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दो चर वाले रैखिक समीकरण

छात्र के पास स्कूल में दोपहर के भोजन के लिए 200 रूबल हैं। एक केक की कीमत 25 रूबल और एक कप कॉफी की कीमत 10 रूबल है। आप 200 रूबल में कितने केक और कप कॉफी खरीद सकते हैं?

केक की संख्या को निरूपित करें एक्स, और कॉफ़ी के कपों की संख्या य. तब केक की कीमत अभिव्यक्ति 25 द्वारा निरूपित की जाएगी एक्स, और कॉफ़ी कप की कीमत 10 य .

25एक्स-कीमत एक्सकेक
10आप-कीमत यकॉफी के कप

कुल राशि 200 रूबल होनी चाहिए। तब हमें दो चर वाला एक समीकरण मिलता है एक्सऔर य

25एक्स+ 10य= 200

इस समीकरण के कितने मूल हैं?

यह सब विद्यार्थी की भूख पर निर्भर करता है। यदि वह 6 केक और 5 कप कॉफी खरीदता है, तो समीकरण की जड़ें संख्या 6 और 5 होंगी।

मान 6 और 5 की जोड़ी को समीकरण 25 की जड़ें कहा जाता है एक्स+ 10य= 200 . (6; 5) के रूप में लिखा गया है, जिसमें पहला नंबर चर का मान है एक्स, और दूसरा - चर का मान य .

6 और 5 ही एकमात्र मूल नहीं हैं जो समीकरण 25 को उलट देते हैं एक्स+ 10य= 200 से पहचान। यदि वांछित है, तो उसी 200 रूबल के लिए, एक छात्र 4 केक और 10 कप कॉफी खरीद सकता है:

इस मामले में, समीकरण 25 की जड़ें एक्स+ 10य= 200 मानों का युग्म (4; 10) है।

इसके अलावा, एक छात्र कॉफी बिल्कुल नहीं खरीद सकता है, लेकिन पूरे 200 रूबल के लिए केक खरीद सकता है। फिर समीकरण 25 की जड़ें एक्स+ 10य= 200 मान 8 और 0 होंगे

या इसके विपरीत, केक न खरीदें, बल्कि पूरे 200 रूबल की कॉफी खरीदें। फिर समीकरण 25 की जड़ें एक्स+ 10य= 200 मान 0 और 20 होंगे

आइए समीकरण 25 की सभी संभावित जड़ों को सूचीबद्ध करने का प्रयास करें एक्स+ 10य= 200 . आइए मान लें कि मूल्य एक्सऔर यपूर्णांकों के समुच्चय से संबंधित हैं। और इन मानों को शून्य से अधिक या उसके बराबर होने दें:

एक्स∈जेड, वाई∈ जेड;
एक्स ≥ 0, य ≥ 0

तो यह स्वयं छात्र के लिए सुविधाजनक होगा। उदाहरण के लिए, कई सारे केक और आधे केक की तुलना में पूरा केक खरीदना अधिक सुविधाजनक होता है। कॉफ़ी को पूरे कप में लेना भी अधिक सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, कई पूरे कप और आधे कप की तुलना में।

ध्यान दें कि विषम के लिए एक्सकिसी के भी अधीन समानता प्राप्त करना असंभव है य. फिर मान एक्सनिम्नलिखित संख्याएँ होंगी 0, 2, 4, 6, 8. और जानना एक्सआसानी से निर्धारित किया जा सकता है य

इस प्रकार, हमें मूल्यों के निम्नलिखित जोड़े प्राप्त हुए (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). ये जोड़े समीकरण 25 के समाधान या मूल हैं एक्स+ 10य= 200. वे इस समीकरण को एक पहचान में बदल देते हैं।

समीकरण टाइप करें कुल्हाड़ी + द्वारा = सीबुलाया दो चरों वाला रैखिक समीकरण. इस समीकरण का एक समाधान या मूल मानों की एक जोड़ी है ( एक्स; य), जो इसे एक पहचान में बदल देता है।

यह भी ध्यान दें कि यदि दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है कुल्हाड़ी + बी वाई = सी ,तो कहते हैं इसमें लिखा है कैनन का(सामान्य) रूप.

दो चर वाले कुछ रैखिक समीकरणों को विहित रूप में घटाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण 2(16एक्स+ 3आप- 4) = 2(12 + 8एक्स − य) मन में लाया जा सकता है कुल्हाड़ी + द्वारा = सी. आइए इस समीकरण के दोनों भागों में कोष्ठक खोलें, हमें मिलता है 32एक्स + 6य − 8 = 24 + 16एक्स − 2य . अज्ञात वाले पदों को समीकरण के बाईं ओर समूहीकृत किया गया है, और अज्ञात से मुक्त पदों को दाईं ओर समूहीकृत किया गया है। फिर हमें मिलता है 32एक्स - 16एक्स+ 6य+ 2य = 24 + 8 . हम दोनों भागों में समान पद लाते हैं, हमें समीकरण 16 मिलता है एक्स+ 8य= 32. इस समीकरण को इस रूप में घटाया गया है कुल्हाड़ी + द्वारा = सीऔर विहित है.

समीकरण 25 पर पहले विचार किया गया एक्स+ 10य= 200 भी विहित रूप में एक दो-चर रैखिक समीकरण है। इस समीकरण में, पैरामीटर ए , बीऔर सीमान क्रमशः 25, 10 और 200 के बराबर हैं।

दरअसल समीकरण कुल्हाड़ी + द्वारा = सीसमाधानों की अनंत संख्या है। समीकरण को हल करना 25एक्स+ 10य= 200, हमने इसके मूलों को केवल पूर्णांकों के समुच्चय पर खोजा। परिणामस्वरूप, हमें मूल्यों के कई जोड़े प्राप्त हुए जिन्होंने इस समीकरण को एक पहचान में बदल दिया। लेकिन परिमेय संख्याओं के समुच्चय समीकरण 25 पर एक्स+ 10य= 200 में अनंत संख्या में समाधान होंगे।

मानों के नए जोड़े प्राप्त करने के लिए, आपको एक मनमाना मान लेना होगा एक्स, फिर व्यक्त करें य. उदाहरण के लिए, आइए एक वेरिएबल लें एक्समान 7. तब हमें एक चर वाला एक समीकरण मिलता है 25×7 + 10य= 200 जिसमें व्यक्त करना है य

होने देना एक्स= 15 . फिर समीकरण 25एक्स+ 10य= 200, 25 × 15 हो जाता है + 10य= 200. यहीं से हमें वह मिलता है य = −17,5

होने देना एक्स= −3 . फिर समीकरण 25एक्स+ 10य= 200, 25 × (−3) हो जाता है + 10य= 200. यहीं से हमें वह मिलता है य = −27,5

दो चर वाले दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली

समीकरण के लिए कुल्हाड़ी + द्वारा = सीआप कितनी भी बार मनमाना मान ले सकते हैं एक्सऔर इसके लिए मान खोजें य. अलग से लेने पर, ऐसे समीकरण के अनंत संख्या में समाधान होंगे।

लेकिन ऐसा भी होता है कि चर एक्सऔर यएक नहीं, बल्कि दो समीकरणों से जुड़ा है। इस मामले में, वे तथाकथित बनाते हैं दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली. समीकरणों की ऐसी प्रणाली में मूल्यों की एक जोड़ी (या दूसरे शब्दों में: "एक समाधान") हो सकती है।

ऐसा भी हो सकता है कि सिस्टम के पास कोई समाधान ही न हो. दुर्लभ और असाधारण मामलों में रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं।

दो रैखिक समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं जब मान एक्सऔर यइनमें से प्रत्येक समीकरण में शामिल हैं।

आइए पहले समीकरण 25 पर वापस जाएँ एक्स+ 10य= 200 . इस समीकरण के मानों के युग्मों में से एक युग्म (6; 5) था। यह वह स्थिति है जब 200 रूबल से 6 केक और 5 कप कॉफी खरीदी जा सकती थी।

हम समस्या की रचना इस प्रकार करते हैं कि युग्म (6; 5) समीकरण 25 का एकमात्र समाधान बन जाए एक्स+ 10य= 200 . ऐसा करने के लिए, हम एक और समीकरण बनाते हैं जो समान को जोड़ेगा एक्सकेक और यकॉफी के कप।

आइए कार्य का पाठ इस प्रकार रखें:

“एक स्कूली छात्र ने 200 रूबल के लिए कई केक और कई कप कॉफी खरीदी। एक केक की कीमत 25 रूबल और एक कप कॉफी की कीमत 10 रूबल है। यदि यह ज्ञात हो कि केक की संख्या कॉफ़ी के कप की संख्या से एक अधिक है, तो छात्र ने कितने केक और कॉफी के कप खरीदे?

हमारे पास पहले से ही पहला समीकरण है। यह समीकरण 25 है एक्स+ 10य= 200 . आइए अब स्थिति के लिए एक समीकरण लिखें "केक की संख्या कॉफ़ी के कप की संख्या से एक इकाई अधिक है" .

केक की संख्या है एक्स, और कॉफ़ी के कप की संख्या है य. आप इस वाक्यांश को समीकरण का उपयोग करके लिख सकते हैं एक्स - वाई= 1. इस समीकरण का मतलब होगा कि केक और कॉफी के बीच का अंतर 1 है।

x=y+ 1 . इस समीकरण का मतलब है कि केक की संख्या कॉफी के कप की संख्या से एक अधिक है। इसलिए, समानता प्राप्त करने के लिए, कॉफ़ी के कपों की संख्या में एक जोड़ा जाता है। इसे आसानी से समझा जा सकता है यदि हम उस वजन मॉडल का उपयोग करें जिस पर हमने सबसे सरल समस्याओं का अध्ययन करते समय विचार किया था:

दो समीकरण मिले: 25 एक्स+ 10य= 200 और x=y+ 1. मूल्यों के बाद से एक्सऔर य, अर्थात् इनमें से प्रत्येक समीकरण में 6 और 5 शामिल हैं, फिर वे मिलकर एक प्रणाली बनाते हैं। आइए इस प्रणाली को लिखें। यदि समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं, तो उन्हें प्रणाली के चिह्न द्वारा तैयार किया जाता है। सिस्टम चिन्ह एक घुंघराले ब्रेस है:

आइए इस प्रणाली को हल करें। यह हमें यह देखने की अनुमति देगा कि हम 6 और 5 के मूल्यों पर कैसे पहुंचते हैं। ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए कई तरीके हैं। उनमें से सबसे लोकप्रिय पर विचार करें।

प्रतिस्थापन विधि

इस विधि का नाम ही बहुत कुछ कहता है। इसका सार एक चर को पहले से व्यक्त करके, एक समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करना है।

हमारे सिस्टम में कुछ भी व्यक्त करने की जरूरत नहीं है. दूसरे समीकरण में एक्स = य+ 1 चर एक्सपहले ही व्यक्त किया जा चुका है। यह चर अभिव्यक्ति के बराबर है य+ 1 . फिर आप इस अभिव्यक्ति को चर के स्थान पर पहले समीकरण में रख सकते हैं एक्स

अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने के बाद यइसके बजाय पहले समीकरण में + 1 एक्स, हमें समीकरण मिलता है 25(य+ 1) + 10य= 200 . यह एक चर वाला एक रैखिक समीकरण है। इस समीकरण को हल करना काफी आसान है:

हमने वेरिएबल का मान पाया य. अब हम इस मान को किसी एक समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और मान ज्ञात करते हैं एक्स. इसके लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है एक्स = य+ 1 . आइए इसमें मूल्य डालें य

तो जोड़ी (6; 5) समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान है, जैसा कि हमारा इरादा था। हम जांच करते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि जोड़ी (6; 5) सिस्टम को संतुष्ट करती है:

उदाहरण 2

पहले समीकरण को प्रतिस्थापित करें एक्स= 2 + यदूसरे समीकरण में 3 एक्स - 2य= 9 . पहले समीकरण में, चर एक्सव्यंजक 2 + के बराबर है य. हम इस अभिव्यक्ति को इसके स्थान पर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं एक्स

आइए अब मूल्य ज्ञात करें एक्स. ऐसा करने के लिए, मान को प्रतिस्थापित करें यपहले समीकरण में एक्स= 2 + य

तो सिस्टम का समाधान युग्म मान (5; 3) है

उदाहरण 3. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

यहां, पिछले उदाहरणों के विपरीत, किसी एक चर को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया गया है।

एक समीकरण को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए, आपको सबसे पहले इसकी आवश्यकता है।

उस चर को व्यक्त करना वांछनीय है जिसका गुणांक एक है। गुणांक इकाई में एक चर होता है एक्स, जो पहले समीकरण में निहित है एक्स+ 2य= 11 . आइए इस चर को व्यक्त करें।

परिवर्तनशील अभिव्यक्ति के बाद एक्स, हमारा सिस्टम इस तरह दिखेगा:

अब हम पहले समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करते हैं और मान ज्ञात करते हैं य

विकल्प य एक्स

तो सिस्टम का समाधान मानों की एक जोड़ी है (3; 4)

बेशक, आप एक वेरिएबल भी व्यक्त कर सकते हैं य. जड़ें नहीं बदलेंगी. लेकिन अगर आप व्यक्त करते हैं हाँ,परिणाम कोई बहुत सरल समीकरण नहीं है, जिसके समाधान में अधिक समय लगेगा। यह इस तरह दिखेगा:

हम इसे व्यक्त करने के लिए इस उदाहरण में देखते हैं एक्सव्यक्त करने से कहीं अधिक सुविधाजनक य .

उदाहरण 4. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

प्रथम समीकरण में व्यक्त करें एक्स. तब सिस्टम यह रूप लेगा:

य

विकल्प यपहले समीकरण में और खोजें एक्स. आप मूल समीकरण 7 का उपयोग कर सकते हैं एक्स+ 9य= 8, या उस समीकरण का उपयोग करें जिसमें चर व्यक्त किया गया है एक्स. हम इस समीकरण का उपयोग करेंगे, क्योंकि यह सुविधाजनक है:

तो सिस्टम का समाधान मानों की जोड़ी है (5; −3)

जोड़ विधि

जोड़ विधि प्रणाली में शामिल समीकरणों को पद दर पद जोड़ना है। इस जोड़ के परिणामस्वरूप एक नया एक-चर समीकरण बनता है। और इस समीकरण को हल करना बहुत आसान है।

आइए समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष में जोड़ें। और पहले समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ। हमें निम्नलिखित समानता प्राप्त होती है:

यहाँ समान शब्द हैं:

परिणामस्वरूप, हमें सबसे सरल समीकरण 3 प्राप्त हुआ एक्स= 27 जिसका मूल 9 है। मान जानना एक्सआप मूल्य पा सकते हैं य. मान प्रतिस्थापित करें एक्सदूसरे समीकरण में एक्स - वाई= 3 . हमें 9 मिलता है − य= 3 . यहाँ से य= 6 .

तो सिस्टम का समाधान मानों की एक जोड़ी है (9; 6)

उदाहरण 2

पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष में जोड़ें। और पहले समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ। परिणामी समानता में, हम समान पद प्रस्तुत करते हैं:

परिणामस्वरूप, हमें सबसे सरल समीकरण 5 प्राप्त हुआ एक्स= 20, जिसका मूल 4 है। मान जानना एक्सआप मूल्य पा सकते हैं य. मान प्रतिस्थापित करें एक्सपहले समीकरण 2 में x+y= 11 . आइए 8+ प्राप्त करें य= 11 . यहाँ से य= 3 .

तो सिस्टम का समाधान मानों की जोड़ी है (4;3)

जोड़ने की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन नहीं किया गया है। इसे मन में करना होगा. जोड़ते समय, दोनों समीकरणों को विहित रूप में घटाया जाना चाहिए। यानी मन को एसी+द्वारा=सी .

सुविचारित उदाहरणों से यह देखा जा सकता है कि समीकरण जोड़ने का मुख्य लक्ष्य किसी एक चर से छुटकारा पाना है। लेकिन समीकरणों की प्रणाली को जोड़ विधि से तुरंत हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। अक्सर, सिस्टम को प्रारंभिक रूप से ऐसे रूप में लाया जाता है जिसमें इस सिस्टम में शामिल समीकरणों को जोड़ना संभव हो।

उदाहरण के लिए, सिस्टम सीधे जोड़ विधि से हल किया जा सकता है। दोनों समीकरणों को जोड़ते समय, पद यऔर -yगायब हो जाते हैं क्योंकि उनका योग शून्य है। परिणामस्वरूप, सबसे सरल समीकरण 11 बनता है एक्स= 22 , जिसका मूल 2 है । तब ज्ञात करना संभव होगा य 5 के बराबर.

और समीकरणों की प्रणाली जोड़ विधि को तुरंत हल नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इससे किसी एक चर का लोप नहीं होगा। जोड़ने पर समीकरण 8 प्राप्त होगा एक्स+ य= 28, जिसके अनंत संख्या में समाधान हैं।

यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाए जो शून्य के बराबर न हो, तो दिए गए के बराबर एक समीकरण प्राप्त होगा। यह नियम दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए भी मान्य है। किसी एक समीकरण (या दोनों समीकरण) को किसी संख्या से गुणा किया जा सकता है। परिणाम एक समतुल्य प्रणाली है, जिसकी जड़ें पिछले वाले से मेल खाएँगी।

आइए सबसे पहले सिस्टम पर लौटते हैं, जिसमें बताया गया था कि छात्र ने कितने केक और कप कॉफी खरीदी। इस प्रणाली का समाधान मूल्यों की एक जोड़ी थी (6; 5) .

हम इस प्रणाली में शामिल दोनों समीकरणों को कुछ संख्याओं से गुणा करते हैं। मान लीजिए कि हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं

परिणाम एक प्रणाली है
इस प्रणाली का समाधान अभी भी मूल्यों की जोड़ी है (6; 5)

इसका मतलब यह है कि सिस्टम में शामिल समीकरणों को जोड़ विधि को लागू करने के लिए उपयुक्त रूप में घटाया जा सकता है।

सिस्टम पर वापस जाएँ जिसे हम जोड़ विधि से हल नहीं कर सके।

पहले समीकरण को 6 से और दूसरे को -2 से गुणा करें

तब हमें निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:

हम इस प्रणाली में शामिल समीकरण जोड़ते हैं। घटकों का जोड़ 12 एक्सऔर -12 एक्सपरिणाम 0 होगा, जोड़ 18 होगा यऔर 4 य 22 देंगे य, और 108 और −20 जोड़ने पर 88 प्राप्त होता है। तब आपको समीकरण 22 प्राप्त होता है य= 88 , इसलिए य = 4 .

यदि शुरुआत में आपके दिमाग में समीकरण जोड़ना मुश्किल है, तो आप लिख सकते हैं कि पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष में और पहले समीकरण के दाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष में कैसे जोड़ा जाता है। दूसरा समीकरण:

यह जानते हुए कि चर का मान क्या है य 4 है, आप मान ज्ञात कर सकते हैं एक्स. विकल्प यकिसी एक समीकरण में, उदाहरण के लिए पहले समीकरण 2 में एक्स+ 3य=18 . तब हमें एक चर 2 वाला एक समीकरण मिलता है एक्स+ 12 = 18 . हम 12 को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, चिह्न बदलते हुए, हमें 2 मिलता है एक्स= 6, इसलिए एक्स = 3 .

उदाहरण 4. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

दूसरे समीकरण को -1 से गुणा करें। तब सिस्टम निम्नलिखित रूप लेगा:

आइए दोनों समीकरण जोड़ें। घटकों का जोड़ एक्सऔर -Xपरिणाम 0 होगा, जोड़ 5 होगा यऔर 3 य 8 देंगे य, और 7 और 1 जोड़ने पर 8 प्राप्त होता है। परिणाम समीकरण 8 है य= 8 , जिसका मूल 1 है । उस मान को जानना य 1 है, आप मान पा सकते हैं एक्स .

विकल्प यपहले समीकरण में, हम पाते हैं एक्स+5 = 7, इसलिए एक्स= 2

उदाहरण 5. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

यह वांछनीय है कि समान चर वाले पद एक के नीचे एक स्थित हों। इसलिए, दूसरे समीकरण में, पद 5 यऔर −2 एक्सस्थान बदलें। परिणामस्वरूप, सिस्टम यह रूप लेगा:

दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें। तब सिस्टम यह रूप लेगा:

अब दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं। योग के परिणामस्वरूप, हमें समीकरण 8 प्राप्त होता है य= 16 , जिसका मूल 2 है।

विकल्प यपहले समीकरण में, हमें 6 मिलता है एक्स− 14 = 40 . हम पद −14 को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, चिह्न बदलते हुए, हमें 6 प्राप्त होता है एक्स= 54 . यहाँ से एक्स= 9.

उदाहरण 6. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइए भिन्नों से छुटकारा पाएं। पहले समीकरण को 36 से और दूसरे को 12 से गुणा करें

परिणामी प्रणाली में पहले समीकरण को -5 से और दूसरे को 8 से गुणा किया जा सकता है

आइए परिणामी प्रणाली में समीकरण जोड़ें। तब हमें सबसे सरल समीकरण -13 मिलता है य= −156 . यहाँ से य= 12 . विकल्प यपहले समीकरण में और खोजें एक्स

उदाहरण 7. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

हम दोनों समीकरणों को सामान्य रूप में लाते हैं। यहां दोनों समीकरणों में अनुपात का नियम लागू करना सुविधाजनक है। यदि पहले समीकरण में दाएँ पक्ष को के रूप में दर्शाया गया है, और दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष को के रूप में दर्शाया गया है, तो सिस्टम यह रूप लेगा:

हमारे पास एक अनुपात है. हम इसके चरम और मध्य पदों को गुणा करते हैं। तब सिस्टम यह रूप लेगा:

हम पहले समीकरण को -3 से गुणा करते हैं, और दूसरे में कोष्ठक खोलते हैं:

अब दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं। इन समीकरणों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, हमें एक समानता मिलती है, जिसके दोनों भागों में शून्य होगा:

यह पता चला है कि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।

लेकिन हम केवल आकाश से मनमाना मूल्य नहीं ले सकते एक्सऔर य. हम एक मान निर्दिष्ट कर सकते हैं, और दूसरा हमारे द्वारा निर्दिष्ट मान के आधार पर निर्धारित किया जाएगा। उदाहरण के लिए, चलो एक्स= 2 . इस मान को सिस्टम में प्रतिस्थापित करें:

किसी एक समीकरण को हल करने के परिणामस्वरूप, का मान य, जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करेगा:

मूल्यों की परिणामी जोड़ी (2; −2) सिस्टम को संतुष्ट करेगी:

आइए मूल्यों का एक और जोड़ा खोजें। होने देना एक्स= 4. इस मान को सिस्टम में प्रतिस्थापित करें:

इसका पता आंखों से लगाया जा सकता है यशून्य के बराबर है. फिर हमें मूल्यों की एक जोड़ी (4; 0) मिलती है, जो हमारे सिस्टम को संतुष्ट करती है:

उदाहरण 8. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

पहले समीकरण को 6 से और दूसरे को 12 से गुणा करें

आइए जो बचा है उसे फिर से लिखें:

पहले समीकरण को -1 से गुणा करें। तब सिस्टम यह रूप लेगा:

अब दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं। योग के फलस्वरूप समीकरण 6 बनता है बी= 48, जिसका मूल 8 है। स्थानापन्न बीपहले समीकरण में और खोजें ए

तीन चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली

तीन चर वाले एक रैखिक समीकरण में गुणांक वाले तीन चर, साथ ही एक अवरोधन भी शामिल होता है। विहित रूप में इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कुल्हाड़ी + द्वारा + सीजेड = डी

इस समीकरण के अनंत संख्या में समाधान हैं। दो वेरिएबल्स को अलग-अलग मान देकर तीसरा मान ज्ञात किया जा सकता है। इस मामले में समाधान मूल्यों का त्रिगुण है ( एक्स; य; जेड) जो समीकरण को एक पहचान में बदल देता है।

यदि चर एक्स, वाई, जेडतीन समीकरणों द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं, तो तीन चर वाले तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनती है। ऐसी प्रणाली को हल करने के लिए, आप वही विधियाँ लागू कर सकते हैं जो दो चर वाले रैखिक समीकरणों पर लागू होती हैं: प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि।

उदाहरण 1. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

हम तीसरे समीकरण में व्यक्त करते हैं एक्स. तब सिस्टम यह रूप लेगा:

अब प्रतिस्थापन करते हैं. चर एक्सअभिव्यक्ति के बराबर है 3 − 2य − 2जेड . इस अभिव्यक्ति को पहले और दूसरे समीकरण में रखें:

आइए दोनों समीकरणों में कोष्ठक खोलें और समान पद दें:

हम दो चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर आ गए हैं। इस मामले में, अतिरिक्त विधि लागू करना सुविधाजनक है। परिणामस्वरूप, परिवर्तनशील यगायब हो जाएगा और हम वेरिएबल का मान पा सकते हैं जेड

आइए अब मूल्य ज्ञात करें य. इसके लिए समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है - य+ जेड= 4. मान प्रतिस्थापित करें जेड

आइए अब मूल्य ज्ञात करें एक्स. इसके लिए समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है एक्स= 3 − 2य − 2जेड . इसमें मानों को प्रतिस्थापित करें यऔर जेड

इस प्रकार, मानों का त्रिगुण (3; −2; 2) हमारे सिस्टम का समाधान है। जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि ये मान सिस्टम को संतुष्ट करते हैं:

उदाहरण 2. सिस्टम को जोड़ विधि से हल करें

आइए पहले समीकरण को दूसरे समीकरण को −2 से गुणा करके जोड़ें।

यदि दूसरे समीकरण को −2 से गुणा किया जाए तो यह रूप ले लेगा −6एक्स+ 6आप- 4जेड = −4 . अब इसे पहले समीकरण में जोड़ें:

हम देखते हैं कि प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, चर का मान निर्धारित किया गया था एक्स. यह एक के बराबर है.

आइए मुख्य प्रणाली पर वापस जाएँ। आइए तीसरे समीकरण को −1 से गुणा करके दूसरा समीकरण जोड़ें। यदि तीसरे समीकरण को −1 से गुणा किया जाए तो यह रूप ले लेगा −4एक्स + 5य − 2जेड = −1 . अब इसे दूसरे समीकरण में जोड़ें:

समीकरण मिल गया एक्स - 2य= −1 . इसमें मान प्रतिस्थापित करें एक्सजो हमें पहले मिला था. तब हम मूल्य निर्धारित कर सकते हैं य

अब हम मूल्यों को जानते हैं एक्सऔर य. यह आपको मूल्य निर्धारित करने की अनुमति देता है जेड. हम सिस्टम में शामिल समीकरणों में से एक का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, मानों का त्रिगुण (1; 1; 1) हमारे सिस्टम का समाधान है। जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि ये मान सिस्टम को संतुष्ट करते हैं:

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को संकलित करने के कार्य

समीकरणों की प्रणालियों को संकलित करने का कार्य कई चर पेश करके हल किया जाता है। इसके बाद, समस्या की स्थितियों के आधार पर समीकरण संकलित किए जाते हैं। संकलित समीकरणों से वे एक प्रणाली बनाते हैं और उसे हल करते हैं। सिस्टम को हल करने के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि क्या इसका समाधान समस्या की शर्तों को पूरा करता है।

कार्य 1. एक वोल्गा कार शहर से सामूहिक फार्म के लिए निकली। वह दूसरी सड़क से वापस लौटी, जो पहली सड़क से 5 किमी छोटी थी। कुल मिलाकर, कार दोनों तरफ 35 किमी चली। प्रत्येक सड़क कितने किलोमीटर लंबी है?

समाधान

होने देना एक्स-पहली सड़क की लंबाई, य- दूसरे की लंबाई. यदि कार दोनों तरफ 35 किमी चली, तो पहला समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स+ य= 35. यह समीकरण दोनों सड़कों की लंबाई के योग का वर्णन करता है।

ऐसा कहा जाता है कि कार सड़क पर वापस लौट रही थी, जो पहली सड़क से 5 किमी छोटी थी। तब दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स− य= 5. यह समीकरण दर्शाता है कि सड़कों की लंबाई के बीच का अंतर 5 किमी है।

अथवा दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स= य+5 . हम इस समीकरण का उपयोग करेंगे.

चूंकि चर एक्सऔर यदोनों समीकरणों में एक ही संख्या निरूपित होती है, तो हम उनसे एक प्रणाली बना सकते हैं:

आइए पहले अध्ययन किए गए तरीकों में से एक का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करें। इस मामले में, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है, क्योंकि दूसरे समीकरण में चर एक्सपहले ही व्यक्त किया जा चुका है।

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण में रखें और खोजें य

पाए गए मान को प्रतिस्थापित करें यदूसरे समीकरण में एक्स= य+5 और खोजें एक्स

पहली सड़क की लंबाई को वेरिएबल द्वारा दर्शाया गया था एक्स. अब हमें इसका मतलब पता चल गया है. चर एक्स 20 है। अतः पहली सड़क की लंबाई 20 किमी है।

तथा दूसरी सड़क की लम्बाई बतायी गयी य. इस चर का मान 15 है। अतः दूसरी सड़क की लंबाई 15 किमी है।

चलो एक जाँच करते हैं. सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है:

अब आइए जाँच करें कि क्या समाधान (20; 15) समस्या की शर्तों को पूरा करता है।

बताया गया कि कुल मिलाकर कार दोनों तरफ 35 किलोमीटर चली। हम दोनों सड़कों की लंबाई जोड़ते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि समाधान (20; 15) इस शर्त को पूरा करता है: 20 किमी + 15 किमी = 35 किमी

अगली शर्त: कार दूसरी सड़क पर वापस लौट आई, जो पहली सड़क से 5 किमी छोटी थी . हम देखते हैं कि समाधान (20; 15) भी इस शर्त को पूरा करता है, क्योंकि 15 किमी, 20 किमी से 5 किमी कम है: 20 किमी − 15 किमी = 5 किमी

किसी प्रणाली को संकलित करते समय, यह महत्वपूर्ण है कि चर इस प्रणाली में शामिल सभी समीकरणों में समान संख्याओं को दर्शाते हैं।

तो हमारे सिस्टम में दो समीकरण हैं। बदले में इन समीकरणों में चर होते हैं एक्सऔर य, जो दोनों समीकरणों में समान संख्याओं को दर्शाता है, अर्थात् सड़कों की लंबाई 20 किमी और 15 किमी के बराबर है।

कार्य 2. प्लेटफ़ॉर्म पर ओक और पाइन स्लीपर लादे गए थे, कुल मिलाकर 300 स्लीपर। यह ज्ञात है कि सभी ओक स्लीपरों का वजन सभी पाइन स्लीपरों की तुलना में 1 टन कम था। निर्धारित करें कि कितने ओक और पाइन स्लीपर अलग-अलग थे, यदि प्रत्येक ओक स्लीपर का वजन 46 किलोग्राम था, और प्रत्येक पाइन स्लीपर का वजन 28 किलोग्राम था।

समाधान

होने देना एक्सओक और यचीड़ के स्लीपर प्लेटफार्म पर लादे गए थे। यदि कुल मिलाकर 300 स्लीपर हों, तो पहला समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है x+y = 300 .

सभी ओक स्लीपरों का वजन 46 था एक्सकिलो, और पाइन का वजन 28 था यकिलोग्राम। चूँकि ओक स्लीपरों का वज़न पाइन स्लीपरों से 1 टन कम था, इसलिए दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है 28आप- 46एक्स= 1000 . यह समीकरण दर्शाता है कि ओक और पाइन स्लीपरों के बीच द्रव्यमान का अंतर 1000 किलोग्राम है।

टन को किलोग्राम में बदल दिया गया है क्योंकि ओक और पाइन स्लीपरों का द्रव्यमान किलोग्राम में मापा जाता है।

परिणामस्वरूप, हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं जो सिस्टम बनाते हैं

आइए इस प्रणाली को हल करें। प्रथम समीकरण में व्यक्त करें एक्स. तब सिस्टम यह रूप लेगा:

पहले समीकरण को दूसरे में रखें और खोजें य

विकल्प यसमीकरण में एक्स= 300 − यऔर पता करो क्या एक्स

इसका मतलब है कि 100 ओक और 200 पाइन स्लीपर प्लेटफॉर्म पर लादे गए थे।

आइए जाँच करें कि क्या समाधान (100; 200) समस्या की शर्तों को पूरा करता है। सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है:

ऐसा कहा गया कि कुल 300 स्लीपर थे। हम ओक और पाइन स्लीपरों की संख्या जोड़ते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि समाधान (100; 200) इस शर्त को पूरा करता है: 100 + 200 = 300.

अगली शर्त: सभी ओक स्लीपरों का वजन सभी पाइन से 1 टन कम था . हम देखते हैं कि समाधान (100; 200) भी इस शर्त को पूरा करता है, क्योंकि 46 × 100 किलोग्राम ओक स्लीपर 28 × 200 किलोग्राम पाइन स्लीपर से हल्के होते हैं: 5600 किग्रा - 4600 किग्रा = 1000 किग्रा.

कार्य 3. हमने वजन के अनुसार 2: 1, 3: 1 और 5: 1 के अनुपात में तांबे और निकल के मिश्र धातु के तीन टुकड़े लिए। इनमें से, 12 किलोग्राम वजन वाले एक टुकड़े को तांबे और निकल सामग्री के 4: 1 के अनुपात के साथ जोड़ा गया था। प्रत्येक मूल टुकड़े का द्रव्यमान ज्ञात करें यदि उनमें से पहले का द्रव्यमान दूसरे के द्रव्यमान का दोगुना है।

आइए पहले उस मामले पर विचार करें जब समीकरणों की संख्या चरों की संख्या के बराबर हो, यानी। एम = एन. तब सिस्टम का मैट्रिक्स वर्गाकार होता है, और इसके निर्धारक को सिस्टम का निर्धारक कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि

सामान्य शब्दों में एक गैर-एकवचन वर्ग मैट्रिक्स ए के साथ समीकरण AX = B की प्रणाली पर विचार करें। इस मामले में, एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 है। आइए बाईं ओर दोनों पक्षों को A -1 से गुणा करें। हमें A -1 AX \u003d A -1 B मिलता है। यहां से EX \u003d A -1 B और

अंतिम समानता समीकरणों की ऐसी प्रणालियों का समाधान खोजने के लिए एक मैट्रिक्स सूत्र है। इस सूत्र के उपयोग को व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि कहा जाता है

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित प्रणाली को हल करने के लिए इस विधि का उपयोग करें:

;

सिस्टम के समाधान के अंत में, पाए गए मानों को सिस्टम के समीकरणों में प्रतिस्थापित करके जांच की जा सकती है। इस मामले में, उन्हें सच्ची समानता में बदलना होगा।

इस उदाहरण के लिए, आइए जाँच करें:

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके वर्ग मैट्रिक्स के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधि

मान लीजिए n=2:

यदि पहले समीकरण के दोनों भागों को 22 से गुणा किया जाता है, और दूसरे के दोनों भागों को (-ए 12) से गुणा किया जाता है, और फिर परिणामी समीकरण जोड़े जाते हैं, तो हम सिस्टम से चर x 2 को बाहर कर देंगे। इसी प्रकार, आप वेरिएबल x 1 को समाप्त कर सकते हैं (पहले समीकरण के दोनों पक्षों को (-a 21) से और दूसरे के दोनों पक्षों को 11 से गुणा करके)। परिणामस्वरूप, हमें सिस्टम मिलता है:

कोष्ठक में दी गई अभिव्यक्ति प्रणाली का निर्धारक है

निरूपित

तब सिस्टम यह रूप लेगा:

परिणामी प्रणाली से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि प्रणाली का निर्धारक 0 है, तो प्रणाली सुसंगत और निश्चित होगी। इसके अनूठे समाधान की गणना सूत्रों द्वारा की जा सकती है:

यदि = 0, a 1 0 और/या  2 0, तो सिस्टम के समीकरण 0*х 1 = 2 और/या 0*х 1 = 2 का रूप लेंगे। इस स्थिति में, प्रणाली असंगत होगी.

उस स्थिति में जब = 1 = 2 = 0, सिस्टम सुसंगत और अनिश्चित होगा (इसमें अनंत संख्या में समाधान होंगे), क्योंकि यह रूप लेगा:

क्रैमर का प्रमेय(हम सबूत छोड़ देते हैं)। यदि समीकरणों के सिस्टम n के मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है, जो सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

,

जहां  j, j-वें कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके मैट्रिक्स A से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है।

उपरोक्त सूत्र कहलाते हैं क्रैमर के सूत्र.

उदाहरण के तौर पर, आइए उस सिस्टम को हल करने के लिए इस विधि का उपयोग करें जिसे पहले व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके हल किया गया था:

विचारित विधियों के नुकसान:

1) महत्वपूर्ण जटिलता (निर्धारकों की गणना और व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजना);

2) सीमित दायरा (वर्ग मैट्रिक्स वाले सिस्टम के लिए)।

वास्तविक आर्थिक स्थितियाँ अक्सर उन प्रणालियों द्वारा प्रतिरूपित की जाती हैं जिनमें समीकरणों और चरों की संख्या काफी महत्वपूर्ण होती है, और चरों की तुलना में समीकरण अधिक होते हैं। इसलिए, व्यवहार में निम्नलिखित विधि अधिक सामान्य है।

गॉस विधि (चरों के क्रमिक उन्मूलन की विधि)

इस विधि का उपयोग सामान्य तरीके से n चर वाले m रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जाता है। इसका सार विस्तारित मैट्रिक्स में समकक्ष परिवर्तनों की एक प्रणाली को लागू करने में निहित है, जिसकी मदद से समीकरणों की प्रणाली को उस रूप में बदल दिया जाता है जब इसके समाधान ढूंढना आसान हो जाता है (यदि कोई हो)।

यह एक ऐसा दृश्य है जिसमें सिस्टम मैट्रिक्स का ऊपरी बाएँ भाग एक चरणबद्ध मैट्रिक्स होगा। यह उन्हीं तकनीकों का उपयोग करके हासिल किया जाता है जिनका उपयोग रैंक निर्धारित करने के लिए चरणबद्ध मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए किया गया था। इस मामले में, प्राथमिक परिवर्तनों को विस्तारित मैट्रिक्स पर लागू किया जाता है, जो किसी को समीकरणों की समतुल्य प्रणाली प्राप्त करने की अनुमति देगा। उसके बाद, संवर्धित मैट्रिक्स फॉर्म लेगा:

ऐसे मैट्रिक्स को प्राप्त करना कहलाता है एक सीधी रेखा मेंगॉस विधि.

समीकरणों की संगत प्रणाली से चरों का मान ज्ञात करना कहलाता है पीछे की ओरगॉस विधि. आइए इस पर विचार करें.

ध्यान दें कि अंतिम (एम-आर) समीकरण इस प्रकार होंगे:

यदि संख्याओं में से कम से कम एक
शून्य के बराबर नहीं है, तो संबंधित समानता झूठी होगी, और पूरी प्रणाली असंगत होगी।

इसलिए, किसी भी संयुक्त प्रणाली के लिए
. इस मामले में, चर के किसी भी मान के लिए अंतिम (एम - आर) समीकरण पहचान 0 = 0 होंगे, और सिस्टम को हल करते समय उन्हें अनदेखा किया जा सकता है (बस संबंधित पंक्तियों को छोड़ दें)।

उसके बाद, सिस्टम इस प्रकार दिखेगा:

पहले उस स्थिति पर विचार करें जब r=n. तब सिस्टम यह रूप लेगा:

सिस्टम के अंतिम समीकरण से कोई भी विशिष्ट रूप से x r पा सकता है।

x r को जानकर, कोई भी इससे x r -1 को विशिष्ट रूप से व्यक्त कर सकता है। फिर पिछले समीकरण से, x r और x r -1 को जानते हुए, हम x r -2 इत्यादि को व्यक्त कर सकते हैं। x 1 तक.

तो, इस मामले में, प्रणाली सहयोगी और निश्चित होगी।

अब उस मामले पर विचार करें जब आर बुनियादी(बुनियादी), और बाकी सब - गैर बुनियादी(मामूली, मुफ़्त)। सिस्टम का अंतिम समीकरण इस प्रकार दिखेगा:

इस समीकरण से, हम मूल चर x r को गैर-बुनियादी के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं:

अंतिम समीकरण इस प्रकार दिखेगा:

x r के स्थान पर परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हुए, मूल चर x r -1 को गैर-बुनियादी लोगों के माध्यम से व्यक्त करना संभव होगा। वगैरह। चर x 1 के लिए। सिस्टम का समाधान प्राप्त करने के लिए, आप गैर-बुनियादी चर को मनमाने मूल्यों के बराबर कर सकते हैं और फिर प्राप्त सूत्रों का उपयोग करके मूल चर की गणना कर सकते हैं। इस प्रकार, इस मामले में, सिस्टम सुसंगत और अनिश्चित होगा (समाधान की अनंत संख्या होगी)।

उदाहरण के लिए, आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

बुनियादी चर के सेट को बुलाया जाएगा आधारसिस्टम. उनके लिए गुणांकों के स्तम्भों का समुच्चय भी कहा जाएगा आधार(मूल कॉलम), या बुनियादी लघुसिस्टम मैट्रिक्स. सिस्टम का वह समाधान कहा जाएगा, जिसमें सभी गैर-बुनियादी चर शून्य के बराबर हों बुनियादी समाधान.

पिछले उदाहरण में, मूल समाधान (4/5; -17/5; 0; 0) होगा (चर x 3 और x 4 (c 1 और c 2) शून्य पर सेट हैं, और मूल चर x 1 और x 2 की गणना उनके माध्यम से की जाती है)। एक गैर-बुनियादी समाधान का उदाहरण देने के लिए, x 3 और x 4 (c 1 और c 2) को मनमानी संख्याओं के बराबर करना आवश्यक है जो एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, और शेष चर की गणना करें उन्हें। उदाहरण के लिए, c 1 = 1 और c 2 = 0 के साथ, हमें एक गैर-बुनियादी समाधान मिलता है - (4/5; -12/5; 1; 0)। प्रतिस्थापन द्वारा, यह सत्यापित करना आसान है कि दोनों समाधान सही हैं।

जाहिर है, गैर-बुनियादी समाधानों की अनिश्चित प्रणाली में, अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं। कितने बुनियादी समाधान हो सकते हैं? रूपांतरित मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति को एक मूल चर के अनुरूप होना चाहिए। कुल मिलाकर, समस्या में n चर और r मूल पंक्तियाँ हैं। इसलिए, बुनियादी चर के संभावित सेटों की संख्या n से 2 तक संयोजनों की संख्या से अधिक नहीं हो सकती है। से कम भी हो सकता है , क्योंकि सिस्टम को ऐसे रूप में बदलना हमेशा संभव नहीं होता है कि चर का यह विशेष सेट आधार हो।

यह किस प्रकार का है? यह एक ऐसा रूप है जब इन चरों के लिए गुणांकों के स्तंभों से बना मैट्रिक्स चरणबद्ध होगा और, इस मामले में, इसमें पंक्तियाँ शामिल होंगी। वे। इन चरों के लिए गुणांकों के मैट्रिक्स की रैंक r के बराबर होनी चाहिए। यह बड़ा नहीं हो सकता, क्योंकि स्तंभों की संख्या r के बराबर है। यदि यह r से कम निकलता है, तो यह चर वाले स्तंभों की रैखिक निर्भरता को इंगित करता है। ऐसे कॉलम आधार नहीं बन सकते.

आइए विचार करें कि उपरोक्त उदाहरण में अन्य बुनियादी समाधान क्या मिल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, दो बुनियादी चरों के साथ चार चरों के सभी संभावित संयोजनों पर विचार करें। ऐसे कॉम्बिनेशन होंगे
, और उनमें से एक (x 1 और x 2) पर पहले ही विचार किया जा चुका है।

आइए वेरिएबल x 1 और x 3 लें। उनके लिए गुणांकों के मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें:

चूँकि यह दो के बराबर है, वे बुनियादी हो सकते हैं। हम गैर-बुनियादी चर x 2 और x 4 को शून्य के बराबर करते हैं: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. फिर सूत्र x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 से यह इस प्रकार है कि x 1 = 4/5, और सूत्र x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 = -17/5 + x 3 से यह इस प्रकार है कि x 3 = x 2 + 17/5 = 17/5. इस प्रकार, हमें मूल समाधान (4/5; 0; 17/5; 0) मिलता है।

इसी प्रकार, आप मूल चर x 1 और x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7) के लिए बुनियादी समाधान प्राप्त कर सकते हैं; x 2 और x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 और x 4 - (0; 0; 9; 4)।

इस उदाहरण में चर x 2 और x 3 को मूल के रूप में नहीं लिया जा सकता है, क्योंकि संबंधित मैट्रिक्स की रैंक एक के बराबर है, अर्थात। दो से कम:

.

एक अन्य दृष्टिकोण से यह निर्धारित करना संभव है कि कुछ चरों से आधार बनाना संभव है या नहीं। उदाहरण को हल करते समय, सिस्टम मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में बदलने के परिणामस्वरूप, इसने यह रूप ले लिया:

चरों के जोड़े चुनकर, इस मैट्रिक्स के संगत लघुगणक की गणना करना संभव था। यह देखना आसान है कि x 2 और x 3 को छोड़कर सभी जोड़ियों के लिए, वे शून्य के बराबर नहीं हैं, यानी। स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। और केवल वेरिएबल x 2 और x 3 वाले कॉलम के लिए
, जो उनकी रैखिक निर्भरता को इंगित करता है।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें

तो, अंतिम मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति के अनुरूप समीकरण असंगत है - इससे गलत समानता 0 = -1 हो गई, इसलिए, यह प्रणाली असंगत है।

जॉर्डन-गॉस विधि 3 गॉसियन पद्धति का विकास है। इसका सार यह है कि सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स उस रूप में परिवर्तित हो जाता है जब चर के गुणांक पंक्तियों या स्तंभों 4 (जहां सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक है) के क्रमपरिवर्तन तक एक पहचान मैट्रिक्स बनाते हैं।

आइए इस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स पर विचार करें:

इस मैट्रिक्स में, हम पहचान तत्व का चयन करते हैं। उदाहरण के लिए, तीसरे अवरोध में x 2 पर गुणांक 5 है। आइए सुनिश्चित करें कि इस कॉलम की शेष पंक्तियों में शून्य हैं, अर्थात। कॉलम को एकल बनाएं. परिवर्तनों की प्रक्रिया में हम इसे कहेंगे स्तंभअनुमोदक(अग्रणी, कुंजी)। तीसरी बाधा (तीसरा डोरी) को भी बुलाया जाएगा अनुमोदक. खुद तत्व, जो अनुमति देने वाली पंक्ति और स्तंभ (यहां यह एक इकाई है) के चौराहे पर खड़ा है, इसे भी कहा जाता है अनुमोदक.

पहली पंक्ति में अब गुणांक (-1) है। शून्य को उसके स्थान पर लाने के लिए, तीसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें और परिणाम को पहली पंक्ति से घटाएं (यानी बस पहली पंक्ति को तीसरी में जोड़ें)।

दूसरी पंक्ति में 2 का गुणांक है। इसके स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए, तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें और परिणाम को पहली पंक्ति से घटाएँ।

परिवर्तनों का परिणाम इस प्रकार दिखेगा:

यह मैट्रिक्स स्पष्ट रूप से दिखाता है कि पहले दो बाधाओं में से एक को हटाया जा सकता है (संबंधित पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, यानी ये समीकरण एक दूसरे से अनुसरण करते हैं)। आइए दूसरे को हटा दें:

तो, नई प्रणाली में दो समीकरण हैं। एक एकल स्तंभ (दूसरा) प्राप्त हुआ है, और यहां इकाई दूसरी पंक्ति में है। आइए याद रखें कि मूल चर x 2 नई प्रणाली के दूसरे समीकरण के अनुरूप होगा।

आइए पहली पंक्ति के लिए एक मूल चर चुनें। यह x 3 को छोड़कर कोई भी चर हो सकता है (क्योंकि x 3 पर पहले अवरोध का गुणांक शून्य है, यानी चर x 2 और x 3 का सेट यहां बुनियादी नहीं हो सकता है)। आप पहला या चौथा वेरिएबल ले सकते हैं।

आइए x 1 चुनें। तब समाधान करने वाला तत्व 5 होगा, और पहली पंक्ति के पहले कॉलम में एक प्राप्त करने के लिए समाधान समीकरण के दोनों हिस्सों को पांच से विभाजित करना होगा।

आइए सुनिश्चित करें कि बाकी पंक्तियों (यानी, दूसरी पंक्ति) के पहले कॉलम में शून्य हों। चूँकि अब दूसरी पंक्ति शून्य नहीं है, बल्कि 3 है, इसलिए परिवर्तित पहली पंक्ति के तत्वों को 3 से गुणा करके दूसरी पंक्ति से घटाना आवश्यक है:

गैर-बुनियादी चर को शून्य के बराबर करके, और मूल चर को संबंधित समीकरणों में मुक्त शब्दों के बराबर करके परिणामी मैट्रिक्स से सीधे एक मूल समाधान निकाला जा सकता है: (0.8; -3.4; 0; 0)। आप गैर-बुनियादी चर के माध्यम से बुनियादी चर को व्यक्त करने वाले सामान्य सूत्र भी प्राप्त कर सकते हैं: x 1 \u003d 0.8 - 1.2 x 4; x 2 = -3.4 + x 3 + 1.6x 4। ये सूत्र सिस्टम के समाधानों के संपूर्ण अनंत सेट का वर्णन करते हैं (x 3 और x 4 को मनमानी संख्याओं के बराबर करके, आप x 1 और x 2 की गणना कर सकते हैं)।

ध्यान दें कि जॉर्डन-गॉस पद्धति के प्रत्येक चरण में परिवर्तनों का सार इस प्रकार था:

1) अनुमेय स्ट्रिंग को उसके स्थान पर एक इकाई प्राप्त करने के लिए अनुमेय तत्व द्वारा विभाजित किया गया था,

2) अन्य सभी पंक्तियों से, इस तत्व के स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए, रिज़ॉल्विंग कॉलम में दी गई पंक्ति में मौजूद तत्व से गुणा की गई रूपांतरित रिज़ॉल्विंग शक्ति को घटा दिया गया था।

एक बार फिर सिस्टम के रूपांतरित संवर्धित मैट्रिक्स पर विचार करें:

इस प्रविष्टि से देखा जा सकता है कि सिस्टम A के मैट्रिक्स की रैंक r है।

उपरोक्त तर्क के दौरान, हमने स्थापित किया है कि सिस्टम सुसंगत है यदि और केवल यदि
. इसका मतलब है कि सिस्टम का संवर्धित मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

शून्य पंक्तियों को हटाने पर, हम पाते हैं कि सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक भी r के बराबर है।

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय. रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत होती है यदि और केवल तभी जब सिस्टम के मैट्रिक्स की रैंक इस प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो।

याद रखें कि मैट्रिक्स की रैंक उसकी रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या के बराबर होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक समीकरणों की संख्या से कम है, तो सिस्टम के समीकरण रैखिक रूप से निर्भर होते हैं, और उनमें से एक या अधिक को सिस्टम से बाहर रखा जा सकता है (क्योंकि वे एक रैखिक हैं) दूसरों का संयोजन)। समीकरणों की प्रणाली रैखिक रूप से तभी स्वतंत्र होगी जब विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक समीकरणों की संख्या के बराबर हो।

इसके अलावा, रैखिक समीकरणों की संगत प्रणालियों के लिए, यह तर्क दिया जा सकता है कि यदि मैट्रिक्स की रैंक चर की संख्या के बराबर है, तो सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान है, और यदि यह चर की संख्या से कम है, तो प्रणाली अनिश्चित है और इसके अनंत रूप से कई समाधान हैं।

1उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि मैट्रिक्स में पाँच पंक्तियाँ हैं (प्रारंभिक पंक्ति क्रम 12345 है)। हमें दूसरी और पांचवीं पंक्ति को बदलने की जरूरत है। दूसरी पंक्ति को पाँचवीं की जगह लेने के लिए, नीचे "स्थानांतरित" करने के लिए, हम क्रमिक रूप से आसन्न रेखाओं को तीन बार बदलते हैं: दूसरी और तीसरी (13245), दूसरी और चौथी (13425) और दूसरी और पाँचवीं ( 13452). फिर, पांचवीं पंक्ति को मूल मैट्रिक्स में दूसरी की जगह लेने के लिए, पांचवीं पंक्ति को केवल दो लगातार परिवर्तनों द्वारा "स्थानांतरित" करना आवश्यक है: पांचवीं और चौथी पंक्तियां (13542) और पांचवीं और तीसरी (15342)

2n से r तक संयोजनों की संख्या एन-तत्व सेट के सभी अलग-अलग आर-तत्व उपसमुच्चय की संख्या को कॉल करें (अलग-अलग सेट वे हैं जिनमें तत्वों की एक अलग संरचना होती है, चयन क्रम महत्वपूर्ण नहीं है)। इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
. चिह्न का अर्थ याद करें "!" (तथ्यात्मक):
0!=1.)

3चूंकि यह विधि पहले चर्चा की गई गॉस विधि से अधिक सामान्य है, और संक्षेप में फॉरवर्ड और रिवर्स गॉस विधि का संयोजन है, इसलिए इसे कभी-कभी गॉस विधि भी कहा जाता है, नाम के पहले भाग को हटा दिया जाता है।

4उदाहरण के लिए,
.

5 यदि सिस्टम के मैट्रिक्स में कोई इकाइयाँ नहीं होतीं, तो यह संभव होता, उदाहरण के लिए, पहले समीकरण के दोनों भागों को दो से विभाजित करना, और फिर पहला गुणांक एकता बन जाता; या जैसे।

सिस्टम को हल करेंदो अज्ञात के साथ - इसका मतलब है कि दिए गए प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करने वाले चर मानों के सभी जोड़े ढूंढना। ऐसे प्रत्येक जोड़े को कहा जाता है सिस्टम समाधान.

उदाहरण:
मानों की जोड़ी \(x=3\);\(y=-1\) पहले सिस्टम का एक समाधान है, क्योंकि सिस्टम में \(x\) और \ के बजाय इन ट्रिपल और माइनस वाले को प्रतिस्थापित करके (y\), दोनों समीकरण वैध समानता में बदल जाते हैं \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) \)

लेकिन \(x=1\); \(y=-2\) - पहली प्रणाली का समाधान नहीं है, क्योंकि प्रतिस्थापन के बाद दूसरा समीकरण "अभिसरण नहीं करता है" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

ध्यान दें कि ऐसे जोड़े अक्सर छोटे लिखे जाते हैं: "\(x=3\); \(y=-1\)" के बजाय वे इस तरह लिखते हैं: \((3;-1)\).

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तीन मुख्य तरीके हैं:

1. प्रतिस्थापन विधि.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(केस)\)\(\लेफ्टराइटएरो\)

इस चर के स्थान पर परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के किसी अन्य समीकरण में रखें।

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   दूसरे समीकरण में, प्रत्येक पद सम है, इसलिए हम समीकरण को \(2\) से विभाजित करके सरल बनाते हैं।
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   इस प्रणाली को किसी भी तरीके से हल किया जा सकता है, लेकिन मुझे ऐसा लगता है कि प्रतिस्थापन विधि यहां सबसे सुविधाजनक है। आइए y को दूसरे समीकरण से व्यक्त करें।
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   पहले समीकरण में \(y\) के स्थान पर \(6x-13\) रखें।
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   पहला समीकरण सामान्य हो गया है. हम इसे हल करते हैं.

   आइए पहले कोष्ठक खोलें।
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   आइए \(117\) को दाईं ओर ले जाएं और समान पद दें।

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   पहले समीकरण के दोनों पक्षों को \(67\) से विभाजित करें।

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   हुर्रे, हमें \(x\) मिल गया! इसके मान को दूसरे समीकरण में रखें और \(y\) खोजें।

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )\)

   चलिए उत्तर लिखते हैं.

हम समीकरणों को हल करने की दो प्रकार की प्रणालियों का विश्लेषण करेंगे:

1. प्रतिस्थापन विधि द्वारा निकाय का समाधान।
2. सिस्टम के समीकरणों के टर्म-दर-टर्म जोड़ (घटाव) द्वारा सिस्टम का समाधान।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधिआपको एक सरल एल्गोरिदम का पालन करना होगा:
1. हम व्यक्त करते हैं. किसी भी समीकरण से हम एक चर व्यक्त करते हैं।
2. स्थानापन्न। हम व्यक्त चर के स्थान पर परिणामी मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
3. हम परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

समाधान करना पद-दर-पद जोड़ (घटाव) द्वारा प्रणालीकरने की जरूरत है:
1. एक वेरिएबल चुनें जिसके लिए हम समान गुणांक बनाएंगे।
2. हम समीकरणों को जोड़ते या घटाते हैं, परिणामस्वरूप हमें एक चर वाला समीकरण मिलता है।
3. हम परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

सिस्टम का समाधान फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके सिस्टम के समाधान पर विस्तार से विचार करें।

उदाहरण 1:

आइए प्रतिस्थापन विधि से हल करें

प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करना

2x+5y=1 (1 समीकरण)
x-10y=3 (दूसरा समीकरण)

1. एक्सप्रेस
यह देखा जा सकता है कि दूसरे समीकरण में 1 के गुणांक के साथ एक चर x है, इसलिए यह पता चलता है कि दूसरे समीकरण से चर x को व्यक्त करना सबसे आसान है।
x=3+10y

2. व्यक्त करने के बाद, हम पहले समीकरण में वेरिएबल x के स्थान पर 3 + 10y प्रतिस्थापित करते हैं।
2(3+10y)+5y=1

3. हम परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करते हैं।
2(3+10y)+5y=1 (कोष्ठक खोलें)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

समीकरण प्रणाली का समाधान ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, इसलिए हमें x और y को खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु में x और y शामिल हैं। आइए x खोजें, पहले पैराग्राफ में जहां हमने व्यक्त किया था वहां हम y को प्रतिस्थापित करते हैं।
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

पहले स्थान पर बिंदु लिखने की प्रथा है, हम वेरिएबल x लिखते हैं, और दूसरे स्थान पर वेरिएबल y लिखते हैं।
उत्तर: (1; -0.2)

उदाहरण #2:

आइए पद-दर-पद जोड़ (घटाव) द्वारा हल करें।

जोड़ विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करना

3x-2y=1 (1 समीकरण)
2x-3y=-10 (दूसरा समीकरण)

1. एक वेरिएबल चुनें, मान लें कि हम x चुनते हैं। पहले समीकरण में, चर x का गुणांक 3 है, दूसरे में - 2. हमें गुणांकों को समान बनाने की आवश्यकता है, इसके लिए हमें समीकरणों को गुणा करने या किसी भी संख्या से विभाजित करने का अधिकार है। हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं और कुल गुणांक 6 प्राप्त करते हैं।

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. चर x से छुटकारा पाने के लिए पहले समीकरण से दूसरे को घटाएँ। रैखिक समीकरण को हल करें।
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. एक्स खोजें। हम किसी भी समीकरण में पाए गए y को प्रतिस्थापित करते हैं, मान लीजिए पहले समीकरण में।
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
एक्स=4.6

प्रतिच्छेदन बिंदु x=4.6 होगा; y=6.4
उत्तर: (4.6; 6.4)

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पिछले पैराग्राफ में चर्चा की गई ग्राफिकल विधि से अधिक विश्वसनीय।

प्रतिस्थापन विधि

हमने 7वीं कक्षा में रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए इस पद्धति का उपयोग किया था। 7वीं कक्षा में विकसित किया गया एल्गोरिदम दो चर x और y के साथ किन्हीं दो समीकरणों (जरूरी नहीं कि रैखिक) की प्रणालियों को हल करने के लिए काफी उपयुक्त है (बेशक, चर को अन्य अक्षरों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो कोई फर्क नहीं पड़ता)। वास्तव में, हमने इस एल्गोरिदम का उपयोग पिछले पैराग्राफ में किया था, जब दो अंकों की संख्या की समस्या एक गणितीय मॉडल की ओर ले गई, जो समीकरणों की एक प्रणाली है। हमने उपरोक्त समीकरणों की इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि से हल किया है (§ 4 से उदाहरण 1 देखें)।

दो चर x, y वाले दो समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने के लिए एल्गोरिदम।

1. सिस्टम के एक समीकरण से y को x के संदर्भ में व्यक्त करें।
2. सिस्टम के किसी अन्य समीकरण में y के बजाय परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें।
3. x के लिए परिणामी समीकरण को हल करें।
4. पहले चरण में प्राप्त व्यंजक y से x में x के स्थान पर तीसरे चरण में प्राप्त समीकरण के प्रत्येक मूल को बारी-बारी से रखें।
5. उत्तर को मानों के जोड़े (x; y) के रूप में लिखें, जो क्रमशः तीसरे और चौथे चरण में पाए गए थे।

4) y के प्रत्येक पाए गए मान को सूत्र x = 5 - Zy में बदलें। तो अगर
5) जोड़े (2; 1) और समीकरणों की दी गई प्रणाली के समाधान।

उत्तर: (2; 1);

बीजगणितीय जोड़ विधि

यह विधि, प्रतिस्थापन विधि की तरह, आप 7वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम से परिचित हैं, जहाँ इसका उपयोग रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता था। हम निम्नलिखित उदाहरण में विधि का सार याद करते हैं।

उदाहरण 2समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम सिस्टम के पहले समीकरण के सभी पदों को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरे समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:
सिस्टम के दूसरे समीकरण को उसके पहले समीकरण से घटाएँ:

मूल प्रणाली के दो समीकरणों के बीजगणितीय योग के परिणामस्वरूप, एक समीकरण प्राप्त हुआ जो दिए गए सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरण से अधिक सरल है। इस सरल समीकरण के साथ, हमें किसी दिए गए सिस्टम के किसी भी समीकरण को बदलने का अधिकार है, उदाहरण के लिए, दूसरा। तब समीकरणों की दी गई प्रणाली को एक सरल प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा:

इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया जा सकता है। दूसरे समीकरण से हम पाते हैं कि सिस्टम के पहले समीकरण में y के बजाय इस अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह x के पाए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना बाकी है

यदि x = 2 है तो

इस प्रकार, हमें सिस्टम के दो समाधान मिले हैं:

नए वेरिएबल पेश करने की विधि

आप 8वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में एक चर के साथ तर्कसंगत समीकरणों को हल करते समय एक नया चर पेश करने की विधि से परिचित हुए। समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की इस पद्धति का सार एक ही है, लेकिन तकनीकी दृष्टिकोण से, इसमें कुछ विशेषताएं हैं जिन पर हम निम्नलिखित उदाहरणों में चर्चा करेंगे।

उदाहरण 3समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

आइए एक नए वेरिएबल का परिचय दें, फिर सिस्टम के पहले समीकरण को सरल रूप में फिर से लिखा जा सकता है: आइए वेरिएबल टी के संबंध में इस समीकरण को हल करें:

ये दोनों मान शर्त को पूरा करते हैं, और इसलिए चर t के साथ एक तर्कसंगत समीकरण की जड़ें हैं। लेकिन इसका मतलब या तो वहां से है जहां से हम पाते हैं कि x = 2y, या
इस प्रकार, एक नए चर को पेश करने की विधि का उपयोग करके, हम सिस्टम के पहले समीकरण को "स्तरीकृत" करने में कामयाब रहे, जो दिखने में काफी जटिल है, दो सरल समीकरणों में:

एक्स = 2 वाई; y - 2x.

आगे क्या होगा? और फिर प्राप्त दो सरल समीकरणों में से प्रत्येक को समीकरण x 2 - y 2 \u003d 3 के साथ एक प्रणाली में बदले में माना जाना चाहिए, जिसे हमने अभी तक याद नहीं किया है। दूसरे शब्दों में, समस्या को समीकरणों की दो प्रणालियों को हल करने तक सीमित कर दिया गया है:

पहली प्रणाली, दूसरी प्रणाली के लिए समाधान ढूंढना और उत्तर में मूल्यों के सभी परिणामी युग्मों को शामिल करना आवश्यक है। आइए समीकरणों की पहली प्रणाली को हल करें:

आइए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें, खासकर जब से यहां सब कुछ इसके लिए तैयार है: हम सिस्टम के दूसरे समीकरण में x के बजाय अभिव्यक्ति 2y को प्रतिस्थापित करते हैं। पाना

चूँकि x = 2y, हम क्रमशः x 1 = 2, x 2 = 2 पाते हैं। इस प्रकार, दिए गए सिस्टम के दो समाधान प्राप्त होते हैं: (2; 1) और (-2; -1)। आइए समीकरणों की दूसरी प्रणाली को हल करें:

आइए फिर से प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें: हम सिस्टम के दूसरे समीकरण में y के बजाय अभिव्यक्ति 2x को प्रतिस्थापित करते हैं। पाना

इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, जिसका अर्थ है कि समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है। अत: उत्तर में केवल प्रथम प्रणाली के समाधानों को ही शामिल किया जाना चाहिए।

उत्तर: (2; 1); (-2;-1).

दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में नए चर पेश करने की विधि का उपयोग दो संस्करणों में किया जाता है। पहला विकल्प: एक नया चर पेश किया जाता है और सिस्टम के केवल एक समीकरण में उपयोग किया जाता है। उदाहरण 3 में बिल्कुल यही हुआ। दूसरा विकल्प: सिस्टम के दोनों समीकरणों में एक साथ दो नए चर पेश किए गए और उपयोग किए गए। उदाहरण 4 में यही स्थिति होगी।

उदाहरण 4समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

आइए दो नए वेरिएबल पेश करें:

हम तब यह सीखते हैं

यह हमें दिए गए सिस्टम को बहुत सरल रूप में फिर से लिखने की अनुमति देगा, लेकिन नए चर ए और बी के संबंध में:

चूँकि a = 1, तो समीकरण a + 6 = 2 से हम पाते हैं: 1 + 6 = 2; 6=1. इस प्रकार, चर a और b के लिए, हमें एक समाधान मिला:

चर x और y पर लौटने पर, हमें समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है

हम इस प्रणाली को हल करने के लिए बीजगणितीय जोड़ विधि लागू करते हैं:

तब से समीकरण 2x + y = 3 से हम पाते हैं:
इस प्रकार, चर x और y के लिए, हमें एक समाधान मिला:

आइए एक संक्षिप्त लेकिन गंभीर सैद्धांतिक चर्चा के साथ इस खंड को समाप्त करें। आप पहले से ही विभिन्न समीकरणों को हल करने में कुछ अनुभव प्राप्त कर चुके हैं: रैखिक, वर्ग, तर्कसंगत, अपरिमेय। आप जानते हैं कि किसी समीकरण को हल करने का मुख्य विचार धीरे-धीरे एक समीकरण से दूसरे समीकरण की ओर जाना है, जो सरल लेकिन दिए गए समीकरण के बराबर हो। पिछले अनुभाग में, हमने दो चर वाले समीकरणों के लिए तुल्यता की धारणा पेश की थी। इस अवधारणा का उपयोग समीकरणों की प्रणालियों के लिए भी किया जाता है।

परिभाषा।

चर x और y वाले समीकरणों की दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके समाधान समान हैं या यदि दोनों प्रणालियों का कोई समाधान नहीं है।

इस अनुभाग में हमने जिन तीन विधियों (प्रतिस्थापन, बीजगणितीय जोड़, और नए चर का परिचय) पर चर्चा की है, वे तुल्यता के दृष्टिकोण से बिल्कुल सही हैं। दूसरे शब्दों में, इन विधियों का उपयोग करके, हम समीकरणों की एक प्रणाली को दूसरे, सरल, लेकिन मूल प्रणाली के समतुल्य से प्रतिस्थापित करते हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि

हम पहले ही सीख चुके हैं कि समीकरणों की प्रणालियों को प्रतिस्थापन की विधि, बीजगणितीय जोड़ और नए चर की शुरूआत जैसे सामान्य और विश्वसनीय तरीकों से कैसे हल किया जाए। और अब आइए उस विधि को याद करें जिसका अध्ययन आप पिछले पाठ में कर चुके हैं। अर्थात्, ग्राफ़िकल समाधान विधि के बारे में आप जो जानते हैं उसे दोहराएँ।

समीकरणों की प्रणालियों को ग्राफिक रूप से हल करने की विधि इस प्रणाली में शामिल प्रत्येक विशिष्ट समीकरण के लिए एक ग्राफ का निर्माण है और एक ही समन्वय विमान में हैं, और जहां इन ग्राफ़ के बिंदुओं के प्रतिच्छेदन को खोजने की आवश्यकता होती है। . समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए इस बिंदु (x; y) के निर्देशांक हैं।

यह याद रखना चाहिए कि समीकरणों की ग्राफ़िकल प्रणाली के लिए या तो एक ही सही समाधान होना, या अनंत संख्या में समाधान होना, या बिल्कुल भी समाधान न होना आम बात है।

आइए अब इनमें से प्रत्येक समाधान पर करीब से नज़र डालें। और इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान हो सकता है यदि रेखाएँ, जो कि प्रणाली के समीकरणों के ग्राफ़ हैं, प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ये रेखाएँ समानांतर हैं, तो समीकरणों की ऐसी प्रणाली का कोई समाधान नहीं है। सिस्टम के समीकरणों के प्रत्यक्ष ग्राफ़ के संयोग के मामले में, ऐसी प्रणाली आपको कई समाधान खोजने की अनुमति देती है।

खैर, अब आइए ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करके 2 अज्ञात वाले दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम पर एक नज़र डालें:

सबसे पहले, सबसे पहले हम पहले समीकरण का एक ग्राफ़ बनाते हैं;
दूसरा चरण एक ग्राफ बनाना होगा जो दूसरे समीकरण से संबंधित हो;
तीसरा, हमें ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है।
और परिणामस्वरूप, हमें प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक मिलते हैं, जो समीकरणों की प्रणाली का समाधान होगा।

आइए एक उदाहरण के साथ इस विधि को अधिक विस्तार से देखें। हमें हल करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

समीकरण हल करना

1. सबसे पहले, हम इस समीकरण का एक ग्राफ़ बनाएंगे: x2+y2=9.

लेकिन यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समीकरणों का यह ग्राफ मूल बिंदु पर केन्द्रित एक वृत्त होगा, और इसकी त्रिज्या तीन के बराबर होगी।

2. हमारा अगला कदम एक समीकरण बनाना होगा जैसे: y = x - 3.

इस मामले में, हमें एक रेखा बनानी होगी और बिंदु (0;−3) और (3;0) खोजने होंगे।

3. आइए देखें कि हमें क्या मिला। हम देखते हैं कि रेखा वृत्त को उसके दो बिंदुओं A और B पर काटती है।

अब हम इन बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं। हम देखते हैं कि निर्देशांक (3;0) बिंदु A के अनुरूप हैं, और निर्देशांक (0;−3) बिंदु B के अनुरूप हैं।

और परिणाम स्वरूप हमें क्या मिलता है?

एक वृत्त के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन पर प्राप्त संख्याएँ (3;0) और (0;−3) सिस्टम के दोनों समीकरणों के सटीक समाधान हैं। और इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ये संख्याएँ समीकरणों की इस प्रणाली के समाधान भी हैं।

अर्थात्, इस समाधान का उत्तर संख्याएँ हैं: (3;0) और (0;−3)।