- एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, जो इसके ऊपर से खींची जाती है (इसके अलावा, एपोथेम लंबवत की लंबाई है, जो एक नियमित बहुभुज के बीच से उसके 1 हिस्से तक कम हो जाती है);
- साइड फेस (एएसबी, बीएससी, सीएसडी, डीएसए) - त्रिकोण जो शीर्ष पर अभिसरण करते हैं;
- पार्श्व पसलियां ( जैसा , बी एस , सीएस , डी.एस. ) - पक्ष के आम पक्ष चेहरे;
- पिरामिड के ऊपर (वी. एस) - एक बिंदु जो किनारे के किनारों को जोड़ता है और जो आधार के तल में नहीं होता है;
- कद ( इसलिए ) - लंबवत का एक खंड, जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचा जाता है (इस तरह के खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार होंगे);
- पिरामिड का विकर्ण खंड- पिरामिड का खंड, जो आधार के शीर्ष और विकर्ण से होकर गुजरता है;
- आधार (ए बी सी डी) एक बहुभुज है जिसमें पिरामिड का शीर्ष संबंधित नहीं है।
पिरामिड गुण।
1. जब सभी किनारों का आकार समान हो, तब:
- पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
- पार्श्व पसलियां आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं;
- इसके अतिरिक्त, विलोम भी सत्य है, अर्थात्। जब पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या जब पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा, तो पिरामिड के सभी किनारे समान आकार।
2. जब पार्श्व फलकों में समान मान के आधार के तल की ओर झुकाव कोण होता है, तो:
- पिरामिड के आधार के पास, एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
- पार्श्व फलकों की ऊँचाई समान लंबाई की होती है;
- पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ½ आधार की परिधि और पार्श्व फलक की ऊंचाई का गुणनफल है।
3. पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र उन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा जो उनके लंबवत पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी त्रिभुज के चारों ओर और किसी भी नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है।
4. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक द्वितल कोणों के समद्विभाजक तल 1 बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा।
सबसे सरल पिरामिड।
पिरामिड के आधार के कोनों की संख्या के अनुसार, उन्हें त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय आदि में विभाजित किया गया है।
पिरामिड होगा त्रिकोणीय, चौकोर, और इसी तरह, जब पिरामिड का आधार एक त्रिभुज, एक चतुर्भुज, और इसी तरह होता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुर्भुज - पेंटाहेड्रोन और इसी तरह।
एक त्रिभुजाकार पिरामिड एक त्रिभुज पर आधारित पिरामिड होता है। इस पिरामिड की ऊंचाई लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधारों तक नीचे है।
एक पिरामिड की ऊंचाई ढूँढना
पिरामिड की ऊंचाई कैसे पता करें? बहुत आसान! किसी भी त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आप आयतन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: V = (1/3)S, जहाँ S आधार क्षेत्र है, V पिरामिड का आयतन है, h उसकी ऊँचाई है। इस सूत्र से, ऊँचाई का सूत्र प्राप्त करें: एक त्रिकोणीय पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आपको पिरामिड के आयतन को 3 से गुणा करना होगा, और फिर परिणामी मान को आधार क्षेत्र से विभाजित करना होगा, यह होगा: h \u003d (3V) ) / एस। चूँकि एक त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक त्रिभुज है, आप त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यदि हम जानते हैं: त्रिभुज S का क्षेत्रफल और उसकी भुजा z, तो क्षेत्रफल के सूत्र के अनुसार S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, जहाँ h पिरामिड की ऊँचाई है, त्रिभुज का किनारा है; त्रिभुज की भुजाओं और दो भुजाओं के बीच का कोण, फिर निम्न सूत्र का उपयोग करते हुए: S = (1/2)γφsinQ, जहाँ γ, त्रिभुज की भुजाएँ हैं, हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। कोण Q की ज्या का मान, साइन की तालिका में देखा जाना चाहिए, जो इंटरनेट पर है। इसके बाद, हम क्षेत्र मान को ऊंचाई सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: h = (2S)/γ। यदि कार्य को त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है, तो पिरामिड का आयतन पहले से ही ज्ञात है।
नियमित त्रिकोणीय पिरामिड
एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, अर्थात् एक ऐसा पिरामिड जिसके सभी फलक समबाहु त्रिभुज हों, किनारे का आकार जानते हुए । इस मामले में, पिरामिड के किनारे समबाहु त्रिभुजों की भुजाएँ हैं। एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई होगी: h = (2/3), जहाँ एक समबाहु त्रिभुज का किनारा है, h पिरामिड की ऊँचाई है। यदि आधार (एस) का क्षेत्र अज्ञात है, और केवल किनारे की लंबाई (γ) और पॉलीहेड्रॉन की मात्रा (वी) दी गई है, तो पिछले चरण से सूत्र में आवश्यक चर को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए इसके समकक्ष द्वारा, जिसे किनारे की लंबाई के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। एक त्रिभुज (नियमित) का क्षेत्रफल इस त्रिभुज की भुजा की लंबाई के गुणनफल के 1/4 के बराबर होता है, जिसका वर्गमूल 3 के वर्गमूल से होता है। हम पिछले सूत्र में आधार क्षेत्र के बजाय इस सूत्र को प्रतिस्थापित करते हैं। , और हमें निम्न सूत्र मिलता है: h \u003d 3V4 / (γ 2 3) = 12V/(γ 2 3)। टेट्राहेड्रोन का आयतन इसके किनारे की लंबाई के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, फिर एक आकृति की ऊंचाई की गणना के लिए सूत्र से सभी चर को हटाया जा सकता है और आकृति के त्रिकोणीय चेहरे का केवल पक्ष छोड़ा जा सकता है। इस तरह के पिरामिड के आयतन की गणना गुणनफल से 12 को विभाजित करके उसके चेहरे की लंबाई को 2 के वर्गमूल से विभाजित करके की जा सकती है।
इस व्यंजक को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें परिकलन के लिए निम्न सूत्र प्राप्त होता है: h = 12(γ 3 2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 2)/(γ 2 √3) = (2 /3) = (1/3)γ√6. इसके अलावा, एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म को एक गोले में अंकित किया जा सकता है, और केवल गोले की त्रिज्या (R) को जानकर, आप टेट्राहेड्रोन की बहुत ऊंचाई पा सकते हैं। चतुष्फलक के किनारे की लंबाई है: = 4R/√6। हम पिछले सूत्र में इस अभिव्यक्ति के साथ चर γ को प्रतिस्थापित करते हैं और सूत्र प्राप्त करते हैं: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3। एक चतुष्फलक में अंकित वृत्त की त्रिज्या (R) को जानकर भी यही सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस स्थिति में, त्रिभुज के किनारे की लंबाई 6 के वर्गमूल और त्रिज्या के बीच के 12 अनुपातों के बराबर होगी। हम इस व्यंजक को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R।
एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें
पिरामिड की ऊंचाई की लंबाई कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको यह जानना होगा कि एक नियमित पिरामिड क्या है। एक चतुर्भुज पिरामिड एक चतुर्भुज पर आधारित पिरामिड है। यदि समस्या की स्थितियों में हमारे पास है: आयतन (V) और पिरामिड के आधार (S) का क्षेत्रफल, तो पॉलीहेड्रॉन (h) की ऊंचाई की गणना करने का सूत्र इस प्रकार होगा - क्षेत्र S: h \u003d (3V) / S द्वारा वॉल्यूम को 3 से गुणा करें। ज्ञात: दिए गए आयतन (V) और भुजा की लंबाई वाले पिरामिड के वर्गाकार आधार के साथ, पिछले सूत्र में क्षेत्रफल (S) को पार्श्व लंबाई के वर्ग से बदलें: S = γ 2 ; एच = 3वी/γ 2। नियमित पिरामिड की ऊंचाई h = SO वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है, जो आधार के पास परिबद्ध है। चूँकि इस पिरामिड का आधार एक वर्ग है, बिंदु O विकर्ण AD और BC का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हमारे पास है: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6। इसके अलावा, हम एक समकोण त्रिभुज SOC में पाते हैं (पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार): SO = (SC 2 -OC 2)। अब आप जानते हैं कि एक नियमित पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात की जाती है।
परिभाषा
पिरामिडएक बहुभुज से बना एक बहुभुज है \(A_1A_2...A_n\) और \(n\) एक सामान्य शीर्ष के साथ त्रिभुज बहुभुज।
पद: \(PA_1A_2...A_n\) ।
उदाहरण: पंचकोणीय पिरामिड \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) ।
त्रिभुज \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) आदि। बुलाया साइड फेसपिरामिड, खंड \(PA_1, PA_2\), आदि। - पार्श्व पसलियां, बहुभुज \(A_1A_2A_3A_4A_5\) - आधार, बिंदु \(पी\) - बैठक.
कदपिरामिड पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक गिराए गए लंबवत हैं।
एक पिरामिड जिसके आधार पर एक त्रिभुज होता है, कहलाता है चतुर्पाश्वीय.
पिरामिड कहा जाता है सही, यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है:
\((a)\) पिरामिड के किनारे बराबर हैं;
\((b)\) पिरामिड की ऊंचाई आधार के पास परिबद्ध वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है;
\((c)\) पार्श्व पसलियां एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुकी होती हैं।
\((d)\) पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुके होते हैं।
नियमित चतुष्फलकएक त्रिभुजाकार पिरामिड है, जिसके सभी फलक समान समबाहु त्रिभुज हैं।
प्रमेय
शर्तें \((a), (b), (c), (d)\) समतुल्य हैं।
सबूत
पिरामिड \(PH\) की ऊंचाई बनाएं। मान लीजिए \(\alpha\) पिरामिड के आधार का तल है।
1) आइए हम सिद्ध करें कि \((a)\) का अर्थ \((b)\) है। चलो \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ।
इसलिये \(PH\perp \alpha\) , तो \(PH\) इस तल में पड़ी किसी भी रेखा के लंबवत है, इसलिए त्रिभुज समकोण हैं। तो ये त्रिभुज उभयनिष्ठ पैर \(PH\) और कर्ण \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) में बराबर हैं। तो \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) । इसका अर्थ है कि बिंदु \(A_1, A_2, ..., A_n\) बिंदु \(H\) से समान दूरी पर हैं, इसलिए, वे त्रिज्या \(A_1H\) के साथ एक ही वृत्त पर स्थित हैं। यह वृत्त, परिभाषा के अनुसार, बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) के चारों ओर परिबद्ध है।
2) आइए हम सिद्ध करें कि \((b)\) का तात्पर्य \((c)\) से है।
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और दो पैरों में बराबर। अत: उनके कोण भी बराबर होते हैं, इसलिए, \(\कोण PA_1H=\कोण PA_2H=...=\कोण PA_nH\).
3) आइए हम सिद्ध करें कि \((c)\) का अर्थ है \((a)\) ।
पहले बिंदु के समान, त्रिभुज \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और पैर और तीव्र कोण के साथ। इसका मतलब है कि उनके कर्ण भी बराबर हैं, यानी \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ।
4) आइए हम सिद्ध करें कि \((b)\) का अर्थ \((d)\) है।
इसलिये एक नियमित बहुभुज में, परिबद्ध और खुदे हुए वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं (आमतौर पर, इस बिंदु को एक नियमित बहुभुज का केंद्र कहा जाता है), तो \(H\) खुदा हुआ वृत्त का केंद्र होता है। आइए बिंदु \(H\) से आधार की भुजाओं पर लंब बनाएं: \(HK_1, HK_2\), आदि। ये उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्याएँ हैं (परिभाषा के अनुसार)। फिर, टीटीपी के अनुसार, (\(PH\) विमान के लिए लंबवत है, \(HK_1, HK_2\), आदि पक्षों के लंबवत अनुमान हैं) तिरछा \(PK_1, PK_2\), आदि। पक्षों के लंबवत \(A_1A_2, A_2A_3\), आदि। क्रमश। तो, परिभाषा के अनुसार \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H\)भुजाओं के फलकों और आधार के बीच के कोणों के बराबर। इसलिये त्रिभुज \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (जैसा कि दो पैरों पर समकोण है), फिर कोण \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H, ...\)बराबर हैं।
5) आइए हम सिद्ध करें कि \((d)\) का तात्पर्य \((b)\) से है।
इसी तरह चौथे बिंदु के लिए, त्रिभुज \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (पैर और न्यून कोण के साथ आयताकार के रूप में), जिसका अर्थ है कि खंड \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) बराबर हैं। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, \(H\) आधार में अंकित एक वृत्त का केंद्र है। लेकिन जबसे नियमित बहुभुजों के लिए, उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं, तो \(H\) परिबद्ध वृत्त का केंद्र है। छत्तीसगढ़
परिणाम
एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।
परिभाषा
एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई, जो इसके शीर्ष से खींची जाती है, कहलाती है एपोथेमा.
एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व चेहरों के एपोथेम एक दूसरे के बराबर होते हैं और माध्यिका और द्विभाजक भी होते हैं।
महत्वपूर्ण लेख
1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई आधार की ऊँचाइयों (या समद्विभाजक, या माध्यिका) के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक नियमित त्रिभुज है)।
2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक वर्ग है)।
3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक नियमित षट्भुज है)।
4. पिरामिड की ऊंचाई आधार पर पड़ी किसी भी सीधी रेखा के लंबवत होती है।
परिभाषा
पिरामिड कहा जाता है आयताकारयदि इसका एक पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत है।
महत्वपूर्ण लेख
1. एक आयताकार पिरामिड के लिए, आधार से लंबवत किनारा पिरामिड की ऊंचाई है। अर्थात्, \(SR\) ऊँचाई है।
2. क्योंकि \(SR\) आधार से किसी भी रेखा पर लंबवत, तब \(\त्रिकोण एसआरएम, \त्रिकोण एसआरपी\)सही त्रिकोण हैं।
3. त्रिभुज \(\triangle SRN, \triangle SRK\)आयताकार भी हैं।
यानी इस किनारे से बनने वाला कोई भी त्रिभुज और इस किनारे के शीर्ष से निकलने वाला विकर्ण, जो आधार पर स्थित है, समकोण होगा।
\[(\बड़ा(\पाठ(पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र)))\]
प्रमेय
पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल और पिरामिड की ऊंचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है: \
परिणाम
मान लीजिए \(a\) आधार की भुजा है, \(h\) पिरामिड की ऊंचाई है।
1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(दायां त्रिभुज pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).
3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. एक नियमित चतुष्फलक का आयतन है \(V_(\text(दायां टेट्रा.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
प्रमेय
एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।
\[(\बड़ा(\पाठ(छोटा पिरामिड)))\]
परिभाषा
एक मनमाना पिरामिड \(PA_1A_2A_3...A_n\) पर विचार करें। आइए हम पिरामिड के किनारे के किनारे पर स्थित एक निश्चित बिंदु के माध्यम से पिरामिड के आधार के समानांतर एक विमान बनाएं। यह तल पिरामिड को दो पॉलीहेड्रा में विभाजित करेगा, जिनमें से एक पिरामिड है (\(PB_1B_2...B_n\) ), और दूसरे को कहा जाता है छोटा पिरामिड(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\))।
काटे गए पिरामिड के दो आधार हैं - बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) और \(B_1B_2...B_n\) , जो एक दूसरे के समान हैं।
एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई ऊपरी आधार के किसी बिंदु से निचले आधार के तल तक खींचा गया लंबवत है।
महत्वपूर्ण लेख
1. एक काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समलम्बाकार होते हैं।
2. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड (अर्थात, एक नियमित पिरामिड के एक खंड द्वारा प्राप्त पिरामिड) के आधारों के केंद्रों को जोड़ने वाला खंड एक ऊंचाई है।
परिभाषा। बगल का चहेरा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित होता है, और इसका विपरीत भाग आधार (बहुभुज) के किनारे से मेल खाता है।
परिभाषा। पार्श्व पसलियांपार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज में कोने होते हैं।
परिभाषा। पिरामिड ऊंचाईपिरामिड के शीर्ष से आधार तक गिराया गया एक लंबवत है।
परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व चेहरे का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा जाता है।
परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।
परिभाषा। सही पिरामिड- यह एक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।
पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र
सूत्र। पिरामिड मात्राआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:
पिरामिड गुण
यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिरा हुआ लम्ब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।
यदि सभी पार्श्व पसलियां समान हैं, तो वे समान कोणों पर आधार तल की ओर झुकी हुई हैं।
पार्श्व पसलियाँ समान होती हैं जब वे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।
यदि पार्श्व चेहरे एक कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।
यदि पार्श्व फलक एक कोण पर आधार तल की ओर झुके हों, तो पार्श्व फलकों के एपोथेम बराबर होते हैं।
एक नियमित पिरामिड के गुण
1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।
2. सभी किनारे बराबर हैं।
3. सभी पार्श्व पसलियां आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।
4. सभी पक्षों के एपोथेम समान हैं।
5. सभी भुजाओं के फलकों का क्षेत्रफल बराबर होता है।
6. सभी फलकों में एक ही द्विफलक (सपाट) कोण होते हैं।
7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। वर्णित गोले का केंद्र किनारों के बीच से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।
8. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। उत्कीर्ण गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।
9. यदि खुदा हुआ गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π या इसके विपरीत होता है, एक कोण π / n के बराबर होता है, जहाँ n संख्या होती है पिरामिड के आधार पर कोणों का।
गोले के साथ पिरामिड का संबंध
पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों के प्रतिच्छेदन का बिंदु होगा।
किसी भी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन हमेशा किया जा सकता है।
एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा।
शंकु के साथ पिरामिड का संबंध
एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।
एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम्स समान हों।
एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिबद्ध हो।
पिरामिड के चारों ओर एक शंकु का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हों।
एक सिलेंडर के साथ पिरामिड का कनेक्शन
एक पिरामिड को एक सिलेंडर में खुदा हुआ कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर होता है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार में खुदा होता है।
यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, तो एक सिलेंडर को पिरामिड के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है।
एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों का कोई उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होता है लेकिन स्पर्श नहीं करते हैं।
प्रत्येक शीर्ष में तीन फलक और किनारे होते हैं जो बनते हैं त्रिफलक कोण.
चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहते हैं चतुष्फलक की माध्यिका(जीएम)।
बिमीडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड कहलाता है जो स्पर्श नहीं करते (KL)।
एक चतुष्फलक के सभी द्विमाध्यक और माध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, बिमीडियन आधे में विभाजित होते हैं, और मध्य ऊपर से शुरू होने वाले 3: 1 के अनुपात में होते हैं।
परिभाषा। एक्यूट एंगल्ड पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।
परिभाषा। अधिक पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई से आधे से भी कम है।
परिभाषा। नियमित चतुष्फलकएक चतुष्फलक जिसके चार फलक समबाहु त्रिभुज हैं। यह पांच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलक कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलक कोण (एक शीर्ष पर) समान होते हैं।
परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकएक चतुष्फलक कहलाता है जिसके शीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण होता है (किनारे लंबवत होते हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिभुज कोणऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी चेहरे का एपोथेम उस आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोटेम गिरता है।
परिभाषा। आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।
परिभाषा। ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक कम की गई सभी ऊंचाईयां (लंबवत) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक जिसका आधार एक तारा होता है, कहलाता है।
