एक व्युत्पन्न क्या है?
किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा और अर्थ

एक चर और उसके अनुप्रयोगों के एक समारोह के व्युत्पन्न पर मेरे लेखक के पाठ्यक्रम में इस लेख के अप्रत्याशित स्थान से कई लोग आश्चर्यचकित होंगे। आखिरकार, जैसा कि स्कूल से था: एक मानक पाठ्यपुस्तक, सबसे पहले, एक व्युत्पन्न की परिभाषा देती है, इसका ज्यामितीय, यांत्रिक अर्थ। इसके बाद, छात्र परिभाषा के अनुसार कार्यों के व्युत्पन्न पाते हैं, और वास्तव में, केवल तभी भेदभाव तकनीक का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है व्युत्पन्न सारणी.

लेकिन मेरे दृष्टिकोण से, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक व्यावहारिक है: सबसे पहले, अच्छी तरह से समझने की सलाह दी जाती है कार्य सीमा, और विशेष रूप से अतिसूक्ष्मजीव. तथ्य यह है कि व्युत्पन्न की परिभाषा एक सीमा की अवधारणा पर आधारित है, जिसे स्कूल के पाठ्यक्रम में खराब माना जाता है। यही कारण है कि ग्रेनाइट ज्ञान के युवा उपभोक्ताओं का एक महत्वपूर्ण हिस्सा व्युत्पन्न के बहुत सार में खराब रूप से प्रवेश करता है। इस प्रकार, यदि आप डिफरेंशियल कैलकुलस में पारंगत नहीं हैं, या बुद्धिमान मस्तिष्क ने वर्षों से इस सामान से सफलतापूर्वक छुटकारा पा लिया है, तो कृपया इसके साथ शुरू करें कार्य सीमा. उसी समय मास्टर / उनके निर्णय को याद रखें।

वही व्यावहारिक अर्थ बताता है कि यह पहले लाभदायक है डेरिवेटिव खोजना सीखें, समेत जटिल कार्यों के व्युत्पन्न. सिद्धांत एक सिद्धांत है, लेकिन, जैसा कि वे कहते हैं, आप हमेशा अंतर करना चाहते हैं। इस संबंध में, सूचीबद्ध बुनियादी पाठों पर काम करना बेहतर है, और हो सकता है भेदभाव मास्टरअपने कार्यों के सार को महसूस किए बिना भी।

मैं लेख पढ़ने के बाद इस पृष्ठ पर सामग्री शुरू करने की सलाह देता हूं। व्युत्पन्न के साथ सबसे सरल समस्याएं, जहां, विशेष रूप से, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा की समस्या पर विचार किया जाता है। लेकिन इसमें देरी हो सकती है। तथ्य यह है कि व्युत्पन्न के कई अनुप्रयोगों को इसे समझने की आवश्यकता नहीं है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है कि सैद्धांतिक पाठ काफी देर से दिखाई दिया - जब मुझे समझाने की आवश्यकता थी वृद्धि / कमी और चरम सीमा के अंतराल का पता लगानाकार्य। इसके अलावा, वह इस विषय में काफी लंबे समय से थे " कार्य और रेखांकन”, जब तक मैंने इसे पहले डालने का फैसला नहीं किया।

इसलिए, प्रिय चायदानी, भूखे जानवरों की तरह व्युत्पन्न के सार को अवशोषित करने के लिए जल्दी मत करो, क्योंकि संतृप्ति बेस्वाद और अधूरी होगी।

किसी फ़ंक्शन के बढ़ने, घटने, अधिकतम, न्यूनतम की अवधारणा

कई ट्यूटोरियल कुछ व्यावहारिक समस्याओं की मदद से व्युत्पन्न की अवधारणा की ओर ले जाते हैं, और मैं एक दिलचस्प उदाहरण भी लेकर आया हूं। कल्पना कीजिए कि हमें एक ऐसे शहर की यात्रा करनी है जहां विभिन्न तरीकों से पहुंचा जा सकता है। हम घुमावदार घुमावदार रास्तों को तुरंत त्याग देते हैं, और हम केवल सीधी रेखाओं पर विचार करेंगे। हालांकि, सीधी-रेखा वाली दिशाएं भी भिन्न हैं: आप एक फ्लैट ऑटोबान के साथ शहर में जा सकते हैं। या पहाड़ी राजमार्ग पर - ऊपर और नीचे, ऊपर और नीचे। एक और सड़क केवल ऊपर की ओर जाती है, और दूसरी हर समय नीचे की ओर जाती है। रोमांच चाहने वाले एक खड़ी चट्टान और एक खड़ी चढ़ाई के साथ कण्ठ के माध्यम से एक मार्ग का चयन करेंगे।

लेकिन आपकी पसंद जो भी हो, क्षेत्र को जानना वांछनीय है, या कम से कम इसका स्थलाकृतिक मानचित्र होना चाहिए। क्या होगा अगर ऐसी कोई जानकारी नहीं है? आखिरकार, आप चुन सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक सपाट रास्ता, लेकिन परिणामस्वरूप, मज़ेदार फिन्स के साथ स्की ढलान पर ठोकर खाते हैं। ऐसा नहीं है कि नेविगेटर और यहां तक ​​कि एक उपग्रह छवि भी विश्वसनीय डेटा देगी। इसलिए, गणित के माध्यम से पथ की राहत को औपचारिक रूप देना अच्छा होगा।

कुछ सड़क पर विचार करें (साइड व्यू):

बस मामले में, मैं आपको एक प्राथमिक तथ्य की याद दिलाता हूं: यात्रा होती है बाएं से दाएं. सादगी के लिए, हम मानते हैं कि फ़ंक्शन निरंतरविचाराधीन क्षेत्र में।

इस ग्राफ की विशेषताएं क्या हैं?

अंतरालों पर समारोह बढ़ती है, अर्थात्, इसका प्रत्येक अगला मान अधिकपिछला वाला। मोटे तौर पर, शेड्यूल चला जाता है नीचे ऊपर(हम पहाड़ी पर चढ़ते हैं)। और अंतराल पर समारोह घटते- प्रत्येक अगला मान छोटेपिछला वाला, और हमारा शेड्यूल चला जाता है उपर से नीचे(ढलान के नीचे जा रहा है)।

आइए विशेष बिंदुओं पर भी ध्यान दें। जिस बिंदु पर हम पहुँचते हैं ज्यादा से ज्यादा, अर्थात मौजूदपथ का ऐसा भाग जिस पर मान सबसे बड़ा (उच्चतम) होगा। उसी बिंदु पर, न्यूनतम, और मौजूदऐसा उसका पड़ोस, जिसमें मान सबसे छोटा (निम्नतम) हो।

पाठ में अधिक कठोर शब्दावली और परिभाषाओं पर विचार किया जाएगा। समारोह के चरम के बारे में, लेकिन अभी के लिए आइए एक और महत्वपूर्ण विशेषता का अध्ययन करें: अंतराल पर समारोह बढ़ रहा है, लेकिन यह बढ़ रहा है अलग-अलग गति से. और पहली चीज़ जो आपकी नज़र में आती है वह यह है कि चार्ट अंतराल पर ऊपर चढ़ता है बहुत अधिक शांतअंतराल की तुलना में। क्या गणितीय उपकरणों का उपयोग करके सड़क की ढलान को मापना संभव है?

फ़ंक्शन परिवर्तन दर

विचार यह है: कुछ मूल्य लें (पढ़ें "डेल्टा एक्स"), जिसे हम कहेंगे तर्क वृद्धि, और आइए अपने पथ के विभिन्न बिंदुओं पर "इस पर प्रयास करना" शुरू करें:

1) आइए सबसे बाईं ओर देखें: दूरी को दरकिनार करते हुए, हम ढलान पर एक ऊँचाई (हरी रेखा) पर चढ़ते हैं। मान कहा जाता है समारोह वृद्धि, और इस मामले में यह वृद्धि सकारात्मक है (अक्ष के साथ मानों का अंतर शून्य से अधिक है)। चलो अनुपात बनाते हैं, जो हमारी सड़क की खड़ीपन का माप होगा। जाहिर है, एक बहुत ही विशिष्ट संख्या है, और चूंकि दोनों वेतन वृद्धि सकारात्मक हैं, इसलिए .

ध्यान! पदनाम हैं एकप्रतीक, अर्थात्, आप "x" से "डेल्टा" को "फाड़" नहीं सकते हैं और इन अक्षरों पर अलग से विचार कर सकते हैं। बेशक, टिप्पणी फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि प्रतीक पर भी लागू होती है।

आइए परिणामी भिन्न की प्रकृति का अधिक अर्थपूर्ण अन्वेषण करें। मान लीजिए शुरू में हम 20 मीटर (बाएं काले बिंदु में) की ऊंचाई पर हैं। मीटर की दूरी (बाएं लाल रेखा) को पार करने के बाद, हम 60 मीटर की ऊंचाई पर होंगे। तब फ़ंक्शन की वृद्धि होगी मीटर (हरी रेखा) और: . इस प्रकार, हर मीटर . परसड़क का यह खंड ऊंचाई बढ़ जाती है औसत 4 मीटर . से... क्या आप अपने चढ़ाई उपकरण भूल गए? =) दूसरे शब्दों में, निर्मित अनुपात फ़ंक्शन के परिवर्तन की औसत दर (इस मामले में, वृद्धि) को दर्शाता है।

टिप्पणी : प्रश्न में उदाहरण के संख्यात्मक मान केवल चित्र के अनुपात के अनुरूप हैं।

2) अब सबसे दाहिने काले बिंदु से उतनी ही दूरी पर चलते हैं। यहां वृद्धि अधिक कोमल है, इसलिए वृद्धि (क्रिमसन लाइन) अपेक्षाकृत छोटी है, और पिछले मामले की तुलना में अनुपात काफी मामूली होगा। सापेक्षिक रूप से बोल रहे, मीटर और कार्य विकास दरहै । यानी यहां सड़क के हर मीटर के लिए है औसतआधा मीटर ऊपर।

3) पहाड़ पर थोड़ा रोमांच। आइए y-अक्ष पर स्थित शीर्ष काले बिंदु को देखें। मान लीजिए कि यह 50 मीटर का निशान है। फिर से हम दूरी को पार करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हम खुद को कम पाते हैं - 30 मीटर के स्तर पर। जब से आंदोलन किया गया है उपर से नीचे(अक्ष के "विपरीत" दिशा में), फिर अंतिम फ़ंक्शन की वृद्धि (ऊंचाई) ऋणात्मक होगी: मीटर (ड्राइंग में भूरी रेखा)। और इस मामले में हम बात कर रहे हैं क्षय दरविशेषताएँ: , यानी इस खंड के पथ के प्रत्येक मीटर के लिए ऊंचाई घट जाती है औसत 2 मीटर से। पांचवें बिंदु पर कपड़ों का ध्यान रखें।

अब प्रश्न पूछते हैं: उपयोग करने के लिए "मापने के मानक" का सर्वोत्तम मूल्य क्या है? यह स्पष्ट है कि 10 मीटर बहुत उबड़-खाबड़ है। एक दर्जन अच्छे धक्कों उन पर आसानी से फिट हो सकते हैं। धक्कों क्यों हैं, नीचे एक गहरी खाई हो सकती है, और कुछ मीटर के बाद - इसके दूसरी तरफ एक और खड़ी चढ़ाई के साथ। इस प्रकार, दस-मीटर एक के साथ, हमें अनुपात के माध्यम से पथ के ऐसे वर्गों की एक समझदार विशेषता नहीं मिलेगी।

उपरोक्त चर्चा से निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है: मूल्य जितना छोटा होगा, उतना ही सटीक रूप से हम सड़क की राहत का वर्णन करेंगे। इसके अलावा, निम्नलिखित तथ्य सत्य हैं:

– किसी के लिएउठाने के बिंदु आप एक मूल्य (यद्यपि बहुत छोटा) चुन सकते हैं जो एक या दूसरे वृद्धि की सीमाओं के भीतर फिट बैठता है। और इसका मतलब यह है कि संबंधित ऊंचाई वृद्धि को सकारात्मक होने की गारंटी दी जाएगी, और असमानता इन अंतरालों के प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन के विकास को सही ढंग से इंगित करेगी।

- वैसे ही, किसी के लिएढलान बिंदु, एक मूल्य है जो पूरी तरह से इस ढलान पर फिट होगा। इसलिए, ऊंचाई में संबंधित वृद्धि स्पष्ट रूप से नकारात्मक है, और असमानता दिए गए अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन में कमी को सही ढंग से दिखाएगी।

- विशेष रूप से ब्याज की स्थिति तब होती है जब फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर शून्य होती है:। सबसे पहले, एक शून्य ऊंचाई वृद्धि () एक सम पथ का संकेत है। और दूसरी बात, अन्य जिज्ञासु स्थितियाँ हैं, जिनके उदाहरण आप चित्र में देख सकते हैं। कल्पना कीजिए कि भाग्य हमें एक पहाड़ी की चोटी पर उड़ते हुए चील के साथ ले गया है या एक खड्ड के नीचे मेंढकों के साथ। यदि आप किसी भी दिशा में एक छोटा कदम उठाते हैं, तो ऊंचाई में परिवर्तन नगण्य होगा, और हम कह सकते हैं कि फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर वास्तव में शून्य है। बिंदुओं पर भी यही पैटर्न देखा जाता है।

इस प्रकार, हमने किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को पूरी तरह से सटीक रूप से चित्रित करने के लिए एक अद्भुत अवसर का रुख किया है। आखिरकार, गणितीय विश्लेषण हमें तर्क की वृद्धि को शून्य पर निर्देशित करने की अनुमति देता है: यानी इसे बनाने के लिए बहुत छोता.

नतीजतन, एक और तार्किक सवाल उठता है: क्या सड़क और उसके कार्यक्रम को खोजना संभव है? एक और समारोह, कौन सा हमें बताएंगेसभी फ्लैटों, चढ़ावों, ढलानों, चोटियों, तराई क्षेत्रों के साथ-साथ पथ के प्रत्येक बिंदु पर वृद्धि/कमी की दर के बारे में?

एक व्युत्पन्न क्या है? व्युत्पन्न की परिभाषा।
व्युत्पन्न और अंतर का ज्यामितीय अर्थ

कृपया सोच-समझकर पढ़ें और बहुत जल्दी नहीं - सामग्री सरल और सभी के लिए सुलभ है! कोई बात नहीं अगर कुछ जगहों पर कुछ बहुत स्पष्ट नहीं लगता है, तो आप लेख पर बाद में कभी भी लौट सकते हैं। मैं और कहूंगा, सभी बिंदुओं को गुणात्मक रूप से समझने के लिए सिद्धांत का कई बार अध्ययन करना उपयोगी है (सलाह "तकनीकी" छात्रों के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक है, जिनके लिए उच्च गणित शैक्षिक प्रक्रिया में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है)।

स्वाभाविक रूप से, एक बिंदु पर व्युत्पन्न की परिभाषा में, हम इसे इसके साथ बदल देंगे:

हम क्या आए हैं? और हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि कानून के अनुसार समारोह के लिए संरेखित है अन्य समारोह, इससे कहते है व्युत्पन्न कार्य(या केवल व्युत्पन्न).

व्युत्पन्न विशेषताएँ परिवर्तन की दरकार्य। कैसे? लेख की शुरुआत से ही विचार लाल धागे की तरह चला जाता है। कुछ बिंदु पर विचार करें डोमेनकार्य। किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन को अवकलनीय होने दें। फिर:

1) यदि, तो बिंदु पर फलन बढ़ता है। और जाहिर है वहाँ मध्यान्तर(भले ही बहुत छोटा हो) जिसमें वह बिंदु होता है जिस पर फ़ंक्शन बढ़ता है, और इसका ग्राफ "नीचे से ऊपर तक" जाता है।

2) यदि , तो बिंदु पर फलन घटता है। और एक अंतराल होता है जिसमें एक बिंदु होता है जिस पर फ़ंक्शन घटता है (ग्राफ "ऊपर से नीचे तक" जाता है)।

3) अगर, तो असीम रूप से करीबबिंदु के निकट, फलन अपनी गति स्थिर रखता है। ऐसा होता है, जैसा कि नोट किया गया है, एक फ़ंक्शन-स्थिरांक के लिए और समारोह के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, विशेष रूप से न्यूनतम और अधिकतम बिंदुओं पर.

कुछ शब्दार्थ। व्यापक अर्थ में "भिन्नता" क्रिया का क्या अर्थ है? अंतर करने का अर्थ है किसी विशेषता को अलग करना। फ़ंक्शन को विभेदित करते हुए, हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में इसके परिवर्तन की दर को "चयन" करते हैं। और वैसे, "व्युत्पन्न" शब्द का क्या अर्थ है? समारोह हो गईसमारोह से।

शब्द व्युत्पन्न के यांत्रिक अर्थ की बहुत सफलतापूर्वक व्याख्या करते हैं :
आइए शरीर के निर्देशांक के परिवर्तन के नियम पर विचार करें, जो समय पर निर्भर करता है, और दिए गए शरीर की गति की गति का कार्य करता है। फ़ंक्शन शरीर समन्वय के परिवर्तन की दर को दर्शाता है, इसलिए यह समय के संबंध में फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न है:। यदि प्रकृति में "शरीर गति" की अवधारणा मौजूद नहीं होती, तो अस्तित्व में नहीं होता यौगिक"वेग" की अवधारणा।

किसी पिंड का त्वरण गति के परिवर्तन की दर है, इसलिए: . यदि "बॉडी मूवमेंट" और "बॉडी मूवमेंट स्पीड" की मूल अवधारणाएँ प्रकृति में मौजूद नहीं होतीं, तो वहाँ नहीं होता यौगिकशरीर के त्वरण की अवधारणा।

सेंट पीटर्सबर्ग के पेडागोगिकल कॉलेज नंबर 4 में एक शिक्षक द्वारा एक खुले पाठ का सारांश

मार्टुसविच तात्याना ओलेगोवना

दिनांक: 12/29/2014।

विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।

पाठ प्रकार: नई सामग्री सीखना।

शिक्षण विधियों: दृश्य, आंशिक रूप से खोजपूर्ण।

पाठ का उद्देश्य।

किसी बिंदु पर किसी फलन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा की अवधारणा का परिचय दें, पता करें कि व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है, स्पर्शरेखा समीकरण प्राप्त करें और इसे खोजना सिखाएं।

शैक्षिक कार्य:

व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ की समझ प्राप्त करने के लिए; स्पर्शरेखा समीकरण की व्युत्पत्ति; बुनियादी समस्याओं को हल करना सीखें;

"एक व्युत्पन्न की परिभाषा" विषय पर सामग्री की पुनरावृत्ति प्रदान करने के लिए;

ज्ञान और कौशल के नियंत्रण (आत्म-नियंत्रण) के लिए स्थितियां बनाएं।

विकास कार्य:

मुख्य बात पर प्रकाश डालते हुए तुलना, सामान्यीकरण के तरीकों को लागू करने के लिए कौशल के गठन को बढ़ावा देना;

गणितीय क्षितिज, सोच और भाषण, ध्यान और स्मृति के विकास को जारी रखें।

शैक्षिक कार्य:

गणित में रुचि की शिक्षा को बढ़ावा देना;

गतिविधि, गतिशीलता, संवाद करने की क्षमता की शिक्षा।

पाठ प्रकार - आईसीटी का उपयोग करके एक संयुक्त पाठ।

उपकरण - मल्टीमीडिया इंस्टॉलेशन, प्रेजेंटेशनमाइक्रोसॉफ्टशक्तिबिंदु.

पाठ चरण

समय

शिक्षक गतिविधि

छात्र गतिविधियां

1. संगठनात्मक क्षण।

पाठ के विषय और उद्देश्य के बारे में संदेश।

विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।

पाठ का उद्देश्य।

किसी बिंदु पर किसी फलन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा की अवधारणा का परिचय दें, पता करें कि व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है, स्पर्शरेखा समीकरण प्राप्त करें और इसे खोजना सिखाएं।

छात्रों को कक्षा में काम के लिए तैयार करना।

कक्षा में काम की तैयारी।

पाठ के विषय और उद्देश्य के बारे में जागरूकता।

लेख लेना।

2. आधारभूत ज्ञान को दोहराकर और अद्यतन करके नई सामग्री के अध्ययन की तैयारी।

बुनियादी ज्ञान की पुनरावृत्ति और अद्यतन का संगठन: व्युत्पन्न की परिभाषा और इसके भौतिक अर्थ का निर्माण।

व्युत्पन्न की परिभाषा तैयार करना और उसका भौतिक अर्थ तैयार करना। बुनियादी ज्ञान की पुनरावृत्ति, अद्यतन और समेकन।

एक शक्ति समारोह और प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न को खोजने के कौशल के दोहराव और गठन का संगठन।

सूत्रों द्वारा इन कार्यों का व्युत्पन्न ढूँढना।

एक रैखिक कार्य के गुणों की पुनरावृत्ति।

दोहराव, चित्रों की धारणा और शिक्षक के बयान

3. नई सामग्री के साथ कार्य करना: स्पष्टीकरण।

तर्क वेतन वृद्धि के लिए फ़ंक्शन वेतन वृद्धि के संबंध के अर्थ की व्याख्या

व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ की व्याख्या।

छवियों और दृश्य एड्स का उपयोग करके मौखिक स्पष्टीकरण के माध्यम से नई सामग्री का परिचय: एनीमेशन के साथ मल्टीमीडिया प्रस्तुति।

व्याख्या, समझ, शिक्षक के सवालों के जवाब की धारणा।

कठिनाई के मामले में शिक्षक को प्रश्न तैयार करना।

नई जानकारी की धारणा, इसकी प्राथमिक समझ और समझ।

कठिनाई के मामले में शिक्षक को प्रश्न तैयार करना।

एक रूपरेखा तैयार करें।

व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ का निरूपण।

तीन मामलों पर विचार

नोट्स लेना, चित्र बनाना।

4. नई सामग्री के साथ काम करना।

अध्ययन की गई सामग्री की प्राथमिक समझ और अनुप्रयोग, उसका समेकन।

व्युत्पन्न सकारात्मक किस बिंदु पर है?

नकारात्मक?

शून्य के बराबर?

अनुसूची द्वारा प्रस्तुत प्रश्नों के उत्तर के लिए एल्गोरिथम की खोज करना सीखना।

किसी समस्या को हल करने के लिए नई जानकारी को समझना और समझना और लागू करना।

5. अध्ययन की गई सामग्री की प्राथमिक समझ और अनुप्रयोग, उसका समेकन।

कार्य स्थिति संदेश।

किसी कार्य की स्थिति रिकॉर्ड करना।

कठिनाई के मामले में शिक्षक को प्रश्न तैयार करना

6. ज्ञान का अनुप्रयोग: एक शिक्षण प्रकृति का स्वतंत्र कार्य।

समस्या का समाधान स्वयं करें:

अर्जित ज्ञान का अनुप्रयोग।

आकृति के व्युत्पन्न को खोजने की समस्या को हल करने पर स्वतंत्र कार्य। जोड़े में उत्तरों की चर्चा और सत्यापन, कठिनाई के मामले में शिक्षक को प्रश्न तैयार करना।

7. नई सामग्री के साथ कार्य करना: स्पष्टीकरण।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा के समीकरण की व्युत्पत्ति।

एक मल्टीमीडिया प्रस्तुति के रूप में एक दृश्य सहायता के रूप में उपयोग करते हुए, छात्रों के प्रश्नों के उत्तर के रूप में एक बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ के स्पर्शरेखा के समीकरण की व्युत्पत्ति की विस्तृत व्याख्या।

शिक्षक के साथ स्पर्शरेखा समीकरण की व्युत्पत्ति। शिक्षक के सवालों के जवाब।

स्केचिंग, ड्राइंग।

8. नई सामग्री के साथ कार्य करना: स्पष्टीकरण।

छात्रों के साथ एक संवाद में, किसी दिए गए बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म की व्युत्पत्ति।

शिक्षक के साथ एक संवाद में, किसी दिए गए बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समीकरण को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म की व्युत्पत्ति।

लेख लेना।

कार्य स्थिति संदेश।

अर्जित ज्ञान के अनुप्रयोग में प्रशिक्षण।

समस्या को हल करने और उनके कार्यान्वयन के तरीकों की खोज का संगठन। स्पष्टीकरण के साथ समाधान का विस्तृत विश्लेषण।

किसी कार्य की स्थिति रिकॉर्ड करना।

कार्य योजना के प्रत्येक मद के कार्यान्वयन में समस्या को हल करने के संभावित तरीकों के बारे में धारणा बनाना। शिक्षक के साथ मिलकर समस्या का समाधान।

समस्या का समाधान और उत्तर रिकॉर्ड करना।

9. ज्ञान का अनुप्रयोग: एक शिक्षण प्रकृति का स्वतंत्र कार्य।

व्यक्तिगत नियंत्रण। आवश्यकतानुसार छात्रों को सलाह और सहायता।

प्रस्तुति का उपयोग करके समाधान का सत्यापन और स्पष्टीकरण।

अर्जित ज्ञान का अनुप्रयोग।

आकृति के व्युत्पन्न को खोजने की समस्या को हल करने पर स्वतंत्र कार्य। जोड़े में उत्तरों की चर्चा और सत्यापन, कठिनाई के मामले में शिक्षक से प्रश्न तैयार करना

10. गृहकार्य।

48, कार्य 1 और 3, समाधान को समझें और इसे चित्रों के साथ एक नोटबुक में लिखें।

№ 860 (2,4,6,8),

टिप्पणियों के साथ होमवर्क संदेश।

होमवर्क रिकॉर्ड करना।

11. संक्षेप।

हमने व्युत्पन्न की परिभाषा को दोहराया; व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ; रैखिक फ़ंक्शन के गुण

हमने सीखा कि व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है।

हमने किसी दिए गए बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को प्राप्त करना सीखा।

पाठ के परिणामों का सुधार और स्पष्टीकरण।

पाठ के परिणामों की गणना।

12. प्रतिबिंब।

1. क्या आपके पास एक सबक है: ए) आसानी से; बी) आमतौर पर; ग) मुश्किल।

ए) सीखा (ए) पूरी तरह से, मैं आवेदन कर सकता हूं;

बी) सीखा (ए), लेकिन इसे लागू करना मुश्किल है;

ग) नहीं मिला।

3. पाठ में मल्टीमीडिया प्रस्तुति:

क) सामग्री को आत्मसात करने में मदद की; बी) सामग्री को आत्मसात करने में मदद नहीं की;

ग) सामग्री के आत्मसात में हस्तक्षेप किया।

प्रतिबिंब का संचालन।

नौकरी का प्रकार: 7

स्थिति

रेखा y=3x+2 फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा है y=-12x^2+bx-10। b खोजें, यह देखते हुए कि स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से कम है।

समाधान दिखाएं

फेसला

चलो x_0 फ़ंक्शन के ग्राफ पर बिंदु का भुज हो y=-12x^2+bx-10 जिसके माध्यम से इस ग्राफ के स्पर्शरेखा गुजरती है।

बिंदु x_0 पर व्युत्पन्न का मान स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है, अर्थात y"(x_0)=-24x_0+b=3. दूसरी ओर, स्पर्शरेखा बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ और दोनों के अंतर्गत आता है स्पर्शरेखा, यानी -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है \begin(मामलों) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(मामलों)

इस प्रणाली को हल करने पर, हमें x_0^2=1 मिलता है, जिसका अर्थ है या तो x_0=-1 या x_0=1। भुज की स्थिति के अनुसार, स्पर्श बिंदु शून्य से कम होते हैं, इसलिए x_0=-1, फिर b=3+24x_0=-21.

जवाब

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

रेखा y=-3x+4 फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समानांतर है y=-x^2+5x-7. संपर्क बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

फेसला

फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए रेखा का ढलान y=-x^2+5x-7 एक मनमाना बिंदु पर x_0 है y"(x_0)। लेकिन y"=-2x+5, इसलिए y"(x_0)=- 2x_0+5. स्थिति में निर्दिष्ट रेखा y=-3x+4 का कोणीय गुणांक -3 है। समानांतर रेखाओं में समान ढलान होते हैं। इसलिए, हम ऐसा मान x_0 पाते हैं कि =-2x_0 +5=-3।

हमें मिलता है: x_0 = 4।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

समाधान दिखाएं

फेसला

आकृति से, हम यह निर्धारित करते हैं कि स्पर्शरेखा बिंदु A(-6; 2) और B(-1; 1) से होकर गुजरती है। C(-6; 1) रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु x=-6 और y=1 द्वारा निरूपित करें, और \alpha कोण ABC द्वारा (यह चित्र में देखा जा सकता है कि यह नुकीला है)। तब रेखा AB, ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक अधिक कोण \pi -\alpha बनाती है।

जैसा कि आप जानते हैं, tg(\pi -\alpha) बिंदु x_0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान होगा। नोटिस जो tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.यहाँ से, कमी सूत्रों द्वारा, हम प्राप्त करते हैं: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

रेखा y=-2x-4 फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा है y=16x^2+bx+12। b खोजें, यह देखते हुए कि स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से बड़ा है।

समाधान दिखाएं

फेसला

चलो x_0 समारोह के ग्राफ पर बिंदु की भुज हो y=16x^2+bx+12 जिसके माध्यम से

इस ग्राफ के स्पर्शरेखा है।

बिंदु x_0 पर व्युत्पन्न का मान स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है, अर्थात y "(x_0)=32x_0+b=-2. दूसरी ओर, स्पर्शरेखा बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ और दोनों के अंतर्गत आता है स्पर्शरेखा, यानी 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है \begin(मामलों) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(मामलों)

सिस्टम को हल करने पर, हमें x_0^2=1 मिलता है, जिसका अर्थ है या तो x_0=-1 या x_0=1। भुज की स्थिति के अनुसार, स्पर्श बिंदु शून्य से अधिक होते हैं, इसलिए x_0=1, फिर b=-2-32x_0=-34.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

यह आंकड़ा अंतराल (-2; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जहां फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सीधी रेखा y=6 के समानांतर है।

समाधान दिखाएं

फेसला

रेखा y=6 ऑक्स अक्ष के समानांतर है। इसलिए, हम ऐसे बिंदु पाते हैं, जिन पर फ़ंक्शन ग्राफ़ की स्पर्शरेखा ऑक्स-अक्ष के समानांतर होती है। इस चार्ट पर, ऐसे बिंदु चरम बिंदु (अधिकतम या न्यूनतम अंक) हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, 4 चरम बिंदु हैं।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

रेखा y=4x-6 फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समानांतर है y=x^2-4x+9. संपर्क बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

फेसला

फ़ंक्शन y \u003d x ^ 2-4x + 9 के एक मनमाना बिंदु x_0 पर स्पर्शरेखा का ढलान y "(x_0) है। लेकिन y" \u003d 2x-4, जिसका अर्थ है y "(x_0) \ u003d 2x_0-4। स्थिति में निर्दिष्ट स्पर्शरेखा y \u003d 4x-7 का ढलान 4 के बराबर है। समानांतर रेखाओं में समान ढलान होते हैं। इसलिए, हम ऐसा मान x_0 पाते हैं कि 2x_0-4 \u003d 4. हमें मिलता है : x_0 \u003d 4.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

यह आंकड़ा फलन y=f(x) का ग्राफ और एब्सिसा x_0 के साथ बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा को दिखाता है। बिंदु x_0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

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फेसला

आकृति से, हम यह निर्धारित करते हैं कि स्पर्शरेखा बिंदु A(1; 1) और B(5; 4) से होकर गुजरती है। C(5; 1) रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु x=5 और y=1 द्वारा निरूपित करें, और \alpha कोण BAC द्वारा (यह चित्र में देखा जा सकता है कि यह न्यून है)। तब रेखा AB, ऑक्स-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक कोण \alpha बनाती है।

अवकलज का ज्यामितीय मान ज्ञात करने के लिए फलन y = f(x) के आलेख पर विचार करें। निर्देशांक (x, y) के साथ एक मनमाना बिंदु M लें और इसके करीब एक बिंदु N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y) लें। आइए हम निर्देशांक $\overline(M_(1) M)$ और $\overline(N_(1) N)$ खींचते हैं, और बिंदु M से OX अक्ष के समानांतर एक रेखा खींचते हैं।

अनुपात $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ कोण $\alpha $1 की स्पर्शरेखा है जो OX अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ secant MN द्वारा बनाई गई है। जैसे ही $\Delta $x शून्य की ओर जाता है, बिंदु N, M के पास जाएगा, और बिंदु M पर वक्र की स्पर्शरेखा MT, छेदक MN की सीमित स्थिति बन जाएगी। इस प्रकार, व्युत्पन्न f`(x) स्पर्शरेखा के बराबर है OX अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बिंदु M (x, y) पर वक्र की स्पर्शरेखा द्वारा गठित कोण $\alpha $ का - स्पर्शरेखा का ढलान (चित्र 1)।

चित्र 1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ़

सूत्रों का उपयोग करके मूल्यों की गणना करते समय (1), यह महत्वपूर्ण है कि संकेतों में गलती न करें, क्योंकि वृद्धि ऋणात्मक हो सकती है।

वक्र पर स्थित बिंदु N किसी भी ओर से M की ओर आ सकता है। इसलिए, यदि चित्र 1 में, स्पर्शरेखा को विपरीत दिशा दी जाती है, तो कोण $\alpha $ $\pi $ से बदल जाएगा, जो कोण के स्पर्शरेखा को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करेगा और, तदनुसार, ढलान।

निष्कर्ष

यह इस प्रकार है कि व्युत्पन्न का अस्तित्व वक्र y = f(x) के स्पर्शरेखा के अस्तित्व से जुड़ा है, और ढलान -- tg $\alpha $ = f`(x) परिमित है। इसलिए, स्पर्शरेखा ओए अक्ष के समानांतर नहीं होनी चाहिए, अन्यथा $\alpha $ = $\pi $/2, और कोण की स्पर्शरेखा अनंत होगी।

कुछ बिंदुओं पर, एक सतत वक्र में ओए अक्ष के समानांतर स्पर्शरेखा या स्पर्शरेखा नहीं हो सकती है (चित्र 2)। तब फ़ंक्शन का इन मानों में कोई व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। फलन वक्र पर ऐसे कितने भी बिंदु हो सकते हैं।

चित्र 2. वक्र के असाधारण बिंदु

चित्र 2 पर विचार करें। मान लें कि $\Delta $x ऋणात्मक या धनात्मक मानों से शून्य हो जाता है:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

यदि इस मामले में संबंध (1) में एक परिमित गलियारा है, तो इसे इस प्रकार दर्शाया गया है:

पहले मामले में, बाईं ओर व्युत्पन्न, दूसरे में, दाईं ओर व्युत्पन्न।

एक सीमा का अस्तित्व बाएँ और दाएँ डेरिवेटिव की समानता और समानता की बात करता है:

यदि बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न समान नहीं हैं, तो इस बिंदु पर स्पर्शरेखाएँ हैं जो OY के समानांतर नहीं हैं (बिंदु M1, चित्र 2)। बिंदुओं पर M2, M3, संबंध (1) अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं।

M2 के बाईं ओर N बिंदुओं के लिए, $\Delta $x $

$M_2$ के दाईं ओर, $\Delta $x $>$ 0, लेकिन व्यंजक भी f(x + $\Delta $x) -- f(x) $ है

बिंदु $M_3$ के लिए बाईं ओर $\Delta $x $$ 0 और f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, अर्थात। एक्सप्रेशन (1) बाएँ और दाएँ दोनों तरफ धनात्मक होते हैं और जब $\Delta $x -0 और +0 तक पहुँचते हैं, तो दोनों की ओर +$\infty $ हो जाता है।

रेखा (x = c) के विशिष्ट बिंदुओं पर व्युत्पन्न की अनुपस्थिति का मामला चित्र 3 में दिखाया गया है।

चित्रा 3. डेरिवेटिव की अनुपस्थिति

उदाहरण 1

चित्र 4 एब्सिसा $x_0$ के साथ बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ और ग्राफ के स्पर्शरेखा को दिखाता है। भुज में फलन के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला। एक बिंदु पर व्युत्पन्न तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात के बराबर है। आइए स्पर्शरेखा पर पूर्णांक निर्देशांक वाले दो बिंदु चुनें। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, ये बिंदु F (-3.2) और C (-2.4) हैं।