एक ज्यामितीय प्रगति एक नए प्रकार का संख्या अनुक्रम है जिससे हमें परिचित होना है। एक सफल परिचित के लिए, कम से कम जानने और समझने में कोई दिक्कत नहीं होती है। तब ज्यामितीय प्रगति में कोई समस्या नहीं होगी।)

एक ज्यामितीय प्रगति क्या है? ज्यामितीय प्रगति की अवधारणा।

हम दौरे की शुरुआत, हमेशा की तरह, प्राथमिक के साथ करते हैं। मैं संख्याओं का अधूरा क्रम लिखता हूँ:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

क्या आप एक पैटर्न पकड़ सकते हैं और बता सकते हैं कि कौन सी संख्याएं आगे बढ़ेंगी? काली मिर्च साफ है, संख्या 100000, 1000000 और आगे भी जाएगी। बहुत अधिक मानसिक तनाव के बिना भी, सब कुछ स्पष्ट है, है ना?)

ठीक है। एक और उदाहरण। मैं निम्नलिखित अनुक्रम लिखता हूं:

1, 2, 4, 8, 16, …

क्या आप बता सकते हैं कि 16 नंबर और नाम के बाद कौन सी संख्याएं आगे बढ़ेंगी? आठवाँअनुक्रम सदस्य? अगर आपको लगा कि यह 128 नंबर होगा, तो बहुत अच्छा है। तो आधी लड़ाई समझ में है अर्थऔर प्रमुख बिंदुज्यामितीय प्रगति पहले ही हो चुकी है। आप आगे बढ़ सकते हैं।)

और अब हम फिर से संवेदनाओं से कठोर गणित की ओर मुड़ते हैं।

ज्यामितीय प्रगति के प्रमुख क्षण।

महत्वपूर्ण क्षण #1

ज्यामितीय प्रगति है संख्याओं का क्रम।प्रगति के रूप में है। कुछ भी पेचीदा नहीं। बस इस क्रम को व्यवस्थित किया अलग ढंग से।इसलिए, निश्चित रूप से, इसका एक और नाम है, हाँ ...

महत्वपूर्ण क्षण #2

दूसरे मुख्य बिंदु के साथ, प्रश्न अधिक कठिन होगा। आइए थोड़ा पीछे चलते हैं और एक अंकगणितीय प्रगति की प्रमुख संपत्ति को याद करते हैं। यह रहा: प्रत्येक सदस्य पिछले एक से अलग है उसी राशि से।

क्या ज्यामितीय प्रगति के लिए एक समान महत्वपूर्ण संपत्ति तैयार करना संभव है? ज़रा सोचिए... दिए गए उदाहरणों पर एक नज़र डालिए। अनुमान लगाया? हां! एक ज्यामितीय प्रगति में (कोई भी!) इसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक से भिन्न होता है एक ही संख्या में बार।हमेशा!

पहले उदाहरण में, यह संख्या दस है। आप अनुक्रम का जो भी पद लेते हैं, वह पिछले वाले से बड़ा होता है दस गुना।

दूसरे उदाहरण में, यह एक दो है: प्रत्येक सदस्य पिछले एक से बड़ा है। दो बार।

यह इस महत्वपूर्ण बिंदु में है कि ज्यामितीय प्रगति अंकगणित से भिन्न होती है। एक समान्तर श्रेणी में, प्रत्येक अगला पद प्राप्त होता है जोड़नेपिछले कार्यकाल के समान मूल्य का। और यहाँ - गुणाउसी राशि से पिछला कार्यकाल। यही अंतर है।)

महत्वपूर्ण क्षण #3

यह मुख्य बिंदु अंकगणितीय प्रगति के लिए पूरी तरह से समान है। अर्थात्: ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य अपने स्थान पर है।सब कुछ ठीक वैसा ही है जैसा कि अंकगणितीय प्रगति और टिप्पणियों में, मुझे लगता है, अनावश्यक हैं। पहला पद है, एक सौ और पहला है, इत्यादि। आइए कम से कम दो सदस्यों को पुनर्व्यवस्थित करें - पैटर्न (और इसके साथ ज्यामितीय प्रगति) गायब हो जाएगा। जो बचता है वह बिना किसी तर्क के केवल संख्याओं का एक क्रम है।

बस इतना ही। यही ज्यामितीय प्रगति का पूरा बिंदु है।

शर्तें और पदनाम।

और अब, ज्यामितीय प्रगति के अर्थ और प्रमुख बिंदुओं से निपटने के बाद, हम सिद्धांत पर आगे बढ़ सकते हैं। अन्यथा, अर्थ समझे बिना सिद्धांत क्या है, है ना?

एक ज्यामितीय प्रगति क्या है?

एक ज्यामितीय प्रगति को सामान्य शब्दों में कैसे लिखा जाता है? कोई बात नहीं! प्रगति के प्रत्येक सदस्य को एक पत्र के रूप में भी लिखा जाता है। केवल अंकगणितीय प्रगति के लिए, आमतौर पर अक्षर का प्रयोग किया जाता है "ए", ज्यामितीय के लिए - अक्षर "बी"। सदस्य संख्या, हमेशा की तरह, इंगित किया गया है निचला दायां सूचकांक. प्रगति के सदस्यों को केवल अल्पविराम या अर्धविराम से अलग करके सूचीबद्ध किया जाता है।

ऐशे ही:

बी1,बी 2 , बी 3 , बी 4 , बी 5 , बी 6 , …

संक्षेप में, ऐसी प्रगति इस प्रकार लिखी जाती है: (बी नहीं) .

या इस तरह, सीमित प्रगति के लिए:

बी 1, बी 2, बी 3, बी 4, बी 5, बी 6।

बी 1, बी 2, ..., बी 29, बी 30।

या, संक्षेप में:

(बी नहीं), एन=30 .

वह, वास्तव में, सभी पदनाम हैं। सब कुछ समान है, केवल अक्षर अलग है, हाँ।) और अब हम सीधे परिभाषा पर जाते हैं।

एक ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा।

एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद गैर-शून्य है, और प्रत्येक बाद का पद उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किए गए पिछले पद के बराबर है।

यही पूरी परिभाषा है। अधिकांश शब्द और वाक्यांश आपके लिए स्पष्ट और परिचित हैं। जब तक, निश्चित रूप से, आप "उंगलियों पर" और सामान्य रूप से एक ज्यामितीय प्रगति का अर्थ नहीं समझते हैं। लेकिन कुछ नए वाक्यांश भी हैं जिन पर मैं विशेष ध्यान आकर्षित करना चाहूंगा।

सबसे पहले, शब्द: "जिसका पहला कार्यकाल शून्य से अलग".

पहले कार्यकाल पर यह प्रतिबंध संयोग से नहीं लगाया गया था। आपको क्या लगता है अगर पहला टर्म बी 1 शून्य हो जाता है? यदि प्रत्येक पद पिछले पद से बड़ा है तो दूसरा पद क्या होगा? एक ही संख्या में बार?चलो तीन बार कहते हैं? आइए देखते हैं... पहले पद (अर्थात 0) को 3 से गुणा करें और प्राप्त करें... शून्य! और तीसरा सदस्य? शून्य भी! और चौथा पद भी शून्य है! आदि…

हमें बस बैगेल का एक बैग शून्य का एक क्रम मिलता है:

0, 0, 0, 0, …

बेशक, इस तरह के अनुक्रम को जीवन का अधिकार है, लेकिन यह व्यावहारिक हित का नहीं है। सब कुछ इतना स्पष्ट है। इसका कोई भी सदस्य शून्य है। सदस्यों की किसी भी संख्या का योग भी शून्य होता है... आप इससे क्या दिलचस्प बातें कर सकते हैं? कुछ नहीं…

निम्नलिखित कीवर्ड: "एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा"।

इसी अंक का अपना एक विशेष नाम भी है - एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक. आइए डेटिंग शुरू करें।)

एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक।

सब कुछ सरल है।

एक ज्यामितीय प्रगति का हर एक गैर-शून्य संख्या (या मान) है जो दर्शाता हैकितनी बारप्रगति के प्रत्येक सदस्य पिछले एक से अधिक।

फिर से, अंकगणितीय प्रगति के अनुरूप, इस परिभाषा में ध्यान देने वाला मुख्य शब्द शब्द है "अधिक". इसका अर्थ है कि ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है गुणाइसी भाजक को पिछला सदस्य।

मैंने समझाया।

गणना करने के लिए, मान लें दूसरासदस्य लेने के लिए प्रथमसदस्य और गुणायह भाजक को। गणना के लिए दसवांसदस्य लेने के लिए नौवांसदस्य और गुणायह भाजक को।

ज्यामितीय प्रगति का भाजक स्वयं कुछ भी हो सकता है। बिल्कुल कोई! पूर्णांक, भिन्नात्मक, धनात्मक, ऋणात्मक, अपरिमेय - सभी। शून्य को छोड़कर। परिभाषा में "गैर-शून्य" शब्द हमें इसके बारे में बताता है। यहाँ इस शब्द की आवश्यकता क्यों है - उस पर और बाद में।

एक ज्यामितीय प्रगति का भाजकआमतौर पर एक पत्र द्वारा दर्शाया जाता है क्यू.

इसे कैसे खोजें क्यू? कोई बात नहीं! हमें प्रगति की कोई भी अवधि लेनी चाहिए और पिछले पद से विभाजित करें. डिवीजन is अंश. इसलिए नाम - "प्रगति का भाजक।" भाजक, यह आमतौर पर एक अंश में बैठता है, हाँ ...) हालांकि, तार्किक रूप से, मान क्यूबुलाया जाना चाहिए निजीज्यामितीय प्रगति, के समान अंतरएक अंकगणितीय प्रगति के लिए। लेकिन कॉल करने के लिए राजी हो गया भाजक. और हम पहिए को फिर से नहीं खोजेंगे।)

आइए हम परिभाषित करें, उदाहरण के लिए, मान क्यूइस ज्यामितीय प्रगति के लिए:

2, 6, 18, 54, …

सब कुछ प्राथमिक है। हम लेते हैं कोई भीक्रम संख्या। हम जो चाहते हैं वही हम लेते हैं। पहले वाले को छोड़कर। उदाहरण के लिए, 18. और द्वारा विभाजित करें पिछली संख्या. यानी 6 बजे।

हम पाते हैं:

क्यू = 18/6 = 3

बस इतना ही। यह सही जवाब है। दी गई ज्यामितीय प्रगति के लिए, हर तीन है।

आइए हर का पता लगाएं क्यूएक और ज्यामितीय प्रगति के लिए। उदाहरण के लिए, इस तरह:

1, -2, 4, -8, 16, …

सब एक जैसे। सदस्यों के पास जो भी संकेत हैं, हम अभी भी लेते हैं कोई भीअनुक्रम संख्या (उदाहरण के लिए, 16) और द्वारा विभाजित करें पिछली संख्या(यानी -8)।

हम पाते हैं:

डी = 16/(-8) = -2

और बस।) इस बार प्रगति का हर नकारात्मक निकला। माइनस टू। हो जाता है।)

आइए इस प्रगति को लें:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

और फिर, अनुक्रम में संख्याओं के प्रकार की परवाह किए बिना (यहां तक ​​​​कि पूर्णांक, यहां तक ​​\u200b\u200bकि आंशिक, यहां तक ​​\u200b\u200bकि नकारात्मक, यहां तक ​​​​कि अपरिमेय), हम कोई भी संख्या लेते हैं (उदाहरण के लिए, 1/9) और पिछली संख्या (1/3) से विभाजित करते हैं। अंशों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार, बिल्कुल।

हम पाते हैं:

बस इतना ही।) यहाँ भाजक भिन्नात्मक निकला: क्यू = 1/3.

लेकिन आप जैसी "प्रगति"?

3, 3, 3, 3, 3, …

जाहिर है यहाँ क्यू = 1 . औपचारिक रूप से, यह भी एक ज्यामितीय प्रगति है, केवल के साथ वही सदस्य।) लेकिन इस तरह की प्रगति अध्ययन और व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए दिलचस्प नहीं है। ठोस शून्य के साथ प्रगति की तरह। इसलिए, हम उन पर विचार नहीं करेंगे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रगति का हर कुछ भी हो सकता है - पूर्णांक, भिन्नात्मक, सकारात्मक, नकारात्मक - कुछ भी! यह सिर्फ शून्य नहीं हो सकता। अनुमान नहीं लगाया क्यों?

खैर, आइए कुछ विशिष्ट उदाहरण देखें, यदि हम हर के रूप में लेते हैं तो क्या होगा क्यूशून्य।) आइए, उदाहरण के लिए, है बी 1 = 2 , ए क्यू = 0 . तब दूसरा कार्यकाल क्या होगा?

हमें यकीन है:

बी 2 = बी 1 · क्यू= 2 0 = 0

और तीसरा सदस्य?

बी 3 = बी 2 · क्यू= 0 0 = 0

ज्यामितीय प्रगति के प्रकार और व्यवहार।

सब कुछ कमोबेश स्पष्ट था: यदि प्रगति में अंतर है डीसकारात्मक है, प्रगति बढ़ रही है। यदि अंतर ऋणात्मक है, तो प्रगति कम हो जाती है। केवल दो विकल्प हैं। कोई तीसरा नहीं है।)

लेकिन एक ज्यामितीय प्रगति के व्यवहार के साथ, सब कुछ बहुत अधिक रोचक और विविध होगा!)

जैसे ही सदस्य यहां व्यवहार करते हैं: वे बढ़ते और घटते हैं, और अनिश्चित काल तक शून्य पर पहुंचते हैं, और यहां तक ​​​​कि संकेत भी बदलते हैं, बारी-बारी से या तो "प्लस" या "माइनस" की ओर भागते हैं! और इस सारी विविधता को अच्छी तरह से समझने में सक्षम होना चाहिए, हाँ...

हम समझते हैं?) आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें।

हर सकारात्मक है ( क्यू >0)

एक सकारात्मक हर के साथ, सबसे पहले, एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य जा सकते हैं प्लस इन्फिनिटी(अर्थात अनिश्चित काल के लिए वृद्धि) और में जा सकते हैं माइनस इन्फिनिटी(यानी अनिश्चित काल के लिए कमी)। हम पहले से ही प्रगति के ऐसे व्यवहार के अभ्यस्त हो चुके हैं।

उदाहरण के लिए:

(बी नहीं): 1, 2, 4, 8, 16, …

यहाँ सब कुछ सरल है। प्रगति का प्रत्येक सदस्य है पिछले से अधिक. और प्रत्येक सदस्य को मिलता है गुणापिछले सदस्य सकारात्मकसंख्या +2 (अर्थात क्यू = 2 ) इस तरह की प्रगति का व्यवहार स्पष्ट है: प्रगति के सभी सदस्य अंतरिक्ष में जाकर अनिश्चित काल तक बढ़ते हैं। प्लस अनंत...

अब यहाँ प्रगति है:

(बी नहीं): -1, -2, -4, -8, -16, …

यहाँ भी, प्रगती का प्रत्येक पद प्राप्त होता है गुणापिछले सदस्य सकारात्मकसंख्या +2। लेकिन इस तरह की प्रगति का व्यवहार पहले से ही सीधे विपरीत है: प्रगति के प्रत्येक सदस्य को प्राप्त होता है पिछले से कम, और इसके सभी पद अनिश्चित काल के लिए कम हो जाते हैं, शून्य से अनंत तक जा रहे हैं।

अब आइए सोचें: इन दोनों प्रगतियों में क्या समानता है? यह सही है, भाजक! इधर - उधर क्यू = +2 . सकारात्मक संख्या।ड्यूस। और यहाँ व्यवहारये दो प्रगति मौलिक रूप से भिन्न हैं! अनुमान नहीं लगाया क्यों? हां! यह इस बारे में है पहला सदस्य!यह वह है, जैसा कि वे कहते हैं, जो संगीत का आदेश देता है।) अपने लिए देखें।

पहले मामले में, प्रगति का पहला पद सकारात्मक(+1) और, इसलिए, बाद के सभी पदों को से गुणा करके प्राप्त किया जाता है सकारात्मकभाजक क्यू = +2 , भी करुंगा सकारात्मक।

लेकिन दूसरे मामले में, पहला पद नकारात्मक(-एक)। इसलिए, प्रगति के बाद के सभी सदस्यों को से गुणा करके प्राप्त किया जाता है सकारात्मक क्यू = +2 , भी प्राप्त होगा नकारात्मक।"माइनस" से "प्लस" के लिए हमेशा "माइनस" देता है, हाँ।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक अंकगणितीय प्रगति के विपरीत, एक ज्यामितीय प्रगति पूरी तरह से अलग तरीके से व्यवहार कर सकती है, न केवल निर्भर करता है हर सेक्यू, लेकिन यह भी निर्भर करता है पहले सदस्य से, हां।)

याद रखें: ज्यामितीय प्रगति का व्यवहार विशिष्ट रूप से उसके पहले सदस्य द्वारा निर्धारित किया जाता है बी 1 और हरक्यू .

और अब हम कम परिचित, लेकिन बहुत अधिक दिलचस्प मामलों का विश्लेषण शुरू करते हैं!

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अनुक्रम लें:

(बी नहीं): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

यह क्रम भी एक ज्यामितीय प्रगति है! इस प्रगति के प्रत्येक सदस्य को भी प्राप्त होता है गुणापिछले शब्द, उसी संख्या से। केवल संख्या है भिन्नात्मक: क्यू = +1/2 . या +0,5 . और (महत्वपूर्ण!) संख्या, छोटा वाला:क्यू = 1/2<1.

इस ज्यामितीय प्रगति के बारे में क्या दिलचस्प है? इसके सदस्य कहां जा रहे हैं? आइए एक नजर डालते हैं:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

यहाँ क्या दिलचस्प है? सबसे पहले, प्रगति के सदस्यों में कमी तुरंत हड़ताली है: इसके प्रत्येक सदस्य छोटेपिछले बिल्कुल 2 बार।या, एक ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक पद अधिकपहले का 1/2 बार, क्योंकि प्रगति भाजक क्यू = 1/2 . और एक से कम धनात्मक संख्या से गुणा करने पर, परिणाम आमतौर पर घट जाता है, हाँ ...

क्या अधिकइस प्रगति के व्यवहार में देखा जा सकता है? क्या इसके सदस्य गायब हो जाते हैं? असीमित, माइनस इनफिनिटी में जा रहे हैं? नहीं! वे एक विशेष तरीके से गायब हो जाते हैं। पहले तो वे काफी तेजी से घटते हैं, और फिर धीरे-धीरे अधिक से अधिक। और सभी रहते हुए सकारात्मक. यद्यपि बहुत, बहुत छोटा। और वे किस लिए प्रयास कर रहे हैं? अनुमान नहीं लगाया? हां! वे शून्य हो जाते हैं!) और, ध्यान दें, हमारी प्रगति के सदस्य कभी नहीं पहुंचें!केवल असीम रूप से उसके करीब. बहुत जरुरी है।)

ऐसी ही स्थिति ऐसी प्रगति में होगी:

(बी नहीं): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

यहां बी 1 = -1 , ए क्यू = 1/2 . सब कुछ वैसा ही है, अब सदस्य दूसरी तरफ से, नीचे से जीरो के पास पहुंचेंगे। हर समय रहना नकारात्मक.)

ऐसी ज्यामितीय प्रगति, जिसके सदस्य अनिश्चित काल के लिए शून्य के करीब पहुंचना।(इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, सकारात्मक या नकारात्मक पक्ष पर), गणित में इसका एक विशेष नाम है - असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।यह प्रगति इतनी दिलचस्प और असामान्य है कि यह भी होगा अलग पाठ .)

इसलिए, हमने हर संभव विचार किया है सकारात्मकभाजक बड़े और छोटे दोनों होते हैं। हम ऊपर बताए गए कारणों के लिए खुद को एक भाजक के रूप में नहीं मानते हैं (उदाहरण याद रखें कि त्रिगुणों के अनुक्रम के साथ ...)

संक्षेप में:

सकारात्मकऔर एक से अधिक (क्यू> 1), फिर प्रगति के सदस्य:

ए) अनिश्चित काल के लिए वृद्धि (यदि .)बी 1 >0);

बी) अनिश्चित काल के लिए कमी (यदि .)बी 1 <0).

यदि एक ज्यामितीय प्रगति का हर सकारात्मक और एक से कम (0< क्यू<1), то члены прогрессии:

ए) असीम रूप से शून्य के करीब ऊपर(अगरबी 1 >0);

बी) असीम रूप से शून्य के करीब नीचे की ओर से(अगरबी 1 <0).

मामले पर विचार करना अभी बाकी है नकारात्मक भाजक।

हर नकारात्मक है ( क्यू <0)

हम एक उदाहरण के लिए बहुत दूर नहीं जाएंगे। क्यों, वास्तव में, झबरा दादी?!) उदाहरण के लिए, प्रगति के पहले सदस्य होने दें बी 1 = 1 , और हर लें क्यू = -2.

हमें निम्नलिखित अनुक्रम मिलता है:

(बी नहीं): 1, -2, 4, -8, 16, …

और इसी तरह।) प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है गुणापिछले सदस्य एक ऋणात्मक संख्या-2। इस मामले में, विषम स्थानों (पहले, तीसरे, पांचवें, आदि) में सभी सदस्य होंगे सकारात्मक, और सम स्थानों में (दूसरा, चौथा, आदि) - नकारात्मक।संकेत सख्ती से अंतःस्थापित हैं। प्लस-माइनस-प्लस-माइनस ... ऐसी ज्यामितीय प्रगति कहलाती है - बारी-बारी से बढ़ते संकेत।

इसके सदस्य कहां जा रहे हैं? और कहीं नहीं।) हाँ, निरपेक्ष मूल्य में (यानी मोडुलो)हमारी प्रगति की शर्तें अनिश्चित काल तक बढ़ती हैं (इसलिए नाम "बढ़ रहा")। लेकिन साथ ही, प्रगति का प्रत्येक सदस्य बारी-बारी से इसे गर्मी में, फिर ठंड में फेंक देता है। या तो प्लस या माइनस। हमारी प्रगति में उतार-चढ़ाव होता है... इसके अलावा, उतार-चढ़ाव की सीमा हर कदम के साथ तेजी से बढ़ती है, हां।) इसलिए, प्रगति के सदस्यों की आकांक्षाएं कहीं जाने के लिए विशेष रूप सेयहाँ नहीं।न तो प्लस इनफिनिटी, न माइनस इनफिनिटी, न जीरो - कहीं नहीं।

अब शून्य और ऋण एक के बीच कुछ भिन्नात्मक हर पर विचार करें।

उदाहरण के लिए, इसे रहने दें बी 1 = 1 , ए क्यू = -1/2.

तब हमें प्रगति मिलती है:

(बी नहीं): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

और फिर से हमारे पास संकेतों का एक विकल्प है! लेकिन, पिछले उदाहरण के विपरीत, यहां पहले से ही शून्य के करीब आने की स्पष्ट प्रवृत्ति है।) केवल इस बार हमारे शब्द शून्य से ऊपर या नीचे से नहीं, बल्कि फिर से शून्य पर पहुंचते हैं। झिझक. वैकल्पिक रूप से या तो सकारात्मक या नकारात्मक मान लेना। लेकिन साथ ही वे मॉड्यूलपोषित शून्य के करीब और करीब आ रहे हैं।)

इस ज्यामितीय प्रगति को कहा जाता है अपरिमित रूप से घटते प्रत्यावर्ती चिन्ह।

ये दो उदाहरण दिलचस्प क्यों हैं? और तथ्य यह है कि दोनों मामलों में होता है बारी-बारी से वर्ण!ऐसी चिप केवल एक नकारात्मक हर के साथ प्रगति के लिए विशिष्ट है, हाँ।) इसलिए, यदि किसी कार्य में आप वैकल्पिक सदस्यों के साथ एक ज्यामितीय प्रगति देखते हैं, तो आप पहले से ही दृढ़ता से जान लेंगे कि इसका हर 100% नकारात्मक है और आपसे गलती नहीं होगी चिन्ह में।)

वैसे, ऋणात्मक हर के मामले में, पहले पद का चिन्ह स्वयं प्रगति के व्यवहार को बिल्कुल भी प्रभावित नहीं करता है। प्रगति के पहले सदस्य का चिन्ह जो भी हो, किसी भी स्थिति में सदस्यों के प्रत्यावर्तन का चिन्ह देखा जाएगा। पूरा सवाल बस किन जगहों पर(सम या विषम) विशिष्ट चिन्ह वाले सदस्य होंगे।

याद है:

यदि एक ज्यामितीय प्रगति का हर नकारात्मक , तो प्रगति की शर्तों के संकेत हमेशा होते हैं एकांतर।

उसी समय, सदस्य स्वयं:

ए) अनिश्चित काल के लिए वृद्धिसापेक्ष, अगरक्यू<-1;

बी) अनंत तक शून्य पहुंचें यदि -1< क्यू<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

बस इतना ही। सभी विशिष्ट मामलों का विश्लेषण किया जाता है।)

ज्यामितीय प्रगति के विभिन्न उदाहरणों को पार्स करने की प्रक्रिया में, मैंने समय-समय पर शब्दों का प्रयोग किया: "शून्य हो जाता है", "प्लस इनफिनिटी की ओर जाता है", शून्य से अनंत की ओर जाता है... यह ठीक है।) ये भाषण मोड़ (और विशिष्ट उदाहरण) केवल एक प्रारंभिक परिचित हैं व्यवहारविभिन्न संख्या क्रम। एक ज्यामितीय प्रगति का एक उदाहरण।

हमें प्रगति व्यवहार को जानने की भी आवश्यकता क्यों है? वह कहाँ जाती है इससे क्या फर्क पड़ता है? शून्य से, अनंत तक, शून्य से अनंत तक ... हमें इसकी क्या परवाह है?

बात यह है कि पहले से ही विश्वविद्यालय में, उच्च गणित के पाठ्यक्रम में, आपको विभिन्न संख्यात्मक अनुक्रमों के साथ काम करने की क्षमता की आवश्यकता होगी (किसी के साथ, केवल प्रगति नहीं!) और यह कल्पना करने की क्षमता कि यह या वह क्रम कैसा व्यवहार करता है - चाहे वह बढ़ता है असीमित है, चाहे वह घट जाए, चाहे वह एक विशिष्ट संख्या (और जरूरी नहीं कि शून्य हो), या यहां तक ​​​​कि कुछ भी नहीं करता है ... इस विषय के लिए एक पूरा खंड समर्पित है गणितीय विश्लेषण - सीमा सिद्धांत।थोड़ा और विशेष रूप से, अवधारणा संख्या अनुक्रम की सीमा।बहुत ही रोचक विषय! कॉलेज जाना और इसका पता लगाना समझ में आता है।)

इस खंड के कुछ उदाहरण (अनुक्रम जिनकी एक सीमा होती है) और विशेष रूप से, अपरिमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगतिस्कूल में सीखना शुरू करें। इस्तेमाल किया जा रहा है।)

इसके अलावा, भविष्य में अनुक्रमों के व्यवहार का अच्छी तरह से अध्ययन करने की क्षमता हाथों में बहुत काम आएगी और इसमें बहुत उपयोगी होगी समारोह अनुसंधान।सबसे विविध। लेकिन कार्यों के साथ सक्षम रूप से काम करने की क्षमता (डेरिवेटिव की गणना करें, उन्हें पूरी तरह से एक्सप्लोर करें, उनके ग्राफ बनाएं) पहले से ही आपके गणितीय स्तर को नाटकीय रूप से बढ़ा देता है! संदेह करना? कोई ज़रुरत नहीं है। मेरे शब्द भी याद रखें।)

आइए जीवन में एक ज्यामितीय प्रगति को देखें?

हमारे आस-पास के जीवन में, हम बहुत बार, घातीय प्रगति का सामना करते हैं। इसे जाने बिना भी।)

उदाहरण के लिए, विभिन्न सूक्ष्मजीव जो हमें हर जगह भारी मात्रा में घेरते हैं और जिन्हें हम माइक्रोस्कोप के बिना भी नहीं देखते हैं, ज्यामितीय प्रगति में सटीक रूप से गुणा करते हैं।

मान लीजिए कि एक जीवाणु आधे में विभाजित होकर प्रजनन करता है, 2 जीवाणुओं में संतान देता है। बदले में, उनमें से प्रत्येक, गुणा करते हुए, आधे में भी विभाजित होता है, जिससे 4 जीवाणुओं की एक सामान्य संतान होती है। अगली पीढ़ी 8 बैक्टीरिया देगी, फिर 16 बैक्टीरिया, 32, 64 और इसी तरह। प्रत्येक क्रमिक पीढ़ी के साथ, जीवाणुओं की संख्या दोगुनी हो जाती है। ज्यामितीय प्रगति का एक विशिष्ट उदाहरण।)

इसके अलावा, कुछ कीड़े - एफिड्स, मक्खियों - तेजी से गुणा करते हैं। और खरगोश कभी-कभी, वैसे भी।)

एक ज्यामितीय प्रगति का एक और उदाहरण, जो रोजमर्रा की जिंदगी के करीब है, तथाकथित है चक्रवृद्धि ब्याज।ऐसी दिलचस्प घटना अक्सर बैंक जमा में पाई जाती है और इसे कहा जाता है ब्याज पूंजीकरण।यह क्या है?

आप स्वयं अभी भी निश्चित रूप से युवा हैं। आप स्कूल में पढ़ते हैं, आप बैंकों में आवेदन नहीं करते हैं। लेकिन आपके माता-पिता वयस्क और स्वतंत्र लोग हैं। वे काम पर जाते हैं, अपनी दैनिक रोटी के लिए पैसा कमाते हैं, और कुछ पैसे बैंक में डालते हैं, बचत करते हैं।)

मान लीजिए कि आपके पिताजी तुर्की में एक परिवार की छुट्टी के लिए एक निश्चित राशि बचाना चाहते हैं और तीन साल की अवधि के लिए 10% प्रति वर्ष बैंक में 50,000 रूबल डालते हैं। वार्षिक ब्याज पूंजीकरण के साथ।इसके अलावा, इस पूरी अवधि के दौरान जमा राशि के साथ कुछ भी नहीं किया जा सकता है। आप न तो जमा की भरपाई कर सकते हैं और न ही खाते से पैसे निकाल सकते हैं। इन तीन वर्षों में उसे क्या लाभ होगा?

ठीक है, सबसे पहले, आपको यह पता लगाना होगा कि 10% प्रति वर्ष क्या है। इसका मतलब है कि एक साल में 10% बैंक द्वारा प्रारंभिक जमा राशि में जोड़ा जाएगा। किस्से? बेशक, से प्रारंभिक जमा राशि।

एक वर्ष में खाते की राशि की गणना करें। यदि जमा की प्रारंभिक राशि 50,000 रूबल (यानी 100%) थी, तो एक वर्ष में खाते पर कितना ब्याज होगा? यह सही है, 110%! 50,000 रूबल से।

इसलिए हम 50,000 रूबल का 110% मानते हैं:

50,000 1.1 \u003d 55,000 रूबल।

मुझे आशा है कि आप समझ गए होंगे कि मूल्य का 110% खोजने का अर्थ है इस मान को 1.1 से गुणा करना? अगर आपको समझ में नहीं आ रहा है कि ऐसा क्यों है, तो पांचवीं और छठी कक्षा को याद करें। यानी - भिन्नों और भागों के साथ प्रतिशत का संबंध।)

इस प्रकार, पहले वर्ष की वृद्धि 5000 रूबल होगी।

दो साल बाद खाते में कितना पैसा आएगा? 60,000 रूबल? दुर्भाग्य से (या बल्कि, सौभाग्य से), यह इतना आसान नहीं है। ब्याज पूंजीकरण की पूरी चाल यह है कि प्रत्येक नए ब्याज के साथ, उसी ब्याज पर पहले से ही विचार किया जाएगा नई राशि से!जिससे पहले से हीखाते में है इस समय।और पिछली अवधि के लिए अर्जित ब्याज जमा की प्रारंभिक राशि में जोड़ा जाता है और इस प्रकार, वे स्वयं नए ब्याज की गणना में भाग लेते हैं! यानी वे कुल खाते का पूरा हिस्सा बन जाते हैं। या सामान्य राजधानी।इसके कारण नाम - ब्याज पूंजीकरण।

यह अर्थव्यवस्था में है। और गणित में ऐसे प्रतिशत कहलाते हैं चक्रवृद्धि ब्याज।या प्रतिशत का प्रतिशत।) उनकी चाल यह है कि अनुक्रमिक गणना में, प्रतिशत की गणना हर बार की जाती है नए मूल्य से।मूल से नहीं...

इसलिए, के माध्यम से राशि की गणना करने के लिए दो साल, हमें उस राशि के 110% की गणना करने की आवश्यकता है जो खाते में होगी एक साल में।यानी पहले से ही 55,000 रूबल से।

हम 55,000 रूबल में से 110% पर विचार करते हैं:

55000 1.1 \u003d 60500 रूबल।

इसका मतलब है कि दूसरे वर्ष के लिए प्रतिशत वृद्धि पहले से ही 5,500 रूबल होगी, और दो साल के लिए - 10,500 रूबल।

अब आप पहले से ही अनुमान लगा सकते हैं कि तीन साल में खाते में राशि 60,500 रूबल का 110% होगी। वह फिर से 110% है पिछले (पिछले साल) सेराशियाँ।

यहाँ हम विचार करते हैं:

60500 1.1 \u003d 66550 रूबल।

और अब हम अपनी मौद्रिक राशि को वर्षों के क्रम में बनाते हैं:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

तो कैसे? ज्यामितीय प्रगति क्यों नहीं? पहला सदस्य बी 1 = 50000 , और भाजक क्यू = 1,1 . प्रत्येक पद पिछले एक की तुलना में सख्ती से 1.1 गुना अधिक है। सब कुछ परिभाषा के अनुसार सख्त है।)

और आपके पिताजी कितने अतिरिक्त प्रतिशत बोनस "गिरेंगे" जबकि उनके 50,000 रूबल तीन साल के लिए बैंक खाते में थे?

हमें यकीन है:

66550 - 50000 = 16550 रूबल

बेशक, यह बुरा है। लेकिन यह तब है जब योगदान की प्रारंभिक राशि छोटी है। क्या होगा अगर और भी है? कहो, 50 नहीं, बल्कि 200 हजार रूबल? फिर तीन साल की वृद्धि पहले से ही 66,200 रूबल (यदि आप गिनती करते हैं) होगी। जो पहले से ही बहुत अच्छा है।) और यदि योगदान और भी अधिक है? यह वही है...

निष्कर्ष: प्रारंभिक योगदान जितना अधिक होगा, ब्याज पूंजीकरण उतना ही अधिक लाभदायक होगा। इसीलिए बैंकों द्वारा लंबी अवधि के लिए ब्याज पूंजीकरण के साथ जमा राशि प्रदान की जाती है। बता दें कि पांच साल।

इसके अलावा, इन्फ्लूएंजा, खसरा और उससे भी अधिक भयानक बीमारियों (2000 के दशक की शुरुआत में एक ही सार्स या मध्य युग में प्लेग) जैसी सभी तरह की बुरी बीमारियां तेजी से फैलना पसंद करती हैं। इसलिए महामारी का पैमाना, हाँ ...) और सभी इस तथ्य के कारण कि एक ज्यामितीय प्रगति के साथ संपूर्ण सकारात्मक भाजक (क्यू>1) - एक चीज जो बहुत तेजी से बढ़ती है! बैक्टीरिया के प्रजनन को याद रखें: एक जीवाणु से दो प्राप्त होते हैं, दो से चार, चार से आठ, और इसी तरह ... किसी भी संक्रमण के फैलने के साथ, सब कुछ समान होता है।)

ज्यामितीय प्रगति में सबसे सरल समस्याएं।

आइए, हमेशा की तरह, एक साधारण समस्या से शुरू करते हैं। विशुद्ध रूप से अर्थ को समझने के लिए।

1. यह ज्ञात है कि ज्यामितीय प्रगति का दूसरा पद 6 है, और हर -0.5 है। पहला, तीसरा और चौथा पद ज्ञात कीजिए।

तो हमें दिया गया है अनंतज्यामितीय प्रगति, प्रसिद्ध दूसरी अवधियह प्रगति:

बी2 = 6

इसके अलावा, हम यह भी जानते हैं प्रगति भाजक:

क्यू = -0.5

और आपको खोजने की जरूरत है पहला, तीसराऔर चौथीइस प्रगति के सदस्य।

यहां हम अभिनय कर रहे हैं। हम समस्या की स्थिति के अनुसार क्रम लिखते हैं। सीधे सामान्य शब्दों में, जहां दूसरा सदस्य छह है:

बी1,6,बी 3 , बी 4 , …

चलिए अब खोज शुरू करते हैं। हम हमेशा की तरह, सबसे सरल से शुरू करते हैं। आप गणना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, तीसरा पद ख 3? कर सकना! हम पहले से ही जानते हैं (सीधे एक ज्यामितीय प्रगति के अर्थ में) कि तीसरा पद (बी 3)एक सेकंड से अधिक (बी 2 ) में "क्यू"एक बार!

तो हम लिखते हैं:

बी 3 =बी 2 · क्यू

हम इस व्यंजक में के स्थान पर छ: को प्रतिस्थापित करते हैं बी 2और -0.5 इसके बजाय क्यूऔर हम सोचते हैं। और माइनस को भी नजरअंदाज नहीं किया जाता है, बिल्कुल ...

बी 3 \u003d 6 (-0.5) \u003d -3

इस प्रकार सं. तीसरा कार्यकाल नकारात्मक निकला। कोई आश्चर्य नहीं: हमारा भाजक क्यू- नकारात्मक। और प्लस को माइनस से गुणा करने पर, यह निश्चित रूप से माइनस होगा।)

अब हम प्रगति के अगले, चौथे पद पर विचार करते हैं:

बी 4 =बी 3 · क्यू

बी 4 \u003d -3 (-0.5) \u003d 1.5

चौथा कार्यकाल फिर से एक प्लस के साथ है। पाँचवाँ पद फिर से माइनस के साथ होगा, छठा प्लस के साथ, और इसी तरह। संकेत - वैकल्पिक!

तो, तीसरे और चौथे सदस्य मिल गए। परिणाम निम्नलिखित अनुक्रम है:

बी1; 6; -3; 1.5; …

पहला पद ज्ञात करना अभी बाकी है ख 1प्रसिद्ध दूसरे के अनुसार। ऐसा करने के लिए, हम दूसरी दिशा में बाईं ओर कदम रखते हैं। इसका मतलब यह है कि इस मामले में, हमें प्रगति के दूसरे पद को हर से गुणा करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन साझा करना।

हम विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

बस इतना ही।) समस्या का उत्तर इस प्रकार होगा:

-12; 6; -3; 1,5; …

जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान सिद्धांत में जैसा ही है। हम लोग जान कोई भीसदस्य और भाजकज्यामितीय प्रगति - हम कोई अन्य शब्द पा सकते हैं। हम जो चाहते हैं, हम एक पाएंगे।) अंतर केवल इतना है कि जोड़ / घटाव को गुणा / भाग से बदल दिया जाता है।

याद रखें: यदि हम ज्यामितीय प्रगति के कम से कम एक सदस्य और हर को जानते हैं, तो हम हमेशा इस प्रगति के किसी अन्य सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

निम्नलिखित कार्य, परंपरा के अनुसार, OGE के वास्तविक संस्करण से है:

2.

…; 150; एक्स; 6; 1.2; …

तो कैसे? इस बार कोई पहला पद नहीं है, कोई हर नहीं है क्यू, बस संख्याओं का एक क्रम दिया गया है ... पहले से ही कुछ जाना-पहचाना है, है ना? हां! इसी तरह की समस्या को अंकगणितीय प्रगति में पहले ही निपटाया जा चुका है!

यहां हम डरते नहीं हैं। सब एक जैसे। अपने सिर को चालू करें और ज्यामितीय प्रगति का प्राथमिक अर्थ याद रखें। हम अपने अनुक्रम को ध्यान से देखते हैं और यह पता लगाते हैं कि इसमें तीन मुख्य (पहला सदस्य, हर, सदस्य संख्या) की ज्यामितीय प्रगति के कौन से पैरामीटर छिपे हुए हैं।

सदस्य संख्या? कोई सदस्य संख्या नहीं है, हाँ ... लेकिन चार हैं क्रमिकसंख्याएं। इस शब्द का क्या अर्थ है, मुझे इस स्तर पर समझाने का कोई मतलब नहीं दिखता।) क्या दो हैं पड़ोसी ज्ञात संख्याएँ?वहाँ है! ये 6 और 1.2 हैं। तो हम पा सकते हैं प्रगति भाजक।तो हम संख्या 1.2 लेते हैं और विभाजित करते हैं पिछली संख्या तक।छह के लिए।

हम पाते हैं:

हम पाते हैं:

एक्स= 150 0.2 = 30

जवाब: एक्स = 30 .

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काफी सरल है। मुख्य कठिनाई केवल गणनाओं में है। ऋणात्मक और भिन्नात्मक हरों के मामले में यह विशेष रूप से कठिन है। तो जिन्हें समस्या है, वे अंकगणित दोहराएं! भिन्नों के साथ कैसे कार्य करें, ऋणात्मक संख्याओं के साथ कैसे कार्य करें, इत्यादि... अन्यथा, आप यहाँ निर्दयतापूर्वक धीमा कर देंगे।

अब समस्या को थोड़ा बदल देते हैं। अब यह दिलचस्प हो जाएगा! चलिए इसमें लास्ट नंबर 1.2 हटाते हैं। आइए अब इस समस्या को हल करें:

3. एक ज्यामितीय प्रगति के कई लगातार शब्द लिखे गए हैं:

…; 150; एक्स; 6; …

अक्षर x द्वारा निरूपित प्रगति का पद ज्ञात कीजिए।

सब कुछ वैसा ही, बस दो पडोसी प्रसिद्धअब हमारे पास प्रगति के सदस्य नहीं हैं। यह मुख्य समस्या है। क्योंकि परिमाण क्यूदो पड़ोसी शब्दों के माध्यम से, हम पहले से ही आसानी से निर्धारित कर सकते हैं हम नहीं कर सकते।क्या हमारे पास चुनौती का सामना करने का मौका है? निश्चित रूप से!

आइए अज्ञात शब्द लिखें " एक्स"सीधे एक ज्यामितीय प्रगति के अर्थ में! सामान्य शब्दों में।

हाँ हाँ! सीधे एक अज्ञात भाजक के साथ!

एक ओर, x के लिए हम निम्नलिखित अनुपात लिख सकते हैं:

एक्स= 150क्यू

दूसरी ओर, हमें उसी X को के माध्यम से पेंट करने का पूरा अधिकार है अगलासदस्य, छह के माध्यम से! हर द्वारा छह को विभाजित करें।

ऐशे ही:

एक्स = 6/ क्यू

जाहिर है, अब हम इन दोनों अनुपातों की बराबरी कर सकते हैं। चूंकि हम व्यक्त कर रहे हैं वहीमान (एक्स), लेकिन दो विभिन्न तरीके।

हमें समीकरण मिलता है:

सब कुछ गुणा करके क्यू, सरलीकृत करना, कम करना, हमें समीकरण मिलता है:

क्यू 2 \u003d 1/25

हम हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

क्यू = ± 1/5 = ± 0.2

उफ़! भाजक दुगना है! +0.2 और -0.2। और कौन सा चुनना है? गतिरोध?

शांत! हाँ, समस्या वास्तव में है दो समाधान!उसमें कोी बुराई नहीं है। ऐसा होता है।) आपको आश्चर्य नहीं होता है, उदाहरण के लिए, आप सामान्य को हल करके दो जड़ें प्राप्त करते हैं? यहाँ भी यही कहानी है।)

के लिए क्यू = +0.2हम प्राप्त कर लेंगे:

एक्स \u003d 150 0.2 \u003d 30

और के लिए क्यू = -0,2 मर्जी:

एक्स = 150 (-0.2) = -30

हमें दोहरा उत्तर मिलता है: एक्स = 30; एक्स = -30.

इस दिलचस्प तथ्य का क्या अर्थ है? और क्या मौजूद है दो प्रगति, समस्या की स्थिति को संतुष्ट!

इन की तरह:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

दोनों उपयुक्त हैं।) आप क्या सोचते हैं कि उत्तरों के विभाजन का कारण क्या है? सिर्फ छह के बाद आने वाले प्रगति (1,2) के एक विशिष्ट सदस्य के उन्मूलन के कारण। और ज्यामितीय प्रगति के केवल पिछले (n-1)-वें और बाद के (n+1)-वें सदस्यों को जानने के बाद, हम उनके बीच खड़े n-वें सदस्य के बारे में स्पष्ट रूप से कुछ नहीं कह सकते। दो विकल्प हैं - प्लस और माइनस।

लेकिन कोई फर्क नहीं पड़ता। एक नियम के रूप में, ज्यामितीय प्रगति के कार्यों में अतिरिक्त जानकारी होती है जो एक स्पष्ट उत्तर देती है। आइए शब्दों को कहें: "साइन-वैकल्पिक प्रगति"या "एक सकारात्मक भाजक के साथ प्रगति"और इसी तरह... इन शब्दों को एक सुराग के रूप में काम करना चाहिए, जो अंतिम उत्तर देते समय, प्लस या माइनस के चिह्न को चुना जाना चाहिए। यदि ऐसी कोई जानकारी नहीं है, तो - हाँ, कार्य होगा दो समाधान।)

और अब हम खुद फैसला करते हैं।

4. निर्धारित करें कि क्या संख्या 20 एक ज्यामितीय प्रगति का सदस्य होगा:

4 ; 6; 9; …

5. एक प्रत्यावर्ती ज्यामितीय प्रगति दी गई है:

…; 5; एक्स ; 45; …

पत्र द्वारा इंगित प्रगति की अवधि खोजें एक्स .

6. गुणोत्तर श्रेणी का चौथा धनात्मक पद ज्ञात कीजिए:

625; -250; 100; …

7. गुणोत्तर श्रेणी का दूसरा पद -360 है, और इसका पाँचवाँ पद 23.04 है। इस प्रगति का पहला पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर (अव्यवस्था में): -15; 900; नहीं; 2.56.

बधाई हो अगर सब कुछ काम कर गया!

कुछ फिट नहीं है? क्या कहीं दोहरा जवाब है? हम असाइनमेंट की शर्तों को ध्यान से पढ़ते हैं!

आखिरी पहेली काम नहीं करती? वहाँ कुछ भी जटिल नहीं है।) हम एक ज्यामितीय प्रगति के अर्थ के अनुसार सीधे काम करते हैं। खैर, आप एक चित्र बना सकते हैं। यह मदद करता है।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ प्राथमिक है। यदि प्रगति कम है। क्या होगा अगर यह लंबा है? या वांछित सदस्य की संख्या बहुत बड़ी है? मैं चाहता हूं, एक अंकगणितीय प्रगति के अनुरूप, किसी भी तरह एक सुविधाजनक सूत्र प्राप्त करें जो इसे ढूंढना आसान बनाता है कोई भीकिसी भी ज्यामितीय प्रगति का सदस्य उसके नंबर से।कई गुणा किए बिना, कई बार क्यू. और ऐसा एक सूत्र है!) विवरण - अगले पाठ में।

संख्यात्मक अनुक्रम VI

l48. एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग

अब तक, राशियों की बात करें तो, हमने हमेशा माना है कि इन योगों में पदों की संख्या परिमित है (उदाहरण के लिए, 2, 15, 1000, आदि)। लेकिन कुछ समस्याओं (विशेष रूप से उच्च गणित) को हल करते समय, किसी को अनंत शब्दों के योग से निपटना पड़ता है

एस = ए 1 + ए 2 + ... + ए एन + ... . (1)

ये राशियाँ क्या हैं? ए-प्राथमिकता अनंत पदों का योग ए 1 , ए 2 , ..., ए एन , ... को योग S . की सीमा कहते हैं एन प्रथम पी नंबर जब पी -> ∞ :

एस = एस एन = (ए 1 + ए 2 + ... + ए एन ). (2)

सीमा (2), निश्चित रूप से, मौजूद हो भी सकती है और नहीं भी। तदनुसार, योग (1) को अस्तित्व में कहा जाता है या नहीं।

कैसे पता करें कि प्रत्येक विशेष मामले में योग (1) मौजूद है या नहीं? इस प्रश्न का एक सामान्य समाधान हमारे कार्यक्रम के दायरे से बहुत आगे निकल जाता है। हालांकि, एक महत्वपूर्ण विशेष मामला है जिस पर हमें अभी विचार करना है। हम एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के बारे में बात करेंगे।

रहने दो ए 1 , ए 1 क्यू , ए 1 क्यू 2 , ... एक अपरिमित रूप से घटती गुणोत्तर श्रेणी है। इसका मतलब है कि | क्यू |< 1. Сумма первых पी इस प्रगति के सदस्य बराबर हैं

चर की सीमा पर मूल प्रमेयों से (देखें 136) हम प्राप्त करते हैं:

लेकिन 1 = 1, ए क्यू नहीं = 0. इसलिए

तो, एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग इस प्रगति के पहले पद के बराबर होता है, जो इस प्रगति के हर के एक ऋण से विभाजित होता है।

1) गुणोत्तर श्रेणी 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... का योग है

और एक गुणोत्तर प्रगति का योग 12 है; -6; 3; - 3 / 2 , ... बराबर

2) एक साधारण आवर्त भिन्न 0.454545 ... एक साधारण अंश में बदल जाता है।

इस समस्या को हल करने के लिए, हम इस भिन्न को अनंत योग के रूप में निरूपित करते हैं:

इस समानता का दाहिना भाग एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है, जिसका पहला पद 45/100 है, और हर 1/100 है। इसलिए

वर्णित तरीके से, साधारण आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलने का सामान्य नियम भी प्राप्त किया जा सकता है (अध्याय II, 38 देखें):

एक साधारण आवधिक अंश को एक साधारण में बदलने के लिए, आपको निम्नानुसार आगे बढ़ने की आवश्यकता है: दशमलव अंश की अवधि को अंश में रखें, और हर में - एक संख्या जिसमें नाइन शामिल हैं जितनी बार अवधि में अंक होते हैं दशमलव अंश का।

3) मिश्रित आवर्त भिन्न 0.58333 .... साधारण भिन्न में बदल जाते हैं।

आइए इस भिन्न को अनंत योग के रूप में निरूपित करें:

इस समानता के दाईं ओर, 3/1000 से शुरू होने वाले सभी पद, एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का निर्माण करते हैं, जिसका पहला पद 3/1000 है, और हर 1/10 है। इसलिए

वर्णित तरीके से मिश्रित आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलने का सामान्य नियम भी प्राप्त किया जा सकता है (देखें अध्याय II, 38)। हम जानबूझकर इसे यहां शामिल नहीं करते हैं। इस बोझिल नियम को याद रखने की जरूरत नहीं है। यह जानना बहुत अधिक उपयोगी है कि किसी भी मिश्रित आवधिक अंश को एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति और कुछ संख्या के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और सूत्र

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए, निश्चित रूप से, याद रखना चाहिए।

एक अभ्यास के रूप में, हम आपको नीचे दी गई समस्या संख्या 995-1000 के अलावा, एक बार फिर समस्या संख्या 301 38 की ओर मुड़ने के लिए आमंत्रित करते हैं।

अभ्यास

995. अपरिमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग क्या कहलाता है?

996. अपरिमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति का योग ज्ञात कीजिए:

997. किन मूल्यों के लिए एक्स प्रगति

असीम रूप से घट रहा है? ऐसी प्रगति का योग ज्ञात कीजिए।

998. एक समबाहु त्रिभुज में जिसकी एक भुजा है ए इसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़कर एक नया त्रिभुज अंकित किया गया है; इस त्रिभुज में उसी तरह एक नया त्रिभुज अंकित किया गया है, और इसी तरह एड इनफिनिटम पर।

क) इन सभी त्रिभुजों के परिमापों का योग;

बी) उनके क्षेत्रों का योग।

999. एक भुजा वाले वर्ग में ए इसके किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़कर एक नया वर्ग अंकित किया गया है; इस वर्ग में उसी तरह एक वर्ग अंकित किया गया है, और इसी तरह एड इनफिनिटम पर। इन सभी वर्गों के परिमापों का योग और उनके क्षेत्रफलों का योग ज्ञात कीजिए।

1000. एक असीम रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति करें, जैसे कि इसका योग 25/4 के बराबर हो, और इसके पदों के वर्गों का योग 625/24 के बराबर हो।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… एक ज्यामितीय प्रगति है, क्योंकि प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से दो के कारक से भिन्न होता है (दूसरे शब्दों में, इसे पिछले एक से दो से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है):

किसी भी क्रम की तरह, एक ज्यामितीय प्रगति को एक छोटे लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। वे संख्याएँ जो एक प्रगति का निर्माण करती हैं, कहलाती हैं I सदस्यों(या तत्व)। उन्हें ज्यामितीय प्रगति के समान अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है, लेकिन क्रम में तत्व संख्या के बराबर एक संख्यात्मक सूचकांक के साथ।

उदाहरण के लिए, ज्यामितीय प्रगति \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) में तत्व होते हैं \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) इत्यादि। दूसरे शब्दों में:

यदि आप उपरोक्त जानकारी को समझते हैं, तो आप पहले से ही इस विषय पर अधिकांश समस्याओं को हल करने में सक्षम होंगे।

उदाहरण (ओजीई):
फेसला:

जवाब : \(-686\).

उदाहरण (ओजीई): प्रगति के पहले तीन पदों को देखते हुए \(324\); \(-108\); \(36\)…. \(b_5\) खोजें।
फेसला:

	अनुक्रम को जारी रखने के लिए, हमें भाजक को जानना होगा। आइए इसे दो पड़ोसी तत्वों से खोजें: \(108\) प्राप्त करने के लिए \(324\) को किससे गुणा किया जाना चाहिए?
\(324 क्यू=-108\)	यहां से हम आसानी से हर की गणना कर सकते हैं।
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	अब हमें वह तत्व आसानी से मिल सकता है जिसकी हमें आवश्यकता है।
	उत्तर तैयार।

जवाब : \(4\).

उदाहरण: प्रगति शर्त \(b_n=0.8 5^n\) द्वारा दी गई है। कौन सी संख्या इस प्रगति का सदस्य है:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0.8\) ?

फेसला: कार्य के शब्दों से, यह स्पष्ट है कि इनमें से एक संख्या निश्चित रूप से हमारी प्रगति में है। इसलिए, हम बस इसके सदस्यों की एक-एक करके गणना कर सकते हैं जब तक कि हमें वह मूल्य न मिल जाए जिसकी हमें आवश्यकता है। चूंकि हमारी प्रगति सूत्र द्वारा दी गई है, हम अलग-अलग \(n\) को प्रतिस्थापित करके तत्वों के मूल्यों की गणना करते हैं:
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) - सूची में ऐसी कोई संख्या नहीं है। हम जारी रखते हैं।
\(n=2\); \(b_2=0.8 5^2=0.8 25=20\) - और यह वहां भी नहीं है।
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) - और ये रहा हमारा चैंपियन!

जवाब: \(100\).

उदाहरण (ओजीई): ज्यामितीय प्रगति के कई क्रमिक सदस्य …\(8\) दिए गए हैं; \(एक्स\); \(पचास\); \(-125\)…. \(x\) अक्षर द्वारा निरूपित तत्व का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला:

जवाब: \(-20\).

उदाहरण (ओजीई): प्रगति शर्तों \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\) द्वारा दी गई है। इस प्रगति के पहले \(4\) पदों का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला:

जवाब: \(105\).

उदाहरण (ओजीई): यह ज्ञात है कि घातीय रूप से \(b_6=-11\),\(b_9=704\)। हर \(q\) का पता लगाएं।

फेसला:

	यह बाईं ओर के आरेख से देखा जा सकता है कि \ (b_6 \) से \ (b_9 \) तक "प्राप्त" करने के लिए - हम तीन "चरण" लेते हैं, अर्थात, हम \ (b_6 \) को तीन बार गुणा करते हैं प्रगति का कारक। दूसरे शब्दों में, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\)।
\(b_9=b_6 q^3\)	उन मूल्यों को प्रतिस्थापित करें जिन्हें हम जानते हैं।
\(704=(-11)q^3\)	समीकरण को "उल्टा" करें और इसे \((-11)\) से विभाजित करें।
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	घनाकृत कौन सी संख्या \(-64\) देती है? बेशक, \(-4\)!
	उत्तर मिला। संख्याओं की श्रृंखला को \(-11\) से \(704\) तक पुनर्स्थापित करके इसकी जांच की जा सकती है।
	सभी सहमत - उत्तर सही है।

जवाब: \(-4\).

सबसे महत्वपूर्ण सूत्र

जैसा कि आप देख सकते हैं, अधिकांश ज्यामितीय प्रगति समस्याओं को शुद्ध तर्क के साथ हल किया जा सकता है, बस सार को समझकर (यह आमतौर पर गणित की विशेषता है)। लेकिन कभी-कभी कुछ फ़ार्मुलों और पैटर्न का ज्ञान तेज़ हो जाता है और समाधान को बहुत सुविधाजनक बनाता है। हम ऐसे दो सूत्रों का अध्ययन करेंगे।

\(n\)वें सदस्य के लिए सूत्र है: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), जहां \(b_1\) प्रगति का पहला सदस्य है; \(n\) - आवश्यक तत्व की संख्या; \(q\) प्रगति का हर है; \(b_n\) \(n\) संख्या के साथ प्रगति का सदस्य है।

उदाहरण के लिए, इस सूत्र का उपयोग करके, आप पहले उदाहरण से ही समस्या को केवल एक चरण में हल कर सकते हैं।

उदाहरण (ओजीई): ज्यामितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी जाती है \(b_1=-2\); \(क्यू=7\)। \(b_4\) खोजें।
फेसला:

जवाब: \(-686\).

यह उदाहरण सरल था, इसलिए सूत्र ने गणनाओं को हमारे लिए बहुत अधिक आसान नहीं बनाया। आइए समस्या को थोड़ा और जटिल देखें।

उदाहरण: ज्यामितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी जाती है \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\)। \(b_(12)\) खोजें।
फेसला:

जवाब: \(10\).

बेशक, \(\frac(1)(2)\) को \(11\)वें पावर तक बढ़ाना बहुत खुशी की बात नहीं है, लेकिन \(11\) \(20480\) को दो में विभाजित करने की तुलना में अभी भी आसान है।

पहले पदों का योग \(n\): \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , जहां \(b_1\) पहला पद है प्रगति के; \(n\) - संक्षेपित तत्वों की संख्या; \(q\) प्रगति का हर है; \(S_n\) प्रगति के पहले सदस्यों का योग \(n\) है।

उदाहरण (ओजीई): एक ज्यामितीय प्रगति \(b_n\) को देखते हुए, जिसका हर \(5\) है, और पहला पद \(b_1=\frac(2)(5)\) है। इस प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला:

जवाब: \(1562,4\).

और फिर, हम "माथे पर" समस्या को हल कर सकते हैं - बदले में सभी छह तत्वों को ढूंढें, और फिर परिणाम जोड़ें। हालांकि, गणनाओं की संख्या, और इसलिए एक यादृच्छिक त्रुटि की संभावना नाटकीय रूप से बढ़ जाएगी।

एक ज्यामितीय प्रगति के लिए, कई और सूत्र हैं जिन पर हमने उनके कम व्यावहारिक उपयोग के कारण यहां विचार नहीं किया। आप इन सूत्रों को पा सकते हैं।

ज्यामितीय प्रगति को बढ़ाना और घटाना

प्रगति के लिए \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) लेख की शुरुआत में माना जाता है, हर \(q\) एक से बड़ा है, और इसलिए प्रत्येक अगला पद है पिछले वाले से बड़ा। ऐसी प्रगति कहलाती है की बढ़ती.

यदि \(q\) एक से कम है, लेकिन धनात्मक है (अर्थात शून्य और एक के बीच स्थित है), तो प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से कम होगा। उदाहरण के लिए, प्रगति में \(4\); \(2\); \(एक\); \(0.5\); \(0.25\)... \(q\) का हर \(\frac(1)(2)\) है।

इन प्रगतियों को कहा जाता है घटते. ध्यान दें कि इस प्रगति का कोई भी तत्व नकारात्मक नहीं होगा, वे प्रत्येक चरण के साथ छोटे और छोटे होते जाते हैं। यानी हम धीरे-धीरे शून्य के करीब पहुंचेंगे, लेकिन हम उस तक कभी नहीं पहुंच पाएंगे और हम इससे आगे नहीं जाएंगे। ऐसे मामलों में गणितज्ञ कहते हैं, "शून्य की ओर प्रवृत्त होना।"

ध्यान दें कि एक नकारात्मक हर के साथ, एक ज्यामितीय प्रगति के तत्व अनिवार्य रूप से संकेत बदल देंगे। उदाहरण के लिए, प्रगति \(5\); \(-पंद्रह\); \(45\); \(-135\); \(675\)... \(q\) का हर \(-3\) है, और इस वजह से, तत्वों के संकेत "पलक"।

आइए एक श्रृंखला पर विचार करें।

7 28 112 448 1792...

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इसके किसी भी तत्व का मूल्य पिछले वाले की तुलना में ठीक चार गुना अधिक है। तो यह श्रृंखला एक प्रगति है।

एक ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का एक अनंत क्रम है, जिसकी मुख्य विशेषता यह है कि अगली संख्या पिछले एक से किसी विशिष्ट संख्या से गुणा करके प्राप्त की जाती है। इसे निम्न सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है।

a z +1 =a z q, जहाँ z चयनित तत्व की संख्या है।

तदनुसार, जेड एन।

जिस अवधि में स्कूल में ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया जाता है वह कक्षा 9 है। उदाहरण आपको अवधारणा को समझने में मदद करेंगे:

0.25 0.125 0.0625...

इस सूत्र के आधार पर, प्रगति का हर निम्नानुसार पाया जा सकता है:

न तो q और न ही b z शून्य हो सकता है। साथ ही, प्रगति का प्रत्येक अवयव शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।

तदनुसार, श्रृंखला में अगली संख्या का पता लगाने के लिए, आपको अंतिम संख्या को q से गुणा करना होगा।

इस प्रगति को निर्दिष्ट करने के लिए, आपको इसका पहला तत्व और हर निर्दिष्ट करना होगा। उसके बाद, बाद के किसी भी शब्द और उनके योग को खोजना संभव है।

किस्मों

q और a 1 के आधार पर, यह प्रगति कई प्रकारों में विभाजित है:

• यदि 1 और q दोनों एक से अधिक हैं, तो ऐसा अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है जो प्रत्येक अगले तत्व के साथ बढ़ रहा है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: a 1 =3, q=2 - दोनों पैरामीटर एक से बड़े हैं।

फिर संख्यात्मक अनुक्रम इस तरह लिखा जा सकता है:

3 6 12 24 48 ...

• अगर |क्यू| एक से कम, यानी इसका गुणा भाग के बराबर है, तो समान स्थितियों वाली प्रगति घटती ज्यामितीय प्रगति है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: a 1 =6, q=1/3 - a 1 एक से बड़ा है, q कम है।

फिर संख्यात्मक अनुक्रम निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

6 2 2/3... - कोई भी तत्व उसके बाद वाले तत्व से 3 गुना बड़ा होता है।

• साइन-चर। अगर क्यू<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

उदाहरण: a 1 = -3 , q = -2 - दोनों पैरामीटर शून्य से कम हैं।

फिर अनुक्रम इस तरह लिखा जा सकता है:

3, 6, -12, 24,...

सूत्रों

ज्यामितीय प्रगति के सुविधाजनक उपयोग के लिए, कई सूत्र हैं:

• जेड-वें सदस्य का सूत्र। आपको पिछली संख्याओं की गणना किए बिना एक विशिष्ट संख्या के तहत तत्व की गणना करने की अनुमति देता है।

उदाहरण:क्यू = 3, ए 1 = 4. प्रगति के चौथे तत्व की गणना करना आवश्यक है।

फेसला:ए 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• पहले तत्वों का योग जिनकी संख्या है जेड. आपको अनुक्रम के सभी तत्वों के योग की गणना करने की अनुमति देता हैएक ज़ूसहित।

चूंकि (1-क्यू) हर में है, तो (1 - q)≠ 0, इसलिए q 1 के बराबर नहीं है।

नोट: यदि q=1, तो प्रगति एक अपरिमित रूप से दोहराई जाने वाली संख्या की एक श्रृंखला होगी।

एक ज्यामितीय प्रगति का योग, उदाहरण:ए 1 = 2, क्यू= -2। एस 5 की गणना करें।

फेसला:एस 5 = 22 - सूत्र द्वारा गणना।

• राशि अगर |क्यू| < 1 и если z стремится к бесконечности.

उदाहरण:ए 1 = 2 , क्यू= 0.5. राशि ज्ञात कीजिए।

फेसला:स्ज़ू = 2 · = 4

स्ज़ू = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

कुछ गुण:

• विशेषता संपत्ति। यदि निम्न स्थिति किसी के लिए प्रदर्शन कियाजेड, तो दी गई संख्या श्रृंखला एक ज्यामितीय प्रगति है:

एक ज़ू 2 = एक ज़ू -1 · एजेड+1

• इसके अलावा, एक ज्यामितीय प्रगति की किसी भी संख्या का वर्ग एक दी गई श्रृंखला में किन्हीं अन्य दो संख्याओं के वर्गों को जोड़कर पाया जाता है, यदि वे इस तत्व से समान दूरी पर हों।

एक ज़ू 2 = एक ज़ू - टी 2 + एक ज़ू + टी 2 , कहाँ पेटीइन संख्याओं के बीच की दूरी है।

• तत्वोंक्यू में भिन्नएक बार।
• प्रगति तत्वों के लघुगणक भी एक प्रगति बनाते हैं, लेकिन पहले से ही अंकगणित, यानी उनमें से प्रत्येक एक निश्चित संख्या से पिछले एक से बड़ा है।

कुछ शास्त्रीय समस्याओं के उदाहरण

एक ज्यामितीय प्रगति क्या है, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, ग्रेड 9 के समाधान वाले उदाहरण मदद कर सकते हैं।

• स्थितियाँ:ए 1 = 3, ए 3 = 48. खोजेंक्यू.

समाधान: प्रत्येक अनुवर्ती तत्व पिछले एक से बड़ा हैक्यू एक बार।हर का उपयोग करके कुछ तत्वों को दूसरों के माध्यम से व्यक्त करना आवश्यक है।

इसलिये,ए 3 = क्यू 2 · ए 1

प्रतिस्थापित करते समयक्यू= 4

• स्थितियाँ:ए 2 = 6, ए 3 = 12. एस 6 की गणना करें।

फेसला:ऐसा करने के लिए, पहले तत्व q को खोजने और इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है।

ए 3 = क्यू· ए 2 , इस तरह,क्यू= 2

ए 2 = क्यू एक 1,इसीलिए एक 1 = 3

एस 6 = 189

• · ए 1 = 10, क्यू= -2। प्रगति का चौथा तत्व ज्ञात कीजिए।

हल: ऐसा करने के लिए, चौथे तत्व को पहले और हर के माध्यम से व्यक्त करना पर्याप्त है।

ए 4 = क्यू 3· ए 1 = -80

आवेदन उदाहरण:

• बैंक के ग्राहक ने 10,000 रूबल की राशि जमा की, जिसकी शर्तों के तहत ग्राहक हर साल इसका 6% मूल राशि में जोड़ देगा। 4 साल बाद खाते में कितना पैसा आएगा?

समाधान: प्रारंभिक राशि 10 हजार रूबल है। तो, निवेश के एक साल बाद, खाते में 10,000 + 10,000 . के बराबर राशि होगी · 0.06 = 10000 1.06

तदनुसार, एक और वर्ष के बाद खाते में राशि निम्नानुसार व्यक्त की जाएगी:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

यानी हर साल यह राशि 1.06 गुना बढ़ जाती है। इसका मतलब है कि 4 साल बाद खाते में धनराशि का पता लगाने के लिए, प्रगति के चौथे तत्व को खोजने के लिए पर्याप्त है, जो पहले तत्व द्वारा 10 हजार के बराबर और हर 1.06 के बराबर दिया जाता है।

एस = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

योग की गणना के लिए कार्यों के उदाहरण:

विभिन्न समस्याओं में, एक ज्यामितीय प्रगति का उपयोग किया जाता है। योग ज्ञात करने का एक उदाहरण इस प्रकार दिया जा सकता है:

ए 1 = 4, क्यू= 2, गणना करेंS5.

समाधान: गणना के लिए आवश्यक सभी डेटा ज्ञात हैं, आपको बस उन्हें सूत्र में बदलने की आवश्यकता है।

एस 5 = 124

• ए 2 = 6, ए 3 = 18. पहले छह तत्वों के योग की गणना करें।

फेसला:

जियोम। प्रगति, प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक की तुलना में q गुना अधिक है, अर्थात योग की गणना करने के लिए, आपको तत्व को जानना होगाए 1 और हरक्यू.

ए 2 · क्यू = ए 3

क्यू = 3

इसी तरह, हमें खोजने की जरूरत हैए 1 , जाननाए 2 औरक्यू.

ए 1 · क्यू = ए 2

एक 1 =2

एस 6 = 728.

अब एक अनंत ज्यामितीय प्रगति के योग के प्रश्न पर विचार करें। आइए हम दी गई अनंत प्रगति के आंशिक योग को इसके प्रथम पदों का योग कहते हैं। आंशिक योग को प्रतीक द्वारा निरूपित करें

हर अनंत प्रगति के लिए

कोई अपनी आंशिक राशियों का एक (अनंत भी) अनुक्रम बना सकता है

मान लीजिए कि असीमित वृद्धि वाले अनुक्रम की एक सीमा होती है

इस मामले में, संख्या S, यानी प्रगति के आंशिक योगों की सीमा, अनंत प्रगति का योग कहलाती है। हम साबित करेंगे कि एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति का हमेशा योग होता है, और इस योग के लिए एक सूत्र प्राप्त होता है (हम यह भी दिखा सकते हैं कि अनंत प्रगति के लिए कोई योग नहीं है, मौजूद नहीं है)।

हम आंशिक योग के लिए सूत्र (91.1) के अनुसार प्रगति की शर्तों के योग के रूप में लिखते हैं और आंशिक योग की सीमा पर विचार करते हैं

मद 89 के प्रमेय से ज्ञात होता है कि घटती प्रगति के लिए; इसलिए, अंतर सीमा प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं

(यहां नियम का भी उपयोग किया जाता है: स्थिर कारक सीमा के संकेत से लिया जाता है)। अस्तित्व सिद्ध हो जाता है, और साथ ही एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग का सूत्र प्राप्त होता है:

समानता (92.1) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

यहां यह विरोधाभासी लग सकता है कि एक अच्छी तरह से परिभाषित परिमित मान को अनंत शब्दों के योग के लिए सौंपा गया है।

इस स्थिति को स्पष्ट करने के लिए एक स्पष्ट उदाहरण दिया जा सकता है। एक वर्ग पर विचार करें जिसकी भुजा एक के बराबर हो (चित्र 72)। आइए हम इस वर्ग को एक क्षैतिज रेखा से दो बराबर भागों में विभाजित करें और ऊपरी भाग को निचले हिस्से पर लागू करें ताकि एक आयत का निर्माण 2 और पक्षों के साथ हो। उसके बाद, हम फिर से इस आयत के दाहिने आधे हिस्से को एक क्षैतिज रेखा से आधे में विभाजित करते हैं और ऊपरी हिस्से को निचले हिस्से से जोड़ते हैं (जैसा कि चित्र 72 में दिखाया गया है)। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम लगातार 1 के बराबर क्षेत्रफल वाले मूल वर्ग को समान आकार के आंकड़ों में बदल रहे हैं (पतले कदमों के साथ सीढ़ी का रूप लेते हुए)।

इस प्रक्रिया की एक अनंत निरंतरता के साथ, वर्ग का पूरा क्षेत्र अनंत शब्दों में विघटित हो जाता है - आयतों के क्षेत्र जिनके आधार 1 और ऊंचाई के बराबर होते हैं। आयतों के क्षेत्र केवल एक अनंत घटती प्रगति का निर्माण करते हैं, इसका योग

यानी, जैसा कि अपेक्षित था, वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है।

उदाहरण। निम्नलिखित अनंत प्रगति का योग ज्ञात कीजिए:

हल, क) हम देखते हैं कि यह प्रगति इसलिए, सूत्र (92.2) से हम पाते हैं

ख) यहाँ इसका अर्थ है कि उसी सूत्र (92.2) से हमारे पास है

ग) हम पाते हैं कि यह प्रगति इसलिए, इस प्रगति का कोई योग नहीं है।

खंड 5 में, हमने एक आवर्ती दशमलव भिन्न को एक साधारण भिन्न में बदलने के लिए अनंत रूप से घटती प्रगति के पदों के योग के लिए सूत्र के अनुप्रयोग को दिखाया।

अभ्यास

1. एक अपरिमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति का योग 3/5 है, और इसके पहले चार पदों का योग 13/27 है। प्रगति का पहला पद और हर ज्ञात कीजिए।

2. ऐसी चार संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो एक प्रत्यावर्ती गुणोत्तर श्रेणी बनाती हैं, जिसमें दूसरा पद पहले पद से 35 कम और तीसरा चौथे से 560 अधिक है।

3. दिखाओ क्या होगा अगर अनुक्रम

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति बनाता है, फिर अनुक्रम

किसी भी रूप के लिए एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति। क्या यह दावा सही है

एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के उत्पाद के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।