चर x=2 के विभिन्न परिमेय मानों के लिए व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए; 0; -3; -

ध्यान दें, चाहे हम x के स्थान पर किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करें, आप हमेशा इस व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं। इसलिए, हम परिमेय संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित एक घातांकीय फलन (y बराबर तीन से x घात) पर विचार कर रहे हैं।

आइए इस फ़ंक्शन के मानों की एक तालिका बनाकर इसका एक ग्राफ़ बनाएं।

आइए इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक चिकनी रेखा खींचें (चित्र 1)

इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ का उपयोग करते हुए, इसके गुणों पर विचार करें:

3. संपूर्ण परिभाषा क्षेत्र में वृद्धि।

1. शून्य से प्लस अनंत तक की सीमा।

8. फलन उत्तल नीचे है।

यदि एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के रेखांकन बनाने के लिए; y=(y बराबर दो x शक्ति के बराबर है, y पांच x शक्ति के बराबर है, y सात x शक्ति के बराबर है), आप देख सकते हैं कि उनके पास समान गुण हैं y=(y बराबर तीन से x शक्ति) ( अंजीर। .2), अर्थात्, y = (y बराबर x की शक्ति के बराबर है, एक से अधिक के साथ) के सभी कार्यों में ऐसे गुण होंगे

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें:

1. इसके मूल्यों की एक तालिका संकलित करना।

हम निर्देशांक तल पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित करते हैं।

आइए इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक चिकनी रेखा खींचें (चित्र 3)।

इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ का उपयोग करके, हम इसके गुणों को इंगित करते हैं:

1. परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

2. न तो सम है और न ही विषम।

3. परिभाषा के पूरे क्षेत्र में घटता है।

4. न तो सबसे बड़ा और न ही सबसे छोटा मान है।

5. नीचे से सीमित, लेकिन ऊपर से सीमित नहीं।

6. परिभाषा के पूरे क्षेत्र में निरंतर।

7. मान शून्य से प्लस अनंत तक होता है।

8. फलन उत्तल नीचे है।

इसी तरह, यदि एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के रेखांकन बनाने के लिए; y=(y x शक्ति के एक सेकंड के बराबर है, y x शक्ति के पांचवें के बराबर है, y x शक्ति के सातवें के बराबर है), आप देख सकते हैं कि उनके पास y=(y के बराबर एक तिहाई गुण हैं) x की शक्ति। x) (चित्र। 4), अर्थात्, y \u003d (y एक के बराबर x की शक्ति से विभाजित एक के बराबर है, शून्य से अधिक लेकिन एक से कम के साथ) होगा। ऐसे गुण हैं

आइए हम एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के रेखांकन का निर्माण करें

इसका मतलब यह है कि कार्यों के रेखांकन y \u003d y \u003d (y, x की शक्ति के बराबर है और y, x की शक्ति से विभाजित एक के बराबर है) भी समान मान के लिए सममित होगा। .

हम संक्षेप में बताते हैं कि एक घातीय कार्य की परिभाषा देकर और इसके मुख्य गुणों को इंगित करके क्या कहा गया है:

परिभाषा:फॉर्म y \u003d का एक फ़ंक्शन, जहां (y, x की शक्ति के बराबर है, जहां एक सकारात्मक है और एक से अलग है), एक घातीय फ़ंक्शन कहलाता है।

घातांक फलन y= और घात फलन y=, a=2,3,4,… के बीच के अंतरों को याद रखना आवश्यक है। दोनों श्रवण और दृष्टि से। घातीय कार्य एक्सएक डिग्री है, और एक शक्ति समारोह के लिए एक्सआधार है।

उदाहरण 1: समीकरण को हल करें (x के घात का तीन बराबर नौ)

(y x की घात के बराबर तीन और y नौ के बराबर) अंजीर.7

ध्यान दें कि उनके पास एक सामान्य बिंदु M (2; 9) (em निर्देशांक दो; नौ के साथ) है, जिसका अर्थ है कि बिंदु का भुज इस समीकरण का मूल होगा। अर्थात्, समीकरण का एक ही मूल x = 2 है।

उदाहरण 2: समीकरण को हल करें

एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन y \u003d के दो ग्राफ़ का निर्माण करेंगे (y x की शक्ति के पांच के बराबर है और y एक पच्चीसवें के बराबर है) Fig.8। रेखांकन एक बिंदु T (-2; (ते निर्देशांक शून्य से दो; एक पच्चीसवां) पर प्रतिच्छेद करते हैं। इसलिए, समीकरण की जड़ x \u003d -2 (संख्या शून्य से दो) है।

उदाहरण 3: असमानता को हल करें

एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन y \u003d . के दो ग्राफ़ बनाते हैं

(y x की घात के बराबर तीन और y सत्ताईस के बराबर)।

Fig.9 फ़ंक्शन का ग्राफ फ़ंक्शन के ग्राफ के ऊपर स्थित होता है y=जब

x इसलिए, असमानता का समाधान अंतराल है (ऋण अनंत से तीन तक)

उदाहरण 4: असमानता को हल करें

एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन y \u003d के दो ग्राफ़ का निर्माण करेंगे (y x की शक्ति के एक चौथाई के बराबर है और y सोलह के बराबर है)। (चित्र 10)। रेखांकन एक बिंदु K (-2;16) पर प्रतिच्छेद करते हैं। इसका मतलब है कि असमानता का समाधान अंतराल (-2; (शून्य से दो से प्लस अनंत तक) है, क्योंकि फ़ंक्शन का ग्राफ y \u003d फ़ंक्शन के ग्राफ के नीचे x पर स्थित है

हमारा तर्क हमें निम्नलिखित प्रमेयों की वैधता को सत्यापित करने की अनुमति देता है:

टर्म 1: यदि सत्य है और केवल यदि m=n.

प्रमेय 2: यदि सत्य है यदि और केवल यदि है, तो असमानता सत्य है यदि और केवल यदि (चित्र। *)

प्रमेय 4: यदि सत्य है यदि और केवल यदि (चित्र **), असमानता सत्य है यदि और केवल यदि। प्रमेय 3: यदि सत्य है और केवल यदि m=n है।

उदाहरण 5: फलन y= . को आलेखित कीजिए

हम डिग्री गुण y= . को लागू करके फलन को संशोधित करते हैं

आइए एक अतिरिक्त समन्वय प्रणाली का निर्माण करें और नई समन्वय प्रणाली में हम फ़ंक्शन y= (y बराबर दो से x शक्ति) को प्लॉट करेंगे चित्र.11।

उदाहरण 6: समीकरण को हल करें

एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन y \u003d . के दो ग्राफ़ बनाते हैं

(Y, x की घात के सात के बराबर है और Y आठ माइनस x के बराबर है) चित्र.12.

ग्राफ़ एक बिंदु E (1; (e निर्देशांक एक; सात के साथ) पर प्रतिच्छेद करते हैं। इसलिए, समीकरण का मूल x = 1 (x बराबर एक) है।

उदाहरण 7: असमानता को हल करें

एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन y \u003d . के दो ग्राफ़ बनाते हैं

(Y, x की घात के एक चौथाई के बराबर है और Y, x जमा पांच के बराबर है)। फ़ंक्शन का ग्राफ़ y \u003d फ़ंक्शन y \u003d x + 5 के ग्राफ के नीचे स्थित है, असमानता का समाधान अंतराल x (माइनस वन से प्लस इनफिनिटी तक) है।

ज्ञान बुनियादी प्राथमिक कार्य, उनके गुण और रेखांकनगुणन सारणी को जानने से कम महत्वपूर्ण नहीं है। वे एक नींव की तरह हैं, सब कुछ उन पर आधारित है, सब कुछ उन्हीं से बना है, और सब कुछ उनके पास आता है।

इस लेख में, हम सभी मुख्य प्राथमिक कार्यों को सूचीबद्ध करते हैं, उनके रेखांकन देते हैं और उन्हें बिना व्युत्पत्ति और प्रमाण के देते हैं। बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणयोजना के अनुसार:

• परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर फ़ंक्शन का व्यवहार, लंबवत स्पर्शोन्मुख (यदि आवश्यक हो, तो फ़ंक्शन के विराम बिंदुओं का लेख वर्गीकरण देखें);
• सम और विषम;
• उत्तलता (उत्तलता ऊपर की ओर) और अवतलता (उत्तलता नीचे की ओर) अंतराल, विभक्ति बिंदु (यदि आवश्यक हो, लेख फ़ंक्शन उत्तलता, उत्तलता दिशा, विभक्ति बिंदु, उत्तलता और विभक्ति की स्थिति देखें);
• तिरछा और क्षैतिज स्पर्शोन्मुख;
• कार्यों के एकवचन बिंदु;
• कुछ कार्यों के विशेष गुण (उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए सबसे छोटी सकारात्मक अवधि)।

यदि आप रुचि रखते हैं या, तो आप सिद्धांत के इन वर्गों में जा सकते हैं।

बुनियादी प्राथमिक कार्यहैं: स्थिरांक फलन (स्थिर), nवें अंश का मूल, शक्ति फलन, घातांक, लघुगणकीय फलन, त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन।

पृष्ठ नेविगेशन।

स्थायी कार्य।

सूत्र द्वारा सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर एक अचर फलन दिया जाता है, जहाँ C कोई वास्तविक संख्या है। अचर फलन स्वतंत्र चर x के प्रत्येक वास्तविक मान को आश्रित चर y के समान मान - मान प्रदान करता है। अचर फलन को नियतांक भी कहते हैं।

एक स्थिर फलन का ग्राफ x-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है और निर्देशांक (0,C) के साथ एक बिंदु से गुजरती है। उदाहरण के लिए, आइए निरंतर कार्यों y=5 , y=-2 और , के ग्राफ़ दिखाते हैं, जो नीचे दिए गए चित्र में क्रमशः काली, लाल और नीली रेखाओं के अनुरूप हैं।

एक स्थिर कार्य के गुण।

• परिभाषा का क्षेत्र: वास्तविक संख्याओं का पूरा सेट।
• स्थिर कार्य सम है।
• मानों की श्रेणी: एकल संख्या C से युक्त सेट।
• एक निरंतर कार्य गैर-बढ़ती और गैर-घटती है (इसीलिए यह स्थिर है)।
• स्थिरांक की उत्तलता और अवतलता के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है।
• कोई असिम्प्टोट नहीं है।
• फलन निर्देशांक तल के बिंदु (0,C) से होकर गुजरता है।

nth डिग्री की जड़।

मूल प्राथमिक फलन पर विचार करें, जो सूत्र द्वारा दिया गया है, जहां n एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है।

nवें अंश का मूल, n एक सम संख्या है।

आइए रूट घातांक n के सम मानों के लिए nवें रूट फ़ंक्शन से प्रारंभ करें।

उदाहरण के लिए, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ की छवियों के साथ एक चित्र देते हैं और, वे काली, लाल और नीली रेखाओं के अनुरूप हैं।

एक समान डिग्री के रूट के कार्यों के ग्राफ़ में संकेतक के अन्य मूल्यों के लिए समान रूप होता है।

सम n के लिए nवीं डिग्री के मूल के गुण।

nवें अंश का मूल, n एक विषम संख्या है।

मूल n के विषम घातांक के साथ nth डिग्री का मूल कार्य वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट पर परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, हम कार्यों के ग्राफ प्रस्तुत करते हैं और , काले, लाल और नीले रंग के वक्र उनके अनुरूप हैं।

रूट एक्सपोनेंट के अन्य विषम मूल्यों के लिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक समान स्वरूप होगा।

विषम n के लिए nवें अंश के मूल के गुण।

ऊर्जा समीकरण।

पावर फ़ंक्शन फॉर्म के सूत्र द्वारा दिया जाता है।

घातांक के मान के आधार पर किसी घात फलन के ग्राफ़ के प्रकार और घात फलन के गुणों पर विचार करें।

आइए एक पूर्णांक घातांक a के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के साथ प्रारंभ करें। इस मामले में, शक्ति कार्यों के रेखांकन का रूप और कार्यों के गुण सम या विषम घातांक के साथ-साथ इसके संकेत पर भी निर्भर करते हैं। इसलिए, हम पहले घातांक के विषम सकारात्मक मूल्यों के लिए शक्ति कार्यों पर विचार करते हैं, फिर सकारात्मक लोगों के लिए, फिर विषम नकारात्मक घातांक के लिए, और अंत में, यहां तक ​​​​कि नकारात्मक के लिए भी।

भिन्नात्मक और अपरिमेय घातांक (साथ ही ऐसे घात फलनों के ग्राफ़ के प्रकार) के साथ घात फलन के गुण घातांक a के मान पर निर्भर करते हैं। हम उन पर विचार करेंगे, पहला, जब a शून्य से एक तक हो, दूसरा, जब a एक से बड़ा हो, तीसरा, जब a शून्य से एक से शून्य हो, और चौथा, जब a माइनस एक से कम हो।

इस उपधारा के अंत में, पूर्णता के लिए, हम शून्य घातांक वाले घात फलन का वर्णन करते हैं।

विषम धनात्मक घातांक के साथ शक्ति फलन।

एक विषम धनात्मक घातांक वाले घात फलन पर विचार करें, अर्थात् a=1,3,5,… के साथ।

नीचे दिया गया आंकड़ा बिजली कार्यों के ग्राफ दिखाता है - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा, - हरी रेखा। ए = 1 के लिए हमारे पास है रैखिक प्रकार्यवाई = एक्स।

विषम धनात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।

सकारात्मक घातांक के साथ भी पावर फ़ंक्शन।

एक सम धनात्मक घातांक वाले घात फलन पर विचार करें, जो कि a=2,4,6,… के लिए है।

एक उदाहरण के रूप में, आइए शक्ति कार्यों के रेखांकन लें - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा। a=2 के लिए हमारे पास एक द्विघात फलन है जिसका ग्राफ है द्विघात परवलय.

एक सकारात्मक घातांक के साथ एक शक्ति समारोह के गुण।

विषम ऋणात्मक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन।

घातांक के विषम ऋणात्मक मानों के लिए घातांकीय फलन के रेखांकन को देखें, जो कि एक \u003d -1, -3, -5, ... के लिए है।

आंकड़ा उदाहरण के रूप में घातीय कार्यों के ग्राफ दिखाता है - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा, - हरी रेखा। a=-1 के लिए हमारे पास है व्युत्क्रम आनुपातिकता, जिसका ग्राफ है अतिशयोक्ति.

विषम ऋणात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।

एक समान नकारात्मक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन।

आइए a=-2,-4,-6,… पर घात फलन की ओर बढ़ते हैं।

यह आंकड़ा शक्ति कार्यों के रेखांकन दिखाता है - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा।

एक समान नकारात्मक घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के गुण।

एक परिमेय या अपरिमेय घातांक वाला एक घात फलन जिसका मान शून्य से अधिक और एक से कम हो।

टिप्पणी!यदि a विषम हर वाली एक धनात्मक भिन्न है, तो कुछ लेखक अंतराल को घात फलन का प्रांत मानते हैं। उसी समय, यह निर्धारित किया जाता है कि घातांक a एक अपरिमेय अंश है। अब बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत पर कई पाठ्यपुस्तकों के लेखक तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए एक विषम भाजक के साथ एक अंश के रूप में एक घातांक के साथ शक्ति कार्यों को परिभाषित नहीं करते हैं। हम केवल ऐसे ही दृष्टिकोण का पालन करेंगे, अर्थात्, हम भिन्नात्मक धनात्मक घातांक वाले घात फलनों के डोमेन को समुच्चय मानेंगे। असहमति से बचने के लिए हम छात्रों को इस सूक्ष्म बिंदु पर अपने शिक्षक के दृष्टिकोण को प्राप्त करने के लिए प्रोत्साहित करते हैं।

परिमेय या अपरिमेय घातांक a , और के साथ एक घात फ़ंक्शन पर विचार करें।

हम a=11/12 (काली रेखा), a=5/7 (लाल रेखा), (नीली रेखा), a=2/5 (हरी रेखा) के लिए पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ प्रस्तुत करते हैं।

एक से अधिक गैर-पूर्णांक तर्कसंगत या अपरिमेय घातांक के साथ एक शक्ति कार्य।

एक गैर-पूर्णांक तर्कसंगत या अपरिमेय घातांक a , और के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन पर विचार करें।

आइए हम सूत्रों द्वारा दिए गए शक्ति कार्यों के ग्राफ प्रस्तुत करते हैं (क्रमशः काली, लाल, नीली और हरी रेखाएँ)।

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घातांक a के अन्य मानों के लिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक समान रूप होगा।

के लिए पावर फ़ंक्शन गुण।

एक वास्तविक घातांक के साथ एक शक्ति कार्य जो शून्य से एक से अधिक और शून्य से कम है।

टिप्पणी!यदि एक विषम हर के साथ एक ऋणात्मक भिन्न है, तो कुछ लेखक अंतराल पर विचार करते हैं . उसी समय, यह निर्धारित किया जाता है कि घातांक a एक अपरिमेय अंश है। अब बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत पर कई पाठ्यपुस्तकों के लेखक तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए एक विषम भाजक के साथ एक अंश के रूप में एक घातांक के साथ शक्ति कार्यों को परिभाषित नहीं करते हैं। हम केवल ऐसे ही दृष्टिकोण का पालन करेंगे, अर्थात्, हम भिन्नात्मक भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक वाले घात फलनों के डोमेन को क्रमशः समुच्चय मानेंगे। असहमति से बचने के लिए हम छात्रों को इस सूक्ष्म बिंदु पर अपने शिक्षक के दृष्टिकोण को प्राप्त करने के लिए प्रोत्साहित करते हैं।

हम पावर फंक्शन में जाते हैं, जहां।

के लिए शक्ति कार्यों के ग्राफ़ के प्रकार का एक अच्छा विचार रखने के लिए, हम कार्यों के ग्राफ़ के उदाहरण देते हैं (क्रमशः काला, लाल, नीला और हरा वक्र)।

घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के गुण a , .

एक गैर-पूर्णांक वास्तविक एक्सपोनेंट वाला एक पावर फ़ंक्शन जो शून्य से कम है।

आइए हम के लिए घात फलन के रेखांकन के उदाहरण दें , उन्हें क्रमशः काली, लाल, नीली और हरी रेखाओं में दर्शाया गया है।

माइनस वन से कम गैर-पूर्णांक ऋणात्मक घातांक वाले पावर फ़ंक्शन के गुण।

जब ए = 0 और हमारे पास एक फ़ंक्शन है - यह एक सीधी रेखा है जिसमें से बिंदु (0; 1) को बाहर रखा गया है (व्यंजक 0 0 को कोई महत्व नहीं देने पर सहमति हुई थी)।

घातांक प्रकार्य।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों में से एक घातीय कार्य है।

घातांक फलन का ग्राफ़, जहाँ और आधार के मान के आधार पर भिन्न रूप लेता है a. आइए इसका पता लगाते हैं।

सबसे पहले, उस मामले पर विचार करें जब घातीय फ़ंक्शन का आधार शून्य से एक मान लेता है, अर्थात।

उदाहरण के लिए, हम a = 1/2 - नीली रेखा, a = 5/6 - लाल रेखा के लिए घातांक फ़ंक्शन के ग्राफ़ प्रस्तुत करते हैं। घातांक फ़ंक्शन के ग्राफ़ अंतराल से आधार के अन्य मानों के लिए समान रूप से दिखाई देते हैं।

एक से कम आधार वाले घातांकीय फलन के गुण।

हम मामले की ओर मुड़ते हैं जब घातीय फ़ंक्शन का आधार एक से अधिक होता है, अर्थात।

एक उदाहरण के रूप में, हम घातीय कार्यों के रेखांकन प्रस्तुत करते हैं - नीली रेखा और - लाल रेखा। आधार के अन्य मूल्यों के लिए, एक से अधिक, घातांक फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक समान स्वरूप होगा।

एक से अधिक आधार वाले घातांकीय फलन के गुण।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन।

अगला बुनियादी प्राथमिक कार्य लॉगरिदमिक फ़ंक्शन है, जहां,। लॉगरिदमिक फ़ंक्शन केवल तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है, अर्थात के लिए।

आधार a के मान के आधार पर लघुगणक फलन का ग्राफ भिन्न रूप लेता है।

ध्यान की एकाग्रता:

परिभाषा। समारोह प्रजाति कहलाती है घातांक प्रकार्य .

टिप्पणी। आधार बहिष्करण एकसंख्या 0; 1 और नकारात्मक मान एकनिम्नलिखित परिस्थितियों द्वारा समझाया गया:

विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति ही एक एक्सइन मामलों में, यह अपने अर्थ को बरकरार रखता है और समस्याओं को हल करने में इसका सामना किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के लिए एक्स वाईदूरसंचार विभाग एक्स = 1; आप = 1 स्वीकार्य मूल्यों की सीमा में प्रवेश करता है।

कार्यों के रेखांकन का निर्माण करें: और।

घातांकीय फलन का ग्राफ
वाई =एक एक्स, ए > 1	वाई =एक एक्स , 0< a < 1

घातीय फ़ंक्शन के गुण

घातीय फ़ंक्शन के गुण	वाई =एक एक्स, ए > 1	वाई =एक एक्स , 0< a < 1
फंक्शन स्कोप
2. फ़ंक्शन मानों की श्रेणी
3. इकाई के साथ तुलना के अंतराल	पर एक्स> 0, ए एक्स > 1	पर एक्स > 0, 0< a एक्स < 1
	पर एक्स < 0, 0< a एक्स < 1	पर एक्स < 0, a एक्स > 1
4. सम, विषम।	फलन न तो सम है और न ही विषम (सामान्य फलन)।
5. एकरसता।	द्वारा नीरस रूप से बढ़ता है आर	नीरस रूप से घटता है आर
6. चरम।	घातांकीय फलन का कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है।
7. स्पर्शोन्मुख	अक्ष ओ एक्सएक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।
8. किसी वास्तविक मान के लिए एक्सतथा आप;

जब तालिका भर जाती है, तो कार्यों को भरने के समानांतर हल किया जाता है।

कार्य संख्या 1. (फ़ंक्शन का डोमेन खोजने के लिए)।

कार्यों के लिए कौन से तर्क मान मान्य हैं:

कार्य संख्या 2. (फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करने के लिए)।

चित्र एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। फ़ंक्शन का दायरा और दायरा निर्दिष्ट करें:

कार्य संख्या 3. (इकाई के साथ तुलना के अंतराल को इंगित करने के लिए)।

निम्नलिखित शक्तियों में से प्रत्येक की तुलना एक से करें:

कार्य संख्या 4. (एकरसता के लिए कार्य का अध्ययन करने के लिए)।

परिमाण द्वारा वास्तविक संख्याओं की तुलना करें एमतथा एनयदि:

कार्य संख्या 5. (एकरसता के लिए कार्य का अध्ययन करने के लिए)।

आधार के बारे में निष्कर्ष निकालें एक, यदि:

वाई (एक्स) = 10 एक्स; एफ (एक्स) = 6 एक्स; जेड (एक्स) - 4x

x > 0, x = 0, x . के लिए एक दूसरे के सापेक्ष घातांकीय फलनों के ग्राफ़ कैसे हैं< 0?

एक समन्वय विमान में, कार्यों के ग्राफ प्लॉट किए जाते हैं:

वाई (एक्स) = (0,1) एक्स; एफ (एक्स) = (0.5) एक्स; जेड (एक्स) = (0.8) एक्स।

x > 0, x = 0, x . के लिए एक दूसरे के सापेक्ष घातांकीय फलनों के ग्राफ़ कैसे हैं< 0?

संख्या गणित में सबसे महत्वपूर्ण स्थिरांक में से एक। परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम की सीमा के बराबर असीमित के साथ बढ़ती हुई संख्या . पद इशुरू की लियोनार्ड यूलर 1736 में। उन्होंने दशमलव अंकन में इस संख्या के पहले 23 अंकों की गणना की, और संख्या का नाम नेपियर "नॉन-पीयर नंबर" के नाम पर रखा गया। संख्या इगणितीय विश्लेषण में एक विशेष भूमिका निभाता है। घातांक प्रकार्य आधार के साथ इ, घातांक कहा जाता है और निरूपित वाई = ई एक्स. पहला संकेत नंबर इयाद करने के लिए आसान: दो, एक अल्पविराम, सात, लियो टॉल्स्टॉय के जन्म का वर्ष - दो बार, पैंतालीस, नब्बे, पैंतालीस।

गृहकार्य:

कोलमोगोरोव पी. 35; नंबर 445-447; 451; 453.

मॉड्यूल चिह्न के तहत एक चर वाले फ़ंक्शन के ग्राफ़ के निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म को दोहराएं।

1. एक घातांक फ़ंक्शन y(x) \u003d a x के रूप का एक फ़ंक्शन है, जो घातांक x पर निर्भर करता है, डिग्री a के आधार के निरंतर मान के साथ, जहां a > 0, a 0, xϵR (R है वास्तविक संख्याओं का सेट)।

विचार करना फ़ंक्शन का ग्राफ यदि आधार शर्त को पूरा नहीं करता है: a>0
ए) ए< 0
यदि एक< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
ए = -2

यदि a = 0 - फलन y = परिभाषित किया गया है और इसका एक स्थिर मान 0 . है

सी) ए \u003d 1
यदि a = 1 - फलन y = परिभाषित किया गया है और इसका स्थिर मान 1 . है

2. घातांकीय फलन पर अधिक विस्तार से विचार करें:

0

फंक्शन डोमेन (OOF)

स्वीकार्य फ़ंक्शन मानों का क्षेत्र (ODZ)

3. फलन के शून्यक (y = 0)

4. y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु (x = 0)

5. बढ़ते, घटते कार्य

यदि , तो फलन f(x) बढ़ जाता है
यदि , तो फलन f(x) घटता है
फलन y= , 0 . पर फ़ंक्शन y \u003d, a> 1 के लिए, नीरस रूप से बढ़ता है
यह एक वास्तविक प्रतिपादक के साथ एक डिग्री के एकरसता गुणों से होता है।

6. सम, विषम फलन

फलन y = 0y अक्ष और मूल बिंदु के बारे में सममित नहीं है, इसलिए यह न तो सम है और न ही विषम है। (सामान्य कार्य)

7. फ़ंक्शन y \u003d का कोई चरम नहीं है

8. वास्तविक घातांक के साथ डिग्री के गुण:

चलो एक > 0; ए≠1
बी > 0; बी≠1

फिर xϵR के लिए; वर्ष:

डिग्री एकरसता गुण:

तो अगर
उदाहरण के लिए:

अगर ए> 0, तो।
घातांकीय फलन किसी भी बिंदु R पर सतत होता है।

9. फ़ंक्शन का सापेक्ष स्थान

आधार जितना बड़ा होगा, x और y अक्षों के करीब होगा

ए> 1, ए = 20

यदि a0, तो घातांकीय फलन y = 0 के निकट एक रूप धारण कर लेता है।
यदि a1, तो x और y कुल्हाड़ियों से आगे, और ग्राफ़ फ़ंक्शन y \u003d 1 के करीब रूप लेता है।

उदाहरण 1
प्लॉट y=