वास्तव में, सूत्र (1) और (2) सुविधाओं की आकस्मिक तालिका के आधार पर सशर्त संभाव्यता का एक संक्षिप्त रिकॉर्ड हैं। आइए विचार किए गए उदाहरण पर लौटते हैं (चित्र 1)। मान लीजिए कि हम जानते हैं कि एक निश्चित परिवार एक वाइडस्क्रीन टीवी खरीदने जा रहा है। क्या संभावना है कि यह परिवार वास्तव में ऐसा टीवी खरीदेगा?

चावल। 1. वाइडस्क्रीन टीवी खरीदार व्यवहार

इस मामले में, हमें सशर्त संभावना पी की गणना करने की आवश्यकता है (खरीद की गई थी | खरीद की योजना बनाई गई थी)। चूंकि हम जानते हैं कि एक परिवार खरीदने की योजना बना रहा है, नमूना स्थान में सभी 1,000 परिवार शामिल नहीं हैं, बल्कि केवल वे हैं जो एक वाइडस्क्रीन टीवी खरीदने की योजना बना रहे हैं। ऐसे 250 परिवारों में से 200 ने वास्तव में यह टीवी खरीदा। इसलिए, संभावना है कि एक परिवार वास्तव में एक वाइडस्क्रीन टीवी खरीदेगा, यदि उन्होंने ऐसा करने की योजना बनाई है, तो निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

पी (खरीदी गई | खरीद की योजना बनाई) = वाइडस्क्रीन टीवी की योजना बनाने और खरीदने वाले परिवारों की संख्या / वाइडस्क्रीन टीवी खरीदने की योजना बनाने वाले परिवारों की संख्या = 200/250 = 0.8

वही परिणाम सूत्र (2) द्वारा दिया गया है:

घटना कहाँ है लेकिनयह है कि परिवार एक वाइडस्क्रीन टीवी खरीदने की योजना बना रहा है, और घटना पर- कि वह वास्तव में इसे खरीद लेगी। वास्तविक डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

निर्णय वृक्ष

अंजीर पर। 1 परिवारों को चार श्रेणियों में विभाजित किया गया था: वे जिन्होंने वाइडस्क्रीन टीवी खरीदने की योजना बनाई थी और जिन्होंने नहीं की, और जिन्होंने ऐसा टीवी खरीदा और जिन्होंने ऐसा नहीं किया। निर्णय वृक्ष (चित्र 2) का उपयोग करके एक समान वर्गीकरण किया जा सकता है। अंजीर में दिखाया गया पेड़। 2 की दो शाखाएं हैं, जो उन परिवारों के अनुरूप हैं जिन्होंने वाइडस्क्रीन टीवी खरीदने की योजना बनाई है और जिन परिवारों ने ऐसा नहीं किया है। इनमें से प्रत्येक शाखा को दो अतिरिक्त शाखाओं में विभाजित किया गया है, जो उन परिवारों के अनुरूप हैं जिन्होंने वाइडस्क्रीन टीवी खरीदा और नहीं खरीदा। दो मुख्य शाखाओं के सिरों पर लिखी प्रायिकताएँ घटनाओं की बिना शर्त प्रायिकताएँ हैं लेकिनतथा लेकिन'. चार अतिरिक्त शाखाओं के सिरों पर लिखी प्रायिकताएँ घटनाओं के प्रत्येक संयोजन की सशर्त प्रायिकताएँ हैं लेकिनतथा पर. सशर्त संभावनाओं की गणना घटनाओं की संयुक्त संभावना को उनमें से प्रत्येक की बिना शर्त संभावना से विभाजित करके की जाती है।

चावल। 2. निर्णय वृक्ष

उदाहरण के लिए, इस संभावना की गणना करने के लिए कि एक परिवार एक वाइडस्क्रीन टीवी खरीदेगा, यदि उन्होंने ऐसा करने की योजना बनाई है, तो किसी को घटना की संभावना का निर्धारण करना चाहिए खरीद की योजना बनाई और पूरी हुई, और फिर इसे घटना की संभावना से विभाजित करें खरीद की योजना बनाई. अंजीर में दिखाए गए निर्णय वृक्ष के साथ चलना। 2, हमें निम्नलिखित (पिछले एक के समान) उत्तर मिलता है:

सांख्यिकीय स्वतंत्रता

वाइडस्क्रीन टीवी खरीदने के उदाहरण में, संभावना है कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित परिवार ने एक वाइडस्क्रीन टीवी खरीदा है, जिसे उन्होंने ऐसा करने की योजना बनाई है, 200/250 = 0.8 है। याद रखें कि बिना शर्त संभावना है कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित परिवार ने एक वाइडस्क्रीन टीवी खरीदा है 300/1000 = 0.3 है। इससे एक बहुत ही महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है। एक प्राथमिक जानकारी कि परिवार खरीदारी की योजना बना रहा था, खरीद की संभावना को ही प्रभावित करता है।दूसरे शब्दों में, ये दोनों घटनाएँ एक-दूसरे पर निर्भर करती हैं। इस उदाहरण के विपरीत, सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र घटनाएँ हैं जिनकी प्रायिकताएँ एक-दूसरे पर निर्भर नहीं करती हैं। सांख्यिकीय स्वतंत्रता पहचान द्वारा व्यक्त की जाती है: पी (ए | बी) = पी (ए), कहाँ पे पी (ए | बी)- घटना की संभावना लेकिनयह मानते हुए कि कोई घटना हुई है पर, पी (ए)घटना ए की बिना शर्त संभावना है।

कृपया ध्यान दें कि घटनाएं लेकिनतथा पर पी (ए | बी) = पी (ए). यदि सुविधा आकस्मिकता तालिका में, जिसका आकार 2 × 2 है, तो यह शर्त कम से कम घटनाओं के एक संयोजन के लिए संतुष्ट है लेकिनतथा पर, यह किसी अन्य संयोजन के लिए मान्य होगा। हमारे उदाहरण में, घटनाएँ खरीद की योजना बनाईतथा खरीद पूर्णसांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र नहीं हैं क्योंकि एक घटना के बारे में जानकारी दूसरे की संभावना को प्रभावित करती है।

आइए एक उदाहरण देखें जो दिखाता है कि दो घटनाओं की सांख्यिकीय स्वतंत्रता का परीक्षण कैसे किया जाता है। आइए उन 300 परिवारों से पूछें जिन्होंने वाइडस्क्रीन टीवी खरीदा है कि क्या वे अपनी खरीद से संतुष्ट हैं (चित्र 3)। निर्धारित करें कि क्या खरीद से संतुष्टि की डिग्री और टीवी के प्रकार संबंधित हैं।

चावल। 3. वाइडस्क्रीन टीवी के लिए ग्राहक संतुष्टि डेटा

इन आंकड़ों के मुताबिक,

एक ही समय में,

पी (ग्राहक संतुष्ट) = 240/300 = 0.80

इसलिए, संभावना है कि ग्राहक खरीद से संतुष्ट है और परिवार ने एक एचडीटीवी खरीदा है, और ये घटनाएं सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि वे एक दूसरे से संबंधित नहीं हैं।

प्रायिकता गुणन नियम

सशर्त संभाव्यता की गणना करने का सूत्र आपको एक संयुक्त घटना की संभावना निर्धारित करने की अनुमति देता है ए और बी. समाधान सूत्र (1)

संयुक्त संभावना के संबंध में पी (ए और बी), हम प्रायिकताओं के गुणन के लिए सामान्य नियम प्राप्त करते हैं। घटना की संभावना ए और बीघटना की संभावना के बराबर है लेकिनबशर्ते कि घटना पर पर:

(3) पी (ए और बी) = पी (ए | बी) * पी (बी)

उदाहरण के लिए, 80 परिवारों पर विचार करें, जिन्होंने वाइडस्क्रीन एचडीटीवी खरीदा (चित्र 3)। तालिका से पता चलता है कि 64 परिवार खरीद से संतुष्ट हैं और 16 नहीं हैं। मान लीजिए कि उनमें से दो परिवारों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस संभावना को निर्धारित करें कि दोनों खरीदार संतुष्ट होंगे। सूत्र (3) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

पी (ए और बी) = पी (ए | बी) * पी (बी)

घटना कहाँ है लेकिनयह है कि दूसरा परिवार उनकी खरीद से संतुष्ट है, और घटना पर- कि पहला परिवार उनकी खरीद से संतुष्ट है। पहला परिवार अपनी खरीद से संतुष्ट होने की प्रायिकता 64/80 है। हालांकि, संभावना है कि दूसरा परिवार भी उनकी खरीद से संतुष्ट है, पहले परिवार की प्रतिक्रिया पर निर्भर करता है। यदि सर्वेक्षण के बाद पहले परिवार को नमूने में वापस नहीं किया जाता है (बिना वापसी के चयन), तो उत्तरदाताओं की संख्या 79 तक गिर जाती है। यदि पहला परिवार अपनी खरीद से संतुष्ट था, तो दूसरा परिवार भी संतुष्ट होने की संभावना 63/ है। 79, चूंकि केवल 63 नमूना परिवारों में ही रह गए थे, जो उनकी खरीद से संतुष्ट थे। इस प्रकार, विशिष्ट डेटा को सूत्र (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्नलिखित उत्तर प्राप्त होता है:

पी (ए और बी) = (63/79) (64/80) = 0.638।

इसलिए, दोनों परिवारों के अपनी खरीद से संतुष्ट होने की प्रायिकता 63.8% है।

मान लीजिए कि सर्वेक्षण के बाद, पहले परिवार को नमूने में वापस कर दिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों परिवार अपनी खरीद से संतुष्ट होंगे। इस मामले में, दोनों परिवार अपनी खरीद से संतुष्ट होने की संभावनाएं समान हैं, और 64/80 के बराबर हैं। इसलिए, P(A और B) = (64/80)(64/80) = 0.64। इस प्रकार, दोनों परिवारों के अपनी खरीद से संतुष्ट होने की प्रायिकता 64.0% है। इस उदाहरण से पता चलता है कि दूसरे परिवार का चुनाव पहले परिवार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। इस प्रकार, सूत्र (3) के स्थान पर सशर्त प्रायिकता पी (ए | बी)संभावना पी (ए), हम स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने का नियम।अगर घटनाएं लेकिनतथा परसांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं, किसी घटना की प्रायिकता ए और बीघटना की संभावना के बराबर है लेकिनघटना की संभावना से गुणा पर.

(4) पी (ए और बी) = पी (ए) पी (बी)

यदि यह नियम घटनाओं के लिए सही है लेकिनतथा पर, जिसका अर्थ है कि वे सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं। इस प्रकार, दो घटनाओं की सांख्यिकीय स्वतंत्रता निर्धारित करने के दो तरीके हैं:

1. घटनाक्रम लेकिनतथा परसांख्यिकीय रूप से एक दूसरे से स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि पी (ए | बी) = पी (ए).
2. घटनाक्रम लेकिनतथा बीसांख्यिकीय रूप से एक दूसरे से स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि पी (ए और बी) = पी (ए) पी (बी).

यदि सुविधा आकस्मिक तालिका में, जिसका आकार 2 × 2 है, तो इनमें से कोई एक शर्त घटनाओं के कम से कम एक संयोजन के लिए संतुष्ट है लेकिनतथा बी, यह किसी अन्य संयोजन के लिए मान्य होगा।

एक प्राथमिक घटना की बिना शर्त संभावना

(5) Р(А) = पी(ए|बी 1)Р(बी 1) + पी(ए|बी 2)Р(बी 2) +… + पी(ए|बी के)Р(बी के)

जहाँ घटनाएँ B 1, B 2, … B k परस्पर अपवर्जी और संपूर्ण हैं।

हम चित्र 1 के उदाहरण पर इस सूत्र के अनुप्रयोग का वर्णन करते हैं। सूत्र (5) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

पी (ए) = पी (ए | बी 1) पी (बी 1) + पी (ए | बी 2) पी (बी 2)

कहाँ पे पी (ए)- संभावना है कि खरीद की योजना बनाई गई थी, पी (बी 1)- खरीदारी किए जाने की प्रायिकता, पी (बी 2)- संभावना है कि खरीदारी नहीं की गई है।

बेयस प्रमेय

किसी घटना की सशर्त संभावना इस जानकारी को ध्यान में रखती है कि कोई अन्य घटना हुई है। इस दृष्टिकोण का उपयोग संभाव्यता को परिष्कृत करने के लिए, नई प्राप्त जानकारी को ध्यान में रखते हुए, और इस संभावना की गणना करने के लिए किया जा सकता है कि मनाया गया प्रभाव किसी विशिष्ट कारण का परिणाम है। इन संभावनाओं को परिष्कृत करने की प्रक्रिया को बेयस प्रमेय कहा जाता है। इसे पहली बार 18वीं शताब्दी में थॉमस बेयस द्वारा विकसित किया गया था।

मान लीजिए कि ऊपर उल्लिखित कंपनी एक नए टीवी मॉडल के लिए बाजार पर शोध कर रही है। अतीत में, कंपनी द्वारा बनाए गए 40% टीवी सफल रहे थे, और 60% मॉडलों को मान्यता नहीं मिली थी। एक नया मॉडल जारी करने की घोषणा करने से पहले, विपणक सावधानीपूर्वक बाजार की खोज करते हैं और मांग पर कब्जा करते हैं। अतीत में, मान्यता प्राप्त करने वाले 80% मॉडलों की सफलता की भविष्यवाणी पहले से की गई थी, जबकि 30% अनुकूल पूर्वानुमान गलत निकले। नए मॉडल के लिए विपणन विभाग ने अनुकूल पूर्वानुमान दिया है। क्या संभावना है कि एक नया टीवी मॉडल मांग में होगा?

बेयस प्रमेय को सशर्त संभाव्यता (1) और (2) की परिभाषाओं से प्राप्त किया जा सकता है। प्रायिकता (В|А) की गणना करने के लिए, हम सूत्र (2) लेते हैं:

और सूत्र (3) से मान P(A और B) के बजाय स्थानापन्न करें:

पी (ए और बी) = पी (ए | बी) * पी (बी)

P(A) के स्थान पर सूत्र (5) को प्रतिस्थापित करने पर, हम बेयस प्रमेय प्राप्त करते हैं:

जहाँ घटनाएँ B 1, B 2, ... B k परस्पर अपवर्जी और संपूर्ण हैं।

आइए हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: घटना S - टीवी मांग में है, आयोजन' - टीवी मांग में नहीं है, घटना एफ - अनुकूल पूर्वानुमान, घटना एफ' - खराब बीमारी. मान लीजिए कि P(S) = 0.4, P(S') = 0.6, P(F|S) = 0.8, P(F|S') = 0.3। बेयस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक अनुकूल पूर्वानुमान के अधीन, एक नए टीवी मॉडल की मांग की संभावना 0.64 है। इस प्रकार, अनुकूल पूर्वानुमान की स्थिति में मांग में कमी की संभावना 1–0.64 = 0.36 है। गणना प्रक्रिया अंजीर में दिखाई गई है। चार।

चावल। 4. (ए) टीवी मांग की संभावना का अनुमान लगाने के लिए बायेसियन गणना; (बी) एक नए टीवी मॉडल की मांग पर शोध के लिए निर्णय वृक्ष

आइए चिकित्सा निदान के लिए बेयस प्रमेय के अनुप्रयोग के एक उदाहरण पर विचार करें। किसी व्यक्ति के किसी रोग से पीड़ित होने की प्रायिकता 0.03 है। एक चिकित्सा परीक्षण आपको यह जांचने की अनुमति देता है कि क्या ऐसा है। यदि कोई व्यक्ति वास्तव में बीमार है, तो एक सटीक निदान की संभावना (यह बताते हुए कि वह वास्तव में बीमार होने पर बीमार है) 0.9 है। यदि कोई व्यक्ति स्वस्थ है, तो झूठे सकारात्मक निदान की संभावना (यह बताते हुए कि एक व्यक्ति स्वस्थ होने पर बीमार है) 0.02 है। मान लीजिए कि एक मेडिकल टेस्ट पॉजिटिव आया। क्या संभावना है कि व्यक्ति वास्तव में बीमार है? एक सटीक निदान की संभावना क्या है?

आइए हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: घटना डी - आदमी बीमार है, घटना डी '- व्यक्ति स्वस्थ है, घटना टी - सकारात्मक निदान, घटना टी' - निदान नकारात्मक है. यह समस्या की स्थितियों से निम्नानुसार है कि Р(D) = 0.03, P(D') = 0.97, Р(T|D) = 0.90, P(T|D') = 0.02। सूत्र (6) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

सकारात्मक निदान वाला व्यक्ति वास्तव में बीमार होने की संभावना 0.582 है (चित्र 5 भी देखें)। ध्यान दें कि बेयस सूत्र का हर एक सकारात्मक निदान की संभावना के बराबर है, अर्थात। 0.0464.

एक ऑन्कोलॉजिकल श्रेणी के रूप में किसी भी स्थिति में किसी भी इकाई के उभरने की संभावना के माप को दर्शाता है। इस अवधारणा की गणितीय और तार्किक व्याख्याओं के विपरीत, ऑटोलॉजिकल वी। खुद को मात्रात्मक अभिव्यक्ति की आवश्यकता से नहीं जोड़ता है। V. का मान नियतिवाद और सामान्य रूप से विकास की प्रकृति को समझने के संदर्भ में प्रकट होता है।

महान परिभाषा

अधूरी परिभाषा

संभावना

एक अवधारणा जो मात्राओं की विशेषता है। एक निश्चित घटना के एक निश्चित समय पर प्रकट होने की संभावना का एक उपाय। स्थितियाँ। वैज्ञानिक में ज्ञान वी की तीन व्याख्याएं हैं। वी की शास्त्रीय अवधारणा, जो गणितीय से उत्पन्न हुई। जुए का विश्लेषण और बी. पास्कल, जे. बर्नौली और पी. लाप्लास द्वारा पूरी तरह से विकसित, वी. को अनुकूल मामलों की संख्या के अनुपात के रूप में सभी समान रूप से संभव की कुल संख्या के रूप में मानता है। उदाहरण के लिए, जब एक पासे को फेंका जाता है जिसमें 6 भुजाएँ होती हैं, तो उनमें से प्रत्येक से 1/6 के बराबर V आने की उम्मीद की जा सकती है, क्योंकि किसी भी पक्ष को दूसरे पर लाभ नहीं होता है। खेलों का आयोजन करते समय अनुभव के परिणामों की ऐसी समरूपता को विशेष रूप से ध्यान में रखा जाता है, लेकिन विज्ञान और अभ्यास में वस्तुनिष्ठ घटनाओं के अध्ययन में अपेक्षाकृत दुर्लभ है। क्लासिक वी. की व्याख्या ने सांख्यिकीय को रास्ता दिया। वी. की अवधारणाएं, जिसके मूल में मान्य हैं। अवधि के दौरान एक निश्चित घटना की उपस्थिति का अवलोकन। ठीक निश्चित परिस्थितियों में अनुभव। अभ्यास इस बात की पुष्टि करता है कि जितनी अधिक बार कोई घटना घटित होती है, उसके घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना की डिग्री उतनी ही अधिक होती है, या वी। इसलिए, सांख्यिकीय। वी. की व्याख्या संबंधित की अवधारणा पर आधारित है। आवृत्तियों, एक कटौती को अनुभवजन्य रूप से निर्धारित किया जा सकता है। वी। सैद्धांतिक के रूप में। अवधारणा कभी भी एक अनुभवजन्य रूप से निर्धारित आवृत्ति के साथ मेल नहीं खाती है, हालांकि, कई मायनों में। मामलों में, यह व्यावहारिक रूप से रिश्तेदार से बहुत कम भिन्न होता है। अवधि के परिणामस्वरूप आवृत्ति पाई गई। अवलोकन। कई सांख्यिकीविद वी. को "डबल" के रूप में संदर्भित करते हैं। आवृत्ति, बढ़त सांख्यिकीय द्वारा निर्धारित की जाती है। अवलोकन परिणामों का अध्ययन

या प्रयोग। वी की परिभाषा कम यथार्थवादी थी जैसा कि सीमा से संबंधित है। आर. मिसेस द्वारा प्रस्तावित सामूहिक घटनाओं या सामूहिक घटनाओं की आवृत्तियाँ। वी। के लिए आवृत्ति दृष्टिकोण के एक और विकास के रूप में, एक स्वभाव, या प्रवृत्ति, वी की व्याख्या को आगे रखा गया है (के। पॉपर, जे। हेकिंग, एम। बंज, टी। सेटल)। इस व्याख्या के अनुसार, वी। उदाहरण के लिए, परिस्थितियों को उत्पन्न करने की संपत्ति की विशेषता है। प्रयोग। स्थापना, बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं का एक क्रम प्राप्त करने के लिए। यह वह रवैया है जो भौतिक को जन्म देता है स्वभाव, या पूर्वाग्रह, V. to-rykh को रिश्तेदार के माध्यम से जांचा जा सकता है। आवृत्तियों।

सांख्यिकीय वी. की व्याख्या वैज्ञानिक पर हावी है। ज्ञान, क्योंकि यह विशिष्ट को दर्शाता है। एक यादृच्छिक प्रकृति की सामूहिक घटनाओं में निहित पैटर्न की प्रकृति। कई भौतिक, जैविक, आर्थिक, जनसांख्यिकीय में और अन्य सामाजिक प्रक्रियाओं में, कई यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई को ध्यान में रखना आवश्यक है, राई को एक स्थिर आवृत्ति द्वारा विशेषता है। इस स्थिर आवृत्ति और मात्रा की पहचान। वी की मदद से इसका मूल्यांकन आवश्यकता को प्रकट करना संभव बनाता है, जो कई दुर्घटनाओं की संचयी कार्रवाई के माध्यम से अपना रास्ता बनाता है। यह वह जगह है जहाँ अवसर के आवश्यकता में परिवर्तन की द्वंद्वात्मकता अपनी अभिव्यक्ति पाती है (देखें एफ। एंगेल्स, पुस्तक में: के। मार्क्स और एफ। एंगेल्स, सोच।, वॉल्यूम। 20, पीपी। 535-36)।

तार्किक या आगमनात्मक तर्क परिसर और गैर-प्रदर्शनकारी और विशेष रूप से, आगमनात्मक तर्क के निष्कर्ष के बीच संबंध की विशेषता है। कटौती के विपरीत, प्रेरण के परिसर निष्कर्ष की सच्चाई की गारंटी नहीं देते हैं, लेकिन केवल इसे कम या ज्यादा प्रशंसनीय बनाते हैं। यह विश्वसनीयता, सटीक रूप से तैयार परिसर के साथ, कभी-कभी वी की मदद से अनुमान लगाया जा सकता है। इस वी का मूल्य अक्सर तुलना करके निर्धारित किया जाता है। अवधारणाएँ (इससे अधिक, कम या बराबर), और कभी-कभी संख्यात्मक तरीके से। तर्क व्याख्या का उपयोग अक्सर आगमनात्मक तर्क का विश्लेषण करने और संभाव्य तर्कशास्त्र की विभिन्न प्रणालियों के निर्माण के लिए किया जाता है (आर। कार्नाप, आर। जेफरी)। शब्दार्थ में तार्किक अवधारणाएं। वी को अक्सर दूसरों द्वारा एक कथन की पुष्टि की डिग्री के रूप में परिभाषित किया जाता है (उदाहरण के लिए, इसके अनुभवजन्य डेटा की परिकल्पना)।

निर्णय लेने और खेल के सिद्धांतों के विकास के संबंध में, तथाकथित। वी की व्यक्तिगत व्याख्या। हालांकि इस मामले में वी। विषय के विश्वास की डिग्री और एक निश्चित घटना की घटना को व्यक्त करता है, वी। खुद को इस तरह से चुना जाना चाहिए कि वी की गणना के स्वयंसिद्ध संतुष्ट हैं। इसलिए, वी। इस तरह की व्याख्या के साथ तर्कसंगत विश्वास के रूप में व्यक्तिपरक की डिग्री इतनी ज्यादा नहीं व्यक्त करता है। नतीजतन, ऐसे वी के आधार पर किए गए निर्णय तर्कसंगत होंगे, क्योंकि वे मनोवैज्ञानिक को ध्यान में नहीं रखते हैं। विषय की विशेषताएं और झुकाव।

ज्ञानमीमांसा से टी. सपा. सांख्यिकीय के बीच अंतर। तार्किक। और वी। की व्यक्तिगत व्याख्या इस तथ्य में निहित है कि यदि पहले एक यादृच्छिक प्रकृति के बड़े पैमाने पर घटना के उद्देश्य गुणों और संबंधों की विशेषता है, तो अंतिम दो व्यक्तिपरक, संज्ञानात्मक की विशेषताओं का विश्लेषण करते हैं। अनिश्चितता की स्थिति में मानवीय गतिविधियाँ।

संभावना

विज्ञान की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, दुनिया की एक विशेष प्रणालीगत दृष्टि, इसकी संरचना, विकास और अनुभूति की विशेषता है। दुनिया के संभाव्य दृष्टिकोण की विशिष्टता अस्तित्व की बुनियादी अवधारणाओं के बीच मौका, स्वतंत्रता और पदानुक्रम (संरचना और प्रणालियों के निर्धारण में स्तरों के विचार) की अवधारणाओं को शामिल करने के माध्यम से प्रकट होती है।

संभाव्यता के बारे में विचार पुरातनता में उत्पन्न हुए और हमारे ज्ञान की विशेषताओं से संबंधित थे, जबकि संभाव्य ज्ञान की उपस्थिति को मान्यता दी गई थी, जो विश्वसनीय ज्ञान और असत्य से भिन्न है। वैज्ञानिक सोच पर प्रायिकता के विचार का प्रभाव, ज्ञान के विकास पर गणितीय अनुशासन के रूप में संभाव्यता के सिद्धांत के विकास से सीधा संबंध है। संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत की उत्पत्ति 17 वीं शताब्दी में हुई, जब अवधारणाओं के मूल का विकास जो अनुमति देता है। मात्रात्मक (संख्यात्मक) विशेषताओं और एक संभाव्य विचार व्यक्त करना।

ज्ञान के विकास के लिए संभाव्यता के गहन अनुप्रयोग दूसरी मंजिल पर आते हैं। 19- पहली मंजिल। 20 वीं सदी शास्त्रीय सांख्यिकीय भौतिकी, आनुवंशिकी, क्वांटम सिद्धांत, साइबरनेटिक्स (सूचना सिद्धांत) जैसे प्रकृति के ऐसे मौलिक विज्ञानों की संरचनाओं में प्रायिकता प्रवेश कर गई है। तदनुसार, संभाव्यता विज्ञान के विकास में उस चरण का प्रतिनिधित्व करती है, जिसे अब गैर-शास्त्रीय विज्ञान के रूप में परिभाषित किया गया है। संभाव्य सोच के तरीके की नवीनता, विशेषताओं को प्रकट करने के लिए, संभाव्यता सिद्धांत के विषय के विश्लेषण और इसके कई अनुप्रयोगों की नींव से आगे बढ़ना आवश्यक है। संभाव्यता सिद्धांत को आमतौर पर गणितीय अनुशासन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो कुछ शर्तों के तहत बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटना के नियमों का अध्ययन करता है। यादृच्छिकता का अर्थ है कि सामूहिक चरित्र के ढांचे के भीतर, प्रत्येक प्राथमिक घटना का अस्तित्व अन्य घटनाओं के अस्तित्व पर निर्भर नहीं करता है और न ही निर्धारित होता है। इसी समय, घटना की बहुत ही द्रव्यमान प्रकृति में एक स्थिर संरचना होती है, जिसमें कुछ नियमितताएं होती हैं। एक द्रव्यमान घटना काफी सख्ती से उप-प्रणालियों में विभाजित होती है, और प्रत्येक उप-प्रणालियों (सापेक्ष आवृत्ति) में प्राथमिक घटनाओं की सापेक्ष संख्या बहुत स्थिर होती है। इस स्थिरता की तुलना प्रायिकता से की जाती है। समग्र रूप से एक सामूहिक घटना को संभावनाओं के वितरण की विशेषता है, अर्थात, उप-प्रणालियों का असाइनमेंट और उनकी संबंधित संभावनाएं। संभाव्यता सिद्धांत की भाषा संभाव्यता वितरण की भाषा है। तदनुसार, संभाव्यता के सिद्धांत को वितरण के साथ संचालन के सार विज्ञान के रूप में परिभाषित किया गया है।

प्रायिकता ने विज्ञान में सांख्यिकीय नियमितताओं और सांख्यिकीय प्रणालियों के बारे में विचारों को जन्म दिया। उत्तरार्द्ध स्वतंत्र या अर्ध-स्वतंत्र संस्थाओं से बने सिस्टम हैं, उनकी संरचना संभाव्यता वितरण द्वारा विशेषता है। लेकिन स्वतंत्र संस्थाओं से सिस्टम बनाना कैसे संभव है? आमतौर पर यह माना जाता है कि अभिन्न विशेषताओं वाले सिस्टम बनाने के लिए, यह आवश्यक है कि उनके तत्वों के बीच पर्याप्त रूप से स्थिर बंधन मौजूद हों जो सिस्टम को मजबूत करते हैं। सांख्यिकीय प्रणालियों की स्थिरता बाहरी परिस्थितियों, बाहरी वातावरण, बाहरी के बजाय आंतरिक शक्तियों की उपस्थिति से दी जाती है। संभाव्यता की परिभाषा हमेशा प्रारंभिक द्रव्यमान घटना के गठन के लिए शर्तों को निर्धारित करने पर आधारित होती है। एक अन्य महत्वपूर्ण विचार जो संभाव्य प्रतिमान की विशेषता है, वह है पदानुक्रम (अधीनता) का विचार। यह विचार व्यक्तिगत तत्वों की विशेषताओं और प्रणालियों की अभिन्न विशेषताओं के बीच संबंध को व्यक्त करता है: उत्तरार्द्ध, जैसा कि यह था, पूर्व के शीर्ष पर बनाया गया है।

अनुभूति में संभाव्य तरीकों का महत्व इस तथ्य में निहित है कि वे हमें वस्तुओं और प्रणालियों की संरचना और व्यवहार के पैटर्न का पता लगाने और सैद्धांतिक रूप से व्यक्त करने की अनुमति देते हैं जिनमें एक पदानुक्रमित, "दो-स्तरीय" संरचना होती है।

संभाव्यता की प्रकृति का विश्लेषण इसकी आवृत्ति, सांख्यिकीय व्याख्या पर आधारित है। वहीं लंबे समय तक विज्ञान में प्रायिकता की ऐसी समझ हावी रही, जिसे तार्किक या आगमनात्मक प्रायिकता कहा गया। तार्किक संभावना कुछ शर्तों के तहत एक अलग, व्यक्तिगत निर्णय की वैधता के सवालों में रुचि रखती है। क्या मात्रात्मक रूप में आगमनात्मक निष्कर्ष (काल्पनिक निष्कर्ष) की पुष्टि (विश्वसनीयता, सत्य) की डिग्री का आकलन करना संभव है? संभाव्यता के सिद्धांत के गठन के दौरान, ऐसे प्रश्नों पर बार-बार चर्चा की गई, और वे काल्पनिक निष्कर्षों की पुष्टि की डिग्री के बारे में बात करने लगे। संभाव्यता का यह माप किसी दिए गए व्यक्ति के निपटान में जानकारी, उसके अनुभव, दुनिया पर विचार और मनोवैज्ञानिक मानसिकता से निर्धारित होता है। ऐसे सभी मामलों में, संभाव्यता का परिमाण सख्त माप के लिए उत्तरदायी नहीं है और व्यावहारिक रूप से एक सुसंगत गणितीय अनुशासन के रूप में संभाव्यता सिद्धांत की क्षमता से बाहर है।

विज्ञान में एक उद्देश्य, प्रायिकता की आवृत्ति व्याख्या काफी कठिनाई से स्थापित की गई थी। प्रारंभ में, संभाव्यता की प्रकृति की समझ उन दार्शनिक और पद्धतिगत विचारों से काफी प्रभावित थी जो शास्त्रीय विज्ञान की विशेषता थी। ऐतिहासिक रूप से, भौतिकी में संभाव्य तरीकों का गठन यांत्रिकी के विचारों के निर्णायक प्रभाव में हुआ: सांख्यिकीय प्रणालियों को केवल यांत्रिक के रूप में माना जाता था। चूंकि संबंधित समस्याओं को यांत्रिकी के सख्त तरीकों से हल नहीं किया गया था, बयान सामने आए कि संभाव्य तरीकों और सांख्यिकीय नियमितताओं के लिए अपील हमारे ज्ञान की अपूर्णता का परिणाम है। शास्त्रीय सांख्यिकीय भौतिकी के विकास के इतिहास में, शास्त्रीय यांत्रिकी के आधार पर इसे प्रमाणित करने के कई प्रयास किए गए हैं, लेकिन वे सभी असफल रहे। संभाव्यता का आधार यह है कि यह यांत्रिकी की प्रणालियों के अलावा, सिस्टम के एक निश्चित वर्ग की संरचना की विशेषताओं को व्यक्त करता है: इन प्रणालियों के तत्वों की स्थिति अस्थिरता और एक विशेष (यांत्रिकी के लिए कम नहीं) बातचीत की प्रकृति की विशेषता है। .

अनुभूति में संभाव्यता के प्रवेश से कठोर नियतत्ववाद की अवधारणा का खंडन होता है, शास्त्रीय विज्ञान के निर्माण की प्रक्रिया में विकसित होने और अनुभूति के मूल मॉडल से इनकार किया जाता है। सांख्यिकीय सिद्धांतों द्वारा प्रस्तुत मूल मॉडल एक अलग, अधिक सामान्य प्रकृति के हैं: उनमें यादृच्छिकता और स्वतंत्रता के विचार शामिल हैं। संभाव्यता का विचार वस्तुओं और प्रणालियों की आंतरिक गतिशीलता के प्रकटीकरण से जुड़ा है, जिसे बाहरी परिस्थितियों और परिस्थितियों से पूरी तरह से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

दुनिया की एक संभाव्य दृष्टि की अवधारणा, स्वतंत्रता के बारे में विचारों की निरपेक्षता (पहले की तरह, कठोर दृढ़ संकल्प के प्रतिमान) पर आधारित है, ने अब अपनी सीमाओं का खुलासा किया है, जो आधुनिक विज्ञान के जटिल अध्ययन के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों के संक्रमण को सबसे अधिक प्रभावित करता है। संगठित प्रणाली और स्व-संगठन घटना की भौतिक और गणितीय नींव।

महान परिभाषा

अधूरी परिभाषा

संभावनाघटना उन प्राथमिक परिणामों की संख्या का अनुपात है जो किसी घटना के पक्ष में हैं और अनुभव के सभी समान रूप से संभावित परिणामों की संख्या जिसमें यह घटना हो सकती है। किसी घटना A की प्रायिकता को P(A) द्वारा निरूपित किया जाता है (यहाँ P फ्रांसीसी शब्द प्रायिकता का पहला अक्षर है - प्रायिकता)। परिभाषा के अनुसार
(1.2.1)
घटना ए के पक्ष में प्राथमिक परिणामों की संख्या कहां है; - घटनाओं का एक पूरा समूह बनाने, अनुभव के सभी समान रूप से संभव प्राथमिक परिणामों की संख्या।
संभाव्यता की इस परिभाषा को शास्त्रीय कहा जाता है। यह संभाव्यता सिद्धांत के विकास के प्रारंभिक चरण में उत्पन्न हुआ।

किसी घटना की प्रायिकता में निम्नलिखित गुण होते हैं:
1. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है। आइए पत्र द्वारा एक निश्चित घटना को नामित करें। एक निश्चित घटना के लिए, इसलिए
(1.2.2)
2. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है। हम असंभव घटना को पत्र द्वारा निरूपित करते हैं। इसलिए एक असंभव घटना के लिए
(1.2.3)
3. एक यादृच्छिक घटना की प्रायिकता को एक से कम धनात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूँकि असमानताएँ, या एक यादृच्छिक घटना के लिए संतुष्ट हैं, तो
(1.2.4)
4. किसी घटना की प्रायिकता असमानताओं को संतुष्ट करती है
(1.2.5)
यह संबंधों से (1.2.2) -(1.2.4) का अनुसरण करता है।

उदाहरण 1एक कलश में समान आकार और भार की 10 गेंदें हैं, जिनमें से 4 लाल और 6 नीली हैं। कलश से एक गेंद निकाली जाती है। खींची गई गेंद के नीले होने की प्रायिकता क्या है?

समाधान. घटना "खींची गई गेंद नीली निकली" को अक्षर ए द्वारा दर्शाया जाएगा। इस परीक्षण में 10 समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणाम हैं, जिनमें से 6 घटना ए के पक्ष में हैं। सूत्र (1.2.1) के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2 1 से 30 तक की सभी प्राकृत संख्याएँ समान कार्डों पर लिखी जाती हैं और एक कलश में रखी जाती हैं। पत्तों को अच्छी तरह मिलाने के बाद कलश में से एक पत्ता निकाल दिया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाले गए कार्ड पर 5 का गुणज है?

समाधान।घटना को ए द्वारा निरूपित करें "ले गए कार्ड पर संख्या 5 का गुणक है"। इस परीक्षण में, 30 समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणाम हैं, जिनमें से 6 परिणाम घटना ए (संख्या 5, 10, 15, 20, 25, 30) के पक्ष में हैं। फलस्वरूप,

उदाहरण 3दो पासे फेंके जाते हैं, ऊपरी फलकों पर अंकों के योग की गणना की जाती है। घटना B की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, इस तथ्य से कि घनों के शीर्ष फलकों का योग 9 अंक होगा।

समाधान।इस परीक्षण में 6 2 = 36 समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणाम हैं। इवेंट बी 4 परिणामों का पक्षधर है: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), इसलिए

उदाहरण 4. एक प्राकृत संख्या जो 10 से अनधिक न हो, यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। इस संख्या के अभाज्य होने की क्या प्रायिकता है?

समाधान।घटना "चुनी हुई संख्या अभाज्य है" को अक्षर C से निरूपित करें। इस स्थिति में, n = 10, m = 4 (अभाज्य 2, 3, 5, 7)। इसलिए, वांछित संभावना

उदाहरण 5दो सममित सिक्के उछाले जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों सिक्कों के ऊपर की ओर अंक हों?

समाधान।आइए अक्षर डी द्वारा घटना को निरूपित करें "प्रत्येक सिक्के के शीर्ष पर एक संख्या थी"। इस परीक्षण में 4 समान रूप से संभावित प्राथमिक परिणाम हैं: (जी, जी), (जी, सी), (सी, जी), (सी, सी)। (अंकन (जी, सी) का अर्थ है कि पहले सिक्के पर हथियारों का एक कोट होता है, दूसरे पर - एक संख्या)। घटना डी एक प्राथमिक परिणाम (सी, सी) के पक्ष में है। चूँकि m = 1, n = 4, तो

उदाहरण 6क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो अंकों की संख्या में अंक समान हैं?

समाधान।दो अंकों की संख्याएँ 10 से 99 तक की संख्याएँ हैं; कुल 90 ऐसी संख्याएँ हैं। 9 संख्याओं में समान अंक हैं (ये संख्याएँ 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 हैं)। चूँकि इस स्थिति में m = 9, n = 90, तो
,
जहां ए "समान अंकों वाली संख्या" घटना है।

उदाहरण 7शब्द के अक्षरों से अंतरएक अक्षर यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह अक्षर होगा: a) एक स्वर b) एक व्यंजन c) एक अक्षर एच?

समाधान. डिफरेंशियल शब्द में 12 अक्षर हैं, जिनमें से 5 स्वर हैं और 7 व्यंजन हैं। पत्र एचयह शब्द नहीं है। आइए घटनाओं को निरूपित करें: ए - "स्वर", बी - "व्यंजन", सी - "अक्षर" एच"। अनुकूल प्राथमिक परिणामों की संख्या: - घटना ए के लिए, - घटना बी के लिए, - घटना सी के लिए। चूंकि n \u003d 12, फिर
, तथा ।

उदाहरण 8दो पासे उछाले जाते हैं, प्रत्येक पासे के शीर्ष फलक पर अंकों की संख्या नोट की जाती है। दोनों पासों के समान अंक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए हम इस घटना को अक्षर A से निरूपित करते हैं। घटना A को 6 प्राथमिक परिणामों द्वारा पसंद किया जाता है: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6)। कुल मिलाकर समान रूप से संभव प्राथमिक परिणाम हैं जो घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं, इस मामले में n=6 2 =36। तो वांछित संभावना

उदाहरण 9पुस्तक में 300 पृष्ठ हैं। क्या प्रायिकता है कि बेतरतीब ढंग से खोले गए पृष्ठ में एक अनुक्रम संख्या होगी जो 5 का गुणज है?

समाधान।यह समस्या की स्थितियों का अनुसरण करता है कि सभी समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणामों में से n = 300 होंगे जो घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं। इनमें से, m = 60 निर्दिष्ट घटना की घटना के पक्ष में है। वास्तव में, एक संख्या जो 5 का गुणज है, उसका रूप 5k है, जहाँ k एक प्राकृत संख्या है, और जहाँ से . फलस्वरूप,
, जहां A - "पेज" इवेंट में एक अनुक्रम संख्या होती है जो 5 का गुणज होता है।

उदाहरण 10. दो पासे फेंके जाते हैं, ऊपरी फलकों पर अंकों के योग की गणना की जाती है। कुल 7 या 8 प्राप्त करने की अधिक संभावना क्या है?

समाधान. आइए घटनाओं को नामित करें: ए - "7 अंक गिर गए", बी - "8 अंक गिर गए"। घटना ए को 6 प्राथमिक परिणामों का समर्थन है: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), और घटना बी - द्वारा 5 परिणाम: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)। सभी समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणामों में से n = 6 2 = 36 हैं। इसलिए, तथा ।

तो, P(A)>P(B), यानी कुल 7 अंक प्राप्त करना कुल 8 अंक प्राप्त करने की तुलना में अधिक संभावित घटना है।

कार्य

1. 30 से अनधिक एक प्राकृत संख्या यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। क्या प्रायिकता है कि यह संख्या 3 का गुणज है?
2. कलश में एकलाल और बीएक ही आकार और वजन की नीली गेंदें। इस कलश से बेतरतीब ढंग से निकाली गई गेंद के नीले होने की क्या प्रायिकता है?
3. 30 से अनधिक एक संख्या यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। क्या प्रायिकता है कि यह संख्या zo का भाजक है?
4. कलश में एकनीला और बीएक ही आकार और वजन की लाल गेंदें। इस कलश से एक गेंद निकाली जाती है और एक तरफ रख दी जाती है। यह गेंद लाल है। फिर कलश से एक और गेंद निकाली जाती है। दूसरी गेंद के भी लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
5. 50 से अनधिक एक प्राकृत संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इस संख्या के अभाज्य होने की क्या प्रायिकता है?
6. तीन पासे फेंके जाते हैं, ऊपरी फलकों पर अंकों के योग की गणना की जाती है। क्या अधिक संभावना है - कुल 9 या 10 अंक प्राप्त करने के लिए?
7. तीन पासे उछाले जाते हैं, गिराए गए अंकों के योग की गणना की जाती है। कुल 11 (ईवेंट ए) या 12 अंक (ईवेंट बी) प्राप्त करने की अधिक संभावना क्या है?

जवाब

1. 1/3. 2 . बी/(एक+बी). 3 . 0,2. 4 . (बी-1)/(एक+बी-1). 5 .0,3.6 . पी 1 \u003d 25/216 - कुल 9 अंक प्राप्त करने की संभावना; पी 2 \u003d 27/216 - कुल 10 अंक प्राप्त करने की संभावना; p2 > p1 7 . पी (ए) = 27/216, पी (बी) = 25/216, पी (ए)> पी (बी)।

प्रशन

1. किसी घटना की प्रायिकता को क्या कहते हैं?
2. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता क्या है?
3. एक असंभव घटना की प्रायिकता क्या है?
4. एक यादृच्छिक घटना की प्रायिकता की सीमाएँ क्या हैं?
5. किसी घटना की प्रायिकता की सीमाएँ क्या हैं?
6. प्रायिकता की किस परिभाषा को शास्त्रीय कहा जाता है?

एक पेशेवर बेहतर को जल्दी और सही तरीके से बाधाओं में पारंगत होना चाहिए गुणांक द्वारा किसी घटना की प्रायिकता का मूल्यांकन करेंऔर, यदि आवश्यक हो, सक्षम हो ऑड्स को एक प्रारूप से दूसरे प्रारूप में बदलें. इस मैनुअल में, हम बात करेंगे कि गुणांक किस प्रकार के होते हैं, साथ ही उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम विश्लेषण करेंगे कि आप कैसे कर सकते हैं ज्ञात गुणांक से प्रायिकता की गणना करेंऔर इसके विपरीत।

गुणांक कितने प्रकार के होते हैं?

सट्टेबाजों द्वारा तीन मुख्य प्रकार की ऑड्स की पेशकश की जाती है: दशमलव ऑड्स, भिन्नात्मक बाधाओं(अंग्रेज़ी) और अमेरिकन ऑड्स. यूरोप में सबसे आम ऑड्स दशमलव हैं। अमेरिकी ऑड्स उत्तरी अमेरिका में लोकप्रिय हैं। भिन्नात्मक ऑड्स सबसे पारंपरिक प्रकार हैं, वे तुरंत इस बारे में जानकारी दर्शाते हैं कि एक निश्चित राशि प्राप्त करने के लिए आपको कितना दांव लगाना होगा।

दशमलव बाधाओं

दशमलवया फिर उन्हें कहा जाता है यूरोपीय बाधाओं- यह सामान्य संख्या प्रारूप है, जिसे दशमलव अंश द्वारा सौवें और कभी-कभी हज़ारवें हिस्से की सटीकता के साथ दर्शाया जाता है। दशमलव विषम का एक उदाहरण 1.91 है। दशमलव ऑड्स के मामले में लाभ की गणना करना बहुत सरल है, बस अपनी बेट राशि को इस ऑड से गुणा करें। उदाहरण के लिए, "मैनचेस्टर यूनाइटेड" - "शस्त्रागार" मैच में, "एमयू" की जीत गुणांक - 2.05 के साथ निर्धारित की जाती है, एक गुणांक - 3.9 के साथ एक ड्रॉ का अनुमान लगाया जाता है, और "शस्त्रागार" की जीत के बराबर होती है - 2.95. मान लीजिए कि हमें विश्वास है कि युनाइटेड जीतेगा और उन पर $1,000 का दांव लगाएगा। तब हमारी संभावित आय की गणना इस प्रकार की जाती है:

2.05 * $1000 = $2050;

क्या यह वाकई इतना मुश्किल नहीं है? उसी तरह, एक ड्रॉ और आर्सेनल की जीत पर दांव लगाते समय संभावित आय की गणना की जाती है।

चित्र बनाना: 3.9 * $1000 = $3900;
शस्त्रागार जीत: 2.95 * $1000 = $2950;

दशमलव ऑड्स द्वारा किसी घटना की प्रायिकता की गणना कैसे करें?

अब कल्पना कीजिए कि हमें बुकमेकर द्वारा निर्धारित दशमलव ऑड्स द्वारा किसी घटना की प्रायिकता निर्धारित करने की आवश्यकता है। ये करना भी बहुत आसान है। ऐसा करने के लिए, हम इकाई को इस गुणांक से विभाजित करते हैं।

आइए हमारे पास पहले से मौजूद डेटा लें और प्रत्येक घटना की संभावना की गणना करें:

मैनचेस्टर यूनाइटेड जीत: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
चित्र बनाना: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
शस्त्रागार जीत: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

भिन्नात्मक ऑड्स (अंग्रेज़ी)

जैसे नाम का अर्थ है भिन्नात्मक गुणांकएक साधारण अंश द्वारा दर्शाया गया है। अंग्रेजी विषम का एक उदाहरण 5/2 है। अंश के अंश में एक संख्या होती है जो शुद्ध जीत की संभावित राशि होती है, और हर में एक संख्या होती है जो उस राशि को दर्शाती है जिसे आपको इस जीत को प्राप्त करने के लिए शर्त लगाने की आवश्यकता होती है। सीधे शब्दों में कहें, तो हमें $5 जीतने के लिए $2 डॉलर का दांव लगाना होगा। 3/2 के ऑड्स का मतलब है कि $ 3 की शुद्ध जीत हासिल करने के लिए, हमें $ 2 की शर्त लगानी होगी।

भिन्नात्मक बाधाओं द्वारा किसी घटना की प्रायिकता की गणना कैसे करें?

भिन्नात्मक गुणांक द्वारा किसी घटना की संभावना की गणना करना भी मुश्किल नहीं है, आपको बस हर को अंश और हर के योग से विभाजित करने की आवश्यकता है।

भिन्न 5/2 के लिए, हम प्रायिकता की गणना करते हैं: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
भिन्न 3/2 के लिए, हम प्रायिकता की गणना करते हैं:

अमेरिकन ऑड्स

अमेरिकन ऑड्सयूरोप में अलोकप्रिय है, लेकिन उत्तरी अमेरिका में बहुत अलोकप्रिय है। शायद इस प्रकार के गुणांक सबसे कठिन हैं, लेकिन यह केवल पहली नज़र में है। वास्तव में, इस प्रकार के गुणांक में कुछ भी जटिल नहीं है। आइए अब सब कुछ क्रम में देखें।

अमेरिकी बाधाओं की मुख्य विशेषता यह है कि वे या तो हो सकते हैं सकारात्मक, तथा नकारात्मक. अमेरिकी ऑड्स का एक उदाहरण (+150), (-120) है। अमेरिकन ऑड्स (+150) का मतलब है कि $150 कमाने के लिए हमें $100 का दांव लगाना होगा। दूसरे शब्दों में, एक सकारात्मक अमेरिकी गुणक $ 100 के दांव पर संभावित शुद्ध आय को दर्शाता है। नकारात्मक अमेरिकी गुणांक $ 100 की शुद्ध जीत प्राप्त करने के लिए किए जाने वाले दांव की मात्रा को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, गुणांक (- 120) हमें बताता है कि $120 की शर्त लगाकर हम $100 जीतेंगे।

अमेरिकी बाधाओं का उपयोग करके किसी घटना की संभावना की गणना कैसे करें?

अमेरिकी ऑड्स के अनुसार किसी घटना की प्रायिकता की गणना निम्न सूत्रों के अनुसार की जाती है:

(-(एम)) / ((-(एम)) + 100), जहां एम एक नकारात्मक अमेरिकी गुणांक है;
100/(पी+100), जहां पी एक सकारात्मक अमेरिकी गुणांक है;

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक गुणांक (-120) है, तो संभावना की गणना निम्नानुसार की जाती है:

(-(एम)) / ((-(एम)) + 100); हम "M" के बजाय मान (-120) को प्रतिस्थापित करते हैं;
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

इस प्रकार, एक अमेरिकी गुणांक (-120) के साथ एक घटना की संभावना 54.5% है।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक गुणांक (+150) है, तो संभावना की गणना निम्नानुसार की जाती है:

100/(पी+100); हम "P" के बजाय मान (+150) को प्रतिस्थापित करते हैं;
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

इस प्रकार, एक अमेरिकी गुणांक (+150) के साथ एक घटना की संभावना 40% है।

संभाव्यता का प्रतिशत जानने के बाद, इसे दशमलव गुणांक में कैसे अनुवाद करें?

प्रायिकता के ज्ञात प्रतिशत के लिए दशमलव गुणांक की गणना करने के लिए, आपको किसी घटना की प्रायिकता से 100 को प्रतिशत में विभाजित करना होगा। उदाहरण के लिए, यदि किसी घटना की प्रायिकता 55% है, तो इस प्रायिकता का दशमलव गुणांक 1.81 के बराबर होगा।

100 / 55% = 1,81

प्रायिकता का प्रतिशत जानने के बाद, इसे भिन्नात्मक गुणांक में कैसे परिवर्तित करें?

प्रायिकता के ज्ञात प्रतिशत से भिन्नात्मक गुणांक की गणना करने के लिए, आपको प्रतिशत में किसी घटना की प्रायिकता से 100 को विभाजित करने से एक घटाना होगा। उदाहरण के लिए, हमारे पास प्रायिकता प्रतिशत 40% है, तो इस प्रायिकता का भिन्नात्मक गुणांक 3/2 के बराबर होगा।

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
भिन्नात्मक गुणांक 1.5/1 या 3/2 है।

संभाव्यता का प्रतिशत जानने के बाद, इसे अमेरिकी गुणांक में कैसे अनुवाद करें?

यदि किसी घटना की संभावना 50% से अधिक है, तो गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

- ((वी) / (100 - वी)) * 100, जहां वी संभावना है;

उदाहरण के लिए, हमारे पास किसी घटना की 80% संभावना है, तो इस संभावना का अमेरिकी गुणांक (-400) के बराबर होगा।

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

यदि किसी घटना की संभावना 50% से कम है, तो गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

((100 - वी) / वी) * 100, जहां वी संभावना है;

उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास किसी घटना का प्रायिकता प्रतिशत 20% है, तो इस प्रायिकता का अमेरिकी गुणांक (+400) के बराबर होगा।

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

गुणांक को दूसरे प्रारूप में कैसे बदलें?

ऐसे समय होते हैं जब गुणांक को एक प्रारूप से दूसरे प्रारूप में परिवर्तित करना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, हमारे पास एक भिन्नात्मक गुणांक 3/2 है और हमें इसे दशमलव में बदलने की आवश्यकता है। भिन्नात्मक ऑड्स को दशमलव ऑड्स में बदलने के लिए, हम पहले एक भिन्नात्मक ऑड्स वाली घटना की प्रायिकता निर्धारित करते हैं, और फिर इस प्रायिकता को दशमलव ऑड्स में परिवर्तित करते हैं।

3/2 के भिन्नात्मक गुणांक वाली घटना की प्रायिकता 40% है।

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

अब हम किसी घटना की प्रायिकता को दशमलव गुणांक में अनुवाद करते हैं, इसके लिए हम 100 को किसी घटना की प्रायिकता से प्रतिशत में विभाजित करते हैं:

100 / 40% = 2.5;

इस प्रकार, 3/2 का एक भिन्नात्मक विषम 2.5 के दशमलव विषम के बराबर होता है। इसी तरह, उदाहरण के लिए, अमेरिकी बाधाओं को भिन्नात्मक, दशमलव से अमेरिकी, आदि में परिवर्तित किया जाता है। इस सब में सबसे कठिन हिस्सा सिर्फ गणना है।

मैं समझता हूं कि हर कोई पहले से जानना चाहता है कि खेल आयोजन का अंत कैसे होगा, कौन जीतेगा और कौन हारेगा। इस जानकारी से आप बिना किसी डर के खेल आयोजनों पर दांव लगा सकते हैं. लेकिन क्या यह बिल्कुल संभव है, और यदि हां, तो किसी घटना की संभावना की गणना कैसे करें?

प्रायिकता एक सापेक्ष मूल्य है, इसलिए यह किसी भी घटना के बारे में सटीकता के साथ बात नहीं कर सकता है। यह मान आपको किसी विशेष प्रतियोगिता पर दांव लगाने की आवश्यकता का विश्लेषण और मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। संभावनाओं की परिभाषा एक संपूर्ण विज्ञान है जिसके लिए सावधानीपूर्वक अध्ययन और समझ की आवश्यकता होती है।

प्रायिकता सिद्धांत में प्रायिकता गुणांक

खेल सट्टेबाजी में, प्रतियोगिता के परिणाम के लिए कई विकल्प हैं:

• पहली टीम की जीत;
• दूसरी टीम की जीत;
• चित्र बनाना;
• कुल

प्रतियोगिता के प्रत्येक परिणाम की अपनी संभावना और आवृत्ति होती है जिसके साथ यह घटना घटित होगी, बशर्ते कि प्रारंभिक विशेषताओं को संरक्षित किया जाए। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, किसी भी घटना की संभावना की सही गणना करना असंभव है - यह संयोग हो भी सकता है और नहीं भी। इस प्रकार, आपका दांव जीत या हार सकता है।

प्रतियोगिता के परिणामों की सटीक 100% भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है, क्योंकि कई कारक मैच के परिणाम को प्रभावित करते हैं। स्वाभाविक रूप से, सट्टेबाज मैच के परिणाम को पहले से नहीं जानते हैं और केवल परिणाम मान लेते हैं, अपनी विश्लेषण प्रणाली पर निर्णय लेते हैं और दांव के लिए कुछ ऑड्स की पेशकश करते हैं।

किसी घटना की संभावना की गणना कैसे करें?

मान लीजिए कि सट्टेबाज की संभावना 2.1/2 है - हमें 50% मिलता है। यह पता चला है कि गुणांक 2 50% की संभावना के बराबर है। उसी सिद्धांत से, आप ब्रेक-ईवन प्रायिकता अनुपात - 1 / प्रायिकता प्राप्त कर सकते हैं।

कई खिलाड़ी सोचते हैं कि कई बार हारने के बाद जीत निश्चित रूप से होगी - यह एक गलत राय है। बेट जीतने की प्रायिकता हार की संख्या पर निर्भर नहीं करती है। यहां तक ​​कि अगर आप एक सिक्के के खेल में एक पंक्ति में कई सिर फेंकते हैं, तो भी पूंछ फेंकने की संभावना समान रहती है - 50%।