"छोटा बेटा अपने पिता के पास आया, और छोटे से पूछा:" कोने क्या हैं? लेकिन पापा जवाब भूल गए। यह बहुत बुरा है!"।

हमारे लेख में, हम गणित के पाठों को याद करने और बच्चे के सवालों के जवाब खोजने का प्रस्ताव करते हैं।

कोण क्या है

एक कोण क्या है, यह समझाने की तुलना में दिखाना आसान है। प्राथमिक ग्रेड से, हम जानते हैं कि एक समतल कोण:

1. यह एक ज्यामितीय आकृति है।
2. यह दो पक्षों से बनता है - किरणें।
3. किरणें एक शीर्ष - एक बिंदु से निकलती हैं।
4. डिग्री में मापा जाता है।

यानी अगर आप किसी समतल पर एक बिंदु रखते हैं, और फिर इस बिंदु से दो किरणें खींचते हैं (एक किरण एक सीधी रेखा है जिसका एक शुरुआत है लेकिन कोई अंत नहीं है), तो हमें एक कोण मिलता है, और एक नहीं, बल्कि दो। ऐसा इसलिए है क्योंकि किरणों ने समतल को दो भागों में विभाजित कर दिया है। हमने दो कोने बनाए हैं - आंतरिक और बाहरी।

कोण पदनाम

गणित में एक कोण को इस तरह के संकेत - "˪" और ग्रीक अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: β, δ, । आप कोणों को छोटे या बड़े लैटिन अक्षरों में भी निर्दिष्ट कर सकते हैं। लोअरकेस (डी, सी, बी) कोण बनाने वाली किरणों को दर्शाता है, इसलिए नाम में दो अक्षर होंगे और आइकन - ab। बड़े लैटिन अक्षर कोण के तीन बिंदुओं को दर्शाते हैं: दो पक्षों पर और एक शीर्ष (˪DEF)। इसके अलावा, शीर्ष का अक्षर हमेशा नाम के बीच में होगा, और DEF या FED को कैसे पढ़ा जाए, इससे पहले से कोई फर्क नहीं पड़ता।

कोनों के प्रकार

डिग्री (मापा मान) के आधार पर, कोणों को विभाजित किया जाता है:

• तीव्र (> 90 डिग्री);
• प्रत्यक्ष (बिल्कुल 90);
• सुस्त (180);
• विस्तारित (180 के बराबर);
• गैर-उत्तल (180 से अधिक, लेकिन 360 से कम);
• पूर्ण (360);

वे सभी कोण जो समकोण या सीधे नहीं होते हैं, तिरछे कहलाते हैं।

इसके अलावा, कोण क्या हैं?

• आसन्न - उनका एक पक्ष समान है, जबकि अन्य एक ही तल पर, संयोग से नहीं, झूठ बोलते हैं। इन कोणों का योग हमेशा 180 होगा।
• उर्ध्वाधर - दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनने वाले कोण और उनमें उभयनिष्ठ भुजाएँ नहीं होती हैं, लेकिन उनकी किरणें एक बिंदु से निकलती हैं। यानी एक कोने का किनारा दूसरे की निरंतरता है। ये कोण बराबर होते हैं।
• केंद्रीय - एक कोण जिसका शीर्ष वृत्त का केंद्र है।
• अंकित कोण। इसका शीर्ष एक वृत्त पर है, और इसे बनाने वाली किरणें इस वृत्त को काटती हैं।

अब आप जानते हैं कि समकोण क्या होता है, और आप यह भी बता सकते हैं कि कौन सा कोण न्यून है। यह याद रखना मुश्किल नहीं है, और अन्य प्रकार के कोणों के भी विशिष्ट नाम होते हैं।

इस लेख में, हम मुख्य ज्यामितीय आकृतियों में से एक - कोण का व्यापक विश्लेषण करेंगे। आइए सहायक अवधारणाओं और परिभाषाओं से शुरू करें जो हमें कोण की परिभाषा की ओर ले जाएंगी। उसके बाद, हम कोणों को निरूपित करने की स्वीकृत विधियाँ देते हैं। इसके बाद, हम कोणों को मापने की प्रक्रिया के बारे में विस्तार से बात करेंगे। अंत में, हम दिखाएंगे कि आप ड्राइंग में कोनों को कैसे चिह्नित कर सकते हैं। हमने सामग्री को बेहतर ढंग से याद रखने के लिए आवश्यक चित्र और ग्राफिक चित्रण के साथ सभी सिद्धांत प्रदान किए।

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कोण परिभाषा।

कोण ज्यामिति में सबसे महत्वपूर्ण आकृतियों में से एक है। कोण की परिभाषा किरण की परिभाषा के माध्यम से दी गई है। बदले में, एक बिंदु, एक सीधी रेखा और एक समतल जैसी ज्यामितीय आकृतियों के ज्ञान के बिना एक किरण का विचार प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, कोण की परिभाषा से परिचित होने से पहले, हम अनुभागों से सिद्धांत को ताज़ा करने की सलाह देते हैं और।

तो, हम एक बिंदु की अवधारणाओं से शुरू करेंगे, एक समतल और एक तल पर एक सीधी रेखा।

आइए पहले किरण की परिभाषा दें।

आइए हम तल पर कुछ सीधी रेखा दें। आइए इसे अक्षर a से निरूपित करें। मान लीजिए O रेखा a का कोई बिंदु है। बिंदु O रेखा a को दो भागों में विभाजित करता है। इनमें से प्रत्येक भाग बिंदु O के साथ मिलकर कहलाता है खुशी से उछलना, और बिंदु O को कहा जाता है बीम की शुरुआत. आप यह भी सुन सकते हैं कि बीम को कहा जाता है अर्ध-प्रत्यक्ष.

संक्षिप्तता और सुविधा के लिए, किरणों के लिए निम्नलिखित संकेतन पेश किया गया था: एक किरण को या तो एक छोटे लैटिन अक्षर (उदाहरण के लिए, रे पी या रे के), या दो बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, जिनमें से पहला शुरुआत से मेल खाता है किरण, और दूसरा इस किरण के कुछ बिंदु को दर्शाता है (उदाहरण के लिए, किरण OA या किरण CD)। आइए ड्राइंग में किरणों की छवि और पदनाम दिखाएं।

अब हम कोण की पहली परिभाषा दे सकते हैं।

परिभाषा।

कोना- यह एक सपाट ज्यामितीय आकृति है (अर्थात, एक निश्चित तल में पूरी तरह से पड़ी हुई), जो एक सामान्य उत्पत्ति के साथ दो बेमेल किरणों से बनी होती है। प्रत्येक किरण को कहा जाता है कोने की तरफ, कोण की भुजाओं के उभयनिष्ठ आरंभ को कहते हैं शीर्ष कोना.

यह संभव है कि किसी कोण की भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हों। इस कोण का अपना नाम है।

परिभाषा।

यदि किसी कोण की दोनों भुजाएँ एक ही रेखा पर स्थित हों, तो कोण कहलाता है तैनात.

हम आपके ध्यान में एक विकसित कोण का एक ग्राफिक चित्रण लाते हैं।

किसी कोण को दर्शाने के लिए कोण चिह्न का प्रयोग किया जाता है। यदि कोण के किनारों को छोटे लैटिन अक्षरों में दर्शाया गया है (उदाहरण के लिए, कोण का एक पक्ष k है, और दूसरा h है), तो इस कोण को नामित करने के लिए, कोण चिह्न के बाद, पक्षों के अनुरूप अक्षर लिखे जाते हैं एक पंक्ति, और रिकॉर्डिंग का क्रम मायने नहीं रखता (अर्थात, या)। यदि कोण की भुजाओं को दो बड़े लैटिन अक्षरों (उदाहरण के लिए, कोण OA की एक भुजा और कोण OB की दूसरी भुजा) द्वारा दर्शाया जाता है, तो कोण को इस प्रकार दर्शाया जाता है: कोण चिह्न के बाद, तीन अक्षर हैं लिखा है जो कोण के पक्षों के पदनाम में भाग लेते हैं, और मध्य में स्थित कोण के शीर्ष के अनुरूप पत्र (हमारे मामले में, कोण को या के रूप में दर्शाया जाएगा)। यदि किसी कोण का शीर्ष किसी अन्य कोण का शीर्ष नहीं है, तो ऐसे कोण को कोण के शीर्ष के संगत अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है (उदाहरण के लिए, )। कभी-कभी आप देख सकते हैं कि चित्र में कोनों को संख्याओं (1, 2, आदि) के साथ चिह्नित किया गया है, इन कोनों को इसी तरह दर्शाया गया है। स्पष्टता के लिए, हम एक आकृति प्रस्तुत करते हैं जिसमें कोनों को दिखाया और दर्शाया गया है।

कोई भी कोण समतल को दो भागों में विभाजित करता है। इसके अलावा, अगर कोण विकसित नहीं होता है, तो विमान के एक हिस्से को कहा जाता है भीतरी कोने का क्षेत्र, और दूसरा बाहरी कोने का क्षेत्र. निम्नलिखित छवि बताती है कि विमान का कौन सा हिस्सा कोने के अंदर और कौन सा हिस्सा बाहर से मेल खाता है।

दो भागों में से कोई भी जिसमें एक चपटा कोण एक विमान को विभाजित करता है, उसे चपटा कोण का एक आंतरिक क्षेत्र माना जा सकता है।

कोण के अभ्यंतर की परिभाषा हमें कोण की दूसरी परिभाषा की ओर ले जाती है।

परिभाषा।

कोना- यह एक ज्यामितीय आकृति है, जो एक सामान्य उत्पत्ति और कोण के संबंधित आंतरिक क्षेत्र के साथ दो बेमेल किरणों से बनी है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कोण की दूसरी परिभाषा पहले की तुलना में सख्त है, क्योंकि इसमें अधिक शर्तें हैं। हालांकि, किसी को कोण की पहली परिभाषा को खारिज नहीं करना चाहिए और न ही कोण की पहली और दूसरी परिभाषा पर अलग से विचार करना चाहिए। आइए इस बिंदु की व्याख्या करते हैं। जब कोण की बात ज्यामितीय आकृति के रूप में की जाती है, तो कोण को एक समान मूल वाली दो किरणों से बनी आकृति के रूप में समझा जाता है। यदि इस कोण के साथ कोई क्रिया करना आवश्यक हो जाता है (उदाहरण के लिए, एक कोण को मापना), तो एक कोण को पहले से ही एक सामान्य उत्पत्ति और एक आंतरिक क्षेत्र के साथ दो किरणों के रूप में समझा जाना चाहिए (अन्यथा दो गुना स्थिति उत्पन्न होगी) कोण के आंतरिक और बाहरी क्षेत्र दोनों की उपस्थिति)।

आइए हम आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोणों की और परिभाषाएँ दें।

परिभाषा।

आसन्न कोने- ये दो कोण होते हैं जिनमें एक भुजा उभयनिष्ठ होती है, और अन्य दो एक सीधा कोण बनाते हैं।

यह परिभाषा से इस प्रकार है कि आसन्न कोण एक दूसरे को एक सीधे कोण तक पूरक करते हैं।

परिभाषा।

लंब कोणऐसे दो कोण हैं जिनमें एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं के विस्तार हैं।

आंकड़ा ऊर्ध्वाधर कोण दिखाता है।

जाहिर है, दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएं आसन्न कोणों के चार जोड़े और ऊर्ध्वाधर कोणों के दो जोड़े बनाती हैं।

कोण तुलना।

लेख के इस पैराग्राफ में, हम समान और असमान कोणों की परिभाषाओं से निपटेंगे, और असमान कोणों के मामले में भी, हम बताएंगे कि कौन सा कोण बड़ा माना जाता है और कौन सा छोटा।

याद रखें कि दो ज्यामितीय आकृतियों को समान कहा जाता है यदि उन्हें आरोपित किया जा सकता है।

आइए हम दो कोण दें। आइए हम तर्क दें जो हमें इस प्रश्न का उत्तर प्राप्त करने में मदद करेगा: "क्या ये दो कोण बराबर हैं या नहीं"?

जाहिर है, हम हमेशा दो कोनों के शीर्षों के साथ-साथ दूसरे कोने के किसी भी पक्ष के साथ पहले कोने के एक तरफ का मिलान कर सकते हैं। आइए पहले कोने के किनारे को दूसरे कोने के उस तरफ से जोड़ दें ताकि कोनों के शेष किनारे सीधी रेखा के उसी तरफ हों जिस पर कोनों के संयुक्त पक्ष झूठ बोलते हैं। फिर, यदि कोनों के अन्य दो पक्षों को संरेखित किया जाता है, तो कोनों को कहा जाता है बराबर.

यदि कोणों की अन्य दो भुजाएँ मेल नहीं खातीं, तो कोण कहलाते हैं असमान, तथा छोटेकोण को दूसरे का हिस्सा माना जाता है ( बड़ावह कोण है जिसमें पूरी तरह से एक और कोण होता है)।

जाहिर है, दो सीधे कोण बराबर हैं। यह भी स्पष्ट है कि विकसित कोण किसी भी अविकसित कोण से बड़ा होता है।

कोण माप।

कोण माप माप की इकाई के रूप में लिए गए कोण के साथ मापे गए कोण की तुलना पर आधारित है। कोणों को मापने की प्रक्रिया इस तरह दिखती है: मापा कोण के किनारों में से एक से शुरू होकर, इसका आंतरिक क्षेत्र क्रमिक रूप से एकल कोणों से भरा होता है, उन्हें कसकर एक दूसरे को ढेर करता है। उसी समय, ढेर किए गए कोनों की संख्या को याद किया जाता है, जो मापा कोण का माप देता है।

वास्तव में, किसी भी कोण को कोणों के माप की इकाई के रूप में लिया जा सकता है। हालांकि, विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों से संबंधित कोणों को मापने के लिए आम तौर पर स्वीकृत कई इकाइयां हैं, उन्हें विशेष नाम प्राप्त हुए हैं।

कोणों को मापने की इकाइयों में से एक है डिग्री.

परिभाषा।

एक डिग्रीएक सीधा कोण के एक सौ अस्सीवें हिस्से के बराबर कोण है।

एक डिग्री को प्रतीक "" द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए, एक डिग्री को इस रूप में दर्शाया जाता है।

इस प्रकार, एक विकसित कोण में, हम 180 कोणों को एक डिग्री में फिट कर सकते हैं। यह 180 बराबर टुकड़ों में कटे हुए आधा गोल पाई जैसा दिखेगा। बहुत महत्वपूर्ण: "पाई के टुकड़े" एक साथ कसकर फिट होते हैं (अर्थात, कोनों के किनारे संरेखित होते हैं), पहले कोने के किनारे चपटे कोने के एक तरफ और अंतिम इकाई कोने के किनारे के साथ संरेखित होते हैं चपटे कोने के दूसरी तरफ से मेल खाता है।

कोणों को मापते समय, यह पता लगाया जाता है कि मापा कोण का आंतरिक क्षेत्र पूरी तरह से कवर होने तक कितनी बार एक डिग्री (या कोणों के माप की अन्य इकाई) मापा कोण में फिट बैठता है। जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, एक विकसित कोण में, डिग्री ठीक 180 बार फिट बैठती है। नीचे ऐसे कोणों के उदाहरण दिए गए हैं जिनमें एक डिग्री का कोण ठीक 30 गुना (ऐसा कोण एक सीधे कोण का छठा कोण होता है) और ठीक 90 गुना (आधा सीधा कोण) फिट बैठता है।

एक डिग्री से कम के कोणों को मापने के लिए (या कोणों के माप की दूसरी इकाई) और ऐसे मामलों में जहां कोण को डिग्री की पूर्णांक संख्या (माप की इकाइयों) द्वारा मापा नहीं जा सकता है, आपको डिग्री के कुछ हिस्सों (ले गए भाग) का उपयोग करना होगा माप की इकाइयां)। डिग्री के कुछ हिस्सों को विशेष नाम प्राप्त हुए। तथाकथित मिनट और सेकंड सबसे आम हैं।

परिभाषा।

मिनटएक डिग्री का साठवां हिस्सा है।

परिभाषा।

दूसराएक मिनट का साठवाँ भाग है।

दूसरे शब्दों में, एक मिनट में साठ सेकंड और एक डिग्री में साठ मिनट (3600 सेकंड) होते हैं। प्रतीक "" का उपयोग मिनटों को दर्शाने के लिए किया जाता है, और प्रतीक "" का उपयोग सेकंड को दर्शाने के लिए किया जाता है (व्युत्पन्न और दूसरे व्युत्पन्न के संकेतों के साथ भ्रमित न हों)। फिर, शुरू की गई परिभाषाओं और अंकन के साथ, हमारे पास है, और वह कोण जिसमें 17 डिग्री 3 मिनट और 59 सेकंड फिट होते हैं, को इस रूप में दर्शाया जा सकता है।

परिभाषा।

कोण की डिग्री मापएक धनात्मक संख्या कहलाती है, जो दर्शाती है कि एक डिग्री और उसके हिस्से कितनी बार दिए गए कोण में फिट होते हैं।

उदाहरण के लिए, एक सीधे कोण का डिग्री माप एक सौ अस्सी है, और कोण का डिग्री माप है .

कोणों को मापने के लिए विशेष मापक यंत्र होते हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एक चांदा है।

यदि कोण के पदनाम (उदाहरण के लिए,) और इसकी डिग्री माप (मान लीजिए 110) दोनों ज्ञात हैं, तो फॉर्म के एक संक्षिप्त संकेतन का उपयोग करें और कहें: "कोण AOB एक सौ दस डिग्री है।"

कोण की परिभाषा और कोण की डिग्री माप से, यह इस प्रकार है कि ज्यामिति में डिग्री में कोण का माप अंतराल से वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है (0, 180] (त्रिकोणमिति में, कोण एक मनमानी डिग्री माप के साथ माना जाता है, उन्हें कहा जाता है) नब्बे डिग्री के कोण का एक विशेष नाम होता है, इसे कहा जाता है समकोण. 90 डिग्री से कम के कोण को कहा जाता है न्यून कोण. नब्बे डिग्री से बड़े कोण को कहा जाता है अधिक कोण. तो, डिग्री में एक न्यून कोण का माप अंतराल (0, 90) से एक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है, एक अधिक कोण का माप - अंतराल (90, 180) से एक संख्या द्वारा, एक समकोण नब्बे के बराबर होता है डिग्री। यहाँ एक न्यून कोण, एक अधिक कोण और एक समकोण के चित्र दिए गए हैं।

कोणों को मापने के सिद्धांत से, यह इस प्रकार है कि समान कोणों के डिग्री माप समान होते हैं, बड़े कोण का डिग्री माप छोटे कोण के डिग्री माप से अधिक होता है, और कोण का डिग्री माप जिसमें कई कोण होते हैं घटक कोणों के डिग्री उपायों के योग के बराबर है। नीचे दिया गया चित्र कोण AOB को दर्शाता है, जो कोणों AOC, COD और DOB से बना है, जबकि .

इस तरह, आसन्न कोणों का योग एक सौ अस्सी डिग्री है, क्योंकि वे एक सीधा कोण बनाते हैं।

इस कथन से यह निष्कर्ष निकलता है। वास्तव में, यदि कोण एओबी और सीओडी लंबवत हैं, तो कोण एओबी और बीओसी आसन्न हैं और कोण सीओडी और बीओसी भी आसन्न हैं, इसलिए, समानताएं और मान्य हैं, जिससे समानता का अनुसरण होता है।

डिग्री के साथ-साथ कोणों को मापने की सुविधाजनक इकाई कहलाती है कांति. त्रिकोणमिति में रेडियन माप का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। आइए एक रेडियन को परिभाषित करें।

परिभाषा।

एक रेडियन कोण- ये है केंद्रीय कोने, जो संबंधित वृत्त की त्रिज्या की लंबाई के बराबर चाप की लंबाई से मेल खाती है।

आइए एक रेडियन के कोण का चित्रमय चित्रण दें। ड्राइंग में, त्रिज्या OA (साथ ही त्रिज्या OB) की लंबाई चाप AB की लंबाई के बराबर है, इसलिए, परिभाषा के अनुसार, कोण AOB एक रेडियन के बराबर है।

रेडियन को दर्शाने के लिए संक्षिप्त नाम "रेड" का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 5 रेड लिखने का अर्थ है 5 रेडियन। हालांकि, लिखित रूप में, पदनाम "रेड" को अक्सर छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, जब यह लिखा जाता है कि कोण pi के बराबर है, तो इसका अर्थ है pi rad।

यह अलग से नोट किया जाना चाहिए कि रेडियन में व्यक्त कोण का मान वृत्त की त्रिज्या की लंबाई पर निर्भर नहीं करता है। यह इस तथ्य के कारण है कि किसी दिए गए कोण और किसी दिए गए कोण के शीर्ष पर केन्द्रित एक वृत्त के चाप द्वारा परिबद्ध आकृतियाँ एक-दूसरे के समरूप होती हैं।

रेडियन में कोणों को मापना उसी तरह से किया जा सकता है जैसे डिग्री में कोणों को मापना: पता करें कि एक रेडियन (और उसके हिस्से) का कोण कितनी बार किसी दिए गए कोण में फिट होता है। और आप संबंधित केंद्रीय कोण के चाप की लंबाई की गणना कर सकते हैं, और फिर इसे त्रिज्या की लंबाई से विभाजित कर सकते हैं।

अभ्यास की जरूरतों के लिए, यह जानना उपयोगी है कि डिग्री और रेडियन माप एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं, क्योंकि काफी हिस्सा पूरा किया जाना है। इस लेख में, कोण की डिग्री और रेडियन माप के बीच एक संबंध स्थापित किया गया है, और डिग्री को रेडियन और इसके विपरीत में परिवर्तित करने के उदाहरण दिए गए हैं।

ड्राइंग में कोनों का पदनाम।

चित्रों में, सुविधा और स्पष्टता के लिए, कोनों को चापों से चिह्नित किया जा सकता है, जो आमतौर पर कोने के एक तरफ से दूसरी तरफ कोने के आंतरिक क्षेत्र में खींचे जाते हैं। समान कोणों को समान संख्या में चापों के साथ चिह्नित किया जाता है, असमान कोणों को विभिन्न चापों के साथ चिह्नित किया जाता है। ड्राइंग में समकोण को "" रूप के प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है, जिसे कोने के एक तरफ से दूसरी तरफ समकोण के आंतरिक क्षेत्र में दर्शाया गया है।

यदि ड्राइंग में कई अलग-अलग कोणों (आमतौर पर तीन से अधिक) को चिह्नित करना होता है, तो कोणों को निर्दिष्ट करते समय, साधारण चापों के अलावा, कुछ विशेष प्रकार के चापों का उपयोग करने की अनुमति है। उदाहरण के लिए, आप दांतेदार चाप, या कुछ इसी तरह का चित्रण कर सकते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आपको चित्र में कोणों के पदनाम के साथ नहीं ले जाना चाहिए और चित्र को अव्यवस्थित नहीं करना चाहिए। हम केवल उन कोणों को चिह्नित करने की अनुशंसा करते हैं जो हल करने या सिद्ध करने की प्रक्रिया में आवश्यक हैं।

ग्रंथ सूची।

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• अतानासियन एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., किसेलेवा एल.एस., पॉज़्न्याक ई.जी. ज्यामिति। हाई स्कूल के 10-11 ग्रेड के लिए पाठ्यपुस्तक।
• पोगोरेलोव ए.वी., ज्यामिति। शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 7-11 के लिए पाठ्यपुस्तक।

एक कोण क्या है?

कोण एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों द्वारा बनाई गई एक आकृति है (चित्र 160)।
किरणें जो बनती हैं कोना, कोण की भुजाएँ कहलाती हैं, और जिस बिंदु से वे निकलती हैं उसे कोण का शीर्ष कहते हैं।
चित्र 160 में, कोण की भुजाएँ OA और OB किरणें हैं, और इसका शीर्ष बिंदु O है। इस कोण को निम्नानुसार नामित किया गया है: AOB।

बीच में कोण लिखते समय उसके शीर्ष को दर्शाते हुए एक अक्षर लिखें। एक कोण को एक अक्षर से भी निरूपित किया जा सकता है - इसके शीर्ष का नाम।

उदाहरण के लिए, "कोण एओबी" के बजाय वे छोटा लिखते हैं: "कोण ओ"।

"कोने" शब्द के बजाय वे एक संकेत लिखते हैं।

उदाहरण के लिए, एओबी, ओ.

आकृति 161 में, बिंदु C और D कोण AOB के अंदर स्थित हैं, बिंदु X और Y इस कोण के बाहर स्थित हैं, और अंकएम और एच - कोने के किनारों पर।

सभी ज्यामितीय आकृतियों की तरह, एक ओवरले का उपयोग करके कोणों की तुलना की जाती है।

यदि एक कोण को दूसरे कोण पर इस प्रकार आरोपित किया जा सकता है कि वे संपाती हों, तो ये कोण बराबर होते हैं।

उदाहरण के लिए, चित्र 162 में ABC = MNK।

SOK कोण के शीर्ष से (चित्र 163) एक बीम OR खींचा गया था। वह SOC कोण को दो कोणों - COP और ROCK में विभाजित करता है। इनमें से प्रत्येक कोण ROC कोण से छोटा है।

द्वारा लिखित: सीओपी< COK и POK < COK.

सीधा और कोण

दो एक दूसरे के पूरक खुशी से उछलनाएक मुड़ा हुआ कोना बनाएं। इस कोण की भुजाएँ मिलकर एक सीधी रेखा बनाती हैं जिस पर विस्तारित कोण का शीर्ष होता है (चित्र 164)।

घड़ी की घंटे और मिनट की सूइयां 6 बजे एक विकसित कोण बनाती हैं (चित्र 165)।

आइए कागज के एक टुकड़े को दो बार आधा मोड़ें, और फिर इसे खोलें (चित्र 166)।

तह रेखाएं 4 बराबर कोण बनाती हैं। इनमें से प्रत्येक कोण सीधे कोण के आधे के बराबर है। ऐसे कोणों को समकोण कहते हैं।

एक समकोण आधा सीधा कोण है।

ड्राइंग त्रिकोण

समकोण बनाने के लिए, आरेखण का उपयोग करें त्रिकोण(चित्र। 167)। एक समकोण बनाने के लिए, जिसकी एक भुजा OL किरण है, यह आवश्यक है:

ए) ड्राइंग त्रिकोण को व्यवस्थित करें ताकि उसके समकोण का शीर्ष बिंदु ओ के साथ मेल खाता हो, और पक्षों में से एक किरण ओए के साथ जाता है;

b) त्रिभुज की दूसरी भुजा के अनुदिश एक किरण OB खींचिए।

परिणामस्वरूप, हमें एक समकोण AOB प्राप्त होता है।

विषय के लिए प्रश्न

1. कोण क्या है?
2. किस कोण को परिनियोजित कहा जाता है?
3. किन कोणों को समान कहा जाता है?
4. किस कोण को समकोण कहते हैं?
5. एक आरेखण त्रिभुज का उपयोग करके एक समकोण कैसे बनाया जाता है?

हम पहले से ही जानते हैं कि कोई भी कोण तल को दो भागों में विभाजित करता है। लेकिन, यदि एक कोण पर दोनों पक्ष एक ही सीधी रेखा पर स्थित हों, तो ऐसे कोण को परिनियोजित कहा जाता है। अर्थात् विकसित कोण पर इसका एक पक्ष कोण की दूसरी भुजा की निरंतरता है।

अब आइए आकृति को देखें, जो केवल विकसित कोण O को दर्शाता है।

यदि हम एक सीधे कोण के शीर्ष से एक किरण लेते हैं और खींचते हैं, तो वह इस सीधे कोण को दो और कोणों में विभाजित कर देगी, जिसमें एक सामान्य पक्ष होगा, और अन्य दो कोण एक सीधी रेखा का निर्माण करेंगे। यानी एक खुले कोने से हमें दो आसन्न कोने मिले।

यदि हम एक सीधा कोण लेते हैं और एक द्विभाजक खींचते हैं, तो यह द्विभाजक सीधे कोण को दो समकोणों में विभाजित करेगा।

और, यदि हम विकसित कोण के शीर्ष से एक मनमाना किरण खींचते हैं, जो द्विभाजक नहीं है, तो ऐसी किरण विस्तारित कोण को दो कोणों में विभाजित करेगी, जिनमें से एक न्यून और दूसरा अधिक होगा।

फ्लैट कॉर्नर गुण

विस्तारित कोण में निम्नलिखित गुण हैं:

सबसे पहले, एक सीधे कोण के पक्ष समानांतर हैं और एक सीधी रेखा बनाते हैं;
दूसरे, विकसित कोण 180° है;
तीसरा, दो आसन्न कोण एक सीधा कोण बनाते हैं;
चौथा, विकसित कोण पूर्ण कोण का आधा है;
पांचवां, पूर्ण कोण दो विकसित कोणों के योग के बराबर होगा;
छठा, सीधा कोण का आधा समकोण है।

कोण माप

किसी भी कोण को मापने के लिए, इन उद्देश्यों के लिए अक्सर एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग किया जाता है, जिसमें माप की इकाई एक डिग्री होती है। कोणों को मापते समय, यह याद रखना चाहिए कि किसी भी कोण का अपना विशिष्ट डिग्री माप होता है, और स्वाभाविक रूप से यह माप शून्य से अधिक होता है। और विकसित कोण, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, 180 डिग्री के बराबर है।

अर्थात् यदि हम किसी वृत्त का कोई तल लें और उसे त्रिज्याओं से 360 बराबर भागों में विभाजित करें, तो इस वृत्त का 1/360 एक कोणीय अंश होगा। जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, डिग्री एक निश्चित आइकन द्वारा इंगित की जाती है, जो इस तरह दिखता है: "डिग्री"।

अब हम यह भी जानते हैं कि एक वृत्त का एक अंश 1° = 1/360 होता है। यदि कोण वृत्त के तल के बराबर है और 360 डिग्री है, तो ऐसा कोण भरा हुआ है।

और अब हम एक सीधी रेखा पर पड़ी दो त्रिज्याओं की सहायता से वृत्त के तल को लेते हैं और दो बराबर भागों में विभाजित करते हैं। तब इस स्थिति में अर्धवृत्त का तल पूर्ण कोण का आधा होगा, अर्थात 360: 2 = 180°। हमें एक कोण प्राप्त हुआ है जो वृत्त के अर्ध-तल के बराबर है और 180° का है। यह मुड़ कोण है।

व्यावहारिक कार्य

1613. चित्र 168 में दर्शाए गए कोणों के नाम लिखिए। उनके पदनाम लिखिए।

1614. चार किरणें बनाएं: OA, OB, OS और OD। उन छः कोणों के नाम लिखिए जिनकी भुजाएँ ये किरणें हैं। ये किरणें कितने भागों में विभाजित होती हैं विमान?

1615. इंगित करें कि चित्र 169 में कौन से बिंदु कोण KOM के अंदर स्थित हैं। कौन से बिंदु इस कोण के बाहर स्थित हैं? ओके साइड में कौन से पॉइंट हैं और ओएम साइड में कौन से पॉइंट हैं?

1616. एक कोण MOD बनाएं और उसके अंदर एक किरण OT खींचे। उन कोणों का नाम और लेबल लगाइए जिनमें यह किरण कोण MOD को विभाजित करती है।

1617. 10 मिनट में मिनट की सुई कोण AOB पर, अगले 10 मिनट में - कोण BOC पर, और 15 मिनट में - कोण COD में बदल जाती है। कोणों AOB और BOC, BOC और COD, AOC और AOB, AOC और COD की तुलना करें (चित्र 170)।

1618. विभिन्न स्थितियों में 4 समकोण बनाने के लिए आरेखण त्रिभुज का उपयोग करें।

1619. आरेखण त्रिभुज का प्रयोग करते हुए, आकृति 171 में समकोण ज्ञात कीजिए। उनके पदनाम लिखिए।

1620. कक्षा में समकोणों को इंगित करें।

क) 0.09 200; बी) 208 0.4; ग) 130 0.1 + 80 0.1।

1629. संख्या 200 400 का कितना प्रतिशत है; 100; चार; 40; 80; 400; 600?

1630. लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

ए) 2 5 3 बी) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. एक वर्ग खींचिए जिसकी भुजा नोटबुक की 10 कोशिकाओं की लंबाई के बराबर हो। मान लीजिए कि यह वर्ग एक क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है। राई 12% खेत पर कब्जा कर लेती है, जई - 8%, गेहूं - 64%, और बाकी खेत में एक प्रकार का अनाज होता है। चित्र में खेत के प्रत्येक फसल के कब्जे वाले भाग को दिखाइए। एक प्रकार का अनाज खेत का कितना प्रतिशत है?

1632. स्कूल वर्ष के दौरान, पेट्या ने वर्ष की शुरुआत में खरीदी गई 40% नोटबुक का उपयोग किया, और उसके पास 30 नोटबुक बची थीं। स्कूल वर्ष की शुरुआत में पेट्या के लिए कितनी नोटबुक खरीदी गईं?

1633. कांस्य टिन और तांबे का मिश्र धातु है। कांसे के एक टुकड़े में मिश्र धातु का कितना प्रतिशत हिस्सा है, जिसमें 6 किलो टिन और 34 किलो तांबा है?

1634. पुरातनता में निर्मित अलेक्जेंड्रिया का लाइटहाउस, जिसे दुनिया के सात आश्चर्यों में से एक कहा जाता था, मॉस्को क्रेमलिन के टावरों से 1.7 गुना ऊंचा है, लेकिन मॉस्को विश्वविद्यालय की इमारत से 119 मीटर कम है। ऊंचाई पाएं इनमें से प्रत्येक संरचना में यदि मास्को क्रेमलिन के टॉवर अलेक्जेंड्रिया के 49 मीटर निचले लाइटहाउस हैं।

1635. एक माइक्रोकैलकुलेटर की मदद से खोजें:

क) 168 का 4.5%; ग) 569.8 का 28.3%;
बी) 2500 का 147.6%; घ) 456,800 का 0.09%।

1636. समस्या का समाधान करें:

1) उद्यान का क्षेत्रफल 6.4 a है। पहले दिन, 30% बगीचे को खोदा गया, और दूसरे दिन, 35% बगीचे को खोदा गया। कितने गड्ढे खोदने के लिए बचे हैं?

2) सेरेज़ा के पास 4.8 घंटे का खाली समय था। उन्होंने उस समय का 35% एक किताब पढ़ने और 40% टीवी शो देखने में बिताया। उसके पास कितना समय बचा है?

1637. निम्नलिखित कार्य करें:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 एक कोण बीएसी बनाएं और कोण के अंदर, कोण के बाहर और कोण के किनारों पर एक-एक बिंदु चिह्नित करें।

1639. आकृति 172 में अंकित बिंदुओं में से कौन सा कोण AMK के अंदर स्थित है। कौन सा बिंदु कोण AMB> के अंदर है लेकिन कोण AMK के बाहर है। कौन से बिंदु कोण AMK के किनारों पर स्थित हैं?

1640. आकृति 173 में समकोण ज्ञात करने के लिए आरेखण त्रिभुज का उपयोग करें।

1641. 43 मिमी भुजा वाले एक वर्ग की रचना कीजिए। इसकी परिधि और क्षेत्रफल की गणना करें।

1642. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

a) 14.791: a + 160.961: b, यदि a = 100, b = 10;
बी) 361.62 एस + 1848: डी अगर सी = 100, डी = 100।

1643. मजदूर को 450 पुर्जे बनाने थे। पहले दिन, उसने 60% पुर्जे बनाए, और बाकी दूसरे दिन। कितने पार्ट किये मज़दूरदूसरे दिन में?

1644. पुस्तकालय में 8,000 पुस्तकें थीं। एक साल बाद, उनकी संख्या में 2000 पुस्तकों की वृद्धि हुई। पुस्तकालय में पुस्तकों की संख्या में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई है?

1645. ट्रकों ने पहले दिन 24% इच्छित पथ को कवर किया, दूसरे दिन - 46% पथ, और तीसरे पर - शेष 450 किमी। इन ट्रकों ने कितने किलोमीटर का सफर तय किया?

1646. खोजें कि कितने हैं:

ए) एक टन का 1%; ग) 7 टन का 5%;
बी) एक लीटर का 1%; घ) 80 किमी का 6%।

1647. एक वालरस शावक का द्रव्यमान एक वयस्क वालरस के द्रव्यमान से 9 गुना कम है। एक वयस्क वालरस का द्रव्यमान क्या है, यदि शावक के साथ उनका द्रव्यमान 0.9 टन है?

1648. युद्धाभ्यास के दौरान, कमांडर ने अपने सभी सैनिकों में से 0.3 को क्रॉसिंग की रक्षा के लिए छोड़ दिया, और बाकी को दो ऊंचाइयों की रक्षा के लिए 2 टुकड़ियों में विभाजित कर दिया। पहली टुकड़ी में दूसरी की तुलना में 6 गुना अधिक सैनिक थे। अगर कुल 200 सैनिक होते तो पहली टुकड़ी में कितने सैनिक होते?

एन.वाई.ए. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, गणित ग्रेड 5, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

कोण माप

कोण को डिग्री (डिग्री, मिनट, सेकंड) में मापा जाता है, क्रांतियों में - चाप s की लंबाई का परिधि L से अनुपात, रेडियन में - चाप s की लंबाई का त्रिज्या r का अनुपात; ऐतिहासिक रूप से, कोणों को मापने के लिए ओलों के माप का भी उपयोग किया जाता था; वर्तमान में, इसका उपयोग लगभग कभी नहीं किया जाता है।

1 मोड़ = 2π रेडियन = 360° = 400 डिग्री।

समुद्री शब्दावली में, कोणों को बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है।

कोने के प्रकार

आसन्न कोण न्यून (ए) और अधिक (बी) हैं। उलटा कोण (सी)

इसके अलावा, स्पर्शरेखा बिंदु पर चिकने वक्रों के बीच के कोण पर विचार किया जाता है: परिभाषा के अनुसार, इसका मान वक्रों की स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण के बराबर होता है।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "विकसित कोण" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

दो समकोण के बराबर कोण। * एक सतह का स्कैन इस विमान के साथ दी गई सतह के बिंदुओं के ऐसे संयोजन के साथ एक विमान में प्राप्त एक आकृति है, जिसमें रेखाओं की लंबाई अपरिवर्तित रहती है। वक्र विकास देखें शामिल ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

कोना- दिशा अंतर (अंतरिक्ष में) एक दिशा से दूसरी दिशा में मोड़ की कोण सीमा; दिशा अंतर; एक पूर्ण मोड़ का हिस्सा (झुकाव #। फॉर्म #)। झुकना झुका हुआ विचलन। विचलन (सड़क दाईं ओर विचलित)। ... ...

कोना- कोने: 1 सामान्य दृश्य; 2 आसन्न; 3 आसन्न; 4 लंबवत; 5 तैनात; 6 सीधे, तेज और कुंद; 7 घटता के बीच; 8 एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच; 9 सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करने के बीच (एक ही तल में नहीं पड़ी) सीधी रेखाएँ। कोण, ज्यामितीय …… सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

एक ज्यामितीय आकृति जिसमें एक ही बिंदु से निकलने वाली दो अलग-अलग किरणें होती हैं। किरणें कहा जाता है पक्ष यू।, और उनकी सामान्य शुरुआत शीर्ष यू है। चलो [बीए), [बीसी) कोण के किनारे, बी इसके शीर्ष, पक्षों द्वारा निर्धारित विमान यू। आंकड़ा विमान को विभाजित करता है ... ... गणितीय विश्वकोश

दो समकोण के बराबर कोण। * * *प्रकाशित कोण प्रकट कोण, दो समकोण के बराबर कोण ... विश्वकोश शब्दकोश

गणित की एक शाखा जो विभिन्न आकृतियों (बिंदुओं, रेखाओं, कोणों, द्वि-आयामी और त्रि-आयामी वस्तुओं), उनके आकार और सापेक्ष स्थिति के गुणों का अध्ययन करती है। शिक्षण की सुविधा के लिए ज्यामिति को प्लेनीमेट्री और सॉलिड ज्योमेट्री में बांटा गया है। पर… … कोलियर विश्वकोश

1) एक बंद टूटी हुई रेखा, अर्थात्: यदि अलग-अलग बिंदु, उनमें से कोई भी लगातार तीन एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं, तो खंडों के समूह को कहा जाता है। बहुभुज (चित्र 1 देखें)। एम। स्थानिक या सपाट हो सकता है (नीचे ... ... गणितीय विश्वकोश

आर-पार- अधिकतम कोण पर, तिरछा कोण अनुप्रस्थ। एक समकोण पर पार। . अधिकतम विक्षेपण का समकोण कोण; इसके आसन्न एक के बराबर कोण; तिमाही मोड़। लंबवत। समकोण पर लंबवत। लंबवत। ... ... रूसी भाषा का आइडियोग्राफिक डिक्शनरी

डिग्री- ए, एम। 1) एक समतल कोण की माप की इकाई, एक समकोण के 1/90 के बराबर या, क्रमशः, एक वृत्त का 1/360। 90 डिग्री के कोण को समकोण कहा जाता है। विस्तारित कोण 180 डिग्री है। 2) तापमान अंतराल के लिए माप की एक इकाई जिसमें ... ... रूसी भाषा का लोकप्रिय शब्दकोश

श्वार्ट्ज क्रिस्टोफेल की प्रमेय, एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण प्रमेय, जर्मन गणितज्ञों कार्ल श्वार्ट्ज और एल्विन क्रिस्टोफेल के नाम पर है। व्यावहारिक दृष्टिकोण से बहुत महत्वपूर्ण है अनुरूपता की समस्या ... ... विकिपीडिया

प्राथमिक विद्यालय में छात्रों को कोण की अवधारणा से परिचित कराया जाता है। लेकिन कुछ गुणों के साथ एक ज्यामितीय आकृति के रूप में, वे इसे 7 वीं कक्षा से ज्यामिति में अध्ययन करना शुरू करते हैं। प्रतीत, बहुत ही सरल आकारउसके बारे में क्या कहा जा सकता है। लेकिन, नया ज्ञान प्राप्त करते हुए, स्कूली बच्चे अधिक से अधिक समझते हैं कि आप उसके बारे में काफी रोचक तथ्य जान सकते हैं।

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कब पढ़ाई की जाती है

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम को दो खंडों में विभाजित किया गया है: योजनामिति और ठोस ज्यामिति। उनमें से प्रत्येक का बहुत ध्यान है। कोनों को दिया गया:

• प्लानिमेट्री में, उनकी मूल अवधारणा दी गई है, आकार में उनके प्रकारों से परिचित होता है। प्रत्येक प्रकार के त्रिभुजों के गुणों का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है। छात्रों के लिए नई परिभाषाएँ सामने आती हैं - ये ज्यामितीय आकृतियाँ हैं जो एक दूसरे के साथ दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन और एक छेदक की कई रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बनती हैं।
• स्टीरियोमेट्री में, स्थानिक कोणों का अध्ययन किया जाता है - डायहेड्रल और ट्राइहेड्रल।

ध्यान!यह लेख प्लानिमेट्री में कोणों के सभी प्रकारों और गुणों पर चर्चा करता है।

परिभाषा और माप

पढ़ाई शुरू करो, पहले तय करो, कोण क्या हैप्लानिमेट्री में।

यदि हम समतल पर एक निश्चित बिंदु लेते हैं और उसमें से दो मनमानी किरणें खींचते हैं, तो हमें एक ज्यामितीय आकृति मिलती है - एक कोण, जिसमें निम्नलिखित तत्व होते हैं:

• शीर्ष - वह बिंदु जहाँ से किरणें खींची गई थीं, लैटिन वर्णमाला के एक बड़े अक्षर द्वारा दर्शाया गया है;
• भुजाएँ ऊपर से आधी रेखा खींची जाती हैं।

वे सभी तत्व जो उस आकृति को बनाते हैं जिस पर हम विचार कर रहे हैं, विमान को विभाजित करते हैं दो भाग:

• आंतरिक - प्लानिमेट्री में 180 डिग्री से अधिक नहीं होता है;
• बाहरी।

प्लानिमेट्री में कोणों को मापने का सिद्धांतसहज रूप से समझाया। आरंभ करने के लिए, छात्रों को एक विकसित कोण की अवधारणा से परिचित कराया जाता है।

महत्वपूर्ण!एक कोण को विकसित कहा जाता है यदि उसके शीर्ष से निकलने वाली आधी रेखाएं एक सीधी रेखा बनाती हैं। एक खुला कोण अन्य सभी मामले हैं।

यदि इसे 180 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, तो एक भाग के माप को 10 के बराबर मानने की प्रथा है। इस मामले में, वे कहते हैं कि माप डिग्री में किया जाता है, और ऐसी आकृति का डिग्री माप 180 डिग्री होता है।

मुख्य प्रकार

कोणों के प्रकार को डिग्री माप, उनके गठन की प्रकृति और नीचे प्रस्तुत श्रेणियों जैसे मानदंडों के अनुसार उप-विभाजित किया जाता है।

आकार के अनुसार

परिमाण को देखते हुए, कोणों को विभाजित किया गया है:

• तैनात;
• सीधा;
• बेवकूफ;
• मसालेदार।

किस कोण को तैनात कहा जाता है, ऊपर प्रस्तुत किया गया था। आइए एक सीधी रेखा की अवधारणा को परिभाषित करें।

इसे तैनात किए गए को दो बराबर भागों में विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है। इस मामले में, प्रश्न का उत्तर देना आसान है: एक समकोण, यह कितने डिग्री है?

प्राप्त करने के लिए 180 डिग्री को 2 से विभाजित करें समकोण 90 डिग्री . है. यह एक अद्भुत आकृति है, क्योंकि इससे ज्यामिति के कई तथ्य जुड़े हुए हैं।

पदनाम में इसकी अपनी विशेषताएं भी हैं। आकृति में एक समकोण दिखाने के लिए, यह एक चाप द्वारा नहीं, बल्कि एक वर्ग द्वारा दर्शाया गया है।

एक सीधी रेखा की एक मनमाना किरण को विभाजित करने पर जो कोण प्राप्त होते हैं, उन्हें न्यूनकोण कहते हैं।चीजों के तर्क के अनुसार, यह इस प्रकार है कि एक न्यून कोण समकोण से छोटा होता है, लेकिन इसका माप 0 डिग्री से भिन्न होता है। यानी इसका मान 0 से 90 डिग्री तक होता है।

एक अधिक कोण समकोण से बड़ा होता है, लेकिन एक सीधे कोण से छोटा होता है। इसकी डिग्री माप 90 से 180 डिग्री तक भिन्न होती है।

इस तत्व को विस्तारित एक को छोड़कर, विचाराधीन विभिन्न प्रकार के आंकड़ों में विभाजित किया जा सकता है।

भले ही गैर-घूर्णन कोण कैसे टूटा हो, प्लानिमेट्री का मूल स्वयंसिद्ध हमेशा उपयोग किया जाता है - "माप की मुख्य संपत्ति"।

पर कोण को एक बीम से विभाजित करनाया कई, किसी दिए गए आंकड़े का डिग्री माप उन कोणों के उपायों के योग के बराबर होता है जिनमें इसे विभाजित किया जाता है।

7वीं कक्षा के स्तर पर उनके परिमाण में कोणों के प्रकार वहीं समाप्त हो जाते हैं। लेकिन विद्वता बढ़ाने के लिए यह जोड़ा जा सकता है कि ऐसी अन्य किस्में भी हैं जिनका डिग्री माप 180 डिग्री से अधिक है।उन्हें उत्तल कहा जाता है।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर आंकड़े

अगले प्रकार के कोण जिनसे छात्रों को परिचित कराया जाता है, वे तत्व हैं जो दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करने पर बनते हैं। वे आकृतियाँ जो एक दूसरे के विपरीत स्थित होती हैं, ऊर्ध्वाधर कहलाती हैं। उनकी विशिष्ट विशेषता यह है कि वे समान हैं।

वे तत्व जो एक ही रेखा से सटे हों, आसन्न कहलाते हैं। उनके गुण का मानचित्रण करने वाला प्रमेय कहता है कि आसन्न कोण 180 डिग्री तक जोड़ते हैं.

त्रिभुज में तत्व

यदि हम आकृति को त्रिभुज में एक तत्व के रूप में मानते हैं, तो कोणों को आंतरिक और बाह्य में विभाजित किया जाता है। त्रिभुज तीन खंडों से घिरा है और इसमें तीन शीर्ष हैं। प्रत्येक शीर्ष पर त्रिभुज के अंदर स्थित कोण, आंतरिक कहा जाता है.

यदि हम कोई आन्तरिक अवयव किसी शीर्ष पर लें और किसी भी भुजा को बढ़ाएँ, तो जो कोण बनता है और आंतरिक कोण से सटा होता है, वह बाह्य कोण कहलाता है। तत्वों की इस जोड़ी में निम्नलिखित गुण हैं: उनका योग 180 डिग्री है।

दो सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन

लाइन चौराहा

जब दो सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो कोण भी बनते हैं, जो आमतौर पर जोड़े में वितरित किए जाते हैं। तत्वों की प्रत्येक जोड़ी का अपना नाम होता है। यह इस तरह दिख रहा है:

• आंतरिक क्रॉस-झूठ: ∟4 और ∟6, ∟3 और ∟5;
• आंतरिक एक तरफा: ∟4 और ∟5, ∟3 और ∟6;
• संगत: 1 और ∟5, ∟2 और ∟6, ∟4 और ∟8, 3 और ∟7।

जब एक छेदक दो को काटता है