यह पाठ तर्कसंगत अभिव्यक्तियों और उनके परिवर्तनों के साथ-साथ तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के परिवर्तन के उदाहरणों के बारे में बुनियादी जानकारी को कवर करेगा। यह विषय उन विषयों को संक्षेप में प्रस्तुत करता है जिनका हमने अब तक अध्ययन किया है। परिमेय व्यंजकों के रूपांतरणों में जोड़, घटाव, गुणा, भाग, बीजीय भिन्नों की घात बढ़ाना, घटाना, गुणनखंडन आदि शामिल हैं। पाठ के भाग के रूप में, हम यह देखेंगे कि एक परिमेय व्यंजक क्या है, और उनके परिवर्तन के उदाहरणों का विश्लेषण भी करेंगे। .

विषय:बीजीय अंश। बीजीय भिन्नों पर अंकगणितीय संचालन

पाठ:तर्कसंगत अभिव्यक्तियों और उनके परिवर्तनों के बारे में बुनियादी जानकारी

परिभाषा

तर्कसंगत अभिव्यक्तिएक व्यंजक है जिसमें संख्याएँ, चर, अंकगणितीय संक्रियाएँ और घातांक शामिल हैं।

एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के उदाहरण पर विचार करें:

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के विशेष मामले:

पहली डिग्री: ;

2. एकपदी : ;

3. अंश:।

तर्कसंगत अभिव्यक्ति परिवर्तनएक तर्कसंगत अभिव्यक्ति का सरलीकरण है। तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय संचालन का क्रम: पहले, कोष्ठक में क्रियाएं होती हैं, फिर गुणा (भाग), और फिर जोड़ (घटाव) संचालन।

आइए परिमेय व्यंजकों के रूपांतरण पर कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

फेसला:

आइए इस उदाहरण को चरण दर चरण हल करते हैं। कोष्ठक में क्रिया पहले की जाती है।

जवाब:

उदाहरण 2

फेसला:

जवाब:

उदाहरण 3

फेसला:

जवाब: .

टिप्पणी:शायद, इस उदाहरण को देखते हुए, आपके मन में एक विचार आया: एक सामान्य भाजक को कम करने से पहले अंश को कम करें। वास्तव में, यह बिल्कुल सही है: सबसे पहले, अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाना और फिर इसे बदलना वांछनीय है। आइए उसी उदाहरण को दूसरे तरीके से हल करने का प्रयास करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, उत्तर बिल्कुल समान निकला, लेकिन समाधान कुछ सरल निकला।

इस पाठ में, हमने देखा तर्कसंगत भाव और उनके परिवर्तन, साथ ही इन परिवर्तनों के कई विशिष्ट उदाहरण।

ग्रन्थसूची

1. बश्माकोव एम.आई. बीजगणित 8 वीं कक्षा। - एम .: ज्ञानोदय, 2004।

2. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनिमोविच ई.ए. एट अल बीजगणित 8. - 5 वां संस्करण। - एम .: शिक्षा, 2010।

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का परिवर्तन। समस्या समाधान के उदाहरण"

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तर्कसंगत अभिव्यक्ति की अवधारणा

"तर्कसंगत अभिव्यक्ति" की अवधारणा "तर्कसंगत अंश" की अवधारणा के समान है। व्यंजक को भिन्न के रूप में भी दर्शाया जाता है। केवल हमारे अंशों में संख्याएँ नहीं होती हैं, बल्कि विभिन्न प्रकार के भाव होते हैं। बहुधा यह एक बहुपद है। बीजीय भिन्न एक भिन्नात्मक व्यंजक है जिसमें संख्याएँ और चर होते हैं।

प्राथमिक ग्रेड में कई समस्याओं को हल करते समय, अंकगणितीय संचालन करने के बाद, हमें विशिष्ट संख्यात्मक मान प्राप्त हुए, सबसे अधिक बार अंश। अब, संक्रियाओं को करने के बाद, हमें बीजीय भिन्न प्राप्त होंगे। दोस्तों, याद रखें: सही उत्तर पाने के लिए, आपको उस अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता है जिसके साथ आप जितना संभव हो सके काम कर रहे हैं। सबसे छोटी डिग्री प्राप्त करनी चाहिए; अंशों और हरों में समान भावों को कम किया जाना चाहिए; ऐसे भावों के साथ जिन्हें संक्षिप्त किया जा सकता है, आपको ऐसा करना चाहिए। अर्थात्, क्रियाओं की एक श्रृंखला करने के बाद, हमें सबसे सरल संभव बीजीय अंश प्राप्त करना चाहिए।

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के साथ संचालन का क्रम

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के साथ संचालन करने की प्रक्रिया अंकगणितीय परिचालनों के समान ही है। सबसे पहले, कोष्ठक में संचालन किया जाता है, फिर गुणा और भाग, घातांक, और अंत में जोड़ और घटाव।

एक पहचान साबित करने का मतलब यह दिखाना है कि चर के सभी मूल्यों के लिए, दाएं और बाएं पक्ष समान हैं। पहचान के प्रमाण के साथ कई उदाहरण हैं।

सर्वसमिकाओं को हल करने की मुख्य विधियाँ हैं:

• बाईं ओर को दाईं ओर समानता में बदलें।
• दाईं ओर को बाईं ओर समानता में बदलें।
• बाएँ और दाएँ पक्षों को अलग-अलग तब तक रूपांतरित करें जब तक कि समान व्यंजक प्राप्त न हो जाए।
• दाईं ओर बाईं ओर से घटाया जाता है, और परिणाम शून्य होना चाहिए।

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का परिवर्तन। समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1
पहचान साबित करें:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$।

फेसला।
जाहिर है, हमें वामपंथ को बदलने की जरूरत है।
आइए पहले कोष्ठक करते हैं:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

.

सामान्य गुणकों को अधिकतम तक ले जाने का प्रयास करना आवश्यक है।
2) आइए उस व्यंजक को रूपांतरित करें जिससे हम विभाजित करते हैं:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) डिवीजन ऑपरेशन करें:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a) +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) अतिरिक्त ऑपरेशन करें:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$।

दाएं और बाएं हिस्से का मिलान हुआ। तो पहचान सिद्ध होती है।
दोस्तों, इस उदाहरण को हल करते समय हमें कई सूत्रों और संचालन के ज्ञान की आवश्यकता थी। हम देखते हैं कि परिवर्तन के बाद, बड़ी अभिव्यक्ति पूरी तरह से छोटी अभिव्यक्ति में बदल गई। लगभग सभी समस्याओं को हल करते समय, परिवर्तन आमतौर पर सरल अभिव्यक्तियों की ओर ले जाते हैं।

उदाहरण 2
अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( ए^2)(ए^2-बी^2))$।

फेसला।
आइए पहले कोष्ठक से शुरू करें।

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$।

2. आइए दूसरे कोष्ठकों को रूपांतरित करें।

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b) )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$।

3. चलो विभाजन करते हैं।

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

उत्तर: $-\frac(a(a-b))(a+b)$।

उदाहरण 3
इन चरणों का पालन करें:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$।

फेसला।
हमेशा की तरह, कोष्ठक से शुरू करें।

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2) )(k^2+2k+4))$।

2. अब विभाजन करते हैं।

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$।

3. आइए संपत्ति का उपयोग करें: $(4-k)^2=(k-4)^2$।
4. आइए घटाव ऑपरेशन करें।

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$।

जैसा कि हमने पहले कहा, भिन्न को यथासंभव सरल बनाना आवश्यक है।
उत्तर: $\frac(k)(k-4)$।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1. पहचान साबित करें:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$।

2. व्यंजक को सरल कीजिए:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$।

3. चरणों का पालन करें:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$।

यह पाठ तर्कसंगत अभिव्यक्तियों और उनके परिवर्तनों के साथ-साथ तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के परिवर्तन के उदाहरणों के बारे में बुनियादी जानकारी को कवर करेगा। यह विषय उन विषयों को संक्षेप में प्रस्तुत करता है जिनका हमने अब तक अध्ययन किया है। परिमेय व्यंजकों के रूपांतरणों में जोड़, घटाव, गुणा, भाग, बीजीय भिन्नों की घात बढ़ाना, घटाना, गुणनखंडन आदि शामिल हैं। पाठ के भाग के रूप में, हम यह देखेंगे कि एक परिमेय व्यंजक क्या है, और उनके परिवर्तन के उदाहरणों का विश्लेषण भी करेंगे। .

विषय:बीजीय अंश। बीजीय भिन्नों पर अंकगणितीय संचालन

पाठ:तर्कसंगत अभिव्यक्तियों और उनके परिवर्तनों के बारे में बुनियादी जानकारी

परिभाषा

तर्कसंगत अभिव्यक्तिएक व्यंजक है जिसमें संख्याएँ, चर, अंकगणितीय संक्रियाएँ और घातांक शामिल हैं।

एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के उदाहरण पर विचार करें:

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के विशेष मामले:

पहली डिग्री: ;

2. एकपदी : ;

3. अंश:।

तर्कसंगत अभिव्यक्ति परिवर्तनएक तर्कसंगत अभिव्यक्ति का सरलीकरण है। तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय संचालन का क्रम: पहले, कोष्ठक में क्रियाएं होती हैं, फिर गुणा (भाग), और फिर जोड़ (घटाव) संचालन।

आइए परिमेय व्यंजकों के रूपांतरण पर कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

फेसला:

आइए इस उदाहरण को चरण दर चरण हल करते हैं। कोष्ठक में क्रिया पहले की जाती है।

जवाब:

उदाहरण 2

फेसला:

जवाब:

उदाहरण 3

फेसला:

जवाब: .

टिप्पणी:शायद, इस उदाहरण को देखते हुए, आपके मन में एक विचार आया: एक सामान्य भाजक को कम करने से पहले अंश को कम करें। वास्तव में, यह बिल्कुल सही है: सबसे पहले, अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाना और फिर इसे बदलना वांछनीय है। आइए उसी उदाहरण को दूसरे तरीके से हल करने का प्रयास करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, उत्तर बिल्कुल समान निकला, लेकिन समाधान कुछ सरल निकला।

इस पाठ में, हमने देखा तर्कसंगत भाव और उनके परिवर्तन, साथ ही इन परिवर्तनों के कई विशिष्ट उदाहरण।

ग्रन्थसूची

1. बश्माकोव एम.आई. बीजगणित 8 वीं कक्षा। - एम .: ज्ञानोदय, 2004।

2. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनिमोविच ई.ए. एट अल बीजगणित 8. - 5 वां संस्करण। - एम .: शिक्षा, 2010।

परिमेय भाव और भिन्न बीजगणित के पूरे पाठ्यक्रम की आधारशिला हैं। जो लोग इस तरह के भावों के साथ काम करना सीखते हैं, उन्हें सरल बनाते हैं और उन्हें कारक बनाते हैं, वास्तव में, किसी भी समस्या को हल करने में सक्षम होंगे, क्योंकि अभिव्यक्तियों का परिवर्तन किसी भी गंभीर समीकरण, असमानता और यहां तक ​​​​कि एक शब्द समस्या का एक अभिन्न अंग है।

इस वीडियो ट्यूटोरियल में, हम देखेंगे कि परिमेय व्यंजकों और भिन्नों को सरल बनाने के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्रों को सही तरीके से कैसे लागू किया जाए। आइए इन सूत्रों को देखना सीखें, जहां पहली नजर में कुछ भी नहीं है। उसी समय, हम इस तरह की एक सरल चाल को दोहराते हैं जैसे कि एक वर्ग ट्रिनोमियल को विवेचक के माध्यम से कारकों में विभाजित करना।

जैसा कि आप शायद मेरी पीठ के पीछे के सूत्रों से पहले ही अनुमान लगा चुके हैं, आज हम संक्षिप्त गुणन के सूत्रों का अध्ययन करेंगे, या बल्कि, स्वयं सूत्र नहीं, बल्कि जटिल तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल और कम करने के लिए उनके आवेदन का अध्ययन करेंगे। लेकिन, उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, आइए इन सूत्रों पर करीब से नज़र डालें या उन्हें याद करें:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ वर्गों का अंतर है;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ योग का वर्ग है;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ चुकता अंतर है;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ घनों का योग है;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ घनों का अंतर है।

मैं यह भी नोट करना चाहूंगा कि हमारी स्कूली शिक्षा प्रणाली को इस तरह से डिजाइन किया गया है कि यह इस विषय के अध्ययन के साथ है, अर्थात। तर्कसंगत अभिव्यक्ति, साथ ही मूल, मॉड्यूल, सभी छात्रों की एक ही समस्या है, जिसे मैं अब समझाऊंगा।

तथ्य यह है कि संक्षिप्त गुणन के सूत्रों का अध्ययन करने की शुरुआत में और, तदनुसार, अंशों को कम करने की क्रियाएं (यह ग्रेड 8 के बारे में है), शिक्षक कुछ इस तरह कहते हैं: "यदि आपके लिए कुछ स्पष्ट नहीं है, तो चिंता न करें। , हम निश्चित रूप से हाई स्कूल में इस विषय पर एक से अधिक बार लौटेंगे। हम बाद में इसका पता लगा लेंगे।" खैर, फिर, ग्रेड 9-10 के मोड़ पर, वही शिक्षक उन्हीं छात्रों को समझाते हैं जो अभी भी तर्कसंगत अंशों को हल करना नहीं जानते हैं, कुछ इस तरह: “आप पिछले दो वर्षों में कहाँ थे? 8वीं कक्षा में बीजगणित में भी यही पढ़ा था! यहाँ क्या समझ से बाहर हो सकता है? यह बहुत स्पष्ट है!"

हालाँकि, सामान्य छात्रों के लिए, ऐसी व्याख्याएँ बिल्कुल भी आसान नहीं होती हैं: उनके सिर में अभी भी गड़बड़ थी, इसलिए अभी हम दो सरल उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे, जिसके आधार पर हम देखेंगे कि वास्तविक समस्याओं में इन अभिव्यक्तियों को कैसे उजागर किया जाए, जो हमें लघु गुणन सूत्रों की ओर ले जाएगा और जटिल तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए इसे बाद में कैसे लागू किया जाए।

सरल परिमेय भिन्नों की कमी

कार्य 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

पहली चीज जो हमें सीखने की जरूरत है, वह है मूल भावों में सटीक वर्गों और उच्च शक्तियों को अलग करना, जिसके आधार पर हम सूत्रों को लागू कर सकते हैं। आइए एक नजर डालते हैं:

आइए इन तथ्यों को ध्यान में रखते हुए अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

उत्तर: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$।

टास्क #2

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

यहां सरल करने के लिए कुछ भी नहीं है, क्योंकि अंश एक स्थिर है, लेकिन मैंने इस समस्या को ठीक से प्रस्तावित किया ताकि आप सीख सकें कि दो चर वाले बहुपदों को कैसे कारक बनाना है। अगर इसके बजाय नीचे एक बहुपद लिखा होता, तो हम इसे कैसे विघटित करते?

\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

आइए समीकरण को हल करें और $x$ खोजें जिसे हम डॉट्स के स्थान पर रख सकते हैं:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

हम ट्रिनोमियल को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

हमने सीखा कि एक वर्ग त्रिपद के साथ कैसे काम किया जाता है - इसके लिए हमें इस वीडियो पाठ को रिकॉर्ड करना था। लेकिन क्या होगा अगर, $x$ और स्थिरांक के अलावा, $y$ भी हो? आइए उन्हें गुणांक के एक अन्य तत्व के रूप में देखें, अर्थात। आइए अपनी अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखें:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

हम अपने वर्ग निर्माण का अपघटन लिखते हैं:

\[\बाएं(x-y \right)\बाएं(x+6y \right)\]

कुल मिलाकर, यदि हम मूल अभिव्यक्ति पर लौटते हैं और परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए इसे फिर से लिखते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलते हैं:

\[\frac(8)(\बाएं(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? कुछ भी नहीं, क्योंकि इसे कम नहीं किया जा सकता है, इसे किसी भी चीज़ से गुणा या विभाजित नहीं किया जाता है। हालाँकि, जैसे ही यह अंश अधिक जटिल अभिव्यक्ति का एक अभिन्न अंग बन जाता है, ऐसा विस्तार काम आएगा। इसलिए, जैसे ही आप एक वर्ग ट्रिनोमियल देखते हैं (चाहे वह अतिरिक्त मापदंडों का बोझ हो या नहीं), हमेशा इसे कारक करने का प्रयास करें।

समाधान की बारीकियां

परिमेय व्यंजकों को परिवर्तित करने के मूल नियमों को याद रखें:

• सभी हरों और अंशों को या तो संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों के माध्यम से या विवेचक के माध्यम से फ़ैक्टर किया जाना चाहिए।
• हमें इस एल्गोरिथ्म के अनुसार काम करने की आवश्यकता है: जब हम देखते हैं और संक्षिप्त गुणन सूत्र को उजागर करने का प्रयास करते हैं, तो सबसे पहले, हम हर चीज को अधिकतम संभव डिग्री तक अनुवाद करने का प्रयास करते हैं। उसके बाद, हम सामान्य डिग्री को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं।
• बहुत बार एक पैरामीटर के साथ भाव होंगे: अन्य चर गुणांक के रूप में दिखाई देंगे। हम उन्हें द्विघात प्रसार सूत्र का उपयोग करके पाते हैं।

इस प्रकार, जैसे ही आप परिमेय भिन्नों को देखते हैं, पहली बात यह है कि अंश और हर दोनों को कारकों (रैखिक अभिव्यक्तियों में) में विभाजित करना है, जबकि हम कम गुणन सूत्रों या विवेचक का उपयोग करते हैं।

आइए ऐसे कुछ तर्कसंगत व्यंजकों को देखें और उन्हें निकालने का प्रयास करें।

अधिक जटिल उदाहरणों को हल करना

कार्य 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

हम फिर से लिखते हैं और प्रत्येक पद का विस्तार करने का प्रयास करते हैं:

आइए इन तथ्यों को ध्यान में रखते हुए अपनी संपूर्ण तर्कसंगत अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\बाएं(3y \दाएं))^(2))-((\बाएं(2x \दाएं))^(2)))((\बाएं(2x \दाएं))^(3))+ ((\बाएं(3y\दाएं))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ फ्रैक (\ बाएँ (3y-2x \ दाएँ) \ बाएँ (3y + 2x \ दाएँ)) (\ बाएँ (2x + 3y \ दाएँ) \ बाएँ ((\ बाएँ (2x \ दाएँ)) ^ (2)) - 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

उत्तर: $-1$।

टास्क #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

आइए सभी अंशों को देखें।

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\बाएं(x-2 \दाएं))^(2))\]

आइए परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए पूरी संरचना को फिर से लिखें:

\[\frac(3\बाएं(1-2x \दाएं))(2\बाएं(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\बाएं(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \बाएं(x-2 \दाएं))\]

उत्तर: $\frac(3)(2\बाएं(x-2 \right))$।

समाधान की बारीकियां

तो हमने अभी क्या सीखा है:

• प्रत्येक वर्ग ट्रिनोमियल को गुणनखंडित नहीं किया जाता है, विशेष रूप से, यह योग या अंतर के अपूर्ण वर्ग पर लागू होता है, जो अक्सर योग या अंतर घन के भागों के रूप में पाए जाते हैं।
• स्थिरांक, अर्थात्। साधारण संख्याएँ जिनके साथ चर नहीं होते हैं, वे भी अपघटन प्रक्रिया में सक्रिय तत्वों के रूप में कार्य कर सकती हैं। सबसे पहले, उन्हें कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है, और दूसरी बात, स्थिरांक को स्वयं शक्तियों के रूप में दर्शाया जा सकता है।
• बहुत बार, सभी तत्वों को कारकों में विघटित करने के बाद, विपरीत निर्माण उत्पन्न होते हैं। आपको इन भिन्नों को बहुत सावधानी से कम करने की आवश्यकता है, क्योंकि जब आप उन्हें ऊपर से या नीचे से काटते हैं, तो एक अतिरिक्त कारक $-1$ प्रकट होता है - यह ठीक इस तथ्य का परिणाम है कि वे विपरीत हैं।

जटिल समस्याओं का समाधान

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

आइए प्रत्येक शब्द पर अलग से विचार करें।

पहला अंश:

\[((\बाएं(3ए \दाएं))^(3))-((\बाएं(4बी \दाएं))^(3))=\बाएं(3ए-4बी \दाएं)\बाएं((\बाएं) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

\[((बी)^(2))-((2)^(2))=\बाएं(बी-2 \दाएं)\बाएं(बी+2 \दाएं)\]

हम दूसरी भिन्न के पूरे अंश को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

\[((\बाएं(3ए \दाएं))^(2))+3a\cdot 4b+((\बाएं(4b \दाएं))^(2))\]

अब आइए भाजक को देखें:

\[(((बी)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]

आइए उपरोक्त तथ्यों को ध्यान में रखते हुए संपूर्ण तर्कसंगत अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:

\[\frac(\बाएं(3ए-4बी \दाएं)\बाएं(((\बाएं(3ए \दाएं))^(2))+3a\cdot 4b+((\बाएं(4बी \दाएं))^(2 )) \ दाएँ)) (\ बाएँ (b-2 \ दाएँ) \ बाएँ (b + 2 \ दाएँ)) \ cdot \ frac ((\ बाएँ (b + 2 \ दाएँ)) ^ (2))) ( ((\बाएं(3ए \दाएं))^(2))+3a\cdot 4b+((\बाएं(4b \दाएं))^(2)))=\]

\[=\frac(\बाएं(3ए-4बी \दाएं)\बाएं(बी+2 \दाएं))(\बाएं(बी-2 \दाएं))\]

उत्तर: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

समाधान की बारीकियां

जैसा कि हमने एक बार फिर देखा है, योग के अधूरे वर्ग या अंतर के अधूरे वर्ग, जो अक्सर वास्तविक तर्कसंगत अभिव्यक्तियों में पाए जाते हैं, हालांकि, उनसे डरो मत, क्योंकि प्रत्येक तत्व के परिवर्तन के बाद वे लगभग हमेशा रद्द हो जाते हैं। इसके अलावा, किसी भी मामले में आपको अंतिम उत्तर में बड़े निर्माणों से डरना नहीं चाहिए - यह बहुत संभव है कि यह आपकी गलती नहीं है (विशेषकर यदि सब कुछ तथ्यपूर्ण है), लेकिन लेखक ने इस तरह के उत्तर की कल्पना की।

अंत में, मैं एक और जटिल उदाहरण का विश्लेषण करना चाहूंगा, जो अब सीधे परिमेय भिन्नों से संबंधित नहीं है, लेकिन इसमें वह सब कुछ है जो वास्तविक परीक्षणों और परीक्षाओं में आपका इंतजार कर रहा है, अर्थात्: गुणनखंड, एक सामान्य हर में कमी, समान शब्दों की कमी . ठीक यही हम अभी करने जा रहे हैं।

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और बदलने की जटिल समस्या को हल करना

\[\बाएं(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

सबसे पहले, पहले ब्रैकेट पर विचार करें और उसका विस्तार करें: इसमें हम अलग-अलग हर के साथ तीन अलग-अलग अंश देखते हैं, इसलिए पहली चीज जो हमें करने की ज़रूरत है, वह है तीनों भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना, और इसके लिए, उनमें से प्रत्येक को फैक्टर किया जाना चाहिए:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \right)\]

आइए अपनी पूरी संरचना को इस प्रकार फिर से लिखें:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x) -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \right))(\बाएं(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ बाएँ (x-2 \ दाएँ) \ बाएँ (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \ दाएँ)) = \]

\[=\frac(((\बाएं(x-2 \right))^(2)))(\बाएं(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

यह पहले कोष्ठक से गणना का परिणाम है।

दूसरे कोष्ठक से निपटना:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \ सही)\]

आइए परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए दूसरे ब्रैकेट को फिर से लिखें:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\बाएं(x-2 \दाएं)\बाएं(x+2 \दाएं))\]

आइए अब संपूर्ण मूल निर्माण लिखें:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \दाएं)\बाएं(x+2 \दाएं))=\frac(1)(x+2)\]

उत्तर: $\frac(1)(x+2)$।

समाधान की बारीकियां

जैसा कि आप देख सकते हैं, जवाब काफी समझदार निकला। हालांकि, कृपया ध्यान दें: बहुत बार ऐसे बड़े पैमाने पर गणना के साथ, जब एकमात्र चर केवल हर में होता है, तो छात्र भूल जाते हैं कि यह हर है और यह अंश के नीचे होना चाहिए और इस अभिव्यक्ति को अंश में लिखना चाहिए - यह घोर भूल है।

इसके अलावा, मैं आपका विशेष ध्यान इस ओर आकर्षित करना चाहूंगा कि इस तरह के कार्यों को कैसे औपचारिक रूप दिया जाता है। किसी भी जटिल गणना में, सभी चरणों को चरणबद्ध तरीके से किया जाता है: पहले, हम पहले ब्रैकेट को अलग से गिनते हैं, फिर दूसरा ब्रैकेट अलग से, और केवल अंत में हम सभी भागों को जोड़ते हैं और परिणाम की गणना करते हैं। इस प्रकार, हम मूर्खतापूर्ण गलतियों के खिलाफ खुद का बीमा करते हैं, सभी गणनाओं को ध्यान से लिखते हैं और साथ ही कोई अतिरिक्त समय बर्बाद नहीं करते हैं, क्योंकि यह पहली नज़र में लग सकता है।