वास्तविक संख्या। परिमित दशमलव भिन्नों द्वारा वास्तविक संख्याओं का सन्निकटन।

एक वास्तविक या वास्तविक संख्या एक गणितीय अमूर्तता है जो हमारे आस-पास की दुनिया की ज्यामितीय और भौतिक मात्राओं को मापने की आवश्यकता के साथ-साथ रूट निकालने, लॉगरिदम की गणना करने और बीजगणितीय समीकरणों को हल करने जैसे कार्यों को करने की आवश्यकता से उत्पन्न हुई है। यदि प्राकृतिक संख्याएँ गिनती की प्रक्रिया में उत्पन्न हुईं, परिमेय संख्याएँ - एक पूरे के भागों के साथ काम करने की आवश्यकता से, तो वास्तविक संख्याएँ निरंतर मात्राओं को मापने के लिए अभिप्रेत हैं। इस प्रकार, विचाराधीन संख्याओं के भंडार के विस्तार ने वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को जन्म दिया है, जिसमें परिमेय संख्याओं के अलावा, अन्य तत्व भी शामिल हैं जिन्हें कहा जाता है तर्कहीन संख्या .

पूर्ण त्रुटि और इसकी सीमा।

मान लीजिए कुछ संख्यात्मक मान है, और इसे निर्दिष्ट संख्यात्मक मान को सटीक माना जाता है, फिर नीचे संख्यात्मक मान के अनुमानित मान की त्रुटि (गलती) किसी संख्यात्मक मान के सटीक और अनुमानित मान के बीच के अंतर को समझें: . त्रुटि सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान ले सकती है। मान कहा जाता है ज्ञात सन्निकटनकिसी संख्यात्मक मान के सटीक मान तक - कोई भी संख्या जो सटीक मान के बजाय उपयोग की जाती है। त्रुटि का सबसे सरल मात्रात्मक माप निरपेक्ष त्रुटि है। पूर्ण त्रुटिसन्निकट मान को वह मान कहते हैं, जिसके बारे में यह ज्ञात होता है कि: सापेक्ष त्रुटि और उसकी सीमा।

सन्निकटन की गुणवत्ता अनिवार्य रूप से माप की स्वीकृत इकाइयों और मात्राओं के पैमाने पर निर्भर करती है, इसलिए किसी मात्रा और उसके मूल्य की त्रुटि को सहसंबंधित करने की सलाह दी जाती है, जिसके लिए सापेक्ष त्रुटि की अवधारणा पेश की जाती है। रिश्तेदारों की गलतीएक अनुमानित मान को वह मान कहा जाता है जिसके बारे में यह ज्ञात होता है कि: . सापेक्ष त्रुटि को अक्सर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। सापेक्ष त्रुटियों का उपयोग सुविधाजनक है, विशेष रूप से, क्योंकि वे मात्रा के पैमाने और माप की इकाइयों पर निर्भर नहीं करते हैं।

अपरिमेय समीकरण

वह समीकरण जिसमें एक चर मूल के चिह्न के नीचे समाहित होता है, अपरिमेय कहलाता है। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, प्राप्त समाधानों को सत्यापन की आवश्यकता होती है, क्योंकि, उदाहरण के लिए, गलत समानता जब चुकता है तो सही समानता दे सकता है। दरअसल, एक गलत समानता जब चुकता है तो सही समानता 1 2 = (-1) 2 , 1=1 देता है। कभी-कभी समतुल्य संक्रमणों का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करना अधिक सुविधाजनक होता है।

आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें; परिवर्तन के बाद, हम एक द्विघात समीकरण पर पहुंचते हैं; और चलो इसे लगाते हैं।

जटिल आंकड़े। सम्मिश्र संख्याओं पर क्रियाएँ।

सम्मिश्र संख्याएँ - वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार, जिसे आमतौर पर दर्शाया जाता है। किसी भी सम्मिश्र संख्या को औपचारिक योग के रूप में दर्शाया जा सकता है एक्स + मैं, कहाँ पे एक्सऔर आप- वास्तविक संख्या, मैं- काल्पनिक इकाई सम्मिश्र संख्याएं बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र बनाती हैं - इसका मतलब है कि डिग्री का बहुपद एनजटिल गुणांक के साथ ठीक है एनजटिल जड़ें, अर्थात् बीजगणित का मूल प्रमेय सत्य है। यह गणितीय शोध में जटिल संख्याओं के व्यापक उपयोग के मुख्य कारणों में से एक है। इसके अलावा, जटिल संख्याओं का उपयोग गणितीय भौतिकी और प्राकृतिक विज्ञान - इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, हाइड्रोडायनामिक्स, कार्टोग्राफी, क्वांटम यांत्रिकी, दोलनों के सिद्धांत और कई अन्य में उपयोग किए जाने वाले कई गणितीय मॉडल को आसानी से और कॉम्पैक्ट रूप से तैयार करना संभव बनाता है।

तुलना ए + द्वि = सी + डिमतलब कि ए = सीऔर बी = डी(दो सम्मिश्र संख्याएँ समान होती हैं यदि और केवल यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों)।

योग ( ए + द्वि) + (सी + डि) = (ए + सी) + (बी + डी) मैं .

घटाव ( ए + द्वि) − (सी + डि) = (ए − सी) + (बी − डी) मैं .

गुणा

संख्यात्मक कार्य। फ़ंक्शन सेट करने के तरीके

गणित में, एक संख्या फलन एक ऐसा फलन है जिसके डोमेन और मान संख्या समुच्चयों के उपसमुच्चय होते हैं—आम तौर पर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय या सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय।

मौखिक: प्राकृतिक भाषा का उपयोग करते हुए, Y, X के पूर्णांक भाग के बराबर होता है। विश्लेषणात्मक: एक विश्लेषणात्मक सूत्र का उपयोग करना एफ (एक्स) = एक्स !

ग्राफ के माध्यम से ग्राफिकल फ़ंक्शन ग्राफ का टुकड़ा।

सारणीबद्ध: मानों की तालिका का उपयोग करना

समारोह के मुख्य गुण

1) फंक्शन स्कोप और फंक्शन रेंज . फंक्शन स्कोप एक्स(चर एक्स) जिसके लिए समारोह वाई = एफ (एक्स)परिभाषित।

फंक्शन रेंज आपजिसे फंक्शन स्वीकार करता है। प्रारंभिक गणित में, कार्यों का अध्ययन केवल वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर किया जाता है।2 ) फ़ंक्शन शून्य) समारोह की एकरसता . बढ़ता हुआ कार्य घटते कार्य . यहां तक ​​कि समारोह एक्स एफ (-एक्स) = एफ (एक्स)। पुराना फंक्शन- एक फलन जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल के संबंध में और किसी के लिए सममित है एक्स f(-x) = -f(x. समारोह कहा जाता है सीमित असीमित .7) समारोह की आवधिकता. फलन f(x) - नियत कालीन कार्य अवधि

फंक्शन ग्राफ। किसी फ़ंक्शन द्वारा ग्राफ़ का सबसे सरल रूपांतरण

फंक्शन ग्राफ- उन बिंदुओं का समूह जिनके एब्सिसास वैध तर्क मान हैं एक्स, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संगत मान हैं आप .

सरल रेखा- एक रैखिक कार्य का ग्राफ वाई = कुल्हाड़ी + बी. फ़ंक्शन y एक> 0 के लिए एकरस रूप से बढ़ता है और a . के लिए घटता है< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

परवलय- वर्ग त्रिपद फलन का ग्राफ वाई \u003d कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी. इसमें समरूपता का एक ऊर्ध्वाधर अक्ष है। यदि a> 0 है, तो न्यूनतम है यदि a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0

अतिशयोक्ति- फ़ंक्शन ग्राफ। जब a > O I और III क्वार्टर में स्थित हो, जब a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) या y - x (a .)< 0).

लघुगणकीय फलन y = लॉग a x(ए> 0)

त्रिकोणमितीय कार्य।त्रिकोणमितीय कार्यों का निर्माण करते समय, हम उपयोग करते हैं कांतिकोणों का माप। फिर समारोह आप= पाप एक्सएक ग्राफ द्वारा दर्शाया गया है (चित्र 19)। इस वक्र को कहा जाता है sinusoid .

फंक्शन ग्राफ आप= कोस एक्सअंजीर में दिखाया गया है। 20; यह भी एक साइन वेव है जो ग्राफ़ को हिलाने से उत्पन्न होती है आप= पाप एक्सअक्ष के अनुदिश एक्स/2 के द्वारा छोड़ा गया।

कार्यों के मूल गुण। एकरसता, समता, विषमता, कार्यों की आवधिकता।

फंक्शन स्कोप और फंक्शन रेंज . फंक्शन स्कोपतर्क के सभी मान्य मान्य मानों का समुच्चय है एक्स(चर एक्स) जिसके लिए समारोह वाई = एफ (एक्स)परिभाषित।

फंक्शन रेंजसभी वास्तविक मूल्यों का समुच्चय है आपजिसे फंक्शन स्वीकार करता है।

प्रारंभिक गणित में, कार्यों का अध्ययन केवल वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर किया जाता है।2 ) फ़ंक्शन शून्य- तर्क का मान है, जिस पर फ़ंक्शन का मान शून्य के बराबर होता है।3 ) समारोह की स्थिरता के अंतराल- तर्क मूल्यों के वे सेट जिन पर फ़ंक्शन मान केवल सकारात्मक या केवल नकारात्मक होते हैं।4 ) समारोह की एकरसता .

बढ़ता हुआ कार्य(कुछ अंतराल में) - एक फ़ंक्शन जिसमें इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।

घटते कार्य(कुछ अंतराल में) - एक फ़ंक्शन जिसमें इस अंतराल से तर्क का एक बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है। 5 ) सम (विषम) फलन . यहां तक ​​कि समारोह- एक फलन जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल के संबंध में और किसी के लिए सममित है एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से समानता एफ (-एक्स) = एफ (एक्स)।एक सम फलन का ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। पुराना फंक्शन- एक फलन जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल के संबंध में और किसी के लिए सममित है एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से समानता f(-x) = -f(x) एक विषम फलन का आलेख मूल बिन्दु के प्रति सममित होता है।6 ) सीमित और असीमित कार्य. समारोह कहा जाता है सीमित, यदि कोई धनात्मक संख्या M इस प्रकार है कि |f (x) | एम एक्स के सभी मूल्यों के लिए। यदि ऐसी कोई संख्या मौजूद नहीं है, तो फलन है असीमित .7) समारोह की आवधिकता. फलन f(x) - नियत कालीन, यदि ऐसी गैर-शून्य संख्या T है कि फ़ंक्शन के डोमेन से किसी भी x के लिए, निम्नलिखित धारण करता है: f (x+T) = f (x)। यह सबसे छोटी संख्या कहलाती है कार्य अवधि. सभी त्रिकोणमितीय फलन आवधिक होते हैं। (त्रिकोणमितीय सूत्र)।

आवधिक कार्य। किसी फ़ंक्शन की मुख्य अवधि खोजने के नियम।

आवधिक कार्यएक फ़ंक्शन है जो कुछ गैर-शून्य अवधि के बाद अपने मूल्यों को दोहराता है, अर्थात, जब एक निश्चित गैर-शून्य संख्या (अवधि) को तर्क में जोड़ा जाता है, तो इसका मान नहीं बदलता है। सभी त्रिकोणमितीय फलन आवधिक होते हैं। गलत हैंआवधिक कार्यों के योग के बारे में बयान: अनुरूप (यहां तक ​​कि बुनियादी) अवधि के साथ 2 कार्यों का योग टी 1 और टी 2 अवधि LCM वाला एक फलन है ( टी 1 ,टी 2))। असंगत (यहां तक ​​कि बुनियादी) अवधियों के साथ 2 निरंतर कार्यों का योग एक गैर-आवधिक कार्य है। ऐसे कोई आवधिक कार्य नहीं हैं जो एक स्थिरांक के बराबर न हों जिनकी अवधि अतुलनीय संख्याएँ हैं।

प्लॉटिंग पावर फंक्शन।

ऊर्जा समीकरण। यह कार्य है: वाई = कुल्हाड़ी एन, कहाँ पे एक- स्थायी। पर एन= 1 हमें मिलता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता : आप =कुल्हाड़ी; पर एन = 2 - चौकोर परवलय; पर एन = 1 - व्युत्क्रम आनुपातिकताया अतिशयोक्ति. इस प्रकार, ये फ़ंक्शन किसी पावर फ़ंक्शन के विशेष मामले हैं। हम जानते हैं कि शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या की शून्य घात 1 के बराबर होती है, इसलिए, जब एन= 0 पावर फ़ंक्शन स्थिर हो जाता है: आप =ए, अर्थात। इसका ग्राफ अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है एक्स, निर्देशांक की उत्पत्ति को छोड़कर (कृपया बताएं कि क्यों?) ये सभी मामले (के साथ ए= 1) चित्र 13 में दिखाया गया है ( एन 0) और चित्र.14 ( एन < 0). Отрицательные значения एक्सयहाँ नहीं माना जाता है, क्योंकि तब कुछ कार्य:

उलटा काम करना

उलटा काम करना- एक फ़ंक्शन जो इस फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त निर्भरता को उलट देता है। फ़ंक्शन फ़ंक्शन के विपरीत है यदि निम्नलिखित पहचान धारण करते हैं: सभी के लिए सबके लिए

एक बिंदु पर एक समारोह की सीमा। सीमा के मूल गुण।

nवीं डिग्री की जड़ और उसके गुण।

किसी संख्या a का nवां मूल वह संख्या है जिसकी nth घात a के बराबर है।

परिभाषा: संख्या a की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसकी nth घात a के बराबर है।

जड़ों के मुख्य गुण:

मनमानी वास्तविक घातांक और उसके गुणों के साथ डिग्री।

मान लीजिए कि एक धनात्मक संख्या और एक मनमाना वास्तविक संख्या दी गई है। संख्या को डिग्री कहा जाता है, संख्या डिग्री का आधार है, संख्या घातांक है।

परिभाषा के अनुसार यह माना जाता है:

यदि और धनात्मक संख्याएँ हैं, और कोई वास्तविक संख्याएँ हैं, तो निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

.

.

पावर फंक्शन, इसके गुण और ग्राफ

ऊर्जा समीकरणजटिल चर एफ (जेड) = जेड एनएक वास्तविक तर्क के समान कार्य के विश्लेषणात्मक निरंतरता का उपयोग करके एक पूर्णांक एक्सपोनेंट के साथ निर्धारित किया जाता है। इसके लिए सम्मिश्र संख्याओं को लिखने के घातांकीय रूप का प्रयोग किया जाता है। एक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति समारोह पूरे जटिल विमान में विश्लेषणात्मक है, पहचान मानचित्रण के उदाहरणों की एक सीमित संख्या के उत्पाद के रूप में एफ (जेड) = जेड. विशिष्टता प्रमेय के अनुसार, परिणामी विश्लेषणात्मक निरंतरता की विशिष्टता के लिए ये दो मानदंड पर्याप्त हैं। इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक जटिल चर के पावर फ़ंक्शन में इसके वास्तविक समकक्ष से महत्वपूर्ण अंतर हैं।

यह प्रपत्र का एक कार्य है, . निम्नलिखित मामलों पर विचार किया जाता है:

ए)। तो अगर । फिर , ; यदि संख्या सम है, तो फलन सम है (अर्थात सबके लिए ); यदि संख्या विषम है, तो फलन विषम है (अर्थात, सबके लिए)।

घातांकीय फलन, इसके गुण और रेखांकन

घातांक प्रकार्य- गणितीय कार्य।

वास्तविक मामले में, डिग्री का आधार कुछ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, और फ़ंक्शन का तर्क एक वास्तविक घातांक है।

जटिल कार्यों के सिद्धांत में, एक अधिक सामान्य मामले पर विचार किया जाता है, जब एक मनमाना जटिल संख्या एक तर्क और एक घातांक हो सकती है।

सबसे सामान्य तरीके से - आप, लाइबनिज़ द्वारा 1695 में पेश किया गया।

मामला जब संख्या ई डिग्री के आधार के रूप में कार्य करता है, विशेष रूप से हाइलाइट किया जाता है। ऐसे फलन को घातांक (वास्तविक या सम्मिश्र) कहा जाता है।

गुण ; ; .

घातीय समीकरण।

आइए हम सीधे घातीय समीकरणों पर आगे बढ़ें। एक घातांकीय समीकरण को हल करने के लिए, निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करना आवश्यक है: यदि डिग्री समान हैं और आधार समान, सकारात्मक और एक से भिन्न हैं, तो उनके घातांक भी बराबर होते हैं। आइए इस प्रमेय को सिद्ध करें: मान लीजिए a>1 और a x =a y ।

आइए हम सिद्ध करें कि इस स्थिति में x=y. जो साबित करने की आवश्यकता है, उसके विपरीत मान लें, अर्थात। मान लें कि x>y या वह x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х एक वाई। ये दोनों परिणाम प्रमेय की परिकल्पना के विपरीत हैं। इसलिए, x=y, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

प्रमेय उस स्थिति के लिए भी सिद्ध होता है जब 0 0 और ए≠1।

घातीय असमानताएँ

फॉर्म की असमानताएं (या कम) के लिए ए (एक्स)> 0और घातांकीय फलन के गुणों के आधार पर हल किए जाते हैं: for 0 < а (х) < 1 तुलना करते समय एफ (एक्स)और जी (एक्स)असमानता का संकेत बदल जाता है, और कब ए (एक्स)> 1- सहेजा गया है। के लिए सबसे कठिन मामला ए (एक्स)< 0 . यहां हम केवल एक सामान्य संकेत दे सकते हैं: यह निर्धारित करने के लिए कि किन मूल्यों पर एक्ससंकेतक एफ (एक्स)और जी (एक्स)पूर्णांक बनें, और उनमें से उन्हें चुनें जो शर्त को पूरा करते हैं। अंत में, यदि मूल असमानता के लिए धारण करता है ए (एक्स) = 0या ए (एक्स) = 1(उदाहरण के लिए, जब असमानताएँ सख्त नहीं हैं), तो इन मामलों पर भी विचार किया जाना चाहिए।

लघुगणक और उनके गुण

किसी संख्या का लघुगणक बीवजह से ए (ग्रीक λόγος - "शब्द", "संबंध" और ἀριθμός - "संख्या" से) को उस डिग्री के संकेतक के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस तक आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी. पद: । यह परिभाषा से इस प्रकार है कि प्रविष्टियाँ और समतुल्य हैं। उदाहरण: क्योंकि। गुण

मूल लघुगणकीय पहचान:

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन, इसके गुण और ग्राफ़।

एक लॉगरिदमिक फ़ंक्शन फॉर्म का एक फ़ंक्शन है एफ (एक्स) = लॉग एक एक्स, पर परिभाषित

कार्यक्षेत्र:

मूल्य की सीमा:

किसी भी लघुगणकीय फलन का आलेख बिंदु (1; 0) से होकर गुजरता है

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है:

लघुगणक समीकरण

लॉगरिदम के चिन्ह के तहत एक चर वाले समीकरण को लॉगरिदमिक समीकरण कहा जाता है। एक लघुगणकीय समीकरण का सबसे सरल उदाहरण समीकरण है लॉग a x \u003d b (जहाँ a > 0, and 1). उनका निर्णय एक्स = एक बी .

लघुगणक की परिभाषा के आधार पर समीकरणों को हल करना, उदाहरण के लिए, समीकरण लॉग ए एक्स \u003d बी (ए\u003e 0, लेकिन 1)एक समाधान है एक्स = एक बी .

पोटेंशियल विधि। पोटेंशिएशन का अर्थ है लॉगरिदम वाली समानता से उस समानता में संक्रमण जिसमें वे शामिल नहीं हैं:

अगर लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए जी (एक्स),तब एफ (एक्स) = जी (एक्स), एफ (एक्स)> 0 ,जी (एक्स)> 0 ,ए > 0 , एक 1 .

एक लघुगणकीय समीकरण को द्विघात समीकरण में कम करने की विधि।

समीकरण के दोनों भागों का लघुगणक लेने की विधि।

एक ही आधार पर लघुगणक को कम करने की विधि।

लॉगरिदमिक असमानताएं।

केवल लघुगणक के चिह्न के नीचे एक चर वाली असमानता को लघुगणक कहा जाता है: लॉग ए एफ (एक्स) > लॉग एजी (एक्स)।

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करते समय, किसी को असमानताओं के सामान्य गुणों, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एकरसता की संपत्ति और इसकी परिभाषा के डोमेन को ध्यान में रखना चाहिए। असमानता लॉग ए एफ (एक्स) > लॉग एजी (एक्स)एक प्रणाली के समान है f (x) > g (x) > 0 a > 1 . के लिएऔर प्रणाली 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

कोणों और चापों का रेडियन माप। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट।

डिग्री उपाय। यहाँ माप की इकाई है डिग्री (पदनाम ) - एक पूर्ण क्रांति के 1/360 द्वारा बीम का घूर्णन है। इस प्रकार, बीम का पूर्ण घूर्णन 360 है। एक डिग्री 60 . से बनी होती है मिनट (उनका पदनाम '); एक मिनट - क्रमशः 60 . में से सेकंड (से चिह्नित ")।

रेडियन माप। जैसा कि हम प्लानिमेट्री से जानते हैं ("बिंदुओं का स्थान। सर्कल और सर्कल" अनुभाग में "चाप की लंबाई" पैराग्राफ देखें), चाप की लंबाई मैं, RADIUS आरऔर संबंधित केंद्रीय कोण संबंधित हैं: = एल / आर।

यह सूत्र कोणों के रेडियन माप की परिभाषा को रेखांकित करता है। तो अगर मैं = आर,तब = 1, और हम कहते हैं कि कोण  1 रेडियन के बराबर है, जिसे दर्शाया गया है: = 1 प्रसन्न. इस प्रकार, हमारे पास रेडियन माप की निम्नलिखित परिभाषा है:

रेडियन केंद्रीय कोण है, जिसकी चाप की लंबाई और त्रिज्या बराबर है(ए एमबी = एओ, अंजीर। 1)। इसलिए, एक कोण का रेडियन माप एक मनमानी त्रिज्या द्वारा खींचे गए चाप की लंबाई का अनुपात है और इस कोण के किनारों के बीच चाप के त्रिज्या के बीच संलग्न है।

न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय फलनों को एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

साइनस:

कोसाइन:

स्पर्शरेखा:

कोटैंजेंट:

एक संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

परिभाषा .

x की ज्या x रेडियन में कोण की ज्या के बराबर संख्या होती है। एक संख्या x की कोज्या x रेडियन में कोण के कोज्या के बराबर संख्या है .

एक संख्यात्मक तर्क के अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों को इसी तरह परिभाषित किया गया है एक्स .

भूत सूत्र।

जोड़ सूत्र। दोहरा और आधा तर्क सूत्र।

दोहरा।

( ; .

त्रिकोणमितीय फलन और उनके रेखांकन। त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल गुण।

त्रिकोणमितीय कार्य- प्राथमिक कार्यों के प्रकार। उन्हें आमतौर पर संदर्भित किया जाता है साइनस (पाप x), कोज्या (क्योंकि x), स्पर्शरेखा (टीजी एक्स), कोटैंजेंट (सीटीजी एक्सत्रिकोणमितीय फलनों को आमतौर पर ज्यामितीय रूप से परिभाषित किया जाता है, लेकिन उन्हें विश्लेषणात्मक रूप से श्रृंखला के योग के रूप में या कुछ अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो हमें इन कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र को जटिल संख्याओं तक विस्तारित करने की अनुमति देता है।

फलन y sinx इसके गुण और ग्राफ

गुण:

2. ई (वाई) \u003d [-1; एक]।

3. फलन y \u003d sinx विषम है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार, एक त्रिकोणमितीय कोण की ज्या है पाप (- एक्स)= - वाई/आर = - sinxजहाँ R वृत्त की त्रिज्या है, y बिंदु की कोटि है (चित्र)।

4. टी \u003d 2n - सबसे छोटी सकारात्मक अवधि। सच में,

पाप (x+p) = sinx.

ऑक्स अक्ष के साथ: sinx= 0; एक्स = पीएन, एनОजेड;

y-अक्ष के साथ: यदि x = 0, तो y = 0.6। निरंतरता अंतराल:

sinx > 0, अगर xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

sinx< 0 , यदि xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

तिमाहियों में साइन साइन्स

y > 0 पहली और दूसरी तिमाही के कोण a के लिए।

पर< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. एकरसता के अंतराल:

वाई = sinxप्रत्येक अंतराल पर बढ़ता है [-p/2 + 2pn; पी/2 + 2पीएन],

nнz और प्रत्येक अंतराल पर घटता है, nнz।

8. फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु:

xmax= पी/2 + 2पीएन, एनएनजेड; आप मैक्स = 1;

यमैक्स= - पी/2 + 2पीएन, एनएनजेड; यमिन = - 1.

समारोह गुण वाई = cosxऔर उसका कार्यक्रम:

गुण:

2. ई (वाई) \u003d [-1; एक]।

3. समारोह वाई = cosx- सम, क्योंकि त्रिकोणमितीय कोण की कोज्या की परिभाषा के अनुसार cos (-a) = x/R = cosa त्रिकोणमितीय वृत्त (चावल) पर

4. टी \u003d 2p - सबसे छोटी सकारात्मक अवधि। सच में,

cos(x+2pn) = cosx.

5. निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:

ऑक्स अक्ष के साथ: cosx = 0;

एक्स = पी/2 + पीएन, एनОजेड;

y-अक्ष के साथ: यदि x = 0, तो y = 1।

6. संकेत स्थिरता के अंतराल:

क्योंकि > 0, अगर xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , यदि xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

यह एक त्रिकोणमितीय वृत्त (चित्र।) पर सिद्ध होता है। तिमाहियों में कोसाइन संकेत:

x > 0 पहले और चौथे चतुर्थांश के कोणों के लिए।

एक्स< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. एकरसता के अंतराल:

वाई = cosxप्रत्येक अंतराल पर बढ़ता है [-p + 2pn; 2 पी एन],

nнz और प्रत्येक अंतराल पर घटता है, nнz।

समारोह गुण वाई = टीजीएक्सऔर इसकी साजिश: गुण -

1. डी (वाई) = (एक्सОआर, एक्स पी/2 + पीएन, एनОजेड)।

3. फलन y = tgx - विषम

टीजीएक्स> 0

टीजीएक्स< 0 एक्सएन के लिए (-पी/2 + पीएन; पीएन), एनएनजेड।

तिमाहियों में स्पर्शरेखा के चिह्नों के लिए चित्र देखें।

6. एकरसता के अंतराल:

वाई = टीजीएक्सप्रत्येक अंतराल पर बढ़ता है

(-पी/2 + पीएन; पी/2 + पीएन),

7. चरम बिंदु और फ़ंक्शन के चरम बिंदु:

8. x = p/2 + pn, nнz - उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी

समारोह गुण वाई = सीटीजीएक्सऔर उसका कार्यक्रम:

गुण:

1. डी (वाई) = (एक्सОआर, एक्स पीएन, एनОजेड)। 2. ई (वाई) = आर।

3. समारोह वाई = सीटीजीएक्स- अजीब।

4. टी \u003d पी - सबसे छोटी सकारात्मक अवधि।

5. संकेत स्थिरता के अंतराल:

सीटीजीएक्स > 0 xО के लिए (pn; p/2 + pn;), nОZ;

सीटीजीएक्स< 0 xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ के लिए।

तिमाहियों के लिए स्पर्शरेखा चिह्न, चित्र देखें।

6. समारोह पर= सीटीजीएक्सप्रत्येक अंतराल पर बढ़ता है (pn; p + pn), nОZ।

7. किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु वाई =सीटीजीएक्सनहीं।

8. फंक्शन ग्राफ वाई =सीटीजीएक्सएक स्पर्शरेखा, प्लॉट शिफ्ट द्वारा प्राप्त किया गया वाई = टीजीएक्सऑक्स अक्ष के अनुदिश बाईं ओर p/2 और (-1) से गुणा (चित्र)

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, उनके गुण और ग्राफ

उलटा त्रिकोणमितीय कार्य (परिपत्र कार्य , चापफलन) गणितीय फलन हैं जो त्रिकोणमितीय फलनों के विलोम हैं। उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों में आमतौर पर छह कार्य शामिल होते हैं: आर्कसिन , चाप कोसाइन , चाप स्पर्शरेखा ,आर्ककोटैंज।व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का नाम संबंधित त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के नाम से उपसर्ग "आर्क-" (अक्षांश से। आर्क- चाप)। यह इस तथ्य के कारण है कि ज्यामितीय रूप से व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान एक या किसी अन्य खंड के अनुरूप एक इकाई सर्कल (या कोण जो इस चाप को घटाता है) के चाप की लंबाई से जुड़ा हो सकता है। कभी-कभी विदेशी साहित्य में वे आर्क्सिन, आदि के लिए पाप -1 जैसे पदनामों का उपयोग करते हैं; यह पूरी तरह से सही नहीं माना जाता है, क्योंकि किसी फ़ंक्शन को -1 की शक्ति तक बढ़ाने में भ्रम संभव है। मूल अनुपात

फलन y=arcsinX, इसके गुण और ग्राफ।

आर्कसिननंबर एमइस कोण को कहा जाता है एक्सजिसके लिए समारोह आप= पाप एक्स आप= आर्क्सिन एक्ससख्ती से बढ़ रहा है। (फ़ंक्शन विषम है)।

फलन y=arccosX, इसके गुण और ग्राफ।

चाप कोसाइननंबर एमइस कोण को कहा जाता है एक्स, जिसके लिए

समारोह आप= कोस एक्सनिरंतर और इसकी पूरी संख्या रेखा के साथ घिरा हुआ है। समारोह आप= आर्ककोस एक्ससख्ती कम हो रही है। cos (arccos एक्स) = एक्सपर आर्ककोस (cos आप) = आपपर डी(आर्ककोस एक्स) = [- 1; 1], (डोमेन), इ(आर्ककोस एक्स) =। (मूल्यों की श्रृंखला)। आर्ककोस फ़ंक्शन के गुण (बिंदु के संबंध में फ़ंक्शन केंद्रीय रूप से सममित है

फलन y=arctgX, इसके गुण और ग्राफ।

आर्कटिकनंबर एमएक कोण α को ऐसा कहा जाता है कि फलन निरंतर है और अपनी संपूर्ण वास्तविक रेखा पर आबद्ध है। समारोह सख्ती से बढ़ रहा है।

पर

आर्कटिक फ़ंक्शन गुण

,

.

फलन y=arcctg, इसके गुण और ग्राफ।

चाप स्पर्शरेखानंबर एमइस कोण को कहा जाता है एक्स, जिसके लिए

फलन निरंतर है और इसकी संपूर्ण वास्तविक रेखा पर आबद्ध है।

समारोह सख्ती से कम हो रहा है। 0 . पर< आप < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки किसी के लिए एक्स .

.

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण।

परिभाषा।वाडा समीकरण पाप एक्स = ए ; कॉस एक्स = ए ; तन एक्स = ए ; सीटीजी एक्स = ए, कहाँ पे एक्स

त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामले

परिभाषा।वाडा समीकरण पाप एक्स = ए ; कॉस एक्स = ए ; तन एक्स = ए ; सीटीजी एक्स = ए, कहाँ पे एक्स- चर, एआर, कहलाते हैं सरल त्रिकोणमितीय समीकरण।

त्रिकोणमितीय समीकरण

स्टीरियोमेट्री के स्वयंसिद्ध और उनसे परिणाम

अंतरिक्ष में बुनियादी आंकड़े: बिंदु, रेखाएं और विमान। बिंदुओं, रेखाओं और विमानों के मुख्य गुण, उनकी पारस्परिक व्यवस्था से संबंधित, स्वयंसिद्धों में व्यक्त किए जाते हैं।

ए1.किन्हीं तीन बिंदुओं से होकर जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, एक तल गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक। ए 2.यदि किसी रेखा के दो बिंदु एक समतल में स्थित हों, तो रेखा के सभी बिंदु उस तल में स्थित होते हैं।

टिप्पणी।यदि किसी रेखा और तल में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु हो, तो वे प्रतिच्छेद करने वाले कहलाते हैं।

ए3.यदि दो समतलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो उनके पास एक उभयनिष्ठ रेखा होती है जिस पर इन तलों के सभी उभयनिष्ठ बिंदु स्थित होते हैं।

	A और रेखा a के अनुदिश प्रतिच्छेद करें।

परिणाम 1.एक रेखा और एक बिंदु के माध्यम से जो उस पर नहीं पड़ा है, एक विमान गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक। परिणाम 2.एक विमान दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से होकर गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक।

अंतरिक्ष में दो रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाएं

एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना।

एक रेखा और एक विमान का समानांतरवाद।

परिभाषा 2.3एक रेखा और एक विमान को समानांतर कहा जाता है यदि उनके पास कोई सामान्य बिंदु नहीं है। यदि रेखा a, समतल α के समानांतर है, तो a लिखें || ए। प्रमेय 2.4 एक सीधी रेखा और एक तल के समानांतरवाद का चिह्न।यदि किसी समतल के बाहर की रेखा समतल में किसी रेखा के समांतर हो, तो वह रेखा भी समतल के समांतर होती है। प्रमाण मान लीजिए b α, a || बी और एक α (ड्राइंग 2.2.1)। हम विरोधाभास से साबित करेंगे। मान लीजिए a, α के समानांतर नहीं है, तो रेखा a, समतल α को किसी बिंदु A पर काटती है। इसके अलावा, A b, क्योंकि a || बी। तिरछी रेखाओं की कसौटी के अनुसार, रेखाएँ a और b तिरछी होती हैं। हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं। प्रमेय 2.5यदि तल β समतल α के समांतर रेखा से होकर गुजरता है और इस तल को रेखा b के अनुदिश काटता है, तो b || ए। प्रमाण वास्तव में, रेखाएँ a और b तिरछी नहीं हैं, क्योंकि वे समतल β में स्थित हैं। इसके अलावा, इन रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, क्योंकि a || ए। परिभाषा 2.4लाइन बी को कभी-कभी विमान α पर विमान β का निशान कहा जाता है।

सीधी रेखाओं को पार करना। प्रतिच्छेद रेखाओं का चिन्ह

रेखाएँ प्रतिच्छेदी कहलाती हैं यदि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है: यदि हम कल्पना करें कि इनमें से एक रेखा एक स्वेच्छ तल से संबंधित है, तो दूसरी रेखा इस तल को उस बिंदु पर काटेगी जो पहली पंक्ति से संबंधित नहीं है। दूसरे शब्दों में, त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनमें कोई विमान नहीं है। सीधे शब्दों में कहें, अंतरिक्ष में दो रेखाएं जिनमें सामान्य बिंदु नहीं हैं, लेकिन समानांतर नहीं हैं।

प्रमेय (1): यदि दो में से एक रेखा एक निश्चित तल में स्थित है, और दूसरी रेखा इस तल को पहली रेखा पर नहीं स्थित बिंदु पर काटती है, तो ये रेखाएँ तिरछी होती हैं।

प्रमेय (2): दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में से प्रत्येक के माध्यम से एक विमान दूसरी रेखा के समानांतर गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक।

प्रमेय (3): यदि दो कोणों की भुजाएँ क्रमशः सह-निर्देशित हों, तो ऐसे कोण बराबर होते हैं।

रेखाओं की समानता। समानांतर विमानों के गुण।

समानांतर (कभी-कभी - समद्विबाहु) सीधी रेखाएंसीधी रेखाएँ कहलाती हैं जो एक ही तल में स्थित होती हैं और या तो संपाती होती हैं या प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। कुछ स्कूल परिभाषाओं में, मेल खाने वाली रेखाओं को समानांतर नहीं माना जाता है, यहां ऐसी परिभाषा पर विचार नहीं किया गया है। गुण समानांतरवाद एक द्विआधारी तुल्यता संबंध है, इसलिए यह रेखाओं के पूरे सेट को एक दूसरे के समानांतर रेखाओं के वर्गों में विभाजित करता है। किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से, दिए गए बिंदु के समानांतर ठीक एक रेखा हो सकती है। यह यूक्लिडियन ज्यामिति की एक विशिष्ट संपत्ति है, अन्य ज्यामिति में संख्या 1 को दूसरों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (लोबचेवस्की की ज्यामिति में कम से कम दो ऐसी रेखाएं होती हैं) अंतरिक्ष में 2 समानांतर रेखाएं एक ही विमान में होती हैं। बी 2 समानांतर रेखाओं के एक तिहाई के चौराहे पर, कहा जाता है काटनेवाला: छेदक आवश्यक रूप से दोनों रेखाओं को प्रतिच्छेद करता है। पार करते समय, 8 कोने बनते हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट जोड़े के विशेष नाम और गुण होते हैं: क्रॉस लेटकोण बराबर हैं। संबंधितकोण बराबर हैं। एक तरफाकोण 180° तक जोड़ते हैं।

एक रेखा और एक विमान की लंबवतता।

एक रेखा जो एक समतल को प्रतिच्छेद करती है, कहलाती है सीधायह समतल यदि यह प्रत्येक रेखा के लंबवत है जो दिए गए तल में स्थित है और प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है।

एक रेखा और एक विमान की लंबवतता का संकेत।

यदि किसी समतल को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा उस तल में दी गई रेखा और तल के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाओं के लंबवत हो, तो वह तल पर लंबवत होती है।

लंबवत रेखाओं और ग्रहों की पहली संपत्ति .

यदि एक तल दो समानांतर रेखाओं में से एक के लंबवत है, तो यह दूसरी के लिए भी लंबवत है।

लंबवत रेखाओं और ग्रहों की दूसरी संपत्ति .

एक ही तल पर लंबवत दो रेखाएँ समानांतर हैं।

तीन लंबवत प्रमेय

रहने दो अब- विमान α के लंबवत, एसी- तिरछा और सी- विमान में एक सीधी रेखा α बिंदु से होकर गुजरती है सीऔर लंबवत प्रक्षेपण ईसा पूर्व. आइए एक सीधी रेखा खींचते हैं सी.के.एक सीधी रेखा के समानांतर अब. सीधा सी.के.समतल α के लंबवत (क्योंकि यह के समानांतर है) अब), और इसलिए इस तल की कोई भी रेखा, इसलिए, सी.के.रेखा के लंबवत सी अबऔर सी.के.विमान β (समानांतर रेखाएं एक विमान को परिभाषित करती हैं, और केवल एक)। सीधा सीसमतल β में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है, यह ईसा पूर्वशर्त के अनुसार और सी.के.निर्माण द्वारा, जिसका अर्थ है कि यह इस तल से संबंधित किसी भी रेखा के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि यह एक रेखा के लंबवत भी है एसी .

तीन लंबवत प्रमेय का विलोम

यदि किसी समतल में एक झुकी हुई रेखा के आधार से होकर खींची गई सीधी रेखा झुकी हुई रेखा के लंबवत हो, तो वह उसके प्रक्षेपण के लंबवत भी होती है।

रहने दो अब- विमान के लंबवत ए , एसी- तिरछा और साथ- विमान में सीधी रेखा एढलान के आधार से गुजरना साथ में. आइए एक सीधी रेखा खींचते हैं अनुसूचित जाति, रेखा के समानांतर अब. सीधा अनुसूचित जातिविमान के लंबवत ए(इस प्रमेय द्वारा, क्योंकि यह समानांतर है अब), और इसलिए इस तल की कोई भी रेखा, इसलिए, अनुसूचित जातिरेखा के लंबवत साथ. समानांतर रेखाओं के माध्यम से ड्रा करें अबऔर अनुसूचित जातिविमान बी(समानांतर रेखाएं एक विमान को परिभाषित करती हैं, और केवल एक)। सीधा साथसमतल में पड़ी दो सीधी रेखाओं के लंबवत बी, यह एसीशर्त के अनुसार और अनुसूचित जातिनिर्माण से, इसका अर्थ है कि यह इस तल से संबंधित किसी भी रेखा के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि यह एक रेखा के लंबवत भी है रवि. दूसरे शब्दों में, प्रक्षेपण रविरेखा के लंबवत साथविमान में झूठ बोलना ए .

लंबवत और तिरछा।

सीधाकिसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए तल पर उतारा गया, एक खंड कहलाता है जो किसी दिए गए बिंदु को समतल में एक बिंदु से जोड़ता है और विमान के लंबवत सीधी रेखा पर स्थित होता है। समतल में पड़े इस खंड के सिरे को कहते हैं लंबवत का आधार .

परोक्ष, किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए विमान तक खींचा गया, कोई भी खंड है जो दिए गए बिंदु को विमान में एक बिंदु से जोड़ता है जो विमान के लंबवत नहीं है। एक तल में स्थित खंड के अंत को कहा जाता है झुकाव का आधार. एक ही बिंदु से खींची गई झुकी हुई रेखा के लंबवत के आधारों को जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है तिरछा प्रक्षेपण .

परिभाषा 1. किसी दी गई रेखा का लंब एक रेखा खंड होता है जो किसी दी गई रेखा के लंबवत होता है, जिसका एक सिरा उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर होता है। किसी खंड का वह सिरा जो किसी रेखा पर स्थित होता है, लंब का आधार कहलाता है।

परिभाषा 2. किसी दिए गए बिंदु से दी गई रेखा पर खींची गई एक तिरछी रेखा एक खंड है जो दिए गए बिंदु को उस रेखा पर किसी बिंदु से जोड़ता है जो उसी बिंदु से दी गई रेखा पर गिराए गए लंबवत का आधार नहीं है। एबी - विमान α के लंबवत।

एसी - तिरछा, सीबी - प्रक्षेपण।

सी - झुकाव का आधार, बी - लंबवत का आधार।

एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण।

रेखा और समतल के बीच का कोणएक सीधी रेखा और इस तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोई कोण कहलाता है।

डायहेड्रल कोण।

डायहेड्रल कोण- एक सीधी रेखा से निकलने वाले दो अर्ध-तलों द्वारा बनाई गई एक स्थानिक ज्यामितीय आकृति, साथ ही इन अर्ध-तलों से घिरे अंतरिक्ष का एक हिस्सा। आधे विमानों को कहा जाता है चेहरे केद्विफलक कोण, और उनकी उभयनिष्ठ सीधी रेखा - किनारा. डायहेड्रल कोणों को एक रेखीय कोण द्वारा मापा जाता है, अर्थात, एक डायहेड्रल कोण के चौराहे से बनने वाला कोण जिसके किनारे पर एक विमान लंबवत होता है। प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन, नियमित या अनियमित, उत्तल या अवतल, प्रत्येक किनारे पर एक डायहेड्रल कोण होता है।

दो विमानों की लंबवतता।

समतल लम्बवतता का चिन्ह।

यदि एक तल किसी अन्य तल के लंबवत रेखा से होकर गुजरता है, तो ये तल लंबवत होते हैं।

नगर शिक्षण संस्थान

"कुडिंस्काया माध्यमिक विद्यालय नंबर 2"

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके

द्वारा पूरा किया गया: ईगोरोवा ओल्गा,

सुपरवाइज़र:

शिक्षक

अंक शास्त्र,

उच्च योग्यता

परिचय....……………………………………………………………………………………… 3

खंड 1. अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके…………………………………6

1.1 भाग सी के अपरिमेय समीकरणों को हल करना …………………………… 21

धारा 2. व्यक्तिगत कार्य…………………………………………….....………...24

जवाब………………………………………………………………………………………….25

ग्रन्थसूची…….…………………………………………………………………….26

परिचय

एक सामान्य शिक्षा विद्यालय में प्राप्त गणितीय शिक्षा सामान्य शिक्षा और आधुनिक व्यक्ति की सामान्य संस्कृति का एक अनिवार्य घटक है। आधुनिक व्यक्ति को घेरने वाली लगभग हर चीज किसी न किसी रूप में गणित से जुड़ी होती है। भौतिकी, प्रौद्योगिकी और में हालिया प्रगति सूचान प्रौद्योगिकीइसमें कोई संदेह नहीं है कि भविष्य में भी चीजें वैसी ही रहेंगी। इसलिए, कई व्यावहारिक समस्याओं का समाधान विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए कम किया जाता है जिन्हें हल करने के लिए सीखने की आवश्यकता होती है। इन प्रकारों में से एक अपरिमेय समीकरण हैं।

अपरिमेय समीकरण

मूल चिह्न के अंतर्गत एक अज्ञात (या किसी अज्ञात से तर्कसंगत बीजीय व्यंजक) वाले समीकरण को कहा जाता है अपरिमेय समीकरण. प्रारंभिक गणित में, अपरिमेय समीकरणों के समाधान वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में मांगे जाते हैं।

किसी भी अपरिमेय समीकरण को प्रारंभिक बीजीय संक्रियाओं (गुणा, भाग, समीकरण के दोनों भागों को एक पूर्णांक घात तक बढ़ाने) की सहायता से एक परिमेय बीजीय समीकरण में घटाया जा सकता है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि परिणामी तर्कसंगत बीजीय समीकरण मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर नहीं हो सकता है, अर्थात् इसमें "अतिरिक्त" जड़ें हो सकती हैं जो मूल अपरिमेय समीकरण की जड़ें नहीं होंगी। इसलिए, प्राप्त परिमेय बीजीय समीकरण की जड़ों को खोजने के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि क्या परिमेय समीकरण के सभी मूल अपरिमेय समीकरण के मूल होंगे।

सामान्य स्थिति में, किसी भी अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए किसी भी सार्वभौमिक विधि को इंगित करना मुश्किल है, क्योंकि यह वांछनीय है कि मूल अपरिमेय समीकरण के परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, न केवल किसी प्रकार का तर्कसंगत बीजीय समीकरण प्राप्त होता है, जड़ों के बीच जहां इस अपरिमेय समीकरण की जड़ें होंगी, लेकिन यथासंभव कम डिग्री वाले बहुपदों से बनने वाला एक तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण होगा। सबसे छोटी संभव डिग्री के बहुपदों से बने उस तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण को प्राप्त करने की इच्छा काफी स्वाभाविक है, क्योंकि तर्कसंगत बीजीय समीकरण की सभी जड़ों को ढूंढना अपने आप में एक कठिन कार्य हो सकता है, जिसे हम केवल बहुत सीमित संख्या में ही हल कर सकते हैं मामलों की।

अपरिमेय समीकरणों के प्रकार

सम घात वाले अपरिमेय समीकरणों को हल करने से विषम कोटि के अपरिमेय समीकरणों को हल करने की अपेक्षा अधिक समस्याएँ उत्पन्न होती हैं। विषम डिग्री के अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, ODZ नहीं बदलता है। इसलिए, नीचे हम अपरिमेय समीकरणों पर विचार करेंगे, जिनकी डिग्री सम है। अपरिमेय समीकरण दो प्रकार के होते हैं:

2..

आइए उनमें से पहले पर विचार करें।

ओडीज़ समीकरण: एफ (एक्स) 0. ODZ में, समीकरण का बायाँ भाग हमेशा ऋणात्मक नहीं होता है, इसलिए एक समाधान तभी मौजूद हो सकता है जब जी(एक्स) 0. इस मामले में, समीकरण के दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, और घातांक 2 एनएक समान समीकरण देता है। हमें वह मिलता है

आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि जबकि ODZ स्वचालित रूप से किया जाता है, और आप इसे नहीं लिख सकते, लेकिन शर्तजी(x) 0 की जांच होनी चाहिए।

टिप्पणी: यह तुल्यता की एक बहुत ही महत्वपूर्ण शर्त है। सबसे पहले, यह छात्र को जांच करने की आवश्यकता से मुक्त करता है, और समाधान खोजने के बाद, मूल अभिव्यक्ति की गैर-नकारात्मकता f(x) 0 की स्थिति की जांच करता है। दूसरे, यह स्थिति की जाँच पर केंद्रित हैजी(x) 0 दाईं ओर की गैर-नकारात्मकता है। आखिर चुकता करने के बाद समीकरण हल हो जाता है यानी, दो समीकरण एक साथ हल किए जाते हैं (लेकिन संख्यात्मक अक्ष के विभिन्न अंतरालों पर!):

1. - जहां जी(एक्स) 0 और

2. - जहां जी (एक्स) 0।

इस बीच, कई, ODZ खोजने की स्कूल की आदत के अनुसार, ऐसे समीकरणों को हल करते समय ठीक इसके विपरीत करते हैं:

ए) जाँच करें, समाधान खोजने के बाद, स्थिति f(x) 0 (जो स्वचालित रूप से संतुष्ट है), अंकगणितीय त्रुटियां करें और गलत परिणाम प्राप्त करें;

बी) शर्त को अनदेखा करेंजी(x) 0 - और फिर उत्तर गलत हो सकता है।

टिप्पणी: त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय तुल्यता की स्थिति विशेष रूप से उपयोगी होती है, जिसमें ODZ खोजना त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने से जुड़ा होता है, जो त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने से कहीं अधिक कठिन होता है। त्रिकोणमितीय समीकरणों में भी स्थितियों की जाँच करना जी(एक्स) 0 करना हमेशा आसान नहीं होता है।

दूसरे प्रकार के अपरिमेय समीकरणों पर विचार करें।

. चलो समीकरण . उनका ओडीजेड:

ODZ में, दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, और चुकता बराबर समीकरण देता है एफ(एक्स) =जी(एक्स)।इसलिए, ODZ or . में

समाधान की इस पद्धति के साथ, किसी एक फ़ंक्शन की गैर-नकारात्मकता की जांच करने के लिए पर्याप्त है - आप एक सरल चुन सकते हैं।

खंड 1. अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके

1 विधि। समीकरण के दोनों पक्षों को क्रमिक रूप से संबंधित प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाकर कट्टरपंथियों से मुक्ति

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि समीकरण के दोनों हिस्सों को क्रमिक रूप से संबंधित प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाकर मूलकों से मुक्त करने की विधि है। इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि जब समीकरण के दोनों हिस्सों को एक विषम शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, तो परिणामी समीकरण मूल के बराबर होता है, और जब समीकरण के दोनों हिस्सों को एक सम घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो परिणामी समीकरण समीकरण, सामान्यतया, मूल समीकरण के समकक्ष नहीं होगा। इसे समीकरण के दोनों पक्षों को किसी सम घात तक उठाकर आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। इस ऑपरेशन का परिणाम समीकरण में होता है , जिसका समाधान समाधान के सेट का संघ है: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. हालांकि, इसके बावजूद यह दोष, यह समीकरण के दोनों भागों को कुछ (अक्सर सम) घात तक बढ़ाने की प्रक्रिया है जो एक अपरिमेय समीकरण को एक परिमेय समीकरण में कम करने की सबसे सामान्य प्रक्रिया है।

प्रश्न हल करें:

कहाँ कुछ बहुपद हैं। वास्तविक संख्याओं के सेट में रूट निकालने के संचालन की परिभाषा के आधार पर, अज्ञात के स्वीकार्य मान https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 ऊँचाई = 21" ऊँचाई = "21">..gif "चौड़ाई = "243" ऊँचाई = "28 src = ">।

चूंकि पहले समीकरण के दोनों भाग चुकता थे, इसलिए यह पता चल सकता है कि दूसरे समीकरण के सभी मूल मूल समीकरण के समाधान नहीं होंगे, जड़ों की जांच करना आवश्यक है।

प्रश्न हल करें:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

समीकरण के दोनों पक्षों को एक घन बनाने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह देखते हुए कि https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(अंतिम समीकरण की जड़ें हो सकती हैं, आम तौर पर बोलते हुए, मूल नहीं हैं समीकरण ).

हम इस समीकरण के दोनों पक्षों को एक घन तक बढ़ाते हैं: . हम समीकरण को x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 के रूप में फिर से लिखते हैं। जाँच करके, हम यह स्थापित करते हैं कि x1 = 0 समीकरण का एक बाहरी मूल है (-2 1), और x2 = 1 संतुष्ट करता है मूल समीकरण।

जवाब:एक्स = 1.

2 विधि। स्थितियों की आसन्न प्रणाली को बदलना

सम-क्रम के मूलांक वाले अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, उत्तरों में बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिन्हें पहचानना हमेशा आसान नहीं होता है। अपरिमेय समीकरणों को हल करने के दौरान, बाहरी जड़ों को पहचानना और त्यागना आसान बनाने के लिए, इसे तुरंत आसन्न स्थितियों की प्रणाली द्वारा बदल दिया जाता है। सिस्टम में अतिरिक्त असमानताएं वास्तव में हल किए जा रहे समीकरण के ODZ को ध्यान में रखती हैं। आप ओडीजेड को अलग से ढूंढ सकते हैं और बाद में इसे ध्यान में रख सकते हैं, लेकिन मिश्रित परिस्थितियों की प्रणालियों का उपयोग करना बेहतर होता है: समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में इसे ध्यान में न रखने पर कुछ भूलने का खतरा कम होता है। इसलिए, कुछ मामलों में मिश्रित प्रणालियों में संक्रमण की विधि का उपयोग करना अधिक तर्कसंगत है।

प्रश्न हल करें:

जवाब: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

यह समीकरण प्रणाली के बराबर है

जवाब:समीकरण का कोई हल नहीं है।

3 विधि। nवें मूल के गुणों का उपयोग करना

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, nth डिग्री के मूल के गुणों का उपयोग किया जाता है। अंकगणितीय जड़ एन-वांके बीच से डिग्री एएक गैर-ऋणात्मक संख्या पर कॉल करें, एन-मैं जिसकी डिग्री के बराबर है ए. यदि एक एन-यहाँ तक की( 2एन), फिर a 0, अन्यथा रूट मौजूद नहीं है। यदि एक एन-अजीब( 2 एन+1), तो a कोई है और = - ..gif" चौड़ाई = "45" ऊंचाई = "19"> फिर:

2.

3.

4.

5.

इनमें से किसी भी फॉर्मूले को औपचारिक रूप से लागू करते हुए (बिना बताए गए प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए), यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि उनमें से प्रत्येक के बाएँ और दाएँ भागों का ODZ भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के साथ परिभाषित किया गया है च 0और जी 0, और व्यंजक in . के रूप में है च 0और जी 0, साथ ही च 0और जी 0.

प्रत्येक सूत्र 1-5 के लिए (बिना संकेतित प्रतिबंधों को ध्यान में रखे), इसके दाहिने हिस्से का ODZ बाईं ओर के ODZ से अधिक चौड़ा हो सकता है। यह इस प्रकार है कि 1-5 "बाएं से दाएं" सूत्रों के औपचारिक उपयोग के साथ समीकरण के परिवर्तन (जैसा कि वे लिखे गए हैं) एक समीकरण की ओर ले जाते हैं जो मूल एक का परिणाम है। इस मामले में, मूल समीकरण की बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, इसलिए मूल समीकरण को हल करने में सत्यापन एक अनिवार्य कदम है।

सूत्र 1-5 "दाएं से बाएं" के औपचारिक उपयोग के साथ समीकरणों के परिवर्तन अस्वीकार्य हैं, क्योंकि मूल समीकरण के ODZ का न्याय करना संभव है, और, परिणामस्वरूप, जड़ों का नुकसान।

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

जो मूल का परिणाम है। इस समीकरण का हल समीकरणों के समुच्चय को हल करने के लिए घटाया गया है .

इस सेट के पहले समीकरण से हम पाते हैं https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> जहां से हम पाते हैं। इस प्रकार, की जड़ें यह समीकरण केवल संख्या ( -1) और (-2) हो सकता है सत्यापन से पता चलता है कि दोनों जड़ें इस समीकरण को संतुष्ट करती हैं।

जवाब: -1,-2.

प्रश्न हल करें: ।

हल: सर्वसमिकाओं के आधार पर, पहले पद को से बदलें। ध्यान दें कि बाईं ओर दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के योग के रूप में। मॉड्यूल को "निकालें" और, समान पदों को लाने के बाद, समीकरण को हल करें। चूंकि, हम समीकरण प्राप्त करते हैं। चूंकि और , फिर https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" चौड़ाई="145" ऊंचाई="21 src=">

जवाब:एक्स = 4.25।

4 विधि। नए चर का परिचय

अपरिमेय समीकरणों को हल करने का एक और उदाहरण वह तरीका है जिसमें नए चर पेश किए जाते हैं, जिसके संबंध में या तो एक सरल अपरिमेय समीकरण या एक तर्कसंगत समीकरण प्राप्त होता है।

समीकरण को उसके परिणाम के साथ बदलकर (मूलों की बाद की जाँच के साथ) अपरिमेय समीकरणों का समाधान निम्नानुसार किया जा सकता है:

1. मूल समीकरण का ODZ ज्ञात कीजिए।

2. समीकरण से इसके उपफल पर जाएँ।

3. परिणामी समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

4. जाँच कीजिए कि प्राप्त मूल मूल समीकरण के मूल हैं या नहीं।

चेक इस प्रकार है:

ए) ओडीजेड के प्रत्येक पाए गए मूल के मूल समीकरण से संबंधित जाँच की जाती है। वे मूल जो ODZ से संबंधित नहीं हैं, मूल समीकरण के लिए बाहरी हैं।

बी) मूल समीकरण के ODZ में शामिल प्रत्येक मूल के लिए, यह जाँच की जाती है कि क्या प्रत्येक समीकरण के बाएँ और दाएँ भाग जो मूल समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में उत्पन्न होते हैं और एक सम घात तक उठाए जाते हैं, उनमें समान चिह्न होते हैं। वे जड़ें जिनके लिए किसी भी समीकरण के भागों को सम घात तक बढ़ा दिया गया है, मूल समीकरण के लिए अलग-अलग चिह्न हैं।

सी) केवल वे मूल जो मूल समीकरण के ODZ से संबंधित हैं और जिसके लिए प्रत्येक समीकरण के दोनों भाग जो मूल समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में उत्पन्न होते हैं और एक समान घात तक समान होते हैं, को सीधे प्रतिस्थापन द्वारा जाँचा जाता है मूल समीकरण।

सत्यापन की संकेतित विधि के साथ इस तरह की एक समाधान विधि अंतिम समीकरण की प्रत्येक मिली जड़ों को मूल में सीधे प्रतिस्थापन के मामले में बोझिल गणनाओं से बचना संभव बनाती है।

अपरिमेय समीकरण को हल करें:

.

इस समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों का सेट:

सेटिंग , प्रतिस्थापन के बाद हम समीकरण प्राप्त करते हैं

या इसके समकक्ष समीकरण

जिसे द्विघात समीकरण के रूप में देखा जा सकता है। इस समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

.

इसलिए, मूल अपरिमेय समीकरण का समाधान सेट निम्नलिखित दो समीकरणों के समाधान सेटों का मिलन है:

, .

इन समीकरणों में से प्रत्येक के दोनों पक्षों को घन करें, और हमें दो तर्कसंगत बीजीय समीकरण मिलते हैं:

, .

इन समीकरणों को हल करने पर, हम पाते हैं कि इस अपरिमेय समीकरण का एक ही मूल x = 2 है (कोई सत्यापन आवश्यक नहीं है, क्योंकि सभी परिवर्तन समान हैं)।

जवाब:एक्स = 2.

अपरिमेय समीकरण को हल करें:

2x2 + 5x - 2 = t को निरूपित करें। तब मूल समीकरण का रूप ले लेगा . परिणामी समीकरण के दोनों भागों का वर्ग करके और समान पदों को लाकर, हम समीकरण प्राप्त करते हैं, जो पिछले एक का परिणाम है। इससे हम पाते हैं टी = 16.

अज्ञात x पर लौटने पर, हमें समीकरण 2x2 + 5x - 2 = 16 मिलता है, जो मूल समीकरण का परिणाम है। जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि इसकी जड़ें x1 \u003d 2 और x2 \u003d - 9/2 मूल समीकरण के मूल हैं।

जवाब: x1 = 2, x2 = -9/2।

5 विधि। पहचान समीकरण परिवर्तन

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, किसी को समीकरण के दोनों भागों को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाकर एक समीकरण को हल करना शुरू नहीं करना चाहिए, एक तर्कहीन समीकरण के समाधान को एक तर्कसंगत बीजीय समीकरण को हल करने की कोशिश कर रहा है। सबसे पहले, यह देखना आवश्यक है कि क्या समीकरण के कुछ समान परिवर्तन करना संभव है, जो इसके समाधान को काफी सरल बना सकता है।

प्रश्न हल करें:

इस समीकरण के लिए मान्य मानों का सेट: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> इस समीकरण को .

.

हम पाते हैं:

a = 0 के लिए, समीकरण का कोई हल नहीं होगा; के लिए, समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

इस समीकरण के लिए कोई हल नहीं है, क्योंकि किसी के लिए एक्स, समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों के सेट से संबंधित, समीकरण के बाईं ओर की अभिव्यक्ति सकारात्मक है;

जब समीकरण का हल होता है

यह ध्यान में रखते हुए कि समीकरण के स्वीकार्य समाधानों का सेट शर्त द्वारा निर्धारित किया जाता है, हम अंत में प्राप्त करते हैं:

इस अपरिमेय समीकरण को हल करते समय, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> समीकरण का हल होगा। अन्य सभी मानों के लिए एक्ससमीकरण का कोई हल नहीं है।

उदाहरण 10:

अपरिमेय समीकरण को हल करें: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

सिस्टम के द्विघात समीकरण का समाधान दो जड़ें देता है: x1 \u003d 1 और x2 \u003d 4. प्राप्त जड़ों में से पहला सिस्टम की असमानता को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए x \u003d 4.

टिप्पणियाँ।

1) समान परिवर्तन करना हमें सत्यापन के बिना करने की अनुमति देता है।

2) असमानता x - 3 0 समान परिवर्तनों को संदर्भित करती है, न कि समीकरण के क्षेत्र को।

3) समीकरण के बाईं ओर एक घटता हुआ कार्य है, और इस समीकरण के दाईं ओर एक बढ़ता हुआ कार्य है। परिभाषा के अपने डोमेन के चौराहे पर घटते और बढ़ते कार्यों के ग्राफ में एक से अधिक सामान्य बिंदु नहीं हो सकते हैं। जाहिर है, हमारे मामले में, x = 4 ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है।

जवाब:एक्स = 4.

6 विधि। समीकरणों को हल करते समय कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र का उपयोग करना

समीकरणों को हल करते समय यह विधि सबसे प्रभावी है जिसमें https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> शामिल हैं और इसकी क्षेत्र परिभाषाएं खोजें (एफ)..gif" चौड़ाई = "53" ऊंचाई = "21"> .gif" width="88" height="21 src=">, तो आपको यह जांचना होगा कि अंतराल के अंत में समीकरण सही है या नहीं, इसके अलावा, यदि a< 0, а b >0, तो अंतराल पर जांचना आवश्यक है (ए; 0)और . E(y) में सबसे छोटा पूर्णांक 3 है।

जवाब: एक्स = 3.

8 विधि। अपरिमेय समीकरणों को हल करने में अवकलज का अनुप्रयोग

अक्सर, व्युत्पन्न विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करते समय, अनुमान पद्धति का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 15:

समीकरण हल करें: (1)

समाधान: चूंकि https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, या (2)। फ़ंक्शन पर विचार करें ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> इसलिए बढ़ रही है। इसलिए, समीकरण एक समीकरण के बराबर है जिसका मूल मूल समीकरण का मूल है।

जवाब:

उदाहरण 16:

अपरिमेय समीकरण को हल करें:

फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन एक खंड है। आइए अंतराल पर इस फ़ंक्शन के मान का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं एफ(एक्स): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" चौड़ाई = "37 ऊंचाई = 19" ऊंचाई = "19">। आइए फ़ंक्शन के मान खोजें एफ(एक्स)खंड के सिरों पर और बिंदु पर: तो, लेकिन और, इसलिए, समानता केवल शर्त के तहत संभव है https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > सत्यापन से पता चलता है कि संख्या 3 इस समीकरण का मूल है।

जवाब:एक्स = 3.

9 विधि। कार्यात्मक

परीक्षाओं में, वे कभी-कभी उन समीकरणों को हल करने की पेशकश करते हैं जिन्हें फॉर्म में लिखा जा सकता है, जहां एक निश्चित कार्य है।

उदाहरण के लिए, कुछ समीकरण: 1) 2) . दरअसल, पहले मामले में , दूसरे मामले में . इसलिए, निम्नलिखित कथन का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करें: यदि कोई फ़ंक्शन सेट पर सख्ती से बढ़ रहा है एक्सऔर किसी के लिए, तो समीकरण, आदि, सेट पर बराबर होते हैं एक्स .

अपरिमेय समीकरण को हल करें: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> सेट पर सख्ती से बढ़ रहा है आर,और https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > जिसका एक अद्वितीय मूल है इसलिए, समतुल्य समीकरण (1) का भी एक अद्वितीय मूल है

जवाब:एक्स = 3.

उदाहरण 18:

अपरिमेय समीकरण को हल करें: (1)

वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर, हम पाते हैं कि यदि समीकरण (1) की जड़ें हैं, तो वे सेट से संबंधित हैं https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" ऊंचाई = "47" >.(2)

फ़ंक्शन पर विचार करें https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" चौड़ाई = "35" ऊंचाई = "21"> किसी भी ..gif" चौड़ाई = "100" के लिए इस सेट पर सख्ती से बढ़ रहा है ऊंचाई = "41"> जिसका एक ही मूल है इसलिए, और सेट पर इसके बराबर एक्ससमीकरण (1) का एक ही मूल है

जवाब: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

हल: यह समीकरण मिश्रित प्रणाली के तुल्य है

प्रकाशन तिथि: 2016-03-23

संक्षिप्त वर्णन: ...

कुछ मूल तकनीकों का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के उदाहरण।

1
. अपरिमेय समीकरणों का हल।

1. प्रतिस्थापन विधि।

1.1.1 समीकरण हल करें .

ध्यान दें कि मूलांक के अंतर्गत x के चिह्न भिन्न होते हैं। हम संकेतन का परिचय देते हैं

, .

फिर,

आइए समीकरण के दोनों भागों का पद-दर-समय योग करें।

और हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

क्योंकि ए + बी = 4, तो

Z पढ़ता है: 9 - x \u003d 8 x \u003d 1. उत्तर: x \u003d 1.

1.1.2 प्रश्न हल करें .

हम संकेतन का परिचय देते हैं: , ; , .

माध्यम:

समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों द्वारा पदों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।

और हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

ए + बी = 2, , , ,

आइए समीकरणों की प्रणाली पर लौटते हैं:

, .

(ab) के समीकरण को हल करने के बाद, हमारे पास ab = 9, ab = -1 (-1 बाहरी मूल है, क्योंकि , .).

इस प्रणाली का कोई हल नहीं है, जिसका अर्थ है कि मूल समीकरण का भी कोई हल नहीं है।

उत्तर: कोई समाधान नहीं।

1. 1. प्रश्न हल करें: .

हम अंकन का परिचय देते हैं, जहां। फिर , ।

, ,

तीन मामलों पर विचार करें:

1) . 2) . 3) .

ए + 1 - ए + 2 \u003d 1, ए - 1 - ए + 2 \u003d 1, ए - 1 + ए - 2 \u003d 1, ए \u003d 1, 1 [ 0; 1)। [ एक ; 2))। ए = 2.

समाधान: [ 1 ; 2].

यदि एक , तब , , ।

जवाब: .

1.2. बाएँ और दाएँ भागों के मूल्यांकन की विधि (प्रमुख विधि)।

प्रमुख विधि किसी फ़ंक्शन की सीमा को खोजने की एक विधि है।

मेजराइज़ेशन - फ़ंक्शन के प्रतिबंध के बिंदुओं का पता लगाना। एम प्रमुख है।

यदि हमारे पास f(x) = g(x) है और ODZ ज्ञात है, और यदि

, , तब

1. 1. प्रश्न हल करें: .

ओडीजेड: .

समीकरण के दाहिने पक्ष पर विचार करें।

आइए एक फ़ंक्शन का परिचय दें। ग्राफ एक परवलय है जिसका शीर्ष A(3 ; 2) है।

फलन का सबसे छोटा मान y(3) = 2, अर्थात .

समीकरण के बाईं ओर पर विचार करें।

आइए एक फ़ंक्शन का परिचय दें। अवकलज का प्रयोग करते हुए, x (2 ; 4) पर अवकलनीय फलन का अधिकतम ज्ञात करना आसान है।

पर ,

एक्स = 3।

जी` + -

2 3 4

जी (3) = 2.

हमारे पास है .

परिणामस्वरूप, तब

आइए उपरोक्त शर्तों के आधार पर समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करें:

सिस्टम के पहले समीकरण को हल करने पर, हमारे पास x = 3 है। इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि x = 3 सिस्टम का समाधान है।

उत्तर: एक्स = 3.

1.3. फ़ंक्शन एकरसता का अनुप्रयोग।

1.3.1. प्रश्न हल करें:

डीजेड के बारे में: , क्योंकि मैं .

यह ज्ञात है कि बढ़ते कार्यों का योग एक बढ़ता हुआ कार्य है।

बाईं ओर एक बढ़ता हुआ कार्य है। दाईं ओर एक रैखिक कार्य है (k=0)। चित्रमय व्याख्या से पता चलता है कि जड़ अद्वितीय है। हम इसे चयन द्वारा पाते हैं, हमारे पास x = 1 है।

प्रमाण:

मान लीजिए कि 1 से बड़ा एक मूल x 1 है, तो

क्योंकि एक्स 1>1,

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक से बड़ी कोई जड़ नहीं होती।

इसी तरह, कोई यह साबित कर सकता है कि कोई जड़ एक से कम नहीं है।

तो x=1 एकमात्र जड़ है।

उत्तर: एक्स = 1।

1.3.2. प्रश्न हल करें:

डीजेड के बारे में: [ 0.5 ; + ), क्योंकि वे। .

आइए समीकरण को रूपांतरित करें,

बाईं ओर एक बढ़ता हुआ कार्य है (बढ़ते कार्यों का उत्पाद), दाईं ओर एक रैखिक कार्य है (k = 0)। ज्यामितीय व्याख्या से पता चलता है कि मूल समीकरण में एक ही मूल होना चाहिए जिसे फिटिंग द्वारा पाया जा सकता है, x = 7।

इंतिहान:

यह साबित किया जा सकता है कि कोई अन्य जड़ें नहीं हैं (उपरोक्त उदाहरण देखें)।

उत्तर: एक्स = 7.

2. लघुगणक समीकरण।

1. बाएँ और दाएँ भागों का अनुमान लगाने की विधि।

2.1.1. समीकरण हल करें: लॉग 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

आइए हम समीकरण के बाईं ओर का अनुमान लगाएं।

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

फिर 2 (2x - x 2 + 15) 4 लघुगणक करें।

आइए हम समीकरण के दाईं ओर का अनुमान लगाएं।

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4 4.

मूल समीकरण का हल तभी हो सकता है जब दोनों पक्ष चार के बराबर हों।

माध्यम

उत्तर: एक्स = 1।

स्वतंत्र कार्य के लिए।

2.1.2. लॉग 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 उत्तर: x \u003d 3.

2.1.3. लॉग 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 उत्तर: x \u003d 6.

2.1.4. लॉग 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 उत्तर: x \u003d 1.

2.1.5. लॉग 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 उत्तर: x \u003d 3.

2.2. फ़ंक्शन की एकरसता का उपयोग करते हुए, जड़ों का चयन।

2.2.1. समीकरण हल करें: लॉग 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

आइए 2x - x 2 + 15 = t, t>0 परिवर्तन करें। फिर x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, तब

लॉग 2 टी = 20 - टी।

फलन y = log 2 t बढ़ रहा है, और फलन y = 20 - t घट रहा है। ज्यामितीय व्याख्या हमें यह समझने में मदद करती है कि मूल समीकरण का एक ही मूल है, जिसे t = 16 का चयन करके खोजना मुश्किल नहीं है।

समीकरण 2x - x 2 + 15 = 16 को हल करने पर हम पाते हैं कि x = 1।

यह सुनिश्चित करने के लिए जाँच की जा रही है कि चयनित मान सही है।

उत्तर: एक्स = 1।

2.3. कुछ "दिलचस्प" लघुगणक समीकरण।

2.3.1. प्रश्न हल करें .

ओडीजेड: (एक्स - 15) कॉस> 0।

आइए समीकरण पर चलते हैं

, , ,

आइए समतुल्य समीकरण पर चलते हैं

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, या cos 2 x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 या cos x = -1,

एक्स = 2 के, के जेड। एक्स =  + 2 एल, एल जेड।

आइए पाए गए मानों को ODZ में प्रतिस्थापित करके जांचें।

1) यदि x = 15 , तो (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0 गलत है।

x = 15 - समीकरण का मूल नहीं है।

2) यदि x = 2 k, k Z, तब (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, ध्यान दें कि 15  5 । हमारे पास है

कश्मीर > 2.5, के जेड,

कश्मीर = 3, 4, 5,… .

3) अगर एक्स = + 2 एल, एल जेड, फिर ( + 2 एल - 15) (- 1)> 0,

+ 2 मैं< 15,

2मैं< 15 -  , заметим, что 15  5  .

हमारे पास है: l< 2,

एल = 1, 0, -1, -2,…।

उत्तर: एक्स = 2 के (के = 3,4,5,6,…); x \u003d +2 1 (1 \u003d 1.0, -1, - 2, ...)

3. त्रिकोणमितीय समीकरण।

3.1. समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों का अनुमान लगाने की विधि।

4.1.1. समीकरण को हल करें cos3x cos2x = -1।

पहला तरीका..

0.5 (कोस एक्स+ क्योंकि 5 एक्स) = -1, cos एक्स+ क्योंकि 5 एक्स = -2.

क्योंकि क्योंकि एक्स- 1 , कॉस 5 एक्स- 1, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि cos एक्स+ क्योंकि 5 एक्स> -2, इसलिए

समीकरणों की प्रणाली का अनुसरण करता है

सी ओएस एक्स = -1,

क्योंकि 5 एक्स = - 1.

समीकरण को हल करना cos एक्स= -1, हमें मिलता है एक्स= + 2 k, जहाँ k Z.

ये मान एक्ससमीकरण cos 5 . के भी हल हैं एक्स= -1, क्योंकि

क्योंकि 5 एक्स= cos 5 ( + 2 k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1।

इस प्रकार, एक्स=  + 2 k, जहाँ k Z, निकाय के सभी हल हैं, और इसलिए मूल समीकरण है।

जवाब: एक्स= (2k + 1), k Z.

दूसरा तरीका।

यह दिखाया जा सकता है कि सिस्टम का सेट मूल समीकरण से अनुसरण करता है

क्योंकि 2 एक्स = - 1,

क्योंकि 3 एक्स = 1.

क्योंकि 2 एक्स = 1,

क्योंकि 3 एक्स = - 1.

समीकरणों की प्रत्येक प्रणाली को हल करते हुए, हम जड़ों का मिलन पाते हैं।

उत्तर: x = (2 .) से + 1), k Z.

स्वतंत्र कार्य के लिए।

समीकरणों को हल करें:

3.1.2. 2 क्योंकि 3एक्स + 4 पाप x/2 = 7. उत्तर: कोई समाधान नहीं।

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. उत्तर: कोई समाधान नहीं।

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. उत्तर: x = 2 को, को जेड

3.1.5. पाप x पाप 3 x = -1। उत्तर: एक्स = /2 +  को, को जेड

3.1.6. क्योंकि 8 एक्स + पाप 7 एक्स = 1. उत्तर: एक्स = एम, एम जेड; एक्स = /2 + 2  एन, नहीं जेड

1.1 अपरिमेय समीकरण

गणित में प्रवेश परीक्षाओं में अक्सर तर्कहीन समीकरणों का सामना करना पड़ता है, क्योंकि उनकी मदद से समकक्ष परिवर्तन, परिभाषा के क्षेत्र और अन्य जैसी अवधारणाओं के ज्ञान का आसानी से निदान किया जाता है। अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके, एक नियम के रूप में, एक परिमेय समीकरण के साथ (कुछ परिवर्तनों की मदद से) एक अपरिमेय समीकरण को बदलने की संभावना पर आधारित होते हैं, जो या तो मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर होता है या इसका परिणाम होता है। अक्सर, समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। तुल्यता का उल्लंघन नहीं होता है जब दोनों भागों को एक विषम शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। अन्यथा, पाए गए समाधानों की जांच करना या समीकरण के दोनों हिस्सों के संकेत का अनुमान लगाना आवश्यक है। लेकिन अन्य तरकीबें हैं जो अपरिमेय समीकरणों को हल करने में अधिक प्रभावी हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन विधि।

उदाहरण 1: समीकरण हल करें

तब से । इसलिए, कोई डाल सकता है . समीकरण का रूप लेगा

चलो, फिर कहाँ रखें

.

.

जवाब: .

बीजीय समाधान

तब से . माध्यम, , ताकि आप मॉड्यूल का विस्तार कर सकें

.

जवाब: .

एक समीकरण को बीजगणितीय तरीके से हल करने के लिए समान परिवर्तनों को करने और समकक्ष संक्रमणों के सक्षम संचालन में एक अच्छे कौशल की आवश्यकता होती है। लेकिन सामान्य तौर पर, दोनों दृष्टिकोण समान हैं।

उदाहरण 2: समीकरण हल करें

.

त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर समाधान

समीकरण का डोमेन असमानता द्वारा दिया जाता है, जो तब स्थिति के बराबर होता है। इसलिए हम लगा सकते हैं। समीकरण का रूप लेगा

तब से । आइए आंतरिक मॉड्यूल खोलें

चलो रखो , तब

.

शर्त दो मूल्यों से संतुष्ट है और .

.

.

जवाब: .

बीजीय समाधान

.

आइए हम पहले सेट सिस्टम के समीकरण को वर्गाकार करें, हम प्राप्त करते हैं

चलो, फिर। समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखा जाएगा

जाँच करके हम यह स्थापित करते हैं कि वह मूल है, फिर बहुपद को द्विपद से विभाजित करके हम समीकरण के दाईं ओर के अपघटन को कारकों में प्राप्त करते हैं

चर से चर की ओर चलते हैं, हमें मिलता है

.

स्थिति दो मूल्यों को संतुष्ट करें

.

इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि यह मूल है।

मूल जनसंख्या की दूसरी प्रणाली के समीकरण को इसी तरह हल करने पर, हम पाते हैं कि यह भी एक जड़ है।

जवाब: .

यदि पिछले उदाहरण में बीजगणितीय समाधान और त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर समाधान समकक्ष थे, तो इस मामले में प्रतिस्थापन समाधान अधिक लाभदायक है। बीजगणित के माध्यम से एक समीकरण को हल करते समय, दो समीकरणों के एक सेट को हल करना होता है, यानी दो बार वर्ग करना। इस गैर-समतुल्य परिवर्तन के बाद, अपरिमेय गुणांकों के साथ चौथी डिग्री के दो समीकरण प्राप्त होते हैं, जो प्रतिस्थापन से छुटकारा पाने में मदद करता है। एक और कठिनाई मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा पाए गए समाधानों का सत्यापन है।

उदाहरण 3. समीकरण को हल करें

.

त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर समाधान

तब से । ध्यान दें कि अज्ञात का ऋणात्मक मान समस्या का समाधान नहीं हो सकता। दरअसल, हम मूल समीकरण को रूप में बदल देते हैं

.

समीकरण के बायीं ओर कोष्ठक में गुणनखंड धनात्मक है, समीकरण का दाहिना पक्ष भी धनात्मक है, इसलिए समीकरण के बायीं ओर का गुणनखंड ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए, इसलिए, इसलिए आप डाल सकते हैं मूल समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखा जाएगा

तब से , और . समीकरण का रूप लेगा

रहने दो । आइए समीकरण से समतुल्य प्रणाली की ओर बढ़ते हैं

.

संख्याएँ और द्विघात समीकरण के मूल हैं

.

बीजीय हल आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें

हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं , तो समीकरण को रूप में लिखा जाएगा

दूसरी जड़ बेमानी है, इसलिए समीकरण पर विचार करें

.

तब से ।

इस मामले में, बीजीय समाधान तकनीकी रूप से सरल है, लेकिन त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करके उपरोक्त समाधान पर विचार करना आवश्यक है। यह, सबसे पहले, प्रतिस्थापन की गैर-मानक प्रकृति के कारण है, जो स्टीरियोटाइप को नष्ट कर देता है कि त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग तभी संभव है जब । यह पता चला है कि यदि त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन भी आवेदन पाता है। दूसरे, त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने में एक निश्चित कठिनाई होती है , जो समीकरणों के सिस्टम में बदलाव लाकर कम किया जाता है। एक निश्चित अर्थ में, इस प्रतिस्थापन को गैर-मानक भी माना जा सकता है, और इसके साथ परिचित होने से आप त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए चाल और विधियों के शस्त्रागार को समृद्ध कर सकते हैं।

उदाहरण 4. समीकरण को हल करें

.

त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर समाधान

चूँकि एक चर कोई भी वास्तविक मान ले सकता है, हम डालते हैं . फिर

,

जैसा ।

मूल समीकरण, किए गए परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए, रूप लेगा

चूँकि, हम समीकरण के दोनों पक्षों को से भाग देते हैं, हमें प्राप्त होता है

रहने दो , तब . समीकरण का रूप लेगा

.

प्रतिस्थापन को देखते हुए , हम दो समीकरणों का एक सेट प्राप्त करते हैं

.

आइए प्रत्येक सेट समीकरण को अलग से हल करें।

.

एक ज्या मान नहीं हो सकता, जैसा कि तर्क के किसी भी मान के लिए है।

.

जैसा और मूल समीकरण का दाहिना भाग धनात्मक है, तो . जिससे यह पता चलता है कि .

इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है, क्योंकि .

अतः मूल समीकरण का एक ही मूल है

.

बीजीय समाधान

इस समीकरण को मूल समीकरण के दोनों भागों का वर्ग करके आठवीं डिग्री के परिमेय समीकरण में आसानी से "बदला" जा सकता है। परिणामी तर्कसंगत समीकरण की जड़ों की खोज कठिन है, और कार्य से निपटने के लिए उच्च स्तर की सरलता की आवश्यकता होती है। इसलिए, कम पारंपरिक, हल करने का एक अलग तरीका जानना उचित है। उदाहरण के लिए, I. F. Sharygin द्वारा प्रस्तावित प्रतिस्थापन।

चलो रखो , तब

आइए समीकरण के दाईं ओर को रूपांतरित करें :

परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए, समीकरण रूप लेगा

.

हम एक प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं, फिर

.

दूसरी जड़ बेमानी है, इसलिए, और .

यदि समीकरण को हल करने का विचार पहले से ज्ञात नहीं है , तो समीकरण के दोनों भागों का वर्ग करके मानक तरीके से हल करना समस्याग्रस्त है, क्योंकि परिणाम आठवीं डिग्री का समीकरण है, जिसकी जड़ें खोजना बेहद मुश्किल है। त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करने वाला समाधान बोझिल लगता है। यदि आप ध्यान न दें कि यह आवर्तक है, तो समीकरण के मूल ज्ञात करना कठिन हो सकता है। इस समीकरण का समाधान बीजगणित के उपकरण का उपयोग करके होता है, इसलिए हम कह सकते हैं कि प्रस्तावित समाधान संयुक्त है। इसमें, बीजगणित और त्रिकोणमिति की जानकारी एक लक्ष्य के लिए एक साथ काम करती है - एक समाधान प्राप्त करने के लिए। साथ ही, इस समीकरण को हल करने के लिए दो स्थितियों पर सावधानीपूर्वक विचार करने की आवश्यकता है। त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करने की तुलना में प्रतिस्थापन समाधान तकनीकी रूप से सरल और अधिक सुंदर है। यह वांछनीय है कि छात्र इस प्रतिस्थापन पद्धति को जानें और समस्याओं को हल करने के लिए इसे लागू करें।

हम इस बात पर जोर देते हैं कि समस्याओं को हल करने के लिए त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग सचेत और उचित होना चाहिए। उन मामलों में प्रतिस्थापन का उपयोग करने की सलाह दी जाती है जहां समाधान किसी अन्य तरीके से अधिक कठिन या असंभव भी होता है। आइए हम एक और उदाहरण दें, जो पिछले वाले के विपरीत, मानक तरीके से हल करना आसान और तेज़ है।