परिभाषा

एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों के बीच घिरे विमान के सभी बिंदुओं से युक्त ज्यामितीय आकृति कहलाती है समतल कोना.

परिभाषा

दो . के बीच का कोणअन्तर्विभाजक प्रत्यक्षइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर सबसे छोटे समतल कोण का मान कहलाता है। यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो उनके बीच का कोण शून्य माना जाता है।

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण (यदि रेडियन में मापा जाता है) शून्य से $\dfrac(\pi)(2)$ तक मान ले सकता है।

परिभाषा

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोणतिरछी रेखाओं के समानांतर दो प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं के बीच के कोण के बराबर मान कहलाता है। $a$ और $b$ के बीच के कोण को $\angle (a, b)$ द्वारा दर्शाया जाता है।

प्रस्तुत परिभाषा की शुद्धता निम्नलिखित प्रमेय से अनुसरण करती है।

समांतर भुजाओं वाला समतल कोण प्रमेय

समान रूप से समानांतर और समान रूप से निर्देशित भुजाओं वाले दो उत्तल समतल कोणों के मान समान होते हैं।

सबूत

यदि कोण सीधे हैं, तो वे दोनों $\pi$ के बराबर हैं। यदि वे विकसित नहीं होते हैं, तो हम कोणों $\angle AOB$ और $\angle A_1O_1B_1$ के संगत पक्षों पर समान खंड $ON=O_1ON_1$ और $OM=O_1M_1$ प्लॉट करते हैं।

चतुर्भुज $O_1N_1NO$ एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि इसके विपरीत पक्ष $ON$ और $O_1N_1$ बराबर और समानांतर हैं। इसी तरह, चतुर्भुज $O_1M_1MO$ ​​एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए $NN_1 = OO_1 = MM_1$ और $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, इसलिए $NN_1=MM_1$ और $NN_1 \parallel MM_1$ पारगमन द्वारा। चतुर्भुज $N_1M_1MN$ एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि इसकी सम्मुख भुजाएँ समान और समानांतर हैं। इसलिए, सेगमेंट $NM$ और $N_1M_1$ भी बराबर हैं। त्रिभुज $ONM$ और $O_1N_1M_1$ तीसरे त्रिभुज समानता मानदंड के अनुसार बराबर हैं, इसलिए संगत कोण $\angle NOM$ और $\angle N_1O_1M_1$ भी बराबर हैं।

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हों, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण इस प्रकार परिभाषित होगा

दो रेखाएँ समांतर हैं यदि k 1 = k 2 । दो रेखाएँ लंबवत हैं यदि k 1 = -1/ k 2 ।

प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C \u003d 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 समानांतर होती हैं जब गुणांक A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB आनुपातिक होते हैं। यदि 1 = भी हो, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

इस लाइन के लंबवत

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा y \u003d kx + b के लंबवत को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय।यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया जाता है, तो रेखा Ax + Vy + C \u003d 0 की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

.

सबूत।मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

x 1 और y 1 निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जा सकते हैं:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।

के 1 \u003d -3; के2 = 2; टीजीφ = ; = पी /4।

उदाहरण. दिखाएँ कि रेखाएँ 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

समाधान. हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: ; 4 एक्स = 6 वाई - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0 या वाई = केएक्स + बी। के =। फिर वाई =। इसलिये ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहां से बी = 17. कुल:।

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

किसी दिए गए बिंदु से किसी दिशा में गुजरने वाली रेखा का समीकरण। दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दो रेखाओं के बीच का कोण। दो रेखाओं के समांतरता और लंबवतता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , आप 1) ढलान द्वारा निर्धारित किसी दिशा में क,

आप - आप 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , आप 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , आप 1) और बी(एक्स 2 , आप 2) इस तरह लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एतथा बीवह कोण है जिसके द्वारा पहली सीधी रेखा को घुमाया जाना चाहिए एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त जब तक यह दूसरी पंक्ति के साथ मेल नहीं खाता बी. यदि ढलान समीकरणों द्वारा दो रेखाएँ दी जाती हैं

आप = क 1 एक्स + बी 1 ,

आप = क 2 एक्स + बी 2 , (4)

तो उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्न के अंश में, पहली सीधी रेखा का ढलान दूसरी सीधी रेखा के ढलान से घटाया जाता है।

यदि एक सरल रेखा के समीकरणों को सामान्य रूप में दिया जाता है

ए 1 एक्स + बी 1 आप + सी 1 = 0,

ए 2 एक्स + बी 2 आप + सी 2 = 0, (6)

उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

4. दो पंक्तियों के समांतरता के लिए शर्तें:

a) यदि रेखाएँ समीकरण (4) द्वारा ढलान के साथ दी गई हैं, तो उनकी समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त उनके ढलानों की समानता है:

क 1 = क 2 . (8)

ख) उस स्थिति के लिए जब रेखाएँ समीकरणों द्वारा सामान्य रूप (6) में दी जाती हैं, उनके समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके समीकरणों में संबंधित वर्तमान निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात।

5. दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्तें:

क) उस स्थिति में जब रेखाएँ समीकरण (4) द्वारा ढलान के साथ दी जाती हैं, उनकी लंबवतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके ढलान परिमाण में पारस्परिक और संकेत में विपरीत हैं, अर्थात।

इस शर्त को फॉर्म में भी लिखा जा सकता है

क 1 क 2 = -1. (11)

b) यदि सीधी रेखाओं के समीकरण सामान्य रूप (6) में दिए गए हैं, तो उनके लंबवत (आवश्यक और पर्याप्त) के लिए शर्त समानता को पूरा करना है

ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0. (12)

6. दो रेखाओं के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक समीकरणों के निकाय (6) को हल करके ज्ञात किए जाते हैं। रेखाएँ (6) प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि

1. बिंदु M से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण लिखिए, जिनमें से एक समांतर है और दूसरी दी गई रेखा l के लंबवत है।

कोना φ सामान्य समीकरणए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0 और ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0, सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

कोना φ दो सीधी रेखाओं के बीच विहित समीकरण(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 और (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

बिंदु से रेखा की दूरी

अंतरिक्ष में प्रत्येक विमान को एक रैखिक समीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसे कहा जाता है सामान्य समीकरणविमान

विशेष स्थितियां.

o यदि समीकरण (8) में, तो तल मूल बिन्दु से होकर गुजरता है।

o (,) के साथ तल क्रमशः अक्ष (अक्ष, अक्ष) के समानांतर है।

o जब (,) तल समतल (प्लेन, प्लेन) के समानांतर हो।

समाधान: उपयोग (7)

उत्तर: समतल का सामान्य समीकरण।

उदाहरण।

आयताकार समन्वय प्रणाली में विमान ऑक्सीज विमान के सामान्य समीकरण द्वारा दिया जाता है . इस तल के सभी सामान्य सदिशों के निर्देशांक लिखिए।

हम जानते हैं कि समतल के सामान्य समीकरण में चर x, y और z के गुणांक उस तल के प्रसामान्य सदिश के संगत निर्देशांक होते हैं। इसलिए, दिए गए तल का अभिलंब सदिश निर्देशांक हैं। सभी सामान्य सदिशों का समुच्चय इस प्रकार दिया जा सकता है।

एक समतल का समीकरण लिखिए यदि एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में ऑक्सीज अंतरिक्ष में एक बिंदु से गुजरता है , एक इस विमान का सामान्य वेक्टर है।

हम इस समस्या के दो समाधान प्रस्तुत करते हैं।

हमारे पास स्थिति से . हम इन आंकड़ों को बिंदु से गुजरने वाले तल के सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

निर्देशांक तल Oyz के समांतर और बिंदु से गुजरने वाले समतल के लिए सामान्य समीकरण लिखिए .

एक समतल जो निर्देशांक तल Oyz के समानांतर है, प्रपत्र के तल के सामान्य अपूर्ण समीकरण द्वारा दिया जा सकता है। बिंदु के बाद से स्थिति के अनुसार विमान के अंतर्गत आता है, तो इस बिंदु के निर्देशांक को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए, अर्थात समानता सत्य होनी चाहिए। यहाँ से हम पाते हैं। इस प्रकार, वांछित समीकरण का रूप है।

समाधान। सदिश गुणनफल, परिभाषा 10.26 के अनुसार, सदिश p और q के लिए लंबकोणीय है। इसलिए, यह वांछित विमान के लिए ओर्थोगोनल है और वेक्टर को इसके सामान्य वेक्टर के रूप में लिया जा सकता है। वेक्टर n के निर्देशांक खोजें:

वह है . सूत्र (11.1) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

इस समीकरण में कोष्ठकों को खोलकर, हम अंतिम उत्तर पर पहुँचते हैं।

उत्तर: .

आइए सामान्य वेक्टर को फॉर्म में फिर से लिखें और इसकी लंबाई पाएं:

उपरोक्त के अनुसार:

उत्तर:

समानांतर विमानों में एक ही सामान्य वेक्टर होता है। 1) समीकरण से हम समतल का अभिलंब सदिश पाते हैं:।

2) हम बिंदु और सामान्य वेक्टर के अनुसार विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

उत्तर:

अंतरिक्ष में एक समतल का सदिश समीकरण

अंतरिक्ष में एक विमान का पैरामीट्रिक समीकरण

किसी दिए गए सदिश के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण

मान लीजिए कि त्रिविमीय स्थान में एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली दी गई है। आइए निम्नलिखित समस्या तैयार करें:

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल के लिए एक समीकरण लिखिए एम(एक्स 0, आप 0, जेड 0) दिए गए वेक्टर के लंबवत एन = ( ए, बी, सी} .

समाधान। होने देना पी(एक्स, आप, जेड) अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु है। दूरसंचार विभाग पीविमान के अंतर्गत आता है अगर और केवल अगर वेक्टर एमपी = {एक्स − एक्स 0, आप − आप 0, जेड − जेड 0) ओर्थोगोनल से वेक्टर एन = {ए, बी, सी) (चित्र एक)।

इन वैक्टरों के लिए ऑर्थोगोनैलिटी कंडीशन लिखने के बाद (n, एमपी) = 0 निर्देशांक रूप में, हम प्राप्त करते हैं:

ए(एक्स − एक्स 0) + बी(आप − आप 0) + सी(जेड − जेड 0) = 0

एक समतल का तीन बिन्दुओं से समीकरण

वेक्टर रूप में

निर्देशांक में

अंतरिक्ष में विमानों की पारस्परिक व्यवस्था

दो विमानों के सामान्य समीकरण हैं। फिर:

1) अगर , तब विमान मेल खाते हैं;

2) अगर , तो विमान समानांतर हैं;

3) यदि या , तो विमान प्रतिच्छेद करते हैं और समीकरणों की प्रणाली

(6)

दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के समीकरण हैं।

समाधान: हम सूत्र द्वारा सरल रेखा के विहित समीकरणों की रचना करते हैं: उत्तर:

हम परिणामी समीकरण लेते हैं और मानसिक रूप से "पिन ऑफ" करते हैं, उदाहरण के लिए, बायां टुकड़ा: । अब हम इस टुकड़े की बराबरी करते हैं किसी भी संख्या के लिए(याद रखें कि पहले से ही एक शून्य था), उदाहरण के लिए, एक के लिए: . चूंकि, तब अन्य दो "टुकड़े" भी एक के बराबर होने चाहिए। अनिवार्य रूप से, आपको सिस्टम को हल करने की आवश्यकता है:

निम्नलिखित पंक्तियों के लिए पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए:

समाधान: रेखाएँ विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं और पहले चरण में किसी को रेखा से संबंधित कोई बिंदु और उसकी दिशा सदिश का पता लगाना चाहिए।

क) समीकरणों से बिंदु और दिशा वेक्टर निकालें:। आप एक और बिंदु चुन सकते हैं (यह कैसे करना है ऊपर वर्णित है), लेकिन सबसे स्पष्ट एक लेना बेहतर है। वैसे, गलतियों से बचने के लिए हमेशा इसके निर्देशांकों को समीकरणों में बदलें।

आइए हम इस सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों की रचना करें:

पैरामीट्रिक समीकरणों की सुविधा यह है कि उनकी सहायता से रेखा के अन्य बिंदुओं को खोजना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, आइए एक बिंदु खोजें, जिसके निर्देशांक, मान लें, पैरामीटर के मान के अनुरूप हैं:

इस प्रकार: बी) विहित समीकरणों पर विचार करें . यहां एक बिंदु का चुनाव सरल है, लेकिन कपटी है: (सावधान रहें कि निर्देशांक मिश्रण न करें !!!)। गाइड वेक्टर कैसे निकालें? आप तर्क दे सकते हैं कि यह सीधी रेखा किसके समानांतर है, या आप एक साधारण औपचारिक चाल का उपयोग कर सकते हैं: अनुपात "y" और "z" है, इसलिए हम दिशा वेक्टर लिखते हैं, और शेष स्थान में शून्य डालते हैं:।

हम सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण बनाते हैं:

ग) आइए समीकरणों को इस रूप में फिर से लिखें, अर्थात "Z" कुछ भी हो सकता है। और यदि कोई हो, तो चलो, उदाहरण के लिए, . इस प्रकार, बिंदु इस रेखा के अंतर्गत आता है। दिशा वेक्टर खोजने के लिए, हम निम्नलिखित औपचारिक तकनीक का उपयोग करते हैं: प्रारंभिक समीकरणों में "x" और "y" होते हैं, और इन स्थानों पर दिशा वेक्टर में हम लिखते हैं शून्य: . शेष स्थान पर हम डालते हैं इकाई: . एक के बजाय, शून्य को छोड़कर कोई भी संख्या काम करेगी।

हम सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखते हैं:

मान लीजिए कि कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में एक समतल पर दो रेखाएँ l और m सामान्य समीकरणों द्वारा दी जाती हैं: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

इन रेखाओं के अभिलंबों के सदिश: = (A 1 , B 1) - रेखा l तक,

= (A 2 , B 2) से रेखा m तक।

मान लीजिए j रेखाओं l और m के बीच का कोण है।

चूँकि परस्पर लंबवत भुजाओं वाले कोण या तो बराबर होते हैं या p का योग करते हैं, तो , अर्थात cos j = .

इसलिए, हमने निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

प्रमेय।मान लीजिए कि समतल में दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण है, और इन सीधी रेखाओं को कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में सामान्य समीकरण A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + द्वारा दिया जाता है। C 2 = 0. तब cos j = .

व्यायाम।

1) रेखाओं के बीच के कोण की गणना के लिए सूत्र व्युत्पन्न करें यदि:

(1) दोनों पंक्तियों को पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है; (2) दोनों रेखाएँ विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं; (3) एक सीधी रेखा पैरामीट्रिक रूप से दी गई है, दूसरी सीधी रेखा - सामान्य समीकरण द्वारा; (4) दोनों रेखाएँ ढलान समीकरण द्वारा दी गई हैं।

2) मान लीजिए कि समतल में दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण j है, और इन सीधी रेखाओं को कार्तीय निर्देशांक प्रणाली को समीकरण y = k 1 x + b 1 और y =k 2 x + b 2 द्वारा दिया जाता है।

तब तन जे = .

3) कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में सामान्य समीकरणों द्वारा दी गई दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति का अन्वेषण करें और तालिका भरें:

एक विमान में एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी।

मान लीजिए कि कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में समतल पर रेखा l को सामान्य समीकरण Ax + By + C = 0 द्वारा दिया जाता है। बिंदु M(x 0 , y 0) से रेखा l तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

बिंदु M से रेखा l की दूरी लंबवत HM (H н l, HM ^ l) की लंबाई है।

रेखा l के सदिश और अभिलंब सदिश संरेख हैं, जिससे कि | | = | | | | और | | =।

मान लीजिए कि बिंदु H के निर्देशांक (x,y) हैं।

चूँकि बिंदु H, रेखा l से संबंधित है, तो Ax + By + C = 0 (*)।

सदिशों के निर्देशांक और: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B)।

| | = = =

(सी = -एक्स - बाय, देखें (*))

प्रमेय।मान लीजिए कि कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में रेखा l को सामान्य समीकरण Ax + By + C = 0 द्वारा दिया जाता है। तब बिंदु M(x 0 , y 0) से इस रेखा की दूरी की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: r (M; एल) = .

व्यायाम।

1) एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें यदि: (1) रेखा को पैरामीट्रिक रूप से दिया गया हो; (2) रेखा विहित समीकरणों द्वारा दी गई है; (3) सीधी रेखा ढलान समीकरण द्वारा दी गई है।

2) Q(-2,4) पर केन्द्रित रेखा 3x - y = 0 की स्पर्शरेखा वाले वृत्त का समीकरण लिखिए।

3) रेखा 2x + y - 1 = 0 और x + y + 1 = 0 के प्रतिच्छेदन से बनने वाले कोणों को विभाजित करने वाली रेखाओं के समीकरण लिखिए।

§ 27. अंतरिक्ष में एक विमान की विश्लेषणात्मक परिभाषा

परिभाषा. विमान के लिए सामान्य वेक्टरहम एक शून्येतर सदिश कहेंगे, जिसका कोई भी प्रतिनिधि दिए गए तल पर लंबवत है।

टिप्पणी।यह स्पष्ट है कि यदि वेक्टर का कम से कम एक प्रतिनिधि विमान के लंबवत है, तो वेक्टर के अन्य सभी प्रतिनिधि इस विमान के लंबवत हैं।

मान लीजिए अंतरिक्ष में एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली दी गई है।

मान लीजिए कि समतल a दिया गया है, = (A, B, C) - इस तल का अभिलंब सदिश, बिंदु M (x 0 , y 0 , z 0) समतल a से संबंधित है।

समतल a के किसी भी बिंदु N(x, y, z) के लिए, सदिश और ओर्थोगोनल हैं, अर्थात उनका अदिश गुणन शून्य के बराबर है: = 0. आइए निर्देशांकों में अंतिम समानता लिखें: A(x - x 0 ) + बी (वाई - वाई 0) + सी (जेड - जेड 0) = 0।

मान लीजिए -एक्स 0 - 0 से - सीजेड 0 = डी, फिर एक्स + बाय + सीजेड + डी = 0।

एक बिंदु K (x, y) लें, जैसे कि Ax + By + Cz + D \u003d 0. चूंकि D \u003d -Ax 0 - 0 से - Cz 0, फिर ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + सी (जेड - जेड 0) = 0।चूँकि निर्देशित खंड के निर्देशांक = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0) हैं, अंतिम समानता का अर्थ है कि ^ , और, इसलिए, K н a.

इसलिए, हमने निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध किया है:

प्रमेय।कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में अंतरिक्ष में किसी भी विमान को एक्स + बाय + सीज़ + डी = 0 (ए 2 + बी 2 + सी 2 0) के रूप के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जहां (ए, बी, सी) हैं इस विमान के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक।

विपरीत भी सही है।

प्रमेय।कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में फॉर्म एक्स + बाय + सीजेड + डी \u003d 0 (ए 2 + बी 2 + सी 2 0) का कोई भी समीकरण एक निश्चित विमान को परिभाषित करता है, जबकि (ए, बी, सी) के निर्देशांक हैं इस विमान के लिए सामान्य वेक्टर।

सबूत।

एक बिंदु M (x 0 , y 0 , z 0) इस प्रकार लें कि Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 और सदिश = (A, B, C) ( q)।

एक विमान (और केवल एक) वेक्टर के लंबवत बिंदु M से होकर गुजरता है। पिछले प्रमेय के अनुसार, यह तल समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा दिया गया है।

परिभाषा। Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 0) के रूप का समीकरण कहलाता है विमान का सामान्य समीकरण.

उदाहरण।

आइए बिंदुओं M (0.2.4), N (1,-1.0) और K (-1.0.5) से गुजरने वाले समतल का समीकरण लिखें।

1. समतल (MNK) के अभिलंब सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। चूँकि सदिश गुणन असंरेखीय सदिशों के लिए ओर्थोगोनल है और सदिश के संरेख है।

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

= (-11, 3, -5)।

अतः, एक सामान्य सदिश के रूप में, सदिश = (-11, 3, -5) लीजिए।

2. आइए अब हम पहले प्रमेय के परिणामों का उपयोग करें:

इस तल का समीकरण A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, जहाँ (A, B, C) प्रसामान्य सदिश के निर्देशांक हैं, (x 0 , y 0 , z 0) - समतल में स्थित एक बिंदु के निर्देशांक (उदाहरण के लिए, बिंदु M)।

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

उत्तर: -11x + 3y - 5z + 14 = 0।

व्यायाम।

1) समतल का समीकरण लिखिए यदि

(1) तल, 3x + y + z = 0 के समानांतर बिंदु M (-2,3,0) से होकर गुजरता है;

(2) समतल में (ऑक्स) अक्ष है और यह x + 2y - 5z + 7 = 0 तल के लंबवत है।

2) दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण लिखिए।

§ 28. अर्ध-स्थान का विश्लेषणात्मक विनिर्देश*

टिप्पणी*. कुछ विमान ठीक होने दो। नीचे आधा स्थानहम किसी दिए गए विमान के एक तरफ स्थित बिंदुओं के सेट को समझेंगे, यानी दो बिंदु एक ही आधे स्थान में स्थित हैं यदि उन्हें जोड़ने वाला खंड दिए गए विमान को नहीं काटता है। इस विमान को कहा जाता है इस अर्ध-अंतरिक्ष की सीमा. किसी दिए गए समतल और अर्ध-अंतरिक्ष का मिलन कहलाता है बंद आधा स्थान.

अंतरिक्ष में एक कार्तीय समन्वय प्रणाली को स्थिर होने दें।

प्रमेय।मान लीजिए कि समतल a को सामान्य समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा दिया जाता है। फिर दो अर्ध-रिक्त स्थानों में से एक, जिसमें समतल अंतरिक्ष को विभाजित करता है, असमानता Ax + By + Cz + D > 0 द्वारा दिया जाता है। , और दूसरा अर्ध-अंतरिक्ष असमानता Ax + By + Cz + D . द्वारा दिया गया है< 0.

सबूत।

आइए हम इस तल पर स्थित बिंदु M (x 0 , y 0 , z 0) से समतल a पर अभिलंब सदिश = (A, B, ) आलेखित करें: =, M н a, MN ^ a. विमान अंतरिक्ष को दो अर्ध-रिक्त स्थान में विभाजित करता है: b 1 और b 2 । यह स्पष्ट है कि बिंदु N इन अर्ध-रिक्त स्थानों में से एक से संबंधित है। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मानते हैं कि N н b 1 ।

आइए हम सिद्ध करें कि अर्ध-अंतरिक्ष b 1 असमानता Ax + By + Cz + D > 0 द्वारा परिभाषित है।

1) अर्ध-अंतरिक्ष b 1 में एक बिंदु K(x,y,z) लें। कोण NMK सदिशों के बीच का कोण है और न्यून है, इसलिए इन सदिशों का अदिश गुणनफल धनात्मक है: > 0. आइए इस असमानता को निर्देशांकों में लिखें: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, अर्थात Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0।

चूँकि M н b 1 , तो Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, इसलिए -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. इसलिए, अंतिम असमानता को इस प्रकार लिखा जा सकता है: Ax + By + सीजेड + डी> 0।

2) एक बिंदु L(x,y) इस प्रकार लें कि Ax + By + Cz + D > 0।

आइए, D को (-Ax 0 - By 0 - C z 0) से प्रतिस्थापित करते हुए असमानता को फिर से लिखें (चूंकि M н b 1, फिर Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0 ) + बी (वाई - वाई 0) + सी (जेड - जेड 0)> 0।

निर्देशांक वाला सदिश (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) एक सदिश है, इसलिए व्यंजक A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) को सदिशों के अदिश गुणनफल के रूप में समझा जा सकता है। चूँकि सदिशों का अदिश गुणनफल धनात्मक है, उनके बीच का कोण न्यून है और बिंदु L н b 1 है।

इसी तरह, कोई यह साबित कर सकता है कि अर्ध-स्पेस b 2 असमानता Ax + By + Cz + D . द्वारा दिया गया है< 0.

टिप्पणियां।

1) यह स्पष्ट है कि उपरोक्त प्रमाण समतल a में बिंदु M के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है।

2) यह स्पष्ट है कि एक ही अर्ध-स्थान को विभिन्न असमानताओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

विपरीत भी सही है।

प्रमेय। Ax + By + Cz + D > 0 (या Ax + By + Cz + D) के रूप की कोई भी रैखिक असमानता< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

सबूत।

समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) अंतरिक्ष में कुछ समतल को परिभाषित करता है (देखें ...)। जैसा कि पिछले प्रमेय में सिद्ध किया गया था, दो अर्ध-रिक्त स्थानों में से एक जिसमें विमान अंतरिक्ष को विभाजित करता है, असमानता Ax Ax + By + Cz + D > 0 द्वारा दिया जाता है।

टिप्पणियां।

1) यह स्पष्ट है कि एक बंद अर्ध-स्थान को एक गैर-सख्त रैखिक असमानता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में कोई भी गैर-सख्त रैखिक असमानता एक बंद अर्ध-स्थान को परिभाषित करती है।

2) किसी भी उत्तल पॉलीहेड्रॉन को बंद अर्ध-रिक्त स्थान (जिनकी सीमाएं पॉलीहेड्रॉन के चेहरे वाले विमान हैं) के चौराहे के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, यानी विश्लेषणात्मक रूप से, रैखिक गैर-सख्त असमानताओं की एक प्रणाली द्वारा।

व्यायाम।

1) एक मनमाना affine समन्वय प्रणाली के लिए प्रस्तुत दो प्रमेयों को सिद्ध करें।

2) क्या विलोम सत्य है, कि गैर-सख्त रैखिक असमानताओं की कोई भी प्रणाली उत्तल बहुभुज को परिभाषित करती है?

एक व्यायाम।

1) कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए दो तलों की सापेक्ष स्थिति का अन्वेषण करें और तालिका भरें।

यह सामग्री ऐसी अवधारणा के लिए समर्पित है जैसे दो प्रतिच्छेद सीधी रेखाओं के बीच का कोण। पहले पैराग्राफ में, हम समझाएंगे कि यह क्या है और इसे दृष्टांतों में दिखाएंगे। फिर हम विश्लेषण करेंगे कि आप इस कोण के साइन, कोसाइन और स्वयं कोण को कैसे ढूंढ सकते हैं (हम अलग-अलग मामलों पर एक विमान और त्रि-आयामी स्थान के साथ विचार करेंगे), हम आवश्यक सूत्र देंगे और उदाहरणों के साथ दिखाएंगे कि वे वास्तव में कैसे लागू होते हैं प्रयोग में।

यह समझने के लिए कि दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बनने वाला कोण क्या होता है, हमें कोण, लंबवतता और प्रतिच्छेदन बिंदु की बहुत परिभाषा को याद करने की आवश्यकता है।

परिभाषा 1

हम दो रेखाओं को प्रतिच्छेद करते हुए कहते हैं यदि उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु हो। इस बिंदु को दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कहा जाता है।

प्रत्येक रेखा को प्रतिच्छेदन बिंदु से किरणों में विभाजित किया जाता है। इस स्थिति में, दोनों रेखाएँ 4 कोण बनाती हैं, जिनमें से दो लंबवत हैं और दो आसन्न हैं। यदि हम उनमें से एक का माप जानते हैं, तो हम शेष शेष का निर्धारण कर सकते हैं।

मान लीजिए कि हम जानते हैं कि इनमें से एक कोण α के बराबर है। ऐसी स्थिति में, जो कोण इसके लिए लंबवत है, वह भी α के बराबर होगा। शेष कोणों को खोजने के लिए, हमें 180 ° - α के अंतर की गणना करने की आवश्यकता है। यदि α 90 डिग्री के बराबर है, तो सभी कोण समकोण होंगे। समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं को लंबवत कहा जाता है (एक अलग लेख लंबवतता की अवधारणा के लिए समर्पित है)।

तस्वीर को जरा देखिए:

आइए हम मुख्य परिभाषा के निर्माण के लिए आगे बढ़ें।

परिभाषा 2

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बनने वाला कोण इन दो रेखाओं को बनाने वाले 4 कोणों में से छोटे कोणों का माप होता है।

परिभाषा से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला जाना चाहिए: इस मामले में कोण का आकार अंतराल में किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाएगा (0, 90]। यदि रेखाएं लंबवत हैं, तो उनके बीच का कोण किसी भी स्थिति में होगा 90 डिग्री के बराबर।

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण की माप ज्ञात करने की क्षमता अनेक व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में उपयोगी होती है। समाधान विधि को कई विकल्पों में से चुना जा सकता है।

शुरुआत के लिए, हम ज्यामितीय तरीके ले सकते हैं। यदि हम अतिरिक्त कोणों के बारे में कुछ जानते हैं, तो हम समान या समान आकृतियों के गुणों का उपयोग करके उन्हें उस कोण से जोड़ सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी त्रिभुज की भुजाओं को जानते हैं और हमें उन रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की आवश्यकता है, जिन पर ये भुजाएँ स्थित हैं, तो कोसाइन प्रमेय हल करने के लिए उपयुक्त है। यदि हमारे पास स्थिति में एक समकोण त्रिभुज है, तो गणना के लिए हमें कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा को भी जानना होगा।

इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए समन्वय विधि भी बहुत सुविधाजनक है। आइए बताते हैं कि इसे सही तरीके से कैसे इस्तेमाल किया जाए।

हमारे पास दो सीधी रेखाओं के साथ एक आयताकार (कार्तीय) समन्वय प्रणाली O x y है। आइए उन्हें अक्षर a और b से निरूपित करें। इस मामले में, किसी भी समीकरण का उपयोग करके सीधी रेखाओं का वर्णन किया जा सकता है। मूल रेखाओं में एक प्रतिच्छेदन बिंदु M होता है। इन पंक्तियों के बीच वांछित कोण (आइए इसे α निरूपित करें) का निर्धारण कैसे करें?

आइए दी गई शर्तों के तहत कोण खोजने के मूल सिद्धांत के निर्माण के साथ शुरू करें।

हम जानते हैं कि निर्देशन और सामान्य वेक्टर जैसी अवधारणाएं एक सीधी रेखा की अवधारणा से निकटता से संबंधित हैं। यदि हमारे पास किसी सीधी रेखा का समीकरण है, तो हम इससे इन सदिशों के निर्देशांक ले सकते हैं। हम इसे एक साथ दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिए कर सकते हैं।

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा निर्मित कोण का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

• दिशा वैक्टर के बीच कोण;
• सामान्य वैक्टर के बीच कोण;
• एक रेखा के सामान्य वेक्टर और दूसरी के दिशा वेक्टर के बीच का कोण।

अब आइए प्रत्येक विधि को अलग से देखें।

1. मान लीजिए कि हमारे पास दिशा सदिश a → = (a x , a y) के साथ एक रेखा a और दिशा सदिश b → (b x , b y) वाली एक रेखा b है। अब दो सदिशों a → और b → को प्रतिच्छेदन बिंदु से अलग रखते हैं। उसके बाद, हम देखेंगे कि वे प्रत्येक अपनी लाइन पर स्थित होंगे। तब हमारे पास उनकी सापेक्ष स्थिति के लिए चार विकल्प होते हैं। उदाहरण देखें:

यदि दो सदिशों के बीच का कोण अधिक नहीं है, तो यह वह कोण होगा जो हमें प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं a और b के बीच चाहिए। यदि यह अधिक है, तो वांछित कोण कोण a → , b → ^ के आसन्न कोण के बराबर होगा। इस प्रकार, α = a → , b → ^ यदि a → , b → ^ ≤ 90 ° , और α = 180 ° - a → , b → ^ यदि a → , b → ^ > 90 °।

इस तथ्य के आधार पर कि समान कोणों की कोज्या बराबर हैं, हम परिणामी समानता को निम्नानुसार फिर से लिख सकते हैं: cos α = cos a → , b → ^ यदि a → , b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ यदि a → , b → ^ > 90 ° ।

दूसरे मामले में, कमी सूत्रों का इस्तेमाल किया गया था। इस तरह,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

आइए अंतिम सूत्र को शब्दों में लिखें:

परिभाषा 3

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बनने वाले कोण की कोज्या उसके दिशा सदिशों के बीच के कोण के कोज्या के मापांक के बराबर होगी।

दो सदिशों a → = (a x, a y) और b → = (b x, b y) के बीच के कोण की कोज्या के लिए सूत्र का सामान्य रूप इस तरह दिखता है:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

इससे हम दो दी गई रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या का सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

तब कोण स्वयं निम्न सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

यहाँ a → = (a x , a y) और b → = (b x , b y) दी गई रेखाओं के दिशा सदिश हैं।

आइए समस्या को हल करने का एक उदाहरण दें।

उदाहरण 1

एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, समतल पर दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ a और b दी गई हैं। उन्हें पैरामीट्रिक समीकरण x = 1 + 4 · λ y = 2 + ∈ R और x 5 = y - 6 - 3 द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इन रेखाओं के बीच के कोण की गणना करें।

समाधान

हमारे पास स्थिति में एक पैरामीट्रिक समीकरण है, जिसका अर्थ है कि इस सीधी रेखा के लिए हम तुरंत इसके दिशा वेक्टर के निर्देशांक लिख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें गुणांक के मान को पैरामीटर पर लेने की आवश्यकता है, अर्थात। रेखा x = 1 + 4 λ y = 2 + R का एक दिशा सदिश a → = (4 , 1) होगा।

दूसरी सीधी रेखा को विहित समीकरण x 5 = y - 6 - 3 का उपयोग करके वर्णित किया गया है। यहां हम हर से निर्देशांक ले सकते हैं। इस प्रकार, इस रेखा का एक दिशा सदिश b → = (5 , - 3) है।

अगला, हम सीधे कोण खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं। ऐसा करने के लिए, उपरोक्त सूत्र α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 में दो वैक्टर के उपलब्ध निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें। हमें निम्नलिखित मिलता है:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

उत्तर: ये रेखाएँ 45 डिग्री का कोण बनाती हैं।

हम सामान्य सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करके इसी तरह की समस्या को हल कर सकते हैं। यदि हमारे पास एक सामान्य वेक्टर n a → = (n a x, n a y) और एक रेखा b है जिसमें एक सामान्य वेक्टर n b → = (n b x, n b y) है, तो उनके बीच का कोण n a → और के बीच के कोण के बराबर होगा। n b → या वह कोण जो n a → , n b → ^ के निकट होगा। यह विधि चित्र में दिखाई गई है:

प्रतिच्छेदन रेखाओं और इस कोण के बीच के कोण के कोसाइन की गणना के लिए सूत्र सामान्य वैक्टर के निर्देशांक का उपयोग करते हुए इस तरह दिखते हैं:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

यहाँ n a → तथा n b → दो दी गई रेखाओं के प्रसामान्य सदिशों को निरूपित करते हैं।

उदाहरण 2

एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में समीकरण 3 x + 5 y - 30 = 0 और x + 4 y - 17 = 0 का उपयोग करके दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं। उनके बीच के कोण की ज्या, कोज्या और स्वयं उस कोण का परिमाण ज्ञात कीजिए।

समाधान

मूल सीधी रेखाएं A x + B y + C = 0 के रूप के सामान्य सरल रेखा समीकरणों का उपयोग करके दी गई हैं। अभिलंब सदिश n → = (A , B) को निरूपित करें। आइए एक सीधी रेखा के लिए पहले सामान्य वेक्टर के निर्देशांक खोजें और उन्हें नीचे लिखें: n a → = (3 , 5)। दूसरी पंक्ति x + 4 y - 17 = 0 के लिए प्रसामान्य सदिश के निर्देशांक n b → = (1 , 4) होंगे। अब प्राप्त मूल्यों को सूत्र में जोड़ें और कुल की गणना करें:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

यदि हम किसी कोण की कोज्या जानते हैं, तो हम मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके उसकी ज्या की गणना कर सकते हैं। चूँकि सीधी रेखाओं द्वारा बनाया गया कोण α अधिक नहीं है, तो sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34।

इस स्थिति में, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 ।

उत्तर: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

आइए अंतिम मामले का विश्लेषण करें - रेखाओं के बीच के कोण को खोजना, यदि हम एक रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक और दूसरे के सामान्य वेक्टर को जानते हैं।

मान लें कि रेखा a का एक दिशा सदिश a → = (a x , a y) है, और रेखा b का एक प्रसामान्य सदिश n b → = (n b x , n b y) है। हमें इन वैक्टरों को चौराहे के बिंदु से स्थगित करने और उनकी सापेक्ष स्थिति के लिए सभी विकल्पों पर विचार करने की आवश्यकता है। तस्वीर देखो:

यदि दिए गए वैक्टर के बीच का कोण 90 डिग्री से अधिक नहीं है, तो यह पता चलता है कि यह ए और बी के बीच के कोण को समकोण पर पूरक करेगा।

a → , n b → ^ = 90 ° - α यदि a → , n b → ^ ≤ 90 °।

यदि यह 90 डिग्री से कम है, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

a → , n b → ^ > 90 ° , फिर a → , n b → ^ = 90 ° + α

समान कोणों की कोज्याओं की समानता के नियम का उपयोग करते हुए, हम लिखते हैं:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α a → , n b → ^ ≤ 90 ° के लिए।

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α at a → , n b → ^ > 90 °।

इस तरह,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

आइए एक निष्कर्ष तैयार करें।

परिभाषा 4

एक समतल में प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाओं के बीच के कोण की ज्या ज्ञात करने के लिए, आपको पहली पंक्ति के दिशा सदिश और दूसरी के सामान्य सदिश के बीच के कोण के कोज्या के मापांक की गणना करने की आवश्यकता है।

आइए आवश्यक सूत्र लिखें। कोण की ज्या ज्ञात करना:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

खुद कोना ढूँढना:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

यहाँ a → पहली पंक्ति का दिशा सदिश है, और n b → दूसरी का सामान्य सदिश है।

उदाहरण 3

दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ समीकरण x - 5 = y - 6 3 और x + 4 y - 17 = 0 द्वारा दी गई हैं। प्रतिच्छेदन कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम दिए गए समीकरणों से निर्देशन और सामान्य वेक्टर के निर्देशांक लेते हैं। यह एक → = (- 5 , 3) ​​और n → b = (1 , 4) निकलता है। हम सूत्र α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 लेते हैं और विचार करते हैं:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

ध्यान दें कि हमने पिछली समस्या से समीकरण लिए और बिल्कुल वही परिणाम प्राप्त किया, लेकिन एक अलग तरीके से।

उत्तर:α = ए आर सी पाप 7 2 34

यहां दी गई रेखाओं के ढलान गुणांक का उपयोग करके वांछित कोण खोजने का एक और तरीका है।

हमारे पास एक रेखा a है, जिसे समीकरण y = k 1 · x + b 1 का उपयोग करके एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित किया गया है, और एक रेखा b, जिसे y = k 2 · x + b 2 के रूप में परिभाषित किया गया है। ये ढलान वाली रेखाओं के समीकरण हैं। प्रतिच्छेदन कोण ज्ञात करने के लिए सूत्र का प्रयोग करें:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , जहां k 1 और k 2 दी गई रेखाओं के ढलान हैं। इस रिकॉर्ड को प्राप्त करने के लिए, सामान्य वैक्टर के निर्देशांक के माध्यम से कोण निर्धारित करने के लिए सूत्रों का उपयोग किया गया था।

उदाहरण 4

समतल में दो सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, जो समीकरण y = - 3 5 x + 6 और y = - 1 4 x + 17 4 द्वारा दी गई हैं। चौराहे के कोण की गणना करें।

समाधान

हमारी रेखाओं के ढलान k 1 = - 3 5 और k 2 = - 1 4 के बराबर हैं। आइए उन्हें सूत्र α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 में जोड़ें और गणना करें:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

उत्तर:α = a r c cos 23 2 34

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यहां दिए गए कोणों को खोजने के सूत्रों को दिल से सीखने की जरूरत नहीं है। ऐसा करने के लिए, दी गई लाइनों के गाइड और/या सामान्य वैक्टर के निर्देशांक को जानना और विभिन्न प्रकार के समीकरणों का उपयोग करके उन्हें निर्धारित करने में सक्षम होना पर्याप्त है। लेकिन किसी कोण की कोज्या की गणना के सूत्र याद रखने या लिखने के लिए बेहतर हैं।

अंतरिक्ष में प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच के कोण की गणना कैसे करें

इस तरह के कोण की गणना को दिशा वैक्टर के निर्देशांक की गणना और इन वैक्टरों द्वारा गठित कोण के परिमाण के निर्धारण के लिए कम किया जा सकता है। ऐसे उदाहरणों के लिए, हम उसी तर्क का प्रयोग करते हैं जो हमने पहले दिया है।

मान लें कि हमारे पास 3D स्पेस में स्थित एक आयताकार समन्वय प्रणाली है। इसमें प्रतिच्छेद बिंदु M के साथ दो रेखाएँ a और b हैं। दिशा सदिशों के निर्देशांकों की गणना करने के लिए, हमें इन रेखाओं के समीकरणों को जानना होगा। दिशा सदिश a → = (a x , a y , a z) और b → = (b x , b y , b z) को निरूपित करें। उनके बीच के कोण की कोज्या की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

कोण को स्वयं खोजने के लिए, हमें इस सूत्र की आवश्यकता है:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

उदाहरण 5

हमारे पास समीकरण x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 का उपयोग करके 3D स्पेस में परिभाषित एक सीधी रेखा है। यह ज्ञात है कि यह O z अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है। प्रतिच्छेद कोण और उस कोण की कोज्या की गणना करें।

समाधान

आइए अक्षर α द्वारा गणना किए जाने वाले कोण को निरूपित करें। आइए पहली सीधी रेखा - a → = (1 , - 3 , - 2) के लिए दिशा सदिश के निर्देशांक लिखें। अनुप्रयुक्त अक्ष के लिए, हम निर्देशांक सदिश k → = (0 , 0 , 1) को मार्गदर्शक के रूप में ले सकते हैं। हमें आवश्यक डेटा प्राप्त हुआ है और इसे वांछित सूत्र में जोड़ सकते हैं:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

नतीजतन, हमने पाया कि हमें जिस कोण की आवश्यकता होगी वह बराबर होगा a r c cos 1 2 = 45 °।

उत्तर: cos α = 1 2, α = 45 °।

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