भिन्न

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

हाई स्कूल में भिन्न कोई बड़ी परेशानी नहीं हैं। उतने समय के लिए। जब तक आपको तर्कसंगत घातांक और लघुगणक वाली घातें नहीं मिल जातीं। और वहाँ... आप कैलकुलेटर को दबाते हैं और दबाते हैं, और यह कुछ संख्याओं का पूर्ण प्रदर्शन दिखाता है। आपको तीसरी कक्षा की तरह अपने दिमाग से सोचना होगा।

आइए अंततः भिन्नों का पता लगाएं! खैर, आप इनमें कितना उलझ सकते हैं!? इसके अलावा, यह सब सरल और तार्किक है। इसलिए, भिन्न कितने प्रकार के होते हैं?

भिन्नों के प्रकार. परिवर्तन.

भिन्न तीन प्रकार के होते हैं.

1. सामान्य भिन्न , उदाहरण के लिए:

कभी-कभी क्षैतिज रेखा के बजाय वे एक स्लैश डालते हैं: 1/2, 3/4, 19/5, ठीक है, और इसी तरह। यहाँ हम अक्सर इसी वर्तनी का प्रयोग करेंगे। शीर्ष संख्या को कहा जाता है मीटर, निचला - हरयदि आप इन नामों को लगातार भ्रमित करते हैं (ऐसा होता है...), तो अपने आप से यह वाक्यांश कहें: " ज़ज़्ज़याद करना! ज़ज़्ज़भाजक - देखो zzzzzउह!" देखो, सब कुछ याद किया जाएगा।)

डैश, या तो क्षैतिज या झुका हुआ, का अर्थ है विभाजनशीर्ष संख्या (अंश) से नीचे (हर) तक। बस इतना ही! डैश के बजाय, विभाजन चिन्ह - दो बिंदु लगाना काफी संभव है।

जब पूर्ण विभाजन संभव हो तो ऐसा अवश्य करना चाहिए। अत: भिन्न "32/8" के स्थान पर संख्या "4" लिखना अधिक सुखद है। वे। 32 को केवल 8 से विभाजित किया जाता है।

32/8 = 32: 8 = 4

मैं अंश "4/1" के बारे में बात भी नहीं कर रहा हूँ। जो भी सिर्फ "4" है. और यदि यह पूरी तरह विभाज्य नहीं है, तो हम इसे भिन्न के रूप में छोड़ देते हैं। कभी-कभी आपको विपरीत ऑपरेशन भी करना पड़ता है। किसी पूर्ण संख्या को भिन्न में बदलें. लेकिन उस पर बाद में।

2. दशमलव , उदाहरण के लिए:

यह इस रूप में है कि आपको कार्य "बी" के उत्तर लिखने होंगे।

3. मिश्रित संख्याएँ , उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में मिश्रित संख्याओं का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना होगा। लेकिन आपको निश्चित रूप से ऐसा करने में सक्षम होने की आवश्यकता है! अन्यथा आप किसी समस्या में ऐसी संख्या में आ जाएंगे और रुक जाएंगे... कहीं से भी नहीं। लेकिन हम इस प्रक्रिया को याद रखेंगे! थोड़ा नीचे.

सर्वाधिक बहुमुखी सामान्य भिन्न. आइए उनसे शुरुआत करें. वैसे, यदि किसी भिन्न में सभी प्रकार के लघुगणक, ज्या और अन्य अक्षर हों, तो इससे कुछ भी नहीं बदलता है। इस अर्थ में कि सबकुछ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली क्रियाएँ सामान्य भिन्नों वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं!

भिन्न का मुख्य गुण.

तो चलते हैं! सबसे पहले, मैं आपको आश्चर्यचकित करूंगा। भिन्न परिवर्तनों की संपूर्ण विविधता एक ही गुण द्वारा प्रदान की जाती है! इसे ही कहा जाता है भिन्न का मुख्य गुण. याद करना: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाए, तो भिन्न नहीं बदलता है।वे:

यह स्पष्ट है कि आप तब तक लिखना जारी रख सकते हैं जब तक आपका चेहरा नीला न हो जाए। साइन और लॉगरिदम को भ्रमित न होने दें, हम उनसे आगे निपटेंगे। मुख्य बात यह समझना है कि ये सभी विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं वही अंश . 2/3.

क्या हमें इसकी, इन सभी परिवर्तनों की आवश्यकता है? और कैसे! अब आप खुद ही देख लेंगे. आरंभ करने के लिए, आइए भिन्न के मूल गुण का उपयोग करें अंशों को कम करना. यह एक प्राथमिक बात प्रतीत होगी. अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करें और बस इतना ही! गलती करना असंभव है! लेकिन...मनुष्य एक रचनात्मक प्राणी है। आप कहीं भी गलती कर सकते हैं! विशेष रूप से यदि आपको 5/10 जैसे भिन्न को नहीं, बल्कि सभी प्रकार के अक्षरों के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को कम करना है।

अतिरिक्त कार्य किए बिना भिन्नों को सही ढंग से और शीघ्रता से कैसे कम किया जाए, इसके बारे में विशेष धारा 555 में पढ़ा जा सकता है।

एक सामान्य छात्र अंश और हर को एक ही संख्या (या अभिव्यक्ति) से विभाजित करने की जहमत नहीं उठाता! वह बस उन सभी चीज़ों को काट देता है जो ऊपर और नीचे समान हैं! यदि आप चाहें तो यह वह जगह है जहां एक सामान्य गलती, एक भूल छिपी हुई है।

उदाहरण के लिए, आपको अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता है:

यहां सोचने की कोई बात नहीं है, ऊपर से "ए" अक्षर और नीचे से दो अक्षर काट दें! हम पाते हैं:

सब कुछ सही है। लेकिन सच में आपने बंटवारा कर लिया सभी अंश और सभी हर "ए" है। यदि आप केवल काट देने के आदी हैं, तो जल्दबाजी में आप अभिव्यक्ति में "ए" को काट सकते हैं

और इसे फिर से प्राप्त करें

जो कि सर्वथा असत्य होगा। क्योंकि यहाँ सभी"ए" पर अंश पहले से ही है सांझा नहीं किया! इस अंश को कम नहीं किया जा सकता. वैसे, ऐसी कमी, उम्म... शिक्षक के लिए एक गंभीर चुनौती है। यह माफ़ नहीं है! तुम्हे याद है? कम करते समय, आपको विभाजित करने की आवश्यकता है सभी अंश और सभी भाजक!

भिन्नों को कम करने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। आपको कहीं न कहीं एक अंश मिलेगा, उदाहरण के लिए 375/1000। अब मैं उसके साथ कैसे काम करना जारी रख सकता हूं? बिना कैलकुलेटर के? गुणा करें, कहें, जोड़ें, वर्ग करें!? और यदि आप बहुत आलसी नहीं हैं, और सावधानी से इसे पाँच से कम कर देते हैं, और पाँच से कम कर देते हैं, और यहाँ तक कि... जबकि इसे छोटा किया जा रहा है, संक्षेप में। आइए 3/8 प्राप्त करें! बहुत अच्छा, है ना?

भिन्न का मुख्य गुण आपको साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने और इसके विपरीत करने की अनुमति देता है बिना कैलकुलेटर के! यह एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, है ना?

भिन्नों को एक प्रकार से दूसरे प्रकार में कैसे परिवर्तित करें।

दशमलव भिन्नों के साथ सब कुछ सरल है। जैसा सुना जाता है, वैसा ही लिखा जाता है! मान लीजिए 0.25. यह शून्य दशमलव पच्चीस सौवाँ भाग है। तो हम लिखते हैं: 25/100। हम घटाते हैं (हम अंश और हर को 25 से विभाजित करते हैं), हमें सामान्य भिन्न मिलता है: 1/4। सभी। ऐसा होता है, और कुछ भी कम नहीं होता। जैसे 0.3. यह तीन दसवाँ भाग है, अर्थात्। 3/10.

यदि पूर्णांक शून्य नहीं हैं तो क्या होगा? कोई बात नहीं। हम पूर्ण अंश लिखते हैं बिना किसी अल्पविराम केअंश में, और हर में - जो सुना जाता है। उदाहरण के लिए: 3.17. यह तीन दशमलव सत्रह सौवाँ भाग है। हम अंश में 317 और हर में 100 लिखते हैं। हमें 317/100 प्राप्त होता है। कुछ भी कम नहीं हुआ, इसका मतलब सब कुछ है। यह उत्तर है. प्राथमिक वाटसन! जो कुछ कहा गया है, उससे एक उपयोगी निष्कर्ष: किसी भी दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदला जा सकता है .

लेकिन कुछ लोग कैलकुलेटर के बिना साधारण से दशमलव में उलटा रूपांतरण नहीं कर सकते। और यह जरूरी है! आप एकीकृत राज्य परीक्षा में उत्तर कैसे लिखेंगे!? ध्यान से पढ़ें और इस प्रक्रिया में महारत हासिल करें।

दशमलव भिन्न की विशेषता क्या है? उसका भाजक है हमेशालागत 10, या 100, या 1000, या 10000 इत्यादि। यदि आपके उभयनिष्ठ भिन्न का हर इस प्रकार है, तो कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, 4/10 = 0.4. या 7/100 = 0.07. या 12/10 = 1.2. यदि अनुभाग "बी" में कार्य का उत्तर 1/2 निकला तो क्या होगा? हम जवाब में क्या लिखेंगे? दशमलव आवश्यक है...

चलो याद करते हैं भिन्न का मुख्य गुण ! गणित अनुकूल रूप से आपको अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने की अनुमति देता है। कुछ भी, वैसे! बेशक, शून्य को छोड़कर। तो आइए इस संपत्ति का उपयोग अपने लाभ के लिए करें! हर को किससे गुणा किया जा सकता है, अर्थात 2 ताकि यह 10, या 100, या 1000 हो जाए (बेशक, छोटा बेहतर है...)? 5 बजे, ज़ाहिर है। बेझिझक हर को गुणा करें (यह है)। हमआवश्यक) 5 से। लेकिन फिर अंश को भी 5 से गुणा करना होगा। यह पहले से ही है अंक शास्त्रमाँग! हमें 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5 मिलता है। बस इतना ही।

हालाँकि, सभी प्रकार के भाजक सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, आपको भिन्न 3/16 मिलेगा। कोशिश करें और पता लगाएं कि 100 या 1000 बनाने के लिए 16 को किससे गुणा करें... क्या यह काम नहीं करता है? फिर आप आसानी से 3 को 16 से विभाजित कर सकते हैं। कैलकुलेटर की अनुपस्थिति में, आपको कागज के एक टुकड़े पर एक कोने से विभाजित करना होगा, जैसा कि वे प्राथमिक विद्यालय में पढ़ाते थे। हमें 0.1875 मिलता है।

और बहुत ख़राब भाजक भी हैं. उदाहरण के लिए, भिन्न 1/3 को अच्छे दशमलव में बदलने का कोई तरीका नहीं है। कैलकुलेटर और कागज के टुकड़े दोनों पर, हमें 0.3333333 मिलता है... इसका मतलब है कि 1/3 एक सटीक दशमलव अंश है अनुवाद नहीं करता. 1/7, 5/6 इत्यादि के समान। उनमें से कई ऐसे हैं जिनका अनुवाद नहीं किया जा सकता। यह हमें एक और उपयोगी निष्कर्ष पर लाता है। प्रत्येक भिन्न को दशमलव में नहीं बदला जा सकता !

वैसे, स्व-परीक्षण के लिए यह उपयोगी जानकारी है। अनुभाग "बी" में आपको अपने उत्तर में एक दशमलव अंश लिखना होगा। और आपको, उदाहरण के लिए, 4/3 मिला। यह भिन्न दशमलव में परिवर्तित नहीं होता. इसका मतलब है कि आपने रास्ते में कहीं न कहीं गलती की है! वापस जाएँ और समाधान की जाँच करें।

इसलिए, हमने साधारण और दशमलव भिन्नों का पता लगाया। जो कुछ बचा है वह मिश्रित संख्याओं से निपटना है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना होगा। इसे कैसे करना है? आप छठी कक्षा के विद्यार्थी को पकड़ कर उससे पूछ सकते हैं। लेकिन छठी कक्षा का विद्यार्थी हमेशा साथ नहीं रहेगा... आपको यह स्वयं करना होगा। यह मुश्किल नहीं है। आपको भिन्नात्मक भाग के हर को पूर्ण भाग से गुणा करना होगा और भिन्नात्मक भाग के अंश को जोड़ना होगा। यह सामान्य भिन्न का अंश होगा. हर के बारे में क्या? विभाजक वही रहेगा. यह जटिल लगता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ सरल है। आइए एक उदाहरण देखें.

मान लीजिए कि आप समस्या में संख्या देखकर भयभीत हो गए:

शांति से, बिना घबराहट के, हम सोचते हैं। सम्पूर्ण भाग 1. इकाई है। भिन्नात्मक भाग 3/7 है। अत: भिन्नात्मक भाग का हर 7 है। यह हर साधारण भिन्न का हर होगा। हम अंश को गिनते हैं। हम 7 को 1 (पूर्णांक भाग) से गुणा करते हैं और 3 (भिन्नात्मक भाग का अंश) जोड़ते हैं। हमें 10 मिलता है। यह एक सामान्य भिन्न का अंश होगा। बस इतना ही। गणितीय संकेतन में यह और भी सरल दिखता है:

यह स्पष्ट है? फिर अपनी सफलता सुरक्षित करें! साधारण भिन्नों में बदलें. आपको 10/7, 7/2, 23/10 और 21/4 मिलना चाहिए।

रिवर्स ऑपरेशन - एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना - हाई स्कूल में शायद ही कभी आवश्यक होता है। ठीक है, यदि ऐसा है... और यदि आप हाई स्कूल में नहीं हैं, तो आप विशेष धारा 555 पर गौर कर सकते हैं। वैसे, आप वहां अनुचित भिन्नों के बारे में भी जानेंगे।

ख़ैर, व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। आपने भिन्नों के प्रकार याद किये और समझे कैसे उन्हें एक प्रकार से दूसरे प्रकार में स्थानांतरित करें। प्रश्न बना हुआ है: किस लिए इसे करें? इस गहन ज्ञान को कहाँ और कब लागू करें?

मेरे द्वारा जवाब दिया जाता है। कोई भी उदाहरण स्वयं ही आवश्यक कार्यवाही का सुझाव देता है। यदि उदाहरण में साधारण भिन्न, दशमलव और यहां तक ​​कि मिश्रित संख्याओं को एक साथ मिलाया जाता है, तो हम हर चीज़ को साधारण भिन्न में बदल देते हैं। यह हमेशा किया जा सकता है. खैर, अगर यह 0.8 + 0.3 जैसा कुछ कहता है, तो हम इसे बिना किसी अनुवाद के उसी तरह गिनते हैं। हमें अतिरिक्त कार्य की आवश्यकता क्यों है? हम वह समाधान चुनते हैं जो सुविधाजनक हो हम !

यदि कार्य सभी दशमलव भिन्नों का है, लेकिन उम... कुछ प्रकार के बुरे अंश हैं, तो सामान्य अंशों पर जाएँ और इसे आज़माएँ! देखिए, सब ठीक हो जाएगा. उदाहरण के लिए, आपको संख्या 0.125 का वर्ग करना होगा। यदि आपको कैलकुलेटर का उपयोग करने की आदत नहीं है तो यह इतना आसान नहीं है! आपको न केवल किसी कॉलम में संख्याओं को गुणा करना है, बल्कि आपको यह भी सोचना है कि अल्पविराम कहाँ लगाना है! यह निश्चित रूप से आपके दिमाग में काम नहीं करेगा! यदि हम एक साधारण भिन्न की ओर बढ़ें तो क्या होगा?

0.125 = 125/1000. हम इसे 5 से कम करते हैं (यह शुरुआत करने वालों के लिए है)। हमें 25/200 मिलते हैं। एक बार फिर 5 से हमें 5/40 मिलता है। ओह, यह अभी भी सिकुड़ रहा है! 5 पर वापस! हमें 1/8 मिलता है. हम इसे आसानी से वर्गित कर सकते हैं (अपने दिमाग में!) और 1/64 प्राप्त कर सकते हैं। सभी!

आइए इस पाठ को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

1. भिन्न तीन प्रकार के होते हैं। सामान्य, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ।

2. दशमलव एवं मिश्रित संख्याएँ हमेशासाधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है। उलटा स्थानांतरण हमेशा नहींउपलब्ध।

3. किसी कार्य पर काम करने के लिए भिन्नों के प्रकार का चुनाव कार्य पर ही निर्भर करता है। यदि एक ही कार्य में विभिन्न प्रकार के भिन्न हों, तो सबसे विश्वसनीय बात साधारण भिन्नों पर स्विच करना है।

अब आप अभ्यास कर सकते हैं. सबसे पहले, इन दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

आपको इस तरह उत्तर मिलना चाहिए (अव्यवस्था में!):

आइए यहीं समाप्त करें। इस पाठ में हमने भिन्नों के बारे में मुख्य बिंदुओं पर अपनी स्मृति ताज़ा की। हालाँकि, ऐसा होता है कि ताज़ा करने के लिए कुछ खास नहीं है...) यदि कोई पूरी तरह से भूल गया है, या अभी तक इसमें महारत हासिल नहीं कर पाया है... तो आप एक विशेष धारा 555 पर जा सकते हैं। वहां सभी बुनियादी बातों को विस्तार से शामिल किया गया है। कई अचानक सब समज गयाशुरू कर रहे हैं. और वे तुरंत भिन्नों को हल कर देते हैं)।

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सामान्य अंश

क्वार्टरों

1. सुव्यवस्था. एऔर बीएक नियम है जो किसी को उनके बीच तीन संबंधों में से एक और केवल एक को विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है: "< », « >" या " = ". इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर इस प्रकार तैयार किया गया है: दो गैर-नकारात्मक संख्याएं और दो पूर्णांक और के समान संबंध से संबंधित हैं; दो गैर-सकारात्मक संख्याएँ एऔर बीदो गैर-नकारात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक एगैर-नकारात्मक, लेकिन बी- फिर नकारात्मक ए > बी. शैली = "अधिकतम-चौड़ाई: 98%; ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;" src='/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png' border='0'>

   

   भिन्न जोड़ना

2. अतिरिक्त कार्रवाई.किसी भी तर्कसंगत संख्या के लिए एऔर बीवहाँ एक तथाकथित है योग नियम सी. इसके अलावा, संख्या ही सीबुलाया मात्रानंबर एऔर बीतथा द्वारा निरूपित किया जाता है, तथा ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है योग. योग नियम का निम्नलिखित रूप है: .
3. गुणन संक्रिया.किसी भी तर्कसंगत संख्या के लिए एऔर बीवहाँ एक तथाकथित है गुणन नियम, जो उन्हें कुछ तर्कसंगत संख्या प्रदान करता है सी. इसके अलावा, संख्या ही सीबुलाया कामनंबर एऔर बीतथा द्वारा निरूपित किया जाता है तथा ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया भी कहलाती है गुणा. गुणन नियम इस प्रकार दिखता है: .
4. आदेश संबंध की परिवर्तनशीलता.परिमेय संख्याओं के किसी त्रिक के लिए ए , बीऔर सीअगर एकम बीऔर बीकम सी, वह एकम सी, और अगर एके बराबर होती है बीऔर बीके बराबर होती है सी, वह एके बराबर होती है सी. 6435">जोड़ की क्रमविनिमेयता। तर्कसंगत पदों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।
5. जोड़ की संबद्धता.तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ने का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
6. शून्य की उपस्थिति.एक परिमेय संख्या 0 है जो जोड़ने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
7. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति.किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसे जोड़ने पर 0 आता है।
8. गुणन की क्रमविनिमेयता.तर्कसंगत कारकों के स्थान बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
9. गुणन की साहचर्यता.जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
10. यूनिट की उपलब्धता.एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
11. पारस्परिक संख्याओं की उपस्थिति.किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
12. जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणशीलता।गुणन संक्रिया को वितरण नियम के माध्यम से जोड़ संक्रिया के साथ समन्वित किया जाता है:
13. जोड़ की संक्रिया के साथ आदेश संबंध का संबंध।एक ही तर्कसंगत संख्या को तर्कसंगत असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में जोड़ा जा सकता है। अधिकतम-चौड़ाई: 98%; ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;" src='/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png' border='0'>
14. आर्किमिडीज़ का अभिगृहीत.परिमेय संख्या जो भी हो ए, आप इतनी अधिक इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाए ए. शैली = "अधिकतम-चौड़ाई: 98%; ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;" src='/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png' border='0'>

अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में प्रतिष्ठित नहीं किया जाता है, क्योंकि, आम तौर पर बोलते हुए, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे कुछ गणितीय वस्तु की परिभाषा के आधार पर सिद्ध किए जा सकते हैं। . ऐसी बहुत सारी अतिरिक्त संपत्तियां हैं. उनमें से केवल कुछ को ही यहां सूचीबद्ध करना उचित होगा।

शैली='अधिकतम-चौड़ाई: 98%; ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;' src='/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png' border='0'>

एक सेट की गणनीयता

तर्कसंगत संख्याओं की संख्या

परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको उनके सेट की प्रमुखता ज्ञात करनी होगी। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। ऐसा करने के लिए, एक एल्गोरिदम देना पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं की गणना करता है, यानी, तर्कसंगत और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बीच एक विभाजन स्थापित करता है।

इनमें से सबसे सरल एल्गोरिदम इस तरह दिखता है। प्रत्येक पर साधारण भिन्नों की एक अंतहीन तालिका संकलित की गई है मैं-प्रत्येक में पंक्ति जेवह स्तम्भ जिसमें भिन्न स्थित है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से शुरू करके क्रमांकित किया गया है। तालिका कक्षों को , द्वारा दर्शाया जाता है मैं- तालिका पंक्ति की संख्या जिसमें सेल स्थित है, और जे- कॉलम नंबर.

परिणामी तालिका को निम्नलिखित औपचारिक एल्गोरिदम के अनुसार "साँप" का उपयोग करके पार किया जाता है।

इन नियमों को ऊपर से नीचे तक खोजा जाता है और पहले मैच के आधार पर अगली स्थिति का चयन किया जाता है।

ऐसे ट्रैवर्सल की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या किसी अन्य प्राकृतिक संख्या से जुड़ी होती है। अर्थात्, भिन्न 1/1 को संख्या 1, भिन्न 2/1 को संख्या 2, आदि को सौंपा गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल अप्रासंगिक भिन्नों को क्रमांकित किया जाता है। अपरिवर्तनीयता का एक औपचारिक संकेत यह है कि भिन्न के अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक के बराबर होता है।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करके, हम सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकते हैं। इसका अर्थ यह है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। प्रत्येक परिमेय संख्या को इसके विपरीत निर्दिष्ट करके सकारात्मक और नकारात्मक परिमेय संख्याओं के सेट के बीच एक आक्षेप स्थापित करना आसान है। वह। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय है। उनका संघ भी गणनीय समुच्चय के गुण से गणनीय है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक परिमित समुच्चय के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गणनीय होता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ भ्रम पैदा कर सकता है, क्योंकि पहली नज़र में ऐसा लगता है कि यह प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से कहीं अधिक व्यापक है। वास्तव में, ऐसा नहीं है और सभी परिमेय संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

तर्कसंगत संख्याओं का अभाव

ऐसे त्रिभुज के कर्ण को किसी परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता

प्रपत्र 1 की तर्कसंगत संख्या / एनअत्याधिक एनमनमाने ढंग से छोटी मात्राएँ मापी जा सकती हैं। यह तथ्य यह भ्रामक धारणा पैदा करता है कि तर्कसंगत संख्याओं का उपयोग किसी भी ज्यामितीय दूरी को मापने के लिए किया जा सकता है। यह दिखाना आसान है कि यह सच नहीं है।

पाइथागोरस प्रमेय से हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण उसके पैरों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में व्यक्त किया जाता है। वह। एक इकाई पैर वाले समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई बराबर होती है, अर्थात वह संख्या जिसका वर्ग 2 है।

यदि हम मान लें कि किसी संख्या को किसी परिमेय संख्या द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो ऐसा एक पूर्णांक होता है एमऔर ऐसी प्राकृतिक संख्या एन, वह , और भिन्न अघुलनशील है, अर्थात संख्याएँ एमऔर एन- परस्पर सरल.

तो अगर , अर्थात। एम 2 = 2एन 2. इसलिए, संख्या एम 2 सम है, लेकिन दो विषम संख्याओं का गुणनफल विषम है, जिसका अर्थ है कि संख्या ही एमभी. तो एक प्राकृतिक संख्या है क, जैसे कि संख्या एमरूप में प्रस्तुत किया जा सकता है एम = 2क. संख्या वर्ग एमकिस अर्थ में एम 2 = 4क 2, लेकिन दूसरी ओर एम 2 = 2एन 2 का मतलब 4 है क 2 = 2एन 2, या एन 2 = 2क 2. जैसा कि पहले संख्या के लिए दिखाया गया है एम, इसका मतलब है कि संख्या एन- जैसे भी एम. लेकिन फिर वे अपेक्षाकृत प्रधान नहीं हैं, क्योंकि दोनों द्विभाजित हैं। परिणामी विरोधाभास साबित करता है कि यह एक परिमेय संख्या नहीं है।

सभी विज्ञानों की रानी - गणित का अध्ययन करते समय, किसी न किसी बिंदु पर हर किसी का सामना भिन्नों से होता है। हालाँकि यह अवधारणा (जैसे स्वयं भिन्नों के प्रकार या उनके साथ गणितीय संक्रियाएँ) बिल्कुल भी जटिल नहीं है, आपको इसका सावधानी से इलाज करने की आवश्यकता है, क्योंकि स्कूल के बाहर वास्तविक जीवन में यह बहुत उपयोगी होगा। तो, आइए भिन्नों के बारे में अपने ज्ञान को ताज़ा करें: वे क्या हैं, वे किस लिए हैं, वे किस प्रकार के हैं और उनके साथ विभिन्न अंकगणितीय ऑपरेशन कैसे करें।

महामहिम अंश: यह क्या है

गणित में, भिन्न संख्याएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक में एक इकाई के एक या अधिक भाग होते हैं। ऐसे भिन्नों को साधारण या सरल भी कहा जाता है। एक नियम के रूप में, उन्हें दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है जो एक क्षैतिज या स्लैश रेखा से अलग होती हैं, इसे "फ्रैक्शनल" रेखा कहा जाता है। उदाहरण के लिए: ½, ¾.
इन संख्याओं में ऊपरी, या पहला, अंश है (यह दर्शाता है कि संख्या से कितने भाग लिए गए हैं), और निचला, या दूसरा, हर है (यह दर्शाता है कि इकाई को कितने भागों में विभाजित किया गया है)।
भिन्न पट्टी वास्तव में विभाजन चिह्न के रूप में कार्य करती है। उदाहरण के लिए, 7:9=7/9
परंपरागत रूप से, सामान्य भिन्न एक से कम होते हैं। जबकि दशमलव इससे बड़ा हो सकता है.

भिन्न किस लिए हैं? हाँ, हर चीज़ के लिए, क्योंकि वास्तविक दुनिया में, सभी संख्याएँ पूर्णांक नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, कैफेटेरिया में दो स्कूली छात्राओं ने मिलकर एक स्वादिष्ट चॉकलेट बार खरीदा। जब वे मिठाई बाँटने वाले थे, तो उनकी मुलाकात एक दोस्त से हुई और उन्होंने उसे भी मिठाई खिलाने का फैसला किया। हालाँकि, अब चॉकलेट बार को सही ढंग से विभाजित करना आवश्यक है, यह देखते हुए कि इसमें 12 वर्ग हैं।
सबसे पहले, लड़कियाँ सब कुछ समान रूप से विभाजित करना चाहती थीं, और फिर प्रत्येक को चार टुकड़े मिलते थे। लेकिन, इस पर विचार करने के बाद, उन्होंने अपने दोस्त को चॉकलेट का 1/3 नहीं, बल्कि 1/4 हिस्सा देने का फैसला किया। और चूंकि स्कूली छात्राओं ने भिन्नों का अच्छी तरह से अध्ययन नहीं किया, इसलिए उन्होंने इस बात पर ध्यान नहीं दिया कि ऐसी स्थिति में उनके पास 9 टुकड़े रह जाएंगे, जिन्हें दो में विभाजित करना बहुत मुश्किल है। यह काफी सरल उदाहरण दिखाता है कि किसी संख्या का एक भाग सही ढंग से ढूंढने में सक्षम होना कितना महत्वपूर्ण है। लेकिन जिंदगी में ऐसे और भी कई मामले आते हैं।

भिन्नों के प्रकार: साधारण और दशमलव

सभी गणितीय भिन्नों को दो बड़ी श्रेणियों में विभाजित किया गया है: साधारण और दशमलव। उनमें से पहले की विशेषताओं का वर्णन पिछले पैराग्राफ में किया गया था, इसलिए अब दूसरे पर ध्यान देना उचित है।
दशमलव किसी संख्या के अंश का एक स्थितिगत अंकन है, जिसे बिना किसी डैश या स्लैश के, अल्पविराम से अलग करके लिखा जाता है। उदाहरण के लिए: 0.75, 0.5.
वास्तव में, एक दशमलव भिन्न एक साधारण भिन्न के समान होता है, हालाँकि, इसका हर हमेशा एक होता है और उसके बाद शून्य होता है - इसलिए इसका नाम।
अल्पविराम से पहले की संख्या एक पूर्णांक भाग है, और उसके बाद की सभी संख्या एक भिन्न है। किसी भी साधारण भिन्न को दशमलव में बदला जा सकता है। इस प्रकार, पिछले उदाहरण में दर्शाए गए दशमलव अंशों को हमेशा की तरह लिखा जा सकता है: ¾ और ½।
यह ध्यान देने योग्य है कि दशमलव और साधारण भिन्न दोनों ही धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं। यदि उनके पहले "-" चिह्न है, तो यह भिन्न ऋणात्मक है, यदि "+" एक धनात्मक भिन्न है।

साधारण भिन्नों के उपप्रकार

इस प्रकार के सरल भिन्न होते हैं।

सही। उनका अंश मान सदैव हर से कम होता है। उदाहरण के लिए: 7/8. यह एक उचित भिन्न है क्योंकि अंश 7, हर 8 से छोटा है। अनुचित। ऐसे भिन्नों में, या तो अंश और हर एक दूसरे के बराबर होते हैं (8/8), या निचली संख्या का मान ऊपरी संख्या (9/8) से कम होता है। मिश्रित। यह पूर्णांक के साथ लिखे गए उचित भिन्न का नाम है: 8 ½। इसे इस संख्या और भिन्न के योग के रूप में समझा जाता है। वैसे, किसी अनुचित भिन्न को उसके स्थान पर प्रदर्शित करना काफी आसान है। ऐसा करने के लिए, 8 को 16/2+1/2=17/2 के रूप में लिखना होगा। समग्र। जैसा कि नाम से पता चलता है, इनमें कई भिन्नात्मक रेखाएँ शामिल हैं: ½ / ¾। रिड्यूसिबल / इर्रिड्यूसिबल। इनमें उचित और अनुचित दोनों भिन्न शामिल हो सकते हैं। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित किया जा सकता है या नहीं। उदाहरण के लिए, 6/9 एक कम करने योग्य अंश है, क्योंकि इसके दोनों घटकों को 3 से विभाजित किया जा सकता है और परिणाम 2/3 होता है। लेकिन 7/9 अघुलनशील है, क्योंकि 7 और 9 अभाज्य संख्याएँ हैं जिनका कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है और इन्हें घटाया नहीं जा सकता।

दशमलव भिन्न के उपप्रकार

एक साधारण भिन्न के विपरीत, एक दशमलव भिन्न को केवल 2 प्रकारों में विभाजित किया जाता है।

परिमित - इसे यह नाम इस तथ्य के कारण मिला है कि दशमलव बिंदु के बाद इसमें अंकों की एक सीमित (सीमित) संख्या होती है: 19.25। एक अनंत भिन्न एक संख्या होती है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की अनंत संख्या होती है। उदाहरण के लिए, 10 को 3 से विभाजित करने पर, परिणाम एक अनंत भिन्न 3.333 होगा...

भिन्न जोड़ना

भिन्नों के साथ विभिन्न अंकगणितीय जोड़-तोड़ करना सामान्य संख्याओं की तुलना में थोड़ा अधिक कठिन है। हालाँकि, यदि आप बुनियादी नियमों को समझते हैं, तो उनके साथ किसी भी उदाहरण को हल करना मुश्किल नहीं होगा।
इसलिए, भिन्नों को एक साथ जोड़ने के लिए, सबसे पहले, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि दोनों पदों के हर समान हों। ऐसा करने के लिए, आपको वह सबसे छोटी संख्या ढूंढनी होगी जिसे सारांश के हरों में बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जा सके।
उदाहरण के लिए: 2/3+3/4. उनके लिए लघुत्तम समापवर्तक 12 होगा, इसलिए यह आवश्यक है कि यह संख्या प्रत्येक हर में हो। ऐसा करने के लिए, हम पहले अंश के अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं, यह 8/12 निकलता है, हम दूसरे पद के साथ भी ऐसा ही करते हैं, लेकिन केवल 3 - 9/12 से गुणा करते हैं। अब आप उदाहरण को आसानी से हल कर सकते हैं: 8/12+9/12= 17/12। परिणामी भिन्न एक गलत मान है क्योंकि अंश हर से बड़ा है। इसे 17:12 = 1 और 5/12 से विभाजित करके सही मिश्रित में परिवर्तित किया जा सकता है और किया जाना चाहिए।
जब मिश्रित भिन्नों को जोड़ा जाता है, तो संचालन पहले पूर्ण संख्याओं के साथ किया जाता है, और फिर भिन्नों के साथ किया जाता है।
यदि उदाहरण में एक दशमलव भिन्न और एक नियमित भिन्न है, तो दोनों को सरल बनाना आवश्यक है, फिर उन्हें एक ही हर में लाएँ और जोड़ें। उदाहरण के लिए 3.1+1/2. संख्या 3.1 को 3 और 1/10 के मिश्रित भिन्न के रूप में या अनुचित भिन्न - 31/10 के रूप में लिखा जा सकता है। पदों का सामान्य हर 10 होगा, इसलिए आपको 1/2 के अंश और हर को बारी-बारी से 5 से गुणा करना होगा, आपको 5/10 मिलेगा। फिर आप आसानी से हर चीज़ की गणना कर सकते हैं: 31/10+5/10=35/10। प्राप्त परिणाम एक अनुचित कम करने योग्य अंश है, हम इसे सामान्य रूप में लाते हैं, इसे 5: 7/2 = 3 और 1/2, या दशमलव - 3.5 तक कम करते हैं।
2 दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, यह महत्वपूर्ण है कि दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान हो। यदि यह मामला नहीं है, तो आपको बस शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ने की आवश्यकता है, क्योंकि दशमलव अंश में यह दर्द रहित तरीके से किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3.5+3.005. इस समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले नंबर में 2 शून्य जोड़ने होंगे और फिर एक-एक करके जोड़ना होगा: 3.500+3.005=3.505।

भिन्नों को घटाना

भिन्नों को घटाते समय, आपको वही करना चाहिए जो जोड़ते समय करते हैं: एक सामान्य हर में घटाएँ, एक अंश को दूसरे से घटाएँ, और, यदि आवश्यक हो, तो परिणाम को मिश्रित भिन्न में बदलें।
उदाहरण के लिए: 16/20-5/10. उभयनिष्ठ हर 20 होगा। आपको इसके दोनों भागों को 2 से गुणा करके इस हर में दूसरा अंश लाना होगा, आपको 10/20 मिलेगा। अब आप उदाहरण हल कर सकते हैं: 16/20-10/20= 6/20। हालाँकि, यह परिणाम कम करने योग्य भिन्नों पर लागू होता है, इसलिए दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करना उचित है और परिणाम 3/10 है।

भिन्नों को गुणा करना

भिन्नों को विभाजित करना और गुणा करना जोड़ और घटाव की तुलना में बहुत सरल कार्य हैं। तथ्य यह है कि इन कार्यों को करते समय किसी सामान्य भाजक की तलाश करने की आवश्यकता नहीं होती है।
भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको बस दोनों अंशों को एक-एक करके गुणा करना होगा, और फिर दोनों हरों को। यदि अंश एक कम करने योग्य मात्रा है तो परिणामी परिणाम को कम करें।

उदाहरण के लिए: 4/9x5/8. वैकल्पिक गुणन के बाद, परिणाम 4x5/9x8=20/72 है। इस भिन्न को 4 से कम किया जा सकता है, इसलिए उदाहरण में अंतिम उत्तर 5/18 है।

भिन्नों को कैसे विभाजित करें

भिन्नों को विभाजित करना भी एक सरल ऑपरेशन है; वास्तव में, यह अभी भी उन्हें गुणा करने के लिए आता है। एक भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको दूसरे को उल्टा करना होगा और पहले से गुणा करना होगा।

उदाहरण के लिए, भिन्नों को 5/19 और 5/7 से विभाजित करना। उदाहरण को हल करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के हर और अंश को बदलना होगा और गुणा करना होगा: 5/19x7/5=35/95। परिणाम को 5 से कम किया जा सकता है - यह 7/19 निकलता है।
यदि आपको किसी भिन्न को अभाज्य संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो तकनीक थोड़ी अलग है। प्रारंभ में, आपको इस संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखना चाहिए, और फिर उसी योजना के अनुसार विभाजित करना चाहिए। उदाहरण के लिए, 2/13:5 को 2/13:5/1 के रूप में लिखा जाना चाहिए। अब आपको 5/1 को पलटना होगा और परिणामी भिन्नों को गुणा करना होगा: 2/13x1/5= 2/65।
कभी-कभी आपको मिश्रित भिन्नों को विभाजित करना पड़ता है। आपको उनके साथ वैसा ही व्यवहार करना होगा जैसा आप पूर्ण संख्याओं के साथ करते हैं: उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलें, भाजक को उल्टा करें और सभी को गुणा करें। उदाहरण के लिए, 8 ½: 3. सभी चीज़ों को अनुचित भिन्नों में बदलें: 17/2: 3/1। इसके बाद 3/1 फ्लिप और गुणन होता है: 17/2x1/3= 17/6। अब आपको अनुचित भिन्न को सही भिन्न में बदलने की आवश्यकता है - 2 पूर्णांक और 5/6।
इसलिए, यह पता लगाने के बाद कि भिन्न क्या हैं और आप उनके साथ विभिन्न अंकगणितीय ऑपरेशन कैसे कर सकते हैं, आपको इसके बारे में न भूलने की कोशिश करने की आवश्यकता है। आख़िरकार, लोग हमेशा किसी चीज़ को जोड़ने के बजाय भागों में विभाजित करने के लिए अधिक इच्छुक होते हैं, इसलिए आपको इसे सही ढंग से करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

प्राथमिक विद्यालय में पहले से ही, छात्रों को भिन्नों का सामना करना पड़ता है। और फिर वे हर विषय में दिखाई देते हैं। आप इन नंबरों के साथ कार्यों को नहीं भूल सकते। इसलिए, आपको साधारण और दशमलव भिन्नों के बारे में सारी जानकारी जानना आवश्यक है। ये अवधारणाएँ जटिल नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि हर चीज़ को क्रम से समझना है।

भिन्नों की आवश्यकता क्यों है?

हमारे चारों ओर की दुनिया संपूर्ण वस्तुओं से बनी है। इसलिए, शेयरों की कोई आवश्यकता नहीं है. लेकिन रोजमर्रा की जिंदगी लगातार लोगों को वस्तुओं और चीजों के हिस्सों के साथ काम करने के लिए प्रेरित करती है।

उदाहरण के लिए, चॉकलेट में कई टुकड़े होते हैं। ऐसी स्थिति पर विचार करें जहां उसकी टाइल बारह आयतों से बनी है। यदि आप इसे दो भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 6 भाग मिलते हैं। इसे आसानी से तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है। लेकिन पांच लोगों को पूरी संख्या में चॉकलेट के टुकड़े देना संभव नहीं होगा।

वैसे, ये टुकड़े पहले से ही भिन्न हैं। और उनके आगे के विभाजन से अधिक जटिल संख्याएँ सामने आती हैं।

"अंश" क्या है?

यह एक इकाई के भागों से बनी संख्या है। बाह्य रूप से, यह क्षैतिज या स्लैश द्वारा अलग की गई दो संख्याओं जैसा दिखता है। इस विशेषता को भिन्नात्मक कहा जाता है। सबसे ऊपर (बायीं ओर) लिखी संख्या को अंश कहा जाता है। नीचे (दाएं) जो है वह हर है।

मूलतः, स्लैश एक विभाजन चिन्ह बन जाता है। अर्थात् अंश को भाज्य और हर को भाजक कहा जा सकता है।

वहां कौन-कौन से भिन्न हैं?

गणित में केवल दो प्रकार होते हैं: साधारण और दशमलव भिन्न। स्कूली बच्चे प्राथमिक विद्यालय में सबसे पहले भिन्नों से परिचित होते हैं, उन्हें बस "अंश" कहते हैं। बाद वाला 5वीं कक्षा में सीखा जाएगा। तभी ये नाम सामने आते हैं.

सामान्य भिन्न वे सभी भिन्न हैं जिन्हें एक रेखा से अलग की गई दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 4/7. दशमलव एक संख्या है जिसमें भिन्नात्मक भाग में एक स्थितीय अंकन होता है और इसे पूर्ण संख्या से अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 4.7. छात्रों को यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि दिए गए दो उदाहरण पूरी तरह से अलग-अलग संख्याएँ हैं।

प्रत्येक साधारण भिन्न को दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। यह कथन लगभग हमेशा विपरीत रूप से सत्य होता है। ऐसे नियम हैं जो आपको दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न के रूप में लिखने की अनुमति देते हैं।

इस प्रकार के भिन्नों के क्या उपप्रकार होते हैं?

कालानुक्रमिक क्रम में शुरू करना बेहतर है, क्योंकि उनका अध्ययन किया जाता है। सामान्य भिन्न पहले आते हैं। उनमें से, 5 उप-प्रजातियों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

सही। इसका अंश सदैव हर से छोटा होता है।

गलत। इसका अंश इसके हर से बड़ा या उसके बराबर है।

कम करने योग्य/अघुलनशील। यह या तो सही या ग़लत हो सकता है। एक और महत्वपूर्ण बात यह है कि क्या अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हैं। यदि हैं तो भिन्न के दोनों भागों को उनसे विभाजित करना अर्थात् घटाना आवश्यक है।

मिश्रित। एक पूर्णांक को इसके सामान्य नियमित (अनियमित) भिन्नात्मक भाग को सौंपा गया है। इसके अलावा, यह हमेशा बाईं ओर होता है।

समग्र. यह दो भिन्नों को एक दूसरे से विभाजित करने पर बनता है। अर्थात् इसमें एक साथ तीन भिन्नात्मक रेखाएँ होती हैं।

दशमलव भिन्नों के केवल दो उपप्रकार होते हैं:

परिमित, अर्थात जिसका भिन्नात्मक भाग सीमित है (जिसका अंत है);

अनंत - एक संख्या जिसके अंक दशमलव बिंदु के बाद समाप्त नहीं होते (उन्हें अंतहीन रूप से लिखा जा सकता है)।

दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह एक सीमित संख्या है, तो नियम के आधार पर एक जुड़ाव लागू किया जाता है - जैसा मैं सुनता हूं, वैसा ही लिखता हूं। यानी, आपको इसे सही ढंग से पढ़ने और लिखने की ज़रूरत है, लेकिन अल्पविराम के बिना, लेकिन एक भिन्नात्मक पट्टी के साथ।

आवश्यक हर के बारे में संकेत के रूप में, आपको यह याद रखना होगा कि यह हमेशा एक और कई शून्य होता है। आपको उत्तरार्द्ध में से उतने ही लिखने की आवश्यकता है जितने कि प्रश्न में संख्या के भिन्नात्मक भाग में अंक हैं।

दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में कैसे परिवर्तित करें यदि उनका पूर्णांक भाग गायब है, अर्थात शून्य के बराबर है? उदाहरण के लिए, 0.9 या 0.05. निर्दिष्ट नियम को लागू करने के बाद, यह पता चलता है कि आपको शून्य पूर्णांक लिखने की आवश्यकता है। लेकिन इसका संकेत नहीं दिया गया है. जो कुछ बचा है वह भिन्नात्मक भागों को लिखना है। पहली संख्या का हर 10 होगा, दूसरे का हर 100 होगा। यानी, दिए गए उदाहरणों में उत्तर के रूप में निम्नलिखित संख्याएँ होंगी: 9/10, 5/100। इसके अलावा, यह पता चला है कि बाद वाले को 5 से कम किया जा सकता है। इसलिए, इसका परिणाम 1/20 के रूप में लिखा जाना चाहिए।

यदि किसी दशमलव अंश का पूर्णांक भाग शून्य से भिन्न है तो आप उसे साधारण भिन्न में कैसे परिवर्तित कर सकते हैं? उदाहरण के लिए, 5.23 या 13.00108. दोनों उदाहरणों में पूरा भाग पढ़ा जाता है और उसका मान लिखा जाता है। पहले मामले में यह 5 है, दूसरे में यह 13 है। फिर आपको भिन्नात्मक भाग पर आगे बढ़ने की जरूरत है। उनके साथ भी यही ऑपरेशन किया जाना है। पहला नंबर 23/100 दिखाई देता है, दूसरा - 108/100000। दूसरे मान को फिर से कम करने की जरूरत है। उत्तर निम्नलिखित मिश्रित भिन्न देता है: 5 23/100 और 13 27/25000।

अनंत दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह गैर-आवधिक है, तो ऐसा ऑपरेशन संभव नहीं होगा। यह तथ्य इस तथ्य के कारण है कि प्रत्येक दशमलव अंश हमेशा या तो एक परिमित या आवधिक भिन्न में परिवर्तित हो जाता है।

ऐसे भिन्न के साथ आप केवल इतना ही कर सकते हैं कि उसे गोल कर लें। लेकिन तब दशमलव लगभग उस अनंत के बराबर होगा। इसे पहले से ही सामान्य में बदला जा सकता है। लेकिन विपरीत प्रक्रिया: दशमलव में परिवर्तित करने से कभी भी प्रारंभिक मान नहीं मिलेगा। अर्थात् अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जाता है। इसे याद रखने की जरूरत है.

एक अनंत आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में कैसे लिखें?

इन संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद हमेशा एक या अधिक अंक होते हैं जिन्हें दोहराया जाता है। इन्हें काल कहा जाता है. उदाहरण के लिए, 0.3(3). यहाँ "3" आवर्त में है। उन्हें तर्कसंगत के रूप में वर्गीकृत किया गया है क्योंकि उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है।

जिन लोगों ने आवधिक भिन्नों का सामना किया है वे जानते हैं कि वे शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। पहले मामले में, अवधि तुरंत अल्पविराम से शुरू होती है। दूसरे में, भिन्नात्मक भाग कुछ संख्याओं से शुरू होता है, और फिर दोहराव शुरू होता है।

वह नियम जिसके द्वारा आपको एक अनंत दशमलव को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखना होगा, संकेतित दो प्रकार की संख्याओं के लिए भिन्न होगा। शुद्ध आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखना काफी आसान है। परिमित लोगों की तरह, उन्हें परिवर्तित करने की आवश्यकता है: अंश में अवधि लिखें, और हर संख्या 9 होगी, जिसे अवधि में अंकों की संख्या जितनी बार दोहराया जाएगा।

उदाहरण के लिए, 0,(5). संख्या में पूर्णांक भाग नहीं है, इसलिए आपको तुरंत भिन्नात्मक भाग से शुरुआत करने की आवश्यकता है। अंश के रूप में 5 और हर के रूप में 9 लिखें। यानी उत्तर भिन्न 5/9 होगा।

मिश्रित साधारण दशमलव आवर्त भिन्न को लिखने का नियम।

अवधि की लंबाई देखें. हर में कितने 9 होंगे।

हर को लिखें: पहले नौ, फिर शून्य।

अंश निर्धारित करने के लिए, आपको दो संख्याओं का अंतर लिखना होगा। दशमलव बिंदु के बाद की सभी संख्याएँ, अवधि सहित, छोटी कर दी जाएंगी। कटौती योग्य - यह बिना किसी अवधि के है।

उदाहरण के लिए, 0.5(8) - आवधिक दशमलव भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखें। अवधि से पहले भिन्नात्मक भाग में एक अंक होता है। तो एक शून्य होगा. आवर्त में भी एक ही संख्या है - 8. अर्थात् नौ ही एक है। यानी आपको हर में 90 लिखना होगा.

अंश निर्धारित करने के लिए, आपको 58 में से 5 घटाना होगा। परिणाम 53 होगा। उदाहरण के लिए, आपको उत्तर 53/90 लिखना होगा।

भिन्नों को दशमलव में कैसे बदला जाता है?

सबसे सरल विकल्प एक संख्या है जिसका हर संख्या 10, 100, आदि है। फिर हर को आसानी से हटा दिया जाता है, और भिन्नात्मक और पूर्णांक भागों के बीच एक अल्पविराम लगा दिया जाता है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब हर आसानी से 10, 100 आदि में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5, 20, 25। उन्हें क्रमशः 2, 5 और 4 से गुणा करना पर्याप्त है। आपको बस हर को ही नहीं, बल्कि अंश को भी उसी संख्या से गुणा करना होगा।

अन्य सभी मामलों के लिए, एक सरल नियम उपयोगी है: अंश को हर से विभाजित करें। इस मामले में, आपको दो संभावित उत्तर मिल सकते हैं: एक परिमित या एक आवधिक दशमलव अंश।

साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ

जोड़ना और घटाना

छात्र दूसरों की तुलना में उनसे पहले परिचित हो जाते हैं। इसके अलावा, पहले भिन्नों के हर समान होते हैं, और फिर उनके अलग-अलग होते हैं। इस योजना में सामान्य नियमों को कम किया जा सकता है।

हरों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

सभी साधारण भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणनखंड लिखें।

अंश और हर को उनके लिए निर्दिष्ट कारकों से गुणा करें।

भिन्नों के अंशों को जोड़ें (घटाएँ) और उभयनिष्ठ हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

यदि मीनूएंड का अंश उपट्रेंड से कम है, तो हमें यह पता लगाना होगा कि क्या हमारे पास मिश्रित संख्या है या उचित भिन्न है।

पहले मामले में, आपको पूरे हिस्से में से एक उधार लेना होगा। भिन्न के अंश में हर जोड़ें। और फिर घटाव करो.

दूसरे में छोटी संख्या में से बड़ी संख्या घटाने का नियम लागू करना आवश्यक है। यानी सबट्रेंड के मॉड्यूल से मीनूएंड के मॉड्यूल को घटाएं और जवाब में "-" चिन्ह लगाएं।

जोड़ (घटाने) के परिणाम को ध्यान से देखिये। यदि आपको अनुचित भिन्न मिलता है, तो आपको संपूर्ण भाग का चयन करना होगा। अर्थात् अंश को हर से भाग दें।

गुणन और भाग

उन्हें निष्पादित करने के लिए भिन्नों को एक सामान्य हर में बदलने की आवश्यकता नहीं है। इससे कार्रवाई करना आसान हो जाता है. लेकिन फिर भी उनसे अपेक्षा की जाती है कि आप नियमों का पालन करें।

भिन्नों को गुणा करते समय, आपको अंश और हर में संख्याओं को देखना होगा। यदि किसी अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो उन्हें कम किया जा सकता है।

अंशों को गुणा करें.

हरों को गुणा करें.

यदि परिणाम एक कम करने योग्य अंश है, तो इसे फिर से सरलीकृत किया जाना चाहिए।

विभाजित करते समय, आपको पहले भाग को गुणन से और भाजक (दूसरा अंश) को व्युत्क्रम भिन्न (अंश और हर को बदलें) से बदलना होगा।

फिर गुणा की तरह आगे बढ़ें (बिंदु 1 से शुरू करके)।

उन कार्यों में जहां आपको किसी पूर्ण संख्या से गुणा (विभाजित) करने की आवश्यकता होती है, बाद वाली संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में लिखा जाना चाहिए। अर्थात्, 1 के हर के साथ। फिर ऊपर बताए अनुसार कार्य करें।



दशमलव के साथ संचालन

जोड़ना और घटाना

बेशक, आप दशमलव को हमेशा भिन्न में बदल सकते हैं। और पहले से बताई गई योजना के अनुसार कार्य करें। लेकिन कभी-कभी इस अनुवाद के बिना कार्य करना अधिक सुविधाजनक होता है। फिर उनके जोड़-घटाव के नियम बिल्कुल एक जैसे होंगे.

संख्या के भिन्नात्मक भाग में, अर्थात् दशमलव बिंदु के बाद, अंकों की संख्या को बराबर करें। इसमें शून्य की लुप्त संख्या जोड़ें।

भिन्नों को इस प्रकार लिखें कि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह जोड़ें (घटाएँ)।

अल्पविराम हटाएँ.

गुणन और भाग

गौरतलब है कि आपको यहां शून्य जोड़ने की जरूरत नहीं है. भिन्नों को वैसे ही छोड़ देना चाहिए जैसे वे उदाहरण में दिए गए हैं। और फिर योजना के अनुसार चलें.

गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए भिन्नों को एक के नीचे एक लिखना होगा।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह गुणा करें.

उत्तर में अल्पविराम लगाएं, उत्तर के दाएँ छोर से उतने अंक गिनें जितने दोनों कारकों के भिन्नात्मक भागों में हों।

विभाजित करने के लिए, आपको पहले भाजक को बदलना होगा: इसे एक प्राकृतिक संख्या बनाना होगा। अर्थात्, भाजक के भिन्नात्मक भाग में कितने अंक हैं, इसके आधार पर इसे 10, 100 आदि से गुणा करें।

लाभांश को उसी संख्या से गुणा करें।

दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।

अपने उत्तर में उस समय अल्पविराम लगाएं जब पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाए।



यदि एक उदाहरण में दोनों प्रकार के भिन्न हों तो क्या होगा?

हाँ, गणित में अक्सर ऐसे उदाहरण मिलते हैं जिनमें आपको साधारण और दशमलव भिन्नों पर संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों में दो संभावित समाधान हैं. आपको निष्पक्ष रूप से संख्याओं को तौलना होगा और इष्टतम संख्या को चुनना होगा।

पहला तरीका: साधारण दशमलवों को निरूपित करें

यदि विभाजन या अनुवाद के परिणामस्वरूप परिमित भिन्न प्राप्त होते हैं तो यह उपयुक्त है। यदि कम से कम एक संख्या आवधिक भाग देती है, तो यह तकनीक निषिद्ध है। इसलिए, भले ही आपको साधारण भिन्नों के साथ काम करना पसंद न हो, फिर भी आपको उन्हें गिनना होगा।

दूसरा तरीका: दशमलव भिन्नों को साधारण के रूप में लिखें

यदि दशमलव बिंदु के बाद के भाग में 1-2 अंक हों तो यह तकनीक सुविधाजनक हो जाती है। यदि उनमें से अधिक हैं, तो आप एक बहुत बड़े सामान्य अंश के साथ समाप्त हो सकते हैं और दशमलव अंकन कार्य को तेज और गणना करने में आसान बना देगा। इसलिए, आपको हमेशा कार्य का गंभीरता से मूल्यांकन करने और सबसे सरल समाधान विधि चुनने की आवश्यकता है।

एक दशमलव भिन्न एक साधारण भिन्न से इस मायने में भिन्न होता है कि उसका हर एक स्थानीय मान होता है।

उदाहरण के लिए:

दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों से अलग करके एक अलग रूप दिया जाता है, जिससे इन भिन्नों की तुलना, जोड़ने, घटाने, गुणा करने और विभाजित करने के अपने-अपने नियम बन गए। सिद्धांत रूप में, आप साधारण भिन्नों के नियमों का उपयोग करके दशमलव भिन्नों के साथ काम कर सकते हैं। दशमलव भिन्नों को परिवर्तित करने के अपने नियम गणना को सरल बनाते हैं, और साधारण भिन्नों को दशमलवों में बदलने के नियम, और इसके विपरीत, इस प्रकार के भिन्नों के बीच एक कड़ी के रूप में कार्य करते हैं।

दशमलव भिन्नों को लिखने और पढ़ने से आप उन्हें लिख सकते हैं, उनकी तुलना कर सकते हैं, और प्राकृतिक संख्याओं के संचालन के नियमों के समान नियमों के अनुसार उन पर संचालन कर सकते हैं।

दशमलव भिन्नों की प्रणाली और उन पर संक्रियाओं की रूपरेखा पहली बार 15वीं शताब्दी में दी गई थी। समरकंद के गणितज्ञ और खगोलशास्त्री ज़हेमशीद इब्न-मसुदल-काशी ने "द की टू द आर्ट ऑफ़ काउंटिंग" पुस्तक में।

दशमलव अंश के पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है; कुछ देशों (यूएसए) में वे एक अवधि डालते हैं। यदि दशमलव अंश में पूर्णांक भाग नहीं है, तो संख्या 0 को दशमलव बिंदु से पहले रखा जाता है।

आप दाहिनी ओर दशमलव के भिन्नात्मक भाग में किसी भी संख्या में शून्य जोड़ सकते हैं; इससे भिन्न का मान नहीं बदलता है। दशमलव का भिन्नात्मक भाग अंतिम महत्वपूर्ण अंक पर पढ़ा जाता है।

उदाहरण के लिए:
0.3 - तीन दसवां हिस्सा
0.75 - पचहत्तर सौवाँ
0.000005 - पाँच मिलियनवाँ।

दशमलव के पूरे भाग को पढ़ना प्राकृतिक संख्याओं को पढ़ने के समान है।

उदाहरण के लिए:
27.5 - सत्ताईस...;
1.57 - एक...

दशमलव अंश के पूर्ण भाग के बाद "संपूर्ण" शब्द का उच्चारण किया जाता है।

उदाहरण के लिए:
10.7 - दस दशमलव सात

0.67 - शून्य दशमलव सड़सठ सौवां।

दशमलव स्थान भिन्नात्मक भाग के अंक हैं। भिन्नात्मक भाग को अंकों द्वारा नहीं (प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत) पढ़ा जाता है, बल्कि समग्र रूप से पढ़ा जाता है, इसलिए दशमलव भिन्न का भिन्नात्मक भाग दाईं ओर के अंतिम महत्वपूर्ण अंक द्वारा निर्धारित किया जाता है। दशमलव के भिन्नात्मक भाग की स्थान प्रणाली प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में कुछ भिन्न होती है।

• व्यस्त के बाद पहला अंक - दसवां अंक
• दशमलव का दूसरा स्थान - सौवाँ स्थान
• दशमलव का तीसरा स्थान - हजारवाँ स्थान
• दशमलव का चौथा स्थान - दस हजारवाँ स्थान
• दशमलव का पाँचवाँ स्थान - सौ हज़ारवाँ स्थान
• दशमलव का छठा स्थान - दसवाँ स्थान
• दशमलव का सातवाँ स्थान दस लाखवाँ स्थान है
• दशमलव का आठवाँ स्थान सौ करोड़वाँ स्थान है

पहले तीन अंकों का उपयोग अक्सर गणना में किया जाता है। दशमलव के भिन्नात्मक भाग की बड़ी अंक क्षमता का उपयोग केवल ज्ञान की विशिष्ट शाखाओं में किया जाता है जहाँ अनंत मात्राओं की गणना की जाती है।

दशमलव को मिश्रित भिन्न में बदलनाइसमें निम्नलिखित शामिल हैं: दशमलव बिंदु से पहले की संख्या मिश्रित अंश के पूर्णांक भाग के रूप में लिखी जाती है; दशमलव बिंदु के बाद की संख्या उसके भिन्नात्मक भाग का अंश है, और भिन्नात्मक भाग के हर में उतने ही शून्य के साथ एक इकाई लिखें जितने दशमलव बिंदु के बाद अंक हैं।