शंकु। छिन्नक

पतला सतहदिए गए वक्र के प्रत्येक बिंदु और वक्र के बाहर एक बिंदु से गुजरने वाली सभी सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित सतह कहलाता है (चित्र 32)।

इस वक्र को कहा जाता है मार्गदर्शन देना , सीधे - उत्पादक , बिंदु - बैठक शंक्वाकार सतह।

सीधी गोलाकार पतला सतहदिए गए वृत्त के प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली सभी रेखाओं और वृत्त के तल के लंबवत रेखा पर एक बिंदु और उसके केंद्र से होकर जाने वाली सभी रेखाओं द्वारा बनाई गई सतह कहलाती है। निम्नलिखित में, इस सतह को संक्षेप में कहा जाएगा शंक्वाकार सतह (अंजीर। 33)।

शंकु (सीधा गोलाकार शंकु ) को शंक्वाकार सतह से घिरा एक ज्यामितीय पिंड और गाइड सर्कल के तल के समानांतर एक विमान कहा जाता है (चित्र। 34)।

चावल। 32 अंजीर। 33 अंजीर। 34

एक शंकु को त्रिभुज के पैरों में से एक वाले अक्ष के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज को घुमाकर प्राप्त पिंड के रूप में माना जा सकता है।

शंकु को घेरने वाले वृत्त को कहते हैं आधार . शंक्वाकार सतह का शीर्ष कहलाता है बैठक शंकु शंकु के शीर्ष को उसके आधार के केंद्र से जोड़ने वाले रेखाखंड को कहते हैं ऊंचाई शंकु शंक्वाकार सतह बनाने वाले खंडों को कहा जाता है उत्पादक शंकु एक्सिस शंकु के शीर्ष और उसके आधार के केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। अक्षीय खंड शंकु की धुरी से गुजरने वाला खंड कहलाता है। पार्श्व सतह विकास शंकु एक त्रिज्यखंड है जिसकी त्रिज्या शंकु के जनक की लंबाई के बराबर होती है, और त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के बराबर होती है।

एक शंकु के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे आरआधार की त्रिज्या है;

एच- ऊंचाई;

मैं- जेनरेटर की लंबाई;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एस साइड

एस पूर्ण

वीशंकु का आयतन है।

छोटा शंकुआधार और शंकु के आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरे शंकु के भाग को कहते हैं (चित्र 35)।

एक काटे गए शंकु को एक आयताकार ट्रेपोजॉइड को एक अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त शरीर के रूप में माना जा सकता है जिसमें ट्रेपोजॉइड के पार्श्व पक्ष होते हैं, जो आधारों के लंबवत होते हैं।

शंकु को बांधने वाले दो वृत्त कहलाते हैं मैदान . ऊंचाई एक काटे गए शंकु के आधारों के बीच की दूरी है। एक काटे गए शंकु की शंक्वाकार सतह बनाने वाले खंड कहलाते हैं उत्पादक . आधारों के केंद्रों से गुजरने वाली सीधी रेखा कहलाती है एक्सिस छोटा शंकु। अक्षीय खंड काटे गए शंकु की धुरी से गुजरने वाले खंड को कहते हैं।

एक काटे गए शंकु के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

(8)

कहाँ पे आरनिचले आधार की त्रिज्या है;

आरऊपरी आधार की त्रिज्या है;

एचऊंचाई है, l जेनरेटर की लंबाई है;

एस साइडपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एस पूर्णकुल सतह क्षेत्र है;

वीकाटे गए शंकु का आयतन है।

उदाहरण 1आधार के समानांतर शंकु का खंड ऊपर से गिनते हुए ऊंचाई को 1:3 के अनुपात में विभाजित करता है। एक काटे गए शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि आधार की त्रिज्या और शंकु की ऊंचाई 9 सेमी और 12 सेमी है।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 36)।

एक काटे गए शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम सूत्र (8) का उपयोग करते हैं। आधारों की त्रिज्या ज्ञात कीजिए लगभग 1 एऔर लगभग 1 वीऔर पैदा करना एबी.

समरूप त्रिभुजों पर विचार करें एसओ 2 बीऔर एसओ 1 ए, समानता का गुणांक , तब

यहां से

तब से

एक काटे गए शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर होता है:

जवाब: .

उदाहरण 2।त्रिज्या का एक चौथाई वृत्त एक शंक्वाकार सतह में मुड़ा हुआ है। आधार की त्रिज्या और शंकु की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

फेसला।एक वृत्त का चौगुना शंकु की पार्श्व सतह का विकास है। निरूपित आरइसके आधार की त्रिज्या है, एच-ऊंचाई। पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: . यह एक वृत्त के एक चौथाई के क्षेत्रफल के बराबर होता है: . हमें दो अज्ञात के साथ एक समीकरण मिलता है आरऔर मैं(एक शंकु का जनक)। इस मामले में, जेनरेट्रिक्स एक सर्कल के एक चौथाई के त्रिज्या के बराबर है आर, इसलिए हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: , जहाँ से आधार और जनक की त्रिज्या जानने पर, हम शंकु की ऊँचाई ज्ञात करते हैं:

जवाब: 2 सेमी, .

उदाहरण 3एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज जिसका न्यून कोण 45 O है, 3 सेमी का एक छोटा आधार और बराबर झुकी हुई भुजा, आधारों के लंबवत भुजा के चारों ओर घूमती है। क्रांति के प्राप्त शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 37)।

रोटेशन के परिणामस्वरूप, हमें एक छोटा शंकु मिलता है; इसका आयतन ज्ञात करने के लिए, हम बड़े आधार की त्रिज्या और ऊँचाई की गणना करते हैं। एक ट्रेपेज़ में ओ 1 ओ 2 एबीहम खर्च करेंगे एसी^ओ 1 बी. हमारे पास है: तो यह त्रिभुज समद्विबाहु है एसी=ईसा पूर्व\u003d 3 सेमी।

जवाब:

उदाहरण 4एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 13 सेमी, 37 सेमी और 40 सेमी हैं, एक बाहरी अक्ष के चारों ओर घूमता है जो बड़ी भुजा के समानांतर है और इससे 3 सेमी दूर है (अक्ष त्रिभुज के तल में स्थित है)। क्रांति के परिणामी निकाय का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला . आइए एक चित्र बनाएं (चित्र। 38)।

क्रांति के परिणामी पिंड की सतह में दो काटे गए शंकु की पार्श्व सतह और सिलेंडर की पार्श्व सतह होती है। इन क्षेत्रों की गणना करने के लिए, शंकु और बेलन के आधारों की त्रिज्या जानना आवश्यक है ( होनाऔर ओसी) शंकु बनाना ( ईसा पूर्वऔर एसी) और सिलेंडर की ऊंचाई ( अब) अज्ञात ही है सीओ. त्रिभुज की भुजा से घूर्णन अक्ष तक की दूरी है। हमे पता करने दें डीसी. एक ओर त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल भुजा AB के आधे भाग और उस पर खींची गई ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है डीसीदूसरी ओर, त्रिभुज की सभी भुजाओं को जानकर, हम हीरोन के सूत्र का उपयोग करके इसके क्षेत्रफल की गणना करते हैं।

समतल आकृतियों की मीट्रिक विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए सबसे प्रभावी तरीकों में से एक अक्ष के चारों ओर घूमना है, जिसे आमतौर पर एक स्तर रेखा या एक प्रोजेक्टिंग लाइन के रूप में उपयोग किया जाता है।

बुनियादी निर्माण नियम

1. बिंदु का घूर्णन त्रिज्या बिंदु और अक्ष के रूप में कार्य करने वाली स्तर रेखा के बीच की दूरी के बराबर है। त्रिज्या का प्राकृतिक मान समकोण त्रिभुज विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।
2. क्षैतिज एच के चारों ओर घूमते समय, बिंदु एक सर्कल के साथ चलता है, जो क्षैतिज विमान पर क्षैतिज एच के क्षैतिज प्रक्षेपण के लंबवत सीधी रेखा खंड में प्रक्षेपित होता है। "ललाट तल पर, जिस सर्कल के साथ बिंदु चलता है वह है एक दीर्घवृत्त में प्रक्षेपित। इसे बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है।
3. ललाट f के चारों ओर घूमते समय, बिंदु एक वृत्त के साथ चलता है, जो ललाट तल पर ललाट f"" के ललाट प्रक्षेपण के लंबवत एक सीधी रेखा खंड में प्रक्षेपित होता है। इसी समय, विस्थापन रेखा का क्षैतिज प्रक्षेपण एक दीर्घवृत्त है, जिसे बनाना आवश्यक नहीं है।

विचार करें कि बिंदु A पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं a और b के बीच के कोण का वास्तविक मान कैसे निर्धारित किया जाए। निर्माण चित्र में दिखाए गए हैं और नीचे वर्णित एल्गोरिथम के अनुसार किए गए हैं।

समाधान एल्गोरिथ्म

1. हम क्षैतिज h के ललाट प्रक्षेपण h"" को अंजाम देते हैं। यह रेखाओं a"" और b"" को बिंदु 1"" और 2"" पर प्रतिच्छेद करता है। हम क्षैतिज अनुमान 1 "और 2" निर्धारित करते हैं और उनके माध्यम से एच खींचते हैं।
2. घूर्णन O का केंद्र ज्ञात कीजिए। इसका क्षैतिज प्रक्षेपण O" रेखा h" के प्रतिच्छेदन पर स्थित है, जो A" से h" तक लम्बवत है।
3. हम रोटेशन की त्रिज्या का प्राकृतिक मान निर्धारित करते हैं R = O"A" 0 । ऐसा करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज O"A"A" 0 बनाते हैं, जिसका पैर A"A" 0 A"" से h"" की दूरी के बराबर है।
4. हम त्रिज्या R वाले एक वृत्त का चाप तब तक खींचते हैं जब तक वह बिंदु A" पर सीधी रेखा O"A" के साथ प्रतिच्छेद न कर ले। A" 1 को बिंदु 1" और 2" से जोड़ दें। वांछित कोण का निर्माण किया गया है।

जैसा कि जाना जाता है; जब कोई बिंदु एक अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो यह घूर्णन के अक्ष के लंबवत समतल में गति करता है और एक वृत्त का वर्णन करता है। ड्राइंग को बदलने के लिए रोटेशन विधि को लागू करने के लिए, हम निम्नलिखित चार तत्वों (चित्र। 5.8) पर ध्यान देते हैं:

रोटेशन की धुरी (एमएन);

बिंदु रोटेशन विमान(प्ल. एस लंबवत है (एमएन));

रोटेशन का केंद्र;

रोटेशन की त्रिज्या (आर; आर= |ओए|)।

रोटेशन की धुरी के रूप में, सीधी रेखाएं, लंबवत या प्रक्षेपण विमानों के समानांतर, आमतौर पर उपयोग की जाती हैं। प्रक्षेपण विमानों के लंबवत कुल्हाड़ियों के बारे में रोटेशन पर विचार करें।

प्वाइंट ए रोटेशन धुरी के बारे में ड्राइंग परएमएन, विमान के लंबवतएच, चित्र 5.9 में दिखाया गया है। रोटेशन का विमानएस एच विमान के समानांतर है और ललाट प्रक्षेपण पर निम्नानुसार दर्शाया गया हैएस वी। क्षैतिज प्रक्षेपणघूर्णन केंद्र के बारे में प्रक्षेपण के साथ मेल खाता हैटीपी कुल्हाड़ियों, और क्षैतिज प्रक्षेपणओए रोटेशन त्रिज्याओए इसका प्राकृतिक मूल्य है। बिंदु रोटेशनलेकिन चित्र 5.9 में कोण φ वामावर्त द्वारा बनाया गया है ताकि अनुमानों के साथ बिंदु की नई स्थिति मेंए1", ए1 रोटेशन की त्रिज्या विमान के समानांतर थीV जब एक बिंदु ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो इसका क्षैतिज प्रक्षेपण वृत्त के साथ चलता है, और ललाट प्रक्षेपण x-अक्ष के समानांतर और घूर्णन की धुरी के लंबवत चलता है।

यदि बिंदु को V तल के लंबवत अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो इसका ललाट प्रक्षेपण वृत्त के साथ आगे बढ़ेगा, और क्षैतिज प्रक्षेपण x-अक्ष के समानांतर चलेगा।

एक प्रक्षेपित रेखा के चारों ओर एक बिंदु के घूर्णन का उपयोग कुछ समस्याओं को हल करने में किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक रेखा खंड के प्राकृतिक आकार को निर्धारित करने में। इसके लिए (चित्र 5.10), प्रक्षेपणों के साथ घूर्णन की एक धुरी पर्याप्त हैटी "पी", टीपी चुनें ताकि यह खंड के चरम बिंदुओं में से एक से गुजरे, उदाहरण के लिए, अनुमानों के साथ एक बिंदु b", बी। फिर बात मोड़ते समयलेकिन कोण φ स्थिति में A1 (OA1 || वर्ग V, o, || x-अक्ष) खंड AB स्थिति में ले जाता हैए1बी, विमान के समानांतरवी और, इसलिए, इस पर पूर्ण आकार में प्रक्षेपित किया जाता है. उसी समय, खंड के ढलान के कोण a को पूर्ण आकार में प्रक्षेपित किया जाएगाएबी से विमान एच।

अनुमानों के साथ एक बिंदु का घूर्णन (घूर्णन) b", बी अनुमानों के साथ अक्ष के सापेक्षटी "पी", टीपी, विमान के लंबवतवी, चित्र 5.11 में दिखाया गया है। बिंदु को घुमाते समयपर रोटेशन के विमान में ले जाया गयाटी (थ) अनुमानों के साथ स्थिति में b1", बी1 ताकि घूर्णन की त्रिज्याओवी विमान के समानांतर बनेंएच (ओ "बी" || एक्स-अक्ष)।

प्रक्षेपण विमानों के लंबवत रोटेशन की कुल्हाड़ियों को ड्राइंग पर इंगित किए बिना रोटेशन विधि का अनुप्रयोग।यदि आप प्रक्षेपण विमान के लंबवत अक्ष के चारों ओर एक ज्यामितीय आकृति घुमाते हैं, तो इस विमान पर प्रक्षेपण न तो उपस्थिति में या आकार में बदलता है (केवल प्रक्षेपण अक्ष के सापेक्ष प्रक्षेपण की स्थिति बदल जाती है)। रोटेशन की धुरी के समानांतर एक विमान पर एक ज्यामितीय आकृति के बिंदुओं का अनुमान प्रक्षेपण की धुरी के समानांतर सीधी रेखाओं के साथ चलता है (रोटेशन की धुरी पर स्थित बिंदुओं के अनुमानों के अपवाद के साथ), और पूरे में प्रक्षेपण में परिवर्तन होता है आकृति और माप। इसलिए, रोटेशन अक्ष के प्रतिनिधित्व को निर्दिष्ट किए बिना रोटेशन विधि को लागू करना संभव है। उस में

मामले में, ज्यामितीय छवि के अनुमानों में से किसी एक के आकार और आकार को बदले बिना, इस प्रक्षेपण को आवश्यक स्थिति में ले जाएं, और फिर ऊपर बताए अनुसार एक और प्रक्षेपण बनाएं।

चित्र 5.12 त्रिभुज के वास्तविक आकार को निर्धारित करने के लिए अक्षों को निर्दिष्ट किए बिना रोटेशन विधि के उपयोग को दर्शाता हैएबीसी, अनुमानों द्वारा दिया गयाए "बी" सी ", एबीसी। ऐसा करने के लिए, सामान्य स्थिति में विमान के दो घुमाव, जिसमें त्रिकोण स्थित है, किया जाता है ताकि पहले रोटेशन के बाद यह विमान विमान के लंबवत हो जाएवी, और दूसरे के बाद - विमान एच के समानांतर। विमान एच के लंबवत अक्ष के चारों ओर पहला घूर्णन, अपनी स्थिति निर्दिष्ट किए बिना, अनुमानों के साथ क्षैतिज का उपयोग करके किया गया थाएस"1", एस-1 त्रिभुज के तल में। इस मामले में, क्षैतिज प्रक्षेपणआसु प्रक्षेपण दिशा से मेल खाने के लिए घुमाया गया। त्रिभुज का क्षैतिज प्रक्षेपण अपने आकार और आकार को बरकरार रखता है, केवल इसकी स्थिति बदलती है। अंकए, बी और सी इस तरह के एक घूर्णन के साथ, वे विमान एच के समानांतर विमानों में चलते हैं। अनुमानए 1", सी 1, बी 1 "ए" ए 1 ", बी" बी 1 "और सी" सी 1 "। नई स्थिति में त्रिभुज का ललाट प्रक्षेपण खंड हैए 1 "बी 1" सी 1 "।

दूसरा घुमाव, जो त्रिभुज को विमान H के समानांतर स्थिति में लाता है, विमान H के लंबवत रोटेशन की धुरी के चारों ओर बनाया गया है (अक्ष की स्थिति भी इंगित नहीं की गई है)। दूसरे रोटेशन पर ललाट प्रक्षेपण पहले रोटेशन के बाद प्राप्त उपस्थिति और आकार को बरकरार रखता है। अंकए1, डी1 और सी1 समतल के समानांतर विमानों में गति करेंवी प्रोजेक्शन a 2 , b 2 , c 2 संचार की क्षैतिज रेखाओं पर हैंए, ए 2, बीएलबी 2, सी 1 सी 2। प्रोजेक्शन a2b2c 2 दिए गए त्रिभुज का वास्तविक आकार है।

प्रक्षेपण विमानों के लंबवत कुल्हाड़ियों के चारों ओर माना घुमाव करते समय, इन कुल्हाड़ियों को इंगित नहीं किया जाता है, लेकिन उन्हें आसानी से पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप खंड बनाते हैंएए1, बी1बी2 और उनके मध्य बिंदुओं के माध्यम से लंबवत खींचें, फिर इन लंबवतों के चौराहे का परिणामी बिंदु विमान एच के लंबवत घूर्णन अक्ष का क्षैतिज प्रक्षेपण होगा।

कुल्हाड़ियों को निर्दिष्ट किए बिना रोटेशन विधि का उपयोग कुछ हद तक निर्माण को सरल बनाता है, एक का कोई ओवरलैप नहीं है

दूसरे पर खंड, लेकिन चित्र एक बड़े क्षेत्र पर कब्जा कर लेता है। (घूर्णन की कुल्हाड़ियों को दर्शाए बिना घूर्णन का माना गया मामला समतल-समानांतर गति की विधि का एक विशेष मामला है।)

प्रक्षेपण विमानों के समानांतर सीधी रेखाओं के चारों ओर घूमने की एक विधि।एक सपाट आकृति का प्राकृतिक आकार प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर अक्ष के चारों ओर घुमाकर निर्धारित किया जा सकता है, जिससे फिगर को एक मोड़ के साथ प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर स्थिति में लाया जा सकता है।

चित्र 5.13 अनुमानों के साथ त्रिभुज के आकार की परिभाषा दिखाता हैए "बी" सी ", एबीसी क्षैतिज के चारों ओर घूमना।इस स्थिति में, त्रिभुज के सभी बिंदु(घूर्णन अक्ष पर लेटने वालों को छोड़कर)अक्ष के लंबवत विमानों में वृत्तों में अक्ष के चारों ओर घूमें।यदि त्रिभुज अनुमानों के तल के समानांतर एक स्थिति लेता है, तो इसके बिंदुओं के घूर्णन की त्रिज्या इस तल के समानांतर होगी, अर्थात वे समतल पर प्रक्षेपित होंगेएच वास्तविक आकार।

अनुमानों के साथ क्षैतिज को रोटेशन की धुरी के रूप में लिया गया थाएस"1", एस-1.

घूर्णन अक्ष पर बिंदु C स्थिर रहता है। घूर्णन के बाद त्रिभुज के क्षैतिज प्रक्षेपण की छवि बनाने के लिए, इसके अन्य दो शीर्षों के अनुमानों की स्थिति का पता लगाना आवश्यक है। अनुमानों के साथ शिखरए", ए और बी", बी विस्थापन त्रिभुज-

विमानों में हैंपी और क्यू इन बिंदुओं की आवाजाही क्षैतिज प्रक्षेपणके विषय में शीर्ष रोटेशन केंद्रलेकिन क्षैतिज प्रक्षेपण का प्रतिच्छेदन बिंदु हैएस 1 क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ रोटेशन की कुल्हाड़ियोंपीएच.एच. इस पर इसका ललाट प्रक्षेपण अंकित है। o. खंड o - क्षैतिज,ओ "ए" - बिंदु के घूर्णन की त्रिज्या का ललाट प्रक्षेपणलेकिन। जीवन आकारओए बिंदु रोटेशन त्रिज्यालेकिन 2.3 में वर्णित तरीके से परिभाषित किया गया है (देखिए आकृति 2.9), यानी एक समकोण त्रिभुज की रचना करके। पैरों परओए और एए \u003d ओ "2" एक त्रिकोण बनाया गया हैओआ, इसका कर्ण बिंदु के घूर्णन की त्रिज्या के बराबर हैलेकिन।

के बारे में एक प्रक्षेपण से केन्द्र बिन्दुलेकिन इसकी गति के तल के ट्रेस Ph की दिशा में, हम रोटेशन की त्रिज्या के प्राकृतिक मान को अलग रखते हैं। क्षैतिज प्रक्षेपण को चिह्नित करनाए, अंक ए, समतल के समांतर त्रिभुज की स्थिति में घुमाया गयाएन। क्षैतिज प्रक्षेपण बीटी बिंदुपर घुमाई गई स्थिति में हम क्षैतिज प्रक्षेपण के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में पाते हैं 1-एटी ट्रेस क्यू एच के साथ। क्षैतिज प्रक्षेपण a1cb1 A . का प्राकृतिक मान व्यक्त करता हैएबीसी, चूँकि घूर्णन के बाद त्रिभुज का तल समतल के समानांतर होता हैएन। घुमाए गए त्रिभुज का ललाट प्रक्षेपण क्षैतिज के ललाट प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है 1 "एस", अर्थात्, यह एक सीधी रेखा खंड है।

यदि आप समतल ज्यामितीय छवि को समतल के समानांतर स्थिति में घुमाना चाहते हैंवी, फिर ललाट को रोटेशन की धुरी के लिए चुना जाता है।

प्लेन को उसके ट्रेस के चारों ओर तब तक घुमाएँ जब तक कि वह संबंधित प्रोजेक्शन प्लेन के साथ मेल न कर ले(इस मामले को संयोजन विधि भी कहा जाता है)। यदि प्लेन को उसके ट्रेस के चारों ओर तब तक घुमाया जाता है जब तक कि यह उस प्रोजेक्शन प्लेन से मेल नहीं खाता जिसमें यह ट्रेस स्थित है, तब प्लेन में स्थित ज्यामितीय छवियों को बिना विरूपण के प्रदर्शित किया जाएगा। यह विधि क्षैतिज या ललाट के चारों ओर घूमने का एक विशेष मामला है, क्योंकि विमान के क्षैतिज निशान को क्षैतिज विमान के "शून्य" क्षैतिज के रूप में माना जा सकता है, और ललाट का निशान "शून्य" ललाट के रूप में माना जा सकता है।

चित्र 5.14 सामान्य स्थिति के तल के घूर्णन का एक दृश्य प्रतिनिधित्व दिखाता हैआर क्षैतिज ट्रैक के आसपासपी एच विमान से दिशा मेंवी विमान के साथ संरेखित होने तक दर्शक के लिएएन। विमान संरेखण स्थिति मेंविमान के साथ आर

H सीधी रेखा P Uq एक निशान हैआर और, विमान के साथ गठबंधनएन. ट्रेस Ph कैसे घूर्णन की धुरी अपनी स्थिति नहीं बदलती है। दूरसंचार विभागआरएक्स निशानों का प्रतिच्छेदन भी अपनी स्थिति नहीं बदलता है। एक संयुक्त स्थिति बनाने के लिएपी एल, एक ट्रेस पी वी एक और बिंदु खोजने के लिए पर्याप्त है, उदाहरण के लिए बिंदुएन, यह ट्रेस (बिंदु को छोड़करआर एक्स) विमान के साथ संरेखित स्थिति मेंएन।

बिंदु संख्या एक विमान में एक चाप का वर्णन करता हैक्यू, घूर्णन की धुरी के लंबवत। केंद्रहे यह चाप समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु हैक्यू ट्रेस पी एच के साथ। बिंदु N 0 समतल H . पर त्रिज्या के चाप का प्रतिच्छेदन बिंदु हैप्लेन Q में ट्रेस Q h के साथ ON। P x और N 0 से एक सीधी रेखा खींचते हुए, हमें P U0 प्राप्त होता है। खंड पी एक्स एन जब विमान घूमता है तो इसकी लंबाई नहीं बदलती है; तो बिंदुएन0 पार करके प्राप्त किया जा सकता हैक्यू एच एक विमान में वर्णित चाप के साथ H, बिंदु Р x से त्रिज्या P X N के साथ।

ट्रेस पर ड्राइंग (चित्र 5.15) पर विचार किए गए निर्माण करने के लिएआर और मनमाना बिंदु चयनितएन (यह इसके प्रक्षेपण के साथ मेल खाता हैपी")। इसके क्षैतिज प्रक्षेपण के माध्यम सेपी सीधेपर, रोटेशन की धुरी के लंबवत - ट्रेसपीएच.एच. इस रेखा पर एक बिंदु मिलता हैएन 0, यानी बिंदु एन विमान के साथ संरेखण के बादएन। वह दूरी में पाया गया थापी एक्स एन 0 \u003d पी एक्स एन "बिंदु पी एक्स . से या कुछ दूरी पर oN 0 बिंदु o से, बिंदु के घूर्णन की त्रिज्या के बराबर N. त्रिज्या लंबाई oN 0 = oN परिभाषित, उदाहरण के लिए, पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज के कर्ण के रूप मेंपर और nN (nN=nn")। सीधी रेखा P U0 , बिंदुओं से गुजरनापी एक्स और एन 0, - संयुक्त ट्रैक स्थितिआर मैं।

C0 बिंदु की संयुक्त स्थिति समान रूप से निर्मित होती है C. घूर्णन की त्रिज्या oC एक आयताकार के कर्ण के रूप में पाया गया

एक पैर वाला त्रिभुजमहासागर, दूसरा पैर cc = s "1. निर्माण का दूसरा संस्करण क्षैतिज विमान का उपयोग करके बनाया गया हैपी अनुमानों के साथ सी"2", सी -2। चाप त्रिज्या का उपयोग करनाआर एक्स 2" मिलान की स्थिति मिलीरेखा Pv0 पर 2o अंक 2, और संयुक्त स्थिति में 20सी0 एक बिंदु के माध्यम से एक क्षैतिज रेखा 2 0 पीएचडी के निशान के समानांतर।

यदि विमान को अनुमानों के ललाट तल के साथ जोड़ना आवश्यक है, तो विमान को उसके ललाट निशान के चारों ओर घुमाया जाना चाहिए।

§ 24. क्रांति के निकाय।

सिलेंडर, शंकु और काटे गए शंकु।

1. पक्ष के साथ वर्ग ए अपने अंत के माध्यम से विकर्ण के लंबवत के चारों ओर घूमता है। परिणामी शरीर की मात्रा और सतह का निर्धारण करें।

2. पक्ष के साथ वर्ग ए एक बाहरी अक्ष के चारों ओर घूमता है जो इसकी भुजा के समानांतर होता है और भुजा की लंबाई से इससे अलग होता है। आवश्यक: 1) परिणामी शरीर की मात्रा और सतह का निर्धारण करें; 2) यह निर्धारित करें कि वर्ग के घूर्णन से बनने वाले आयतन को उस सतह से किस अनुपात में विभाजित किया जाएगा जिसका विकर्ण वर्णन करेगा।

3. एक समबाहु त्रिभुज अपने सिरे से खींची गई भुजा के लंब के चारों ओर घूमता है। त्रिभुज की भुजाओं द्वारा वर्णित पृष्ठ एक दूसरे से किस प्रकार संबंधित हैं?

4. एक समबाहु त्रिभुज पहले भुजा के चारों ओर घूमता है, और फिर शीर्ष के माध्यम से खींची गई भुजा के समानांतर घूमता है। दूसरी बार, आयतन और सतह पहली बार से दोगुने बड़े प्राप्त होते हैं। सिद्ध करना।

5. एक भुजा के साथ एक समबाहु त्रिभुज ए एक बाहरी अक्ष के चारों ओर घूमता है जो कि भुजा के समानांतर होता है और इसे त्रिभुज के एपोथेम के बराबर दूरी से हटा दिया जाता है। परिणामी शरीर की मात्रा और सतह का निर्धारण करें।

6. एक तरफ ए एक समबाहु त्रिभुज को उसकी लंबाई तक बढ़ाया जाता है, और उस पर एक लंब विस्तार के अंत तक खींचा जाता है। यदि त्रिभुज को इस लंब के चारों ओर घुमाया जाए तो शरीर का आयतन और सतह ज्ञात कीजिए।

7. एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई को उसके शीर्ष से आगे उसकी लंबाई तक बढ़ाया जाता है, और विस्तार के अंत के माध्यम से इसके लिए एक लंबवत खींचा जाता है। किनारे से ए इस लंबवत के चारों ओर त्रिभुज के घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन और सतह निर्धारित करें।

8. वर्ग की भुजाएँ बाहर निर्मित समबाहु त्रिभुजों की भुजाओं के रूप में कार्य करती हैं, और परिणामी आकृति दो विपरीत त्रिभुजों के बाहरी शीर्षों को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा के चारों ओर घूमती है। वर्ग की भुजा है ए . परिणामी शरीर की मात्रा और सतह का निर्धारण करें।

9. किनारे से ए एक नियमित षट्भुज का, इसके घूर्णन द्वारा गठित पिंडों का आयतन और सतह निर्धारित करें: 1) व्यास के चारों ओर; 2) एपोथेम के आसपास।

10. किनारे से ए एक नियमित षट्भुज के किनारे के चारों ओर घूमने से बनने वाले शरीर का आयतन और सतह निर्धारित करते हैं।

11. ए इस शीर्ष पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत अपने शीर्ष से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमता है। क्रांति के शरीर की मात्रा और सतह का निर्धारण करें।

12. पक्ष के साथ नियमित षट्भुज ए एक बाहरी अक्ष के चारों ओर घूमता है जो कि पक्ष के समानांतर होता है और इसे एपोथेम की लंबाई से अलग करता है। परिणामी शरीर की मात्रा और सतह का निर्धारण करें।

13. 5 सेमी और 12 सेमी पैरों वाला एक समकोण त्रिभुज बाहरी अक्ष के चारों ओर घूमता है, जो बड़े पैर के समानांतर और उससे 3 सेमी दूर है। क्रांति के शरीर की मात्रा और सतह का निर्धारण करें।

14. 15 सेमी और 20 सेमी पैरों वाला एक समकोण त्रिभुज कर्ण के लंबवत के चारों ओर घूमता है, जो एक बड़े न्यून कोण के शीर्ष के माध्यम से खींचा जाता है। क्रांति के शरीर की मात्रा और सतह का निर्धारण करें।

15. 9 सेमी, 10 सेमी और 17 सेमी भुजाओं वाला एक त्रिभुज अपने छोटे कोण के शीर्ष से खींची गई ऊंचाई के चारों ओर घूमता है। परिणामी शरीर की मात्रा और सतह का निर्धारण करें।

16. 8 सेमी और 5 सेमी की भुजाओं वाला एक त्रिभुज जिसमें 60° का कोण होता है, अपनी छोटी भुजाओं के लंबवत इस कोण के शीर्ष से गुजरने वाली एक अक्ष के परितः घूमता है। क्रांति के शरीर की मात्रा और सतह का निर्धारण करें।

17. एक समांतर चतुर्भुज को दो आसन्न भुजाओं के चारों ओर क्रमिक रूप से घुमाने से बनने वाले आयतन इन भुजाओं के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। सिद्ध करना।

18. एक समचतुर्भुज जिसका क्षेत्रफल Q है, एक भुजा के चारों ओर घूमता है। परिणामी शरीर की सतह का निर्धारण करें।

19. 1) एक भुजा वाला समचतुर्भुज ए और 60° का एक न्यून कोण इस कोण के शीर्ष के माध्यम से खींची गई धुरी के चारों ओर लंबवत घूमता है। क्रांति के शरीर की मात्रा और सतह का निर्धारण करें।

2) 45° के कोण के लिए भी यही समस्या है।

20. एक समद्विबाहु समलम्बाकार, जिसमें न्यून कोण 45° होता है और भुजा छोटे आधार के बराबर होती है, भुजा के चारों ओर घूमती है। इसकी लंबाई के साथ ए क्रांति के शरीर की मात्रा और सतह क्षेत्र का निर्धारण करें।

21. त्रिज्या R के अर्धवृत्त में एक समलम्ब को इस प्रकार अंकित किया गया है कि इसका निचला आधार इस वृत्त का व्यास है, और पार्श्व भुजा चाप को 30° से घटाती है। इस समलम्ब चतुर्भुज के आधार के लंबवत त्रिज्या के चारों ओर घूमने से बने पिंड का आयतन और सतह निर्धारित करें।

22. AB त्रिज्या R के दिए गए अर्धवृत्त का व्यास है; BC चाप जिसमें 60° है। एक जीवा एसी और एक स्पर्शरेखा सीडी खींची जाती है, जहां डी व्यास एबी की निरंतरता पर एक बिंदु है। त्रिभुज ACD को AD अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन और सतह ज्ञात कीजिए।

गेंद और उसके हिस्से।

23. त्रिज्या R के एक अर्धवृत्त पर इसके व्यास AB के अंत से, 60 ° का एक IUD चाप रखा गया है, और बिंदु C को A से जोड़ा गया है। यदि हम AB के चारों ओर बंधी हुई आकृति को घुमाते हैं तो शरीर का आयतन और सतह निर्धारित करें। व्यास AB, जीवा AC और चाप IUD द्वारा।

24. त्रिज्या R के एक अर्धवृत्त पर इसके व्यास AB के अंत से 45° का चाप BMC खींचा जाता है, बिंदु C से एक स्पर्श रेखा खींची जाती है जो व्यास AB की निरंतरता को बिंदु D पर काटती है। यह आकृति सीधी रेखाओं BD और सीडी और चाप बीएमसी बीडी के चारों ओर घूमता है। परिणामी शरीर की मात्रा और सतह का निर्धारण करें।

25. O त्रिज्या R वाले AMC चाप का केंद्र है; त्रिज्या OA की निरंतरता पर B-बिंदु; BC-स्पर्शरेखा चाप AMC; सीडी - त्रिज्या ओए के लंबवत। आकृति OB अक्ष के चारों ओर घूमती है। दूरी OD निर्धारित करें यदि AMC चाप के घूर्णन से बनने वाली सतह त्रिभुज OSV के अक्ष OB के चारों ओर घूमने से बने आयतन को समद्विभाजित करती है।

26. AMC, CND और DPB व्यास AB और केंद्र O वाले अर्धवृत्त के लगातार तिहाई हैं। त्रिज्या OS और OD और जीवाएँ AC और AD खींची गई हैं, और आकृति व्यास AB के चारों ओर घूमती है। सिद्ध कीजिए कि ACND और OCND अंक समान आयतन का वर्णन करते हैं, प्रत्येक गेंद का आधा आयतन बनाते हैं।

27. एक वृत्ताकार खंड जीवा के समानांतर एक व्यास के चारों ओर घूमता है। सिद्ध करें कि परिणामी आयतन एक गोले के आयतन के बराबर है जिसका व्यास खंड की जीवा के बराबर है।

28. 1) AOB - केंद्र O और त्रिज्या R वाला चतुर्थांश; एएमसी - चाप जिसमें 60 डिग्री है; AD- स्पर्शरेखा, और D त्रिज्या OS की निरंतरता के साथ इसके प्रतिच्छेदन का बिंदु है। खंड AD और CD से घिरा हुआ आंकड़ा और चाप AMC त्रिज्या OB के चारों ओर घूमता है। परिणामी शरीर की मात्रा और सतह का निर्धारण करें।

2) 45° के बराबर AMC चाप के लिए भी यही समस्या है।

गुल्डेन के प्रमेय।

29. रोटेशन के मामलों के लिए हल्डेन के दोनों प्रमेयों की जाँच करें:

1) इसकी एक भुजा के चारों ओर एक आयत;

2) एक पक्ष के साथ समचतुर्भुज ए और ऊंचाई एच इसके एक किनारे के आसपास;

3) एक भुजा के साथ एक नियमित त्रिभुज ए आधार के समानांतर शीर्ष से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर;

4) पैरों में से एक के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज;

5) कर्ण के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज।

30. लोहे की अंगूठी का क्रॉस सेक्शन - एक तरफ वाला वर्ग ए = 4 सेमी; औसत रिंग व्यास डी = 80 सेमी और इसका विशिष्ट गुरुत्व 8.6 है। अंगूठी का वजन पाएं।

31. एक लाइफबॉय, जिसका क्रॉस सेक्शन एक वृत्त है, को किसी अक्ष के चारों ओर एक वृत्त के घूमने के परिणामस्वरूप एक पिंड के रूप में माना जा सकता है। खंड व्यास डी =12 सेमी; लाइफबॉय डी का बाहरी व्यास = 75 सेमी। लाइफबॉय की सतह और इसकी मात्रा की गणना करें।

32. लोकोमोटिव डिपो में योजना में अर्धवृत्त का रूप होता है (चित्र 44), जिसका आंतरिक व्यास 20 मीटर है; हाफ-रिंग चौड़ाई 9 मीटर; अनुप्रस्थ काट में, डिपो में एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज ABCD का रूप है, जिसकी समानांतर भुजाएँ 4.25 m और 6.5 m हैं। डिपो का आयतन ज्ञात कीजिए।

33. त्रिभुज की भुजाएँ 9 सेमी, 10 सेमी और 17 सेमी हैं। त्रिभुज अपनी अधिक ऊँचाई के चारों ओर घूमता है। क्रांति के शरीर की सतह की मात्रा निर्धारित करें।

34. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज को आधार के चारों ओर घुमाकर और त्रिभुज के शीर्ष से गुजरने वाले आधार के समांतर एक सीधी रेखा के चारों ओर घुमाकर प्राप्त आयतनों का अनुपात 1:2 है।

विषय की सामग्री का अध्ययन करते समय, आपको सीखने की जरूरत है:

क्रांति के निकायों के प्रकार;

क्रांति के निकायों की परिभाषा;

क्रांति के निकायों के तत्वों की परिभाषा;

एक बेलन और एक शंकु के विकास की अवधारणा;

सिलेंडर और शंकु के पार्श्व और पूर्ण सतह की परिभाषा और गणना;

गोले और उसके गुणों के स्पर्शरेखा तल की परिभाषा;

एक गोले के सतह क्षेत्र की अवधारणा;

एक गोले में खुदा हुआ और उसके चारों ओर वर्णित पॉलीहेड्रॉन की परिभाषा।

समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, निम्नलिखित कौशल का परीक्षण किया जाता है:

क्रांति के निकायों का चित्रण;

क्रांति के निकायों के तत्वों की गणना करें;

निकायों के वर्गों को चित्रित करें;

सिलेंडर और शंकु के पार्श्व और पूर्ण सतह के क्षेत्र की गणना करें;

एक गोले के लिए एक समीकरण लिखिए।

सैद्धांतिक परीक्षण के प्रश्न

विकल्प 1

1. बेलनाकार सतह और उसके तत्वों की अवधारणा। बेलन और उसके तत्वों की परिभाषा लिखिए।

2. किसी गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।

3. शंकु के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल और अक्षीय भाग का अनुपात ज्ञात कीजिए।

विकल्प 2

1. एक शंक्वाकार सतह की अवधारणा। एक शंकु और उसके तत्वों की परिभाषा तैयार करें।

2. एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के चारों ओर परिबद्ध गोले के केंद्र की स्थिति ज्ञात कीजिए। अपना दावा साबित करें।

3. पार्श्व सतह के क्षेत्रफल और बेलन के अक्षीय भाग का अनुपात ज्ञात कीजिए।

विकल्प 3

1. एक काटे गए शंकु और उसके तत्वों की परिभाषा बनाइए।

2. एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में खुदे हुए गोले के केंद्र की स्थिति निर्धारित करें। अपना दावा साबित करें।

3. सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु शंकु की कुल सतह शंकु की ऊंचाई के व्यास वाली गेंद की सतह के बराबर होती है।

विकल्प 4

1. गोले और गेंद की परिभाषाएँ बनाइए। बिंदु O(0; 0; 0) और बिंदु A(x0; y0; z0) पर केन्द्रित त्रिज्या R के एक गोले के समीकरण लिखिए।

2. शंकु के पार्श्व पृष्ठ की गणना के लिए सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।

3. सिद्ध कीजिए कि एक बेलन की पूरी सतह का क्षेत्रफल उसी त्रिज्या के दूसरे बेलन की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जिसकी ऊँचाई इस बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई के योग के बराबर होती है .

स्वतंत्र कार्य 17

विकल्प 1

1. बेलन के अक्षीय भाग का क्षेत्रफल 16 है। इस बेलन के उस खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो अक्ष के समांतर है और उससे दूरी पर स्थित है जो आधार की त्रिज्या के आधे के बराबर है। सिलेंडर।

2. अर्धवृत्त एक शंक्वाकार सतह में मुड़ा हुआ है। जेनरेटर और शंकु की ऊंचाई के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

3. दो गेंदों की त्रिज्याएँ 16 और 20 dm हैं, उनके केंद्रों के बीच की दूरी 25 dm है। उस वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए जहाँ उनकी सतहें प्रतिच्छेद करती हैं।

विकल्प 2

1. बेलन के आधार की त्रिज्या 26 सेमी है, जिससे 4.8 डीएम बनता है। बेलन की धुरी से कितनी दूरी पर एक खंड खींचा जाना चाहिए जो अक्ष के समानांतर हो और एक वर्ग के आकार का हो?

2. त्रिज्यखंड की त्रिज्या 3 मीटर है, इसका कोण 120° है। सेक्टर एक शंक्वाकार सतह में मुड़ा हुआ है। शंकु के आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

3. समचतुर्भुज के विकर्ण 30 और 40 सेमी हैं। गोलाकार सतह समचतुर्भुज के सभी पक्षों को स्पर्श करती है। यदि गोले की त्रिज्या 13 सेमी है, तो गोले के केंद्र से समचतुर्भुज के तल तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

विकल्प 3

1. बेलन के आधार की त्रिज्या 12 सेमी है। अक्षीय खंड और आधे क्षेत्रफल वाले खंड के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

2. शंकु की पार्श्व सतह का विकास कोण 120° है। शंकु का जनक 15 सेमी है। शंकु के आधार के व्यास की गणना करें।

3. एक समचतुर्भुज 10 सेमी त्रिज्या वाली एक गेंद पर इस प्रकार आरोपित किया जाता है कि 12.5 सेमी के बराबर उसकी प्रत्येक भुजा गेंद को स्पर्श करे। समचतुर्भुज का तल गेंद के केंद्र से 8 सेमी दूर है, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

विकल्प 4

1. बेलन के जेनरेट्रिक्स के माध्यम से दो परस्पर लंबवत खंड खींचे जाते हैं, जिनका क्षेत्रफल 60 और 80 dm के बराबर होता है। अक्षीय खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2. शंकु के आधार की त्रिज्या 12 सेमी है, जो 40 सेमी बनाती है। इस शंकु के स्वीप कोण की गणना करें।

3. त्रिभुज की भुजाएँ 10 डीएम, 10 डीएम और 12 डीएम हैं। त्रिभुज के तल से गेंद के केंद्र से त्रिभुज की भुजाओं की स्पर्शरेखा की दूरी ज्ञात कीजिए। गेंद की त्रिज्या 5 डीएम है।

स्वतंत्र कार्य 18

विकल्प 1

1. बेलन के अक्षीय भाग का विकर्ण उसके आधार के व्यास से 25% अधिक है। बेलन का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि उसके केंद्रों के बीच की दूरी 15 सेमी है।

2. सिलेंडर की पार्श्व सतह का विकास - 4 डीएम के किनारे वाला एक वर्ग। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

3. काटे गए शंकु के अक्षीय खंड के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, शंकु की ऊंचाई एच है, जिससे एल बनता है। शंकु की पार्श्व सतह का पता लगाएं।

4. शंकु के आधार की त्रिज्या 12 सेमी है, जो 40 सेमी बनाती है। शंकु की पार्श्व सतह के विकास के कोण का पता लगाएं।

5. एक काटे गए शंकु का जनक 10 सेमी, आधार अंतर 6 सेमी, अक्षीय खंड क्षेत्र 112 सेमी2। शंकु की पार्श्व सतह का पता लगाएं।

6. एक समांतर चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ 21 सेमी और 89 सेमी हैं और जिसका विकर्ण 100 सेमी है, छोटी भुजा के चारों ओर घूमता है। क्रांति के शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए।

7. एक समकोण त्रिभुज जिसकी टाँगें 16 और 12 सेमी हैं, कर्ण के चारों ओर चक्कर लगाता है। घूर्णन का आयतन और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

विकल्प 2

1. बेलन की पार्श्व सतह इसकी कुल सतह का आधा है। बेलन की कुल सतह ज्ञात कीजिए यदि अक्षीय खंड का विकर्ण 10 इंच है।

2. बेलन का कुल पृष्ठ 500 p cm2 है, इसके आधार का व्यास 20 cm है ​​बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

3. एक काटे गए शंकु का जेनरेट्रिक्स इसकी ऊंचाई को 41:40 के रूप में दर्शाता है। आधार त्रिज्या 24 और 6 सेमी हैं। शंकु की पार्श्व सतह खोजें।

4. शंकु की पार्श्व सतह का विकास कोण 120° है। शंकु का जनक 15 सेमी है। शंकु की कुल सतह ज्ञात कीजिए।

5. एक काटे गए शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, यदि इसकी पार्श्व सतह आधारों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है, और आधारों की त्रिज्याएँ R और r हैं।

6. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज जिसके आधार 12 और 18 सेमी हैं और 60° का न्यून कोण एक छोटे आधार के चारों ओर घूमता है। क्रांति के शरीर की सतह और आयतन ज्ञात कीजिए।

7. एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ 5 सेमी और 8 सेमी के बराबर हैं, 60 ° का कोण बनाते हैं, सबसे बड़ी भुजा के चारों ओर घूमते हैं। क्रांति के शरीर की सतह और आयतन ज्ञात कीजिए।

स्वतंत्र कार्य 19

विकल्प 1

1. एक समकोण त्रिभुज जिसकी टाँगें 16 और 12 सेमी हैं, कर्ण के चारों ओर चक्कर लगाता है। क्रांति के शरीर की सतह का पता लगाएं।

2. गोलाकार पेटी के आधारों की त्रिज्या 63 और 39 सेमी है, इसकी ऊंचाई 36 सेमी है। गोलाकार बेल्ट की सतह का पता लगाएं।

3. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई h. पार्श्व पसलियां परस्पर लंबवत होती हैं। परिबद्ध गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

4. एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड में, ऊँचाई 17 सेमी है, आधारों के चारों ओर वर्णित वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 और 12 सेमी हैं। परिबद्ध गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

5. एक वर्ग जिसकी भुजा बराबर होती है, विकर्ण के लंब के चारों ओर घूमता है, जो इसके सिरे से होकर जाता है। परिणामी शरीर की सतह का पता लगाएं।

विकल्प 2

1. एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ 5 और 8 सेमी हैं, जो 60° का कोण बनाती है, सबसे बड़ी भुजा के चारों ओर घूमती है। क्रांति के शरीर की सतह का पता लगाएं।

2. गोलाकार खंड की कुल सतह S के बराबर है। यदि गेंद की त्रिज्या R है तो खंड की ऊंचाई निर्धारित करें।

3. पिरामिड का आधार एक नियमित त्रिभुज है, जिसकी भुजा 3 dm है। पार्श्व किनारों में से एक 2 डीएम और आधार के लंबवत है। परिबद्ध गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

4. एक नियमित चतुष्कोणीय काटे गए पिरामिड के आधारों की भुजाएँ 7 और 1 dm हैं। भुजा का किनारा आधार की ओर 45° के कोण पर झुका हुआ है। परिबद्ध गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

5. एक नियमित षट्भुज, जिसकी भुजा a है, बाहरी अक्ष के चारों ओर घूमता है, जो भुजा के समानांतर है और इससे एपोथेम की लंबाई से दूरी है। परिणामी शरीर की सतह का पता लगाएं।

स्वतंत्र कार्य 20

विकल्प 1

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का पार्श्व किनारा b के बराबर है और आधार तल के साथ एक कोण बनाता है। पिरामिड में एक समबाहु बेलन इस प्रकार अंकित किया जाता है कि आधार का तल पिरामिड के आधार के तल में स्थित हो। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

2. पिरामिड का आधार एक नियमित त्रिभुज है। एक साइड का किनारा बेस प्लेन के लंबवत है और l के बराबर है, और अन्य दो बेस प्लेन के साथ एक कोण बनाते हैं। पिरामिड में एक सीधा प्रिज्म खुदा हुआ है, जिसके तीन कोने पिरामिड के पार्श्व किनारों पर स्थित हैं, और अन्य तीन पिरामिड के आधार पर स्थित हैं, प्रिज्म के पार्श्व चेहरे का विकर्ण आधार के तल के साथ है ख. प्रिज्म की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

3. एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म में, पार्श्व फलक का क्षेत्रफल q के बराबर होता है। विकर्ण खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

4. गेंद के व्यास के लंबवत एक तल इसे 3 और 9 सेमी के भागों में विभाजित करता है। गेंद के आयतन को किन भागों में विभाजित किया जाता है?

विकल्प 2

1. शंकु के अक्षीय खंड के शीर्ष पर कोण 2b है। आधार की परिधि c है। शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2. एक काटे गए शंकु के अक्षीय खंड के विकर्णों को बड़े आधार से गिनते हुए 2: 1 के अनुपात में प्रतिच्छेदन बिंदु से विभाजित किया जाता है। आधार के सामने वाले विकर्णों के बीच का कोण है a. विकर्ण एल है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

3. एक समांतर चतुर्भुज का पार्श्व किनारा 5 सेमी है, आधार की भुजाएँ 6 और 8 सेमी हैं, आधार का एक विकर्ण 12 सेमी है। समांतर चतुर्भुज के विकर्ण ज्ञात कीजिए।

4. गेंद के व्यास के 0.1 की ऊंचाई वाले गोलाकार खंड का आयतन गेंद के आयतन का कितना भाग है?

विकल्प 3

1. शंकु का जनित्र l के बराबर है और कोण a पर आधार के तल की ओर झुका हुआ है। अंकित घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2. शंकु के आधार में एक वर्ग खुदा हुआ है, जिसकी भुजा a है। इस वर्ग की एक भुजा और शंकु के शीर्ष से गुजरने वाला तल, जब शंकु की सतह के साथ प्रतिच्छेद करता है, एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है, जिसका शीर्ष कोण a के बराबर होता है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

3. एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के आधार की भुजा 15 सेमी और ऊँचाई 20 सेमी है। आधार की भुजा से उस प्रिज्म के विकर्ण तक की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए जो इसे प्रतिच्छेद नहीं करती है।

4. दो बराबर गेंदों को व्यवस्थित किया जाता है ताकि एक का केंद्र दूसरे की सतह पर स्थित हो। गेंदों के कुल भाग का आयतन पूरी गेंद के आयतन से किस प्रकार संबंधित है?

विकल्प 4

1. एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म जिसमें समान पसली होती है, एक शंकु में अंकित होता है, जिसका जनक कोण a पर आधार के तल की ओर झुका होता है। यदि शंकु के आधार की त्रिज्या R है तो प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए।

2. शंकु का आयतन V है। शंकु में एक पिरामिड खुदा हुआ है, जिसके आधार पर एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजाओं के बीच कोण a है। पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए।

3. एक समांतर चतुर्भुज में, पार्श्व किनारा 1 मीटर है, आधार की भुजाएँ 23 डीएम और 11 डीएम हैं, आधार के विकर्ण 2: 3 हैं। विकर्ण वर्गों के क्षेत्र खोजें।

4. आधार a के किनारे और किनारे b पर, एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म की पूरी सतह का पता लगाएं।