जैसा कि आप जानते हैं, जब व्यंजकों को घातों से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक हमेशा जोड़ते हैं (a b * a c = a b + c)। यह गणितीय नियम आर्किमिडीज द्वारा प्राप्त किया गया था, और बाद में, 8 वीं शताब्दी में, गणितज्ञ विरासेन ने पूर्णांक संकेतकों की एक तालिका बनाई। यह वे थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए कार्य किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहां सरल जोड़ के लिए बोझिल गुणा को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट का समय लगाते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे कार्य करें। सरल और सुलभ भाषा।

गणित में परिभाषा

लघुगणक निम्नलिखित रूप की अभिव्यक्ति है: लॉग ए बी = सी, यानी, किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का लघुगणक (अर्थात कोई भी सकारात्मक) "बी" इसके आधार "ए" द्वारा "सी" की शक्ति माना जाता है। , जिससे आधार "ए" उठाया जाना चाहिए, ताकि अंत में "बी" मान प्राप्त हो। आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक व्यंजक है लॉग 2 8. उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत आसान है, आपको इतनी डिग्री ढूंढनी होगी कि 2 से आवश्यक डिग्री तक आपको 8 मिले। अपने दिमाग में कुछ गणना करने के बाद, हमें नंबर 3 मिलता है! और ठीक ही है, क्योंकि 2 का घात 3 उत्तर में 8 अंक देता है।

लघुगणक की किस्में

कई विद्यार्थियों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में, लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि उनके सामान्य अर्थ को समझना और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखना। लघुगणकीय व्यंजक तीन प्रकार के होते हैं:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव a, जहां आधार 10 है।
3. आधार a>1 से किसी भी संख्या b का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक को एक मानक तरीके से हल किया जाता है, जिसमें लॉगरिदमिक प्रमेयों का उपयोग करके सरलीकरण, कमी और बाद में एक लघुगणक में कमी शामिल है। लघुगणक के सही मान प्राप्त करने के लिए, व्यक्ति को उनके गुणों और उनके निर्णयों में क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में, कई नियम-सीमाएँ हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे चर्चा के अधीन नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं को शून्य से विभाजित करना असंभव है, और ऋणात्मक संख्याओं से सम अंश का मूल निकालना भी असंभव है। लॉगरिदम के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप आसानी से सीख सकते हैं कि लंबी और विशाल लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों के साथ भी कैसे काम किया जाए:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए, और साथ ही 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि "1" और "0" किसी भी डिग्री तक हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a > 0, तो a b > 0, यह पता चलता है कि "c" शून्य से बड़ा होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, समीकरण 10 x \u003d 100 का उत्तर खोजने का कार्य दिया गया है। यह बहुत आसान है, आपको दस की संख्या बढ़ाकर ऐसी शक्ति चुनने की आवश्यकता है जिससे हमें 100 मिले। यह निश्चित रूप से 10 2 है। \u003d 100.

अब इस व्यंजक को लघुगणक के रूप में निरूपित करते हैं। हमें लॉग 10 100 = 2 मिलता है। लॉगरिदम को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस डिग्री को खोजने के लिए अभिसरण करती हैं जिस पर किसी दिए गए नंबर को प्राप्त करने के लिए लॉगरिदम का आधार दर्ज किया जाना चाहिए।

किसी अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको सीखना चाहिए कि डिग्री की तालिका के साथ कैसे काम करना है। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ घातांकों का सहज रूप से अनुमान लगाया जा सकता है यदि आपके पास तकनीकी मानसिकता और गुणन तालिका का ज्ञान है। हालांकि, बड़े मूल्यों के लिए पावर टेबल की आवश्यकता होगी। इसका उपयोग उनके द्वारा भी किया जा सकता है जो जटिल गणितीय विषयों में कुछ भी नहीं समझते हैं। संख्याएँ बाएँ स्तंभ (आधार a) में दी गई हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति उस घात c का मान है जिससे संख्या a उठाई गई है। कोशिकाओं में प्रतिच्छेदन पर संख्याओं का मान निर्धारित किया जाता है, जो उत्तर (a c =b) हैं। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 10 के साथ बहुत पहले सेल को लें और इसे वर्ग करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो हमारे दो कोशिकाओं के चौराहे पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे वास्तविक मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानता

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत, घातांक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक व्यंजक को लघुगणक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 =81 को 81 के आधार 3 के लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है, जो चार है (लॉग 3 81 = 4)। नकारात्मक शक्तियों के लिए, नियम समान हैं: 2 -5 = 1/32 हम एक लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लॉग 2 (1/32) = -5 मिलता है। गणित के सबसे आकर्षक वर्गों में से एक "लघुगणक" का विषय है। समीकरणों के गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, हम समीकरणों के उदाहरणों और समाधानों पर थोड़ा कम विचार करेंगे। अब आइए देखें कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित रूप की अभिव्यक्ति दी गई है: लॉग 2 (x-1)> 3 - यह एक लॉगरिदमिक असमानता है, क्योंकि अज्ञात मान "x" लॉगरिदम के संकेत के तहत है। और व्यंजक में भी दो मात्राओं की तुलना की जाती है: आधार दो में वांछित संख्या का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, 2 x = 9 का लघुगणक) उत्तर में एक या अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मान दर्शाते हैं, जबकि असमानता को हल करते समय, दोनों की सीमा स्वीकार्य मान और इस फ़ंक्शन को तोड़ने वाले बिंदु। नतीजतन, उत्तर व्यक्तिगत संख्याओं का एक साधारण सेट नहीं है, जैसा कि समीकरण के उत्तर में है, बल्कि एक सतत श्रृंखला या संख्याओं का सेट है।

लघुगणक के बारे में मूल प्रमेय

लॉगरिदम के मूल्यों को खोजने पर आदिम कार्यों को हल करते समय, इसके गुणों का पता नहीं चल सकता है। हालांकि, जब लॉगरिदमिक समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लॉगरिदम के सभी बुनियादी गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम बाद में समीकरणों के उदाहरणों से परिचित होंगे, आइए पहले प्रत्येक गुण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

1. मूल पहचान इस तरह दिखती है: a logaB =B. यह केवल तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद के लघुगणक को निम्न सूत्र में दर्शाया जा सकता है: लॉग डी (एस 1 * एस 2) = लॉग डी एस 1 + लॉग डी एस 2. इस मामले में, पूर्वापेक्षा है: डी, ​​एस 1 और एस 2> 0; ए≠1. आप लघुगणक के इस सूत्र के लिए उदाहरण और समाधान के साथ एक प्रमाण दे सकते हैं। मान लीजिए a s 1 = f 1 लॉग करें और a s 2 = f 2 लॉग करें, फिर a f1 = s 1 , a f2 = s 2. हम पाते हैं कि s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (डिग्री गुण) ), और आगे परिभाषा के अनुसार: लॉग a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, जिसे सिद्ध किया जाना था।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: लॉग ए (एस 1 / एस 2) = लॉग ए एस 1 - लॉग ए एस 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है: log a q b n = n/q log a b।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री का गुण" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्री के गुणों जैसा दिखता है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सभी गणित नियमित पदों पर टिकी हुई है। आइए सबूत देखें।

लॉग a b \u003d t दें, यह a t \u003d b निकलता है। यदि आप दोनों भागों को घात m: a tn = b n तक बढ़ाते हैं;

लेकिन चूँकि a tn = (a q) nt/q = b n , इसलिए a q b n = (n*t)/t लॉग करें, फिर a q b n = n/q log a b लॉग करें। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

सबसे आम प्रकार की लघुगणक समस्याएं समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित में परीक्षा के अनिवार्य भाग में भी शामिल हैं। किसी विश्वविद्यालय में प्रवेश करने या गणित में प्रवेश परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि ऐसे कार्यों को सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, लघुगणक के अज्ञात मूल्य को हल करने और निर्धारित करने के लिए कोई एकल योजना या योजना नहीं है, हालांकि, प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि क्या व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है या सामान्य रूप में घटाया जा सकता है। यदि आप उनके गुणों का सही उपयोग करते हैं, तो आप लंबे लघुगणकीय व्यंजकों को सरल बना सकते हैं। आइए जल्द ही उन्हें जान लेते हैं।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि हमारे सामने किस प्रकार का लॉगरिदम है: अभिव्यक्ति के उदाहरण में प्राकृतिक लॉगरिदम या दशमलव हो सकता है।

यहाँ उदाहरण ln100, ln1026 हैं। उनका समाधान इस तथ्य तक उबाल जाता है कि आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। प्राकृतिक लघुगणक के समाधान के लिए, लघुगणकीय पहचान या उनके गुणों को लागू करना चाहिए। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक पर मुख्य प्रमेयों के उपयोग के उदाहरण देखें।

1. उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां संख्या बी के बड़े मूल्य को सरल कारकों में विघटित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लॉगरिदम की डिग्री की चौथी संपत्ति का उपयोग करके, हम पहली नज़र में एक जटिल और असफल अभिव्यक्ति को हल करने में कामयाब रहे। केवल आधार को गुणनखंड करना और फिर घातांक मानों को लघुगणक के चिह्न से बाहर निकालना आवश्यक है।

परीक्षा से कार्य

लॉगरिदम अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से यूनिफाइड स्टेट परीक्षा (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा) में बहुत सारी लॉगरिदमिक समस्याएं। आमतौर पर ये कार्य न केवल भाग ए (परीक्षा का सबसे आसान परीक्षण भाग) में मौजूद होते हैं, बल्कि भाग सी (सबसे कठिन और भारी कार्य) में भी मौजूद होते हैं। परीक्षा का तात्पर्य "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और सही ज्ञान है।

उदाहरण और समस्या समाधान परीक्षा के आधिकारिक संस्करणों से लिए गए हैं। आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लघुगणक 2 (2x-1) = 4. हल:
आइए व्यंजक को फिर से लिखें, इसे थोड़ा सा सरल करते हुए लॉग 2 (2x-1) = 2 2, लघुगणक की परिभाषा से हमें 2x-1 = 2 4 मिलता है, इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5।

• सभी लघुगणक को एक ही आधार पर सबसे अच्छा कम किया जाता है ताकि समाधान बोझिल और भ्रमित न हो।
• लघुगणक के चिह्न के तहत सभी भाव सकारात्मक के रूप में इंगित किए जाते हैं, इसलिए, अभिव्यक्ति के घातांक के घातांक को निकालते समय, जो लघुगणक के संकेत के तहत होता है और इसके आधार के रूप में, लघुगणक के तहत शेष अभिव्यक्ति सकारात्मक होनी चाहिए।

इस वीडियो ट्यूटोरियल में, हम एक गंभीर लॉगरिदमिक समीकरण को हल करने पर ध्यान देंगे, जिसमें आपको न केवल जड़ों को खोजने की जरूरत है, बल्कि उन लोगों का भी चयन करना होगा जो किसी दिए गए सेगमेंट पर स्थित हैं।

कार्य C1. प्रश्न हल करें। इस समीकरण के सभी मूल ज्ञात कीजिए जो अंतराल से संबंधित हैं।

लघुगणक समीकरणों के बारे में एक नोट

हालांकि, साल-दर-साल, छात्र मेरे पास आते हैं जो इस तरह, स्पष्ट रूप से हल करने का प्रयास करते हैं, कठिन समीकरण, लेकिन साथ ही वे समझ नहीं पाते हैं: वे कहां से शुरू करते हैं और लॉगरिदम तक कैसे पहुंचें? मजबूत, अच्छी तरह से तैयार छात्रों में भी ऐसी समस्या उत्पन्न हो सकती है।

नतीजतन, कई लोग इस विषय से डरने लगते हैं, या खुद को बेवकूफ भी मानते हैं। तो, याद रखें: यदि आप इस तरह के समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं, तो इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि आप मूर्ख हैं। क्योंकि, उदाहरण के लिए, आप इस समीकरण से लगभग मौखिक रूप से निपट सकते हैं:

लॉग 2 एक्स = 4

और यदि ऐसा नहीं है, तो आप अभी इस पाठ को नहीं पढ़ रहे होंगे, क्योंकि आप सरल और अधिक सांसारिक कार्यों में व्यस्त थे। बेशक, अब किसी को आपत्ति होगी: "इस सबसे सरल समीकरण का हमारे स्वस्थ डिजाइन से क्या लेना-देना है?" मैं जवाब देता हूं: कोई भी लॉगरिदमिक समीकरण, चाहे वह कितना भी जटिल क्यों न हो, अंततः ऐसे सरल, मौखिक रूप से हल किए गए निर्माणों के लिए नीचे आता है।

बेशक, जटिल लॉगरिदमिक समीकरणों से सरल लोगों तक जाना आवश्यक है, न कि चयन या नृत्य की मदद से, बल्कि स्पष्ट, लंबे समय से परिभाषित नियमों के अनुसार, जिन्हें कहा जाता है - लघुगणक व्यंजकों को परिवर्तित करने के नियम. उन्हें जानकर, आप गणित में परीक्षा के सबसे परिष्कृत समीकरणों को भी आसानी से समझ सकते हैं।

और इन नियमों के बारे में हम आज के पाठ में बात करेंगे। जाना!

समस्या C1 . में लघुगणक समीकरण को हल करना

तो आइए समीकरण को हल करें:

सबसे पहले, जब लॉगरिदमिक समीकरणों की बात आती है, तो हम मुख्य रणनीति को याद करते हैं - अगर मैं कह सकता हूं, तो लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने का मूल नियम। इसमें निम्नलिखित शामिल हैं:

विहित रूप प्रमेय। कोई भी लघुगणकीय समीकरण, चाहे उसमें कुछ भी शामिल हो, चाहे वह कोई भी लघुगणक हो, कोई भी आधार क्यों न हो, और कोई फर्क नहीं पड़ता कि c अपने आप में क्या है, इसे प्रपत्र के समीकरण में लाना आवश्यक है:

लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए जी (एक्स)

यदि हम अपने समीकरण को देखें, तो हमें तुरंत दो समस्याएं दिखाई देती हैं:

1. बाईं ओर हमारे पास है दो संख्याओं का योग, जिनमें से एक लॉगरिदम बिल्कुल नहीं है।
2. दाईं ओर काफी लघुगणक है, लेकिन इसके आधार पर एक जड़ है। और बाईं ओर के लघुगणक में सिर्फ 2 है, अर्थात। बाईं ओर और दाईं ओर लघुगणक के आधार भिन्न होते हैं।

इसलिए हम उन मुद्दों की एक सूची लेकर आए हैं जो हमारे समीकरण को उससे अलग करते हैं विहित समीकरण, जिसे हल करने की प्रक्रिया में आपको किसी लघुगणकीय समीकरण को कम करना होगा। इस प्रकार, इस स्तर पर हमारे समीकरण को हल करने से ऊपर वर्णित दो समस्याओं को समाप्त कर दिया जाता है।

किसी भी लघुगणकीय समीकरण को उसके विहित रूप में कम करके जल्दी और आसानी से हल किया जा सकता है।

लघुगणक और उत्पाद के लघुगणक का योग

आइए क्रम से आगे बढ़ें। सबसे पहले, आइए उस संरचना से निपटें जो बाईं ओर खड़ी है। दो लघुगणक के योग के बारे में हम क्या कह सकते हैं? आइए याद करते हैं अद्भुत सूत्र:

लॉग a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

लेकिन यह विचार करने योग्य है कि हमारे मामले में पहला शब्द एक लघुगणक नहीं है। इसलिए, आपको इकाई को आधार 2 के लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है (अर्थात् 2, क्योंकि आधार 2 का लघुगणक बाईं ओर है)। यह कैसे करना है? फिर से, अद्भुत सूत्र याद रखें:

ए = लॉग बी बी ए

यहां आपको समझने की जरूरत है: जब हम कहते हैं "कोई आधार बी", तो हमारा मतलब है कि बी अभी भी एक मनमाना संख्या नहीं हो सकता है। यदि हम लघुगणक में एक संख्या डालते हैं, तो कुछ संख्याएँ तुरंत उस पर आरोपित हो जाती हैं। प्रतिबंध, अर्थात्: लघुगणक का आधार 0 से बड़ा होना चाहिए और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए। अन्यथा, लघुगणक का कोई मतलब नहीं है। आइए इसे लिख लें:

0 < b ≠ 1

आइए देखें कि हमारे मामले में क्या होता है:

1 = लघुगणक 2 2 1 = लघुगणक 2 2

आइए अब इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए अपने पूरे समीकरण को फिर से लिखते हैं। और तुरंत हम एक और नियम लागू करते हैं: लघुगणक का योग तर्कों के गुणनफल के लघुगणक के बराबर होता है। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

हमारे पास एक नया समीकरण है। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह पहले से ही विहित संरेखण के बहुत करीब है जिसके लिए हम प्रयास कर रहे हैं। लेकिन एक समस्या है, हमने इसे दूसरे बिंदु के रूप में लिखा है: हमारे लघुगणक, जो बाईं ओर और दाईं ओर हैं, अलग आधार. आइए अगले चरण पर चलते हैं।

लघुगणक से शक्तियाँ लेने के नियम

तो बाईं ओर के लघुगणक का आधार केवल 2 है, और दाईं ओर लघुगणक का आधार आधार पर है। लेकिन यह कोई समस्या नहीं है, अगर हमें याद है कि आधारों से लघुगणक के तर्कों को एक शक्ति में ले जाया जा सकता है। आइए इनमें से एक नियम लिखें:

लॉग ए बी एन = एन लॉग ए बी

मानव भाषा में अनुवाद: आप लघुगणक के आधार से डिग्री निकाल सकते हैं और इसे एक कारक के रूप में सामने रख सकते हैं। संख्या n लघुगणक से "माइग्रेट" हो गई और सामने गुणांक बन गई।

हम लघुगणक के आधार से शक्ति भी निकाल सकते हैं। यह इस तरह दिखेगा:

दूसरे शब्दों में, यदि आप लघुगणक तर्क से शक्ति निकालते हैं, तो इस शक्ति को लघुगणक के सामने एक कारक के रूप में भी लिखा जाता है, लेकिन संख्या के रूप में नहीं, बल्कि 1/k के पारस्परिक के रूप में लिखा जाता है।

हालाँकि, यह सब नहीं है! हम इन दो सूत्रों को मिला सकते हैं और निम्नलिखित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

जब घातांक एक लघुगणक के आधार और तर्क दोनों में होता है, तो हम आधार और तर्क दोनों से घातांक को एक ही बार में हटाकर समय बचा सकते हैं और गणना को सरल बना सकते हैं। इस मामले में, तर्क में क्या था (हमारे मामले में, यह गुणांक n है) अंश में होगा। और आधार पर डिग्री क्या थी, एक k, हर में जाएगा।

और यह वे सूत्र हैं जिनका उपयोग अब हम अपने लघुगणक को उसी आधार पर कम करने के लिए करेंगे।

सबसे पहले, हम कम या ज्यादा सुंदर आधार चुनेंगे। जाहिर है, आधार पर ड्यूस जड़ के साथ काम करने के लिए बहुत अधिक सुखद है। तो चलिए दूसरे लॉगरिदम को 2 आधार बनाने की कोशिश करते हैं। आइए इस लॉगरिदम को अलग से लिखें:

हम यहाँ क्या कर सकते हैं? परिमेय घातांक के साथ घात सूत्र को याद कीजिए। दूसरे शब्दों में, हम जड़ों को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक शक्ति के रूप में लिख सकते हैं। और फिर हम तर्क और लघुगणक के आधार दोनों से 1/2 की शक्ति निकालते हैं। हम लघुगणक के सामने अंश और हर में गुणांक में दोहों को कम करते हैं:

अंत में, हम नए गुणांकों को ध्यान में रखते हुए मूल समीकरण को फिर से लिखते हैं:

लघुगणक 2 2 (9x 2 + 5) = लघुगणक 2 (8x 4 + 14)

हमने विहित लघुगणकीय समीकरण प्राप्त किया है। बाईं ओर और दाईं ओर, हमारे पास एक ही आधार 2 में एक लघुगणक है। इन लघुगणकों के अलावा, कोई गुणांक नहीं है, न तो बाईं ओर और न ही दाईं ओर कोई पद है।

नतीजतन, हम लघुगणक के संकेत से छुटकारा पा सकते हैं। बेशक, परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए। लेकिन ऐसा करने से पहले, आइए वापस जाएं और भिन्नों के बारे में थोड़ा स्पष्टीकरण दें।

भिन्न को भिन्न से विभाजित करना: अतिरिक्त विचार

सभी छात्र यह नहीं समझते हैं कि सही लघुगणक के सामने के कारक कहाँ से आते हैं और कहाँ जाते हैं। आइए इसे फिर से लिखें:

आइए समझते हैं कि एक अंश क्या है। चलो लिखते है:

और अब हम भिन्नों को विभाजित करने के नियम को याद करते हैं: 1/2 से विभाजित करने के लिए, आपको उल्टे अंश से गुणा करना होगा:

बेशक, आगे की गणना की सुविधा के लिए, हम ड्यूस को 2/1 के रूप में लिख सकते हैं - और ठीक यही हम समाधान प्रक्रिया में दूसरे गुणांक के रूप में देखते हैं।

मुझे आशा है कि अब हर कोई समझता है कि दूसरा गुणांक कहाँ से आता है, इसलिए हम सीधे अपने विहित लघुगणकीय समीकरण को हल करने के लिए जाते हैं।

लघुगणक के संकेत से छुटकारा

मैं आपको याद दिलाता हूं कि अब हम लघुगणक से छुटकारा पा सकते हैं और निम्नलिखित अभिव्यक्ति छोड़ सकते हैं:

2(9x2 + 5) = 8x4 + 14

आइए बाईं ओर कोष्ठक का विस्तार करें। हम पाते हैं:

18x2 + 10 = 8x4 + 14

आइए सब कुछ बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएं:

8x4 + 14 - 18x2 - 10 = 0

हम समान देते हैं और प्राप्त करते हैं:

8x4 - 18x2 + 4 = 0

हम गुणांकों को सरल बनाने के लिए इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित कर सकते हैं, और हम प्राप्त करते हैं:

4x4 - 9x2 + 2 = 0

हमसे पहले सामान्य है द्विघात समीकरण, और इसकी जड़ों की गणना विवेचक के रूप में आसानी से की जाती है। तो चलिए विवेचक लिखते हैं:

डी \u003d 81 - 4 4 2 \u003d 81 - 32 \u003d 49

ठीक है, विभेदक "सुंदर" है, इसकी जड़ 7 है। यही है, हम एक्स को स्वयं मानते हैं। लेकिन इस मामले में, जड़ें x नहीं, बल्कि x 2 निकलेगी, क्योंकि हमारे पास द्विघात समीकरण है। तो हमारे विकल्प हैं:

कृपया ध्यान दें: हमने जड़ें निकाली हैं, इसलिए दो उत्तर होंगे, क्योंकि। वर्ग - यहां तक ​​कि समारोह. और अगर हम केवल दो का मूल लिखेंगे, तो हम बस दूसरी जड़ खो देंगे।

अब हम अपने द्विघात समीकरण के दूसरे मूल को चित्रित करते हैं:

फिर से, हम अपने समीकरण के दोनों पक्षों का अंकगणितीय वर्गमूल लेते हैं और दो मूल प्राप्त करते हैं। हालाँकि, याद रखें:

केवल विहित रूप में लघुगणक के तर्कों की बराबरी करना पर्याप्त नहीं है। दायरा याद रखें!

कुल मिलाकर, हमें चार जड़ें मिलीं। वे सभी वास्तव में हमारे मूल समीकरण के समाधान हैं। एक नज़र डालें: हमारे मूल लॉगरिदमिक समीकरण में, लॉगरिदम के अंदर या तो 9x 2 + 5 (यह फ़ंक्शन हमेशा सकारात्मक होता है), या 8x 4 + 14 - यह भी हमेशा सकारात्मक होता है। इसलिए, लघुगणक की परिभाषा का क्षेत्र किसी भी मामले में संतुष्ट है, चाहे हमें कोई भी मूल मिले, जिसका अर्थ है कि सभी चार जड़ें हमारे समीकरण के समाधान हैं।

बढ़िया, अब समस्या के दूसरे भाग पर चलते हैं।

एक खंड पर एक लघुगणकीय समीकरण की जड़ों का चयन

हम अपने चार मूलों में से उन का चयन करते हैं जो अंतराल [−1; 8/9]। हम अपनी जड़ों की ओर लौटते हैं, और अब हम उनके चयन को अंजाम देंगे। शुरू करने के लिए, मैं एक समन्वय अक्ष खींचने और उस पर खंड के सिरों को चिह्नित करने का प्रस्ताव करता हूं:

दोनों बिंदु छायांकित होंगे। वे। समस्या की स्थिति से, हम छायांकित खंड में रुचि रखते हैं। अब आइए जड़ों से निपटें।

अपरिमेय जड़ें

आइए अपरिमेय जड़ों से शुरू करें। ध्यान दें कि 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

इससे यह पता चलता है कि दो की जड़ हमारे हित के खंड में नहीं आती है। इसी तरह, हमें एक ऋणात्मक मूल प्राप्त होता है: यह -1 से कम है, अर्थात, हमारे लिए रुचि के खंड के बाईं ओर स्थित है।

तर्कसंगत जड़ें

दो मूल शेष हैं: x = 1/2 और x = -1/2। आइए ध्यान दें कि खंड (−1) का बायां छोर ऋणात्मक है, और दायां छोर (8/9) सकारात्मक है। इसलिए, इन सिरों के बीच में कहीं संख्या 0 है। मूल x = −1/2 −1 और 0 के बीच होगा, अर्थात। अंतिम उत्तर में शामिल किया जाएगा। हम रूट x = 1/2 के साथ भी ऐसा ही करते हैं। यह जड़ विचाराधीन खंड पर भी निहित है।

यह सुनिश्चित करना बहुत आसान है कि संख्या 8/9 1/2 से बड़ी है। आइए इन नंबरों को एक दूसरे से घटाएं:

हमें भिन्न 7/18 > 0 प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि 8/9 > 1/2।

आइए निर्देशांक अक्ष पर उपयुक्त जड़ों को चिह्नित करें:

अंतिम उत्तर दो मूल होंगे: 1/2 और -1/2।

अपरिमेय संख्याओं की तुलना: एक सार्वभौमिक एल्गोरिथम

अंत में, मैं एक बार फिर अपरिमेय संख्याओं पर लौटना चाहूंगा। उनके उदाहरण का उपयोग करते हुए, अब हम देखेंगे कि गणित में परिमेय और अपरिमेय मात्राओं की तुलना कैसे की जाती है। शुरू करने के लिए, उनके बीच एक ऐसा टिक V है - "अधिक" या "कम" का चिन्ह, लेकिन हम अभी तक यह नहीं जानते हैं कि यह किस दिशा में निर्देशित है। चलो लिखते है:

हमें किसी भी तुलना एल्गोरिदम की आवश्यकता क्यों है? तथ्य यह है कि इस समस्या में हम बहुत भाग्यशाली थे: हल करने की प्रक्रिया में, एक अलग संख्या 1 उत्पन्न हुई, जिसके बारे में हम निश्चित रूप से कह सकते हैं:

हालाँकि, आप हमेशा इस तरह की संख्या को चलते-फिरते नहीं देखेंगे। इसलिए, आइए सीधे हमारे नंबरों की तुलना करने का प्रयास करें।

यह कैसे किया है? हम सामान्य असमानताओं के समान ही करते हैं:

1. सबसे पहले, यदि हमारे पास कहीं ऋणात्मक गुणांक हैं, तो हम असमानता के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करेंगे। बेशक संकेत बदल रहा है. ऐसा टिक V बदल जाएगा ऐसे a - में।
2. लेकिन हमारे मामले में दोनों पक्ष पहले से ही सकारात्मक हैं, इसलिए कुछ भी बदलने की जरूरत नहीं है। वास्तव में क्या आवश्यक है दोनों तरफ वर्गाकारकट्टरपंथी से छुटकारा पाने के लिए।

यदि, अपरिमेय संख्याओं की तुलना करते समय, चलते-फिरते एक अलग करने वाले तत्व को चुनना संभव नहीं है, तो मैं इस तरह की तुलना "माथे पर" करने की सलाह देता हूं - इसे एक सामान्य असमानता के रूप में वर्णित करता हूं।

इसे हल करते समय, ऐसा लगता है:

अब तुलना करना आसान है। तथ्य यह है कि 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

यही है, हमें एक कठोर प्रमाण मिला है कि सभी संख्याओं को संख्या रेखा x पर सही ढंग से और ठीक उसी क्रम में चिह्नित किया गया है जिसमें उन्हें वास्तव में होना चाहिए। इस तरह के निर्णय के बारे में कोई भी शिकायत नहीं करेगा, इसलिए याद रखें: यदि आप तुरंत अलग करने वाली संख्या नहीं देखते हैं (हमारे मामले में, यह 1 है), तो बेझिझक उपरोक्त निर्माण को लिखें, गुणा करें, वर्ग करें - और अंत में आप एक सुंदर असमानता मिलेगी। इस असमानता से यह स्पष्ट हो जाएगा कि कौन सी संख्या बड़ी है और कौन सी छोटी।

अपनी समस्या पर लौटते हुए, मैं एक बार फिर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहूंगा कि हमने अपने समीकरण को हल करते समय शुरुआत में क्या किया था। अर्थात्, हमने अपने मूल लघुगणक समीकरण को करीब से देखा और इसे कम करने की कोशिश की कैनन कालघुगणक समीकरण। जहाँ बाएँ और दाएँ केवल लघुगणक हैं - बिना किसी अतिरिक्त शर्तों के, सामने गुणांक, आदि। हमें आधार a या b के लिए दो लघुगणक की आवश्यकता नहीं है, अर्थात् एक लघुगणक दूसरे लघुगणक के बराबर है।

इसके अलावा, लघुगणक के आधार भी बराबर होने चाहिए। उसी समय, यदि समीकरण सही ढंग से बना है, तो प्राथमिक लॉगरिदमिक परिवर्तनों (लॉगरिदम का योग, एक संख्या को लॉगरिदम में परिवर्तित करना, आदि) की सहायता से, हम इस समीकरण को विहित में कम कर देंगे।

इसलिए, अब से, जब आप एक लघुगणकीय समीकरण देखते हैं जो तुरंत "माथे पर" हल नहीं होता है, तो आपको खो जाना नहीं चाहिए या उत्तर खोजने का प्रयास नहीं करना चाहिए। इन चरणों का पालन करना पर्याप्त है:

1. सभी मुक्त तत्वों को लघुगणक में लाएं;
2. फिर इन लघुगणकों को जोड़ें;
3. परिणामी निर्माण में, सभी लघुगणक एक ही आधार की ओर ले जाते हैं।

नतीजतन, आपको एक साधारण समीकरण मिलेगा जिसे ग्रेड 8-9 की सामग्री से बीजगणित के प्राथमिक साधनों द्वारा हल किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, मेरी साइट पर जाएं, लघुगणक को हल करने का अभ्यास करें, मेरे जैसे लघुगणकीय समीकरणों को हल करें, उन्हें मुझसे बेहतर हल करें। और वह सब मेरे लिए है। पावेल बर्डोव आपके साथ थे। जल्द ही फिर मिलेंगे!

एक लघुगणक क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

एक लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेष रूप से - लघुगणक के साथ समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! विश्वास मत करो? अच्छा। अब, कुछ 10 - 20 मिनट के लिए आप:

1. समझें लघुगणक क्या है?.

2. घातांकीय समीकरणों की एक पूरी कक्षा को हल करना सीखें। भले ही आपने उनके बारे में नहीं सुना हो।

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणन तालिका को जानना होगा, और किसी संख्या को घात में कैसे बढ़ाया जाता है ...

मुझे लगता है कि आपको संदेह है ... ठीक है, समय रखो! जाना!

सबसे पहले, निम्नलिखित समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

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लघुगणक अभिव्यक्ति, उदाहरणों का समाधान। इस लेख में, हम लघुगणक को हल करने से संबंधित समस्याओं पर विचार करेंगे। कार्य अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने का सवाल उठाते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि लघुगणक की अवधारणा का उपयोग कई कार्यों में किया जाता है और इसका अर्थ समझना बेहद जरूरी है। यूएसई के लिए, लघुगणक का उपयोग समीकरणों को हल करने, लागू समस्याओं में और कार्यों के अध्ययन से संबंधित कार्यों में भी किया जाता है।

लघुगणक के अर्थ को समझने के लिए यहां उदाहरण दिए गए हैं:

मूल लघुगणकीय पहचान:

लघुगणक के गुण जो आपको हमेशा याद रखने चाहिए:

*उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

* * *

* भागफल (अंश) का लघुगणक गुणनखंडों के लघुगणक के अंतर के बराबर होता है।

* * *

* डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है।

* * *

*नए आधार पर संक्रमण

* * *

अधिक गुण:

* * *

संगणना लघुगणक घातांक के गुणों के उपयोग से निकटता से संबंधित है।

हम उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करते हैं:

इस संपत्ति का सार यह है कि अंश को हर में स्थानांतरित करते समय और इसके विपरीत, घातांक का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। उदाहरण के लिए:

इस संपत्ति का परिणाम:

* * *

किसी घात को घात में बढ़ाते समय, आधार वही रहता है, लेकिन घातांक गुणा किया जाता है।

* * *

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक की अवधारणा सरल है। मुख्य बात यह है कि अच्छे अभ्यास की आवश्यकता होती है, जो एक निश्चित कौशल देता है। निश्चित रूप से सूत्रों का ज्ञान अनिवार्य है। यदि प्राथमिक लघुगणक को परिवर्तित करने का कौशल नहीं बनता है, तो सरल कार्यों को हल करते समय, कोई भी आसानी से गलती कर सकता है।

अभ्यास करें, पहले गणित पाठ्यक्रम से सरलतम उदाहरणों को हल करें, फिर अधिक जटिल उदाहरणों पर आगे बढ़ें। भविष्य में, मैं निश्चित रूप से दिखाऊंगा कि "बदसूरत" लघुगणक कैसे हल होते हैं, परीक्षा में ऐसे कोई नहीं होंगे, लेकिन वे रुचि के हैं, इसे याद मत करो!

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।