तर्कसंगत असमानताओं की प्रणालियों को कैसे हल करें। असमानताओं की व्यवस्था का समाधान

>>गणित: तर्कसंगत असमानताएं

एक चर x वाली परिमेय असमानता, परिमेय व्यंजकों के रूप की असमानता है, अर्थात्। संख्याओं और चर x से बने बीजीय व्यंजक जोड़, घटाव, गुणा, भाग और प्राकृतिक घात तक बढ़ाने की संक्रियाओं का उपयोग करते हैं। बेशक, चर को किसी अन्य अक्षर से निरूपित किया जा सकता है, लेकिन गणित में, अक्षर x को सबसे अधिक पसंद किया जाता है।

तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय, ऊपर § 1 में तैयार किए गए तीन नियमों का उपयोग किया जाता है। इन नियमों की सहायता से, दी गई तर्कसंगत असमानता को आमतौर पर / (x)> 0 के रूप में परिवर्तित किया जाता है, जहां / (x) एक बीजीय है भिन्न (या बहुपद)। इसके बाद, अंश f (x) के अंश और हर को x - a (यदि, निश्चित रूप से, यह संभव है) के कारकों में विघटित करें और अंतराल विधि को लागू करें, जिसका हमने पहले ही ऊपर उल्लेख किया है (पिछले में उदाहरण 3 देखें) पैराग्राफ)।

उदाहरण 1असमानता को हल करें (x - 1) (x + 1) (x - 2)> 0।

फेसला।व्यंजक f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2) पर विचार करें।

यह अंक 1,-1,2 पर 0 हो जाता है; इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर अंकित करें। संख्यात्मक रेखा को संकेतित बिंदुओं द्वारा चार अंतरालों (चित्र 6) में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक पर व्यंजक f (x) एक स्थिर चिह्न रखता है। इसे सत्यापित करने के लिए, हम चार तर्क देंगे (इनमें से प्रत्येक अंतराल के लिए अलग से)।

अंतराल से कोई भी बिंदु x लें (2, यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के दाईं ओर, बिंदु 1 के दाईं ओर और बिंदु 2 के दाईं ओर स्थित है। इसका मतलब है कि x> -1, x> 1, x> 2 (चित्र 7) लेकिन फिर x-1>0, x+1>0, x - 2> 0, और इसलिए f (x)> 0 (तीन सकारात्मक की तर्कसंगत असमानता के उत्पाद के रूप में) संख्याएँ)। तो, असमानता f (x )> 0।

अंतराल (1,2) से कोई भी बिंदु x लीजिए। यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के दाईं ओर, बिंदु 1 के दाईं ओर, लेकिन बिंदु 2 के बाईं ओर स्थित है। इसलिए, x\u003e -1, x\u003e 1, लेकिन x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

अंतराल (-1,1) से कोई भी बिंदु x लीजिए। यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के दाईं ओर, बिंदु 1 के बाईं ओर और बिंदु 2 के बाईं ओर स्थित है। तो x> -1, लेकिन x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, एक्स -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (दो ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या के गुणनफल के रूप में)। तो, अंतराल (-1,1) पर असमानता f (x)> 0 धारण करती है।

अंत में, खुली किरण (-oo, -1) से कोई भी बिंदु x लें। यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के बाईं ओर, बिंदु 1 के बाईं ओर और बिंदु 2 के बाईं ओर स्थित है। इसका मतलब है कि x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

आइए संक्षेप करते हैं। चयनित अंतरालों में व्यंजक f (x) के चिह्न चित्र में दर्शाए गए हैं। 11. हम उनमें से उन में रुचि रखते हैं जिन पर असमानता f (x)> 0 संतुष्ट है। अंजीर में प्रस्तुत ज्यामितीय मॉडल का उपयोग करना। 11, हम स्थापित करते हैं कि असमानता f (x) > 0 अंतराल (-1, 1) या खुले बीम पर संतुष्ट है
जवाब: -1 < х < 1; х > 2.

उदाहरण 2असमानता को हल करें
फेसला।पिछले उदाहरण की तरह, हम अंजीर से आवश्यक जानकारी प्राप्त करेंगे। 11, लेकिन उदाहरण 1 की तुलना में दो परिवर्तनों के साथ। पहला, चूंकि हम इस बात में रुचि रखते हैं कि x के कौन से मान असमानता को संतुष्ट करते हैं f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки दूसरे, हम उन बिंदुओं से भी संतुष्ट हैं जिन पर f (x) = 0 की समानता संतुष्ट है। ये बिंदु -1, 1, 2 हैं, हम उन्हें आकृति में काले घेरे से चिह्नित करते हैं और उन्हें उत्तर में शामिल करते हैं। अंजीर पर। 12 प्रतिक्रिया का एक ज्यामितीय मॉडल दिखाता है, जिससे विश्लेषणात्मक रिकॉर्ड में जाना मुश्किल नहीं है।
जवाब:
उदाहरण 3.असमानता को हल करें
फेसला. आइए हम असमानता के बाईं ओर निहित बीजीय अंश fx के अंश और हर का गुणनखंड करें। अंश में हमारे पास x 2 - x \u003d x (x - 1) है।

भिन्न के हर में निहित वर्ग त्रिपद x 2 - bx ~ 6 का गुणनखंड करने के लिए, हम इसके मूल ज्ञात करते हैं। समीकरण x 2 - 5x - 6 \u003d 0 से हम x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6 पाते हैं। इसलिए, (हमने एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड के लिए सूत्र का उपयोग किया: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2))।
इस प्रकार, हमने दी गई असमानता को रूप में बदल दिया है

अभिव्यक्ति पर विचार करें:

इस भिन्न का अंश अंक 0 और 1 पर 0 हो जाता है और अंक -1 और 6 पर 0 हो जाता है। आइए इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर चिह्नित करें (चित्र 13)। संख्यात्मक रेखा को संकेतित बिंदुओं से पांच अंतरालों में विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक अंतराल पर अभिव्यक्ति fx) एक स्थिर चिह्न रखता है। उदाहरण 1 की तरह ही तर्क करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि चयनित अंतरालों में व्यंजक fx) के चिह्न चित्र में दर्शाए गए हैं। 13. हम इस बात में रुचि रखते हैं कि असमानता f (x) कहाँ है< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 उत्तर: -1

उदाहरण 4असमानता को हल करें

फेसला।तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय, एक नियम के रूप में, वे असमानता के दाईं ओर केवल संख्या 0 छोड़ना पसंद करते हैं। इसलिए, हम असमानता को रूप में बदलते हैं

आगे:

जैसा कि अनुभव से पता चलता है, यदि असमानता के दाहिने हिस्से में केवल संख्या 0 है, तो यह तर्क करना अधिक सुविधाजनक है कि इसके बाईं ओर के अंश और हर दोनों में एक सकारात्मक अग्रणी गुणांक है। और हमारे पास क्या है? हमारे पास सब कुछ है इस अर्थ में भिन्न का हर क्रम में (अग्रणी गुणांक, यानी x 2 पर गुणांक, 6 - एक सकारात्मक संख्या है), लेकिन अंश में सब कुछ क्रम में नहीं है - वरिष्ठ गुणांक (x पर गुणांक) है - 4 (ऋणात्मक संख्या) असमानता के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने और असमानता के चिन्ह को विपरीत में बदलने पर, हमें एक समान असमानता प्राप्त होती है

आइए एक बीजीय भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड करें। अंश में, सब कुछ सरल है:
एक भिन्न के हर में निहित वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करना

(हमने एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड के लिए फिर से सूत्र का उपयोग किया)।
इस प्रकार, हमने दी गई असमानता को रूप में घटा दिया है

अभिव्यक्ति पर विचार करें

इस भिन्न का अंश बिंदु पर 0 हो जाता है और हर - बिंदुओं पर। हम इन बिंदुओं को संख्या रेखा (चित्र 14) पर नोट करते हैं, जो संकेतित बिंदुओं से चार अंतरालों में विभाजित होता है, और प्रत्येक अंतराल पर व्यंजक f (x) एक स्थिर चिन्ह रखता है (ये चिन्ह चित्र 14 में दर्शाए गए हैं)। हम उन अंतरालों में रुचि रखते हैं जिन पर असमानता fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने दी गई असमानता को f (x)> 0 या f (x) के रूप की एक समान असमानता में बदल दिया।<0,где
इस मामले में, अंश के अंश और हर में कारकों की संख्या कोई भी हो सकती है। फिर अंक रेखा पर अंक a, b, c, e अंकित किए गए। और चयनित अंतरालों पर व्यंजक f (x) के चिह्नों को निर्धारित किया। हमने देखा कि चयनित अंतरालों के दाईं ओर, असमानता f (x)> 0 संतुष्ट है, और फिर व्यंजक f (x) के संकेत अंतराल के साथ वैकल्पिक होते हैं (चित्र 16a देखें)। इस प्रत्यावर्तन को एक लहरदार वक्र की सहायता से आसानी से चित्रित किया गया है, जिसे दाएँ से बाएँ और ऊपर से नीचे की ओर खींचा गया है (चित्र 166)। उन अंतरालों पर जहां यह वक्र (इसे कभी-कभी संकेतों का वक्र कहा जाता है) x-अक्ष के ऊपर स्थित होता है, असमानता f (x) > 0 संतुष्ट होती है; जहां यह वक्र x-अक्ष के नीचे स्थित है, असमानता f (x)< 0.

उदाहरण 5असमानता को हल करें

फेसला।हमारे पास है

(पिछली असमानता के दोनों भागों को 6 से गुणा किया गया था)।
अंतराल विधि का उपयोग करने के लिए, संख्या रेखा पर बिंदुओं को चिह्नित करें (इन बिंदुओं पर असमानता के बाईं ओर निहित अंश का अंश गायब हो जाता है) और अंक (इन बिंदुओं पर संकेतित अंश का हर गायब हो जाता है)। आमतौर पर, बिंदुओं को योजनाबद्ध रूप से चिह्नित किया जाता है, उस क्रम को ध्यान में रखते हुए जिसमें वे अनुसरण करते हैं (जो कि दाईं ओर है, जो बाईं ओर है) और विशेष रूप से पैमाने पर ध्यान नहीं दे रहा है। यह स्पष्ट है कि संख्याओं के साथ स्थिति अधिक जटिल है। पहला अनुमान दर्शाता है कि दोनों संख्याएँ 2.6 से थोड़ी बड़ी हैं, जिससे यह निष्कर्ष निकालना असंभव है कि कौन सी संकेतित संख्या बड़ी है और कौन सी छोटी है। मान लीजिए (यादृच्छिक रूप से) कि तब
यह सही असमानता निकला, जिसका अर्थ है कि हमारे अनुमान की पुष्टि हुई: वास्तव में
इसलिए,

हम संख्या रेखा (चित्र 17a) पर संकेतित क्रम में संकेतित 5 बिंदुओं को चिह्नित करते हैं। अभिव्यक्ति के संकेतों को व्यवस्थित करें
प्राप्त अंतराल पर: बहुत दाईं ओर - एक + चिन्ह, और फिर संकेत वैकल्पिक (चित्र। 176)। आइए हम संकेतों का एक वक्र बनाएं और उन अंतरालों का चयन करें (छायांकन करके) जिन पर असमानता f (x) > 0 हमारे लिए संतुष्ट है (चित्र 17c)। अंत में, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि हम एक गैर-सख्त असमानता f (x)> 0 के बारे में बात कर रहे हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन बिंदुओं में भी रुचि रखते हैं, जहां पर व्यंजक f (x) गायब हो जाता है। ये भिन्न f (x) के अंश के मूल हैं, अर्थात्। अंक हम उन्हें अंजीर में चिह्नित करते हैं। 17 काले घेरे में (और, निश्चित रूप से, उत्तर में शामिल करें)। अब यहाँ तस्वीर है। 17c दी गई असमानता के समाधान के लिए एक पूर्ण ज्यामितीय मॉडल देता है।

प्रारंभिक जानकारी

परिभाषा 1

$f(x) >(≥)g(x)$ रूप की एक असमानता, जिसमें $f(x)$ और $g(x)$ पूर्णांक परिमेय व्यंजक हैं, पूर्णांक परिमेय असमानता कहलाती हैं।

पूर्णांक परिमेय असमानताओं के उदाहरण दो चर वाली रैखिक, द्विघात, घन असमानताएँ हैं।

परिभाषा 2

वह मान $x$ जिसके लिए $1$ की परिभाषा से असमानता को संतुष्ट किया जाता है, समीकरण का मूल कहलाता है।

ऐसी असमानताओं को हल करने का एक उदाहरण:

उदाहरण 1

पूर्णांक असमानता को हल करें $4x+3 >38-x$।

फेसला।

आइए इस असमानता को सरल बनाएं:

हमें एक रैखिक असमानता मिली। आइए इसका समाधान खोजें:

उत्तर: $(7,∞)$।

इस लेख में, हम संपूर्ण तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के लिए निम्नलिखित विधियों पर विचार करेंगे।

फैक्टरिंग विधि

यह विधि इस प्रकार होगी: $f(x)=g(x)$ के रूप का एक समीकरण लिखा जाता है। यह समीकरण $φ(x)=0$ (जहां $φ(x)=f(x)-g(x)$) के रूप में कम हो जाता है। फिर फ़ंक्शन $φ(x)$ को सबसे छोटी संभावित शक्तियों के साथ गुणनखंडित किया जाता है। नियम लागू होता है:बहुपदों का गुणनफल शून्य होता है जब उनमें से एक शून्य होता है। इसके अलावा, पाए गए जड़ों को संख्या रेखा पर चिह्नित किया जाता है और संकेतों का एक वक्र बनाया जाता है। प्रारंभिक असमानता के संकेत के आधार पर, उत्तर लिखा जाता है।

इस तरह से समाधान के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

उदाहरण 2

फैक्टरिंग द्वारा हल करें। $y^2-9

फेसला।

समीकरण को हल करें $y^2-9

वर्ग अंतर के सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

कारकों के गुणनफल के शून्य से समानता के नियम का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित मूल प्राप्त करते हैं: $3$ और $-3$।

आइए संकेतों का एक वक्र बनाएं:

चूँकि प्रारंभिक असमानता में चिन्ह "से कम" है, हम प्राप्त करते हैं

जवाब: $(-3,3)$.

उदाहरण 3

फैक्टरिंग द्वारा हल करें।

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

फेसला।

आइए निम्नलिखित समीकरण को हल करें:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

हम कोष्ठक से पहले दो पदों से और अंतिम दो से सामान्य गुणनखंड निकालते हैं

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

सामान्य कारक निकालें $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

कारकों के गुणनफल के शून्य से समानता के नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$x+2=0 \ और \ x^2+3=0$

$x=-2$ और "कोई जड़ नहीं"

आइए संकेतों का एक वक्र बनाएं:

चूँकि प्रारंभिक असमानता में चिन्ह "इससे बड़ा या उसके बराबर" है, हम पाते हैं

जवाब: $(-∞,-2]$.

एक नया चर कैसे पेश करें

यह विधि इस प्रकार है: $f(x)=g(x)$ के रूप का एक समीकरण लिखा जाता है। हम इसे इस प्रकार हल करते हैं: हम एक समीकरण प्राप्त करने के लिए ऐसे नए चर का परिचय देते हैं जिसका समाधान पहले से ही ज्ञात है। हम बाद में इसे हल करते हैं और प्रतिस्थापन पर लौटते हैं। इससे हम पहले समीकरण का हल पाते हैं। इसके अलावा, पाए गए जड़ों को संख्या रेखा पर चिह्नित किया जाता है और संकेतों का एक वक्र बनाया जाता है। प्रारंभिक असमानता के संकेत के आधार पर, उत्तर लिखा जाता है।

हम चौथी डिग्री असमानता के उदाहरण का उपयोग करके इस पद्धति के आवेदन का एक उदाहरण देते हैं:

उदाहरण 4

आइए असमानता का समाधान करें।

$x^4+4x^2-21 >0$

फेसला।

आइए समीकरण को हल करें:

आइए निम्नलिखित प्रतिस्थापन करें:

चलो $x^2=u (जहां \ u >0)$, हमें मिलता है:

हम इस प्रणाली को विवेचक का उपयोग करके हल करेंगे:

$D=16+84=100=10^2$

समीकरण की दो जड़ें हैं:

$x=\frac(-4-10)(2)=-7$ और $x=\frac(-4+10)(2)=3$

प्रतिस्थापन पर वापस:

$x^2=-7$ और $x^2=3$

पहले समीकरण का कोई हल नहीं है, और दूसरे $x=\sqrt(3)$ और $x=-\sqrt(3)$ से

आइए संकेतों का एक वक्र बनाएं:

चूंकि प्रारंभिक असमानता में "से बड़ा" चिन्ह है, हम प्राप्त करते हैं

जवाब:$(-∞,-\sqrt(3))∪(\sqrt(3),∞)$

इस पाठ की सहायता से आप तर्कसंगत असमानताओं और उनकी प्रणालियों के बारे में जानेंगे। तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली को समान परिवर्तनों की सहायता से हल किया जाता है। तुल्यता की परिभाषा पर विचार किया जाता है, एक वर्ग के साथ एक भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानता को बदलने की विधि, और यह भी समझती है कि असमानता और समीकरण के बीच क्या अंतर है और समकक्ष परिवर्तन कैसे किए जाते हैं।

बीजगणित ग्रेड 9

9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम की अंतिम पुनरावृत्ति

तर्कसंगत असमानताएँ और उनकी प्रणालियाँ। तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली।

1.1 सार।

1. तर्कसंगत असमानताओं के समतुल्य परिवर्तन।

निर्णय करना तर्कसंगत असमानताइसका मतलब है कि इसके सभी समाधान खोजने के लिए। एक समीकरण के विपरीत, एक असमानता को हल करते समय, एक नियम के रूप में, अनंत संख्या में समाधान होते हैं। समाधान की अनंत संख्या को प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित नहीं किया जा सकता है। इसलिए, मूल असमानता को इस तरह बदलना आवश्यक है कि प्रत्येक अगली पंक्ति में समाधानों के समान सेट के साथ एक असमानता प्राप्त हो।

तर्कसंगत असमानताएंकेवल के साथ हल किया गया समकक्षया समकक्ष परिवर्तन। इस तरह के परिवर्तन समाधान के सेट को विकृत नहीं करते हैं।

परिभाषा. तर्कसंगत असमानताएंबुलाया समकक्षयदि उनके समाधान के सेट समान हैं।

तय करने के लिए समानकसाइन का प्रयोग करें

2. असमानताओं की प्रणाली का समाधान

पहली और दूसरी असमानताएँ भिन्नात्मक परिमेय असमानताएँ हैं। उन्हें हल करने की विधियाँ रैखिक और द्विघात असमानताओं को हल करने के तरीकों की एक स्वाभाविक निरंतरता हैं।

आइए विपरीत चिह्न के साथ दाईं ओर की संख्याओं को बाईं ओर ले जाएं।

परिणामस्वरूप, 0 दाईं ओर रहेगा। यह परिवर्तन समतुल्य है। यह संकेत द्वारा इंगित किया गया है

आइए उन क्रियाओं को करें जो बीजगणित निर्धारित करती हैं। पहली असमानता में "1" और दूसरे में "2" घटाएं।

3. अंतराल विधि द्वारा असमानता को हल करना

1) आइए एक फ़ंक्शन का परिचय दें। हमें यह जानने की जरूरत है कि यह फ़ंक्शन 0 से कम कब है।

2) फ़ंक्शन का डोमेन खोजें: भाजक 0 नहीं होना चाहिए। "2" विराम बिंदु है। x=2 के लिए फलन अनिश्चित है।

3) फलन के मूल ज्ञात कीजिए। यदि अंश 0 है तो फलन 0 है।

सेट अंक संख्यात्मक अक्ष को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं - ये निरंतरता के अंतराल हैं। प्रत्येक अंतराल पर, फ़ंक्शन अपना चिह्न बनाए रखता है। आइए हम पहले अंतराल पर चिह्न निर्धारित करें। कुछ मूल्य बदलें। उदाहरण के लिए, 100. यह स्पष्ट है कि अंश और हर दोनों 0 से बड़े हैं। इसका अर्थ है कि पूर्ण भिन्न धनात्मक है।

आइए हम शेष अंतरालों पर संकेतों को निर्धारित करें। बिंदु x=2 से गुजरने पर केवल हर चिह्न बदलता है। इसका अर्थ है कि पूर्ण भिन्न का चिह्न बदल जाएगा, और ऋणात्मक हो जाएगा। आइए एक ऐसी ही चर्चा करते हैं। बिंदु x=-3 से गुजरने पर केवल अंश ही चिह्न बदलता है। इसका मतलब है कि भिन्न संकेत बदलेगा और सकारात्मक होगा।

हम असमानता की स्थिति के अनुरूप एक अंतराल चुनते हैं। इसे छायांकित करें और इसे असमानता के रूप में लिखें

4. द्विघात असमानता का उपयोग करके असमानता को हल करना

एक महत्वपूर्ण तथ्य।

जब 0 से तुलना की जाती है (सख्त असमानता के मामले में), अंश को अंश और हर के गुणनफल से बदला जा सकता है, या अंश या हर को बदला जा सकता है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि सभी तीन असमानताएं संतुष्ट हैं बशर्ते कि u और v के अलग-अलग चिह्न हों। ये तीनों असमानताएँ समान हैं।

हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं और भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानता को एक वर्ग से बदल देते हैं।

आइए द्विघात असमानता को हल करें।

हम एक द्विघात फ़ंक्शन का परिचय देते हैं। आइए इसकी जड़ों को खोजें और इसके ग्राफ का एक स्केच बनाएं।

तो परवलय की शाखाएं ऊपर हैं। जड़ों के अंतराल के अंदर, फ़ंक्शन चिह्न को सुरक्षित रखता है। वह नकारात्मक है।

जड़ों के अंतराल के बाहर, कार्य सकारात्मक है।

पहली असमानता का समाधान:

5. असमानता का समाधान

आइए एक फ़ंक्शन का परिचय दें:

आइए हम इसकी स्थिरता के अंतराल को खोजें:

ऐसा करने के लिए, हम फलन के प्रांत के मूल और असंततता बिंदु पाते हैं। हम हमेशा ब्रेक पॉइंट काटते हैं। (x \u003d 3/2) हमने असमानता के संकेत के आधार पर जड़ों को काट दिया। हमारी असमानता सख्त है। इसलिए, हमने जड़ को काट दिया।

आइए संकेत रखें:

आइए समाधान लिखें:

आइए सिस्टम का समाधान समाप्त करें। आइए हम पहली असमानता के समाधानों के समुच्चय और दूसरी असमानता के समाधानों के समुच्चय का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें।

असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है पहली असमानता के समाधान के सेट और दूसरी असमानता के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन खोजना। इसलिए, पहली और दूसरी असमानताओं को अलग-अलग हल करने के बाद, प्राप्त परिणामों को एक प्रणाली में लिखना आवश्यक है।

आइए हम x-अक्ष पर पहली असमानता के समाधान को चित्रित करें।

तर्कसंगत असमानताएँ और उनकी प्रणालियाँ। तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली
9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम की अंतिम पुनरावृत्ति

बीजगणित ग्रेड 9

9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम की अंतिम पुनरावृत्ति

तर्कसंगत असमानताएँ और उनकी प्रणालियाँ। तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली।

1.1 सार।

1. तर्कसंगत असमानताओं के समतुल्य परिवर्तन।

तय करने के लिए समानकसाइन का प्रयोग करें

2. असमानताओं की प्रणाली का समाधान

आइए विपरीत चिह्न के साथ दाईं ओर की संख्याओं को बाईं ओर ले जाएं।

3. अंतराल विधि द्वारा असमानता को हल करना

3) फलन के मूल ज्ञात कीजिए। यदि अंश 0 है तो फलन 0 है।

4. द्विघात असमानता का उपयोग करके असमानता को हल करना

एक महत्वपूर्ण तथ्य।

आइए द्विघात असमानता को हल करें।

जड़ों के अंतराल के बाहर, कार्य सकारात्मक है।

पहली असमानता का समाधान:

5. असमानता का समाधान

आइए एक फ़ंक्शन का परिचय दें:

आइए हम इसकी स्थिरता के अंतराल को खोजें:

आइए संकेत रखें:

आइए समाधान लिखें:

आइए हम x-अक्ष पर पहली असमानता के समाधान को चित्रित करें।

आइए हम धुरी के नीचे दूसरी असमानता के समाधान का चित्रण करें।

रिक्ति विधि- यह स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में होने वाली लगभग किसी भी असमानता को हल करने का एक सार्वभौमिक तरीका है। यह कार्यों के निम्नलिखित गुणों पर आधारित है:

1. सतत फलन g(x) केवल उस बिंदु पर चिह्न बदल सकता है जहां यह 0 के बराबर है। आलेखीय रूप से, इसका अर्थ है कि एक सतत फलन का ग्राफ एक अर्ध-तल से दूसरे में तभी जा सकता है जब वह x- को पार करता है। अक्ष (हमें याद है कि OX अक्ष (भुज अक्ष) पर स्थित किसी भी बिंदु की कोटि शून्य के बराबर होती है, अर्थात इस बिंदु पर फलन का मान 0 होता है):

हम देखते हैं कि ग्राफ पर दिखाया गया फलन y=g(x) OX अक्ष को x= -8, x=-2, x=4, x=8 बिंदुओं पर काटता है। इन बिन्दुओं को फलन का शून्यक कहते हैं। और उसी बिंदु पर फ़ंक्शन g(x) चिह्न बदलता है।

2. फ़ंक्शन हर के शून्य पर चिह्न को भी बदल सकता है - एक प्रसिद्ध फ़ंक्शन का सबसे सरल उदाहरण:

हम देखते हैं कि फलन हर के मूल में, बिंदु पर संकेत बदलता है, लेकिन किसी भी बिंदु पर गायब नहीं होता है। इस प्रकार, यदि फ़ंक्शन में एक भिन्न है, तो यह हर के मूल में चिह्न को बदल सकता है।

2. हालांकि, फलन हमेशा अंश के मूल में या हर के मूल में चिह्न नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=x 2 बिंदु x=0 पर चिह्न नहीं बदलता है:

क्योंकि समीकरण x 2 \u003d 0 की दो समान जड़ें हैं x \u003d 0, बिंदु x \u003d 0 पर, फ़ंक्शन, जैसा कि यह था, दो बार 0 हो जाता है। इस तरह की जड़ को दूसरी बहुलता की जड़ कहा जाता है।

समारोह अंश के शून्य पर चिह्न बदलता है, लेकिन हर के शून्य पर चिह्न नहीं बदलता है: क्योंकि जड़ दूसरी बहुलता का मूल है, जो कि सम गुणन का भी है:

जरूरी! सम बहुलता के मूल में फलन चिन्ह नहीं बदलता है।

टिप्पणी! कोई भी गैर रेखीयबीजगणित के स्कूल पाठ्यक्रम की असमानता, एक नियम के रूप में, अंतराल की विधि का उपयोग करके हल की जाती है।

मैं आपको एक विस्तृत प्रस्ताव देता हूं, जिसके बाद आप गलतियों से बच सकते हैं जब गैर-रैखिक असमानताओं को हल करना.

1. सबसे पहले आपको असमानता को फॉर्म में लाना होगा

पी (एक्स) वी0,

जहाँ V असमानता का चिन्ह है:<,>,≤ या . इसके लिए आपको चाहिए:

a) सभी पदों को असमानता के बाईं ओर ले जाएँ,

बी) परिणामी अभिव्यक्ति की जड़ें पाएं,

ग) असमानता के बाईं ओर गुणनखंडित करें

डी) डिग्री के समान कारकों को लिखें।

ध्यान!जड़ों की बहुलता के साथ गलती न करने के लिए अंतिम क्रिया की जानी चाहिए - यदि परिणाम एक समान डिग्री में गुणक है, तो संबंधित जड़ में एक समान गुणन होता है।

2. प्राप्त मूलों को संख्या रेखा पर रखें।

3. यदि असमानता सख्त है, तो संख्यात्मक अक्ष पर जड़ों को इंगित करने वाले मंडल "खाली" छोड़ दिए जाते हैं, यदि असमानता सख्त नहीं है, तो मंडलों को चित्रित किया जाता है।

4. हम सम गुणन के मूल का चयन करते हैं - उनमें पी (एक्स)संकेत नहीं बदलता है।

5. चिन्ह ज्ञात कीजिए पी (एक्स)अंतर के दाईं ओर। ऐसा करने के लिए, एक मनमाना मान x 0 लें, जो सबसे बड़े रूट से बड़ा है और in . में स्थानापन्न करें पी (एक्स).

यदि P(x 0)>0 (या ≥0), तो सबसे दाहिने अंतराल में हम "+" चिन्ह लगाते हैं।

यदि पी(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

सम गुणन के मूल को इंगित करने वाले बिंदु से गुजरते समय, चिह्न नहीं बदलता है।

7. एक बार फिर हम मूल असमानता के चिन्ह को देखते हैं, और उस चिन्ह के अंतराल का चयन करते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है।

8. ध्यान दें! यदि हमारी असमानता STRICT नहीं है, तो हम समानता की स्थिति को शून्य से अलग से जाँचते हैं।

9. उत्तर लिखिए।

अगर मूल असमानता में हर में एक अज्ञात होता है, फिर हम सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, और असमानता के बाईं ओर को फॉर्म में कम करते हैं

(जहाँ V असमानता का चिन्ह है:< или >)

इस तरह की सख्त असमानता असमानता के बराबर है

सख्त नहींफॉर्म की असमानता

के समान है प्रणाली:

व्यवहार में, यदि फ़ंक्शन का रूप है, तो हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

अंश और हर के मूल ज्ञात कीजिए।
हम उन्हें धुरी पर रखते हैं। सभी मंडल खाली छोड़ दिए गए हैं। फिर, यदि असमानता सख्त नहीं है, तो हम अंश की जड़ों पर पेंट करते हैं, और हमेशा हर की जड़ों को खाली छोड़ देते हैं।
अगला, हम सामान्य एल्गोरिथ्म का पालन करते हैं:
हम सम गुणन के मूल का चयन करते हैं (यदि अंश और हर में समान जड़ें हों, तो हम गिनते हैं कि समान जड़ें कितनी बार आती हैं)। सम गुणन के मूल में चिन्ह में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
हम सबसे दाहिने अंतराल पर चिन्ह का पता लगाते हैं।
हम संकेत लगाते हैं।
एक गैर-सख्त असमानता के मामले में, समानता की स्थिति, शून्य से समानता की स्थिति की अलग से जाँच की जाती है।
हम आवश्यक अंतराल और अलग से खड़ी जड़ों का चयन करते हैं।
हम उत्तर लिखते हैं।

बेहतर समझने के लिए अंतराल विधि द्वारा असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम, वीडियो पाठ देखें जिसमें उदाहरण का विस्तार से विश्लेषण किया गया है अंतराल की विधि द्वारा असमानता का समाधान.

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