समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके

समीकरण का हल क्या है?

पहचान परिवर्तन। मुख्य

समान परिवर्तन के प्रकार।

विदेशी जड़। जड़ हानि।

समीकरण समाधान एक प्रक्रिया है जिसमें मुख्य रूप से दिए गए समीकरण को दूसरे समीकरण के साथ बदलने में शामिल है जो इसके बराबर है . इस तरह के प्रतिस्थापन को कहा जाता हैपहचान परिवर्तन . मुख्य पहचान परिवर्तन इस प्रकार हैं:

1.

एक व्यंजक को दूसरे व्यंजक से बदलना, समान रूप से इसके बराबर। उदाहरण के लिए, समीकरण (3 एक्स+ 2 ) 2 = 15 एक्स+ 10 को निम्नलिखित समकक्ष से बदला जा सकता है:9 एक्स 2 + 12 एक्स + 4 = 15 एक्स + 10 .

2.

विपरीत संकेतों के साथ समीकरण के पदों को एक तरफ से दूसरी तरफ स्थानांतरित करना। इसलिए, पिछले समीकरण में, हम इसके सभी सदस्यों को "-" चिह्न के साथ दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित कर सकते हैं: 9 एक्स 2 + 12 एक्स + 4 – 15 एक्स- 10 = 0, जिसके बाद हम प्राप्त करते हैं:9 एक्स 2 – 3 एक्स- 6 = 0 .

3.

किसी समीकरण के दोनों पक्षों का शून्य के अलावा एक ही व्यंजक (संख्या) से गुणा या भाग। यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकिनया समीकरण पिछले समीकरण के तुल्य नहीं हो सकता है यदि जिस व्यंजक से हम गुणा या भाग कर रहे हैं वह शून्य के बराबर हो सकता है।

उदाहरण समीकरणएक्स- 1 = 0 का एक ही मूल हैएक्स = 1.

दोनों पक्षों को से गुणा करनाएक्स- 3 , हमें समीकरण मिलता है

( एक्स- 1)( एक्स- 3) = 0, जिसके दो मूल हैं:एक्स = 1 औरएक्स = 3.

अंतिम मान दिए गए समीकरण का मूल नहीं है

एक्स- 1 = 0. यह तथाकथित हैबाहरी जड़ .

इसके विपरीत, विभाजन का कारण बन सकता हैजड़ हानि . इसलिए

हमारे मामले में, अगरएक्स- 1 )( एक्स- 3 ) = 0 मूल है

समीकरण, फिर मूलएक्स = 3 विभाजन में खो जाएगा

समीकरण के दोनों पक्षएक्स- 3 .

अंतिम समीकरण (आइटम 2) में, हम इसके सभी पदों को 3 (शून्य नहीं!) से विभाजित कर सकते हैं और अंत में प्राप्त कर सकते हैं:

3 एक्स 2 - एक्स - 2 = 0 .

यह समीकरण मूल के बराबर है:

(3 एक्स+ 2) 2 = 15 एक्स + 10 .

4.

कर सकनासमीकरण के दोनों पक्षों को एक विषम घात तक बढ़ाएँ यासमीकरण के दोनों पक्षों से एक विषम मूल निकालें . यह याद रखना चाहिए कि:

ए) निर्माणसम डिग्री कारण हो सकता हैबाहरी जड़ों के अधिग्रहण के लिए ;

बी)गलत निष्कर्षणयहां तक ​​कि जड़ यह हो सकता हैजड़ों का नुकसान .

उदाहरण। समीकरण 7एक्स = 35 एक ही जड़ हैएक्स = 5 .

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

समीकरण:

49 एक्स 2 = 1225 .

दो जड़ें होना:एक्स = 5 औरएक्स = – 5. अंतिम मूल्य

एक विदेशी जड़ है।

गलत दोनों का वर्गमूल लेना

समीकरण 49 . के भागएक्स 2 = 1225 परिणाम 7 . मेंएक्स = 35,

और हम जड़ खो देते हैंएक्स = – 5.

सही वर्गमूल लेने से होता है

समीकरण: | 7एक्स | = 35, ए इसलिए दो मामले:

1) 7 एक्स = 35, तबएक्स = 5 ; 2) – 7 एक्स = 35, तबएक्स = – 5 .

इसलिए, जबसही एक वर्ग निकालना

जड़ हम समीकरण की जड़ों को नहीं खोते हैं।

क्या मतलबसही जड़ निकालें? यहाँ हम मिलते हैं

एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा के साथअंकगणितीय जड़

(से। मी। ).

तथाकथित बाहरी जड़ों की उपस्थिति को जन्म दे सकता है। इस लेख में, हम सबसे पहले विस्तार से विश्लेषण करेंगे कि क्या है बाहरी जड़ें. दूसरे, आइए उनकी घटना के कारणों के बारे में बात करते हैं। और तीसरा, उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम बाहरी जड़ों को बाहर निकालने के मुख्य तरीकों पर विचार करेंगे, अर्थात्, उत्तर से उन्हें बाहर करने के लिए उनमें से बाहरी जड़ों की उपस्थिति के लिए जड़ों की जाँच करना।

समीकरण, परिभाषा, उदाहरण की बाहरी जड़ें

बीजगणित स्कूल की पाठ्यपुस्तकें एक बाहरी जड़ को परिभाषित नहीं करती हैं। वहाँ, एक बाहरी जड़ का विचार निम्नलिखित स्थिति का वर्णन करके बनता है: समीकरण के कुछ परिवर्तनों की मदद से, मूल समीकरण से समीकरण-परिणाम में संक्रमण किया जाता है, परिणामी समीकरण की जड़ें- परिणाम पाए जाते हैं, और मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा पाए गए जड़ों की जांच की जाती है, जिससे पता चलता है कि कुछ जड़ें मूल समीकरण की जड़ें नहीं हैं, इन जड़ों को मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें कहा जाता है।

इस आधार के आधार पर, आप अपने लिए एक बाहरी जड़ की निम्नलिखित परिभाषा ले सकते हैं:

परिभाषा

बाहरी जड़ेंपरिवर्तनों के परिणामस्वरूप प्राप्त समीकरण-परिणाम की जड़ें हैं, जो मूल समीकरण की जड़ें नहीं हैं।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। इस समीकरण के समीकरण और परिणाम पर विचार करें x·(x−1)=0 , जो व्यंजक को व्यंजक x·(x−1) से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया गया है, जो इसके समान रूप से बराबर है। मूल समीकरण का एक ही मूल 1 है। परिवर्तन के परिणामस्वरूप प्राप्त समीकरण के दो मूल 0 और 1 हैं। अतः 0 मूल समीकरण का एक बाह्य मूल है।

बाहरी जड़ों की संभावित उपस्थिति के कारण

यदि परिणाम समीकरण प्राप्त करने के लिए कोई "विदेशी" परिवर्तन का उपयोग नहीं किया जाता है, लेकिन केवल समीकरणों के मूल परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है, तो बाहरी जड़ें केवल दो कारणों से उत्पन्न हो सकती हैं:

• ODZ के विस्तार के कारण और
• क्योंकि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही सम घात तक बढ़ा दिया जाता है।

यहाँ यह याद रखने योग्य है कि समीकरण के परिवर्तन के परिणामस्वरूप ODZ का विस्तार मुख्य रूप से होता है

• अंशों को कम करते समय;
• किसी उत्पाद को एक या अधिक शून्य कारकों के साथ शून्य से प्रतिस्थापित करते समय;
• शून्य अंश के साथ शून्य को भिन्न से प्रतिस्थापित करते समय;
• शक्तियों, जड़ों, लघुगणक के कुछ गुणों का उपयोग करते समय;
• कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करते समय;
• समीकरण के दोनों भागों को एक ही व्यंजक से गुणा करने पर, जो इस समीकरण के लिए ODZ पर गायब हो जाता है;
• जब लघुगणक के संकेतों को हल करने की प्रक्रिया में जारी किया जाता है।

लेख के पिछले पैराग्राफ का उदाहरण ओडीजेड के विस्तार के कारण एक बाहरी जड़ की उपस्थिति को दर्शाता है, जो समीकरण से कोरोलरी समीकरण x·(x−1)=0 में जाने पर होता है। मूल समीकरण के लिए ODZ सभी वास्तविक संख्याओं का समूह है, शून्य को छोड़कर, परिणामी समीकरण के लिए ODZ सेट R है, अर्थात ODZ को संख्या शून्य से बढ़ाया जाता है। यह संख्या अंततः एक बाहरी मूल बन जाती है।

हम समीकरण के दोनों भागों को समान घात तक ऊपर उठाने के कारण एक बाह्य मूल के प्रकट होने का एक उदाहरण भी देंगे। अपरिमेय समीकरण का एक ही मूल 4 होता है, और इस समीकरण का परिणाम, समीकरण के दोनों भागों का वर्ग करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात समीकरण , की दो जड़ें 1 और 4 हैं। इससे यह देखा जा सकता है कि समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने से मूल समीकरण के लिए एक बाहरी मूल का आभास हुआ।

ध्यान दें कि ODZ का विस्तार करने और समीकरण के दोनों भागों को समान घात तक बढ़ाने से हमेशा बाहरी जड़ों का आभास नहीं होता है। उदाहरण के लिए, जब समीकरण से कोरोलरी समीकरण x=2 पर जाते हैं, तो ODZ सभी गैर-ऋणात्मक संख्याओं के समुच्चय से सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक फैल जाता है, लेकिन बाहरी मूल नहीं दिखाई देते हैं। 2 पहले और दूसरे दोनों समीकरणों का एकमात्र मूल है। साथ ही, समीकरण से समीकरण-परिणाम तक संक्रमण के दौरान बाहरी जड़ों का कोई आभास नहीं होता है। पहले और दूसरे दोनों समीकरणों का एकमात्र मूल x=16 है। यही कारण है कि हम बाहरी जड़ों की उपस्थिति के कारणों के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, लेकिन बाहरी जड़ों की संभावित उपस्थिति के कारणों के बारे में बात कर रहे हैं।

बाहरी जड़ों की निराई क्या है?

शब्द "बाहरी जड़ों को खत्म करना" को केवल एक अच्छी तरह से स्थापित शब्द कहा जा सकता है, यह सभी बीजगणित पाठ्यपुस्तकों में नहीं पाया जाता है, लेकिन यह सहज है, इसलिए आमतौर पर इसका उपयोग किया जाता है। बाहरी जड़ों को बाहर निकालने का मतलब निम्नलिखित वाक्यांश से स्पष्ट हो जाता है: "... सत्यापन समीकरण को हल करने में एक अनिवार्य कदम है, जो बाहरी जड़ों का पता लगाने में मदद करेगा, यदि कोई हो, और उन्हें त्याग दें (आमतौर पर वे कहते हैं" खरपतवार निकालना) ”)”।

इस प्रकार,

परिभाषा

बाहरी जड़ों को बाहर निकालनाबाहरी जड़ों की पहचान और अस्वीकृति है।

अब आप बाहरी जड़ों को हटाने के तरीकों पर आगे बढ़ सकते हैं।

बाहरी जड़ों को बाहर निकालने के तरीके

प्रतिस्थापन जांच

बाहरी जड़ों को हटाने का मुख्य तरीका एक प्रतिस्थापन जांच है। यह आपको बाहरी जड़ों को बाहर निकालने की अनुमति देता है जो ओडीजेड के विस्तार के कारण और समीकरण के दोनों हिस्सों को समान शक्ति तक बढ़ाने के कारण उत्पन्न हो सकते हैं।

प्रतिस्थापन जांच इस प्रकार है: परिणाम समीकरण की मिली जड़ों को मूल समीकरण में या इसके समकक्ष किसी भी समीकरण में बदल दिया जाता है, जो सही संख्यात्मक समानता देते हैं वे मूल समीकरण की जड़ें हैं, और जो एक देते हैं गलत संख्यात्मक समानता या अभिव्यक्ति, अर्थहीन मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें हैं।

आइए एक उदाहरण का उपयोग यह दिखाने के लिए करें कि मूल समीकरण में प्रतिस्थापन के माध्यम से बाहरी जड़ों की जांच कैसे की जाती है।

कुछ मामलों में, अन्य तरीकों से बाहर निकालने के लिए बाहरी जड़ों को बाहर निकालना अधिक उपयुक्त होता है। यह मुख्य रूप से उन मामलों पर लागू होता है जहां प्रतिस्थापन जांच महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों से जुड़ी होती है या जब एक निश्चित प्रकार के समीकरणों को हल करने के मानक तरीके में एक अलग जांच शामिल होती है (उदाहरण के लिए, आंशिक-तर्कसंगत समीकरणों को हल करते समय बाहरी जड़ों को बाहर निकालना इस शर्त पर कि भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं है)। आइए बाहरी जड़ों को बाहर निकालने के वैकल्पिक तरीकों का विश्लेषण करें।

ODZ . के अनुसार

प्रतिस्थापन जांच के विपरीत, ओडीजेड द्वारा बाहरी जड़ों की जांच करना हमेशा उचित नहीं होता है। तथ्य यह है कि यह विधि आपको केवल ओडीजेड के विस्तार के कारण उत्पन्न होने वाली बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करने की अनुमति देती है, और यह बाहरी जड़ों के उन्मूलन की गारंटी नहीं देती है जो अन्य कारणों से उत्पन्न हो सकती हैं, उदाहरण के लिए, दोनों भागों को ऊपर उठाने के कारण समान शक्ति का समीकरण। इसके अलावा, समीकरण को हल करने के लिए ODZ को खोजना हमेशा आसान नहीं होता है। फिर भी, ओडीजेड द्वारा बाहरी जड़ों को बाहर निकालने की विधि को सेवा में रखा जाना चाहिए, क्योंकि इसके उपयोग के लिए अक्सर अन्य तरीकों के उपयोग की तुलना में कम कम्प्यूटेशनल काम की आवश्यकता होती है।

ODZ के अनुसार बाहरी जड़ों का स्थानांतरण निम्नानुसार किया जाता है: परिणाम समीकरण के सभी पाए गए जड़ों को मूल समीकरण या इसके समकक्ष किसी भी समीकरण के लिए चर के अनुमेय मूल्यों के क्षेत्र से संबंधित होने के लिए जाँच की जाती है, जो कि ओडीजेड से संबंधित मूल समीकरण की जड़ें हैं, और उनमें से जो ओडीजेड से संबंधित नहीं हैं वे मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें हैं।

प्रदान की गई जानकारी के विश्लेषण से यह निष्कर्ष निकलता है कि ओडीजेड के अनुसार बाहरी जड़ों को बाहर निकालने की सलाह दी जाती है यदि एक ही समय में:

• मूल समीकरण के लिए ODZ खोजना आसान है,
• ओडीजेड के विस्तार के कारण ही बाहरी जड़ें पैदा हो सकती हैं,
• प्रतिस्थापन सत्यापन महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों से जुड़ा है।

हम दिखाएंगे कि व्यवहार में बाहरी जड़ों की निराई कैसे की जाती है।

ODZ . की शर्तों के तहत

जैसा कि हमने पिछले पैराग्राफ में कहा था, यदि बाहरी जड़ें केवल ODZ के विस्तार के कारण उत्पन्न हो सकती हैं, तो उन्हें मूल समीकरण के लिए ODZ के अनुसार फ़िल्टर किया जा सकता है। लेकिन ODZ को संख्यात्मक सेट के रूप में खोजना हमेशा आसान नहीं होता है। ऐसे मामलों में, बाहरी जड़ों को ODZ के अनुसार नहीं, बल्कि ODZ को निर्धारित करने वाली शर्तों के अनुसार जांचना संभव है। आइए हम बताते हैं कि ओडीजेड की शर्तों के अनुसार बाहरी जड़ों की जांच कैसे की जाती है।

पाए गए जड़ों को बदले में उन स्थितियों में प्रतिस्थापित किया जाता है जो मूल समीकरण या इसके समकक्ष किसी भी समीकरण के लिए ODZ निर्धारित करते हैं। उनमें से जो सभी शर्तों को पूरा करते हैं वे समीकरण के मूल हैं। और उनमें से जो कम से कम एक शर्त को पूरा नहीं करते हैं या एक अभिव्यक्ति देते हैं जो समझ में नहीं आता है मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें हैं।

आइए हम ODZ की शर्तों के अनुसार बाहरी जड़ों को बाहर निकालने का एक उदाहरण दें।

समीकरण के दोनों पक्षों को सम घात तक बढ़ाने से उत्पन्न होने वाली बाहरी जड़ों की जांच करना

यह स्पष्ट है कि समीकरण के दोनों भागों को एक ही सम घात तक बढ़ाने से उत्पन्न होने वाली बाहरी जड़ों को मूल समीकरण में या इसके समकक्ष किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करके किया जा सकता है। लेकिन इस तरह के सत्यापन को महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों से जोड़ा जा सकता है। इस मामले में, बाहरी जड़ों को हटाने का एक वैकल्पिक तरीका जानने लायक है, जिसके बारे में हम अभी बात करेंगे।

बाहरी जड़ों को बाहर निकालना जो तब उत्पन्न हो सकता है जब रूप के अपरिमेय समीकरणों के दोनों भागों को समान घात तक बढ़ा दिया जाता है , जहाँ n कुछ सम संख्या है, g(x)≥0 की स्थिति के अनुसार निकाला जा सकता है। यह एक सम मूल की परिभाषा से निम्नानुसार है: एक सम मूल n एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका nth घात मूल संख्या के बराबर है, जहाँ से . इस प्रकार, स्वरित दृष्टिकोण समीकरण के दोनों भागों को एक ही डिग्री तक बढ़ाने की विधि और मूल को निर्धारित करके अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधि का एक प्रकार का सहजीवन है। यानी समीकरण , जहां n एक सम संख्या है, समीकरण के दोनों भागों को समान घात तक बढ़ाकर हल किया जाता है, और अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए विधि से ली गई स्थिति g(x)≥0 के अनुसार बाहरी जड़ों को बाहर निकालना किया जाता है। जड़।

समीकरणों को हल करते समय जड़ों और बाहरी जड़ों का नुकसान

Vsevolozhsk शहर के समझौता ज्ञापन "व्यक्तिगत विषयों के गहन अध्ययन के साथ माध्यमिक विद्यालय नंबर 2"। शोध कार्य कक्षा 11 बी: वासिलीव वासिली के छात्र द्वारा तैयार किया गया था। प्रोजेक्ट लीडर: एगोरोवा ल्यूडमिला अलेक्सेवना।

समीकरण आरंभ करने के लिए, इस समीकरण को हल करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करें sinx+cosx =- 1

हल #1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 उत्तर: +2

समाधान संख्या 2 sinx + cosx \u003d - 1 i उत्तर: +2 y x 0 1 2sin cos + - + + \u003d 0 sin cos + \u003d 0 cos (cos + sin) \u003d 0 cos \u003d 0 cos + sin \u003d 1 \u003d + एम टीजी = -1 = + एम =- + एक्स=- +2 एक्स= +2

हल #3 i y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= उत्तर:

sinx+cosx =-1 समाधान #4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n उत्तर: - + 2 n

हम समाधान की तुलना करते हैं सही समाधान आइए जानें कि किन मामलों में बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं और क्यों #2 उत्तर: +2 #3 उत्तर: #4 उत्तर: + 2 n #1 उत्तर: +2

समाधान का सत्यापन क्या मुझे सत्यापन करने की आवश्यकता है? विश्वसनीयता के लिए, केवल मामले में जड़ों की जाँच करें? यह निश्चित रूप से तब उपयोगी होता है जब स्थानापन्न करना आसान होता है, लेकिन गणितज्ञ तर्कसंगत लोग होते हैं और अनावश्यक कार्य नहीं करते हैं। विभिन्न मामलों पर विचार करें और याद रखें कि वास्तव में सत्यापन की आवश्यकता कब है।

1. सबसे सरल तैयार सूत्र c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a हालांकि, ऐसे फ़ार्मुलों का उपयोग करते समय, उन शर्तों के बारे में पता होना चाहिए जिनके तहत उन्हें लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र = का उपयोग 0, -4ac 0 शर्त के तहत किया जा सकता है और सबसे बड़ी गलती समीकरण cosx = 2 के लिए उत्तर x= arccos2+2 है, क्योंकि सूत्र x= arccos a +2 का ही उपयोग किया जा सकता है समीकरण के मूल के लिए cosx = a, जहाँ | ए | एक

2. रूपांतरण अक्सर, समीकरणों को हल करते समय, आपको कई परिवर्तन करने पड़ते हैं। यदि समीकरण को एक नए द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसमें पिछले एक की सभी जड़ें होती हैं, और रूपांतरित होती हैं ताकि जड़ों का कोई नुकसान या अधिग्रहण न हो, तो ऐसे समीकरणों को समतुल्य कहा जाता है। 1. समीकरण के घटकों को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते समय। 2. दोनों भागों में समान संख्या जोड़कर। 3. समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा करते समय। 4. उन सर्वसमिकाओं को लागू करते समय जो सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर सत्य हैं। इस मामले में, सत्यापन की आवश्यकता नहीं है!

हालांकि, हर समीकरण को समान परिवर्तनों द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। अधिक बार असमान परिवर्तनों को लागू करना आवश्यक है। अक्सर ऐसे परिवर्तन सूत्रों के उपयोग पर आधारित होते हैं जो सभी वास्तविक मूल्यों के लिए सही नहीं होते हैं। इस मामले में, विशेष रूप से, समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र बदल जाता है। यह त्रुटि समाधान #4 में है। हम त्रुटि का विश्लेषण करेंगे, लेकिन पहले हम समाधान संख्या 4 को फिर से देखेंगे। sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n त्रुटि सूत्र में निहित है sin2x= आप इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन आपको अतिरिक्त जांच करनी चाहिए क्या वे + के रूप की मूल संख्याएँ हैं जिनके लिए tg परिभाषित नहीं है। अब यह स्पष्ट है कि विलयन में जड़ों का नुकसान होता है। आइए इसे अंत तक लाएं।

हल #4 i y x 0 1 संख्या = + n को प्रतिस्थापन द्वारा जाँचें: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 तो x= +2 n समीकरण का मूल है उत्तर: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

हमने जड़ों को खोने के तरीकों में से एक पर विचार किया, गणित में उनमें से बहुत सारे हैं, इसलिए आपको सभी नियमों को याद करते हुए सावधानी से निर्णय लेने की आवश्यकता है। जैसे आप किसी समीकरण के मूल खो सकते हैं, वैसे ही आप इसे हल करने के दौरान अतिरिक्त प्राप्त भी कर सकते हैं। आइए समाधान #3 पर विचार करें, जिसने ऐसी गलती की।

हल #3 i y x 0 1 2 2 और अतिरिक्त मूल! समीकरण के दोनों पक्षों को चुकता करने पर बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। इस मामले में, आपको जांच करने की आवश्यकता है। n=2k के लिए हमारे पास sin k+cos k=-1 है; cos k=-1 के लिए k=2m-1 , फिर n=2(2m+1)=4m+2 , x= +2 m , उत्तर: +2 n=2k+1 के लिए हमारे पास sin + cos = - 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= के लिए (4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

इसलिए, हमने कुछ संभावित मामलों पर विचार किया है, जिनमें से बहुत सारे हैं। कोशिश करें कि अपना समय बर्बाद न करें और मूर्खतापूर्ण गलतियाँ न करें।

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पिछले पाठ में, समीकरणों को हल करते समय, हमने तीन चरणों का उपयोग किया था।

पहला चरण तकनीकी है। मूल समीकरण से परिवर्तनों की एक श्रृंखला की मदद से, हम काफी सरल पर आते हैं, जिसे हम हल करते हैं और जड़ों को ढूंढते हैं।

दूसरा चरण समाधान का विश्लेषण है। हम उन परिवर्तनों का विश्लेषण करते हैं जो हमने किए और पता लगाया कि क्या वे समकक्ष हैं।

तीसरा चरण सत्यापन है। सभी पाए गए जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके जांचना अनिवार्य है, जब परिवर्तन करते हैं जो एक कोरोलरी समीकरण को जन्म दे सकता है

क्या समीकरण को हल करते समय हमेशा तीन चरणों में अंतर करना आवश्यक है?

बिलकूल नही। उदाहरण के लिए, इस समीकरण को हल करने में। रोजमर्रा की जिंदगी में, वे आमतौर पर अलग-थलग नहीं होते हैं। लेकिन इन सभी चरणों को "ध्यान रखें" और किसी न किसी रूप में प्रदर्शन किया जाना चाहिए। परिवर्तनों की तुल्यता का विश्लेषण करना सुनिश्चित करें। और अगर विश्लेषण से पता चला कि जांच करना आवश्यक है, तो यह आवश्यक है। अन्यथा, समीकरण को सही ढंग से हल नहीं माना जा सकता है।

क्या केवल प्रतिस्थापन द्वारा समीकरण की जड़ों की जांच करना हमेशा संभव है?

यदि समीकरण को हल करते समय समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग किया गया था, तो सत्यापन की आवश्यकता नहीं है। समीकरण की जड़ों की जाँच करते समय, ODZ (स्वीकार्य मानों की श्रेणी) का बहुत बार उपयोग किया जाता है। यदि ODZ की जाँच करना मुश्किल है, तो इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके किया जाता है।

अभ्यास 1

समीकरण को हल करें दो x जमा तीन बराबर एक जमा x का वर्गमूल।

फेसला

ODZ समीकरण दो असमानताओं की प्रणाली द्वारा परिभाषित किया गया है: दो x जमा तीन शून्य से बड़ा या उसके बराबर है और एक जोड़ x शून्य से बड़ा या बराबर है। समाधान माइनस वन से x बड़ा या उसके बराबर है।

हम समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करते हैं, समीकरण के एक पक्ष से दूसरे में पदों को स्थानांतरित करते हैं, समान पदों को जोड़ते हैं, हमें द्विघात समीकरण x वर्ग बराबर दो मिलता है। इसकी जड़ें हैं

x पहला, दूसरा दो के वर्गमूल के जोड़ या घटा के बराबर होता है।

इंतिहान

पहले का x मान दो के वर्गमूल के बराबर है, समीकरण का मूल है, क्योंकि यह DPV में शामिल है।
x सेकंड का मान घटा है दो का वर्गमूल समीकरण का मूल नहीं है, क्योंकि यह ODZ में शामिल नहीं है।
आइए जांचें कि एक्स-रूट दो के वर्गमूल के बराबर है, इसे मूल समानता में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

वास्तविक समानता, इसलिए x दो के वर्गमूल के बराबर है, समीकरण का मूल है।

उत्तर: दो का वर्गमूल।

टास्क 2

समीकरण को हल करें x घटा आठ का वर्गमूल पांच घटा x के बराबर होता है।

फेसला

एक अपरिमेय समीकरण का ODZ दो असमानताओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित किया जाता है: x घटा आठ शून्य से बड़ा या उसके बराबर होता है और पांच घटा x शून्य से बड़ा या उसके बराबर होता है। इसे हल करने पर, हम पाते हैं कि इस प्रणाली का कोई समाधान नहीं है। समीकरण का मूल चर x का कोई भी मान नहीं हो सकता है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

टास्क 3

समीकरण को हल करें x घन का वर्गमूल जोड़ चार x घटा एक घटा आठ वर्गमूल x का चौथा घात घटा x x बराबर वर्गमूल x घन घटा एक जोड़ x का दो वर्गमूल।

फेसला

इस समीकरण में ODZ ज्ञात करना काफी कठिन है।

आइए रूपांतरण करते हैं: आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें,

हम सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और समान पदों को लाते हैं, एक के नीचे दो जड़ें लिखते हैं, रेडिकल प्राप्त करते हैं, समान देते हैं, माइनस 12 के एक कारक से विभाजित करते हैं, और मूल अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करते हैं, हमें एक मिलता है शून्य के बराबर दो कारकों के उत्पाद के रूप में समीकरण। इसे हल करते हुए, हम जड़ें पाते हैं:

x पहला एक के बराबर है, x दूसरा शून्य के बराबर है।

चूँकि हमने समीकरण के दोनों भागों को सम घात तक बढ़ा दिया है, इसलिए जड़ों की जाँच अनिवार्य है।

इंतिहान

यदि x एक के बराबर है, तो

हमें सही समानता मिलती है, जिसका अर्थ है कि x बराबर एक समीकरण का मूल है।

यदि x शून्य है, तो ऋणात्मक एक का वर्गमूल अपरिभाषित है।

अतः x बराबर शून्य एक बाह्य मूल है।

उत्तर: एक।

टास्क 4

x वर्ग जमा पांच x जोड़ दो आधार दो बराबर तीन के लघुगणक के समीकरण को हल करें।

फेसला

आइए ODZ समीकरण ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम असमानता को हल करते हैं x वर्ग जमा पांच x जमा दो शून्य से बड़ा।

हम अंतराल की विधि द्वारा असमानता को हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इसके बाईं ओर को कारकों में विघटित करते हैं, पहले द्विघात समीकरण को हल करते हैं, और असमानता के संकेत को ध्यान में रखते हुए, हम ODZ निर्धारित करते हैं। ODZ माइनस इनफिनिटी से माइनस फ्रैक्शन पांच प्लस सत्रह के वर्गमूल को दो से विभाजित करने और माइनस फ्रैक्शन माइनस से सत्रह के वर्गमूल को दो से प्लस इनफिनिटी में विभाजित करने वाली खुली किरणों के मिलन के बराबर है।

अब आइए समीकरण की जड़ों की तलाश शुरू करें। यह देखते हुए कि तीन आठ के लघुगणक से दो के आधार के बराबर है, हम समीकरण को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं: व्यंजक का लघुगणक x वर्ग जमा पांच x जमा दो आधार दो का लघुगणक आठ के लघुगणक के बराबर है आधार दो। हम समीकरण को प्रबल करते हैं, हम द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं और हल करते हैं।

विवेचक उनतालीस है।

हम जड़ों की गणना करते हैं:

x पहले माइनस छह के बराबर होता है; X सेकंड एक के बराबर है।

इंतिहान

माइनस छह ओडीजेड से संबंधित है, एक ओडीजेड से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि दोनों संख्याएं समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: शून्य से छह; एक।

पिछले पाठ में, हमने बाहरी जड़ों की उपस्थिति के मुद्दे पर विचार किया। हम जाँच करके उनका पता लगा सकते हैं। क्या समीकरण को हल करते समय जड़ों को खोना संभव है और इसे कैसे रोका जाए?

समीकरण पर इस तरह की क्रियाएं करते समय, जैसे, सबसे पहले, समीकरण के दोनों हिस्सों को एक्स से एक ही एक्सप्रेशन कुल्हाड़ी से विभाजित करना (उन मामलों को छोड़कर जब यह निश्चित रूप से जाना जाता है कि एक्स से कुल्हाड़ी किसी भी एक्स के लिए शून्य के बराबर नहीं है समीकरण का डोमेन);

दूसरे, हल करने की प्रक्रिया में ODZ समीकरण के संकुचित होने से समीकरण की जड़ों का नुकसान हो सकता है।

याद है!

फॉर्म में लिखा समीकरण

x से ef गुणा x से राख के बराबर है x से zh गुणा x से राख इस तरह से हल किया जाता है:

कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालकर गुणनखंड करना आवश्यक है;

फिर, प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर किया जाता है, जिससे दो समीकरण प्राप्त होते हैं।

हम उनकी जड़ों की गणना करते हैं।

अभ्यास 1

समीकरण को हल करें x घन बराबर x है।

पहला तरीका

हम इस समीकरण के दोनों भागों को x से विभाजित करते हैं, हमें एक के बराबर x वर्ग मिलता है, जिसका मूल x पहले एक के बराबर होता है,

X सेकंड माइनस वन के बराबर है।

दूसरा रास्ता

x घन x के बराबर है। आइए x को समीकरण के बाईं ओर ले जाएं, x को कोष्ठक से बाहर निकालें, हमें मिलता है: x गुणा x वर्ग, ऋण एक शून्य के बराबर होता है।

आइए इसकी जड़ों की गणना करें:

X पहले बराबर शून्य है, x सेकंड एक के बराबर है, x तीसरा माइनस एक के बराबर है.

समीकरण की तीन जड़ें हैं।

पहले तरीके से हल करते समय, हमने एक मूल खो दिया - x बराबर शून्य है।

उत्तर: माइनस वन; शून्य; एक।

याद है! अज्ञात वाले कारक द्वारा समीकरण के दोनों पक्षों को कम करने से जड़ों का नुकसान हो सकता है।

टास्क 2

समीकरण को हल करें x वर्ग का दशमलव लघुगणक दो है।

फेसला

पहला तरीका

लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमें द्विघात समीकरण x वर्ग बराबर एक सौ मिलता है।

इसकी जड़ें: x पहले दस के बराबर होती है; x सेकंड माइनस दस के बराबर होता है।

दूसरा रास्ता

लघुगणक की संपत्ति से, हमारे पास दो दशमलव लघुगणक हैं x बराबर दो।

इसका मूल - x बराबर दस . है

दूसरी विधि में माइनस टेन के बराबर x-रूट की हानि हुई। और इसका कारण यह है कि उन्होंने समीकरण के दायरे को कम करते हुए गलत फॉर्मूला लागू किया। x वर्ग का व्यंजक दशमलव लघुगणक x के बराबर शून्य को छोड़कर सभी x के लिए परिभाषित है। व्यंजक दशमलव लघुगणक x शून्य से अधिक x के लिए है। सही सूत्र दशमलव लघुगणक है x वर्ग दो दशमलव लघुगणक के बराबर होता है मॉड्यूल x।

याद है! किसी समीकरण को हल करते समय, उपलब्ध सूत्रों को सही ढंग से लागू करें।