्ठक खोलें और शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें:

पुराने चरों पर चलते हुए, हम अंतिम परिणाम पर पहुँचते हैं:

उदाहरण 3समीकरण का हल खोजें मान लीजिये

फेसला।एक मानक प्रतिस्थापन करना हम पाते हैं

या

या

तो विशेष समाधान का रूप है उदाहरण 4समीकरण का हल खोजें

फेसला।

उदाहरण 5समीकरण का हल खोजें फेसला।

स्वतंत्र काम

वियोज्य चर के साथ अंतर समीकरणों का हल खोजें (1-9).

सजातीय अंतर समीकरणों का हल खोजें (9-18).

6.2.3. प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों के कुछ अनुप्रयोग

रेडियोधर्मी क्षय की समस्या

प्रत्येक क्षण में रा (रेडियम) की क्षय दर इसके उपलब्ध द्रव्यमान के समानुपाती होती है। रा के रेडियोधर्मी क्षय के नियम का पता लगाएं यदि यह ज्ञात है कि प्रारंभिक क्षण में रा था और रा का आधा जीवन 1590 वर्ष है।

फेसला।इस समय द्रव्यमान रा होने दें एक्स= एक्स (टी)जी, और तब रा की क्षय दर है

कार्य के अनुसार

कहाँ पे क

अंतिम समीकरण में चरों को अलग करने और समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

कहाँ पे

निर्धारण के लिए सीहम प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करते हैं: .

फिर और इसीलिए,

आनुपातिकता कारक कअतिरिक्त शर्त से निर्धारित:

हमारे पास है

यहां से और वांछित सूत्र

बैक्टीरिया के प्रजनन की दर की समस्या

जीवाणुओं के प्रजनन की दर उनकी संख्या के समानुपाती होती है। शुरुआती समय में 100 बैक्टीरिया थे। 3 घंटे के भीतर उनकी संख्या दोगुनी हो गई। समय पर जीवाणुओं की संख्या की निर्भरता ज्ञात कीजिए। 9 घंटे में बैक्टीरिया की संख्या कितनी गुना बढ़ जाएगी?

फेसला।रहने दो एक्स- इस समय बैक्टीरिया की संख्या टी।फिर शर्त के मुताबिक,

कहाँ पे क- आनुपातिकता का गुणांक।

यहां से इस शर्त से पता चलता है कि . माध्यम,

अतिरिक्त शर्त से . फिर

आवश्यक कार्य:

तो, अत टी= 9 एक्स= 800, यानी 9 घंटे के भीतर बैक्टीरिया की संख्या 8 गुना बढ़ गई।

एंजाइम की मात्रा बढ़ाने का कार्य

शराब बनाने वाले के खमीर की संस्कृति में, सक्रिय एंजाइम की वृद्धि दर इसकी प्रारंभिक मात्रा के समानुपाती होती है। एक्स।एंजाइम की प्रारंभिक मात्रा एएक घंटे के भीतर दोगुना हो गया। निर्भरता खोजें

एक्स (टी)।

फेसला।शर्त के अनुसार, प्रक्रिया के अवकल समीकरण का रूप होता है

यहां से

लेकिन . माध्यम, सी= एऔर फिर

यह भी ज्ञात है कि

इसलिये,

6.3. दूसरे क्रम के अंतर समीकरण

6.3.1. बुनियादी अवधारणाओं

परिभाषा।दूसरा क्रम अंतर समीकरणस्वतंत्र चर, वांछित फलन और इसके प्रथम और द्वितीय अवकलज को जोड़ने वाला संबंध कहलाता है।

विशेष मामलों में, x समीकरण में अनुपस्थित हो सकता है, परया y"। हालांकि, दूसरे क्रम के समीकरण में आवश्यक रूप से y होना चाहिए"। सामान्य स्थिति में, दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है:

या, यदि संभव हो तो, दूसरे व्युत्पन्न के लिए अनुमत प्रपत्र में:

जैसा कि पहले क्रम के समीकरण के मामले में होता है, दूसरे क्रम के समीकरण का एक सामान्य और एक विशेष समाधान हो सकता है। सामान्य समाधान इस तरह दिखता है:

एक निजी समाधान ढूँढना

प्रारंभिक शर्तों के तहत - दिया गया

नंबर) कहा जाता है कॉची समस्या।ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि इसे अभिन्न वक्र खोजने की आवश्यकता है पर= वाई (एक्स),किसी दिए गए बिंदु से गुजरना और इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा है, जो लगभग . है

सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ कांटे बैलदिया गया कोण। इ। (चित्र 6.1)। कॉची समस्या का एक अनूठा समाधान है यदि समीकरण का दाहिना पक्ष (6.10), पूर्व-

असंतत है और के संबंध में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है तुम तुम"शुरुआती बिंदु के कुछ पड़ोस में

स्थिरांक खोजने के लिए किसी विशेष समाधान में शामिल, सिस्टम को अनुमति देना आवश्यक है

चावल। 6.1.अभिन्न वक्र