प्रायिकता की शास्त्रीय और सांख्यिकीय परिभाषा

व्यावहारिक गतिविधि के लिए, घटनाओं की उनके घटित होने की संभावना की डिग्री के अनुसार तुलना करने में सक्षम होना आवश्यक है। आइए शास्त्रीय मामले पर विचार करें। एक कलश में 10 गेंदें हैं, जिनमें से 8 सफेद और 2 काली हैं। जाहिर है, घटना "कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाएगी" और घटना "कलश से एक काली गेंद निकाली जाएगी" उनके होने की संभावना की अलग-अलग डिग्री है। इसलिए, घटनाओं की तुलना करने के लिए, एक निश्चित मात्रात्मक माप की आवश्यकता होती है।

किसी घटना के घटित होने की संभावना का एक मात्रात्मक माप है संभावना . सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली घटना की संभावना की दो परिभाषाएँ हैं: शास्त्रीय और सांख्यिकीय।

क्लासिक परिभाषासंभावना अनुकूल परिणाम की धारणा से संबंधित है। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

मान लें कि कुछ परीक्षण के परिणाम घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं और समान रूप से संभावित होते हैं, अर्थात। अद्वितीय रूप से संभव, असंगत और समान रूप से संभव हैं। ऐसे परिणामों को कहा जाता है प्रारंभिक परिणाम, या मामलों. ऐसा कहा जाता है कि परीक्षण कम हो जाता है केस चार्टया " कलश योजना", क्योंकि इस तरह के परीक्षण के लिए किसी भी संभाव्य समस्या को अलग-अलग रंगों के कलशों और गेंदों के साथ एक समान समस्या से बदला जा सकता है।

पलायन कहा जाता है अनुकूलप्रतिस्पर्धा लेकिनयदि इस मामले की घटना घटना की घटना पर जोर देती है लेकिन.

शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार घटना की संभावना A, इस घटना के पक्ष में परिणामों की संख्या और परिणामों की कुल संख्या के अनुपात के बराबर है, अर्थात।

,

(1.1)

कहाँ पे पी (ए)- एक घटना की संभावना लेकिन; एम- घटना के अनुकूल मामलों की संख्या लेकिन; एनमामलों की कुल संख्या है।

उदाहरण 1.1.एक पासा फेंकते समय, छह परिणाम संभव हैं - 1, 2, 3, 4, 5, 6 अंकों की हानि। सम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

फेसला। सभी एन= 6 परिणाम घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं और समान रूप से संभावित हैं, अर्थात। अद्वितीय रूप से संभव, असंगत और समान रूप से संभव हैं। घटना ए - "अंकों की एक समान संख्या की उपस्थिति" - 3 परिणामों (मामलों) के पक्ष में है - 2, 4 या 6 अंक की हानि। किसी घटना की प्रायिकता के शास्त्रीय सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

पी (ए) = = . ◄

किसी घटना की प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के आधार पर, हम इसके गुणों पर ध्यान देते हैं:

1. किसी घटना की प्रायिकता शून्य और एक के बीच होती है, अर्थात्।

0 ≤ आर(लेकिन) ≤ 1.

2. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है।

3. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा केवल उन घटनाओं के लिए लागू होती है जो संभावित परिणामों की समरूपता वाले परीक्षणों के परिणामस्वरूप प्रकट हो सकती हैं, अर्थात। मामलों की योजना के लिए कम करने योग्य। हालाँकि, घटनाओं का एक बड़ा वर्ग है जिनकी संभावनाओं की गणना शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करके नहीं की जा सकती है।

उदाहरण के लिए, यदि हम मानते हैं कि सिक्का चपटा है, तो यह स्पष्ट है कि "हथियारों के एक कोट की उपस्थिति" और "पूंछ की उपस्थिति" की घटनाओं को समान रूप से संभव नहीं माना जा सकता है। इसलिए, शास्त्रीय योजना के अनुसार संभाव्यता निर्धारित करने का सूत्र इस मामले में लागू नहीं होता है।

हालांकि, घटनाओं की संभावना का आकलन करने के लिए एक और दृष्टिकोण है, जो इस बात पर आधारित है कि कोई घटना कितनी बार किए गए परीक्षणों में घटित होगी। इस मामले में, संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा का उपयोग किया जाता है।

सांख्यिकीय संभावनाघटना ए प्रदर्शन किए गए n परीक्षणों में इस घटना की घटना की सापेक्ष आवृत्ति (आवृत्ति) है, अर्थात।

,

(1.2)

कहाँ पे आर * (ए)किसी घटना की सांख्यिकीय प्रायिकता है लेकिन; वा)घटना की सापेक्ष आवृत्ति है लेकिन; एमउन परीक्षणों की संख्या है जिनमें घटना हुई लेकिन; एनपरीक्षणों की कुल संख्या है।

गणितीय संभावना के विपरीत पी (ए)शास्त्रीय परिभाषा में माना जाता है, सांख्यिकीय संभावना आर * (ए)एक विशेषता है अनुभव, प्रयोगात्मक. दूसरे शब्दों में, किसी घटना की सांख्यिकीय प्रायिकता लेकिनवह संख्या कहलाती है, जिसके सापेक्ष सापेक्ष आवृत्ति स्थिर होती है (स्थापित) वा)शर्तों के एक ही सेट के तहत किए गए परीक्षणों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ।

उदाहरण के लिए, जब वे एक शूटर के बारे में कहते हैं कि वह 0.95 की संभावना के साथ एक लक्ष्य को हिट करता है, तो इसका मतलब है कि कुछ शर्तों के तहत उसके द्वारा दागे गए सौ शॉट्स में से (समान दूरी पर समान लक्ष्य, समान राइफल, आदि। ) ), औसतन लगभग 95 सफल होते हैं। स्वाभाविक रूप से, प्रत्येक सौ में 95 सफल शॉट नहीं होंगे, कभी-कभी कम होंगे, कभी-कभी अधिक, लेकिन औसतन, समान परिस्थितियों में शूटिंग की बार-बार पुनरावृत्ति के साथ, हिट का यह प्रतिशत अपरिवर्तित रहेगा। संख्या 0.95, जो शूटर के कौशल के संकेतक के रूप में कार्य करती है, आमतौर पर बहुत होती है स्थिर, अर्थात। अधिकांश शूटिंग में हिट का प्रतिशत किसी दिए गए शूटर के लिए लगभग समान होगा, केवल दुर्लभ मामलों में इसके औसत मूल्य से किसी भी महत्वपूर्ण तरीके से विचलन होता है।

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा का एक और नुकसान ( 1.1 ), जो इसके आवेदन को सीमित करता है, यह संभावित परीक्षण परिणामों की एक सीमित संख्या मानता है। कुछ मामलों में, इस कमी को संभाव्यता की ज्यामितीय परिभाषा का उपयोग करके दूर किया जा सकता है, अर्थात। एक निश्चित क्षेत्र (खंड, एक विमान का हिस्सा, आदि) में एक बिंदु से टकराने की संभावना का पता लगाना।

चलो एक सपाट आंकड़ा जीएक सपाट आकृति का हिस्सा बनता है जी(चित्र 1.1)। चित्र पर जीएक बिंदु यादृच्छिक रूप से फेंका जाता है। इसका मतलब है कि क्षेत्र के सभी बिंदु जीइसे फेंकने वाले यादृच्छिक बिंदु से मारने के संबंध में "बराबर"। यह मानते हुए कि किसी घटना की प्रायिकता लेकिन- एक आकृति पर फेंके गए बिंदु को मारना जी- इस आंकड़े के क्षेत्र के समानुपाती और इसके सापेक्ष इसके स्थान पर निर्भर नहीं करता है जी, न तो रूप से जी, पाना

संभावनाघटना उन प्राथमिक परिणामों की संख्या का अनुपात है जो किसी घटना के पक्ष में हैं और अनुभव के सभी समान रूप से संभावित परिणामों की संख्या जिसमें यह घटना हो सकती है। किसी घटना A की प्रायिकता को P(A) द्वारा निरूपित किया जाता है (यहाँ P फ्रांसीसी शब्द प्रायिकता का पहला अक्षर है - प्रायिकता)। परिभाषा के अनुसार
(1.2.1)
घटना ए के पक्ष में प्राथमिक परिणामों की संख्या कहां है; - घटनाओं का एक पूरा समूह बनाने, अनुभव के सभी समान रूप से संभव प्राथमिक परिणामों की संख्या।
संभाव्यता की इस परिभाषा को शास्त्रीय कहा जाता है। यह संभाव्यता सिद्धांत के विकास के प्रारंभिक चरण में उत्पन्न हुआ।

किसी घटना की प्रायिकता में निम्नलिखित गुण होते हैं:
1. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है। आइए पत्र द्वारा एक निश्चित घटना को नामित करें। एक निश्चित घटना के लिए, इसलिए
(1.2.2)
2. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है। हम असंभव घटना को पत्र द्वारा निरूपित करते हैं। इसलिए एक असंभव घटना के लिए
(1.2.3)
3. एक यादृच्छिक घटना की प्रायिकता को एक से कम धनात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूँकि असमानताएँ, या एक यादृच्छिक घटना के लिए संतुष्ट हैं, तो
(1.2.4)
4. किसी घटना की प्रायिकता असमानताओं को संतुष्ट करती है
(1.2.5)
यह संबंधों से (1.2.2) -(1.2.4) का अनुसरण करता है।

उदाहरण 1एक कलश में समान आकार और भार की 10 गेंदें हैं, जिनमें से 4 लाल और 6 नीली हैं। कलश से एक गेंद निकाली जाती है। खींची गई गेंद के नीले होने की प्रायिकता क्या है?

फेसला. घटना "खींची गई गेंद नीली निकली" को अक्षर ए द्वारा दर्शाया जाएगा। इस परीक्षण में 10 समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणाम हैं, जिनमें से 6 घटना ए के पक्ष में हैं। सूत्र (1.2.1) के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2 1 से 30 तक की सभी प्राकृत संख्याएँ समान कार्डों पर लिखी जाती हैं और एक कलश में रखी जाती हैं। पत्तों को अच्छी तरह मिलाने के बाद कलश में से एक पत्ता निकाल दिया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाले गए कार्ड पर 5 का गुणज है?

फेसला।घटना को ए द्वारा निरूपित करें "ले गए कार्ड पर संख्या 5 का गुणक है"। इस परीक्षण में, 30 समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणाम हैं, जिनमें से 6 परिणाम घटना ए (संख्या 5, 10, 15, 20, 25, 30) के पक्ष में हैं। इसलिये,

उदाहरण 3दो पासे फेंके जाते हैं, ऊपरी फलकों पर अंकों के योग की गणना की जाती है। घटना B की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, इस तथ्य से कि घनों के शीर्ष फलकों पर कुल 9 अंक होंगे।

फेसला।इस परीक्षण में 6 2 = 36 समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणाम हैं। इवेंट बी 4 परिणामों का पक्षधर है: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), इसलिए

उदाहरण 4. एक प्राकृत संख्या जो 10 से अनधिक न हो, यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। इस संख्या के अभाज्य होने की क्या प्रायिकता है?

फेसला।घटना "चुनी हुई संख्या अभाज्य है" को अक्षर C से निरूपित करें। इस स्थिति में, n = 10, m = 4 (अभाज्य 2, 3, 5, 7)। इसलिए, वांछित संभावना

उदाहरण 5दो सममित सिक्के उछाले जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों सिक्कों के ऊपर की ओर अंक हों?

फेसला।आइए अक्षर डी द्वारा घटना को निरूपित करें "प्रत्येक सिक्के के शीर्ष पर एक संख्या थी"। इस परीक्षण में 4 समान रूप से संभावित प्राथमिक परिणाम हैं: (जी, जी), (जी, सी), (सी, जी), (सी, सी)। (अंकन (जी, सी) का अर्थ है कि पहले सिक्के पर हथियारों का एक कोट होता है, दूसरे पर - एक संख्या)। घटना डी एक प्राथमिक परिणाम (सी, सी) के पक्ष में है। चूँकि m = 1, n = 4, तो

उदाहरण 6क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो अंकों की संख्या में अंक समान हैं?

फेसला।दो अंकों की संख्याएँ 10 से 99 तक की संख्याएँ हैं; कुल 90 ऐसी संख्याएँ हैं। 9 संख्याओं में समान अंक हैं (ये संख्याएँ 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 हैं)। चूँकि इस स्थिति में m = 9, n = 90, तो
,
जहां ए "समान अंकों वाली संख्या" घटना है।

उदाहरण 7शब्द के अक्षरों से अंतरएक अक्षर यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह अक्षर होगा: a) एक स्वर b) एक व्यंजन c) एक अक्षर एच?

फेसला. डिफरेंशियल शब्द में 12 अक्षर हैं, जिनमें से 5 स्वर हैं और 7 व्यंजन हैं। पत्र एचयह शब्द नहीं है। आइए घटनाओं को निरूपित करें: ए - "स्वर", बी - "व्यंजन", सी - "अक्षर" एच"। अनुकूल प्राथमिक परिणामों की संख्या: - घटना ए के लिए, - घटना बी के लिए, - घटना सी के लिए। चूंकि n \u003d 12, फिर
, और ।

उदाहरण 8दो पासे उछाले जाते हैं, प्रत्येक पासे के शीर्ष फलक पर अंकों की संख्या नोट की जाती है। दोनों पासों के समान अंक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला।आइए हम इस घटना को अक्षर A से निरूपित करते हैं। घटना A को 6 प्राथमिक परिणामों द्वारा पसंद किया जाता है: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6)। कुल मिलाकर समान रूप से संभव प्राथमिक परिणाम हैं जो घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं, इस मामले में n=6 2 =36। तो वांछित संभावना

उदाहरण 9पुस्तक में 300 पृष्ठ हैं। क्या प्रायिकता है कि बेतरतीब ढंग से खोले गए पृष्ठ में एक अनुक्रम संख्या होगी जो 5 का गुणज है?

फेसला।यह समस्या की स्थितियों का अनुसरण करता है कि सभी समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणामों में से n = 300 होंगे जो घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं। इनमें से, m = 60 निर्दिष्ट घटना की घटना के पक्ष में है। वास्तव में, एक संख्या जो 5 का गुणज है, उसका रूप 5k है, जहाँ k एक प्राकृत संख्या है, और जहाँ से . इसलिये,
, जहां A - "पेज" इवेंट में एक अनुक्रम संख्या होती है जो 5 का गुणज होता है।

उदाहरण 10. दो पासे फेंके जाते हैं, ऊपरी फलकों पर अंकों के योग की गणना की जाती है। कुल 7 या 8 प्राप्त करने की अधिक संभावना क्या है?

फेसला. आइए घटनाओं को नामित करें: ए - "7 अंक गिर गए", बी - "8 अंक गिर गए"। घटना ए को 6 प्राथमिक परिणामों का समर्थन है: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), और घटना बी - द्वारा 5 परिणाम: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)। सभी समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणामों में से n = 6 2 = 36 हैं। इसलिए, और ।

तो, P(A)>P(B), यानी कुल 7 अंक प्राप्त करना कुल 8 अंक प्राप्त करने की तुलना में अधिक संभावित घटना है।

कार्य

1. 30 से अनधिक एक प्राकृत संख्या यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। क्या प्रायिकता है कि यह संख्या 3 का गुणज है?
2. कलश में एलाल और बीएक ही आकार और वजन की नीली गेंदें। इस कलश से बेतरतीब ढंग से निकाली गई गेंद के नीले होने की क्या प्रायिकता है?
3. 30 से अनधिक एक संख्या यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। क्या प्रायिकता है कि यह संख्या zo का भाजक है?
4. कलश में एनीला और बीएक ही आकार और वजन की लाल गेंदें। इस कलश से एक गेंद निकाली जाती है और एक तरफ रख दी जाती है। यह गेंद लाल है। फिर कलश से एक और गेंद निकाली जाती है। दूसरी गेंद के भी लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
5. 50 से अनधिक एक प्राकृत संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इस संख्या के अभाज्य होने की क्या प्रायिकता है?
6. तीन पासे फेंके जाते हैं, ऊपरी फलकों पर अंकों के योग की गणना की जाती है। क्या अधिक संभावना है - कुल 9 या 10 अंक प्राप्त करने के लिए?
7. तीन पासे उछाले जाते हैं, गिराए गए अंकों के योग की गणना की जाती है। कुल 11 (ईवेंट ए) या 12 अंक (ईवेंट बी) प्राप्त करने की अधिक संभावना क्या है?

जवाब

1. 1/3. 2 . बी/(ए+बी). 3 . 0,2. 4 . (बी-1)/(ए+बी-1). 5 .0,3.6 . पी 1 \u003d 25/216 - कुल 9 अंक प्राप्त करने की संभावना; पी 2 \u003d 27/216 - कुल 10 अंक प्राप्त करने की संभावना; p2 > p1 7 . पी (ए) = 27/216, पी (बी) = 25/216, पी (ए)> पी (बी)।

प्रशन

1. किसी घटना की प्रायिकता को क्या कहते हैं?
2. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता क्या है?
3. एक असंभव घटना की प्रायिकता क्या है?
4. एक यादृच्छिक घटना की प्रायिकता की सीमाएँ क्या हैं?
5. किसी घटना की प्रायिकता की सीमाएँ क्या हैं?
6. प्रायिकता की किस परिभाषा को शास्त्रीय कहा जाता है?

किसी घटना की प्रायिकता को इस घटना के घटित होने की संभावना की कुछ संख्यात्मक विशेषता के रूप में समझा जाता है। संभाव्यता निर्धारित करने के लिए कई दृष्टिकोण हैं।

किसी घटना की प्रायिकता लेकिनइस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या का अनुपात सभी समान रूप से संभव असंगत प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या से है जो एक पूर्ण समूह बनाते हैं। अतः किसी घटना की प्रायिकता लेकिनसूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहाँ पे एमअनुकूल प्राथमिक परिणामों की संख्या है लेकिन, एन- परीक्षण के सभी संभावित प्राथमिक परिणामों की संख्या।

उदाहरण 3.1।एक पासे फेंकने के प्रयोग में, सभी परिणामों की संख्या एन 6 है और वे सभी समान रूप से संभव हैं। घटना होने दें लेकिनका अर्थ है एक सम संख्या का प्रकट होना। फिर इस घटना के लिए अनुकूल परिणाम संख्या 2, 4, 6 की उपस्थिति होगी। उनकी संख्या 3 है। इसलिए, घटना की संभावना लेकिनके बराबर है

उदाहरण 3.2.क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो अंकों की संख्या में अंक समान हैं?

दो अंकों की संख्याएँ 10 से 99 तक की संख्याएँ हैं, कुल 90 ऐसी संख्याएँ हैं। 9 संख्याओं में समान संख्याएँ हैं (ये संख्याएँ 11, 22, ..., 99 हैं)। चूंकि इस मामले में एम=9, एन=90, तब

कहाँ पे लेकिन- घटना, "समान अंकों वाली एक संख्या।"

उदाहरण 3.3। 10 भागों के एक बैच में 7 मानक भाग होते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि छ: यादृच्छिक रूप से चयनित भागों में से 4 मानक भाग हैं।

परीक्षण के संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनमें 10 से 6 भागों को निकाला जा सकता है, यानी 6 तत्वों के 10 तत्वों के संयोजन की संख्या। उन परिणामों की संख्या निर्धारित करें जो हमारे लिए रुचि की घटना के पक्ष में हैं लेकिन(छह भागों में से 4 मानक हैं)। सात मानक भागों से चार मानक भागों को तरीकों से लिया जा सकता है; वहीं, शेष 6-4=2 भाग गैर-मानक होने चाहिए, लेकिन आप 10-7=3 गैर-मानक भागों से दो गैर-मानक भागों को अलग-अलग तरीकों से ले सकते हैं। अतः अनुकूल परिणामों की संख्या है।

तब वांछित प्रायिकता बराबर होती है

निम्नलिखित गुण प्रायिकता की परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

1. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है।

वास्तव में, यदि घटना विश्वसनीय है, तो परीक्षण का प्रत्येक प्रारंभिक परिणाम घटना के पक्ष में है। इस मामले में m=n, इसलिए

2. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है।

वास्तव में, यदि घटना असंभव है, तो परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों में से कोई भी घटना के पक्ष में नहीं है। इस मामले में इसका मतलब है

3. एक यादृच्छिक घटना की प्रायिकता शून्य और एक के बीच एक धनात्मक संख्या होती है।

वास्तव में, परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या का केवल एक हिस्सा एक यादृच्छिक घटना के पक्ष में है। इस मामले में< एम< n, मतलब 0 < m/n < 1, यानी 0< पी (ए) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

तार्किक रूप से पूर्ण संभाव्यता सिद्धांत का निर्माण एक यादृच्छिक घटना की स्वयंसिद्ध परिभाषा और इसकी संभावना पर आधारित है। ए एन कोलमोगोरोव द्वारा प्रस्तावित स्वयंसिद्धों की प्रणाली में, अपरिभाषित अवधारणाएं एक प्राथमिक घटना और संभावना हैं। यहाँ स्वयंसिद्ध हैं जो संभाव्यता को परिभाषित करते हैं:

1. हर घटना लेकिनएक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या असाइन की गई है पी (ए). इस संख्या को घटना की प्रायिकता कहते हैं। लेकिन.

2. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है।

3. जोड़ी में असंगत घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।

इन स्वयंसिद्धों के आधार पर, प्रायिकताओं के गुण और उनके बीच संबंध प्रमेयों के रूप में व्युत्पन्न होते हैं।

आत्मनिरीक्षण के लिए प्रश्न

1. किसी घटना की संभावना की संख्यात्मक विशेषता का नाम क्या है?

2. किसी घटना की प्रायिकता को क्या कहते हैं?

3. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता क्या है?

4. एक असंभव घटना की प्रायिकता क्या है?

5. एक यादृच्छिक घटना की प्रायिकता की सीमाएँ क्या हैं?

6. किसी घटना की प्रायिकता की सीमाएँ क्या हैं?

7. प्रायिकता की किस परिभाषा को शास्त्रीय कहा जाता है?

नगर शैक्षिक संस्थान

जिमनासियम नंबर 6

"संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा" विषय पर।

8वीं "बी" कक्षा के एक छात्र द्वारा पूरा किया गया

क्लिमांतोवा एलेक्जेंड्रा।

गणित शिक्षक: विदेनकिना वी.ए.

वोरोनिश, 2008

कई खेल पासे का उपयोग करते हैं। पासे के 6 फलक होते हैं, प्रत्येक चेहरे पर अलग-अलग अंक अंकित होते हैं - 1 से 6 तक। खिलाड़ी पासे को फेंकता है और देखता है कि गिराए गए चेहरे पर कितने बिंदु हैं (चेहरे पर जो शीर्ष पर स्थित है)। अक्सर, पासे के किनारे पर डॉट्स को संबंधित संख्या से बदल दिया जाता है और फिर वे 1, 2 या 6 के रोल के बारे में बात करते हैं। पासे को फेंकना एक अनुभव, एक प्रयोग, एक परीक्षण और प्राप्त परिणाम माना जा सकता है। एक परीक्षण या एक प्राथमिक घटना का परिणाम है। लोग किसी घटना की शुरुआत का अनुमान लगाने, उसके परिणाम की भविष्यवाणी करने में रुचि रखते हैं। एक पासे को लुढ़कने पर वे क्या भविष्यवाणियाँ कर सकते हैं? उदाहरण के लिए, ये:

1. घटना ए - संख्या 1, 2, 3, 4, 5 या 6 गिरती है;
2. घटना बी - संख्या 7, 8 या 9 गिरती है;
3. घटना सी - नंबर 1 गिर जाता है।

पहले मामले में भविष्यवाणी की गई घटना ए निश्चित रूप से आएगी। सामान्य तौर पर, एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित होना निश्चित है, कहलाती है निश्चित घटना.

घटना बी, दूसरे मामले में भविष्यवाणी की गई, कभी नहीं होगी, यह बस असंभव है। सामान्य तौर पर, एक घटना जो किसी प्रयोग में घटित नहीं हो सकती है, कहलाती है असंभव घटना.

तीसरे मामले में भविष्यवाणी की गई घटना सी होगी या नहीं? हम इस प्रश्न का उत्तर पूर्ण निश्चितता के साथ नहीं दे पा रहे हैं, क्योंकि 1 हो भी सकता है और नहीं भी। एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित हो भी सकती है और नहीं भी कहलाती है यादृच्छिक घटना.

एक निश्चित घटना की शुरुआत के बारे में सोचते हुए, हम सबसे अधिक संभावना है कि हम "शायद" शब्द का प्रयोग नहीं करेंगे। उदाहरण के लिए, यदि आज बुधवार है, तो कल गुरुवार है, यह एक निश्चित घटना है। बुधवार को हम यह नहीं कहेंगे: "शायद कल गुरुवार है", हम संक्षेप में और स्पष्ट रूप से कहेंगे: "कल गुरुवार है।" सच है, अगर हम सुंदर वाक्यांशों के लिए प्रवण हैं, तो हम यह कह सकते हैं: "एक सौ प्रतिशत संभावना के साथ मैं कहता हूं कि कल गुरुवार है।" इसके विपरीत, यदि आज बुधवार है, तो आने वाला कल शुक्रवार है—एक असंभव घटना। बुधवार की इस घटना का मूल्यांकन करते हुए, हम यह कह सकते हैं: "मुझे यकीन है कि कल शुक्रवार नहीं है।" या इस तरह: "यह अविश्वसनीय है कि कल शुक्रवार है।" ठीक है, अगर हम सुंदर वाक्यांशों के लिए प्रवण हैं, तो हम यह कह सकते हैं: "कल शुक्रवार होने की संभावना शून्य है।" तो, एक निश्चित घटना एक घटना है जो दी गई शर्तों के तहत होती है। 100% निश्चितता के साथ(अर्थात 10 में से 10 मामलों में, 100 में से 100 मामलों में आना, आदि)। एक असंभव घटना एक ऐसी घटना है जो दी गई परिस्थितियों में कभी नहीं होती है, एक घटना शून्य संभावना के साथ.

लेकिन, दुर्भाग्य से (और शायद सौभाग्य से), जीवन में सब कुछ इतना स्पष्ट और स्पष्ट नहीं है: यह हमेशा होगा (निश्चित घटना), यह कभी नहीं होगा (असंभव घटना)। सबसे अधिक बार, हमें यादृच्छिक घटनाओं का सामना करना पड़ता है, जिनमें से कुछ की संभावना अधिक होती है, अन्य की कम संभावना होती है। आम तौर पर लोग "अधिक संभावना" या "कम संभावना" शब्दों का प्रयोग करते हैं, जैसा कि वे कहते हैं, सामान्य ज्ञान कहा जाता है पर भरोसा करते हैं। लेकिन बहुत बार ऐसे अनुमान अपर्याप्त साबित होते हैं, क्योंकि यह जानना महत्वपूर्ण है कितनाप्रतिशत संभावना एक यादृच्छिक घटना या कितनी बारएक यादृच्छिक घटना दूसरे की तुलना में अधिक होने की संभावना है। दूसरे शब्दों में, हमें सटीक चाहिए मात्रात्मकविशेषताएँ, आपको एक संख्या द्वारा संभाव्यता को चिह्नित करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

हम पहले ही इस दिशा में पहला कदम उठा चुके हैं। हमने कहा कि किसी निश्चित घटना के घटित होने की प्रायिकता की विशेषता है: एक सौ प्रतिशत, और एक असंभव घटना के घटित होने की प्रायिकता के रूप में शून्य. यह देखते हुए कि 100% 1 के बराबर है, लोग निम्नलिखित पर सहमत हुए हैं:

1. एक निश्चित घटना की संभावना के बराबर माना जाता है 1;
2. एक असंभव घटना की प्रायिकता को के बराबर माना जाता है 0.

आप एक यादृच्छिक घटना की संभावना की गणना कैसे करते हैं? आखिर हुआ ऐसा संयोग से, जिसका अर्थ है कि यह कानूनों, एल्गोरिदम, सूत्रों का पालन नहीं करता है। यह पता चला है कि कुछ कानून यादृच्छिकता की दुनिया में काम करते हैं, जिससे आप संभावनाओं की गणना कर सकते हैं। यह गणित की वह शाखा है जिसे कहते हैं- सिद्धांत संभावना.

गणित का संबंध से है आदर्शहमारे आसपास की वास्तविकता की कुछ घटना। संभाव्यता सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले सभी मॉडलों में से, हम खुद को सबसे सरल तक सीमित रखेंगे।

शास्त्रीय संभाव्य योजना

किसी प्रयोग के दौरान किसी घटना A की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, किसी को यह करना चाहिए:

1) इस अनुभव के सभी संभावित परिणामों की संख्या N ज्ञात कीजिए;

2) इस धारणा को स्वीकार करें कि ये सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं (समान रूप से संभव);

3) उस अनुभव के उन परिणामों की संख्या N(A) ज्ञात कीजिए जिसमें घटना A घटित होती है;

4) एक निजी खोजें ; यह घटना A की प्रायिकता के बराबर होगा।

यह एक घटना ए की संभावना को पी (ए) के रूप में नामित करने के लिए प्रथागत है। इस पद के लिए स्पष्टीकरण बहुत सरल है: फ्रेंच में "संभावना" शब्द है संभावना, अंग्रेजी में- संभावनापदनाम शब्द के पहले अक्षर का उपयोग करता है।

इस संकेतन का उपयोग करते हुए, शास्त्रीय योजना के अनुसार एक घटना ए की संभावना सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती है

पी (ए) =।

अक्सर दी गई शास्त्रीय संभाव्यता योजना के सभी बिंदु एक लंबे वाक्यांश में व्यक्त किए जाते हैं।

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

एक निश्चित परीक्षण के दौरान एक घटना ए की संभावना परिणामों की संख्या का अनुपात है, जिसके परिणामस्वरूप घटना ए होती है, इस परीक्षण के सभी समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या।

उदाहरण 1. एक पासे को एक बार फेंकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: a) 4; बी) 5; ग) अंकों की एक समान संख्या; डी) 4 से अधिक अंकों की संख्या; ई) अंकों की संख्या तीन का गुणज नहीं।

फेसला. कुल मिलाकर, N=6 संभावित परिणाम हैं: 1, 2, 3, 4, 5, या 6 के बराबर अंकों वाले घन के एक फलक को गिराना। हम मानते हैं कि उनमें से किसी का भी दूसरों पर कोई लाभ नहीं है, अर्थात्, हम इन परिणामों की समानता की धारणा को स्वीकार करते हैं।

ए) वास्तव में परिणामों में से एक में, हमारे लिए ब्याज की घटना होगी - संख्या 4 का नुकसान। इसलिए, एन (ए) \u003d 1 और

पी(ए)= =.

बी) समाधान और उत्तर पिछले पैराग्राफ के समान हैं।

सी) हमारे लिए रुचि की घटना बी ठीक तीन मामलों में घटित होगी जब अंकों की संख्या 2, 4 या 6 हो। इसलिए,

एन(बी)=3 औरपी(बी)==.

d) हमारे लिए ब्याज की घटना C ठीक दो मामलों में घटित होगी जब अंकों की संख्या 5 या 6 हो। इसलिए,

एन(सी) = 2 और पी (सी) =।

ई) खींची गई छह संभावित संख्याओं में से चार (1, 2, 4 और 5) तीन के गुणज नहीं हैं, और शेष दो (3 और 6) तीन से विभाज्य हैं। इसका मतलब यह है कि हमारे लिए रुचि की घटना छह में से चार संभावित और आपस में समान रूप से संभावित और आपस में समान रूप से संभावित अनुभव के परिणामों में होती है। तो उत्तर है।

उत्तर: ए); बी) ; में) ; जी) ; इ)।

एक वास्तविक खेल पासा एक आदर्श (मॉडल) पासा से अच्छी तरह से भिन्न हो सकता है, इसलिए, इसके व्यवहार का वर्णन करने के लिए, एक अधिक सटीक और विस्तृत मॉडल की आवश्यकता होती है, एक चेहरे के दूसरे पर फायदे, चुंबक की संभावित उपस्थिति आदि को ध्यान में रखते हुए। लेकिन "शैतान विवरण में है", और अधिक सटीकता अधिक जटिलता की ओर ले जाती है, और उत्तर प्राप्त करना एक समस्या बन जाता है। हम खुद को सबसे सरल संभाव्य मॉडल पर विचार करने तक सीमित रखते हैं, जहां सभी संभावित परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

टिप्पणी 1. आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। प्रश्न पूछा गया था: "एक पासे के एक रोल पर तीन आने की क्या प्रायिकता है?" छात्र ने इस तरह उत्तर दिया: "संभावना 0.5 है।" और उसने अपने उत्तर की व्याख्या की: “तीनों या तो बाहर हो जाएंगे या नहीं। इसका मतलब है कि कुल मिलाकर दो परिणाम हैं, और ठीक एक घटना में हमारे लिए रुचि की घटना होती है। शास्त्रीय संभाव्यता योजना के अनुसार, हमें उत्तर 0.5 मिलता है। क्या इस तर्क में कोई त्रुटि है? पहली नज़र में, नहीं। हालाँकि, यह अभी भी है, और एक मौलिक क्षण में है। हां, वास्तव में, ट्रिपल या तो बाहर गिर जाएगा या नहीं, यानी थ्रो के परिणाम की ऐसी परिभाषा के साथ, एन = 2। यह भी सच है कि N(A)=1 और, ज़ाहिर है, यह सच है कि = 0, 5, यानी, संभाव्य योजना के तीन बिंदुओं को ध्यान में रखा जाता है, लेकिन बिंदु 2 की पूर्ति संदिग्ध है। बेशक, विशुद्ध रूप से कानूनी दृष्टिकोण से, हमें यह मानने का अधिकार है कि एक तिहाई का नुकसान समान रूप से विफल होने की संभावना है। लेकिन क्या हम चेहरों की "समानता" के बारे में अपनी प्राकृतिक धारणाओं का उल्लंघन किए बिना ऐसा सोच सकते हैं? बिलकूल नही! यहां हम कुछ मॉडल के भीतर सही तर्क के साथ काम कर रहे हैं। केवल यह मॉडल ही "गलत" है, वास्तविक घटना के अनुरूप नहीं है।

टिप्पणी 2. संभाव्यता पर चर्चा करते समय, निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिस्थितियों पर ध्यान न दें। यदि हम यह कहें कि पासे को फेंकने पर एक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता बराबर होती है, तो इसका यह अर्थ कतई नहीं है कि पासे को 6 बार घुमाने पर आपको ठीक एक बार एक अंक प्राप्त होगा, पासे को 12 बार फेंकने पर आप एक अंक ठीक दो बार प्राप्त करें, पासे को 18 बार घुमाने पर, आपको ठीक तीन बार एक अंक मिलता है, और इसी तरह आगे भी। यह शब्द शायद सट्टा है। हम मानते हैं कि ऐसा होने की संभावना है। संभवत: यदि हम पासे को 600 बार घुमाते हैं, तो एक अंक 100 बार या लगभग 100 बार आएगा।

विभिन्न जुआ खेलों का विश्लेषण करते समय 17 वीं शताब्दी में संभाव्यता सिद्धांत उत्पन्न हुआ। इसलिए, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि पहले उदाहरण एक चंचल प्रकृति के हैं। पासा के उदाहरणों से, आइए डेक से ताश खेलने के यादृच्छिक आरेखण पर चलते हैं।

उदाहरण 2. 36 ताश के पत्तों की एक गड्डी में से 3 पत्ते एक ही समय में यादृच्छया निकाले जाते हैं। क्या प्रायिकता है कि उनमें हुकुम की रानी नहीं है?

फेसला. हमारे पास 36 तत्वों का एक सेट है। हम तीन तत्वों का चयन करते हैं, जिनका क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए, एन = सी परिणाम प्राप्त करना संभव है। हम शास्त्रीय संभाव्यता योजना के अनुसार कार्य करेंगे, अर्थात हम मान लेंगे कि ये सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

यह शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार आवश्यक संभावना की गणना करने के लिए बनी हुई है:

और इस बात की क्या प्रायिकता है कि चुने हुए तीन पत्तों में से एक हुकुम की रानी है? ऐसे सभी परिणामों की संख्या की गणना करना मुश्किल नहीं है, आपको बस सभी परिणामों में से उन सभी परिणामों को घटाना होगा जिनमें हुकुम की रानी नहीं है, यानी उदाहरण 3 में पाई गई संख्या एन (ए) घटाएं। फिर यह अंतर एन-एन (ए) शास्त्रीय संभाव्य योजना के अनुसार एन द्वारा विभाजित किया जाना चाहिए। यह हमें मिलता है:

हम देखते हैं कि दो घटनाओं की संभावनाओं के बीच एक निश्चित संबंध है। यदि घटना ए में हुकुम की रानी की अनुपस्थिति है, और घटना बी चुने हुए तीन कार्डों में से उसकी उपस्थिति में है, तो

पी (बी) \u003d 1 - पी (ए),

पी(ए)+पी(बी)=1.

दुर्भाग्य से, समानता में P(A)+P(B)=1 घटनाओं ए और बी के बीच संबंध के बारे में कोई जानकारी नहीं है; हमें इस संबंध को ध्यान में रखना होगा। घटना बी को पहले से एक नाम और पदनाम देना अधिक सुविधाजनक होगा, जो स्पष्ट रूप से ए के साथ इसके संबंध को दर्शाता है।

परिभाषा 1. घटना बीबुलाया घटना ए के विपरीतऔर B=Ā को निरूपित करें यदि घटना B घटित होती है और केवल यदि घटना A घटित नहीं होती है।

टीप्रमेय 1. विपरीत घटना की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, घटना की प्रायिकता को एकता से घटाएं: (Ā)= 1-Р(А)। वास्तव में,

व्यवहार में, वे गणना करते हैं कि क्या खोजना आसान है: या तो पी (ए) या पी (Ā)। उसके बाद, वे प्रमेय से सूत्र का उपयोग करते हैं और क्रमशः P(Ā)= 1-P(A), या P(A)= 1-P(Ā) पाते हैं।

अक्सर "मामलों की गणना" द्वारा किसी विशेष समस्या को हल करने की विधि का उपयोग किया जाता है, जब समस्या की स्थितियों को परस्पर अनन्य मामलों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक को अलग से माना जाता है। उदाहरण के लिए, "यदि आप दाईं ओर जाते हैं, तो आप अपना घोड़ा खो देंगे, यदि आप सीधे जाते हैं, तो आप प्रायिकता सिद्धांत के अनुसार एक समस्या का समाधान करेंगे, यदि आप बाईं ओर जाते हैं ..."। या फ़ंक्शन y=│x+1│—│2x—5│ की साजिश रचते समय, x . के मामलों पर विचार करें

उदाहरण 3. 50 बिंदुओं में से 17 छायांकित नीले और 13 नारंगी हैं। एक यादृच्छिक रूप से चयनित बिंदु के छायांकित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला. कुल मिलाकर, 50 में से 30 अंक छायांकित हैं। इसलिए, संभावना = 0.6 है।

उत्तर: 0.6।

हालाँकि, आइए इस सरल उदाहरण पर करीब से नज़र डालें। मान लीजिए कि घटना A चयनित बिंदु नीला है, और घटना B यह है कि चयनित बिंदु नारंगी है। परंपरा के अनुसार, घटनाएँ A और B एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं।

हम C अक्षर से हमारे लिए ब्याज की घटना को निरूपित करते हैं। घटना सी तब होती है जब और केवल तभी होती है कम से कम एक घटना A या B. यह स्पष्ट है कि एन (सी) = एन (ए) + एन (बी)।

आइए हम इस समानता के दोनों पक्षों को N से विभाजित करें, दिए गए प्रयोग के सभी संभावित परिणामों की संख्या; हम पाते हैं

हमने एक साधारण उदाहरण का उपयोग करके एक महत्वपूर्ण और अक्सर होने वाली स्थिति का विश्लेषण किया है। उसके लिए एक विशेष नाम है।

परिभाषा 2. घटनाएँ A और B कहलाती हैं असंगतयदि वे एक ही समय में नहीं हो सकते हैं।

प्रमेय 2. दो असंगत घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता उनकी प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।

इस प्रमेय का गणितीय भाषा में अनुवाद करते समय, किसी भी तरह से दो घटनाओं ए और बी में से कम से कम एक घटना की घटना को नाम देना और नामित करना आवश्यक हो जाता है। इस तरह की घटना को ए और बी की घटनाओं का योग कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है ए + बी।

अगर ए और बी असंगत हैं, तो पी (ए + बी) = पी (ए) + पी (बी)।

वास्तव में,

घटनाओं ए और बी की असंगति को एक आकृति द्वारा आसानी से चित्रित किया जा सकता है। यदि अनुभव के सभी परिणाम आकृति में बिंदुओं के कुछ समुच्चय हैं, तो घटनाएँ A और B कुछ हैं दिए गए समुच्चय के उपसमुच्चय. A और B की असंगति का अर्थ है कि ये दो उपसमुच्चय प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। असंगत घटनाओं का एक विशिष्ट उदाहरण कोई भी घटना A और विपरीत घटना है।

बेशक, यह प्रमेय तीन, चार और जोड़ीवार असंगत घटनाओं की किसी भी सीमित संख्या के लिए सही है। जोड़ीवार असंगत घटनाओं की किसी भी संख्या के योग की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।यह महत्वपूर्ण कथन "मामलों की गणना" द्वारा समस्याओं को हल करने की विधि से बिल्कुल मेल खाता है।

कुछ अनुभव के परिणामस्वरूप होने वाली घटनाओं के बीच, और इन घटनाओं की संभावनाओं के बीच, कुछ रिश्ते, निर्भरता, कनेक्शन आदि हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, घटनाओं को "जोड़ा" जा सकता है, और असंगत के योग की संभावना घटनाएँ उनकी प्रायिकताओं के योग के बराबर होती हैं।

अंत में, हम निम्नलिखित मौलिक प्रश्न पर चर्चा करते हैं: क्या यह संभव है सिद्ध करना, कि एक सिक्के के एक उछाल में "पूंछ" आने की प्रायिकता बराबर होती है

उत्तर नकारात्मक है। सामान्यतया, प्रश्न स्वयं सही नहीं है, "सिद्ध" शब्द का सही अर्थ स्पष्ट नहीं है। आखिरकार, हम हमेशा कुछ के ढांचे के भीतर कुछ साबित करते हैं मॉडल, जिसमें नियम, कानून, स्वयंसिद्ध, सूत्र, प्रमेय आदि पहले से ही ज्ञात हैं। यदि हम एक काल्पनिक, "आदर्श" सिक्के के बारे में बात कर रहे हैं, तो इसलिए इसे आदर्श माना जाता है क्योंकि, ए-प्राथमिकता, चित आने की प्रायिकता चित आने की प्रायिकता के बराबर होती है। और, सिद्धांत रूप में, हम एक मॉडल पर विचार कर सकते हैं जिसमें "पूंछ" गिरने की संभावना "ईगल" गिरने की संभावना से दो गुना अधिक है, या तीन गुना कम है, आदि। फिर सवाल उठता है: हम किस कारण से चुनते हैं विभिन्न संभावित सिक्का फ्लिप मॉडल में से एक जिसमें टॉस के दोनों परिणाम समान रूप से होने की संभावना है?

एक पूरी तरह से सामने वाला उत्तर है: "लेकिन यह हमारे लिए आसान, स्पष्ट और अधिक स्वाभाविक है!" लेकिन और भी ठोस तर्क हैं। वे अभ्यास से आते हैं। संभाव्यता सिद्धांत पर अधिकांश पाठ्यपुस्तकें फ्रांसीसी प्रकृतिवादी जे. बफन (18वीं शताब्दी) और अंग्रेजी गणितज्ञ-सांख्यिकीविद् सी. पियर्सन (19वीं शताब्दी के अंत) का उदाहरण देती हैं, जिन्होंने एक सिक्का क्रमशः 4040 और 24000 बार फेंका और उसकी गिनती की। गिरने वाले "ईगल" या "पूंछ" की संख्या। उनकी "पूंछ" क्रमशः 1992 और 11998 बार गिर गई। यदि आप गिनते हैं ड्रॉप आवृत्ति"पूंछ", तो आपको बफन के लिए = = 0.493069 ... और पियर्सन के लिए = 0.4995 मिलता है। स्वाभाविक रूप से उठता है कल्पनाकि एक सिक्के के उछाल की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, "पूंछ" गिरने की आवृत्ति, साथ ही साथ "ईगल" गिरने की आवृत्ति अधिक से अधिक 0.5 तक पहुंच जाएगी। व्यावहारिक आंकड़ों के आधार पर यही धारणा है कि समसंभाव्य परिणामों वाले मॉडल को चुनने का आधार है।

अब हम संक्षेप कर सकते हैं। मूल अवधारणा है एक यादृच्छिक घटना की संभावना, जिसकी गणना सबसे सरल मॉडल के ढांचे के भीतर की जाती है- शास्त्रीय संभाव्य योजना. सिद्धांत और व्यवहार दोनों में अवधारणा महत्वपूर्ण है। विपरीत घटनाऔर सूत्र Р(Ā)= 1—Р(А) ऐसी घटना की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए।

अंत में, हम मिले असंगत घटनाएंऔर सूत्रों के साथ।

पी (ए + बी) \u003d पी (ए) + पी (बी),

पी (ए + बी + सी) \u003d पी (ए) + पी (बी) + पी (सी),

संभावनाओं को खोजने की अनुमति मात्राऐसी घटनाएं।

ग्रन्थसूची

1. घटनाएँ। संभावनाएं। सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग: जोड़ें। बीजगणित 7-9 कोशिकाओं के पाठ्यक्रम के पैराग्राफ। शैक्षणिक संस्थान / ए. जी. मोर्दकोविच, पी. वी. सेमेनोव।—चौथा संस्करण।—एम .: मेनेमोज़िना, 2006।—112 पी .: बीमार।

2.यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक "बीजगणित। सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत के तत्व।—मास्को, ज्ञानोदय, 2006।

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संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा एक यादृच्छिक घटना की अवधारणा है। यादृच्छिक घटनाएक घटना को एक घटना कहा जाता है, जो कुछ शर्तों के तहत हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए हथियार से इस वस्तु पर फायरिंग करते समय किसी वस्तु को मारना या गायब करना एक यादृच्छिक घटना है।

घटना कहा जाता है भरोसेमंदयदि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, यह आवश्यक रूप से होता है। असंभवएक घटना को एक घटना कहा जाता है जो परीक्षण के परिणामस्वरूप नहीं हो सकता है।

यादृच्छिक घटनाओं को कहा जाता है असंगतकिसी दिए गए परीक्षण में यदि उनमें से कोई भी दो एक साथ उपस्थित नहीं हो सकते हैं।

रैंडम इवेंट फॉर्म पूरा समूह, यदि प्रत्येक परीक्षण में उनमें से कोई भी उपस्थित हो सकता है और उनके साथ असंगत कोई अन्य घटना प्रकट नहीं हो सकती है।

समान रूप से संभव असंगत यादृच्छिक घटनाओं के पूरे समूह पर विचार करें। ऐसे आयोजन कहलाएंगे परिणाम या प्राथमिक घटनाएं. पलायन कहा जाता है अनुकूलघटना $A$ की घटना, यदि इस परिणाम की घटना घटना $A$ की उपस्थिति पर जोर देती है।

उदाहरण।एक कलश में 8 नंबर वाली गेंदें होती हैं (प्रत्येक गेंद पर 1 से 8 तक की एक संख्या रखी जाती है)। संख्या 1, 2, 3 वाली गेंदें लाल हैं, शेष काली हैं। नंबर 1 (या नंबर 2 या नंबर 3) वाली गेंद का दिखना लाल गेंद की उपस्थिति के लिए अनुकूल घटना है। संख्या 4 (या संख्या 5, 6, 7, 8) वाली गेंद का दिखना एक ऐसी घटना है जो काली गेंद की उपस्थिति का पक्ष लेती है।

किसी घटना की प्रायिकता$A$ इस घटना के पक्ष में परिणामों की संख्या $m$ का अनुपात है, जो सभी समान रूप से संभव असंगत प्राथमिक परिणामों की कुल संख्या $n$ है जो पूरे समूह को बनाते हैं $$P(A)=\frac(m)(n ) \quad(1)$$

संपत्ति 1.एक निश्चित घटना की संभावना एक के बराबर है
संपत्ति 2.एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है।
संपत्ति 3.एक यादृच्छिक घटना की संभावना शून्य और एक के बीच एक सकारात्मक संख्या है।

तो, किसी भी घटना की संभावना दोहरी असमानता $0 \le P(A) \le 1$ को संतुष्ट करती है।

ऑनलाइन कैलकुलेटर

सूत्र (1) का उपयोग करके हल की गई समस्याओं की एक बड़ी परत हाइपरज्यामितीय संभाव्यता के विषय से संबंधित है। लिंक के नीचे आप लोकप्रिय कार्यों के विवरण और उनके समाधान के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर पा सकते हैं:

• गेंदों के बारे में समस्या (एक कलश में $k$ सफेद और $n$ काली गेंदें होती हैं, $m$ गेंदें निकाली जाती हैं...)
• भागों की समस्या (एक बॉक्स में $k$ मानक और $n$ दोषपूर्ण भाग होते हैं, $m$ भागों को बाहर निकाल दिया जाता है ...)
• लॉटरी टिकटों के बारे में समस्या ($k$ जीतना और $n$ टिकट खोना लॉटरी में भाग लेते हैं, $m$ टिकट खरीदे जाते हैं ...)

शास्त्रीय संभाव्यता पर समस्याओं के समाधान के उदाहरण

उदाहरण।कलश में 1 से 10 तक की संख्या वाली 10 संख्या वाली गेंदें हैं। एक गेंद निकाली जाती है। क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद की संख्या 10 से अधिक न हो?

फेसला।घटना होने दें लेकिन= (खींची गई गेंद की संख्या 10 से अधिक नहीं है)। अनुकूल घटनाओं की घटनाओं की संख्या लेकिनसभी संभावित मामलों की संख्या के बराबर है एम=एन=10. इसलिये, आर(लेकिन)=1. घटना विश्वसनीय.

उदाहरण।एक कलश में 10 गेंदें होती हैं: 6 सफेद और 4 काली। दो गेंदों को आउट किया। दोनों गेंदों के सफेद होने की क्या प्रायिकता है?

फेसला।आप दस में से दो गेंदें निम्नलिखित तरीकों से निकाल सकते हैं:
इन दोनों के बीच दो सफेद गेंदों के होने की संख्या है .
वांछित संभावना
.

उदाहरण।एक कलश में 15 गेंदें होती हैं: 5 सफेद और 10 काली। कलश से एक नीली गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है?

फेसला।चूँकि कलश में नीली गेंदें नहीं हैं, एम=0, एन=15. इसलिए, वांछित संभावना आर= 0। नीली गेंद खींचने की घटना असंभव.

उदाहरण। 36 ताश के पत्तों की एक गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। दिल का कार्ड दिखने की प्रायिकता क्या है?

फेसला. प्रारंभिक परिणामों की संख्या (कार्ड की संख्या) एन=36. घटना लेकिन= (हार्ट सूट कार्ड का दिखना)। घटना की घटना के लिए अनुकूल समय की संख्या लेकिन, एम=9. इसलिये,
.

उदाहरण।ऑफिस में 6 पुरुष और 4 महिलाएं हैं। इस कदम के लिए 7 लोगों को बेतरतीब ढंग से चुना गया था। चयनित व्यक्तियों में तीन महिलाओं के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।