प्रथम स्तर

अंकगणितीय प्रगति। उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत (2019)

संख्यात्मक अनुक्रम

तो चलिए बैठ जाते हैं और कुछ नंबर लिखना शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। हम चाहे कितनी भी संख्याएँ लिख लें, हम हमेशा कह सकते हैं कि उनमें से कौन पहली है, कौन सी दूसरी है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें संख्या दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्यात्मक अनुक्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या केवल एक अनुक्रम संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन सेकंड की संख्या नहीं है। दूसरी संख्या (जैसे -th संख्या) हमेशा समान होती है।
संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर एक सूचकांक के साथ एक ही अक्षर:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर है।
उदाहरण के लिए:

आदि।
इस तरह के संख्यात्मक अनुक्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
शब्द "प्रगति" रोमन लेखक बोथियस द्वारा 6 वीं शताब्दी की शुरुआत में पेश किया गया था और इसे व्यापक अर्थों में एक अंतहीन संख्यात्मक अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम को निरंतर अनुपात के सिद्धांत से स्थानांतरित किया गया था, जिसमें प्राचीन यूनानी लगे हुए थे।

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम एक अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं हैं:

ए)
बी)
सी)
डी)

समझ गया? हमारे उत्तरों की तुलना करें:
एकअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
क्या नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई प्रगति () पर लौटते हैं और इसके वें सदस्य का मान ज्ञात करने का प्रयास करते हैं। अस्तित्व दोइसे खोजने का तरीका।

1. विधि

हम प्रगति संख्या के पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक हम प्रगति के वें पद तक नहीं पहुंच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास संक्षेप में बताने के लिए बहुत कुछ नहीं है - केवल तीन मान:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य के बराबर है।

2. विधि

क्या होगा यदि हमें प्रगति के वें पद का मूल्य ज्ञात करना है? योग करने में हमें एक घंटे से अधिक का समय लगता, और यह एक तथ्य नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हमने गलतियाँ नहीं की होंगी।
बेशक, गणितज्ञ एक ऐसा तरीका लेकर आए हैं जिसमें आपको अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मान से जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। खींचे गए चित्र को ध्यान से देखें ... निश्चित रूप से आपने पहले से ही एक निश्चित पैटर्न पर ध्यान दिया है, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य का मूल्य क्या है:


दूसरे शब्दों में:

इस तरह से स्वतंत्र रूप से इस अंकगणितीय प्रगति के एक सदस्य के मूल्य को खोजने का प्रयास करें।

परिकलित? उत्तर के साथ अपनी प्रविष्टियों की तुलना करें:

ध्यान दें कि आपको पिछली विधि की तरह ही वही संख्या मिली है, जब हमने अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को पिछले मान में क्रमिक रूप से जोड़ा था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपित" करने का प्रयास करें - हम इसे एक सामान्य रूप में लाते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंकगणितीय प्रगति समीकरण।

अंकगणितीय प्रगति या तो बढ़ रही है या घट रही है।

की बढ़ती- प्रगति जिसमें शर्तों के प्रत्येक बाद के मूल्य पिछले एक से अधिक है।
उदाहरण के लिए:

अवरोही- प्रगति जिसमें शर्तों के प्रत्येक बाद के मूल्य पिछले एक से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में देखें।
हमें निम्नलिखित संख्याओं से मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

तब से:

इस प्रकार, हम आश्वस्त थे कि यह सूत्र अंकगणितीय प्रगति को घटाने और बढ़ाने दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति के -वें और -वें सदस्यों को स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए कार्य को जटिल करें - हम एक अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति प्राप्त करते हैं।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात कीजिए।
यह आसान है, आप कहते हैं, और उस सूत्र के अनुसार गिनना शुरू करें जिसे आप पहले से जानते हैं:

चलो, ए, फिर:

बिल्कुल सही। यह पता चला है कि हम पहले पाते हैं, फिर इसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और हम जो खोज रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मूल्यों द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन क्या होगा यदि हमें इस स्थिति में संख्याएं दी जाएं? सहमत हूं, गणना में गलती होने की संभावना है।
अब सोचो, क्या किसी सूत्र का उपयोग करके इस समस्या को एक चरण में हल करना संभव है? बेशक, हां, और हम इसे अभी बाहर लाने का प्रयास करेंगे।

आइए अंकगणितीय प्रगति के वांछित शब्द को निरूपित करें, जैसा कि हम इसे खोजने के लिए सूत्र जानते हैं - यह वही सूत्र है जिसे हमने शुरुआत में प्राप्त किया था:
, तब:

• प्रगति का पिछला सदस्य है:
• प्रगति का अगला पद है:

आइए प्रगति के पिछले और अगले सदस्यों का योग करें:

यह पता चला है कि प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों का योग उनके बीच स्थित प्रगति के सदस्य के मूल्य से दोगुना है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और लगातार मूल्यों के साथ प्रगति सदस्य के मूल्य को खोजने के लिए, उन्हें जोड़ना और विभाजित करना आवश्यक है।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। आइए सामग्री को ठीक करें। प्रगति के लिए मूल्य की गणना स्वयं करें, क्योंकि यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है।

बहुत अच्छा! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! यह केवल एक सूत्र का पता लगाना बाकी है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों के राजा" - कार्ल गॉस, आसानी से खुद के लिए निकाले गए ...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष का था, शिक्षक, अन्य कक्षाओं के छात्रों के काम की जाँच में व्यस्त, ने पाठ में निम्नलिखित कार्य पूछा: "सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें (अन्य स्रोतों के अनुसार) समावेशी। " शिक्षक को क्या आश्चर्य हुआ जब उसके एक छात्र (वह कार्ल गॉस थे) ने एक मिनट के बाद कार्य का सही उत्तर दिया, जबकि डेयरडेविल के अधिकांश सहपाठियों ने लंबी गणना के बाद गलत परिणाम प्राप्त किया ...

यंग कार्ल गॉस ने एक पैटर्न देखा जिसे आप आसानी से देख सकते हैं।
मान लीजिए कि हमारे पास एक अंकगणितीय प्रगति है जिसमें -ti सदस्य शामिल हैं: हमें अंकगणितीय प्रगति के दिए गए सदस्यों का योग ज्ञात करना है। बेशक, हम मैन्युअल रूप से सभी मानों को जोड़ सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि हमें गॉस की तलाश में कार्य में इसकी शर्तों का योग खोजने की आवश्यकता है?

आइए हमें दी गई प्रगति को दर्शाते हैं। हाइलाइट की गई संख्याओं को ध्यान से देखें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाओं को करने का प्रयास करें।


कोशिश की? आपने क्या नोटिस किया? सही ढंग से! उनकी राशि बराबर है

अब उत्तर दीजिए, हमें दी गई प्रगति में ऐसे कितने जोड़े होंगे? बेशक, सभी संख्याओं का ठीक आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि एक समान्तर श्रेणी के दो पदों का योग समान है, और समान समान युग्म, हम पाते हैं कि कुल योग बराबर है:
.
इस प्रकार, किसी समांतर श्रेणी के प्रथम पदों के योग का सूत्र होगा:

कुछ समस्याओं में, हम वें पद को नहीं जानते हैं, लेकिन हम प्रगति के अंतर को जानते हैं। योग सूत्र, वें सदस्य के सूत्र में स्थानापन्न करने का प्रयास करें।
तुम्हें क्या मिला?

बहुत अच्छा! अब आइए उस समस्या पर लौटते हैं जो कार्ल गॉस को दी गई थी: अपने लिए गणना करें कि -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है, और -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि पदों का योग समान है, और पदों का योग है। क्या आपने ऐसा फैसला किया?

वास्तव में, अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा तीसरी शताब्दी में सिद्ध किया गया था, और इस पूरे समय में, मजाकिया लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के गुणों का उपयोग शक्ति और मुख्य के साथ किया।
उदाहरण के लिए, प्राचीन मिस्र और उस समय के सबसे बड़े निर्माण स्थल की कल्पना करें - एक पिरामिड का निर्माण ... आकृति इसका एक पक्ष दिखाती है।

आप कहते हैं कि यहां प्रगति कहां है? ध्यान से देखें और पिरामिड की दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत के ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न खोजें।


अंकगणितीय प्रगति क्यों नहीं? गिनें कि एक दीवार के निर्माण के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता है यदि ब्लॉक ईंटों को आधार में रखा जाए। मुझे आशा है कि आप मॉनिटर पर अपनी उंगली घुमाकर गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको अंतिम सूत्र और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ कहा है वह सब कुछ याद है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:
अंकगणितीय प्रगति अंतर।
एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या।
आइए अपने डेटा को अंतिम फ़ार्मुलों में बदलें (हम 2 तरीकों से ब्लॉक की संख्या गिनते हैं)।

विधि 1।

विधि 2।

और अब आप मॉनिटर पर भी गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। क्या यह सहमत था? अच्छा किया, आपने अंकगणितीय प्रगति के वें पदों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर ब्लॉक से पिरामिड नहीं बना सकते हैं, लेकिन कहां से? इस स्थिति के साथ दीवार बनाने के लिए कितनी रेत ईंटों की आवश्यकता है, इसकी गणना करने का प्रयास करें।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्तर ब्लॉक है:

कसरत करना

कार्य:

1. माशा गर्मियों के लिए आकार में हो रही है। वह हर दिन स्क्वैट्स की संख्या में वृद्धि करती है। माशा हफ्तों में कितनी बार स्क्वाट करेगी अगर उसने पहली कसरत में स्क्वाट किया था।
2. में निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है?
3. लॉग को स्टोर करते समय, लंबरजैक उन्हें इस तरह से स्टैक करते हैं कि प्रत्येक शीर्ष परत में पिछले वाले की तुलना में एक कम लॉग होता है। एक चिनाई में कितने लॉग होते हैं, यदि चिनाई का आधार लॉग है।

उत्तर:

1. आइए हम अंकगणितीय प्रगति के मापदंडों को परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन)।

   जवाब:दो सप्ताह में, माशा को दिन में एक बार बैठना चाहिए।

2. पहली विषम संख्या, अंतिम संख्या।
   अंकगणितीय प्रगति अंतर।
   - आधे में विषम संख्याओं की संख्या, हालांकि, अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जांच करें:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   हम उपलब्ध डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

   जवाब:इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग बराबर होता है।

3. पिरामिड के बारे में समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, केवल परतों का एक गुच्छा होता है, अर्थात।
   डेटा को सूत्र में बदलें:

   जवाब:चिनाई में लॉग हैं।

उपसंहार

1. - एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है। यह बढ़ रहा है और घट रहा है।
2. सूत्र ढूँढनाअंकगणितीय प्रगति का वां सदस्य सूत्र द्वारा लिखा जाता है - , प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।
3. एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति- - कहाँ - प्रगति में संख्याओं की संख्या।
4. एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योगदो तरह से पाया जा सकता है:
   
   , जहां मूल्यों की संख्या है।

अंकगणितीय प्रगति। मध्य स्तर

संख्यात्मक अनुक्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं। लेकिन आप हमेशा बता सकते हैं कि उनमें से कौन पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह, हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है।

संख्यात्मक अनुक्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या को एक निश्चित प्राकृतिक संख्या से जोड़ा जा सकता है, और केवल एक। और हम इस नंबर को इस सेट से किसी अन्य नंबर को असाइन नहीं करेंगे।

संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर एक सूचकांक के साथ एक ही अक्षर:।

यह बहुत सुविधाजनक है यदि अनुक्रम का -वाँ सदस्य किसी सूत्र द्वारा दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र

अनुक्रम सेट करता है:

और सूत्र निम्नलिखित अनुक्रम है:

उदाहरण के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहां पहला शब्द बराबर है, और अंतर)। या (, अंतर)।

nth टर्म फॉर्मूला

हम आवर्तक एक सूत्र कहते हैं, जिसमें -वें पद का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले वाले को जानना होगा:

उदाहरण के लिए, इस तरह के एक सूत्र का उपयोग करके प्रगति का वां पद खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, चलो। फिर:

खैर, अब यह स्पष्ट है कि सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में, हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। किस लिए? बहुत आसान: यह वर्तमान सदस्य माइनस की संख्या है:

अब और अधिक आरामदायक, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

एक समान्तर श्रेणी में, nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

फेसला:

पहला सदस्य बराबर है। और क्या अंतर है? और यहाँ क्या है:

(आखिरकार, इसे अंतर कहा जाता है क्योंकि यह प्रगति के क्रमिक सदस्यों के अंतर के बराबर है)।

तो सूत्र है:

तो सौवाँ पद है:

से सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल का लड़का होने के कारण कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की। उन्होंने देखा कि पहली और अंतिम संख्या का योग समान है, दूसरी और अंतिम संख्या का योग समान है, अंत से तीसरे और तीसरे का योग समान है, और इसी तरह आगे भी। ऐसे कितने जोड़े हैं? यह सही है, सभी संख्याओं की आधी संख्या, यानी। इसलिए,

किसी भी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी दो अंकों के गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला:

ऐसा पहला नंबर है। प्रत्येक अगला पिछले एक में एक संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, हमारे लिए ब्याज की संख्या पहले पद और अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती है।

इस प्रगति के लिए वें पद का सूत्र है:

प्रगति में कितने पद हैं यदि वे सभी दो अंकों के होने चाहिए?

बहुत आसान: ।

प्रगति की अंतिम अवधि बराबर होगी। फिर योग:

जवाब: ।

अब आप स्वयं निर्णय लें:

1. हर दिन एथलीट पिछले दिन की तुलना में 1 मी अधिक दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मीटर दौड़ता है तो वह सप्ताहों में कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक पिछले दिन की तुलना में प्रत्येक दिन अधिक मील की सवारी करता है। पहले दिन उन्होंने किमी की यात्रा की। एक किलोमीटर की दूरी तय करने के लिए उसे कितने दिन ड्राइव करना होगा? यात्रा के अंतिम दिन वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. स्टोर में एक रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल उतनी ही कम हो जाती है। निर्धारित करें कि एक रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल कितनी कम हो जाती है, अगर इसे रूबल के लिए बिक्री के लिए रखा जाता है, तो छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेचा गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और उसके मापदंडों को निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति की पहली शर्तों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   जवाब:
2. यहाँ यह दिया गया है: इसे खोजना आवश्यक है।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मानों को प्रतिस्थापित करें:

   जड़ स्पष्ट रूप से फिट नहीं है, तो जवाब।
   आइए -वें पद के सूत्र का उपयोग करके अंतिम दिन में तय की गई दूरी की गणना करें:
   (किमी)।
   जवाब:

3. दिया गया: । ढूँढ़ने के लिए: ।
   यह आसान नहीं होता है:
   (रगड़ना)।
   जवाब:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य के बारे में

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति बढ़ रही है () और घट रही है ()।

उदाहरण के लिए:

अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य को खोजने का सूत्र

एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है, जहाँ क्रम में संख्याओं की संख्या होती है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति

यह प्रगति के सदस्य को ढूंढना आसान बनाता है यदि उसके पड़ोसी सदस्य ज्ञात हों - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योग

राशि ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

मूल्यों की संख्या कहां है।

मूल्यों की संख्या कहां है।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम \(2\); \(5\); \(आठ\); \(ग्यारह\); \(14\)… एक अंकगणितीय प्रगति है, क्योंकि प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से तीन से भिन्न होता है (पिछले एक से तीन जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है):

इस प्रगति में, अंतर \(d\) धनात्मक (\(3\) के बराबर) है, और इसलिए प्रत्येक अगला पद पिछले एक से बड़ा है। ऐसी प्रगति कहलाती है की बढ़ती.

हालाँकि, \(d\) एक ऋणात्मक संख्या भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति में \(16\); \(दस\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… प्रगति अंतर \(d\) शून्य से छह के बराबर है।

और इस मामले में, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से छोटा होगा। इन प्रगतियों को कहा जाता है घटते.

अंकगणित प्रगति संकेतन

प्रगति को एक छोटे लैटिन अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

वे संख्याएँ जो एक प्रगति का निर्माण करती हैं, कहलाती हैं I सदस्यों(या तत्व)।

उन्हें अंकगणितीय प्रगति के समान अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है, लेकिन क्रम में तत्व संख्या के बराबर संख्यात्मक सूचकांक के साथ।

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) में तत्व होते हैं \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) इत्यादि।

दूसरे शब्दों में, प्रगति के लिए \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

अंकगणितीय प्रगति पर समस्याओं को हल करना

सिद्धांत रूप में, उपरोक्त जानकारी पहले से ही एक अंकगणितीय प्रगति पर लगभग किसी भी समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त है (ओजीई में प्रस्तावित सहित)।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(b_1=7; d=4\) द्वारा दी गई है। \(b_5\) खोजें।
फेसला:

जवाब: \(b_5=23\)

उदाहरण (ओजीई)। एक समांतर श्रेणी के पहले तीन पद दिए गए हैं: \(62; 49; 36…\) इस प्रगति के पहले ऋणात्मक पद का मान ज्ञात कीजिए।
फेसला:

	हमें अनुक्रम के पहले तत्व दिए गए हैं और जानते हैं कि यह एक अंकगणितीय प्रगति है। अर्थात्, प्रत्येक तत्व पड़ोसी से समान संख्या में भिन्न होता है। अगले तत्व से पिछले वाले को घटाकर पता लगाएं: \(d=49-62=-13\)।
	अब हम अपनी प्रगति को वांछित (पहले नकारात्मक) तत्व में पुनर्स्थापित कर सकते हैं।
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं।

जवाब: \(-3\)

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति के कई क्रमिक तत्व दिए गए हैं: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) अक्षर द्वारा निरूपित तत्व का मान ज्ञात कीजिए।
फेसला:

	\(x\) को खोजने के लिए, हमें यह जानना होगा कि अगला तत्व पिछले एक से कितना भिन्न है, दूसरे शब्दों में, प्रगति अंतर। आइए इसे दो ज्ञात पड़ोसी तत्वों से खोजें: \(d=12.5-10=2.5\)।
	और अब हम बिना किसी समस्या के वह पाते हैं जो हम खोज रहे हैं: \(x=5+2.5=7.5\)।
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं।

जवाब: \(7,5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति निम्नलिखित शर्तों द्वारा दी गई है: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) इस प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला:

	हमें प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात करना होगा। लेकिन हम उनका अर्थ नहीं जानते हैं, हमें केवल पहला तत्व दिया गया है। इसलिए, हम पहले हमें दिए गए मानों का उपयोग करके बदले में मूल्यों की गणना करते हैं: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) और हमें आवश्यक छह तत्वों की गणना करने के बाद, हम उनका योग पाते हैं।
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	मांगी गई राशि मिल गई है।

जवाब: \(S_6=9\)।

उदाहरण (ओजीई)। समांतर श्रेणी में \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\)। इस प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए।
फेसला:

जवाब: \(डी=7\)।

महत्वपूर्ण अंकगणितीय प्रगति सूत्र

जैसा कि आप देख सकते हैं, कई अंकगणितीय प्रगति की समस्याओं को केवल मुख्य बात को समझकर हल किया जा सकता है - कि एक अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है, और इस श्रृंखला में प्रत्येक अगला तत्व समान संख्या को पिछले एक में जोड़कर प्राप्त किया जाता है (अंतर प्रगति के)।

हालांकि, कभी-कभी ऐसी स्थितियां होती हैं जब "माथे पर" हल करना बहुत असुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि पहले उदाहरण में, हमें पाँचवाँ तत्व \(b_5\) नहीं, बल्कि तीन सौ छियासी \(b_(386)\) खोजने की आवश्यकता है। यह क्या है, हम \ (385 \) बार चार जोड़ने के लिए? या कल्पना कीजिए कि अंतिम उदाहरण में, आपको पहले सत्तर-तीन तत्वों का योग ज्ञात करना होगा। काउंटिंग उलझी हुई है...

इसलिए, ऐसे मामलों में, वे "माथे पर" हल नहीं करते हैं, लेकिन अंकगणितीय प्रगति के लिए प्राप्त विशेष सूत्रों का उपयोग करते हैं। और मुख्य हैं प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र और पहले पदों के योग \(n\) के लिए सूत्र।

\(n\)वें सदस्य के लिए सूत्र: \(a_n=a_1+(n-1)d\), जहां \(a_1\) प्रगति का पहला सदस्य है;
\(n\) - आवश्यक तत्व की संख्या;
\(a_n\) संख्या \(n\) के साथ प्रगति का सदस्य है।

यह सूत्र हमें केवल पहले और प्रगति अंतर को जानकर, कम से कम तीन सौवां, यहां तक ​​​​कि दसवां तत्व भी जल्दी से खोजने की अनुमति देता है।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है: \(b_1=-159\); \(डी=8,2\)। \(b_(246)\) खोजें।
फेसला:

जवाब: \(b_(246)=1850\)।

पहले n पदों के योग का सूत्र है: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), जहां

\(a_n\) अंतिम योग शब्द है;

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(a_n=3.4n-0.6\) द्वारा दी गई है। इस प्रगति के पहले \(25\) पदों का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		पहले पच्चीस तत्वों के योग की गणना करने के लिए, हमें पहले और पच्चीसवें पद का मान जानना होगा। हमारी प्रगति इसकी संख्या के आधार पर nवें पद के सूत्र द्वारा दी गई है (विवरण देखें)। आइए \(n\) को एक के साथ बदलकर पहले तत्व की गणना करें।
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		अब \(n\) के स्थान पर पच्चीस को प्रतिस्थापित करके पच्चीसवाँ पद ज्ञात करते हैं।
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		खैर, अब हम बिना किसी समस्या के आवश्यक राशि की गणना करते हैं।
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		जवाब तैयार है।

जवाब: \(एस_(25)=1090\)।

पहली शर्तों के योग \(n\) के लिए, आप एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: आपको बस \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ की आवश्यकता है। (\cdot 25\ ) के बजाय \(a_n\) इसके लिए सूत्र को प्रतिस्थापित करें \(a_n=a_1+(n-1)d\)। हम पाते हैं:

पहले n पदों के योग का सूत्र है: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), जहां

\(S_n\) - पहले तत्वों का आवश्यक योग \(n\);
\(a_1\) पहला पद है जिसका योग किया जाना है;
\(डी\) - प्रगति अंतर;
\(n\) - योग में तत्वों की संख्या।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति के पहले \(33\)-पूर्व पदों का योग ज्ञात कीजिए: \(17\); \(15,5\); \(चौदह\)…
फेसला:

जवाब: \(एस_(33)=-231\)।

अधिक जटिल अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं

अब आपके पास लगभग किसी भी अंकगणितीय प्रगति समस्या को हल करने के लिए आवश्यक सभी जानकारी है। आइए उन समस्याओं पर विचार करके विषय समाप्त करें जिनमें आपको न केवल सूत्र लागू करने की आवश्यकता है, बल्कि थोड़ा सोचना भी है (गणित में, यह उपयोगी हो सकता है ☺)

उदाहरण (ओजीई)। प्रगति के सभी ऋणात्मक पदों का योग ज्ञात कीजिए: \(-19.3\); \(-उन्नीस\); \(-18.7\)…
फेसला:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		कार्य पिछले एक के समान ही है। हम उसी तरह हल करना शुरू करते हैं: पहले हम \(d\) पाते हैं।
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		अब हम योग के सूत्र में \(d\) को प्रतिस्थापित करेंगे ... और यहां एक छोटी सी बारीकियां सामने आती हैं - हम नहीं जानते \(n\)। दूसरे शब्दों में, हम नहीं जानते कि कितने शब्दों को जोड़ने की आवश्यकता होगी। कैसे पता करें? चलो सोचते है। जब हम पहले सकारात्मक तत्व पर पहुंचेंगे तो हम तत्वों को जोड़ना बंद कर देंगे। यही है, आपको इस तत्व की संख्या का पता लगाना होगा। कैसे? आइए अंकगणितीय प्रगति के किसी भी तत्व की गणना के लिए सूत्र लिखें: \(a_n=a_1+(n-1)d\) हमारे मामले के लिए।
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		शून्य से बड़ा होने के लिए हमें \(a_n\) की आवश्यकता है। आइए जानें कि यह किस लिए \(n\) होगा।
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		हम असमानता के दोनों पक्षों को \(0,3\) से विभाजित करते हैं।
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		हम माइनस वन ट्रांसफर करते हैं, संकेत बदलना नहीं भूलते
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		कम्प्यूटिंग...
\(n>65,333…\)		...और यह पता चला है कि पहले सकारात्मक तत्व की संख्या \(66\) होगी। तदनुसार, अंतिम ऋणात्मक में \(n=65\) है। बस मामले में, आइए इसे देखें।
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		इस प्रकार, हमें पहले \(65\) तत्वों को जोड़ने की जरूरत है।
\(एस_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		जवाब तैयार है।

जवाब: \(एस_(65)=-630.5\)।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\)। \(26\)वें से \(42\) तक के योग का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	इस समस्या में, आपको तत्वों का योग भी खोजना होगा, लेकिन पहले से नहीं, बल्कि \(26\)वें से शुरू करना होगा। हमारे पास इसका कोई फॉर्मूला नहीं है। कैसे तय करें? आसान - \(26\)th से \(42\)th तक का योग प्राप्त करने के लिए, आपको पहले \(1\)th से \(42\)th तक का योग निकालना होगा, और फिर उसमें से योग को घटाना होगा पहले से \ (25 \) वें (चित्र देखें)।
	हमारी प्रगति \(a_1=-33\), और अंतर \(d=4\) के लिए (आखिरकार, हम अगले तत्व को खोजने के लिए पिछले तत्व में चार जोड़ते हैं)। यह जानने के बाद, हम पहले \(42\)-उह तत्वों का योग पाते हैं।
\(एस_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	अब पहले \(25\)-वें तत्वों का योग।
\(एस_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	और अंत में, हम उत्तर की गणना करते हैं।
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

जवाब: \(एस=1683\)।

अंकगणितीय प्रगति के लिए, कई और सूत्र हैं जिन पर हमने उनकी कम व्यावहारिक उपयोगिता के कारण इस लेख में विचार नहीं किया है। हालाँकि, आप उन्हें आसानी से पा सकते हैं।

इससे पहले कि हम फैसला करना शुरू करें अंकगणितीय प्रगति की समस्या, विचार करें कि एक संख्या अनुक्रम क्या है, क्योंकि एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्या अनुक्रम का एक विशेष मामला है।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक सेट है, जिसके प्रत्येक तत्व का अपना क्रमांक होता है. इस सेट के तत्वों को अनुक्रम के सदस्य कहा जाता है। अनुक्रम तत्व की क्रमिक संख्या एक सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है:

अनुक्रम का पहला तत्व;

अनुक्रम का पाँचवाँ तत्व;

- अनुक्रम का "nth" तत्व, अर्थात। संख्या n पर "कतार में खड़ा" तत्व।

एक अनुक्रम तत्व के मूल्य और उसकी क्रमिक संख्या के बीच एक निर्भरता है। इसलिए, हम एक अनुक्रम को एक फ़ंक्शन के रूप में मान सकते हैं जिसका तर्क अनुक्रम के एक तत्व की क्रमिक संख्या है। दूसरे शब्दों में, कोई कह सकता है कि अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है:

अनुक्रम को तीन तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

1 . अनुक्रम को एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।इस मामले में, हम केवल अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य का मान निर्धारित करते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी ने व्यक्तिगत समय प्रबंधन करने का फैसला किया, और शुरुआत करने के लिए, यह गणना करने के लिए कि वह सप्ताह के दौरान VKontakte पर कितना समय बिताता है। समय को एक तालिका में लिखने से उसे सात तत्वों का एक क्रम प्राप्त होगा:

तालिका की पहली पंक्ति में सप्ताह के दिनों की संख्या होती है, दूसरी - मिनटों में समय। हम देखते हैं कि, सोमवार को किसी ने VKontakte पर 125 मिनट बिताए, यानी गुरुवार को - 248 मिनट, और, शुक्रवार को, केवल 15।

2 . अनुक्रम को nवें सदस्य सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।

इस मामले में, अनुक्रम तत्व के मूल्य की संख्या पर निर्भरता सीधे सूत्र के रूप में व्यक्त की जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि , तो

किसी दी गई संख्या के साथ अनुक्रम तत्व का मान ज्ञात करने के लिए, हम तत्व संख्या को nवें सदस्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

हम ऐसा ही करते हैं यदि हमें किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है यदि तर्क का मान ज्ञात है। हम फ़ंक्शन के समीकरण के बजाय तर्क के मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि, उदाहरण के लिए, , तब

एक बार फिर, मैं ध्यान देता हूं कि एक क्रम में, एक मनमाना संख्यात्मक कार्य के विपरीत, केवल एक प्राकृतिक संख्या एक तर्क हो सकती है।

3 . अनुक्रम को एक सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जो पिछले सदस्यों के मूल्य पर संख्या n के साथ अनुक्रम के सदस्य के मूल्य की निर्भरता को व्यक्त करता है। इस मामले में, हमारे लिए इसका मूल्य ज्ञात करने के लिए केवल अनुक्रम सदस्य की संख्या जानना पर्याप्त नहीं है। हमें अनुक्रम के पहले सदस्य या पहले कुछ सदस्यों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम पर विचार करें ,

हम अनुक्रम के सदस्यों के मान पा सकते हैं क्रम में, तीसरे से शुरू:

अर्थात्, हर बार अनुक्रम के nवें सदस्य का मान ज्ञात करने के लिए, हम पिछले दो पर लौटते हैं। अनुक्रमण के इस तरीके को कहा जाता है आवर्तक, लैटिन शब्द . से पुनरावर्ती- वापस लौटें।

अब हम एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित कर सकते हैं। एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम का एक साधारण विशेष मामला है।

अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है।

नंबर कहा जाता है एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर. अंकगणितीय प्रगति का अंतर सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकता है।

अगर शीर्षक = "(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} की बढ़ती.

उदाहरण के लिए, 2; 5; आठ; ग्यारह;...

यदि , तो समांतर श्रेणी का प्रत्येक पद पिछले वाले से कम है, और प्रगति है घट.

उदाहरण के लिए, 2; -एक; -4; -7;...

यदि , तो प्रगति के सभी सदस्य समान संख्या के बराबर हैं, और प्रगति है अचल.

उदाहरण के लिए, 2;2;2;2;...

अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति:

आइए तस्वीर को देखें।

हमने देखा कि

, और उस समय पर ही

इन दो समानताओं को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

.

समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

तो, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, दो पड़ोसी लोगों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

इसके अलावा, चूंकि

, और उस समय पर ही

, तब

, और इसलिए

शीर्षक से शुरू होने वाली अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य = "(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

वें सदस्य सूत्र।

हम देखते हैं कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के लिए, निम्नलिखित संबंध हैं:

और अंत में

हमें मिला nवें पद का सूत्र।

जरूरी!अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को और के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। पहले पद और अंकगणितीय प्रगति के अंतर को जानने के बाद, आप इसके किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग।

एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति में, चरम पदों से समान दूरी वाले पदों का योग एक दूसरे के बराबर होता है:

n सदस्यों के साथ एक अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें। मान लीजिए कि इस प्रगति के n सदस्यों का योग बराबर है।

प्रगति के पदों को पहले संख्याओं के आरोही क्रम में और फिर अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

आइए इसे जोड़ते हैं:

प्रत्येक कोष्ठक में योग है, युग्मों की संख्या n है।

हम पाते हैं:

इसलिए, एक अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

विचार करना अंकगणितीय प्रगति की समस्याओं को हल करना.

1 . क्रम nवें सदस्य के सूत्र द्वारा दिया गया है: . सिद्ध कीजिए कि यह क्रम एक समांतर श्रेढ़ी है।

आइए हम सिद्ध करें कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों के बीच का अंतर समान संख्या के बराबर है।

हमने प्राप्त किया है कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों का अंतर उनकी संख्या पर निर्भर नहीं करता है और एक अचर है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

2 . एक समांतर श्रेणी को देखते हुए -31; -27;...

a) प्रगति के 31 पद ज्ञात कीजिए।

बी) निर्धारित करें कि क्या संख्या 41 इस प्रगति में शामिल है।

ए)हमने देखा कि ;

आइए अपनी प्रगति के लिए nवें पद का सूत्र लिखें।

सामान्य रूप में

हमारे मामले में , इसीलिए

हम पाते हैं:

बी)मान लीजिए कि संख्या 41 अनुक्रम का सदस्य है। आइए जानते हैं उसका नंबर। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं:

हमें n का एक प्राकृतिक मान मिला है, इसलिए, हाँ, संख्या 41 प्रगति का सदस्य है। यदि n का पाया गया मान एक प्राकृत संख्या नहीं होता, तो हम उत्तर देते कि संख्या 41 प्रगति का सदस्य नहीं है।

3 . a) संख्या 2 और 8 के बीच, 4 संख्याएँ डालें ताकि वे दी गई संख्याओं के साथ मिलकर एक समान्तर श्रेणी बना सकें।

बी) परिणामी प्रगति की शर्तों का योग पाएं।

ए)आइए संख्या 2 और 8 के बीच चार संख्याएँ डालें:

हमें एक समान्तर श्रेणी प्राप्त हुई है, जिसमें 6 सदस्य हैं।

आइए इस प्रगति का अंतर खोजें। ऐसा करने के लिए, हम nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

अब संख्याओं का मान ज्ञात करना आसान है:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

बी)

उत्तर: ए) हाँ; बी) 30

4. ट्रक 240 टन वजन के कुचल पत्थर के एक बैच का परिवहन करता है, प्रतिदिन परिवहन की दर को समान संख्या में बढ़ाता है। मालूम हो कि पहले दिन 2 टन मलबा ले जाया गया। निर्धारित करें कि बारहवें दिन कितने टन कुचल पत्थर का परिवहन किया गया था यदि सभी काम 15 दिनों में पूरा किया गया था।

समस्या की स्थिति के अनुसार, ट्रक द्वारा परिवहन किए जाने वाले कुचल पत्थर की मात्रा हर दिन उतनी ही बढ़ जाती है। इसलिए, हम एक अंकगणितीय प्रगति के साथ काम कर रहे हैं।

हम इस समस्या को अंकगणितीय प्रगति के रूप में तैयार करते हैं।

पहले दिन के दौरान, 2 टन कुचल पत्थर ले जाया गया: a_1=2.

15 दिनों में पूरा हुआ सारा काम:.

ट्रक 240 टन वजन वाले कुचल पत्थर के एक बैच का परिवहन करता है:

हमें खोजने की जरूरत है।

सबसे पहले, आइए प्रगति अंतर का पता लगाएं। आइए प्रगति के n सदस्यों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करें।

हमारे मामले में:

चतुर्थ याकोवलेव | गणित पर सामग्री | MathUs.ru

अंकगणितीय प्रगति

एक अंकगणितीय प्रगति एक विशेष प्रकार का अनुक्रम है। इसलिए, एक अंकगणित (और फिर ज्यामितीय) प्रगति को परिभाषित करने से पहले, हमें एक संख्या अनुक्रम की महत्वपूर्ण अवधारणा पर संक्षेप में चर्चा करने की आवश्यकता है।

परिणाम को

स्क्रीन पर एक ऐसे उपकरण की कल्पना करें जिसके कुछ नंबर एक के बाद एक प्रदर्शित होते हैं। मान लीजिए 2; 7; तेरह; एक; 6; 0; 3; : : : संख्याओं का ऐसा समुच्चय एक अनुक्रम का एक उदाहरण मात्र है।

परिभाषा। एक संख्यात्मक अनुक्रम संख्याओं का एक समूह है जिसमें प्रत्येक संख्या को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है (अर्थात, एक प्राकृतिक संख्या के साथ पत्राचार में रखा जाता है) 1। संख्या n वाली संख्या को अनुक्रम का nवाँ सदस्य कहा जाता है।

तो, उपरोक्त उदाहरण में, पहली संख्या में संख्या 2 है, जो अनुक्रम का पहला सदस्य है, जिसे a1 द्वारा दर्शाया जा सकता है; संख्या पाँच में संख्या 6 है जो अनुक्रम का पाँचवाँ सदस्य है, जिसे a5 निरूपित किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, अनुक्रम के nवें सदस्य को एक (या bn , cn , आदि) द्वारा दर्शाया जाता है।

एक बहुत ही सुविधाजनक स्थिति तब होती है जब अनुक्रम के nवें सदस्य को किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र a = 2n 3 अनुक्रम निर्दिष्ट करता है: 1; एक; 3; 5; 7; : : : सूत्र a = (1)n अनुक्रम को परिभाषित करता है: 1; एक; एक; एक; : : :

संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय एक क्रम नहीं है। तो, एक खंड एक अनुक्रम नहीं है; इसमें "बहुत अधिक" संख्याएँ हैं जिन्हें फिर से क्रमांकित किया जाना है। सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R भी अनुक्रम नहीं है। ये तथ्य गणितीय विश्लेषण के दौरान सिद्ध होते हैं।

अंकगणितीय प्रगति: बुनियादी परिभाषाएँ

अब हम एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए तैयार हैं।

परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद (दूसरे से शुरू होता है) पिछले पद और कुछ निश्चित संख्या के योग के बराबर होता है (जिसे अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है)।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2; 5; आठ; ग्यारह; : : एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद 2 और अंतर 3 है। अनुक्रम 7; 2; 3; आठ; : : एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद 7 और अंतर 5 है। अनुक्रम 3; 3; 3; : : शून्य अंतर वाली एक समांतर श्रेणी है।

समतुल्य परिभाषा: एक अनुक्रम a को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है यदि अंतर a+1 a एक स्थिरांक है (n पर निर्भर नहीं है)।

एक अंकगणितीय प्रगति को बढ़ती हुई कहा जाता है यदि इसका अंतर सकारात्मक है, और यदि इसका अंतर ऋणात्मक है तो घट रहा है।

1 और यहाँ एक अधिक संक्षिप्त परिभाषा है: अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित एक कार्य है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का क्रम फलन f: N! आर।

डिफ़ॉल्ट रूप से, अनुक्रमों को अनंत माना जाता है, जो कि अनंत संख्या में होते हैं। लेकिन कोई भी सीमित दृश्यों पर भी विचार करने की जहमत नहीं उठाता; वास्तव में, संख्याओं के किसी भी परिमित समुच्चय को परिमित अनुक्रम कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतिम अनुक्रम 1; 2; 3; 4; 5 में पाँच संख्याएँ होती हैं।

समांतर श्रेणी के nवें सदस्य का सूत्र

यह समझना आसान है कि एक अंकगणितीय प्रगति पूरी तरह से दो संख्याओं से निर्धारित होती है: पहला पद और अंतर। इसलिए, प्रश्न उठता है: पहले पद और अंतर को जानने के बाद, एक अंकगणितीय प्रगति का एक मनमाना शब्द कैसे खोजें?

एक समान्तर श्रेणी के nवें पद के लिए वांछित सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है। चलो एक

अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति d. हमारे पास है:
एक+1 = एक + डी (एन = 1; 2;: ::):
विशेष रूप से, हम लिखते हैं:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
और अब यह स्पष्ट हो गया है कि a का सूत्र है:
एक = ए1 + (एन 1)डी:

कार्य 1. अंकगणितीय प्रगति में 2; 5; आठ; ग्यारह; : : nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद परिकलित कीजिए।

फेसला। सूत्र (1) के अनुसार हमारे पास है:

एक = 2 ​​+ 3 (एन 1) = 3 एन 1:

ए 100 = 3 100 1 = 299:

गुण और अंकगणितीय प्रगति का चिन्ह

एक अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति। अंकगणितीय प्रगति में a किसी के लिए

दूसरे शब्दों में, समांतर श्रेणी का प्रत्येक सदस्य (दूसरे से शुरू होकर) पड़ोसी सदस्यों का अंकगणितीय माध्य है।

	प्रमाण। हमारे पास है:
	एक एन 1+ एक एन+1		(ए डी) + (ए + डी)

जो आवश्यक था।

अधिक सामान्यतः, अंकगणितीय प्रगति समानता को संतुष्ट करती है

ए एन = ए एन के+ ए एन+के

किसी भी n > 2 और किसी भी प्राकृतिक k . के लिए< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

यह पता चला है कि सूत्र (2) न केवल एक आवश्यक बल्कि एक अनुक्रम के लिए एक अंकगणितीय प्रगति होने के लिए पर्याप्त शर्त है।

एक अंकगणितीय प्रगति का संकेत। यदि समानता (2) सभी n > 2 के लिए है, तो अनुक्रम a एक अंकगणितीय प्रगति है।

प्रमाण। आइए सूत्र (2) को इस प्रकार फिर से लिखें:

ए ना एन 1= ए एन+1ए एन:

इससे पता चलता है कि अंतर a+1 a n पर निर्भर नहीं करता है, और इसका सीधा सा मतलब है कि अनुक्रम a एक अंकगणितीय प्रगति है।

एक अंकगणितीय प्रगति के गुण और चिह्न को एक कथन के रूप में तैयार किया जा सकता है; सुविधा के लिए, हम इसे तीन नंबरों के लिए करेंगे (यही स्थिति है जो अक्सर समस्याओं में होती है)।

एक अंकगणितीय प्रगति की विशेषता। तीन संख्याएँ a, b, c एक समांतर श्रेणी बनाती हैं यदि और केवल यदि 2b = a + c हो।

समस्या 2. (मास्को स्टेट यूनिवर्सिटी, अर्थशास्त्र संकाय, 2007) निर्दिष्ट क्रम में तीन संख्याएं 8x, 3 x2 और 4 घटती अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं। x ज्ञात कीजिए और इस प्रगति का अंतर लिखिए।

फेसला। अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति से, हमारे पास है:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; एक्स = 5:

यदि x = 1 है, तो 8, 2, 4 की घटती हुई प्रगति 6 के अंतर से प्राप्त होती है। यदि x = 5, तो 40, 22, 4 की बढ़ती हुई प्रगति प्राप्त होती है; यह मामला काम नहीं करता है।

उत्तर: x = 1, अंतर 6 है।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

किंवदंती कहती है कि एक बार शिक्षक ने बच्चों को 1 से 100 तक की संख्याओं का योग खोजने के लिए कहा और चुपचाप अखबार पढ़ने बैठ गए। हालांकि, कुछ ही मिनटों में एक लड़के ने कहा कि उसने समस्या का समाधान कर दिया है। यह 9 वर्षीय कार्ल फ्रेडरिक गॉस था, जो बाद में इतिहास के सबसे महान गणितज्ञों में से एक था।

लिटिल गॉस का विचार यह था। रहने दो

एस = 1 + 2 + 3 + : : : : +98 + 99 + 100:

आइए इस योग को उल्टे क्रम में लिखें:

एस = 100 + 99 + 98 + : : : : + 3 + 2 + 1;

और इन दो सूत्रों को जोड़ें:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +:::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

कोष्ठक में प्रत्येक पद 101 के बराबर है, और ऐसे कुल 100 पद हैं। इसलिए

2S = 101 100 = 10100;

हम इस विचार का उपयोग योग सूत्र प्राप्त करने के लिए करते हैं

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

सूत्र (3) का एक उपयोगी संशोधन इसमें nवें पद a = a1 + (n 1)d के लिए सूत्र को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

		2a1 + (एन 1)डी

कार्य 3. 13 से विभाज्य सभी सकारात्मक तीन अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला। तीन अंकों की संख्याएं जो 13 के गुणज हैं, पहले पद 104 और अंतर 13 के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं; इस प्रगति का वां पद है:

एक = 104 + 13 (एन 1) = 91 + 13एन:

आइए जानें कि हमारी प्रगति में कितने सदस्य हैं। ऐसा करने के लिए, हम असमानता को हल करते हैं:

एक 6999; 91 + 13एन 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; एन 6 69:

तो हमारी प्रगति में 69 सदस्य हैं। सूत्र (4) के अनुसार हम आवश्यक राशि पाते हैं:

एस = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

एक अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछले एक की तुलना में एक ही राशि से अधिक (या कम) होती है।

यह विषय अक्सर कठिन और समझ से बाहर होता है। पत्र अनुक्रमणिका, प्रगति का nवां सदस्य, प्रगति का अंतर - यह सब किसी तरह भ्रमित करने वाला है, हाँ ... आइए अंकगणितीय प्रगति का अर्थ समझें और सब कुछ तुरंत काम करेगा।)

अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा।

अंकगणितीय प्रगति एक बहुत ही सरल और स्पष्ट अवधारणा है। संदेह करना? व्यर्थ।) अपने लिए देखें।

मैं संख्याओं की एक अधूरी श्रृंखला लिखूंगा:

1, 2, 3, 4, 5, ...

क्या आप इस लाइन को आगे बढ़ा सकते हैं? पाँच के बाद कौन-सी संख्याएँ आगे बढ़ेंगी? हर कोई ... उह ..., संक्षेप में, सभी को पता चल जाएगा कि संख्या 6, 7, 8, 9, आदि आगे बढ़ेगी।

आइए कार्य को जटिल करें। मैं संख्याओं की एक अधूरी श्रृंखला देता हूं:

2, 5, 8, 11, 14, ...

आप पैटर्न को पकड़ सकते हैं, श्रृंखला का विस्तार कर सकते हैं, और नाम कर सकते हैं सातवींपंक्ति नंबर?

यदि आपको पता चला कि यह संख्या 20 है - मैं आपको बधाई देता हूं! आपने न केवल महसूस किया अंकगणितीय प्रगति के प्रमुख बिंदु,लेकिन व्यापार में भी उनका सफलतापूर्वक उपयोग किया! यदि आप नहीं समझते हैं, तो पढ़ें।

आइए अब संवेदनाओं से गणित में प्रमुख बिंदुओं का अनुवाद करें।)

पहला मुख्य बिंदु।

अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की श्रृंखला से संबंधित है।यह पहली बार में भ्रमित करने वाला है। हम समीकरणों को हल करने, रेखांकन बनाने और वह सब करने के आदी हैं ... और फिर श्रृंखला का विस्तार करें, श्रृंखला की संख्या ज्ञात करें ...

ठीक है। यह सिर्फ इतना है कि प्रगति गणित की एक नई शाखा के साथ पहला परिचय है। अनुभाग को "श्रृंखला" कहा जाता है और यह संख्याओं और भावों की श्रृंखला के साथ काम करता है। इस्की आद्त डाल लो।)

दूसरा मुख्य बिंदु।

एक अंकगणितीय प्रगति में, कोई भी संख्या पिछली संख्या से भिन्न होती है उसी राशि से।

पहले उदाहरण में, यह अंतर एक है। आप जो भी संख्या लें, वह पिछले वाले से एक अधिक है। दूसरे में - तीन। कोई भी संख्या पिछली संख्या से तीन गुना अधिक होती है। दरअसल, यह वह क्षण है जो हमें पैटर्न को पकड़ने और बाद की संख्याओं की गणना करने का अवसर देता है।

तीसरा प्रमुख बिंदु।

यह क्षण हड़ताली नहीं है, हाँ ... लेकिन बहुत, बहुत महत्वपूर्ण। वो रहा वो: प्रत्येक प्रगति संख्या अपने स्थान पर है।पहली संख्या है, सातवीं है, पैंतालीसवां है, और इसी तरह। यदि आप उन्हें बेतरतीब ढंग से भ्रमित करते हैं, तो पैटर्न गायब हो जाएगा। अंकगणितीय प्रगति भी गायब हो जाएगी। यह सिर्फ संख्याओं की एक श्रृंखला है।

यह पूरी बात है।

बेशक, नए विषय में नए शब्द और संकेतन दिखाई देते हैं। उन्हें जानने की जरूरत है। अन्यथा, आप कार्य को नहीं समझेंगे। उदाहरण के लिए, आपको कुछ ऐसा तय करना होगा:

समांतर श्रेणी (a n) के पहले छह पद लिखिए यदि a 2 = 5, d = -2.5 है।

क्या यह प्रेरित करता है?) पत्र, कुछ अनुक्रमित ... और कार्य, वैसे, आसान नहीं हो सकता। आपको बस शब्दों और संकेतन के अर्थ को समझने की जरूरत है। अब हम इस मामले में महारत हासिल करेंगे और काम पर लौटेंगे।

शर्तें और पदनाम।

अंकगणितीय प्रगतिसंख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछले एक से भिन्न होती है उसी राशि से।

इस मान को कहा जाता है . आइए इस अवधारणा से अधिक विस्तार से निपटें।

अंकगणितीय प्रगति अंतर।

अंकगणितीय प्रगति अंतरवह राशि है जिसके द्वारा कोई प्रगति संख्या अधिकपिछला वाला।

एक महत्वपूर्ण बिंदु। कृपया शब्द पर ध्यान दें "अधिक"।गणितीय रूप से, इसका अर्थ है कि प्रत्येक प्रगति संख्या प्राप्त होती है जोड़नेपिछली संख्या से अंकगणितीय प्रगति का अंतर।

गणना करने के लिए, मान लें दूसरापंक्ति की संख्या, यह आवश्यक है प्रथमसंख्या जोड़ेंअंकगणितीय प्रगति का यह बहुत अंतर। गणना के लिए पांचवां- अंतर आवश्यक है जोड़ेंको चौथीअच्छा, आदि

अंकगणितीय प्रगति अंतरशायद सकारात्मकतब श्रृंखला की प्रत्येक संख्या वास्तविक निकलेगी पिछले एक से अधिक।इस प्रगति को कहा जाता है की बढ़ती।उदाहरण के लिए:

8; 13; 18; 23; 28; .....

यहाँ प्रत्येक संख्या है जोड़नेसकारात्मक संख्या, पिछले एक के लिए +5।

अंतर हो सकता है नकारात्मकतो श्रृंखला में प्रत्येक संख्या होगी पिछले वाले से कम।इस प्रगति को कहा जाता है (आप इस पर विश्वास नहीं करेंगे!) घट रहा है।

उदाहरण के लिए:

8; 3; -2; -7; -12; .....

यहां हर नंबर भी मिलता है जोड़नेपिछले करने के लिए, लेकिन पहले से ही ऋणात्मक संख्या, -5।

वैसे, प्रगति के साथ काम करते समय, इसकी प्रकृति को तुरंत निर्धारित करना बहुत उपयोगी होता है - चाहे वह बढ़ रहा हो या घट रहा हो। यह निर्णय में आपके असर को खोजने, अपनी गलतियों का पता लगाने और बहुत देर होने से पहले उन्हें ठीक करने में बहुत मदद करता है।

अंकगणितीय प्रगति अंतरआमतौर पर पत्र द्वारा दर्शाया जाता है डी।

कैसे ढूंढें डी? बहुत आसान। श्रृंखला की किसी भी संख्या में से घटाना आवश्यक है पहले कासंख्या। घटाना। वैसे, घटाव के परिणाम को "अंतर" कहा जाता है।)

आइए परिभाषित करें, उदाहरण के लिए, डीबढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति के लिए:

2, 5, 8, 11, 14, ...

हम जितनी भी पंक्ति चाहते हैं, उसकी कोई भी संख्या लेते हैं, उदाहरण के लिए, 11. इसमें से घटाना पिछली संख्यावे। आठ:

यह सही जवाब है। इस अंकगणितीय प्रगति के लिए, अंतर तीन है।

आप बस ले सकते हैं प्रगति की कोई भी संख्या,क्योंकि एक विशिष्ट प्रगति के लिए डी-हमेशा एक ही।कम से कम कहीं पंक्ति की शुरुआत में, कम से कम बीच में, कम से कम कहीं भी। आप केवल पहला नंबर नहीं ले सकते। सिर्फ इसलिए कि सबसे पहले नंबर पिछला नहीं।)

वैसे, यह जानते हुए कि डी = 3, इस प्रगति की सातवीं संख्या ज्ञात करना बहुत सरल है। हम पांचवें नंबर में 3 जोड़ते हैं - हमें छठा मिलता है, यह 17 होगा। हम छठे नंबर में तीन जोड़ते हैं, हमें सातवां नंबर मिलता है - बीस।

आइए परिभाषित करें डीघटती हुई अंकगणितीय प्रगति के लिए:

8; 3; -2; -7; -12; .....

मैं आपको याद दिलाता हूं कि, संकेतों की परवाह किए बिना, निर्धारित करने के लिए डीकिसी भी नंबर से चाहिए पिछले एक को दूर ले जाओ।हम प्रगति की कोई भी संख्या चुनते हैं, उदाहरण के लिए -7। उनका पिछला अंक -2 है। फिर:

डी = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

अंकगणितीय प्रगति का अंतर कोई भी संख्या हो सकती है: पूर्णांक, भिन्नात्मक, अपरिमेय, कोई भी।

अन्य शर्तें और पदनाम।

श्रृंखला में प्रत्येक संख्या को कहा जाता है एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य।

प्रगति के प्रत्येक सदस्य उसका नंबर है।बिना किसी तरकीब के, संख्याएँ सख्ती से क्रम में हैं। पहला, दूसरा, तीसरा, चौथा, आदि। उदाहरण के लिए, प्रगति में 2, 5, 8, 11, 14, ... दो पहला सदस्य है, पांच दूसरा है, ग्यारह चौथा है, ठीक है, आप समझते हैं ...) कृपया स्पष्ट रूप से समझें - नंबर खुदबिल्कुल कोई भी हो सकता है, संपूर्ण, भिन्नात्मक, नकारात्मक, जो भी हो, लेकिन नंबरिंग- कड़ाई से क्रम में!

सामान्य रूप में प्रगति कैसे लिखें? कोई बात नहीं! श्रृंखला में प्रत्येक संख्या एक अक्षर के रूप में लिखी जाती है। एक अंकगणितीय प्रगति को निरूपित करने के लिए, एक नियम के रूप में, अक्षर का उपयोग किया जाता है ए. सदस्य संख्या नीचे दाईं ओर सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है। सदस्यों को अल्पविराम (या अर्धविराम) से अलग करके लिखा जाता है, जैसे:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5, .....

एक 1पहला नंबर है एक 3- तीसरा, आदि। कुछ भी पेचीदा नहीं। आप इस श्रंखला को संक्षेप में इस प्रकार लिख सकते हैं: (एक).

प्रगति हैं सीमित और अनंत।

अंतिमप्रगति में सदस्यों की सीमित संख्या है। पाँच, अड़तीस, जो भी हो। लेकिन यह एक सीमित संख्या है।

अनंतप्रगति - में अनंत संख्या में सदस्य हैं, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं।)

आप इस तरह की श्रृंखला, सभी सदस्यों और अंत में एक बिंदु के माध्यम से अंतिम प्रगति लिख सकते हैं:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5।

या इस तरह, यदि कई सदस्य हैं:

ए 1 , ए 2 , ... ए 14 , ए 15 ।

एक छोटी प्रविष्टि में, आपको सदस्यों की संख्या को अतिरिक्त रूप से इंगित करना होगा। उदाहरण के लिए (बीस सदस्यों के लिए), इस तरह:

(ए एन), एन = 20

पंक्ति के अंत में दीर्घवृत्त द्वारा एक अनंत प्रगति को पहचाना जा सकता है, जैसा कि इस पाठ के उदाहरणों में है।

अब आप पहले से ही कार्यों को हल कर सकते हैं। कार्य सरल हैं, विशुद्ध रूप से अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझने के लिए।

अंकगणितीय प्रगति के कार्यों के उदाहरण।

आइए उपरोक्त कार्य पर करीब से नज़र डालें:

1. समांतर श्रेणी (a n) के पहले छह सदस्यों को लिखिए, यदि a 2 = 5, d = -2.5 है।

हम कार्य को समझने योग्य भाषा में अनुवाद करते हैं। एक अनंत अंकगणितीय प्रगति को देखते हुए। इस प्रगति की दूसरी संख्या ज्ञात है: ए 2 = 5.ज्ञात प्रगति अंतर: डी = -2.5।हमें इस प्रगति के पहले, तीसरे, चौथे, पांचवें और छठे सदस्यों को खोजने की जरूरत है।

स्पष्टता के लिए, मैं समस्या की स्थिति के अनुसार एक श्रृंखला लिखूंगा। पहले छह सदस्य, जहां दूसरा सदस्य पांच है:

एक 1 , 5 , ए 3 , ए 4 , ए 5 , ए 6 ,....

एक 3 = एक 2 + डी

हम व्यंजक में स्थानापन्न करते हैं ए 2 = 5और घ=-2.5. माइनस मत भूलना!

एक 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

तीसरा पद दूसरे से छोटा है। सब कुछ तार्किक है। यदि संख्या पिछले एक से अधिक है नकारात्मकमान, इसलिए संख्या स्वयं पिछले वाले से कम होगी। प्रगति घट रही है। ठीक है, आइए इसे ध्यान में रखते हैं।) हम अपनी श्रृंखला के चौथे सदस्य पर विचार करते हैं:

एक 4 = एक 3 + डी

एक 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

एक 5 = एक 4 + डी

एक 5=0+(-2,5)= - 2,5

एक 6 = एक 5 + डी

एक 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

तो, तीसरे से छठे तक की शर्तों की गणना की गई है। इसके परिणामस्वरूप एक श्रृंखला हुई:

ए 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

यह पहला पद खोजने के लिए बनी हुई है एक 1प्रसिद्ध दूसरे के अनुसार। यह दूसरी दिशा में एक कदम है, बाईं ओर।) इसलिए, अंकगणितीय प्रगति का अंतर डीमें नहीं जोड़ा जाना चाहिए एक 2, ए ले लेना:

एक 1 = एक 2 - डी

एक 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

यही सब है इसके लिए। कार्य प्रतिक्रिया:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

गुजरते समय, मैं ध्यान देता हूं कि हमने इस कार्य को हल कर लिया है आवर्तकमार्ग। इस भयानक शब्द का अर्थ है, केवल, प्रगति के सदस्य की खोज पिछली (आसन्न) संख्या से।प्रगति के साथ काम करने के अन्य तरीकों पर बाद में चर्चा की जाएगी।

इस सरल कार्य से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला जा सकता है।

याद है:

यदि हम कम से कम एक सदस्य और एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर जानते हैं, तो हम इस प्रगति के किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

याद है? यह सरल निष्कर्ष हमें इस विषय पर स्कूल पाठ्यक्रम की अधिकांश समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। सभी कार्य तीन मुख्य मापदंडों के इर्द-गिर्द घूमते हैं: एक अंकगणितीय प्रगति का सदस्य, एक प्रगति का अंतर, एक प्रगति के सदस्य की संख्या।हर चीज़।

बेशक, पिछले सभी बीजगणित रद्द नहीं किए गए हैं।) असमानताएं, समीकरण और अन्य चीजें प्रगति से जुड़ी हुई हैं। लेकिन प्रगति के अनुसार- सब कुछ तीन मापदंडों के इर्द-गिर्द घूमता है।

उदाहरण के लिए, इस विषय पर कुछ लोकप्रिय कार्यों पर विचार करें।

2. एक श्रृंखला के रूप में अंतिम अंकगणितीय प्रगति लिखें यदि n=5, d=0.4, और a 1=3.6 है।

यहाँ सब कुछ सरल है। सब कुछ पहले ही दिया जा चुका है। आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की गणना कैसे की जाती है, गिनें और लिखें। यह सलाह दी जाती है कि कार्य की स्थिति में शब्दों को न छोड़ें: "अंतिम" और " एन = 5"। जब तक आप पूरी तरह से नीले रंग के न हों, तब तक गिनती न करने के लिए।) इस प्रगति में केवल 5 (पांच) सदस्य हैं:

ए 2 \u003d ए 1 + डी \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

ए 3 \u003d ए 2 + डी \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

एक 4 = एक 3 + डी = 4.4 + 0.4 = 4.8

एक 5 = एक 4 + डी = 4.8 + 0.4 = 5.2

उत्तर लिखना बाकी है:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

एक अन्य कार्य:

3. निर्धारित करें कि क्या संख्या 7 अंकगणितीय प्रगति (a n) का सदस्य होगा यदि ए 1 \u003d 4.1; घ = 1.2.

हम्म... कौन जानता है? किसी चीज को कैसे परिभाषित करें?

कैसे-कैसे ... हाँ, एक श्रंखला के रूप में प्रगति लिखिए और देखिए कि सात होंगे या नहीं! हमें यकीन है:

ए 2 \u003d ए 1 + डी \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

ए 3 \u003d ए 2 + डी \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

एक 4 = एक 3 + डी = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

अब साफ तौर पर देखा जा रहा है कि हम सिर्फ सात के हैं के माध्यम से फिसल 6.5 और 7.7 के बीच! सात हमारी संख्याओं की श्रृंखला में शामिल नहीं हुए, और इसलिए, सात दी गई प्रगति के सदस्य नहीं होंगे।

उत्तर: नहीं।

और यहाँ GIA के वास्तविक संस्करण पर आधारित एक कार्य है:

4. अंकगणितीय प्रगति के कई क्रमागत सदस्यों को लिखा जाता है:

...; पंद्रह; एक्स; नौ; 6; ...

यहाँ अंत और शुरुआत के बिना एक श्रृंखला है। कोई सदस्य संख्या नहीं, कोई अंतर नहीं डी. ठीक है। समस्या को हल करने के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझना पर्याप्त है। आइए देखें और देखें कि हम क्या कर सकते हैं खोज करनाइस लाइन से? तीन मुख्य के पैरामीटर क्या हैं?

सदस्य संख्या? यहां एक भी नंबर नहीं है।

लेकिन तीन नंबर हैं और - ध्यान! - शब्द "लगातार"इस शर्त। इसका मतलब है कि संख्याएं बिना अंतराल के सख्ती से क्रम में हैं। क्या इस पंक्ति में दो हैं? पड़ोसीज्ञात संख्या? हाँ मेरे पास है! ये 9 और 6 हैं। अतः हम एक समान्तर श्रेणी के अंतर की गणना कर सकते हैं! हम छह . से घटाते हैं पहले कासंख्या, यानी नौ:

खाली जगह बाकी हैं। x के लिए पिछली संख्या कौन सी होगी? पंद्रह। तो x को सरल जोड़ द्वारा आसानी से पाया जा सकता है। अंकगणितीय प्रगति के अंतर को 15 में जोड़ें:

बस इतना ही। जवाब: एक्स = 12

हम निम्नलिखित समस्याओं को स्वयं हल करते हैं। नोट: ये पहेलियाँ फॉर्मूले के लिए नहीं हैं। विशुद्ध रूप से एक अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझने के लिए।) हम केवल संख्या-अक्षरों की एक श्रृंखला लिखते हैं, देखते हैं और सोचते हैं।

5. समांतर श्रेणी का पहला धनात्मक पद ज्ञात कीजिए यदि a 5 = -3; घ = 1.1.

6. यह ज्ञात है कि संख्या 5.5 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 = 1.6; डी = 1.3। इस सदस्य की संख्या n ज्ञात कीजिए।

7. यह ज्ञात है कि एक समांतर श्रेणी में 2 = 4; ए 5 \u003d 15.1। एक 3 खोजें।

8. अंकगणितीय प्रगति के कई क्रमागत सदस्यों को लिखा जाता है:

...; 15.6; एक्स; 3.4; ...

अक्षर x द्वारा निरूपित प्रगति का पद ज्ञात कीजिए।

9. ट्रेन ने स्टेशन से चलना शुरू किया, धीरे-धीरे अपनी गति 30 मीटर प्रति मिनट बढ़ा दी। पांच मिनट में ट्रेन की गति क्या होगी? अपना उत्तर किमी/घंटा में दें।

10. यह ज्ञात है कि एक समांतर श्रेणी में 2 = 5; एक 6 = -5। 1 . खोजें.

उत्तर (अव्यवस्था में): 7.7; 7.5; 9.5; नौ; 0.3; 4.

सब कुछ ठीक हो गया? अद्भुत! आप निम्न पाठों में उच्च स्तर पर अंकगणितीय प्रगति में महारत हासिल कर सकते हैं।

क्या सब कुछ ठीक नहीं हुआ? कोई बात नहीं। विशेष धारा 555 में, इन सभी समस्याओं को टुकड़ों में तोड़ दिया गया है।) और निश्चित रूप से, एक सरल व्यावहारिक तकनीक का वर्णन किया गया है जो ऐसे कार्यों के समाधान को तुरंत स्पष्ट रूप से स्पष्ट रूप से उजागर करती है, जैसे आपके हाथ की हथेली में!

वैसे ट्रेन को लेकर पहेली में दो ऐसी समस्याएं हैं जिन पर अक्सर लोग ठोकर खा जाते हैं। एक - विशुद्ध रूप से प्रगति से, और दूसरा - गणित, और भौतिकी में भी किसी भी कार्य के लिए सामान्य। यह आयामों का एक से दूसरे में अनुवाद है। यह दिखाता है कि इन समस्याओं को कैसे हल किया जाना चाहिए।

इस पाठ में, हमने एक अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ और उसके मुख्य मापदंडों की जांच की। यह इस विषय पर लगभग सभी समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। जोड़ें डीसंख्याओं के लिए, एक श्रृंखला लिखें, सब कुछ तय हो जाएगा।

श्रृंखला के बहुत छोटे टुकड़ों के लिए उंगली का समाधान अच्छी तरह से काम करता है, जैसा कि इस पाठ के उदाहरणों में है। यदि श्रृंखला लंबी है, तो गणना अधिक जटिल हो जाती है। उदाहरण के लिए, यदि प्रश्न में समस्या 9 में, प्रतिस्थापित करें "पाँच मिनट"पर "पैंतीस मिनट"समस्या और भी विकट हो जाएगी।)

और ऐसे कार्य भी हैं जो संक्षेप में सरल हैं, लेकिन गणना के संदर्भ में पूरी तरह से बेतुके हैं, उदाहरण के लिए:

एक अंकगणितीय प्रगति (ए एन) को देखते हुए। यदि a 1 =3 और d=1/6 हो तो 121 ज्ञात कीजिए।

और क्या, हम 1/6 कई, कई बार जोड़ेंगे?! क्या खुद को मारना संभव है !?

आप कर सकते हैं।) यदि आप एक सरल सूत्र नहीं जानते हैं जिसके द्वारा आप ऐसे कार्यों को एक मिनट में हल कर सकते हैं। यह सूत्र अगले पाठ में होगा। और वह समस्या वहीं हल हो जाती है। एक मिनट में।)

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