वास्तविक संख्या के nवें मूल की अवधारणा। nth डिग्री की जड़: परिभाषाएँ, पदनाम, उदाहरण

विषय पर कक्षा 11 में पाठ की स्क्रिप्ट:

एक वास्तविक संख्या का nवाँ मूल। »

पाठ का उद्देश्य:जड़ के समग्र दृष्टिकोण के छात्रों में गठन एन-वीं डिग्री और nth डिग्री की अंकगणितीय जड़, कम्प्यूटेशनल कौशल का निर्माण, एक कट्टरपंथी युक्त विभिन्न समस्याओं को हल करने में जड़ के गुणों के जागरूक और तर्कसंगत उपयोग का कौशल। छात्रों द्वारा विषय के प्रश्नों में महारत हासिल करने के स्तर की जाँच करना।

विषय:विषय पर सामग्री को आत्मसात करने के लिए सार्थक और संगठनात्मक स्थितियाँ बनाएँ "संख्यात्मक और वर्णमाला के भाव » धारणा, समझ और प्राथमिक संस्मरण के स्तर पर; वास्तविक संख्या से nth डिग्री की जड़ की गणना करते समय इस जानकारी को लागू करने की क्षमता बनाने के लिए;

मेटासब्जेक्ट:कंप्यूटिंग कौशल के विकास को बढ़ावा देना; विश्लेषण, तुलना, सामान्यीकरण, निष्कर्ष निकालने की क्षमता;

निजी:अपने दृष्टिकोण को व्यक्त करने की क्षमता विकसित करना, दूसरों के उत्तर सुनना, संवाद में भाग लेना, सकारात्मक सहयोग की क्षमता का निर्माण करना।

नियोजित परिणाम।

विषय: समीकरणों को हल करते हुए, जड़ों की गणना करते समय वास्तविक स्थिति की प्रक्रिया में वास्तविक संख्या से n वीं डिग्री की जड़ के गुणों को लागू करने में सक्षम हो।

निजी: गणना में सावधानी और सटीकता बनाने के लिए, अपने और अपने काम के प्रति एक मांगपूर्ण रवैया, आपसी सहायता की भावना पैदा करने के लिए।

पाठ का प्रकार: नए ज्ञान के अध्ययन और प्राथमिक समेकन का पाठ

सीखने की गतिविधियों के लिए प्रेरणा:

पूर्वी ज्ञान कहता है: "आप घोड़े को पानी तक ले जा सकते हैं, लेकिन आप उसे पानी नहीं पिला सकते।" और किसी व्यक्ति को अच्छी तरह से अध्ययन करने के लिए मजबूर करना असंभव है यदि वह स्वयं अधिक सीखने की कोशिश नहीं करता है, उसके मानसिक विकास पर काम करने की इच्छा नहीं है। आखिरकार, ज्ञान ही ज्ञान है जब वह किसी के विचार के प्रयासों से प्राप्त होता है, न कि केवल स्मृति से।

हमारा पाठ आदर्श वाक्य के तहत आयोजित किया जाएगा: "हम किसी भी शिखर पर विजय प्राप्त करेंगे यदि हम उसके लिए प्रयास करते हैं।" पाठ के दौरान, आपके और मेरे पास कई चोटियों को पार करने के लिए समय होना चाहिए, और आप में से प्रत्येक को इन चोटियों को जीतने के लिए अपने सभी प्रयास करने चाहिए।

"आज हमारे पास एक सबक है जिसमें हमें एक नई अवधारणा से परिचित होना चाहिए: "एनएच डिग्री की जड़" और विभिन्न अभिव्यक्तियों के परिवर्तन के लिए इस अवधारणा को लागू करना सीखें।

आपका लक्ष्य विभिन्न प्रकार के कार्य के आधार पर मौजूदा ज्ञान को सक्रिय करना, सामग्री के अध्ययन में योगदान करना और अच्छे ग्रेड प्राप्त करना है।
हमने 8वीं कक्षा में एक वास्तविक संख्या के वर्गमूल का अध्ययन किया। वर्गमूल व्यू फंक्शन से संबंधित है आप=एक्स 2. दोस्तों, क्या आपको याद है कि हमने वर्गमूल की गणना कैसे की, और इसमें क्या गुण थे?
ए) व्यक्तिगत सर्वेक्षण:

यह अभिव्यक्ति क्या है

एक वर्गमूल क्या है

अंकगणितीय वर्गमूल क्या है

वर्गमूल के गुणों की सूची बनाएं

बी) जोड़े में काम करें: गणना करें।

2. ज्ञान को अद्यतन करना और समस्या की स्थिति पैदा करना:समीकरण x 4 = 1 को हल कीजिए। हम इसे कैसे हल कर सकते हैं? (विश्लेषणात्मक और ग्राफिक रूप से)। आइए इसे ग्राफिक रूप से हल करें। ऐसा करने के लिए, एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन y \u003d x 4 सीधी रेखा y \u003d 1 (चित्र। 164 ए) का एक ग्राफ बनाते हैं। वे दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं: A (-1;1) और B(1;1)। अंक A और B के भुज, अर्थात्। एक्स 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1, समीकरण x 4 \u003d 1 के मूल हैं।
उसी तरह से तर्क करते हुए, हम समीकरण x 4 \u003d 16 की जड़ें ढूंढते हैं: अब आइए समीकरण x 4 \u003d 5 को हल करने का प्रयास करें; ज्यामितीय चित्रण अंजीर में दिखाया गया है। 164 ख. यह स्पष्ट है कि समीकरण के दो मूल x 1 और x 2 हैं, और ये संख्याएँ, पिछले दो मामलों की तरह, परस्पर विपरीत हैं। लेकिन पहले दो समीकरणों के लिए, जड़ें बिना किसी कठिनाई के पाई गईं (वे रेखांकन का उपयोग किए बिना भी पाई जा सकती हैं), और समीकरण x 4 \u003d 5 के साथ समस्याएं हैं: ड्राइंग के अनुसार, हम मानों को इंगित नहीं कर सकते \ जड़ों की, लेकिन हम केवल यह स्थापित कर सकते हैं कि एक जड़ बाएं बिंदु -1 पर स्थित है, और दूसरा - बिंदु 1 के दाईं ओर स्थित है।

x 2 \u003d - (पढ़ें: "पांच की चौथी जड़")।

हमने समीकरण x 4 \u003d a के बारे में बात की, जहाँ a 0। समान सफलता के साथ, हम समीकरण x 4 \u003d a के बारे में बात कर सकते हैं, जहाँ 0, और n कोई भी प्राकृतिक संख्या है। उदाहरण के लिए, रेखांकन समीकरण x 5 \u003d 1 को हल करते हुए, हम x \u003d 1 (चित्र। 165) पाते हैं; समीकरण x 5 "= 7 को हल करते हुए, हम यह स्थापित करते हैं कि समीकरण का एक मूल x 1 है, जो x अक्ष पर बिंदु 1 के थोड़ा दाईं ओर स्थित है (चित्र 165 देखें)। संख्या x 1 के लिए, हम परिचय देते हैं अंकन।

परिभाषा 1.एक गैर-ऋणात्मक संख्या a (n = 2, 3.4, 5, ...) की nवीं डिग्री का मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसे n के घात तक बढ़ाने पर संख्या a प्राप्त होती है।

इस संख्या को निरूपित किया जाता है, संख्या a को मूल संख्या कहा जाता है, और संख्या n मूल सूचकांक है।
यदि n = 2, तो वे आमतौर पर "दूसरी डिग्री की जड़" नहीं कहते हैं, लेकिन "वर्गमूल" कहते हैं। इस मामले में, वे नहीं लिखते हैं। यह विशेष मामला है जिसे आपने विशेष रूप से 8 वीं में पढ़ा है ग्रेड बीजगणित पाठ्यक्रम।

यदि n \u003d 3, तो "थर्ड डिग्री रूट" के बजाय वे अक्सर "क्यूब रूट" कहते हैं। घनमूल के साथ आपका पहला परिचय 8वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में भी हुआ था। हमने 9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में घनमूल का उपयोग किया था।

तो, यदि 0, n= 2,3,4,5,…, तो 1) 0; 2) () एन = ए।

सामान्य तौर पर, =b और b n =a - गैर-ऋणात्मक संख्याओं a और b के बीच समान संबंध, लेकिन दूसरे को पहले की तुलना में सरल भाषा (सरल प्रतीकों का उपयोग करता है) में वर्णित किया गया है।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का मूल ज्ञात करने की क्रिया को सामान्यतः मूल निष्कर्षण कहा जाता है। यह ऑपरेशन संबंधित शक्ति को बढ़ाने के विपरीत है। तुलना करना:

फिर से ध्यान दें: तालिका में केवल सकारात्मक संख्याएँ दिखाई देती हैं, क्योंकि यह परिभाषा 1 में निर्धारित है। और यद्यपि, उदाहरण के लिए, (-6) 6 \u003d 36 सही समानता है, इसे वर्गमूल का उपयोग करके अंकन पर जाएं, अर्थात। जो तुम नहीं कर सकते उसे लिखो। परिभाषा के अनुसार - एक सकारात्मक संख्या, इसलिए = 6 (और नहीं -6)। उसी तरह, हालांकि 2 4 \u003d 16, मी (-2) 4 \u003d 16, जड़ों के संकेतों से गुजरते हुए, हमें \u003d 2 (और उसी समय -2) लिखना होगा।

कभी-कभी अभिव्यक्ति को एक कट्टरपंथी कहा जाता है (लैटिन शब्द गैडिक्स से - "रूट")। रूसी में, कट्टरपंथी शब्द का प्रयोग अक्सर किया जाता है, उदाहरण के लिए, "कट्टरपंथी परिवर्तन" का अर्थ है "कट्टरपंथी परिवर्तन"। वैसे, जड़ का बहुत ही पदनाम गैडिक्स शब्द की याद दिलाता है: प्रतीक एक शैलीगत अक्षर r है।

मूल निकालने की क्रिया भी ऋणात्मक मूल संख्या के लिए निर्धारित की जाती है, लेकिन केवल विषम मूल घातांक के मामले में। दूसरे शब्दों में, समीकरण (-2) 5 = -32 को समतुल्य रूप में =-2 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। यहाँ निम्नलिखित परिभाषा का प्रयोग किया गया है।

परिभाषा 2.एक ऋणात्मक संख्या a (n = 3.5, ...) से विषम अंश n का मूल एक ऋणात्मक संख्या है, जिसे n के घात तक बढ़ाने पर संख्या a प्राप्त होती है।

यह संख्या, जैसा कि परिभाषा 1 में है, द्वारा निरूपित किया जाता है, संख्या a मूल संख्या है, संख्या n मूल सूचकांक है।
तो, अगर a, n=,5,7,…, तो: 1) 0; 2) () एन = ए।

इस प्रकार, एक सम मूल केवल एक गैर-ऋणात्मक मूलक अभिव्यक्ति के लिए समझ में आता है (यानी परिभाषित किया गया है); एक विषम जड़ किसी भी कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के लिए समझ में आता है।

5. ज्ञान का प्राथमिक समेकन:

1. गणना करें: संख्या संख्या 33.5; 33.6; 33.74 33.8 मौखिक रूप से क) ; बी) ; में) ; जी) ।

d) पिछले उदाहरणों के विपरीत, हम संख्या का सटीक मान निर्दिष्ट नहीं कर सकते। यह केवल स्पष्ट है कि यह 2 से अधिक है, लेकिन 3 से कम है, क्योंकि 2 4 \u003d 16 (यह 17 से कम है), और 3 4 \u003d 81 (यह 17 से अधिक)। ध्यान दें कि 24, 34 की तुलना में 17 के काफी करीब है, इसलिए लगभग बराबर चिह्न का उपयोग करने का कारण है:
2. निम्नलिखित भावों के मान ज्ञात कीजिए।

उदाहरण के आगे संबंधित पत्र रखें।

महान वैज्ञानिक के बारे में थोड़ी जानकारी। रेने डेसकार्टेस (1596-1650) फ्रांसीसी रईस, गणितज्ञ, दार्शनिक, शरीर विज्ञानी, विचारक। रेने डेसकार्टेस ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति की नींव रखी, अक्षर पदनाम x 2 , y 3 की शुरुआत की। हर कोई कार्टेशियन निर्देशांक जानता है जो एक चर के कार्य को परिभाषित करता है।

3 . समीकरण हल करें: ए) = -2; बी) = 1; ग) = -4

फेसला:क) यदि = -2, तो y = -8। वास्तव में, हमें दिए गए समीकरण के दोनों भागों को घन करना चाहिए। हम पाते हैं: 3x+4= - 8; 3x = -12; एक्स = -4। बी) उदाहरण के रूप में तर्क देते हुए ए), हम समीकरण के दोनों पक्षों को चौथी शक्ति तक बढ़ाते हैं। हमें मिलता है: एक्स = 1।

ग) यहां चौथी शक्ति तक बढ़ाना आवश्यक नहीं है, इस समीकरण का कोई हल नहीं है। क्यों? क्योंकि, परिभाषा 1 के अनुसार, एक सम घात का मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है।
आपके ध्यान के लिए कई कार्य हैं। जब आप इन कार्यों को पूरा कर लेंगे, तो आप महान गणितज्ञ का नाम और उपनाम जानेंगे। इस वैज्ञानिक ने 1637 में सबसे पहले जड़ के चिन्ह का परिचय दिया था।

6. चलो थोड़ा आराम करें।

वर्ग हाथ उठाता है - यह "समय" है।

सिर मुड़ा - यह "दो" है।

हाथ नीचे करो, आगे देखो - यह "तीन" है।

हाथ "चार" पर पक्षों की ओर बढ़े,

उन्हें अपने हाथों से बलपूर्वक दबाना "पाँच" है।

सभी लोगों को बैठने की जरूरत है - यह "छः" है।

7. स्वतंत्र कार्य:

विकल्प: 2 विकल्प:

बी) 3-। बी) 12 -6।

2. समीकरण हल करें: ए) एक्स 4 \u003d -16; बी) 0.02x6 -1.28=0; ए) एक्स 8 \u003d -3; बी) 0.3x 9 - 2.4 \u003d 0;

ग) = -2; सी) = 2

8. दोहराव:समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए = - x। यदि समीकरण में एक से अधिक मूल हैं, तो उत्तर में छोटे मूल लिखें।

9. प्रतिबिंब:आपने पाठ में क्या सीखा? क्या दिलचस्प था? क्या मुश्किल था?

एक्स 4 = 1 और इसे ग्राफिक रूप से हल करें। ऐसा करने के लिए, एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन y \u003d x n एक सीधी रेखा y \u003d 1 (चित्र। 164 ए) का एक ग्राफ बनाते हैं। वे दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं:

वे समीकरण x 4 \u003d 1 के मूल हैं।
उसी तरह तर्क करते हुए, हम समीकरण x 4 \u003d 16 की जड़ें पाते हैं:

और अब आइए समीकरण x 4 \u003d 5 को हल करने का प्रयास करें; ज्यामितीय चित्रण अंजीर में दिखाया गया है। 164 ख. यह स्पष्ट है कि समीकरण के दो मूल x 1 और x 2 हैं, और ये संख्याएँ, पिछले दो मामलों की तरह, परस्पर विपरीत हैं। लेकिन पहले दो समीकरणों के लिए जड़ोंकठिनाई के बिना पाए गए (वे रेखांकन का उपयोग किए बिना पाए जा सकते हैं), लेकिन समीकरण x 4 \u003d 5 के साथ समस्याएं हैं: ड्राइंग के अनुसार, हम जड़ों के मूल्यों को निर्दिष्ट नहीं करते हैं, लेकिन हम केवल कर सकते हैं स्थापित करें कि एक मूल बिंदु -1 के बाईं ओर स्थित है, और दूसरा - बिंदु 1 के दाईं ओर स्थित है।
यह साबित किया जा सकता है (बिल्कुल उसी तरह जैसे यह संख्या l/b के लिए हमारी बीजगणित -8 पाठ्यपुस्तक में किया गया था) कि x 1 और x 2 अपरिमेय संख्याएँ हैं (अर्थात, अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश)।

पहली बार ऐसी स्थिति का सामना करने के बाद, गणितज्ञों ने महसूस किया कि उन्हें गणितीय भाषा में इसका वर्णन करने का एक तरीका खोजना होगा। उन्होंने एक नए प्रतीक को ध्यान में रखा, जिसे उन्होंने चौथी डिग्री की जड़ कहा, और इस प्रतीक की मदद से समीकरण x 4 \u003d 5 की जड़ों को इस प्रकार लिखा गया: (पढ़ें: "पांच की चौथी जड़")।

टिप्पणी 1. 17, 32 और 38 में समान तर्कों के साथ इन तर्कों की तुलना करें। गणित में नए शब्द और नए अंकन तब प्रकट होते हैं जब वे एक नए गणितीय का वर्णन करने के लिए आवश्यक होते हैं। मॉडल. यह गणितीय भाषा की ख़ासियत का प्रतिबिंब है: इसका मुख्य कार्य संचार नहीं है - संचार के लिए, लेकिन आयोजन - ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय मॉडल के साथ सफल कार्य के आयोजन के लिए।

हमने समीकरण x 4 \u003d a के बारे में बात की, जहां a > 0. समान सफलता के साथ, हम समीकरण x 4 \u003d a के बारे में भी बात कर सकते हैं, जहां a > 0, और n कोई भी प्राकृतिक संख्या है। उदाहरण के लिए, रेखांकन समीकरण x 5 \u003d 1 को हल करते हुए, हम x \u003d 1 (चित्र। 165) पाते हैं; समीकरण x 5 "= 7 को हल करते हुए, हम यह स्थापित करते हैं कि समीकरण का एक मूल xr है, जो x अक्ष पर बिंदु 1 के थोड़ा दाईं ओर स्थित है (चित्र 165 देखें)। संख्या xx के लिए, हम संकेतन Hh का परिचय देते हैं। .

सामान्य तौर पर, समीकरण को हल करना x n \u003d a, जहां a> 0, n e N, n> 1, हम सम n के मामले में दो जड़ें प्राप्त करते हैं: (चित्र। 164, c); विषम n के मामले में - एक मूल (यह पढ़ता है: "संख्या a से nth डिग्री की जड़")। समीकरण x p \u003d 0 को हल करने पर, हमें केवल रूट x \u003d 0 मिलता है।

टिप्पणी 2.गणितीय भाषा में, सामान्य भाषा की तरह, ऐसा होता है कि एक ही शब्द विभिन्न अवधारणाओं पर लागू होता है; इसलिए, पिछले वाक्य में, "रूट" शब्द का प्रयोग दो अर्थों में किया गया है: समीकरण की जड़ के रूप में (आप लंबे समय से इस तरह की व्याख्या के आदी हैं) और संख्या की एल-वें डिग्री की जड़ के रूप में (नया) व्याख्या)। यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है कि शब्द की व्याख्या किस अर्थ में है।

अब हम एक सटीक परिभाषा देने के लिए तैयार हैं।

परिभाषा 1.एक गैर-ऋणात्मक संख्या a (n = 2, 3.4, 5, ...) का l-वें मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसे n की घात तक बढ़ाने पर, संख्या a प्राप्त होती है।

इस संख्या को निरूपित किया जाता है, संख्या a को मूल संख्या कहा जाता है, और संख्या n मूल सूचकांक है।
यदि n \u003d 2, तो वे आमतौर पर "सेकंड डिग्री रूट" नहीं कहते हैं, लेकिन ""वर्गमूल" कहते हैं। इस मामले में, न लिखें यह वह विशेष मामला है जिसका आपने विशेष रूप से 8वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में अध्ययन किया था।

यदि n \u003d 3, तो "थर्ड डिग्री रूट" के बजाय वे अक्सर "क्यूब रूट" कहते हैं। घनमूल के साथ आपका पहला परिचय 8वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में भी हुआ था। उदाहरण 6 को हल करते समय हमने 36 में घनमूल का प्रयोग किया।

सामान्य तौर पर, - वही गणितीय मॉडल (गैर-ऋणात्मक संख्याओं ए और बी के बीच समान संबंध), लेकिन केवल दूसरे को पहले की तुलना में सरल भाषा (सरल प्रतीकों का उपयोग करता है) में वर्णित किया गया है।

उदाहरण 1गणना करें:

हालांकि, एक कैलकुलेटर का उपयोग करके संख्या का अधिक सटीक अनुमानित मूल्य पाया जा सकता है जिसमें रूट निष्कर्षण ऑपरेशन शामिल है, यह लगभग बराबर है
मूल निकालने की क्रिया भी ऋणात्मक मूल संख्या के लिए निर्धारित की जाती है, लेकिन केवल विषम मूल घातांक के मामले में। दूसरे शब्दों में, समानता (-2)5 =-32 को तुल्य रूप में फिर से लिखा जा सकता है। यहाँ निम्नलिखित परिभाषा का प्रयोग किया गया है।

परिभाषा 2.एक ऋणात्मक संख्या a (n \u003d 3.5, ...) से एक विषम डिग्री l की जड़ एक ऋणात्मक संख्या है, जिसे n की शक्ति तक बढ़ाने पर संख्या a प्राप्त होती है।

यह संख्या, जैसा कि परिभाषा 1 में है, द्वारा निरूपित किया जाता है, संख्या a मूल संख्या है, संख्या n मूल सूचकांक है।
इसलिए,

इस प्रकार, एक सम मूल केवल एक गैर-ऋणात्मक मूलक अभिव्यक्ति के लिए समझ में आता है (यानी परिभाषित किया गया है); एक विषम जड़ किसी भी कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के लिए समझ में आता है।
उदाहरण 2. समीकरण हल करें:

फेसला:और अगर वास्तव में, हमें दिए गए समीकरण के दोनों भागों को घन करना चाहिए। हम पाते हैं:

बी) उदाहरण के रूप में तर्क देते हुए ए), हम समीकरण के दोनों पक्षों को चौथी शक्ति तक बढ़ाते हैं। हम पाते हैं:

ग) यहां चौथी शक्ति तक बढ़ाना आवश्यक नहीं है, इस समीकरण का कोई हल नहीं है। क्यों? क्योंकि, परिभाषा 1 के अनुसार, एक सम घात का मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है।
d) समीकरण के दोनों पक्षों को छठी घात तक बढ़ाने पर, हम प्राप्त करते हैं:

ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित ग्रेड 10

पाठ सामग्री पाठ सारांशसमर्थन फ्रेम पाठ प्रस्तुति त्वरक विधियां इंटरैक्टिव प्रौद्योगिकियां अभ्यास कार्य और अभ्यास स्व-परीक्षा कार्यशालाएं, प्रशिक्षण, मामले, quests होमवर्क चर्चा प्रश्न छात्रों से अलंकारिक प्रश्न रेखांकन ऑडियो, वीडियो क्लिप और मल्टीमीडियातस्वीरें, चित्र ग्राफिक्स, टेबल, योजनाएं हास्य, उपाख्यान, चुटकुले, कॉमिक्स, दृष्टांत, बातें, वर्ग पहेली, उद्धरण ऐड-ऑन एब्सट्रैक्टजिज्ञासु चीट शीट के लिए लेख चिप्स पाठ्यपुस्तकें अन्य शब्दों की बुनियादी और अतिरिक्त शब्दावली पाठ्यपुस्तकों और पाठों में सुधारपाठ्यपुस्तक में त्रुटियों को सुधारनापाठ में नवाचार के पाठ्यपुस्तक तत्वों में एक टुकड़ा अद्यतन करना अप्रचलित ज्ञान को नए के साथ बदलना केवल शिक्षकों के लिए सही सबकवर्ष के लिए कैलेंडर योजना चर्चा कार्यक्रम की पद्धति संबंधी सिफारिशें एकीकृत पाठ

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "एन-वें एक वास्तविक संख्या की जड़"

अतिरिक्त सामग्री
प्रिय उपयोगकर्ताओं, अपनी टिप्पणियाँ, प्रतिक्रिया, सुझाव देना न भूलें! सभी सामग्रियों की जाँच एक एंटीवायरस प्रोग्राम द्वारा की जाती है।

ग्रेड 11 . के लिए ऑनलाइन स्टोर "इंटीग्रल" में शिक्षण सहायक सामग्री और सिमुलेटर
मापदंडों के साथ बीजगणितीय समस्याएं, ग्रेड 9-11
"कक्षा 10 और 11 के लिए अंतरिक्ष में निर्माण के लिए इंटरएक्टिव कार्य"

एन डिग्री की जड़। अतीत की पुनरावृत्ति।

दोस्तों आज के पाठ का विषय कहा जाता है "वास्तविक संख्या का n-वें मूल".
हमने 8वीं कक्षा में एक वास्तविक संख्या के वर्गमूल का अध्ययन किया। वर्गमूल $y=x^2$ फॉर्म के एक फ़ंक्शन से जुड़ा है। दोस्तों, क्या आपको याद है कि हमने वर्गमूल की गणना कैसे की, और इसमें क्या गुण थे? इस विषय को स्वयं दोहराएं।
आइए $y=x^4$ फॉर्म के एक फंक्शन पर विचार करें और इसके ग्राफ को प्लॉट करें।

अब समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें: $x^4=16$।
आइए फ़ंक्शन के हमारे ग्राफ़ पर एक सीधी रेखा $y=16$ बनाएं और देखें कि हमारे दो ग्राफ़ किन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
फ़ंक्शन का ग्राफ़ स्पष्ट रूप से दिखाता है कि हमारे पास दो समाधान हैं। फलन निर्देशांक (-2;16) और (2;16) के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। हमारे अंक के एब्सिसास हमारे समीकरण के समाधान हैं: $x_1=-2$ और $x_2=2$। समीकरण $x^4=1$, स्पष्ट रूप से $x_1=-1$ और $x_2=1$ की जड़ों को खोजना भी आसान है।
क्या होगा यदि कोई समीकरण $x^4=7$ है।
आइए हमारे कार्यों की साजिश करें:
हमारा ग्राफ स्पष्ट रूप से दिखाता है कि समीकरण के भी दो मूल हैं। वे y-अक्ष के प्रति सममित हैं, अर्थात् वे विपरीत हैं। कार्यों के ग्राफ से सटीक समाधान खोजना संभव नहीं है। हम केवल यह कह सकते हैं कि हमारे हल मॉड्यूलो 2 से कम लेकिन 1 से बड़े हैं। हम यह भी कह सकते हैं कि हमारे मूल अपरिमेय संख्याएँ हैं।
ऐसी समस्या का सामना करते हुए गणितज्ञों को इसका वर्णन करना पड़ा। उन्होंने एक नया संकेतन पेश किया: $\sqrt()$, जिसे उन्होंने चौथी जड़ कहा। तब हमारे समीकरण $x^4=7$ की जड़ें इस रूप में लिखी जाएंगी: $x_1=-\sqrt(7)$ और $x_2=\sqrt(7)$। यह सात की चौथी जड़ की तरह पढ़ता है।
हमने $x^4=a$ फॉर्म के समीकरण के बारे में बात की, जहां $a>0$ $(a=1,7,16)$। हम फॉर्म के समीकरणों पर विचार कर सकते हैं: $x^n=a$, जहां $a>0$, n कोई भी प्राकृतिक संख्या है।
हमें एक्स पर डिग्री पर ध्यान देना चाहिए, चाहे डिग्री सम या विषम हो - समाधानों की संख्या बदल जाती है। आइए एक विशिष्ट उदाहरण देखें। आइए समीकरण $x^5=8$ को हल करें। आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाएं:
फलन का ग्राफ स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि हमारे मामले में हमारे पास केवल एक ही हल है। समाधान को आमतौर पर $\sqrt(8)$ के रूप में दर्शाया जाता है। $x^5=a$ फॉर्म के समीकरण को हल करना और पूरे y-अक्ष के साथ चलना, यह समझना आसान है कि इस समीकरण का हमेशा एक समाधान होगा। इस मामले में, a का मान शून्य से कम हो सकता है।

एन डिग्री की जड़। परिभाषा

परिभाषा। एक गैर-ऋणात्मक संख्या a की nवीं डिग्री ($n=2,3,4…$) का मूल एक ऐसी गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसे n के घात तक बढ़ाने पर संख्या a प्राप्त होती है।

इस संख्या को $\sqrt[n](a)$ के रूप में दर्शाया गया है। संख्या a को मूल संख्या कहा जाता है, n जड़ का सूचकांक है।

दूसरी और तीसरी डिग्री की जड़ों को क्रमशः वर्गाकार और घनमूल कहा जाता है। हमने आठवीं और नौवीं कक्षा में उनका अध्ययन किया।
अगर $а≥0$, $n=2,3,4,5…$, तो:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
एक ऋणात्मक संख्या का मूल ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है "जड़ निष्कर्षण".
घातांक और जड़ निष्कर्षण एक ही निर्भरता हैं:

दोस्तों, कृपया ध्यान दें कि तालिका में केवल सकारात्मक संख्याएँ प्रस्तुत की गई हैं। परिभाषा में, हमने निर्धारित किया है कि मूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या a से लिया गया है। अगला, हम स्पष्टीकरण देंगे जब एक ऋणात्मक संख्या a से मूल निकालना संभव होगा।

एन डिग्री की जड़। समाधान उदाहरण

गणना करें:
ए) $\sqrt(64)$।
समाधान: $\sqrt(64)=8$ से $8>0$ और $8^2=64$।

बी) $\sqrt(0.064)$।
समाधान: $\sqrt(0.064)=0.4$ से $0.4>0$ और $0.4^3=0.064$।

सी) $\sqrt(0)$।
समाधान: $\sqrt(0)=0$।

डी) $\sqrt(34)$।
हल: इस उदाहरण में, हम सटीक मान का पता नहीं लगा सकते हैं, हमारी संख्या अपरिमेय है। लेकिन हम कह सकते हैं कि यह 2 से बड़ा और 3 से कम है, क्योंकि 2 से 5वीं शक्ति 32 है, और 3 से 5वीं शक्ति 243 है। 34 इन संख्याओं के बीच स्थित है। हम एक कैलकुलेटर का उपयोग करके एक अनुमानित मान प्राप्त कर सकते हैं जो हज़ारों की सटीकता के साथ जड़ों $\sqrt(34)≈2.02$ की गणना कर सकता है।
हमारी परिभाषा में, हम केवल धनात्मक संख्याओं से nवीं डिग्री की जड़ों की गणना करने के लिए सहमत हुए। पाठ की शुरुआत में, हमने एक उदाहरण देखा कि आप n-th डिग्री की जड़ों को ऋणात्मक संख्याओं से निकाल सकते हैं। हमने फलन के विषम घातांक पर विचार किया है और अब कुछ स्पष्टीकरण करते हैं।

परिभाषा। एक ऋणात्मक संख्या a से विषम अंश n (n = 3,5,7,9 ...) का मूल ऐसी ऋणात्मक संख्या है, जिसे n के घात तक बढ़ाने पर a प्राप्त होता है।

पदनाम आमतौर पर एक ही प्रयोग किया जाता है।
अगर $a 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
एक सम मूल केवल धनात्मक मूल संख्या के लिए समझ में आता है, एक विषम मूल किसी भी मूल संख्या के लिए समझ में आता है।

उदाहरण।
a) समीकरणों को हल करें: $\sqrt(3x+3)=-3$।
हल: यदि $\sqrt(y)=-3$ तो $y=-27$। यानी हमारे समीकरण के दोनों पक्षों को क्यूब किया जाना चाहिए।
$3x+3=-27$।
$3x=-30$.
$ एक्स = -10 $।

बी) समीकरणों को हल करें: $\sqrt(2x-1)=1$।
दोनों भागों को चौथी शक्ति तक उठाएँ:
$2x-1=1$.
$ 2x = 2 $।
$ एक्स = 1 $।

सी) समीकरणों को हल करें: $\sqrt(4x-1)=-5$।
समाधान: हमारी परिभाषा के अनुसार, एक सम घात का मूल केवल एक धनात्मक संख्या से लिया जा सकता है, और हमें ऋणात्मक दिया जाता है, तब कोई मूल नहीं होता है।

डी) समीकरणों को हल करें: $\sqrt(x^2-7x+44)=2$।
हल: समीकरण के दोनों पक्षों को पाँचवीं घात तक उठाएँ:
$x^2-7x+44=32$।
$x^2-7x+12=0$।
$x_1=4$ और $x_2=3$।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1. गणना करें:
ए) $\sqrt(81)$।
बी) $\sqrt(0.0016)$।
सी) $\sqrt(1)$।
डी) $\sqrt(70)$।
2. समीकरणों को हल करें:
ए) $\sqrt(2x+6)=2$।
बी) $\sqrt(3x-5)=-1$।
सी) $\sqrt(4x-8)=-4$।
डी) $\sqrt(x^2-8x+49)=2$।

या इस तरह वर्ग सूत्र के अंतर का उपयोग करना:

(x 2-4) * (x 2 +4) \u003d 0.

दो कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर हो।

व्यंजक x 2 +4 शून्य के बराबर नहीं हो सकता है, इसलिए केवल (x 2 -4)=0 ही रहता है।

हम इसे हल करते हैं, हमें दो उत्तर मिलते हैं।

उत्तर: x=-2 और x=2।

हमने पाया कि समीकरण x 4 \u003d 16 में केवल 2 वास्तविक मूल हैं। ये संख्या 16 से चौथी डिग्री की जड़ें हैं। इसके अलावा, सकारात्मक जड़ को संख्या 16 से चौथी डिग्री का अंकगणितीय मूल कहा जाता है। और वे 4√16 को दर्शाते हैं। वह 4√16=2 है।

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a से एक प्राकृतिक डिग्री n>=2 का अंकगणितीय मूल कुछ गैर-ऋणात्मक संख्या है, जब n की शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो संख्या प्राप्त होती है।

यह साबित किया जा सकता है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक a और प्राकृतिक n के लिए, समीकरण x n = a का एक एकल गैर-ऋणात्मक मूल होगा। यह वह मूल है जिसे संख्या a से nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूल कहा जाता है।

संख्या a की nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल को n√a के रूप में दर्शाया गया है।

इस मामले में संख्या a को मूल व्यंजक कहा जाता है।

मामले में जब n = 2, वे एक ड्यूस नहीं लिखते हैं, लेकिन बस a लिखते हैं।

दूसरी और तीसरी डिग्री की अंकगणितीय जड़ें होती हैं उनके विशेष नाम।

दूसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल को वर्गमूल कहा जाता है, और तीसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल को घनमूल कहा जाता है।

केवल अंकगणितीय मूल की परिभाषा का उपयोग करके, कोई यह सिद्ध कर सकता है कि n√a, b के बराबर है। ऐसा करने के लिए, आपको यह दिखाना होगा:

1. बी शून्य से बड़ा या उसके बराबर है।
2. बी एन = ए।

उदाहरण के लिए, 3√(64) = 4, क्योंकि 1. 4>0, 2. 4 3 =64।

एक अंकगणितीय जड़ की परिभाषा से परिणाम।

(एन√ए) एन = ए।
एन√ (ए एन) = ए।

उदाहरण के लिए, (5√2) 5 = 2.

nth रूट निकालना

nवें अंश का मूल निकालना वह क्रिया है जिसके द्वारा nth अंश का मूल पाया जाता है। nवां मूल लेना nवें घात तक बढ़ने का विलोम है।

एक उदाहरण पर विचार करें।

समीकरण x 3 = -27 को हल कीजिए।

आइए इस समीकरण को (-x) 3 =27 के रूप में फिर से लिखें।

हम y \u003d -x, फिर y 3 \u003d 27 डालते हैं। इस समीकरण का एक धनात्मक मूल y= 3√27 = 3 है।

इस समीकरण का कोई ऋणात्मक मूल नहीं है, क्योंकि y 3

हम पाते हैं कि समीकरण y 3 \u003d 27 का केवल एक मूल है।

मूल समीकरण पर लौटने पर, हम पाते हैं कि इसका भी केवल एक मूल x=-y=-3 है।

रूट डिग्री एनएक वास्तविक संख्या से ए, कहाँ पे एन- एक प्राकृत संख्या, ऐसी वास्तविक संख्या कहलाती है एक्स, एनजिसकी वें शक्ति के बराबर है ए.

डिग्री रूट एनसंख्या से एप्रतीक द्वारा दर्शाया गया है। इस परिभाषा के अनुसार।

जड़ ढूँढना एनबीच से th डिग्री एजड़ निष्कर्षण कहा जाता है। संख्या एएक मूल संख्या (अभिव्यक्ति) कहा जाता है, एन- जड़ का सूचक। विषम के लिए एनएक जड़ है एनकिसी भी वास्तविक संख्या के लिए -th डिग्री ए. और भी एनएक जड़ है एन-th डिग्री केवल गैर-ऋणात्मक संख्या के लिए ए. जड़ की अस्पष्टता को दूर करने के लिए एनबीच से th डिग्री ए, एक अंकगणितीय मूल की अवधारणा पेश की गई है एनबीच से th डिग्री ए.

डिग्री N . के अंकगणितीय मूल की अवधारणा

अगर एन- प्राकृतिक संख्या . से अधिक 1 , तब मौजूद है, और केवल एक, गैर-ऋणात्मक संख्या एक्स, ऐसा है कि समानता रखती है। यह अंक एक्सअंकगणितीय जड़ कहा जाता है एनएक गैर-ऋणात्मक संख्या की शक्ति एऔर निरूपित किया जाता है। संख्या एरूट नंबर कहा जाता है एन- जड़ का सूचक।

तो, परिभाषा के अनुसार, संकेतन, जहां, का अर्थ है, पहला, वह और, दूसरा, वह, यानी। .

एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की अवधारणा

प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री: let एएक वास्तविक संख्या है, और एनएक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है एन-एक संख्या की शक्ति एकाम को बुलाओ एनगुणक, जिनमें से प्रत्येक बराबर है ए, अर्थात। . संख्या ए- डिग्री का आधार, एन- प्रतिपादक। शून्य घातांक वाला घातांक: परिभाषा के अनुसार, यदि , तो । एक संख्या की शून्य शक्ति 0 कोई मतलब नहीं है। एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ घात: परिभाषा के अनुसार, यदि और एनएक प्राकृतिक संख्या है, तो . भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री: परिभाषा के अनुसार, यदि और एन- प्राकृतिक संख्या, एमएक पूर्णांक है, तो .

जड़ों के साथ संचालन।

नीचे दिए गए सभी सूत्रों में, प्रतीक का अर्थ है अंकगणितीय मूल (कट्टरपंथी व्यंजक धनात्मक है)।

1. कई कारकों के उत्पाद की जड़ इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर होती है:

2. अनुपात का मूल भाज्य और भाजक के मूल के अनुपात के बराबर होता है:

3. जब किसी जड़ को किसी घात में ऊपर उठाया जाता है, तो यह मूल संख्या को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त होता है:

4. यदि आप रूट की डिग्री को n गुना बढ़ाते हैं और साथ ही रूट नंबर को nth पावर तक बढ़ाते हैं, तो रूट का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि आप मूलांक की डिग्री को n गुना कम करते हैं और साथ ही मूलांक से nवीं डिग्री का मूल निकालते हैं, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

डिग्री की अवधारणा का विस्तार। अब तक, हमने केवल एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री पर विचार किया है; लेकिन शक्तियों और जड़ों के साथ संचालन से नकारात्मक, शून्य और भिन्नात्मक घातांक भी हो सकते हैं। इन सभी प्रतिपादकों को एक अतिरिक्त परिभाषा की आवश्यकता है।

एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री। ऋणात्मक (पूर्णांक) घातांक वाली किसी संख्या की घात को ऋणात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर घातांक वाले समान संख्या की घात से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है:

अब सूत्र a m: a n \u003d a m - n का उपयोग न केवल n से अधिक m के लिए किया जा सकता है, बल्कि n से कम m के लिए भी किया जा सकता है।

उदाहरण ए 4: ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3।

यदि हम चाहते हैं कि सूत्र a m: a n = a m - n m = n के लिए मान्य हो, तो हमें शून्य डिग्री को परिभाषित करने की आवश्यकता है।

शून्य घातांक के साथ डिग्री। शून्य घातांक वाली किसी भी अशून्य संख्या की घात 1 होती है।

उदाहरण। 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3/5) 0 = 1।

भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री। वास्तविक संख्या a को घात m / n तक बढ़ाने के लिए, आपको इस संख्या की mth घात से nth डिग्री की जड़ निकालने की आवश्यकता है:

उन भावों के बारे में जिनका कोई मतलब नहीं है। ऐसे कई भाव हैं।

मामला एक

जहां 0 मौजूद नहीं है।

वास्तव में, यदि हम मान लें कि x एक निश्चित संख्या है, तो, विभाजन संक्रिया की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है: a = 0 · x, अर्थात्। a = 0, जो इस शर्त के विपरीत है: a 0

केस 2

कोई संख्या।

वास्तव में, यदि हम यह मान लें कि यह व्यंजक किसी संख्या x के बराबर है, तो विभाजन संक्रिया की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास: 0 = 0 · x है। लेकिन यह समानता किसी भी संख्या x के लिए है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

सच में,

हल। तीन मुख्य मामलों पर विचार करें:

1) x = 0 - यह मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है

2) x > 0 के लिए हमें प्राप्त होता है: x / x = 1, अर्थात्। 1 = 1, जहां से यह पता चलता है कि x कोई संख्या है; लेकिन यह देखते हुए कि हमारे मामले में x > 0 , उत्तर x > 0 है;

3) x . पर< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

इस मामले में कोई समाधान नहीं है। तो एक्स> 0।

छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण