गणित का एक बड़ा खंड भिन्नों या गैर-पूर्णांक संख्याओं के साथ काम करने के लिए समर्पित है। जीवन में उनका बहुत बार सामना होता है, इसलिए किसी भी व्यक्ति के लिए ऐसे नंबरों के साथ काम करना जानना महत्वपूर्ण है। गणित एक विज्ञान है जिसमें छात्र सरल चीजों और कार्यों के ज्ञान से शुरू होता है, और फिर अधिक जटिल चीजों की ओर बढ़ता है।

ज्ञान और समान संख्याओं के साथ काम करने की क्षमता उसके लिए भविष्य में लॉगरिदम, तर्कसंगत घातांक और इंटीग्रल के साथ काम करना आसान बना देगी। ऐसी संख्याओं के साथ, आप सामान्य लोगों की तरह ही सब कुछ कर सकते हैं: भिन्न जोड़ें, विभाजित करें, घटाएं और गुणा करें। इसके अलावा, उन्हें कम किया जा सकता है। भिन्नों के साथ काम करना आसान है, मुख्य बात यह है कि बुनियादी नियमों और उनकी गणना के तरीकों को जानना है।

मूल अवधारणा

यह समझने के लिए कि इसका क्या अर्थ है, एक निश्चित संपूर्ण वस्तु की कल्पना करना आवश्यक है। मान लीजिए कि एक केक है जिसे कई समान या समान टुकड़ों में काटा गया है। प्रत्येक टुकड़े को एक हिस्सा कहा जाएगा।

उदाहरण के लिए, 10 में 5 दो होते हैं, प्रत्येक दो दस का एक भाग होता है।

पूर्ण संख्या में उनकी कुल संख्या के आधार पर शेयरों के अपने नाम होते हैं: 10 में दो पाँच या पाँच जुड़वाँ हो सकते हैं, पहले मामले में इसे (एक सेकंड) कहा जाएगा, और दूसरे में - (एक पाँचवा)। यह याद रखना चाहिए कि यह आधी संख्या के बराबर है, (एक तिहाई) - तिहाई, और (एक चौथाई) - एक चौथाई। उन्हें डैश के माध्यम से भी चित्रित किया जा सकता है: ½, 1/3 या 1/5।

एक क्षैतिज रेखा के ऊपर या एक तिरछी रेखा के बाईं ओर लिखी गई संख्या, अंश कहा जाता है- यह दर्शाता है कि एक पूर्ण संख्या से कितने शेयर लिए गए थे, और संख्या रेखा के नीचे या उसके दाईं ओर है - हर,यह दर्शाता है कि कितने शेयर विभाजित किए गए थे। उदाहरण के लिए, केक को 10 टुकड़ों में विभाजित किया गया था और उनमें से दो को देर से आने वाले मेहमानों के लिए तुरंत अलग रख दिया गया था। यह 2/10 (दो दसवां) होगा, अर्थात। कुल 10 (हर) में से 2 (अंश) टुकड़े लिए।

शेयर क्या हैं, एक अनुचित अंश क्या है, एक साधारण अंश क्या है? इन सवालों का जवाब देना आसान है:

एक मिश्रित आकृति हमेशा बदल सकती है एक अनुचित अंश मेंऔर इसके विपरीत।

मुख्य संपत्ति कहती है: गुणा करते समय, साथ ही लाभांश और भाजक को एक ही कारक से विभाजित करते समय, सामान्य रूप से भिन्न का मान नहीं बदलेगा।यह गुण भिन्न के साथ सभी संक्रियाओं को संभव बनाता है।

कैसे काटें?

मुख्य नियम कहता है कि भिन्नात्मक आकृति को कम किया जा सकता है - इसके अंश और हर को विभाजित करें एक ही भाजक को(0 के अलावा) ताकि छोटे मापदंडों के साथ एक नया अंक प्राप्त हो, लेकिन मूल मान के बराबर हो। इस नियम के आधार पर यह समझा जा सकता है कि भिन्नों को कम किया जा सकता है और इरेड्यूसबल किया जा सकता है.

भिन्न में कमी का एक उदाहरण: 8/24 इसके मापदंडों को 2 से विभाजित करके कम किया जाता है। हमें मिलता है: 8:2=4 और 24:2=12। नतीजतन, मूल आंकड़ा 4/12 में बदल जाएगा। आप संख्याओं को फिर से विभाजित करके ऑपरेशन दोहरा सकते हैं: 4:2=2 और 12:2=6। हमें 2/6 मिलता है। आइए ऑपरेशन को एक बार फिर दोहराएं: 2:2=1 और 6:2=3। परिणाम अचूक आंकड़ा 1/3 है, क्योंकि इसके मापदंडों को अब एक ही भाजक द्वारा विभाजित नहीं किया जा सकता है। कोई भी घटी हुई संख्या हो सकती है अपरिवर्तनीय की ओर ले जाता है।

भिन्नात्मक व्यंजकों को एक दूसरे से गुणा करने पर आप कम कर सकते हैं:

*. अपने आप में, ये संख्याएँ अघुलनशील हैं, लेकिन गुणन संक्रिया करके, आप इन्हें तिरछे रूप से कम कर सकते हैं: * = =। आप केवल गुणा करने पर ही कम कर सकते हैं आड़ा - तिरछा:दूसरे के हर के साथ पहले का अंश, और इसके विपरीत।

आप मिश्रित आंकड़े को भी कम कर सकते हैं, अर्थात। पूर्णांक भाग और उचित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करते हैं। इसके लिए किया जाना चाहिएकुछ क्रियाएं:

विपरीत क्रिया भी सत्य है: अनुचित भिन्न से मिश्रित भिन्न बनाएं। ऐसा करने के लिए, इसके साथ विपरीत क्रिया पर विचार करें:

इस तरह से किसी भी ऑपरेशन में भिन्नों को कम करना संभव है। आप इसके लाभांश और भाजक के मूल्यों को कम कर सकते हैं जब उन्हें एक ही कारक से गुणा किया जाता है, और मिश्रित संख्या से भिन्न में परिवर्तित किया जाता है, और इसके विपरीत।

संभावित क्रियाएं

शेयरों की गिनती के साथ-साथ पूर्णांक संख्याओं के साथ सभी मुख्य प्रकार की गणनाएं उपलब्ध हैं: जोड़, घटाव, और अन्य। उदाहरणों के साथ प्रत्येक क्रिया पर अलग से विचार करें:

जोड़ना और घटाना

आप शेयरों को उनके भाजक के आधार पर दो तरह से जोड़ सकते हैं। वे समान और भिन्न हैं। समान भाजक वाले शेयरों को जोड़ने के एक उदाहरण पर विचार करें।

+ को हल करने के लिए, लाभांश को अलग से जोड़ना आवश्यक है, और भाजक को स्पर्श न करें: 1 + 1। परिणाम एक संख्या होगी, लेकिन चूंकि यह गलत है, इसे भाजक द्वारा लाभांश को विभाजित करके मिश्रित में परिवर्तित किया जा सकता है: 2: 2 = 1. गलत हिस्सा हमेशा (!) दिया जाना चाहिए सही और अपरिवर्तनीय के लिए,यानी यदि इसके लाभांश और भाजक को एक ही कारक से विभाजित किया जा सकता है, तो यह एक अनिवार्य क्रम में किया जाना चाहिए।

विभिन्न भाजक के साथ शेयरों को जोड़ने के मामले में, उन्हें शुरू में करना होगा उसी के लिए नेतृत्व. उदाहरण के लिए, हल करने के लिए: आपको चाहिए:

घटाव बिल्कुल उसी तरह किया जाता है: समान भाजक के मामले में, हम उन्हें स्पर्श नहीं करते हैं, और अंशों को क्रमिक रूप से घटाते हैं: - = =

. यदि हर अलग-अलग हैं, तो आपको जोड़ के साथ भी ऐसा ही करना चाहिए: एलसीएम, कारक खोजें, शेयरों को गुणा करें, और फिर समान भाजक वाले शेयरों को घटाएं।

अंश कितने प्रकार के होते हैं?

आइए शुरू करते हैं कि यह क्या है। भिन्न एक संख्या है जिसमें एक का कुछ अंश होता है। इसे दो रूपों में लिखा जा सकता है। पहले को साधारण कहा जाता है। यानी वह जिसमें क्षैतिज या तिरछा स्ट्रोक हो। यह विभाजन चिह्न के बराबर है।

ऐसे अंकन में, डैश के ऊपर की संख्या को अंश कहा जाता है, और इसके नीचे की संख्या को हर कहा जाता है।

साधारण भिन्नों में, सही और गलत भिन्न को प्रतिष्ठित किया जाता है। पूर्व के लिए, मॉड्यूलो अंश हमेशा हर से कम होता है। गलत लोगों को इसलिए कहा जाता है क्योंकि उनके पास विपरीत होता है। एक उचित भिन्न का मान हमेशा एक से कम होता है। जबकि गलत वाला हमेशा इस संख्या से बड़ा होता है।

मिश्रित संख्याएँ भी होती हैं, अर्थात् जिनके पास एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है।

दूसरे प्रकार का अंकन दशमलव है। उसकी अलग बातचीत के बारे में।

अनुचित भिन्नों और मिश्रित संख्याओं में क्या अंतर है?

मूल रूप से, कुछ भी नहीं। यह एक ही संख्या का सिर्फ एक अलग संकेतन है। सरल संक्रियाओं के बाद अनुचित भिन्न आसानी से मिश्रित संख्या बन जाते हैं। और इसके विपरीत।

यह सब विशिष्ट स्थिति पर निर्भर करता है। कभी-कभी कार्यों में अनुचित अंश का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है। और कभी-कभी इसे मिश्रित संख्या में अनुवाद करना आवश्यक होता है, और फिर उदाहरण बहुत आसानी से हल हो जाएगा। इसलिए, क्या उपयोग करें: अनुचित अंश, मिश्रित संख्या - समस्या के सॉल्वर के अवलोकन पर निर्भर करता है।

मिश्रित संख्या की तुलना पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक भाग के योग से भी की जाती है। इसके अलावा, दूसरा हमेशा एकता से कम होता है।

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में कैसे निरूपित करें?

यदि आप अलग-अलग रूपों में लिखी गई कई संख्याओं के साथ कुछ क्रिया करना चाहते हैं, तो आपको उन्हें वही बनाना होगा। एक तरीका यह है कि संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में निरूपित किया जाए।

ऐसा करने के लिए, आपको निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन करना होगा:

• हर को पूर्णांक भाग से गुणा करें;
• परिणाम में अंश का मान जोड़ें;
• उत्तर पंक्ति के ऊपर लिखें;
• भाजक को वही छोड़ दें।

मिश्रित संख्याओं से अनुचित भिन्नों को लिखने के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

• 17 \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2।

एक मिश्रित संख्या के रूप में एक अनुचित अंश कैसे लिखें?

अगली विधि ऊपर चर्चा की गई विधि के विपरीत है। अर्थात्, जब सभी मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों से बदल दिया जाता है। क्रियाओं का एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

• शेष प्राप्त करने के लिए हर द्वारा अंश को विभाजित करें;
• मिश्रित के पूर्णांक भाग के स्थान पर भागफल लिखिए;
• शेष को रेखा के ऊपर रखा जाना चाहिए;
• भाजक भाजक होगा।

ऐसे परिवर्तन के उदाहरण:

76/14; 76:14 = 5, शेष 6 के साथ; उत्तर 5 पूर्णांक और 6/14 है; इस उदाहरण में भिन्नात्मक भाग को 2 से कम करने की आवश्यकता है, आपको 3/7 मिलता है; अंतिम उत्तर 5 पूर्ण 3/7 है।

108/54; विभाजन के बाद, भागफल 2 बिना किसी शेषफल के प्राप्त होता है; इसका अर्थ है कि सभी अनुचित भिन्नों को मिश्रित संख्या के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है; उत्तर एक पूर्णांक-2 है।

आप एक पूर्णांक को एक अनुचित भिन्न में कैसे बदलते हैं?

ऐसी स्थितियां हैं जब ऐसी कार्रवाई आवश्यक है। पूर्व निर्धारित हर के साथ अनुचित अंश प्राप्त करने के लिए, आपको निम्नलिखित एल्गोरिथम करने की आवश्यकता होगी:

• वांछित हर से एक पूर्णांक गुणा करें;
• इस मान को रेखा के ऊपर लिखें;
• इसके नीचे एक भाजक रखें।

सबसे आसान विकल्प तब होता है जब हर एक के बराबर हो। फिर गुणा करने की कोई जरूरत नहीं है। यह केवल एक पूर्णांक लिखने के लिए पर्याप्त है, जो उदाहरण में दिया गया है, और एक इकाई को रेखा के नीचे रखें।

उदाहरण: 5 को 3 के हर के साथ एक अनुचित भिन्न बनाओ। 5 को 3 से गुणा करने के बाद, आपको 15 मिलता है। यह संख्या हर होगी। कार्य का उत्तर एक अंश है: 15/3।

विभिन्न संख्याओं वाले कार्यों को हल करने के दो दृष्टिकोण

उदाहरण में, योग और अंतर की गणना करना आवश्यक है, साथ ही साथ दो संख्याओं का गुणनफल और भागफल: 2 पूर्णांक 3/5 और 14/11।

पहले दृष्टिकोण मेंमिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जाएगा।

ऊपर वर्णित चरणों को करने के बाद, आपको निम्न मान मिलता है: 13/5।

योग का पता लगाने के लिए, आपको भिन्नों को एक ही हर में कम करना होगा। 13/5 को 11 से गुणा करने पर 143/55 हो जाता है। और 14/11 को 5 से गुणा करने के बाद यह रूप लेगा: 70/55। योग की गणना करने के लिए, आपको केवल अंश जोड़ना होगा: 143 और 70, और फिर एक हर के साथ उत्तर लिखें। 213/55 - यह अनुचित अंश समस्या का उत्तर है।

अंतर ज्ञात करते समय, इन समान संख्याओं को घटाया जाता है: 143 - 70 = 73। उत्तर एक भिन्न है: 73/55।

13/5 और 14/11 को गुणा करते समय, आपको एक सामान्य हर में कम करने की आवश्यकता नहीं है। बस अंशों और हरों को जोड़ियों में गुणा करें। उत्तर होगा: 182/55।

इसी तरह विभाजन के साथ। सही समाधान के लिए, आपको विभाजन को गुणा से बदलना होगा और भाजक को पलटना होगा: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70।

दूसरे दृष्टिकोण मेंएक अनुचित भिन्न एक मिश्रित संख्या बन जाती है।

एल्गोरिथम की क्रियाओं को करने के बाद, 14/11 एक मिश्रित संख्या में 1 के पूर्णांक भाग और 3/11 के भिन्नात्मक भाग के साथ बदल जाएगा।

योग की गणना करते समय, आपको पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ना होगा। 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55। अंतिम उत्तर 3 पूर्ण 48/55 है। पहले दृष्टिकोण में 213/55 का अंश था। आप इसे मिश्रित संख्या में परिवर्तित करके शुद्धता की जांच कर सकते हैं। 213 को 55 से भाग देने पर भागफल 3 और शेष 48 आता है। यह देखना आसान है कि उत्तर सही है।

घटाते समय, "+" चिह्न को "-" से बदल दिया जाता है। 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55। पिछले दृष्टिकोण से उत्तर की जांच करने के लिए, आपको इसे मिश्रित संख्या में बदलने की आवश्यकता है: 73 को 55 से विभाजित किया जाता है और आपको 1 का भागफल और 18 का शेष मिलता है।

गुणनफल और भागफल ज्ञात करने के लिए मिश्रित संख्याओं का उपयोग करना असुविधाजनक होता है। यहां हमेशा अनुचित भिन्नों पर स्विच करने की अनुशंसा की जाती है।

गलत भिन्न को सही में कैसे बदलें?

शब्द स्वयं - एक अंश का अर्थ है कि संख्या भिन्नात्मक है, यह एक पूर्ण (कम से कम एक) से कम है।

इसलिए, अंश से एक पूर्णांक निकालना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, संख्या 30/4 एक गलत भिन्न है, क्योंकि 30, 4 से बड़ा है। तो, आपको बस 30 को 4 से विभाजित करना होगा और दशमलव बिंदु - 7 से पहले संख्या प्राप्त करनी होगी और फिर इसे भिन्न के सामने रखना होगा। . 7 को 4 से गुणा करें और इस संख्या को 30 से घटाएं - आपको 2 मिलेगा - यह भिन्न के अंश में होगा। परिणाम 7 2/4 है, हम घटाते हैं - 7 1/2। आपके उदाहरण में, उत्तर 2 3/4 है।

ऐसा करने के लिए, आपको एक भाजक की आवश्यकता है: भाजक।

जो पूर्णांक निकला - अंश में लिखें। भाजक वह है जो था। जब आप विभाजित करते हैं, तो इसे पूरे भाग के रूप में लिखें।

11:4=2 (तीसरा शेष)।

हमें नियम-वें अंश मिलता है: 2 - जितने 34

एक अनुचित भिन्न को सही में बदलने के लिए, आपको पूरे भागों की पहचान करनी होगी और उन्हें अनुचित भिन्न से घटाना होगा। हमारे मामले में, अनुचित अंश 11/4 है। इसमें दो (2) पूरे भाग होंगे। हम उन्हें घटाते हैं और सही भिन्न प्राप्त करते हैं: दो दशमलव तीन चौथाई (2 अंक 3/4)।

एक अनुचित भिन्न, हमारे मामले में, 11/4 को एक सही में परिवर्तित किया जाना चाहिए, अर्थात। इस मामले में एक मिश्रित अंश। यदि सरल तरीके से किया जाए तो भिन्न गलत है, क्योंकि भिन्न के अतिरिक्त उसमें एक पूर्णांक भी होता है। यह फ्रिज में खड़े एक केक की तरह है जो समाप्त नहीं हुआ है, हालांकि कट गया है, और मेज पर दूसरे से कुछ टुकड़े बचे हैं। जब हम 11/4 के बारे में बात करते हैं, तो हम दो पूरे केक के बारे में नहीं जानते हैं, हम केवल ग्यारह बड़े टुकड़े देखते हैं। 11 को 4 से भाग देने पर 2 प्राप्त होता है और शेषफल 11-8=3 होता है। तो, 2 पूर्ण 3/4, अब अंश सही है, इसमें अंश हर से छोटा होगा, लेकिन मिश्रित होगा, क्योंकि गणना पूरी इकाइयों के बिना नहीं हो सकती थी।

एक अनुचित भिन्न को सही में बदलने के लिए, अंश को हर से विभाजित करें। परिणामी पूर्णांक भिन्न से पहले निकाला जाता है, और शेष अंश अंश में दर्ज किया जाता है। भाजक नहीं बदलता है।

उदाहरण के लिए: 11/4 एक अनुचित भिन्न है जहाँ अंश 11 है और हर 4 है।

सबसे पहले, हम 11 को 4 से विभाजित करते हैं, हमें 2 पूर्णांक और 3 शेष प्राप्त होते हैं। हम भिन्न से पहले 2 निकालते हैं, और शेष 3 को अंश 3/4 में लिखते हैं। इस प्रकार, भिन्न नियमित हो जाती है - 2 पूर्णांक और 3/4।

एक अनुचित अंश के लिए, भाजक अंश से कम होता है, जो इंगित करता है कि इस भिन्न में पूर्णांक भाग होते हैं जिन्हें पहचाना जा सकता है और एक पूर्ण संख्या के साथ एक उचित अंश के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

अंश को हर से भाग देने का सबसे आसान तरीका। परिणामी पूर्णांक भिन्न के बाईं ओर रखा जाता है, और शेष अंश को लिखा जाता है, भाजक वही रहता है।

उदाहरण के लिए 11/4। हम 11 को 4 से विभाजित करते हैं और 2 और शेष 3 प्राप्त करते हैं। दो वह संख्या है जिसे हम भिन्न के आगे रखते हैं, और हम तीन को भिन्न के अंश में लिखते हैं। 2 और 3/4 निकलता है।

इस सरल प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आप उसी सरल समस्या को हल कर सकते हैं:

पेट्या और वाल्या अपने साथियों की कंपनी में आए। कुल मिलाकर उनमें से 11 थे। वाल्या के पास सेब थे (लेकिन बहुत कुछ नहीं) और सभी के इलाज के लिए पेट्या ने प्रत्येक को चार भागों में काट दिया और वितरित किया। सबके लिए काफ़ी है और पाँच टुकड़े भी बचे हैं।

पेट्या ने कितने सेब बांटे और कितने सेब बचे? कितने थे?

क्या आप इसे गणितीय रूप से लिख सकते हैं?

11 सेब के स्लाइस, जो हमारे मामले में 11/4 है, को एक अनुचित अंश प्राप्त हुआ, क्योंकि अंश हर से बड़ा है।

पूरे हिस्से को हाइलाइट करने के लिए (बदलनाअनुचित अंश से उचित), आपको चाहिए अंश को हर से विभाजित करें, अपूर्ण भागफल (हमारे मामले में यह 2 है) बाईं ओर लिखा है, शेष (3) अंश में छोड़ दिया गया है और हर को छुआ नहीं गया है।

परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है 11/4 = 11:4 = 2 3/4 पीटर ने सेब सौंपे।

इसी तरह, 5/4 = 1 1/4 सेब बचे हैं।

(11+5)/4 = 16/4 = 4 सेब वल्या द्वारा लाए गए

दशमलव संख्याएं जैसे 0.2; 1.05; 3.017 आदि। जैसे वे सुने जाते हैं, वैसे ही वे लिखे जाते हैं। शून्य बिंदु दो, हमें एक भिन्न मिलता है। एक पूरे पांच सौवां, हमें एक अंश मिलता है। तीन पूरे सत्रह हज़ारवां, हमें एक अंश मिलता है। दशमलव संख्या में दशमलव बिंदु से पहले के अंक भिन्न का पूर्णांक भाग होते हैं। दशमलव बिंदु के बाद की संख्या भविष्य के अंश का अंश है। यदि दशमलव बिंदु के बाद एक अंक की संख्या है, तो हर 10 होगा, यदि दो अंक - 100, तीन अंक - 1000, आदि। परिणामी अंशों में से कुछ को कम किया जा सकता है। हमारे उदाहरणों में

भिन्न को दशमलव संख्या में बदलना

यह पिछले परिवर्तन के विपरीत है। दशमलव अंश क्या है? उसका हर हमेशा 10, या 100, या 1000, या 10,000, इत्यादि होता है। यदि आपके सामान्य भिन्न में ऐसा हर है, तो कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, या

यदि एक अंश, उदाहरण के लिए। इस मामले में, आपको भिन्न की मूल संपत्ति का उपयोग करने और हर को 10 या 100, या 1000 में बदलने की आवश्यकता है ... हमारे उदाहरण में, यदि हम अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं, तो हमें एक अंश मिलता है जिसे लिखा जा सकता है दशमलव संख्या 0.12 के रूप में।

कुछ भिन्नों को हर को बदलने की तुलना में विभाजित करना आसान होता है। उदाहरण के लिए,

कुछ भिन्नों को दशमलव संख्या में नहीं बदला जा सकता है!
उदाहरण के लिए,

मिश्रित भिन्न को अनुचित में बदलना

एक मिश्रित भिन्न, जैसे , आसानी से एक अनुचित भिन्न में बदल जाती है। ऐसा करने के लिए, आपको हर (नीचे) द्वारा पूर्णांक भाग को गुणा करना होगा और इसे अंश (शीर्ष) में जोड़ना होगा, जिससे हर (नीचे) अपरिवर्तित रह जाएगा। वह है

मिश्रित भिन्न को अनुचित में परिवर्तित करते समय, आप याद रख सकते हैं कि आप भिन्नों के योग का उपयोग कर सकते हैं

एक अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलना (पूरे भाग को हाइलाइट करना)

एक अनुचित भिन्न को पूरे भाग को हाइलाइट करके मिश्रित भिन्न में बदला जा सकता है। एक उदाहरण पर विचार करें, . निर्धारित करें कि कितने पूर्णांक बार "3" "23" में फिट होते हैं। या हम कैलकुलेटर पर 23 को 3 से विभाजित करते हैं, दशमलव बिंदु तक की पूरी संख्या वांछित है। यह "7" है। अगला, हम भविष्य के अंश का अंश निर्धारित करते हैं: हम परिणामी "7" को हर "3" से गुणा करते हैं और परिणाम को अंश "23" से घटाते हैं। यदि हम "3" की अधिकतम संख्या को हटा दें, तो हम अंश "23" से जो अतिरिक्त बचता है, उसे कैसे प्राप्त करेंगे। भाजक अपरिवर्तित रहता है। सब कुछ हो गया है, परिणाम लिखो

प्रत्येक व्यक्ति, गणित की समस्याओं को हल करते समय, अक्सर भिन्नों के साथ समस्याओं का सामना करता था। उनमें से बहुत सारे हैं, इसलिए हम मुख्य ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए विभिन्न विकल्पों पर विचार करेंगे।

भिन्न क्या हैं

किसी भी भिन्न की सबसे बड़ी संख्या को अंश कहा जाता है, और नीचे की संख्या को हर कहा जाता है। साधारण भिन्न दो संख्याओं का भागफल होता है, इनमें से एक संख्या भिन्न के अंश में होती है, दूसरी भिन्न के हर में होती है। इन साधारण भिन्नों के प्रकार भिन्न के हर और अंश की तुलना करके निर्धारित किए जाएंगे।

यदि किसी भिन्न का हर (एक प्राकृत संख्या) किसी भिन्न के अंश (एक प्राकृत संख्या) से बड़ा है, तो भिन्न को उचित कहा जाता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 7/19; 9/13; 31/152; 5/17.

यदि किसी भिन्न का हर (एक प्राकृत संख्या) भिन्न के अंश (एक प्राकृत संख्या) से कम या उसके बराबर हो, तो भिन्न को अनुचित भिन्न कहा जाता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.

अनुचित भिन्न का अनुवाद कैसे करें

मिश्रित भिन्न को अनुचित में बदलने के लिए, आपको भिन्न के पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग में हर से गुणा करना होगा और अंश को इस गुणनफल में जोड़ना होगा। फिर योग को अंश के रूप में लें, उसी हर को पहले की तरह लिखें। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

• 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11।
• 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9।

एक अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलने के लिए, आपको इस अनुचित भिन्न के अंश को उसके हर से भाग देना होगा। परिणामी पूर्णांक को भिन्न के पूर्णांक भाग के रूप में लिया जाता है, और शेष (बेशक, यदि यह मौजूद है) को सही भिन्न के भिन्नात्मक भाग के अंश के रूप में लिया जाता है, जो पहले की तरह ही हर को लिखता है। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

• 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
• 156/12 = (13x12)/12 = 13.

एक अनुचित भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या ऐसा कोई कारक मौजूद है, जो आपको अनुपयुक्त भिन्न के भिन्नात्मक भाग के हर को दस के बराबर संख्या में लाने की अनुमति देगा। शक्ति (10, 100, 1000 और उससे अधिक)। यदि ऐसा कारक है, तो इसे जांचने के लिए अनुचित अंश के अंश और हर को इस कारक से गुणा करना आवश्यक है। अब गुणा किए गए अंश को अल्पविराम से अलग किया जाना चाहिए। , अनुचित भिन्न के पूर्णांक भाग के लिए। हम उदाहरण देते हैं:

• गुणक "5" - 8/20 = (8x5) / (20x5) = 40/100 = 0.4।
• गुणक "4" - 14/25 = (14x4) / (25x4) = 56/100 = 0.56।
• गुणक "25" - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0.075।

यदि ऐसा कोई कारक मौजूद नहीं है, तो इसका मतलब है कि इस अनुचित दशमलव अंश का कोई स्पष्ट समकक्ष नहीं है। अर्थात्, प्रत्येक अनुचित भिन्न को दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। इस मामले में, आपको आवश्यक सटीकता की डिग्री के साथ अंश के अनुमानित मूल्य को खोजने की आवश्यकता है। आप कैलकुलेटर पर, अपने दिमाग में या एक कॉलम में इस तरह के अंश की गणना कर सकते हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 41/7 = 5(6/7) = 5.9 (दसवें तक पूर्णांकित), = 5.86 (सौवें तक गोल), = 5.857 (हजारवें तक गोल); 3/7, 7/6, 1/3 और अन्य। वे भी स्पष्ट रूप से अनुवादित नहीं होते हैं और एक कैलकुलेटर पर, दिमाग में या एक कॉलम में गिने जाते हैं।

अब आप जानते हैं कि अनुचित भिन्न को उचित या दशमलव में कैसे बदला जाता है!

सरल गणितीय नियम और तरकीबें, यदि उनका लगातार उपयोग नहीं किया जाता है, तो उन्हें सबसे तेजी से भुला दिया जाता है। शब्द स्मृति से और भी तेजी से लुप्त हो रहे हैं।

इन सरल क्रियाओं में से एक अनुचित अंश का उचित अंश या दूसरे शब्दों में मिश्रित अंश में परिवर्तन है।

अनुचित अंश

एक अनुचित भिन्न एक भिन्न होता है जिसमें अंश (अंशात्मक बार के ऊपर की संख्या) हर (बार के नीचे की संख्या) से अधिक या उसके बराबर होता है। ऐसा भिन्न भिन्नों को जोड़कर या किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। गणित के नियमों के अनुसार, ऐसे अंश को नियमित अंश में बदलना चाहिए।

उचित अंश

यह मान लेना तर्कसंगत है कि अन्य सभी भिन्नों को सही कहा जाता है। सख्त परिभाषा - एक सही अंश कहलाता है, जिसमें अंश हर से छोटा होता है। जिस भिन्न का पूर्णांक भाग होता है उसे कभी-कभी मिश्रित भिन्न कहा जाता है।

अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलना

• पहला मामला: अंश और हर एक दूसरे के बराबर हैं। ऐसे किसी भी अंश के परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक प्राप्त किया जाएगा। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह तीन-तिहाई है या एक सौ पच्चीस एक सौ पच्चीसवां। वास्तव में, ऐसा भिन्न किसी संख्या को स्वयं से विभाजित करने की क्रिया को दर्शाता है।

• दूसरा मामला: अंश हर से बड़ा है। यहां आपको संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने की विधि याद रखने की आवश्यकता है।
  ऐसा करने के लिए, आपको अंश के मूल्य के निकटतम संख्या को खोजने की आवश्यकता है, जो शेष के बिना हर से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, आपके पास उन्नीस तिहाई का अंश है। निकटतम संख्या जिसे तीन से विभाजित किया जा सकता है वह अठारह है। छह प्राप्त करें। अब परिणामी संख्या को अंश से घटाएं। हमें एक इकाई मिलती है। यह शेष है। परिवर्तन का परिणाम लिखें: छह पूर्णांक और एक तिहाई।

लेकिन इससे पहले कि आप भिन्न को सही रूप में लाएं, आपको यह जांचना होगा कि क्या इसे कम किया जा सकता है।
अंश और हर में एक सामान्य भाजक होने पर एक अंश को कम किया जा सकता है। अर्थात् वह संख्या जिससे दोनों बिना शेषफल के विभाज्य हों। यदि ऐसे कई भाजक हैं, तो आपको सबसे बड़ा खोजने की आवश्यकता है।
उदाहरण के लिए, सभी सम संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक होता है - दो। और सोलहवें बारहवें के अंश में एक और सामान्य भाजक है - चार। यह सबसे बड़ा भाजक है। अंश और हर को चार से विभाजित करें। कमी परिणाम: चार-तिहाई। अब, एक अभ्यास के रूप में, इस भिन्न को एक उचित भिन्न में परिवर्तित करें।

इस सामग्री में, हम मिश्रित संख्याओं जैसी किसी चीज़ का विश्लेषण करेंगे। हम, हमेशा की तरह, एक परिभाषा और छोटे उदाहरणों के साथ शुरू करते हैं, फिर हम मिश्रित संख्याओं और अनुचित अंशों के बीच संबंध की व्याख्या करेंगे। उसके बाद, हम सीखेंगे कि किसी भिन्न से पूर्णांक भाग को सही तरीके से कैसे निकाला जाए और परिणामस्वरूप पूर्णांक प्राप्त किया जाए।

मिश्रित संख्या की अवधारणा

यदि हम योग n + a b लेते हैं, जहाँ n का मान कोई भी प्राकृत संख्या हो सकता है, और a b एक उचित साधारण भिन्न है, तो हम a का उपयोग किए बिना एक ही चीज़ लिख सकते हैं: n a b । आइए स्पष्टता के लिए विशिष्ट संख्याएँ लें: तो, 28 + 5 7 28 5 7 के समान है। किसी पूर्णांक के आगे भिन्न लिखने को मिश्रित संख्या कहते हैं।

परिभाषा 1

मिश्रित संख्याएक संख्या है जो एक प्राकृतिक संख्या n के योग के बराबर है जिसमें एक उचित साधारण अंश a b है। इस स्थिति में, n संख्या का पूर्णांक भाग है, और a b इसका भिन्नात्मक भाग है।

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि कोई भी मिश्रित संख्या उसके पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के परिणाम के बराबर होती है। इस प्रकार, समानता n a b = n + a b धारण करेगी।

इसे n + a b = n a b के रूप में भी लिखा जा सकता है।

मिश्रित संख्याओं के कुछ उदाहरण क्या हैं? तो, 5 1 8 उनका है, जबकि पांच इसका पूरा हिस्सा है, और एक आठवां अंश भिन्न है। और उदाहरण: 1 1 2 , 234 34 53 , 34000 6 25 ।

हमने ऊपर लिखा है कि मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग में केवल एक उचित भिन्न होना चाहिए। कभी-कभी आपको 5 22 3 , 75 7 2 जैसी प्रविष्टियां मिल सकती हैं। वे मिश्रित संख्या नहीं हैं, क्योंकि उनका भिन्नात्मक भाग गलत है। उन्हें एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग के योग के रूप में समझने की आवश्यकता है। ऐसी संख्याओं को इन उदाहरणों में क्रमशः अनुचित भिन्न के पूर्णांक भाग को 5 और 75 में जोड़कर मानक मिश्रित संख्याओं में घटाया जा सकता है।

फॉर्म 0 3 14 की संख्याएं भी मिश्रित नहीं हैं। शर्त का पहला भाग यहां पूरा नहीं हुआ है: पूर्णांक भाग को केवल एक प्राकृतिक संख्या द्वारा दर्शाया जाना चाहिए, और शून्य नहीं है।

अनुचित भिन्न और मिश्रित संख्या कैसे संबंधित हैं?

यह कनेक्शन एक ठोस उदाहरण पर ट्रेस करना सबसे आसान है।

उदाहरण 1

चलो एक पूरा केक और उसी का एक और तीन चौथाई लेते हैं। अतिरिक्त नियमों के अनुसार, हमारे पास टेबल पर 1 + 3 4 केक हैं। इस योग को मिश्रित संख्या के रूप में 1 3 4 केक के रूप में दर्शाया जा सकता है। अगर हम एक पूरा केक लें और उसे भी चार बराबर भागों में काट लें, तो हमारे पास मेज पर 7 4 केक होंगे। जाहिर है, काटने से राशि नहीं बढ़ी, और 1 3 4 = 7 4।

हमारा उदाहरण साबित करता है कि किसी भी अनुचित अंश को मिश्रित संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए टेबल पर बचे हमारे 7 4 केक पर वापस जाएं। आइए एक केक को उसके टुकड़ों में से वापस रख दें (1 + 3 4)। हमारे पास फिर से 1 3 4 होगा।

उत्तर: 7 4 = 1 3 4 .

हमने यह पता लगाया कि एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में कैसे बदला जाए। यदि किसी अनुचित भिन्न के अंश में एक ऐसी संख्या है जिसे हर द्वारा बिना शेष के विभाजित किया जा सकता है, तो आप ऐसा कर सकते हैं, और तब हमारा अनुचित अंश एक प्राकृतिक संख्या बन जाएगा।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए,

8 4 = 2 क्योंकि 8: 4 = 2।

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में कैसे बदलें

समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, विपरीत क्रिया करने में सक्षम होना, यानी मिश्रित संख्याओं से अनुचित अंश बनाना उपयोगी है। इस अनुच्छेद में, हम विश्लेषण करेंगे कि इसे सही तरीके से कैसे किया जाए।

ऐसा करने के लिए, आपको क्रियाओं के निम्नलिखित अनुक्रम को पुन: पेश करने की आवश्यकता है:

1. सबसे पहले, हम उपलब्ध मिश्रित संख्या n a b को पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के रूप में प्रस्तुत करते हैं। यह पता चला है n + a b

3. उसके बाद, हम पहले से ही परिचित क्रिया करते हैं - हम दो साधारण अंश n 1 और a b जोड़ते हैं। परिणामी अनुचित भिन्न स्थिति में दी गई मिश्रित संख्या के बराबर होगा।

आइए इस क्रिया का एक विशिष्ट उदाहरण पर विश्लेषण करें।

उदाहरण 3

5 3 7 को एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखिए।

समाधान

हम उपरोक्त एल्गोरिथम के चरणों को क्रम से करते हैं। हमारी संख्या 5 3 7 पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का योग है, अर्थात् 5 + 3 7। अब पाँचों को 5 1 के रूप में लिखते हैं। हमें 5 1 + 3 7 का योग मिला।

अंतिम चरण भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना है:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

संक्षिप्त रूप का संपूर्ण हल 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7 के रूप में लिखा जा सकता है।

उत्तर: 5 3 7 = 38 7 .

इस प्रकार, उपरोक्त क्रियाओं की श्रृंखला की सहायता से, हम किसी भी मिश्रित संख्या n a b को अनुचित भिन्न में बदल सकते हैं। हमने सूत्र n a b = n b + a b प्राप्त किया है, जिसे हम आगे की समस्याओं को हल करने के लिए लेंगे।

उदाहरण 4

15 2 5 को अनुचित भिन्न के रूप में लिखिए।

समाधान

इस सूत्र को लें और इसमें वांछित मानों को प्रतिस्थापित करें। हमारे पास n = 15, a = 2, b = 5, इसलिए 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5 है।

उत्तर: 15 2 5 = 77 5 .

हम आमतौर पर गलत अंश को अंतिम उत्तर के रूप में सूचीबद्ध नहीं करते हैं। गणनाओं को अंत तक लाने और इसे एक प्राकृतिक संख्या (हर से अंश को विभाजित करने) या मिश्रित संख्या के साथ बदलने की प्रथा है। एक नियम के रूप में, पहली विधि का उपयोग तब किया जाता है जब अंश को भाजक द्वारा बिना शेष के विभाजित करना संभव हो, और दूसरा - यदि ऐसी क्रिया असंभव है।

जब हम एक अनुचित भिन्न से पूरा भाग निकालते हैं, तो हम इसे केवल एक समान मिश्रित संख्या से बदल देते हैं।

आइए देखें कि यह वास्तव में कैसे किया जाता है।

परिभाषा 2

हम इस दावे का सबूत पेश करते हैं।

हमें यह समझाने की आवश्यकता है कि q r b = a b क्यों है। ऐसा करने के लिए, मिश्रित संख्या q r b को पिछले पैराग्राफ से एल्गोरिथम के सभी चरणों का पालन करके एक अनुचित अंश के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। चूँकि एक अपूर्ण भागफल है, और r, a को b से विभाजित करने का शेषफल है, तो समानता a = b · q + r अवश्य ही होनी चाहिए।

तो q b + r b = a b तो q r b = a b । यह हमारे दावे का प्रमाण है। संक्षेप में:

परिभाषा 3

अनुचित भिन्न a b से पूर्णांक भाग का चयन निम्नानुसार किया जाता है:

1) हम शेषफल के साथ a को b से विभाजित करते हैं और अपूर्ण भागफल q और शेष r को अलग-अलग लिखते हैं।

2) परिणाम q r b के रूप में लिखें। यह हमारी मिश्रित संख्या है, जो मूल अनुचित भिन्न के बराबर है।

उदाहरण 5

1074 को मिश्रित संख्या के रूप में व्यक्त करें।

समाधान

हम एक कॉलम में 104 को 7 से विभाजित करते हैं:

अंश a = 118 को हर b = 7 से भाग देने पर हमें अपूर्ण भागफल q = 16 और शेष r = 6 प्राप्त होता है।

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि अनुचित भिन्न 118 7 मिश्रित संख्या q r b = 16 6 7 के बराबर है।

उत्तर: 118 7 = 16 6 7 .

यह देखना हमारे लिए बाकी है कि एक अनुचित भिन्न को एक प्राकृत संख्या से कैसे बदला जाए (बशर्ते इसका अंश हर से विभाज्य हो और शेष न हो)।

ऐसा करने के लिए, याद रखें कि साधारण भिन्न और विभाजन के बीच क्या संबंध है। इससे हम समानताएं प्राप्त कर सकते हैं: a b = a: b = c । यह पता चला है कि अनुचित अंश a b को प्राकृतिक संख्या c से बदला जा सकता है।

उदाहरण 6

उदाहरण के लिए, यदि उत्तर एक अनुचित अंश 27 3 निकला, तो हम इसके बजाय 9 लिख सकते हैं, क्योंकि 27 3 \u003d 27: 3 \u003d 9।

उत्तर: 27 3 = 9 .

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