प्रपत्र के अवकल समीकरणों के बाएँ भाग कभी-कभी कुछ फलनों के कुल अंतर होते हैं। यदि किसी फलन को उसके कुल अवकलन से पुन: बनाया जाता है, तो अवकल समीकरण का सामान्य समाकल पाया जाएगा। इस लेख में, हम किसी फ़ंक्शन को उसके कुल अंतर से पुनर्स्थापित करने के लिए एक विधि का वर्णन करेंगे; हम समाधान के विस्तृत विवरण के साथ उदाहरणों और कार्यों के साथ सैद्धांतिक सामग्री प्रदान करेंगे।

अवकल समीकरण का बायाँ भाग कुछ फलन U(x, y) = 0 का कुल अंतर है यदि शर्त संतुष्ट है।

चूँकि फलन U(x, y) = 0 का कुल अंतर है , तो, अगर शर्त संतुष्ट है, तो हम दावा कर सकते हैं कि . फलस्वरूप, .

सिस्टम के पहले समीकरण से हमारे पास है . फ़ंक्शन को सिस्टम के दूसरे समीकरण का उपयोग करके पाया जा सकता है:

यह वांछित फलन U(x, y) = 0 प्राप्त करेगा।

एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए .

समाधान।

इस उदाहरण में। शर्त पूरी होती है क्योंकि

इसलिए, मूल अवकल समीकरण का बायाँ भाग कुछ फलन U(x, y) = 0 का कुल अंतर है। हमारा काम इस फ़ंक्शन को खोजना है।

इसलिये फलन का कुल अंतर है U(x, y) = 0 , तो . हम सिस्टम के पहले समीकरण को x के संबंध में एकीकृत करते हैं और y के संबंध में प्राप्त परिणाम को अलग करते हैं . दूसरी ओर, सिस्टम के दूसरे समीकरण से हमारे पास है। फलस्वरूप,

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है।

इस तरह, और मूल समीकरण का सामान्य समाकल है .

किसी फलन को उसके कुल अंतर से ज्ञात करने की एक और विधि है। यह लेने में शामिल है वक्रीय समाकलनएक निश्चित बिंदु (x 0, y 0) से चर निर्देशांक (x, y) वाले बिंदु तक: . इस मामले में, अभिन्न का मूल्य एकीकरण के पथ पर निर्भर नहीं करता है। एकीकरण पथ के रूप में एक टूटी हुई रेखा लेना सुविधाजनक है जिसका लिंक समन्वय अक्ष के समानांतर है।

आइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए .

समाधान।

आइए स्थिति की जाँच करें:

इस प्रकार, अवकल समीकरण का बायाँ भाग किसी फलन U(x, y) = 0 का कुल अंतर है। आइए बिंदु (1; 1) से (x, y) तक वक्रीय समाकलन की गणना करके इस फलन को ज्ञात करें। एकीकरण पथ के रूप में, हम एक टूटी हुई रेखा लेते हैं: पॉलीलाइन का पहला खंड सीधी रेखा y = 1 के साथ बिंदु (1, 1) से (x, 1) तक जाएगा, पथ का दूसरा खंड एक ले जाएगा बिंदु (x, 1) से (x, y) तक सीधी रेखा खंड।

इस विषय में, हम किसी फ़ंक्शन को उसके कुल अंतर से पुनर्स्थापित करने के लिए एक विधि पर विचार करेंगे, समाधान के पूर्ण विश्लेषण के साथ समस्याओं का उदाहरण देंगे।

ऐसा होता है कि फॉर्म पी (एक्स, वाई) डी एक्स + क्यू (एक्स, वाई) डी वाई \u003d 0 के अंतर समीकरण (डीई) में बाएं हिस्सों में कुछ कार्यों के कुल अंतर हो सकते हैं। तब हम DE का सामान्य समाकलन प्राप्त कर सकते हैं यदि हम पहले फलन को उसके कुल अंतर से पुनर्स्थापित करते हैं।

उदाहरण 1

समीकरण P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 पर विचार करें। इसके बाईं ओर के रिकॉर्ड में कुछ फ़ंक्शन का अंतर होता है यू (एक्स, वाई) = 0. इसके लिए शर्त ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x संतुष्ट होना चाहिए।

फलन U (x , y) = 0 के कुल अंतर का रूप d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y है। P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x की स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

पी (एक्स, वाई) डी एक्स + क्यू (एक्स, वाई) डी वाई = ∂ यू ∂ एक्स डी एक्स + ∂ यू ∂ वाई डी वाई

यू एक्स = पी (एक्स, वाई) ∂ यू ∂ वाई = क्यू (एक्स, वाई)

पहले समीकरण को समीकरणों की परिणामी प्रणाली से बदलकर, हम प्राप्त कर सकते हैं:

यू (एक्स, वाई) = ∫ पी (एक्स, वाई) डी एक्स + φ (वाई)

हम पहले प्राप्त प्रणाली के दूसरे समीकरण से फ़ंक्शन φ (y) पा सकते हैं:
यू (एक्स, वाई) ∂ वाई = पी (एक्स, वाई) डी एक्स वाई + φ वाई "(वाई) = क्यू (एक्स, वाई) ⇒ (वाई) = ∫ क्यू (एक्स, वाई) - ∂ ∫ पी (एक्स, वाई) डी एक्स ∂ वाई डी वाई

अतः हमें वांछित फलन U (x, y) = 0 मिला।

उदाहरण 2

DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

पी (एक्स, वाई) \u003d एक्स 2 - वाई 2, क्यू (एक्स, वाई) \u003d - 2 एक्स वाई

आइए जाँच करें कि क्या शर्त ∂ P ∂ y ≡ Q ∂ x संतुष्ट है:

पी ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

हमारी शर्त पूरी हो गई है।

परिकलनों के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मूल DE का बायाँ भाग किसी फलन U (x, y) = 0 का कुल अंतर है। हमें इस फ़ंक्शन को खोजने की आवश्यकता है।

चूँकि (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y फलन U (x, y) = 0 का कुल अंतर है, तो

यू ∂ एक्स = एक्स 2 - वाई 2 ∂ यू ∂ वाई = - 2 एक्स वाई

हम एक्स के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को एकीकृत करते हैं:

यू (एक्स, वाई) \u003d (एक्स 2 - वाई 2) डी एक्स + φ (वाई) \u003d एक्स 3 3 - एक्स वाई 2 + φ (वाई)

अब हम y के संबंध में परिणाम में अंतर करते हैं:

यू ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) y = - 2 x y + φ y "(y)

प्रणाली के दूसरे समीकरण को बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं: U ∂ y = - 2 x y । इसका मतलब है कि
- 2 x y + y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 (y) = ∫ 0 d x = C

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है।

हमें मिलता है: यू (एक्स, वाई) \u003d एक्स 3 3 - एक्स वाई 2 + φ (वाई) \u003d एक्स 3 3 - एक्स वाई 2 + सी। मूल समीकरण का व्यापक समाकल x 3 3 - x y 2 + C = 0 है।

आइए हम एक ज्ञात कुल अंतर से एक फलन खोजने के लिए एक अन्य विधि का विश्लेषण करें। इसमें एक निश्चित बिंदु (x 0, y 0) से चर निर्देशांक (x, y) वाले बिंदु तक एक वक्रीय समाकलन का अनुप्रयोग शामिल है:

यू (एक्स, वाई) = ∫ (एक्स 0, वाई 0) (एक्स, वाई) पी (एक्स, वाई) डी एक्स + क्यू (एक्स, वाई) डी वाई + सी

ऐसे मामलों में, इंटीग्रल का मूल्य किसी भी तरह से एकीकरण के पथ पर निर्भर नहीं करता है। हम एक टूटी हुई रेखा को एकीकरण पथ के रूप में ले सकते हैं, जिसकी कड़ियाँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर होती हैं।

उदाहरण 3

अवकल समीकरण (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

आइए जाँच करें कि क्या शर्त ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x संतुष्ट है:

P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

यह पता चला है कि अंतर समीकरण के बाईं ओर कुछ फ़ंक्शन यू (एक्स, वाई) = 0 के कुल अंतर द्वारा दर्शाया गया है। इस फ़ंक्शन को खोजने के लिए, बिंदु से वक्रतापूर्ण अभिन्न की गणना करना आवश्यक है (1 ; 1) इससे पहले (एक्स, वाई). आइए हम एकीकरण पथ के रूप में एक टूटी हुई रेखा लें, जिसके खंड एक सीधी रेखा के साथ गुजरेंगे वाई = 1बिंदु (1 , 1) से (x , 1) तक, और फिर बिंदु (x , 1) से (x , y) तक :

(1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) डी वाई + + ∫ (एक्स, 1) (एक्स, वाई) (वाई - वाई 2) डी एक्स + (एक्स - 2 एक्स वाई) डी वाई = = ∫ 1 एक्स (1 - 1 2) डी एक्स + ∫ 1 वाई (एक्स - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

हमने x y - x y 2 + C = 0 के रूप के अवकल समीकरण का सामान्य हल प्राप्त किया है।

उदाहरण 4

अवकल समीकरण y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

आइए जाँच करें कि क्या शर्त ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x संतुष्ट है।

चूँकि ∂ (y cos x) y = cos x , ∂ (sin 2 x) x = 2 sin x cos x, स्थिति संतुष्ट नहीं होगी। इसका अर्थ यह है कि अवकल समीकरण का बायां भाग फलन का कुल अंतर नहीं है। यह एक वियोज्य अंतर समीकरण है और इसे हल करने के लिए अन्य समाधान उपयुक्त हैं।

यदि आप टेक्स्ट में कोई गलती देखते हैं, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएं

परिभाषा: फॉर्म का समीकरण

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

जहाँ बाईं ओर दो चरों के किसी फलन का कुल अंतर होता है, उसे कुल अंतरों में समीकरण कहा जाता है।

दो चरों के इस फलन को F(x,y) से निरूपित करें। फिर समीकरण (9) को dF(x,y) = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, और इस समीकरण का एक सामान्य हल F(x,y) = C है।

मान लीजिए कि फॉर्म (9) का एक समीकरण दिया गया है। यह पता लगाने के लिए कि क्या यह कुल अंतरों में एक समीकरण है, आपको यह जांचना होगा कि क्या व्यंजक है

पी (एक्स, वाई) डीएक्स + क्यू (एक्स, वाई) डीई (10)

दो चरों के किसी फलन का कुल अंतर। ऐसा करने के लिए, समानता की पूर्ति की जाँच करना आवश्यक है

आइए मान लें कि किसी दिए गए व्यंजक के लिए (10) समानता (11) कुछ सरल रूप से जुड़े हुए डोमेन (S) में संतुष्ट है और इसलिए, व्यंजक (10) कुछ फ़ंक्शन F(x,y) का (S) में कुल अंतर है। .

इस प्रतिअवकलज को ज्ञात करने के निम्नलिखित तरीके पर विचार करें। एक फलन F(x,y) इस प्रकार ज्ञात करना आवश्यक है कि

जहां फ़ंक्शन (y) को नीचे परिभाषित किया जाएगा। सूत्र (12) से यह इस प्रकार है कि

क्षेत्र (एस) के सभी बिंदुओं पर। अब हम फलन (y) चुनते हैं ताकि समानता हो

ऐसा करने के लिए, हमें F(x, y) के बजाय सूत्र (12) के अनुसार इसकी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें जिस समानता (14) की आवश्यकता है, उसे फिर से लिखते हैं:

आइए अभिन्न चिह्न के तहत y के संबंध में अंतर करें (यह P(x, y) के बाद से किया जा सकता है और दो चर के निरंतर कार्य हैं):

चूँकि (11) , तो, पूर्णांक चिह्न (16) के तहत प्रतिस्थापित करके, हमारे पास है:

y पर एकीकृत होने के बाद, हम स्वयं फ़ंक्शन (y) पाते हैं, जो इस तरह से बनाया गया है कि समानता (14) धारण करती है। समानता (13) और (14) का उपयोग करके, हम देखते हैं कि

क्षेत्रों में)। (अठारह)

उदाहरण 5. जाँच कीजिए कि क्या दिया गया अवकल समीकरण कुल अंतरों में एक समीकरण है और इसे हल करें।

यह कुल अंतरों में एक अंतर समीकरण है। दरअसल, निरूपित करते हुए, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि

और यह अभिव्यक्ति के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

कुछ फ़ंक्शन U(x,y) का कुल अंतर है। इसके अलावा, आर में निरंतर कार्य हैं।

इसलिए, किसी दिए गए अंतर समीकरण को एकीकृत करने के लिए, एक ऐसा फ़ंक्शन ढूंढना आवश्यक है जिसके लिए अंतर समीकरण का बायां पक्ष कुल अंतर हो। मान लीजिए U(x,y) एक ऐसा फलन है, तो

बाएँ और दाएँ पक्षों को x पर एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

u(y) ज्ञात करने के लिए हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि

u(y) के पाए गए मान को (*) में प्रतिस्थापित करने पर, हम अंततः फलन U(x, y) प्राप्त करते हैं:

मूल समीकरण के सामान्य समाकल का रूप है

पहले क्रम के मुख्य प्रकार के अंतर समीकरण (जारी)।

रैखिक अंतर समीकरण

परिभाषा: एक प्रथम-क्रम रैखिक समीकरण रूप का एक समीकरण है

वाई" + पी (एक्स) वाई = एफ (एक्स), (21)

जहाँ P(x) और f(x) सतत फलन हैं।

समीकरण का नाम इस तथ्य से समझाया गया है कि व्युत्पन्न y "y का एक रैखिक कार्य है, अर्थात, यदि हम समीकरण (21) को y" = - P (x) + f (x) के रूप में फिर से लिखते हैं, तो सही पक्ष में केवल प्रथम डिग्री तक y होता है।

अगर f(x) = 0, तो समीकरण

yґ+ P(x) y = 0 (22)

रैखिक समांगी समीकरण कहलाता है। जाहिर है, एक सजातीय रैखिक समीकरण वियोज्य चर के साथ एक समीकरण है:

वाई" + पी (एक्स) वाई = 0; ,

अगर एफ (एक्स)? 0, फिर समीकरण

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

रैखिक अमानवीय समीकरण कहलाता है।

सामान्य तौर पर, समीकरण (21) के चरों को अलग नहीं किया जा सकता है।

समीकरण (21) को निम्नानुसार हल किया जाता है: हम दो कार्यों U(x) और V(x) के उत्पाद के रूप में एक समाधान की तलाश करेंगे:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

वाई" = यू"वी + यूवी" (25)

और इन व्यंजकों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करें:

यू "वी + यूवी" + पी (एक्स) यूवी = एफ (एक्स)।

आइए शर्तों को बाईं ओर समूहित करें:

यू "वी + यू \u003d एफ (एक्स)। (26)

आइए हम कारकों (24) में से एक पर एक शर्त लगाते हैं, अर्थात्, मान लीजिए कि फलन V(x) ऐसा है कि यह (26) में वर्ग कोष्ठक में व्यंजक को समरूप शून्य में बदल देता है, अर्थात। कि यह अवकल समीकरण का हल है

वी" + पी (एक्स) वी = 0. (27)

यह वियोज्य चर के साथ एक समीकरण है, हम इसमें से वी (एक्स) पाते हैं:

आइए अब हम एक फलन U(x) इस प्रकार ज्ञात करें कि पहले से प्राप्त फलन V(x) के लिए गुणनफल U V समीकरण (26) का एक हल हो। इसके लिए, U(x) समीकरण का हल होना चाहिए

यह एक वियोज्य चर समीकरण है, इसलिए

पाए गए कार्यों (28) और (30) को सूत्र (4) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम समीकरण (21) का सामान्य हल प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, मानी गई विधि (बर्नौली विधि) रैखिक समीकरण (21) के हल को वियोज्य चर वाले दो समीकरणों के समाधान तक कम कर देती है।

उदाहरण 6. समीकरण का व्यापक समाकल ज्ञात कीजिए।

यह समीकरण y और y के संबंध में रैखिक नहीं है, लेकिन यदि हम x को वांछित फलन और y को तर्क के रूप में लेते हैं तो यह रैखिक हो जाता है। वास्तव में, पास होने पर, हम प्राप्त करते हैं

परिणामी समीकरण को हल करने के लिए, हम प्रतिस्थापन विधि (बर्नौली) का उपयोग करते हैं। हम समीकरण का हल x(y)=U(y)V(y) के रूप में खोजेंगे। हमें समीकरण मिलता है:

हम फलन V(y) का चयन करते हैं ताकि। फिर

मानक रूप $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, जिसमें बाईं ओर कुछ फ़ंक्शन $F का कुल अंतर है \बाएं( x,y\right)$ को कुल अंतरों में एक समीकरण कहा जाता है।

कुल अंतर समीकरण को हमेशा $dF\left(x,y\right)=0$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जहां $F\left(x,y\right)$ एक फ़ंक्शन है जैसे कि $dF\left(x, y) \दाएं)=P\बाएं(x,y\दाएं)\cdot dx+Q\बाएं(x,y\दाएं)\cdot dy$.

हम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हैं $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; शून्य दाहिनी ओर का समाकल एक मनमाना स्थिरांक $C$ के बराबर होता है। इस प्रकार, निहित रूप में इस समीकरण के सामान्य समाधान का रूप $F\left(x,y\right)=C$ है।

किसी दिए गए अवकल समीकरण के लिए कुल अंतर में एक समीकरण होना आवश्यक और पर्याप्त है कि शर्त $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ संतुष्ट हो . यदि यह स्थिति संतुष्ट है, तो एक फ़ंक्शन मौजूद है $F\left(x,y\right)$ जिसके लिए हम लिख सकते हैं: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \आंशिक एफ)(\आंशिक वाई) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, जहां से हमें दो संबंध मिलते हैं: $\ फ्रैक (\ आंशिक एफ) (\ आंशिक एक्स) = पी \ बाएं (एक्स, वाई \ दाएं) $ और $ \ फ्रैक (\ आंशिक एफ) (\ आंशिक वाई) = क्यू \ बाएं (एक्स, वाई \ दाएं) $।

हम पहले संबंध $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ को $x$ से अधिक एकीकृत करते हैं और $F\left(x,y\right)=\int प्राप्त करते हैं P\ बाएँ (x, y \ दाएँ) \ cdot dx + U \ बाएँ (y \ दाएँ) $, जहाँ $ U \ बाएँ (y \ दाएँ) $ $ y $ का एक मनमाना कार्य है।

आइए हम इसे चुनें ताकि दूसरा संबंध $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ संतुष्ट हो। ऐसा करने के लिए, हम $y$ के संबंध में $F\left(x,y\right)$ के परिणामी संबंध को अलग करते हैं और परिणाम को $Q\left(x,y\right)$ के बराबर करते हैं। हमें मिलता है: $\frac(\partial)(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (एक्स, वाई \ दाएं) $।

अगला समाधान है:

• अंतिम समानता से हम पाते हैं $U"\left(y\right)$;
• $U"\बाएं(y\दाएं)$ को एकीकृत करें और $U\बाएं(y\दाएं)$ ढूंढें;
• $U\left(y\right)$ को $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ में बदलें और अंत में हमें फ़ंक्शन $F\left(x,y\right)$ मिलता है।

\

हम अंतर पाते हैं:

हम $U"\left(y\right)$ को $y$ से अधिक एकीकृत करते हैं और $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ पाते हैं।

परिणाम खोजें: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$।

हम सामान्य समाधान $F\left(x,y\right)=C$ के रूप में लिखते हैं, अर्थात्:

एक विशेष समाधान खोजें $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, जहां $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

एक विशेष समाधान का रूप है: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$।

परिभाषा 8.4.फॉर्म का डिफरेंशियल इक्वेशन

कहाँ पे
कुल अंतर समीकरण कहा जाता है।

ध्यान दें कि इस तरह के समीकरण का बायां पक्ष किसी फ़ंक्शन का कुल अंतर है
.

सामान्य स्थिति में, समीकरण (8.4) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

समीकरण (8.5) के स्थान पर समीकरण पर विचार किया जा सकता है

,

जिसका हल समीकरण का सामान्य समाकल (8.4) है। अतः समीकरण (8.4) को हल करने के लिए फलन ज्ञात करना आवश्यक है
. समीकरण (8.4) की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है

(8.6)

समारोह
हम एक ऐसे फलन के रूप में देखेंगे जो इनमें से किसी एक शर्त को पूरा करता है (8.6):

कहाँ पे से स्वतंत्र एक मनमाना कार्य है .

समारोह
परिभाषित किया गया है ताकि अभिव्यक्ति की दूसरी शर्त (8.6) संतुष्ट हो

(8.7)

व्यंजक (8.7) से फलन निर्धारित होता है
. के लिए व्यंजक में इसे प्रतिस्थापित करना
और मूल समीकरण का सामान्य समाकलन प्राप्त करें।

समस्या 8.3.एकीकृत समीकरण

यहां
.

इसलिए, यह समीकरण कुल अंतरों में अंतर समीकरणों के प्रकार से संबंधित है। समारोह
हम फॉर्म में खोज करेंगे

.

दूसरी ओर,

.

कुछ मामलों में, हालत
नहीं किया जा सकता है।

फिर ऐसे समीकरणों को तथाकथित समाकलन कारक से गुणा करके विचाराधीन प्रकार में घटा दिया जाता है, जो सामान्य स्थिति में केवल का एक फलन है। या .

यदि कुछ समीकरण में एक समाकलन गुणनखंड है जो केवल पर निर्भर करता है , तो यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

अनुपात कहाँ है केवल एक समारोह होना चाहिए .

इसी प्रकार, एक समाकलन कारक जो केवल पर निर्भर करता है , सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

अनुपात कहाँ है
केवल एक समारोह होना चाहिए .

उपरोक्त अनुपात में अनुपस्थिति, पहले मामले में, चर का , और दूसरे में - एक चर , किसी दिए गए समीकरण के लिए एक एकीकृत कारक के अस्तित्व का संकेत हैं।

समस्या 8.4।इस समीकरण को कुल अवकलनों के समीकरण में लाएँ।

.

रिश्ते पर विचार करें:

.

विषय 8.2। रैखिक अंतर समीकरण

परिभाषा 8.5. अंतर समीकरण
रैखिक कहा जाता है यदि यह वांछित कार्य के संबंध में रैखिक है , इसका व्युत्पन्न और इसमें वांछित फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न का उत्पाद शामिल नहीं है।

एक रैखिक अंतर समीकरण का सामान्य रूप निम्नलिखित संबंधों द्वारा दर्शाया जाता है:

(8.8)

यदि संबंध में (8.8) दाईं ओर
, तो ऐसे समीकरण को रैखिक सजातीय कहा जाता है। मामले में जहां दाहिनी ओर
, तो ऐसे समीकरण को रैखिक अमानवीय कहा जाता है।

आइए हम दिखाते हैं कि समीकरण (8.8) चतुर्भुजों में समाकलनीय है।

पहले चरण में, हम एक रैखिक सजातीय समीकरण पर विचार करते हैं।

ऐसा समीकरण वियोज्य चरों वाला एक समीकरण है। सचमुच,

;

/

अंतिम संबंध रैखिक सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान को निर्धारित करता है।

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजने के लिए, एक स्थिरांक के व्युत्पन्न की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है। विधि का विचार यह है कि एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान उसी रूप में होता है जो संबंधित सजातीय समीकरण के समाधान के रूप में होता है, हालांकि, एक मनमाना स्थिरांक कुछ फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया
निर्धारित किए जाने हेतु। तो हमारे पास:

(8.9)

संबंध में प्रतिस्थापित करना (8.8) से संबंधित व्यंजक
तथा
, हम पाते हैं

अंतिम व्यंजक को संबंध (8.9) में प्रतिस्थापित करने पर, एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाकल प्राप्त होता है।

इस प्रकार, एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान दो चतुर्भुजों द्वारा निर्धारित किया जाता है: एक रैखिक सजातीय समीकरण का एक सामान्य समाधान और एक रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान।

समस्या 8.5.एकीकृत समीकरण

इस प्रकार, मूल समीकरण रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों के प्रकार से संबंधित है।

पहले चरण में, हम रैखिक सजातीय समीकरण का सामान्य हल पाते हैं।

;

दूसरे चरण में, हम रैखिक अमानवीय समीकरण के सामान्य समाधान का निर्धारण करते हैं, जिसे रूप में मांगा जाता है

,

कहाँ पे
परिभाषित किया जाने वाला कार्य है।

तो हमारे पास:

के लिए अनुपातों को प्रतिस्थापित करना तथा मूल रैखिक अमानवीय समीकरण में हम प्राप्त करते हैं:

;

;

.

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान इस तरह दिखेगा:

.