अध्याय आठ।

लाइनों की आनुपातिकता। आंकड़ों की समानता।

93. समान आकृतियों का निर्माण।

1. समरूप त्रिभुजों की रचना।

हम पहले से ही जानते हैं कि दिए गए त्रिभुज के समरूप त्रिभुज की रचना करने के लिए, त्रिभुज की भुजा के किसी बिंदु से त्रिभुज की भुजा के समांतर एक रेखा खींचना पर्याप्त है। हमें इसके समान एक त्रिभुज प्राप्त होता है (चित्र 382):

/\ डीआइए /\ ए "सी" बी "

2. समरूप बहुभुजों की रचना।

दिए गए बहुभुज के समान बहुभुज बनाने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं: हम दिए गए बहुभुज को इसके किसी भी शीर्ष से खींचे गए विकर्णों द्वारा त्रिभुजों में विभाजित करते हैं (चित्र 383)। दिए गए बहुभुज ABCDE के कुछ तरफ, उदाहरण के लिए, AE पर, हम कुछ बिंदु E" लेते हैं और ED के समानांतर एक रेखा खींचते हैं जब तक कि यह विकर्ण AD को नहीं काटती है, उदाहरण के लिए, बिंदु D पर"।

बिंदु D से" भुजा DC के समांतर एक रेखा खींचिए जब तक कि वह बिंदु C पर विकर्ण AC को काट न दे"। बिंदु C" से भुजा CB के समांतर एक रेखा खींचिए जब तक कि वह AB को बिंदु B पर काट न दे। परिणामी बहुभुज AB"C"D"E" दिए गए बहुभुज ABCDE के समान है।

इस कथन की वैधता स्वतंत्र रूप से सिद्ध होती है।

यदि निर्दिष्ट समानता गुणांक के साथ दिए गए बहुभुज के समान बहुभुज का निर्माण करना आवश्यक है, तो प्रारंभिक बिंदु E" को दिए गए समानता गुणांक के अनुसार क्रमशः AE या इसकी निरंतरता के पक्ष में लिया जाता है।

3. भूमि भूखंड की एक योजना की शूटिंग।

ए) योजना की शूटिंग एक विशेष उपकरण का उपयोग करके की जाती है जिसे कहा जाता है बीकर(देव। 384)।

मेन्ज़ुला एक चौकोर बोर्ड है जिसे तिपाई पर रखा जाता है। एक योजना बनाते समय, बोर्ड को एक क्षैतिज स्थिति में लाया जाता है, जिसे एक स्तर का उपयोग करके जांचा जाता है। वांछित दिशा में सीधी रेखाएँ खींचने के लिए, डायोप्टर से लैस एक एलिडेड का उपयोग किया जाता है। प्रत्येक डायोप्टर में एक स्लॉट होता है जिसमें बालों को फैलाया जाता है, जो आपको एलिडेड को सही दिशा में सटीक रूप से निर्देशित करने की अनुमति देता है। श्वेत पत्र की एक शीट को बटनों के साथ पैमाने पर बांधा जाता है, जिस पर योजना तैयार की जाती है।

भूमि भूखंड ABCDE से एक योजना लेने के लिए, भूखंड के अंदर कुछ बिंदु O चुनें ताकि भूमि भूखंड के सभी शीर्ष उसमें से दिखाई दें (चित्र 385)।

साहुल रेखा के साथ कांटे की मदद से (चित्र 386), पैमाने को इस तरह से सेट किया जाता है कि कागज की एक शीट पर अंकित बिंदु O, साइट पर चुने गए बिंदु O के विपरीत गिर जाए।

फिर, बीकर से जुड़ी कागज की एक शीट पर बिंदु O से, किरणें A, B, C, D और E की दिशाओं में एक एलिडेड के साथ खींची जाती हैं; दूरियों को मापें
OA, OB, OS, OD और OE और इन किरणों को स्वीकृत स्केल सेगमेंट में रखें
OA", OB", OS, OD" और OE"।

अंक ए, बी, सी, डी और ई जुड़े हुए हैं। यह बहुभुज ए "बी" सी "डी" ई निकलता है, जो स्वीकृत पैमाने में दिए गए भूमि भूखंड की एक योजना है।

हमारे द्वारा वर्णित स्केल शूटिंग की विधि को ध्रुवीय कहा जाता है।

पैमाने के साथ एक विमान को शूट करने के अन्य तरीके हैं, जिनके बारे में आप स्केल शूटिंग के लिए विशेष गाइड में पढ़ सकते हैं।

प्रत्येक योजना पर, आमतौर पर एक पैमाना दिया जाता है जिसके द्वारा हटाए गए क्षेत्र के वास्तविक आयामों को स्थापित किया जा सकता है, साथ ही साथ इसका क्षेत्रफल भी।

योजना कार्डिनल बिंदुओं की दिशा को भी इंगित करती है।

व्यावहारिक कार्य।

क) स्कूल कार्यशाला में सबसे सरल पैमाने का मॉडल बनाएं और इसका उपयोग जमीन के कुछ छोटे भूखंड की योजना बनाने के लिए करें।

b) एस्ट्रोलैब की सहायता से भूमि भूखंड की योजना का सर्वेक्षण किया जा सकता है।

मान लीजिए जमीन के प्लॉट ABCDE के प्लान को हटाना जरूरी है। आइए खंड के किसी एक शीर्ष को, उदाहरण के लिए, A को प्रारंभिक के रूप में लें और शीर्ष A पर कोणों को मापने के लिए एस्ट्रोलैब का उपयोग करें, अर्थात।
/ 1, / 2, / 3 (देव। 387)।

फिर, एक मापने वाली श्रृंखला का उपयोग करके, हम दूरियां AE, AD, AC और AB मापते हैं। प्लॉट के आकार और कागज़ की शीट के आकार के आधार पर जिस पर योजना लागू की जाती है, योजना बनाने के लिए पैमाने का चयन किया जाता है।

बिंदु A पर, जिसे बहुभुज का शीर्ष माना जाता है, हम क्रमशः के बराबर तीन कोण बनाते हैं / 1, / 2 और / 3; फिर, बिंदु ए से इन कोनों के किनारों पर चयनित पैमाने पर "खंड ए "ई", ए "डी", ए "सी" और ए "बी" को हटा दें। अंक ए "और ई" को जोड़ना, E "और D", D "और C, C" और B", B" और A", हमें बहुभुज ABCDE के समान एक बहुभुज A"B"C"D"E" मिलता है। यह एक योजना होगी यह भूमि भूखंड, चुने हुए पैमाने में तैयार किया गया है।

कई निर्माण समस्याओं को हल करते समय, समानता पद्धति का उपयोग किया जाता है, जिसका सार इस प्रकार है: पहले, दिए गए के समान एक आकृति का निर्माण किया जाता है, फिर यह आंकड़ा आवश्यक अनुपात में बढ़ता (घटता) है (अर्थात, एक समान आकृति है निर्मित) जो समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है।

निर्माण समस्याओं को हल करने के लिए समानता को लागू करने के तरीके सीखने की प्रक्रिया को चार चरणों में विभाजित किया जाना चाहिए: प्रारंभिक, प्रारंभिक, कौशल-निर्माण, कौशल-सुधार। प्रत्येक चरण का अपना उपदेशात्मक लक्ष्य होता है, जो तब प्राप्त होता है जब छात्र विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए कार्यों को पूरा करते हैं।

प्रारंभिक चरण का उपदेशात्मक लक्ष्य छात्रों के कौशल का निर्माण करना है: उस डेटा को उजागर करना जो आकृति के आकार को निर्धारित करता है, एक दूसरे के समान आंकड़ों के बहुत सारे जोड़े; आकृति को परिभाषित करने वाले डेटा के अनुसार एक आकृति बनाएं; निर्मित आकृति से वांछित आकृति की ओर बढ़ें।

त्रिभुजों की समरूपता के प्रथम चिह्न का अध्ययन करने के बाद, हम निम्नलिखित समुच्चय प्रस्तावित कर सकते हैं: कार्य:

एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसके दो कोने हों। समस्या के कितने समाधान हैं? कौन से तत्व निर्मित त्रिभुजों के आकार को निर्धारित करते हैं?

चित्र 35 में समरूप त्रिभुजों के नाम लिखिए।

त्रिभुज के निम्नलिखित तत्व ज्ञात हैं: क) 75 और 25 के कोण; बी) ऊंचाई 1.5 सेमी; ग) 75 और 25 के कोण, ऊंचाई 1.5 सेमी। इनमें से कौन सा डेटा चित्र 35 में एकमात्र आंकड़ा निर्धारित करता है?

चित्र 35 में कौन से कोण त्रिभुजों के आकार को निर्धारित करते हैं?

क्या चित्र 35 में दिए गए त्रिभुजों में से किसी एक की विमाओं को निर्धारित करना संभव होगा यदि निम्नलिखित डेटा ज्ञात हो: क) त्रिभुज के आधार पर कोण; बी) त्रिकोण की ऊंचाई; ग) आधार पर किनारे और कोने?

क्या त्रिभुज ABC और ABC चित्र 36 में समरूप हैं यदि ACAC? यदि वे समान हैं, तो उनकी समानता का गुणांक क्या है?

त्रिभुजों की समानता के दूसरे और तीसरे संकेतों का अध्ययन करने के बाद छात्रों को प्रस्तुत किए गए कार्यों का सेट इसी तरह संकलित किया जाता है। हालाँकि, जब इस विशेषता से अगले पर जाते हैं, तो प्रश्न कुछ अधिक जटिल हो जाते हैं, अर्थात्: आंकड़ों में त्रिभुजों का स्थान बदल जाता है, मानक से दूर जाने पर, केवल आकृति को परिभाषित करने वाले तत्व का सेट भिन्न होता है। कार्य, उदाहरण के लिए, हो सकता है:

1. क्या त्रिभुज ABC और ABC समरूप हैं यदि:

ए) एबी = 5 सेमी, बीसी = 7 सेमी, बी = 30º, एबी = 10 सेमी, बीसी = 14 सेमी, बी = 60º;

बी) एबी = 5 सेमी, बीसी = 7 सेमी, बी = 30º, एबी = 10 सेमी, बीसी = 14 सेमी, एच = 30º;

ग) AB=3cm, BC=5cm, CA=7cm, AB=4.5cm, BC=7.5cm, CA=10.5cm;

डी) एबी = 1.7 सेमी, बीसी = 3 सेमी, एसए = 4.2 सेमी, एबी = 34 सेमी, बीसी = 60 सेमी, एसए = 84 सेमी।

2. एक न्यून कोण C वाले त्रिभुज ABC में, ऊँचाई AE और BD खींची गई हैं (चित्र 37)। सिद्ध कीजिए कि ABC, EDC के समान है।

3. सिद्ध कीजिए कि समरूप त्रिभुजों के परिमाप संगत भुजाओं से संबंधित होते हैं।

परिचयात्मक चरण का उपदेशात्मक उद्देश्य छात्रों को समानता विधि द्वारा निर्माण प्रक्रिया की संरचना की व्याख्या करना है।

स्पष्टीकरण समस्या से शुरू होता है।

काम. दिए गए दो कोणों और तीसरे कोण के शीर्ष से खींची गई लंबाई d का एक समद्विभाजक दिए गए त्रिभुज की रचना कीजिए।

छात्रों के साथ कार्य का विश्लेषण करते हुए, शिक्षक कार्य प्रदान करता है - प्रश्न, जिनके उत्तर संक्षेप में बोर्ड पर दर्ज किए जाते हैं। प्रश्न हो सकते हैं:

1. कौन सा डेटा आवश्यक त्रिभुज का आकार निर्धारित करता है?

2. कौन सा डेटा वांछित त्रिभुज के आयाम निर्धारित करता है?

3. दो कोनों से कितने त्रिभुज बनाए जा सकते हैं? सभी निर्मित त्रिभुजों का निर्माण रूप क्या होगा?

4. वांछित के समान त्रिभुज में कौन सा खंड खींचा जाना चाहिए?

5. वांछित त्रिभुज का निर्माण कैसे करें?

प्रश्नों के उत्तर बोर्ड पर मुक्तहस्त रेखाचित्र के साथ हैं (चित्र 38)।

ए) एबीसी: ए =, बी =;

b) त्रिभुज ABC में कोण C के समद्विभाजक की रचना कीजिए,

ग) N=d, NCD की रचना करें;

घ) बिंदु N, AB से होकर एक सीधी रेखा खींचना;

ई) एसी = ए, बीसी = बी;

च) एबीसी - वांछित: ए =, बी = (एबीसी एबीसी 1 फीचर द्वारा) और सीएन = डी निर्माण द्वारा। मंच का उपदेशात्मक उद्देश्य, जो विचाराधीन प्रकार की समस्याओं को हल करने की क्षमता बनाता है, पहले से ही इसके नाम से स्पष्ट है। इस स्तर पर गतिविधि का मुख्य रूप व्यक्तिगत खोज है। यह एक संक्षिप्त बातचीत के साथ समाप्त होता है।

यहां कार्यों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं जिन्हें इस स्तर पर प्रस्तावित किया जा सकता है।

काम. कोण AOB के अंदर एक बिंदु F दिया गया है। OA की ओर एक बिंदु M की रचना करें, जो F से समान रूप से दूर हो और OB की ओर से समान रूप से दूर हो।

फेसला.

1. विश्लेषण। आइए चित्र 39 की ओर मुड़ें। बिंदु M को बनने दें, फिर MF=MP। इसका अर्थ यह है कि वांछित बिंदु M, MF त्रिज्या के एक वृत्त का केंद्र है जिसका केंद्र M है, जो बिंदु P पर OB को स्पर्श करता है।

यदि हम OA पर एक मनमाना बिंदु M लेते हैं और MP को CB पर छोड़ते हैं और F को रेखा के साथ MP त्रिज्या MP के केंद्र M वाले वृत्त का प्रतिच्छेदन पाते हैं, तो MFP MFP के समान होगा। इससे आवश्यक निर्माण होता है।

2. निर्माण। हम OF खींचते हैं, CA पर एक मनमाना बिंदु M लेते हैं और MP को CB पर कम करते हैं। हम बिंदु M पर केन्द्रित MP त्रिज्या का एक वृत्त खींचते हैं। मान लें कि F, OF के साथ इस वृत्त का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हम FM खींचते हैं और फिर बिंदु FFM से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं। OA के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु M आवश्यक है।

3. सबूत। किए गए विश्लेषण से यह स्पष्ट है।

4. अनुसंधान। समस्या के 2 समाधान हैं। यह इस तथ्य का अनुसरण करता है कि वृत्त OF के साथ 2 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

काम. 2 कोनों और एक परिमाप के साथ एक त्रिभुज की रचना कीजिए।

फेसला.

1. विश्लेषण। मान लीजिए और दिए गए कोण हैं और P वांछित त्रिभुज का परिमाप है (चित्र 40)। आइए मान लें कि वांछित त्रिभुज बनाया गया है, तो यदि हम किसी भी एबीसी को वांछित के समान मानते हैं, तो परिधि पी एबीसी और परिधि पी एबीसी का अनुपात एसी और एसी के अनुपात के बराबर है।

2. निर्माण। आइए वांछित के समान एबीसी बनाएं। किरण AB पर, AD=P और AD=P खंडों को अलग रखें, फिर बिंदु D और C को जोड़ दें, और बिंदु D से होकर एक रेखा DC खींचे। मान लीजिए C किरण AC के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है। बिंदु C से होकर एक रेखा CB खींचिए और AD से इस रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु निरूपित कीजिए, तो ABC आवश्यक है।

3. सबूत। जाहिर है, एसीडी एसीडी के समान है, इसलिए। पहलू अनुपात समान एबीसी और एबीसी की परिधि के अनुपात के बराबर है, इसलिए परिधि एबीसी \u003d पी, इसलिए, एबीसी वांछित है।

4. अनुसंधान। चूँकि त्रिभुज के किन्हीं दो कोणों का योग<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

काम. इस कोने के भीतरी क्षेत्र में स्थित AOB और बिंदु M दिया है। बिंदु A से गुजरते हुए और कोण AOB की भुजाओं को स्पर्श करते हुए एक वृत्त की रचना कीजिए।

फेसला.

1. विश्लेषण। मान लीजिए AOB दिया गया है और कोने के भीतरी क्षेत्र में स्थित बिंदु M है (चित्र 41)।

आइए AOB की भुजाओं को स्पर्श करते हुए एक और वृत्त बनाएं। मान लें कि M सीधी रेखा OM के साथ वृत्त का प्रतिच्छेदन बिंदु है और OMN और OMN (वृत्त के N और N केंद्र और) पर विचार करें।

ये त्रिभुज दो कोणों में समान हैं, इसलिए वांछित वृत्त की रचना इस प्रकार की जा सकती है:

2. निर्माण। चूँकि वांछित वृत्त का केंद्र समद्विभाजक AOB पर स्थित है, इसलिए हम कोण का समद्विभाजक खींचते हैं। इसके अलावा, हम यहां बिंदु N लेते हैं और केंद्र N के साथ AOB को स्पर्श करते हुए एक वृत्त बनाते हैं। फिर हम रेखा SM खींचते हैं और M द्वारा निरूपित करते हैं - वृत्त के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु (ऐसे दो बिंदु हैं - M और M - हम उनमें से एक लेते हैं)। हम बिंदु M के माध्यम से रेखा MN और उसकी रेखा खींचते हैं। फिर N कोण के द्विभाजक के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन है और वांछित वृत्त का केंद्र है, और इसकी त्रिज्या MN के बराबर है। चलो उसे पार करते हैं।

3. सबूत। रचना से, वृत्त समान है, O समानता का केंद्र है। यह त्रिभुज OMN और OMN की समानता का अनुसरण करता है, इसलिए, चूंकि वृत्त कोण की भुजाओं को स्पर्श करता है, तो वृत्त कोण की भुजाओं को भी स्पर्श करेगा।

4. अनुसंधान। समस्या के दो समाधान हैं, क्योंकि OM वृत्त के साथ दो बिंदुओं M और M पर प्रतिच्छेद करता है, जिनमें से प्रत्येक अपने स्वयं के वृत्त के अनुरूप होगा जो बिंदु M से होकर जाता है और AOB की भुजाओं को स्पर्श करता है।

मंच का उपदेशात्मक लक्ष्य जो ऊपर दिए गए प्रकार की समस्याओं को हल करने की क्षमता में सुधार करता है, गठित कौशल को अधिक जटिल समस्याओं में स्थानांतरित करना है, विशेष रूप से निम्नलिखित स्थितियों के लिए: वांछित आंकड़ा दिए गए बिंदुओं के संबंध में एक निश्चित स्थान रखता है या रेखाएँ, जबकि समस्या की स्थितियों में से किसी एक को समाप्त करने से समान या समरूप आकृतियों की एक प्रणाली बन जाती है। आइए हम ऐसे कार्य का एक उदाहरण दें।

काम. किसी दिए गए त्रिभुज में एक वर्ग लिखिए ताकि उसके दो शीर्ष त्रिभुज की एक भुजा पर हों और अन्य दो अन्य दो भुजाओं पर स्थित हों।

इस चरण के उद्देश्यों के अनुरूप कार्यों को अनिवार्य स्तर के कार्यों से बाहर रखा गया है। इसलिए, उन्हें केवल अच्छा प्रदर्शन करने वाले छात्रों को ही पेश किया जाता है। इस स्तर पर, छात्रों की व्यक्तिगत खोज गतिविधि पर मुख्य ध्यान दिया जाता है।

एक नियम के रूप में, दो त्रिभुजों को समान माना जाता है यदि उनका आकार समान हो, भले ही वे अलग-अलग आकार के हों, घुमाए गए हों या उलटे भी हों।

आकृति में दिखाए गए दो समरूप त्रिभुजों A 1 B 1 C 1 और A 2 B 2 C 2 का गणितीय निरूपण इस प्रकार लिखा गया है:

ए 1 बी 1 सी 1 ~ ∆ए 2 बी 2 सी 2

दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि:

1. एक त्रिभुज का प्रत्येक कोण दूसरे त्रिभुज के संगत कोण के बराबर होता है:
A 1 = A 2 , ∠B 1 = B 2और ∠C1 = C2

2. एक त्रिभुज की भुजाओं का दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं से अनुपात एक-दूसरे के बराबर होता है:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. रिश्ते दो पक्षोंएक त्रिभुज का दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं से एक दूसरे के बराबर और एक ही समय में
इन भुजाओं के बीच के कोण बराबर हैं:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ और $\angle A_1 = \angle A_2$
या
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ और $\angle B_1 = \angle B_2$
या
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ और $\angle C_1 = \angle C_2$

समान त्रिभुजों को समान त्रिभुजों से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाओं की लंबाई होती है। तो समान त्रिभुजों के लिए:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी समान त्रिभुज समरूप होते हैं। हालांकि, सभी समरूप त्रिभुज समान नहीं होते हैं।

यद्यपि उपरोक्त संकेतन से पता चलता है कि दो त्रिभुज समान हैं या नहीं, यह पता लगाने के लिए, हमें समान त्रिभुजों के साथ समस्याओं को हल करने के लिए तीन कोणों के मान या प्रत्येक त्रिभुज की तीन भुजाओं की लंबाई जानने की आवश्यकता है। प्रत्येक त्रिभुज के लिए ऊपर से किन्हीं तीन मानों को जानने के लिए पर्याप्त है। ये मान विभिन्न संयोजनों में हो सकते हैं:

1) प्रत्येक त्रिभुज के तीन कोण (त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता नहीं है)।

या एक त्रिभुज के कम से कम 2 कोण दूसरे त्रिभुज के 2 कोणों के बराबर होने चाहिए।
चूँकि यदि 2 कोण बराबर हैं, तो तीसरा कोण भी बराबर होगा।(तीसरे कोण का मान 180 - कोण 1 - कोण 2 है)

2) प्रत्येक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई (कोण जानने की आवश्यकता नहीं);

3) दोनों पक्षों की लंबाई और उनके बीच का कोण।

आगे, हम समरूप त्रिभुजों वाली कुछ समस्याओं के हल पर विचार करते हैं। सबसे पहले, हम उन समस्याओं को देखेंगे जिन्हें सीधे उपरोक्त नियमों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, और फिर हम कुछ व्यावहारिक समस्याओं पर चर्चा करेंगे जिन्हें समान त्रिकोण विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

समरूप त्रिभुजों वाली व्यावहारिक समस्याएं

उदाहरण 1: दर्शाइए कि नीचे दी गई आकृति में दो त्रिभुज समरूप हैं।

फेसला:
चूँकि दोनों त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई ज्ञात है, दूसरा नियम यहाँ लागू किया जा सकता है:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

उदाहरण #2: दर्शाइए कि दिए गए दो त्रिभुज समरूप हैं और भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए पी क्यूऔर जनसंपर्क.

फेसला:
ए = पीऔर B = Q, C = R(क्योंकि C = 180 - ∠A - B और ∠R = 180 - ∠P - Q)

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुज ∆ABC और PQR समरूप हैं। इसलिये:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ और
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

उदाहरण #3: लंबाई निर्धारित करें अबइस त्रिभुज में।

फेसला:

ABC = ADE, ACB = AEDऔर एसामान्य => त्रिभुज एबीसीऔर एडीईसमान है।

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

उदाहरण #4: लंबाई निर्धारित करें एडी (एक्स)आकृति में ज्यामितीय आकृति।

त्रिभुज ABC और ∆CDE समरूप हैं क्योंकि AB || DE और उनके पास एक उभयनिष्ठ शीर्ष कोना C है।
हम देखते हैं कि एक त्रिभुज दूसरे त्रिभुज का छोटा रूप है। हालाँकि, हमें इसे गणितीय रूप से सिद्ध करने की आवश्यकता है।

एबी || डीई, सीडी || एसी और बीसी || यूरोपीय संघ
BAC = EDC और ∠ABC = DEC

पूर्वगामी के आधार पर और एक सामान्य कोण की उपस्थिति को ध्यान में रखते हुए सी, हम कह सकते हैं कि त्रिभुज ABC और CDE समरूप हैं।

इसलिये:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = $23.57
एक्स = एसी - डीसी = 23.57 - 15 = 8.57

व्यावहारिक उदाहरण

उदाहरण #5: कारखाने में उत्पादों को स्तर 1 से स्तर 2 तक ले जाने के लिए एक इच्छुक कन्वेयर बेल्ट का उपयोग किया जाता है, जो कि स्तर 1 से 3 मीटर ऊपर है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इच्छुक कन्वेयर को एक छोर से स्तर 1 तक और दूसरे छोर से स्तर 1 ऑपरेटिंग बिंदु से 8 मीटर की दूरी पर स्थित वर्कस्टेशन तक सेवित किया जाता है।

कारखाना कन्वेयर कोण को बनाए रखते हुए नए स्तर तक पहुंचने के लिए कन्वेयर को अपग्रेड करना चाहता है, जो कि स्तर 1 से 9 मीटर ऊपर है।

उस दूरी का निर्धारण करें जिस पर आपको एक नया कार्य केंद्र स्थापित करने की आवश्यकता है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि कन्वेयर अपने नए सिरे पर 2 स्तर पर काम करता है। साथ ही उस अतिरिक्त दूरी की गणना करें जो उत्पाद नए स्तर पर जाने पर यात्रा करेगा।

फेसला:

सबसे पहले, आइए प्रत्येक चौराहे के बिंदु को एक विशिष्ट अक्षर के साथ लेबल करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

पिछले उदाहरणों में दिए गए तर्कों के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिभुज ABC और ADE समरूप हैं। इसलिये,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 मी$
एक्स = एबी - 8 = 24 - 8 = 16 एम

इस प्रकार, नया बिंदु मौजूदा बिंदु से 16 मीटर की दूरी पर स्थापित किया जाना चाहिए।

और चूंकि संरचना समकोण त्रिभुजों से बनी है, इसलिए हम उत्पाद यात्रा दूरी की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8.54 m$

इसी तरह, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 m$
वह दूरी है जो उत्पाद उस समय यात्रा करता है जब वह मौजूदा स्तर से टकराता है।

वाई = एसी - एई = 25.63 - 8.54 = 17.09 एम
यह वह अतिरिक्त दूरी है जो एक उत्पाद को एक नए स्तर तक पहुंचने के लिए तय करनी चाहिए।

उदाहरण #6: स्टीव अपने दोस्त से मिलने जाना चाहता है जो हाल ही में एक नए घर में आया है। स्टीव और उसके दोस्त के घर जाने का रोड मैप, स्टीव को ज्ञात दूरियों के साथ, चित्र में दिखाया गया है। स्टीव को जल्द से जल्द अपने दोस्त के घर पहुंचने में मदद करें।

फेसला:

रोडमैप को निम्नलिखित रूप में ज्यामितीय रूप से दर्शाया जा सकता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि त्रिभुज ∆ABC और CDE समरूप हैं, इसलिए:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

कार्य विवरण में कहा गया है कि:

AB = 15 किमी, AC = 13.13 किमी, CD = 4.41 किमी और DE = 5 किमी

इस जानकारी का उपयोग करके, हम निम्नलिखित दूरियों की गणना कर सकते हैं:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

स्टीव निम्नलिखित मार्गों से अपने मित्र के घर जा सकता है:

ए -> बी -> सी -> ई -> जी, कुल दूरी 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 किमी है

एफ -> बी -> सी -> डी -> जी, कुल दूरी 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 किमी है

एफ -> ए -> सी -> ई -> जी, कुल दूरी 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 किमी है

एफ -> ए -> सी -> डी -> जी, कुल दूरी 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 किमी है

इसलिए, मार्ग #3 सबसे छोटा है और स्टीव को पेश किया जा सकता है।

उदाहरण 7:
तृषा घर की ऊंचाई नापना चाहती है, लेकिन उसके पास सही उपकरण नहीं हैं। उसने देखा कि घर के सामने एक पेड़ उग रहा था और उसने इमारत की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए स्कूल में हासिल की गई अपनी संसाधनशीलता और ज्यामिति के ज्ञान का उपयोग करने का फैसला किया। उसने पेड़ से घर तक की दूरी नापी, नतीजा 30 मीटर था। फिर वह पेड़ के सामने खड़ी हो गई और तब तक पीछे हटने लगी जब तक कि इमारत का ऊपरी किनारा पेड़ के ऊपर दिखाई नहीं दे रहा था। तृषा ने उस स्थान को चिन्हित किया और उससे पेड़ तक की दूरी नापी। यह दूरी 5 मीटर थी।

पेड़ की ऊंचाई 2.8 मीटर और तृषा की आंखों की ऊंचाई 1.6 मीटर है। त्रिशा को इमारत की ऊंचाई निर्धारित करने में मदद करें।

फेसला:

समस्या का ज्यामितीय निरूपण चित्र में दिखाया गया है।

पहले हम त्रिभुजों ABC और ADE की समरूपता का प्रयोग करते हैं।

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + एसी) = 8 + 1.6 \बार एसी$

$(2.8 - 1.6) \ बार एसी = 8 \ दायां एसी = \ frac (8) (1.2) = 6.67 $

फिर हम त्रिभुज समरूपता ACB और AFG या ADE और AFG का उपयोग कर सकते हैं। आइए पहला विकल्प चुनें।

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6) )(0.16) = 10 मीटर$

कार्य 1. एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसके दो कोण और परिमाप ज्ञात हों।

फेसला। एक त्रिभुज के कोणों को जानना पहले से ही इसे एक समानता परिवर्तन तक निर्धारित करता है। इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, हम दिए गए कोणों के साथ एक त्रिभुज LS बनाते हैं (चित्र 277)। यह त्रिभुज को समान रूप से रूपांतरित करने के लिए रहता है ताकि इसका परिमाप दिए गए मान के बराबर हो जाए।

ऐसा करने के लिए, पक्ष के विस्तार पर इसके पक्षों को अलग रखें, खंड त्रिभुज की परिधि के बराबर होगा। खंड के समानांतर लेकिन दिए गए परिमाप के बराबर कोई भी खंड KL लीजिए। हम दोनों समानांतर खंडों के सिरों को जोड़ते हैं और रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बिंदु O को समानता के केंद्र के रूप में लेते हैं। वांछित त्रिभुज के शीर्षों A और C का निर्माण चित्र से देखा जा सकता है। 277, इसकी भुजाएँ AB और CB त्रिभुज की संगत भुजाओं के समांतर हैं।

त्रिभुज के मामले में - पहले से ही वांछित।

टास्क 2। किरणों OA और OB द्वारा गठित कोण और इस कोण के अंदर बिंदु N को देखते हुए। एक वृत्त की रचना कीजिए जो कोने की भुजाओं की स्पर्श रेखा है और दिए गए बिंदु N से होकर जाता है (चित्र 278)।

फेसला। किसी कोण की भुजाओं की स्पर्शरेखा वाला वृत्त उस कोण के समद्विभाजक पर केंद्रित होना चाहिए। इस द्विभाजक पर एक मनमाना बिंदु लें और कोने के किनारों पर केन्द्रित एक वृत्त का निर्माण करें (इसकी त्रिज्या बस कोने के किनारों से बिंदु की दूरी के बराबर है)। यदि हम अब इस वृत्त को कोण O के शीर्ष पर समानता के केंद्र के साथ इसी तरह बदलते हैं, तो हमें फिर से द्विभाजक पर केंद्रित एक वृत्त मिलता है; ऐसा वृत्त फिर से कोने की भुजाओं को स्पर्श करेगा, क्योंकि संपर्क बिंदु तक ले जाने वाली इसकी त्रिज्या, कोणों के संरक्षण के कारण, कोने की भुजा के लंबवत त्रिज्या में चली जाएगी। यह दूसरी शर्त की पूर्ति सुनिश्चित करने के लिए बनी हुई है: परिवर्तित सर्कल को बिंदु एन से गुजरना होगा। इसका मतलब समस्या का समाधान है। बिंदुओं पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेदन पर किरण ON खींचिए और इन बिंदुओं तक ले जाने वाली इसकी त्रिज्या की रचना कीजिए। दिए गए बिंदु N से हम इन त्रिज्याओं के समानांतर रेखाएँ NC और NC खींचते हैं; द्विभाजक के साथ उनके चौराहे सी, सी के बिंदु और वांछित सर्कल के केंद्र की संभावित स्थिति दें। समस्या के दो समाधान हैं। यदि बिंदु N कोण के समद्विभाजक पर स्थित हो तो हल कैसे बदलेगा?

अभ्यास

1. एक त्रिभुज का परिमाप 10 सेमी है, और उसका क्षेत्रफल समरूप त्रिभुज का परिमाप क्या है यदि उसका क्षेत्रफल है?

2. सिद्ध कीजिए कि समान शीर्ष कोणों वाले समद्विबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।

3. दिए गए त्रिभुज के समरूप त्रिभुज की रचना कीजिए और दी गई त्रिज्या के एक वृत्त में अंकित कीजिए।

4. दिए गए त्रिभुज ABC में एक वर्ग लिखिए ताकि उसकी एक भुजा त्रिभुज की भुजा BC पर हो और दो शीर्ष त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं पर हों।