दोलनों के बुनियादी अंतर समीकरणों की ओर मुड़ते हुए, हम देखेंगे कि जब हम उन्हें - = k 2 से गुणा करते हैं, तो उनमें पद शामिल होंगे, जिनमें से कुछ में गति के वर्ग का गुणांक होता है औरअनुप्रस्थ कंपन, अन्य - गति का वर्ग अनुदैर्ध्य संकोच।

अनुदैर्ध्य कंपन के मामले में पहला पद समीकरणों से गायब हो जाना चाहिए, और हमें पहला समूह मिलता है:

चूँकि सतह p, हमारी पसंद से, एक तरंग की सतह है, तो § 7 के समीकरणों में हमें एक दोलन बनाए रखना होगा आरऔर कंपन को बराबर करें /?! और आर.2,तरंग के स्पर्शरेखा तल में घटित होना। परिणामस्वरूप, हम पाते हैं, यह मानते हुए //=1:

चूँकि A = 0, तो समीकरण (1) इस प्रकार बनेगा:

पहले समीकरण (2) को //i // 2 से गुणा करने पर, p के संबंध में अंतर करने और समीकरण (4) पर ध्यान देने पर, हम पाते हैं:

क्यासमीकरण (2) के अनुसार, बी या तो р x या [-] पर निर्भर नहीं है। अत: अर्थ के माध्यम से &एफकिसी फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न एफकिसी एक चर द्वारा ^, आर। 2, हम समीकरण (7) से प्राप्त करते हैं:

इस अभिव्यक्ति में मात्राएँ प्रतिस्थापित करना एच 1एच 2,पीपी में पाया गया 3, विभिन्न शक्तियों पर गुणांकों को शून्य के बराबर करते हुए, हम निम्नलिखित स्थितियाँ पाते हैं जिन्हें तरंग F - i को पूरा करना होगा

यह ज्ञात हैकि ऐसे रिश्ते सिर्फ इसलिए होते हैं गोला, गोल बेलन और समतल।

यहाँ से हमारे पास है,क्या इज़ोटेर्माल तरंग सतहें अनुदैर्ध्य कंपन फैला सकती हैं।

इसलिए, यदि हिलने वाली सतह या प्रारंभिक तरंग इज़ोटेर्माल तरंगों की सतहों से संबंधित नहीं है, तो कंपन उनके निकट होता है मिश्रित , लेकिन काफी दूरी पर तरंग इज़ोटेर्मल तरंगों में से एक के रूप में पहुंचती है, और घटना में दोलन का पता लगाया जाता है अनुदैर्ध्य. रुकना!!!

यह गोले के लिए दिए गए अंतर समीकरणों को एकीकृत करने के लिए बना हुआ है का उपयोग करते हुए हार्मोनिक कार्य!!!

टेस्ला के प्रयोग – हार्मोनिक ऑसिलेटर अस्वीकार्य है!!!

के लिए क्षेत्रोंजिन निर्देशांकों का हम पहले ही उपयोग कर चुके हैं, उनमें हमारे पास है:

आगे के परिवर्तन महत्वहीन हैं और नहीं दिए गए हैं, क्योंकि वे आगे बढ़ते हैं मूल समीकरण , जिसका सॉलिटॉन जैसी तरंगों के लिए कोई भौतिक अर्थ नहीं है।

पाए गए निष्कर्ष सजातीय पिंडों में प्रकाश की घटनाओं पर समान रूप से लागू होते हैं और, इसके अलावा, बौसिनस्क के सिद्धांत में होने वाली सन्निकटन की सीमा के भीतर भी लागू होते हैं!?

यहाँ से:"दर्दनाक पल"पहचान की।

एन. उमोव गणितीय संग्रह, खंड 5, 1870।

एक और "भयानक" अनिश्चितता

इसी तरह तर्क करने पर, चुंबकीय ऊर्जा और इसलिए धाराओं के लिए एक समान अभिव्यक्ति आसानी से प्राप्त की जा सकती है। हमने देखा कि, यहां तक ​​कि सबसे सरल सूत्रों पर जोर देने पर भी, ऊर्जा स्थानीयकरण की समस्या को हल नहीं किया जा सकता है.

और हमारे पास ऊर्जा प्रवाह के लिए भी यही चीज़ है। पोयंटिंग वेक्टर में एक और वेक्टर (यू, वी, डब्ल्यू) जोड़कर वर्तमान ऊर्जा की गति को मनमाने तरीके से बदलना संभव है, जिसे केवल असम्पीडित तरल पदार्थों के समीकरण को संतुष्ट करना होगा।

सामान्य समीकरणों का परिणाम होने के कारण, यह उनमें कुछ भी नहीं जोड़ता है।

इसलिए, ऊर्जा स्थानीयकरण तार्किक रूप से बेकार है(और कभी-कभी, हानिकारक)।

लेकिन एक पहलू है जिसमें पोयंटिंग के प्रमेय पर विचार करना महत्वपूर्ण है।

मुख्य तथ्य जिससे ऊर्जा संरक्षण का नियम उत्पन्न होता है वह असंभवता का प्रयोगात्मक रूप से पाया गया तथ्य था और बना हुआ है सतत गति , एक तथ्य - हमारे विचारों से स्वतंत्र, और इसे ऊर्जा के कुछ हिस्सों के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है जो भौतिक निकायों की अनुपस्थिति में ईथर के पास होना चाहिए।

ऊर्जा संरक्षण का नियम, अपने शास्त्रीय रूप में डब्ल्यू = कॉन्स्ट, इस असंभवता की व्याख्या करता है।

पोयंटिंग का प्रमेय, परिवर्तन करने की क्षमता की आवश्यकता है आयतन अभिन्न(कुछ हद तक मनमाना) में सतह,बहुत कम व्यक्त करता है. वह सतत गति के निर्माण को आसानी से स्वीकार कर लेती है, बिना इसकी असंभवता दर्शाए!

वास्तव में, जब तक हम परिकल्पना का परिचय नहीं देते विलंबित संभावनाएँअनंत से आने वाली अभिसरण तरंगों से ऊर्जा की निरंतर रिहाई वास्तविकता में देखी गई ऊर्जा की हानि के समान ही संभावित रहती है।

यदि भौतिक निकायों की उपस्थिति की परवाह किए बिना, इंजन हमेशा के लिए केवल ईथर की ऊर्जा ही ले सकता है, तो यह अस्तित्व में हो सकता है सतत गति . इस प्रकार, यह स्पष्ट हो जाता है कि मंद क्षमता के सूत्र को स्वीकार करने से पहले, हमें यह साबित करना होगा कि त्वरित कण ऊर्जा खो देता है और परिणामस्वरूप, उसके त्वरण के व्युत्पन्न के आनुपातिक प्रतिक्रिया के अधीन होता है।

बस संकेत बदलो सी अभिसरण तरंग परिकल्पना पर पहुंचने के लिए।

फिर हम खोजेंगेक्या संकेत है विकिरण वेक्टरभी बदल जाएगा, और नई परिकल्पना एक कंपन कण के मामले में, समय के साथ आयाम में क्रमिक वृद्धि की ओर ले जाएगी, और सामान्य तौर पर - सिस्टम की ऊर्जा बढ़ाने के लिए?!

प्रकृति में, सॉलिटॉन हैं:

- किसी तरल पदार्थ की सतह पर, प्रकृति में खोजे गए पहले सॉलिटॉन को कभी-कभी सुनामी लहरें माना जाता है

- विभिन्न प्रकार के जल हथौड़े

- ध्वनि ड्रम - "सुपरसोनिक" पर काबू पाना

- प्लाज्मा में आयनोसोनिक और मैग्नेटोसोनिक सॉलिटॉन

- लेजर के सक्रिय माध्यम में लघु प्रकाश स्पंदों के रूप में सॉलिटॉन

- संभवतः, सॉलिटॉन का एक उदाहरण शनि पर विशाल षट्कोण है

- तंत्रिका आवेगों को सॉलिटॉन के रूप में माना जा सकता है।

गणितीय मॉडल, कॉर्टेवेग-डी व्रीज़ समीकरण।

सबसे सरल और सबसे प्रसिद्ध मॉडलों में से एक जो समाधान में सॉलिटॉन के अस्तित्व की अनुमति देता है, कॉर्टेवेग-डी व्रीज़ समीकरण है:

यू टी + उउ एक्स + β आप xxx = 0.

इस समीकरण का एक संभावित समाधान है एकान्त सोलिटन:

लेकिन यहाँ भी थरथरानवाला हार्मोनिक फ़ंक्शन है जहां आर, एस,α, यू- कुछ स्थायी हैं.

हार्मोनिक विश्लेषण में अनिश्चितता प्रमेय

लयबद्ध दोलक क्वांटम यांत्रिकी में - समीकरण द्वारा वर्णित श्रोडिंगर,

(217.5)

समीकरण (217.5) स्थिर अवस्थाओं के लिए श्रोडिंगर समीकरण कहा जाता है।

क्वांटम ऑसिलेटर की स्थिर अवस्थाएँ समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती हैं श्रोडिंगरदयालु

(222.2)

कहाँ इ – थरथरानवाला की कुल ऊर्जा.

अवकल समीकरणों के सिद्धांत में यह सिद्ध है कि समीकरण (222.2) केवल ऊर्जा के eigenvalues ​​​​के लिए हल किया गया

(222.3)

FORMULA (222.3) दिखाता है कि क्वांटम ऑसिलेटर की ऊर्जा परिमाणित.

ऊर्जा शून्य से भिन्न होने के लिए नीचे से सीमित है, जैसे कि एक आयताकार के लिए "गड्ढे"असीम रूप से ऊंची "दीवारों" के साथ (§ 220 देखें), एक न्यूनतम ऊर्जा मूल्य

इ 0 = 1/2 ℏ डब्ल्यू 0 . न्यूनतम ऊर्जा का अस्तित्व कहलाता है शून्य-बिंदु ऊर्जा- क्वांटम सिस्टम के लिए विशिष्ट है और इसका प्रत्यक्ष परिणाम है अनिश्चितता संबंध.

में हार्मोनिक विश्लेषणअनिश्चितता सिद्धांत का तात्पर्य है कि किसी फ़ंक्शन और उसके फूरियर मानचित्र के मूल्यों को सटीक रूप से प्राप्त करना असंभव है - और इसलिए सटीक गणना करें.

अर्थात्, प्रकृति में प्रक्रियाओं और रूपों की समानता के सिद्धांतों के अनुपालन में मॉडलिंग, पीढ़ी और सादृश्य का उपयोग करना लयबद्ध दोलक – संभव नहीं।

अलग - अलग प्रकार गणितीयsolitonsअभी तक बहुत कम ज्ञात है और ये सभी वस्तुओं का वर्णन करने के लिए उपयुक्त नहीं हैं तीन आयामीअंतरिक्ष, विशेषकर उसमें होने वाली प्रक्रियाएँ प्रकृति।

उदाहरण के लिए, साधारण सॉलिटॉन, जो कॉर्टेवेग-डी व्रीज़ समीकरण में दिखाई देते हैं, यदि यह केवल एक आयाम में स्थानीयकृत हैं "दौड़ना"त्रि-आयामी दुनिया में, तब यह जैसा दिखेगा आगे की ओर उड़ती हुई एक अंतहीन चपटी झिल्ली,इसे हल्के ढंग से कहें तो, गॉब्लेडीगुक!!!

प्रकृति में ऐसी अनंत झिल्लियाँ नहीं देखी जातीं, जिसका अर्थ है मूल समीकरणत्रि-आयामी वस्तुओं का वर्णन करने के लिए उपयुक्त नहीं है।

यहीं पर हार्मोनिक कार्यों को शुरू करने की भ्रांति निहित है - ऑसिलेटर, मिश्रित दोलन के मामले में कनेक्शन।समानता का सम्बद्ध नियम, , लेकिन यह एक और कहानी है जो आगे ले जायेगी सॉलिटॉन सिद्धांत से व्यवस्थित अनिश्चितता, .

वितरित मापदंडों के साथ सिस्टम के मुक्त दोलन

स्वतंत्रता की अनंत डिग्री वाले सिस्टम के मुक्त दोलनों की प्रक्रिया की मुख्य विशेषता प्राकृतिक आवृत्तियों और मोड आकृतियों की संख्या की अनंतता में व्यक्त की जाती है। यह गणितीय विशेषताओं से भी जुड़ा है: सामान्य अंतर समीकरणों के बजाय जो स्वतंत्रता की सीमित संख्या वाली प्रणालियों के दोलनों का वर्णन करते हैं, यहां हमें आंशिक अंतर समीकरणों से निपटना होगा। प्रारंभिक विस्थापन और वेग निर्धारित करने वाली प्रारंभिक स्थितियों के अलावा, सिस्टम के निर्धारण की विशेषता वाली सीमा स्थितियों को भी ध्यान में रखना आवश्यक है।

6.1. छड़ों का अनुदैर्ध्य कंपन

एक सीधी छड़ (चित्र 67, ए) के अनुदैर्ध्य कंपन का विश्लेषण करते समय, हम मान लेंगे कि क्रॉस सेक्शन सपाट रहते हैं और छड़ के कण अनुप्रस्थ गति नहीं करते हैं, बल्कि केवल अनुदैर्ध्य दिशा में चलते हैं।

होने देना यू - कंपन के दौरान रॉड के वर्तमान खंड की अनुदैर्ध्य गति; यह गति अनुभाग के स्थान (निर्देशांक x) और समय t पर निर्भर करती है। तो दो चर का एक कार्य है; इसकी परिभाषा मुख्य कार्य का प्रतिनिधित्व करती है। एक असीम रूप से करीबी खंड का विस्थापन बराबर है, इसलिए, एक असीम रूप से छोटे तत्व का पूर्ण बढ़ाव बराबर है (छवि 67, बी), और इसका सापेक्ष बढ़ाव है।

तदनुसार, निर्देशांक के साथ अनुभाग में अनुदैर्ध्य बल एक्सके रूप में लिखा जा सकता है

,(173)

तनाव (संपीड़न) में छड़ की कठोरता कहाँ है। बल N भी दो तर्कों का एक फलन है - निर्देशांक एक्सऔर समय टी.

आइए दो असीम रूप से करीबी खंडों के बीच स्थित एक रॉड तत्व पर विचार करें (चित्र 67, सी)। तत्व के बाईं ओर एक बल N लगाया जाता है, और दाईं ओर एक बल लगाया जाता है। यदि हम छड़ की सामग्री के घनत्व को दर्शाते हैं, तो प्रश्न में तत्व का द्रव्यमान है। इसलिए, अक्ष पर प्रक्षेपण में गति का समीकरण एक्स

,

विचार करना(173)और स्वीकार करना ए= स्थिरांक, हमें मिलता है

फूरियर विधि का अनुसरण करते हुए, हम फॉर्म में अंतर समीकरण (175) के लिए एक विशेष समाधान की तलाश करते हैं

,(177)

वे। मान लीजिए कि आंदोलन यूइसे दो कार्यों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से एक केवल तर्क पर निर्भर करता है एक्स, और दूसरा केवल तर्क t से। फिर, दो चर u (x, t) के एक फ़ंक्शन को परिभाषित करने के बजाय, दो फ़ंक्शन X (x) और T (t) को परिभाषित करना आवश्यक है, जिनमें से प्रत्येक केवल एक चर पर निर्भर करता है।

(177) को (174) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

जहाँ अभाज्य संख्याएँ संबंध में विभेदन की क्रिया को दर्शाती हैं एक्स, और बिंदुओं द्वारा टी. आइए इस समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

यहां बायां पक्ष केवल x पर और दायां पक्ष केवल t पर निर्भर करता है। इस समानता को समान रूप से धारण करने के लिए (किसी के लिए भी)। एक्सऔर टी) यह आवश्यक है कि इसका प्रत्येक भाग एक स्थिरांक के बराबर हो, जिसे हम इस प्रकार दर्शाते हैं:

; .(178)

इससे दो समीकरण बनते हैं:

;.(179)

पहले समीकरण का एक हल है:

,(180)

एक दोलनशील प्रकृति का संकेत देता है, और (180) से यह स्पष्ट है कि अज्ञात मात्रा में मुक्त दोलनों की आवृत्ति का अर्थ है।

समीकरणों के दूसरे (179) का एक हल है:

,(181)

कंपन के आकार का निर्धारण.

मान निर्धारित करने वाला आवृत्ति समीकरण सीमा शर्तों का उपयोग करके संकलित किया जाता है। यह समीकरण सदैव पारलौकिक होता है और इसके मूलों की संख्या अनंत होती है। इस प्रकार, प्राकृतिक आवृत्तियों की संख्या अनंत है, और प्रत्येक आवृत्ति मान निर्भरता (180) द्वारा निर्धारित अपने स्वयं के फ़ंक्शन टी एन (टी) से मेल खाता है, और निर्भरता (181) द्वारा निर्धारित अपने स्वयं के फ़ंक्शन एक्सएन (एक्स) से मेल खाता है। समाधान (177) केवल आंशिक है और गति का पूर्ण विवरण प्रदान नहीं करता है। सभी आंशिक समाधानों को सुपरइम्पोज़ करके पूर्ण समाधान प्राप्त किया जाता है:

.

फलन X n (x) कहलाते हैं स्वयं के कार्यसमस्याएं और कंपन के अपने तरीकों का वर्णन करें। वे प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर नहीं होते हैं और ऑर्थोगोनैलिटी स्थिति को संतुष्ट करते हैं, जिसके लिए A = const का रूप होता है

, अगर ।

आइए सीमा शर्तों के लिए कुछ विकल्पों पर विचार करें।

छड़ी का निश्चित सिरा(चित्र 68, ए)। अंतिम खंड पर, विस्थापन यू शून्य होना चाहिए; यह इस खंड में अनुसरण करता है

एक्स=0(182)

छड़ी का मुक्त सिरा(चित्र 68, बी)। अंतिम खंड पर, अनुदैर्ध्य बल

(183)

बिल्कुल शून्य के बराबर होना चाहिए, जो संभव है यदि अंत में खंड X"=0 हो।

लचीला छड़ी का अंत(चित्र 68, सी)।

चलते समय यूअंत छड़, एक लोचदार समर्थन प्रतिक्रिया होती है , जहां C o समर्थन की कठोरता है। अनुदैर्ध्य बल के लिए (183) को ध्यान में रखते हुए, हम सीमा स्थिति प्राप्त करते हैं

यदि समर्थन रॉड के बाएं छोर पर स्थित है (चित्र 68, सी), और

यदि समर्थन रॉड के दाहिने छोर पर स्थित है (चित्र 68, डी)।

छड़ के अंत में संकेंद्रित द्रव्यमान।

द्रव्यमान द्वारा विकसित जड़त्व बल:

.

चूँकि, समीकरणों में से पहले (179) के अनुसार, जड़त्व बल को रूप में लिखा जा सकता है। हमें सीमा की स्थिति प्राप्त होती है

,

यदि द्रव्यमान बाएं छोर पर है (चित्र 68, डी), और

, (184)

यदि द्रव्यमान दाहिने सिरे से जुड़ा है (चित्र 68, ई)।

आइए हम कैंटिलीवर रॉड की प्राकृतिक आवृत्तियों का निर्धारण करें (चित्र 68,ए")।

(182) और (183) के अनुसार, सीमा शर्तें

X=0पर x=0;

X"=0 पर एक्स= .

इन शर्तों को एक-एक करके समाधान (181) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

स्थिति C0 आवृत्ति समीकरण की ओर ले जाती है:

इस समीकरण की जड़ें

(एन=1,2,…)

प्राकृतिक आवृत्तियाँ निर्धारित करें:

(n=1,2,…).(185)

n=1 पर पहली (न्यूनतम) आवृत्ति:

.

दूसरी आवृत्ति (n=2 पर):

आइए हम अंत में द्रव्यमान वाली एक छड़ की प्राकृतिक आवृत्तियों का निर्धारण करें (चित्र 68, एफ)।

(182) और (184) के अनुसार, हमारे पास है

X=0 पर x=0;

x= पर.

इन शर्तों को समाधान (181) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

डी=0; .

नतीजतन, (176) को ध्यान में रखते समय आवृत्ति समीकरण का रूप होता है

.

यहां दाहिना भाग छड़ के द्रव्यमान और अंतिम भार के द्रव्यमान के अनुपात को दर्शाता है।

परिणामी पारलौकिक समीकरण को हल करने के लिए, कुछ अनुमानित विधि का उपयोग करना आवश्यक है।

पर और सबसे महत्वपूर्ण निम्नतम मूल का मान क्रमशः 0.32 और 0.65 होगा।

छोटे अनुपात में, भार का निर्णायक प्रभाव होता है और अनुमानित समाधान अच्छे परिणाम देता है

.

परिवर्तनीय क्रॉस-सेक्शन की सलाखों के लिए, यानी। Аconst के लिए, (173) और (174) से गति का समीकरण इस रूप में प्राप्त होता है

.

इस अवकल समीकरण को बंद रूप में हल नहीं किया जा सकता। इसलिए, ऐसे मामलों में प्राकृतिक आवृत्तियों को निर्धारित करने के लिए अनुमानित तरीकों का सहारा लेना आवश्यक है।

6.2. शाफ्टों का मरोड़ वाला कंपन

लगातार वितरित द्रव्यमान (छवि 69, ए) के साथ शाफ्ट के मरोड़ वाले कंपन को समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है, जो संरचना में, छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन के लिए उपरोक्त समीकरणों से पूरी तरह मेल खाते हैं।

एब्सिस्सा के साथ अनुभाग में टॉर्क एम एक्स(173) के समान अंतर निर्भरता द्वारा घूर्णन के कोण से संबंधित है:

कहाँ जेपी- क्रॉस सेक्शन की जड़ता का ध्रुवीय क्षण।

की दूरी पर स्थित एक खंड में डीएक्स, टोक़ बराबर है (चित्र 69, बी):

अपनी धुरी के सापेक्ष शाफ्ट द्रव्यमान की जड़ता के क्षण की तीव्रता (यानी, प्रति इकाई लंबाई की जड़ता का क्षण) के माध्यम से निरूपित करना (शाफ्ट सामग्री का घनत्व कहां है), शाफ्ट के एक प्राथमिक खंड की गति का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

,

या समान (174):

.

यहां अभिव्यक्ति (186) को प्रतिस्थापित करते हुए, के साथ जेपी= स्थिरांक हमें मिलता है, इसी तरह (175):

, (187)

समीकरण (187) का सामान्य समाधान, समीकरण (175) की तरह, इस प्रकार है

,

(188)

प्राकृतिक आवृत्तियाँ और स्वदेशी कार्य विशिष्ट सीमा स्थितियों द्वारा निर्धारित होते हैं।

सिरों को ठीक करने के मुख्य मामलों में, अनुदैर्ध्य कंपन के मामले के समान, हम प्राप्त करते हैं

ए) निश्चित अंत (=0): एक्स=0;

बी) मुक्त अंत (एम=0): एक्स"=0;

वी) लचीलाबायां छोर: CoХ=GJpX "(सह-कठोरता गुणांक);

जी) लचीलादायां छोर: -CoX=GJpX ";

ई) बाएं छोर पर डिस्क: (जो रॉड की धुरी के सापेक्ष डिस्क की जड़ता का क्षण है);

ई) दाहिने छोर पर डिस्क: .

यदि शाफ्ट बाएं छोर (x=0) पर स्थिर है, और दायां सिरा (x=) मुक्त है, तो x=0 पर x=0 और x=0 पर X"=0; प्राकृतिक आवृत्तियों को इसी तरह निर्धारित किया जाता है ( 185):

(एन=1,2,…).

यदि बायां सिरा स्थिर है और दायें सिरे पर एक डिस्क है, तो हमें पारलौकिक समीकरण प्राप्त होता है:

.

यदि शाफ्ट के दोनों सिरे स्थिर हैं, तो x=0 और x= के लिए सीमा शर्तें X=0 होंगी। इस मामले में, (188) से हम प्राप्त करते हैं

वे।

(एन=1,2,…),

यहाँ से हमें प्राकृतिक आवृत्तियाँ मिलती हैं:

यदि शाफ्ट का बायाँ सिरा मुफ़्त है, और दाएँ सिरे पर एक डिस्क है, तो x=0 के लिए X"=0; जो X= के लिए X=GJpX "है।

(188) का उपयोग करके हम पाते हैं

सी=0; ,

या पारलौकिक आवृत्ति समीकरण:

.

6.3.बीमों का झुकने वाला कंपन

6.3.1 मूल समीकरण

सामग्री की ताकत के पाठ्यक्रम से, झुकने वाले बीम के लिए अंतर निर्भरताएँ ज्ञात होती हैं:

जहां ईजे झुकने वाली कठोरता है; y=y (x, t) - विक्षेपण; एम=एम(एक्स, टी) - झुकने का क्षण; q वितरित भार की तीव्रता है।

(189) और (190) को मिलाने पर हमें प्राप्त होता है

.(191)

मुक्त कंपन की समस्या में, लोचदार कंकाल के लिए भार वितरित जड़त्वीय बल है:

जहां m किरण के द्रव्यमान की तीव्रता (द्रव्यमान प्रति इकाई लंबाई) है, और समीकरण (191) रूप लेता है

.

स्थिर क्रॉस सेक्शन के विशेष मामले में, जब ईजे = स्थिरांक, एम = स्थिरांक, हमारे पास है:

.(192)

समीकरण (192) को हल करने के लिए, हम ऊपर बताए अनुसार मान लेते हैं,

य= एक्स ( एक्स)× टी ( टी ).(193)

(193) को (192) में प्रतिस्थापित करने पर, हम समीकरण पर पहुंचते हैं:

.

इस समानता को समान रूप से पूरा करने के लिए यह आवश्यक है कि समानता के प्रत्येक भाग स्थिर रहें। इस स्थिरांक को से निरूपित करने पर, हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं:

.(195)

पहला समीकरण इंगित करता है कि गति आवृत्ति के साथ दोलनशील है।

दूसरा समीकरण कंपन के आकार को निर्धारित करता है। समीकरण (195) के समाधान में चार स्थिरांक हैं और इसका रूप है

ए.एन. क्रायलोव द्वारा प्रस्तावित सामान्य समाधान लिखने के संस्करण का उपयोग करना सुविधाजनक है:

(198)

ए.एन. क्रायलोव के कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि S=1, T=U=V=0 x=0 पर। फलन S,T,U,V इस प्रकार आपस में जुड़े हुए हैं:

इसलिए, व्युत्पन्न अभिव्यक्तियाँ (197) रूप में लिखी जाती हैं

(200)

विचाराधीन वर्ग की समस्याओं में, प्राकृतिक आवृत्तियों की संख्या असीम रूप से बड़ी है; उनमें से प्रत्येक का अपना समय फलन T n और अपना मौलिक फलन X n है। सामान्य समाधान प्रपत्र के आंशिक समाधान लगाकर प्राप्त किया जाता है (193)

.(201)

प्राकृतिक आवृत्तियों और सूत्रों को निर्धारित करने के लिए सीमा स्थितियों पर विचार करना आवश्यक है।

6.3.2. सीमा की स्थितियाँ

बार के प्रत्येक छोर के लिए, आप दो सीमा शर्तें निर्दिष्ट कर सकते हैं .

छड़ी का मुक्त सिरा(चित्र 70, ए)। अनुप्रस्थ बल Q=EJX""T और झुकने का क्षण M=EJX""T शून्य के बराबर है। इसलिए, सीमा स्थितियों का रूप है

एक्स""=0; एक्स"""=0 .(202)

छड़ का टिका हुआ समर्थित सिरा(चित्र 70, बी)। विक्षेपण y=XT और झुकने का क्षण M=EJX""T शून्य के बराबर हैं। इसलिए, सीमा शर्तें हैं:

एक्स=0 ; एक्स""=0 .(203)

पिंच किया हुआ अंत(चित्र 70, सी)। विक्षेपण y=XT और घूर्णन कोण शून्य के बराबर हैं। सीमा की स्थितियाँ:

एक्स=0; एक्स"=0। (204)

छड़ के अंत में एक बिंदु द्रव्यमान होता है(चित्र 70, डी)। उसकी जड़ता बल समीकरण (194) का उपयोग करके निम्नानुसार लिखा जा सकता है: ; यह अपरूपण बलQ=EJX"""T के बराबर होना चाहिए, इसलिए सीमा स्थितियाँ रूप लेती हैं

; एक्स""=0 .(205)

पहली स्थिति में, जब बिंदु भार रॉड के बाएं छोर से जुड़ा होता है तो एक प्लस चिह्न लिया जाता है, और जब यह रॉड के दाएं छोर से जुड़ा होता है तो एक ऋण चिह्न लिया जाता है। दूसरी स्थिति झुकने वाले क्षण की अनुपस्थिति से उत्पन्न होती है।

छड़ का लोचदार रूप से समर्थित सिरा(चित्र 70, डी)। यहां झुकने का क्षण शून्य है, और अनुप्रस्थ बल Q=EJX"""T समर्थन प्रतिक्रिया के बराबर है (सी ओ - समर्थन कठोरता गुणांक)।

सीमा की स्थितियाँ:

एक्स""=0 ; (206)

(इलास्टिक समर्थन बाईं ओर होने पर ऋण चिह्न लिया जाता है, और दाईं ओर होने पर धन चिह्न लिया जाता है)।

6.3.3. आवृत्ति समीकरण और eigenforms

सीमा स्थितियों की एक विस्तारित रिकॉर्डिंग स्थिरांक सी 1, सी 2, सी 3, सी 4 के संबंध में सजातीय समीकरणों की ओर ले जाती है।

इन स्थिरांकों के शून्य के बराबर न होने के लिए, सिस्टम के गुणांकों से बना निर्धारक शून्य के बराबर होना चाहिए; इससे एक आवृत्ति समीकरण बनता है। इन ऑपरेशनों के दौरान, C 1, C 2, C 3, C 4 के बीच संबंधों को स्पष्ट किया जाता है, अर्थात। प्राकृतिक कंपन मोड निर्धारित किए जाते हैं (एक स्थिर कारक तक)।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके आवृत्ति समीकरणों की संरचना का पता लगाएं।

(203) के अनुसार, टिका हुआ सिरों वाले बीम के लिए, हमारे पास निम्नलिखित सीमा स्थितियाँ हैं: X=0; x=0 और x= के लिए X""=0। (197)-(200) का उपयोग करके हम पहली दो स्थितियों से प्राप्त करते हैं: सी 1 =सी 3 =0। शेष दो शर्तों को इस प्रकार लिखा जा सकता है

C 2 और C 4 के शून्य के बराबर न होने के लिए, सारणिक को शून्य के बराबर होना चाहिए:

.

इस प्रकार, आवृत्ति समीकरण का रूप होता है

.

व्यंजकों T और U को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

चूँकि, अंतिम आवृत्ति समीकरण इस प्रकार लिखा गया है:

. (207)

इस समीकरण की जड़ें हैं:

,(एन =1,2,3,...).

(196) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

.(208)

आइए अपने स्वयं के रूपों को परिभाषित करने की ओर आगे बढ़ें। ऊपर लिखे सजातीय समीकरणों से, स्थिरांक C 2 और C 4 के बीच निम्नलिखित संबंध इस प्रकार है:

.

परिणामस्वरूप, (197) रूप लेता है

(207) के अनुसार, हमारे पास है

,(209)

एक नया स्थिरांक कहां है, जिसका मूल्य प्रारंभिक स्थितियों पर विचार करने तक अनिश्चित रहता है।

6.3.4. प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर गति का निर्धारण

यदि प्रारंभिक गड़बड़ी के बाद आंदोलन को निर्धारित करना आवश्यक है, तो बीम के सभी बिंदुओं के लिए प्रारंभिक विस्थापन और प्रारंभिक वेग दोनों को इंगित करना आवश्यक है:

(210)

और eigenforms की ऑर्थोगोनैलिटी की संपत्ति का उपयोग करें:

.

हम सामान्य समाधान (201) इस प्रकार लिखते हैं:

.(211)

गति द्वारा दी गई है

.(212)

समीकरणों (211) और (212) के दाएँ पक्ष और बाएँ पक्ष में ज्ञात प्रारंभिक विस्थापन और वेग को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

.

इन भावों को गुणा करके और पूरी लंबाई में एकीकृत करके, हमारे पास है

(213)

दाहिनी ओर की अनंत राशियाँ रूढ़िवादिता संपत्ति के कारण गायब हो गई हैं। (213) से स्थिरांक के लिए सूत्रों का पालन करें

(214)

अब इन परिणामों को समाधान (211) में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।

आइए हम फिर से इस बात पर जोर दें कि आइजेनफॉर्म के पैमाने का चुनाव महत्वहीन है। यदि, उदाहरण के लिए, आइजनफॉर्म (209) की अभिव्यक्ति में हम इसके बजाय कई गुना बड़ा मान लेते हैं, तो (214) कई गुना छोटे परिणाम देगा; समाधान (211) में प्रतिस्थापन के बाद, ये अंतर एक दूसरे की क्षतिपूर्ति करते हैं। फिर भी, वे अक्सर सामान्यीकृत आइजनफंक्शन का उपयोग करते हैं, अपने पैमाने को इस तरह चुनते हैं कि अभिव्यक्तियों के हर (214) एक के बराबर हों, जो अभिव्यक्तियों को सरल बनाता है और।

6.3.5. निरंतर अनुदैर्ध्य बल का प्रभाव

आइए उस मामले पर विचार करें जब एक दोलन किरण एक अनुदैर्ध्य बल एन का अनुभव करती है, जिसका परिमाण दोलन प्रक्रिया के दौरान नहीं बदलता है। इस मामले में, स्थैतिक झुकने का समीकरण अधिक जटिल हो जाता है और रूप ले लेता है (बशर्ते कि संपीड़न बल को सकारात्मक माना जाए)

.

कठोरता को स्थिर मानने और विचार करने पर, हमें मुक्त कंपन का समीकरण प्राप्त होता है

.(215)

हम किसी विशेष समाधान को रूप में स्वीकार करना जारी रखते हैं।

फिर समीकरण (215) दो समीकरणों में विभाजित हो जाता है:

पहला समीकरण समाधान की दोलन प्रकृति को व्यक्त करता है, दूसरा दोलनों के आकार को निर्धारित करता है, और आपको आवृत्तियों को खोजने की भी अनुमति देता है। आइए इसे इस प्रकार फिर से लिखें:

(216)

कहाँ कसूत्र (196), और द्वारा निर्धारित किया जाता है

समीकरण (216) का हल इस प्रकार है

आइए उस स्थिति पर विचार करें जब छड़ के दोनों सिरों पर टिका हुआ समर्थन हो। बाएँ छोर पर स्थितियाँ देना । दाएँ छोर पर समान शर्तों को पूरा करने पर, हमें मिलता है

मात्राओं के लिए गुणांकों से बने निर्धारक को शून्य के बराबर करने पर, हम समीकरण पर पहुंचते हैं

इस आवृत्ति समीकरण की जड़ें हैं:

इसलिए, प्राकृतिक आवृत्ति समीकरण से निर्धारित होती है

.

यहां से, (217) को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं

.(219)

खींचने पर आवृत्ति बढ़ जाती है, दबाने पर घट जाती है। जब संपीड़न बल N एक महत्वपूर्ण मान तक पहुंचता है, तो जड़ शून्य हो जाती है।

6.3.6. श्रृंखला बलों का प्रभाव

पहले, अनुदैर्ध्य बल को सिस्टम के विस्थापन से दिया गया और स्वतंत्र माना जाता था। कुछ व्यावहारिक समस्याओं में, अनुप्रस्थ कंपन की प्रक्रिया के साथ आने वाला अनुदैर्ध्य बल बीम के झुकने के कारण उत्पन्न होता है और इसमें एक समर्थन प्रतिक्रिया का चरित्र होता है। उदाहरण के लिए, दो टिका हुआ और स्थिर समर्थनों पर एक बीम पर विचार करें। जब यह झुकता है, तो समर्थन की क्षैतिज प्रतिक्रियाएँ होती हैं, जिससे बीम खिंच जाती है; संबंधित क्षैतिज बल को आमतौर पर कहा जाता है श्रृंखला बल. यदि किरण अनुप्रस्थ रूप से दोलन करती है, तो समय के साथ श्रृंखला बल बदल जाएगा।

यदि तत्काल टी पर बीम के विक्षेपण को फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित किया जाता है, तो अक्ष का बढ़ाव सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

.

हम हुक के नियम का उपयोग करके संबंधित श्रृंखला बल पाते हैं

.

आइए इस परिणाम को अनुदैर्ध्य बल N के स्थान पर (215) में बदलें (चिह्न को ध्यान में रखते हुए)

.(220)

परिणामी अरेखीय इंटीग्रोडिफ़रेंशियलप्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरण को सरल बनाया गया है

,(221)

समय का एक आयामहीन फलन कहां है, जिसका अधिकतम मान किसी भी संख्या के बराबर निर्धारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एकता; दोलनों का आयाम.

(221) को (220) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें साधारण अवकल समीकरण प्राप्त होता है

,(222)

जिनके गुणांकों में निम्नलिखित मान हैं:

;.

अवकल समीकरण (222) अरैखिक है, इसलिए मुक्त दोलनों की आवृत्ति उनके आयाम पर निर्भर करती है।

अनुप्रस्थ कंपन की आवृत्ति का सटीक समाधान इस प्रकार है

श्रृंखला बलों को ध्यान में रखे बिना गणना की गई अनुप्रस्थ कंपन की आवृत्ति कहां है; क्रॉस सेक्शन के घुमाव की त्रिज्या के दोलन आयाम के अनुपात के आधार पर सुधार कारक; मूल्य संदर्भ साहित्य में दिया गया है।

जब क्रॉस सेक्शन के घुमाव का आयाम और त्रिज्या अनुरूप होते हैं, तो आवृत्ति में सुधार महत्वपूर्ण हो जाता है। यदि, उदाहरण के लिए, एक गोल छड़ के कंपन का आयाम उसके व्यास के बराबर है, तो, और आवृत्ति समर्थन के मुक्त विस्थापन के मामले में लगभग दोगुनी है।

मामला जड़ता की त्रिज्या के शून्य मान से मेल खाता है, जब बीम की झुकने वाली कठोरता गायब हो जाती है - एक स्ट्रिंग। वहीं, का सूत्र अनिश्चितता देता है। इस अनिश्चितता को प्रकट करते हुए, हमें स्ट्रिंग के कंपन की आवृत्ति के लिए एक सूत्र प्राप्त होता है

.

यह सूत्र उस स्थिति पर लागू होता है जब संतुलन स्थिति पर तनाव शून्य होता है। अक्सर स्ट्रिंग दोलन की समस्या को अन्य धारणाओं के तहत प्रस्तुत किया जाता है: ऐसा माना जाता है कि विस्थापन छोटे होते हैं, और तन्य बल दिया जाता है और दोलन प्रक्रिया के दौरान अपरिवर्तित रहता है।

इस मामले में, आवृत्ति के सूत्र का रूप होता है

जहाँ N एक स्थिर तन्य बल है।

6.4. श्यान घर्षण का प्रभाव

पहले यह माना जाता था कि छड़ों की सामग्री पूरी तरह से लोचदार है और कोई घर्षण नहीं है। आइए हम आंतरिक घर्षण के प्रभाव पर विचार करें, यह मानते हुए कि यह चिपचिपा है; फिर तनाव और विकृति के बीच संबंध का वर्णन संबंधों द्वारा किया जाता है

;.(223)

वितरित मापदंडों वाली एक छड़ को मुक्त अनुदैर्ध्य कंपन करने दें। इस स्थिति में, अनुदैर्ध्य बल को प्रपत्र में लिखा जाएगा

छड़ तत्व की गति के समीकरण से संबंध (174) प्राप्त हुआ

यहां (224) को प्रतिस्थापित करने पर, हम मुख्य अंतर समीकरण पर पहुंचते हैं

,(225)

जो (175) से दूसरे पद से भिन्न है, जो चिपचिपे घर्षण बलों के प्रभाव को व्यक्त करता है।

फूरियर विधि का अनुसरण करते हुए, हम फॉर्म में समीकरण (225) का समाधान ढूंढते हैं

,(226)

जहां फ़ंक्शन केवल निर्देशांक x है, और फ़ंक्शन केवल समय t है।

इस मामले में, श्रृंखला के प्रत्येक सदस्य को समस्या की सीमा शर्तों को पूरा करना होगा, और संपूर्ण योग को प्रारंभिक शर्तों को भी पूरा करना होगा। (226) को (225) में प्रतिस्थापित करना और यह आवश्यक करना कि किसी भी संख्या के लिए समानता संतुष्ट हो आर, हम पाते हैं

,(227)

जहां अभाज्य संख्याएँ निर्देशांक के संबंध में विभेदन दर्शाती हैं एक्स, और बिंदु समय t के संबंध में विभेदन हैं।

(227) को गुणनफल से विभाजित करना , हम समानता पर आते हैं

,(228)

बाईं ओर, जो केवल समन्वय पर निर्भर हो सकता है एक्स, और सही वाला - केवल समय टी से। समानता (228) को समान रूप से पूरा करने के लिए, यह आवश्यक है कि दोनों भाग एक ही स्थिरांक के बराबर हों, जिसे हम द्वारा निरूपित करते हैं।

इससे समीकरणों का पालन करें

(229)

.(230)

समीकरण (229) श्यानता गुणांक K पर निर्भर नहीं करता है और, विशेष रूप से, पूर्णतः लोचदार प्रणाली के मामले में समान रहता है, जब। इसलिए, संख्याएँ पूरी तरह से पहले पाई गई संख्याओं से मेल खाती हैं; हालाँकि, जैसा कि नीचे दिखाया जाएगा, मान केवल प्राकृतिक आवृत्ति का अनुमानित मान देता है। ध्यान दें कि ईजेनशेप्स रॉड के चिपचिपे गुणों से पूरी तरह से स्वतंत्र हैं, यानी। मुक्त अवमंदित दोलनों के रूप मुक्त अवमंदित दोलनों के रूपों के साथ मेल खाते हैं।

अब आइए समीकरण (230) पर चलते हैं, जो नम दोलनों की प्रक्रिया का वर्णन करता है; इसका समाधान रूप है

.(233)

अभिव्यक्ति (232) क्षय की दर निर्धारित करती है, और (233) दोलन आवृत्ति निर्धारित करती है।

इस प्रकार, समस्या समीकरण का पूर्ण समाधान

.(234)

स्थिर और हमेशा दी गई प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर पाया जा सकता है। मान लीजिए कि छड़ के सभी खंडों के प्रारंभिक विस्थापन और प्रारंभिक वेग निम्नानुसार निर्दिष्ट किए गए हैं:

;,(235)

कहाँ और ज्ञात कार्य हैं।

फिर, (211) और (212) के अनुसार, हमारे पास है

इन समानताओं के दोनों पक्षों को छड़ की पूरी लंबाई से गुणा करने और एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(236)

ईजिनफ़ॉर्म की ऑर्थोगोनैलिटी की स्थिति के अनुसार, इन समानताओं के दाएँ हाथ में शामिल अन्य सभी पद शून्य हो जाते हैं। अब समानता (236) से किसी भी संख्या r को खोजना आसान है।

(232) और (234) पर विचार करते हुए, हम ध्यान देते हैं कि कंपन मोड की संख्या जितनी अधिक होगी, इसकी भिगोना उतनी ही तेज़ होगी। इसके अलावा, (234) में शामिल शब्द वास्तविक संख्या होने पर नम दोलनों का वर्णन करते हैं। (233) से यह स्पष्ट है कि यह केवल r के कुछ प्रारंभिक मूल्यों के लिए होता है जब तक कि असमानता संतुष्ट होती है

पर्याप्त रूप से बड़े मूल्यों के लिए आरअसमानता (237) का उल्लंघन होता है और मात्रा काल्पनिक हो जाती है। इस मामले में, सामान्य समाधान (234) के संबंधित शब्द अब नम दोलनों का वर्णन नहीं करेंगे, बल्कि एपेरियोडिक नम गति का प्रतिनिधित्व करेंगे। दूसरे शब्दों में, कंपन, शब्द के सामान्य अर्थ में, योग के एक निश्चित सीमित भाग (234) द्वारा ही व्यक्त किए जाते हैं।

ये सभी गुणात्मक निष्कर्ष न केवल अनुदैर्ध्य कंपन के मामले में लागू होते हैं, बल्कि मरोड़ और झुकने वाले कंपन के मामले में भी लागू होते हैं।

6.5. परिवर्तनीय क्रॉस-सेक्शन सलाखों का कंपन

ऐसे मामलों में जहां छड़ का वितरित द्रव्यमान और क्रॉस-सेक्शन इसकी लंबाई के साथ परिवर्तनशील है, अनुदैर्ध्य कंपन समीकरण (175) के बजाय, समीकरण से आगे बढ़ना चाहिए

.(238)

मरोड़ कंपन समीकरण (187) को समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए

,(239)

और अनुप्रस्थ कंपन का समीकरण (192) है

.(240)

समान प्रतिस्थापनों की सहायता से समीकरण (238)-(240) को फ़ंक्शन के लिए सामान्य अंतर समीकरणों में घटाया जा सकता है

यांत्रिकी

यूडीसी 531.01/534.112

छड़ों के एक पैकेट का अनुदैर्ध्य कंपन

पूर्वाह्न। पावलोव, ए.एन. टेम्नोव

एमएसटीयू इम. एन.ई. बॉमन, मॉस्को, रूसी संघ ई-मेल: [ईमेल सुरक्षित]; [ईमेल सुरक्षित]

तरल-प्रणोदक रॉकेटों की गतिशीलता के मामलों में, अनुदैर्ध्य लोचदार दोलन होने पर रॉकेट गति की स्थिरता की समस्या एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। ऐसे दोलनों की उपस्थिति से आत्म-दोलन की स्थापना हो सकती है, जो, यदि रॉकेट अनुदैर्ध्य दिशा में अस्थिर है, तो इसके तेजी से विनाश का कारण बन सकता है। एक पैकेज रॉकेट के अनुदैर्ध्य दोलनों की समस्या तैयार की गई है; छड़ों के एक पैकेज का उपयोग गणना मॉडल के रूप में किया जाता है। यह स्वीकार किया जाता है कि रॉकेट टैंक में तरल पदार्थ "जमा हुआ" है, अर्थात। द्रव की अपनी गतियों पर ध्यान नहीं दिया जाता है। विचाराधीन समस्या के लिए कुल ऊर्जा संतुलन का नियम तैयार किया गया है और इसका संचालक सूत्रीकरण दिया गया है। एक संख्यात्मक उदाहरण दिया गया है, जिसके लिए आवृत्तियाँ निर्धारित की जाती हैं, और प्राकृतिक दोलनों के आकार का निर्माण और विश्लेषण किया जाता है।

मुख्य शब्द: अनुदैर्ध्य कंपन, कंपन की आवृत्ति और आकार, छड़ों का पैकेज, कुल ऊर्जा संतुलन कानून, स्व-सहायक ऑपरेटर, कंपन स्पेक्ट्रम, POGO।

छड़ों की प्रणाली अनुदैर्ध्य कंपन ए.एम. पावलोव, ए.एल. टेम्नोव

बॉमन मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी, मॉस्को, रूसी संघ ई-मेल: [ईमेल सुरक्षित]; [ईमेल सुरक्षित]

तरल ईंधन रॉकेटों की गतिशीलता के प्रश्नों में अनुदैर्ध्य लोचदार कंपन की उपस्थिति के साथ इस रॉकेट की गति स्थिरता की समस्या की महत्वपूर्ण भूमिका है। इस प्रकार के कंपन की घटना स्व-कंपन उत्पन्न कर सकती है जो अनुदैर्ध्य दिशा के भीतर रॉकेट अस्थिरता के मामले में रॉकेट के तेजी से विनाश का कारण बन सकती है। पैकेट योजना के आधार पर तरल ईंधन रॉकेट के अनुदैर्ध्य कंपन पर समस्या को कम्प्यूटेशनल मॉडल के रूप में पैकेज रॉड का उपयोग करके तैयार किया गया है। यह माना जाता है कि रॉकेट टैंक में तरल "जमा हुआ" है, अर्थात। द्रव की उचित गतियाँ शामिल नहीं हैं। इस समस्या के लिए ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत तैयार किया गया और इसकी ऑपरेटर स्टेजिंग दी गई है। एक संख्यात्मक उदाहरण है, जिसके लिए आवृत्तियों को निर्धारित किया गया है, ईजेन कंपन के रूपों का निर्माण और विश्लेषण किया गया है।

कीवर्ड: अनुदैर्ध्य कंपन, ईजेन मोड और आवृत्तियाँ, छड़ मॉडल, ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत, सेल्फएडजॉइंट ऑपरेटर, कंपन स्पेक्ट्रम, POGO।

परिचय। वर्तमान में, रूस और विदेशों में, केंद्रीय ब्लॉक के चारों ओर समान रूप से वितरित समान साइड ब्लॉक वाले पैकेज लेआउट के लॉन्च वाहनों का उपयोग अक्सर पेलोड को आवश्यक कक्षा में लॉन्च करने के लिए किया जाता है।

पैकेज संरचनाओं के कंपन के अध्ययन में पार्श्व और केंद्रीय ब्लॉकों के गतिशील प्रभाव से जुड़ी कुछ कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है। लॉन्च वाहन लेआउट की समरूपता के मामले में, पैकेज डिज़ाइन के ब्लॉकों की जटिल, स्थानिक बातचीत को सीमित प्रकार के कंपन में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से एक केंद्रीय और साइड ब्लॉक के अनुदैर्ध्य कंपन है। पतली दीवार वाली छड़ों के पैकेज के रूप में ऐसी संरचना के अनुदैर्ध्य कंपन के गणितीय मॉडल पर काम में विस्तार से चर्चा की गई है। चावल। 1. केंद्रीय की योजना- यह लेख अनुदैर्ध्य की सैद्धांतिक छड़ी और कम्प्यूटेशनल परिणाम प्रस्तुत करता है

छड़ों के एक पैकेज का कंपन, ए.ए. द्वारा किए गए अध्ययन का पूरक है। दया।

समस्या का निरूपण. आइए हम छड़ों के एक पैकेज के अन्य अनुदैर्ध्य कंपनों पर विचार करें जिसमें लंबाई l0 की केंद्रीय छड़ और समान लंबाई j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, बंधी हुई N पार्श्व छड़ें शामिल हैं। बिंदु A (xA = l) पर (चित्र 1) कठोरता k के साथ केंद्रीय स्प्रिंग तत्वों के साथ।

आइए हम एक निश्चित संदर्भ फ्रेम OX का परिचय दें और मान लें कि छड़ों की कठोरता EFj (x), वितरित द्रव्यमान mj (x) और विक्षोभ q (x,t) निर्देशांक x के बंधे हुए कार्य हैं:

0

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

0

मान लीजिए, अनुदैर्ध्य कंपन के दौरान, समन्वय x के साथ छड़ों के वर्गों में विस्थापन Uj (x, t) उत्पन्न होता है, जो समीकरणों द्वारा निर्धारित होता है

एमजे (एक्स) ^ - ¿(ईएफजे (एक्स) ^ = क्यूजे (एक्स,टी), जे = 0,1, 2,..., एन, (2)

छड़ों के सिरों पर सामान्य बलों की अनुपस्थिति के लिए सीमा स्थितियाँ

3 =0, x = 0, ^ = 1, 2,

0, x = 0, x = l0;

छड़ों में उत्पन्न होने वाले सामान्य बलों की समानता की स्थितियाँ,

ईएफ-3 = एफ एक्स = एल

वसंत तत्वों की लोचदार ताकतें

FпPJ = к (ш (ха) - y (¡,)); (4)

EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa;

केंद्रीय छड़ के बिंदु xa पर विस्थापन की समानता की स्थिति

शच (ह-ओ) = शच (एक्सए+ओ) और प्रारंभिक शर्तें

शच य (एक्स, 0) - शच (एक्स); , _

यू(एक्स, 0) = यू(एक्स),

जहां u(x, 0) = "d^1(x, 0).

कुल ऊर्जा संतुलन का नियम. आइए समीकरण (2) को u(x,ξ) से गुणा करें, प्रत्येक छड़ की लंबाई पर एकीकृत करें और सीमा शर्तों (3) और मिलान स्थिति (4) का उपयोग करके परिणामों को जोड़ें। परिणाम हमें मिलता है

(( 1 ^ [ (डीआईएल 2

टीजेड (एक्स) "बीटी" (एक्स+

डीटी | 2 ^ जे 3 डब्ल्यू वी डीटी

एन एक्स „ एच 2 .. एन „ आई।

1 ^ Г „„ , एफ डीп3\ , 1 ^ Гj

1 एन /* आई डीपीएल 2 1 एन फ्लो जे

EF3 dx +2^Уо И (x - -)(नहीं - Uj)2 dx

= / ^ (x, £) उन्हें y (x, £) (x, (6)

जहां 8 (x - ¡y) डिराक डेल्टा फ़ंक्शन है। समीकरण (6) में, घुंघराले कोष्ठक में पहला पद प्रणाली की गतिज ऊर्जा टी (¿) का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरा संभावित ऊर्जा पीआर (£) है, जो छड़ के विरूपण के कारण होता है, और तीसरा संभावित ऊर्जा है वसंत तत्वों के पीके (£), जो लोचदार विकृतियों की उपस्थिति में छड़ के रूप में लिखा जा सकता है

Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu.

समीकरण (6) से पता चलता है कि विचाराधीन यांत्रिक प्रणाली की प्रति इकाई समय में कुल ऊर्जा में परिवर्तन शक्ति के बराबर है

बाहरी प्रभाव. बाह्य विक्षोभ q (x,t) की अनुपस्थिति में, हमें कुल ऊर्जा के संरक्षण का नियम प्राप्त होता है:

टी (टी) + पीआर (टी) + पीके (टी) = टी (0) + पीआर (0) + पीके (0)।

छायांकन. ऊर्जा संतुलन कानून से पता चलता है कि किसी भी समय टी कार्यों के लिए यूजे (एक्स, टी) को हिल्बर्ट स्पेस एल 2 जे (; एम 3 (एक्स)) के तत्वों के रूप में माना जा सकता है, जो स्केलर उत्पाद द्वारा लंबाई ¡i पर परिभाषित किया गया है।

(us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

और संबंधित मानदंड।

आइए हम ऑर्थोगोनल योग L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, वेक्टर फ़ंक्शन U = (uo, Ui,..., uN)т और ऑपरेटर A के बराबर हिल्बर्ट स्पेस H का परिचय दें संबंध के अनुसार स्थान H

AU = डायग (A00U0, A11U1,..., Annun)।

एमजे(x)dx\jdx"

ऑपरेटरों को परिभाषित किया गया

शर्तों (3) और (4) को संतुष्ट करने वाले कार्यों का सेट बी (ए33) सी।

मूल समस्या (1)-(5) प्रारंभिक शर्तों सहित प्रपत्र में लिखी जायेगी

एयू = एफ (*), यू (0) = यू0, 17(0) = यू1, (7)

जहाँ f (*) = (से (*),51 (*),..., यम (¿))t।

लेम्मा. 1. यदि पहली दो स्थितियाँ (1) संतुष्ट हैं, तो विकास समस्या (7) में ऑपरेटर ए, अंतरिक्ष एच में एक असीमित, स्व-संयुक्त, सकारात्मक निश्चित ऑपरेटर है

(Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i.

2. ऑपरेटर ए छड़ों के एक पैकेज के दोलनों की संभावित ऊर्जा के दोगुने के बराबर मानक के साथ एक ऊर्जा स्थान NA उत्पन्न करता है

3\^I h)2 = 2P > 0. (8)

IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2P > 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ जेएम(एक्स) (- जेएक्स) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... =

ईएफओ (एक्स) यूओ (एक्स) वीओ (एक्स) डीएक्स - ईएफओ (एक्स) यू) (एक्स) वीओ (एक्स)

जे ईएफओ (एक्स) यूओ (एक्स) वीओ (एक्स) डीएक्स - ईएफओ (एक्स) यूओ (एक्स) ?ओ (एक्स)

+ ^^ / ईएफ- (एक्स) यू- (एक्स) वीओ (एक्स) डीएक्स - ^^ ईएफ- (एक्स) यू- (एक्स) वी- (एक्स)

जे ईएफओ (एक्स) यूओ (एक्स) वी" (एक्स) डीएक्स - ईएफओ (एक्सए - 0) यूओ (एक्सए - 0) वीओ (एक्सए) + 0

ईएफओ (एक्सए + 0) यूओ (एक्सए + 0) वीओ (एक्सए) - £ ईएफ- (/-) यू- (/-) वी- (/-) +

जे ईएफ- (एक्स) यू- (एक्स) वी- (एक्स) डीएक्स = जे ईएफओ (एक्स) यूओ (एक्स) वीओ (एक्स) डीएक्स+ -=100

+ £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o

ओ(एक्सए)-

£ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 -

+ £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H

(एयू, यू)एच = ... = आई ईएफ0 (एक्स) यू"2 (एक्स) डीएक्स - ईएफ0 (एक्स) यू0 (एक्स) यू0 (एक्स)

जे EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) =

EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx +

एस / ईएफजे (एक्स) यू"2 (एक्स) डीएक्स + के ^ (यू0 (एल) - यूजे (एल))2 > सी2 (यू, यू)एच

उपरोक्त परिणामों से यह निष्कर्ष निकलता है कि ऑपरेटर ए का ऊर्जा मानदंड सूत्र (8) द्वारा व्यक्त किया गया है।

विकासवादी समस्या का समाधान। आइए हम निम्नलिखित प्रमेय तैयार करें।

प्रमेय 1. शर्तों को संतुष्ट होने दें

U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H),

तब समस्या (7) में सूत्र द्वारा परिभाषित अंतराल पर एक अद्वितीय कमजोर समाधान यू (टी) होता है

U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 syn (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds.

5 बाह्य विक्षोभ f (£) की अनुपस्थिति में, ऊर्जा संरक्षण का नियम संतुष्ट होता है

1 II ए 1/2यूИ2 = 1

1 II ए1/2यू 0|एच.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

छड़ों के पैकेज का प्राकृतिक कंपन। आइए मान लें कि छड़ प्रणाली बाहरी बलों के क्षेत्र से प्रभावित नहीं होती है: f (t) = 0. इस मामले में, छड़ों की गति को मुक्त कहा जाएगा। कानून exp (iwt) के अनुसार समय t के आधार पर छड़ों की मुक्त गति को प्राकृतिक कंपन कहा जाएगा। समीकरण (7) में U (x, t) = U (x) eiWÍ लेते हुए, हम ऑपरेटर A के लिए वर्णक्रमीय समस्या प्राप्त करते हैं:

एयू - एईयू = 0, एल = डब्ल्यू2। (9)

ऑपरेटर A के गुण हमें eigenfunctions के स्पेक्ट्रम और गुणों के बारे में एक प्रमेय तैयार करने की अनुमति देते हैं।

प्रमेय 2. छड़ों के एक पैकेज के प्राकृतिक कंपन के बारे में वर्णक्रमीय समस्या (9) में एक असतत सकारात्मक स्पेक्ट्रम होता है

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

और eigenfunctions की एक प्रणाली (Uk (x))^=0, रिक्त स्थान H और HA में पूर्ण और ऑर्थोगोनल, और निम्नलिखित ऑर्थोगोनैलिटी सूत्र संतुष्ट हैं:

(Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(यूके= £/टी^) डी*+

K ("feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. जे=आई

छड़ों के सजातीय पैकेज के मामले में वर्णक्रमीय समस्या का अध्ययन। विस्थापन फ़ंक्शन m- (x, £) को m- (x, £) = m- (x) के रूप में प्रस्तुत करते हुए, चर को अलग करने के बाद हम प्रत्येक छड़ के लिए वर्णक्रमीय समस्याएं प्राप्त करते हैं:

^ओआई + एलएम = 0, ^ = 0,1,2,..., एन (10)

जिसे हम मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं

4 £ + ली = 0,

ए = -,-,-,...,-

\ t0 t1 t2 t «

यू = (यू0, यू1, यू2,..., यू")टी।

प्राप्त परिणामों का समाधान एवं विश्लेषण। आइए हम अनुभाग में केंद्रीय छड़ के विस्थापन कार्यों को u01 के रूप में और अनुभाग में u02 (g) के रूप में निरूपित करें। इस मामले में, फ़ंक्शन u02 के लिए हम निर्देशांक की उत्पत्ति को निर्देशांक / वाले बिंदु पर ले जाते हैं। प्रत्येक छड़ के लिए हम समीकरण (10) का समाधान फॉर्म में प्रस्तुत करते हैं

(11) में अज्ञात स्थिरांक खोजने के लिए, हम ऊपर तैयार की गई सीमा शर्तों का उपयोग करते हैं। सजातीय सीमा स्थितियों से कुछ स्थिरांक निर्धारित करना संभव है, अर्थात्:

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0.

परिणामस्वरूप, N + 3 स्थिरांक ज्ञात करना बाकी है: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1। ऐसा करने के लिए, हम N + 3 अज्ञात के लिए N + 3 समीकरण हल करते हैं।

आइए परिणामी सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखें: (ए) (सी) = (0)। यहाँ (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t अज्ञात का सदिश है; (ए) - विशेषता मैट्रिक्स,

क्योंकि (ए1) ईएफ0 ए पाप (ए1) +

L पाप (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 y 00 00 0 000Y

a = k soe ^ ^A-L^ ; in = -k co8((.40-01L)1/2 ^ ;

7 = (ए4"-1 एल) 1/2 एपी ((ए"1एल) 1/2 + के सोव ((ए"1एल) 1/2;

(~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; ए--: 3 = 0.

एक गैर-तुच्छ समाधान खोजने के लिए, हम स्थिरांक C01 € M को एक चर के रूप में लेते हैं। हमारे पास दो विकल्प हैं: C01 = 0; C01 = 0.

मान लीजिए C01 = 0, तो C03 = C04 = 0. इस मामले में, अतिरिक्त शर्त पूरी होने पर (12) से 7 = 0 होने पर एक गैर-तुच्छ समाधान प्राप्त किया जा सकता है

£ एस-1 = 0, (13)

जिसे सिस्टम के तीसरे समीकरण (12) से प्राप्त किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें एक सरल आवृत्ति समीकरण प्राप्त होता है

ईपी (ए"1 एल)1/2 डब्ल्यू ((ए"1^1/2 पी +

zz \V zz

के कॉस ^ (ए-/ए) 1/2 ^ = 0, जे जी,

एक सिरे पर प्रत्यास्थ रूप से स्थिर छड़ के लिए आवृत्ति समीकरण से मेल खाता है, जिसे पहली आंशिक प्रणाली माना जा सकता है।

इस मामले में, स्थिति (13) को संतुष्ट करने वाले साइड रॉड्स के आंदोलनों के सभी संभावित संयोजनों को सशर्त रूप से चरणों के विभिन्न संयोजनों के अनुरूप समूहों में विभाजित किया जा सकता है (विचाराधीन मामले में, चरण संकेत सी.डी. द्वारा निर्धारित किया जाता है)। यदि हम मान लें कि साइड की छड़ें समान हैं, तो हमारे पास दो विकल्प हैं:

1) Сд = 0, तो अलग-अलग एन के लिए ऐसे संयोजनों की संख्या की गणना सूत्र एन = एन 2 का उपयोग करके की जा सकती है, जहां शेषफल के बिना विभाजन फ़ंक्शन है;

2) स्थिरांक C- में से कोई भी (या कोई भी) 0 के बराबर है, तो संभावित संयोजनों की संख्या बढ़ जाती है और सूत्र द्वारा निर्धारित की जा सकती है

£ [(एन - एम) डिव 2]।

मान लीजिए Coi = 0, तो Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), जहां in और y (12) में शामिल संकुल हैं। सिस्टम (12) से हमारे पास यह भी है: C03 = C01 cos (А/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), यानी। सभी स्थिरांक C01 के माध्यम से व्यक्त किये जाते हैं। आवृत्ति समीकरण का रूप लेता है

ईएफओ यू-ओ1 एल टीजी ए-1 एल) " (लो - एल)) -

K2 कॉस | मैं एक!-,1 एल

उदाहरण के तौर पर, चार साइड बार वाले सिस्टम पर विचार करें। ऊपर वर्णित विधि के अलावा, इस उदाहरण के लिए, आप मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना करके और इसे शून्य के बराबर करके पूरे सिस्टम के लिए आवृत्ति समीकरण लिख सकते हैं। आइए इस पर नजर डालें

Y4 (L पाप (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+

एल कॉस (एल (/ओ - /)) (ईएफओएल पाप (एल/) + 4वी)) -

4av3L cos (L(/0 - /)) = 0.

ऊपर विचार किए गए मामलों के लिए पारलौकिक आवृत्ति समीकरणों के ग्राफ़ चित्र में प्रस्तुत किए गए हैं। 2. निम्नलिखित को प्रारंभिक डेटा के रूप में लिया गया: EF = 2,109 N; ईएफ0 = 2.2 109 एन; के = 7 107 एन/एम; मी = 5900 किग्रा/मीटर; मो = 6000 किग्रा/मीटर; / = 23; /ओ = 33 मीटर। विचारित सर्किट की पहली तीन दोलन आवृत्तियों के मान नीचे दिए गए हैं:

एन......................................

और, ख़ुशी है...................................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

चावल। 2. Coi = 0 (i) और Coi = 0 (2) के लिए पारलौकिक आवृत्ति समीकरणों के ग्राफ़

आइए हम प्राप्त समाधानों के अनुरूप कंपन मोड प्रस्तुत करें (सामान्य स्थिति में, कंपन मोड सामान्यीकृत नहीं होते हैं)। पहली, दूसरी, तीसरी, चौथी, 13 और 14 आवृत्तियों के अनुरूप कंपन रूपों को चित्र में दिखाया गया है। 3. पहली कंपन आवृत्ति पर, साइड की छड़ें एक ही आकार में कंपन करती हैं, लेकिन एंटीफ़ेज़ में जोड़े में

चित्र 3. पक्ष (1) और केंद्रीय (2) छड़ों के कंपन के रूप, पहले वी = 3.20 हर्ट्ज (ए), दूसरे वी = 5.02 हर्ट्ज (बी), तीसरे वी = 10.11 हर्ट्ज (सी), चौथे के अनुरूप वी = 13.60 हर्ट्ज (डी), 13वां वी = 45.90 हर्ट्ज (डी) और 14वां वी = 50.88 हर्ट्ज (एफ) आवृत्तियाँ

(चित्र 3, ए), दूसरे के साथ, केंद्रीय छड़ दोलन करती है, और पार्श्व वाले चरण में समान आकार में दोलन करते हैं (चित्र 3, बी)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विचाराधीन रॉड प्रणाली की पहली और दूसरी कंपन आवृत्तियाँ ठोस निकायों से युक्त प्रणाली के कंपन के अनुरूप हैं।

जब सिस्टम तीसरी प्राकृतिक आवृत्ति के साथ दोलन करता है, तो नोड्स पहली बार दिखाई देते हैं (चित्र 3सी)। तीसरी और बाद की आवृत्तियाँ (चित्र 3डी) सिस्टम के लोचदार कंपन के अनुरूप हैं। कंपन की आवृत्ति में वृद्धि के साथ, लोचदार तत्वों के प्रभाव में कमी के साथ, कंपन की आवृत्ति और आकार आंशिक हो जाते हैं (चित्र 3, ई, एफ)।

कार्यों के वक्र, भुज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पारलौकिक समीकरणों के समाधान हैं, चित्र में प्रस्तुत किए गए हैं। 4. चित्र के अनुसार, सिस्टम के दोलनों की प्राकृतिक आवृत्तियाँ आंशिक आवृत्तियों के पास स्थित होती हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, बढ़ती आवृत्ति के साथ, आंशिक आवृत्तियों के साथ प्राकृतिक आवृत्तियों का अभिसरण बढ़ता है। परिणामस्वरूप, वे आवृत्तियाँ जिन पर पूरा सिस्टम दोलन करता है, उन्हें पारंपरिक रूप से दो समूहों में विभाजित किया जाता है: वे जो साइड रॉड की आंशिक आवृत्तियों के करीब होती हैं और वे आवृत्तियाँ जो केंद्रीय रॉड की आंशिक आवृत्तियों के करीब होती हैं।

निष्कर्ष. छड़ों के पैकेज के अनुदैर्ध्य कंपन की समस्या पर विचार किया जाता है। प्रस्तुत सीमा मूल्य समस्या के गुणों और इसके eigenvalues ​​​​के स्पेक्ट्रम का वर्णन किया गया है। सजातीय पार्श्व छड़ों की मनमानी संख्या के लिए वर्णक्रमीय समस्या का समाधान प्रस्तावित है। संख्यात्मक उदाहरण के लिए, पहले दोलन आवृत्तियों के मान पाए जाते हैं और संबंधित आकृतियों का निर्माण किया जाता है। निर्मित कंपन मोड के कुछ विशिष्ट गुणों की भी पहचान की गई।

चावल। 4. कार्यों के वक्र, भुज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पारलौकिक समीकरणों के समाधान हैं, CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) के लिए पहले आंशिक प्रणाली (लोचदार के लिए तय की गई साइड रॉड) के साथ मेल खाते हैं बिंदु x = I पर तत्व) और दूसरा आंशिक सिस्टम (5) (बिंदु A पर चार लोचदार तत्वों के लिए तय की गई केंद्रीय छड़)

साहित्य

1. कोलेनिकोव के.एस. रॉकेट की गतिशीलता. एम.: मैकेनिकल इंजीनियरिंग, 2003. 520 पी.

2. बैलिस्टिक मिसाइलें और प्रक्षेपण यान / ओ.एम. अलीफ़ानोव, ए.एन. एंड्रीव, वी.एन. गुशचिन एट अल. एम.: बस्टर्ड, 2004. 511 पी.

3. राबिनोविच बी.आई. अंतरिक्ष यान प्रक्षेपण वाहनों की गतिशीलता का परिचय। एम.: मैकेनिकल इंजीनियरिंग, 1974. 396 पी।

4. तरल रॉकेटों की POGO स्थिरता पर पैरामीटर अध्ययन / Z. झाओ, जी. रेन, Z. यू, बी. तांग, Q. झांग // अंतरिक्ष यान और रॉकेट्स के जे. 2011. वॉल्यूम. 48.है. 3. पी. 537-541.

5. बालाकिरेव यू.जी. तरल-चालित प्रक्षेपण वाहनों के अनुदैर्ध्य कंपन का विश्लेषण करने के तरीके // कॉस्मोनॉटिक्स और रॉकेट साइंस। 1995. क्रमांक 5. पी. 50-58.

6. बालाकिरेव यू.जी. नियंत्रण वस्तु के रूप में बैच व्यवस्था के तरल रॉकेट के गणितीय मॉडल की विशेषताएं // आधुनिक मैकेनिकल इंजीनियरिंग की ताकत की चयनित समस्याएं। 2008. पीपी. 43-55.

7. डोकुचेव एल.वी. पैकेज लॉन्च वाहन की गतिशीलता का अध्ययन करने के तरीकों में सुधार, उनकी समरूपता को ध्यान में रखते हुए // कॉस्मोनॉटिक्स और रॉकेट साइंस। 2005. क्रमांक 2. पी. 112-121.

8. पॉज़ालोस्टिन ए.ए. तरल के साथ लोचदार गोले के प्राकृतिक और मजबूर कंपन की गणना के लिए अनुमानित विश्लेषणात्मक तरीकों का विकास: डिस। ... डॉ. टेक. विज्ञान. एम., 2005. 220 पी.

9. क्रेन एस.जी. बनच स्थानों में रैखिक अंतर समीकरण। एम.: नौका, 1967. 464 पी.

10. कोपाचेव्स्की आई.डी. गणितीय भौतिकी की संचालक विधियाँ। सिम्फ़रोपोल: एलएलसी "फ़ॉर्मा", 2008. 140 पी।

कोलेनिकोव के.एस. दिनमिका रैकेट. मॉस्को, मैशिनोस्ट्रोनी प्रकाशन, 2003. 520 पी।

अलीफ़ानोव ओ.एन., एंड्रीव ए.एन., गुशचिन वी.एन., एड। बैलिस्टिकेस्की रेकेटी और रेकेटी-नोसिटेली। मॉस्को, ड्रोफ़ा प्रकाशन, 2003. 511 पी।

राबिनोविच बी.आई. वेवेडेनी वी दिनामिकु राकेत-नोसिटेले कोस्मिचेस्किख एपराटोव। मॉस्को, मैशिनोस्ट्रोनी प्रकाशन, 1974. 396 पी।

झाओ जेड, रेन जी, यू जेड, तांग बी, झांग क्यू। तरल ईंधन रॉकेट की POGO स्थिरता पर पैरामीटर अध्ययन। जे. अंतरिक्ष यान और रॉकेट, 2011, खंड। 48, आईएस. 3, पृ. 537-541.

बालाकिरेव यू.जी. तरल प्रणोदक इंजन वाले प्रक्षेपण यानों के अनुदैर्ध्य कंपन के विश्लेषण की विधियाँ। कोसम. मैं raketostr. , 1995, सं. 5, पृ. 50-58 (रूस में)।

बालाकिरेव यू.जी. ओसोबेन्नोस्टी माटेमाटिचेस्कोय मॉडली ज़िडकोस्टनॉय राकेटी पैकेटनोय कॉम्पोनोवकी काक ओब"एक्टा उपरावलेनी। एसबी। "इज़ब्रान्नये प्रॉब्लमी प्रोच्नोस्टी सोव्रेमेनोगो माशिनोस्ट्रोएनिया"। मॉस्को, फ़िज़मैटलिट पब्लिक, 2008। 204 पी. (उद्धृत पीपी. 4355)।

डोकुचेव एल.वी. क्लस्टर्ड लॉन्च वाहनों की समरूपता पर विचार करते हुए उनकी गतिशीलता का अध्ययन करने के तरीकों में सुधार। कोसम. मैं raketostr. , 2005, नहीं। 2, पृ. 112-121 (रूस में)।

पॉज़लोस्टिन ए.ए. रज़राबोट्का प्रिब्लिज़ेनिख एनालिटिचेस्किख मेटोडोव राशेटा सोबस्टवेनिख आई विनुज़्डेनीख कोलेबनी उपरुगिख ओबोलोचेक एस ज़िडकोस्ट"यू। डिस। डॉक्टर। तेखन। नौक।

क्रेयन एस.जी. लाइनयेन डिफरेंशियल"नये उरावनेनिया वी बानाखोविख प्रोस्ट्रानस्टवाख। मॉस्को, नौका पब्लिक, 1967। 464 पी। कोपाचेवस्की आई.डी. ऑपरेटरनी मेटोडी माटेमाटिचेस्कोय फ़िज़िकी। सिम्फ़रोपोल", फॉर्मा पब्लिक, 2008. 140 पी।

यह लेख संपादक को 28 अप्रैल 2014 को प्राप्त हुआ

पावलोव आर्सेनी मिखाइलोविच - एमएसटीयू में अंतरिक्ष यान और प्रक्षेपण यान विभाग के छात्र। एन.ई. बौमन. रॉकेट और अंतरिक्ष प्रौद्योगिकी के क्षेत्र में विशेषज्ञता।

एमएसटीयू इम. एन.ई. बौमाश, रूसी संघ, 105005, मॉस्को, 2रा बौमांस्काया स्ट्रीट, 5।

पावलोव ए.एम. - बॉमन मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी के "अंतरिक्ष यान और प्रक्षेपण यान" विभाग के छात्र। रॉकेट एवं अंतरिक्ष प्रौद्योगिकी के क्षेत्र में विशेषज्ञ। बाउमन मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी, 2-या बाउमांस्काया सेंट। 5, मॉस्को, 105005 रूसी संघ।

टेम्नोव अलेक्जेंडर निकोलाइविच - पीएच.डी. भौतिकी और गणित विज्ञान, अंतरिक्ष यान और प्रक्षेपण यान विभाग, मॉस्को राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय के एसोसिएट प्रोफेसर। एन.ई. बौमन. द्रव और गैस यांत्रिकी और रॉकेट और अंतरिक्ष प्रौद्योगिकी के क्षेत्र में 20 से अधिक वैज्ञानिक पत्रों के लेखक। एमएसटीयू इम. एन.ई. बौमाश, रूसी संघ, 105005, मॉस्को, 2रा बौमांस्काया स्ट्रीट, 5।

टेम्नोव ए.एन. - कैंड. विज्ञान. (भौतिकी-गणित), एसोसिएट। बॉमन मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी के "अंतरिक्ष यान और प्रक्षेपण यान" विभाग के प्रोफेसर। द्रव और गैस यांत्रिकी और रॉकेट-और-अंतरिक्ष प्रौद्योगिकी के क्षेत्र में 20 से अधिक प्रकाशनों के लेखक।

बाउमन मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी, 2-या बाउमांस्काया सेंट। 5, मॉस्को, 105005 रूसी संघ।

आइए हम लंबाई की एक समान छड़ पर विचार करें, यानी, बेलनाकार या किसी अन्य आकार का एक पिंड, जिसे खींचने या मोड़ने के लिए एक निश्चित बल लगाना होगा। बाद की परिस्थिति सबसे पतली छड़ को भी एक डोरी से अलग करती है, जो, जैसा कि हम जानते हैं, स्वतंत्र रूप से झुकती है।

इस अध्याय में, हम छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन के अध्ययन के लिए विशेषताओं की विधि लागू करेंगे, और हम खुद को केवल ऐसे कंपन का अध्ययन करने तक सीमित रखेंगे जिसमें क्रॉस सेक्शन, रॉड की धुरी के साथ चलते हुए, सपाट और समानांतर रहते हैं एक दूसरे को (चित्र 6)। ऐसी धारणा उचित है यदि छड़ के अनुप्रस्थ आयाम उसकी लंबाई की तुलना में छोटे हों।

यदि छड़ को अनुदैर्ध्य अक्ष के अनुदिश थोड़ा सा खींचा या दबाया जाए और फिर उसी स्थिति में छोड़ दिया जाए तो उसमें अनुदैर्ध्य कंपन उत्पन्न होगा। आइए हम अक्ष को छड़ की धुरी के अनुदिश निर्देशित करें और मान लें कि आराम की स्थिति में छड़ के सिरे बिंदुओं पर होते हैं, जब छड़ आराम की स्थिति में होती है तो छड़ के एक निश्चित खंड का भुज होता है। आइए हम समय के क्षण में इस खंड के विस्थापन से निरूपित करें, तो भुज के साथ खंड का विस्थापन बराबर होगा

यहाँ से यह स्पष्ट है कि भुज x वाले अनुभाग में छड़ का सापेक्ष बढ़ाव व्युत्पन्न द्वारा व्यक्त किया जाता है

अब यह मानते हुए कि छड़ छोटे-छोटे दोलनों से गुजरती है, हम इस खंड में तनाव की गणना कर सकते हैं। वास्तव में, हुक के नियम को लागू करने पर, हम पाते हैं कि

रॉड सामग्री का लोचदार मापांक, इसका क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र कहां है। आइए हम एक संलग्न छड़ तत्व लें

दो खंडों के बीच, जिनके भुज आराम पर हैं, क्रमशः बराबर हैं। इस तत्व पर इन खंडों में लागू तनाव बलों द्वारा कार्य किया जाता है और अक्ष के साथ निर्देशित किया जाता है। इन बलों के परिणाम का परिमाण होता है

और साथ में निर्देशित भी है. दूसरी ओर, तत्व का त्वरण बराबर होता है, जिसके परिणामस्वरूप हम समानता लिख ​​सकते हैं

छड़ का आयतन घनत्व कहाँ है? लाना

और घटाने से हमें एक सजातीय छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन का अंतर समीकरण प्राप्त होता है

इस समीकरण के रूप से पता चलता है कि छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन तरंग प्रकृति के होते हैं, और अनुदैर्ध्य तरंगों के प्रसार की गति सूत्र (4) द्वारा निर्धारित की जाती है।

यदि छड़ पर उसके आयतन की प्रति इकाई गणना की गई बाहरी शक्ति द्वारा भी कार्य किया जाता है, तो (3) के बजाय हमें प्राप्त होता है

यह छड़ के मजबूर अनुदैर्ध्य कंपन का समीकरण है। जैसा कि सामान्य तौर पर गतिशीलता में होता है, गति का समीकरण (6) अकेले छड़ी की गति को पूरी तरह से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। प्रारंभिक स्थितियाँ निर्धारित करना आवश्यक है, अर्थात समय के प्रारंभिक क्षण में छड़ के वर्गों के विस्थापन और उनके वेग को निर्धारित करना

अंतराल में कार्य कहां और दिए गए हैं (

इसके अलावा, रॉड के सिरों पर सीमा की स्थिति निर्दिष्ट की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए।

इस अनुभाग में हम एक सजातीय छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन की समस्या पर विचार करेंगे। छड़ एक बेलनाकार (विशेष रूप से, प्रिज्मीय) शरीर है, जिसे खींचने या संपीड़ित करने के लिए एक निश्चित बल लगाना पड़ता है। हम यह मानेंगे कि सभी बल छड़ की धुरी के अनुदिश कार्य करते हैं और छड़ का प्रत्येक अनुप्रस्थ काट (चित्र 23) केवल छड़ की धुरी के अनुदिश स्थानांतरित होता है।

आमतौर पर यह धारणा उचित है यदि छड़ के अनुप्रस्थ आयाम उसकी लंबाई की तुलना में छोटे हैं, और छड़ की धुरी के साथ कार्य करने वाली ताकतें अपेक्षाकृत छोटी हैं। व्यवहार में, अनुदैर्ध्य कंपन अक्सर तब होता है जब रॉड को पहले थोड़ा बढ़ाया जाता है या, इसके विपरीत, संपीड़ित किया जाता है और फिर अपने उपकरणों पर छोड़ दिया जाता है। ऐसे में इसमें मुक्त अनुदैर्ध्य कंपन उत्पन्न होते हैं। आइए हम इन दोलनों के लिए समीकरण प्राप्त करें।

आइए भुज अक्ष को छड़ की धुरी के अनुदिश निर्देशित करें (चित्र 23); आराम की स्थिति में, छड़ के सिरों पर क्रमशः भुजिकाएं होती हैं। क्रॉस सेक्शन पर विचार करें; - इसका भुज विराम अवस्था में है।

किसी भी समय इस खंड के विस्थापन को एक फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाएगा जिसे खोजने के लिए हमें एक अंतर समीकरण बनाना होगा। आइए पहले हम खंडों द्वारा सीमित छड़ के खंड के सापेक्ष बढ़ाव का पता लगाएं। यदि खंड का भुज आराम पर है, तो समय टी पर इस खंड का विस्थापन, उच्च क्रम के अनंत के लिए सटीक, के बराबर है

इसलिए, समय t पर भुज के साथ अनुभाग में छड़ का सापेक्ष बढ़ाव बराबर है

यह मानते हुए कि इस बढ़ाव का कारण बनने वाली ताकतें हुक के नियम का पालन करती हैं, हम अनुभाग पर कार्य करने वाले तनाव बल टी का परिमाण पाएंगे:

(5.2)

रॉड का क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र कहां है, और रॉड सामग्री का लोचदार मापांक (यंग का मापांक) है। सामग्री की ताकत पर सूत्र (5.2) पाठक को पाठ्यक्रम से अच्छी तरह से पता होना चाहिए।

तदनुसार, अनुभाग पर कार्य करने वाला बल बराबर है

चूँकि बल छड़ के छूटे हुए हिस्सों की क्रिया को प्रतिस्थापित करते हैं, इसलिए उनका परिणामी बल अंतर के बराबर होता है

छड़ के चयनित खंड को द्रव्यमान वाला एक भौतिक बिंदु मानते हुए, छड़ का आयतन घनत्व कहां है, और उस पर न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करते हुए, हम समीकरण बनाते हैं

संक्षेप में और संकेतन का परिचय देकर हम छड़ के मुक्त अनुदैर्ध्य कंपन का अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं

यदि हम अतिरिक्त रूप से यह मान लें कि प्रति इकाई आयतन की गणना और छड़ की धुरी के साथ कार्य करने वाला एक बाहरी बल छड़ पर लगाया जाता है, तो संबंध के दाईं ओर एक शब्द जोड़ा जाएगा (5 3) और समीकरण (5.4) लेगा। रूप

जो स्ट्रिंग के मजबूर दोलनों के समीकरण से बिल्कुल मेल खाता है।

आइए अब हम समस्या की प्रारंभिक और सीमा स्थितियों को स्थापित करने के लिए आगे बढ़ें और व्यावहारिक रूप से सबसे दिलचस्प मामले पर विचार करें, जब छड़ी का एक सिरा स्थिर होता है और दूसरा स्वतंत्र होता है।

मुक्त छोर पर, सीमा की स्थिति का एक अलग रूप होगा। चूँकि इस छोर पर कोई बाहरी बल नहीं है, इसलिए अनुभाग में कार्य करने वाला बल T भी शून्य के बराबर होना चाहिए, अर्थात।

दोलन इसलिए होते हैं क्योंकि प्रारंभिक क्षण में छड़ विकृत (खींची हुई या संकुचित) थी और छड़ के बिंदुओं पर कुछ प्रारंभिक वेग प्रदान किए गए थे। इसलिए, हमें इस समय छड़ के क्रॉस सेक्शन के विस्थापन को जानना चाहिए

साथ ही छड़ के बिंदुओं का प्रारंभिक वेग भी

तो, एक सिरे पर लगी छड़ के मुक्त अनुदैर्ध्य कंपन की समस्या, जो प्रारंभिक संपीड़न या तनाव के कारण उत्पन्न होती है, हमें समीकरण तक ले गई

प्रारंभिक शर्तों के साथ

और सीमा शर्तें

यह आखिरी शर्त है, जो गणितीय दृष्टिकोण से, विचाराधीन समस्या को दोनों सिरों पर तय स्ट्रिंग के दोलनों की समस्या से अलग करती है।

हम फूरियर विधि द्वारा उत्पन्न समस्या को हल करेंगे, यानी, समीकरण के आंशिक समाधान ढूंढेंगे जो सीमा शर्तों (5.8) को संतुष्ट करते हैं

चूँकि समाधान का आगे का तरीका पहले से ही § 3 में उल्लिखित के समान है, हम खुद को केवल संक्षिप्त निर्देशों तक ही सीमित रखेंगे। फ़ंक्शन को अलग करना, परिणामी अभिव्यक्तियों को (5.6) में प्रतिस्थापित करना और चर को अलग करना, हम प्राप्त करते हैं

(हम इसे स्वतंत्र रूप से स्थापित करने के लिए पाठक पर छोड़ते हैं कि, सीमा स्थितियों के कारण, दाईं ओर स्थिरांक एक सकारात्मक संख्या या शून्य नहीं हो सकता है।) समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है

हमारे पास समारोह पर लगाई गई शर्तों के कारण होगा

ऐसे समाधान जो शून्य के बराबर नहीं हैं, केवल तभी प्राप्त होंगे जब शर्त पूरी हो, यानी, जहां k मान ले सकता है

तो, समस्या के eigenvalues ​​​​संख्याएँ हैं

प्रत्येक का अपना कार्य है

जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, किसी भी eigenfunctions को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा करके, हम निर्धारित सीमा शर्तों के साथ समीकरण का समाधान प्राप्त करेंगे। यह जांचना आसान है कि संख्या k नकारात्मक मान देकर, हम नए eigenfunctions प्राप्त नहीं करेंगे (उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन का परिणाम होगा जो eigenfunction से भिन्न होगा) केवल संकेत में),

आइए पहले हम साबित करें कि अंतराल में आइजनफंक्शन (5.11) ऑर्थोगोनल हैं। दरअसल, जब

तो अगर

आइजनफंक्शन की रूढ़िवादिता को दूसरे तरीके से साबित करना संभव है, उनकी स्पष्ट अभिव्यक्तियों पर निर्भर नहीं होकर, बल्कि केवल अंतर समीकरण और सीमा स्थितियों का उपयोग करके। मान लीजिए कि दो अलग-अलग eigenvalues ​​​​हैं, और संबंधित eigenfunctions हैं। परिभाषा के अनुसार, ये फलन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं

और सीमा शर्तें. आइए पहले समीकरण को दूसरे से गुणा करें और एक को दूसरे से घटाएं।