पहले की सामग्री में, व्युत्पन्न खोजने के मुद्दे पर विचार किया गया था और इसके विभिन्न अनुप्रयोगों को दिखाया गया था: एक ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान की गणना करना, अनुकूलन समस्याओं को हल करना, एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए कार्यों का अध्ययन करना। $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

चित्र 1।

फ़ंक्शन $s(t)$ द्वारा व्यक्त, यात्रा किए गए पहले से ज्ञात पथ के साथ व्युत्पन्न का उपयोग करके तात्कालिक वेग $v(t)$ खोजने की समस्या पर भी विचार किया गया था।

चित्र 2।

व्युत्क्रम समस्या भी बहुत आम है, जब आपको बिंदु $v(t)$ की गति को जानते हुए, समय $t$ में एक बिंदु द्वारा तय किए गए पथ $s(t)$ को खोजने की आवश्यकता होती है। यदि हम याद करें, तो तात्कालिक गति $v(t)$ को पथ फ़ंक्शन $s(t)$: $v(t)=s'(t)$ के व्युत्पन्न के रूप में पाया जाता है। इसका मतलब यह है कि व्युत्क्रम समस्या को हल करने के लिए, यानी पथ की गणना करने के लिए, आपको एक फ़ंक्शन ढूंढना होगा जिसका व्युत्पन्न गति फ़ंक्शन के बराबर होगा। लेकिन हम जानते हैं कि पथ का व्युत्पन्न गति है, अर्थात: $s'(t) = v(t)$। वेग त्वरण समय समय के बराबर है: $v=at$। यह निर्धारित करना आसान है कि वांछित पथ फ़ंक्शन का रूप होगा: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. लेकिन यह बिल्कुल पूर्ण समाधान नहीं है. संपूर्ण समाधान का स्वरूप इस प्रकार होगा: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, जहां $C$ कुछ स्थिरांक है। ऐसा क्यों है इस पर आगे चर्चा की जाएगी. अभी के लिए, आइए पाए गए समाधान की सत्यता की जाँच करें: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v( t)$.

यह ध्यान देने योग्य है कि गति के आधार पर पथ खोजना प्रतिअवकलन का भौतिक अर्थ है।

परिणामी फ़ंक्शन $s(t)$ को फ़ंक्शन $v(t)$ का प्रतिअवकलन कहा जाता है। काफी दिलचस्प और असामान्य नाम है, है ना। इसमें एक महान अर्थ है जो इस अवधारणा के सार को समझाता है और इसकी समझ की ओर ले जाता है। आप देखेंगे कि इसमें दो शब्द हैं "पहला" और "छवि"। वे अपने लिए बोलते हैं. अर्थात्, यह वह फ़ंक्शन है जो हमारे पास मौजूद व्युत्पन्न के लिए प्रारंभिक फ़ंक्शन है। और इस व्युत्पन्न का उपयोग करके हम उस फ़ंक्शन की तलाश कर रहे हैं जो शुरुआत में था, "पहली", "पहली छवि", यानी एंटीडेरिवेटिव था। इसे कभी-कभी आदिम फलन या प्रतिअवकलन भी कहा जाता है।

जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदीकरण कहा जाता है। और प्रतिअवकलन खोजने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है। एकीकरण की क्रिया विभेदन की क्रिया का व्युत्क्रम है। इसका उलटा भी सच है।

परिभाषा।एक निश्चित अंतराल पर फ़ंक्शन $f(x)$ के लिए एक प्रतिअवकलन एक फ़ंक्शन $F(x)$ है जिसका व्युत्पन्न निर्दिष्ट अंतराल से सभी $x$ के लिए इस फ़ंक्शन $f(x)$ के बराबर है: $F' (x)=f (x)$.

किसी के मन में यह प्रश्न हो सकता है: परिभाषा में $F(x)$ और $f(x)$ कहां से आए, यदि प्रारंभ में हम $s(t)$ और $v(t)$ के बारे में बात कर रहे थे। तथ्य यह है कि $s(t)$ और $v(t)$ फ़ंक्शन पदनाम के विशेष मामले हैं जिनका इस मामले में एक विशिष्ट अर्थ है, अर्थात, वे क्रमशः समय का एक फ़ंक्शन और गति का एक फ़ंक्शन हैं। यह वेरिएबल $t$ के साथ भी वैसा ही है - यह समय को दर्शाता है। और $f$ और $x$ क्रमशः एक फ़ंक्शन और एक वेरिएबल के सामान्य पदनाम के पारंपरिक संस्करण हैं। प्रतिअवकलन $F(x)$ के अंकन पर विशेष ध्यान देना उचित है। सबसे पहले, $F$ पूंजी है। प्रतिअवकलन बड़े अक्षरों में दर्शाए गए हैं। दूसरे, अक्षर समान हैं: $F$ और $f$। अर्थात्, फ़ंक्शन $g(x)$ के लिए प्रतिअवकलन को $G(x)$ द्वारा, $z(x)$ के लिए - $Z(x)$ द्वारा दर्शाया जाएगा। अंकन के बावजूद, एक प्रतिअवकलन फलन खोजने के नियम हमेशा समान होते हैं।

आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण 1।साबित करें कि फ़ंक्शन $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ फ़ंक्शन $f(x)=\cos5x$ का एक प्रतिव्युत्पन्न है।

इसे साबित करने के लिए, हम परिभाषा का उपयोग करेंगे, या इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि $F'(x)=f(x)$, और फ़ंक्शन $F(x)$ का व्युत्पन्न खोजें: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. इसका मतलब है कि $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$, $f(x)=\cos5x$ का प्रतिव्युत्पन्न है। क्यू.ई.डी.

उदाहरण 2.खोजें कि कौन से फ़ंक्शन निम्नलिखित एंटीडेरिवेटिव के अनुरूप हैं: a) $F(z)=\tg z$; बी) $जी(एल) = \sin एल$।

आवश्यक फ़ंक्शन खोजने के लिए, आइए उनके डेरिवेटिव की गणना करें:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
बी) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

उदाहरण 3.$f(x)=0$ का प्रतिअवकलन क्या होगा?
आइए परिभाषा का उपयोग करें. आइए विचार करें कि किस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न $0$ के बराबर हो सकता है। व्युत्पन्नों की तालिका को याद करते हुए, हम पाते हैं कि किसी भी स्थिरांक में ऐसा व्युत्पन्न होगा। हमने पाया कि जिस प्रतिअवकलज की हम तलाश कर रहे हैं वह है: $F(x)= C$।

परिणामी समाधान को ज्यामितीय और भौतिक रूप से समझाया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि ग्राफ़ की स्पर्श रेखा $y=F(x)$ इस ग्राफ़ के प्रत्येक बिंदु पर क्षैतिज है और इसलिए, $Ox$ अक्ष के साथ मेल खाती है। भौतिक रूप से इसे इस तथ्य से समझाया जाता है कि शून्य के बराबर गति वाला एक बिंदु अपनी जगह पर बना रहता है, अर्थात जिस पथ पर वह चला है वह अपरिवर्तित रहता है। इसके आधार पर हम निम्नलिखित प्रमेय बना सकते हैं।

प्रमेय. (कार्यों की निरंतरता का संकेत). यदि किसी अंतराल पर $F'(x) = 0$, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन $F(x)$ स्थिर है।

उदाहरण 4.निर्धारित करें कि कौन से फलन a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$ के प्रतिअवकलन हैं; बी) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; ग) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, जहां $a$ कुछ संख्या है।
प्रतिअवकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि इस समस्या को हल करने के लिए हमें हमें दिए गए प्रतिअवकलन कार्यों के व्युत्पन्न की गणना करने की आवश्यकता है। गणना करते समय यह याद रखें कि किसी अचर अर्थात किसी भी संख्या का अवकलज शून्य के बराबर होता है।
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
बी) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
सी) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

हम क्या देखते हैं? कई अलग-अलग फ़ंक्शन एक ही फ़ंक्शन के आदिम हैं। इससे पता चलता है कि किसी भी फ़ंक्शन में अनंत रूप से कई एंटीडेरिवेटिव होते हैं, और उनका रूप $F(x) + C$ होता है, जहां $C$ एक मनमाना स्थिरांक है। अर्थात्, विभेदीकरण के संचालन के विपरीत, एकीकरण का संचालन बहुमूल्यवान है। इसके आधार पर, आइए हम एक प्रमेय तैयार करें जो प्रतिअवकलन के मुख्य गुण का वर्णन करता है।

प्रमेय. (प्रतिअवकलजों का मुख्य गुण). मान लीजिए कि फ़ंक्शन $F_1$ और $F_2$ कुछ अंतराल पर फ़ंक्शन $f(x)$ के प्रतिअवकलज हैं। फिर इस अंतराल से सभी मानों के लिए निम्नलिखित समानता सत्य है: $F_2=F_1+C$, जहां $C$ कुछ स्थिरांक है।

अनंत संख्या में प्रतिअवकलजों की उपस्थिति के तथ्य की ज्यामितीय रूप से व्याख्या की जा सकती है। $Oy$ अक्ष के साथ समानांतर अनुवाद का उपयोग करके, कोई एक दूसरे से $f(x)$ के लिए किन्हीं दो प्रतिअवकलजों के ग्राफ़ प्राप्त कर सकता है। यह प्रतिअवकलन का ज्यामितीय अर्थ है।

इस तथ्य पर ध्यान देना बहुत महत्वपूर्ण है कि स्थिरांक $C$ को चुनकर आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि प्रतिअवकलन का ग्राफ एक निश्चित बिंदु से होकर गुजरता है।

चित्र तीन।

उदाहरण 5.फ़ंक्शन $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ के लिए एक प्रतिअवकलन खोजें, जिसका ग्राफ़ बिंदु $(3; 1)$ से होकर गुजरता है।
आइए सबसे पहले $f(x)$ के लिए सभी प्रतिअवकलज खोजें: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
इसके बाद, हमें एक संख्या C मिलेगी जिसके लिए ग्राफ $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ बिंदु $(3; 1)$ से होकर गुजरेगा। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु के निर्देशांक को ग्राफ़ समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे $C$ के लिए हल करते हैं:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$।
हमने एक ग्राफ $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ प्राप्त किया, जो प्रतिअवकलन $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ से मेल खाता है।

प्रतिअवकलजों की तालिका

व्युत्पन्न खोजने के सूत्रों का उपयोग करके प्रतिअवकलज खोजने के लिए सूत्रों की एक तालिका संकलित की जा सकती है।

प्रतिअवकलजों की तालिका

कार्य	प्रतिअवकलज
$0$	$सी$
$1$	$x+C$
$a\in R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\आर्कटग x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

आप निम्न तरीके से तालिका की शुद्धता की जांच कर सकते हैं: दाएं कॉलम में स्थित एंटीडेरिवेटिव्स के प्रत्येक सेट के लिए, व्युत्पन्न ढूंढें, जिसके परिणामस्वरूप बाएं कॉलम में संबंधित फ़ंक्शन होंगे।

प्रतिअवकलज खोजने के कुछ नियम

जैसा कि ज्ञात है, कई फ़ंक्शंस का रूप एंटीडेरिवेटिव्स की तालिका में दर्शाए गए फ़ंक्शंस की तुलना में अधिक जटिल होता है, और इस तालिका से फ़ंक्शंस के योगों और उत्पादों का कोई भी मनमाना संयोजन हो सकता है। और यहां सवाल उठता है: ऐसे कार्यों के प्रतिअवकलन की गणना कैसे करें। उदाहरण के लिए, तालिका से हम जानते हैं कि प्रतिअवकलन $x^3$, $\sin x$ और $10$ की गणना कैसे करें। उदाहरण के लिए, कोई प्रतिअवकलन $x^3-10\sin x$ की गणना कैसे कर सकता है? आगे देखते हुए, यह ध्यान देने योग्य है कि यह $\frac(x^4)(4)+10\cos x$ के बराबर होगा।
1. यदि $F(x)$ $f(x)$ के लिए प्रतिअवकलन है, $G(x)$ $g(x)$ के लिए है, तो $f(x)+g(x)$ के लिए प्रतिअवकलन होगा $ F(x)+G(x)$ के बराबर।
2. यदि $F(x)$, $f(x)$ के लिए एक प्रतिअवकलन है और $a$ एक स्थिरांक है, तो $af(x)$ के लिए प्रतिअवकलन $aF(x)$ है।
3. यदि $f(x)$ के लिए प्रतिअवकलन $F(x)$ है, $a$ और $b$ स्थिरांक हैं, तो $\frac(1)(a) F(ax+b)$ प्रतिअवकलन है $f (ax+b)$ के लिए।
प्राप्त नियमों का उपयोग करके हम प्रतिअवकलजों की तालिका का विस्तार कर सकते हैं।

कार्य	प्रतिअवकलज
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

उदाहरण 5.इनके लिए प्रतिअवकलज खोजें:

ए) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

बी) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

सी) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

बी) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

ग) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

प्रतिअवकलजों की तालिका

अनिश्चितकालीन अभिन्नों के गुणों और मौलिक अभिन्नों की तालिका का उपयोग करते हुए,
आप कुछ फ़ंक्शन को एकीकृत कर सकते हैं.

एकीकरण तकनीकें
प्रतिस्थापन विधि

फ़ंक्शंस को एकीकृत करने की सबसे आम विधि विधि है
प्रतिस्थापन, जो तब लागू होता है जब अभिन्न अंग मांगा जाता है
सारणीबद्ध है, लेकिन प्राथमिक परिवर्तनों की एक श्रृंखला के माध्यम से यह हो सकता है
एक मेज पर सिमट गया।

चर t को सूत्र x=φ(t) का उपयोग करके चर / से प्रतिस्थापित किया जाता है और,
इसलिए, dx φ"(t)dt का गुणनफल है।

भागों द्वारा एकीकरण

उदाहरण: आपको अभिन्न को खोजने की आवश्यकता है

यहां, दोहरी ऊर्ध्वाधर रेखाएं सभी गणनाओं को समाहित करती हैं
एकीकरण सूत्र को लागू करने की तैयारी कर रहे हैं
भागों. प्रारंभिक प्रविष्टियाँ समीकरण के बाहर ली जा सकती हैं।

समाकलन परिभाषित करें

काम। उस फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करें जो फ़ंक्शन f(x) का प्रतिअवकलन है, जब
मान a से मान b तक तर्क x का संक्रमण।
समाधान। आइए मान लें कि एकीकरण से हमने पाया है

जैसा कि हम देखते हैं, प्रतिअवकलन फलन F(x) + C 1 की वृद्धि के व्यंजक में
कोई स्थिर मान C1 नहीं है। और चूँकि C 1 का मतलब कोई भी था
दी गई संख्या, तो प्राप्त परिणाम निम्नलिखित निष्कर्ष की ओर ले जाता है: कब
तर्क x का मान x=a से मान x=b में संक्रमण, सभी फ़ंक्शन F(x) + C,
किसी दिए गए फ़ंक्शन f(x) के लिए प्रतिअवकलन में समान वृद्धि होती है
एफ(बी)-एफ(ए).

इस वृद्धि को आमतौर पर निश्चित अभिन्न कहा जाता है और दर्शाया जाता है
प्रतीक

इस प्रकार, अभीष्ट समाकलन 6 के बराबर है।

निश्चित अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ

1. एक साइनसॉइड चाप का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

क्रांति का शरीर चित्र में दिखाया गया है।
विमान के लिए मैं xy विमान चुनूंगा।

उदाहरण संख्या 2. परिवर्तनीय परिवर्तन विधि का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न अंग ढूँढना
एकीकरण

उदाहरण संख्या 3. एकीकरण करके एक निश्चित समाकलन ढूँढना
भागों.

द्रव्यमान m और घनत्व p के बीच संबंध:

विद्युत आवेश q और धारा I के बीच संबंध:

ऊष्मा क्षमता c और ऊष्मा की मात्रा Q के बीच संबंध:

वाहिकाओं के माध्यम से चिपचिपे तरल पदार्थ, रक्त की गति, वितरण का विवरण
हृदय प्रणाली में रक्तचाप, थर्मल, विद्युत,
जीवन से जुड़ी चुंबकीय, ऑप्टिकल प्रक्रियाएं
जीव को एकीकरण के उपयोग की आवश्यकता होती है।

प्रशिक्षण: उदाहरण हल करना

नियम के अनुसार बिंदु बदलते हैं v = (6t +7) m/s

निर्धारित करें कि तय की गई दूरी सामग्री की गति पर समय पर कैसे निर्भर करती है
बिंदु नियम v = (6t +7) m/s के अनुसार बदलते हैं, यदि यह ज्ञात हो कि प्रारंभिक क्षण में

समय (t=0), भौतिक बिंदु शुरुआत से s 0 = 4m की दूरी पर था

जब स्प्रिंग को x 1 से x 2 तक बढ़ाया जाता है तो उसके द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
समाधान।

इस फ़ंक्शन को एकीकृत करने के लिए, आपको एक प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है
चर

चूंकि खंड [-1;2] पर 4 2 ≤2 हैं, तो इस आंकड़े के क्षेत्र एस की गणना की जाती है
इस अनुसार:

समाधान।
u=sinx
डु = cosxdx

एकीकरण की नई सीमाएँ: u 1 = 0 (चूँकि x 1 = 0, आइए इस मान को नए में प्रतिस्थापित करें
फ़ंक्शन - यू = सिनएक्स, यू 1 = सिनएक्स 1 = 0)

इसमें एक प्रेरण धारा की उपस्थिति,

उत्तर:

विभेदक समीकरण

विभेदक समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें आवश्यक होता है
कार्य, विभिन्न आदेशों और स्वतंत्र चर के उनके व्युत्पन्न।
विभेदक समीकरणों का सिद्धांत 17वीं शताब्दी के अंत में उत्पन्न हुआ
यांत्रिकी और अन्य प्राकृतिक विज्ञान विषयों की आवश्यकताओं का प्रभाव,
अनिवार्य रूप से एक साथ इंटीग्रल कैलकुलस और के साथ
अंतर कलन।

I के कार्यों में सबसे सरल अंतर समीकरण पहले ही सामने आ चुके थे।
न्यूटन और जी. लीबनिज; शब्द "विभेदक समीकरण"
लीबनिज का है. अनिश्चितकालीन अभिन्न F (x) खोजने की समस्या
फ़ंक्शंस f(x) को न्यूटन ने केवल अपने दूसरे का एक विशेष मामला माना
कार्य. नींव के निर्माता के रूप में न्यूटन का यही दृष्टिकोण था
गणितीय प्राकृतिक विज्ञान काफी न्यायसंगत है: बहुत बड़े पैमाने पर
कई मामलों में, प्रकृति के नियम जो कुछ प्रक्रियाओं को नियंत्रित करते हैं,
विभेदक समीकरणों के रूप में व्यक्त किये जाते हैं तथा इनके प्रवाह की गणना की जाती है
प्रक्रियाओं को विभेदक समीकरणों को हल करने तक सीमित कर दिया गया है।

निम्नलिखित दो सरल उदाहरण इसे समझाने का काम कर सकते हैं
कहा हुआ।

1) यदि तापमान T तक गर्म किया गया कोई पिंड किसी माध्यम में रखा जाता है, तो तापमान
जो शून्य के बराबर है, तो कुछ शर्तों के तहत हम इसे मान सकते हैं
एक छोटे से तापमान पर ΔT (T> 0 के मामले में नकारात्मक) की वृद्धि
समय अंतराल Δt को सूत्र द्वारा पर्याप्त सटीकता के साथ व्यक्त किया गया है

जहाँ k एक स्थिर गुणांक है। इसे गणितीय रूप से संसाधित करते समय
भौतिक कार्य ठीक उसी के अनुरूप माना जाता है
अंतरों के बीच सीमित अनुपात

यानी, अंतर समीकरण कायम है

जहाँ T व्युत्पन्न संख्या t को दर्शाता है।

स्प्रिंग को खींचने से भार अंदर आ जाता है
आंदोलन। यदि x(t) दर्शाता है
से शरीर के विचलन की मात्रा
फिलहाल संतुलन की स्थिति
समय t, फिर शरीर का त्वरण
दूसरे व्युत्पन्न x" (t) द्वारा व्यक्त किया गया है।
शरीर पर कार्य करने वाला बल tx"(t) है
वसंत के छोटे विस्तार के साथ
लोच सिद्धांत के नियमों के अनुसार, यह विचलन x (t) के समानुपाती होता है। वह।,
हमें एक विभेदक समीकरण मिलता है

उसका समाधान इस प्रकार दिखता है:

यह पाठ एकीकरण पर वीडियो की श्रृंखला में पहला है। इसमें हम विश्लेषण करेंगे कि किसी फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन क्या है, और इन प्रतिअवकलन की गणना के प्राथमिक तरीकों का भी अध्ययन करेंगे।

वास्तव में, यहां कुछ भी जटिल नहीं है: मूलतः यह सब व्युत्पन्न की अवधारणा पर आता है, जिससे आपको पहले से ही परिचित होना चाहिए :)

मैं तुरंत नोट करूंगा कि चूंकि यह हमारे नए विषय का पहला पाठ है, आज कोई जटिल गणना और सूत्र नहीं होंगे, लेकिन आज हम जो सीखेंगे वह जटिल अभिन्न और क्षेत्रों की गणना करते समय बहुत अधिक जटिल गणना और निर्माण का आधार बनेगा। .

इसके अलावा, विशेष रूप से एकीकरण और इंटीग्रल का अध्ययन शुरू करते समय, हम स्पष्ट रूप से मानते हैं कि छात्र पहले से ही डेरिवेटिव की अवधारणाओं से कम से कम परिचित है और उनकी गणना करने में कम से कम बुनियादी कौशल है। इसकी स्पष्ट समझ के बिना, एकीकरण में कुछ भी नहीं करना है।

हालाँकि, यहाँ सबसे आम और घातक समस्याओं में से एक है। तथ्य यह है कि, जब अपने पहले एंटीडेरिवेटिव की गणना करना शुरू करते हैं, तो कई छात्र उन्हें डेरिवेटिव के साथ भ्रमित कर देते हैं। परिणामस्वरूप, परीक्षा और स्वतंत्र कार्य के दौरान मूर्खतापूर्ण और आक्रामक गलतियाँ की जाती हैं।

अत: अब मैं प्रतिअवकलन की स्पष्ट परिभाषा नहीं दूँगा। बदले में, मेरा सुझाव है कि आप देखें कि एक सरल विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके इसकी गणना कैसे की जाती है।

प्रतिअवकलन क्या है और इसकी गणना कैसे की जाती है?

हम यह सूत्र जानते हैं:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\ prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

इस व्युत्पन्न की गणना सरलता से की जाती है:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prime ))=3((x)^(2))\ ]

आइए परिणामी अभिव्यक्ति को ध्यान से देखें और $((x)^(2))$ व्यक्त करें:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prime )))(3)\]

लेकिन हम इसे व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार इस तरह लिख सकते हैं:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\ prime ))\]

और अब ध्यान दें: जो हमने अभी लिखा है वह प्रतिअवकलन की परिभाषा है। लेकिन इसे सही ढंग से लिखने के लिए, आपको निम्नलिखित लिखना होगा:

आइए निम्नलिखित अभिव्यक्ति को इसी प्रकार लिखें:

यदि हम इस नियम का सामान्यीकरण करें, तो हम निम्नलिखित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

अब हम एक स्पष्ट परिभाषा तैयार कर सकते हैं।

किसी फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन वह फ़ंक्शन होता है जिसका व्युत्पन्न मूल फ़ंक्शन के बराबर होता है।

प्रतिअवकलन फलन के बारे में प्रश्न

यह काफी सरल और समझने योग्य परिभाषा प्रतीत होगी। हालाँकि, इसे सुनने पर, चौकस छात्र के मन में तुरंत कई प्रश्न होंगे:

1. मान लीजिए, ठीक है, यह फॉर्मूला सही है। हालाँकि, इस मामले में, $n=1$ के साथ, हमें समस्याएँ हैं: हर में "शून्य" दिखाई देता है, और हम "शून्य" से विभाजित नहीं कर सकते।
2. यह फार्मूला केवल डिग्री तक ही सीमित है। प्रतिअवकलन की गणना कैसे करें, उदाहरण के लिए, साइन, कोसाइन और किसी अन्य त्रिकोणमिति, साथ ही स्थिरांक की।
3. अस्तित्वगत प्रश्न: क्या प्रतिअवकलन खोजना हमेशा संभव है? यदि हां, तो योग, अंतर, उत्पाद आदि के प्रतिअवकलन के बारे में क्या?

मैं अंतिम प्रश्न का उत्तर तुरंत दूंगा। दुर्भाग्य से, व्युत्पन्न के विपरीत, प्रतिअवकलन पर हमेशा विचार नहीं किया जाता है। ऐसा कोई सार्वभौमिक सूत्र नहीं है जिसके द्वारा किसी प्रारंभिक निर्माण से हम एक फ़ंक्शन प्राप्त करेंगे जो इस समान निर्माण के बराबर होगा। जहाँ तक शक्तियों और स्थिरांकों का सवाल है, हम अब उसके बारे में बात करेंगे।

बिजली कार्यों के साथ समस्याओं का समाधान

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, $((x)^(-1))$ के लिए यह फॉर्मूला काम नहीं करता है। सवाल उठता है: फिर क्या काम करता है? क्या हम $((x)^(-1))$ की गिनती नहीं कर सकते? बिलकुल हम कर सकते हैं। आइए पहले इसे याद रखें:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

अब आइए सोचें: किस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न $\frac(1)(x)$ के बराबर है। जाहिर है, कोई भी छात्र जिसने इस विषय का थोड़ा भी अध्ययन किया है, उसे याद होगा कि यह अभिव्यक्ति प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न के बराबर है:

\[((\left(\ln x \right))^(\ prime ))=\frac(1)(x)\]

इसलिए, हम आत्मविश्वास से निम्नलिखित लिख सकते हैं:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

आपको पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तरह, इस सूत्र को जानने की आवश्यकता है।

तो हम अब तक क्या जानते हैं:

• एक पावर फ़ंक्शन के लिए - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• एक स्थिरांक के लिए - $=const\to \cdot x$
• पावर फ़ंक्शन का एक विशेष मामला $\frac(1)(x)\to \ln x$ है

और यदि हम सबसे सरल कार्यों को गुणा और विभाजित करना शुरू कर दें, तो हम किसी उत्पाद या भागफल के प्रतिअवकलन की गणना कैसे कर सकते हैं। दुर्भाग्य से, किसी उत्पाद या भागफल के व्युत्पन्न के साथ समानताएं यहां काम नहीं करती हैं। कोई मानक सूत्र नहीं है. कुछ मामलों के लिए, पेचीदा विशेष सूत्र हैं - हम भविष्य के वीडियो पाठों में उनसे परिचित होंगे।

हालाँकि, याद रखें: भागफल और उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना के लिए सूत्र के समान कोई सामान्य सूत्र नहीं है।

वास्तविक समस्याओं का समाधान

कार्य क्रमांक 1

आइए प्रत्येक पावर फ़ंक्शन की अलग से गणना करें:

\[((x)^(2))\से \frac(((x)^(3)))(3)\]

अपनी अभिव्यक्ति पर लौटते हुए, हम सामान्य निर्माण लिखते हैं:

समस्या क्रमांक 2

जैसा कि मैंने पहले ही कहा, कार्यों के प्रोटोटाइप और विवरण "टू द पॉइंट" पर विचार नहीं किया जाता है। हालाँकि, यहाँ आप निम्नलिखित कार्य कर सकते हैं:

हमने भिन्न को दो भिन्नों के योग में तोड़ दिया।

आइए गणित करें:

अच्छी खबर यह है कि प्रतिअवकलन की गणना के सूत्रों को जानकर, आप पहले से ही अधिक जटिल संरचनाओं की गणना कर सकते हैं। हालाँकि, आइए आगे बढ़ें और अपने ज्ञान को थोड़ा और विस्तारित करें। तथ्य यह है कि कई निर्माण और अभिव्यक्तियाँ, जिनका पहली नज़र में $((x)^(n))$ से कोई लेना-देना नहीं है, को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात्:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

इन सभी तकनीकों को संयोजित किया जा सकता है और किया भी जाना चाहिए। शक्ति की अभिव्यक्ति हो सकती है

• गुणा करें (डिग्री जोड़ें);
• विभाजित करें (डिग्री घटा दी जाती है);
• एक स्थिरांक से गुणा करें;
• वगैरह।

तर्कसंगत घातांक के साथ घात अभिव्यक्तियों को हल करना

उदाहरण 1

आइए प्रत्येक रूट की अलग से गणना करें:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2)))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2)))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4)))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

कुल मिलाकर, हमारा संपूर्ण निर्माण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उदाहरण क्रमांक 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \दाएं))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

इसलिए हमें मिलता है:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

कुल मिलाकर, सब कुछ एक अभिव्यक्ति में एकत्रित करके, हम लिख सकते हैं:

उदाहरण संख्या 3

आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि हमने पहले ही $\sqrt(x)$ की गणना कर ली है:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

आइए फिर से लिखें:

मुझे आशा है कि मैं किसी को आश्चर्यचकित नहीं करूंगा अगर मैं कहूं कि हमने अभी जो अध्ययन किया है वह प्रतिअवकलन की सबसे सरल गणना, सबसे प्राथमिक निर्माण है। आइए अब थोड़ा और जटिल उदाहरण देखें, जिसमें सारणीबद्ध प्रतिअवकलन के अलावा, आपको स्कूली पाठ्यक्रम, अर्थात् संक्षिप्त गुणन सूत्र भी याद रखने की आवश्यकता होगी।

अधिक जटिल उदाहरणों को हल करना

कार्य क्रमांक 1

आइए वर्ग अंतर के सूत्र को याद करें:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

आइए अपने कार्य को फिर से लिखें:

अब हमें ऐसे फ़ंक्शन का प्रोटोटाइप ढूंढना होगा:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

आइए सब कुछ एक साथ एक सामान्य डिज़ाइन में रखें:

समस्या क्रमांक 2

इस मामले में, हमें अंतर घन का विस्तार करने की आवश्यकता है। चलो याद करते हैं:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((बी)^(3))\]

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

आइए अपने कार्य को थोड़ा रूपांतरित करें:

हम हमेशा की तरह प्रत्येक पद के लिए अलग से गिनती करते हैं:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\से \ln x\]

आइए परिणामी निर्माण को लिखें:

समस्या क्रमांक 3

शीर्ष पर हमारे पास योग का वर्ग है, आइए इसका विस्तार करें:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

आइए अंतिम समाधान लिखें:

अब ध्यान दें! एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात, जो शेरों की गलतियों और गलतफहमियों से जुड़ी है। तथ्य यह है कि अब तक, डेरिवेटिव का उपयोग करके एंटीडेरिवेटिव्स की गणना करना और परिवर्तन लाना, हमने यह नहीं सोचा था कि एक स्थिरांक का व्युत्पन्न किसके बराबर है। लेकिन किसी स्थिरांक का व्युत्पन्न "शून्य" के बराबर होता है। इसका मतलब है कि आप निम्नलिखित विकल्प लिख सकते हैं:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है: यदि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न हमेशा समान होता है, तो उसी फ़ंक्शन में अनंत संख्या में एंटीडेरिवेटिव होते हैं। हम अपने प्रतिअवकलजों में कोई भी स्थिर संख्या जोड़ सकते हैं और नई संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं।

यह कोई संयोग नहीं है कि जिन समस्याओं को हमने अभी हल किया है, उनकी व्याख्या में लिखा था, "प्रतिअवकलन का सामान्य रूप लिखिए।" वे। यह पहले से ही माना जाता है कि उनमें से एक नहीं, बल्कि पूरी भीड़ है। लेकिन, वास्तव में, वे अंत में केवल स्थिरांक $C$ में भिन्न होते हैं। इसलिए, अपने कार्यों में हम वह सुधार करेंगे जो हमने पूरा नहीं किया।

एक बार फिर हम अपने निर्माणों को फिर से लिखते हैं:

ऐसे मामलों में, आपको यह जोड़ना चाहिए कि $C$ एक स्थिरांक है - $C=const$।

हमारे दूसरे फ़ंक्शन में हमें निम्नलिखित निर्माण मिलता है:

और एक पिछे:

और अब हमें वास्तव में वह मिल गया जो समस्या की मूल स्थिति में हमसे अपेक्षित था।

किसी दिए गए बिंदु के साथ प्रतिअवकलज खोजने की समस्याओं का समाधान करना

अब जब हम स्थिरांकों और प्रतिअवकलन लिखने की विशिष्टताओं के बारे में जानते हैं, तो यह काफी तर्कसंगत है कि अगली प्रकार की समस्या तब उत्पन्न होती है, जब सभी प्रतिअवकलजों के सेट में से, केवल एक को ढूंढना आवश्यक होता है जो किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरेगा। . यह कार्य क्या है?

तथ्य यह है कि किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव केवल इस मायने में भिन्न होते हैं कि उन्हें एक निश्चित संख्या द्वारा लंबवत रूप से स्थानांतरित किया जाता है। और इसका मतलब यह है कि समन्वय तल पर चाहे हम कोई भी बिंदु लें, एक प्रतिअवकलन निश्चित रूप से गुजरेगा, और, इसके अलावा, केवल एक।

तो, अब हम जिन समस्याओं को हल करेंगे, वे इस प्रकार तैयार की गई हैं: मूल फ़ंक्शन के सूत्र को जानकर, न केवल एंटीडेरिवेटिव खोजें, बल्कि ठीक उसी को चुनें जो दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है, जिसके निर्देशांक समस्या में दिए जाएंगे। कथन।

उदाहरण 1

सबसे पहले, आइए प्रत्येक पद को गिनें:

\[((x)^(4))\से \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\से \frac(((x)^(4)))(4)\]

अब हम इन अभिव्यक्तियों को अपने निर्माण में प्रतिस्थापित करते हैं:

इस फ़ंक्शन को बिंदु $M\left(-1;4 \right)$ से गुजरना होगा। इसका क्या मतलब है कि यह एक बिंदु से होकर गुजरता है? इसका मतलब यह है कि यदि हम $x$ के स्थान पर हर जगह $-1$ और $F\left(x \right)$ के स्थान पर - $-4$ डालते हैं, तो हमें सही संख्यात्मक समानता मिलनी चाहिए। आओ इसे करें:

हम देखते हैं कि हमारे पास $C$ के लिए एक समीकरण है, तो आइए इसे हल करने का प्रयास करें:

आइए वही समाधान लिखें जिसकी हम तलाश कर रहे थे:

उदाहरण क्रमांक 2

सबसे पहले, संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके अंतर का वर्ग प्रकट करना आवश्यक है:

\[((x)^(2))\से \frac(((x)^(3)))(3)\]

मूल निर्माण इस प्रकार लिखा जाएगा:

आइए अब $C$ खोजें: बिंदु $M$ के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

हम $C$ व्यक्त करते हैं:

यह अंतिम अभिव्यक्ति प्रदर्शित करना बाकी है:

त्रिकोणमितीय समस्याओं का समाधान

हमने अभी जो चर्चा की है, उसे अंतिम रूप देने के लिए, मैं दो और जटिल समस्याओं पर विचार करने का प्रस्ताव करता हूं जिनमें त्रिकोणमिति शामिल है। उनमें, उसी तरह, आपको सभी कार्यों के लिए एंटीडेरिवेटिव ढूंढने की आवश्यकता होगी, फिर इस सेट से केवल एक का चयन करें जो समन्वय विमान पर बिंदु $M$ से होकर गुजरता है।

आगे देखते हुए, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि जिस तकनीक का उपयोग अब हम त्रिकोणमितीय कार्यों के प्रतिअवकलज खोजने के लिए करेंगे, वह वास्तव में, आत्म-परीक्षण के लिए एक सार्वभौमिक तकनीक है।

कार्य क्रमांक 1

आइए निम्नलिखित सूत्र याद रखें:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\ prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

इसके आधार पर हम लिख सकते हैं:

आइए बिंदु $M$ के निर्देशांक को अपनी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:

\[-1=\text(tg)\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

आइए इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:

समस्या क्रमांक 2

ये थोड़ा और मुश्किल होगा. अब आप देखेंगे कि क्यों।

आइए इस सूत्र को याद रखें:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\ prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

"माइनस" से छुटकारा पाने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\ prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

यहाँ हमारा डिज़ाइन है

आइए बिंदु $M$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें:

कुल मिलाकर, हम अंतिम निर्माण लिखते हैं:

आज मैं आपको बस यही बताना चाहता था। हमने प्रतिअवकलन शब्द का अध्ययन किया, प्राथमिक कार्यों से उनकी गणना कैसे की जाए, और समन्वय तल पर एक विशिष्ट बिंदु से गुजरने वाले प्रतिअवकलन को कैसे खोजा जाए।

मुझे आशा है कि यह पाठ आपको इस जटिल विषय को कम से कम थोड़ा समझने में मदद करेगा। किसी भी मामले में, यह प्रतिअवकलन पर है कि अनिश्चित और अनिश्चित अभिन्न का निर्माण किया जाता है, इसलिए उनकी गणना करना नितांत आवश्यक है। मेरे लिए बस इतना ही है. फिर मिलेंगे!

एकीकरण की चार मुख्य विधियाँ नीचे सूचीबद्ध हैं।

1) किसी राशि या अंतर को एकीकृत करने का नियम.
.
यहां और नीचे u, v, w एकीकरण चर x के कार्य हैं।

2) स्थिरांक को पूर्णांक चिन्ह से बाहर ले जाना।
मान लीजिए c, x से एक अचर स्वतंत्र है। तब इसे अभिन्न चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है।

3) परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि.
आइए अनिश्चितकालीन अभिन्न पर विचार करें।
यदि हम ऐसा कोई फ़ंक्शन φ पा सकते हैं (एक्स)एक्स से, तो
,
फिर, चर t = φ(x) को प्रतिस्थापित करके, हमारे पास है
.

4) भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र.
,
जहां u और v एकीकरण चर के कार्य हैं।

अनिश्चितकालीन अभिन्नों की गणना का अंतिम लक्ष्य, परिवर्तनों के माध्यम से, दिए गए अभिन्न को सरलतम अभिन्नों में कम करना है, जिन्हें सारणीबद्ध अभिन्न कहा जाता है। तालिका इंटीग्रल्स को ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।
इंटीग्रल की तालिका >>> देखें

उदाहरण

अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करें

समाधान

हम ध्यान दें कि समाकलन तीन पदों का योग और अंतर है:
, और ।
विधि को लागू करना 1 .

इसके बाद, हम ध्यान दें कि नए अभिन्नों के समाकलन को स्थिरांक से गुणा किया जाता है 5, 4, और 2 , क्रमश। विधि को लागू करना 2 .

अभिन्नों की तालिका में हमें सूत्र मिलता है
.
यह मानते हुए कि n = 2 , हम पहला अभिन्न पाते हैं।

आइए हम दूसरे अभिन्न को फॉर्म में फिर से लिखें
.
हम उस पर ध्यान देते हैं। तब

आइए तीसरी विधि का उपयोग करें। हम वेरिएबल t = φ बदलते हैं (एक्स) = लॉग एक्स.
.
अभिन्नों की तालिका में हमें सूत्र मिलता है

चूँकि एकीकरण के चर को किसी भी अक्षर से दर्शाया जा सकता है

आइए तीसरे अभिन्न अंग को फिर से इस रूप में लिखें
.
हम भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र लागू करते हैं।
चलिए डालते हैं.
तब
;
;

;
;
.

अंततः हमारे पास है
.
आइए x के साथ पद एकत्रित करें 3 .
.

उत्तर

सन्दर्भ:
एन.एम. गुंटर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, "लैन", 2003।

इस पृष्ठ पर आप पाएंगे:

1. दरअसल, प्रतिअवकलजों की तालिका - इसे पीडीएफ प्रारूप में डाउनलोड करके मुद्रित किया जा सकता है;

2. इस तालिका का उपयोग कैसे करें पर वीडियो;

3. विभिन्न पाठ्यपुस्तकों और परीक्षणों से प्रतिअवकलन की गणना के उदाहरणों का एक समूह।

वीडियो में ही, हम कई समस्याओं का विश्लेषण करेंगे जहां आपको कार्यों के एंटीडेरिवेटिव की गणना करने की आवश्यकता होती है, जो अक्सर काफी जटिल होते हैं, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि वे पावर फ़ंक्शन नहीं हैं। ऊपर प्रस्तावित तालिका में संक्षेपित सभी कार्यों को डेरिवेटिव की तरह दिल से जाना जाना चाहिए। उनके बिना, अभिन्नों का आगे का अध्ययन और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए उनका अनुप्रयोग असंभव है।

आज हम आदिम का अध्ययन जारी रखते हैं और थोड़े अधिक जटिल विषय पर आगे बढ़ते हैं। यदि पिछली बार हमने केवल शक्ति फलनों और थोड़े अधिक जटिल निर्माणों के प्रतिअवकलजों पर ध्यान दिया था, तो आज हम त्रिकोणमिति और भी बहुत कुछ देखेंगे।

जैसा कि मैंने पिछले पाठ में कहा था, डेरिवेटिव के विपरीत, एंटीडेरिवेटिव को कभी भी किसी मानक नियम का उपयोग करके "तुरंत" हल नहीं किया जाता है। इसके अलावा, बुरी खबर यह है कि, व्युत्पन्न के विपरीत, प्रतिअवकलन पर बिल्कुल भी विचार नहीं किया जा सकता है। यदि हम एक पूरी तरह से यादृच्छिक फ़ंक्शन लिखते हैं और इसके व्युत्पन्न को खोजने का प्रयास करते हैं, तो बहुत अधिक संभावना के साथ हम सफल होंगे, लेकिन इस मामले में एंटीडेरिवेटिव की गणना लगभग कभी नहीं की जाएगी। लेकिन एक अच्छी खबर है: कार्यों का एक काफी बड़ा वर्ग है जिसे प्राथमिक कार्य कहा जाता है, जिसके प्रतिअवकलन की गणना करना बहुत आसान है। और अन्य सभी अधिक जटिल संरचनाएँ जो सभी प्रकार के परीक्षणों, स्वतंत्र परीक्षणों और परीक्षाओं पर दी जाती हैं, वास्तव में, जोड़, घटाव और अन्य सरल क्रियाओं के माध्यम से इन प्राथमिक कार्यों से बनी होती हैं। ऐसे कार्यों के प्रोटोटाइप की लंबे समय से गणना की गई है और उन्हें विशेष तालिकाओं में संकलित किया गया है। ये वे फ़ंक्शन और तालिकाएँ हैं जिनके साथ हम आज काम करेंगे।

लेकिन हम, हमेशा की तरह, दोहराव के साथ शुरू करेंगे: आइए याद रखें कि एक एंटीडेरिवेटिव क्या है, उनमें से अनगिनत क्यों हैं, और उनकी सामान्य उपस्थिति का निर्धारण कैसे करें। ऐसा करने के लिए, मैंने दो सरल समस्याएँ उठाईं।

आसान उदाहरणों को हल करना

उदाहरण 1

आइए तुरंत ध्यान दें कि $\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text() )(6)$ और सामान्य तौर पर $\text()\!\!\pi\ की उपस्थिति !\!\ text()$ तुरंत हमें संकेत देता है कि फ़ंक्शन का आवश्यक प्रतिअवकलन त्रिकोणमिति से संबंधित है। और, वास्तव में, यदि हम तालिका को देखें, तो हम पाएंगे कि $\frac(1)(1+((x)^(2)))$, $\text(arctg)x$ से अधिक कुछ नहीं है। तो चलिए इसे लिखते हैं:

खोजने के लिए, आपको निम्नलिखित लिखना होगा:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+सी\]

उदाहरण क्रमांक 2

हम यहां त्रिकोणमितीय फलनों के बारे में भी बात कर रहे हैं। यदि हम तालिका को देखें, तो, वास्तव में, यही होता है:

हमें एंटीडेरिवेटिव्स के पूरे सेट में से वह ढूंढना होगा जो संकेतित बिंदु से होकर गुजरता है:

\[\text()\!\!\pi\!\!\text()=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text()\!\!\pi\!\!\text()=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

आइए अंततः इसे लिखें:

यह इतना आसान है। एकमात्र समस्या यह है कि सरल कार्यों के प्रतिअवकलन की गणना करने के लिए, आपको प्रतिअवकलन की एक तालिका सीखने की आवश्यकता है। हालाँकि, आपके लिए व्युत्पन्न तालिका का अध्ययन करने के बाद, मुझे लगता है कि यह कोई समस्या नहीं होगी।

घातांकीय फलन वाली समस्याओं को हल करना

आरंभ करने के लिए, आइए निम्नलिखित सूत्र लिखें:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

आइए देखें कि यह सब व्यवहार में कैसे काम करता है।

उदाहरण 1

यदि हम कोष्ठक की सामग्री को देखते हैं, तो हम देखेंगे कि प्रतिअवकलन की तालिका में $((e)^(x))$ के लिए ऐसी कोई अभिव्यक्ति नहीं है जो एक वर्ग में हो, इसलिए इस वर्ग का विस्तार किया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करते हैं:

आइए प्रत्येक पद के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात करें:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

आइए अब सभी पदों को एक ही अभिव्यक्ति में एकत्रित करें और सामान्य प्रतिअवकलन प्राप्त करें:

उदाहरण क्रमांक 2

इस बार डिग्री बड़ी है, इसलिए संक्षिप्त गुणन सूत्र काफी जटिल होगा। तो आइए कोष्ठक खोलें:

आइए अब इस निर्माण से अपने सूत्र का प्रतिअवकलज लेने का प्रयास करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, घातीय फलन के प्रतिअवकलन में कुछ भी जटिल या अलौकिक नहीं है। उन सभी की गणना तालिकाओं के माध्यम से की जाती है, लेकिन चौकस छात्र शायद देखेंगे कि प्रतिअवकलन $((e)^(2x))$, $((a) की तुलना में केवल $((e)^(x))$ के बहुत करीब है )^(x ))$. तो, शायद कुछ और विशेष नियम हैं जो प्रतिअवकलन $((e)^(x))$ को जानते हुए, $((e)^(2x))$ खोजने की अनुमति देते हैं? हां, ऐसा नियम मौजूद है. और, इसके अलावा, यह प्रतिअवकलन तालिका के साथ काम करने का एक अभिन्न अंग है। अब हम उन्हीं अभिव्यक्तियों का उपयोग करके इसका विश्लेषण करेंगे जिनके साथ हमने अभी एक उदाहरण के रूप में काम किया था।

प्रतिअवकलन तालिका के साथ कार्य करने के नियम

आइए अपना कार्य फिर से लिखें:

पिछले मामले में, हमने हल करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया था:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

लेकिन अब इसे थोड़ा अलग ढंग से करते हैं: आइए याद रखें कि किस आधार पर $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. जैसा कि मैंने पहले ही कहा, क्योंकि व्युत्पन्न $((e)^(x))$ $((e)^(x))$ से अधिक कुछ नहीं है, इसलिए इसका प्रतिअवकलन उसी $((e) ^ के बराबर होगा (x))$. लेकिन समस्या यह है कि हमारे पास $((e)^(2x))$ और $((e)^(-2x))$ हैं। आइए अब $((e)^(2x))$ का व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\ prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \प्राइम ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

आइए अपने निर्माण को फिर से लिखें:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\ prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\ prime ))\]

इसका मतलब यह है कि जब हम प्रतिअवकलज $((e)^(2x))$ पाते हैं तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें पहले जैसा ही परिणाम मिला, लेकिन हमने $((a)^(x))$ खोजने के लिए सूत्र का उपयोग नहीं किया। अब यह मूर्खतापूर्ण लग सकता है: जब एक मानक सूत्र मौजूद है तो गणना को जटिल क्यों बनाया जाए? हालाँकि, थोड़े अधिक जटिल अभिव्यक्तियों में आप पाएंगे कि यह तकनीक बहुत प्रभावी है, अर्थात। प्रतिअवकलज खोजने के लिए व्युत्पन्नों का उपयोग करना।

वार्म-अप के रूप में, आइए समान तरीके से $((e)^(2x))$ का प्रतिअवकलन ज्ञात करें:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\ prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\ prime ))\]

गणना करते समय हमारा निर्माण इस प्रकार लिखा जाएगा:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

हमें बिल्कुल वही परिणाम मिला, लेकिन हमने एक अलग रास्ता अपनाया। यह वह मार्ग है, जो अब हमें थोड़ा अधिक जटिल लगता है, जो भविष्य में अधिक जटिल प्रतिअवकलजों की गणना करने और तालिकाओं का उपयोग करने के लिए अधिक प्रभावी हो जाएगा।

टिप्पणी! यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु है: डेरिवेटिव की तरह, एंटीडेरिवेटिव को कई अलग-अलग तरीकों से गिना जा सकता है। हालाँकि, यदि सभी गणनाएँ और गणनाएँ समान हैं, तो उत्तर भी एक ही होगा। हमने इसे अभी $((e)^(-2x))$ के उदाहरण के साथ देखा है - एक तरफ, हमने परिभाषा का उपयोग करके इस एंटीडेरिवेटिव "राइट थ्रू" की गणना की और दूसरी ओर, ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग करके इसकी गणना की। हमें याद आया कि $ ((e)^(-2x))$ को $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ के रूप में दर्शाया जा सकता है और तभी हमने इसका उपयोग किया फ़ंक्शन $( (a)^(x))$ के लिए प्रतिअवकलन। हालाँकि, सभी परिवर्तनों के बाद, परिणाम वैसा ही था, जैसा अपेक्षित था।

और अब जब हम यह सब समझ गए हैं, तो कुछ और महत्वपूर्ण चीज़ों की ओर आगे बढ़ने का समय आ गया है। अब हम दो सरल निर्माणों का विश्लेषण करेंगे, लेकिन उन्हें हल करते समय जिस तकनीक का उपयोग किया जाएगा वह तालिका से पड़ोसी एंटीडेरिवेटिव्स के बीच "चलने" की तुलना में अधिक शक्तिशाली और उपयोगी उपकरण है।

समस्या समाधान: किसी फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन खोजना

उदाहरण 1

आइए अंशों में मौजूद राशि को तीन अलग-अलग अंशों में विभाजित करें:

यह काफी स्वाभाविक और समझने योग्य परिवर्तन है - अधिकांश छात्रों को इससे कोई समस्या नहीं है। आइए अपनी अभिव्यक्ति को इस प्रकार पुनः लिखें:

आइए अब इस सूत्र को याद रखें:

हमारे मामले में हमें निम्नलिखित मिलेगा:

इन सभी तीन मंजिला अंशों से छुटकारा पाने के लिए, मैं निम्नलिखित करने का सुझाव देता हूं:

उदाहरण क्रमांक 2

पिछले भिन्न के विपरीत, हर एक गुणनफल नहीं है, बल्कि एक योग है। इस मामले में, हम अब अपने भिन्न को कई सरल भिन्नों के योग में विभाजित नहीं कर सकते हैं, लेकिन हमें किसी तरह यह सुनिश्चित करने का प्रयास करना चाहिए कि अंश में हर के समान ही अभिव्यक्ति हो। इस मामले में, इसे करना काफी सरल है:

यह अंकन, जिसे गणितीय भाषा में "शून्य जोड़ना" कहा जाता है, हमें भिन्न को फिर से दो टुकड़ों में विभाजित करने की अनुमति देगा:

आइए अब खोजें कि हम क्या खोज रहे थे:

बस इतना ही हिसाब है. पिछली समस्या की तुलना में स्पष्ट रूप से अधिक जटिलता के बावजूद, गणना की मात्रा और भी कम निकली।

समाधान की बारीकियां

और यहीं पर सारणीबद्ध प्रतिअवकलन के साथ काम करने की मुख्य कठिनाई निहित है, यह दूसरे कार्य में विशेष रूप से ध्यान देने योग्य है। तथ्य यह है कि कुछ तत्वों का चयन करने के लिए जिनकी गणना तालिका के माध्यम से आसानी से की जा सकती है, हमें यह जानना होगा कि हम वास्तव में क्या खोज रहे हैं, और इन तत्वों की खोज में ही एंटीडेरिवेटिव की पूरी गणना शामिल है।

दूसरे शब्दों में, केवल प्रतिअवकलजों की तालिका को याद कर लेना पर्याप्त नहीं है - आपको कुछ ऐसा देखने में सक्षम होने की आवश्यकता है जो अभी तक अस्तित्व में नहीं है, लेकिन इस समस्या के लेखक और संकलक का क्या मतलब है। यही कारण है कि कई गणितज्ञ, शिक्षक और प्रोफेसर लगातार तर्क देते हैं: "प्रतिअवकलन या एकीकरण क्या है - क्या यह सिर्फ एक उपकरण है या यह एक वास्तविक कला है?" वास्तव में, मेरी व्यक्तिगत राय में, एकीकरण बिल्कुल भी कला नहीं है - इसमें कुछ भी उदात्त नहीं है, यह सिर्फ अभ्यास और अधिक अभ्यास है। और अभ्यास के लिए, आइए तीन और गंभीर उदाहरण हल करें।

हम व्यवहार में एकीकरण का प्रशिक्षण लेते हैं

कार्य क्रमांक 1

आइए निम्नलिखित सूत्र लिखें:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

आइए निम्नलिखित लिखें:

समस्या क्रमांक 2

आइए इसे इस प्रकार फिर से लिखें:

कुल प्रतिअवकलन इसके बराबर होगा:

समस्या क्रमांक 3

इस कार्य की कठिनाई यह है कि, उपरोक्त पिछले कार्यों के विपरीत, इसमें कोई चर $x$ नहीं है, यानी। यह हमारे लिए स्पष्ट नहीं है कि कम से कम कुछ वैसा ही प्राप्त करने के लिए क्या जोड़ें या घटाएँ जो नीचे है। हालाँकि, वास्तव में, इस अभिव्यक्ति को पिछले किसी भी अभिव्यक्ति की तुलना में और भी सरल माना जाता है, क्योंकि इस फ़ंक्शन को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

अब आप पूछ सकते हैं: ये कार्य समान क्यों हैं? की जाँच करें:

आइए इसे दोबारा लिखें:

आइए अपनी अभिव्यक्ति को थोड़ा रूपांतरित करें:

और जब मैं अपने छात्रों को यह सब समझाता हूं, तो लगभग हमेशा एक ही समस्या उत्पन्न होती है: पहले फ़ंक्शन के साथ सब कुछ कम या ज्यादा स्पष्ट होता है, दूसरे के साथ आप इसे भाग्य या अभ्यास से भी समझ सकते हैं, लेकिन आप किस प्रकार की वैकल्पिक चेतना रखते हैं तीसरे उदाहरण को हल करने के लिए इसकी आवश्यकता है? दरअसल, डरो मत. अंतिम प्रतिअवकलन की गणना करते समय हमने जिस तकनीक का उपयोग किया था उसे "किसी फ़ंक्शन का उसके सरलतम में अपघटन" कहा जाता है, और यह एक बहुत ही गंभीर तकनीक है, और एक अलग वीडियो पाठ इसके लिए समर्पित होगा।

इस बीच, मैं उस पर लौटने का प्रस्ताव करता हूं जिसका हमने अभी अध्ययन किया है, अर्थात् घातांकीय कार्यों पर और उनकी सामग्री के साथ समस्याओं को कुछ हद तक जटिल बनाने पर।

प्रतिअवकलन घातीय कार्यों को हल करने के लिए अधिक जटिल समस्याएं

कार्य क्रमांक 1

आइए निम्नलिखित पर ध्यान दें:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

इस व्यंजक का प्रतिअवकलन ज्ञात करने के लिए, बस मानक सूत्र - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ का उपयोग करें।

हमारे मामले में, प्रतिअवकलन इस प्रकार होगा:

बेशक, जिस डिज़ाइन को हमने अभी हल किया है, उसकी तुलना में यह सरल दिखता है।

समस्या क्रमांक 2

फिर, यह देखना आसान है कि इस फ़ंक्शन को आसानी से दो अलग-अलग शब्दों - दो अलग-अलग अंशों में विभाजित किया जा सकता है। आइए फिर से लिखें:

ऊपर वर्णित सूत्र का उपयोग करके इनमें से प्रत्येक पद का प्रतिअवकलज ज्ञात करना बाकी है:

पावर फ़ंक्शंस की तुलना में घातीय फ़ंक्शंस की स्पष्ट रूप से अधिक जटिलता के बावजूद, गणना और गणना की कुल मात्रा बहुत सरल हो गई।

बेशक, जानकार छात्रों के लिए, जो हमने अभी चर्चा की है (विशेषकर जो हमने पहले चर्चा की है उसकी पृष्ठभूमि में) प्राथमिक अभिव्यक्ति की तरह लग सकती है। हालाँकि, आज के वीडियो पाठ के लिए इन दो समस्याओं को चुनते समय, मैंने आपको एक और जटिल और परिष्कृत तकनीक बताने का लक्ष्य निर्धारित नहीं किया था - मैं आपको केवल यह दिखाना चाहता था कि आपको मूल कार्यों को बदलने के लिए मानक बीजगणित तकनीकों का उपयोग करने से डरना नहीं चाहिए। .

एक "गुप्त" तकनीक का उपयोग करना

अंत में, मैं एक और दिलचस्प तकनीक पर गौर करना चाहूंगा, जो एक तरफ, आज हमने मुख्य रूप से चर्चा की गई बातों से आगे निकल जाती है, लेकिन दूसरी तरफ, सबसे पहले, यह बिल्कुल भी जटिल नहीं है, यानी। यहां तक ​​कि शुरुआती छात्र भी इसमें महारत हासिल कर सकते हैं, और दूसरी बात, यह अक्सर सभी प्रकार के परीक्षणों और स्वतंत्र कार्यों में पाया जाता है, अर्थात। प्रतिअवकलजों की तालिका के ज्ञान के अतिरिक्त इसका ज्ञान भी बहुत उपयोगी होगा।

कार्य क्रमांक 1

जाहिर है, हमारे पास पावर फ़ंक्शन के समान ही कुछ है। इस मामले में हमें क्या करना चाहिए? आइए इसके बारे में सोचें: $x-5$, $x$ से बहुत अलग नहीं है - उन्होंने बस $-5$ जोड़ा है। आइए इसे इस तरह लिखें:

\[((x)^(4))\से \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\ prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

आइए $((\left(x-5 \right))^(5))$ का व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\ prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\ prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

यह संकेत करता है:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ दाएं))^(\प्राइम ))\]

तालिका में ऐसा कोई मान नहीं है, इसलिए अब हमने पावर फ़ंक्शन के लिए मानक एंटीडेरिवेटिव फॉर्मूला का उपयोग करके इस सूत्र को स्वयं प्राप्त किया है। आइए उत्तर इस प्रकार लिखें:

समस्या क्रमांक 2

कई छात्र जो पहले समाधान को देखते हैं, वे सोच सकते हैं कि सब कुछ बहुत सरल है: बस पावर फ़ंक्शन में $x$ को एक रैखिक अभिव्यक्ति के साथ बदलें, और सब कुछ ठीक हो जाएगा। दुर्भाग्य से, सब कुछ इतना सरल नहीं है, और अब हम इसे देखेंगे।

पहली अभिव्यक्ति के अनुरूप, हम निम्नलिखित लिखते हैं:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\ prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\प्राइम ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

अपने व्युत्पन्न पर लौटते हुए, हम लिख सकते हैं:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\ prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \दाएं))^(\प्राइम ))\]

यह तुरंत अनुसरण करता है:

समाधान की बारीकियां

कृपया ध्यान दें: यदि पिछली बार अनिवार्य रूप से कुछ भी नहीं बदला, तो दूसरे मामले में, $-10$ के बजाय $-30$ दिखाई दिया। $-10$ और $-30$ के बीच क्या अंतर है? जाहिर है, $-3$ के कारक से। प्रश्न: यह कहां से आया? यदि आप बारीकी से देखें, तो आप देख सकते हैं कि इसे एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना के परिणामस्वरूप लिया गया था - जो गुणांक $x$ था वह नीचे दिए गए प्रतिअवकलन में दिखाई देता है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण नियम है, जिस पर मैंने शुरू में आज के वीडियो पाठ में चर्चा करने की योजना नहीं बनाई थी, लेकिन इसके बिना सारणीबद्ध प्रतिअवकलन की प्रस्तुति अधूरी होगी।

तो चलिए इसे फिर से करते हैं। मान लीजिए कि हमारा मुख्य शक्ति कार्य है:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

अब, $x$ के स्थान पर, अभिव्यक्ति $kx+b$ को प्रतिस्थापित करें। फिर क्या होगा? हमें निम्नलिखित खोजने की आवश्यकता है:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \दाएँ)\cdot k)\]

हम किस आधार पर यह दावा करते हैं? बहुत सरल। आइए ऊपर लिखे निर्माण का व्युत्पन्न खोजें:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \प्राइम ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

यह वही अभिव्यक्ति है जो मूल रूप से अस्तित्व में थी। इस प्रकार, यह सूत्र भी सही है, और इसका उपयोग प्रतिअवकलजों की तालिका को पूरक करने के लिए किया जा सकता है, या पूरी तालिका को याद रखना बेहतर है।

"गुप्त: तकनीक" से निष्कर्ष:

• दोनों फ़ंक्शन जिन्हें हमने अभी देखा, वास्तव में, डिग्री का विस्तार करके तालिका में संकेतित एंटीडेरिवेटिव्स तक कम किया जा सकता है, लेकिन अगर हम कमोबेश किसी तरह चौथी डिग्री से निपट सकते हैं, तो मैं नौवीं डिग्री नहीं करूंगा सभी ने प्रकट करने का साहस किया।
• यदि हमें डिग्रियों का विस्तार करना होता, तो हम इतनी अधिक मात्रा में गणनाएँ कर लेते कि एक साधारण कार्य के लिए हमें अनुचित रूप से बड़ी मात्रा में समय लग जाता।
• इसीलिए ऐसी समस्याएं, जिनमें रैखिक अभिव्यक्तियाँ होती हैं, उन्हें "सिर झुकाकर" हल करने की आवश्यकता नहीं होती है। जैसे ही आपके सामने कोई ऐसा प्रतिअवकलन आता है जो तालिका में दिए गए प्रतिअवकलन से केवल अंदर अभिव्यक्ति $kx+b$ की उपस्थिति से भिन्न होता है, तुरंत ऊपर लिखे सूत्र को याद रखें, इसे अपनी तालिका प्रतिअवकलन में प्रतिस्थापित करें, और सब कुछ बहुत अच्छा हो जाएगा तेज़ और आसान.

स्वाभाविक रूप से, इस तकनीक की जटिलता और गंभीरता के कारण, हम भविष्य के वीडियो पाठों में कई बार इस पर विचार करेंगे, लेकिन आज के लिए बस इतना ही। मुझे आशा है कि यह पाठ वास्तव में उन छात्रों की मदद करेगा जो प्रतिअवकलन और एकीकरण को समझना चाहते हैं।