यौगिक शब्द "समांतर चतुर्भुज"? और इसके पीछे एक बहुत ही सरल आकृति छिपी हुई है।
खैर, यानी, हमने दो समानांतर रेखाएँ लीं:
दो और द्वारा पार किया गया:
और अंदर एक समांतर चतुर्भुज है!
समांतर चतुर्भुज में क्या गुण होते हैं?
समांतर चतुर्भुज के गुण.
अर्थात्, यदि समस्या को एक समांतर चतुर्भुज दिया जाए तो आप क्या उपयोग कर सकते हैं?
निम्नलिखित प्रमेय इस प्रश्न का उत्तर देता है:
आइए सब कुछ विस्तार से बताएं।
इसका मतलब क्या है प्रमेय का पहला बिंदु? और तथ्य यह है कि यदि आपके पास एक समांतर चतुर्भुज है, तो आपके पास निश्चित रूप से होगा
दूसरे बिंदु का अर्थ है कि यदि कोई समांतर चतुर्भुज है, तो, फिर, निश्चित रूप से:
खैर, और अंत में, तीसरे बिंदु का अर्थ है कि यदि आपके पास एक समांतर चतुर्भुज है, तो सुनिश्चित करें:
क्या आप देखते हैं कि वहाँ पसंद का कितना खजाना है? समस्या में क्या उपयोग करें? कार्य के प्रश्न पर ध्यान केंद्रित करने का प्रयास करें, या बस एक-एक करके सब कुछ करने का प्रयास करें - कुछ "कुंजी" काम करेगी।
आइए अब अपने आप से एक और प्रश्न पूछें: हम किसी समांतर चतुर्भुज को "दृष्टि से" कैसे पहचान सकते हैं? चतुर्भुज का क्या होना चाहिए ताकि हमें इसे समांतर चतुर्भुज का "शीर्षक" देने का अधिकार हो?
समांतर चतुर्भुज के कई चिह्न इस प्रश्न का उत्तर देते हैं।
समांतर चतुर्भुज के लक्षण.
ध्यान! शुरू करना।
समांतर चतुर्भुज.
कृपया ध्यान दें: यदि आपको अपनी समस्या में कम से कम एक चिन्ह मिलता है, तो आपके पास निश्चित रूप से एक समांतर चतुर्भुज है, और आप समांतर चतुर्भुज के सभी गुणों का उपयोग कर सकते हैं।
2. आयत
मुझे लगता है कि ये आपके लिए बिल्कुल भी खबर नहीं होगी
पहला प्रश्न: क्या आयत एक समांतर चतुर्भुज है?
निश्चित रूप से यह है! आख़िरकार, उसके पास - याद है, हमारा चिन्ह 3?
और यहाँ से, निश्चित रूप से, यह पता चलता है कि एक आयत में, किसी भी समांतर चतुर्भुज की तरह, विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।
लेकिन आयत का एक विशिष्ट गुण भी है।
आयताकार संपत्ति
यह संपत्ति विशिष्ट क्यों है? क्योंकि किसी अन्य समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण समान नहीं होते। आइए इसे और अधिक स्पष्ट रूप से तैयार करें।
कृपया ध्यान दें: एक आयत बनने के लिए, एक चतुर्भुज को पहले एक समांतर चतुर्भुज बनना होगा, और फिर विकर्णों की समानता प्रदर्शित करनी होगी।
3. हीरा
और फिर प्रश्न: क्या एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं?
पूर्ण अधिकार के साथ - एक समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसमें और (हमारी सुविधा 2 याद रखें)।
और फिर, चूँकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होने चाहिए। इसका मतलब यह है कि एक समचतुर्भुज में, विपरीत कोण बराबर होते हैं, विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, और विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित होते हैं।
एक समचतुर्भुज के गुण
तस्वीर पर देखो:
जैसा कि एक आयत के मामले में होता है, ये गुण विशिष्ट होते हैं, अर्थात, इनमें से प्रत्येक गुण के लिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह केवल एक समांतर चतुर्भुज नहीं है, बल्कि एक समचतुर्भुज है।
हीरे के लक्षण
और फिर, ध्यान दें: केवल एक चतुर्भुज नहीं होना चाहिए जिसके विकर्ण लंबवत हों, बल्कि एक समांतर चतुर्भुज भी होना चाहिए। सुनिश्चित करें:
नहीं, निःसंदेह, यद्यपि इसके विकर्ण लंबवत हैं, और विकर्ण कोणों का समद्विभाजक है। परंतु... विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित नहीं होते हैं, इसलिए - एक समांतर चतुर्भुज नहीं है, और इसलिए एक समचतुर्भुज नहीं है।
अर्थात्, एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज है। चलो देखते हैं क्या होता हैं।
क्या यह स्पष्ट है क्यों? - समचतुर्भुज कोण A का समद्विभाजक है, जो बराबर है। इसका मतलब यह है कि यह दो कोणों में विभाजित (और भी) करता है।
खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है: एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं; एक समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं, और सामान्य तौर पर, विकर्णों का एक समांतर चतुर्भुज प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होता है।
औसत स्तर
चतुर्भुजों के गुण. चतुर्भुज
समांतर चतुर्भुज के गुण
ध्यान! शब्द " समांतर चतुर्भुज के गुण"मतलब कि अगर आपके काम में वहाँ हैसमांतर चतुर्भुज, तो निम्नलिखित सभी का उपयोग किया जा सकता है।
समांतर चतुर्भुज के गुणों पर प्रमेय.
किसी भी समांतर चतुर्भुज में:
आइए दूसरे शब्दों में समझें कि यह सब सच क्यों है हम साबित करेंगेप्रमेय.
तो 1) सत्य क्यों है?
यदि यह एक समांतर चतुर्भुज है, तो:
- आड़े-तिरछे लेटे हुए
- क्रॉस की तरह झूठ बोलना.
इसका मतलब है (मानदंड II के अनुसार: और - सामान्य।)
अच्छा, बस यही है, यही है! - सिद्ध।
लेकिन वैसे! हमने भी साबित कर दिया 2)!
क्यों? लेकिन (तस्वीर को देखो), इसका मतलब ठीक यही है।
केवल तीन छोड़ दिया)।
ऐसा करने के लिए, आपको अभी भी दूसरा विकर्ण बनाना होगा।
और अब हम देखते हैं कि - II विशेषता (कोण और उनके बीच का किनारा) के अनुसार।
गुण सिद्ध! आइए संकेतों पर चलते हैं।
समांतर चतुर्भुज के लक्षण
याद रखें कि समांतर चतुर्भुज चिह्न इस प्रश्न का उत्तर देता है कि "आप कैसे जानते हैं कि एक आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।"
आइकनों में यह इस प्रकार है:
क्यों? यह समझना अच्छा होगा कि क्यों - यही काफी है। लेकिन देखो:
खैर, हमने यह पता लगा लिया कि संकेत 1 सत्य क्यों है।
खैर, यह और भी आसान है! आइए फिर से एक विकर्ण बनाएं।
मतलब:
औरयह आसान भी है. लेकिन...अलग!
मतलब, । बहुत खूब! लेकिन यह भी - एक सेकेंट के साथ आंतरिक एकतरफा!
इसलिए तथ्य यह है कि इसका मतलब है.
और यदि आप दूसरी तरफ से देखते हैं, तो - एक छेदक के साथ आंतरिक एकतरफा! और इसलिए।
क्या आप देखते हैं यह कितना बढ़िया है?!
और फिर से सरल:
बिल्कुल वैसा ही, और.
ध्यान देना:अगर तुम्हें मिल गया कम से कमआपकी समस्या में समांतर चतुर्भुज का एक चिह्न, तो आपके पास है बिल्कुलसमांतर चतुर्भुज और आप उपयोग कर सकते हैं सब लोगसमांतर चतुर्भुज के गुण.
पूर्ण स्पष्टता के लिए, चित्र देखें:
चतुर्भुजों के गुण. आयत।
आयत गुण:
बिंदु 1) बिल्कुल स्पष्ट है - आखिरकार, संकेत 3 () बस पूरा हो गया है
और बिंदु 2)- बहुत ज़रूरी. तो, आइए इसे साबित करें
इसका मतलब दो तरफ (और - सामान्य) है।
खैर, चूँकि त्रिभुज बराबर हैं, तो उनके कर्ण भी बराबर हैं।
यह साबित कर दिया!
और कल्पना कीजिए, सभी समांतर चतुर्भुजों के बीच विकर्णों की समानता एक आयत का एक विशिष्ट गुण है। अर्थात् यह कथन सत्य है^
आइये समझते हैं क्यों?
इसका मतलब है (मतलब समांतर चतुर्भुज के कोण)। लेकिन हमें एक बार फिर याद रखना चाहिए कि यह एक समांतर चतुर्भुज है, और इसलिए।
मतलब, । खैर, निःसंदेह, यह इस प्रकार है कि उनमें से प्रत्येक! आख़िरकार, उन्हें पूरा योगदान देना होगा!
तो उन्होंने ये साबित कर दिया कि अगर चतुर्भुजअचानक (!) विकर्ण बराबर हो जाते हैं, तो यह बिल्कुल एक आयत.
लेकिन! ध्यान देना!इस बारे में है समानांतर चतुर्भुज! सिर्फ किसी को नहींसमान विकर्णों वाला एक चतुर्भुज एक आयत है, और केवलसमांतर चतुर्भुज!
चतुर्भुजों के गुण. विषमकोण
और फिर प्रश्न: क्या एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं?
पूर्ण अधिकार के साथ - एक समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसमें (हमारी सुविधा 2 याद रखें)।
और फिर, चूँकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होने चाहिए। इसका मतलब यह है कि एक समचतुर्भुज में, विपरीत कोण बराबर होते हैं, विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, और विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित होते हैं।
लेकिन इसमें विशेष गुण भी हैं। आइए इसे तैयार करें.
एक समचतुर्भुज के गुण
क्यों? खैर, चूँकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसके विकर्ण आधे में विभाजित होते हैं।
क्यों? हाँ, इसीलिए!
दूसरे शब्दों में, विकर्ण समचतुर्भुज के कोनों के समद्विभाजक बन गए।
जैसे कि एक आयत के मामले में, ये गुण हैं विशेष, उनमें से प्रत्येक एक समचतुर्भुज का चिन्ह भी है।
हीरे के लक्षण.
ऐसा क्यों है? और देखो,
इसका मत दोनोंये त्रिभुज समद्विबाहु हैं।
एक समचतुर्भुज बनने के लिए, एक चतुर्भुज को पहले एक समांतर चतुर्भुज "बनना" चाहिए, और फिर विशेषता 1 या विशेषता 2 प्रदर्शित करनी चाहिए।
चतुर्भुजों के गुण. वर्ग
अर्थात्, एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज है। चलो देखते हैं क्या होता हैं।
क्या यह स्पष्ट है क्यों? एक वर्ग - एक समचतुर्भुज - एक कोण का समद्विभाजक है जो इसके बराबर होता है। इसका मतलब यह है कि यह दो कोणों में विभाजित (और भी) करता है।
खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है: एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं; एक समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं, और सामान्य तौर पर, विकर्णों का एक समांतर चतुर्भुज प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होता है।
क्यों? खैर, आइए पाइथागोरस प्रमेय को लागू करें...
सारांश और बुनियादी सूत्र
समांतर चतुर्भुज के गुण:
- सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं: , .
- सम्मुख कोण बराबर होते हैं: , .
- एक तरफ के कोणों का योग होता है: , .
- विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है:।
आयत गुण:
- आयत के विकर्ण बराबर हैं: .
- एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है (एक आयत के लिए समांतर चतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं)।
एक समचतुर्भुज के गुण:
- एक समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं:।
- एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक होते हैं: ; ; ; .
- एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है (एक समचतुर्भुज के लिए समांतर चतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं)।
एक वर्ग के गुण:
एक वर्ग एक ही समय में एक समचतुर्भुज और एक आयत है, इसलिए, एक वर्ग के लिए एक आयत और एक समचतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं। और:
खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।
क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!
अब सबसे महत्वपूर्ण बात.
आप इस विषय पर सिद्धांत को समझ चुके हैं। और, मैं दोहराता हूं, यह... यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।
समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...
किस लिए?
एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए, कम बजट में कॉलेज में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।
मैं तुम्हें किसी भी बात के लिए राजी नहीं करूंगा, मैं बस एक बात कहूंगा...
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साइन-की पा-रल-ले-लो-ग्राम-मा
1. समांतर चतुर्भुज की परिभाषा और मूल गुण
आइए पार-राल-ले-लो-ग्राम-मा की परिभाषा को याद करके शुरुआत करें।
परिभाषा। चतुर्भुज- व्हाट-यू-रेख-गॉन-निक, जिसमें हर दो प्रो-टी-झूठी भुजाएं समानांतर हैं (चित्र 1 देखें)।
चावल। 1. पा-राल-ले-लो-ग्राम
चलो याद करते हैं पा-राल-ले-लो-ग्राम-मा के मूल गुण:
इन सभी संपत्तियों का उपयोग करने में सक्षम होने के लिए, आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि फाई-गु-रा, जिसके बारे में हम बात कर रहे हैं -रॉय, - पार-राल-ले-लो-ग्राम। ऐसा करने के लिए, पा-राल-ले-लो-ग्राम-मा के लक्षण जैसे तथ्यों को जानना आवश्यक है। हम इस वर्ष उनमें से पहले दो पर विचार कर रहे हैं।
2. समांतर चतुर्भुज का पहला चिन्ह
प्रमेय. पा-रल-ले-लो-ग्राम-मा का पहला संकेत।यदि चारकोयले में दो सम्मुख भुजाएँ बराबर एवं समान्तर हों तो यह चारकोयला उपनाम - चतुर्भुज. 
.
चावल। 2. पा-रल-ले-लो-ग्राम-मा का पहला संकेत
सबूत। आइए डाय-गो-नाल को चार-रेह-कोयला-नी-का में रखें (चित्र 2 देखें), उसने इसे दो त्रि-कोयला-नी-का में विभाजित किया। आइए लिखें कि हम इन त्रिभुजों के बारे में क्या जानते हैं:
त्रिभुजों की समानता के प्रथम चिन्ह के अनुसार।
संकेतित त्रिभुजों की समानता से यह पता चलता है कि, ch-nii को पार करते समय सीधी रेखाओं की समानता के संकेत से, उनकी s-ku-shchi। हमारे पास वह है:
दो-का-ज़ा-लेकिन।
3. समांतर चतुर्भुज का दूसरा चिन्ह
प्रमेय. दूसरा चिन्ह पा-रल-ले-लो-ग्राम-मा है।यदि किसी चतुर्कोण में प्रत्येक दो प्रो-टी-फाल्स भुजाएँ बराबर हों, तो यह चतुर्कोण है चतुर्भुज. 
.
चावल। 3. पा-रल-ले-लो-ग्राम-मा का दूसरा लक्षण
सबूत। हम डाय-गोनल को चार-कोने में रखते हैं (चित्र 3 देखें), वह इसे दो त्रिकोणों में विभाजित करती है। आइए सिद्धांत के स्वरूप के आधार पर इन त्रिभुजों के बारे में हम जो जानते हैं उसे लिखें:
त्रिभुजों की समानता के तीसरे चिन्ह के अनुसार।
त्रिभुजों की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि, समानांतर रेखाओं के चिह्न से, जब वे उन्हें काटते हैं तो s-ku-shchey। चलो खाते हैं:
परिभाषा के अनुसार पार-राल-ले-लो-ग्राम। क्यू.ई.डी.
दो-का-ज़ा-लेकिन।
4. पहली समांतर चतुर्भुज सुविधा का उपयोग करने का एक उदाहरण
आइए पा-राल-ले-लो-ग्राम के संकेतों का उपयोग करने के उदाहरण पर एक नज़र डालें।
उदाहरण 1. उभार में कोई कोयला नहीं है खोजें: ए) अंगारों के कोने; बी) सौ-रो-वेल।
समाधान। चित्रण चित्र. 4.
पा-राल-ले-लो-ग्राम पा-राल-ले-लो-ग्राम-मा के पहले संकेत के अनुसार।
एक। 
प्रो-टी-झूठे कोणों के बारे में पार-राल-ले-लो-ग्राम की संपत्ति द्वारा, एक तरफ झूठ बोलने पर कोणों के योग के बारे में पार-राल-ले-लो-ग्राम की संपत्ति द्वारा।
बी। 
मिथ्या-समर्थक पक्षों की समानता की प्रकृति से।
री-टीआई साइन पा-रल-ले-लो-ग्राम-मा
5. समीक्षा: समांतर चतुर्भुज की परिभाषा और गुण
आइए इसे याद रखें चतुर्भुज- यह एक चार-वर्ग-कोना है, जिसमें जोड़े में प्रो-टी-झूठी भुजाएँ हैं। अर्थात्, यदि - पार-राल-ले-लो-ग्राम, तब 
(चित्र 1 देखें)।
समानांतर-ले-लो-ग्राम में कई गुण होते हैं: प्रो-टी-झूठे कोण बराबर होते हैं (), प्रो-ति-झूठे कोण -हम बराबर होते हैं ( 
). इसके अलावा, री-से-चे-निया के बिंदु पर दीया-गो-ना-ली पा-राल-ले-लो-ग्राम-मा को कोणों के योग के अनुसार विभाजित किया जाता है, एट-ले- किसी को दबाने पर साइड पा-राल-ले-लो-ग्राम-मा, बराबर, आदि।
लेकिन इन सभी गुणों का लाभ उठाने के लिए, यह पूरी तरह से आश्वस्त होना आवश्यक है कि री-वा-ए-माय थ-यू-रेख-कोयला-निक - पा-रल-ले-लो-ग्राम। इस उद्देश्य के लिए, पार-राल-ले-लो-ग्राम के संकेत हैं: यानी, वे तथ्य जिनसे कोई एकल-मूल्यवान निष्कर्ष निकाल सकता है, कि जो-आप-रेख-कोयला-निक एक पैरा-राल है- ले-लो-ग्राम-माँ। पिछले पाठ में, हमने पहले ही दो संकेतों पर गौर किया था। अब हम तीसरी बार देख रहे हैं।
6. समांतर चतुर्भुज का तीसरा चिन्ह और उसका प्रमाण
यदि चार-कोयले में री-से-चे-निया के बिंदु पर एक डाय-गो-ऑन है जो वे-बाय-लैम्स करते हैं, तो दिया गया चार-यू रोह-कोयला-निक एक पा-राल-ले है -लो-ग्राम-माँ.
दिया गया:
व्हाट-यू-रे-कोयला-निक; ; .
सिद्ध करना:
समांतर चतुर्भुज.
सबूत:
इस तथ्य को सिद्ध करने के लिए पार-ले-लो-ग्राम में पार्टियों की समानता दिखाना आवश्यक है। और सीधी रेखाओं की समानता अक्सर इन समकोणों पर आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोणों की समानता के माध्यम से प्राप्त की जाती है। इस प्रकार, यहां पार-राल -ले-लो-ग्राम-मा का तीसरा चिह्न प्राप्त करने की अगली विधि है: त्रिभुजों की समानता के माध्यम से 
.
आइए देखें कि ये त्रिभुज बराबर कैसे हैं। वास्तव में, स्थिति से यह इस प्रकार है: . इसके अलावा, चूँकि कोण ऊर्ध्वाधर हैं, वे बराबर हैं। वह है:
(समानता का पहला संकेतत्रि-कोयला-नी-कोव- दो किनारों पर और उनके बीच का कोना)।
त्रिभुजों की समानता से: (चूंकि इन सीधी रेखाओं और विभाजकों पर आंतरिक क्रॉसवाइज कोण बराबर होते हैं)। इसके अलावा, त्रिभुजों की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है। इसका मतलब यह है कि हम समझते हैं कि चार-कोयले में दो सौ बराबर और समानांतर हैं। पहले संकेत के अनुसार, पा-राल-ले-लो-ग्राम-मा:- पा-राल-ले-लो-ग्राम।
दो-का-ज़ा-लेकिन।
7. समांतर चतुर्भुज और सामान्यीकरण के तीसरे चिह्न पर एक समस्या का उदाहरण
आइए पा-राल-ले-लो-ग्राम के तीसरे चिह्न का उपयोग करने का उदाहरण देखें।
उदाहरण 1
दिया गया:
- समांतर चतुर्भुज; . - से-रे-दी-ना, - से-रे-दी-ना, - से-रे-दी-ना, - से-रे-दी-ना (चित्र 2 देखें)।
सिद्ध करना:- पा-राल-ले-लो-ग्राम।
सबूत:
इसका मतलब यह है कि चार-कोयला-नो-डिया-गो-ऑन-चाहे री-से-चे-निया के बिंदु पर वे-बाय-लैम करते हैं। पा-राल-ले-लो-ग्राम के तीसरे लक्षण से यह निष्कर्ष निकलता है कि - पा-राल-ले-लो-ग्राम।
दो-का-ज़ा-लेकिन।
यदि आप पा-राल-ले-लो-ग्राम के तीसरे चिन्ह का विश्लेषण करें, तो आप देख सकते हैं कि यह चिन्ह विद-वेट- में पार-राल-ले-लो-ग्राम का गुण है। अर्थात्, तथ्य यह है कि दीया-गो-ना-ली डे-ला-ज़िया केवल पार-ले-लो-ग्राम की संपत्ति नहीं है, और इसकी विशिष्ट, खा-रक-ते-री-स्टि-चे- संपत्ति, जिसके द्वारा इसे सेट व्हाट-यू-रेख-कोयला-नी-कोव से अलग किया जा सकता है।
स्रोत
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://www.tepka.ru/geometria/16.1.gif
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सबूत
सबसे पहले, आइए विकर्ण AC बनाएं। हमें दो त्रिभुज मिलते हैं: ABC और ADC।
चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, निम्नलिखित सत्य है:
एडी || BC \दायां तीर \कोण 1 = \कोण 2जैसे कि आड़ा-तिरछा लेटना।
एबी || सीडी\दायां तीर\कोण3 =\कोण 4जैसे कि आड़ा-तिरछा लेटना।
इसलिए, \त्रिभुज ABC = \त्रिभुज ADC (दूसरे मानदंड के अनुसार: और AC उभयनिष्ठ है)।
और, इसलिए, \त्रिभुज ABC = \त्रिभुज ADC, तो AB = CD और AD = BC है।
सिद्ध किया हुआ!
2. सम्मुख कोण समरूप होते हैं।
सबूत
प्रमाण के अनुसार गुण 1हम वह जानते हैं \कोण 1 = \कोण 2, \कोण 3 = \कोण 4. इस प्रकार सम्मुख कोणों का योग है: \कोण 1 + \कोण 3 = \कोण 2 + \कोण 4. इस बात पर विचार करते हुए कि \त्रिभुज ABC = \त्रिभुज ADC, हमें \कोण A = \कोण C, \कोण B = \कोण D मिलता है।
सिद्ध किया हुआ!
3. विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा आधे में विभाजित किया गया है।
सबूत
आइए एक और विकर्ण बनाएं।
द्वारा संपत्ति 1हम जानते हैं कि विपरीत भुजाएँ समान हैं: AB = CD। एक बार फिर, आड़े-तिरछे पड़े समान कोणों पर ध्यान दें।
इस प्रकार, यह स्पष्ट है कि त्रिभुजों (दो कोण और उनके बीच की भुजा) की समानता के दूसरे मानदंड के अनुसार \त्रिभुज AOB = \त्रिभुज COD है। अर्थात्, BO = OD (कोनों \कोण 2 और \कोण 1 के विपरीत) और AO = OC (कोनों \कोण 3 और \कोण 4 के विपरीत, क्रमशः)।
सिद्ध किया हुआ!
समांतर चतुर्भुज के लक्षण
यदि आपकी समस्या में केवल एक विशेषता मौजूद है, तो आकृति एक समांतर चतुर्भुज है और आप इस आकृति के सभी गुणों का उपयोग कर सकते हैं।
बेहतर याद रखने के लिए, ध्यान दें कि समांतर चतुर्भुज चिह्न निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर देगा - "कैसे पता लगाएं?". यानी यह कैसे पता लगाया जाए कि दी गई आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।
1. समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं।
एबी = सीडी; एबी || CD \दायाँ तीर ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
सबूत
आओ हम इसे नज़दीक से देखें। एडी क्यों || ई.पू.?
\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एडीसी द्वारा संपत्ति 1: AB = CD, AC - उभयनिष्ठ और \कोण 1 = \कोण 2 समानांतर AB और CD और छेदक AC के साथ आड़ा पड़ा हुआ है।
लेकिन यदि \त्रिभुज ABC = \त्रिभुज ADC है, तो \कोण 3 = \कोण 4 (क्रमशः AB और CD के विपरीत स्थित है)। और इसलिए AD || BC (\कोण 3 और \कोण 4 - आड़े पड़े हुए भी बराबर होते हैं)।
पहला संकेत सही है.
2. समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
AB = CD, AD = BC \दायाँ तीर ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
सबूत
आइए इस संकेत पर विचार करें। आइए फिर से विकर्ण AC बनाएं।
द्वारा संपत्ति 1\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एसीडी।
यह इस प्रकार है कि: \कोण 1 = \कोण 2 \दायां तीर AD || ईसा पूर्वऔर \कोण 3 = \कोण 4 \दायां तीर एबी || सीडीअर्थात् ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
दूसरा चिन्ह सही है.
3. समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसके सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
\कोण ए = \कोण सी , \कोण बी = \कोण डी \दायां तीर एबीसीडी- समांतर चतुर्भुज.
सबूत
2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(चूँकि ABCD एक चतुर्भुज है, और शर्त के अनुसार \कोण A = \कोण C, \कोण B = \कोण D)।
इससे पता चलता है कि \alpha + \beta = 180^(\circ) । लेकिन छेदक AB पर \alpha और \beta आंतरिक एकतरफ़ा हैं।
और यह तथ्य कि \alpha + \beta = 180^(\circ) का अर्थ यह भी है कि AD || ईसा पूर्व
इसके अलावा, \alpha और \beta छेदक AD पर आंतरिक एकतरफ़ा हैं। और इसका मतलब है AB || सीडी.
तीसरा चिन्ह सही है.
4. समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसके विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होते हैं।
एओ = ओसी; बीओ = OD\दायां तीर समांतर चतुर्भुज।
सबूत
बीओ = ओडी; AO = OC, \कोण 1 = \कोण 2 ऊर्ध्वाधर के रूप में \दायाँ तीर \त्रिकोण AOB = \त्रिकोण COD, \दायाँ तीर \कोण 3 = \कोण 4, और \राइटएरो एबी || सीडी.
इसी प्रकार BO = OD; एओ = ओसी, \कोण 5 = \कोण 6 \दायां तीर \त्रिकोण एओडी = \त्रिकोण बीओसी \दायां तीर \कोण 7 = \कोण 8, और \दायाँ तीर AD || ईसा पूर्व
चौथा चिन्ह सही है.
नगरपालिका बजटीय शैक्षणिक संस्थान
सविंस्काया माध्यमिक विद्यालय
अनुसंधान
समांतर चतुर्भुज और उसके नए गुण
द्वारा पूरा किया गया: 8बी ग्रेड का छात्र
एमबीओयू सविंस्काया सेकेंडरी स्कूल
कुज़नेत्सोवा स्वेतलाना, 14 साल की
प्रमुख: गणित शिक्षक
तुलचेव्स्काया एन.ए.
पी. सविनो
इवानोवो क्षेत्र, रूस
2016
मैं। परिचय ________________________________________________________ पृष्ठ 3
द्वितीय. समांतर चतुर्भुज के इतिहास से _____________________________________ पृष्ठ 4
III समांतर चतुर्भुज के अतिरिक्त गुण ________________________________पृष्ठ 4
चतुर्थ. संपत्तियों का प्रमाण __________________________________ पृष्ठ 5
वी अतिरिक्त गुणों का उपयोग करके समस्याओं का समाधान __________पृष्ठ 8
VI. समांतर चतुर्भुज के गुणों का जीवन में अनुप्रयोग _____________________पृष्ठ 11
सातवीं. निष्कर्ष ______________________________________________________ पृष्ठ 12
आठवीं. साहित्य ______________________________________________________ पृष्ठ 13
परिचय
"समान मन वालों के बीच
पर अन्य शर्तों की समानता
जो ज्यामिति जानता है वह श्रेष्ठ है"
(ब्लेस पास्कल)।
ज्यामिति पाठों में "समानांतर चतुर्भुज" विषय का अध्ययन करते समय, हमने समांतर चतुर्भुज के दो गुणों और तीन विशेषताओं को देखा, लेकिन जब हमने समस्याओं को हल करना शुरू किया, तो पता चला कि यह पर्याप्त नहीं था।
मेरा एक प्रश्न था: क्या समांतर चतुर्भुज में अन्य गुण होते हैं, और वे समस्याओं को हल करने में कैसे मदद करेंगे?
और मैंने समांतर चतुर्भुज के अतिरिक्त गुणों का अध्ययन करने और यह दिखाने का निर्णय लिया कि समस्याओं को हल करने के लिए उन्हें कैसे लागू किया जा सकता है।
अध्ययन का विषय : चतुर्भुज
अध्ययन का उद्देश्य
: समांतर चतुर्भुज के गुण
कार्य का लक्ष्य:
समांतर चतुर्भुज के अतिरिक्त गुणों का निरूपण और प्रमाण जिनका अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है;
समस्याओं को हल करने के लिए इन गुणों का अनुप्रयोग।
कार्य:
समांतर चतुर्भुज की उपस्थिति के इतिहास और उसके गुणों के विकास के इतिहास का अध्ययन करें;
अध्ययनाधीन मुद्दे पर अतिरिक्त साहित्य खोजें;
समांतर चतुर्भुज के अतिरिक्त गुणों का अध्ययन करें और उन्हें सिद्ध करें;
समस्याओं को हल करने के लिए इन गुणों का अनुप्रयोग दिखाएँ;
जीवन में समांतर चतुर्भुज के गुणों के अनुप्रयोग पर विचार करें।
तलाश पद्दतियाँ:
शैक्षिक और लोकप्रिय विज्ञान साहित्य, इंटरनेट संसाधनों के साथ कार्य करना;
सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन;
समांतर चतुर्भुज के अतिरिक्त गुणों का उपयोग करके हल की जा सकने वाली समस्याओं की एक श्रृंखला की पहचान;
अवलोकन, तुलना, विश्लेषण, सादृश्य।
अध्ययन की अवधि : 3 महीने: जनवरी-मार्च 2016
समांतर चतुर्भुज के इतिहास से
ज्यामिति की पाठ्यपुस्तक में हमने समांतर चतुर्भुज की निम्नलिखित परिभाषा पढ़ी: समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समांतर होती हैं।
शब्द "समानांतर चतुर्भुज" का अनुवाद "समानांतर रेखाओं" के रूप में किया गया है (ग्रीक शब्द पैरेललोस - समानांतर और ग्राम - रेखा से), यह शब्द यूक्लिड द्वारा पेश किया गया था। अपनी पुस्तक एलिमेंट्स में, यूक्लिड ने समांतर चतुर्भुज के निम्नलिखित गुणों को सिद्ध किया: समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं, और विकर्ण इसे समद्विभाजित करता है। यूक्लिड ने समांतर चतुर्भुज के प्रतिच्छेदन बिंदु का उल्लेख नहीं किया है। मध्य युग के अंत में ही समांतर चतुर्भुज का एक संपूर्ण सिद्धांत विकसित हुआ था और केवल 17वीं शताब्दी में समांतर चतुर्भुज के बारे में प्रमेय पाठ्यपुस्तकों में दिखाई दिए, जिन्हें समांतर चतुर्भुज के गुणों पर यूक्लिड के प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया गया था।
तृतीय समांतर चतुर्भुज के अतिरिक्त गुण
ज्यामिति पाठ्यपुस्तक में, समांतर चतुर्भुज के केवल 2 गुण दिए गए हैं:
सम्मुख कोण और भुजाएँ बराबर होती हैं
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा समद्विभाजित होते हैं।
ज्यामिति पर विभिन्न स्रोतों में आप निम्नलिखित अतिरिक्त गुण पा सकते हैं:
एक समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180 0 है
एक समांतर चतुर्भुज के कोण का समद्विभाजक उससे एक समद्विबाहु त्रिभुज को काटता है;
समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक समांतर रेखाओं पर स्थित होते हैं;
समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों के समद्विभाजक समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं;
जब एक समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों के समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं, तो वे एक आयत बनाते हैं;
एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोनों से एक ही विकर्ण की दूरी बराबर होती है।
यदि आप किसी समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से जोड़ते हैं, तो आपको एक और समांतर चतुर्भुज मिलता है।
एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी आसन्न भुजाओं के वर्गों के योग के दोगुने के बराबर होता है।
यदि आप एक समांतर चतुर्भुज में दो विपरीत कोणों से ऊंचाई खींचते हैं, तो आपको एक आयत मिलता है।
चतुर्थ समांतर चतुर्भुज के गुणों का प्रमाण
एक समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180 है 0
दिया गया:
एबीसीडी - समांतर चतुर्भुज
सिद्ध करना:
ए+ बी= 
सबूत:
ए और बी - समानांतर रेखाओं बीसी के साथ आंतरिक एक तरफा कोण 
AD और छेदक AB, जिसका अर्थ है ए+ बी=
2
दिया गया:ए बी सी डी - समांतर चतुर्भुज,
एके द्विभाजक 
एक।
सिद्ध करना: 
एवीके - समद्विबाहु
सबूत:
1) 1=3 (बीसी पर क्रॉसवाइज झूठ बोलना एडी और सेकेंट एके ),
2) 2=3 क्योंकि AK एक समद्विभाजक है,
मतलब 1= 2.
3) एबीसी - समद्विबाहु क्योंकि त्रिभुज के 2 कोण बराबर होते हैं
3
दिया गया: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है,
एके - द्विभाजक ए,
सीपी - द्विभाजक सी.
सिद्ध करना:एके ║ एसआर
सबूत:
1) 1=2 क्योंकि AK एक समद्विभाजक है
2)4=5 क्योंकि सीपी-द्विभाजक
3) 3=1 (आड़े-तिरछे कोण पर
बीसी ║ एडी और एके-सेकेंट),
4) A =C (समांतर चतुर्भुज के गुण से), जिसका अर्थ है 2=3=4=5।
4) पैराग्राफ 3 और 4 से यह निष्कर्ष निकलता है कि 1 = 4, और ये कोण सीधी रेखाओं AK और CP और छेदक BC के अनुरूप हैं,
इसका मतलब है AK ║ CP (रेखाओं की समानता पर आधारित)
. समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक समांतर रेखाओं पर स्थित होते हैं
समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों के समद्विभाजक समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं
दिया गया:एबीसीडी - समांतर चतुर्भुज,
एके-द्विभाजक ए,
डीपी द्विभाजक डी
सिद्ध करना:डी पी 
ए.के.
सबूत:
1) 1=2, क्योंकि एके - द्विभाजक
माना 1=2=x, तो A=2x,
2) 3=4, क्योंकि डी Р - द्विभाजक
मान लीजिए 3=4=y, तो D=2y
3) ए + डी =180 0, क्योंकि एक समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180 है
2) विचार करें एक आयुध डिपो
1+3=90 0 , फिर <5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)
5. एक समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों के समद्विभाजक प्रतिच्छेद करने पर एक आयत बनाते हैं
दिया गया:एबीसीडी - समांतर चतुर्भुज, एके-द्विभाजक ए,
डीपी-द्विभाजक डी,
सीएम द्विभाजक सी,
बीएफ - द्विभाजक बी .
सिद्ध करना: केआरएनएस - आयत
सबूत:
पिछली संपत्ति 8=7=6=5=90 0 के आधार पर,
अर्थात KRNS एक आयत है।
एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोनों से एक ही विकर्ण की दूरी बराबर होती है।
दिया गया:एबीसीडी-समानांतर चतुर्भुज, एसी-विकर्ण।
कुलपति एसी, डी.पी. एसी।
सिद्ध करना:बीसी=डीपी
सबूत: 1) डीसीपी = केएबी, एबी ║ सीडी और सेकेंट एसी के साथ स्थित आंतरिक क्रॉस के रूप में।
2) एकेबी= सीडीपी (पक्ष और दो आसन्न कोणों के अनुदिश AB=CD CD P=AB K)।
और समान त्रिभुजों में संगत भुजाएँ बराबर होती हैं, जिसका अर्थ है DP=BK।
यदि आप किसी समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से जोड़ते हैं, तो आपको एक और समांतर चतुर्भुज मिलता है।
दिया गया:एबीसीडी समांतर चतुर्भुज.
सिद्ध करना:वीकेडीआर एक समांतर चतुर्भुज है।
सबूत:
1) बीपी=केडी (एडी=बीसी, अंक के और पी
इन भुजाओं को आधा-आधा बाँट लें)
2) बीपी ║ केडी (एडी पर स्थित है बीसी)
यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान और समानांतर हों, तो चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।
यदि आप एक समांतर चतुर्भुज में दो विपरीत कोणों से ऊंचाई खींचते हैं, तो आपको एक आयत मिलता है।
एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी आसन्न भुजाओं के वर्गों के योग के दोगुने के बराबर होता है।
दिया गया: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है. BD और AC विकर्ण हैं।
सिद्ध करना: एसी 2 +वीडी 2 =2(एबी 2 + ई.पू 2 )
सबूत: 1)पूछना:
एसी।
²=
+
2)बी आरडी : बी.डी 2 = बी आर 2 + आरडी 2 (पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार)
3) एसी। ²+ बी.डी ²=SK²+ए K²+बी Р²+Рडी ²
4) एससी = बीपी = एन(ऊंचाई )
5) ए.सी 2 +बीडी 2 = एच 2 + ए को 2 + एच 2 +पीडी 2
6)
होने देना
डी
क=ए
पी=एक्स, तब सी
कोडी
:
एच
2
=
सीडी
2
- एक्स 2
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार )
7) AC²+Bडी ² = सीडी 2 - x²+ एके 1 ²+ सीडी 2 -एक्स 2 +पीडी 2 ,
एसी²+बीडी ²=2Сडी 2 -2x 2 + ए को 2 +पीडी 2
8) ए को=एडी+ एक्स, आरडी=एडी- एक्स,
एसी²+बीडी ²=2सीडी 2 -2x 2 +(विज्ञापन +x) 2 +(विज्ञापन -एक्स) 2 ,
एसी²+
मेंडी²=2
साथडी²-2
एक्स²+एडी
2
+2एडी
एक्स+
एक्स 2
+एडी
2
-2AD
एक्स+
एक्स 2
,
एसी²+
मेंD²=2CD
2
+2एडी
2
=2(सीडी
2
+एडी
2
).
वी . इन गुणों का उपयोग करके समस्याओं का समाधान करना
एक समांतर चतुर्भुज के एक भुजा से सटे दो कोणों के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु विपरीत भुजा से संबंधित होता है। समांतर चतुर्भुज की सबसे छोटी भुजा होती है 5 . इसका बड़ा पक्ष खोजें.
दिया गया: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है,
एके-द्विभाजक ए,
डी के - द्विभाजक डी, एबी=5
खोजो: सूरज
फ़ैसला समाधान
क्योंकि एके - द्विभाजक और फिर ABC समद्विबाहु है।
क्योंकि डी के - द्विभाजक डी, फिर डीसीके - समद्विबाहु
डीसी =सी के=5
फिर, BC=VC+SC=5+5 = 10
उत्तर: 10
2. किसी समांतर चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करें यदि उसके किसी एक कोण का समद्विभाजक समांतर चतुर्भुज की भुजा को 7 सेमी और 14 सेमी के खंडों में विभाजित करता है।
1 मामला
दिया गया: ए,
वीके=14 सेमी, केएस=7 सेमी
खोजो:पी समांतर चतुर्भुज
समाधान
वीएस=वीके+केएस=14+7=21 (सेमी)
क्योंकि एके-द्विभाजक और फिर ABC समद्विबाहु है।
एबी=बीके= 14 सेमी
फिर P=2 (14+21) =70 (सेमी)
दिया गया: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है,
डी के - द्विभाजक डी
वीके=14 सेमी, केएस=7 सेमी
खोजो: पी समांतर चतुर्भुज
समाधान
वीएस=वीके+केएस=14+7=21 (सेमी)
क्योंकि डी के - द्विभाजक डी, फिर डीसीके - समद्विबाहु
डीसी =सी के= 7
फिर, P= 2 (21+7) = 56 (सेमी)
उत्तर: 70 सेमी या 56 सेमी
3. एक समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 10 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़ी भुजा से सटे दो कोणों के समद्विभाजक विपरीत भुजा को तीन खंडों में विभाजित करते हैं। इन खंडों को खोजें.
1 मामला:समद्विभाजक समांतर चतुर्भुज के बाहर प्रतिच्छेद करते हैं
दिया गया:एबीसीडी - समांतर चतुर्भुज, एके - समद्विभाजक ए,
डी के - द्विभाजक डी, एबी=3 सेमी, बीसी=10 सेमी
खोजो: वीएम, एमएन, एनसी
समाधान
क्योंकि एएम - द्विभाजक और फिर एवीएम समद्विबाहु है।
क्योंकि डीएन-द्विभाजक डी, फिर डीसीएन - समद्विबाहु
डीसी=सीएन=3
फिर, एमएन = 10 - (बीएम +एनसी) = 10 - (3+3)=4 सेमी
केस 2:समद्विभाजक एक समांतर चतुर्भुज के अंदर प्रतिच्छेद करते हैं
क्योंकि एएन - द्विभाजक और, फिर एबीएन समद्विबाहु है।
एबी=बीएन = 3 डी
और स्लाइडिंग ग्रिल को द्वार में आवश्यक दूरी तक ले जाना चाहिए
समांतर चतुर्भुज तंत्र- एक चार-बार तंत्र, जिसके लिंक एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं। इसका उपयोग हिंगेड तंत्र द्वारा ट्रांसलेशनल मूवमेंट को लागू करने के लिए किया जाता है।
एक निश्चित लिंक के साथ समांतर चतुर्भुज- एक लिंक गतिहीन है, विपरीत लिंक हिलती हुई गति करती है, गतिहीन लिंक के समानांतर रहती है। एक के पीछे एक जुड़े हुए दो समांतर चतुर्भुज अंतिम लिंक को दो डिग्री की स्वतंत्रता देते हैं, जिससे यह स्थिर लिंक के समानांतर रह जाता है।
उदाहरण: बस विंडशील्ड वाइपर, फोर्कलिफ्ट, ट्राइपॉड, हैंगर, कार सस्पेंशन।
स्थिर जोड़ के साथ समांतर चतुर्भुज- तीन बिंदुओं के बीच दूरियों का एक स्थिर अनुपात बनाए रखने के लिए समांतर चतुर्भुज के गुण का उपयोग किया जाता है। उदाहरण: ड्राइंग पेंटोग्राफ - ड्राइंग को स्केल करने के लिए एक उपकरण।
विषमकोण- सभी लिंक समान लंबाई के हैं, विपरीत टिकाओं की एक जोड़ी का दृष्टिकोण (संकुचन) अन्य दो टिकाओं के अलग होने की ओर ले जाता है। सभी लिंक कम्प्रेशन में काम करते हैं।
उदाहरण - ऑटोमोबाइल हीरे के आकार का जैक, ट्राम पेंटोग्राफ।
कैंचीया एक्स-आकार का तंत्र, के रूप में भी जाना जाता है नूर्नबर्ग कैंची- रोम्बस संस्करण - बीच में एक काज द्वारा जुड़े हुए दो लिंक। तंत्र के फायदे कॉम्पैक्टनेस और सादगी हैं, नुकसान दो स्लाइडिंग जोड़े की उपस्थिति है। श्रृंखला में जुड़े दो (या अधिक) ऐसे तंत्र बीच में एक हीरा बनाते हैं। लिफ्टों और बच्चों के खिलौनों में उपयोग किया जाता है।
सातवीं निष्कर्ष
बचपन से गणित कौन पढ़ रहा है?
वह ध्यान विकसित करता है, अपने मस्तिष्क को प्रशिक्षित करता है,
स्वयं की इच्छा, दृढ़ता पैदा करती है
और लक्ष्यों को प्राप्त करने में दृढ़ता
ए मार्कुशेविच
काम के दौरान, मैंने समांतर चतुर्भुज के अतिरिक्त गुणों को साबित किया।
मुझे विश्वास था कि इन गुणों का उपयोग करके आप समस्याओं को तेजी से हल कर सकते हैं।
मैंने दिखाया कि विशिष्ट समस्याओं को हल करने के उदाहरणों का उपयोग करके इन गुणों को कैसे लागू किया जाता है।
मैंने समांतर चतुर्भुज के बारे में बहुत कुछ सीखा, जो हमारी ज्यामिति पाठ्यपुस्तक में नहीं है
समांतर चतुर्भुज के गुणों के अनुप्रयोग के उदाहरणों के माध्यम से मुझे विश्वास हो गया कि जीवन में ज्यामिति का ज्ञान बहुत महत्वपूर्ण है।
मेरे शोध कार्य का उद्देश्य पूरा हो गया है।
गणितीय ज्ञान का महत्व इस तथ्य से प्रमाणित होता है कि उस व्यक्ति के लिए एक पुरस्कार की स्थापना की गई थी जो एक ऐसे व्यक्ति के बारे में पुस्तक प्रकाशित करता है जिसने अपना पूरा जीवन गणित की मदद के बिना बिताया। अभी तक एक भी व्यक्ति को यह पुरस्कार नहीं मिला है.
आठवीं साहित्य
पोगोरेलोव ए.वी. ज्यामिति 7-9: सामान्य शिक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक। संस्थान - एम.: शिक्षा, 2014
एल.एस. अतानास्यान और अन्य। जोड़ना। 8वीं कक्षा की पाठ्यपुस्तक के लिए अध्याय: पाठ्यपुस्तक। स्कूलों और उन्नत कक्षाओं के छात्रों के लिए मैनुअल। गणित का अध्ययन किया. - एम.: वीटा-प्रेस, 2003
इंटरनेट संसाधन
विकिपीडिया सामग्री
