सबसे पहले जैकोबी द्वारा स्पष्ट रूप से कहा गया कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत हैमिल्टन के सिद्धांत के समान है, लेकिन कम सामान्य और साबित करना अधिक कठिन है। यह सिद्धांत केवल उस मामले पर लागू होता है जब कनेक्शन और बल कार्य समय पर निर्भर नहीं होते हैं और इसलिए, जीवित शक्ति का अभिन्न अंग होता है।

यह अभिन्न दिखता है:

ऊपर बताए गए हैमिल्टन के सिद्धांत में कहा गया है कि इंटीग्रल की भिन्नता

शून्य के बराबर होता है जब वास्तविक गति किसी अन्य असीम रूप से निकट गति से गुजरती है जो सिस्टम को उसी प्रारंभिक स्थिति से उसी समय अंतराल में समान अंतिम स्थिति में ले जाती है।

जैकोबी सिद्धांत, इसके विपरीत, एक संपत्ति, गति को व्यक्त करता है, जो समय पर निर्भर नहीं करता है। जैकोबी अभिन्न मानते हैं

परिभाषित करने की क्रिया। उन्होंने जो सिद्धांत स्थापित किया, वह बताता है कि जब हम सिस्टम की वास्तविक गति की तुलना किसी अन्य असीम रूप से करीबी गति से करते हैं, जो सिस्टम को उसी प्रारंभिक स्थिति से उसी अंतिम स्थिति में ले जाती है, तो इस इंटीग्रल की भिन्नता शून्य होती है। इस मामले में, हम खर्च किए गए समय अंतराल पर ध्यान नहीं देते हैं, लेकिन हम समीकरण (1) का निरीक्षण करते हैं, अर्थात, वास्तविक गति के समान स्थिर एच के समान मान के साथ जनशक्ति का समीकरण।

यह आवश्यक चरम स्थिति आम तौर पर कम से कम अभिन्न (2) की ओर ले जाती है, जहां से कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत का नाम आता है। न्यूनतम स्थिति सबसे स्वाभाविक लगती है, क्योंकि टी का मान अनिवार्य रूप से सकारात्मक है, और इसलिए अभिन्न (2) में न्यूनतम होना चाहिए। न्यूनतम के अस्तित्व को केवल तभी सिद्ध किया जा सकता है जब समय अंतराल पर्याप्त रूप से छोटा हो। इस प्रस्ताव का प्रमाण सतह के सिद्धांत पर डारबौक्स के प्रसिद्ध पाठ्यक्रम में पाया जा सकता है। हालांकि, हम इसे यहां पेश नहीं करेंगे और इस शर्त को प्राप्त करने तक ही सीमित रहेंगे

432. कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत का प्रमाण।

वास्तविक गणना में हम एक कठिनाई का सामना करते हैं जो हैमिल्टन के प्रमेय के प्रमाण में मौजूद नहीं है। चर t अब भिन्नता से स्वतंत्र नहीं रहता है; तो q i और q के रूपांतर। समीकरण (1) से आने वाले एक जटिल संबंध द्वारा t की भिन्नता से संबंधित हैं। इस कठिनाई को दूर करने का सबसे आसान तरीका स्वतंत्र चर को उस में बदलना है जिसका मान स्थिर समय-स्वतंत्र सीमाओं के बीच है। मान लीजिए k एक नया स्वतंत्र चर है जिसकी सीमाएँ t से स्वतंत्र मानी जाती हैं। सिस्टम को स्थानांतरित करते समय, पैरामीटर और टी इस चर के कार्य होंगे

मान लीजिए कि प्राइम किए गए अक्षर q समय के संबंध में q मापदंडों के व्युत्पन्न को दर्शाते हैं।

चूँकि कड़ियों को समय से स्वतंत्र माना जाता है, कार्तीय निर्देशांक x, y, z q के फलन हैं जिनमें समय नहीं होता है। इसलिए उनके अवकलज q के रैखिक समांगी फलन होंगे और 7 q का एक समांगी द्विघात रूप होगा जिसके गुणांक q के फलन हैं। हमारे पास है

q के समय अवकलजों में अंतर करने के लिए, हम कोष्ठकों (q) से निरूपित करते हैं, q का अवकलज, जिसके संबंध में लिया गया है और इसके अनुसार रखा गया है

तब हमारे पास होगा

और नए स्वतंत्र चर ए के माध्यम से व्यक्त अभिन्न (2), रूप लेगा;

जीवित बल प्रमेय का उपयोग करके व्युत्पन्न को समाप्त किया जा सकता है। वास्तव में, जीवित शक्ति का अभिन्न अंग होगा

इस व्यंजक को के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम समाकलन (2) को रूप में लाते हैं

इस प्रकार क्रिया को परिभाषित करने वाले अभिन्न ने अंतिम रूप (3) लिया। समाकलन मात्राओं के द्विघात रूप का वर्गमूल है

आइए हम दिखाते हैं कि अभिन्न (3) के चरमपंथियों के अंतर समीकरण बिल्कुल लैग्रेंज समीकरण हैं। विविधताओं की गणना के सामान्य सूत्रों के आधार पर चरम समीकरण होंगे:

हम समीकरणों को 2 से गुणा करते हैं और आंशिक विभेदन करते हैं, यह ध्यान में रखते हुए कि इसमें शामिल नहीं है, तो हम प्राप्त करते हैं, यदि हम सूचकांक नहीं लिखते हैं,

ये स्वतंत्र चर के रूप में व्यक्त किए गए चरम समीकरण हैं। अब कार्य स्वतंत्र चर पर वापस जाना है

चूंकि Г दूसरी डिग्री का एक सजातीय कार्य है और पहली डिग्री का एक सजातीय कार्य है, हमारे पास है

दूसरी ओर, हम जीवित बल प्रमेय को एक्सट्रीमल्स के समीकरणों में डेरिवेटिव के कारकों पर लागू कर सकते हैं, जो कि, जैसा कि हमने ऊपर देखा, प्रतिस्थापन के लिए ले जाता है

सभी प्रतिस्थापनों के परिणामस्वरूप, चरम समीकरण फॉर्म में कम हो जाते हैं

इस प्रकार हम लैग्रेंज समीकरण पर पहुँचे हैं।

433. मामला जब कोई ड्राइविंग बल नहीं है।

मामले में जब कोई ड्राइविंग बल नहीं होते हैं, तो जनशक्ति के लिए एक समीकरण होता है और हमारे पास होता है

शर्त यह है कि अभिन्न न्यूनतम है, इस मामले में, -10 का संगत मान सबसे छोटा होना चाहिए। इस प्रकार, जब कोई प्रेरक शक्ति नहीं होती है, तो सभी आंदोलनों में जिसमें जीवित शक्ति समान दिए गए मूल्य को बरकरार रखती है, वास्तविक गति वह है जो कम से कम समय में प्रणाली को अपनी प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति में लाती है।

यदि प्रणाली को एक निश्चित सतह के साथ चलते हुए एक बिंदु तक कम कर दिया जाता है, तो वास्तविक गति, सतह के साथ सभी गतियों के बीच, एक ही गति से की जाती है, एक ऐसी गति होती है जिसमें बिंदु अपनी प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक जाता है। सबसे छोटा

समय अंतराल। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु सतह पर अपनी दो स्थितियों के बीच सबसे छोटी रेखा का वर्णन करता है, अर्थात, एक भूगणितीय रेखा।

434. टिप्पणी।

कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत मानता है कि प्रणाली में स्वतंत्रता की कई डिग्री हैं, क्योंकि यदि केवल एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है, तो गति को निर्धारित करने के लिए एक समीकरण पर्याप्त होगा। चूंकि इस मामले में गति पूरी तरह से जीवित बल के समीकरण द्वारा निर्धारित की जा सकती है, वास्तविक गति केवल वही होगी जो इस समीकरण को संतुष्ट करती है, और इसलिए किसी अन्य गति के साथ तुलना नहीं की जा सकती है।

हमने संक्षेप में सबसे उल्लेखनीय भौतिक सिद्धांतों में से एक की समीक्षा की - कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत, और एक ऐसे उदाहरण पर समझौता किया जो इसके विपरीत प्रतीत होता है। इस लेख में, हम इस सिद्धांत पर करीब से नज़र डालेंगे और देखेंगे कि इस उदाहरण में क्या होता है।

इस बार हमें थोड़ा और गणित चाहिए। हालाँकि, मैं फिर से लेख के मुख्य भाग को प्राथमिक स्तर पर प्रस्तुत करने का प्रयास करूँगा। मैं रंग में थोड़ा और सख्त और जटिल बिंदुओं पर प्रकाश डालूंगा, उन्हें लेख की मुख्य समझ के पूर्वाग्रह के बिना छोड़ दिया जा सकता है।

सीमा की स्थिति

आइए सबसे सरल वस्तु से शुरू करें - अंतरिक्ष में स्वतंत्र रूप से घूमने वाली एक गेंद, जो किसी भी बल से प्रभावित नहीं होती है। ऐसी गेंद, जैसा कि ज्ञात है, समान रूप से और सीधी रेखा में चलती है। सादगी के लिए, मान लें कि यह अक्ष के साथ चलता है:

इसकी गति का सटीक वर्णन करने के लिए, एक नियम के रूप में, प्रारंभिक शर्तें दी गई हैं। उदाहरण के लिए, यह निर्दिष्ट किया जाता है कि प्रारंभिक समय में गेंद निर्देशांक के साथ बिंदु पर थी और उसकी गति थी। इस रूप में प्रारंभिक स्थितियों को निर्धारित करके, हम विशिष्ट रूप से गेंद की आगे की गति को निर्धारित करते हैं - यह एक स्थिर गति से आगे बढ़ेगी, और समय के समय इसकी स्थिति प्रारंभिक स्थिति के साथ-साथ बीता हुआ समय से गुणा की गई गति के बराबर होगी। : . प्रारंभिक स्थितियों को स्थापित करने का यह तरीका बहुत स्वाभाविक और सहज ज्ञान युक्त है। हमने प्रारंभिक समय में गेंद की गति के बारे में सभी आवश्यक जानकारी दी है, और फिर इसकी गति न्यूटन के नियमों द्वारा निर्धारित की जाती है।

हालांकि, गेंद की गति को निर्दिष्ट करने का यह एकमात्र तरीका नहीं है। दूसरा वैकल्पिक तरीका गेंद की स्थिति को दो अलग-अलग समय पर निर्दिष्ट करना और . वे। सेट करें कि:

1) उस समय गेंद एक बिंदु पर थी (समन्वय के साथ);
2) उस समय गेंद एक बिंदु पर थी (समन्वय के साथ)।

अभिव्यक्ति "बिंदु पर थी" का अर्थ यह नहीं है कि गेंद बिंदु पर आराम पर थी। समय के साथ यह बिंदु के माध्यम से उड़ सकता है। इसका मतलब है कि समय के समय इसकी स्थिति बिंदु के साथ मेल खाती है। डॉट के लिए भी यही सच है।

ये दो स्थितियां भी गेंद की गति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करती हैं। इसकी गति की गणना करना आसान है। दोनों शर्तों को पूरा करने के लिए, गेंद की गति स्पष्ट रूप से होनी चाहिए। समय के क्षण में गेंद की स्थिति फिर से प्रारंभिक स्थिति और बीता हुआ समय से गुणा गति के बराबर होगी:

ध्यान दें कि समस्या की स्थितियों में, हमें प्रारंभिक गति निर्धारित करने की आवश्यकता नहीं थी। यह विशिष्ट रूप से शर्तों 1) और 2) से निर्धारित किया गया था।

दूसरे तरीके से स्थितियां निर्धारित करना असामान्य लगता है। शायद यह स्पष्ट नहीं है कि उन्हें इस रूप में बिल्कुल सेट करना क्यों आवश्यक हो सकता है। हालांकि, कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत में, यह फॉर्म 1) और 2) की शर्तों का उपयोग किया जाता है, न कि प्रारंभिक स्थिति और प्रारंभिक गति को निर्दिष्ट करने के रूप में।

कम से कम कार्रवाई के साथ प्रक्षेपवक्र

अब आइए गेंद की वास्तविक मुक्त गति से थोड़ा हटकर देखें और निम्नलिखित विशुद्ध गणितीय समस्या पर विचार करें। मान लीजिए कि हमारे पास एक गेंद है जिसे हम किसी भी तरह से मैन्युअल रूप से स्थानांतरित कर सकते हैं। इस मामले में, हमें शर्तों 1) और 2) को पूरा करना होगा। वे। के बीच के समय अंतराल में और हमें इसे एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर ले जाना है। यह पूरी तरह से अलग तरीकों से किया जा सकता है। इस तरह से हम गेंद के प्रक्षेपवक्र को कॉल करेंगे और इसे समय से गेंद की स्थिति के एक कार्य के रूप में वर्णित किया जा सकता है। आइए गेंद बनाम समय की स्थिति के ग्राफ पर ऐसे कई प्रक्षेपवक्रों को प्लॉट करें:

उदाहरण के लिए, हम गेंद को (हरे रंग के प्रक्षेपवक्र) के बराबर गति से घुमा सकते हैं। या हम इसे आधे समय बिंदु पर रख सकते हैं और फिर इसे दोहरी गति (नीला पथ) पर बिंदु पर ले जा सकते हैं। आप पहले इसे विपरीत दिशा में ले जा सकते हैं, और फिर इसे (ब्राउन पथ) पर ले जा सकते हैं। आप इसे आगे और पीछे (लाल पथ) ले जा सकते हैं। सामान्य तौर पर, आप इसे अपनी इच्छानुसार स्थानांतरित कर सकते हैं, जब तक कि शर्तें 1) और 2) पूरी हो जाती हैं।

ऐसे प्रत्येक प्रक्षेपवक्र के लिए, हम एक संख्या का मिलान कर सकते हैं। हमारे उदाहरण में, अर्थात्। गेंद पर कार्य करने वाले किसी भी बल की अनुपस्थिति में, यह संख्या और के बीच के समय अंतराल में अपनी गति के पूरे समय के लिए कुल संचित गतिज ऊर्जा के बराबर होती है और क्रिया कहलाती है।

इस मामले में, "संचित" गतिज ऊर्जा शब्द का सही अर्थ नहीं बताता है। वास्तव में गतिज ऊर्जा कहीं भी जमा नहीं होती है, संचय का उपयोग केवल प्रक्षेपवक्र के लिए क्रिया की गणना के लिए किया जाता है। गणित में, इस तरह के संचय के लिए एक बहुत अच्छी अवधारणा है - अभिन्न:

क्रिया को आमतौर पर पत्र द्वारा दर्शाया जाता है। प्रतीक का अर्थ गतिज ऊर्जा है। इस समाकलन का अर्थ है कि यह क्रिया गेंद की संचित गतिज ऊर्जा से से तक के समय अंतराल में बराबर होती है।

उदाहरण के तौर पर, आइए 1 किलो की गेंद लें, कुछ सीमा शर्तें निर्धारित करें और दो अलग-अलग प्रक्षेपवक्रों के लिए कार्रवाई की गणना करें। मान लीजिए बिंदु बिंदु से 1 मीटर की दूरी पर है, और समय समय से 1 सेकंड अलग है। वे। हमें गेंद को स्थानांतरित करना चाहिए, जो समय के प्रारंभिक क्षण में धुरी के साथ 1 मीटर की दूरी पर एक सेकंड में बिंदु पर था।

पहले उदाहरण (हरा प्रक्षेपवक्र) में, हमने गेंद को समान रूप से घुमाया, अर्थात। उसी गति के साथ, जो, जाहिर है, के बराबर होना चाहिए: m / s। समय के प्रत्येक क्षण में गेंद की गतिज ऊर्जा है: = 1/2 J. एक सेकंड में 1/2 J गतिज ऊर्जा जमा हो जाएगी। वे। इस तरह के एक प्रक्षेपवक्र के लिए कार्रवाई है: जे एस।

अब गेंद को तुरंत एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर न ले जाएं, बल्कि इसे आधे सेकंड के लिए बिंदु पर पकड़ें, और फिर, शेष समय के लिए, समान रूप से इसे बिंदु पर स्थानांतरित करें। पहले आधे सेकण्ड में गेंद विरामावस्था में है और उसकी गतिज ऊर्जा शून्य है। इसलिए, प्रक्षेपवक्र के इस हिस्से की कार्रवाई में योगदान भी शून्य के बराबर है। दूसरी छमाही के लिए, हम गेंद को दुगनी गति से घुमाते हैं: मी/से. इस स्थिति में गतिज ऊर्जा = 2 J के बराबर होगी। क्रिया में इस समय अंतराल का योगदान 2 J के आधे सेकण्ड के गुणनफल के बराबर होगा, अर्थात्। 1 जे एस। इसलिए, ऐसे प्रक्षेपवक्र के लिए कुल क्रिया J s के बराबर है।

इसी तरह, हमारे द्वारा दी गई सीमा शर्तों 1) और 2) के साथ कोई अन्य प्रक्षेपवक्र इस प्रक्षेपवक्र के लिए कार्रवाई के बराबर एक निश्चित संख्या से मेल खाती है। ऐसे सभी प्रक्षेपवक्रों में, कम से कम क्रिया के साथ एक प्रक्षेपवक्र है। यह साबित किया जा सकता है कि यह प्रक्षेपवक्र एक हरे रंग का प्रक्षेपवक्र है, अर्थात। गेंद की एक समान गति। किसी भी अन्य प्रक्षेपवक्र के लिए, चाहे वह कितना भी कठिन क्यों न हो, क्रिया 1/2 से अधिक होगी।

गणित में, एक निश्चित संख्या के प्रत्येक फलन के लिए ऐसी तुलना को फंक्शनल कहा जाता है। अक्सर भौतिकी और गणित में हमारी जैसी ही समस्याएं होती हैं, अर्थात्। ऐसा फलन ज्ञात करना जिसके लिए एक निश्चित प्रकार्य का मान न्यूनतम हो। उदाहरण के लिए, गणित के विकास के लिए महान ऐतिहासिक महत्व वाली समस्याओं में से एक बाकिस्टोक्रोन की समस्या है। वे। उस वक्र का पता लगाना जिसके साथ गेंद सबसे तेजी से लुढ़कती है। फिर से, प्रत्येक वक्र को फ़ंक्शन h (x) द्वारा दर्शाया जा सकता है, और प्रत्येक फ़ंक्शन को एक संख्या सौंपी जा सकती है, इस मामले में, गेंद के लुढ़कने का समय। फिर, समस्या को एक फ़ंक्शन खोजने के लिए कम कर दिया गया है जिसके लिए कार्यात्मक का मूल्य न्यूनतम है। गणित की वह शाखा जो ऐसी समस्याओं से संबंधित है, विविधताओं का कलन कहलाती है।

कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत

ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों में, हमारे पास दो अलग-अलग तरीकों से प्राप्त दो विशेष प्रक्षेपवक्र हैं।

पहला प्रक्षेपवक्र भौतिकी के नियमों से प्राप्त होता है और एक मुक्त गेंद के वास्तविक प्रक्षेपवक्र से मेल खाता है, जो किसी भी बल से प्रभावित नहीं होता है और जिसके लिए सीमा की शर्तें 1 और 2 के रूप में दी जाती हैं)।

दूसरा प्रक्षेपवक्र दी गई सीमा शर्तों 1) और 2) के साथ एक प्रक्षेपवक्र खोजने की गणितीय समस्या से प्राप्त होता है, जिसके लिए कार्रवाई न्यूनतम होती है।

कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत कहता है कि इन दो रास्तों का मेल होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, यदि यह ज्ञात है कि गेंद इस तरह से चलती है कि सीमा की शर्तें 1) और 2) संतुष्ट हैं, तो यह आवश्यक रूप से एक प्रक्षेपवक्र के साथ चला गया जिसके लिए समान सीमा शर्तों के साथ किसी भी अन्य प्रक्षेपवक्र की तुलना में कार्रवाई न्यूनतम है। .

इसे महज संयोग माना जा सकता है। आप उन समस्याओं को कभी नहीं जानते हैं जिनमें एकसमान प्रक्षेपवक्र और सीधी रेखाएँ दिखाई देती हैं। हालांकि, कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत एक बहुत ही सामान्य सिद्धांत निकला, जो अन्य स्थितियों में भी मान्य है, उदाहरण के लिए, एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गेंद की गति के लिए। ऐसा करने के लिए, आपको केवल गतिज ऊर्जा को गतिज और संभावित ऊर्जाओं के बीच के अंतर से बदलना होगा। इस अंतर को लैग्रेंजियन या लैग्रेंज फ़ंक्शन कहा जाता है और क्रिया अब कुल संचित लैग्रैंजियन के बराबर हो जाती है। वास्तव में, लैग्रेंज फ़ंक्शन में सिस्टम के गतिशील गुणों के बारे में सभी आवश्यक जानकारी होती है।

यदि हम एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक गेंद को इस तरह से लॉन्च करते हैं कि वह एक समय में एक बिंदु से आगे उड़ती है और एक समय पर एक बिंदु पर आती है, तो यह न्यूटन के नियमों के अनुसार एक परवलय के साथ उड़ जाएगी। यह परवलय है जो उन प्रक्षेप पथों से मेल खाएगा जिनके लिए क्रिया न्यूनतम होगी।

इस प्रकार, एक संभावित क्षेत्र में गतिमान पिंड के लिए, उदाहरण के लिए, पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में, लैग्रेंज फ़ंक्शन है: . गतिज ऊर्जा शरीर की गति पर निर्भर करती है, और स्थितिज ऊर्जा उसकी स्थिति पर निर्भर करती है, अर्थात। निर्देशांक। विश्लेषणात्मक यांत्रिकी में, सिस्टम की स्थिति निर्धारित करने वाले निर्देशांक के पूरे सेट को आमतौर पर एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से घूमने वाली गेंद के लिए, निर्देशांक का अर्थ है, और।

किसी मात्रा के परिवर्तन की दर को इंगित करने के लिए, भौतिकी में इस मात्रा पर केवल एक बिंदु लगाना बहुत आम है। उदाहरण के लिए, यह निर्देशांक के परिवर्तन की दर को दर्शाता है, या, दूसरे शब्दों में, दिशा में शरीर की गति को दर्शाता है। इन परिपाटी का उपयोग करते हुए, विश्लेषणात्मक यांत्रिकी में हमारी गेंद की गति के रूप में निरूपित किया जाता है। वे। मतलब वेग घटक।

चूंकि लैग्रेंज फ़ंक्शन वेग और निर्देशांक पर निर्भर करता है, और यह स्पष्ट रूप से समय पर भी निर्भर हो सकता है (स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर करता है, जिसका अर्थ है कि मूल्य अलग-अलग समय पर समान गति और गेंद की स्थिति के लिए भिन्न होता है), फिर में कार्रवाई सामान्य के रूप में लिखा जाता है

हमेशा न्यूनतम नहीं

हालांकि, पिछले भाग के अंत में, हमने एक उदाहरण पर विचार किया जहां कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत स्पष्ट रूप से काम नहीं करता है। ऐसा करने के लिए, हमने फिर से एक मुक्त गेंद ली, जिस पर कोई बल कार्य नहीं करता है, और उसके बगल में एक स्प्रिंग वाली दीवार रख दी है।

हम सीमा की स्थिति इस तरह निर्धारित करते हैं कि अंक और संयोग। वे। और समय के समय और समय के समय गेंद एक ही बिंदु पर होनी चाहिए। संभावित प्रक्षेपवक्र में से एक स्थिर खड़ी गेंद होगी। वे। के बीच का पूरा समय अंतराल और यह बिंदु पर खड़ा होगा। इस मामले में गतिज और स्थितिज ऊर्जा शून्य के बराबर होगी, इसलिए ऐसे प्रक्षेपवक्र की क्रिया भी शून्य के बराबर होगी।

कड़ाई से बोलते हुए, संभावित ऊर्जा को शून्य के बराबर नहीं, बल्कि किसी भी संख्या के बराबर लिया जा सकता है, क्योंकि अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर संभावित ऊर्जा में अंतर महत्वपूर्ण है। हालांकि, संभावित ऊर्जा के मूल्य में परिवर्तन न्यूनतम क्रिया के साथ प्रक्षेपवक्र की खोज को प्रभावित नहीं करता है। यह सिर्फ इतना है कि सभी प्रक्षेपवक्रों के लिए कार्रवाई का मूल्य एक ही संख्या से बदल जाएगा, और न्यूनतम क्रिया के साथ प्रक्षेपवक्र न्यूनतम क्रिया के साथ प्रक्षेपवक्र रहेगा। सुविधा के लिए, हम अपनी गेंद के लिए शून्य के बराबर स्थितिज ऊर्जा का चयन करेंगे।

समान सीमा स्थितियों के साथ एक और संभावित भौतिक प्रक्षेपवक्र वह प्रक्षेपवक्र होगा जिसमें गेंद पहले दाईं ओर उड़ती है, समय पर बिंदु से गुजरती है। फिर वह वसंत से टकराता है, इसे संकुचित करता है, वसंत, सीधा, गेंद को पीछे धकेलता है, और यह फिर से बिंदु के ऊपर से उड़ जाता है। आप गेंद की गति को चुन सकते हैं ताकि दीवार से उछलकर वह ठीक उसी समय बिंदु के ऊपर से उड़े। इस तरह के प्रक्षेपवक्र पर कार्रवाई मूल रूप से बिंदु और दीवार और पीठ के बीच उड़ान के दौरान संचित गतिज ऊर्जा के बराबर होगी। कुछ समय ऐसा होगा जब गेंद स्प्रिंग को संकुचित कर देगी और उसकी स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाएगी, और इस अवधि के दौरान स्थितिज ऊर्जा क्रिया में नकारात्मक योगदान देगी। लेकिन ऐसा समय बहुत बड़ा नहीं होगा और प्रभाव को बहुत कम नहीं करेगा।

यह आंकड़ा गेंद के दोनों शारीरिक रूप से संभव प्रक्षेपवक्र दिखाता है। हरे रंग का प्रक्षेपवक्र आराम की गेंद से मेल खाता है, जबकि नीला एक स्प्रिंग वाली दीवार से उछलती गेंद से मेल खाता है।

हालांकि, उनमें से केवल एक का न्यूनतम प्रभाव होता है, अर्थात् पहला वाला! दूसरे प्रक्षेपवक्र में अधिक क्रिया है। यह पता चला है कि इस समस्या में दो शारीरिक रूप से संभव प्रक्षेपवक्र हैं और केवल एक न्यूनतम क्रिया के साथ है। वे। इस मामले में, कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत काम नहीं करता है।

स्थिर बिंदु

यह समझने के लिए कि यहां क्या हो रहा है, आइए अभी के लिए कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत से हटें और सामान्य कार्यों से निपटें। आइए कुछ फ़ंक्शन लें और इसका ग्राफ बनाएं:

ग्राफ़ पर, मैंने हरे रंग में चार विशेष बिंदुओं को चिह्नित किया। इन बिंदुओं के लिए सामान्य क्या है? कल्पना कीजिए कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक वास्तविक स्लाइड है जिसके साथ एक गेंद लुढ़क सकती है। चार निर्दिष्ट बिंदु इसमें विशेष हैं कि यदि आप गेंद को ठीक इसी बिंदु पर रखते हैं, तो यह कहीं भी लुढ़कती नहीं है। अन्य सभी बिंदुओं पर, उदाहरण के लिए, बिंदु E, वह स्थिर नहीं रह पाएगा और नीचे की ओर खिसकना शुरू कर देगा। ऐसे बिंदुओं को स्थिर कहा जाता है। ऐसे बिन्दुओं को खोजना एक उपयोगी कार्य है, क्योंकि किसी फलन का कोई भी अधिकतम या न्यूनतम, यदि उसमें तीव्र विराम नहीं है, अनिवार्य रूप से एक स्थिर बिन्दु होना चाहिए।

यदि हम इन बिंदुओं को अधिक सटीक रूप से वर्गीकृत करते हैं, तो बिंदु A फ़ंक्शन का पूर्ण न्यूनतम है, अर्थात। इसका मान किसी अन्य फ़ंक्शन मान से कम है। बिंदु B न तो अधिकतम है और न ही न्यूनतम है और इसे काठी बिंदु कहा जाता है। बिंदु C को स्थानीय अधिकतम कहा जाता है, अर्थात। इसमें मान फ़ंक्शन के पड़ोसी बिंदुओं की तुलना में अधिक है। और बिंदु D एक स्थानीय न्यूनतम है, अर्थात। इसमें मान फ़ंक्शन के पड़ोसी बिंदुओं की तुलना में कम है।

कैलकुलस नामक गणित की शाखा ऐसे बिन्दुओं की खोज में लगी हुई है। दूसरे तरीके से, इसे कभी-कभी अपरिमित विश्लेषण भी कहा जाता है, क्योंकि यह अतिसूक्ष्म मात्राओं के साथ कार्य कर सकता है। गणितीय विश्लेषण की दृष्टि से स्थिर बिन्दुओं का एक विशेष गुण होता है, जिसके कारण वे पाए जाते हैं। यह गुण क्या है यह समझने के लिए, हमें यह समझने की आवश्यकता है कि इन बिंदुओं से बहुत कम दूरी पर फलन कैसा दिखता है। ऐसा करने के लिए, हम एक माइक्रोस्कोप लेते हैं और इसे अपने बिंदुओं पर देखते हैं। यह आंकड़ा दिखाता है कि विभिन्न आवर्धन पर विभिन्न बिंदुओं के आसपास फ़ंक्शन कैसा दिखता है।

यह देखा जा सकता है कि बहुत अधिक आवर्धन पर (अर्थात, x के बहुत छोटे विचलन के लिए), स्थिर बिंदु बिल्कुल समान दिखते हैं और गैर-स्थिर बिंदु से बहुत भिन्न होते हैं। यह समझना आसान है कि यह अंतर क्या है - एक स्थिर बिंदु पर एक फ़ंक्शन का ग्राफ वृद्धि के साथ एक सख्ती से क्षैतिज रेखा बन जाता है, और एक गैर-स्थिर बिंदु पर यह एक झुकाव बन जाता है। इसलिए स्थिर बिंदु पर स्थापित गेंद लुढ़केगी नहीं।

एक स्थिर बिंदु पर एक फ़ंक्शन की क्षैतिजता दूसरे तरीके से व्यक्त की जा सकती है: एक स्थिर बिंदु पर एक फ़ंक्शन व्यावहारिक रूप से अपने तर्क में बहुत छोटे परिवर्तन के साथ नहीं बदलता है, यहां तक ​​​​कि तर्क में परिवर्तन की तुलना में भी। एक छोटे से परिवर्तन के साथ एक गैर-स्थिर बिंदु पर कार्य परिवर्तन के आनुपातिक रूप से बदलता है। और फ़ंक्शन का ढलान जितना बड़ा होता है, फ़ंक्शन उतना ही अधिक बदलता है जब . वास्तव में, जैसे-जैसे फ़ंक्शन बढ़ता है, यह प्रश्न के बिंदु पर ग्राफ के स्पर्शरेखा की तरह अधिक से अधिक हो जाता है।

सख्त गणितीय भाषा में, अभिव्यक्ति "कार्य व्यावहारिक रूप से एक बहुत छोटे परिवर्तन के साथ एक बिंदु पर नहीं बदलता है" का अर्थ है कि फ़ंक्शन में परिवर्तन और इसके तर्क में परिवर्तन का अनुपात 0 हो जाता है क्योंकि यह 0 की ओर जाता है:

$$प्रदर्शन$$\lim_(∆x \to 0) \frac (∆y(x_0))(∆x) = \lim_(x \to 0) \frac (y(x_0+∆x)-y(x_0) )(∆x) = 0$$प्रदर्शन$$

एक गैर-स्थिर बिंदु के लिए, यह अनुपात एक गैर-शून्य संख्या की ओर जाता है, जो इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर है। किसी दिए गए बिंदु पर समान संख्या को फलन का अवकलज कहते हैं। किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न दिखाता है कि किसी दिए गए बिंदु के आसपास कोई फ़ंक्शन कितनी जल्दी बदलता है, इसके तर्क में एक छोटे से बदलाव के साथ। इस प्रकार, स्थिर बिंदु वे बिंदु होते हैं जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 होता है।

स्थिर प्रक्षेप पथ

स्थिर बिंदुओं के अनुरूप, हम स्थिर प्रक्षेपवक्र की अवधारणा को पेश कर सकते हैं। याद रखें कि प्रत्येक प्रक्षेपवक्र के लिए हमारे पास क्रिया का एक निश्चित मूल्य होता है, अर्थात। कुछ संख्या। फिर ऐसा प्रक्षेपवक्र हो सकता है कि समान सीमा स्थितियों के साथ इसके करीब के प्रक्षेपवक्र के लिए, कार्रवाई के संबंधित मूल्य व्यावहारिक रूप से सबसे स्थिर प्रक्षेपवक्र के लिए कार्रवाई से भिन्न नहीं होंगे। इस तरह के प्रक्षेपवक्र को स्थिर कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, स्थिर के करीब किसी भी प्रक्षेपवक्र का क्रिया मूल्य उस स्थिर प्रक्षेपवक्र के लिए कार्रवाई से बहुत कम भिन्न होगा।

फिर से, गणितीय भाषा में, "थोड़ा अलग" का निम्नलिखित सटीक अर्थ है। आइए मान लें कि हमारे पास आवश्यक सीमा शर्तों के साथ कार्यों के लिए एक कार्यात्मक है 1) और 2), यानी। तथा । आइए मान लें कि प्रक्षेपवक्र स्थिर है।

हम कोई अन्य फ़ंक्शन इस तरह ले सकते हैं कि वह सिरों पर शून्य मान लेता है, अर्थात। = = 0. एक वेरिएबल भी लें, जिसे हम छोटा और छोटा करेंगे। इन दो कार्यों और एक चर से, हम एक तीसरा कार्य बना सकते हैं जो सीमा की शर्तों को भी पूरा करेगा और . जैसे-जैसे यह घटता है, फ़ंक्शन के अनुरूप प्रक्षेपवक्र तेजी से प्रक्षेपवक्र के करीब पहुंच जाएगा।

इस मामले में, छोटे के लिए स्थिर प्रक्षेपवक्र के लिए, प्रक्षेपवक्र के लिए कार्यात्मक का मूल्य भी की तुलना में कार्यात्मक के मूल्य से बहुत कम भिन्न होगा। वे।

$$प्रदर्शन$$\lim_(ε \to 0) \frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=\lim_(ε \to 0) \frac (S(x( t)+εg(t))-S(x(t)))ε = 0$$प्रदर्शन$$

इसके अलावा, यह सीमा शर्तों = = 0 को संतुष्ट करने वाले किसी भी प्रक्षेपवक्र के लिए सही होना चाहिए।

फ़ंक्शन में एक छोटे से परिवर्तन के साथ कार्यात्मक में परिवर्तन (अधिक सटीक, कार्यात्मक में परिवर्तन का रैखिक भाग, फ़ंक्शन में परिवर्तन के आनुपातिक) को कार्यात्मक की भिन्नता कहा जाता है और इसे द्वारा निरूपित किया जाता है। "भिन्नता" शब्द से "विविधताओं की गणना" नाम आता है।

स्थिर प्रक्षेपवक्र के लिए, कार्यात्मक की भिन्नता।

स्थिर फलन (न केवल न्यूनतम क्रिया के सिद्धांत के लिए, बल्कि कई अन्य समस्याओं के लिए भी) को खोजने की विधि दो गणितज्ञों - यूलर और लैग्रेंज द्वारा खोजी गई थी। यह पता चला है कि एक स्थिर फ़ंक्शन जिसका कार्यात्मक क्रिया अभिन्न की तरह एक अभिन्न द्वारा व्यक्त किया जाता है, को एक निश्चित समीकरण को पूरा करना चाहिए, जिसे अब यूलर-लैग्रेंज समीकरण कहा जाता है।

स्थिर क्रिया का सिद्धांत

प्रक्षेपवक्र के लिए न्यूनतम कार्रवाई वाली स्थिति, कार्यों के लिए न्यूनतम के साथ स्थिति के समान है। कम से कम कार्रवाई करने के लिए एक प्रक्षेपवक्र के लिए, यह एक स्थिर प्रक्षेपवक्र होना चाहिए। हालांकि, सभी स्थिर प्रक्षेपवक्र न्यूनतम क्रिया के साथ प्रक्षेपवक्र नहीं हैं। उदाहरण के लिए, एक स्थिर प्रक्षेपवक्र में स्थानीय स्तर पर न्यूनतम क्रिया हो सकती है। वे। इसमें किसी भी अन्य पड़ोसी प्रक्षेपवक्र की तुलना में कम कार्रवाई होगी। हालांकि, कहीं दूर कहीं और भी प्रक्षेपवक्र हो सकते हैं जिनके लिए कार्रवाई और भी कम होगी।

यह पता चला है कि वास्तविक शरीर आवश्यक रूप से कम से कम कार्रवाई के साथ प्रक्षेपवक्र के साथ आगे नहीं बढ़ सकते हैं। वे विशेष प्रक्षेपवक्रों के एक व्यापक सेट के साथ आगे बढ़ सकते हैं, अर्थात् स्थिर प्रक्षेपवक्र। वे। शरीर का वास्तविक प्रक्षेप पथ सदैव स्थिर रहेगा। इसलिए कम से कम क्रिया के सिद्धांत को अधिक सही ढंग से स्थिर क्रिया का सिद्धांत कहा जाता है। हालांकि, स्थापित परंपरा के अनुसार, इसे अक्सर कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत कहा जाता है, न केवल न्यूनतमता, बल्कि प्रक्षेपवक्र की स्थिरता भी।

अब हम स्थिर क्रिया के सिद्धांत को गणितीय भाषा में लिख सकते हैं, जैसा कि आमतौर पर पाठ्यपुस्तकों में लिखा जाता है:।

यहाँ, सामान्यीकृत निर्देशांक हैं, अर्थात्। चर का एक सेट जो विशिष्ट रूप से सिस्टम की स्थिति को निर्दिष्ट करता है।
- सामान्यीकृत निर्देशांक के परिवर्तन की दर।
- लैग्रेंज फ़ंक्शन, जो सामान्यीकृत निर्देशांक, उनके वेग और, संभवतः, समय पर निर्भर करता है।
- एक क्रिया जो सिस्टम के विशिष्ट प्रक्षेपवक्र (यानी से) पर निर्भर करती है।

प्रणाली के वास्तविक प्रक्षेप पथ स्थिर हैं, अर्थात। उनके लिए, कार्रवाई का एक रूपांतर।

यदि हम एक गेंद और एक लोचदार दीवार के साथ उदाहरण पर लौटते हैं, तो इस स्थिति की व्याख्या अब बहुत सरल हो जाती है। दी गई सीमा शर्तों के तहत गेंद को समय और समय दोनों बिंदु पर होना चाहिए, दो स्थिर प्रक्षेपवक्र हैं। और गेंद वास्तव में इनमें से किसी भी प्रक्षेप पथ के साथ आगे बढ़ सकती है। किसी एक प्रक्षेप पथ को स्पष्ट रूप से चुनने के लिए, आप गेंद की गति पर एक अतिरिक्त शर्त लगा सकते हैं। उदाहरण के लिए, कहें कि गेंद को दीवार से उछालना चाहिए। फिर प्रक्षेपवक्र स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाएगा।

कम से कम (अधिक सटीक, स्थिर) कार्रवाई के सिद्धांत से, कुछ उल्लेखनीय परिणाम सामने आते हैं, जिनकी चर्चा हम अगले भाग में करेंगे।

जब मैंने पहली बार इस सिद्धांत के बारे में सीखा, तो मुझे किसी प्रकार के रहस्यवाद की अनुभूति हुई। ऐसा लगता है कि प्रकृति रहस्यमय तरीके से सिस्टम की गति के सभी संभावित तरीकों को छांटती है और उनमें से सर्वश्रेष्ठ को चुनती है।

आज मैं सबसे उल्लेखनीय भौतिक सिद्धांतों में से एक के बारे में बात करना चाहता हूं - कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत।

पार्श्वभूमि

गैलीलियो के समय से, यह ज्ञात है कि जिन पिंडों पर किसी भी बल द्वारा कार्रवाई नहीं की जाती है, वे सीधी रेखाओं में चलते हैं, यानी सबसे छोटे रास्ते पर। प्रकाश किरणें भी सीधी रेखा में गमन करती हैं।

परावर्तित होने पर प्रकाश भी इस प्रकार गति करता है कि एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक सबसे कम समय में पहुँचता है। चित्र में सबसे छोटा पथ हरा पथ होगा, जिस पर आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है। कोई अन्य पथ, जैसे लाल वाला, लंबा होगा।

यह केवल दर्पण के विपरीत दिशा में किरणों के पथ को प्रतिबिंबित करके साबित करना आसान है। उन्हें चित्र में बिंदीदार रेखाओं में दिखाया गया है।

यह देखा जा सकता है कि हरा पथ एसीबी एक सीधी रेखा एसीबी में बदल जाता है। और लाल पथ एक टूटी हुई रेखा ADB ' में बदल जाता है, जो निश्चित रूप से हरे रंग से लंबी होती है।

1662 में, पियरे फ़र्मेट ने सुझाव दिया कि कांच जैसे घने पदार्थ में प्रकाश की गति हवा की तुलना में कम होती है। इससे पहले, आम तौर पर स्वीकृत संस्करण डेसकार्टेस था, जिसके अनुसार अपवर्तन का सही नियम प्राप्त करने के लिए पदार्थ में प्रकाश की गति हवा से अधिक होनी चाहिए। फ़र्मेट के लिए, यह धारणा कि प्रकाश एक दुर्लभ माध्यम की तुलना में सघन माध्यम में तेजी से आगे बढ़ सकता है, अप्राकृतिक लग रहा था। इसलिए, उन्होंने मान लिया कि सब कुछ बिल्कुल विपरीत है और एक आश्चर्यजनक बात साबित हुई - इस धारणा के तहत, प्रकाश को अपवर्तित किया जाता है ताकि कम से कम समय में अपने गंतव्य तक पहुंच सके।

आकृति में फिर से, हरा रंग उस पथ को दर्शाता है जिससे प्रकाश किरण वास्तव में यात्रा करती है। लाल रंग में चिह्नित पथ सबसे छोटा है, लेकिन सबसे तेज़ नहीं है, क्योंकि प्रकाश के पास कांच में यात्रा करने के लिए लंबा रास्ता है, और इसकी गति धीमी है। सबसे तेज़ प्रकाश पुंज का वास्तविक पथ है।

इन सभी तथ्यों ने सुझाव दिया कि प्रकृति कुछ तर्कसंगत तरीके से कार्य करती है, प्रकाश और शरीर सबसे इष्टतम तरीके से चलते हैं, जितना संभव हो उतना कम प्रयास करते हैं। लेकिन ये प्रयास क्या थे और इनकी गणना कैसे की जाए, यह एक रहस्य बना हुआ है।

1744 में, माउपर्टुइस ने "कार्रवाई" की अवधारणा की शुरुआत की और सिद्धांत तैयार किया जिसके अनुसार एक कण का वास्तविक प्रक्षेपवक्र किसी अन्य से भिन्न होता है कि इसके लिए कार्रवाई न्यूनतम होती है। हालाँकि, मौपर्टुइस स्वयं यह स्पष्ट परिभाषा नहीं दे सका कि यह क्रिया किसके बराबर है। कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत का एक कठोर गणितीय सूत्रीकरण अन्य गणितज्ञों - यूलर, लैग्रेंज द्वारा विकसित किया गया था, और अंततः विलियम हैमिल्टन द्वारा दिया गया था:

गणितीय भाषा में, कम से कम क्रिया का सिद्धांत काफी संक्षेप में तैयार किया गया है, लेकिन सभी पाठक उपयोग किए गए संकेतन का अर्थ नहीं समझ सकते हैं। मैं इस सिद्धांत को अधिक स्पष्ट और सरल शब्दों में समझाने की कोशिश करना चाहता हूं।

ढीला शरीर

तो, कल्पना कीजिए कि आप एक बिंदु पर एक कार में बैठे हैं और एक समय में आपको एक सरल कार्य दिया जाता है: उस समय तक आपको बिंदु तक कार चलाने की आवश्यकता होती है।

कार के लिए ईंधन महंगा है और निश्चित रूप से, आप इसे जितना संभव हो उतना कम खर्च करना चाहते हैं। आपकी कार नवीनतम सुपर-टेक्नोलॉजी का उपयोग करके बनाई गई है और जितनी तेजी से आप चाहें उतनी तेजी से बढ़ सकती हैं या कम कर सकती हैं। हालाँकि, इसे इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि यह जितनी तेज़ी से जाता है, उतना ही अधिक ईंधन की खपत करता है। इसके अलावा, ईंधन की खपत गति के वर्ग के समानुपाती होती है। यदि आप दुगनी गति से गाड़ी चलाते हैं, तो आप उतने ही समय में 4 गुना अधिक ईंधन की खपत करते हैं। गति के अलावा, ईंधन की खपत, निश्चित रूप से, कार के द्रव्यमान से प्रभावित होती है। हमारी कार जितनी भारी होगी, वह उतना ही अधिक ईंधन की खपत करेगी। हमारी कार की ईंधन की खपत प्रत्येक क्षण में होती है, अर्थात। कार की गतिज ऊर्जा के ठीक बराबर है।

तो समय पर पहुंचने और जितना संभव हो उतना कम ईंधन का उपयोग करने के लिए आपको ड्राइव करने की क्या ज़रूरत है? यह स्पष्ट है कि आपको एक सीधी रेखा में जाने की आवश्यकता है। यात्रा की गई दूरी में वृद्धि के साथ, ईंधन की खपत बिल्कुल कम नहीं होगी। और फिर आप विभिन्न रणनीति चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप जल्दी से बिंदु पर पहले से पहुंच सकते हैं और बस बैठ सकते हैं, आने वाले समय की प्रतीक्षा कर सकते हैं। ड्राइविंग की गति, और इसलिए हर पल में ईंधन की खपत अधिक होगी, लेकिन ड्राइविंग का समय भी कम हो जाएगा। शायद इस मामले में कुल ईंधन की खपत इतनी बड़ी नहीं होगी। या आप समान गति से समान रूप से जा सकते हैं, जैसे कि, बिना जल्दी किए, ठीक समय पर पहुंचें। या तेजी से जाने के रास्ते का हिस्सा, और हिस्सा धीमा। जाने का सबसे अच्छा तरीका क्या है?

यह पता चला है कि ड्राइव करने का सबसे इष्टतम, सबसे किफायती तरीका स्थिर गति से ड्राइव करना है, जैसे कि नियत समय पर बिंदु पर होना। कोई अन्य विकल्प अधिक ईंधन का उपयोग करेगा। आप कुछ उदाहरणों के साथ अपने लिए जाँच कर सकते हैं। कारण यह है कि गति के वर्ग के साथ ईंधन की खपत बढ़ जाती है। इसलिए, जैसे-जैसे गति बढ़ती है, ड्राइविंग समय कम होने की तुलना में ईंधन की खपत तेजी से बढ़ती है, और कुल ईंधन की खपत भी बढ़ जाती है।

इसलिए, हमने पाया कि यदि कोई कार अपनी गतिज ऊर्जा के अनुपात में किसी भी समय ईंधन की खपत करती है, तो निश्चित समय पर बिंदु से बिंदु तक पहुंचने का सबसे किफायती तरीका समान रूप से और सीधी रेखा में ड्राइव करना है, जैसे कोई पिंड उस पर कार्य करने वाले बलों की अनुपस्थिति में गति करता है। ड्राइविंग के किसी अन्य तरीके से समग्र ईंधन की खपत अधिक होगी।

गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र में

आइए अब अपनी कार में थोड़ा सुधार करें। आइए इसमें जेट इंजन लगाएं ताकि यह किसी भी दिशा में स्वतंत्र रूप से उड़ सके। सामान्य तौर पर, डिजाइन समान रहा, इसलिए ईंधन की खपत फिर से कार की गतिज ऊर्जा के समानुपाती रही। यदि कार्य अब एक समय पर एक बिंदु से प्रस्थान करने और समय t पर एक बिंदु पर पहुंचने के लिए दिया जाता है, तो सबसे किफायती तरीका, निश्चित रूप से, पहले की तरह, समान रूप से और एक सीधी रेखा में बिल्कुल बिंदु पर पहुंचने के लिए उड़ान भरेगा। नियत समय टी. यह फिर से त्रि-आयामी अंतरिक्ष में शरीर की मुक्त गति से मेल खाता है।

हालांकि, कार के लेटेस्ट मॉडल में एक असामान्य डिवाइस लगाया गया था। यह इकाई कुछ भी नहीं से सचमुच ईंधन का उत्पादन करने में सक्षम है। लेकिन डिजाइन ऐसा है कि कार जितनी ऊंची होगी, डिवाइस किसी भी समय उतना ही अधिक ईंधन पैदा करेगा। ईंधन उत्पादन सीधे उस ऊंचाई के समानुपाती होता है जिस पर वाहन वर्तमान में स्थित है। साथ ही, कार जितनी भारी होती है, उस पर उतना ही शक्तिशाली उपकरण स्थापित होता है और जितना अधिक ईंधन पैदा होता है, और आउटपुट कार के द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक होता है। उपकरण ऐसा निकला कि ईंधन उत्पादन बिल्कुल बराबर है (जहां फ्री फॉल एक्सेलेरेशन है), यानी। कार की संभावित ऊर्जा।

समय के प्रत्येक क्षण में ईंधन की खपत कार की संभावित ऊर्जा को घटाकर गतिज ऊर्जा के बराबर होती है (संभावित ऊर्जा को घटाकर, क्योंकि स्थापित वाहन ईंधन का उत्पादन करता है, और खर्च नहीं करता है)। अब हमारा काम बिंदुओं के बीच कार की सबसे किफायती आवाजाही है और यह और अधिक कठिन हो जाता है। इस मामले में रेक्टिलिनियर एकसमान गति सबसे प्रभावी नहीं है। यह पता चला है कि थोड़ा चढ़ना अधिक इष्टतम है, थोड़ी देर के लिए वहां रुकें, अधिक ईंधन विकसित करें, और फिर बिंदु पर उतरें। सही उड़ान पथ के साथ, चढ़ाई के कारण कुल ईंधन की खपत पथ की लंबाई बढ़ाने और गति बढ़ाने के लिए अतिरिक्त ईंधन लागत को कवर करेगी। यदि सावधानी से गणना की जाए, तो कार के लिए सबसे किफायती तरीका एक परवलय में उड़ना होगा, ठीक उसी प्रक्षेपवक्र में और ठीक उसी गति से जैसे कि एक पत्थर पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उड़ता है।

यहां यह स्पष्टीकरण देने लायक है। बेशक, एक पत्थर को एक बिंदु से कई अलग-अलग तरीकों से फेंकना संभव है ताकि वह बिंदु से टकराए। लेकिन आपको इसे इस तरह से फेंकने की जरूरत है कि, एक समय में एक बिंदु से बाहर निकलने के बाद, यह ठीक समय पर एक बिंदु से टकराए। यह आंदोलन है जो हमारी कार के लिए सबसे किफायती होगा।

लैग्रेंज फ़ंक्शन और कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत

अब हम इस सादृश्य को वास्तविक भौतिक निकायों में स्थानांतरित कर सकते हैं। निकायों के लिए ईंधन की खपत की तीव्रता के एक एनालॉग को लैग्रेंज फ़ंक्शन या लैग्रेंजियन (लैग्रेंज के सम्मान में) कहा जाता है और इसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। लैग्रैंजियन दिखाता है कि एक निश्चित समय में शरीर कितना "ईंधन" खर्च करता है। एक संभावित क्षेत्र में गतिमान पिंड के लिए, लैग्रैन्जियन उसकी गतिज ऊर्जा घटा उसकी स्थितिज ऊर्जा के बराबर है।

आंदोलन के पूरे समय के लिए खपत किए गए ईंधन की कुल मात्रा का एक एनालॉग, अर्थात। गति के पूरे समय में संचित लैग्रेंजियन के मूल्य को "क्रिया" कहा जाता है।

कम से कम क्रिया का सिद्धांत यह है कि शरीर इस तरह से चलता है कि क्रिया (जो गति के प्रक्षेपवक्र पर निर्भर करती है) न्यूनतम हो। इस मामले में, किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि प्रारंभिक और अंतिम शर्तें दी गई हैं, अर्थात। जहां शरीर समय और समय पर होता है।

इस मामले में, शरीर को एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में नहीं जाना पड़ता है, जिसे हमने अपनी कार के लिए माना था। आप पूरी तरह से अलग स्थितियों पर विचार कर सकते हैं। एक शरीर रबर बैंड पर दोलन कर सकता है, एक पेंडुलम पर झूल सकता है या सूर्य के चारों ओर उड़ सकता है, इन सभी मामलों में यह इस तरह से चलता है कि "कुल ईंधन खपत" को कम किया जा सके। गतिविधि।

यदि प्रणाली में कई निकाय होते हैं, तो इस तरह की प्रणाली का लैग्रैन्जियन सभी निकायों की कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होगा जो सभी निकायों की कुल संभावित ऊर्जा घटाएगा। और फिर से, सभी निकाय एक साथ चलेंगे ताकि इस तरह के आंदोलन के दौरान पूरे सिस्टम का प्रभाव कम से कम हो।

इतना आसान नहीं

वास्तव में, मैंने यह कहकर थोड़ा धोखा दिया कि शरीर हमेशा इस तरह से चलते हैं कि कार्रवाई कम से कम हो। हालांकि बहुत से मामलों में यह सच है, उन स्थितियों के बारे में सोचना संभव है जिनमें कार्रवाई स्पष्ट रूप से न्यूनतम नहीं है।

उदाहरण के लिए, आइए एक गेंद लें और उसे किसी खाली जगह पर रखें। इससे कुछ दूरी पर हम एक लोचदार दीवार लगाते हैं। मान लीजिए कि हम चाहते हैं कि गेंद कुछ समय बाद उसी स्थान पर समाप्त हो जाए। इन दी गई शर्तों के तहत, गेंद दो अलग-अलग तरीकों से आगे बढ़ सकती है। सबसे पहले, वह बस लगा रह सकता है। दूसरे, आप इसे दीवार की ओर धकेल सकते हैं। गेंद दीवार तक पहुंचेगी, उसे उछालकर वापस आ जाएगी। यह स्पष्ट है कि आप इसे इतनी गति से धक्का दे सकते हैं कि यह बिल्कुल सही समय पर वापस आ जाए।

गेंद की गति के दोनों प्रकार संभव हैं, लेकिन दूसरे मामले में क्रिया अधिक होगी, क्योंकि इस समय गेंद गैर-शून्य गतिज ऊर्जा के साथ चलेगी।

कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत को कैसे बचाया जा सकता है ताकि ऐसी स्थितियों में यह सच हो? हम इस बारे में में बात करेंगे।

वे उसका पालन करते हैं, जिसके संबंध में यह सिद्धांत आधुनिक भौतिकी के प्रमुख प्रावधानों में से एक है। इसकी सहायता से प्राप्त गति के समीकरणों को यूलर-लैग्रेंज समीकरण कहते हैं।

सिद्धांत का पहला सूत्रीकरण 1999 में पी. माउपर्टुइस द्वारा दिया गया था, तुरंत इसकी सार्वभौमिक प्रकृति की ओर इशारा करते हुए, इसे प्रकाशिकी और यांत्रिकी पर लागू होने पर विचार किया गया था। इस सिद्धांत से, उन्होंने प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन के नियम प्राप्त किए।

कहानी

Maupertuis इस सिद्धांत पर इस भावना से आया है कि ब्रह्मांड की पूर्णता के लिए प्रकृति में एक निश्चित अर्थव्यवस्था की आवश्यकता होती है और यह ऊर्जा के किसी भी बेकार खर्च के विपरीत है। प्राकृतिक गति ऐसी होनी चाहिए कि कुछ मात्रा न्यूनतम हो जाए। केवल इस मूल्य को खोजना आवश्यक था, जिसे उन्होंने करना जारी रखा। यह प्रणाली के भीतर गति की अवधि (समय) का दोगुना राशि का उत्पाद था, जिसे अब हम सिस्टम की गतिज ऊर्जा कहते हैं।

यूलर (at "रिफ्लेक्सियंस सुर क्वेल्क्स लोइक्स जेनरलस डे ला नेचर", 1748) कार्रवाई को "प्रयास" कहते हुए कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत को अपनाता है। स्टैटिक्स में उनकी अभिव्यक्ति उस चीज से मेल खाती है जिसे अब हम संभावित ऊर्जा कहते हैं, ताकि स्टैटिक्स में कम से कम कार्रवाई का उनका बयान संतुलन विन्यास के लिए न्यूनतम संभावित ऊर्जा स्थिति के बराबर हो।

शास्त्रीय यांत्रिकी में

कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत यांत्रिकी के लैग्रैन्जियन और हैमिल्टनियन फॉर्मूलेशन के लिए मौलिक और मानक आधार के रूप में कार्य करता है।

आइए पहले निर्माण पर इस तरह विचार करें लग्रांगियन यांत्रिकी. एक डिग्री की स्वतंत्रता के साथ एक भौतिक प्रणाली के उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम याद करते हैं कि एक क्रिया (सामान्यीकृत) निर्देशांक (स्वतंत्रता की एक डिग्री के मामले में - एक समन्वय के मामले में) के संबंध में एक कार्यात्मक है, अर्थात यह इसके माध्यम से व्यक्त किया जाता है कि फ़ंक्शन का प्रत्येक बोधगम्य संस्करण एक निश्चित संख्या से जुड़ा है - एक क्रिया (इस अर्थ में, हम कह सकते हैं कि एक क्रिया के रूप में एक क्रिया एक नियम है जो किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए, एक अच्छी तरह से परिभाषित संख्या की गणना करने की अनुमति देता है - क्रिया भी कहा जाता है)। कार्रवाई की तरह दिखता है:

सामान्यीकृत समन्वय के आधार पर प्रणाली का लैग्रेंजियन कहां है, समय के संबंध में इसका पहला व्युत्पन्न, और संभवतः, स्पष्ट रूप से समय पर। यदि सिस्टम में स्वतंत्रता की अधिक डिग्री है, तो लैग्रैन्जियन बड़ी संख्या में सामान्यीकृत निर्देशांक और उनके पहली बार डेरिवेटिव पर निर्भर करता है। इस प्रकार, शरीर के प्रक्षेपवक्र के आधार पर क्रिया एक अदिश क्रियात्मक है।

तथ्य यह है कि कार्रवाई एक स्केलर है, इसे किसी भी सामान्यीकृत निर्देशांक में लिखना आसान बनाता है, मुख्य बात यह है कि सिस्टम की स्थिति (कॉन्फ़िगरेशन) उनके द्वारा विशिष्ट रूप से विशेषता है (उदाहरण के लिए, कार्टेशियन निर्देशांक के बजाय, ये ध्रुवीय हो सकते हैं निर्देशांक, प्रणाली के बिंदुओं के बीच की दूरी, कोण या उनके कार्य, आदि। घ)।

कार्रवाई की गणना पूरी तरह से मनमानी प्रक्षेपवक्र के लिए की जा सकती है, चाहे वह "जंगली" और "अप्राकृतिक" क्यों न हो। हालांकि, शास्त्रीय यांत्रिकी में, संभावित प्रक्षेपवक्रों के पूरे सेट में, केवल एक ही है जिसके साथ शरीर वास्तव में जाएगा। क्रिया की स्थिरता का सिद्धांत केवल इस प्रश्न का उत्तर देता है कि शरीर वास्तव में कैसे गति करेगा:

इसका मतलब यह है कि यदि सिस्टम का लैग्रेंजियन दिया गया है, तो विविधताओं के कलन का उपयोग करके हम यह स्थापित कर सकते हैं कि शरीर कैसे आगे बढ़ेगा, पहले गति के समीकरण प्राप्त करें - यूलर-लैग्रेंज समीकरण, और फिर उन्हें हल करें। यह न केवल यांत्रिकी के निर्माण को गंभीरता से सामान्य करने की अनुमति देता है, बल्कि प्रत्येक विशिष्ट समस्या के लिए सबसे सुविधाजनक निर्देशांक चुनने की अनुमति देता है, जो कार्टेशियन तक सीमित नहीं है, जो सबसे सरल और सबसे आसानी से हल किए गए समीकरणों को प्राप्त करने के लिए बहुत उपयोगी हो सकता है।

दिए गए सिस्टम का हैमिल्टन फ़ंक्शन कहां है; - (सामान्यीकृत) निर्देशांक, - संयुग्मित (सामान्यीकृत) आवेग, प्रत्येक दिए गए समय में सिस्टम की गतिशील स्थिति को एक साथ चिह्नित करते हैं और, प्रत्येक समय का एक कार्य होने के नाते, इस प्रकार सिस्टम के विकास (आंदोलन) की विशेषता है। इस मामले में, विहित हैमिल्टनियन समीकरणों के रूप में सिस्टम की गति के समीकरण प्राप्त करने के लिए, इस तरह से लिखी गई कार्रवाई को सभी के लिए स्वतंत्र रूप से बदलना आवश्यक है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि समस्या की स्थितियों से गति के नियम को सैद्धांतिक रूप से खोजना संभव है, तो यह स्वचालित रूप से होता है नहींइसका मतलब है कि एक कार्यात्मक निर्माण करना संभव है जो वास्तविक गति के दौरान एक स्थिर मूल्य लेता है। एक उदाहरण विद्युत आवेशों और मोनोपोल - चुंबकीय आवेशों - का विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में संयुक्त संचलन है। उनकी गति के समीकरण क्रिया की स्थिरता के सिद्धांत से नहीं निकाले जा सकते। इसी तरह, कुछ हैमिल्टनियन प्रणालियों में गति के समीकरण होते हैं जो इस सिद्धांत का पालन नहीं करते हैं।

उदाहरण

तुच्छ उदाहरण यूलर-लैग्रेंज समीकरणों के माध्यम से ऑपरेटिंग सिद्धांत के उपयोग का मूल्यांकन करने में मदद करते हैं। मुक्त कण (द्रव्यमान .) एमऔर गति वी) यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा में चलता है। यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का उपयोग करते हुए, इसे ध्रुवीय निर्देशांक में निम्नानुसार दिखाया जा सकता है। क्षमता की अनुपस्थिति में, लैग्रेंज फ़ंक्शन गतिज ऊर्जा के बराबर होता है

एक ओर्थोगोनल समन्वय प्रणाली में।

ध्रुवीय निर्देशांक में, गतिज ऊर्जा, और इसलिए लैग्रेंज फ़ंक्शन बन जाता है

समीकरणों के रेडियल और कोणीय घटक क्रमशः बन जाते हैं:

इन दो समीकरणों को हल करना

यहाँ, सभी प्रक्षेप पथ x(t) पर अनंत-गुना कार्यात्मक एकीकरण का एक सशर्त रिकॉर्ड है, और यह प्लैंक स्थिरांक है। हम इस बात पर जोर देते हैं कि, सिद्धांत रूप में, क्वांटम यांत्रिकी में विकास ऑपरेटर का अध्ययन करते समय, घातीय में कार्रवाई स्वयं प्रकट होती है (या प्रकट हो सकती है), हालांकि, उन प्रणालियों के लिए जिनके पास एक सटीक शास्त्रीय (गैर-क्वांटम) एनालॉग है, यह बिल्कुल बराबर है सामान्य शास्त्रीय क्रिया।

शास्त्रीय सीमा में इस अभिव्यक्ति का गणितीय विश्लेषण - पर्याप्त रूप से बड़े के लिए, यानी काल्पनिक घातांक के बहुत तेज़ दोलनों के लिए - यह दर्शाता है कि इस अभिन्न में सभी संभावित प्रक्षेपवक्रों का विशाल बहुमत एक दूसरे को सीमा में रद्द कर देता है (औपचारिक रूप से, पर) . लगभग किसी भी पथ के लिए, एक पथ है जिस पर चरण की घुसपैठ बिल्कुल विपरीत होगी, और वे शून्य योगदान तक जोड़ देंगे। केवल वे प्रक्षेप पथ जिनके लिए क्रिया चरम मान के करीब होती है (अधिकांश प्रणालियों के लिए - न्यूनतम) कम नहीं होती हैं। यह एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत से विशुद्ध रूप से गणितीय तथ्य है; उदाहरण के लिए, स्थिर चरण विधि इस पर आधारित है।

नतीजतन, कण, क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के अनुसार, सभी प्रक्षेपवक्रों के साथ एक साथ चलता है, लेकिन सामान्य परिस्थितियों में, केवल स्थिर (अर्थात, शास्त्रीय) के करीब प्रक्षेपवक्र मनाया मूल्यों में योगदान करते हैं। चूंकि क्वांटम यांत्रिकी उच्च ऊर्जाओं की सीमा में शास्त्रीय हो जाती है, हम मान सकते हैं कि यह है - क्रिया स्थिरता के शास्त्रीय सिद्धांत की क्वांटम यांत्रिक व्युत्पत्ति.

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, क्रिया की स्थिरता के सिद्धांत को भी सफलतापूर्वक लागू किया जाता है। यहां लैग्रैंगियन घनत्व में संबंधित क्वांटम क्षेत्रों के संचालक शामिल हैं। यद्यपि यह संक्षेप में यहाँ अधिक सही है (शास्त्रीय सीमा और आंशिक रूप से अर्ध-शास्त्रीय के अपवाद के साथ) कार्रवाई की स्थिरता के सिद्धांत के बारे में नहीं बोलना है, लेकिन इन क्षेत्रों के विन्यास या चरण स्थान में प्रक्षेपवक्र पर फेनमैन एकीकरण के बारे में - का उपयोग करना लैग्रैन्जियन घनत्व का अभी उल्लेख किया गया है।

आगे सामान्यीकरण

अधिक व्यापक रूप से, एक क्रिया को एक कार्यात्मक के रूप में समझा जाता है जो कॉन्फ़िगरेशन स्थान से वास्तविक संख्याओं के सेट में मैपिंग को परिभाषित करता है और सामान्य तौर पर, इसे एक अभिन्न नहीं होना चाहिए, क्योंकि गैर-स्थानीय क्रियाएं सिद्धांत रूप में संभव हैं, कम से कम सैद्धांतिक रूप से। इसके अलावा, एक कॉन्फ़िगरेशन स्थान आवश्यक रूप से एक फ़ंक्शन स्थान नहीं है क्योंकि इसमें एक गैर-कम्यूटेटिव ज्यामिति हो सकती है।

3.1 प्राकृतिक विज्ञान के इतिहास में वैज्ञानिक क्रांतियाँ

3.2. पहली वैज्ञानिक क्रांति। दुनिया की हेलियोसेंट्रिक प्रणाली। दुनिया की बहुलता का सिद्धांत

3.3. दूसरी वैज्ञानिक क्रांति। शास्त्रीय यांत्रिकी और प्रायोगिक प्राकृतिक विज्ञान का निर्माण। दुनिया की यांत्रिक तस्वीर

3.4. एक यांत्रिक दुनिया में रसायन विज्ञान

3.5. आधुनिक समय का प्राकृतिक विज्ञान और दार्शनिक पद्धति की समस्या

3.6. तीसरी वैज्ञानिक क्रांति। प्राकृतिक विज्ञान की बोली

3.7. प्राकृतिक विज्ञान की सफाई

3.8. विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के क्षेत्र में अनुसंधान और दुनिया की यंत्रवत तस्वीर के पतन की शुरुआत

मैं XX सदी का प्राकृतिक विज्ञान

4.1 चौथी वैज्ञानिक क्रांति। पदार्थ की गहराई में प्रवेश। सापेक्षता का सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी। दुनिया की यंत्रवत तस्वीर का अंतिम पतन

4.2. वैज्ञानिक और तकनीकी क्रांति, इसके प्राकृतिक विज्ञान घटक और ऐतिहासिक चरण

4.3. आधुनिक प्राकृतिक विज्ञान का पैनोरमा 4.3.1। XX सदी में विज्ञान के विकास की विशेषताएं

4.3.2. सूक्ष्म जगत और मेगावर्ल्ड का भौतिकी। परमाणु भौतिकी

4.3.3. आधुनिक रसायन विज्ञान की मुख्य दिशाओं में उपलब्धियां

4.3.4. XX सदी का जीव विज्ञान: जीवन के आणविक स्तर का ज्ञान। आधुनिक जीव विज्ञान की पृष्ठभूमि।

4.3.5. साइबरनेटिक्स और सहक्रिया विज्ञान

खंड III

मैं अंतरिक्ष और समय

1.1. न्यूटन से पूर्व काल में स्थान और समय के बारे में विचारों का विकास

1. 2. स्थान और समय

1.3. लॉन्ग रेंज और क्लोज रेंज। "क्षेत्र" की अवधारणा का विकास

2.1 गैलीलियन सापेक्षता का सिद्धांत

2.2. कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत

2.3. विशेष सापेक्षता ए. आइंस्टाइन

1. सापेक्षता का सिद्धांत: प्रकृति के सभी नियम संदर्भ के सभी जड़त्वीय फ्रेम में समान हैं।

2.4. सामान्य सापेक्षता के तत्व

3. मैक्रोस्कोपिक प्रक्रियाओं में ऊर्जा के संरक्षण का नियम

3.1. "जीवित बल"

3.2. यांत्रिकी में काम करें। यांत्रिकी में ऊर्जा के संरक्षण और परिवर्तन का नियम

3.3. आंतरिक ऊर्जा

3.4. विभिन्न प्रकार की ऊर्जा का एक दूसरे में अंतर्परिवर्तन

4. एन्ट्रापी बढ़ाने का सिद्धांत

4.1. आदर्श कार्नोट चक्र

4.2. एन्ट्रापी की अवधारणा

4.3. एन्ट्रापी और संभावना

4.4. आदेश और अराजकता। समय का तीर

4.5. "मैक्सवेल का दानव"

4.6. ब्रह्मांड की गर्मी से मृत्यु की समस्या। बोल्ट्जमान उतार-चढ़ाव परिकल्पना

4.7. सिनर्जेटिक्स। अराजकता से आदेश का जन्म

मैं क्वांटम भौतिकी के तत्व

5.1. प्रकाश की प्रकृति पर विचारों का विकास। प्लैंक फॉर्मूला

5.2. फोटॉन की ऊर्जा, द्रव्यमान और संवेग

5.3. डी ब्रोगली की परिकल्पना। पदार्थ के तरंग गुण

5.4. हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत

5.5. बोहर संपूरकता सिद्धांत

5.6. क्वांटम भौतिकी में अखंडता की अवधारणा। आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास

5.7. संभाव्यता तरंगें। श्रोडिंगर समीकरण। क्वांटम यांत्रिकी में कार्य-कारण सिद्धांत

5.8. भौतिक प्रणाली के राज्य। प्रकृति में गतिशील और सांख्यिकीय पैटर्न

5.9. सापेक्षिक क्वांटम भौतिकी। एंटीपार्टिकल्स की दुनिया। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

एक एकीकृत क्षेत्र सिद्धांत के निर्माण की ओर 6.1. नोएदर की प्रमेय और संरक्षण कानून

6.2. समरूपता की अवधारणा

6.3. गेज समरूपता

6.4. बातचीत। प्राथमिक कणों का वर्गीकरण

6.5. एक एकीकृत क्षेत्र सिद्धांत की ओर। सहज निर्वात समरूपता को तोड़ने का विचार

6.6. ब्रह्मांड के विकास की सिनर्जेटिक दृष्टि। भौतिक वस्तुओं का ऐतिहासिकता। भौतिकी में प्रारंभिक अमूर्तता के रूप में भौतिक निर्वात

6.7. मानवशास्त्रीय सिद्धांत। ब्रह्मांड की "ठीक ट्यूनिंग"

खंड IV

1. "समाज-प्रकृति" प्रणाली में रसायन विज्ञान

मैं रासायनिक पदनाम

खंड वी

मैं जीवन की उत्पत्ति के सिद्धांत

1.1. सृष्टिवाद

1.2. सहज (सहज) पीढ़ी

1.3. स्थिर राज्य सिद्धांत

1.4. पैनस्पर्मिया सिद्धांत

1.5. जैव रासायनिक विकास

2.1. लैमार्क का विकासवाद का सिद्धांत

2.2. डार्विन, वालेस और प्राकृतिक चयन के माध्यम से प्रजातियों की उत्पत्ति

2.3. विकास की आधुनिक अवधारणा

3.1. जीवाश्म विज्ञान

3.2. भौगोलिक वितरण

3.3. वर्गीकरण

3.4. पौधे और पशु प्रजनन

3.5. तुलनात्मक शरीर रचना

3.6. अनुकूली विकिरण

3.7. तुलनात्मक भ्रूणविज्ञान

3.8. तुलनात्मक जैव रसायन

3.9. विकास और आनुवंशिकी

खंड VI. मानवीय

मैं मनुष्य और सभ्यता की उत्पत्ति

1.1. मनुष्य का उदय

1.2. नृवंशविज्ञान की समस्या

1.3. सांस्कृतिक उत्पत्ति

1.4. सभ्यता का उदय

मैं आदमी और जीवमंडल

7.1 वी.आई. की अवधारणा जीवमंडल और मनुष्य की घटना के बारे में वर्नाडस्की

7.2. अंतरिक्ष चक्र

7.3. विकास का चक्र। एक ब्रह्मांडीय प्राणी के रूप में मनुष्य

मैं सामग्री की तालिका

खंड I. वैज्ञानिक विधि 7

खंड द्वितीय। प्राकृतिक विज्ञान का इतिहास 42

खंड III। आधुनिक भौतिकी के तत्व 120

खंड IV। रसायन विज्ञान की बुनियादी अवधारणाएँ और निरूपण 246

खंड वी.. जीवन की उत्पत्ति और विकास 266

खंड VI. मैन 307

344007, रोस्तोव-ऑन-डॉन,

344019, रोस्तोव-ऑन-डॉन, सेंट। सोवेत्सकाया, 57. प्रिंट की गुणवत्ता प्रदान की गई स्लाइड्स से मेल खाती है।

2.2. कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत

18 वीं शताब्दी में, वैज्ञानिक परिणामों का और संचय और व्यवस्थितकरण हुआ, जो भौतिक घटनाओं के अध्ययन के लिए गणितीय विश्लेषण के तरीकों के व्यवस्थित अनुप्रयोग के माध्यम से व्यक्तिगत वैज्ञानिक उपलब्धियों को दुनिया के एक कड़ाई से क्रमबद्ध, सुसंगत चित्र में संयोजित करने की प्रवृत्ति द्वारा चिह्नित किया गया था। इस दिशा में कई प्रतिभाशाली दिमागों के काम ने एक यंत्रवत अनुसंधान कार्यक्रम - विश्लेषणात्मक यांत्रिकी के मूल सिद्धांत का निर्माण किया है, जिसके प्रावधानों के आधार पर विभिन्न मौलिक सिद्धांतों का निर्माण किया गया है जो एक विशिष्ट वर्ग का वर्णन करते हैं-

घटना: हाइड्रोडायनामिक्स, लोच सिद्धांत, वायुगतिकी, आदि। विश्लेषणात्मक यांत्रिकी के सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक कम से कम कार्रवाई (भिन्न सिद्धांत) का सिद्धांत है, जो 20 वीं शताब्दी के अंत में भौतिकी में होने वाली प्रक्रियाओं को समझने के लिए महत्वपूर्ण है।

विज्ञान में परिवर्तनशील सिद्धांतों के उद्भव की जड़ें प्राचीन ग्रीस में वापस जाती हैं और अलेक्जेंड्रिया से बगुला के नाम से जुड़ी हैं। किसी भी परिवर्तनशील सिद्धांत का विचार एक निश्चित मूल्य को बदलना (बदलना) है जो किसी दिए गए प्रक्रिया की विशेषता है, और सभी संभावित प्रक्रियाओं में से एक का चयन करें जिसके लिए यह मान चरम (अधिकतम या न्यूनतम) मान लेता है। हेरॉन ने प्रकाश के परावर्तन के नियमों की व्याख्या करने की कोशिश की, जब यह एक दर्पण से परावर्तित होने पर एक स्रोत से एक पर्यवेक्षक तक प्रकाश की किरण द्वारा पारित पथ की लंबाई को दर्शाता है। वह इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि सभी संभावित पथों में से, प्रकाश की एक किरण सबसे छोटी (ज्यामितीय रूप से संभव सभी में से) चुनती है।

17 वीं शताब्दी में, दो हजार साल बाद, फ्रांसीसी गणितज्ञ फर्मेट ने हेरॉन के सिद्धांत पर ध्यान आकर्षित किया, इसे विभिन्न अपवर्तक सूचकांकों के साथ मीडिया तक बढ़ाया, और इसलिए समय के अनुसार इसे सुधार दिया। फ़र्मेट का सिद्धांत बताता है कि एक अपवर्तक माध्यम में, जिसके गुण समय पर निर्भर नहीं करते हैं, दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक प्रकाश किरण अपने लिए एक रास्ता चुनती है ताकि पहले बिंदु से दूसरे बिंदु तक जाने में लगने वाला समय न्यूनतम हो। हेरॉन का सिद्धांत निरंतर अपवर्तनांक वाले मीडिया के लिए फ़र्मेट के सिद्धांत का एक विशेष मामला बन जाता है।

फ़र्मेट के सिद्धांत ने समकालीनों का ध्यान आकर्षित किया। एक ओर, वह प्रकृति में "अर्थव्यवस्था के सिद्धांत" का सबसे अच्छा सबूत था, दुनिया की संरचना में महसूस की गई तर्कसंगत दैवीय योजना का, दूसरी ओर, उन्होंने न्यूटन के प्रकाश के कण सिद्धांत का खंडन किया। न्यूटन के अनुसार, यह पता चला कि सघन मीडिया में प्रकाश की गति अधिक होनी चाहिए, जबकि फ़र्मेट के सिद्धांत से यह निकला कि ऐसे मीडिया में प्रकाश की गति कम हो जाती है।

1740 में, गणितज्ञ पियरे लुई मोरो डी माउपर्टुइस ने फ़र्मेट के सिद्धांत का समालोचनात्मक विश्लेषण किया और धर्मशास्त्रीय सिद्धांतों का पालन किया।

पूर्णता और ब्रह्मांड के सबसे किफायती उपकरण के बारे में तार्किक उद्देश्य, काम में घोषित "प्रकृति के विभिन्न नियमों पर जो असंगत लग रहे थे" कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत। Maupertuis ने Fermat के सबसे कम समय को छोड़ दिया और एक नई अवधारणा - क्रिया की शुरुआत की। यह क्रिया पिंड के संवेग (संवेग Р = mV) और पिंड द्वारा तय किए गए पथ के गुणनफल के बराबर होती है। अंतरिक्ष पर समय का कोई फायदा नहीं है, और इसके विपरीत। इसलिए, प्रकाश सबसे छोटा रास्ता नहीं चुनता है और यात्रा करने के लिए सबसे कम समय नहीं है, लेकिन, मौपर्टुइस के अनुसार, "वह रास्ता चुनता है जो अधिक वास्तविक अर्थव्यवस्था देता है: जिस पथ के साथ वह अनुसरण करता है वह वह पथ है जिस पर परिमाण का परिमाण कार्रवाई न्यूनतम है। ” यूलर और लैग्रेंज के कार्यों में कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत को और विकसित किया गया था; वह वह आधार था जिस पर लैग्रेंज ने गणितीय विश्लेषण का एक नया क्षेत्र विकसित किया - विविधताओं का कलन। इस सिद्धांत को आगे सामान्यीकृत किया गया और हैमिल्टन के कार्यों में पूरा किया गया। एक सामान्यीकृत रूप में, कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत गति के संदर्भ में नहीं, बल्कि लैग्रेंज फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त की गई क्रिया की अवधारणा का उपयोग करता है। किसी संभावित क्षेत्र में एक कण के घूमने के मामले में, लैग्रेंज फ़ंक्शन को गतिज के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है और संभावित ऊर्जा:

(इस खंड के अध्याय 3 में "ऊर्जा" की अवधारणा पर विस्तार से चर्चा की गई है।)

उत्पाद को प्राथमिक क्रिया कहा जाता है। कुल क्रिया विचाराधीन पूरे समय अंतराल में सभी मानों का योग है, दूसरे शब्दों में, कुल क्रिया A:

किसी कण की गति के समीकरण अल्पतम क्रिया के सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं, जिसके अनुसार वास्तविक गति इस प्रकार होती है कि क्रिया चरम हो जाती है, अर्थात इसकी भिन्नता 0 हो जाती है:

लैग्रेंज-हैमिल्टन परिवर्तनशील सिद्धांत आसानी से गैर-से युक्त प्रणालियों के विस्तार की अनुमति देता है

कितने (कई) कण। ऐसी प्रणालियों की गति को आमतौर पर बड़ी संख्या में आयामों के एक अमूर्त स्थान (एक सुविधाजनक गणितीय तकनीक) में माना जाता है। मान लीजिए, N बिंदुओं के लिए, N कणों के 3N निर्देशांक के कुछ अमूर्त स्थान को पेश किया जाता है, जिससे एक सिस्टम बनता है जिसे कॉन्फ़िगरेशन स्पेस कहा जाता है। सिस्टम के विभिन्न राज्यों के अनुक्रम को इस कॉन्फ़िगरेशन स्पेस में एक वक्र द्वारा दर्शाया जाता है - एक प्रक्षेपवक्र। इस 3N-आयामी अंतरिक्ष के दो दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी संभावित रास्तों को ध्यान में रखते हुए, कोई यह सुनिश्चित कर सकता है कि सिस्टम की वास्तविक गति कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के अनुसार होती है: सभी संभावित प्रक्षेपवक्रों के बीच, जिसके लिए कार्रवाई अत्यधिक है आंदोलन के पूरे समय अंतराल का एहसास होता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी में क्रिया को न्यूनतम करते समय, यूलर-लैग्रेंज समीकरण प्राप्त होते हैं, जिसका न्यूटन के नियमों के साथ संबंध सर्वविदित है। शास्त्रीय विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लैग्रेंजियन के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण मैक्सवेल के समीकरण बन जाते हैं। इस प्रकार, हम देखते हैं कि लैग्रैन्जियन का उपयोग और कम से कम क्रिया का सिद्धांत किसी को कण गतिकी सेट करने की अनुमति देता है। हालांकि, लैग्रैन्जियन की एक और महत्वपूर्ण विशेषता है, जिसने लैग्रेंजियन औपचारिकतावाद को आधुनिक भौतिकी की लगभग सभी समस्याओं को हल करने में मुख्य बना दिया। तथ्य यह है कि भौतिकी में न्यूटनियन यांत्रिकी के साथ, पहले से ही 19 वीं शताब्दी में, कुछ भौतिक मात्राओं के लिए संरक्षण कानून तैयार किए गए थे: ऊर्जा के संरक्षण का कानून, गति के संरक्षण का कानून, कोणीय गति के संरक्षण का कानून, कानून विद्युत आवेश के संरक्षण का। हमारी सदी में क्वांटम भौतिकी और प्राथमिक कण भौतिकी के विकास के संबंध में संरक्षण कानूनों की संख्या और भी अधिक हो गई है। प्रश्न उठता है कि गति के समीकरणों (जैसे न्यूटन के नियम या मैक्सवेल के समीकरण) और समय पर संरक्षित मात्रा दोनों को लिखने के लिए एक सामान्य आधार कैसे खोजा जाए। यह पता चला है कि इस तरह का आधार लैग्रैन्जियन औपचारिकता का उपयोग है, क्योंकि एक विशेष सिद्धांत का लैग्रैन्जियन इस सिद्धांत में विचार किए गए विशिष्ट अमूर्त स्थान के अनुरूप परिवर्तनों के संबंध में अपरिवर्तनीय (अपरिवर्तित) हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप संरक्षण होता है कानून। Lagrangian . की ये विशेषताएं

लैग्रेन्जियन की भाषा में भौतिक सिद्धांतों को तैयार करने की समीचीनता का नेतृत्व नहीं किया। इस परिस्थिति का अहसास भौतिकी को आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत के उद्भव के कारण हुआ।

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