कोष्ठक वाले सभी समीकरणों को उसी तरह हल नहीं किया जाता है। बेशक, अक्सर उन्हें कोष्ठक खोलने और समान पद देने की आवश्यकता होती है (हालाँकि, कोष्ठक खोलने के तरीके भिन्न होते हैं)। लेकिन कभी-कभी आपको कोष्ठक खोलने की आवश्यकता नहीं होती है। आइए इन सभी मामलों पर विशिष्ट उदाहरणों के साथ विचार करें:

1. 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16)।
2. 2x - 3 (x + 5) = -12।
3. (x + 1)(7x - 21) = 0।

ब्रैकेट खोलने के माध्यम से समीकरण हल करना

समीकरणों को हल करने का यह तरीका सबसे आम है, लेकिन इसकी सभी स्पष्ट सार्वभौमिकता के साथ, इसे उप-प्रजातियों में विभाजित किया जाता है, जिस तरह से कोष्ठक खोले जाते हैं।

1) समीकरण 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16) का हल।

इस समीकरण में कोष्ठक के सामने ऋण और धन चिह्न होते हैं। पहले मामले में कोष्ठक खोलने के लिए, जहां उनके पहले ऋण चिह्न होता है, कोष्ठक के अंदर के सभी संकेतों को उलट दिया जाना चाहिए। कोष्ठकों की दूसरी जोड़ी के आगे धन का चिन्ह लगा है, जो कोष्ठकों में चिन्हों को प्रभावित नहीं करेगा, इसलिए उन्हें आसानी से छोड़ा जा सकता है। हम पाते हैं:

5x - 3x + 7 = 9 - 4x + 16।

हम समीकरण के बाईं ओर x के साथ शर्तों को स्थानांतरित करते हैं, और बाकी को दाईं ओर (स्थानांतरित शर्तों के संकेत विपरीत में बदल जाएंगे):

5x - 3x + 4x = 9 + 16 - 7।

यहाँ समान शब्द हैं:

अज्ञात गुणनखंड x ज्ञात करने के लिए, गुणनफल 18 को ज्ञात गुणनखंड 6 से भाग दें:

एक्स \u003d 18/6 \u003d 3.

2) समीकरण 2x - 3(x + 5) = -12 का हल।

इस समीकरण में, आपको पहले कोष्ठक खोलने की भी आवश्यकता है, लेकिन वितरण गुण को लागू करना: योग (x + 5) से -3 को गुणा करने के लिए, आपको कोष्ठक में प्रत्येक पद से -3 गुणा करना चाहिए और परिणामी उत्पादों को जोड़ना चाहिए:

2x - 3x - 15 = -12

एक्स = 3 / (-1) = 3।

कोष्ठक खोले बिना समीकरणों को हल करना

तीसरा समीकरण (x + 1) (7x - 21) \u003d 0 को कोष्ठक खोलकर भी हल किया जा सकता है, लेकिन ऐसे मामलों में गुणन गुण का उपयोग करना बहुत आसान है: कारकों में से एक शून्य होने पर उत्पाद शून्य होता है . माध्यम:

एक्स + 1 = 0 या 7x - 21 = 0।

कोष्ठक का मुख्य कार्य मूल्यों की गणना करते समय क्रियाओं के क्रम को बदलना है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक व्यंजक \(5 3+7\) में पहले गुणन की गणना की जाएगी, और फिर जोड़: \(5 3+7 =15+7=22\)। लेकिन व्यंजक \(5·(3+7)\) में, कोष्ठक में योग की गणना पहले की जाएगी, और उसके बाद ही गुणा: \(5·(3+7)=5·10=50\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें: \(-(4m+3)\)।
समाधान : \(-(4m+3)=-4m-3\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(5-(3x+2)+(2+3x)\)।
समाधान : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(5(3-x)\)।
समाधान : हमारे पास ब्रैकेट में \(3\) और \(-x\) और ब्रैकेट के सामने पांच हैं। इसका मतलब है कि ब्रैकेट के प्रत्येक सदस्य को \ (5 \) से गुणा किया जाता है - मैं आपको याद दिलाता हूं कि गणित में किसी संख्या और कोष्ठक के बीच गुणन चिह्न को अभिलेखों के आकार को कम करने के लिए नहीं लिखा जाता है.

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(-2(-3x+5)\)।
समाधान : पिछले उदाहरण की तरह, कोष्ठक वाले \(-3x\) और \(5\) को \(-2\) से गुणा किया जाता है।

उदाहरण। व्यंजक को सरल कीजिए: \(5(x+y)-2(x-y)\)।
समाधान : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\)।

यह अंतिम स्थिति पर विचार करना बाकी है।

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \((2-x)(3x-1)\)।
समाधान : हमारे पास कोष्ठकों का एक गुणनफल है और इसे उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके तुरंत खोला जा सकता है। लेकिन भ्रमित न होने के लिए, आइए सब कुछ चरणबद्ध तरीके से करें।
चरण 1। पहला ब्रैकेट निकालें - इसके प्रत्येक सदस्य को दूसरे ब्रैकेट से गुणा किया जाता है:

चरण 2. ब्रैकेट के उत्पादों को ऊपर वर्णित कारक द्वारा विस्तारित करें:
- पहले वाला पहला...

फिर दूसरा।

चरण 3. अब हम गुणा करते हैं और समान पदों को लाते हैं:

सभी परिवर्तनों को विस्तार से चित्रित करना आवश्यक नहीं है, आप तुरंत गुणा कर सकते हैं। लेकिन अगर आप सिर्फ कोष्ठक खोलना सीख रहे हैं - विस्तार से लिखें, गलती करने की संभावना कम होगी।

पूरे खंड पर ध्यान दें।वास्तव में, आपको सभी चार नियमों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल एक को याद रखने की आवश्यकता है, यह एक: \(c(a-b)=ca-cb\) । क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \((a-b)=a-b\) प्राप्त होता है। और यदि हम ऋणात्मक एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \(-(a-b)=-a+b\) प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक

कभी-कभी व्यवहार में अन्य कोष्ठकों में नेस्टेड कोष्ठकों के साथ समस्याएँ होती हैं। यहाँ ऐसे कार्य का एक उदाहरण दिया गया है: व्यंजक \(7x+2(5-(3x+y))\) को सरल बनाने के लिए।

इन कार्यों में सफल होने के लिए, आपको चाहिए:
- कोष्ठक के घोंसले को ध्यान से समझें - कौन सा है जिसमें;
- कोष्ठक को क्रमिक रूप से खोलें, उदाहरण के लिए, अंतरतम के साथ शुरू करना।

कोष्ठकों में से किसी एक को खोलते समय यह महत्वपूर्ण है शेष अभिव्यक्ति को मत छुओ, बस इसे वैसे ही फिर से लिखना।
आइए उपरोक्त कार्य को एक उदाहरण के रूप में लें।

उदाहरण। कोष्ठक खोलिए और समान पद \(7x+2(5-(3x+y))\) दीजिए।
समाधान:

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\)।
समाधान :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		यह कोष्ठकों का ट्रिपल नेस्टिंग है। हम अंतरतम से शुरू करते हैं (हरे रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक प्लस है, इसलिए इसे आसानी से हटा दिया जाता है।
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		अब आपको दूसरा ब्रैकेट खोलने की जरूरत है, इंटरमीडिएट। लेकिन इससे पहले, हम इस दूसरे ब्रैकेट में समान शब्दों को घोस्ट करके व्यंजक को सरल बना देंगे।
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		अब हम दूसरा ब्रैकेट खोलते हैं (नीले रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक गुणक होता है - इसलिए कोष्ठक में प्रत्येक पद को इससे गुणा किया जाता है।
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		और अंतिम कोष्ठक खोलें। ब्रैकेट माइनस से पहले - तो सभी संकेत उलट जाते हैं।

ब्रैकेट खोलना गणित में एक बुनियादी कौशल है। इस कौशल के बिना, ग्रेड 8 और 9 में तीन से ऊपर का ग्रेड होना असंभव है। इसलिए, मैं इस विषय की अच्छी समझ की सलाह देता हूं।

एक अज्ञात के साथ एक समीकरण, जो कोष्ठक खोलने और समान पदों को कम करने के बाद, रूप लेता है

कुल्हाड़ी + बी = 0, जहाँ a और b मनमाना संख्याएँ हैं, कहलाती हैं रेखीय समीकरण एक अज्ञात के साथ। आज हम यह पता लगाएंगे कि इन रैखिक समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

उदाहरण के लिए, सभी समीकरण:

2x + 3 \u003d 7 - 0.5x; 0.3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - रैखिक।

अज्ञात का वह मान जो समीकरण को वास्तविक समानता में बदल देता है, कहलाता है फेसला या समीकरण की जड़ .

उदाहरण के लिए, यदि समीकरण 3x + 7 \u003d 13 में हम अज्ञात x के बजाय संख्या 2 को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता 3 2 + 7 \u003d 13 मिलती है। इसका मतलब है कि मान x \u003d 2 समाधान है या समीकरण की जड़।

और मान x \u003d 3 समीकरण 3x + 7 \u003d 13 को वास्तविक समानता में नहीं बदलता है, क्योंकि 3 2 + 7 13. इसलिए, मान x \u003d 3 समीकरण का समाधान या जड़ नहीं है।

किसी भी रैखिक समीकरण के हल को समीकरणों के हल के रूप में घटाया जाता है

कुल्हाड़ी + बी = 0।

हम मुक्त पद को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, जबकि b के सामने के चिह्न को विपरीत में बदलते हुए, हम प्राप्त करते हैं

यदि a 0, तो x = – b/a .

उदाहरण 1 समीकरण 3x + 2 = 11 को हल करें।

हम समीकरण के बाईं ओर से 2 को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, जबकि 2 के सामने के चिह्न को विपरीत में बदलते हुए, हम प्राप्त करते हैं
3x \u003d 11 - 2।

आइए घटाव करते हैं, फिर
3x = 9.

x ज्ञात करने के लिए, आपको गुणनफल को ज्ञात गुणनखंड से विभाजित करना होगा, अर्थात्,
एक्स = 9:3।

अतः x = 3 का मान समीकरण का हल या मूल है।

उत्तर: एक्स = 3.

अगर ए = 0 और बी = 0, तो हमें समीकरण 0x \u003d 0 मिलता है। इस समीकरण के असीम रूप से कई समाधान हैं, क्योंकि किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर हमें 0 मिलता है, लेकिन b भी 0 होता है। इस समीकरण का समाधान कोई भी संख्या है।

उदाहरण 2समीकरण 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 को हल कीजिए।

आइए कोष्ठक का विस्तार करें:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2।

यहाँ समान सदस्य हैं:
0x = 0.

उत्तर: x कोई भी संख्या है.

अगर ए = 0 और बी 0, तो हमें समीकरण 0x = - b प्राप्त होता है। इस समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर हमें 0 प्राप्त होता है, लेकिन b ≠ 0।

उदाहरण 3समीकरण x + 8 = x + 5 को हल कीजिए।

आइए हम उन पदों को समूहित करें जिनमें बाईं ओर अज्ञात हैं, और दाईं ओर मुक्त शब्द हैं:
एक्स - एक्स \u003d 5 - 8।

यहाँ समान सदस्य हैं:
0x = - 3.

उत्तर: कोई समाधान नहीं।

पर आकृति 1 रैखिक समीकरण को हल करने की योजना को दिखाया गया है

आइए हम एक चर वाले समीकरणों को हल करने के लिए एक सामान्य योजना बनाते हैं। उदाहरण 4 के हल पर विचार करें।

उदाहरण 4 आइए समीकरण हल करें

1) समीकरण के सभी पदों को हर के सबसे छोटे सामान्य गुणज से गुणा करें, 12 के बराबर।

2) कमी के बाद हम प्राप्त करते हैं
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) अज्ञात और मुक्त सदस्यों वाले सदस्यों को अलग करने के लिए कोष्ठक खोलें:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86।

4) हम एक भाग में अज्ञात शब्दों को समूहित करते हैं, और दूसरे में - मुक्त शब्द:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12।

5) यहाँ समान सदस्य हैं:
- 22x = - 154।

6) - 22 से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है
एक्स = 7.

जैसा कि आप देख सकते हैं, समीकरण की जड़ सात है।

सामान्य तौर पर, ऐसे समीकरणों को इस प्रकार हल किया जा सकता है:

ए) समीकरण को एक पूर्णांक रूप में लाएं;

बी) खुले कोष्ठक;

ग) समीकरण के एक भाग में अज्ञात को समाहित करने वाले पदों को समूहित करें, और दूसरे में मुक्त पद;

घ) समान सदस्यों को लाना;

e) aх = b के रूप का एक समीकरण हल करें, जो समान पदों को लाने के बाद प्राप्त हुआ था।

हालाँकि, यह योजना हर समीकरण के लिए आवश्यक नहीं है। कई सरल समीकरणों को हल करते समय, पहले से नहीं, बल्कि दूसरे से शुरू करना होता है ( उदाहरण। 2), तीसरा ( उदाहरण। 13) और यहां तक ​​कि पांचवें चरण से, जैसा कि उदाहरण 5 में है।

उदाहरण 5समीकरण 2x = 1/4 को हल करें।

हम अज्ञात x \u003d 1/4: 2 पाते हैं,
एक्स = 1/8 .

मुख्य राज्य परीक्षा में सामने आए कुछ रैखिक समीकरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण 6समीकरण 2 (x + 3) = 5 - 6x को हल कीजिए।

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

उत्तर :- 0.125

उदाहरण 7समीकरण को हल करें - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7।

- 30 + 18x = 8x - 7

18x - 8x = - 7 +30

उत्तर: 2.3

उदाहरण 8 प्रश्न हल करें

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

उदाहरण 9 f(6) खोजें यदि f (x + 2) = 3 7's

समाधान

चूँकि हमें f(6) खोजने की आवश्यकता है, और हम f (x + 2) जानते हैं,
तब x + 2 = 6.

हम रैखिक समीकरण x + 2 = 6 को हल करते हैं,
हमें x \u003d 6 - 2, x \u003d 4 मिलता है।

अगर एक्स = 4 तो
च(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

उत्तर : 27.

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कोष्ठक का उपयोग उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें क्रियाओं को संख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियों के साथ-साथ चर के साथ अभिव्यक्तियों में किया जाता है। कोष्ठक वाले व्यंजक से कोष्ठक के बिना समान रूप से समान व्यंजक में जाना सुविधाजनक होता है। इस तकनीक को कोष्ठक खोलना कहा जाता है।

कोष्ठक का विस्तार करने का अर्थ है इन कोष्ठकों की अभिव्यक्ति से छुटकारा पाना।

एक और बिंदु विशेष ध्यान देने योग्य है, जो कोष्ठक खोलते समय समाधान लिखने की ख़ासियत से संबंधित है। हम कोष्ठक के साथ प्रारंभिक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं और कोष्ठक को खोलने के बाद प्राप्त परिणाम को समानता के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, कोष्ठक खोलने के बाद, व्यंजक के बजाय
3−(5−7) हमें व्यंजक 3−5+7 मिलता है। हम इन दोनों व्यंजकों को समानता 3−(5−7)=3−5+7 के रूप में लिख सकते हैं।

और एक और महत्वपूर्ण बिंदु। गणित में, प्रविष्टियों को कम करने के लिए, यह प्रथागत है कि यदि किसी व्यंजक में या कोष्ठक में यह पहला है तो धन चिह्न न लिखें। उदाहरण के लिए, यदि हम दो सकारात्मक संख्याएँ जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, सात और तीन, तो हम +7 + 3 नहीं, बल्कि केवल 7 + 3 लिखते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सात भी एक सकारात्मक संख्या है। इसी तरह, उदाहरण के लिए, यदि आप देखते हैं, अभिव्यक्ति (5 + x) - पता है कि ब्रैकेट के सामने एक प्लस है, जो लिखा नहीं है, और इसके सामने प्लस + ​​(+5 + x) है। पांच।

जोड़ने के लिए ब्रैकेट विस्तार नियम

कोष्ठक खोलते समय, यदि कोष्ठक से पहले एक प्लस है, तो इस प्लस को कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है।

उदाहरण। व्यंजक 2 + (7 + 3) में कोष्ठकों को खोलिए, कोष्ठक में प्लस से पहले, तो कोष्ठक में संख्याओं के सामने के वर्ण नहीं बदलते हैं।

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

घटाते समय कोष्ठक के विस्तार का नियम

यदि कोष्ठक से पहले कोई ऋण है, तो इस ऋण को कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है, लेकिन जो शब्द कोष्ठक में थे वे उनके संकेत को विपरीत में बदल देते हैं। कोष्ठक में पहले पद से पहले एक चिन्ह की अनुपस्थिति का अर्थ है + चिन्ह।

उदाहरण। व्यंजक 2 - (7 + 3) में कोष्ठक खोलें

कोष्ठक से पहले एक ऋण है, इसलिए आपको कोष्ठक से संख्याओं से पहले संकेतों को बदलने की आवश्यकता है। अंक 7 से पहले कोष्ठक में कोई चिन्ह नहीं है, जिसका अर्थ है कि सात धनात्मक है, यह माना जाता है कि + चिन्ह इसके सामने है।

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

कोष्ठक खोलते समय, हम उदाहरण से ऋण को हटाते हैं, जो कोष्ठक से पहले था, और कोष्ठक स्वयं 2 - (+ 7 + 3), और कोष्ठक में मौजूद संकेतों को विपरीत वाले में बदलते हैं।

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

गुणा करते समय कोष्ठक का विस्तार करना

यदि कोष्ठक के सामने गुणन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या को कोष्ठक के सामने के गुणन से गुणा किया जाता है। उसी समय, माइनस को माइनस से गुणा करने पर प्लस मिलता है, और माइनस को प्लस से गुणा करने पर, जैसे प्लस को माइनस से गुणा करना माइनस देता है।

इस प्रकार, गुणन के वितरण गुण के अनुसार उत्पादों में कोष्ठकों का विस्तार किया जाता है।

उदाहरण। 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है।

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

वास्तव में, सभी नियमों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है, यह केवल एक को याद रखने के लिए पर्याप्त है: c(a−b)=ca−cb। क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम (a−b)=a−b प्राप्त होता है। और यदि हम घटा एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम -(a−b)=−a+b प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

विभाजित करते समय कोष्ठक का विस्तार करें

यदि कोष्ठक के बाद एक विभाजन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या कोष्ठक के बाद भाजक द्वारा विभाज्य है, और इसके विपरीत।

उदाहरण। (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

नेस्टेड कोष्ठक का विस्तार कैसे करें

यदि व्यंजक में नेस्टेड कोष्ठक हैं, तो वे बाहरी या आंतरिक से प्रारंभ करते हुए क्रम में विस्तारित होते हैं।

उसी समय, किसी एक कोष्ठक को खोलते समय, यह महत्वपूर्ण है कि अन्य कोष्ठकों को स्पर्श न करें, बस उन्हें वैसे ही फिर से लिखें जैसे वे हैं।

उदाहरण। 12 - (ए + (6 - बी) - 3) = 12 - ए - (6 - बी) + 3 = 12 - ए - 6 + बी + 3 = 9 - ए + बी

रेखीय समीकरण। समाधान, उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

रेखीय समीकरण।

स्कूली गणित में रैखिक समीकरण सबसे कठिन विषय नहीं हैं। लेकिन कुछ तरकीबें ऐसी हैं जो एक प्रशिक्षित छात्र को भी पहेली बना सकती हैं। क्या हम इसका पता लगाएंगे?)

एक रैखिक समीकरण को आमतौर पर फॉर्म के समीकरण के रूप में परिभाषित किया जाता है:

कुल्हाड़ी + बी = 0 कहाँ पे ए और बी- कोई संख्या।

2x + 7 = 0. यहाँ ए = 2, ख = 7

0.1x - 2.3 = 0 यहाँ ए = 0.1, बी=-2.3

12x + 1/2 = 0 यहाँ ए = 12, ख = 1/2

कुछ भी जटिल नहीं है, है ना? खासकर यदि आप शब्दों पर ध्यान नहीं देते हैं: "जहां ए और बी कोई संख्या है"... और अगर आप नोटिस करते हैं, लेकिन इसके बारे में लापरवाही से सोचते हैं?) आखिरकार, अगर ए = 0, बी = 0(कोई संख्या संभव है?), तो हमें एक अजीब अभिव्यक्ति मिलती है:

लेकिन वह सब नहीं है! अगर कहें, ए = 0,एक ख = 5,यह काफी बेतुका कुछ पता चला है:

गणित में क्या तनाव और आत्मविश्वास कम करता है, हाँ ...) खासकर परीक्षाओं में। लेकिन इन अजीबोगरीब भावों में से, आपको X को भी खोजना होगा! जिसका कोई वजूद ही नहीं है। और, आश्चर्यजनक रूप से, यह X खोजना बहुत आसान है। हम सीखेंगे कि यह कैसे करना है। इस पाठ में।

दिखने में रैखिक समीकरण को कैसे पहचानें? यह किस रूप पर निर्भर करता है।) चाल यह है कि रैखिक समीकरणों को न केवल रूप के समीकरण कहा जाता है कुल्हाड़ी + बी = 0 , बल्कि ऐसे समीकरण भी जो रूपांतरणों और सरलीकरणों द्वारा इस रूप में कम हो जाते हैं। और कौन जानता है कि यह कम हुआ है या नहीं?)

कुछ मामलों में एक रैखिक समीकरण को स्पष्ट रूप से पहचाना जा सकता है। मान लीजिए, यदि हमारे पास एक समीकरण है जिसमें पहली डिग्री में केवल अज्ञात हैं, तो हाँ संख्याएँ। और समीकरण नहीं है द्वारा विभाजित अंश अनजान , क्या यह महत्वपूर्ण है! और विभाजन द्वारा संख्या,या एक संख्यात्मक अंश - बस! उदाहरण के लिए:

यह एक रैखिक समीकरण है। यहाँ भिन्न हैं, लेकिन वर्ग में, घन आदि में कोई x नहीं है, और हर में कोई x नहीं है, अर्थात। नहीं x . द्वारा विभाजन. और यहाँ समीकरण है

रैखिक नहीं कहा जा सकता। यहाँ x सभी पहली डिग्री में हैं, लेकिन वहाँ है x . के साथ व्यंजक द्वारा विभाजन. सरलीकरण और परिवर्तनों के बाद, आप एक रैखिक समीकरण, और एक द्विघात समीकरण, और अपनी पसंद की कोई भी चीज़ प्राप्त कर सकते हैं।

यह पता चला है कि जब तक आप इसे लगभग हल नहीं कर लेते, तब तक किसी जटिल उदाहरण में एक रैखिक समीकरण का पता लगाना असंभव है। यह परेशान करने वाला है। लेकिन असाइनमेंट में, एक नियम के रूप में, वे समीकरण के रूप के बारे में नहीं पूछते हैं, है ना? कार्यों में, समीकरणों का आदेश दिया जाता है तय करना।यह मुझे आनंद देता है।)

रैखिक समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

रैखिक समीकरणों के संपूर्ण समाधान में समीकरणों के समान परिवर्तन होते हैं। वैसे, ये परिवर्तन (जितना दो तक!) समाधान के अंतर्गत आते हैं गणित के सभी समीकरण।दूसरे शब्दों में, निर्णय कोईसमीकरण इन्हीं परिवर्तनों के साथ शुरू होता है। रैखिक समीकरणों के मामले में, इन परिवर्तनों पर यह (समाधान) पूर्ण उत्तर के साथ समाप्त होता है। लिंक का पालन करना समझ में आता है, है ना?) इसके अलावा, रैखिक समीकरणों को हल करने के उदाहरण भी हैं।

आइए सबसे सरल उदाहरण से शुरू करें। बिना किसी झंझट के। मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।

एक्स - 3 = 2 - 4x

यह एक रैखिक समीकरण है। एक्स सभी पहली शक्ति के लिए हैं, एक्स द्वारा कोई विभाजन नहीं है। लेकिन, वास्तव में, हमें परवाह नहीं है कि समीकरण क्या है। हमें इसे हल करने की जरूरत है। यहां योजना सरल है। समीकरण के बाईं ओर x के साथ सब कुछ लीजिए, दाईं ओर x (संख्याओं) के बिना सब कुछ।

ऐसा करने के लिए, आपको स्थानांतरित करने की आवश्यकता है - 4x बाईं ओर, संकेत के परिवर्तन के साथ, निश्चित रूप से, लेकिन - 3 - दांई ओर। वैसे, यह है समीकरणों का पहला समान परिवर्तन।हैरान? इसलिए, उन्होंने लिंक का पालन नहीं किया, लेकिन व्यर्थ ...) हमें मिलता है:

एक्स + 4x = 2 + 3

हम समान देते हैं, हम मानते हैं:

हमें पूरी तरह से खुश रहने के लिए क्या चाहिए? हाँ, ताकि बाईं ओर एक साफ़ X हो! रास्ते में पांच हो जाता है। साथ पांच से छुटकारा पाएं समीकरणों का दूसरा समान परिवर्तन।अर्थात्, हम समीकरण के दोनों भागों को 5 से विभाजित करते हैं। हमें एक तैयार उत्तर मिलता है:

एक प्रारंभिक उदाहरण, बिल्कुल। यह वार्म-अप के लिए है।) यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि मैंने यहाँ समान परिवर्तनों को क्यों याद किया? ठीक है। हम बैल को सींगों से पकड़ते हैं।) चलो कुछ और प्रभावशाली तय करते हैं।

उदाहरण के लिए, यहाँ यह समीकरण है:

हम कहाँ शुरू करें? X के साथ - बाईं ओर, X के बिना - दाईं ओर? ऐसा हो सकता है। लंबी सड़क के साथ छोटे कदम। और आप तुरंत, एक सार्वभौमिक और शक्तिशाली तरीके से कर सकते हैं। जब तक, निश्चित रूप से, आपके शस्त्रागार में समीकरणों के समान परिवर्तन नहीं होते हैं।

मैं आपसे एक महत्वपूर्ण प्रश्न पूछता हूं: आप इस समीकरण के बारे में सबसे ज्यादा क्या नापसंद करते हैं?

100 में से 95 लोग जवाब देंगे: अंशों ! उत्तर सही है। तो चलिए इनसे छुटकारा पाते हैं। तो हम तुरंत शुरू करते हैं दूसरा समान परिवर्तन. आपको बाईं ओर के अंश को किससे गुणा करने की आवश्यकता है ताकि हर पूरी तरह से कम हो जाए? यह सही है, 3. और दाईं ओर? 4. लेकिन गणित हमें दोनों पक्षों को से गुणा करने की अनुमति देता है वही नंबर. हम कैसे निकलते हैं? आइए दोनों पक्षों को 12 से गुणा करें! वे। एक आम भाजक के लिए। तब तीन कम हो जाएंगे, और चार। यह न भूलें कि आपको प्रत्येक भाग को गुणा करने की आवश्यकता है पूरी तरह से. यहाँ पहला कदम कैसा दिखता है:

कोष्ठक का विस्तार:

टिप्पणी! मीटर (एक्स+2)मैंने कोष्ठक में लिया! ऐसा इसलिए है क्योंकि भिन्नों को गुणा करते समय अंश को पूर्ण से गुणा किया जाता है! और अब आप भिन्नों को कम कर सकते हैं और कम कर सकते हैं:

शेष कोष्ठक खोलना:

एक उदाहरण नहीं, बल्कि शुद्ध आनंद!) अब हम निम्न ग्रेड से मंत्र को याद करते हैं: x के साथ - बाईं ओर, x के बिना - दाईं ओर!और इस परिवर्तन को लागू करें:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

और हम दोनों भागों को 25 से विभाजित करते हैं, अर्थात्। दूसरा परिवर्तन फिर से लागू करें:

बस इतना ही। उत्तर: एक्स=0,16

ध्यान दें: मूल भ्रमित करने वाले समीकरण को सुखद रूप में लाने के लिए, हमने दो (केवल दो!) समान परिवर्तन- एक ही संख्या से समीकरण के चिह्न और गुणन-विभाजन के परिवर्तन के साथ बाएं-दाएं अनुवाद। यह सार्वभौमिक तरीका है! हम इस तरह से काम करेंगे कोई समीकरण! बिल्कुल कोई। इसलिए मैं इन समान परिवर्तनों को हर समय दोहराता रहता हूं।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, रैखिक समीकरणों को हल करने का सिद्धांत सरल है। हम समीकरण लेते हैं और उत्तर प्राप्त होने तक समान परिवर्तनों की सहायता से इसे सरल बनाते हैं। यहां मुख्य समस्याएं गणना में हैं, न कि समाधान के सिद्धांत में।

लेकिन ... सबसे प्राथमिक रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में ऐसे आश्चर्य हैं कि वे एक मजबूत मूर्खता में ड्राइव कर सकते हैं ...) सौभाग्य से, ऐसे केवल दो आश्चर्य हो सकते हैं। आइए उन्हें विशेष मामले कहते हैं।

रैखिक समीकरणों को हल करने में विशेष मामले।

पहले आश्चर्य।

मान लीजिए कि आप एक प्रारंभिक समीकरण में आते हैं, कुछ इस तरह:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

थोड़ा ऊब, हम एक्स के साथ बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, एक्स के बिना - दाईं ओर ... संकेत के परिवर्तन के साथ, सब कुछ ठोड़ी-चिनार है ... हमें मिलता है:

2x-5x+3x=5-2-3

हम मानते हैं, और ... ओह माय! हम पाते हैं:

यह समानता अपने आप में आपत्तिजनक नहीं है। शून्य वास्तव में शून्य है। लेकिन एक्स चला गया है! और हमें उत्तर में लिखना होगा, x किसके बराबर है।अन्यथा, समाधान मायने नहीं रखता, हाँ...) एक गतिरोध?

शांत! ऐसे संदिग्ध मामलों में, सबसे सामान्य नियम बचाते हैं। समीकरण कैसे हल करें? समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है? इसका मतलब है की, x के सभी मान ज्ञात कीजिए जिन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें सही समानता मिलेगी।

लेकिन हमारे पास सही समानता है पहले से हीहो गई! 0 = 0, वास्तव में कहाँ ?! यह पता लगाना बाकी है कि यह किस x से प्राप्त होता है। x के किन मानों को प्रतिस्थापित किया जा सकता है शुरुआतीसमीकरण अगर ये x's अभी भी शून्य हो गया है?चलो भी?)

हाँ!!! Xs को प्रतिस्थापित किया जा सकता है कोई!आप क्या चाहते हैं। कम से कम 5, कम से कम 0.05, कम से कम -220। वे अभी भी सिकुड़ेंगे। यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं, तो आप इसे देख सकते हैं।) किसी भी x मान को में बदलें शुरुआतीसमीकरण और गणना। हर समय शुद्ध सत्य प्राप्त होगा: 0 = 0, 2 = 2, -7.1 = -7.1 और इसी तरह।

यहाँ आपका उत्तर है: x कोई संख्या है।

उत्तर विभिन्न गणितीय प्रतीकों में लिखा जा सकता है, सार नहीं बदलता है। यह पूरी तरह से सही और पूर्ण उत्तर है।

दूसरा आश्चर्य।

आइए एक ही प्राथमिक रैखिक समीकरण लें और उसमें केवल एक संख्या बदलें। यह हम तय करेंगे:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

समान परिवर्तनों के बाद, हमें कुछ दिलचस्प मिलता है:

इस प्रकार सं. एक रैखिक समीकरण हल किया, एक अजीब समानता प्राप्त की। गणितीय रूप से बोलते हुए, हमारे पास है गलत समानता।और सरल शब्दों में, यह सच नहीं है। बड़बड़ाना। लेकिन फिर भी, यह बकवास समीकरण के सही समाधान के लिए काफी अच्छा कारण है।)

फिर से, हम सामान्य नियमों के आधार पर सोचते हैं। मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर x हमें क्या देगा? सहीसमानता? हाँ, कोई नहीं! ऐसे कोई एक्स नहीं हैं। आप जो कुछ भी प्रतिस्थापित करेंगे, सब कुछ कम हो जाएगा, बकवास रहेगा।)

यहाँ आपका उत्तर है: कोई समाधान नहीं हैं।

यह भी पूरी तरह से मान्य उत्तर है। गणित में, ऐसे उत्तर अक्सर होते हैं।

इस प्रकार सं. अब, मुझे आशा है, किसी भी (न केवल रैखिक) समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में Xs की हानि आपको बिल्कुल भी परेशान नहीं करेगी। बात जानी-पहचानी है।)

अब जब हमने रैखिक समीकरणों के सभी नुकसानों को हल कर लिया है, तो उन्हें हल करना समझ में आता है।

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