समद्विबाहु त्रिकोणएक त्रिभुज है जिसकी दो भुजाओं की लंबाई बराबर होती है। समान पक्षों को पार्श्व कहा जाता है, और अंतिम - आधार। परिभाषा के अनुसार, एक समद्विबाहु त्रिभुज भी समद्विबाहु होता है, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है।

गुण

• एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। इन कोणों से खींचे गए समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई भी बराबर होते हैं।
• आधार पर खींचे गए द्विभाजक, माध्यिका, ऊँचाई और लंबवत द्विभाजक एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं। इस रेखा पर उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र स्थित हैं।
• समान भुजाओं के सम्मुख कोण हमेशा न्यून होते हैं (उनकी समानता से अनुसरण करता है)।

होने देना एकएक समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाओं की लंबाई है, बी- तीसरे पक्ष की लंबाई, α तथा β - सभी तरीके से, आर- परिचालित वृत्त की त्रिज्या, आर- खुदा की त्रिज्या।

पक्षों को इस तरह पाया जा सकता है:

कोणों को निम्नलिखित तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:

एक समद्विबाहु त्रिभुज की परिधि की गणना निम्नलिखित में से किसी भी तरीके से की जा सकती है:

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना निम्नलिखित में से किसी एक तरीके से की जा सकती है:

(हेरोन का सूत्र)।

लक्षण

• त्रिभुज के दो कोण बराबर होते हैं।
• ऊँचाई माध्यिका के समान होती है।
• ऊंचाई द्विभाजक के साथ मेल खाती है।
• द्विभाजक माध्यिका के समान है।
• दोनों की ऊंचाई बराबर है।
• दो माध्यिकाएँ बराबर होती हैं।
• दो समद्विभाजक बराबर होते हैं (स्टेनर-लेमस प्रमेय)।

यह सभी देखें

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "समद्विबाहु त्रिभुज" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

ISOSHELES TRIANGLE, एक TRIANGLE जिसकी दो भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं; इन भुजाओं पर कोण भी बराबर होते हैं... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

और (सरल) त्रिभुज, त्रिभुज, पति। 1. तीन आंतरिक कोणों (चटाई) को बनाने वाली तीन परस्पर प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से घिरी एक ज्यामितीय आकृति। तिरछा त्रिभुज। न्यून त्रिकोण। सही त्रिकोण।… … Ushakov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

ISOSHELES, oy, oy: दो बराबर भुजाओं वाला एक समद्विबाहु त्रिभुज। | संज्ञा समद्विबाहु, और, पत्नियां। ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश। एस.आई. ओज़ेगोव, एन.यू. श्वेदोवा। 1949 1992... Ozhegov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

त्रिकोण- ▲ एक बहुभुज जिसमें तीन, कोण त्रिभुज सबसे सरल बहुभुज होता है; 3 बिंदुओं द्वारा दिया जाता है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। त्रिकोणीय। न्यून कोण। तीव्र कोण वाला। दायां त्रिकोण: पैर। कर्ण समद्विबाहु त्रिकोण। …… रूसी भाषा का आइडियोग्राफिक डिक्शनरी

त्रिकोण- TRIANGLE1, a, m जिसमें से या def के साथ। एक वस्तु जिसमें एक ज्यामितीय आकृति का आकार होता है जो तीन आंतरिक कोणों को बनाने वाली तीन प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से घिरा होता है। उसने अपने पति के पत्रों, पीले रंग के अग्र-पंक्ति त्रिकोणों के माध्यम से हल किया। त्रिभुज2, ए, एम ... ... रूसी संज्ञाओं का व्याख्यात्मक शब्दकोश

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, त्रिभुज (अर्थ) देखें। एक त्रिभुज (यूक्लिडियन अंतरिक्ष में) तीन रेखा खंडों द्वारा बनाई गई एक ज्यामितीय आकृति है जो तीन गैर-रैखिक बिंदुओं को जोड़ती है। तीन बिंदु, ... ... विकिपीडिया

त्रिभुज (बहुभुज)- त्रिकोण: 1 तीव्र, आयताकार और अधिक; 2 नियमित (समबाहु) और समद्विबाहु; 3 द्विभाजक; 4 माध्यिकाएं और गुरुत्वाकर्षण का केंद्र; 5 ऊंचाई; 6 ऑर्थोसेंटर; 7 मध्य रेखा। त्रिभुज, 3 भुजाओं वाला बहुभुज। कभी-कभी इसके तहत... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

विश्वकोश शब्दकोश

त्रिकोण- एक; मी. 1) क) तीन आंतरिक कोणों को बनाने वाली तीन प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से घिरी एक ज्यामितीय आकृति। आयताकार, समद्विबाहु त्रिभुज/सन। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें। बी) सम्मान। क्या या डीईएफ़ के साथ। ऐसे रूप की कोई आकृति या वस्तु।…… कई भावों का शब्दकोश

लेकिन; मी. 1. तीन आंतरिक कोणों को बनाने वाली तीन प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से घिरी एक ज्यामितीय आकृति। आयताकार, समद्विबाहु मी। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें। // क्या या डीईएफ़ के साथ। ऐसे रूप की कोई आकृति या वस्तु। टी. छत. टी।… … विश्वकोश शब्दकोश

पाठ विषय

समद्विबाहु त्रिकोण

पाठ का उद्देश्य

छात्रों को समद्विबाहु त्रिभुज से परिचित कराएं;
समकोण त्रिभुज बनाने का कौशल बनाना जारी रखें;
समद्विबाहु त्रिभुजों के गुणों के बारे में स्कूली बच्चों के ज्ञान का विस्तार करना;
समस्याओं को हल करने में सैद्धांतिक ज्ञान को मजबूत करना।

पाठ मकसद

समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों पर प्रमेय बनाने, सिद्ध करने और उसका उपयोग करने में सक्षम हो;
शैक्षिक सामग्री, तार्किक सोच, आत्म-नियंत्रण और आत्म-मूल्यांकन कौशल की सचेत धारणा का विकास जारी रखें;
गणित के पाठों में संज्ञानात्मक रुचि जगाना;
गतिविधि, जिज्ञासा और संगठन की खेती करें।

शिक्षण योजना

1. समद्विबाहु त्रिभुज के बारे में सामान्य अवधारणाएँ और परिभाषाएँ।
2. एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण।
3. एक समद्विबाहु त्रिभुज के चिन्ह।
4. प्रश्न और कार्य।

समद्विबाहु त्रिकोण

एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी दो समान भुजाएँ होती हैं, जो समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ कहलाती हैं, और इसकी तीसरी भुजा को आधार कहा जाता है।

इस आकृति का शीर्ष वह है जो इसके आधार के विपरीत स्थित है।

आधार के विपरीत स्थित कोण को इस त्रिभुज के शीर्ष पर कोण कहा जाता है, और अन्य दो कोण समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण कहलाते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के प्रकार

एक समद्विबाहु त्रिभुज, अन्य आकृतियों की तरह, विभिन्न प्रकार के हो सकते हैं। समद्विबाहु त्रिभुजों में न्यून, दाएँ, अधिक और समबाहु त्रिभुज शामिल हैं।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में सभी न्यून कोण होते हैं।
एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष पर एक समकोण होता है और इसके आधार पर न्यून कोण होता है।
अधिक कोण के शीर्ष पर एक अधिक कोण होता है, और इसके आधार पर नुकीले कोण होते हैं।
एक समबाहु के सभी कोण और भुजाएँ समान होती हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के गुण

समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख विपरीत कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं;

किसी त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोणों से खींचे गए समद्विभाजक, माध्यिकाएँ और ऊँचाई एक-दूसरे के बराबर होते हैं।

द्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई, त्रिभुज के आधार पर निर्देशित और खींची गई, एक दूसरे के साथ मेल खाती हैं।

उत्कीर्ण और परिचालित वृत्तों के केंद्र आधार की ओर खींचे गए ऊंचाई, द्विभाजक और माध्यिका (वे संयोग करते हैं) पर स्थित हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण सदैव न्यून होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के इन गुणों का उपयोग समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

गृहकार्य

1. एक समद्विबाहु त्रिभुज को परिभाषित कीजिए।
2. इस त्रिभुज की विशेषता क्या है?
3. समद्विबाहु त्रिभुज और समकोण त्रिभुज में क्या अंतर है?
4. एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों के नाम लिखिए जो आप जानते हैं।
5. क्या आपको लगता है कि व्यवहार में आधार पर कोणों की समानता की जांच करना संभव है और यह कैसे करना है?

व्यायाम

और अब आइए एक छोटी प्रश्नोत्तरी लें और पता करें कि आपने नई सामग्री कैसे सीखी।

प्रश्नों को ध्यान से सुनें और उत्तर दें कि क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1. क्या किसी त्रिभुज को समद्विबाहु माना जा सकता है यदि उसकी दो भुजाएँ बराबर हों?
2. समद्विभाजक एक ऐसा खंड है जो त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है?
3. क्या समद्विभाजक एक ऐसा खंड है जो उस कोण को विभाजित करता है जो एक शीर्ष को विपरीत दिशा में एक बिंदु से विभाजित करता है?

समद्विबाहु त्रिभुज की समस्याओं को हल करने के लिए टिप्स:

1. एक समद्विबाहु त्रिभुज की परिधि निर्धारित करने के लिए, यह पक्ष की लंबाई को 2 से गुणा करने और इस उत्पाद को त्रिभुज के आधार की लंबाई में जोड़ने के लिए पर्याप्त है।
2. यदि समस्या में एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार की परिधि और लंबाई ज्ञात है, तो पार्श्व पक्ष की लंबाई ज्ञात करने के लिए, परिधि से आधार की लंबाई घटाना और प्राप्त अंतर को 2 से विभाजित करना पर्याप्त है। .
3. और एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार की लंबाई ज्ञात करने के लिए, परिधि और भुजा की लंबाई दोनों को जानते हुए, आपको बस भुजा को दो से गुणा करना होगा और इस उत्पाद को हमारे त्रिभुज की परिधि से घटाना होगा।

कार्य:

1. आकृति में दिए गए त्रिभुजों में से एक अतिरिक्त निर्धारित करें और अपनी पसंद की व्याख्या करें:

2. निर्धारित करें कि आकृति में दिखाए गए त्रिभुजों में से कौन से समद्विबाहु हैं, उनके आधारों और भुजाओं को नाम दें, और उनके परिमाप की गणना भी करें।

3. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 21 सेमी है। इस त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए यदि उनमें से एक 3 सेमी बड़ी है। इस समस्या के कितने समाधान हो सकते हैं?

4. यह ज्ञात है कि यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज की पार्श्व भुजा और आधार के सम्मुख कोण दूसरे के पार्श्व भुजा और कोण के बराबर हों, तो ये त्रिभुज बराबर होंगे। इस कथन को सिद्ध कीजिए।

5. सोचो और कहो, क्या कोई समद्विबाहु त्रिभुज समबाहु है? और क्या कोई समबाहु त्रिभुज समद्विबाहु होगा?

6. यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 4 मी और 5 मी हैं, तो उसका परिमाप क्या होगा? इस समस्या के कितने समाधान हो सकते हैं?

7. यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज का एक कोण 91 डिग्री के बराबर है, तो अन्य कोण किसके बराबर हैं?

8. सोचिए और उत्तर दीजिए कि एक त्रिभुज में कौन-से कोण होने चाहिए ताकि वह एक ही समय में आयताकार और समद्विबाहु दोनों हो?

क्या आप जानते हैं पास्कल का त्रिभुज क्या है? पास्कल के त्रिकोण को अक्सर बुनियादी प्रोग्रामिंग कौशल का परीक्षण करने के लिए कहा जाता है। सामान्य तौर पर, पास्कल का त्रिकोण संयोजन और संभाव्यता सिद्धांत को संदर्भित करता है। तो यह त्रिभुज क्या है?

पास्कल का त्रिभुज एक अनंत अंकगणितीय त्रिभुज या त्रिभुज के आकार की तालिका है जो द्विपद गुणांक का उपयोग करके बनाई जाती है। सरल शब्दों में, इस त्रिभुज का शीर्ष और भुजाएँ इकाइयाँ हैं, और यह ऊपर स्थित दो संख्याओं के योग से भरा होता है। आप इस तरह के त्रिभुज को अनंत में जोड़ सकते हैं, लेकिन यदि आप इसकी रूपरेखा तैयार करते हैं, तो हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज मिलता है, जिसकी ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में सममित रेखाएँ होती हैं।

इस बारे में सोचें कि रोजमर्रा की जिंदगी में आपको समद्विबाहु त्रिभुजों से कहाँ मिलना था? क्या यह सच नहीं है कि घरों की छतें और प्राचीन स्थापत्य संरचनाएँ उनकी बहुत याद दिलाती हैं? और याद रखें, मिस्र के पिरामिडों का आधार क्या है? आपने समद्विबाहु त्रिभुज और कहाँ देखे हैं?

प्राचीन काल से समद्विबाहु त्रिभुजों ने यूनानियों और मिस्रवासियों को दूरियाँ और ऊँचाई निर्धारित करने में मदद की। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्राचीन यूनानियों ने इसका उपयोग दूर से समुद्र में जहाज तक की दूरी निर्धारित करने के लिए किया था। और प्राचीन मिस्रवासियों ने अपने पिरामिडों की ऊंचाई डाली छाया की लंबाई के कारण निर्धारित की, क्योंकि। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज था।

प्राचीन काल से, लोगों ने पहले से ही इस आकृति की सुंदरता और व्यावहारिकता की सराहना की है, क्योंकि त्रिकोण के आकार हमें हर जगह घेरते हैं। विभिन्न गांवों में घूमते हुए, हम घरों की छतों और अन्य संरचनाओं को देखते हैं जो हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज की याद दिलाते हैं। जब हम किसी स्टोर में जाते हैं, तो हमें भोजन और रस के त्रिकोणीय आकार के पैकेज दिखाई देते हैं, और यहां तक ​​कि कुछ मानव चेहरों का आकार एक समद्विबाहु त्रिभुज का होता है। त्रिकोण। यह आंकड़ा इतना लोकप्रिय है कि इसे हर मोड़ पर पाया जा सकता है।

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दो बराबर भुजाओं वाला त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है। इन भुजाओं को भुजाएँ कहते हैं, और तीसरी भुजा को आधार कहते हैं। इस लेख में हम आपको समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों के बारे में बताएंगे।

प्रमेय 1

एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के निकट के कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं

प्रमेय का प्रमाण।

मान लीजिए हमारे पास एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है जिसका आधार AB है। आइए त्रिभुज बीएसी को देखें। ये त्रिभुज, पहले चिन्ह से, एक दूसरे के बराबर हैं। तो यह है, क्योंकि BC = AC, AC = BC, कोण ACB = कोण ACB। इससे यह पता चलता है कि कोण बीएसी = कोण एबीसी, क्योंकि ये एक दूसरे के बराबर हमारे त्रिभुजों के संगत कोण हैं। यहाँ एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों का गुण है।

प्रमेय 2

एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका जो उसके आधार की ओर खींची जाती है, उसकी ऊँचाई और समद्विभाजक भी होती है

प्रमेय का प्रमाण।

मान लीजिए कि हमारे पास एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है जिसका आधार AB है और CD वह माध्यिका है जिसे हमने इसके आधार पर खींचा है। त्रिभुज ACD और BCD में, कोण CAD = कोण CBD, एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर संगत कोणों के रूप में (प्रमेय 1)। और भुजा AC = भुजा BC (एक समद्विबाहु त्रिभुज की परिभाषा के अनुसार)। भुजा AD \u003d भुजा BD, आखिर बिंदु D खंड AB को बराबर भागों में विभाजित करता है। अतः यह इस प्रकार है कि त्रिभुज ACD = त्रिभुज BCD।

इन त्रिभुजों की समानता से हमें संगत कोणों की समानता प्राप्त होती है। यानी कोण ACD = कोण BCD और कोण ADC = कोण BDC। समीकरण 1 का तात्पर्य है कि CD एक समद्विभाजक है। और कोण ADC और कोण BDC आसन्न कोण हैं, और समानता 2 से यह इस प्रकार है कि वे दोनों समकोण हैं। यह पता चला है कि सीडी त्रिभुज की ऊंचाई है। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका का गुण है।

और अब थोड़ा समद्विबाहु त्रिभुज के चिन्हों के बारे में।

प्रमेय 3

यदि किसी त्रिभुज में दो कोण सर्वांगसम हों, तो त्रिभुज समद्विबाहु होता है।

प्रमेय का प्रमाण।

मान लीजिए कि हमारे पास एक त्रिभुज ABC है जिसमें कोण CAB = कोण CBA है। त्रिभुज ABC = त्रिभुज BAC त्रिभुजों के बीच समानता के दूसरे मानदंड से। तो यह है, क्योंकि AB = BA; कोण CBA = कोण CAB, कोण CAB = कोण CBA। त्रिभुजों की ऐसी समानता से हमें त्रिभुज की संगत भुजाओं की समानता प्राप्त होती है - AC = BC। तब यह पता चलता है कि त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।

प्रमेय 4

यदि किसी त्रिभुज में उसकी माध्यिका भी उसकी ऊँचाई है, तो ऐसा त्रिभुज समद्विबाहु होता है

प्रमेय का प्रमाण।

त्रिभुज ABC में हम माध्यिका CD खींचते हैं। ऊंचाई भी होगी। समकोण त्रिभुज ACD = समकोण त्रिभुज BCD, क्योंकि पैर CD उनके लिए उभयनिष्ठ है, और पैर AD = पैर BD। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि उनके कर्ण समान त्रिभुजों के संगत भागों के रूप में एक दूसरे के बराबर होते हैं। इसका मतलब है कि एबी = बीसी।

प्रमेय 5

यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ये त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं

प्रमेय का प्रमाण।

मान लीजिए कि हमारे पास एक त्रिभुज ABC और एक त्रिभुज A1B1C1 है, जिसकी भुजाएँ AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1 हैं। विरोधाभास द्वारा इस प्रमेय के प्रमाण पर विचार करें।

मान लीजिए कि ये त्रिभुज एक दूसरे के बराबर नहीं हैं। इसलिए हमारे पास यह है कि कोण बीएसी कोण बी 1 ए 1 सी 1 के बराबर नहीं है, कोण एबीसी कोण ए 1 बी 1 सी 1 के बराबर नहीं है, कोण एसीबी एक ही समय में कोण ए 1 सी 1 बी 1 के बराबर नहीं है। अन्यथा, उपरोक्त मानदंड के अनुसार ये त्रिभुज बराबर होंगे।

मान लें कि त्रिभुज A1B1C2 = त्रिभुज ABC। त्रिभुज का शीर्ष C2 उसी अर्ध-तल में रेखा A1B1 के सापेक्ष शीर्ष C1 के साथ स्थित है। हमने माना कि शीर्ष C2 और C1 संपाती नहीं हैं। मान लें कि बिंदु D खंड C1C2 का मध्यबिंदु है। तो हमारे पास समद्विबाहु त्रिभुज B1C1C2 और A1C1C2 हैं, जिनका एक सामान्य आधार C1C2 है। यह पता चला है कि उनकी माध्यिकाएँ B1D और A1D भी उनकी ऊँचाई हैं। इसका मतलब है कि लाइन B1D और लाइन A1D लाइन C1C2 के लंबवत हैं।

B1D और A1D के अलग-अलग बिंदु B1 और A1 हैं और इसलिए ये मेल नहीं खा सकते हैं। लेकिन आखिरकार, सीधी रेखा C1C2 के बिंदु D से होकर हम उस पर केवल एक सीधी रेखा लम्बवत खींच सकते हैं। हमारे पास एक विरोधाभास है।

अब आप जानते हैं कि समद्विबाहु त्रिभुज के गुण क्या होते हैं!

एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण निम्नलिखित प्रमेयों को व्यक्त करते हैं।

प्रमेय 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

प्रमेय 2. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार की ओर खींचा गया समद्विभाजक माध्यिका और ऊँचाई होता है।

प्रमेय 3. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींची गई माध्यिका समद्विभाजक और ऊँचाई होती है।

प्रमेय 4. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार तक खींची गई ऊँचाई समद्विभाजक और माध्यिका होती है।

आइए उनमें से एक को सिद्ध करें, उदाहरण के लिए, प्रमेय 2.5।

सबूत। आधार BC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC पर विचार कीजिए और सिद्ध कीजिए कि B = C. मान लीजिए AD त्रिभुज ABC का समद्विभाजक है (चित्र 1)। त्रिभुजों की समानता के पहले चिन्ह के अनुसार त्रिभुज ABD और ACD बराबर हैं (शर्त के अनुसार AB = AC, AD उभयनिष्ठ भुजा है, 1 = 2, क्योंकि AD द्विभाजक है)। इन त्रिभुजों की समानता से यह निकलता है कि B = C. प्रमेय सिद्ध होता है।

प्रमेय 1 का प्रयोग करते हुए, हम निम्नलिखित प्रमेय की स्थापना करते हैं।

प्रमेय 5. त्रिभुजों की समानता की तीसरी कसौटी। यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं (चित्र 2)।

टिप्पणी। उदाहरण 1 और 2 में स्थापित वाक्य खंड के लंबवत द्विभाजक के गुणों को व्यक्त करते हैं। इन प्रस्तावों से यह निम्नानुसार है कि त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं.

उदाहरण 1सिद्ध कीजिए कि एक खंड के सिरों से समदूरस्थ तल में एक बिंदु इस खंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है।

समाधान। मान लीजिए कि बिंदु M खंड AB (आकृति 3) के सिरों से समान दूरी पर है, अर्थात AM = VM।

तब AMV समद्विबाहु है। आइए हम बिंदु M और खंड AB के मध्य बिंदु O से होकर एक रेखा p खींचते हैं। निर्माण से, खंड MO समद्विबाहु त्रिभुज AMB का माध्यिका है, और इसलिए (प्रमेय 3), और ऊँचाई, यानी, सीधी रेखा MO, खंड AB का लंबवत द्विभाजक है।

उदाहरण 2सिद्ध कीजिए कि किसी खंड के लंब समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु उसके सिरों से समान दूरी पर होता है।

समाधान। मान लीजिए p खंड AB का लंब समद्विभाजक है और बिंदु O खंड AB का मध्यबिंदु है (चित्र 3 देखें)।

एक मनमाना बिंदु M पर विचार करें जो रेखा p पर स्थित है। आइए एएम और वीएम सेगमेंट बनाएं। त्रिभुज एओएम और पीटीओ बराबर हैं, क्योंकि शीर्ष ओ पर उनके कोण सीधे हैं, पैर ओएम आम है, और पैर ओए स्थिति के अनुसार पैर ओबी के बराबर है। त्रिभुज AOM और BOM की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि AM = BM।

उदाहरण 3त्रिभुज ABC में (चित्र 4 देखें) AB \u003d 10 सेमी, BC \u003d 9 सेमी, AC \u003d 7 सेमी; त्रिभुज में DEF DE = 7 सेमी, EF = 10 सेमी, FD = 9 सेमी।

त्रिभुज ABC और DEF की तुलना करें। संगत समान कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान। तीसरी कसौटी में ये त्रिभुज बराबर हैं। तदनुसार, समान कोण: A और E (वे समान भुजाओं BC और FD के विपरीत स्थित हैं), B और F (वे समान भुजाओं AC और DE के विपरीत स्थित हैं), C और D (वे समान भुजाओं AB और EF के विपरीत स्थित हैं)।

उदाहरण 4आकृति 5 में AB = DC, BC = AD, B = 100°।

कोण डी खोजें।

समाधान। त्रिभुज ABC और ADC पर विचार करें। वे तीसरी विशेषता में बराबर हैं (एबी = डीसी, बीसी = एडी शर्त के अनुसार और पक्ष एसी आम है)। इन त्रिभुजों की समानता से यह पता चलता है कि ∠ B = D, लेकिन कोण B 100° है, इसलिए कोण D 100° है।

उदाहरण 5आधार AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, शीर्ष C पर बाह्य कोण 123° है। कोण ABC ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

वीडियो समाधान।

इस पाठ में "समद्विबाहु त्रिभुज और उसके गुण" विषय पर विचार किया जाएगा। आप सीखेंगे कि समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज कैसे दिखते हैं और उनकी विशेषता कैसे होती है। समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोणों की समानता पर प्रमेय सिद्ध कीजिए। समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर खींची गई द्विभाजक प्रमेय (माध्यिका और ऊँचाई) पर भी विचार करें। पाठ के अंत में, आप समद्विबाहु त्रिभुज की परिभाषा और गुणों का उपयोग करते हुए दो समस्याओं पर विचार करेंगे।

परिभाषा:समद्विबाहुएक त्रिभुज कहलाता है जिसकी दो बराबर भुजाएँ होती हैं।

चावल। 1. समद्विबाहु त्रिभुज

एबी = एसी - पक्ष। ईसा पूर्व - आधार।

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार गुणा उसकी ऊंचाई का आधा गुणनफल होता है।

परिभाषा:समभुजएक त्रिभुज कहलाता है जिसमें तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं।

चावल। 2. समबाहु त्रिभुज

एबी = बीसी = एसए।

प्रमेय 1:एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

दिया गया:एबी = एसी।

सिद्ध करना: B = C.

चावल। 3. प्रमेय के लिए आरेखण

सबूत:त्रिभुज ABC \u003d त्रिभुज DIA पहले चिन्ह के अनुसार (दो बराबर भुजाओं पर और उनके बीच का कोण)। त्रिभुजों की समानता से सभी संगत तत्वों की समानता का अनुसरण होता है। अत: ∠B = C, जिसे सिद्ध किया जाना था।

प्रमेय 2:एक समद्विबाहु त्रिभुज में द्विभाजकआधार के लिए खींचा गया है मंझलातथा लंबा.

दिया गया:एबी = एसी, ∠1 = ∠2।

सिद्ध करना:बीडी = डीसी, एडी बीसी के लंबवत।

चावल। 4. प्रमेय 2 . के लिए आरेखण

सबूत:त्रिभुज ADB = त्रिभुज ADC पहली विशेषता से (AD - सामान्य, AB = AC शर्त के अनुसार, ∠BAD = DAC)। त्रिभुजों की समानता से सभी संगत तत्वों की समानता का अनुसरण होता है। BD = DC क्योंकि वे सम्मुख समान कोणों पर स्थित हैं। अतः AD माध्यिका है। साथ ही ∠3 = ∠4 क्योंकि वे समान भुजाओं के विपरीत स्थित हैं। लेकिन, इसके अलावा, वे कुल मिलाकर बराबर हैं। इसलिए, 3 = ∠4 = . अत: AD त्रिभुज की ऊँचाई है, जिसे सिद्ध करना था।

केवल मामले में a = b = . इस स्थिति में, AC और BD रेखाएँ लंबवत कहलाती हैं।

चूँकि समद्विभाजक, ऊँचाई और माध्यिका एक ही खण्ड हैं, इसलिए निम्नलिखित कथन भी सत्य हैं:

आधार पर खींचे गए एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई माध्यिका और समद्विभाजक होती है।

आधार पर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका ऊँचाई और समद्विभाजक होती है।

उदाहरण 1:एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार भुजा के आकार का आधा है और परिमाप 50 सेमी है। त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

दिया गया:एबी = एसी, बीसी = एसी। पी = 50 सेमी।

पाना:बीसी, एसी, एबी।

समाधान:

चावल। 5. उदाहरण के लिए आरेखण 1

हम आधार BC को a के रूप में निरूपित करते हैं, फिर AB \u003d AC \u003d 2a।

2ए + 2ए + ए = 50।

5ए = 50, ए = 10.

उत्तर:बीसी = 10 सेमी, एसी = एबी = 20 सेमी।

उदाहरण 2:सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर होते हैं।

दिया गया:एबी = बीसी = एसए।

सिद्ध करना: A = ∠B = C।

सबूत:

चावल। 6. उदाहरण के लिए ड्राइंग

B = C, क्योंकि AB=AC, और ∠A = B, क्योंकि AC = BC है।

इसलिए, A = ∠B = C, जिसे सिद्ध किया जाना था।

उत्तर:सिद्ध किया हुआ।

आज के पाठ में हमने एक समद्विबाहु त्रिभुज की जांच की, इसके मूल गुणों का अध्ययन किया। अगले पाठ में, हम एक समद्विबाहु त्रिभुज के विषय पर, समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने पर और समबाहु त्रिभुज के विषय पर समस्याओं को हल करेंगे।

1. अलेक्जेंड्रोव ए.डी., वर्नर ए.एल., रयज़िक वी.आई. आदि। ज्यामिति 7. - एम .: ज्ञानोदय।
2. अतानासियन एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी. एट अल। ज्यामिति 7. 5 वां संस्करण। - एम .: ज्ञानोदय।
3. बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., प्रसोलोवा वी.वी. ज्यामिति 7 / वी.एफ. बुटुज़ोव, एस.बी. कदोमत्सेव, वी.वी. प्रसोलोवा, एड। सदोवनिची वी.ए. - एम .: शिक्षा, 2010।

1. "अकादमिक" () पर शब्दकोश और विश्वकोश।
2. शैक्षणिक विचारों का त्योहार "ओपन लेसन" ()।
3. Kaknauchit.ru ()।

1. नंबर 29। बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., प्रसोलोवा वी.वी. ज्यामिति 7 / वी.एफ. बुटुज़ोव, एस.बी. कदोमत्सेव, वी.वी. प्रसोलोवा, एड। सदोवनिची वी.ए. - एम .: शिक्षा, 2010।

2. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 35 सेमी है, और आधार भुजा से तीन गुना छोटा है। त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

3. दिया गया है: AB = BC। सिद्ध कीजिए कि 1 = 2।

4. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 20 सेमी है, इसकी एक भुजा दूसरी भुजा की दुगुनी है। त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए। समस्या के कितने समाधान हैं?