कोण की डिग्री माप। एक कोण का रेडियन माप। डिग्री को रेडियन में बदलें और इसके विपरीत।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

पिछले पाठ में, हमने त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोणों की गिनती में महारत हासिल की थी। सकारात्मक और नकारात्मक कोणों को गिनना सीखा। एहसास हुआ कि 360 डिग्री से अधिक कोण कैसे खींचना है। यह कोणों की माप से निपटने का समय है। विशेष रूप से "पाई" संख्या के साथ, जो हमें मुश्किल कार्यों में भ्रमित करने का प्रयास करता है, हाँ ...

"पाई" संख्या के साथ त्रिकोणमिति में मानक कार्य काफी अच्छी तरह से हल किए जाते हैं। दृश्य स्मृति मदद करती है। लेकिन टेम्पलेट से किसी भी विचलन - मौके पर ही दस्तक देता है! न गिरने के लिए - समझनाज़रूरी। अब हम सफलतापूर्वक क्या करेंगे। एक मायने में - हम सब कुछ समझते हैं!

इसलिए, क्या कोणों की गिनती करते हैं? त्रिकोणमिति के स्कूल पाठ्यक्रम में, दो उपायों का उपयोग किया जाता है: कोण की डिग्री मापतथा कोण का रेडियन माप. आइए एक नजर डालते हैं इन उपायों पर। इसके बिना, त्रिकोणमिति में - कहीं नहीं।

कोण की डिग्री माप।

हम किसी तरह डिग्री के अभ्यस्त हैं। ज्यामिति, बहुत कम से कम, के माध्यम से चला गया ... हाँ, और जीवन में हम अक्सर उदाहरण के लिए "180 डिग्री बदल गया" वाक्यांश के साथ मिलते हैं। डिग्री, संक्षेप में, एक साधारण सी बात...

हाँ? मुझे जवाब दो तो एक डिग्री क्या है? बल्ले से क्या काम नहीं करता है? कुछ...

डिग्रियों का आविष्कार प्राचीन बेबीलोन में हुआ था। बहुत समय पहले की बात है ... 40 सदियों पहले ... और वे अभी इसके साथ आए थे। उन्होंने वृत्त को लिया और 360 बराबर भागों में तोड़ दिया। 1 डिग्री एक वृत्त का 1/360 है। और बस। 100 टुकड़ों में तोड़ा जा सकता है। या 1000 से। लेकिन उन्होंने इसे 360 में तोड़ दिया। वैसे, 360 से क्यों? 360 100 से बेहतर क्यों है? 100 किसी तरह और भी अधिक लगता है... इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें। या प्राचीन बाबुल के खिलाफ कमजोर?

वहीं कहीं, प्राचीन मिस्र में उन्हें एक और मुद्दे से सताया गया था। किसी वृत्त की परिधि उसके व्यास की लंबाई से कितनी गुना अधिक है? और इसलिए उन्होंने मापा, और इस तरह ... सब कुछ तीन से थोड़ा अधिक निकला। लेकिन किसी तरह यह झबरा, असमान निकला ... लेकिन वे, मिस्रवासी, दोषी नहीं हैं। उनके बाद, उन्हें एक और 35 शतकों का सामना करना पड़ा। जब तक उन्होंने अंततः यह साबित नहीं कर दिया कि सर्कल को बराबर टुकड़ों में काट लें, ऐसे टुकड़ों से बनाने के लिए चिकनाव्यास की लंबाई असंभव है ... सिद्धांत रूप में, यह असंभव है। खैर, परिधि कितनी बार व्यास से बड़ी है, बिल्कुल। के बारे में। 3.1415926... बार।

यह संख्या "पाई" है। वह झबरा है, इतना झबरा है। दशमलव बिंदु के बाद - बिना किसी क्रम के अंकों की एक अनंत संख्या ... ऐसी संख्याएँ अपरिमेय कहलाती हैं। वैसे, इसका मतलब है कि एक वृत्त के बराबर टुकड़ों से व्यास चिकनामोड़ें मत। कभी नहीँ।

व्यावहारिक उपयोग के लिए दशमलव बिंदु के बाद केवल दो अंक याद रखने की प्रथा है। याद है:

चूँकि हम समझ चुके हैं कि वृत्त की परिधि व्यास से "पाई" गुना अधिक है, इसलिए वृत्त की परिधि के सूत्र को याद रखना समझ में आता है:

कहाँ पे लीपरिधि है, और डीइसका व्यास है।

ज्यामिति में उपयोगी।

सामान्य शिक्षा के लिए, मैं जोड़ूंगा कि संख्या "पाई" न केवल ज्यामिति में बैठती है ... गणित के विभिन्न वर्गों में, और विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत में, यह संख्या लगातार दिखाई देती है! अपने आप। हमारी इच्छाओं से परे। इस प्रकार सं.

लेकिन वापस डिग्री के लिए। क्या आपने यह पता लगाया है कि प्राचीन बेबीलोन में वृत्त को 360 बराबर भागों में क्यों विभाजित किया गया था? लेकिन 100 नहीं, उदाहरण के लिए? नहीं? ठीक है। मैं आपको एक संस्करण दूंगा। आप प्राचीन बेबीलोनियों से नहीं पूछ सकते... निर्माण के लिए, या कहें, खगोल विज्ञान, एक वृत्त को बराबर भागों में विभाजित करना सुविधाजनक है। अब ज्ञात कीजिए कि कौन-सी संख्याएँ किससे विभाज्य हैं? पूरी तरह 100, और कौन से - 360? और इन डिवाइडर के किस संस्करण में पूरी तरह- अधिक? यह विभाजन लोगों के लिए बहुत सुविधाजनक है। परंतु...

जैसा कि यह प्राचीन बाबुल की तुलना में बहुत बाद में निकला, सभी को डिग्री पसंद नहीं है। उच्च गणित उन्हें पसंद नहीं है ... उच्च गणित एक गंभीर महिला है, जो प्रकृति के नियमों के अनुसार व्यवस्थित है। और यह महिला घोषणा करती है: "आज आपने सर्कल को 360 भागों में तोड़ दिया, कल आप इसे 100 भागों में तोड़ देंगे, परसों 245 में ... और मुझे क्या करना चाहिए? नहीं वास्तव में ..." मुझे मानना ​​​​पड़ा। आप प्रकृति को मूर्ख नहीं बना सकते...

मुझे उस कोण के माप का परिचय देना था जो मानवीय धारणाओं पर निर्भर नहीं करता है। मिलना - रेडियन!

एक कोण का रेडियन माप।

एक रेडियन क्या है? रेडियन की परिभाषा वैसे भी एक वृत्त पर आधारित होती है। 1 रेडियन का कोण वह कोण है जो एक चाप को एक वृत्त से काटता है जिसकी लंबाई है ( ली) त्रिज्या की लंबाई के बराबर है ( आर) हम तस्वीरों को देखते हैं।

इतना छोटा कोण, इसमें से लगभग कोई भी नहीं है ... हम कर्सर को चित्र पर ले जाते हैं (या टैबलेट पर चित्र को स्पर्श करते हैं) और हम लगभग एक देखते हैं कांति. एल = आर

अंतर महसूस करें?

एक रेडियन एक डिग्री से बहुत बड़ा होता है। कितनी बार?

आइए देखते हैं अगली तस्वीर। जिस पर मैंने एक अर्धवृत्त खींचा। विस्तारित कोण, निश्चित रूप से, 180 ° आकार का है।

और अब मैं इस अर्धवृत्त को रेडियंस में काट दूंगा! हम चित्र पर मंडराते हैं और देखते हैं कि पूंछ के साथ 3 रेडियन 180 ° में फिट होते हैं।

कौन अनुमान लगा सकता है कि यह पोनीटेल क्या है !?

हाँ! यह पूंछ 0.1415926... हैलो पाई, हम आपको अभी तक नहीं भूले हैं!

दरअसल, 180 डिग्री में 3.1415926 ... रेडियन होते हैं। जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं, हर समय 3.1415926 लिखना... असुविधाजनक है। इसलिए, इस अनंत संख्या के बजाय, वे हमेशा सरल रूप से लिखते हैं:

और यहाँ इंटरनेट पर नंबर है

लिखना असुविधाजनक है ... इसलिए, पाठ में मैं इसे नाम से लिखता हूं - "पाई"। भ्रमित न हों...

अब, लगभग समानता लिखना काफी सार्थक है:

या सटीक समानता:

निर्धारित करें कि एक रेडियन में कितने डिग्री हैं। कैसे? सरलता! यदि 3.14 रेडियन में 180 डिग्री है, तो 1 रेडियन 3.14 गुना कम है! यानी, हम पहले समीकरण को विभाजित करते हैं (सूत्र भी एक समीकरण है!) 3.14 से:

यह अनुपात याद रखने के लिए उपयोगी है।एक रेडियन में लगभग 60° होते हैं। त्रिकोणमिति में, आपको अक्सर पता लगाना होता है, स्थिति का मूल्यांकन करना होता है। यह वह जगह है जहाँ ज्ञान बहुत मदद करता है।

लेकिन इस विषय का मुख्य कौशल है डिग्री को रेडियन में परिवर्तित करना और इसके विपरीत।

यदि कोण "pi" संख्या के साथ रेडियन में दिया गया है, तो सब कुछ बहुत सरल है। हम जानते हैं कि "pi" रेडियन = 180°। इसलिए हम "पाई" रेडियन के बजाय - 180 ° स्थानापन्न करते हैं। हमें कोण डिग्री में मिलता है। हम जो कम करते हैं उसे कम करते हैं, और उत्तर तैयार है। उदाहरण के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि कितना डिग्रीकोने में "पाई"/2 कांति? यहाँ हम लिखते हैं:

या, अधिक विदेशी अभिव्यक्ति:

आसान, है ना?

उल्टा अनुवाद थोड़ा अधिक जटिल है। लेकिन ज़्यादा नहीं। यदि कोण डिग्री में दिया गया है, तो हमें यह पता लगाना चाहिए कि रेडियन में एक डिग्री क्या है और उस संख्या को डिग्री की संख्या से गुणा करें। रेडियन में 1° क्या होता है?

हम सूत्र को देखते हैं और महसूस करते हैं कि यदि 180° = "Pi" रेडियन है, तो 1° 180 गुना छोटा है। या, दूसरे शब्दों में, हम समीकरण को विभाजित करते हैं (सूत्र भी एक समीकरण है!) 180 से। "Pi" को 3.14 के रूप में प्रस्तुत करने की कोई आवश्यकता नहीं है, यह हमेशा एक अक्षर के साथ लिखा जाता है। हम पाते हैं कि एक डिग्री बराबर होती है:

बस इतना ही। रेडियन में कोण प्राप्त करने के लिए डिग्री की संख्या को इस मान से गुणा करें। उदाहरण के लिए:

या, इसी तरह:

जैसा कि आप देख सकते हैं, गेय डिग्रेशन के साथ इत्मीनान से बातचीत में, यह पता चला कि रेडियन बहुत सरल हैं। हाँ, और अनुवाद बिना किसी समस्या के है ... और "पाई" पूरी तरह से सहन करने योग्य बात है ... तो भ्रम कहाँ से है!?

मैं रहस्य प्रकट करूंगा। तथ्य यह है कि त्रिकोणमितीय कार्यों में डिग्री चिह्न लिखा होता है। हमेशा से रहा है। उदाहरण के लिए, sin35°। यह साइन है 35 डिग्री . और रेडियंस आइकन ( प्रसन्न) नहीं लिखा है! वह निहित है। या तो गणितज्ञों के आलस्य ने कब्जा कर लिया, या कुछ और ... लेकिन उन्होंने लिखने का फैसला नहीं किया। यदि ज्या के भीतर कोई चिह्न नहीं हैं - कोटांगेंट, तो कोण - रेडियन में ! उदाहरण के लिए, cos3 तीन की कोज्या है रेडियंस .

इससे गलतफहमी पैदा होती है ... एक व्यक्ति "पाई" देखता है और मानता है कि यह 180 ° है। किसी भी समय और कहीं भी। वैसे यह काम करता है। फिलहाल, जबकि उदाहरण मानक हैं। लेकिन पाई एक संख्या है! संख्या 3.14 डिग्री नहीं है! वह "पाई" रेडियन = 180° है!

एक बार फिर: "पाई" एक संख्या है! 3.14. तर्कहीन, लेकिन एक संख्या। 5 या 8 के समान। उदाहरण के लिए, आप "पाई" कदम उठा सकते हैं। तीन कदम और थोड़ा और। या "पाई" किलोग्राम मिठाई खरीदें। अगर कोई पढ़ा-लिखा सेल्समैन पकड़ा जाता है...

"पाई" एक संख्या है! क्या, मैं तुम्हें इस वाक्यांश के साथ मिला? क्या आप पहले ही सब कुछ समझ चुके हैं? ठीक है। चलो देखते है। क्या आप बता सकते हैं कि कौन सी संख्या बड़ी है?

या क्या कम है?

यह थोड़े गैर-मानक प्रश्नों की एक श्रृंखला से है जो स्तब्ध कर सकता है ...

यदि आप भी स्तब्ध हो जाते हैं, तो मंत्र याद रखें: "पाई" एक संख्या है! 3.14. पहली ही ज्या में, यह स्पष्ट रूप से इंगित किया गया है कि कोण - डिग्री में! इसलिए, "पाई" को 180 ° से बदलना असंभव है! "पाई" डिग्री लगभग 3.14 डिग्री है। इसलिए, हम लिख सकते हैं:

दूसरी साइन में कोई प्रतीक नहीं हैं। इसलिए वहाँ - रेडियंस! यहां, "पाई" को 180 ° से बदलना काफी अच्छा काम करेगा। रेडियन को डिग्री में बदलने पर, जैसा कि ऊपर लिखा गया है, हम प्राप्त करते हैं:

इन दो साइनों की तुलना करना बाकी है। क्या। भूल गए कैसे? एक त्रिकोणमितीय सर्कल की मदद से, बिल्कुल! हम एक वृत्त खींचते हैं, लगभग 60° और 1.05° के कोण बनाते हैं। हम इन कोणों की ज्याओं को देखते हैं। संक्षेप में, त्रिकोणमितीय वृत्त के विषय के अंत में सब कुछ चित्रित किया गया है। एक वृत्त पर (कुटिल भी!) यह स्पष्ट रूप से देखा जाएगा कि पाप 60°से काफी अधिक पाप1.05°.

हम ठीक ऐसा ही कोसाइन के साथ करेंगे। वृत्त पर हम लगभग 4 . के कोण बनाते हैं डिग्रीऔर 4 कांति(याद रखें, लगभग 1 रेडियन क्या है?) मंडली सब कुछ कह देगी! बेशक, cos4, cos4° से कम है।

आइए कोण उपायों को संभालने का अभ्यास करें।

इन कोणों को डिग्री से रेडियन में बदलें:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

आपको इन मानों को रेडियन में समाप्त करना चाहिए (एक अलग क्रम में!)

0

वैसे, मैंने उत्तर दो पंक्तियों में विशेष रूप से चिह्नित किए हैं। खैर, आइए जानें कि पहली पंक्ति में कोने क्या हैं? डिग्री में या रेडियन में?

हाँ! ये समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियाँ हैं! यदि आप त्रिकोणमितीय वृत्त को देखें, तो इन मानों पर कोण की गतिमान भुजा धुरी पर सही बैठता है. इन मूल्यों को विडंबना से जानने की जरूरत है। और मैंने नोट किया कि 0 डिग्री (0 रेडियन) का कोण व्यर्थ नहीं है। और फिर कुछ इस कोण को वृत्त पर किसी भी तरह से नहीं पा सकते हैं ... और, तदनुसार, वे शून्य के त्रिकोणमितीय कार्यों में भ्रमित हो जाते हैं ... और बात यह है कि शून्य डिग्री पर गतिमान पक्ष की स्थिति स्थिति के साथ मेल खाती है 360 °, इसलिए वृत्त पर संयोग हर समय बगल में होते हैं।

दूसरी पंक्ति में भी विशेष कोण हैं... ये 30°, 45° और 60° हैं। और उनमें ऐसा क्या खास है? कुछ खास नहीं। इन कोनों और अन्य सभी कोनों में केवल इतना ही अंतर है कि आपको इन कोनों के बारे में पता होना चाहिए। सब. और वे कहाँ स्थित हैं, और इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्य क्या हैं। मान लीजिए sin100°आपको जानने की जरूरत नहीं है। लेकिन पाप45°- कृपया दयालु बनें! यह अनिवार्य ज्ञान है, जिसके बिना त्रिकोणमिति में कुछ नहीं करना है ... लेकिन अगले पाठ में इस पर और अधिक।

तब तक, आइए अभ्यास करते रहें। इन कोणों को रेडियन से डिग्री में बदलें:

आपको इस तरह के परिणाम मिलने चाहिए (एक गड़बड़ में):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

हो गई? तब हम मान सकते हैं कि डिग्री को रेडियन में परिवर्तित करना और इसके विपरीत- अब आपकी समस्या नहीं है।) लेकिन त्रिकोणमिति को समझने के लिए कोणों का अनुवाद करना पहला कदम है। उसी स्थान पर, आपको अभी भी साइन-कोसाइन के साथ काम करने की आवश्यकता है। हाँ, और स्पर्शरेखाओं के साथ, कोटेंजेंट भी ...

दूसरा शक्तिशाली कदम है त्रिकोणमितीय वृत्त पर किसी भी कोण की स्थिति निर्धारित करने की क्षमता।डिग्री और रेडियन दोनों में। इस कौशल के बारे में, मैं आपको सभी त्रिकोणमिति में उबाऊ संकेत दूंगा, हाँ ...) यदि आप त्रिकोणमितीय वृत्त के बारे में सब कुछ जानते हैं (या सोचते हैं कि आप सब कुछ जानते हैं), और त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोणों की गिनती करते हैं, तो आप इसे देख सकते हैं बाहर। इन सरल कार्यों को हल करें:

1. कोने किस तिमाही में आते हैं:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

सरलता? हम जारी रखते हैं:

2. कोने किस तिमाही में पड़ते हैं:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

भी कोई समस्या नहीं है? देखना...)

3. आप कोनों को तिमाहियों में रख सकते हैं:

क्या आप सक्षम थे? अच्छा, आप देते हैं ..)

4. कोना किस कुल्हाड़ी पर पड़ेगा:

और कोने:

क्या यह भी आसान है? हम्म...)

5. कोने किस तिमाही में आते हैं:

और यह काम किया !? ठीक है, तो मैं वास्तव में नहीं जानता ...)

6. निर्धारित करें कि कोने किस तिमाही में आते हैं:

1, 2, 3 और 20 रेडियन।

मैं अंतिम कार्य के केवल अंतिम प्रश्न (यह थोड़ा मुश्किल है) का उत्तर दूंगा। 20 रेडियन का कोण पहली तिमाही में गिरेगा।

बाकी के जवाब मैं लालच में नहीं दूंगा।) बस अगर आप फैसला नहीं कियाकुछ शकपरिणामस्वरूप, या कार्य संख्या 4 . पर खर्च किया गया 10 सेकंड से अधिकआप एक मंडली में खराब रूप से उन्मुख हैं। सभी त्रिकोणमिति में यह आपकी समस्या होगी। इससे तुरंत छुटकारा पाना बेहतर है (एक समस्या, त्रिकोणमिति नहीं!)। यह विषय में किया जा सकता है: धारा 555 में त्रिकोणमितीय सर्कल के साथ व्यावहारिक कार्य।

यह बताता है कि ऐसे कार्यों को सरल और सही तरीके से कैसे हल किया जाए। खैर, ये कार्य निश्चित रूप से हल हो गए हैं। और चौथा टास्क 10 सेकेंड में हल किया गया। हाँ, इतना तय किया कि कोई भी कर सकता है!

यदि आप अपने उत्तरों के बारे में पूरी तरह सुनिश्चित हैं और रेडियन के साथ काम करने के सरल और परेशानी मुक्त तरीकों में आपकी रुचि नहीं है, तो आप 555 पर नहीं जा सकते। मैं जोर नहीं देता।)

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आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

सीधे शब्दों में कहें तो ये एक खास रेसिपी के अनुसार पानी में पकाई गई सब्जियां हैं। मैं दो प्रारंभिक घटकों (सब्जी सलाद और पानी) और तैयार परिणाम - बोर्स्ट पर विचार करूंगा। ज्यामितीय रूप से, इसे एक आयत के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें एक पक्ष लेट्यूस को दर्शाता है, दूसरा पक्ष पानी को दर्शाता है। इन दोनों पक्षों का योग बोर्स्ट को निरूपित करेगा। इस तरह के "बोर्श" आयत का विकर्ण और क्षेत्र विशुद्ध रूप से गणितीय अवधारणा है और बोर्स्ट व्यंजनों में कभी भी उपयोग नहीं किया जाता है।

गणित के संदर्भ में लेट्यूस और पानी कैसे बोर्स्ट में बदल जाते हैं? दो खंडों का योग त्रिकोणमिति में कैसे बदल सकता है? इसे समझने के लिए, हमें रैखिक कोण फलन की आवश्यकता है।

आपको गणित की पाठ्यपुस्तकों में रैखिक कोण फलन के बारे में कुछ भी नहीं मिलेगा। लेकिन उनके बिना गणित नहीं हो सकता। गणित के नियम, प्रकृति के नियमों की तरह, काम करते हैं चाहे हम जानते हों कि वे मौजूद हैं या नहीं।

रैखिक कोणीय कार्य जोड़ के नियम हैं।देखें कि कैसे बीजगणित ज्यामिति में और ज्यामिति त्रिकोणमिति में बदल जाती है।

क्या रैखिक कोणीय कार्यों के बिना करना संभव है? आप कर सकते हैं, क्योंकि गणितज्ञ अभी भी उनके बिना प्रबंधन करते हैं। गणितज्ञों की चाल इस बात में निहित है कि वे हमेशा हमें केवल उन्हीं समस्याओं के बारे में बताते हैं जिन्हें वे स्वयं हल कर सकते हैं, और हमें उन समस्याओं के बारे में कभी नहीं बताते जिन्हें वे हल नहीं कर सकते। देखना। यदि हम जोड़ और एक पद का परिणाम जानते हैं, तो हम दूसरे पद को खोजने के लिए घटाव का उपयोग करते हैं। हर चीज़। हम अन्य समस्याओं को नहीं जानते हैं और हम उन्हें हल करने में सक्षम नहीं हैं। यदि हम केवल जोड़ का परिणाम जानते हैं और दोनों पदों को नहीं जानते हैं तो क्या करें? इस मामले में, जोड़ के परिणाम को रैखिक कोणीय कार्यों का उपयोग करके दो शब्दों में विघटित किया जाना चाहिए। इसके अलावा, हम स्वयं चुनते हैं कि एक शब्द क्या हो सकता है, और रैखिक कोणीय कार्य दिखाते हैं कि जोड़ के परिणाम के लिए दूसरा शब्द क्या होना चाहिए जो हमें चाहिए। ऐसे युग्मों की अनंत संख्या हो सकती है। दैनिक जीवन में हम बिना योग के बहुत अच्छा करते हैं, घटाना ही हमारे लिए काफी है। लेकिन प्रकृति के नियमों के वैज्ञानिक अध्ययन में योग का शब्दों में विस्तार बहुत उपयोगी हो सकता है।

जोड़ का एक और नियम जिसके बारे में गणितज्ञ बात करना पसंद नहीं करते (उनकी एक और चाल) के लिए माप की समान इकाई के लिए शर्तों की आवश्यकता होती है। लेट्यूस, पानी और बोर्स्ट के लिए, ये वजन, आयतन, लागत या माप की इकाई हो सकते हैं।

यह आंकड़ा गणित के लिए दो स्तरों के अंतर को दर्शाता है। पहला स्तर संख्याओं के क्षेत्र में अंतर है, जो इंगित किया गया है एक, बी, सी. गणितज्ञ यही करते हैं। दूसरा स्तर माप की इकाइयों के क्षेत्र में अंतर है, जो वर्ग कोष्ठक में दिखाया गया है और पत्र द्वारा इंगित किया गया है यू. भौतिक विज्ञानी यही करते हैं। हम तीसरे स्तर को समझ सकते हैं - वर्णित वस्तुओं के दायरे में अंतर। विभिन्न वस्तुओं में माप की समान इकाइयों की संख्या समान हो सकती है। यह कितना महत्वपूर्ण है, हम बोर्स्ट त्रिकोणमिति के उदाहरण पर देख सकते हैं। यदि हम विभिन्न वस्तुओं की माप की इकाइयों के लिए एक ही अंकन में सबस्क्रिप्ट जोड़ते हैं, तो हम कह सकते हैं कि गणितीय मात्रा किसी विशेष वस्तु का वर्णन करती है और यह समय के साथ या हमारे कार्यों के संबंध में कैसे बदलती है। पत्र वूमैं पानी को अक्षर से चिह्नित करूंगा एसमैं सलाद को पत्र के साथ चिह्नित करूंगा बी- बोर्श। यहां बताया गया है कि बोर्स्ट के लिए लीनियर एंगल फंक्शन कैसा दिखेगा।

अगर हम पानी का कुछ हिस्सा और सलाद का कुछ हिस्सा लेते हैं, तो वे एक साथ बोर्स्ट की एक सर्विंग में बदल जाएंगे। यहाँ मेरा सुझाव है कि आप बोर्स्ट से थोड़ा ब्रेक लें और अपने दूर के बचपन को याद करें। याद रखें कि कैसे हमें खरगोशों और बत्तखों को एक साथ रखना सिखाया गया था? यह पता लगाना जरूरी था कि कितने जानवर निकलेंगे। फिर हमें क्या करना सिखाया गया? हमें इकाइयों को संख्याओं से अलग करना और संख्याओं को जोड़ना सिखाया गया। हाँ, किसी भी संख्या को किसी अन्य संख्या में जोड़ा जा सकता है। यह आधुनिक गणित के आत्मकेंद्रित के लिए एक सीधा रास्ता है - हमें समझ में नहीं आता क्या, यह स्पष्ट नहीं है कि क्यों, और हम बहुत खराब तरीके से समझते हैं कि यह वास्तविकता से कैसे संबंधित है, तीन स्तरों के अंतर के कारण, गणितज्ञ केवल एक पर काम करते हैं। यह सीखना अधिक सही होगा कि माप की एक इकाई से दूसरी इकाई में कैसे जाना है।

और बन्नी, और बत्तख, और छोटे जानवर टुकड़ों में गिने जा सकते हैं। विभिन्न वस्तुओं के लिए माप की एक सामान्य इकाई हमें उन्हें एक साथ जोड़ने की अनुमति देती है। यह समस्या का बच्चों का संस्करण है। आइए वयस्कों के लिए इसी तरह की समस्या को देखें। जब आप बन्नी और पैसा जोड़ते हैं तो आपको क्या मिलता है? यहां दो संभावित समाधान हैं।

पहला विकल्प. हम खरगोशों का बाजार मूल्य निर्धारित करते हैं और इसे उपलब्ध नकदी में जोड़ते हैं। हमें अपने धन का कुल मूल्य धन के रूप में मिला।

दूसरा विकल्प. आप हमारे पास जितने बैंक नोट हैं, उनमें खरगोशों की संख्या जोड़ सकते हैं। चल संपत्ति की राशि टुकड़ों में मिलेगी।

जैसा कि आप देख सकते हैं, वही जोड़ कानून आपको अलग-अलग परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम वास्तव में क्या जानना चाहते हैं।

लेकिन वापस हमारे बोर्स्ट पर। अब हम देख सकते हैं कि रेखीय कोण फलन के कोण के विभिन्न मानों के लिए क्या होगा।

कोण शून्य है। हमारे पास सलाद है लेकिन पानी नहीं है। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा भी शून्य है। इसका मतलब यह बिल्कुल भी नहीं है कि शून्य बोर्स्ट शून्य पानी के बराबर है। जीरो बोर्श जीरो सलाद (राइट एंगल) पर भी हो सकता है।

मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से, यह इस तथ्य का मुख्य गणितीय प्रमाण है कि . शून्य जोड़े जाने पर संख्या नहीं बदलता है। इसका कारण यह है कि यदि केवल एक पद हो और दूसरा पद लुप्त हो तो योग स्वयं असंभव है। आप जैसे चाहें इससे संबंधित हो सकते हैं, लेकिन याद रखें - शून्य के साथ सभी गणितीय कार्यों का आविष्कार गणितज्ञों ने स्वयं किया था, इसलिए अपने तर्क को त्यागें और गणितज्ञों द्वारा आविष्कार की गई परिभाषाओं को मूर्खता से रट लें: "शून्य से विभाजन असंभव है", "किसी भी संख्या को शून्य से गुणा किया जाता है" बराबर शून्य", "बिंदु शून्य के पीछे" और अन्य बकवास। एक बार यह याद रखना पर्याप्त है कि शून्य एक संख्या नहीं है, और आपके पास कभी भी यह सवाल नहीं होगा कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या है या नहीं, क्योंकि ऐसा प्रश्न आम तौर पर सभी अर्थ खो देता है: कोई ऐसी संख्या पर कैसे विचार कर सकता है जो एक संख्या नहीं है। . यह पूछने जैसा है कि किसी अदृश्य रंग को किस रंग से जोड़ा जाए। किसी संख्या में शून्य जोड़ना पेंट के साथ पेंटिंग करने जैसा है जो मौजूद नहीं है। उन्होंने एक सूखा ब्रश लहराया और सभी को बताया कि "हमने पेंट किया है।" लेकिन मैं थोड़ा पीछे हटता हूं।

कोण शून्य से बड़ा है लेकिन पैंतालीस डिग्री से कम है। हमारे पास सलाद बहुत है, लेकिन थोड़ा पानी है। नतीजतन, हमें एक मोटा बोर्स्ट मिलता है।

कोण पैंतालीस डिग्री है। हमारे पास बराबर मात्रा में पानी और सलाद है। यह एकदम सही बोर्स्ट है (रसोइया मुझे माफ कर सकता है, यह सिर्फ गणित है)।

कोण पैंतालीस डिग्री से अधिक लेकिन नब्बे डिग्री से कम है। हमारे पास बहुत सारा पानी और थोड़ा सलाद है। तरल बोर्स्ट प्राप्त करें।

समकोण। हमारे पास पानी है। लेट्यूस की केवल यादें रह जाती हैं, क्योंकि हम उस रेखा से कोण को मापना जारी रखते हैं जो कभी लेट्यूस को चिह्नित करती थी। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा शून्य है। उस स्थिति में, रुकें और पानी उपलब्ध होने पर पीएं)))

यहां। कुछ इस तरह। मैं यहां अन्य कहानियां बता सकता हूं जो यहां उपयुक्त से अधिक होंगी।

दोनों दोस्तों के साझा कारोबार में उनके हिस्से थे। इनमें से एक की हत्या के बाद सब कुछ दूसरे पर चला गया।

हमारे ग्रह पर गणित का उदय।

इन सभी कहानियों को रेखीय कोणीय फलन का उपयोग करके गणित की भाषा में बताया गया है। किसी और समय मैं आपको गणित की संरचना में इन फलनों का वास्तविक स्थान दिखाऊंगा। इस बीच, आइए बोर्स्ट के त्रिकोणमिति पर लौटते हैं और अनुमानों पर विचार करते हैं।

शनिवार, 26 अक्टूबर 2019

मैंने . के बारे में एक दिलचस्प वीडियो देखा ग्रैंडी की पंक्ति एक माइनस वन प्लस वन माइनस वन - नंबरफाइल. गणितज्ञ झूठ बोलते हैं। उन्होंने अपने तर्क में समानता का परीक्षण नहीं किया।

यह मेरे तर्क के साथ प्रतिध्वनित होता है।

आइए उन संकेतों पर करीब से नज़र डालें जो गणितज्ञ हमें धोखा दे रहे हैं। तर्क की शुरुआत में, गणितज्ञ कहते हैं कि अनुक्रम का योग इस बात पर निर्भर करता है कि इसमें तत्वों की संख्या सम है या नहीं। यह एक वस्तुनिष्ठ रूप से स्थापित तथ्य है। आगे क्या होता है?

इसके बाद, गणितज्ञ अनुक्रम को एकता से घटाते हैं। इससे क्या होता है? इससे अनुक्रम में तत्वों की संख्या में परिवर्तन होता है - एक सम संख्या एक विषम संख्या में बदल जाती है, एक विषम संख्या एक सम संख्या में बदल जाती है। आखिरकार, हमने अनुक्रम में एक के बराबर एक तत्व जोड़ा है। सभी बाहरी समानता के बावजूद, परिवर्तन से पहले का क्रम परिवर्तन के बाद के क्रम के बराबर नहीं है। यहां तक ​​कि अगर हम एक अनंत अनुक्रम के बारे में बात कर रहे हैं, तो हमें यह याद रखना चाहिए कि विषम संख्या में तत्वों वाला एक अनंत अनुक्रम तत्वों की एक समान संख्या के साथ अनंत अनुक्रम के बराबर नहीं है।

तत्वों की संख्या में भिन्न दो अनुक्रमों के बीच एक समान चिह्न लगाते हुए, गणितज्ञ दावा करते हैं कि अनुक्रम का योग अनुक्रम में तत्वों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है, जो एक वस्तुनिष्ठ रूप से स्थापित तथ्य का खंडन करता है। अनंत अनुक्रम के योग के बारे में और तर्क गलत है, क्योंकि यह एक झूठी समानता पर आधारित है।

यदि आप देखते हैं कि गणितज्ञ प्रमाण के क्रम में कोष्ठक लगाते हैं, गणितीय व्यंजक के तत्वों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, कुछ जोड़ते या हटाते हैं, तो बहुत सावधान रहें, सबसे अधिक संभावना है कि वे आपको धोखा देने की कोशिश कर रहे हैं। कार्ड कंज्यूरर्स की तरह, गणितज्ञ आपका ध्यान अभिव्यक्ति के विभिन्न जोड़तोड़ के साथ हटाते हैं ताकि अंततः आपको एक गलत परिणाम मिल सके। यदि आप धोखाधड़ी के रहस्य को जाने बिना कार्ड चाल को दोहरा नहीं सकते हैं, तो गणित में सब कुछ बहुत आसान है: आपको धोखाधड़ी के बारे में कुछ भी संदेह नहीं है, लेकिन गणितीय अभिव्यक्ति के साथ सभी जोड़तोड़ को दोहराने से आप दूसरों को समझाने की अनुमति देते हैं परिणाम की शुद्धता, ठीक उसी तरह जैसे कब आपको आश्वस्त किया।

दर्शकों से प्रश्न: और अनंत (अनुक्रम S में तत्वों की संख्या के रूप में), क्या यह सम या विषम है? आप किसी ऐसी चीज की समानता कैसे बदल सकते हैं जिसमें कोई समानता नहीं है?

गणितज्ञों के लिए अनंत पुजारियों के लिए स्वर्ग के राज्य की तरह है - कोई भी कभी नहीं रहा है, लेकिन हर कोई जानता है कि वहां सब कुछ कैसे काम करता है))) मैं मानता हूं, मृत्यु के बाद आप बिल्कुल उदासीन होंगे चाहे आप एक सम या विषम संख्या में रहे। , लेकिन ... आपके जीवन की शुरुआत में सिर्फ एक दिन जोड़ने पर, हमें एक पूरी तरह से अलग व्यक्ति मिलेगा: उसका अंतिम नाम, पहला नाम और मध्य नाम बिल्कुल समान है, केवल जन्म की तारीख पूरी तरह से अलग है - वह एक पैदा हुआ था आपके सामने का दिन।

और अब इस बिंदु पर)) मान लीजिए कि एक परिमित अनुक्रम जिसमें समता है, अनंत में जाने पर इस समता को खो देता है। फिर अनंत अनुक्रम के किसी भी परिमित खंड को भी समता खोना चाहिए। हम इसका पालन नहीं करते हैं। तथ्य यह है कि हम निश्चित रूप से यह नहीं कह सकते कि अनंत अनुक्रम में तत्वों की संख्या सम या विषम है, इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि समता गायब हो गई है। समता, यदि यह मौजूद है, तो बिना किसी निशान के अनंत में गायब नहीं हो सकती, जैसा कि एक कार्ड तेज की आस्तीन में होता है। इस मामले के लिए एक बहुत अच्छा सादृश्य है।

क्या आपने कभी घड़ी में बैठी कोयल से पूछा है कि घड़ी का हाथ किस दिशा में घूमता है? उसके लिए, तीर विपरीत दिशा में घूमता है जिसे हम "घड़ी की दिशा" कहते हैं। यह विरोधाभासी लग सकता है, लेकिन रोटेशन की दिशा पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करती है कि हम किस तरफ से रोटेशन का निरीक्षण करते हैं। और इसलिए, हमारे पास एक पहिया है जो घूमता है। हम यह नहीं कह सकते कि घूर्णन किस दिशा में होता है, क्योंकि हम इसे घूर्णन तल के एक तरफ से और दूसरी तरफ से देख सकते हैं। हम केवल इस तथ्य की गवाही दे सकते हैं कि घूर्णन है। अनंत अनुक्रम की समता के साथ पूर्ण सादृश्य एस.

अब हम एक दूसरा घूर्णन पहिया जोड़ते हैं, जिसका घूर्णन तल पहले घूर्णन चक्र के घूर्णन तल के समांतर है। हम अभी भी यह नहीं बता सकते कि ये पहिये किस दिशा में घूम रहे हैं, लेकिन हम पूर्ण निश्चितता के साथ बता सकते हैं कि दोनों पहिए एक ही दिशा में घूम रहे हैं या विपरीत दिशाओं में। दो अनंत अनुक्रमों की तुलना एसतथा 1-एस, मैंने गणित की सहायता से दिखाया कि इन अनुक्रमों में अलग-अलग समानता है और उनके बीच एक समान चिन्ह लगाना एक गलती है। व्यक्तिगत रूप से, मैं गणित में विश्वास करता हूं, मुझे गणितज्ञों पर भरोसा नहीं है)) वैसे, अनंत अनुक्रमों के परिवर्तनों की ज्यामिति को पूरी तरह से समझने के लिए, अवधारणा को पेश करना आवश्यक है "एक साथ". इसे ड्रा करना होगा।

बुधवार, अगस्त 7, 2019

के बारे में बातचीत को समाप्त करते हुए, हमें एक अनंत सेट पर विचार करने की आवश्यकता है। इसमें दिया गया है कि "अनंत" की अवधारणा गणितज्ञों पर काम करती है, जैसे खरगोश पर बोआ कंस्ट्रिक्टर। अनंत की थरथराती भयावहता गणितज्ञों को सामान्य ज्ञान से वंचित करती है। यहाँ एक उदाहरण है:

मूल स्रोत स्थित है। अल्फा एक वास्तविक संख्या को दर्शाता है। उपरोक्त भावों में समान चिन्ह यह दर्शाता है कि यदि आप अनंत में एक संख्या या अनंत जोड़ते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, परिणाम वही अनंत होगा। यदि हम एक उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट लेते हैं, तो विचार किए गए उदाहरणों को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

अपने मामले को स्पष्ट रूप से साबित करने के लिए, गणितज्ञ कई अलग-अलग तरीकों से आए हैं। व्यक्तिगत रूप से, मैं इन सभी विधियों को तंबूरा के साथ शेमस के नृत्य के रूप में देखता हूं। संक्षेप में, वे सभी इस तथ्य पर नीचे आते हैं कि या तो कुछ कमरों पर कब्जा नहीं है और उनमें नए मेहमान बसे हैं, या कि कुछ आगंतुकों को मेहमानों के लिए जगह बनाने के लिए गलियारे में फेंक दिया जाता है (बहुत मानवीय)। मैंने ऐसे फैसलों पर अपने विचार गोरे लोगों के बारे में एक शानदार कहानी के रूप में प्रस्तुत किए। मेरा तर्क किस पर आधारित है? असीमित संख्या में आगंतुकों को स्थानांतरित करने में अनंत समय लगता है। पहले अतिथि कक्ष को खाली करने के बाद, आगंतुकों में से एक हमेशा गलियारे के साथ अपने कमरे से अगले कमरे तक समय के अंत तक चलेगा। बेशक, समय कारक को मूर्खता से अनदेखा किया जा सकता है, लेकिन यह पहले से ही "मूर्खों के लिए कानून नहीं लिखा गया है" की श्रेणी से होगा। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम क्या कर रहे हैं: वास्तविकता को गणितीय सिद्धांतों के साथ समायोजित करना या इसके विपरीत।

एक "अनंत होटल" क्या है? एक इन्फिनिटी सराय एक सराय है जिसमें हमेशा कितनी भी रिक्तियाँ होती हैं, चाहे कितने भी कमरे हों। यदि "आगंतुकों के लिए" अंतहीन दालान के सभी कमरों पर कब्जा कर लिया गया है, तो "मेहमानों" के लिए कमरों के साथ एक और अंतहीन दालान है। ऐसे गलियारों की अनंत संख्या होगी। साथ ही, "अनंत होटल" में अनंत संख्या में देवताओं द्वारा बनाए गए अनंत ब्रह्मांडों में अनंत ग्रहों पर अनंत संख्या में इमारतों में अनंत मंजिलें हैं। दूसरी ओर, गणितज्ञ साधारण रोजमर्रा की समस्याओं से दूर नहीं जा पा रहे हैं: भगवान-अल्लाह-बुद्ध हमेशा एक ही हैं, होटल एक है, गलियारा एक है। इसलिए गणितज्ञ होटल के कमरों की क्रम संख्या को हथकंडा करने की कोशिश कर रहे हैं, हमें विश्वास दिलाते हैं कि "बिना धक्का" संभव है।

मैं प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट के उदाहरण का उपयोग करके आपको अपने तर्क का तर्क दिखाऊंगा। सबसे पहले आपको एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट मौजूद हैं - एक या कई? इस प्रश्न का कोई सही उत्तर नहीं है, क्योंकि हमने स्वयं संख्याओं का आविष्कार किया है, प्रकृति में कोई संख्या नहीं है। हां, प्रकृति पूरी तरह से गिनना जानती है, लेकिन इसके लिए वह अन्य गणितीय उपकरणों का उपयोग करती है जो हमें परिचित नहीं हैं। जैसा प्रकृति सोचती है, मैं आपको दूसरी बार बताऊंगा। चूंकि हमने संख्याओं का आविष्कार किया है, इसलिए हम स्वयं तय करेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट मौजूद हैं। दोनों विकल्पों पर विचार करें, जैसा कि एक वास्तविक वैज्ञानिक के लिए उपयुक्त है।

विकल्प एक। "आइए हमें दिया जाए" प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट, जो शांति से एक शेल्फ पर स्थित है। हम इस सेट को शेल्फ से लेते हैं। बस इतना ही, शेल्फ पर कोई अन्य प्राकृतिक संख्याएँ नहीं बची हैं और उन्हें लेने के लिए कहीं नहीं है। हम इस सेट में एक नहीं जोड़ सकते, क्योंकि हमारे पास यह पहले से ही है। क्या होगा यदि आप वास्तव में चाहते हैं? कोई बात नहीं। हम पहले से लिए गए सेट से एक इकाई ले सकते हैं और इसे शेल्फ पर वापस कर सकते हैं। उसके बाद, हम शेल्फ से एक इकाई ले सकते हैं और जो बचा है उसमें जोड़ सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें फिर से प्राकृत संख्याओं का अनंत समुच्चय प्राप्त होता है। आप हमारे सभी जोड़तोड़ इस तरह लिख सकते हैं:

मैंने समुच्चय के तत्वों को विस्तार से सूचीबद्ध करते हुए, बीजगणितीय संकेतन और सेट सिद्धांत संकेतन में संचालन को लिखा है। सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं का एक और केवल सेट है। यह पता चला है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय केवल तभी अपरिवर्तित रहेगा जब उसमें से एक घटाया जाए और वही जोड़ा जाए।

विकल्प दो। शेल्फ पर हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं के कई अलग-अलग अनंत सेट हैं। मैं जोर देता हूं - अलग, इस तथ्य के बावजूद कि वे व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य हैं। हम इनमें से एक सेट लेते हैं। फिर हम प्राकृत संख्याओं के दूसरे समुच्चय से एक लेते हैं और उस समुच्चय में जोड़ते हैं जो हम पहले ही ले चुके हैं। हम प्राकृत संख्याओं के दो समुच्चय भी जोड़ सकते हैं। यहाँ हमें क्या मिलता है:

सबस्क्रिप्ट "एक" और "दो" इंगित करते हैं कि ये तत्व अलग-अलग सेट से संबंधित थे। हाँ, यदि आप एक को अनंत समुच्चय में जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक अनंत समुच्चय होगा, लेकिन यह मूल समुच्चय के समान नहीं होगा। यदि एक अनंत समुच्चय को दूसरे अनंत समुच्चय में जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक नया अनंत समुच्चय होता है जिसमें पहले दो समुच्चय के तत्व होते हैं।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का उपयोग उसी प्रकार गिनने के लिए किया जाता है जैसे मापन के लिए रूलर का होता है। अब कल्पना कीजिए कि आपने रूलर में एक सेंटीमीटर जोड़ दिया है। यह पहले से ही एक अलग लाइन होगी, मूल के बराबर नहीं।

आप मेरे तर्क को स्वीकार करें या न करें - यह आपका अपना व्यवसाय है। लेकिन अगर आप कभी भी गणितीय समस्याओं में भाग लेते हैं, तो सोचें कि क्या आप झूठे तर्क के रास्ते पर हैं, गणितज्ञों की पीढ़ियों द्वारा रौंदा गया है। आखिरकार, गणित की कक्षाएं, सबसे पहले, हम में सोच का एक स्थिर स्टीरियोटाइप बनाती हैं, और उसके बाद ही वे हमारे लिए मानसिक क्षमताओं को जोड़ते हैं (या इसके विपरीत, वे हमें स्वतंत्र सोच से वंचित करते हैं)।

pozg.ru

रविवार, 4 अगस्त 2019

मैं एक लेख के बारे में एक पोस्टस्क्रिप्ट लिख रहा था और विकिपीडिया पर इस अद्भुत पाठ को देखा:

हम पढ़ते हैं: "... बेबीलोन के गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में एक समग्र चरित्र नहीं था और यह असमान तकनीकों के एक समूह में सिमट गया था, एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित।"

बहुत खूब! हम कितने होशियार हैं और दूसरों की कमियों को हम कितनी अच्छी तरह देख सकते हैं। क्या आधुनिक गणित को उसी संदर्भ में देखना हमारे लिए कमजोर है? उपरोक्त पाठ को थोड़ा सा समझाते हुए, व्यक्तिगत रूप से मुझे निम्नलिखित मिला:

आधुनिक गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार का एक समग्र चरित्र नहीं है और यह एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान वर्गों के एक समूह में सिमट गया है।

मैं अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए दूर नहीं जाऊंगा - इसकी एक भाषा और परंपराएं हैं जो गणित की कई अन्य शाखाओं की भाषा और परंपराओं से अलग हैं। गणित की विभिन्न शाखाओं में एक ही नाम के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। मैं आधुनिक गणित की सबसे स्पष्ट भूलों के लिए प्रकाशनों का एक पूरा चक्र समर्पित करना चाहता हूं। जल्दी मिलते हैं।

शनिवार, 3 अगस्त 2019

सेट को सबसेट में कैसे विभाजित करें? ऐसा करने के लिए, आपको माप की एक नई इकाई दर्ज करनी होगी, जो चयनित सेट के कुछ तत्वों में मौजूद है। एक उदाहरण पर विचार करें।

क्या हमारे पास बहुत से हैं लेकिनचार लोगों से मिलकर। यह सेट "लोगों" के आधार पर बनता है आइए इस सेट के तत्वों को पत्र के माध्यम से नामित करें एक, एक संख्या के साथ सबस्क्रिप्ट इस सेट में प्रत्येक व्यक्ति की क्रमिक संख्या को इंगित करेगा। आइए माप की एक नई इकाई "यौन विशेषता" का परिचय दें और इसे अक्षर द्वारा निरूपित करें बी. चूंकि सभी लोगों में यौन विशेषताएं निहित हैं, इसलिए हम सेट के प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं लेकिनलिंग पर बी. ध्यान दें कि हमारा "लोग" सेट अब "लिंग वाले लोग" सेट बन गया है। उसके बाद, हम यौन विशेषताओं को पुरुष में विभाजित कर सकते हैं बी.एम.और महिलाओं का बीडब्ल्यूईलिंग विशेषताओं। अब हम गणितीय फ़िल्टर लागू कर सकते हैं: हम इनमें से किसी एक यौन विशेषता का चयन करते हैं, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि कौन सा पुरुष या महिला है। यदि यह किसी व्यक्ति में मौजूद है, तो हम इसे एक से गुणा करते हैं, यदि ऐसा कोई चिन्ह नहीं है, तो हम इसे शून्य से गुणा करते हैं। और फिर हम सामान्य स्कूली गणित को लागू करते हैं। देखिए क्या हुआ।

गुणा, कटौती और पुनर्व्यवस्था के बाद, हमें दो उपसमुच्चय प्राप्त हुए: पुरुष उपसमुच्चय बी.एम.और महिलाओं का एक सबसेट बीडब्ल्यूई. लगभग उसी तरह गणितज्ञ तर्क करते हैं जब वे व्यवहार में सेट सिद्धांत लागू करते हैं। लेकिन वे हमें विवरण में नहीं जाने देते हैं, लेकिन हमें समाप्त परिणाम देते हैं - "बहुत से लोगों में पुरुषों का एक सबसेट और महिलाओं का एक सबसेट होता है।" स्वाभाविक रूप से, आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है कि उपरोक्त परिवर्तनों में गणित को सही ढंग से कैसे लागू किया जाए? मैं आपको आश्वस्त करने का साहस करता हूं कि वास्तव में परिवर्तन सही ढंग से किए गए हैं, यह अंकगणित, बूलियन बीजगणित और गणित के अन्य वर्गों के गणितीय औचित्य को जानने के लिए पर्याप्त है। यह क्या है? इसके बारे में कभी और बताऊंगा।

जहां तक ​​सुपरसेट का संबंध है, इन दो सेटों के तत्वों में मौजूद माप की एक इकाई को चुनकर दो सेटों को एक सुपरसेट में संयोजित करना संभव है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, माप की इकाइयाँ और सामान्य गणित सेट सिद्धांत को अतीत की बात बना देते हैं। एक संकेत है कि सेट थ्योरी के साथ सब ठीक नहीं है, यह है कि गणितज्ञ अपनी भाषा और सेट थ्योरी के लिए अंकन के साथ आए हैं। गणितज्ञों ने वही किया जो कभी जादूगर करते थे। केवल शेमस ही अपने "ज्ञान" को "सही ढंग से" लागू करना जानते हैं। यह "ज्ञान" वे हमें सिखाते हैं।

अंत में, मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि गणितज्ञ कैसे हेरफेर करते हैं
मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। इस दूरी को चलाने में अकिलीज़ को जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया है ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलीज़ को एक हज़ार कदम चलने में जितना समय लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (बेशक, आपको गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) . मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।
मैं एक उदाहरण के साथ प्रक्रिया दिखाऊंगा। हम "एक दाना में लाल ठोस" का चयन करते हैं - यह हमारा "संपूर्ण" है। उसी समय, हम देखते हैं कि ये चीजें धनुष के साथ हैं, और बिना धनुष के हैं। उसके बाद, हम "संपूर्ण" के एक हिस्से का चयन करते हैं और "धनुष के साथ" एक सेट बनाते हैं। इस तरह शेमस अपने सेट थ्योरी को हकीकत से बांधकर अपना पेट भरते हैं।

चलिए अब एक छोटी सी ट्रिक करते हैं। चलो "एक धनुष के साथ एक दाना में ठोस" लेते हैं और लाल तत्वों का चयन करते हुए, इन "संपूर्ण" को रंग से एकजुट करते हैं। हमें बहुत सारे "लाल" मिले। अब एक मुश्किल सवाल: क्या प्राप्त सेट "धनुष के साथ" और "लाल" एक ही सेट या दो अलग-अलग सेट हैं? इसका जवाब केवल शेमस ही जानते हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्वयं कुछ नहीं जानते हैं, लेकिन जैसा वे कहते हैं, वैसा ही हो।

यह सरल उदाहरण दिखाता है कि जब वास्तविकता की बात आती है तो सेट सिद्धांत पूरी तरह से बेकार है। क्या राज हे? हमने "एक धनुष के साथ लाल ठोस पिंपली" का एक सेट बनाया। गठन माप की चार अलग-अलग इकाइयों के अनुसार हुआ: रंग (लाल), ताकत (ठोस), खुरदरापन (एक टक्कर में), सजावट (एक धनुष के साथ)। केवल माप की इकाइयों का एक सेट गणित की भाषा में वास्तविक वस्तुओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करना संभव बनाता है. यहाँ यह कैसा दिखता है।

विभिन्न सूचकांकों के साथ "ए" अक्षर माप की विभिन्न इकाइयों को दर्शाता है। कोष्ठक में, माप की इकाइयों को हाइलाइट किया जाता है, जिसके अनुसार प्रारंभिक चरण में "संपूर्ण" आवंटित किया जाता है। माप की इकाई, जिसके अनुसार समुच्चय बनता है, कोष्ठक से निकाला जाता है। अंतिम पंक्ति अंतिम परिणाम दिखाती है - सेट का एक तत्व। जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि हम समुच्चय बनाने के लिए इकाइयों का उपयोग करते हैं, तो परिणाम हमारे कार्यों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। और यह गणित है, न कि तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य। शमां "स्पष्ट रूप से" एक ही परिणाम पर आ सकते हैं, इसे "स्पष्टता" के साथ बहस करते हुए, क्योंकि माप की इकाइयां उनके "वैज्ञानिक" शस्त्रागार में शामिल नहीं हैं।

माप की इकाइयों की मदद से एक को तोड़ना या कई सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ना बहुत आसान है। आइए इस प्रक्रिया के बीजगणित पर करीब से नज़र डालें।

व्यंजक cos (3/2 Pi) के मान की गणना के लिए कई विकल्प हैं।

पहला विकल्प। प्रयोग
यह विकल्प सबसे आसान और सरल है और इसमें यह तथ्य शामिल है कि आपको तालिका में संबंधित मानों को खोजने की आवश्यकता है।

तालिका के कई रूप हैं, जिनमें से कुछ केवल रेडियन में तर्कों का प्रतिनिधित्व करते हैं, अन्य डिग्री में, और कुछ में रेडियन और डिग्री दोनों के लिए मान होते हैं।
कभी-कभी कोसाइन के मान को अधिक आसानी से समझने के लिए कोण के मान को डिग्री में परिवर्तित करना अभी भी उपयोगी होता है। लेकिन डिग्री और रेडियन वाली तालिका का उपयोग करना मना नहीं है))।
तालिका से, हम 3 पाई / 2 से कोसाइन का मान निर्धारित करते हैं - यह 0 है।
गणित संकेतन:

दूसरा विकल्प। .
एक सुविधाजनक विकल्प यदि त्रिकोणमितीय फलनों की तालिका उपलब्ध नहीं है। यहां त्रिकोणमितीय फलन का मान त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।


x-अक्ष पर त्रिकोणमितीय वृत्त (या वृत्त) पर कोसाइन फलन के मान होते हैं।
असाइनमेंट के अनुसार, फ़ंक्शन तर्क 3 पाई / 2 है। एक वृत्त पर, यह मान सबसे नीचे y-अक्ष पर होता है। किसी दिए गए फ़ंक्शन के मान की गणना करने के लिए, आपको ऑक्स अक्ष के लंबवत को कम करना होगा, जिसके बाद हमें मान 0 मिलता है। इस प्रकार, 3 पाई / 2 की कोज्या 0 है।

तीसरा विकल्प। उपयोग।
यदि कोई तालिका नहीं है, और त्रिकोणमितीय सर्कल के साथ नेविगेट करना मुश्किल है, तो कोसाइन ग्राफ का उपयोग करना उपयोगी होता है, जिसका उपयोग मूल्य निर्धारित करने के लिए भी किया जा सकता है।

सीधे शब्दों में कहें तो ये एक खास रेसिपी के अनुसार पानी में पकाई गई सब्जियां हैं। मैं दो प्रारंभिक घटकों (सब्जी सलाद और पानी) और तैयार परिणाम - बोर्स्ट पर विचार करूंगा। ज्यामितीय रूप से, इसे एक आयत के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें एक पक्ष लेट्यूस को दर्शाता है, दूसरा पक्ष पानी को दर्शाता है। इन दोनों पक्षों का योग बोर्स्ट को निरूपित करेगा। इस तरह के "बोर्श" आयत का विकर्ण और क्षेत्र विशुद्ध रूप से गणितीय अवधारणा है और बोर्स्ट व्यंजनों में कभी भी उपयोग नहीं किया जाता है।

गणित के संदर्भ में लेट्यूस और पानी कैसे बोर्स्ट में बदल जाते हैं? दो खंडों का योग त्रिकोणमिति में कैसे बदल सकता है? इसे समझने के लिए, हमें रैखिक कोण फलन की आवश्यकता है।

आपको गणित की पाठ्यपुस्तकों में रैखिक कोण फलन के बारे में कुछ भी नहीं मिलेगा। लेकिन उनके बिना गणित नहीं हो सकता। गणित के नियम, प्रकृति के नियमों की तरह, काम करते हैं चाहे हम जानते हों कि वे मौजूद हैं या नहीं।

रैखिक कोणीय कार्य जोड़ के नियम हैं।देखें कि कैसे बीजगणित ज्यामिति में और ज्यामिति त्रिकोणमिति में बदल जाती है।

क्या रैखिक कोणीय कार्यों के बिना करना संभव है? आप कर सकते हैं, क्योंकि गणितज्ञ अभी भी उनके बिना प्रबंधन करते हैं। गणितज्ञों की चाल इस बात में निहित है कि वे हमेशा हमें केवल उन्हीं समस्याओं के बारे में बताते हैं जिन्हें वे स्वयं हल कर सकते हैं, और हमें उन समस्याओं के बारे में कभी नहीं बताते जिन्हें वे हल नहीं कर सकते। देखना। यदि हम जोड़ और एक पद का परिणाम जानते हैं, तो हम दूसरे पद को खोजने के लिए घटाव का उपयोग करते हैं। हर चीज़। हम अन्य समस्याओं को नहीं जानते हैं और हम उन्हें हल करने में सक्षम नहीं हैं। यदि हम केवल जोड़ का परिणाम जानते हैं और दोनों पदों को नहीं जानते हैं तो क्या करें? इस मामले में, जोड़ के परिणाम को रैखिक कोणीय कार्यों का उपयोग करके दो शब्दों में विघटित किया जाना चाहिए। इसके अलावा, हम स्वयं चुनते हैं कि एक शब्द क्या हो सकता है, और रैखिक कोणीय कार्य दिखाते हैं कि जोड़ के परिणाम के लिए दूसरा शब्द क्या होना चाहिए जो हमें चाहिए। ऐसे युग्मों की अनंत संख्या हो सकती है। दैनिक जीवन में हम बिना योग के बहुत अच्छा करते हैं, घटाना ही हमारे लिए काफी है। लेकिन प्रकृति के नियमों के वैज्ञानिक अध्ययन में योग का शब्दों में विस्तार बहुत उपयोगी हो सकता है।

जोड़ का एक और नियम जिसके बारे में गणितज्ञ बात करना पसंद नहीं करते (उनकी एक और चाल) के लिए माप की समान इकाई के लिए शर्तों की आवश्यकता होती है। लेट्यूस, पानी और बोर्स्ट के लिए, ये वजन, आयतन, लागत या माप की इकाई हो सकते हैं।

यह आंकड़ा गणित के लिए दो स्तरों के अंतर को दर्शाता है। पहला स्तर संख्याओं के क्षेत्र में अंतर है, जो इंगित किया गया है एक, बी, सी. गणितज्ञ यही करते हैं। दूसरा स्तर माप की इकाइयों के क्षेत्र में अंतर है, जो वर्ग कोष्ठक में दिखाया गया है और पत्र द्वारा इंगित किया गया है यू. भौतिक विज्ञानी यही करते हैं। हम तीसरे स्तर को समझ सकते हैं - वर्णित वस्तुओं के दायरे में अंतर। विभिन्न वस्तुओं में माप की समान इकाइयों की संख्या समान हो सकती है। यह कितना महत्वपूर्ण है, हम बोर्स्ट त्रिकोणमिति के उदाहरण पर देख सकते हैं। यदि हम विभिन्न वस्तुओं की माप की इकाइयों के लिए एक ही अंकन में सबस्क्रिप्ट जोड़ते हैं, तो हम कह सकते हैं कि गणितीय मात्रा किसी विशेष वस्तु का वर्णन करती है और यह समय के साथ या हमारे कार्यों के संबंध में कैसे बदलती है। पत्र वूमैं पानी को अक्षर से चिह्नित करूंगा एसमैं सलाद को पत्र के साथ चिह्नित करूंगा बी- बोर्श। यहां बताया गया है कि बोर्स्ट के लिए लीनियर एंगल फंक्शन कैसा दिखेगा।

अगर हम पानी का कुछ हिस्सा और सलाद का कुछ हिस्सा लेते हैं, तो वे एक साथ बोर्स्ट की एक सर्विंग में बदल जाएंगे। यहाँ मेरा सुझाव है कि आप बोर्स्ट से थोड़ा ब्रेक लें और अपने दूर के बचपन को याद करें। याद रखें कि कैसे हमें खरगोशों और बत्तखों को एक साथ रखना सिखाया गया था? यह पता लगाना जरूरी था कि कितने जानवर निकलेंगे। फिर हमें क्या करना सिखाया गया? हमें इकाइयों को संख्याओं से अलग करना और संख्याओं को जोड़ना सिखाया गया। हाँ, किसी भी संख्या को किसी अन्य संख्या में जोड़ा जा सकता है। यह आधुनिक गणित के आत्मकेंद्रित के लिए एक सीधा रास्ता है - हमें समझ में नहीं आता क्या, यह स्पष्ट नहीं है कि क्यों, और हम बहुत खराब तरीके से समझते हैं कि यह वास्तविकता से कैसे संबंधित है, तीन स्तरों के अंतर के कारण, गणितज्ञ केवल एक पर काम करते हैं। यह सीखना अधिक सही होगा कि माप की एक इकाई से दूसरी इकाई में कैसे जाना है।

और बन्नी, और बत्तख, और छोटे जानवर टुकड़ों में गिने जा सकते हैं। विभिन्न वस्तुओं के लिए माप की एक सामान्य इकाई हमें उन्हें एक साथ जोड़ने की अनुमति देती है। यह समस्या का बच्चों का संस्करण है। आइए वयस्कों के लिए इसी तरह की समस्या को देखें। जब आप बन्नी और पैसा जोड़ते हैं तो आपको क्या मिलता है? यहां दो संभावित समाधान हैं।

पहला विकल्प. हम खरगोशों का बाजार मूल्य निर्धारित करते हैं और इसे उपलब्ध नकदी में जोड़ते हैं। हमें अपने धन का कुल मूल्य धन के रूप में मिला।

दूसरा विकल्प. आप हमारे पास जितने बैंक नोट हैं, उनमें खरगोशों की संख्या जोड़ सकते हैं। चल संपत्ति की राशि टुकड़ों में मिलेगी।

जैसा कि आप देख सकते हैं, वही जोड़ कानून आपको अलग-अलग परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम वास्तव में क्या जानना चाहते हैं।

लेकिन वापस हमारे बोर्स्ट पर। अब हम देख सकते हैं कि रेखीय कोण फलन के कोण के विभिन्न मानों के लिए क्या होगा।

कोण शून्य है। हमारे पास सलाद है लेकिन पानी नहीं है। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा भी शून्य है। इसका मतलब यह बिल्कुल भी नहीं है कि शून्य बोर्स्ट शून्य पानी के बराबर है। जीरो बोर्श जीरो सलाद (राइट एंगल) पर भी हो सकता है।

मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से, यह इस तथ्य का मुख्य गणितीय प्रमाण है कि . शून्य जोड़े जाने पर संख्या नहीं बदलता है। इसका कारण यह है कि यदि केवल एक पद हो और दूसरा पद लुप्त हो तो योग स्वयं असंभव है। आप जैसे चाहें इससे संबंधित हो सकते हैं, लेकिन याद रखें - शून्य के साथ सभी गणितीय कार्यों का आविष्कार गणितज्ञों ने स्वयं किया था, इसलिए अपने तर्क को त्यागें और गणितज्ञों द्वारा आविष्कार की गई परिभाषाओं को मूर्खता से रट लें: "शून्य से विभाजन असंभव है", "किसी भी संख्या को शून्य से गुणा किया जाता है" बराबर शून्य", "बिंदु शून्य के पीछे" और अन्य बकवास। एक बार यह याद रखना पर्याप्त है कि शून्य एक संख्या नहीं है, और आपके पास कभी भी यह सवाल नहीं होगा कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या है या नहीं, क्योंकि ऐसा प्रश्न आम तौर पर सभी अर्थ खो देता है: कोई ऐसी संख्या पर कैसे विचार कर सकता है जो एक संख्या नहीं है। . यह पूछने जैसा है कि किसी अदृश्य रंग को किस रंग से जोड़ा जाए। किसी संख्या में शून्य जोड़ना पेंट के साथ पेंटिंग करने जैसा है जो मौजूद नहीं है। उन्होंने एक सूखा ब्रश लहराया और सभी को बताया कि "हमने पेंट किया है।" लेकिन मैं थोड़ा पीछे हटता हूं।

कोण शून्य से बड़ा है लेकिन पैंतालीस डिग्री से कम है। हमारे पास सलाद बहुत है, लेकिन थोड़ा पानी है। नतीजतन, हमें एक मोटा बोर्स्ट मिलता है।

कोण पैंतालीस डिग्री है। हमारे पास बराबर मात्रा में पानी और सलाद है। यह एकदम सही बोर्स्ट है (रसोइया मुझे माफ कर सकता है, यह सिर्फ गणित है)।

कोण पैंतालीस डिग्री से अधिक लेकिन नब्बे डिग्री से कम है। हमारे पास बहुत सारा पानी और थोड़ा सलाद है। तरल बोर्स्ट प्राप्त करें।

समकोण। हमारे पास पानी है। लेट्यूस की केवल यादें रह जाती हैं, क्योंकि हम उस रेखा से कोण को मापना जारी रखते हैं जो कभी लेट्यूस को चिह्नित करती थी। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा शून्य है। उस स्थिति में, रुकें और पानी उपलब्ध होने पर पीएं)))

यहां। कुछ इस तरह। मैं यहां अन्य कहानियां बता सकता हूं जो यहां उपयुक्त से अधिक होंगी।

दोनों दोस्तों के साझा कारोबार में उनके हिस्से थे। इनमें से एक की हत्या के बाद सब कुछ दूसरे पर चला गया।

हमारे ग्रह पर गणित का उदय।

इन सभी कहानियों को रेखीय कोणीय फलन का उपयोग करके गणित की भाषा में बताया गया है। किसी और समय मैं आपको गणित की संरचना में इन फलनों का वास्तविक स्थान दिखाऊंगा। इस बीच, आइए बोर्स्ट के त्रिकोणमिति पर लौटते हैं और अनुमानों पर विचार करते हैं।

शनिवार, 26 अक्टूबर 2019

मैंने . के बारे में एक दिलचस्प वीडियो देखा ग्रैंडी की पंक्ति एक माइनस वन प्लस वन माइनस वन - नंबरफाइल. गणितज्ञ झूठ बोलते हैं। उन्होंने अपने तर्क में समानता का परीक्षण नहीं किया।

यह मेरे तर्क के साथ प्रतिध्वनित होता है।

आइए उन संकेतों पर करीब से नज़र डालें जो गणितज्ञ हमें धोखा दे रहे हैं। तर्क की शुरुआत में, गणितज्ञ कहते हैं कि अनुक्रम का योग इस बात पर निर्भर करता है कि इसमें तत्वों की संख्या सम है या नहीं। यह एक वस्तुनिष्ठ रूप से स्थापित तथ्य है। आगे क्या होता है?

इसके बाद, गणितज्ञ अनुक्रम को एकता से घटाते हैं। इससे क्या होता है? इससे अनुक्रम में तत्वों की संख्या में परिवर्तन होता है - एक सम संख्या एक विषम संख्या में बदल जाती है, एक विषम संख्या एक सम संख्या में बदल जाती है। आखिरकार, हमने अनुक्रम में एक के बराबर एक तत्व जोड़ा है। सभी बाहरी समानता के बावजूद, परिवर्तन से पहले का क्रम परिवर्तन के बाद के क्रम के बराबर नहीं है। यहां तक ​​कि अगर हम एक अनंत अनुक्रम के बारे में बात कर रहे हैं, तो हमें यह याद रखना चाहिए कि विषम संख्या में तत्वों वाला एक अनंत अनुक्रम तत्वों की एक समान संख्या के साथ अनंत अनुक्रम के बराबर नहीं है।

तत्वों की संख्या में भिन्न दो अनुक्रमों के बीच एक समान चिह्न लगाते हुए, गणितज्ञ दावा करते हैं कि अनुक्रम का योग अनुक्रम में तत्वों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है, जो एक वस्तुनिष्ठ रूप से स्थापित तथ्य का खंडन करता है। अनंत अनुक्रम के योग के बारे में और तर्क गलत है, क्योंकि यह एक झूठी समानता पर आधारित है।

यदि आप देखते हैं कि गणितज्ञ प्रमाण के क्रम में कोष्ठक लगाते हैं, गणितीय व्यंजक के तत्वों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, कुछ जोड़ते या हटाते हैं, तो बहुत सावधान रहें, सबसे अधिक संभावना है कि वे आपको धोखा देने की कोशिश कर रहे हैं। कार्ड कंज्यूरर्स की तरह, गणितज्ञ आपका ध्यान अभिव्यक्ति के विभिन्न जोड़तोड़ के साथ हटाते हैं ताकि अंततः आपको एक गलत परिणाम मिल सके। यदि आप धोखाधड़ी के रहस्य को जाने बिना कार्ड चाल को दोहरा नहीं सकते हैं, तो गणित में सब कुछ बहुत आसान है: आपको धोखाधड़ी के बारे में कुछ भी संदेह नहीं है, लेकिन गणितीय अभिव्यक्ति के साथ सभी जोड़तोड़ को दोहराने से आप दूसरों को समझाने की अनुमति देते हैं परिणाम की शुद्धता, ठीक उसी तरह जैसे कब आपको आश्वस्त किया।

दर्शकों से प्रश्न: और अनंत (अनुक्रम S में तत्वों की संख्या के रूप में), क्या यह सम या विषम है? आप किसी ऐसी चीज की समानता कैसे बदल सकते हैं जिसमें कोई समानता नहीं है?

गणितज्ञों के लिए अनंत पुजारियों के लिए स्वर्ग के राज्य की तरह है - कोई भी कभी नहीं रहा है, लेकिन हर कोई जानता है कि वहां सब कुछ कैसे काम करता है))) मैं मानता हूं, मृत्यु के बाद आप बिल्कुल उदासीन होंगे चाहे आप एक सम या विषम संख्या में रहे। , लेकिन ... आपके जीवन की शुरुआत में सिर्फ एक दिन जोड़ने पर, हमें एक पूरी तरह से अलग व्यक्ति मिलेगा: उसका अंतिम नाम, पहला नाम और मध्य नाम बिल्कुल समान है, केवल जन्म की तारीख पूरी तरह से अलग है - वह एक पैदा हुआ था आपके सामने का दिन।

और अब इस बिंदु पर)) मान लीजिए कि एक परिमित अनुक्रम जिसमें समता है, अनंत में जाने पर इस समता को खो देता है। फिर अनंत अनुक्रम के किसी भी परिमित खंड को भी समता खोना चाहिए। हम इसका पालन नहीं करते हैं। तथ्य यह है कि हम निश्चित रूप से यह नहीं कह सकते कि अनंत अनुक्रम में तत्वों की संख्या सम या विषम है, इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि समता गायब हो गई है। समता, यदि यह मौजूद है, तो बिना किसी निशान के अनंत में गायब नहीं हो सकती, जैसा कि एक कार्ड तेज की आस्तीन में होता है। इस मामले के लिए एक बहुत अच्छा सादृश्य है।

क्या आपने कभी घड़ी में बैठी कोयल से पूछा है कि घड़ी का हाथ किस दिशा में घूमता है? उसके लिए, तीर विपरीत दिशा में घूमता है जिसे हम "घड़ी की दिशा" कहते हैं। यह विरोधाभासी लग सकता है, लेकिन रोटेशन की दिशा पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करती है कि हम किस तरफ से रोटेशन का निरीक्षण करते हैं। और इसलिए, हमारे पास एक पहिया है जो घूमता है। हम यह नहीं कह सकते कि घूर्णन किस दिशा में होता है, क्योंकि हम इसे घूर्णन तल के एक तरफ से और दूसरी तरफ से देख सकते हैं। हम केवल इस तथ्य की गवाही दे सकते हैं कि घूर्णन है। अनंत अनुक्रम की समता के साथ पूर्ण सादृश्य एस.

अब हम एक दूसरा घूर्णन पहिया जोड़ते हैं, जिसका घूर्णन तल पहले घूर्णन चक्र के घूर्णन तल के समांतर है। हम अभी भी यह नहीं बता सकते कि ये पहिये किस दिशा में घूम रहे हैं, लेकिन हम पूर्ण निश्चितता के साथ बता सकते हैं कि दोनों पहिए एक ही दिशा में घूम रहे हैं या विपरीत दिशाओं में। दो अनंत अनुक्रमों की तुलना एसतथा 1-एस, मैंने गणित की सहायता से दिखाया कि इन अनुक्रमों में अलग-अलग समानता है और उनके बीच एक समान चिन्ह लगाना एक गलती है। व्यक्तिगत रूप से, मैं गणित में विश्वास करता हूं, मुझे गणितज्ञों पर भरोसा नहीं है)) वैसे, अनंत अनुक्रमों के परिवर्तनों की ज्यामिति को पूरी तरह से समझने के लिए, अवधारणा को पेश करना आवश्यक है "एक साथ". इसे ड्रा करना होगा।

बुधवार, अगस्त 7, 2019

के बारे में बातचीत को समाप्त करते हुए, हमें एक अनंत सेट पर विचार करने की आवश्यकता है। इसमें दिया गया है कि "अनंत" की अवधारणा गणितज्ञों पर काम करती है, जैसे खरगोश पर बोआ कंस्ट्रिक्टर। अनंत की थरथराती भयावहता गणितज्ञों को सामान्य ज्ञान से वंचित करती है। यहाँ एक उदाहरण है:

मूल स्रोत स्थित है। अल्फा एक वास्तविक संख्या को दर्शाता है। उपरोक्त भावों में समान चिन्ह यह दर्शाता है कि यदि आप अनंत में एक संख्या या अनंत जोड़ते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, परिणाम वही अनंत होगा। यदि हम एक उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट लेते हैं, तो विचार किए गए उदाहरणों को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

अपने मामले को स्पष्ट रूप से साबित करने के लिए, गणितज्ञ कई अलग-अलग तरीकों से आए हैं। व्यक्तिगत रूप से, मैं इन सभी विधियों को तंबूरा के साथ शेमस के नृत्य के रूप में देखता हूं। संक्षेप में, वे सभी इस तथ्य पर नीचे आते हैं कि या तो कुछ कमरों पर कब्जा नहीं है और उनमें नए मेहमान बसे हैं, या कि कुछ आगंतुकों को मेहमानों के लिए जगह बनाने के लिए गलियारे में फेंक दिया जाता है (बहुत मानवीय)। मैंने ऐसे फैसलों पर अपने विचार गोरे लोगों के बारे में एक शानदार कहानी के रूप में प्रस्तुत किए। मेरा तर्क किस पर आधारित है? असीमित संख्या में आगंतुकों को स्थानांतरित करने में अनंत समय लगता है। पहले अतिथि कक्ष को खाली करने के बाद, आगंतुकों में से एक हमेशा गलियारे के साथ अपने कमरे से अगले कमरे तक समय के अंत तक चलेगा। बेशक, समय कारक को मूर्खता से अनदेखा किया जा सकता है, लेकिन यह पहले से ही "मूर्खों के लिए कानून नहीं लिखा गया है" की श्रेणी से होगा। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम क्या कर रहे हैं: वास्तविकता को गणितीय सिद्धांतों के साथ समायोजित करना या इसके विपरीत।

एक "अनंत होटल" क्या है? एक इन्फिनिटी सराय एक सराय है जिसमें हमेशा कितनी भी रिक्तियाँ होती हैं, चाहे कितने भी कमरे हों। यदि "आगंतुकों के लिए" अंतहीन दालान के सभी कमरों पर कब्जा कर लिया गया है, तो "मेहमानों" के लिए कमरों के साथ एक और अंतहीन दालान है। ऐसे गलियारों की अनंत संख्या होगी। साथ ही, "अनंत होटल" में अनंत संख्या में देवताओं द्वारा बनाए गए अनंत ब्रह्मांडों में अनंत ग्रहों पर अनंत संख्या में इमारतों में अनंत मंजिलें हैं। दूसरी ओर, गणितज्ञ साधारण रोजमर्रा की समस्याओं से दूर नहीं जा पा रहे हैं: भगवान-अल्लाह-बुद्ध हमेशा एक ही हैं, होटल एक है, गलियारा एक है। इसलिए गणितज्ञ होटल के कमरों की क्रम संख्या को हथकंडा करने की कोशिश कर रहे हैं, हमें विश्वास दिलाते हैं कि "बिना धक्का" संभव है।

मैं प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट के उदाहरण का उपयोग करके आपको अपने तर्क का तर्क दिखाऊंगा। सबसे पहले आपको एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट मौजूद हैं - एक या कई? इस प्रश्न का कोई सही उत्तर नहीं है, क्योंकि हमने स्वयं संख्याओं का आविष्कार किया है, प्रकृति में कोई संख्या नहीं है। हां, प्रकृति पूरी तरह से गिनना जानती है, लेकिन इसके लिए वह अन्य गणितीय उपकरणों का उपयोग करती है जो हमें परिचित नहीं हैं। जैसा प्रकृति सोचती है, मैं आपको दूसरी बार बताऊंगा। चूंकि हमने संख्याओं का आविष्कार किया है, इसलिए हम स्वयं तय करेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट मौजूद हैं। दोनों विकल्पों पर विचार करें, जैसा कि एक वास्तविक वैज्ञानिक के लिए उपयुक्त है।

विकल्प एक। "आइए हमें दिया जाए" प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट, जो शांति से एक शेल्फ पर स्थित है। हम इस सेट को शेल्फ से लेते हैं। बस इतना ही, शेल्फ पर कोई अन्य प्राकृतिक संख्याएँ नहीं बची हैं और उन्हें लेने के लिए कहीं नहीं है। हम इस सेट में एक नहीं जोड़ सकते, क्योंकि हमारे पास यह पहले से ही है। क्या होगा यदि आप वास्तव में चाहते हैं? कोई बात नहीं। हम पहले से लिए गए सेट से एक इकाई ले सकते हैं और इसे शेल्फ पर वापस कर सकते हैं। उसके बाद, हम शेल्फ से एक इकाई ले सकते हैं और जो बचा है उसमें जोड़ सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें फिर से प्राकृत संख्याओं का अनंत समुच्चय प्राप्त होता है। आप हमारे सभी जोड़तोड़ इस तरह लिख सकते हैं:

मैंने समुच्चय के तत्वों को विस्तार से सूचीबद्ध करते हुए, बीजगणितीय संकेतन और सेट सिद्धांत संकेतन में संचालन को लिखा है। सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं का एक और केवल सेट है। यह पता चला है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय केवल तभी अपरिवर्तित रहेगा जब उसमें से एक घटाया जाए और वही जोड़ा जाए।

विकल्प दो। शेल्फ पर हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं के कई अलग-अलग अनंत सेट हैं। मैं जोर देता हूं - अलग, इस तथ्य के बावजूद कि वे व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य हैं। हम इनमें से एक सेट लेते हैं। फिर हम प्राकृत संख्याओं के दूसरे समुच्चय से एक लेते हैं और उस समुच्चय में जोड़ते हैं जो हम पहले ही ले चुके हैं। हम प्राकृत संख्याओं के दो समुच्चय भी जोड़ सकते हैं। यहाँ हमें क्या मिलता है:

सबस्क्रिप्ट "एक" और "दो" इंगित करते हैं कि ये तत्व अलग-अलग सेट से संबंधित थे। हाँ, यदि आप एक को अनंत समुच्चय में जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक अनंत समुच्चय होगा, लेकिन यह मूल समुच्चय के समान नहीं होगा। यदि एक अनंत समुच्चय को दूसरे अनंत समुच्चय में जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक नया अनंत समुच्चय होता है जिसमें पहले दो समुच्चय के तत्व होते हैं।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का उपयोग उसी प्रकार गिनने के लिए किया जाता है जैसे मापन के लिए रूलर का होता है। अब कल्पना कीजिए कि आपने रूलर में एक सेंटीमीटर जोड़ दिया है। यह पहले से ही एक अलग लाइन होगी, मूल के बराबर नहीं।

आप मेरे तर्क को स्वीकार करें या न करें - यह आपका अपना व्यवसाय है। लेकिन अगर आप कभी भी गणितीय समस्याओं में भाग लेते हैं, तो सोचें कि क्या आप झूठे तर्क के रास्ते पर हैं, गणितज्ञों की पीढ़ियों द्वारा रौंदा गया है। आखिरकार, गणित की कक्षाएं, सबसे पहले, हम में सोच का एक स्थिर स्टीरियोटाइप बनाती हैं, और उसके बाद ही वे हमारे लिए मानसिक क्षमताओं को जोड़ते हैं (या इसके विपरीत, वे हमें स्वतंत्र सोच से वंचित करते हैं)।

pozg.ru

रविवार, 4 अगस्त 2019

मैं एक लेख के बारे में एक पोस्टस्क्रिप्ट लिख रहा था और विकिपीडिया पर इस अद्भुत पाठ को देखा:

हम पढ़ते हैं: "... बेबीलोन के गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में एक समग्र चरित्र नहीं था और यह असमान तकनीकों के एक समूह में सिमट गया था, एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित।"

बहुत खूब! हम कितने होशियार हैं और दूसरों की कमियों को हम कितनी अच्छी तरह देख सकते हैं। क्या आधुनिक गणित को उसी संदर्भ में देखना हमारे लिए कमजोर है? उपरोक्त पाठ को थोड़ा सा समझाते हुए, व्यक्तिगत रूप से मुझे निम्नलिखित मिला:

आधुनिक गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार का एक समग्र चरित्र नहीं है और यह एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान वर्गों के एक समूह में सिमट गया है।

मैं अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए दूर नहीं जाऊंगा - इसकी एक भाषा और परंपराएं हैं जो गणित की कई अन्य शाखाओं की भाषा और परंपराओं से अलग हैं। गणित की विभिन्न शाखाओं में एक ही नाम के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। मैं आधुनिक गणित की सबसे स्पष्ट भूलों के लिए प्रकाशनों का एक पूरा चक्र समर्पित करना चाहता हूं। जल्दी मिलते हैं।

शनिवार, 3 अगस्त 2019

सेट को सबसेट में कैसे विभाजित करें? ऐसा करने के लिए, आपको माप की एक नई इकाई दर्ज करनी होगी, जो चयनित सेट के कुछ तत्वों में मौजूद है। एक उदाहरण पर विचार करें।

क्या हमारे पास बहुत से हैं लेकिनचार लोगों से मिलकर। यह सेट "लोगों" के आधार पर बनता है आइए इस सेट के तत्वों को पत्र के माध्यम से नामित करें एक, एक संख्या के साथ सबस्क्रिप्ट इस सेट में प्रत्येक व्यक्ति की क्रमिक संख्या को इंगित करेगा। आइए माप की एक नई इकाई "यौन विशेषता" का परिचय दें और इसे अक्षर द्वारा निरूपित करें बी. चूंकि सभी लोगों में यौन विशेषताएं निहित हैं, इसलिए हम सेट के प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं लेकिनलिंग पर बी. ध्यान दें कि हमारा "लोग" सेट अब "लिंग वाले लोग" सेट बन गया है। उसके बाद, हम यौन विशेषताओं को पुरुष में विभाजित कर सकते हैं बी.एम.और महिलाओं का बीडब्ल्यूईलिंग विशेषताओं। अब हम गणितीय फ़िल्टर लागू कर सकते हैं: हम इनमें से किसी एक यौन विशेषता का चयन करते हैं, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि कौन सा पुरुष या महिला है। यदि यह किसी व्यक्ति में मौजूद है, तो हम इसे एक से गुणा करते हैं, यदि ऐसा कोई चिन्ह नहीं है, तो हम इसे शून्य से गुणा करते हैं। और फिर हम सामान्य स्कूली गणित को लागू करते हैं। देखिए क्या हुआ।

गुणा, कटौती और पुनर्व्यवस्था के बाद, हमें दो उपसमुच्चय प्राप्त हुए: पुरुष उपसमुच्चय बी.एम.और महिलाओं का एक सबसेट बीडब्ल्यूई. लगभग उसी तरह गणितज्ञ तर्क करते हैं जब वे व्यवहार में सेट सिद्धांत लागू करते हैं। लेकिन वे हमें विवरण में नहीं जाने देते हैं, लेकिन हमें समाप्त परिणाम देते हैं - "बहुत से लोगों में पुरुषों का एक सबसेट और महिलाओं का एक सबसेट होता है।" स्वाभाविक रूप से, आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है कि उपरोक्त परिवर्तनों में गणित को सही ढंग से कैसे लागू किया जाए? मैं आपको आश्वस्त करने का साहस करता हूं कि वास्तव में परिवर्तन सही ढंग से किए गए हैं, यह अंकगणित, बूलियन बीजगणित और गणित के अन्य वर्गों के गणितीय औचित्य को जानने के लिए पर्याप्त है। यह क्या है? इसके बारे में कभी और बताऊंगा।

जहां तक ​​सुपरसेट का संबंध है, इन दो सेटों के तत्वों में मौजूद माप की एक इकाई को चुनकर दो सेटों को एक सुपरसेट में संयोजित करना संभव है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, माप की इकाइयाँ और सामान्य गणित सेट सिद्धांत को अतीत की बात बना देते हैं। एक संकेत है कि सेट थ्योरी के साथ सब ठीक नहीं है, यह है कि गणितज्ञ अपनी भाषा और सेट थ्योरी के लिए अंकन के साथ आए हैं। गणितज्ञों ने वही किया जो कभी जादूगर करते थे। केवल शेमस ही अपने "ज्ञान" को "सही ढंग से" लागू करना जानते हैं। यह "ज्ञान" वे हमें सिखाते हैं।

अंत में, मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि गणितज्ञ कैसे हेरफेर करते हैं
मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। इस दूरी को चलाने में अकिलीज़ को जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया है ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलीज़ को एक हज़ार कदम चलने में जितना समय लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (बेशक, आपको गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) . मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।
मैं एक उदाहरण के साथ प्रक्रिया दिखाऊंगा। हम "एक दाना में लाल ठोस" का चयन करते हैं - यह हमारा "संपूर्ण" है। उसी समय, हम देखते हैं कि ये चीजें धनुष के साथ हैं, और बिना धनुष के हैं। उसके बाद, हम "संपूर्ण" के एक हिस्से का चयन करते हैं और "धनुष के साथ" एक सेट बनाते हैं। इस तरह शेमस अपने सेट थ्योरी को हकीकत से बांधकर अपना पेट भरते हैं।

चलिए अब एक छोटी सी ट्रिक करते हैं। चलो "एक धनुष के साथ एक दाना में ठोस" लेते हैं और लाल तत्वों का चयन करते हुए, इन "संपूर्ण" को रंग से एकजुट करते हैं। हमें बहुत सारे "लाल" मिले। अब एक मुश्किल सवाल: क्या प्राप्त सेट "धनुष के साथ" और "लाल" एक ही सेट या दो अलग-अलग सेट हैं? इसका जवाब केवल शेमस ही जानते हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्वयं कुछ नहीं जानते हैं, लेकिन जैसा वे कहते हैं, वैसा ही हो।

यह सरल उदाहरण दिखाता है कि जब वास्तविकता की बात आती है तो सेट सिद्धांत पूरी तरह से बेकार है। क्या राज हे? हमने "एक धनुष के साथ लाल ठोस पिंपली" का एक सेट बनाया। गठन माप की चार अलग-अलग इकाइयों के अनुसार हुआ: रंग (लाल), ताकत (ठोस), खुरदरापन (एक टक्कर में), सजावट (एक धनुष के साथ)। केवल माप की इकाइयों का एक सेट गणित की भाषा में वास्तविक वस्तुओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करना संभव बनाता है. यहाँ यह कैसा दिखता है।

विभिन्न सूचकांकों के साथ "ए" अक्षर माप की विभिन्न इकाइयों को दर्शाता है। कोष्ठक में, माप की इकाइयों को हाइलाइट किया जाता है, जिसके अनुसार प्रारंभिक चरण में "संपूर्ण" आवंटित किया जाता है। माप की इकाई, जिसके अनुसार समुच्चय बनता है, कोष्ठक से निकाला जाता है। अंतिम पंक्ति अंतिम परिणाम दिखाती है - सेट का एक तत्व। जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि हम समुच्चय बनाने के लिए इकाइयों का उपयोग करते हैं, तो परिणाम हमारे कार्यों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। और यह गणित है, न कि तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य। शमां "स्पष्ट रूप से" एक ही परिणाम पर आ सकते हैं, इसे "स्पष्टता" के साथ बहस करते हुए, क्योंकि माप की इकाइयां उनके "वैज्ञानिक" शस्त्रागार में शामिल नहीं हैं।

माप की इकाइयों की मदद से एक को तोड़ना या कई सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ना बहुत आसान है। आइए इस प्रक्रिया के बीजगणित पर करीब से नज़र डालें।