चक्रीय गतिठोस बॉडी एक निश्चित बिंदु के आसपासइसके आंदोलन को कहा जाता है, जिसमें एक कठोर शरीर का एक बिंदु या इसके साथ हमेशा जुड़ा रहता है, चुने हुए संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष गतिहीन रहता है। इसे भी कहा जाता है गोलाकार गति, चूंकि शरीर के किसी भी बिंदु का प्रक्षेपवक्र एक निश्चित बिंदु पर केंद्रित गोले की सतह पर होता है। इस तरह के आंदोलन का एक उदाहरण एक शीर्ष है, जिसमें एक निश्चित आधार है।

अंतरिक्ष में स्वतंत्र रूप से घूमने वाले कठोर शरीर की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या छह है। यदि शरीर की गति के दौरान उसका एक बिंदु स्थिर रहता है, तो इस निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमने पर ऐसे शरीर की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या तीन होगी, और इसकी स्थिति का अनुमान लगाने के लिए, तीन स्वतंत्र मापदंडों को निर्धारित किया जाना चाहिए। यह विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ए.एन. क्रायलोव ने तथाकथित जहाज कोणों को ऐसे मापदंडों के रूप में प्रस्तावित किया, जो गुरुत्वाकर्षण के केंद्र (चित्र। 3.1) के साथ इसकी उत्पत्ति से जुड़े समन्वय प्रणाली के सापेक्ष एक कठोर शरीर (जहाज) की स्थिति निर्धारित करते हैं।

निश्चित समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियों को लिया जाता है सीएक्सवाईजेड,और धुरी के लिए जहाज से सख्ती से जुड़ा हुआ है - Cxyz(चित्र। 3.1)। एक्सिस श्रीस्टर्न से जहाज के धनुष तक निर्देशित, अक्ष सीज़- इसके स्टारबोर्ड की ओर, और अक्ष सीवाईउनके साथ (ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर) एक सही समन्वय प्रणाली बनाता है। चलती समन्वय प्रणाली की स्थिति Cxyz, हमेशा जहाज से जुड़ा, अपेक्षाकृत अचल सीएक्सवाईजेडसमय के प्रत्येक क्षण के लिए तीन क्रायलोव कोणों द्वारा निर्धारित किया जाता है: ट्रिम कोण ,झुकाव कोण ,यव एंगल (चित्र। 3.2)।

जैसा कि अंजीर में देखा गया है। 3.2, विमान सीएक्सवाईविमान को पार करता है xyकिसी लाइन के साथ अक्ष के साथ एक कोण बनाना सीएक्सऔर कोण धुरी के साथ सीएक्स. विमान सीवायजेडविमान को पार करता है Cxyपोलीलाइंस सीवाई 1 अक्ष के साथ एक कोण बनाना सीवाई. सिस्टम से संक्रमण पर विचार करें सीएक्सवाईजेडप्रणाली के लिए Cxyzतीन मोड़ के साथ बनाया गया।

सिस्टम से मेल खाने के लिए सीएक्सवाईजेडसिस्टम के साथ Cxyzबस ए:

1) रोटेट सिस्टम सीएक्सवाईजेडनिर्देशांक अक्ष के तीसरे के आसपास सीज़ट्रिम कोण तक, जिसके परिणामस्वरूप हमें सिस्टम मिलता है सीएक्स 1 आप 1 जेड 1, और सीज़ 1 =सीज़(चित्र। 3.3);

2) सिस्टम को पहले निर्देशांक अक्ष के चारों ओर एक रोल कोण द्वारा घुमाएं, जिसके परिणामस्वरूप हम एक सिस्टम प्राप्त करते हैं, जबकि (चित्र। 3.4);

3) समन्वय अक्ष के दूसरे भाग के चारों ओर सिस्टम को यॉ कोण द्वारा घुमाएं (चित्र 3.5), जिसके परिणामस्वरूप हम प्रणाली पर पहुंचते हैं Cxyz.

निर्देशांक परिवर्तन सूत्र निम्नलिखित संबंधों से संबंधित हैं:

1) से सीएक्सवाईजेडसे (चित्र 3.3)

एक्स = एक्स 1 क्योंकि y - आप 1 पापी + 0,

यू =एक्स 1 sin y + y 1 cos y + 0 , (3.1)

जेड = 0 + 0 + जेड 1,

या मैट्रिक्स रूप में:

[एक्स] =(एक 3 y) टी [ एक्स 1], या , (3.2)

जहां मैट्रिक्स को सिस्टम के रोटेशन का वर्णन करने वाले मैट्रिक्स में स्थानांतरित किया जाता है सीएक्सवाईजेडतीसरे समन्वय अक्ष के आसपास Zट्रिम कोण y के लिए,

; (3.3)

2) सिस्टम से सिस्टम तक (चित्र। 3.4)

एक्स 1 = एक्स 2 + 0 + 0 ,

आप 1 = 0 + आप 2 - जेड 2 , (3.4)

जेड 1 = 0 + आप 2 +जेड 2 ,

या मैट्रिक्स रूप में

[एक्स 1 ] = [एक्स 2] , या , (3.5)

जहां मैट्रिक्स को मैट्रिक्स में स्थानांतरित किया जाता है, जो सिस्टम कुल्हाड़ियों से सिस्टम कुल्हाड़ियों के रोटेशन परिवर्तन को रोल कोण द्वारा समन्वय अक्षों के पहले के आसपास निर्दिष्ट करता है, साथ में =,

; (3.6)

3) समन्वय प्रणाली से प्रणाली तक Cxyz(चित्र 3.5)

एक्स 2 = एक्सकॉस जे + 0 + जेडसिंज,

आप 2 = 0 + आप + 0 , (3.7)

जेड 2 = -एक्सपाप जे + 0 + जेड कोज,

या मैट्रिक्स रूप में [ एक्स 2 ]= [एक्स], या

. (3.8)

इसके अलावा, रोटेशन मैट्रिक्स (ए 2 जे) टी मैट्रिक्स (ए 2 जे) में स्थानांतरित मैट्रिक्स है, जो सिस्टम अक्ष से सिस्टम अक्ष में रोटेशन परिवर्तन को निर्दिष्ट करता है Cxyzसमन्वय अक्षों के दूसरे के चारों ओर यव कोण j द्वारा = , का रूप है

. (3.9)

किसी भी बिंदु के लिए एमनिर्देशांक के साथ निकाय एक्स,आप,जेडएक चलती समन्वय प्रणाली में, इसके साथ सख्ती से जुड़ा हुआ है, और अपने स्वयं के निर्देशांक के साथ एक्स,यू,जेड- एक निश्चित समन्वय प्रणाली में, दो समन्वय प्रणालियों के अक्षों पर बिंदु वेक्टर के अनुमानों के संबंध स्थापित करना संभव है,

, (3.10)

या मैट्रिक्स रूप में

या , (3.11)

जहां क्रायलोव कोण समय के कुछ कार्य हैं: ट्रिम कोण, बैंक कोण, यॉ कोण।

मैट्रिक्स को दिशा कोसाइन मैट्रिक्स में स्थानांतरित किया जाता है, जो निश्चित प्रणाली की कुल्हाड़ियों से रोटेशन परिवर्तन को परिभाषित करता है सीएक्सवाईजेडचलती प्रणाली की कुल्हाड़ियों के लिए Cxyz, हमेशा जहाज के साथ जुड़ा हुआ है। जाहिर है, जब शरीर चलता है, निर्देशांक एक्स,आप,जेडनिर्देशांक के विपरीत स्थिर रहें एक्स,यू,जेड

(3.5) और (3.8) को (3.2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(3.11) और (3.12) की तुलना करते हुए, हम पाते हैं कि वांछित मैट्रिक्स तीन रोटेशन मैट्रिक्स का उत्पाद है

=

=

.(3.13)

संबंध (3.5) को (3.2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक मध्यवर्ती संबंध प्राप्त होता है, जिसकी बाद में आवश्यकता हो सकती है, [ एक्स] = [एक्स 2]. मध्यवर्ती रोटेशन मैट्रिक्स = दो रोटेशन मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में पाया जाता है:

=

= (3.13ए)

यूलर कोण

ऐसे मामलों में जहां एक दिशा में घूर्णन का कोणीय वेग अन्य दो (जनरेटर, मोटर्स, टर्बाइन, जाइरोस्कोप) की तुलना में बहुत अधिक होता है, शरीर की स्थिति निर्धारित करने के लिए तीन यूलर कोणों को तीन स्वतंत्र मापदंडों के रूप में चुना जाता है: पूर्वता कोणआप (टी),पोषण कोण q (टी)और रोटेशन का कोण (प्राकृतिक रोटेशन) जे (टी). उनके नाम खगोल विज्ञान से उधार लिए गए हैं।

इन कोणों को सेट करने के लिए, एक निश्चित बिंदु के चारों ओर एक कठोर शरीर के घूमने पर विचार करें हे. बता दें कि कुछ संदर्भ प्रणाली और इससे जुड़ी निश्चित समन्वय प्रणाली दी गई है ऑक्सीज़, जिसके सापेक्ष कठोर शरीर चलता है, और कठोर शरीर से जुड़ी समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ी, जो पहले वाले के सापेक्ष गति करता है (चित्र 3.6 ... 3.8)। इसका मतलब है कि पहली और दूसरी समन्वय प्रणालियों की उत्पत्ति एक समान है हे, और अक्षों द्वारा गठित कोण ऑक्सीज़ीकुल्हाड़ियों के साथ ऑक्सीज़, परिवर्तन, अर्थात्। प्रणाली ऑक्सीज़ी
एक निश्चित बिंदु के चारों ओर कठोर शरीर के साथ घूमता है हे(चित्र 3.5 ... 3.8)।

चावल। 3.6

सामान्यीकृत निर्देशांक में गतिज समीकरण। यूलर, क्रायलोव कोण, चतुर्भुज।

सैद्धांतिक यांत्रिकी के दौरान, गोलाकार गति यूलर कोणों (चित्र 1.2) द्वारा दी गई थी - पूर्ववर्ती कोण y (एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन) आउंस), पोषण कोण q (अर्ध-चल अक्ष के चारों ओर घूमना ठीक है- विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखाएं ऑक्सीऔर हे, नोड्स की रेखा कहा जाता है) और उचित रोटेशन का कोण j (शरीर से जुड़े अक्ष के चारों ओर घूमना आउंस).

चावल। 1.2. एक कठोर शरीर के ओरिएंटल यूलर कोणों की प्रणाली

यूलर कोणों को निश्चित फ्रेम के ऊपर किए जाने वाले घुमावों के क्रम में यहां सूचीबद्ध किया गया है। ऑक्सीज़ीताकि यह मोबाइल SC . के साथ संगत हो हे. गोलाकार गति में यूलर कोणों का उपयोग किनेमेटिक्स की संबंधित समस्याओं को हल करने की मौलिक संभावना को प्रदर्शित करने के लिए किया गया था। यहां हमारे पास इस तरह के आंदोलन का अधिक बेहतर वर्णन करने का कार्य है। संकेतित कोणों के कोणीय वेगों के माध्यम से युग्मित एससी की धुरी पर शरीर के कोणीय वेग के अनुमानों को व्यक्त करने वाले गतिज संबंध सूत्रों द्वारा यूलर कोणों के लिए दर्शाए जाते हैं (KIDIM कार्यक्रम के साथ सत्यापित):

(1.1)

गोलाकार गति (स्वतंत्रता की 3 डिग्री, 3 निर्देशांक) के दौरान शरीर की स्थिति के ऐसे विनिर्देश की संक्षिप्तता के बावजूद, आधुनिक यांत्रिकी में इसका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। यह, विशेष रूप से, इस तथ्य से समझाया गया है कि शरीर के कोणीय वेग (उलटा गतिज संबंध) के अनुमानों के माध्यम से सामान्यीकृत वेगों की गणना के लिए सूत्रों में विलक्षणताएं होती हैं और असममित होती हैं, जो परिणामों के विश्लेषण को जटिल बनाती हैं और कम्प्यूटेशनल की ओर ले जाती हैं त्रुटियाँ। यूलर कोणों के लिए, इन संबंधों को सूत्रों द्वारा दर्शाया जाता है:

(1.2)

रॉड्रिक्स-हैमिल्टन मापदंडों, quaternions, Cayley-Klein मापदंडों का उपयोग करना अधिक बेहतर है।

आइए साबित करें डी'अलेम्बर्ट-यूलर प्रमेय.

एक निश्चित बिंदु वाले शरीर को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाना निश्चित बिंदु से गुजरने वाली किसी धुरी को घुमाकर किया जा सकता है।

शरीर के किसी भी त्रिभुज की गति से शरीर की गति पूरी तरह से निर्धारित होती है। इसलिए, गोलाकार गति के लिए, यह किसी गोले पर दो बिंदुओं की गति के बराबर है, जिसका केंद्र एक निश्चित बिंदु से मेल खाता है, या इन बिंदुओं को जोड़ने वाले चाप की गति के बराबर है। आइए मान लें कि समय में शरीर की गति के परिणामस्वरूप D टीएक समय पर लेकिनगोले में एक स्थान पर ले जाया गया पर(चित्र। 1.3)। उसी समय, बिंदु जो स्थिति में था पर, एक नया पद ग्रहण किया साथ में.

चावल। 1.3.

विमान एबीसीएक निश्चित गोले को एक वृत्त (छोटे या बड़े वृत्त) में काटता है। यदि एक डीगोले पर इस वृत्त के ध्रुवों में से एक, तो , क्योंकि वे समद्विबाहु गोलाकार हैं और , क्योंकि वे गोले के एक ही चाप की दो स्थितियाँ हैं अब. निर्माण द्वारा (पोल से समान दूरी पर)। इसलिए, इसे अक्ष के चारों ओर घुमाकर संरेखित किया जा सकता है आयुध डिपोकोने पर एशियाई विकास बैंक. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

रॉड्रिक्स-हैमिल्टन पैरामीटर. ऐसे रोटेशन को निर्दिष्ट करने के लिए, जिसे हम कहेंगे शरीर का अंत मोड़, जाहिर है, आपको धुरी की स्थिति, दिशा और रोटेशन के कोण को सेट करने की आवश्यकता है। रोटेशन की धुरी को उस दिशा में निर्देशित एक यूनिट वेक्टर द्वारा सेट किया जा सकता है जिससे शरीर के घूर्णन को वामावर्त देखा जाएगा। यह वेक्टर कुछ एससी के अक्षों पर इसके अनुमानों द्वारा निर्धारित किया जाता है (इस एससी के अक्षों के साथ इसके कोणों की दिशा कोसाइन)। इस प्रकार, अंतिम घुमाव चार अदिश राशियों द्वारा निर्धारित किया जाता है - अक्ष के इकाई वेक्टर के अनुमान और इस अक्ष के चारों ओर घूर्णन के कोण का मान।

इन चार मात्राओं को सेट करने के लिए, हम रॉड्रिक्स-हैमिल्टन पैरामीटर का उपयोग करते हैं, जिसे हम यहां 0 . दर्शाते हैं , 1 , 2 , 3. अंतिम तीन पैरामीटर आमतौर पर एक वेक्टर में संयुक्त होते हैं =(λ 1 , 2 , 3) टी. इस प्रकार, हम अदिश और सदिश राशियों के समुच्चय 0 . पर विचार करेंगे , . इन मापदंडों को अंत मोड़ तत्वों के माध्यम से दर्ज किया जाता है और इन्हें निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। आज्ञा देना उस अक्ष का निर्देशन सदिश हो जिसके चारों ओर घूर्णन किया जाता है, और घूर्णन कोण का मान हो। फिर

चतुर्धातुक पर शैक्षिक कार्यक्रम, भाग 7: कोणीय वेगों का एकीकरण, यूलर-क्रायलोव कोण 27 फरवरी, 2018

कोणीय वेगों का एकीकरण

इसलिए हम अंत में चतुर्धातुक के मुख्य उद्देश्य पर पहुँच गए - उस कार्य के लिए जो वे सबसे योग्य रूप से करते हैं और जहाँ उनसे कोई विकल्प अपेक्षित नहीं है।

शुरू करने के लिए, हम यूलर और क्रायलोव कोणों के अर्थ में एक मरे हुए घोड़े को लात मार रहे हैं, लेकिन किसी को यह समझना चाहिए कि लोगों ने चतुर्भुज (तीन काल्पनिक इकाइयां, चार-आयामी अंतरिक्ष, आधा कोण) जैसी गूढ़ चीज का अध्ययन किया और लागू किया। - क्या कोर्स-रोल-पिच के साथ ऐसा करना संभव नहीं हो सकता था !?

कार्य इस प्रकार है: हम समय के प्रारंभिक क्षण में अपने उत्पाद के उन्मुखीकरण को जानते हैं, और हमारे पास कोणीय वेग सेंसर (एवीएस) हैं। ये जाइरोस्कोप पर आधारित पुराने जमाने के यांत्रिक सेंसर हो सकते हैं (वे कुख्यात प्रोटॉन पर गलत थे), या माइक्रोइलेक्ट्रोमैकेनिकल (एमईएमएस) सेंसर, या अधिक सटीक फाइबर ऑप्टिक्स, या लेजर। अंतिम दो को जिरोस्कोप कहा जाता है, और वास्तव में, प्रकाश वहां एक सर्कल में चलता है, लेकिन यह नाम अभी भी पूरी तरह से सही नहीं है।इन सेंसरों की रीडिंग का उपयोग करते हुए, हमें यह ट्रैक करना चाहिए कि उत्पाद ने कौन सा मोड़ बनाया है, दूसरे शब्दों में, इसके अभिविन्यास को ट्रैक करें।

हम आशा करते हैं कि पाठक पहले से ही यह समझ चुके हैं कि प्रत्येक सेंसर कुल्हाड़ियों के साथ कोणों को स्वतंत्र रूप से जमा करना पूरी तरह से गलत दृष्टिकोण है। आइए उदाहरण के लिए विमान के रोटेशन को लें, जिसमें माना जाता है।

शुरुआत में विमान जीरो रोल, पिच और हेडिंग के साथ उड़ान भर रहा था। फिर उन्होंने 90-डिग्री बैंक टर्न बनाया, फिर 90-डिग्री यॉ टर्न। जैसा कि हमने पहले देखा, इन दो मोड़ों के बाद, विमान लंबवत नीचे की ओर उड़ने लगा, यानी इसकी पिच -90 ° के बराबर हो गई, हालाँकि हमने सीधे पिच अक्ष के साथ कोई मोड़ नहीं बनाया!

इसके अलावा, विमान का यह अभिविन्यास "फ्रेम फोल्डिंग" या "हिंगेड लॉक" की घटना को प्रदर्शित करता है। GOST 20058-80 और इसी तरह के DIN 9300 और ISO 1151-2: 1985 के अनुसार, जब हम कहते हैं कि विमान में एक निश्चित हेडिंग, पिच और रोल है, तो इसका मतलब है: यदि हम क्षैतिज से शुरू करते हैं तो अंतरिक्ष में संबंधित अभिविन्यास प्राप्त किया जाएगा। उत्तर की ओर स्थिति, फिर हम विमान को पाठ्यक्रम के साथ मोड़ते हैं, उसके बाद - पिच में और अंत में, रोल में (आंकड़ा देखें)। जब पिच ± 90° (विमान लंबवत ऊपर या नीचे की ओर "दिख रहा" है) है, तो हेडिंग और रोल उसी तरह काम करना शुरू करते हैं (हेडिंग 0° और बैंक 90° हेडिंग 90° और बैंक 0 के समान रवैया देगा। °, और अनिश्चित काल के लिए कई अन्य संयोजन), जिसे फ्रेम फोल्डिंग कहा जाता है। यदि हम मानते हैं कि इस अभिविन्यास में शीर्षक 90 डिग्री है, और रोल शून्य है (इस तरह अस्पष्टता को हल करने की अनुशंसा की जाती है), तो पाठ्यक्रम के साथ विमान का एक मनमाने ढंग से छोटा मोड़ (अर्थ में, पंख की ओर) , यानी पतवार के साथ काम करते समय) कूदने के लिए 0°, बैंक को 90° पर बाध्य करेगा, और इस सबसे छोटे मोड़ से पिच कम हो जाएगी। "उछल" का अर्थ उस बिंदु पर एक अनंत व्युत्पन्न है - और यह स्पष्ट रूप से अच्छा नहीं है ...

एक और अप्रत्याशित बाधा: सैद्धांतिक यांत्रिकी पर किताबें यूलर कोण और क्रायलोव कोण से निपटती हैं। यूलर कोणों के नाम हैं: पूर्वता, पोषण, उचित घुमाव - उन्होंने तेजी से घूमने वाली चीजों के विवरण में अपना रास्ता खोज लिया है।

क्रायलोव के कोण: यॉ, ट्रिम, रोल। यॉ हेडिंग के समान है, ट्रिम पिच के लिए समुद्री शब्द है। ऐसा लगता है कि हमारे परिचित पाठ्यक्रम-पिच-रोल क्रायलोव कोण हैं।

यह वहां नहीं था।
यहां बताया गया है कि क्रायलोव कोणों को कैसे परिभाषित किया जाता है:

(यहां एक हंस, क्रेफ़िश और पाइक को फोटोशॉप करने के प्रलोभन से जूझते हुए, तीन परस्पर लंबवत दिशाओं में खींचते हुए)

यहाँ ब्रांज वी.एन. की पुस्तक का एक उद्धरण है। और श्मिग्लेव्स्की आई.पी. - एक कठोर शरीर के उन्मुखीकरण की समस्याओं में चतुर्भुज का अनुप्रयोग (1973), पृष्ठ 79:

पहला रोटेशन i 3 अक्ष के चारों ओर हेडिंग कोण द्वारा किया जाता है, दूसरा रोटेशन i` 2 अक्ष के साथ रोल कोण द्वारा होता है, और तीसरा - पिच कोण द्वारा e 1 अक्ष के आसपास होता है।

हम देख सकते हैं कि घुमाव पहले की तरह उसी क्रम में नहीं किए गए हैं। इस तरह से निर्धारित कोणों को भी अस्तित्व का अधिकार है, और छोटे रोल और पिच विचलन के साथ वे पहले पेश किए गए लोगों से अलग नहीं होंगे, लेकिन पहले से ही नागरिक उड्डयन विमान की विशेषता वाले कोणों पर, अंतर ध्यान देने योग्य होगा।

आइए एक "पतित" उदाहरण लें - विमान उल्टा उड़ गया, जबकि नीचे नहीं गिरने के लिए, उसने अपनी नाक को थोड़ा ऊपर कर दिया। जब हम क्रायलोव कोणों के माध्यम से विमान की स्थिति का वर्णन करते हैं, तो यह पता चलता है कि विमान एक नकारात्मक पिच के साथ उड़ रहा है, क्योंकि रोल पहले किया जाता है, और उसके बाद ही - उल्टे विमान पर - पिच को घुमाया जाता है, यही वजह है कि यह संकेत बदलना चाहिए - इस मामले में, नाक ऊपर खींची जाएगी।

हालाँकि, GOST 20058-80 "वायुमंडल में विमान की गतिशीलता" (http://docs.cntd.ru/document/gost-20058-80) पिच की थोड़ी अलग परिभाषा देता है:
26. पिच कोण - सामान्य समन्वय प्रणाली के अनुदैर्ध्य अक्ष OX और क्षैतिज विमान OXgZg के बीच का कोण।

यानी जब नाक ऊपर की ओर इशारा कर रही हो, तो पिच हमेशा सकारात्मक होनी चाहिए, चाहे विमान कैसा भी हो!

यहां तक ​​​​कि पर्याप्त रूप से चिकनी मोड़ के साथ, कोणों की ऐसी अन्योन्याश्रयता स्वयं प्रकट होगी, जिससे अंतरिक्ष में वस्तु के उन्मुखीकरण की गलत धारणा हो जाएगी।

और सामान्य तौर पर, कोणों के लिए गतिज समीकरण बहुत खुश नहीं होते हैं। हम उन्हें यूलर कोणों के लिए और एक युग्मित आधार में मापा कोणीय वेगों के लिए प्रस्तुत करते हैं (अर्थात, सेंसर वस्तु पर खड़े होते हैं और इसके साथ घूमते हैं):

बेशक, ये सूत्र GOST 20058-80 में वर्णित पिच, हेडिंग और रोल एंगल के साथ काम करने के लिए उपयुक्त नहीं हैं - आपको दूसरों को प्राप्त करने की आवश्यकता है। आइए इसे सबसे लगातार पाठकों के लिए एक अभ्यास के रूप में छोड़ दें।

तीन कोनों के रूप में एक कठोर शरीर के उन्मुखीकरण का वर्णन करने के कुछ फायदे हैं:
- यह सबसे कॉम्पैक्ट है, जिसमें केवल 3 नंबर की आवश्यकता होती है,
- कमोबेश किसी व्यक्ति को समझ में आता है,
- कभी-कभी आपको गतिज समीकरणों का एक विश्लेषणात्मक समाधान खोजने की अनुमति देता है - इसके लिए, यूलर ने एक बार अपने कोणों का परिचय दिया।

बाकी सब कुछ कमियां हैं: कई त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ बहु-स्तरीय सूत्र, विशेष बिंदुओं की उपस्थिति जिस पर आपको अपनी "बैसाखी" डालने की आवश्यकता होती है या अग्रिम में यह कहते हुए छोड़ दिया जाता है - यहां मत आओ, अन्यथा हम अंतरिक्ष में खो जाएंगे! हम यह भी देख सकते हैं कि सभी कोण अनिश्चित काल तक बढ़ सकते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक को उचित सीमा के भीतर रखना, आवश्यकतानुसार 2π जोड़ना या घटाना एक अच्छा विचार है। पिच के लिए खुद को -π .. तक सीमित रखना बिल्कुल भी बुरा नहीं होगा, जिसके लिए न केवल पिच में सुधार की आवश्यकता होती है, बल्कि पाठ्यक्रम की भी। तीन कोणों के साथ लगभग कोई भी काम मुश्किल है - वैक्टर को घुमाना, दो स्थितियों की तुलना करना, घुमावों की रचना करना, आदि - हर जगह हम दो मंजिला अभिव्यक्तियों और एकवचन बिंदुओं पर ठोकर खाते हैं।

स्ट्रैपडाउन एटिट्यूड कंट्रोल सिस्टम में यूलर या क्रायलोव एंगल्स (या कोई अन्य) का इस्तेमाल कभी भी अभ्यास में नहीं किया गया है, लेकिन जाइरो प्लेटफॉर्म के संचालन में निहित रूप से भाग लिया है। वास्तव में, एक जाइरो प्लेटफॉर्म एक सेंसर है जो अंतरिक्ष में डिवाइस के उन्मुखीकरण को तुरंत कोणों के रूप में लौटाता है, और एक बोनस के रूप में, यह निश्चित अक्षों पर प्रक्षेपित त्वरण को एकीकृत करता है! यहां "गणित" के विशेष बिंदु "लोहे में" विशेष बिंदुओं से मेल खाते हैं - फ्रेम की तह, जब तक कि विशेष कदम नहीं उठाए जाते, जैसे चौथे (अनावश्यक) फ्रेम की शुरूआत, या यहां तक ​​​​कि फ्रेम का परित्याग नेस्टेड क्षेत्रों के पक्ष में।

कठोर शरीर के घूर्णन के दो अन्य निरूपण - घूर्णन मैट्रिक्स के माध्यम से और चतुर्भुज के माध्यम से - तीन कोणों के नुकसान से मुक्त हैं। सभी ऑपरेशन रैखिक हो जाते हैं, कोई विलक्षण बिंदु नहीं होते हैं। जारी रहती है...

यूलर-क्रायलोव कोण

तीन यूलर-क्रायलोव कोण और गिने वामावर्त अंतरिक्ष में एक कठोर शरीर की कोणीय स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देते हैं। यह आंकड़ा क्रायलोव के कोणों की किस्मों में से एक को दर्शाता है - तथाकथित विमान कोण जो विमानन में उपयोग किए जाते हैं।

यूलर-क्रायलोव कोण

संदर्भ का निश्चित फ्रेम, जिसमें एक कठोर शरीर (विमान) की कोणीय स्थिति पर विचार किया जाता है, वैक्टर के दाहिने ट्रिपल द्वारा बनता है। अक्ष को पृथ्वी के केंद्र से स्थानीय ऊर्ध्वाधर के साथ निर्देशित किया जाता है, अक्ष क्षितिज तल में स्थित होता है और भौगोलिक उत्तर (एन, उत्तर) की ओर निर्देशित होता है, और अक्ष समन्वय प्रणाली को दाईं ओर पूरक करता है। एक चलती वस्तु के साथ - उदाहरण के लिए, एक विमान (एलए), - एक चलती समन्वय प्रणाली कठोरता से जुड़ी हुई है। इसकी धुरी विमान के निर्माण (अनुदैर्ध्य) अक्ष के साथ निर्देशित होती है, अक्ष - आंचल की दिशा में सामान्य के साथ, और अक्ष - विमान के स्टारबोर्ड पक्ष की दिशा में अनुप्रस्थ के साथ। निर्देशांक प्रणाली में विमान की कोणीय स्थिति (अभिविन्यास) पाठ्यक्रम (), पिच () और रोल () द्वारा दी जाती है। विमान के कोणों के सामने एक ऋण चिह्न की उपस्थिति इस तथ्य के कारण है कि शास्त्रीय यूलर-क्रायलोव कोणों के विपरीत, उनके सकारात्मक मूल्यों को दक्षिणावर्त गिना जाता है। विमान की अंतिम स्थिति घुमावों के क्रम से निर्धारित होती है

एमईएमएस एक्सेलेरोमीटर संकेतों पर प्रदर्शनी

प्रारंभिक कोणीय निर्देशांक निर्धारित करने की प्रक्रिया को एक प्रदर्शनी कहा जाता है। तीन-अक्ष एमईएमएस एक्सेलेरोमीटर का उपयोग करके रोल और पिच के लिए जो त्वरण उत्पन्न करता है, और संबंधित OXYZ चलती समन्वय प्रणाली के एक्स, वाई और जेड अक्ष के साथ, संबंधित कोण गुरुत्वाकर्षण त्वरण वेक्टर जी = 9.81 मीटर के अनुमानों से पाए जा सकते हैं। /s2 प्रत्येक अक्ष पर, रोटेशन मैट्रिसेस के गणितीय उपकरण का उपयोग करते हुए (3.1)

त्रिअक्षीय एक्सेलेरोमीटर के संबंधित आउटपुट से मूल्यों का प्रतिनिधित्व करता है।

आइए हम गुरुत्वाकर्षण त्वरण वेक्टर (3.2) से व्यक्त करें, जिसके लिए हम मैट्रिक्स द्वारा बाईं ओर समानता के दोनों पक्षों को गुणा करते हैं:

प्रणाली के पहले दो समीकरणों (3.4) से हम प्राप्त करते हैं

एमईएमएस एक्सेलेरोमीटर कैलिब्रेशन

तीन-अक्ष एमईएमएस एक्सेलेरोमीटर के संकेतों से किसी वस्तु के कोणीय निर्देशांक निर्धारित करने में त्रुटि काफी हद तक अंशांकन के दौरान गणना किए गए सुधार कारकों को निर्धारित करने की सटीकता पर निर्भर करती है।

त्रिअक्षीय एक्सेलेरोमीटर (टीओए) पढ़ने की त्रुटियां तीन कारकों के कारण होती हैं:

एक निरंतर पूर्वाग्रह की उपस्थिति;

एक चैनल से दूसरे चैनल में सिग्नल का "रिसाव", दो समन्वय प्रणाली बनाने वाले वैक्टर के ट्रिपल की गैर-संरेखता के कारण होता है: OXYZ अंशांकन टर्नटेबल से जुड़ा और TOA (3.4) से जुड़ा हुआ;

खुद की झिलमिलाहट शोर।

ऑब्जेक्ट कोऑर्डिनेट सिस्टम और एक्सेलेरोमीटर कोऑर्डिनेट सिस्टम के कुल्हाड़ियों की गैर-समरूपता

इससे यह इस प्रकार है कि तीन-अक्ष एमईएमएस एक्सेलेरोमीटर के सिग्नल का गणितीय मॉडल इस तरह दिखेगा:

एक्सेलेरोमीटर रीडिंग का वेक्टर कहां है, स्केलिंग कारकों का विकर्ण मैट्रिक्स है, सुधार मैट्रिक्स है, एक्सेलेरोमीटर से जुड़े समन्वय प्रणाली के वैक्टर के दाहिने ट्रिपल के अक्ष पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण वेक्टर के अनुमान हैं, वेक्टर है निरंतर विस्थापन, TOA आंतरिक शोर वेक्टर है।

शोर को ध्यान में रखे बिना, समीकरणों की प्रणाली (3.6), मैट्रिसेस और वैक्टर को गुणा करने के संचालन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(3.7) से यह निम्नानुसार है कि कुल्हाड़ियों में से एक के लिए अंशांकन मापदंडों को खोजने के लिए, इस अक्ष के अज्ञात मापदंडों की संख्या के बराबर माप की संख्या की आवश्यकता होती है: Z अक्ष के लिए - 2, Y अक्ष के लिए - 3, के लिए एक्स अक्ष - 4.

तीन-अक्ष एमईएमएस एक्सेलेरोमीटर के अंशांकन में सेंसर को एक पूर्व ज्ञात स्थिति में सेट करना और इसके आउटपुट सिग्नल के लिए समीकरणों की एक अतिनिर्धारित प्रणाली को हल करना शामिल है। इस प्रक्रिया को करते समय, एक्सेलेरोमीटर को 12 निश्चित स्थितियों पर सेट करने की प्रथा है

12 अंशांकन स्थिति एमईएमएस एक्सेलेरोमीटर

बी दिखाता है कि अनुमान त्रुटि को कम करने के लिए, संयोजनों की संख्या से पाए गए अंशांकन गुणांक को औसत करना चाहिए। हालांकि, अंशांकन समय को कम करने के लिए, केवल छह तथाकथित ऑर्थोगोनल पदों का उपयोग किया जा सकता है: 2), 4), 6), 7), 8) और 11); इस मामले में, संयोजनों की संख्या में कमी से स्केल कारकों के मैट्रिक्स के तत्वों को मापने में त्रुटि में वृद्धि होती है और विस्थापन वेक्टर बी के तत्व क्रमशः 0.21% और 0.02% से अधिक नहीं होते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सुधार मैट्रिक्स टी के तत्वों को मापने में त्रुटि सैकड़ों प्रतिशत तक बढ़ सकती है, लेकिन चूंकि ऑफ-विकर्ण तत्व टी आमतौर पर छोटे रोल और पिच कोणों (30 डिग्री से अधिक नहीं) पर अधिक नहीं होते हैं, इन कोणों की माप त्रुटि 0.5° से अधिक नहीं बढ़ जाती है।

यूलर कोण त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में किसी वस्तु के घूर्णन का वर्णन करते हैं। इस मामले में, दो आयताकार समन्वय प्रणालियों को माना जाता है जिनमें एक सामान्य केंद्र होता है: एक निश्चित प्रणाली और एक मोबाइल जो वस्तु से जुड़ा होता है। Fig.1 में, निश्चित समन्वय प्रणाली को XYZ (यह झुका हुआ) नामित किया गया है, और चलती समन्वय प्रणाली को xyz नामित किया गया है। यूलर कोण वे कोण होते हैं जिनके माध्यम से वस्तु से जुड़ी गतिमान समन्वय प्रणाली को स्थिर प्रणाली के साथ संरेखित करने से पहले घुमाया जाता है। शास्त्रीय संस्करण में, पहला घुमाव वस्तु से जुड़े z-अक्ष के चारों ओर एक कोण α के माध्यम से होता है, जब तक कि वस्तु से जुड़ा x-अक्ष निश्चित प्रणाली के XY विमान के साथ मेल नहीं खाता। ऐसा संयोग XY और xy तलों के प्रतिच्छेदन रेखा के अनुदिश घटित होगा (चित्र 1 में रेखा N)। अगला घुमाव वस्तु से जुड़े x-अक्ष की नई स्थिति के चारों ओर एक कोण β द्वारा किया जाता है, जब तक कि दोनों आयताकार प्रणालियों के अनुप्रयुक्त अक्ष मेल नहीं खाते। इस स्थिति में, वस्तु से जुड़ा y-अक्ष स्थिर XYZ निर्देशांक प्रणाली के xy-तल में होगा। अंतिम घुमाव एक कोण द्वारा गतिमान समन्वय प्रणाली के अनुप्रयुक्त अक्ष की नई स्थिति के चारों ओर बनाया जाता है (यह निश्चित प्रणाली के समान अक्ष के साथ मेल खाएगा), जिसके बाद XY और xy समन्वय अक्ष संपाती होंगे।

चावल। 1. यूलर कोण

इस तरह के घुमाव गैर-कम्यूटेटिव हैं, और चलती समन्वय प्रणाली की अंतिम स्थिति उस क्रम पर निर्भर करती है जिसमें घूर्णन किया जाता है।

यदि गतिमान निर्देशांक प्रणाली XYZ में सदिश R(r x, r y, r z) के निर्देशांक ज्ञात हैं और स्थिर निर्देशांक के सापेक्ष गतिमान निर्देशांक तंत्र xyz के यूलर कोण (α, β, ) ज्ञात हैं, तो यह है निश्चित समन्वय प्रणाली xyz में इस वेक्टर के निर्देशांक की गणना करना संभव है। ऐसा करने के लिए, कोण α, β, और के माध्यम से तीन लगातार घूर्णन के मैट्रिक्स बनाएं:

इन मैट्रिक्स को उल्टे क्रम में गुणा करने पर, हमें अंतिम ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स मिलता है:

टी= टी 3 ×टी2×टी1,

जो गतिमान निर्देशांक प्रणाली के सदिश R(r x , r y , r z) के निर्देशांकों को नियत निर्देशांक प्रणाली में समान लंबाई के सदिश N(n x , n y , n z) के निर्देशांकों में परिवर्तित करता है:

एन =टी ×आर,

जहाँ N और R संगत निर्देशांकों के स्तंभ आव्यूह हैं।

विभिन्न ऑब्जेक्ट रोटेशन ऑपरेशन करते समय यूलर कोण सबसे स्वाभाविक और समझने योग्य होते हैं क्योंकि वे 3D ग्राफिक्स सिस्टम के व्यूपोर्ट में देखे गए ऑब्जेक्ट रोटेशन के अनुरूप होते हैं। हालाँकि, कंप्यूटर एनीमेशन सिस्टम में उनके उपयोग में कई कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है। सबसे पहले, समन्वय प्रणाली के अक्षों के सापेक्ष वस्तु के घूर्णन के एक निश्चित अनुक्रम को चुनने की आवश्यकता है। यदि आप किसी वस्तु को पहले X अक्ष के चारों ओर, फिर Y अक्ष के चारों ओर, और अंत में Z अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो यदि आप इस वस्तु को समान कोणों से घुमाते हैं, लेकिन एक अलग क्रम में, तो यह बिल्कुल भी समान घूर्णन नहीं होगा।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें - क्यूब का एक एनीमेशन बनाना जब इसे विश्व समन्वय प्रणाली के Z- अक्ष के चारों ओर 360° से अधिक कोण से घुमाया जाता है, उदाहरण के लिए, 450° के कोण से। आइए दो कीफ़्रेम बनाने का प्रयास करें, जिसके बीच क्यूब को इस कोण से घूमना चाहिए। ऐसा करने के लिए, मैक्सस्क्रिप्ट प्रोग्राम में एक मानक बॉक्स बनाएं:

बी = डिब्बा()

उसके बाद, एनीमेशन टाइमलाइन स्लाइडर को 10 फ्रेम में ले जाएं, ऑटो कुंजी मोड चालू करें, और फिर कमांड चलाएँ:

बी।रोटेशन।z_रोटेशन = 450

एनिमेशन चलाएं। वस्तु केवल 90° घूमेगी क्योंकि उसके 360° घुमाव पर ध्यान नहीं दिया जाएगा। अब 3ds Max प्रोग्राम विंडो में भी ऐसा ही करें। दो मुख्य-फ़्रेम के बीच ऑब्जेक्ट का ऐनिमेशन 450° के कोण पर होगा। इस प्रकार, मैक्सस्क्रिप्ट के समान कंप्यूटर ग्राफिक्स प्रोग्राम में यूलर रोटेशन का उपयोग 360 डिग्री से अधिक के कोण के माध्यम से एक साथ रोटेशन तक सीमित है। हालांकि, यह आपको डिस्प्ले स्क्रीन के पीछे मैन्युअल रूप से एनिमेशन बनाने से नहीं रोकता है।

यूलर एंगल्स के साथ एक और समस्या जिम्बल लॉक है। इसकी उपस्थिति वस्तु के घूर्णन क्रम की पसंद पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, आइए पहले किसी वस्तु को Z अक्ष के चारों ओर 140°, फिर X अक्ष के चारों ओर 90° और फिर Y अक्ष के चारों ओर 130° घुमाएँ (चित्र 2)।

चावल। 2. क्रमिक वस्तु घूर्णन

यदि हम अब फिर से घुमावों का वही क्रम करते हैं, उदाहरण के लिए, Z अक्ष के चारों ओर 10°, फिर X अक्ष के चारों ओर 90°, और फिर Y अक्ष के चारों ओर 0°, तो हमें वही परिणाम प्राप्त होता है। समस्या यह है कि जब एक्स अक्ष के चारों ओर घूर्णन 90 डिग्री या -90 डिग्री हो जाता है, तो स्थानीय घूर्णन अक्ष वाई जेड अक्ष के समानांतर हो जाता है, लेकिन विपरीत दिशा में, और इसलिए इसके चारों ओर घूर्णन पिछले घूर्णन के साथ संघर्ष करता है जेड अक्ष।

मैट्रिसेस और क्वाटरनियंस के लिए हिंज लॉक अनुपस्थित है। क्वाटरनियंस अंतरिक्ष में वस्तुओं की स्थिति और रोटेशन के लिए एक सुविधाजनक गणितीय संकेतन प्रदान करते हैं। यूलर कोणों की तुलना में, चतुर्भुज घुमावों को जोड़ना आसान बनाते हैं, साथ ही अन्य अक्षों में घूर्णन की परवाह किए बिना, एक अक्ष के चारों ओर घूमने में सक्षम नहीं होने की समस्या से बचते हैं। मैट्रिसेस की तुलना में, उनके पास अधिक कम्प्यूटेशनल स्थिरता है और वे अधिक कुशल हो सकते हैं। कंप्यूटर ग्राफिक्स, रोबोटिक्स, गेम इंजन, नेविगेशन, आणविक गतिकी में रोटेशन करने के लिए क्वाटरनियन का उपयोग किया जाता है, और आम तौर पर कहीं भी यूलर कोण या मैट्रिस के साथ समस्याएं होती हैं।

साहित्य

1. यूलर एंगल्स और जिम्बल लॉक [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] / http://habrahabr.ru - Habrahabr, 2006. - एक्सेस मोड: http://habrahabr.ru/post/183116/। - प्रवेश की तिथि: 10.10.2013।
2. अंतरिक्ष के चतुर्भुज और रोटेशन [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] / http://ru.wikipedia.org/ - विकिपीडिया - मुक्त विश्वकोश, 2001। - एक्सेस मोड: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Quaternions_and_rotation_of_space। - पहुंच की तिथि: 10/11/2013।