एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र को हल करने के लिए कैलकुलेटर। एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

वास्तव में, किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको अनिश्चित और निश्चित अभिन्न के इतने ज्ञान की आवश्यकता नहीं है। कार्य "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करें" में हमेशा एक ड्राइंग का निर्माण शामिल होता है, इसलिए आपका ज्ञान और ड्राइंग कौशल अधिक प्रासंगिक मुद्दा होगा। इस संबंध में, यह मुख्य प्राथमिक कार्यों के रेखांकन की स्मृति को ताज़ा करने के लिए उपयोगी है, और, कम से कम, एक सीधी रेखा और एक अतिपरवलय का निर्माण करने में सक्षम हो।

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज एक सपाट आकृति है जो एक अक्ष, सीधी रेखाओं और एक खंड पर एक निरंतर कार्य का एक ग्राफ है जो इस अंतराल पर संकेत नहीं बदलता है। इस आकृति को स्थित होने दें कम नहीं हैभुज:

फिर एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित समाकल के बराबर होता है. कोई भी निश्चित समाकल (जो मौजूद है) का बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है।

ज्यामिति के संदर्भ में, निश्चित समाकल क्षेत्र है.

अर्थात,निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से किसी आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है। उदाहरण के लिए, निश्चित अभिन्न पर विचार करें। इंटीग्रैंड विमान पर एक वक्र को परिभाषित करता है जो अक्ष के ऊपर स्थित होता है (जो लोग ड्राइंग को पूरा करना चाहते हैं), और निश्चित अभिन्न स्वयं संख्यात्मक रूप से संबंधित वक्रतापूर्ण ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर है।

उदाहरण 1

यह एक विशिष्ट कार्य विवरण है। निर्णय का पहला और सबसे महत्वपूर्ण क्षण एक चित्र का निर्माण है. इसके अलावा, ड्राइंग का निर्माण किया जाना चाहिए सही.

इस समस्या में, समाधान इस तरह दिख सकता है।
आइए एक चित्र बनाएं (ध्यान दें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है):

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ स्थित है अक्ष के ऊपर, इसीलिए:

जवाब:

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किए जाएंगे, यह सच लगता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि अगर हमारे पास, उत्तर, कहते हैं: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो, जाहिर है, कहीं न कहीं एक गलती की गई थी - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से एक दर्जन से अधिक प्रश्न में आकृति में फिट नहीं होती हैं। यदि उत्तर नकारात्मक निकला, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें और अक्षों का समन्वय करें।

फेसला: आइए एक चित्र बनाते हैं:

यदि वक्रीय समलम्बाकार स्थित है धुरी के नीचे(या कम से कम उच्चतर नहींदी गई धुरी), तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

इस मामले में:

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित न करें:

1) यदि आपको बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकल को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह ऋणात्मक हो सकता है।

2) यदि आपको एक निश्चित समाकल का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है! यही कारण है कि माइनस अभी विचार किए गए फॉर्मूले में दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले आधे-तल दोनों में स्थित होता है, और इसलिए, सबसे सरल स्कूली समस्याओं से, हम अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला: सबसे पहले आपको ड्राइंग पूरी करनी होगी। सामान्यतया, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहला तरीका विश्लेषणात्मक है। हम समीकरण हल करते हैं:

इसलिए, एकीकरण की निचली सीमा, एकीकरण की ऊपरी सीमा।

यदि संभव हो तो इस पद्धति का उपयोग न करना सबसे अच्छा है।.

बिंदु-दर-बिंदु रेखाओं का निर्माण करना अधिक लाभदायक और तेज़ है, जबकि एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं" के रूप में पाई जाती हैं। फिर भी, सीमाओं को खोजने की विश्लेषणात्मक विधि अभी भी कभी-कभी उपयोग की जानी चाहिए, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या थ्रेडेड निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)। और हम ऐसे उदाहरण पर भी विचार करेंगे।

हम अपने कार्य पर लौटते हैं: पहले एक सीधी रेखा और उसके बाद ही एक परवलय का निर्माण करना अधिक तर्कसंगत है। आइए एक चित्र बनाएं:

और अब कार्य सूत्र: यदि अंतराल पर कोई सतत फलन है से बड़ा या बराबरकुछ निरंतर कार्य, फिर इन कार्यों के रेखांकन और सीधी रेखाओं से घिरे आकृति का क्षेत्र, सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

यहां यह सोचने की आवश्यकता नहीं है कि आकृति कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, और, मोटे तौर पर बोलते हुए, यह मायने रखता है कि कौन सा चार्ट ऊपर है(दूसरे ग्राफ के सापेक्ष), और कौन सा नीचे है.

विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

समाधान का पूरा होना इस तरह दिख सकता है:

वांछित आंकड़ा ऊपर से एक परवलय और नीचे से एक सीधी रेखा द्वारा सीमित है।
खंड पर, संबंधित सूत्र के अनुसार:

जवाब:

उदाहरण 4

रेखा , , , , द्वारा परिबद्ध आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

फेसला: आइए पहले एक चित्र बनाते हैं:

जिस आकृति का क्षेत्रफल हमें ज्ञात करना है वह नीले रंग में छायांकित है।(हालत को ध्यान से देखें - कैसे आंकड़ा सीमित है!) लेकिन व्यवहार में, असावधानी के कारण, एक "गड़बड़" अक्सर होता है, कि आपको हरे रंग में छायांकित आकृति के क्षेत्र को खोजने की आवश्यकता होती है!

यह उदाहरण इस मायने में भी उपयोगी है कि इसमें दो निश्चित इंटीग्रल का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की गणना की जाती है।

सच में:

1) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक सीधी रेखा का ग्राफ होता है;

2) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक अतिपरवलय ग्राफ है।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और चाहिए), इसलिए:

समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें

अब हम समाकलन कलन के अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं। इस पाठ में, हम एक विशिष्ट और सबसे सामान्य कार्य का विश्लेषण करेंगे। एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना के लिए एक निश्चित समाकल का उपयोग कैसे करें. अंत में, जो उच्च गणित में अर्थ की तलाश करते हैं - वे इसे पा सकते हैं। आपको कभी नहीं जानते। वास्तविक जीवन में, आपको प्राथमिक कार्यों के साथ एक ग्रीष्मकालीन कुटीर का अनुमान लगाना होगा और एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके अपना क्षेत्र ढूंढना होगा।

सामग्री को सफलतापूर्वक मास्टर करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) कम से कम एक मध्यवर्ती स्तर पर अनिश्चितकालीन अभिन्न को समझें। इस प्रकार, डमी को पहले पाठ पढ़ना चाहिए नहीं.

2) न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने और निश्चित समाकलन की गणना करने में सक्षम हो। आप पृष्ठ पर कुछ अभिन्न के साथ मधुर मैत्रीपूर्ण संबंध स्थापित कर सकते हैं समाकलन परिभाषित करें। समाधान उदाहरण.

वास्तव में, किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको अनिश्चित और निश्चित अभिन्न के इतने ज्ञान की आवश्यकता नहीं है। कार्य "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करें" में हमेशा एक ड्राइंग का निर्माण शामिल होता है, इसलिए आपका ज्ञान और ड्राइंग कौशल अधिक प्रासंगिक मुद्दा होगा। इस संबंध में, स्मृति में मुख्य प्राथमिक कार्यों के रेखांकन को ताज़ा करना उपयोगी है, और, कम से कम, एक सीधी रेखा, एक परवलय और एक अतिपरवलय का निर्माण करने में सक्षम होने के लिए। यह किया जा सकता है (कई को इसकी आवश्यकता होती है) कार्यप्रणाली सामग्री और ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तनों पर एक लेख की मदद से।

दरअसल, स्कूल के समय से ही एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्र खोजने की समस्या से हर कोई परिचित है, और हम स्कूली पाठ्यक्रम से थोड़ा आगे जाएंगे। यह लेख शायद मौजूद ही नहीं है, लेकिन तथ्य यह है कि समस्या 100 में से 99 मामलों में होती है, जब एक छात्र को उच्च गणित में एक पाठ्यक्रम में महारत हासिल करने के उत्साह के साथ एक घृणास्पद टॉवर द्वारा सताया जाता है।

इस कार्यशाला की सामग्री को सरलता से, विस्तार से और न्यूनतम सिद्धांत के साथ प्रस्तुत किया गया है।

आइए एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज से शुरू करते हैं।

वक्रीय समलम्ब चतुर्भुजअक्ष, सीधी रेखाओं और एक खंड पर निरंतर एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ जो इस अंतराल पर संकेत नहीं बदलता है, से घिरा एक सपाट आंकड़ा कहलाता है। इस आकृति को स्थित होने दें कम नहीं हैभुज:

फिर एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित समाकल के बराबर होता है. कोई भी निश्चित समाकल (जो मौजूद है) का बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है। सबक पर समाकलन परिभाषित करें। समाधान उदाहरणमैंने कहा कि एक निश्चित समाकल एक संख्या है। और अब एक और उपयोगी तथ्य बताने का समय आ गया है। ज्यामिति की दृष्टि से निश्चित समाकल क्षेत्र है.

अर्थात, निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से किसी आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है. उदाहरण के लिए, निश्चित अभिन्न पर विचार करें। इंटीग्रैंड विमान पर एक वक्र को परिभाषित करता है जो अक्ष के ऊपर स्थित होता है (जो लोग ड्राइंग को पूरा करना चाहते हैं), और निश्चित अभिन्न स्वयं संख्यात्मक रूप से संबंधित वक्रतापूर्ण ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर है।

उदाहरण 1

ब्लूप्रिंट बनाते समय, मैं निम्नलिखित आदेश की अनुशंसा करता हूं: सर्वप्रथमसभी लाइनों (यदि कोई हो) का निर्माण करना बेहतर है और केवल बाद- परवलय, अतिपरवलय, अन्य कार्यों के रेखांकन। फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने के लिए अधिक लाभदायक हैं बिन्दुवार, बिंदुवार निर्माण की तकनीक के साथ संदर्भ सामग्री में पाया जा सकता है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. वहां आप ऐसी सामग्री भी पा सकते हैं जो हमारे पाठ के संबंध में बहुत उपयोगी है - कैसे जल्दी से एक परवलय का निर्माण करें।

मैं एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड नहीं बनाऊंगा, यह यहां स्पष्ट है कि कौन सा क्षेत्र प्रश्न में. समाधान इस तरह जारी है:

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ स्थित है अक्ष के ऊपर, इसीलिए:

जवाब:

निश्चित समाकल की गणना करने और न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने में किसे कठिनाई होती है , व्याख्यान का संदर्भ लें समाकलन परिभाषित करें। समाधान उदाहरण.

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किए जाएंगे, यह सच लगता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि अगर हमारे पास उत्तर था: 20 वर्ग इकाइयां, तो, जाहिर है, कहीं एक गलती की गई थी - 20 कोशिकाएं स्पष्ट रूप से एक दर्जन से अधिक प्रश्न में आंकड़े में फिट नहीं होती हैं। यदि उत्तर नकारात्मक निकला, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

उदाहरण 2

रेखाओं, और अक्षों से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

अगर कर्विलिनियर ट्रेपोजॉइड स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचे?

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें और अक्षों का समन्वय करें।

फेसला: आइए एक चित्र बनाते हैं:

यदि वक्रीय समलम्बाकार स्थित है धुरी के नीचे(या कम से कम उच्चतर नहींदी गई धुरी), तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:
इस मामले में:

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित न करें:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

इसलिए, एकीकरण की निचली सीमा, एकीकरण की ऊपरी सीमा।
यदि संभव हो तो इस पद्धति का उपयोग न करना सबसे अच्छा है।.

बिंदु-दर-बिंदु रेखाओं का निर्माण करना अधिक लाभदायक और तेज़ है, जबकि एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं" के रूप में पाई जाती हैं। विभिन्न चार्टों के लिए बिंदु-दर-बिंदु निर्माण तकनीक पर सहायता में विस्तार से चर्चा की गई है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. फिर भी, सीमाओं को खोजने की विश्लेषणात्मक विधि अभी भी कभी-कभी उपयोग की जाती है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या थ्रेडेड निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)। और हम ऐसे उदाहरण पर भी विचार करेंगे।

हम अपने कार्य पर लौटते हैं: पहले एक सीधी रेखा और उसके बाद ही एक परवलय का निर्माण करना अधिक तर्कसंगत है। आइए एक चित्र बनाएं:

मैं दोहराता हूं कि बिंदुवार निर्माण के साथ, एकीकरण की सीमाएं अक्सर "स्वचालित रूप से" पाई जाती हैं।

समाधान का पूरा होना इस तरह दिख सकता है:

जवाब:

वास्तव में, निचले आधे तल में एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए स्कूल सूत्र (सरल उदाहरण संख्या 3 देखें) सूत्र का एक विशेष मामला है . चूंकि अक्ष समीकरण द्वारा दिया गया है, और फ़ंक्शन का ग्राफ स्थित है उच्चतर नहींकुल्हाड़ियों, फिर

और अब एक स्वतंत्र निर्णय के लिए कुछ उदाहरण

उदाहरण 5

उदाहरण 6

रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना के लिए समस्याओं को हल करने के दौरान, कभी-कभी एक मजेदार घटना होती है। ड्राइंग सही ढंग से बनाई गई थी, गणना सही थी, लेकिन असावधानी के कारण ... गलत आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात किया, इस तरह आपका आज्ञाकारी सेवक कई बार पंगा ले चुका है। यहाँ एक वास्तविक जीवन का मामला है:

उदाहरण 7

रेखा , , , , द्वारा परिबद्ध आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

फेसला: आइए पहले एक चित्र बनाते हैं:

...अरे, ड्राइंग बकवास निकली, लेकिन सब कुछ सुपाठ्य प्रतीत होता है।

यह उदाहरण इस मायने में भी उपयोगी है कि इसमें दो निश्चित इंटीग्रल का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की गणना की जाती है। सच में:

1) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक सीधी रेखा का ग्राफ होता है;

2) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक अतिपरवलय ग्राफ है।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और चाहिए), इसलिए:

जवाब:

आइए एक और सार्थक कार्य की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 8

रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना कीजिए,
आइए समीकरणों को "स्कूल" रूप में प्रस्तुत करें, और बिंदु-दर-बिंदु आरेखण करें:

ड्राइंग से देखा जा सकता है कि हमारी ऊपरी सीमा "अच्छा" है:।
लेकिन निचली सीमा क्या है? यह स्पष्ट है कि यह एक पूर्णांक नहीं है, लेकिन क्या है? शायद ? लेकिन इस बात की गारंटी कहां है कि ड्राइंग सही सटीकता के साथ बनाई गई है, यह अच्छी तरह से हो सकता है। या जड़। क्या होगा अगर हमें ग्राफ बिल्कुल सही नहीं मिला?

ऐसे मामलों में, व्यक्ति को अतिरिक्त समय बिताना पड़ता है और विश्लेषणात्मक रूप से एकीकरण की सीमाओं को परिष्कृत करना पड़ता है।

आइए रेखा और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं:

,

सच में, ।

आगे का समाधान तुच्छ है, मुख्य बात यह है कि प्रतिस्थापन और संकेतों में भ्रमित न हों, यहां गणना सबसे आसान नहीं है।

खंड पर , इसी सूत्र के अनुसार:

जवाब:

खैर, पाठ के अंत में, हम दो कार्यों को और अधिक कठिन मानेंगे।

उदाहरण 9

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें,

फेसला: इस आकृति को चित्र में खींचिए।

धिक्कार है, मैं शेड्यूल पर हस्ताक्षर करना भूल गया, और तस्वीर को फिर से करना, क्षमा करें, हॉटज़ नहीं। चित्र नहीं, संक्षेप में, आज एक दिन है =)

बिंदु-दर-बिंदु निर्माण के लिए, साइनसॉइड की उपस्थिति को जानना आवश्यक है (और सामान्य तौर पर यह जानना उपयोगी होता है सभी प्राथमिक कार्यों के रेखांकन), साथ ही साथ कुछ साइन मान, वे इसमें पाए जा सकते हैं त्रिकोणमितीय तालिका. कुछ मामलों में (जैसा कि इस मामले में), इसे एक योजनाबद्ध ड्राइंग बनाने की अनुमति है, जिस पर रेखांकन और एकीकरण सीमा को सिद्धांत रूप से सही ढंग से प्रदर्शित किया जाना चाहिए।

यहां एकीकरण सीमा के साथ कोई समस्या नहीं है, वे सीधे शर्त से पालन करते हैं: - "x" शून्य से "pi" में बदल जाता है। हम एक और निर्णय लेते हैं:

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के ऊपर स्थित होता है, इसलिए:

हम दोहरे समाकलन की गणना की वास्तविक प्रक्रिया पर विचार करना शुरू करते हैं और इसके ज्यामितीय अर्थ से परिचित होते हैं।

दोहरा समाकलन संख्यात्मक रूप से समतल आकृति (एकीकरण का क्षेत्र) के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह दोहरे समाकलन का सबसे सरल रूप है, जब दो चरों का फलन एक के बराबर होता है: .

आइए पहले समस्या को सामान्य शब्दों में देखें। अब आपको आश्चर्य होगा कि यह वास्तव में कितना आसान है! आइए रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें। निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि अंतराल पर। इस आकृति का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है:

आइए चित्र में क्षेत्र को चित्रित करें:

आइए क्षेत्र को बायपास करने का पहला तरीका चुनें:

इस प्रकार:

और तुरंत एक महत्वपूर्ण तकनीकी चाल: पुनरावृत्त इंटीग्रल को अलग से माना जा सकता है. पहले आंतरिक समाकलन, फिर बाह्य समाकलन। टीपोट्स विषय में शुरुआती लोगों के लिए इस विधि की अत्यधिक अनुशंसा की जाती है।

1) आंतरिक अभिन्न की गणना करें, जबकि एकीकरण चर "y" पर किया जाता है:

यहां अनिश्चितकालीन अभिन्न सबसे सरल है, और फिर साधारण न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग किया जाता है, केवल अंतर के साथ एकीकरण की सीमाएँ संख्याएँ नहीं हैं, बल्कि कार्य हैं. सबसे पहले, हमने ऊपरी सीमा को "y" (एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन) में प्रतिस्थापित किया, फिर निचली सीमा

2) पहले पैराग्राफ में प्राप्त परिणाम को बाहरी अभिन्न में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए:

पूरे समाधान के लिए एक अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन इस तरह दिखता है:

परिणामी सूत्र - "साधारण" निश्चित अभिन्न का उपयोग करके एक सपाट आकृति के क्षेत्र की गणना के लिए यह बिल्कुल काम करने वाला सूत्र है! सबक देखें एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करना, वहाँ वह हर मोड़ पर है!

अर्थात, डबल इंटीग्रल का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करने की समस्या थोड़ा अलगएक निश्चित समाकल का प्रयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या से!वास्तव में, वे एक ही हैं!

तदनुसार, कोई कठिनाई उत्पन्न नहीं होनी चाहिए! मैं बहुत सारे उदाहरणों पर विचार नहीं करूंगा, क्योंकि वास्तव में, आप बार-बार इस समस्या का सामना कर चुके हैं।

उदाहरण 9

फेसला:आइए चित्र में क्षेत्र को चित्रित करें:

आइए क्षेत्र के ट्रैवर्सल के निम्नलिखित क्रम को चुनें:

यहाँ और नीचे, मैं इस बात पर ध्यान नहीं दूंगा कि किसी क्षेत्र को कैसे पार किया जाए क्योंकि पहला पैराग्राफ बहुत विस्तृत था।

इस प्रकार:

जैसा कि मैंने पहले ही नोट किया है, शुरुआती लोगों के लिए अलग से पुनरावृत्त इंटीग्रल की गणना करना बेहतर है, मैं उसी विधि का पालन करूंगा:

1) सबसे पहले, न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करते हुए, हम आंतरिक समाकलन से निपटते हैं:

2) पहले चरण में प्राप्त परिणाम को बाहरी समाकलन में प्रतिस्थापित किया जाता है:

बिंदु 2 वास्तव में एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके एक सपाट आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कर रहा है।

जवाब:

यहाँ ऐसा मूर्खतापूर्ण और भोला काम है।

एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक जिज्ञासु उदाहरण:

उदाहरण 10

दोहरे समाकलन का प्रयोग करते हुए, रेखाओं से घिरे समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना कीजिए।

पाठ के अंत में अंतिम समाधान का एक उदाहरण।

उदाहरण 9-10 में, क्षेत्र को दरकिनार करने की पहली विधि का उपयोग करना अधिक लाभदायक है; जिज्ञासु पाठक, वैसे, बाईपास के क्रम को बदल सकते हैं और दूसरे तरीके से क्षेत्रों की गणना कर सकते हैं। यदि आप कोई गलती नहीं करते हैं, तो स्वाभाविक रूप से, समान क्षेत्र मान प्राप्त होते हैं।

लेकिन कुछ मामलों में, क्षेत्र को बायपास करने का दूसरा तरीका अधिक प्रभावी है, और एक युवा बेवकूफ के पाठ्यक्रम के निष्कर्ष में, हम इस विषय पर कुछ और उदाहरणों पर विचार करेंगे:

उदाहरण 11

फेसला:हम एक हवा के साथ दो परवलयों की प्रतीक्षा कर रहे हैं जो उनकी तरफ हैं। मुस्कुराने की जरूरत नहीं है, कई तरह की चीजों में समान चीजें अक्सर सामने आती हैं।

चित्र बनाने का सबसे आसान तरीका क्या है?

आइए परवलय को दो कार्यों के रूप में निरूपित करें:
- ऊपरी शाखा और - निचली शाखा।

इसी तरह, एक परवलय को ऊपरी और निचले के रूप में कल्पना करें शाखाएँ।

अगला, बिंदु-दर-बिंदु प्लॉटिंग ड्राइव, जिसके परिणामस्वरूप ऐसी विचित्र आकृति होती है:

आकृति के क्षेत्र की गणना सूत्र के अनुसार दोहरे अभिन्न का उपयोग करके की जाती है:

यदि हम क्षेत्र को बायपास करने का पहला तरीका चुनते हैं तो क्या होगा? पहले इस क्षेत्र को दो भागों में बांटना होगा। और दूसरी बात, हम इस दुखद तस्वीर को देखेंगे: . इंटीग्रल्स, निश्चित रूप से, सुपर-कॉम्प्लेक्स स्तर के नहीं हैं, लेकिन ... एक पुरानी गणितीय कहावत है: जो कोई भी जड़ों के अनुकूल है, उसे सेट-ऑफ की आवश्यकता नहीं है।

इसलिए, स्थिति में दी गई गलतफहमी से, हम व्युत्क्रम कार्यों को व्यक्त करते हैं:

इस उदाहरण के व्युत्क्रम कार्यों का यह लाभ है कि वे बिना किसी पत्ते, एकोर्न, शाखाओं और जड़ों के पूरे परवलय को तुरंत सेट कर देते हैं।

दूसरी विधि के अनुसार, क्षेत्र ट्रैवर्सल इस प्रकार होगा:

इस प्रकार:

जैसा कि वे कहते हैं, अंतर महसूस करें।

1) हम आंतरिक अभिन्न से निपटते हैं:

हम परिणाम को बाहरी अभिन्न में प्रतिस्थापित करते हैं:

चर "y" पर एकीकरण शर्मनाक नहीं होना चाहिए, अगर कोई अक्षर "zyu" होता - तो इसे एकीकृत करना बहुत अच्छा होगा। हालांकि पाठ के दूसरे पैराग्राफ को कौन पढ़ता है क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें, वह अब "y" पर एकीकरण के साथ थोड़ी सी भी शर्मिंदगी का अनुभव नहीं करता है।

पहले चरण पर भी ध्यान दें: इंटीग्रैंड सम है, और इंटीग्रेशन सेगमेंट शून्य के बारे में सममित है। इसलिए, खंड को आधा किया जा सकता है, और परिणाम को दोगुना किया जा सकता है। इस तकनीक पर पाठ में विस्तार से टिप्पणी की गई है। निश्चित इंटीग्रल की गणना के लिए कुशल तरीके.

क्या जोड़ना है.... हर चीज़!

जवाब:

अपनी एकीकरण तकनीक का परीक्षण करने के लिए, आप गणना करने का प्रयास कर सकते हैं . जवाब बिल्कुल वैसा ही होना चाहिए।

उदाहरण 12

दोहरे समाकलन का उपयोग करते हुए, रेखाओं द्वारा परिबद्ध समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

यह स्वयं का उदाहरण है। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि आप क्षेत्र को बायपास करने के लिए पहले तरीके का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, तो आंकड़ा अब दो में नहीं, बल्कि तीन भागों में विभाजित होगा! और, तदनुसार, हमें पुनरावृत्त समाकलों के तीन जोड़े मिलते हैं। कभी - कभी ऐसा होता है।

मास्टर वर्ग समाप्त हो गया है, और यह ग्रैंडमास्टर स्तर पर आगे बढ़ने का समय है - डबल इंटीग्रल की गणना कैसे करें? समाधान उदाहरण. मैं दूसरे लेख में इतना उन्मत्त नहीं होने की कोशिश करूँगा =)

आप शुभकामनाएँ!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2:फेसला: एक क्षेत्र ड्रा करें ड्राइंग पर:

आइए क्षेत्र के ट्रैवर्सल के निम्नलिखित क्रम को चुनें:

इस प्रकार:
आइए उलटा कार्यों पर चलते हैं:

इस प्रकार:
जवाब:

उदाहरण 4:फेसला: आइए प्रत्यक्ष कार्यों पर चलते हैं:

आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

आइए क्षेत्र के ट्रैवर्सल के क्रम को बदलें:

जवाब:

ए)

फेसला।

निर्णय का पहला और सबसे महत्वपूर्ण क्षण एक चित्र का निर्माण है.

आइए एक चित्र बनाएं:

समीकरण वाई = 0 एक्स-अक्ष सेट करता है;

- एक्स = -2 और एक्स = 1 - सीधे, अक्ष के समानांतर कहां;

- वाई \u003d एक्स 2 +2 - एक परवलय जिसकी शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, एक बिंदु (0; 2) पर एक शीर्ष के साथ।

टिप्पणी।एक परवलय का निर्माण करने के लिए, निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को खोजने के लिए पर्याप्त है, अर्थात। डाल एक्स = 0 अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए कहां और संबंधित द्विघात समीकरण को हल करते हुए, अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करें ओह .

एक परवलय का शीर्ष सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

आप रेखाएँ खींच सकते हैं और बिंदु से बिंदु बना सकते हैं।

अंतराल पर [-2;1] फलन का ग्राफ वाई = एक्स 2 +2 स्थित अक्ष के ऊपर बैल , इसीलिए:

जवाब: एस \u003d 9 वर्ग इकाइयां

अगर कर्विलिनियर ट्रेपोजॉइड स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचे ओह?

बी)रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए वाई=-ई एक्स , एक्स = 1 और कुल्हाड़ियों का समन्वय करें।

फेसला।

आइए एक ड्राइंग बनाएं।

यदि एक वक्रीय समलम्बाकार पूरी तरह से धुरी के नीचे ओह , तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

जवाब: एस = (ई -1) वर्ग इकाई" 1.72 वर्ग इकाई

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित न करें:

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले आधे विमानों दोनों में स्थित होता है।

साथ)रेखाओं द्वारा परिबद्ध समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x।

फेसला।

सबसे पहले आपको एक ड्राइंग बनाने की जरूरत है। सामान्यतया, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। परवलय के चौराहे के बिंदु खोजें और प्रत्यक्ष इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहला तरीका विश्लेषणात्मक है।

हम समीकरण हल करते हैं:

तो एकीकरण की निचली सीमा ए = 0 , एकीकरण की ऊपरी सीमा ख = 3 .

हम दी गई रेखाओं का निर्माण करते हैं: 1. परवलय - बिंदु पर शीर्ष (1;1); अक्ष चौराहा ओह -अंक (0;0) और (0;2)। 2. सीधी रेखा - दूसरे और चौथे समन्वय कोणों का द्विभाजक। और अब ध्यान! यदि अंतराल पर [ ए;बी] कुछ निरंतर कार्य एफ (एक्स)किसी सतत फलन से बड़ा या उसके बराबर जी (एक्स), तो सूत्र द्वारा संबंधित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है: .

और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आंकड़ा कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, लेकिन यह महत्वपूर्ण है कि कौन सा चार्ट उच्च है (दूसरे चार्ट के सापेक्ष), और कौन सा नीचे है। विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

बिंदु-दर-बिंदु रेखाओं का निर्माण संभव है, जबकि एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं" के रूप में पाई जाती हैं। फिर भी, सीमाओं को खोजने की विश्लेषणात्मक विधि अभी भी कभी-कभी उपयोग की जाती है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या थ्रेडेड निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)।

वांछित आंकड़ा ऊपर से एक परवलय और नीचे से एक सीधी रेखा द्वारा सीमित है।

खंड पर , इसी सूत्र के अनुसार:

जवाब: एस \u003d 4.5 वर्ग इकाइयाँ

कार्य संख्या 3. एक चित्र बनाएं और रेखाओं से बंधे हुए आकृति के क्षेत्र की गणना करें

लागू समस्याओं को हल करने के लिए अभिन्न का अनुप्रयोग

क्षेत्र गणना

एक सतत गैर-ऋणात्मक फलन f(x) का निश्चित समाकल संख्यात्मक रूप से के बराबर होता हैवक्र y \u003d f (x), O x अक्ष और सीधी रेखाओं x \u003d a और x \u003d b से घिरा एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र। तदनुसार, क्षेत्र सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना के कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

कार्य संख्या 1. y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 रेखाओं से घिरे क्षेत्र की गणना करें।

फेसला।आइए एक आकृति बनाएं, जिसका क्षेत्रफल हमें गणना करना होगा।

y \u003d x 2 + 1 एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और परवलय को O y अक्ष (चित्र 1) के सापेक्ष एक इकाई द्वारा ऊपर की ओर स्थानांतरित किया जाता है।

चित्र 1. फलन का ग्राफ y = x 2 + 1

कार्य संख्या 2. 0 से 1 की सीमा में y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 से घिरे क्षेत्र की गणना करें।

फेसला।इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ शाखा का परवलय है, जिसे ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, और परवलय को O y अक्ष के सापेक्ष एक इकाई द्वारा नीचे स्थानांतरित किया जाता है (चित्र 2)।

चित्र 2. फ़ंक्शन का ग्राफ़ y \u003d x 2 - 1

कार्य संख्या 3. एक चित्र बनाएं और रेखाओं से बंधे हुए आकृति के क्षेत्र की गणना करें

y = 8 + 2x - x 2 और y = 2x - 4।

फेसला।इन दो पंक्तियों में से पहली एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर इंगित करती हैं, क्योंकि x 2 पर गुणांक ऋणात्मक है, और दूसरी रेखा एक सीधी रेखा है जो दोनों समन्वय अक्षों को पार करती है।

परवलय की रचना के लिए, आइए इसके शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करें: y'=2 – 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - शीर्ष भुज; y(1) = 8 + 2∙1 - 1 2 = 9 इसकी कोटि है, N(1;9) इसका शीर्ष है।

अब हम समीकरणों की प्रणाली को हल करके परवलय और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं:

एक समीकरण के दाहिने पक्षों की बराबरी करना जिसकी बाएँ भुजाएँ समान हों।

हमें 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 या x 2 - 12 \u003d 0 मिलता है, जहां से .

तो, बिंदु परवलय और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं (चित्र 1)।

चित्र 3 फलनों के रेखांकन y = 8 + 2x - x 2 और y = 2x - 4

आइए एक सीधी रेखा y = 2x - 4 बनाते हैं। यह निर्देशांक अक्षों पर स्थित बिंदुओं (0;-4), (2; 0) से होकर गुजरती है।

एक परवलय बनाने के लिए, आपके पास 0x अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु भी हो सकते हैं, यानी समीकरण 8 + 2x - x 2 = 0 या x 2 - 2x - 8 = 0 की जड़ें। वीटा प्रमेय द्वारा, यह है इसकी जड़ों को खोजना आसान है: x 1 = 2, x 2 = 4।

चित्र 3 इन रेखाओं से घिरी एक आकृति (परवलयिक खंड M 1 N M 2) को दर्शाता है।

समस्या का दूसरा भाग इस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। इसका क्षेत्रफल सूत्र का प्रयोग करके एक निश्चित समाकलन का प्रयोग करके ज्ञात किया जा सकता है .

इस स्थिति के संबंध में, हम अभिन्न प्राप्त करते हैं:

2 क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना

O x अक्ष के चारों ओर वक्र y \u003d f (x) के घूर्णन से प्राप्त शरीर के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

O y अक्ष के चारों ओर घूमते समय, सूत्र इस तरह दिखता है:

टास्क नंबर 4. सीधी रेखाओं x \u003d 0 x \u003d 3 और O x अक्ष के चारों ओर एक वक्र y \u003d से बंधे हुए एक वक्रीय समलम्ब के रोटेशन से प्राप्त शरीर की मात्रा निर्धारित करें।

फेसला।आइए एक ड्राइंग बनाएं (चित्र 4)।

चित्र 4. फलन का ग्राफ y =

वांछित मात्रा बराबर है

टास्क नंबर 5. एक वक्र y = x 2 और सीधी रेखाओं y = 0 और y = 4 से अक्ष O y के चारों ओर घिरे एक वक्रीय समलम्ब के घूर्णन से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

फेसला।हमारे पास है:

समीक्षा प्रश्न

छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण

समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें

कार्य संख्या 3. एक चित्र बनाएं और रेखाओं से बंधे हुए आकृति के क्षेत्र की गणना करें

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