>>गणित: गणित में संकेतन y = f(x) का क्या अर्थ है

गणित में प्रविष्टि y \u003d f (x) का क्या अर्थ है

किसी भी वास्तविक प्रक्रिया का अध्ययन करते समय, वे आमतौर पर प्रक्रिया में शामिल दो मात्राओं पर ध्यान देते हैं (अधिक जटिल प्रक्रियाओं में, दो मात्राएँ शामिल नहीं होती हैं, लेकिन तीन, चार, आदि, लेकिन हम अभी तक ऐसी प्रक्रियाओं पर विचार नहीं करते हैं): उनमें से एक किसी भी चीज़ की परवाह किए बिना अपने आप में परिवर्तन (हमने अक्षर x द्वारा इस तरह के एक चर को निरूपित किया), और दूसरा मान उन मानों पर ले जाता है जो चर x के चुने हुए मूल्यों पर निर्भर करते हैं (हमने ऐसे आश्रित चर को निरूपित किया है) अक्षर y द्वारा)। गणित का मॉडलवास्तविक प्रक्रिया ठीक गणितीय भाषा में x पर y की निर्भरता का रिकॉर्ड है, अर्थात। एक्स और वाई के बीच संबंध। एक बार फिर याद करें कि अब तक हम निम्नलिखित गणितीय मॉडलों का अध्ययन कर चुके हैं: y = b, y = kx, y = kx + m, y = x 2।

क्या इन गणितीय मॉडलों में कुछ समान है? वहाँ है! उनकी संरचना समान है: y = f(x)।

इस प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: एक चर x के साथ एक अभिव्यक्ति f (x) है, जिसकी सहायता से चर y के मान पाए जाते हैं।

गणितज्ञ एक कारण से संकेतन y = f(x) पसंद करते हैं। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, f (x) \u003d x 2, अर्थात्। हम बात कर रहे हेके विषय में फलन y = x 2. मान लीजिए कि हमें तर्क के कई मूल्यों और फ़ंक्शन के संबंधित मूल्यों का चयन करने की आवश्यकता है। अब तक हमने इस तरह लिखा है:

यदि x \u003d 1, तो y \u003d मैं 2 \u003d 1;
यदि x \u003d - 3, तो y \u003d (- Z) 2 \u003d 9, आदि।

यदि हम अंकन f (x) \u003d x 2 का उपयोग करते हैं, तो अंकन अधिक किफायती हो जाता है:

च (1) = 1 2 = 1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.

तो, हम एक और अंश से परिचित हुए गणितीय भाषा: वाक्यांश "फ़ंक्शन का मान y \u003d x 2 बिंदु x \u003d 2 पर 4 है" छोटा लिखा गया है:

"यदि y \u003d f (x), जहां f (x) \u003d x 2, तो f (2) \u003d 4।"

और यहाँ एक विपरीत अनुवाद का एक उदाहरण है:

यदि y \u003d f (x), जहां f (x) \u003d x 2, फिर f (- 3) \u003d 9. दूसरे तरीके से, फ़ंक्शन का मान y \u003d x 2 बिंदु x \u003d पर - 3 9 है।

उदाहरण 1।एक फ़ंक्शन y \u003d f (x) को देखते हुए, जहाँ f (x) \u003d x 3। गणना करें:

ए) एफ(1); बी) एफ (- 4); सीएफओ); घ) च(2ए);
ई) एफ (ए -1); च) च(3x); जी) एफ (-एक्स)।

फेसला। सभी मामलों में, कार्य योजना समान है: अभिव्यक्ति f (x) में, आपको तर्क के मूल्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है जो कि x के बजाय कोष्ठक में इंगित किया गया है, और उचित गणना और परिवर्तन करें। हमारे पास है:

टिप्पणी। बेशक, अक्षर f के बजाय, आप किसी अन्य अक्षर (ज्यादातर लैटिन वर्णमाला से) का उपयोग कर सकते हैं: g (x), h (x), s (x), आदि।

उदाहरण 2दो कार्य दिए गए हैं: y \u003d f (x), जहाँ f (x) \u003d x 2, और y \u003d g (x), जहाँ g (x) \u003d x 3. साबित करो:

ए) एफ (-एक्स) = एफ (एक्स); बी) जी(-एक्स)=-जी(एक्स)।

हल। क) चूँकि f (x) \u003d x 2, फिर f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2। तो, f (x) \u003d x 2, f (- x) \u003d x 2, फिर f (- x) \u003d f (x)

बी) चूंकि जी (एक्स) \u003d एक्स 3, फिर जी (- एक्स) \u003d -x 3, यानी। जी (-एक्स) = -जी (एक्स)।

y = f(x) रूप के गणितीय मॉडल का उपयोग कई मामलों में सुविधाजनक हो जाता है, विशेष रूप से, जब वास्तविक प्रक्रिया को अलग-अलग सूत्रों द्वारा स्वतंत्र चर के परिवर्तन के विभिन्न अंतरालों पर वर्णित किया जाता है।

आइए हम चित्र 68 में निर्मित ग्राफ का उपयोग करके फ़ंक्शन y - f (x) के कुछ गुणों का वर्णन करें - गुणों के ऐसे विवरण को आमतौर पर ग्राफ पढ़ना कहा जाता है।

एक ग्राफ पढ़ना एक ज्यामितीय मॉडल (एक ग्राफिकल मॉडल से) से एक मौखिक मॉडल (एक फ़ंक्शन के गुणों के विवरण के लिए) में एक प्रकार का संक्रमण है। लेकिन
प्लॉटिंग एक विश्लेषणात्मक मॉडल से एक संक्रमण है (इसे उदाहरण 4 की स्थिति में प्रस्तुत किया गया है) एक ज्यामितीय मॉडल के लिए।

तो, आइए फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ को पढ़ना शुरू करें (चित्र 68 देखें)।

1. स्वतंत्र चर x -4 से 4 तक सभी मानों के माध्यम से चलता है। दूसरे शब्दों में, खंड [-4, 4] से x के प्रत्येक मान के लिए, आप फ़ंक्शन f(x) के मान की गणना कर सकते हैं। वे यह कहते हैं: [-4, 4] - समारोह का दायरा।

उदाहरण 4 को हल करते समय हमने यह क्यों कहा कि f(5) को खोजना असंभव है? हाँ, क्योंकि मान x = 5 फलन के कार्यक्षेत्र से संबंधित नहीं है।

2. y naim = -2 (फ़ंक्शन x = -4 पर इस मान तक पहुँचता है); ननब पर। = 2 (फ़ंक्शन आधे-अंतराल (0, 4) के किसी भी बिंदु पर इस मान तक पहुँचता है।

3. y = 0 यदि 1 = -2 और यदि x = 0; इन बिंदुओं पर फलन y = f(x) का आलेख x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

4. y > 0 यदि x (-2, 0) या यदि x (0, 4]; इन अंतरालों पर फलन y \u003d f (x) का ग्राफ x-अक्ष के ऊपर स्थित होता है।

5. y< 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. अंतराल [-4, -1] पर फलन बढ़ता है, अंतराल [-1, 0] पर घटता है और अर्ध-अंतराल (0,4) पर स्थिर (न तो बढ़ता है और न ही घटता है)।

जैसे-जैसे हम फलनों के नए गुणों का अध्ययन करेंगे, आलेख को पढ़ने की प्रक्रिया अधिक तीव्र, अर्थपूर्ण और दिलचस्प हो जाएगी।

आइए इन नई संपत्तियों में से एक पर चर्चा करें। उदाहरण 4 में माने गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ में तीन शाखाएँ (तीन "टुकड़े") शामिल हैं। पहली और दूसरी शाखाएँ (एक सीधी रेखा खंड y \u003d x + 2 और परवलय का हिस्सा) सफलतापूर्वक "जुड़" जाती हैं: खंड बिंदु (-1; 1) पर समाप्त होता है, और परवलय खंड उसी बिंदु पर शुरू होता है . लेकिन दूसरी और तीसरी शाखाएँ कम सफलतापूर्वक "जुड़" जाती हैं: तीसरी शाखा (क्षैतिज रेखा का "टुकड़ा") बिंदु (0; 0) पर शुरू नहीं होती है, लेकिन बिंदु (0; 4) पर होती है। गणितज्ञ यह कहते हैं: "फ़ंक्शन y = f(x) x = 0 (या बिंदु x = 0) पर एक विराम से गुजरता है"। यदि फ़ंक्शन में कोई असंततता बिंदु नहीं है, तो इसे निरंतर कहा जाता है। इसलिए, पिछले पैराग्राफ (y = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) में मिले सभी फलन सतत हैं।

उदाहरण 5. एक समारोह दिया। इसकी अनुसूची बनाना और पढ़ना आवश्यक है।

फेसला। जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां फ़ंक्शन एक जटिल अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है। लेकिन गणित एक एकल और अभिन्न विज्ञान है, इसके खंड एक-दूसरे से निकटता से जुड़े हुए हैं। आइए अध्याय 5 में हमने जो सीखा उसका उपयोग करें और कम करें बीजीय भिन्न

केवल प्रतिबंध के तहत मान्य है इसलिए, हम समस्या को निम्नानुसार सुधार सकते हैं: फ़ंक्शन के बजाय y = x 2
हम फ़ंक्शन y \u003d x 2 पर विचार करेंगे, जहां हम समन्वय विमान xOy पर एक परवलय y \u003d x 2 का निर्माण करते हैं।
रेखा x = 2 इसे बिंदु (2; 4) पर काटती है। लेकिन शर्त के अनुसार, इसका मतलब है कि हमें परवलय के बिंदु (2; 4) को विचार से बाहर करना चाहिए, जिसके लिए हम इस बिंदु को एक हल्के वृत्त के साथ ड्राइंग में चिह्नित करते हैं।

इस प्रकार, फ़ंक्शन का ग्राफ बनाया गया है - यह एक परवलय y \u003d x 2 है जिसमें "छिद्रित" बिंदु (2; 4) (चित्र। 69) है।

आइए फ़ंक्शन y \u003d f (x) के गुणों का वर्णन करने के लिए आगे बढ़ें, अर्थात, इसके ग्राफ को पढ़ने के लिए:

1. स्वतंत्र चर x, x = 2 को छोड़कर कोई भी मान लेता है। इसका अर्थ है कि फ़ंक्शन के डोमेन में दो खुली किरणें होती हैं (- 0 o, 2) और

2. y अधिकतम = 0 (x = 0 पर प्राप्त), y अधिकतम _ मौजूद नहीं है।

3. फलन सतत नहीं है, यह x = 2 (बिंदु x = 2 पर) पर एक असंततता से गुजरता है।

4. y = 0 यदि x = 0 है।

5. y\u003e 0 यदि x (-oo, 0), यदि x (0, 2) और यदि x (B, + oo)।
6. किरण पर फलन घटता है (- , 0], अर्ध-अंतराल पर बढ़ता है।

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समारोह $f(x)=|x|$

$|x|$ - मॉड्यूल। इसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: यदि वास्तविक संख्या गैर-ऋणात्मक है, तो मॉड्यूल मान संख्या के समान ही है। यदि यह ऋणात्मक है, तो मापांक का मान दी गई संख्या के निरपेक्ष मान से मेल खाता है।

गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उदाहरण 1

समारोह $f(x)=[x]$

फ़ंक्शन $f\left(x\right)=[x]$ किसी संख्या के पूर्णांक भाग का एक फ़ंक्शन है। यह संख्या को गोल करके पाया जाता है (यदि यह स्वयं पूर्णांक नहीं है) "नीचे"।

उदाहरण: $=2.$

उदाहरण 2

आइए इसे एक्सप्लोर करें और प्लॉट करें।

1. $ डी \ बाएं (एफ \ दाएं) = आर $।
2. जाहिर है, यह फ़ंक्शन केवल पूर्णांक मान लेता है, अर्थात $\ E\left(f\right)=Z$
3. $f\बाएं(-x\दाएं)=[-x]$. इसलिए, यह फ़ंक्शन सामान्य रूप का होगा।
4. $(0,0)$ निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन का एकमात्र बिंदु है।
5. $f"\बाएं(x\दाएं)=0$
6. फ़ंक्शन में Z$ में सभी $x\ के लिए ब्रेक पॉइंट (फ़ंक्शन जंप) हैं।

चित्र 2।

समारोह $f\बाएं(x\दाएं)=\(x\)$

फ़ंक्शन $f\left(x\right)=\(x\)$ किसी संख्या के भिन्नात्मक भाग का कार्य है। यह इस संख्या के पूर्णांक भाग को "त्याग" करके पाया जाता है।

उदाहरण 3

फ़ंक्शन ग्राफ़ की खोज और प्लॉटिंग

समारोह $f(x)=sign(x)$

फ़ंक्शन $f\left(x\right)=sign(x)$ एक साइन फंक्शन है। यह फ़ंक्शन दिखाता है कि वास्तविक संख्या में कौन सा चिन्ह है। यदि संख्या ऋणात्मक है, तो फ़ंक्शन का मान $-1$ है। यदि संख्या धनात्मक है, तो फलन एक के बराबर है। यदि संख्या का मान शून्य है, तो फ़ंक्शन का मान भी शून्य मान पर ले जाएगा।

यदि संख्याओं का समुच्चय दिया जाता है एक्सऔर रास्ता एफ, जिसके द्वारा प्रत्येक मान के लिए एक्सЄ एक्सकेवल एक नंबर से मेल खाता है पर. तब माना जाता है दिया गया कार्य आप = एफ(एक्स), जिसमें कार्यक्षेत्र एक्स(आमतौर पर संदर्भित) डी(एफ) = एक्स) गुच्छा यूसभी मूल्य पर, जिसके लिए कम से कम एक मान है एक्सЄ एक्स, ऐसा है कि आप = एफ(एक्स), ऐसे सेट को कहा जाता है मूल्यों का सेटकार्यों एफ(आमतौर पर संदर्भित इ(एफ)= यू).

या एकल चर निर्भरता परदूसरे से एक्स, जिसके लिए चर का प्रत्येक मान एक्सएक निश्चित सेट से डीचर के एकल मान से मेल खाता है पर, कहा जाता है समारोह.

x पर चर y की कार्यात्मक निर्भरता पर अक्सर संकेतन y(x) द्वारा जोर दिया जाता है, जिसे x से y द्वारा पढ़ा जाता है।

कार्यक्षेत्रकार्यों पर(एक्स), यानी, इसके तर्क के मूल्यों का सेट एक्स, प्रतीक . द्वारा निरूपित डी(आप), जिसे y से पढ़ा जाता है।

मूल्यों की श्रृंखलाकार्यों पर(एक्स), यानी, मानों का सेट जो फ़ंक्शन y लेता है उसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है इ(पर), जो Y से e पढ़ता है।

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के मुख्य तरीके हैं:

ए) विश्लेषणात्मक(सूत्र का उपयोग करके आप = एफ(एक्स))। इस पद्धति में ऐसे मामले भी शामिल हैं जहां समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा कार्य दिया जाता है। यदि कोई फ़ंक्शन किसी सूत्र द्वारा दिया जाता है, तो उसकी परिभाषा का क्षेत्र तर्क के वे सभी मान होते हैं जिनके लिए सूत्र के दाईं ओर लिखे गए व्यंजक में मान होते हैं।

बी) तालिका का(संबंधित मानों की तालिका का उपयोग करके एक्सऔर पर) इस तरह, तापमान शासन या विनिमय दर अक्सर निर्धारित की जाती है, लेकिन यह विधि अगले एक की तरह स्पष्ट नहीं है;

में) ग्राफिक(चार्ट का उपयोग करके)। यह फ़ंक्शन सेट करने के सबसे दृश्य तरीकों में से एक है, क्योंकि ग्राफ़ के अनुसार परिवर्तन तुरंत "पढ़" जाते हैं। यदि समारोह पर(एक्स) ग्राफ द्वारा दिया गया है, फिर इसकी परिभाषा का डोमेन डी(आप) एक्स-अक्ष पर ग्राफ का प्रक्षेपण है, और मूल्यों की सीमा इ(पर) - y-अक्ष पर ग्राफ का प्रक्षेपण (आकृति देखें)।

जी) मौखिक. इस पद्धति का उपयोग अक्सर समस्याओं में, या बल्कि उनकी स्थितियों के विवरण में किया जाता है। आमतौर पर इस विधि को उपरोक्त में से किसी एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

कार्यों आप = एफ(एक्स), एक्सЄ एक्स, और आप = जी(एक्स), एक्सЄ एक्स, कहा जाता है समान रूप से समानउपसमुच्चय पर एमसाथ में एक्सयदि प्रत्येक के लिए एक्स 0 Є एमनिष्पक्ष समानता एफ(एक्स 0) = जी(एक्स 0).

फंक्शन ग्राफ आप = एफ(एक्स) ऐसे बिंदुओं के एक सेट के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है ( एक्स; एफ(एक्स)) समन्वय तल पर, जहां एक्सएक मनमाना चर है, से डी(एफ) यदि एक एफ(एक्स 0) = 0, जहाँ एक्स 0 तो निर्देशांक के साथ बिंदु ( एक्स 0; 0) वह बिंदु है जिस पर फ़ंक्शन का ग्राफ आप = एफ(एक्स) O अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है एक्स. अगर 0Є डी(एफ), फिर बिंदु (0; एफ(0)) वह बिंदु है जिस पर फ़ंक्शन का ग्राफ पर = एफ(एक्स) O अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है पर.

संख्या एक्स 0 का डी(एफ) कार्य आप = एफ(एक्स) फ़ंक्शन का शून्य है, जब एफ(एक्स 0) = 0.

अंतर एमसाथ में डी(एफ) यह स्थिरता अंतरालकार्यों आप = एफ(एक्स) यदि या तो एक मनमाना के लिए एक्सЄ एमसही एफ(एक्स)> 0, या एक मनमाना के लिए एक्सЄ एमसही एफ(एक्स) < 0.

वहाँ है उपकरण, जो मात्राओं के बीच निर्भरता के रेखांकन बनाते हैं। ये बैरोग्राफ हैं - समय पर वायुमंडलीय दबाव की निर्भरता को ठीक करने के लिए उपकरण, थर्मोग्राफ - समय पर तापमान की निर्भरता को ठीक करने के लिए उपकरण, कार्डियोग्राफ - हृदय की गतिविधि की ग्राफिक रिकॉर्डिंग के लिए उपकरण। थर्मोग्राफ में एक ड्रम होता है, यह समान रूप से घूमता है। ड्रम पर लगे कागज के घाव को एक रिकॉर्डर द्वारा छुआ जाता है, जो तापमान के आधार पर ऊपर उठता और गिरता है और कागज पर एक निश्चित रेखा खींचता है।

किसी फ़ंक्शन को किसी सूत्र द्वारा निरूपित करने से, आप किसी तालिका और ग्राफ़ में उसके निरूपण की ओर बढ़ सकते हैं।

गणित का अध्ययन करते समय, यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि फ़ंक्शन क्या है, इसके डोमेन और अर्थ क्या हैं। कार्यों के एक चरम सीमा तक अध्ययन की सहायता से बीजगणित में कई समस्याओं को हल किया जा सकता है। यहां तक ​​कि ज्यामिति की समस्याएं भी कभी-कभी समतल पर ज्यामितीय आकृतियों के समीकरणों पर विचार करने के लिए नीचे आती हैं।

रहने दोआप- कुछ परिवर्तनशील कार्यएक्स; इसके अलावा, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह फ़ंक्शन कैसे दिया जाता है: किसी सूत्र, तालिका या किसी अन्य तरीके से। केवल इस कार्यात्मक निर्भरता के अस्तित्व का तथ्य ही महत्वपूर्ण है, जो इस प्रकार लिखा गया है:आप = एफ(एक्स) पत्रएफ(लैटिन शब्द "फ़ंक्टियो" - फ़ंक्शन का प्रारंभिक अक्षर) अक्षरों की तरह किसी भी मूल्य को नहीं दर्शाता हैलॉग, पाप, तन फ़ंक्शन रिकॉर्ड मेंआप= लॉगएक्स, आप= पापएक्स, आप= तनएक्स. वे केवल कुछ कार्यात्मक निर्भरताओं के बारे में बात करते हैं।आपसेएक्स. रिकॉर्डिंगआप = एफ (एक्स) हैकोई भीकार्यात्मक निर्भरता। यदि दो कार्यात्मक निर्भरताएँ:आपसेएक्सऔरजेडसेटीएक दूसरे से भिन्न हैं, वे विभिन्न अक्षरों का उपयोग करके लिखे गए हैं:आप = एफ (एक्स) औरजेड = एफ (टी) यदि कुछ निर्भरताएँ समान हैं, तो वे एक ही अक्षर से लिखी जाती हैंएफ: आप = एफ (एक्स) औरजेड = एफ (टी) यदि कार्यात्मक निर्भरता के लिए अभिव्यक्तिआप = एफ (एक्स) ज्ञात है, तो इसे दोनों फ़ंक्शन नोटेशन का उपयोग करके लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए,आप= पाप एक्सया एफ(एक्स) = पाप एक्स. दोनों रूप पूरी तरह से समकक्ष हैं। कभी-कभी लेखन का दूसरा रूप भी प्रयोग किया जाता है: आप (एक्स) इसका मतलब वही है आप = एफ (एक्स).

कार्यों का चित्रमय प्रतिनिधित्व।

एक समारोह का प्रतिनिधित्व करने के लिएआप = एफ(एक्स) एक ग्राफ के रूप में, आपको चाहिए:

1) तालिका में फ़ंक्शन और उसके तर्क के कई मान लिखें:

2) फ़ंक्शन के बिंदुओं के निर्देशांक को तालिका से समन्वय प्रणाली में स्थानांतरित करें,

नोटिंग, चयनित पैमाने के अनुसार, एब्सिसास के मान पर

कुल्हाड़ियोंएक्सऔर अक्ष पर निर्देशांक के मानयू(रेखा चित्र नम्बर 2)। नतीजतन, हमारे सिस्टम में

निर्देशांक, बिंदुओं की एक श्रृंखला बनाई जाएगीए, बी, सी, . . . , एफ.

3) बिंदुओं को जोड़नाए, बी, सी, . . . , एफचिकनी वक्र, हमें दिए गए का एक ग्राफ मिलता है

कार्यात्मक निर्भरता।

किसी फ़ंक्शन का ऐसा चित्रमय प्रतिनिधित्व उसके व्यवहार की प्रकृति का एक दृश्य प्रतिनिधित्व देता है, लेकिन इस मामले में प्राप्त सटीकता अपर्याप्त है। यह संभव है कि ग्राफ़ पर अंकित न किए गए मध्यवर्ती बिंदु खींचे गए चिकने वक्र से बहुत दूर हों। अच्छे परिणाम भी काफी हद तक पैमानों के अच्छे चुनाव पर निर्भर करते हैं। इसलिए, यह निर्धारित किया जाना चाहिए फ़ंक्शन ग्राफ के रूप में बिंदुओं का स्थान , COORDINATES जो M (x, y) दी गई कार्यात्मक निर्भरता से जुड़े हैं .

समारोह का दायरा और दायरा।प्रारंभिक गणित में, कार्यों का अध्ययन केवल वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर किया जाता है आर. इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन तर्क केवल उन वास्तविक मानों को ले सकता है जिनके लिए फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है, अर्थात। यह भी केवल वास्तविक मूल्यों को स्वीकार करता है। गुच्छा एक्सतर्क के सभी मान्य मान्य मान एक्स, जिसके लिए समारोह आप= एफ(एक्स) परिभाषित, बुलाया समारोह का दायरा. गुच्छा यूसभी वास्तविक मूल्य आपजिसे फ़ंक्शन स्वीकार करता है उसे कहा जाता है फंक्शन रेंज. अब हम फ़ंक्शन की अधिक सटीक परिभाषा दे सकते हैं: सेट X और Y . के बीच पत्राचार का नियम (कानून), जिसके द्वारा समुच्चय X के प्रत्येक अवयव के लिए समुच्चय Y में से एक और केवल एक अवयव पाया जा सकता है, फलन कहलाता है.