गणित विज्ञान की सबसे सटीक और सार्वभौमिक भाषा है, लेकिन क्या संख्याओं की मदद से मानवीय भावनाओं को समझाना संभव है? लव फॉर्मूला, सीड्स ऑफ कैओस और रोमांटिक डिफरेंशियल इक्वेशन - टी एंड पी ने दुनिया के सर्वश्रेष्ठ गणित शिक्षकों में से एक स्टीवन स्ट्रोगेट्स की पुस्तक "द प्लेजर ऑफ एक्स" से एक अध्याय प्रकाशित किया, जिसे मान, इवानोव और फेरबर द्वारा प्रकाशित किया गया था।
वसंत ऋतु में, टेनीसन ने लिखा, युवक की कल्पना आसानी से प्रेम के विचारों में बदल जाती है। काश, एक युवक के संभावित साथी के पास प्यार के बारे में अपने विचार हो सकते हैं, और फिर उनका रिश्ता अशांत उतार-चढ़ाव से भरा होगा जो प्यार को इतना रोमांचक और इतना दर्दनाक बना देता है। कुछ पीड़ित एकतरफा शराब में इन प्रेम झूलों की व्याख्या की तलाश कर रहे हैं, अन्य - कविता में। और हम गणना के साथ परामर्श करेंगे।
नीचे दिया गया विश्लेषण हास्यास्पद रूप से विडंबनापूर्ण होगा, लेकिन यह गंभीर विषयों को छूता है। इसके अलावा, अगर प्रेम के नियमों की समझ हमें दूर कर सकती है, तो अब निर्जीव दुनिया के नियमों का अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है। वे अंतर समीकरणों का रूप लेते हैं जो बताते हैं कि उनके वर्तमान मूल्यों के आधार पर परस्पर संबंधित चर पल-पल कैसे बदलते हैं। इस तरह के समीकरणों का रोमांस से बहुत कुछ लेना-देना नहीं हो सकता है, लेकिन कम से कम वे इस बात पर प्रकाश डाल सकते हैं कि क्यों, एक अन्य कवि के शब्दों में, "सच्चे प्रेम का मार्ग कभी सुगम नहीं रहा।" अंतर समीकरणों की विधि को स्पष्ट करने के लिए, मान लीजिए कि रोमियो जूलियट से प्यार करता है, लेकिन कहानी के हमारे संस्करण में, जूलियट एक हवादार प्रेमी है। जितना रोमियो उससे प्यार करता है, उतना ही वो उससे छुपाना चाहती है। लेकिन जब रोमियो उसके प्रति शांत हो जाता है, तो वह उसे असामान्य रूप से आकर्षक लगने लगता है। हालांकि, युवा प्रेमी अपनी भावनाओं को प्रतिबिंबित करता है: जब वह उससे प्यार करती है तो वह चमकता है, और जब वह उससे नफरत करती है तो वह ठंडा हो जाता है।
हमारे दुर्भाग्यपूर्ण प्रेमियों का क्या होता है? प्यार उन्हें कैसे अवशोषित करता है और समय के साथ छोड़ देता है? यह वह जगह है जहाँ अंतर कलन बचाव के लिए आता है। रोमियो और जूलियट की भावनाओं के कम होने और घटने को संक्षेप में समीकरण बनाकर और फिर उन्हें हल करके, हम युगल के रिश्ते के पाठ्यक्रम की भविष्यवाणी कर सकते हैं। उसके लिए अंतिम निदान प्रेम और घृणा का एक दुखद अंतहीन चक्र होगा। इस समय के कम से कम एक चौथाई में उनमें परस्पर प्रेम रहेगा।
इस निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए, मैंने माना कि रोमियो के व्यवहार को एक अंतर समीकरण के साथ तैयार किया जा सकता है,
जो बताता है कि उसका प्यार अगले पल (dt) में कैसे बदल जाता है। इस समीकरण के अनुसार, परिवर्तनों की संख्या (dR) जूलियट के प्रेम (J) के सीधे आनुपातिक (एक आनुपातिकता कारक a के साथ) है। यह रिश्ता वही दर्शाता है जो हम पहले से जानते हैं: रोमियो का प्यार तब बढ़ता है जब जूलियट उससे प्यार करता है, लेकिन यह भी बताता है कि जूलियट उससे कितना प्यार करता है, रोमियो का प्यार सीधे अनुपात में बढ़ता है। रैखिक संबंध की यह धारणा भावनात्मक रूप से असंभव है, लेकिन यह समीकरण के समाधान को बहुत सरल बनाना संभव बनाता है।
इसके विपरीत, जूलियट के व्यवहार को समीकरण का उपयोग करके प्रतिरूपित किया जा सकता है
स्थिरांक b से पहले का नकारात्मक चिन्ह दर्शाता है कि रोमियो के प्रेम के प्रगाढ़ होते ही उसका प्रेम ठंडा हो जाता है।
निर्धारित करने के लिए केवल एक चीज बची है वह है उनकी प्रारंभिक भावनाएँ (अर्थात समय t = 0 पर R और J के मान)। उसके बाद, सभी आवश्यक पैरामीटर सेट किए जाएंगे। हम कंप्यूटर का उपयोग धीरे-धीरे, कदम दर कदम आगे बढ़ने के लिए, ऊपर वर्णित अंतर समीकरणों के अनुसार R और J के मानों को बदलते हुए कर सकते हैं। वास्तव में, समाकलन कलन के मौलिक प्रमेय की सहायता से, हम विश्लेषणात्मक रूप से समाधान ढूंढ सकते हैं। क्योंकि मॉडल सरल है, इंटीग्रल कैलकुलस कुछ संपूर्ण फ़ार्मुलों का निर्माण करता है जो हमें बताते हैं कि रोमियो और जूलियट भविष्य में किसी भी समय एक-दूसरे से कितना प्यार (या नफरत) करेंगे।
ऊपर प्रस्तुत अंतर समीकरण भौतिकी के छात्रों से परिचित होना चाहिए: रोमियो और जूलियट सरल हार्मोनिक ऑसीलेटर की तरह व्यवहार करते हैं। इस प्रकार, मॉडल भविष्यवाणी करता है कि समय के साथ उनके संबंधों में परिवर्तन का वर्णन करने वाले कार्य आर (टी) और जे (टी), साइनसॉइड होंगे, उनमें से प्रत्येक बढ़ रहा है और घट रहा है, लेकिन उनके अधिकतम मूल्य मेल नहीं खाते हैं।
"अंतर समीकरणों का उपयोग करके प्रेम संबंध का वर्णन करने का बेवकूफी भरा विचार मेरे दिमाग में तब आया जब मैं पहली बार प्यार में था और अपनी प्रेमिका के समझ से बाहर के व्यवहार को समझने की कोशिश कर रहा था"
मॉडल को कई मायनों में और अधिक यथार्थवादी बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, रोमियो न केवल जूलियट की भावनाओं के प्रति, बल्कि अपनी भावनाओं के प्रति भी प्रतिक्रिया दे सकता है। क्या होगा अगर वह उन लोगों में से एक है जो छोड़े जाने से इतना डरता है कि वह अपनी भावनाओं को ठंडा कर देगा। या दूसरे प्रकार के लोगों को संदर्भित करता है जो पीड़ित होना पसंद करते हैं - इसलिए वह उससे प्यार करता है।
इन परिदृश्यों में रोमियो के दो और व्यवहार जोड़ें - वह अपने स्वयं के स्नेह को मजबूत या कमजोर करके जूलियट के स्नेह का जवाब देता है - और आप देखेंगे कि प्रेम संबंधों में चार अलग-अलग व्यवहार हैं। वॉर्सेस्टर पॉलिटेक्निक इंस्टीट्यूट में पीटर क्रिस्टोफर के समूह के मेरे छात्रों और छात्रों ने इस प्रकार के नामकरण का सुझाव दिया: रोमियो के लिए हर्मिट या शातिर मिसेनथ्रोप जो अपनी भावनाओं को शांत करता है और जूलियट से हट जाता है, और नार्सिसिस्टिक गुन और फ्लर्टेटियस फ़िंक जो गर्म होता है उसकी ललक, लेकिन जूलियट ने खारिज कर दिया। (आप इन सभी प्रकारों के लिए अपने स्वयं के नाम के साथ आ सकते हैं।)
हालांकि दिए गए उदाहरण शानदार हैं, उनका वर्णन करने वाले समीकरणों के प्रकार बहुत जानकारीपूर्ण हैं। वे भौतिक संसार को समझने के लिए मानव जाति द्वारा बनाए गए अब तक के सबसे शक्तिशाली उपकरण हैं। सर आइजैक न्यूटन ने ग्रहों की गति के रहस्यों की खोज के लिए अंतर समीकरणों का इस्तेमाल किया। इन समीकरणों की मदद से, उन्होंने स्थलीय और आकाशीय क्षेत्रों को जोड़ दिया, यह दिखाते हुए कि गति के समान नियम दोनों पर लागू होते हैं।
न्यूटन के लगभग 350 साल बाद, मानव जाति को यह समझ में आया कि भौतिकी के नियम हमेशा अंतर समीकरणों की भाषा में व्यक्त किए जाते हैं। यह गर्मी, हवा और पानी के प्रवाह का वर्णन करने वाले समीकरणों के लिए सच है, बिजली और चुंबकत्व के नियमों के लिए, यहां तक कि परमाणु के लिए भी, जहां क्वांटम यांत्रिकी शासन करती है।
सभी मामलों में, सैद्धांतिक भौतिकी को सही अंतर समीकरणों को खोजना होगा और उन्हें हल करना होगा। जब न्यूटन ने ब्रह्मांड के रहस्यों की इस कुंजी की खोज की और इसके महान महत्व को महसूस किया, तो उन्होंने इसे लैटिन विपर्यय के रूप में प्रकाशित किया। एक मुफ्त अनुवाद में, ऐसा लगता है: "यह अंतर समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी है।"
अंतर समीकरणों का उपयोग करके प्रेम संबंधों का वर्णन करने का बेवकूफी भरा विचार मेरे दिमाग में तब आया जब मैं पहली बार प्यार में था और अपनी प्रेमिका के समझ से बाहर के व्यवहार को समझने की कोशिश कर रहा था। यह कॉलेज में मेरे द्वितीय वर्ष के अंत में एक ग्रीष्मकालीन रोमांस था। मुझे उस समय पहले रोमियो की बहुत याद आ रही थी, और वह पहली जूलियट थी। हमारे रिश्ते की चक्रीय प्रकृति ने मुझे पागल कर दिया, जब तक मुझे एहसास नहीं हुआ कि हम दोनों "पुश-पुल" के सरल नियम के अनुसार जड़ता से अभिनय कर रहे थे। लेकिन गर्मियों के अंत तक, मेरा समीकरण टूटने लगा, और मैं और भी अधिक हैरान था। यह पता चला कि एक महत्वपूर्ण घटना थी जिस पर मैंने ध्यान नहीं दिया: उसका पूर्व प्रेमी उसे वापस चाहता था।
गणित में, हम ऐसी समस्या को त्रि-शरीर समस्या कहते हैं। यह स्पष्ट रूप से असंभव है, खासकर खगोल विज्ञान के संदर्भ में, जहां यह पहली बार उत्पन्न हुआ था। न्यूटन ने द्वि-शरीर समस्या के लिए अंतर समीकरणों को हल करने के बाद (जो बताता है कि ग्रह सूर्य के चारों ओर अंडाकार कक्षाओं में क्यों चलते हैं), उन्होंने सूर्य, पृथ्वी और चंद्रमा के लिए तीन-शरीर की समस्या पर अपना ध्यान दिया। न तो वह और न ही अन्य वैज्ञानिक इसे हल कर पाए हैं। बाद में यह पता चला कि तीन निकायों की समस्या में अराजकता के बीज हैं, अर्थात्, लंबे समय में, उनका व्यवहार अप्रत्याशित है।
न्यूटन को अराजकता की गतिशीलता के बारे में कुछ नहीं पता था, लेकिन उनके मित्र एडमंड हैली के अनुसार, उन्होंने शिकायत की कि तीन-शरीर की समस्या ने उन्हें सिरदर्द दिया और उन्हें इतनी बार जगाए रखा कि वह अब इसके बारे में नहीं सोचेंगे।
यहाँ मैं तुम्हारे साथ हूँ, सर इसहाक।
यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:
क्वांटा
स्कॉट पैटरसन
brainiac
केन जेनिंग्स
मनीबॉल
माइकल लुईस
लचीला दिमाग
कैरल ड्वेक
शेयर बाजार का भौतिकी
जेम्स वेदरॉली
की खुशी एक्स
ए गाइडेड टूर ऑफ़ मैथ, वन टू इनफिनिटी
स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़
से खुशी एक्स
दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा
प्रकाशक से जानकारी
पहली बार रूसी में प्रकाशित
स्टीवन स्ट्रोगैट्ज़, c/o ब्रोकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।
स्ट्रोगेट्स, पी।
से खुशी एक्स. दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा / स्टीफन स्ट्रोगेट्स; प्रति. अंग्रेजी से। - एम।: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।
आईएसबीएन 978-500057-008-1
यह पुस्तक गणित के प्रति आपके दृष्टिकोण को मौलिक रूप से बदलने में सक्षम है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता को समझें, अभिन्न कलन की सुंदरता से परिचित हों, आंकड़ों के महत्व को देखें और अनंत से संपर्क करें। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण ढंग से समझाता है, ऐसे शानदार उदाहरण देता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है।
सर्वाधिकार सुरक्षित।
कॉपीराइट धारकों की लिखित अनुमति के बिना इस पुस्तक का कोई भी भाग किसी भी रूप में पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।
प्रकाशन गृह का कानूनी समर्थन कानूनी फर्म "वेगास-लेक्स" द्वारा प्रदान किया जाता है
© स्टीवन स्ट्रोगेट्स, 2012 सर्वाधिकार सुरक्षित
© रूसी में अनुवाद, रूसी में संस्करण, डिजाइन। एलएलसी "मान, इवानोव और फेरबर", 2014
प्रस्तावना
मेरा एक दोस्त है, जो अपने व्यापार के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम मिलते हैं, वह उत्साहपूर्वक मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम विकास के बारे में बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित की बात करते हैं, उसे अपने घुटनों में कंपन महसूस होता है, जो उसे बहुत परेशान करता है। वह शिकायत करता है कि ये अजीब गणितीय प्रतीक न केवल उसकी अवहेलना करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानता कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।
दरअसल, गणित के प्रति उनकी नापसंदगी का कारण कहीं ज्यादा गहरा है। वह कभी नहीं समझ पाएगा कि गणितज्ञ आमतौर पर क्या करते हैं और उनका क्या मतलब है जब वे कहते हैं कि यह प्रमाण सुरुचिपूर्ण है। कभी-कभी हम मजाक में कहते हैं कि मुझे बस बैठ जाना चाहिए और उसे मूल बातें सिखाना शुरू कर देना चाहिए, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2 से, और जितना हो सके गणित में जाना चाहिए।
और यद्यपि यह विचार पागल लगता है, मैं इस पुस्तक में इसे लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं आपको विज्ञान की सभी प्रमुख शाखाओं के माध्यम से मार्गदर्शन करूंगा, अंकगणित से लेकर उन्नत गणित तक, ताकि जो लोग दूसरा मौका चाहते थे, वे अंततः इसे ले सकें। और इस बार आपको अपने डेस्क पर बैठने की जरूरत नहीं है। यह पुस्तक आपको गणित का विशेषज्ञ नहीं बनाएगी। लेकिन यह समझने में मदद करेगा कि यह अनुशासन क्या पढ़ता है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना रोमांचक क्यों है।
हम सीखेंगे कि माइकल जॉर्डन के स्लैम डंक कैलकुलस की मूल बातें समझाने में कैसे मदद कर सकते हैं। मैं आपको यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल प्रमेय - पाइथागोरस प्रमेय को समझने का एक सरल और आश्चर्यजनक तरीका दिखाऊंगा। हम जीवन के कुछ बड़े और छोटे रहस्यों की तह तक जाने की कोशिश करेंगे: क्या जे सिम्पसन ने अपनी पत्नी को मार डाला; गद्दे को कैसे स्थानांतरित करें ताकि यह यथासंभव लंबे समय तक चले; शादी खेलने से पहले कितने भागीदारों को बदलने की जरूरत है - और हम देखेंगे कि क्यों कुछ शिशु दूसरों की तुलना में बड़े होते हैं।
गणित हर जगह है, आपको बस इसे पहचानना सीखना होगा। आप एक ज़ेबरा के पीछे साइनसॉइड देख सकते हैं, आप स्वतंत्रता की घोषणा में यूक्लिड के प्रमेयों की गूँज सुन सकते हैं; मैं क्या कह सकता हूं, प्रथम विश्व युद्ध से पहले की सूखी रिपोर्टों में भी, नकारात्मक संख्याएं हैं। आप यह भी देख सकते हैं कि गणित के नए क्षेत्र आज हमारे जीवन को कैसे प्रभावित करते हैं, उदाहरण के लिए, जब हम कंप्यूटर का उपयोग करने वाले रेस्तरां की तलाश करते हैं या कम से कम समझने की कोशिश करते हैं, या बेहतर अभी तक, शेयर बाजार में भयावह उतार-चढ़ाव से बचे रहते हैं।
जनवरी 2010 के अंत में सामान्य शीर्षक "फंडामेंटल्स ऑफ मैथमेटिक्स" के तहत 15 लेखों की एक श्रृंखला ऑनलाइन दिखाई दी। उनके प्रकाशन के जवाब में, सभी उम्र के पाठकों से पत्र और टिप्पणियां आईं, जिनमें कई छात्र और शिक्षक थे। कुछ जिज्ञासु लोग भी थे, जो किसी न किसी कारण से, गणितीय विज्ञान की समझ में "अपना रास्ता भटक गए"; अब उन्हें लगता है कि उन्होंने कुछ याद किया है। के बारे मेंऔर फिर से कोशिश करना चाहेंगे। मैं अपने माता-पिता से इस बात के लिए विशेष रूप से प्रसन्न था कि मेरी मदद से वे अपने बच्चों को गणित समझाने में सक्षम थे, और वे स्वयं इसे बेहतर ढंग से समझने लगे। ऐसा लगता था कि मेरे साथियों और साथियों ने, जो इस विज्ञान के उत्साही प्रशंसक थे, लेखों को पढ़ने का आनंद लिया, सिवाय उन क्षणों के जब उन्होंने मेरी संतानों को सुधारने के लिए सभी प्रकार की सिफारिशों की पेशकश करने के लिए एक-दूसरे के साथ संघर्ष किया।
लोकप्रिय धारणा के बावजूद, समाज में गणित में स्पष्ट रुचि है, हालांकि इस घटना पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है। हम केवल गणित के डर के बारे में सुनते हैं, और फिर भी, कई लोग खुशी-खुशी इसे बेहतर ढंग से समझने की कोशिश करेंगे। और एक बार ऐसा हो जाने के बाद, उन्हें तोड़ना मुश्किल होगा।
यह पुस्तक आपको गणित की दुनिया के सबसे जटिल और उन्नत विचारों से परिचित कराएगी। अध्याय छोटे हैं, पढ़ने में आसान हैं, और वास्तव में एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। उनमें से वे हैं जो न्यूयॉर्क टाइम्स में लेखों की उस पहली श्रृंखला में शामिल हैं। इसलिए जैसे ही आपको थोड़ी गणितीय भूख लगे, अगले अध्याय को लेने में संकोच न करें। यदि आप उस मुद्दे को और अधिक विस्तार से समझना चाहते हैं जिसमें आपकी रुचि है, तो पुस्तक के अंत में अतिरिक्त जानकारी और सिफारिशों के साथ नोट्स हैं कि आप इसके बारे में और क्या पढ़ सकते हैं।
चरण-दर-चरण दृष्टिकोण पसंद करने वाले पाठकों की सुविधा के लिए, मैंने विषय के पारंपरिक क्रम के अनुसार सामग्री को छह भागों में विभाजित किया है।
भाग I "नंबर" किंडरगार्टन और प्राथमिक विद्यालय में अंकगणित के साथ हमारी यात्रा शुरू करता है। यह दिखाता है कि संख्याएँ कितनी उपयोगी हो सकती हैं और कैसे वे हमारे आसपास की दुनिया का वर्णन करने में जादुई रूप से प्रभावी हैं।
भाग II "अनुपात" संख्याओं से ध्यान हटाकर उनके बीच के संबंधों की ओर ले जाता है। ये विचार बीजगणित के केंद्र में हैं और यह वर्णन करने के लिए पहला उपकरण है कि एक दूसरे को कैसे प्रभावित करता है, विभिन्न चीजों के कारण संबंध को दर्शाता है: आपूर्ति और मांग, उत्तेजना और प्रतिक्रिया - संक्षेप में, सभी प्रकार के रिश्ते जो दुनिया को बनाते हैं इतना विविध और समृद्ध ..
भाग III "आंकड़े" संख्याओं और प्रतीकों के बारे में नहीं है, बल्कि आंकड़ों और स्थान के बारे में है - ज्यामिति और त्रिकोणमिति का क्षेत्र। ये विषय, तार्किक तर्क और प्रमाण के माध्यम से सभी अवलोकन योग्य वस्तुओं के विवरण के साथ, गणित को सटीकता के एक नए स्तर तक बढ़ाते हैं।
भाग IV "परिवर्तन का समय" में हम गणित को देखेंगे - गणित का सबसे प्रभावशाली और बहुआयामी क्षेत्र। कैलकुस ग्रहों के प्रक्षेपवक्र, ज्वार के चक्रों की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है, और ब्रह्मांड में और हमारे भीतर सभी समय-समय पर बदलती प्रक्रियाओं और घटनाओं को समझना और उनका वर्णन करना संभव बनाता है। इस भाग में एक महत्वपूर्ण स्थान अनंत के अध्ययन के लिए समर्पित है, जिसकी शांति एक सफलता थी जिसने गणनाओं को काम करने की अनुमति दी। कम्प्यूटिंग ने प्राचीन दुनिया में उत्पन्न होने वाली कई समस्याओं को हल करने में मदद की, और इसने अंततः विज्ञान और आधुनिक दुनिया में क्रांति ला दी।
भाग V "डेटा के कई पहलू" संभाव्यता, सांख्यिकी, नेटवर्क और डेटा प्रोसेसिंग से संबंधित है - ये अभी भी अपेक्षाकृत युवा क्षेत्र हैं, जो हमारे जीवन के हमेशा क्रमित पहलुओं, जैसे अवसर और भाग्य, अनिश्चितता, जोखिम, अस्थिरता, यादृच्छिकता से उत्पन्न नहीं होते हैं। , परस्पर निर्भरता। सही गणित उपकरण और सही डेटा प्रकारों का उपयोग करके, हम पैटर्न को यादृच्छिकता की धारा में खोजना सीखेंगे।
भाग VI "द लिमिट्स ऑफ द पॉसिबल" में अपनी यात्रा के अंत में हम गणितीय ज्ञान की सीमा तक पहुंचेंगे, जो पहले से ही ज्ञात है और जो अभी भी मायावी है और ज्ञात नहीं है, के बीच की सीमा क्षेत्र। हम फिर से उन विषयों पर विचार करेंगे जिनसे हम पहले से परिचित हैं: संख्याएं, अनुपात, आकार, परिवर्तन और अनंत - लेकिन साथ ही हम उनमें से प्रत्येक को अपने आधुनिक अवतार में अधिक गहराई से विचार करेंगे।
की खुशी एक्स
ए गाइडेड टूर ऑफ़ मैथ, वन टू इनफिनिटी
स्टीवन स्ट्रोगैट्ज़, c/o ब्रोकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।
© स्टीवन स्ट्रोगेट्स, 2012 सर्वाधिकार सुरक्षित
© रूसी में अनुवाद, रूसी में संस्करण, डिजाइन। एलएलसी "मान, इवानोव और फेरबर", 2014
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स्कॉट पैटरसन
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कैरल ड्वेक
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जेम्स वेदरॉली
प्रस्तावना
मेरा एक दोस्त है, जो अपने व्यापार के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम मिलते हैं, वह उत्साहपूर्वक मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम विकास के बारे में बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित की बात करते हैं, उसे अपने घुटनों में कंपन महसूस होता है, जो उसे बहुत परेशान करता है। वह शिकायत करता है कि ये अजीब गणितीय प्रतीक न केवल उसकी अवहेलना करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानता कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।
दरअसल, गणित के प्रति उनकी नापसंदगी का कारण कहीं ज्यादा गहरा है। वह कभी नहीं समझ पाएगा कि गणितज्ञ आमतौर पर क्या करते हैं और उनका क्या मतलब है जब वे कहते हैं कि यह प्रमाण सुरुचिपूर्ण है। कभी-कभी हम मजाक में कहते हैं कि मुझे बस बैठ जाना चाहिए और उसे मूल बातें सिखाना शुरू कर देना चाहिए, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2 से, और जितना हो सके गणित में जाना चाहिए।
और यद्यपि यह विचार पागल लगता है, मैं इस पुस्तक में इसे लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं आपको विज्ञान की सभी प्रमुख शाखाओं के माध्यम से मार्गदर्शन करूंगा, अंकगणित से लेकर उन्नत गणित तक, ताकि जो लोग दूसरा मौका चाहते थे, वे अंततः इसे ले सकें। और इस बार आपको अपने डेस्क पर बैठने की जरूरत नहीं है। यह पुस्तक आपको गणित का विशेषज्ञ नहीं बनाएगी। लेकिन यह समझने में मदद करेगा कि यह अनुशासन क्या पढ़ता है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना रोमांचक क्यों है।
संख्याओं के जीवन और उनके व्यवहार से मेरा क्या मतलब है, यह स्पष्ट करने के लिए, जिसे हम नियंत्रित नहीं कर सकते हैं, आइए हम वापस प्यारे Paws होटल पर चलते हैं। मान लीजिए कि हम्फ्री ऑर्डर देने ही वाला था, लेकिन फिर दूसरे कमरे से पेंगुइन ने अप्रत्याशित रूप से उसे बुलाया और उतनी ही मात्रा में मछली मांगी। दो आदेश प्राप्त करने के बाद हम्फ्री को कितनी बार "मछली" शब्द चिल्लाना पड़ता है? अगर उसे संख्याओं के बारे में कुछ नहीं पता होता, तो उसे जितनी बार दोनों कमरों में कुल पेंगुइन होते हैं, उतनी बार चीखना पड़ता। या, संख्याओं का उपयोग करके, वह रसोइया को समझा सकता है कि उसे एक संख्या के लिए छह और दूसरे के लिए छह मछली चाहिए। लेकिन उसे वास्तव में एक नई अवधारणा की जरूरत है - जोड़। एक बार जब वह इसमें महारत हासिल कर लेता है, तो वह गर्व से कहेगा कि उसे सिक्स प्लस सिक्स (या, यदि वह पोसुर है, तो बारह) मछली चाहिए।
यह वही रचनात्मक प्रक्रिया है, जब हम अभी-अभी संख्याएँ लेकर आए थे। जिस तरह संख्याएं एक बार में एक को सूचीबद्ध करने की तुलना में गिनना आसान बनाती हैं, उसी तरह जोड़ किसी भी राशि की गणना करना आसान बनाता है। उसी समय, गणना करने वाला एक गणितज्ञ के रूप में विकसित होता है। वैज्ञानिक रूप से, इस विचार को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: सही अमूर्तता के उपयोग से मुद्दे के सार में गहरी अंतर्दृष्टि और इसे हल करने में अधिक शक्ति प्राप्त होती है।
जल्द ही, शायद हम्फ्री को भी एहसास होगा कि अब वह हमेशा गिन सकता है।
हालांकि, इस तरह के अंतहीन परिप्रेक्ष्य के बावजूद, हमारी रचनात्मकता की हमेशा कुछ सीमाएं होती हैं। हम तय कर सकते हैं कि 6 और + से हमारा क्या मतलब है, लेकिन एक बार ऐसा करने के बाद, 6 + 6 जैसे भावों के परिणाम हमारे नियंत्रण से बाहर हो जाते हैं। तर्क हमारे यहाँ कोई विकल्प नहीं छोड़ता है। इस अर्थ में, गणित में हमेशा आविष्कार दोनों शामिल होते हैं, इसलिएखोज: हम आविष्कारअवधारणाएं, लेकिन खोलनाउनके परिणाम। जैसा कि निम्नलिखित अध्यायों में स्पष्ट हो जाएगा, गणित में हमारी स्वतंत्रता प्रश्न पूछने और लगातार उनके उत्तर खोजने की क्षमता में निहित है, लेकिन स्वयं उनका आविष्कार किए बिना।
2. पत्थर अंकगणित
जीवन में किसी भी घटना की तरह, अंकगणित के दो पहलू हैं: औपचारिक और मनोरंजक (या चंचल)।
हमने स्कूल में औपचारिक भाग का अध्ययन किया। उन्होंने हमें समझाया कि कैसे संख्याओं के कॉलम के साथ काम करना है, उन्हें जोड़ना और घटाना है, टैक्स रिटर्न भरते समय और वार्षिक रिपोर्ट तैयार करते समय स्प्रेडशीट में गणना करते समय उन्हें कैसे फावड़ा देना है। अंकगणित का यह पक्ष कई लोगों को व्यावहारिक दृष्टिकोण से महत्वपूर्ण लगता है, लेकिन पूरी तरह से धूमिल है।
आप उच्च गणित के अध्ययन की प्रक्रिया में ही अंकगणित के मनोरंजक पक्ष से परिचित हो सकते हैं। {3}. हालाँकि, वह उतनी ही स्वाभाविक है जितनी कि एक बच्चे की जिज्ञासा। {4}.
निबंध "द मैथमेटिशियन्स लैमेंट" में, पॉल लॉकहार्ट सामान्य से अधिक विशिष्ट उदाहरणों के साथ संख्याओं का अध्ययन करने का सुझाव देते हैं: वह हमें कई पत्थरों के रूप में उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए कहते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 6 कंकड़ के निम्नलिखित सेट से मेल खाती है:
यहां आपको शायद ही कुछ असामान्य दिखाई देगा। जिस तरह से यह है। जब तक हम संख्याओं में हेरफेर करना शुरू नहीं करते, वे काफी हद तक एक जैसे दिखते हैं। खेल तब शुरू होता है जब हमें कोई कार्य मिलता है।
उदाहरण के लिए, आइए उन सेटों को देखें जिनमें 1 से 10 पत्थर हैं और उनमें से वर्ग बनाने का प्रयास करें। यह केवल 4 और 9 पत्थरों के दो सेटों के साथ किया जा सकता है, क्योंकि 4 = 2 × 2 और 9 = 3 × 3। हमें ये संख्याएँ किसी अन्य संख्या (अर्थात, पत्थरों को चुकता) से प्राप्त होती हैं।
यहां एक समस्या है जिसमें बड़ी संख्या में समाधान हैं: आपको यह पता लगाना होगा कि कौन से सेट एक आयत बनाएंगे यदि आप समान तत्वों के साथ दो पंक्तियों में पत्थरों को व्यवस्थित करते हैं। 2, 4, 6, 8 या 10 पत्थरों के सेट यहां उपयुक्त हैं; संख्या सम होनी चाहिए। यदि हम शेष सेटों को दो पंक्तियों में विषम संख्या में पत्थरों से व्यवस्थित करने का प्रयास करते हैं, तो हमारे पास हमेशा एक अतिरिक्त पत्थर होगा।
लेकिन इन असुविधाजनक संख्याओं के लिए सब कुछ खो नहीं गया है! यदि हम ऐसे दो समुच्चय लेते हैं, तो अतिरिक्त तत्व अपने लिए एक युग्म खोज लेंगे, और योग सम होगा: एक विषम संख्या + एक विषम संख्या = एक सम संख्या।
यदि हम इन नियमों को 10 के बाद की संख्याओं तक बढ़ा दें, और मान लें कि एक आयत में पंक्तियों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो कुछ विषम संख्याएँ ऐसे आयतों को जोड़ने की अनुमति देंगी। उदाहरण के लिए, संख्या 15 एक 3×5 आयत बनाएगी।
इसलिए, हालांकि 15 निस्संदेह एक विषम संख्या है, यह एक भाज्य संख्या है और इसे प्रत्येक पाँच पत्थरों की तीन पंक्तियों के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसी तरह, गुणन तालिका में कोई भी प्रविष्टि कंकड़ का अपना आयताकार समूह बनाती है।
लेकिन 2, 3, 5 और 7 जैसी कुछ संख्याएँ पूरी तरह से निराशाजनक हैं। उनमें से कुछ भी नहीं रखा जा सकता है, सिवाय उन्हें एक साधारण रेखा (एक पंक्ति) के रूप में व्यवस्थित करने के। ये अजीब जिद्दी लोग प्रसिद्ध अभाज्य संख्याएँ हैं।
तो हम देखते हैं कि संख्याओं में विचित्र संरचनाएं हो सकती हैं जो उन्हें एक निश्चित चरित्र देती हैं। लेकिन उनके व्यवहार की पूरी श्रृंखला की कल्पना करने के लिए, किसी को व्यक्तिगत संख्याओं से पीछे हटना चाहिए और यह देखना चाहिए कि उनकी बातचीत के दौरान क्या होता है।
उदाहरण के लिए, केवल दो विषम संख्याओं को जोड़ने के बजाय, आइए विषम संख्याओं के सभी संभावित क्रमों को 1 से शुरू करते हैं:
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
आश्चर्यजनक रूप से, ये राशियाँ हमेशा पूर्ण वर्ग बन जाती हैं। (हमने पहले ही इस बारे में बात की थी कि 4 और 9 को वर्गों के रूप में कैसे दर्शाया जा सकता है, और यह 16 = 4 × 4 और 25 = 5 × 5 के लिए भी सही है।) एक त्वरित गणना से पता चलता है कि यह नियम बड़ी विषम संख्याओं के लिए भी है और जाहिर है अनंत की ओर। लेकिन विषम संख्याओं के बीच उनके "अतिरिक्त" पत्थरों और वर्ग बनाने वाली शास्त्रीय सममित संख्याओं के बीच क्या संबंध है? पत्थरों को सही ढंग से रखकर हम इसे स्पष्ट कर सकते हैं, जो एक सुरुचिपूर्ण प्रमाण की पहचान है। {5}
इसकी कुंजी यह अवलोकन होगा कि विषम संख्याओं को समबाहु कोनों के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके क्रमिक थोपने से एक वर्ग बनता है!
इसी तरह के तर्क को हाल ही में प्रकाशित एक और किताब में पेश किया गया है। योको ओगावा का आकर्षक उपन्यास द हाउसकीपर एंड द प्रोफेसर एक चतुर लेकिन अशिक्षित युवती और उसके दस वर्षीय बेटे का अनुसरण करता है। एक बुजुर्ग गणितज्ञ की देखभाल के लिए एक महिला को काम पर रखा गया है, जो सिर की चोट के कारण अपनी अल्पकालिक स्मृति में केवल अपने जीवन के अंतिम 80 मिनट की जानकारी रखता है। वर्तमान में खोये हुए, अकेले अपनी जर्जर झोपड़ी में संख्याओं के अलावा कुछ भी नहीं, प्रोफेसर हाउसकीपर के साथ संवाद करने का एकमात्र तरीका जानने की कोशिश करता है: उसके जूते के आकार या जन्म तिथि के बारे में पूछकर, और उसके साथ उसके खर्चों के बारे में छोटी सी बात करना . प्रोफेसर को हाउसकीपर के बेटे के लिए भी विशेष पसंद है, जिसे वह रूथ (रूट-रूट) कहते हैं, क्योंकि लड़के के शीर्ष पर एक फ्लैट सिर होता है, और यह उसे वर्गमूल √ के लिए गणित में नोटेशन की याद दिलाता है।
एक दिन, प्रोफेसर लड़के को एक सरल कार्य देता है - 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए। रूथ ध्यान से सभी संख्याओं को एक साथ जोड़ता है और उत्तर (55) के साथ लौटता है, प्रोफेसर उसे एक खोजने के लिए कहता है। आसान तरीका। क्या वह इसका उत्तर ढूंढ सकता है बिनासंख्याओं का सरल जोड़? रूथ एक कुर्सी पर लात मारता है और चिल्लाता है, "यह उचित नहीं है!"
धीरे-धीरे, गृहस्वामी भी संख्याओं की दुनिया में आ जाता है और चुपके से इस समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करता है। "मुझे समझ में नहीं आता कि मैं बच्चों की पहेली में इतना क्यों डूब गया जिसका कोई व्यावहारिक उपयोग नहीं है," वह कहती हैं। "पहले तो मैं प्रोफेसर को खुश करना चाहता था, लेकिन धीरे-धीरे यह गतिविधि मेरे और नंबरों के बीच लड़ाई में बदल गई। जब मैं सुबह उठा, तो समीकरण पहले से ही मेरा इंतजार कर रहा था:
1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,
एक्स की खुशी। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रास्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़
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शीर्षक: द प्लेजर ऑफ एक्स। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक आकर्षक यात्रा
द प्लेजर ऑफ एक्स के बारे में। स्टीवन स्ट्रोगेट्स द्वारा दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित के माध्यम से एक रोमांचक यात्रा
यह पुस्तक गणित के प्रति आपके दृष्टिकोण को मौलिक रूप से बदलने में सक्षम है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता को समझें, अभिन्न कलन की सुंदरता से परिचित हों, आंकड़ों के महत्व को देखें और अनंत से संपर्क करें। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण ढंग से समझाता है, ऐसे शानदार उदाहरण देता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है।
पहली बार रूसी में प्रकाशित हुआ।
किताबों के बारे में हमारी साइट पर lifeinbooks.net आप बिना पंजीकरण के मुफ्त में डाउनलोड कर सकते हैं या एपब में स्टीफन स्ट्रोगेट्स द्वारा "द प्लेजर ऑफ एक्स। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक आकर्षक यात्रा" पुस्तक ऑनलाइन पढ़ सकते हैं। iPad, iPhone, Android और Kindle के लिए fb2, txt, rtf, pdf प्रारूप। पुस्तक आपको बहुत सारे सुखद क्षण और पढ़ने के लिए एक वास्तविक आनंद देगी। आप हमारे साथी से पूर्ण संस्करण खरीद सकते हैं। साथ ही यहां आपको साहित्य जगत की ताजा खबरें मिलेंगी, जानें अपने पसंदीदा लेखकों की जीवनी। नौसिखिए लेखकों के लिए, उपयोगी टिप्स और ट्रिक्स, दिलचस्प लेखों के साथ एक अलग सेक्शन है, जिसकी बदौलत आप लेखन में अपना हाथ आजमा सकते हैं।
यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:
क्वांटा
स्कॉट पैटरसन
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ए गाइडेड टूर ऑफ़ मैथ, वन टू इनफिनिटी
स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़
दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा
प्रकाशक से जानकारी
पहली बार रूसी में प्रकाशित
स्टीवन स्ट्रोगैट्ज़, c/o ब्रोकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।
स्ट्रोगेट्स, पी।
एक्स से खुशी। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा / स्टीवन स्ट्रोगेट्स; प्रति. अंग्रेजी से। - एम।: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।
आईएसबीएन 978-500057-008-1
यह पुस्तक गणित के प्रति आपके दृष्टिकोण को मौलिक रूप से बदलने में सक्षम है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता को समझें, अभिन्न कलन की सुंदरता से परिचित हों, आंकड़ों के महत्व को देखें और अनंत से संपर्क करें। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण ढंग से समझाता है, ऐसे शानदार उदाहरण देता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है।
सर्वाधिकार सुरक्षित।
कॉपीराइट धारकों की लिखित अनुमति के बिना इस पुस्तक का कोई भी भाग किसी भी रूप में पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।
प्रकाशन गृह का कानूनी समर्थन कानूनी फर्म "वेगास-लेक्स" द्वारा प्रदान किया जाता है
© स्टीवन स्ट्रोगेट्स, 2012 सर्वाधिकार सुरक्षित
© रूसी में अनुवाद, रूसी में संस्करण, डिजाइन। एलएलसी "मान, इवानोव और फेरबर", 2014
प्रस्तावना
मेरा एक दोस्त है, जो अपने व्यापार के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम मिलते हैं, वह उत्साहपूर्वक मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम विकास के बारे में बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित की बात करते हैं, उसे अपने घुटनों में कंपन महसूस होता है, जो उसे बहुत परेशान करता है। वह शिकायत करता है कि ये अजीब गणितीय प्रतीक न केवल उसकी अवहेलना करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानता कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।
दरअसल, गणित के प्रति उनकी नापसंदगी का कारण कहीं ज्यादा गहरा है। वह कभी नहीं समझ पाएगा कि गणितज्ञ आमतौर पर क्या करते हैं और उनका क्या मतलब है जब वे कहते हैं कि यह प्रमाण सुरुचिपूर्ण है। कभी-कभी हम मजाक में कहते हैं कि मुझे बस बैठ जाना चाहिए और उसे मूल बातें सिखाना शुरू कर देना चाहिए, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2 से, और जितना हो सके गणित में जाना चाहिए।
और यद्यपि यह विचार पागल लगता है, मैं इस पुस्तक में इसे लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं आपको विज्ञान की सभी प्रमुख शाखाओं के माध्यम से मार्गदर्शन करूंगा, अंकगणित से लेकर उन्नत गणित तक, ताकि जो लोग दूसरा मौका चाहते थे, वे अंततः इसे ले सकें। और इस बार आपको अपने डेस्क पर बैठने की जरूरत नहीं है। यह पुस्तक आपको गणित का विशेषज्ञ नहीं बनाएगी। लेकिन यह समझने में मदद करेगा कि यह अनुशासन क्या पढ़ता है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना रोमांचक क्यों है।
हम सीखेंगे कि माइकल जॉर्डन के स्लैम डंक कैलकुलस की मूल बातें समझाने में कैसे मदद कर सकते हैं। मैं आपको यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल प्रमेय - पाइथागोरस प्रमेय को समझने का एक सरल और आश्चर्यजनक तरीका दिखाऊंगा। हम जीवन के कुछ बड़े और छोटे रहस्यों की तह तक जाने की कोशिश करेंगे: क्या जे सिम्पसन ने अपनी पत्नी को मार डाला; गद्दे को कैसे स्थानांतरित करें ताकि यह यथासंभव लंबे समय तक चले; शादी खेलने से पहले कितने भागीदारों को बदलने की जरूरत है - और हम देखेंगे कि क्यों कुछ शिशु दूसरों की तुलना में बड़े होते हैं।
गणित हर जगह है, आपको बस इसे पहचानना सीखना होगा। आप एक ज़ेबरा के पीछे साइनसॉइड देख सकते हैं, आप स्वतंत्रता की घोषणा में यूक्लिड के प्रमेयों की गूँज सुन सकते हैं; मैं क्या कह सकता हूं, प्रथम विश्व युद्ध से पहले की सूखी रिपोर्टों में भी, नकारात्मक संख्याएं हैं। आप यह भी देख सकते हैं कि गणित के नए क्षेत्र आज हमारे जीवन को कैसे प्रभावित करते हैं, उदाहरण के लिए, जब हम कंप्यूटर का उपयोग करने वाले रेस्तरां की तलाश करते हैं या कम से कम समझने की कोशिश करते हैं, या बेहतर अभी तक, शेयर बाजार में भयावह उतार-चढ़ाव से बचे रहते हैं।
जनवरी 2010 के अंत में सामान्य शीर्षक "फंडामेंटल्स ऑफ मैथमेटिक्स" के तहत 15 लेखों की एक श्रृंखला ऑनलाइन दिखाई दी। उनके प्रकाशन के जवाब में, सभी उम्र के पाठकों से पत्र और टिप्पणियां आईं, जिनमें कई छात्र और शिक्षक थे। कुछ जिज्ञासु लोग भी थे, जो किसी न किसी कारण से, गणितीय विज्ञान की समझ में "अपना रास्ता भटक गए"; अब उन्हें लगता है कि उन्होंने कुछ याद किया है और फिर से प्रयास करना चाहेंगे। मैं अपने माता-पिता से इस बात के लिए विशेष रूप से प्रसन्न था कि मेरी मदद से वे अपने बच्चों को गणित समझाने में सक्षम थे, और वे स्वयं इसे बेहतर ढंग से समझने लगे। ऐसा लगता था कि मेरे साथियों और साथियों ने, जो इस विज्ञान के उत्साही प्रशंसक थे, लेखों को पढ़ने का आनंद लिया, सिवाय उन क्षणों के जब उन्होंने मेरी संतानों को सुधारने के लिए सभी प्रकार की सिफारिशों की पेशकश करने के लिए एक-दूसरे के साथ संघर्ष किया।
लोकप्रिय धारणा के बावजूद, समाज में गणित में स्पष्ट रुचि है, हालांकि इस घटना पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है। हम केवल गणित के डर के बारे में सुनते हैं, और फिर भी, कई लोग खुशी-खुशी इसे बेहतर ढंग से समझने की कोशिश करेंगे। और एक बार ऐसा हो जाने के बाद, उन्हें तोड़ना मुश्किल होगा।
यह पुस्तक आपको गणित की दुनिया के सबसे जटिल और उन्नत विचारों से परिचित कराएगी। अध्याय छोटे हैं, पढ़ने में आसान हैं, और वास्तव में एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। उनमें से वे हैं जो न्यूयॉर्क टाइम्स में लेखों की उस पहली श्रृंखला में शामिल हैं। इसलिए जैसे ही आपको थोड़ी गणितीय भूख लगे, अगले अध्याय को लेने में संकोच न करें। यदि आप उस मुद्दे को और अधिक विस्तार से समझना चाहते हैं जिसमें आपकी रुचि है, तो पुस्तक के अंत में अतिरिक्त जानकारी और सिफारिशों के साथ नोट्स हैं कि आप इसके बारे में और क्या पढ़ सकते हैं।
चरण-दर-चरण दृष्टिकोण पसंद करने वाले पाठकों की सुविधा के लिए, मैंने विषय के पारंपरिक क्रम के अनुसार सामग्री को छह भागों में विभाजित किया है।
भाग I "नंबर" किंडरगार्टन और प्राथमिक विद्यालय में अंकगणित के साथ हमारी यात्रा शुरू करता है। यह दिखाता है कि संख्याएँ कितनी उपयोगी हो सकती हैं और कैसे वे हमारे आसपास की दुनिया का वर्णन करने में जादुई रूप से प्रभावी हैं।
भाग II "अनुपात" संख्याओं से ध्यान हटाकर उनके बीच के संबंधों की ओर ले जाता है। ये विचार बीजगणित के केंद्र में हैं और यह वर्णन करने के लिए पहला उपकरण है कि एक दूसरे को कैसे प्रभावित करता है, विभिन्न चीजों के कारण संबंध को दर्शाता है: आपूर्ति और मांग, उत्तेजना और प्रतिक्रिया - संक्षेप में, सभी प्रकार के रिश्ते जो दुनिया को बनाते हैं इतना विविध और समृद्ध ..
भाग III "आंकड़े" संख्याओं और प्रतीकों के बारे में नहीं है, बल्कि आंकड़ों और स्थान के बारे में है - ज्यामिति और त्रिकोणमिति का क्षेत्र। ये विषय, तार्किक तर्क और प्रमाण के माध्यम से सभी अवलोकन योग्य वस्तुओं के विवरण के साथ, गणित को सटीकता के एक नए स्तर तक बढ़ाते हैं।
भाग IV "परिवर्तन का समय" में हम गणित को देखेंगे - गणित का सबसे प्रभावशाली और बहुआयामी क्षेत्र। कैलकुस ग्रहों के प्रक्षेपवक्र, ज्वार के चक्रों की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है, और ब्रह्मांड में और हमारे भीतर सभी समय-समय पर बदलती प्रक्रियाओं और घटनाओं को समझना और उनका वर्णन करना संभव बनाता है। इस भाग में एक महत्वपूर्ण स्थान अनंत के अध्ययन के लिए समर्पित है, जिसकी शांति एक सफलता थी जिसने गणनाओं को काम करने की अनुमति दी। कम्प्यूटिंग ने प्राचीन दुनिया में उत्पन्न होने वाली कई समस्याओं को हल करने में मदद की, और इसने अंततः विज्ञान और आधुनिक दुनिया में क्रांति ला दी।
भाग V "डेटा के कई पहलू" संभाव्यता, सांख्यिकी, नेटवर्क और डेटा प्रोसेसिंग से संबंधित है - ये अभी भी अपेक्षाकृत युवा क्षेत्र हैं, जो हमारे जीवन के हमेशा क्रमित पहलुओं, जैसे अवसर और भाग्य, अनिश्चितता, जोखिम, अस्थिरता, यादृच्छिकता से उत्पन्न नहीं होते हैं। , परस्पर निर्भरता। सही गणित उपकरण और सही डेटा प्रकारों का उपयोग करके, हम पैटर्न को यादृच्छिकता की धारा में खोजना सीखेंगे।
भाग VI "द लिमिट्स ऑफ द पॉसिबल" में अपनी यात्रा के अंत में हम गणितीय ज्ञान की सीमा तक पहुंचेंगे, जो पहले से ही ज्ञात है और जो अभी भी मायावी है और ज्ञात नहीं है, के बीच की सीमा क्षेत्र। हम फिर से उन विषयों पर विचार करेंगे जिनसे हम पहले से परिचित हैं: संख्याएं, अनुपात, आकार, परिवर्तन और अनंत - लेकिन साथ ही हम उनमें से प्रत्येक को अपने आधुनिक अवतार में अधिक गहराई से विचार करेंगे।
मुझे आशा है कि आप इस पुस्तक के सभी विचारों को रोमांचक पाएंगे और आपको एक से अधिक बार "अच्छा, अच्छा!" कहने पर मजबूर करेंगे। लेकिन आपको हमेशा कहीं न कहीं से शुरुआत करनी होती है, तो चलिए गिनती जैसी सरल लेकिन आकर्षक क्रिया से शुरू करते हैं।
1. संख्या मूल बातें: मछली जोड़ना
संख्याओं की अवधारणा का सबसे अच्छा प्रदर्शन जो मैंने कभी देखा है (संख्याएं क्या हैं और हमें उनकी आवश्यकता क्यों है इसका सबसे स्पष्ट और मजेदार विवरण) मैंने लोकप्रिय बच्चों के शो सेसम स्ट्रीट के एक एपिसोड में देखा जिसे 123: काउंटिंग टुगेदर »(123 काउंटर कहा जाता है) मेरे साथ)। एक्स...
