कंप्यूटर विज्ञान, साइबरनेटिक्स और प्रोग्रामिंग

एन सेवा चैनलों के साथ एक सेवा प्रणाली को तीव्रता λ के साथ अनुरोधों का पॉइसन प्रवाह प्राप्त होता है। प्रत्येक चैनल द्वारा अनुरोध सेवा की तीव्रता। सेवा समाप्त होने के बाद, सभी चैनल मुक्त हो जाते हैं। ऐसी कतार प्रणाली के व्यवहार को मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया टी द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो सिस्टम में अनुरोधों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

2. बड़े पैमाने पर प्रवाह के लिए इनकार और पूर्ण पारस्परिक सहायता के साथ क्यूएस। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित रिश्ते।

समस्या का निरूपण.एन सेवा चैनलों के साथ एक सेवा प्रणाली को तीव्रता λ के साथ अनुरोधों का पॉइसन प्रवाह प्राप्त होता है। प्रत्येक चैनल द्वारा किसी एप्लिकेशन की सर्विसिंग की तीव्रता µ है। एप्लिकेशन को सभी चैनलों द्वारा एक साथ सेवा प्रदान की जाती है। सेवा समाप्त होने के बाद, सभी चैनल मुक्त हो जाते हैं। यदि कोई नया आया अनुरोध अनुरोध पकड़ लेता है, तो उसे भी सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाता है। कुछ चैनल पहले अनुरोध को परोसना जारी रखते हैं, जबकि बाकी नए अनुरोध को परोसना जारी रखते हैं। यदि सिस्टम पहले से ही n अनुप्रयोगों की सेवा कर रहा है, तो नए आए आवेदन को अस्वीकार कर दिया जाता है। ऐसी कतार प्रणाली के व्यवहार को मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया ξ(t) द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो सिस्टम में अनुरोधों की संख्या है।

इस प्रक्रिया की संभावित अवस्थाएँ E = (0, 1,..., n)। आइए स्थिर मोड में विचारित क्यूएस की विशेषताओं का पता लगाएं।

विचाराधीन प्रक्रिया से संबंधित ग्राफ़ चित्र 1 में प्रस्तुत किया गया है।

चावल। 1. विफलताओं के साथ क्यूएस और पॉइसन प्रवाह के लिए पूर्ण पारस्परिक सहायता

आइए बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं:

इस प्रणाली का समाधान इस प्रकार है:

यहां χ =λ/nµ सभी चैनलों द्वारा एक अनुरोध की सेवा के औसत समय के दौरान सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुरोधों की औसत संख्या है।

विफलताओं और चैनलों के बीच पूर्ण पारस्परिक सहायता के साथ मल्टी-चैनल कतार प्रणाली की विशेषताएं।

1. सेवा से इनकार की संभावना (संभावना है कि सभी चैनल व्यस्त हैं):

2. अनुरोध को पूरा करने की संभावना (सापेक्ष सिस्टम क्षमता):

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समीकरणों की प्रणाली

सर्विसिंग प्रवाह की यादृच्छिक संख्या के लिए विफलताओं के साथ क्यूएस; पॉइसन प्रवाह के लिए वेक्टर मॉडल। ग्राफ, समीकरणों की प्रणाली.

आइए क्यूएस को एक वेक्टर के रूप में प्रस्तुत करें, जहां के एम- सिस्टम में अनुप्रयोगों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक की सेवा ली गई है एमउपकरण; एल= क्यूअधिकतम - क्यून्यूनतम +1 - इनपुट स्ट्रीम की संख्या।

यदि सेवा के लिए अनुरोध स्वीकार कर लिया जाता है और सिस्टम तीव्रता λ वाली स्थिति में प्रवेश करता है एम.

जब अनुरोधों में से किसी एक की सर्विसिंग पूरी हो जाती है, तो सिस्टम एक ऐसी स्थिति में चला जाएगा जिसमें संबंधित समन्वय का मान उस स्थिति से एक कम है, =, यानी। विपरीत संक्रमण घटित होगा.

के लिए वेक्टर QS मॉडल का एक उदाहरण एन = 3, एल = 3, क्यूमिनट = 1, क्यूअधिकतम = 3, पी(एम) = 1/3, λ Σ = λ, डिवाइस रखरखाव तीव्रता - μ।

प्लॉट किए गए संक्रमण तीव्रता के साथ राज्य ग्राफ का उपयोग करके, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है। इन समीकरणों के हल से सम्भावनाएँ ज्ञात की जाती हैं आर(), जिसके द्वारा QS की विशेषताएँ निर्धारित की जाती हैं।

पॉइसन के लिए अनंत कतार वाला एक QS प्रवाहित होता है। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित रिश्ते।

सिस्टम ग्राफ

समीकरणों की प्रणाली

कहाँ एन- सेवा चैनलों की संख्या, एल- परस्पर सहायक चैनलों की संख्या

अनंत कतार वाला एक क्यूएस और मनमाने प्रवाह के लिए आंशिक पारस्परिक सहायता। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित रिश्ते।

सिस्टम ग्राफ

समीकरणों की प्रणाली

–λ आर 0 + एनμ आर 1 =0,

.………………

–(λ + एनμ) पी के+ λ पी के –1 + एनμ पी के +1 =0 (क = 1,2, ... , एन–1),

……………....

-(λ+ एनμ) पीएन+ λ पी एन –1 + एनμ Р एन+1=0,

……………….

-(λ+ एनμ) पन्+ज+ λ Р एन+जे –1 + एनμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)

अनंत कतार के साथ क्यूएस और मनमाने धागों के लिए पूर्ण पारस्परिक सहायता। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित रिश्ते।

सिस्टम ग्राफ

…

समीकरणों की प्रणाली

पॉइसन के लिए एक सीमित कतार वाला QS प्रवाहित होता है। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित रिश्ते।

सिस्टम ग्राफ

समीकरणों की प्रणाली

गणना अनुपात.

आइए एक मल्टी-चैनल कतार प्रणाली (कुल एन चैनल) पर विचार करें, जो तीव्रता λ के साथ अनुरोध प्राप्त करती है और तीव्रता μ के साथ सेवा प्रदान करती है। यदि कम से कम एक चैनल मुफ़्त है तो सिस्टम में आने वाले अनुरोध की सेवा की जाती है। यदि सभी चैनल व्यस्त हैं, तो सिस्टम में प्राप्त अगला अनुरोध अस्वीकार कर दिया जाता है और क्यूएस छोड़ देता है। आइए सिस्टम की स्थिति को कब्जे वाले चैनलों की संख्या के आधार पर क्रमांकित करें:

• एस 0 - सभी चैनल निःशुल्क हैं;
• एस 1 - एक चैनल व्यस्त है;
• एस 2 - दो चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है;
• एसक- व्यस्त कचैनल;
• एसएन- सभी चैनल व्यस्त हैं।

यह स्पष्ट है कि सिस्टम अनुरोधों के इनपुट प्रवाह के प्रभाव में एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित होता है। आइए इस कतार प्रणाली के लिए एक राज्य ग्राफ़ बनाएं।

चावल। 7.24
चित्र 6.24 एक राज्य ग्राफ दिखाता है जिसमें एसमैं- चैनल संख्या; λ - प्राप्त अनुरोधों की तीव्रता; μ - तदनुसार, सर्विसिंग अनुरोधों की तीव्रता। अनुरोध निरंतर तीव्रता के साथ कतार प्रणाली में प्रवेश करते हैं और धीरे-धीरे एक के बाद एक चैनलों पर कब्जा कर लेते हैं; जब सभी चैनल व्यस्त होंगे, तो QS पर आने वाला अगला अनुरोध अस्वीकार कर दिया जाएगा और सिस्टम छोड़ दिया जाएगा।
आइए हम घटना प्रवाह की तीव्रता निर्धारित करें जो सिस्टम को राज्य ग्राफ के साथ बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों ओर ले जाने पर एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करता है।
उदाहरण के लिए, राज्य में व्यवस्था बनी रहे एस 1, यानी एक चैनल व्यस्त है, क्योंकि इसके इनपुट पर एक अनुरोध है। जैसे ही अनुरोध की सर्विसिंग पूरी हो जाएगी, सिस्टम राज्य में चला जाएगा एस 0 .
उदाहरण के लिए, यदि दो चैनल व्यस्त हैं, तो सेवा प्रवाह जो सिस्टम को राज्य से स्थानांतरित करता है एसराज्य में 2 एस 1 दोगुना तीव्र होगा: 2-μ; तदनुसार, यदि व्यस्त हो कचैनल, तीव्रता k-μ है।

भरण-पोषण की प्रक्रिया मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया है। इस विशेष मामले के लिए कोलमोगोरोव समीकरणों का निम्नलिखित रूप होगा:

(7.25)
समीकरण (7.25) कहलाते हैं एर्लांग समीकरण .
राज्यों की संभाव्यता मान ज्ञात करने के लिए आर 0 , आर 1 , …, आरएन, प्रारंभिक शर्तें निर्धारित करना आवश्यक है:
– आर 0 (0) = 1, यानी सिस्टम के इनपुट पर एक अनुरोध है;
– आर 1 (0) = आर 2 (0) = … = आरएन(0) = 0, अर्थात समय के प्रारंभिक क्षण में सिस्टम मुक्त है।
विभेदक समीकरणों (7.25) की प्रणाली को एकीकृत करके, हम राज्य संभावनाओं के मान प्राप्त करते हैं आर 0 (टी), आर 1 (टी), … आरएन(टी).
लेकिन हम राज्यों की सीमित संभावनाओं में अधिक रुचि रखते हैं। जैसा कि t → ∞ और मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया पर विचार करते समय प्राप्त सूत्र का उपयोग करके, हम समीकरणों की प्रणाली का समाधान प्राप्त करते हैं (7.25):

(7.26)
इन सूत्रों में, तीव्रता अनुपात λ / μ अनुप्रयोगों के प्रवाह को नामित करना सुविधाजनक है ρ .यह मात्रा कहलाती है अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता को देखते हुए,अर्थात्, एक आवेदन की सर्विसिंग के औसत समय के दौरान क्यूएस पर आने वाले आवेदनों की औसत संख्या।

किए गए अंकन को ध्यान में रखते हुए, समीकरणों की प्रणाली (7.26) निम्नलिखित रूप लेगी:

(7.27)
सीमांत संभावनाओं की गणना के लिए इन सूत्रों को कहा जाता है एर्लांग सूत्र .
क्यूएस राज्यों की सभी संभावनाओं को जानने के बाद, हम क्यूएस दक्षता की विशेषताओं का पता लगाएंगे, यानी पूर्ण थ्रूपुट ए, सापेक्ष थ्रूपुट क्यूऔर विफलता की संभावना आरखुला
सिस्टम द्वारा प्राप्त आवेदन को अस्वीकार कर दिया जाएगा यदि उसे सभी चैनल व्यस्त मिलेंगे:

.
संभावना है कि आवेदन सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाएगा:

क्यू = 1 – आरखुला,
कहाँ क्यू- सिस्टम द्वारा सेवित प्राप्त आवेदनों का औसत हिस्सा, या समय की प्रति इकाई क्यूएस द्वारा सेवित आवेदनों की औसत संख्या, इस दौरान प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या से विभाजित:

A=λ·Q=λ·(1-पी खुला)
इसके अलावा, विफलताओं वाले क्यूएस की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक है व्यस्त चैनलों की औसत संख्या. में एन-चैनल क्यूएस विफलताओं के साथ, यह संख्या क्यूएस में अनुप्रयोगों की औसत संख्या के साथ मेल खाती है।
अनुरोधों की औसत संख्या k की गणना सीधे राज्यों P 0, P 1, ..., P n की संभावनाओं के माध्यम से की जा सकती है:

,
यानी हम एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा पाते हैं जो 0 से मान लेता है एनसंभावनाओं के साथ आर 0 , आर 1 , …, आरएन.
QS की पूर्ण क्षमता के माध्यम से k का मान व्यक्त करना और भी आसान है, अर्थात। A. मान A उन अनुप्रयोगों की औसत संख्या है जो सिस्टम द्वारा प्रति यूनिट समय में सेवित किए जाते हैं। एक व्यस्त चैनल समय की प्रति इकाई μ अनुरोधों को पूरा करता है, फिर व्यस्त चैनलों की औसत संख्या

समस्या का निरूपण.प्रवेश पर एन-चैनल QS को घनत्व λ के साथ अनुरोधों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त होता है। प्रत्येक चैनल के लिए सरलतम सेवा प्रवाह का घनत्व μ है। यदि सेवा के लिए प्राप्त अनुरोध में सभी चैनल निःशुल्क पाए जाते हैं, तो इसे सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाता है और एक साथ सेवा प्रदान की जाती है एल चैनल ( एल < एन). इस मामले में, एक एप्लिकेशन के लिए सेवाओं के प्रवाह में तीव्रता होगी एल.

यदि सेवा के लिए प्राप्त अनुरोध को सिस्टम में एक अनुरोध मिलता है, तो कब एन ≥ 2एलनए आए आवेदन को सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाएगा और साथ ही उसकी सेवा भी कर दी जाएगी एलचैनल.

यदि सेवा के लिए प्राप्त अनुरोध सिस्टम में पकड़ा जाता है मैंअनुप्रयोग ( मैं= 0.1, ...), जबकि ( मैं+ 1)एल≤ एन, तो प्राप्त आवेदन की सेवा कर दी जाएगी एलसमग्र प्रदर्शन वाले चैनल एल. यदि कोई नया प्राप्त आवेदन सिस्टम में पकड़ा जाता है जेअनुप्रयोग और एक ही समय में दो असमानताएँ संयुक्त रूप से संतुष्ट होती हैं: ( जे + 1)एल > एनऔर जे < एन, तो आवेदन सेवा हेतु स्वीकार कर लिया जायेगा। इस स्थिति में, कुछ अनुप्रयोगों की सेवा की जा सकती है एलचैनल, अन्य भाग से छोटा है एल, चैनलों की संख्या, लेकिन सभी सर्विसिंग में व्यस्त रहेंगे एनचैनल जो अनुप्रयोगों के बीच यादृच्छिक रूप से वितरित किए जाते हैं। यदि कोई नया प्राप्त आवेदन सिस्टम में पकड़ा जाता है एनआवेदन, तो इसे अस्वीकार कर दिया जाएगा और सेवा नहीं दी जाएगी। सर्विसिंग के लिए प्राप्त आवेदन को पूरा करने के लिए सेवा प्रदान की जाती है ("रोगी" आवेदन)।

ऐसी प्रणाली का राज्य ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 3.8.

चावल। 3.8. क्यूएस का ग्राफ विफलताओं और आंशिक के साथ बताता है

चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता

ध्यान दें कि सिस्टम का राज्य ग्राफ़ राज्य तक है एक्स एचप्रवाह मापदंडों के अंकन तक, यह विफलताओं के साथ शास्त्रीय कतार प्रणाली के राज्य ग्राफ के साथ मेल खाता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 3.6.

इस तरह,

(मैं = 0, 1, ..., एच).

राज्य से शुरू होने वाला सिस्टम स्थिति ग्राफ़ एक्स एचऔर राज्य के साथ समाप्त होता है एक्स एन, अंकन तक, चित्र में दिखाए गए पूर्ण पारस्परिक सहायता के साथ क्यूएस के राज्य ग्राफ के साथ मेल खाता है। 3.7. इस प्रकार,

.

आइए हम संकेतन का परिचय दें λ / एलμ = ρ एल ; λ / एनμ = χ, फिर

सामान्यीकृत स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

आगे के अंकन को छोटा करने के लिए, हम अंकन का परिचय देते हैं

आइए सिस्टम की विशेषताओं का पता लगाएं।

अनुरोध सेवा की संभावना

सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या है

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या

.

संभावना है कि कोई विशेष चैनल व्यस्त रहेगा

.

सभी सिस्टम चैनलों के अधिभोग की संभावना

3.4.4. विफलताओं और विषम प्रवाह वाली कतारबद्ध प्रणालियाँ

समस्या का निरूपण.प्रवेश पर एन-चैनल क्यूएस प्रणाली को कुल तीव्रता λ Σ, और के साथ एक विषम सरलतम प्रवाह प्राप्त होता है

λ Σ = ,

कहाँ λ मैं– अनुप्रयोगों की तीव्रता मैंवें स्रोत.

चूंकि अनुरोधों के प्रवाह को विभिन्न स्रोतों से आवश्यकताओं का सुपरपोजिशन माना जाता है, अभ्यास के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ संयुक्त प्रवाह को पॉइसन माना जा सकता है एन = 5...20 और λ मैं ≈ λ मैं +1 (मैं1,एन). एक उपकरण की सेवा तीव्रता एक घातांकीय नियम के अनुसार वितरित की जाती है और μ = 1/ के बराबर होती है टी. किसी अनुरोध को पूरा करने के लिए सर्विसिंग उपकरणों को श्रृंखला में जोड़ा जाता है, जो सर्विसिंग के लिए उपकरणों की संख्या को संयुक्त करने पर सेवा समय को कई गुना बढ़ाने के बराबर है:

टीओब्स = के.टी., μ ओब्स = 1 / के.टी. = μ/ क,

कहाँ टीअवलोकन - सर्विसिंग समय का अनुरोध करें; क- सेवा उपकरणों की संख्या; μ अवलोकन - अनुरोध सर्विसिंग तीव्रता।

अध्याय 2 में अपनाई गई मान्यताओं के ढांचे के भीतर, हम क्यूएस की स्थिति को एक वेक्टर के रूप में प्रस्तुत करते हैं, जहां क एम- सिस्टम में अनुप्रयोगों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक की सेवा ली गई है एमउपकरण; एल = क्यूअधिकतम - क्यून्यूनतम +1 - इनपुट स्ट्रीम की संख्या।

फिर अधिग्रहीत और मुक्त उपकरणों की संख्या ( एनज़ैन ( ),एनएसवी ( )) योग्य को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

राज्य से सिस्टम किसी अन्य राज्य में जा सकता है . चूँकि सिस्टम चालू है एलइनपुट स्ट्रीम, तो प्रत्येक राज्य से यह संभावित रूप से संभव है एलप्रत्यक्ष परिवर्तन. हालाँकि, सीमित सिस्टम संसाधनों के कारण, ये सभी परिवर्तन संभव नहीं हैं। एसएमओ को एक स्थिति में रहने दें और एक अनुरोध माँगता हुआ आता है एमउपकरण। अगर एम≤ एनएसवी ( ), फिर अनुरोध सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाता है और सिस्टम तीव्रता λ वाली स्थिति में चला जाता है एम. यदि एप्लिकेशन को उपलब्ध उपकरणों से अधिक उपकरणों की आवश्यकता है, तो उसे सेवा देने से इनकार कर दिया जाएगा, और क्यूएस स्थिति में ही रहेगा . यदि आप कर सकते हैं ऐसे एप्लिकेशन हैं जिनकी आवश्यकता है एमउपकरण, फिर उनमें से प्रत्येक को तीव्रता  के साथ सेवित किया जाता है एम, और ऐसे अनुरोधों को पूरा करने की कुल तीव्रता (μ एम) को μ के रूप में परिभाषित किया गया है एम = क एम μ / एम. जब किसी एक अनुरोध की सर्विसिंग पूरी हो जाती है, तो सिस्टम एक ऐसी स्थिति में चला जाएगा जिसमें संबंधित समन्वय का मान उस स्थिति से एक कम है ,=, यानी विपरीत संक्रमण घटित होगा. चित्र में. 3.9 क्यूएस के वेक्टर मॉडल का एक उदाहरण दिखाता है एन = 3, एल = 3, क्यूमिनट = 1, क्यूअधिकतम = 3, पी(एम) = 1/3, λ Σ = λ, डिवाइस रखरखाव तीव्रता - μ।

चावल। 3.9. सेवा विफलताओं वाले QS के वेक्टर मॉडल के ग्राफ़ का एक उदाहरण

तो हर राज्य एक निश्चित प्रकार के सेवित अनुप्रयोगों की संख्या द्वारा विशेषता। उदाहरण के लिए, किसी राज्य में
एक अनुरोध को एक डिवाइस द्वारा और एक अनुरोध को दो डिवाइसों द्वारा पूरा किया जाता है। इस स्थिति में, सभी डिवाइस व्यस्त हैं, इसलिए, केवल रिवर्स ट्रांज़िशन संभव है (इस स्थिति में किसी भी अनुरोध के आने से सेवा से इनकार हो जाता है)। यदि पहले प्रकार के अनुरोध की सर्विसिंग पहले समाप्त हो गई है, तो सिस्टम राज्य में चला जाएगा (0,1,0) तीव्रता μ के साथ, लेकिन यदि दूसरे प्रकार के अनुरोध की सर्विसिंग पहले समाप्त हो गई है, तो सिस्टम राज्य में चला जाएगा (0,1,0) तीव्रता μ/2 के साथ।

प्लॉट किए गए संक्रमण तीव्रता के साथ राज्य ग्राफ का उपयोग करके, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है। इन समीकरणों के हल से सम्भावनाएँ ज्ञात की जाती हैं आर(), जिसके द्वारा QS की विशेषताएँ निर्धारित की जाती हैं।

खोजने पर विचार करें आरओटीके (सेवा से इनकार की संभावना)।

,

कहाँ एस– वेक्टर QS मॉडल के ग्राफ़ की अवस्थाओं की संख्या; आर() सिस्टम के राज्य में होने की संभावना है .

के अनुसार राज्यों की संख्या इस प्रकार निर्धारित की जाती है:

, (3.22)

;

आइए चित्र में दिखाए गए उदाहरण के लिए (3.22) के अनुसार वेक्टर क्यूएस मॉडल की स्थितियों की संख्या निर्धारित करें। 3.9.

.

इस तरह, एस = 1 + 5 + 1 = 7.

सेवा उपकरणों के लिए वास्तविक आवश्यकताओं को लागू करने के लिए, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में एन (40, ..., 50), और व्यवहार में किसी एप्लिकेशन में सेवारत उपकरणों की संख्या के लिए अनुरोध 8-16 की सीमा में हैं। उपकरणों और अनुरोधों के ऐसे अनुपात के साथ, संभावनाओं को खोजने का प्रस्तावित तरीका बेहद बोझिल हो जाता है, क्योंकि QS के वेक्टर मॉडल में बड़ी संख्या में स्थितियाँ हैं एस(50) = 1790, एस(60) = 4676, एस(70) = = 11075, और बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के गुणांक मैट्रिक्स का आकार वर्ग के समानुपाती होता है एस, जिसके लिए बड़ी मात्रा में कंप्यूटर मेमोरी और महत्वपूर्ण मात्रा में कंप्यूटर समय की आवश्यकता होती है। गणनाओं की मात्रा कम करने की इच्छा ने आवर्ती गणना क्षमताओं की खोज को प्रेरित किया आर() राज्य संभावनाओं का प्रतिनिधित्व करने के गुणात्मक रूपों के आधार पर। यह पेपर गणना करने का एक दृष्टिकोण प्रस्तुत करता है आर():

(3.23)

कार्य में प्रस्तावित मार्कोव श्रृंखलाओं के वैश्विक और विस्तृत संतुलन की समतुल्यता के लिए मानदंड का उपयोग करने से हमें समस्या के आयाम को कम करने और गणना की पुनरावृत्ति का उपयोग करके मध्यम-शक्ति कंप्यूटर पर गणना करने की अनुमति मिलती है। इसके अलावा, यह संभव है:

- किसी भी मान के लिए गणना करें एन;

- गणना में तेजी लाएं और मशीन समय की लागत कम करें।

सिस्टम की अन्य विशेषताओं को इसी तरह से निर्धारित किया जा सकता है।

वर्गीकरण विशेषताएँ

कतारबद्ध प्रणालियों के प्रकार

आने वाली आवश्यकताओं का प्रवाह

सीमित आवश्यकताएँ

बंद किया हुआ

खुला

वितरण का नियम

आने वाले प्रवाह के विशिष्ट वितरण कानून वाले सिस्टम: घातीय, एर्लांग क-वें क्रम, पाल्मा, सामान्य, आदि।

कतार

कतारबद्ध अनुशासन

एक आदेशित कतार के साथ

एक अव्यवस्थित कतार के साथ

सेवा प्राथमिकता के साथ

सेवा सीमाओं की प्रतीक्षा की जा रही है

इनकार के साथ

असीमित प्रत्याशा के साथ

प्रतिबंधों के साथ (मिश्रित)

कतार की लंबाई के अनुसार

कतार में समय इंतजार करके

एसएमओ में रहने के समय तक

संयुक्त

सेवा अनुशासन

रखरखाव चरण

सिंगल फेज़

पॉलीफ़ेज़

सेवा चैनलों की संख्या

एक चैनल

मल्टी-चैनल

समान चैनलों के साथ

असमान चैनलों के साथ

सेवा चैनलों की विश्वसनीयता

बिल्कुल विश्वसनीय चैनलों के साथ

अविश्वसनीय चैनलों के साथ

कोई पुनर्प्राप्ति नहीं

पुनर्स्थापना के साथ

चैनलों की पारस्परिक सहायता

आपसी सहायता के बिना

आपसी सहयोग से

सेवा की विश्वसनीयता

गलतियों के साथ

कोई गलती नहीं

सेवा समय वितरण

सेवा समय के लिए विशिष्ट वितरण कानून वाली प्रणालियाँ: नियतात्मक, घातीय, सामान्य, आदि।

यदि चैनलों के एक निश्चित अनुक्रम द्वारा चरण दर चरण सर्विसिंग की जाती है, तो ऐसे QS को कहा जाता है बहुत अवस्थायाँ का.

में "आपसी सहायता" के साथ सी.एम.ओ.चैनलों के बीच, एक ही अनुरोध को दो या दो से अधिक चैनलों द्वारा एक साथ पूरा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक ही टूटी हुई मशीन की सर्विस एक साथ दो कर्मचारी कर सकते हैं। चैनलों के बीच ऐसी "पारस्परिक सहायता" खुले और बंद दोनों क्यूएस में हो सकती है।

में त्रुटियों के साथ QSसिस्टम में सेवा के लिए स्वीकार किए गए आवेदन को पूरी संभावना के साथ नहीं, बल्कि कुछ संभावना के साथ सेवा प्रदान की जाती है; दूसरे शब्दों में, सेवा में त्रुटियां हो सकती हैं, जिसका परिणाम यह होता है कि क्यूएस द्वारा भेजे गए कुछ अनुरोध और कथित तौर पर "सेवित" क्यूएस के काम में "दोष" के कारण वास्तव में असेवित रह जाते हैं।

ऐसी प्रणालियों के उदाहरणों में शामिल हैं: सूचना डेस्क, जो कभी-कभी गलत प्रमाणपत्र और निर्देश जारी करते हैं; एक प्रूफ़रीडर जो किसी त्रुटि को भूल सकता है या उसे गलत तरीके से ठीक कर सकता है; एक टेलीफोन एक्सचेंज जो कभी-कभी किसी ग्राहक को गलत नंबर से जोड़ देता है; व्यापारिक और मध्यस्थ कंपनियाँ जो हमेशा अपने दायित्वों को कुशलतापूर्वक और समय पर पूरा नहीं करती हैं, आदि।

क्यूएस में होने वाली प्रक्रिया का विश्लेषण करने के लिए यह जानना आवश्यक है मुख्य सिस्टम पैरामीटर: चैनलों की संख्या, अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता, प्रत्येक चैनल की उत्पादकता (चैनल द्वारा प्रति यूनिट समय में परोसे गए अनुप्रयोगों की औसत संख्या), कतार के गठन की शर्तें, कतार या सिस्टम को छोड़ने वाले अनुप्रयोगों की तीव्रता।

दृष्टिकोण को कहते हैं सिस्टम लोड फैक्टर. अक्सर केवल सिस्टम जिसमें .

QS में सेवा समय या तो यादृच्छिक या गैर-यादृच्छिक चर हो सकता है। व्यवहार में, इस समय को अक्सर घातांकीय नियम के अनुसार वितरित माना जाता है।

क्यूएस की मुख्य विशेषताएं सेवा समय वितरण कानून के प्रकार पर अपेक्षाकृत कम निर्भर करती हैं, लेकिन मुख्य रूप से औसत मूल्य पर निर्भर करती हैं। इसलिए, यह धारणा अक्सर प्रयोग की जाती है कि सेवा समय एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।

अनुरोधों के प्रवाह की पॉइसन प्रकृति और सेवा समय के घातीय वितरण (जिसे हम अब से मानेंगे) के बारे में धारणाएं मूल्यवान हैं क्योंकि वे हमें कतार सिद्धांत में तथाकथित मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रियाओं के तंत्र को लागू करने की अनुमति देते हैं।

अध्ययन के कार्यों और उद्देश्यों की स्थितियों के आधार पर सेवा प्रणालियों की प्रभावशीलता को बड़ी संख्या में विभिन्न मात्रात्मक संकेतकों द्वारा चित्रित किया जा सकता है।

सबसे अधिक उपयोग निम्नलिखित हैं संकेतक:

1. संभावना है कि चैनल सर्विसिंग में व्यस्त हैं।

एक विशेष मामला यह संभावना है कि सभी चैनल मुफ़्त हैं।

2. सेवा अनुरोध अस्वीकार की संभावना.

3. कब्जे वाले चैनलों की औसत संख्या सिस्टम लोड की डिग्री को दर्शाती है।

4. सेवा से मुक्त चैनलों की औसत संख्या:

5. चैनल डाउनटाइम का गुणांक (संभावना)।

6. उपकरण लोड फैक्टर (चैनल अधिभोग की संभावना)

7. सापेक्ष थ्रूपुट - सिस्टम द्वारा प्राप्त प्राप्त अनुरोधों का औसत हिस्सा, यानी। समय की प्रति इकाई सिस्टम द्वारा दिए गए आवेदनों की औसत संख्या और इस दौरान प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या का अनुपात।

8. पूर्ण थ्रूपुट, अर्थात। उन अनुप्रयोगों (आवश्यकताओं) की संख्या जिन्हें सिस्टम प्रति यूनिट समय में पूरा कर सकता है:

9. औसत चैनल डाउनटाइम

सिस्टम के लिए प्रत्याशा के साथअतिरिक्त विशेषताओं का उपयोग किया जाता है:

10. कतार में अनुरोधों के लिए औसत प्रतीक्षा समय।

11. किसी एप्लिकेशन के सीएमओ में रहने का औसत समय।

12. औसत कतार की लंबाई.

13. सेवा क्षेत्र में आवेदनों की औसत संख्या (एसएमओ में)

14. संभावना है कि एक आवेदन कतार में रहने का समय एक निश्चित समय से अधिक समय तक नहीं रहेगा।

15. संभावना है कि सेवा की प्रतीक्षा में कतार में अनुरोधों की संख्या एक निश्चित संख्या से अधिक है।

सूचीबद्ध मानदंडों के अलावा, सिस्टम की प्रभावशीलता का आकलन करते समय, लागत संकेतक:

- सिस्टम में प्रत्येक आवश्यकता को पूरा करने की लागत;

- समय की प्रति इकाई प्रतीक्षा से जुड़े नुकसान की लागत;

- सिस्टम से दावों के हटने से जुड़े नुकसान की लागत;

- समय की प्रति इकाई सिस्टम चैनल के संचालन की लागत;

- चैनल डाउनटाइम की प्रति यूनिट लागत।

आर्थिक संकेतकों के आधार पर इष्टतम सिस्टम पैरामीटर चुनते समय, आप निम्नलिखित का उपयोग कर सकते हैं हानि लागत फ़ंक्शन:

a) असीमित प्रतीक्षा वाले सिस्टम के लिए

समय अंतराल कहाँ है;

बी) विफलताओं वाले सिस्टम के लिए;

ग) मिश्रित प्रणालियों के लिए।

जिन विकल्पों में नए सिस्टम तत्वों (उदाहरण के लिए, सेवा चैनल) का निर्माण (परिचय) शामिल होता है, उनकी तुलना आमतौर पर कम लागत के आधार पर की जाती है।

प्रत्येक विकल्प के लिए दी गई लागत वर्तमान लागत (लागत) और पूंजी निवेश का योग है जो दक्षता मानक के अनुसार एक ही आयाम में कम हो जाती है, उदाहरण के लिए:

(प्रति वर्ष समायोजित लागत);

(पेबैक अवधि के लिए समायोजित लागत),

कहा पे – प्रत्येक विकल्प के लिए वर्तमान लागत (लागत), रगड़;

- पूंजी निवेश की आर्थिक दक्षता का उद्योग मानक गुणांक (आमतौर पर = 0.15 - 0.25);

– प्रत्येक विकल्प के लिए पूंजी निवेश, रगड़;

- पूंजी निवेश के लिए मानक भुगतान अवधि, वर्ष।

अभिव्यक्ति एक निश्चित अवधि के लिए वर्तमान और पूंजीगत लागत का योग है। वे कहते हैं दिया गया, क्योंकि वे समय की एक निश्चित अवधि (इस मामले में, मानक पेबैक अवधि) से संबंधित हैं।

संकेतकों का उपयोग पूंजी निवेश की मात्रा और तैयार उत्पादों की लागत और फॉर्म दोनों में किया जा सकता है विशिष्ट पूंजी निवेशउत्पादन की प्रति इकाई और उत्पादन की इकाई लागत।

असतत अवस्थाओं वाले सिस्टम में होने वाली एक यादृच्छिक प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए, राज्य संभावनाओं का अक्सर उपयोग किया जाता है, जहां संभावना है कि इस समय सिस्टम राज्य में होगा।

यह तो स्पष्ट है कि.

यदि किसी सिस्टम में अलग-अलग अवस्थाओं और निरंतर समय के साथ होने वाली प्रक्रिया होती है मार्कोवियन, तो राज्यों की संभावनाओं के लिए रैखिक कोलमोगोरोव अंतर समीकरणों की एक प्रणाली का निर्माण करना संभव है।

यदि एक चिह्नित राज्य ग्राफ है (चित्र 4.3) (यहां, एक राज्य से दूसरे राज्य की ओर जाने वाले प्रत्येक तीर के ऊपर, घटनाओं के प्रवाह की तीव्रता जो इस तीर के साथ सिस्टम को एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करती है) दर्शाया गया है, तो एक प्रणाली संभावनाओं के लिए अंतर समीकरण निम्नलिखित सरल का उपयोग करके तुरंत लिखे जा सकते हैं नियम.

प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर एक व्युत्पन्न होता है, और दाईं ओर उतने ही पद होते हैं जितने तीर किसी दिए गए राज्य से सीधे जुड़े होते हैं; यदि तीर इंगित करता है वी

यदि सिस्टम को एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करने वाली घटनाओं के सभी प्रवाह स्थिर हैं, राज्यों की कुल संख्या सीमित है, और निकास के बिना कोई राज्य नहीं है, तो सीमित शासन मौजूद है और इसकी विशेषता है सीमांत संभावनाएँ .