एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद गैर-शून्य है, और प्रत्येक अगला पद उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किए गए पिछले पद के बराबर है।

ज्यामितीय प्रगति निरूपित हैबी1,बी2,बी3,…,बीएन,….

ज्यामितीय त्रुटि के किसी भी पद का उसके पिछले पद से अनुपात समान संख्या के बराबर होता है, अर्थात b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/बीएन =…. यह एक अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है। आमतौर पर एक ज्यामितीय प्रगति के हर को अक्षर q द्वारा दर्शाया जाता है।

मोनोटोनिक और निरंतर अनुक्रम

ज्यामितीय प्रगति को सेट करने का एक तरीका यह है कि इसका पहला पद b1 और ज्यामितीय त्रुटि q का हर सेट किया जाए। उदाहरण के लिए, b1=4, q=-2. ये दो स्थितियां 4, -8, 16, -32, … की ज्यामितीय प्रगति देती हैं।

यदि q>0 (q 1 के बराबर नहीं है), तो प्रगति है मोनोटोन अनुक्रम।उदाहरण के लिए, अनुक्रम, 2, 4,8,16,32, ... एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ अनुक्रम है (b1=2, q=2)।

यदि ज्यामितीय त्रुटि में हर q=1 है, तो ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्य एक दूसरे के बराबर होंगे। ऐसे मामलों में, प्रगति को कहा जाता है निरंतर क्रम।

एक ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र

संख्यात्मक अनुक्रम (बीएन) के लिए एक ज्यामितीय प्रगति होने के लिए, यह आवश्यक है कि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पड़ोसी सदस्यों का ज्यामितीय माध्य हो। अर्थात् निम्नलिखित समीकरण को पूरा करना आवश्यक है
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), किसी भी n>0 के लिए, जहां n प्राकृत संख्या N के समुच्चय से संबंधित है।

एक ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र है:

बीएन = बी 1 * क्यू ^ (एन -1),

जहाँ n प्राकृत संख्या N के समुच्चय के अंतर्गत आता है।

ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों के योग का सूत्र

ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों के योग का सूत्र है:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) जहां q 1 के बराबर नहीं है।

एक साधारण उदाहरण पर विचार करें:

ज्यामितीय प्रगति में b1=6, q=3, n=8 Sn ज्ञात कीजिए।

S8 को खोजने के लिए, हम एक ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं।

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… एक ज्यामितीय प्रगति है, क्योंकि प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से दो के कारक से भिन्न होता है (दूसरे शब्दों में, इसे पिछले एक से दो से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है):

किसी भी क्रम की तरह, एक ज्यामितीय प्रगति को एक छोटे लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। वे संख्याएँ जो एक प्रगति का निर्माण करती हैं, कहलाती हैं I सदस्यों(या तत्व)। उन्हें ज्यामितीय प्रगति के समान अक्षर से दर्शाया जाता है, लेकिन क्रम में तत्व संख्या के बराबर एक संख्यात्मक सूचकांक के साथ।

उदाहरण के लिए, ज्यामितीय प्रगति \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) में तत्व होते हैं \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) इत्यादि। दूसरे शब्दों में:

यदि आप उपरोक्त जानकारी को समझते हैं, तो आप पहले से ही इस विषय पर अधिकांश समस्याओं को हल करने में सक्षम होंगे।

उदाहरण (ओजीई):
फेसला:

जवाब : \(-686\).

उदाहरण (ओजीई): प्रगति के पहले तीन पदों को देखते हुए \(324\); \(-108\); \(36\)…. \(b_5\) खोजें।
फेसला:

	अनुक्रम को जारी रखने के लिए, हमें भाजक को जानना होगा। आइए इसे दो पड़ोसी तत्वों से खोजें: \(108\) प्राप्त करने के लिए \(324\) को किससे गुणा किया जाना चाहिए?
\(324 क्यू=-108\)	यहां से हम आसानी से हर की गणना कर सकते हैं।
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	अब हमें वह तत्व आसानी से मिल सकता है जिसकी हमें आवश्यकता है।
	उत्तर तैयार।

जवाब : \(4\).

उदाहरण: प्रगति शर्त \(b_n=0.8 5^n\) द्वारा दी गई है। कौन सी संख्या इस प्रगति का सदस्य है:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0.8\) ?

फेसला: कार्य के शब्दों से, यह स्पष्ट है कि इनमें से एक संख्या निश्चित रूप से हमारी प्रगति में है। इसलिए, हम बस इसके सदस्यों की एक-एक करके गणना कर सकते हैं जब तक कि हमें वह मूल्य न मिल जाए जिसकी हमें आवश्यकता है। चूंकि हमारी प्रगति सूत्र द्वारा दी गई है, हम अलग-अलग \(n\) को प्रतिस्थापित करके तत्वों के मूल्यों की गणना करते हैं:
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) - सूची में ऐसी कोई संख्या नहीं है। हम जारी रखते हैं।
\(n=2\); \(b_2=0.8 5^2=0.8 25=20\) - और यह वहां भी नहीं है।
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) - और ये रहा हमारा चैंपियन!

जवाब: \(100\).

उदाहरण (ओजीई): ज्यामितीय प्रगति के कई क्रमिक सदस्य …\(8\) दिए गए हैं; \(एक्स\); \(पचास\); \(-125\)…. \(x\) अक्षर द्वारा निरूपित तत्व का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला:

जवाब: \(-20\).

उदाहरण (ओजीई): प्रगति शर्तों \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\) द्वारा दी गई है। इस प्रगति के पहले \(4\) पदों का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला:

जवाब: \(105\).

उदाहरण (ओजीई): यह ज्ञात है कि घातीय रूप से \(b_6=-11\),\(b_9=704\)। हर \(q\) का पता लगाएं।

फेसला:

	यह बाईं ओर के आरेख से देखा जा सकता है कि \ (b_6 \) से \ (b_9 \) तक "प्राप्त" करने के लिए - हम तीन "चरण" लेते हैं, अर्थात, हम \ (b_6 \) को तीन बार गुणा करते हैं प्रगति का कारक। दूसरे शब्दों में, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\)।
\(b_9=b_6 q^3\)	उन मूल्यों को प्रतिस्थापित करें जिन्हें हम जानते हैं।
\(704=(-11)q^3\)	समीकरण को "उल्टा" करें और इसे \((-11)\) से विभाजित करें।
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	घन किस संख्या को \(-64\) देता है? बेशक, \(-4\)!
	उत्तर मिला। संख्याओं की श्रृंखला को \(-11\) से \(704\) तक पुनर्स्थापित करके इसकी जांच की जा सकती है।
	सभी सहमत - उत्तर सही है।

जवाब: \(-4\).

सबसे महत्वपूर्ण सूत्र

जैसा कि आप देख सकते हैं, अधिकांश ज्यामितीय प्रगति समस्याओं को शुद्ध तर्क के साथ हल किया जा सकता है, बस सार को समझकर (यह आमतौर पर गणित की विशेषता है)। लेकिन कभी-कभी कुछ फ़ार्मुलों और पैटर्न का ज्ञान तेज़ हो जाता है और निर्णय को बहुत सुविधाजनक बनाता है। हम ऐसे दो सूत्रों का अध्ययन करेंगे।

\(n\)वें सदस्य के लिए सूत्र है: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), जहां \(b_1\) प्रगति का पहला सदस्य है; \(n\) - आवश्यक तत्व की संख्या; \(q\) प्रगति का हर है; \(b_n\) संख्या \(n\) के साथ प्रगति का सदस्य है।

उदाहरण के लिए, इस सूत्र का उपयोग करके, आप पहले उदाहरण से ही समस्या को केवल एक चरण में हल कर सकते हैं।

उदाहरण (ओजीई): ज्यामितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी जाती है \(b_1=-2\); \(क्यू=7\)। \(b_4\) खोजें।
फेसला:

जवाब: \(-686\).

यह उदाहरण सरल था, इसलिए सूत्र ने गणनाओं को हमारे लिए बहुत अधिक आसान नहीं बनाया। आइए समस्या को थोड़ा और जटिल देखें।

उदाहरण: ज्यामितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी जाती है \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\)। \(b_(12)\) खोजें।
फेसला:

जवाब: \(10\).

बेशक, \(\frac(1)(2)\) को \(11\)वें पावर तक बढ़ाना बहुत खुशी की बात नहीं है, लेकिन \(11\) \(20480\) को दो में विभाजित करने की तुलना में अभी भी आसान है।

पहले पदों का योग \(n\): \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , जहां \(b_1\) पहला पद है प्रगति के; \(n\) - संक्षेपित तत्वों की संख्या; \(q\) प्रगति का हर है; \(S_n\) प्रगति के पहले सदस्यों का योग \(n\) है।

उदाहरण (ओजीई): एक ज्यामितीय प्रगति \(b_n\) को देखते हुए, जिसका हर \(5\) है, और पहला पद \(b_1=\frac(2)(5)\) है। इस प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला:

जवाब: \(1562,4\).

और फिर, हम "माथे पर" समस्या को हल कर सकते हैं - बदले में सभी छह तत्वों को ढूंढें, और फिर परिणाम जोड़ें। हालांकि, गणनाओं की संख्या, और इसलिए एक यादृच्छिक त्रुटि की संभावना नाटकीय रूप से बढ़ जाएगी।

एक ज्यामितीय प्रगति के लिए, कई और सूत्र हैं जिन पर हमने उनके कम व्यावहारिक उपयोग के कारण यहां विचार नहीं किया। आप इन सूत्रों को पा सकते हैं।

ज्यामितीय प्रगति को बढ़ाना और घटाना

प्रगति के लिए \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) लेख की शुरुआत में माना जाता है, हर \(q\) एक से बड़ा है, और इसलिए प्रत्येक अगला पद है पिछले एक से बड़ा। ऐसी प्रगति कहलाती है की बढ़ती.

यदि \(q\) एक से कम है, लेकिन धनात्मक है (अर्थात शून्य और एक के बीच स्थित है), तो प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से कम होगा। उदाहरण के लिए, प्रगति में \(4\); \(2\); \(एक\); \(0.5\); \(0.25\)... \(q\) का हर \(\frac(1)(2)\) है।

इन प्रगतियों को कहा जाता है घटते. ध्यान दें कि इस प्रगति का कोई भी तत्व नकारात्मक नहीं होगा, वे प्रत्येक चरण के साथ छोटे और छोटे होते जाते हैं। यानी हम धीरे-धीरे शून्य के करीब पहुंचेंगे, लेकिन हम उस तक कभी नहीं पहुंच पाएंगे और हम इससे आगे नहीं जाएंगे। ऐसे मामलों में गणितज्ञ कहते हैं, "शून्य की ओर प्रवृत्त होना।"

ध्यान दें कि एक नकारात्मक हर के साथ, एक ज्यामितीय प्रगति के तत्व अनिवार्य रूप से संकेत बदल देंगे। उदाहरण के लिए, प्रगति \(5\); \(-पंद्रह\); \(45\); \(-135\); \(675\)... \(q\) का हर \(-3\) है, और इस वजह से, तत्वों के संकेत "पलक"।

आइए एक श्रृंखला पर विचार करें।

7 28 112 448 1792...

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इसके किसी भी तत्व का मूल्य पिछले वाले की तुलना में ठीक चार गुना अधिक है। तो यह श्रृंखला एक प्रगति है।

एक ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का एक अनंत क्रम है, जिसकी मुख्य विशेषता यह है कि अगली संख्या पिछले एक से किसी विशिष्ट संख्या से गुणा करके प्राप्त की जाती है। इसे निम्न सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है।

a z +1 =a z q, जहाँ z चयनित तत्व की संख्या है।

तदनुसार, जेड एन।

जिस अवधि में स्कूल में ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया जाता है वह कक्षा 9 है। उदाहरण आपको अवधारणा को समझने में मदद करेंगे:

0.25 0.125 0.0625...

इस सूत्र के आधार पर, प्रगति का हर निम्नानुसार पाया जा सकता है:

न तो q और न ही b z शून्य हो सकता है। साथ ही, प्रगति का प्रत्येक अवयव शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।

तदनुसार, श्रृंखला में अगली संख्या का पता लगाने के लिए, आपको अंतिम संख्या को q से गुणा करना होगा।

इस प्रगति को निर्दिष्ट करने के लिए, आपको इसका पहला तत्व और हर निर्दिष्ट करना होगा। उसके बाद, बाद के किसी भी शब्द और उनके योग को खोजना संभव है।

किस्मों

q और a 1 के आधार पर, यह प्रगति कई प्रकारों में विभाजित है:

• यदि 1 और q दोनों एक से अधिक हैं, तो ऐसा अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है जो प्रत्येक अगले तत्व के साथ बढ़ रहा है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: a 1 =3, q=2 - दोनों पैरामीटर एक से बड़े हैं।

फिर संख्यात्मक अनुक्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 6 12 24 48 ...

• अगर |क्यू| एक से कम, यानी इसका गुणा भाग के बराबर है, तो समान स्थितियों वाली प्रगति घटती ज्यामितीय प्रगति है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: a 1 =6, q=1/3 - a 1 एक से बड़ा है, q कम है।

फिर संख्यात्मक अनुक्रम निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

6 2 2/3... - कोई भी तत्व उसके बाद वाले तत्व से 3 गुना बड़ा होता है।

• साइन-चर। अगर क्यू<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

उदाहरण: a 1 = -3 , q = -2 - दोनों पैरामीटर शून्य से कम हैं।

फिर अनुक्रम इस तरह लिखा जा सकता है:

3, 6, -12, 24,...

सूत्रों

ज्यामितीय प्रगति के सुविधाजनक उपयोग के लिए, कई सूत्र हैं:

• जेड-वें सदस्य का सूत्र। आपको पिछली संख्याओं की गणना किए बिना एक विशिष्ट संख्या के तहत तत्व की गणना करने की अनुमति देता है।

उदाहरण:क्यू = 3, ए 1 = 4. प्रगति के चौथे तत्व की गणना करना आवश्यक है।

फेसला:ए 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• पहले तत्वों का योग जिनकी संख्या है जेड. आपको अनुक्रम के सभी तत्वों के योग की गणना करने की अनुमति देता हैएक ज़ूसहित।

चूंकि (1-क्यू) हर में है, तो (1 - q)≠ 0, इसलिए q 1 के बराबर नहीं है।

नोट: यदि q=1, तो प्रगति एक अपरिमित रूप से दोहराई जाने वाली संख्या की एक श्रृंखला होगी।

एक ज्यामितीय प्रगति का योग, उदाहरण:ए 1 = 2, क्यू= -2। एस 5 की गणना करें।

फेसला:एस 5 = 22 - सूत्र द्वारा गणना।

• राशि अगर |क्यू| < 1 и если z стремится к бесконечности.

उदाहरण:ए 1 = 2 , क्यू= 0.5. राशि ज्ञात कीजिए।

फेसला:स्ज़ू = 2 · = 4

स्ज़ू = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

कुछ गुण:

• विशेषता संपत्ति। यदि निम्न स्थिति किसी के लिए प्रदर्शन कियाजेड, तो दी गई संख्या श्रृंखला एक ज्यामितीय प्रगति है:

एक ज़ू 2 = एक ज़ू -1 · एजेड+1

• इसके अलावा, एक ज्यामितीय प्रगति की किसी भी संख्या का वर्ग एक दी गई श्रृंखला में किन्हीं अन्य दो संख्याओं के वर्गों को जोड़कर पाया जाता है, यदि वे इस तत्व से समान दूरी पर हों।

एक ज़ू 2 = एक ज़ू - टी 2 + एक ज़ू + टी 2 , कहाँ पेटीइन संख्याओं के बीच की दूरी है।

• तत्वोंक्यू में भिन्नएक बार।
• प्रगति तत्वों के लघुगणक भी एक प्रगति बनाते हैं, लेकिन पहले से ही अंकगणित, यानी उनमें से प्रत्येक एक निश्चित संख्या से पिछले एक से बड़ा है।

कुछ शास्त्रीय समस्याओं के उदाहरण

एक ज्यामितीय प्रगति क्या है, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, ग्रेड 9 के समाधान वाले उदाहरण मदद कर सकते हैं।

• स्थितियाँ:ए 1 = 3, ए 3 = 48. खोजेंक्यू.

समाधान: प्रत्येक अनुवर्ती तत्व पिछले एक से बड़ा हैक्यू एक बार।हर का उपयोग करके कुछ तत्वों को दूसरों के माध्यम से व्यक्त करना आवश्यक है।

इसलिये,ए 3 = क्यू 2 · ए 1

प्रतिस्थापित करते समयक्यू= 4

• स्थितियाँ:ए 2 = 6, ए 3 = 12. एस 6 की गणना करें।

फेसला:ऐसा करने के लिए, पहले तत्व q को खोजने और इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है।

ए 3 = क्यू· ए 2 , इस तरह,क्यू= 2

ए 2 = क्यू एक 1,इसीलिए एक 1 = 3

एस 6 = 189

• · ए 1 = 10, क्यू= -2। प्रगति का चौथा तत्व ज्ञात कीजिए।

हल: ऐसा करने के लिए, चौथे तत्व को पहले और हर के माध्यम से व्यक्त करना पर्याप्त है।

ए 4 = क्यू 3· ए 1 = -80

आवेदन उदाहरण:

• बैंक के ग्राहक ने 10,000 रूबल की राशि जमा की, जिसकी शर्तों के तहत ग्राहक हर साल इसका 6% मूल राशि में जोड़ देगा। 4 साल बाद खाते में कितना पैसा आएगा?

समाधान: प्रारंभिक राशि 10 हजार रूबल है। तो, निवेश के एक साल बाद, खाते में 10,000 + 10,000 . के बराबर राशि होगी · 0.06 = 10000 1.06

तदनुसार, एक और वर्ष के बाद खाते में राशि निम्नानुसार व्यक्त की जाएगी:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

यानी हर साल यह राशि 1.06 गुना बढ़ जाती है। इसका मतलब यह है कि 4 साल बाद खाते में धनराशि का पता लगाने के लिए, प्रगति के चौथे तत्व को खोजने के लिए पर्याप्त है, जो पहले तत्व द्वारा 10 हजार के बराबर और हर 1.06 के बराबर है।

एस = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

योग की गणना के लिए कार्यों के उदाहरण:

विभिन्न समस्याओं में, एक ज्यामितीय प्रगति का उपयोग किया जाता है। योग ज्ञात करने का एक उदाहरण इस प्रकार दिया जा सकता है:

ए 1 = 4, क्यू= 2, गणना करेंS5.

समाधान: गणना के लिए आवश्यक सभी डेटा ज्ञात हैं, आपको बस उन्हें सूत्र में बदलने की आवश्यकता है।

एस 5 = 124

• ए 2 = 6, ए 3 = 18. पहले छह तत्वों के योग की गणना करें।

फेसला:

जियोम। प्रगति, प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक की तुलना में q गुना अधिक है, अर्थात योग की गणना करने के लिए, आपको तत्व को जानना होगाए 1 और हरक्यू.

ए 2 · क्यू = ए 3

क्यू = 3

इसी तरह, हमें खोजने की जरूरत हैए 1 , जाननाए 2 औरक्यू.

ए 1 · क्यू = ए 2

एक 1 =2

एस 6 = 728.

एक ज्यामितीय प्रगति का एक उदाहरण: 2, 6, 18, 54, 162.

यहां, पहले के बाद का प्रत्येक पद पिछले वाले का 3 गुना है। अर्थात्, प्रत्येक अनुवर्ती पद पिछले पद को 3 से गुणा करने का परिणाम है:

2 3 = 6

6 3 = 18

18 3 = 54

54 3 = 162 .

हमारे उदाहरण में, जब दूसरे पद को पहले से, तीसरे को दूसरे से, और इसी तरह से विभाजित किया जाता है। हमें 3 मिलता है। संख्या 3 इस ज्यामितीय प्रगति का हर है।

उदाहरण:

आइए अपनी ज्यामितीय प्रगति 2, 6, 18, 54, 162 पर वापस जाएं। आइए चौथा पद लें और इसका वर्ग करें:
54 2 = 2916.

अब हम संख्या 54 के बाएँ और दाएँ पदों को गुणा करते हैं:

18 162 = 2916।

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीसरे पद का वर्ग पड़ोसी दूसरे और चौथे पदों के गुणनफल के बराबर है।

उदाहरण 1: आइए कुछ ज्यामितीय प्रगति लें, जिसमें पहला पद 2 के बराबर है, और ज्यामितीय प्रगति का हर 1.5 के बराबर है। हमें इस प्रगति का चौथा पद ज्ञात करना है।

दिया गया:
बी 1 = 2

क्यू = 1,5
एन = 4

————
बी 4 - ?

फेसला.

सूत्र लागू करना बी नहीं= बी 1 क्यू एन- 1, इसमें उपयुक्त मान डालें:
बी 4 \u003d 2 1.5 4 - 1 \u003d 2 1.5 3 \u003d 2 3.375 \u003d 6.75।

जवाब: दी गई गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद संख्या 6.75 है।

उदाहरण 2: ज्यामितीय प्रगति का पाँचवाँ सदस्य ज्ञात कीजिए यदि पहले और तीसरे सदस्य क्रमशः 12 और 192 हैं।

दिया गया:
बी 1 = 12
बी 3 = 192
————
बी 5 - ?

फेसला.

1) सबसे पहले हमें एक ज्यामितीय प्रगति के हर को खोजने की जरूरत है, जिसके बिना समस्या को हल करना असंभव है। पहले चरण के रूप में, हमारे सूत्र का उपयोग करते हुए, हम b3 के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

बी 3 = बी 1 क्यू 3 - 1 = बी 1 क्यू 2

अब हम एक ज्यामितीय प्रगति के हर को पा सकते हैं:

बी 3 192
क्यू 2 = —— = —— = 16
बी 1 12

क्यू= √16 = 4 या -4।

2) यह मूल्य खोजने के लिए बनी हुई है बी 5 .
यदि एक क्यू= 4, तब

बी 5 = बी 1 क्यू 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072।

पर क्यू= -4 परिणाम वही होगा। इस प्रकार, समस्या का एक ही समाधान है।

जवाब: दी गई गुणोत्तर श्रेणी का पाँचवाँ पद संख्या 3072 है।

उदाहरण: ज्यामितीय प्रगति के पहले पाँच पदों का योग ज्ञात कीजिए ( बी नहीं), जिसमें पहला पद 2 के बराबर है, और एक ज्यामितीय प्रगति का हर 3 है।

दिया गया:

बी 1 = 2

क्यू = 3

एन = 5
————
एस 5 - ?

फेसला.

हम उपरोक्त दोनों का दूसरा सूत्र लागू करते हैं:

बी 1 (क्यू 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
एस 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
क्यू - 1 3 - 1 2 2

जवाब: किसी दिए गए गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम पाँच पदों का योग 242 है।

एक अनंत ज्यामितीय प्रगति का योग।

"अनंत ज्यामितीय प्रगति का योग" और "योग" की अवधारणाओं के बीच अंतर करना आवश्यक है एनएक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य। दूसरी अवधारणा किसी भी ज्यामितीय प्रगति को संदर्भित करती है, और पहली - केवल एक के लिए जहां हर 1 मॉड्यूलो से कम है।

>>गणित: ज्यामितीय प्रगति

पाठक की सुविधा के लिए, यह खंड ठीक उसी योजना का अनुसरण करता है जैसा हमने पिछले खंड में किया था।

1. बुनियादी अवधारणाएं।

परिभाषा।एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसके सभी सदस्य 0 से भिन्न होते हैं और जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य से उसी संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, ज्यामितीय प्रगति कहलाता है। इस मामले में, संख्या 5 को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।

इस प्रकार, एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम (बी एन) है जो संबंधों द्वारा पुनरावर्ती रूप से दिया जाता है

क्या यह संभव है, एक संख्या अनुक्रम को देखकर, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह एक ज्यामितीय प्रगति है? कर सकना। यदि आप आश्वस्त हैं कि अनुक्रम के किसी भी सदस्य का पिछले सदस्य से अनुपात स्थिर है, तो आपके पास एक ज्यामितीय प्रगति है।
उदाहरण 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
बी 1 = 1, क्यू = 3।

उदाहरण 2

यह एक ज्यामितीय प्रगति है कि
उदाहरण 3

यह एक ज्यामितीय प्रगति है कि
उदाहरण 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ b 1 - 8, q = 1 है।

ध्यान दें कि यह अनुक्रम भी एक समान्तर श्रेणी है (§ 15 से उदाहरण 3 देखें)।

उदाहरण 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

यह एक ज्यामितीय प्रगति है, जिसमें बी 1 \u003d 2, क्यू \u003d -1।

जाहिर है, एक ज्यामितीय प्रगति एक बढ़ता हुआ अनुक्रम है यदि b 1> 0, q> 1 (उदाहरण 1 देखें), और घटते क्रम यदि b 1> 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

यह इंगित करने के लिए कि अनुक्रम (बी एन) एक ज्यामितीय प्रगति है, निम्नलिखित संकेतन कभी-कभी सुविधाजनक होता है:

आइकन "ज्यामितीय प्रगति" वाक्यांश को प्रतिस्थापित करता है।
हम एक जिज्ञासु और एक ही समय में एक ज्यामितीय प्रगति की काफी स्पष्ट संपत्ति पर ध्यान देते हैं:
यदि क्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, तो वर्गों का क्रम, अर्थात्। एक ज्यामितीय प्रगति है।
दूसरी ज्यामितीय प्रगति में, पहला पद q 2 के बराबर है।
यदि हम b n के बाद के सभी पदों को घातांकीय रूप से त्याग दें, तो हमें एक परिमित ज्यामितीय प्रगति प्राप्त होती है
इस खंड के निम्नलिखित पैराग्राफ में, हम एक ज्यामितीय प्रगति के सबसे महत्वपूर्ण गुणों पर विचार करेंगे।

2. गुणोत्तर श्रेणी के n-वें पद का सूत्र।

एक ज्यामितीय प्रगति पर विचार करें हर क्यू। हमारे पास है:

यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि किसी भी संख्या n के लिए समानता

यह एक ज्यामितीय प्रगति के nवें पद का सूत्र है।

टिप्पणी।

यदि आपने पिछले पैराग्राफ से महत्वपूर्ण टिप्पणी को पढ़ लिया है और इसे समझ लिया है, तो गणितीय प्रेरण द्वारा सूत्र (1) को सिद्ध करने का प्रयास करें, जैसे कि यह एक अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र के लिए किया गया था।

आइए ज्यामितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र को फिर से लिखें

और संकेतन का परिचय दें: हमें y \u003d mq 2 मिलता है, या, अधिक विस्तार से,
तर्क x घातांक में निहित है, इसलिए ऐसे फलन को घातांकीय फलन कहा जाता है। इसका मतलब है कि एक ज्यामितीय प्रगति को प्राकृतिक संख्याओं के सेट एन पर दिए गए एक घातीय कार्य के रूप में माना जा सकता है। अंजीर पर। 96a अंजीर के कार्य का एक ग्राफ दिखाता है। 966 - फंक्शन ग्राफ दोनों ही मामलों में, हमारे पास अलग-अलग बिंदु हैं (एब्सिसस x = 1, x = 2, x = 3, आदि के साथ) कुछ वक्र पर पड़े हैं (दोनों आंकड़े एक ही वक्र दिखाते हैं, केवल अलग-अलग स्थित हैं और अलग-अलग पैमानों में दर्शाए गए हैं)। इस वक्र को घातांक कहते हैं। घातांक फलन और उसके ग्राफ के बारे में 11वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में चर्चा की जाएगी।

आइए पिछले पैराग्राफ से उदाहरण 1-5 पर लौटते हैं।

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . यह एक ज्यामितीय प्रगति है, जिसमें b 1 \u003d 1, q \u003d 3. आइए nवें पद के लिए एक सूत्र बनाते हैं
2) यह एक गुणोत्तर प्रगति है, जिसमें आइए n-वें पद को निरूपित करें

यह एक ज्यामितीय प्रगति है कि nवें पद के लिए सूत्र लिखिए
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... यह एक ज्यामितीय प्रगति है, जिसमें b 1 \u003d 8, q \u003d 1. आइए nवें पद के लिए एक सूत्र बनाते हैं
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें b 1 = 2, q = -1 है। nवें पद के लिए सूत्र लिखिए

उदाहरण 6

एक ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए

सभी मामलों में, समाधान ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य के सूत्र पर आधारित होता है

क) गुणोत्तर श्रेणी के nवें पद के सूत्र में n = 6 रखने पर हमें प्राप्त होता है

बी) हमारे पास है

512 \u003d 2 9 के बाद से, हमें n - 1 \u003d 9, n \u003d 10 मिलता है।

घ) हमारे पास है

उदाहरण 7

ज्यामितीय प्रगति के सातवें और पांचवें सदस्यों के बीच का अंतर 48 है, प्रगति के पांचवें और छठे सदस्यों का योग भी 48 है। इस प्रगति के बारहवें सदस्य का पता लगाएं।

प्रथम चरण।एक गणितीय मॉडल तैयार करना।

कार्य की शर्तों को संक्षेप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

एक ज्यामितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
तब समस्या की दूसरी स्थिति (b 7 - b 5 = 48) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

समस्या की तीसरी स्थिति (b 5 +b 6 = 48) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

नतीजतन, हम दो चर b 1 और q के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

जो, ऊपर लिखी शर्त 1) के संयोजन में, समस्या का गणितीय मॉडल है।

दूसरा चरण।

संकलित मॉडल के साथ काम करना। निकाय के दोनों समीकरणों के बाएँ भागों की बराबरी करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(हमने समीकरण के दोनों पक्षों को व्यंजक b 1 q 4 में विभाजित किया है, जो शून्य से भिन्न है)।

समीकरण q 2 - q - 2 = 0 से हम q 1 = 2, q 2 = -1 पाते हैं। मान q = 2 को निकाय के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
मान q = -1 को सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें b 1 1 0 = 48 मिलता है; इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

तो, बी 1 \u003d 1, क्यू \u003d 2 - यह जोड़ी समीकरणों की संकलित प्रणाली का समाधान है।

अब हम प्रश्न में ज्यामितीय प्रगति लिख सकते हैं: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...।

तीसरा चरण।

समस्या प्रश्न का उत्तर। b 12 की गणना करना आवश्यक है। हमारे पास है

उत्तर: बी 12 = 2048।

3. एक परिमित ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र।

मान लीजिए कि एक परिमित ज्यामितीय प्रगति है

S n द्वारा इसके पदों के योग को निरूपित करें, अर्थात्।

आइए इस राशि को खोजने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें, जब q = 1। फिर ज्यामितीय प्रगति b 1, b 2, b 3,..., bn में n संख्याएँ b 1 के बराबर होती हैं, अर्थात। प्रगति b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 है। इन संख्याओं का योग nb 1 है।

आइए अब q = 1 S n को खोजने के लिए हम एक कृत्रिम विधि का उपयोग करते हैं: आइए व्यंजक S n q के कुछ परिवर्तन करें। हमारे पास है:

रूपांतरण करते हुए, हमने, सबसे पहले, एक ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा का उपयोग किया, जिसके अनुसार (तर्क की तीसरी पंक्ति देखें); दूसरे, उन्होंने जोड़ा और घटाया कि अभिव्यक्ति का अर्थ, निश्चित रूप से क्यों नहीं बदला (तर्क की चौथी पंक्ति देखें); तीसरा, हमने ज्यामितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र का उपयोग किया:

सूत्र (1) से हम पाते हैं:

यह एक ज्यामितीय प्रगति के n सदस्यों के योग का सूत्र है (उस स्थिति के लिए जब q = 1)।

उदाहरण 8

एक परिमित ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए

ए) प्रगति के सदस्यों का योग; b) इसके पदों के वर्गों का योग।

b) ऊपर (पृष्ठ 132 देखें) हमने पहले ही नोट कर लिया है कि यदि एक ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्यों को वर्गित किया जाता है, तो पहले सदस्य b 2 और हर q 2 के साथ एक ज्यामितीय प्रगति प्राप्त की जाएगी। फिर नई प्रगति के छह पदों के योग की गणना किसके द्वारा की जाएगी

उदाहरण 9

एक गुणोत्तर श्रेणी का 8वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसके लिए

वास्तव में, हमने निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक पद का वर्ग, पहले एक को छोड़कर (और अंतिम एक, एक परिमित अनुक्रम के मामले में), पिछले और बाद के शब्दों के उत्पाद के बराबर है (एक ज्यामितीय प्रगति की एक विशेषता संपत्ति)।