घातांक का उपयोग किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने की संक्रिया को लिखना आसान बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप लिखने के बजाय लिख सकते हैं 4 5 (\displaystyle 4^(5))(इस तरह के संक्रमण की व्याख्या इस लेख के पहले खंड में दी गई है)। शक्तियां लंबी या जटिल अभिव्यक्ति या समीकरण लिखना आसान बनाती हैं; इसके अलावा, शक्तियों को आसानी से जोड़ा और घटाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति या समीकरण का सरलीकरण होता है (उदाहरण के लिए, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

टिप्पणी:यदि आपको एक घातांक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है (ऐसे समीकरण में, अज्ञात घातांक में है), पढ़ें।

कदम

शक्तियों के साथ सरल समस्याओं का समाधान

घातांक के आधार को घातांक के बराबर कई गुना गुणा करें।यदि आपको घातांक के साथ किसी समस्या को मैन्युअल रूप से हल करने की आवश्यकता है, तो घातांक को गुणन संक्रिया के रूप में फिर से लिखें, जहां घातांक का आधार स्वयं से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, दी गई डिग्री 3 4 (\displaystyle 3^(4)). इस मामले में, डिग्री 3 के आधार को 4 गुना से गुणा किया जाना चाहिए: 3 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). यहाँ अन्य उदाहरण हैं:

सबसे पहले, पहले दो नंबरों को गुणा करें।उदाहरण के लिए, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). चिंता न करें - गणना प्रक्रिया उतनी जटिल नहीं है जितनी पहली नज़र में लगती है। पहले पहले दो चौगुनी गुणा करें, और फिर उन्हें परिणाम से बदलें। ऐशे ही:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. परिणाम (हमारे उदाहरण में 16) को अगली संख्या से गुणा करें।प्रत्येक बाद के परिणाम आनुपातिक रूप से बढ़ेंगे। हमारे उदाहरण में, 16 को 4 से गुणा करें। इस प्रकार:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • अंतिम उत्तर प्राप्त होने तक पहली दो संख्याओं को अगली संख्या से गुणा करने के परिणाम को गुणा करते रहें। ऐसा करने के लिए, पहले दो नंबरों को गुणा करें, और फिर परिणाम को अनुक्रम में अगली संख्या से गुणा करें। यह विधि किसी भी डिग्री के लिए मान्य है। हमारे उदाहरण में, आपको मिलना चाहिए: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. निम्नलिखित समस्याओं को हल करें।कैलकुलेटर से अपना उत्तर जांचें।

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. कैलकुलेटर पर, "expक्स्प", या " x n (\displaystyle x^(n))", या" ^ "।इस कुंजी से आप किसी संख्या को घात तक बढ़ा सकते हैं। बड़े घातांक के साथ डिग्री की मैन्युअल रूप से गणना करना व्यावहारिक रूप से असंभव है (उदाहरण के लिए, डिग्री 9 15 (\displaystyle 9^(15))), लेकिन कैलकुलेटर आसानी से इस कार्य का सामना कर सकता है। विंडोज 7 में, मानक कैलकुलेटर को इंजीनियरिंग मोड में स्विच किया जा सकता है; ऐसा करने के लिए, "देखें" -\u003e "इंजीनियरिंग" पर क्लिक करें। सामान्य मोड पर स्विच करने के लिए, "देखें" -\u003e "सामान्य" पर क्लिक करें।

   • एक खोज इंजन (गूगल या यांडेक्स) का उपयोग करके प्राप्त उत्तर की जांच करें. कंप्यूटर कीबोर्ड पर "^" कुंजी का उपयोग करके, खोज इंजन में अभिव्यक्ति दर्ज करें, जो तुरंत सही उत्तर प्रदर्शित करेगा (और संभवतः अध्ययन के लिए समान अभिव्यक्तियों का सुझाव देगा)।

   शक्तियों का जोड़, घटाव, गुणा

   1. आप घातों को तभी जोड़ और घटा सकते हैं जब उनका आधार समान हो।यदि आपको समान आधारों और घातांक के साथ घातों को जोड़ने की आवश्यकता है, तो आप जोड़ संक्रिया को गुणन संक्रिया से बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). याद रखें कि डिग्री 4 5 (\displaystyle 4^(5))के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है 1 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); इस प्रकार, 4 5 + 4 5 = 1 4 5 + 1 4 5 = 2 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(जहाँ 1 +1 = 2)। अर्थात् समान अंशों की संख्या गिनें, और फिर ऐसी घात और इस संख्या को गुणा करें। हमारे उदाहरण में, 4 को पांचवीं शक्ति तक बढ़ाएं, और फिर परिणाम को 2 से गुणा करें। याद रखें कि जोड़ ऑपरेशन को गुणा ऑपरेशन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 3 + 3 = 2 3 (\displaystyle 3+3=2*3). यहाँ अन्य उदाहरण हैं:

      • 3 2 + 3 2 = 2 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. समान आधार से घातों को गुणा करने पर उनके घातांक जुड़ जाते हैं (आधार नहीं बदलता है)।उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक x 2 x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). इस मामले में, आपको आधार को अपरिवर्तित छोड़कर, संकेतकों को जोड़ने की जरूरत है। इस प्रकार, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). यहाँ इस नियम की एक दृश्य व्याख्या है:

      किसी घात को घात में बढ़ाते समय, घातांक गुणा किया जाता है।उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी गई। चूँकि घातांक को गुणा किया जाता है, तब (x 2) 5 = x 2 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). इस नियम का अर्थ यह है कि आप शक्ति को गुणा करें (x 2) (\displaystyle (x^(2)))खुद पर पांच बार। ऐशे ही:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • चूंकि आधार समान है, घातांक बस जोड़ते हैं: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को भिन्न (प्रतिलोम घात में) में परिवर्तित किया जाना चाहिए।इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप नहीं जानते कि पारस्परिक क्या है। उदाहरण के लिए, यदि आपको एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री दी जाती है, 3 - 2 (\displaystyle 3^(-2)), इस घात को भिन्न के हर में लिखिए (अंश में 1 लगाइए), और घातांक को धनात्मक बनाइए। हमारे उदाहरण में: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). यहाँ अन्य उदाहरण हैं:

      एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, उनके घातांक घटाए जाते हैं (आधार नहीं बदलता है)।विभाजन संक्रिया गुणन संक्रिया के विपरीत है। उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). अंश में घातांक से हर में घातांक घटाएं (आधार न बदलें)। इस प्रकार, 4 4 4 2 = 4 4 - 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • हर में डिग्री को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 - 2 (\displaystyle 4^(-2)). याद रखें कि भिन्न एक ऋणात्मक घातांक वाली एक संख्या (शक्ति, व्यंजक) है।

   4. बिजली की समस्याओं को हल करने का तरीका जानने में आपकी मदद करने के लिए नीचे कुछ भाव दिए गए हैं।उपरोक्त भाव इस खंड में प्रस्तुत सामग्री को कवर करते हैं। उत्तर देखने के लिए, बराबर चिह्न के बाद रिक्त स्थान को हाइलाइट करें।

      भिन्नात्मक घातांक के साथ समस्याओं का समाधान

      1. भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री (उदाहरण के लिए, ) को रूट एक्सट्रैक्शन ऑपरेशन में बदल दिया जाता है।हमारे उदाहरण में: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि भिन्नात्मक घातांक के हर में कौन सी संख्या है। उदाहरण के लिए, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))"x" की चौथी जड़ है x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. यदि घातांक एक अनुचित भिन्न है, तो समस्या के समाधान को सरल बनाने के लिए ऐसे घातांक को दो घातों में विघटित किया जा सकता है। इसमें कुछ भी जटिल नहीं है - बस शक्तियों को गुणा करने का नियम याद रखें। उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी गई। उस घातांक को एक मूल में बदल दें जिसका घातांक भिन्नात्मक घातांक के हर के बराबर हो, और फिर उस मूल को भिन्नात्मक घातांक के अंश के बराबर घातांक तक बढ़ाएँ। ऐसा करने के लिए, याद रखें कि 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). हमारे उदाहरण में:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. कुछ कैलकुलेटर में घातांक की गणना के लिए एक बटन होता है (पहले आपको आधार दर्ज करने की आवश्यकता होती है, फिर बटन दबाएं, और फिर घातांक दर्ज करें)। इसे ^ या x^y के रूप में दर्शाया जाता है।
      4. याद रखें कि कोई भी संख्या पहली घात के बराबर होती है, उदाहरण के लिए, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)इसके अलावा, किसी भी संख्या को एक से गुणा या विभाजित करना स्वयं के बराबर होता है, उदाहरण के लिए, 5 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)और 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. जान लें कि डिग्री 0 0 मौजूद नहीं है (ऐसी डिग्री का कोई हल नहीं है)। जब आप कैलकुलेटर या कंप्यूटर पर इस तरह की डिग्री को हल करने का प्रयास करते हैं, तो आपको एक त्रुटि मिलेगी। लेकिन याद रखें कि शून्य के घात का कोई भी अंक 1 के बराबर होता है, उदाहरण के लिए, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. उच्च गणित में, जो काल्पनिक संख्याओं से संचालित होता है: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), कहाँ पे i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); ई लगभग 2.7 के बराबर एक स्थिरांक है; a एक मनमाना स्थिरांक है। इस समानता का प्रमाण उच्च गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है।

      चेतावनी

      • जैसे-जैसे घातांक बढ़ता है, इसका मान बहुत बढ़ जाता है। इसलिए, यदि उत्तर आपको गलत लगता है, तो वास्तव में यह सच हो सकता है। आप इसे किसी भी घातांकीय फलन, जैसे कि 2 x, को आलेखित करके देख सकते हैं।

आइए अभिव्यक्तियों को शक्तियों के साथ बदलने के विषय पर विचार करें, लेकिन पहले हम ऐसे कई परिवर्तनों पर ध्यान देंगे जो किसी भी अभिव्यक्ति के साथ किए जा सकते हैं, जिसमें शक्ति वाले भी शामिल हैं। हम सीखेंगे कि कोष्ठक कैसे खोलें, समान पद दें, आधार और घातांक के साथ कार्य करें, अंशों के गुणों का उपयोग करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

पावर एक्सप्रेशन क्या हैं?

स्कूल के पाठ्यक्रम में, कुछ लोग "शक्ति अभिव्यक्ति" वाक्यांश का उपयोग करते हैं, लेकिन यह शब्द परीक्षा की तैयारी के लिए संग्रह में लगातार पाया जाता है। ज्यादातर मामलों में, वाक्यांश उन अभिव्यक्तियों को दर्शाता है जिनमें उनकी प्रविष्टियों में डिग्री होती है। यही हम अपनी परिभाषा में प्रतिबिंबित करेंगे।

परिभाषा 1

शक्ति अभिव्यक्तिएक अभिव्यक्ति है जिसमें शक्तियां होती हैं।

हम शक्ति अभिव्यक्तियों के कई उदाहरण देते हैं, एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री से शुरू होकर एक वास्तविक घातांक के साथ एक डिग्री के साथ समाप्त होता है।

सरलतम घात व्यंजकों को प्राकृतिक घातांक वाली किसी संख्या की घात माना जा सकता है: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 - a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 । साथ ही शून्य घातांक वाली घातें: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 । और ऋणात्मक पूर्णांक घातों वाली घातें: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 ।

उस डिग्री के साथ काम करना थोड़ा अधिक कठिन है जिसमें तर्कसंगत और तर्कहीन घातांक हों: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1, 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x · x 1 - , 2 3 3 + 5 .

सूचक एक चर 3 x - 54 - 7 3 x - 58 या एक लघुगणक हो सकता है एक्स 2 एल जी एक्स - 5 एक्स एल जी एक्स.

हमने इस प्रश्न पर विचार किया है कि शक्ति के भाव क्या होते हैं। आइए अब उनके परिवर्तन पर एक नजर डालते हैं।

शक्ति अभिव्यक्तियों के मुख्य प्रकार के परिवर्तन

सबसे पहले, हम भावों के मूल पहचान परिवर्तनों पर विचार करेंगे जिन्हें शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ किया जा सकता है।

उदाहरण 1

पावर एक्सप्रेशन वैल्यू की गणना करें 2 3 (4 2 - 12).

फेसला

हम क्रियाओं के क्रम के अनुपालन में सभी परिवर्तन करेंगे। इस मामले में, हम कोष्ठक में क्रियाओं को निष्पादित करके शुरू करेंगे: हम डिग्री को एक डिजिटल मान से बदल देंगे और दो संख्याओं के बीच के अंतर की गणना करेंगे। हमारे पास है 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

डिग्री को बदलना हमारे लिए बाकी है 2 3 इसका अर्थ 8 और उत्पाद की गणना करें 8 4 = 32. ये रहा हमारा जवाब।

जवाब: 2 3 (4 2 - 12) = 32।

उदाहरण 2

शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 3 ए 4 बी - 7 - 1 + 2 ए 4 बी - 7.

फेसला

समस्या की स्थिति में हमें दी गई अभिव्यक्ति में समान शब्द हैं, जिन्हें हम ला सकते हैं: 3 ए 4 बी - 7 - 1 + 2 ए 4 बी - 7 = 5 ए 4 बी - 7 - 1.

जवाब: 3 ए 4 बी - 7 - 1 + 2 ए 4 बी - 7 = 5 ए 4 बी - 7 - 1।

उदाहरण 3

एक गुणनफल के रूप में 9 - b 3 · - 1 2 की घातों वाला व्यंजक व्यक्त कीजिए।

फेसला

आइए संख्या 9 को एक शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें 3 2 और संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करें:

9 - बी 3 - 1 2 = 3 2 - बी 3 π - 1 2 = = 3 - बी 3 π - 1 3 + बी 3 π - 1

जवाब: 9 - बी 3 - 1 2 = 3 - बी 3 π - 1 3 + बी 3 π - 1।

और अब आइए समान परिवर्तनों के विश्लेषण पर चलते हैं जिन्हें विशेष रूप से शक्ति अभिव्यक्तियों पर लागू किया जा सकता है।

आधार और घातांक के साथ कार्य करना

आधार या घातांक में डिग्री में संख्याएं, चर और कुछ भाव हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7और . ऐसे रिकॉर्ड के साथ काम करना मुश्किल है। डिग्री के आधार पर व्यंजक या घातांक में व्यंजक को समान रूप से समान व्यंजक से प्रतिस्थापित करना बहुत आसान है।

डिग्री और संकेतक के परिवर्तन हमें एक दूसरे से अलग-अलग ज्ञात नियमों के अनुसार किए जाते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है जो मूल के समान होती है।

परिवर्तन का उद्देश्य मूल अभिव्यक्ति को सरल बनाना या समस्या का समाधान प्राप्त करना है। उदाहरण के लिए, हमने ऊपर दिए गए उदाहरण में, (2 + 0 , 3 7) 5 - 3 , 7 डिग्री तक जाने के लिए आप ऑपरेशन कर सकते हैं 4 , 1 1 , 3 . कोष्ठकों को खोलकर, हम घात के आधार में समान पद ला सकते हैं (ए (ए + 1) - ए 2) 2 (एक्स + 1)और एक सरल रूप की शक्ति अभिव्यक्ति प्राप्त करें ए 2 (एक्स + 1).

शक्ति गुणों का उपयोग करना

डिग्री के गुण, समानता के रूप में लिखे गए, अभिव्यक्ति को डिग्री के साथ बदलने के मुख्य उपकरणों में से एक हैं। हम यहां मुख्य प्रस्तुत करते हैं, इस पर विचार करते हुए एऔर बीकोई धनात्मक संख्या है, और आरऔर एस- मनमाना वास्तविक संख्या:

परिभाषा 2

• ए आर ए एस = ए आर + एस;
• ए आर: ए एस = ए आर - एस;
• (ए बी) आर = ए आर बी आर;
• (ए: बी) आर = ए आर: बी आर;
• (ए आर) एस = ए आर एस।

ऐसे मामलों में जहां हम प्राकृतिक, पूर्णांक, सकारात्मक घातांक के साथ काम कर रहे हैं, संख्या a और b पर प्रतिबंध बहुत कम कड़े हो सकते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हम समानता पर विचार करें ए एम ए एन = ए एम + एन, कहाँ पे एमऔर एनप्राकृतिक संख्याएं हैं, तो यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों के साथ-साथ के लिए किसी भी मान के लिए सही होगा ए = 0.

आप बिना किसी प्रतिबंध के डिग्री के गुणों को उन मामलों में लागू कर सकते हैं जहां डिग्री के आधार सकारात्मक होते हैं या ऐसे चर होते हैं जिनके स्वीकार्य मूल्यों की सीमा ऐसी होती है कि आधार केवल सकारात्मक मान लेते हैं। वास्तव में, गणित में स्कूली पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर, छात्र का कार्य उपयुक्त संपत्ति का चयन करना और उसे सही ढंग से लागू करना है।

विश्वविद्यालयों में प्रवेश की तैयारी करते समय, ऐसे कार्य हो सकते हैं जिनमें संपत्तियों के गलत आवेदन से ODZ का संकुचन और समाधान के साथ अन्य कठिनाइयाँ होंगी। इस खंड में, हम ऐसे केवल दो मामलों पर विचार करेंगे। विषय पर अधिक जानकारी "घातांक गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्ति को बदलना" विषय में पाई जा सकती है।

उदाहरण 4

अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करें ए 2, 5 (ए 2) - 3: ए - 5, 5आधार के साथ डिग्री के रूप में ए.

फेसला

आरंभ करने के लिए, हम घातांक गुण का उपयोग करते हैं और इसका उपयोग करके दूसरे कारक को रूपांतरित करते हैं (ए 2) - 3. फिर हम एक ही आधार के साथ गुणा और शक्तियों के विभाजन के गुणों का उपयोग करते हैं:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3, 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 - (− 5 , 5 ) = एक 2।

जवाब: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 ।

डिग्री के गुण के अनुसार शक्ति के भावों का परिवर्तन बाएँ से दाएँ और विपरीत दिशा दोनों में किया जा सकता है।

उदाहरण 5

घात व्यंजक 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला

अगर हम समानता लागू करते हैं (ए बी) आर = ए आर बी आर, दाएं से बाएं, तब हमें 3 7 1 3 21 2 3 और फिर 21 1 3 21 2 3 के रूप का गुणनफल प्राप्त होता है। आइए समान आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करते समय घातांक जोड़ें: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21।

परिवर्तन करने का एक और तरीका है:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

जवाब: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

उदाहरण 6

एक शक्ति अभिव्यक्ति दी गई ए 1 , 5 - ए 0 , 5 − 6, एक नया चर दर्ज करें टी = एक 0 , 5.

फेसला

डिग्री की कल्पना करो एक 1, 5जैसा ए 0, 5 3. डिग्री संपत्ति का एक डिग्री में उपयोग करना (ए आर) एस = एक आर एसदाएं से बाएं और प्राप्त करें (a 0 , 5) 3: a 1, 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6। परिणामी अभिव्यक्ति में, आप आसानी से एक नया चर पेश कर सकते हैं टी = एक 0 , 5: पाना टी 3 - टी - 6.

जवाब:टी 3 - टी - 6।

घातांक वाले भिन्नों को परिवर्तित करना

हम आम तौर पर भिन्नों के साथ घात व्यंजकों के दो प्रकारों के साथ व्यवहार करते हैं: व्यंजक एक अंश के साथ एक अंश होता है या इसमें ऐसा अंश होता है। सभी बुनियादी अंश परिवर्तन बिना किसी प्रतिबंध के ऐसे भावों पर लागू होते हैं। उन्हें कम किया जा सकता है, एक नए हर में लाया जा सकता है, अंश और हर के साथ अलग-अलग काम किया जा सकता है। आइए इसे उदाहरणों के साथ स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 7

घात व्यंजक 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 को सरल कीजिए।

फेसला

हम एक भिन्न के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए हम अंश और हर दोनों में परिवर्तन करेंगे:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - एक्स 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

हर के चिह्न को बदलने के लिए भिन्न के सामने एक माइनस रखें: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

जवाब: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

परिमेय भिन्नों की तरह ही घातों वाले भिन्नों को एक नए हर में घटाया जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त कारक खोजने और इसके द्वारा अंश के अंश और हर को गुणा करने की आवश्यकता है। एक अतिरिक्त कारक का चयन इस तरह से करना आवश्यक है कि यह मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर से चर के किसी भी मान के लिए गायब न हो।

उदाहरण 8

भिन्नों को एक नए हर में लाएँ: a) a + 1 a 0, 7 हर के लिए ए, बी) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 हर x + 8 y 1 2 से।

फेसला

ए) हम एक कारक चुनते हैं जो हमें एक नए भाजक को कम करने की अनुमति देगा। ए 0, 7 ए 0, 3 = ए 0, 7 + 0, 3 = ए,इसलिए, एक अतिरिक्त कारक के रूप में, हम लेते हैं ए 0, 3. चर के स्वीकार्य मूल्यों की श्रेणी में सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट शामिल है। इस क्षेत्र में डिग्री ए 0, 3शून्य पर नहीं जाता।

आइए एक भिन्न के अंश और हर को से गुणा करें ए 0, 3:

ए + 1 ए 0, 7 = ए + 1 ए 0, 3 ए 0, 7 ए 0, 3 = ए + 1 ए 0, 3 ए

बी) भाजक पर ध्यान दें:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

इस व्यंजक को x 1 3 + 2 · y 1 6 से गुणा करने पर हमें घनों x 1 3 और 2 · y 1 6 का योग प्राप्त होता है, अर्थात्। एक्स + 8 · वाई 1 2। यह हमारा नया हर है, जिसमें हमें मूल भिन्न लाने की आवश्यकता है।

तो हमें एक अतिरिक्त गुणनखंड x 1 3 + 2 · y 1 6 मिला। चर के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पर एक्सऔर आपव्यंजक x 1 3 + 2 y 1 6 लुप्त नहीं होता है, इसलिए हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

जवाब:ए) ए + 1 ए 0, 7 = ए + 1 ए 0, 3 ए, बी) 1 एक्स 2 3 - 2 एक्स 1 3 वाई 1 6 + 4 वाई 1 3 = एक्स 1 3 + 2 वाई 1 6 एक्स + 8 वाई 1 2।

उदाहरण 9

भिन्न कम करें: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - बी 1 4 ए 1 2 - बी 1 2.

फेसला

क) सबसे बड़े सामान्य हर (जीसीडी) का प्रयोग करें जिससे अंश और हर को कम किया जा सके। संख्या 30 और 45 के लिए, यह 15 है। हम भी कम कर सकते हैं एक्स 0 , 5 + 1और x + 2 x 1 1 3 - 5 3 पर।

हम पाते हैं:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

बी) यहां समान कारकों की उपस्थिति स्पष्ट नहीं है। अंश और हर में समान गुणनखंड प्राप्त करने के लिए आपको कुछ परिवर्तन करने होंगे। ऐसा करने के लिए, हम वर्ग सूत्र के अंतर का उपयोग करके हर का विस्तार करते हैं:

ए 1 4 - बी 1 4 ए 1 2 - बी 1 2 = ए 1 4 - बी 1 4 ए 1 4 2 - बी 1 2 2 = = ए 1 4 - बी 1 4 ए 1 4 + बी 1 4 ए 1 4 - बी 1 4 = 1 ए 1 4 + बी 1 4

जवाब:क) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0, 5 + 1), बी) ए 1 4 - बी 1 4 ए 1 2 - बी 1 2 = 1 ए 1 4 + बी 1 4।

भिन्नों के साथ मुख्य संचालन में एक नए हर में कमी और भिन्नों की कमी शामिल है। दोनों क्रियाएं कई नियमों के अनुपालन में की जाती हैं। अंशों को जोड़ते और घटाते समय, अंशों को पहले एक सामान्य हर में घटाया जाता है, जिसके बाद अंशों के साथ क्रियाएं (जोड़ या घटाव) की जाती हैं। भाजक वही रहता है। हमारे कार्यों का परिणाम एक नया अंश है, जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर हर का गुणनफल है।

उदाहरण 10

चरण x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 करें।

फेसला

आइए उन भिन्नों को घटाकर प्रारंभ करें जो कोष्ठकों में हैं। आइए उन्हें एक सामान्य भाजक के पास लाते हैं:

एक्स 1 2 - 1 एक्स 1 2 + 1

आइए अंशों को घटाएं:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

अब हम भिन्नों को गुणा करते हैं:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

आइए एक डिग्री कम करें एक्स 1 2, हमें 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 प्राप्त होता है।

इसके अतिरिक्त, आप वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके हर में घात व्यंजक को सरल बना सकते हैं: वर्ग: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1।

जवाब: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

उदाहरण 11

घात व्यंजक x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 को सरल कीजिए।
फेसला

हम भिन्न को द्वारा कम कर सकते हैं (एक्स 2, 7 + 1) 2. हमें भिन्न x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 प्राप्त होता है।

आइए x घातों x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 का रूपांतरण जारी रखें। अब आप समान आधारों के साथ शक्ति विभाजन गुण का उपयोग कर सकते हैं: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1।

हम अंतिम उत्पाद से भिन्न x 1 3 8 x 2, 7 + 1 तक जाते हैं।

जवाब: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 ।

ज्यादातर मामलों में, ऋणात्मक घातांक वाले गुणकों को अंश से हर में स्थानांतरित करना अधिक सुविधाजनक होता है और इसके विपरीत घातांक के चिह्न को बदलकर। यह क्रिया आगे के निर्णय को सरल बनाती है। आइए एक उदाहरण दें: घात व्यंजक (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 को x 3 · (x + 1) 0 , 2 से बदला जा सकता है।

भावों को जड़ों और शक्तियों के साथ परिवर्तित करना

कार्यों में, शक्ति अभिव्यक्तियाँ होती हैं जिनमें न केवल भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री होती हैं, बल्कि जड़ें भी होती हैं। ऐसी अभिव्यक्तियों को केवल जड़ों तक या केवल शक्तियों तक सीमित करना वांछनीय है। डिग्री के लिए संक्रमण बेहतर है, क्योंकि उनके साथ काम करना आसान है। ऐसा संक्रमण विशेष रूप से फायदेमंद होता है जब मूल अभिव्यक्ति के लिए चर के डीपीवी आपको मॉड्यूलस तक पहुंचने या डीपीवी को कई अंतरालों में विभाजित किए बिना जड़ों को शक्तियों से बदलने की अनुमति देता है।

उदाहरण 12

व्यंजक x 1 9 x x 3 6 को घात के रूप में व्यक्त कीजिए।

फेसला

एक चर की मान्य सीमा एक्सदो असमानताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है एक्स 0और x · x 3 ≥ 0 , जो समुच्चय को परिभाषित करते हैं [ 0 , + ∞) .

इस सेट पर, हमें जड़ों से शक्तियों की ओर बढ़ने का अधिकार है:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

डिग्री के गुणों का उपयोग करके, हम परिणामी शक्ति अभिव्यक्ति को सरल बनाते हैं।

x 1 9 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

जवाब: x 1 9 x 3 6 = x 1 3 .

घातांक में चर के साथ शक्तियों को परिवर्तित करना

यदि आप डिग्री के गुणों का सही उपयोग करते हैं तो ये परिवर्तन करना काफी सरल है। उदाहरण के लिए, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

हम डिग्री के उत्पाद को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, जिसके संदर्भ में कुछ चर और एक संख्या का योग पाया जाता है। बाईं ओर, यह व्यंजक के बाईं ओर पहले और अंतिम शब्दों के साथ किया जा सकता है:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0 , 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0।

आइए अब समीकरण के दोनों पक्षों को से भाग दें 7 2 एक्स. चर x के ODZ पर यह व्यंजक केवल धनात्मक मान लेता है:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

आइए भिन्नों को घातों से कम करें, हमें मिलता है: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0।

अंत में, समान घातांक वाली घातों के अनुपात को अनुपातों की घातों से बदल दिया जाता है, जो समीकरण 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 की ओर ले जाता है, जो कि 5 5 7 x 2 - 3 5 7 के बराबर है। एक्स - 2 = 0।

हम एक नया चर t = 5 7 x पेश करते हैं, जो मूल घातांकीय समीकरण के हल को द्विघात समीकरण 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 के हल में घटा देता है।

शक्तियों और लघुगणक के साथ भाव परिवर्तित करना

समस्याओं में घात और लघुगणक वाले व्यंजक भी पाए जाते हैं। ऐसे व्यंजकों के उदाहरण हैं: 1 4 1 - 5 लघुगणक 2 3 या लघुगणक 3 27 9 + 5 (1 - लघुगणक 3 5) लघुगणक 5 3 । इस तरह के भावों का परिवर्तन उपरोक्त दृष्टिकोणों और लघुगणक के गुणों का उपयोग करके किया जाता है, जिसका हमने "लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों का परिवर्तन" विषय में विस्तार से विश्लेषण किया है।

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भाव, अभिव्यक्ति रूपांतरण

शक्ति अभिव्यक्ति (शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति) और उनका परिवर्तन

इस लेख में, हम भावों को शक्तियों के साथ बदलने के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, हम उन परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो किसी भी प्रकार के भावों के साथ किए जाते हैं, जिसमें शक्ति अभिव्यक्तियाँ शामिल हैं, जैसे कि कोष्ठक खोलना, समान शब्दों को कम करना। और फिर हम शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों में निहित परिवर्तनों का विश्लेषण करेंगे: आधार और घातांक के साथ काम करना, शक्तियों के गुणों का उपयोग करना, आदि।

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पावर एक्सप्रेशन क्या हैं?

शब्द "शक्ति अभिव्यक्ति" व्यावहारिक रूप से गणित की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में नहीं पाया जाता है, लेकिन यह अक्सर कार्यों के संग्रह में प्रकट होता है, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा और ओजीई के लिए तैयार करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, उदाहरण के लिए,। उन कार्यों का विश्लेषण करने के बाद जिनमें शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ किसी भी क्रिया को करने की आवश्यकता होती है, यह स्पष्ट हो जाता है कि शक्ति अभिव्यक्तियों को उनकी प्रविष्टियों में डिग्री वाले भाव के रूप में समझा जाता है। इसलिए, अपने लिए, आप निम्नलिखित परिभाषा ले सकते हैं:

परिभाषा।

शक्ति अभिव्यक्तिवे अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें शक्तियाँ हैं।

चलो लाते हैं शक्ति अभिव्यक्ति के उदाहरण. इसके अलावा, हम उन्हें इस अनुसार प्रस्तुत करेंगे कि एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री से एक वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री तक विचार कैसे विकसित होते हैं।

जैसा कि आप जानते हैं, पहले एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक संख्या की डिग्री के साथ एक परिचित होता है, इस स्तर पर 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 आदि।

थोड़ी देर बाद, एक पूर्णांक घातांक वाली संख्या की घात का अध्ययन किया जाता है, जो ऋणात्मक पूर्णांक घातों के साथ घात व्यंजकों की उपस्थिति की ओर ले जाती है, जैसे कि: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 ।

वरिष्ठ कक्षाओं में, वे फिर से डिग्रियों में लौट आते हैं। वहां, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो संबंधित शक्ति अभिव्यक्तियों की उपस्थिति की ओर ले जाती है: , , आदि। अंत में, अपरिमेय घातांकों वाली डिग्रियों और उनमें समाविष्ट व्यंजकों पर विचार किया जाता है: , .

मामला सूचीबद्ध शक्ति अभिव्यक्तियों तक सीमित नहीं है: आगे चर घातांक में प्रवेश करता है, और उदाहरण के लिए, ऐसे भाव 2 x 2 +1 या हैं . और परिचित होने के बाद, घातों और लघुगणक वाले व्यंजक प्रकट होने लगते हैं, उदाहरण के लिए, x 2 lgx −5 x lgx।

इसलिए, हमने इस प्रश्न का पता लगाया कि शक्ति के भाव क्या हैं। इसके बाद, हम सीखेंगे कि उन्हें कैसे बदलना है।

शक्ति अभिव्यक्तियों के मुख्य प्रकार के परिवर्तन

शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ, आप अभिव्यक्तियों के किसी भी मूल पहचान परिवर्तन को निष्पादित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कोष्ठक का विस्तार कर सकते हैं, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को उनके मानों से बदल सकते हैं, समान शब्द जोड़ सकते हैं, इत्यादि। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में कार्रवाई करने के लिए स्वीकृत प्रक्रिया का पालन करना आवश्यक है। आइए उदाहरण देते हैं।

उदाहरण।

घात व्यंजक 2 3 ·(4 2 −12) के मान की गणना करें।

फेसला।

क्रियाओं के क्रम के अनुसार, हम पहले क्रियाओं को कोष्ठक में करते हैं। वहां, सबसे पहले, हम 4 2 की शक्ति को इसके मान 16 से बदलते हैं (यदि आवश्यक हो तो देखें), और दूसरी बात, हम अंतर की गणना करते हैं 16−12=4 । हमारे पास है 2 3 (4 2 -12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

परिणामी व्यंजक में, हम 2 3 की घात को इसके मान 8 से प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद हम गुणनफल 8·4=32 की गणना करते हैं। यह वांछित मूल्य है।

इसलिए, 2 3 (4 2 -12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

जवाब:

2 3 (4 2 -12)=32।

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

फेसला।

जाहिर है, इस व्यंजक में समान पद 3 · a 4 · b - 7 और 2 · a 4 · b - 7 हैं, और हम उन्हें कम कर सकते हैं: ।

जवाब:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

उदाहरण।

एक उत्पाद के रूप में शक्तियों के साथ एक अभिव्यक्ति व्यक्त करें।

फेसला।

कार्य से निपटने के लिए संख्या 9 को 3 2 की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करने और कम गुणन सूत्र के बाद के उपयोग, वर्गों के अंतर की अनुमति देता है:

जवाब:

शक्ति अभिव्यक्तियों में निहित कई समान परिवर्तन भी हैं। अगला, हम उनका विश्लेषण करेंगे।

आधार और घातांक के साथ कार्य करना

कुछ अंश ऐसे होते हैं जिनके आधार और/या संकेतक केवल संख्या या चर नहीं होते, बल्कि कुछ भाव होते हैं। उदाहरण के तौर पर, आइए (2+0.3 7) 5−3.7 और (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) लिखें।

इस तरह के भावों के साथ काम करते समय, डिग्री के आधार में अभिव्यक्ति और संकेतक में अभिव्यक्ति दोनों को इसके चर के डीपीवी पर समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ बदलना संभव है। दूसरे शब्दों में, हमें ज्ञात नियमों के अनुसार, हम डिग्री के आधार को अलग से और अलग से - सूचक को परिवर्तित कर सकते हैं। यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है जो मूल रूप से समान रूप से समान होती है।

इस तरह के परिवर्तन हमें शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों को सरल बनाने या अन्य लक्ष्यों को प्राप्त करने की अनुमति देते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित घात व्यंजक (2+0.3 7) 5−3.7 में, आप आधार और घातांक में संख्याओं के साथ संक्रियाएँ कर सकते हैं, जो आपको 4.1 1.3 की घात तक जाने की अनुमति देगा। और कोष्ठकों को खोलने और डिग्री (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) के आधार में समान पदों को लाने के बाद, हमें एक सरल रूप a 2 (x+1) का घातांक व्यंजक प्राप्त होता है।

शक्ति गुणों का उपयोग करना

अभिव्यक्तियों को शक्तियों के साथ बदलने के लिए मुख्य उपकरणों में से एक समानताएं हैं जो प्रतिबिंबित करती हैं। आइए मुख्य लोगों को याद करें। किसी भी सकारात्मक संख्या a और b और मनमानी वास्तविक संख्या r और s के लिए, निम्नलिखित शक्ति गुण धारण करते हैं:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ए बी) आर = ए आर बी आर;
• (ए: बी) आर = ए आर: बी आर;
• (ए आर) एस = ए आर एस।

ध्यान दें कि प्राकृतिक, पूर्णांक और सकारात्मक घातांक के लिए, संख्या a और b पर प्रतिबंध इतने सख्त नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं m और n के लिए, समानता a m ·a n =a m+n न केवल सकारात्मक a के लिए, बल्कि ऋणात्मक संख्याओं के लिए भी, और a=0 के लिए भी सत्य है।

स्कूल में, शक्ति अभिव्यक्तियों के परिवर्तन में मुख्य ध्यान उपयुक्त संपत्ति को चुनने और इसे सही ढंग से लागू करने की क्षमता पर केंद्रित है। इस मामले में, डिग्री के आधार आमतौर पर सकारात्मक होते हैं, जो आपको बिना किसी प्रतिबंध के डिग्री के गुणों का उपयोग करने की अनुमति देता है। डिग्री के आधार में चर वाले भावों के परिवर्तन पर भी यही लागू होता है - चर के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा आमतौर पर ऐसी होती है कि आधार केवल सकारात्मक मान लेते हैं, जो आपको गुणों का स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की अनुमति देता है डिग्री का। सामान्य तौर पर, आपको अपने आप से लगातार यह पूछने की ज़रूरत है कि क्या इस मामले में डिग्री की किसी भी संपत्ति को लागू करना संभव है, क्योंकि गुणों के गलत उपयोग से ओडीजेड और अन्य परेशानियों का संकुचन हो सकता है। इन बिंदुओं पर विस्तार से चर्चा की गई है और उदाहरण के साथ डिग्री के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्ति के परिवर्तन के लेख में। यहां हम खुद को कुछ सरल उदाहरणों तक सीमित रखते हैं।

उदाहरण।

व्यंजक a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 को आधार a के साथ घात के रूप में व्यक्त करें।

फेसला।

सबसे पहले, हम दूसरे कारक (ए 2) -3 को एक शक्ति को शक्ति में बढ़ाने की संपत्ति से बदलते हैं: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. इस मामले में, प्रारंभिक शक्ति अभिव्यक्ति 2.5 ·a −6:a −5.5 का रूप लेगी। जाहिर है, यह एक ही आधार के साथ गुणा और शक्तियों के विभाजन के गुणों का उपयोग करने के लिए बनी हुई है, हमारे पास है
ए 2.5 ए -6: ए -5.5 =
एक 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 ।

जवाब:

ए 2.5 (ए 2) -3: ए -5.5 \u003d ए 2.

पावर एक्सप्रेशन को बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों में बदलते समय शक्ति गुणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण।

घात व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला।

समानता (a·b) r =a r ·b r , जिसे दाएँ से बाएँ लागू किया जाता है, आपको मूल व्यंजक से फ़ॉर्म के गुणनफल तक और आगे जाने की अनुमति देता है। और जब एक ही आधार के साथ शक्तियों को गुणा करते हैं, तो संकेतक जोड़ते हैं: .

मूल अभिव्यक्ति के परिवर्तन को दूसरे तरीके से करना संभव था:

जवाब:

.

उदाहरण।

1.5 −a 0.5 −6 घात व्यंजक को देखते हुए, एक नया चर t=a 0.5 दर्ज करें।

फेसला।

डिग्री a 1.5 को 0.5 3 के रूप में दर्शाया जा सकता है और आगे डिग्री (a r) s =a r s में डिग्री के गुण के आधार पर दाएं से बाएं लागू किया जा सकता है, इसे फॉर्म (a 0.5) 3 में परिवर्तित करें। इस प्रकार, ए 1.5 -ए 0.5 -6=(ए 0.5) 3 -ए 0.5 -6. अब एक नया चर t=a 0.5 पेश करना आसान है, हमें t 3 −t−6 मिलता है।

जवाब:

टी 3 -टी−6।

घातांक वाले भिन्नों को परिवर्तित करना

पावर एक्सप्रेशन में घात वाले भिन्न हो सकते हैं या ऐसे भिन्नों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। किसी भी प्रकार के भिन्नों में निहित मूल भिन्न रूपांतरणों में से कोई भी ऐसे भिन्नों पर पूरी तरह से लागू होता है। अर्थात्, अंशों में अंशों को कम किया जा सकता है, एक नए हर में घटाया जा सकता है, उनके अंश के साथ अलग से और हर के साथ अलग से काम किया जा सकता है, आदि। उपरोक्त शब्दों को स्पष्ट करने के लिए, कई उदाहरणों के हलों पर विचार करें।

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं .

फेसला।

यह शक्ति अभिव्यक्ति एक अंश है। आइए इसके अंश और हर के साथ काम करें। अंश में, हम कोष्ठक खोलते हैं और उसके बाद प्राप्त व्यंजक को घातों के गुणों का उपयोग करके सरल करते हैं, और हर में हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं:

और हम भिन्न के सामने माइनस लगाकर हर का चिन्ह भी बदलते हैं: .

जवाब:

.

एक नए हर के लिए शक्तियों वाले अंशों को कम करना उसी तरह किया जाता है जैसे तर्कसंगत अंशों को एक नए हर में कम करना। साथ ही एक अतिरिक्त गुणनखंड भी मिलता है और भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा किया जाता है। यह क्रिया करते समय, यह याद रखने योग्य है कि नए हर में कमी करने से DPV का संकुचन हो सकता है। ऐसा होने से रोकने के लिए, यह आवश्यक है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर से चर के किसी भी मान के लिए अतिरिक्त कारक गायब न हो।

उदाहरण।

भिन्नों को एक नए हर में लाएँ: a) हर से a, b) भाजक को।

फेसला।

ए) इस मामले में, यह पता लगाना काफी आसान है कि वांछित परिणाम प्राप्त करने में कौन सा अतिरिक्त कारक मदद करता है। यह 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a के बाद से एक कारक a 0.3 है। ध्यान दें कि चर के स्वीकार्य मानों की श्रेणी में (यह सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट है), डिग्री 0.3 गायब नहीं होती है, इसलिए, हमें दिए गए अंश के अंश और हर को गुणा करने का अधिकार है इस अतिरिक्त कारक द्वारा:

ख) हर को अधिक बारीकी से देखने पर, हम पाते हैं कि

और इस व्यंजक को इससे गुणा करने पर घनों का योग मिलेगा और , अर्थात्, । और यह नया हर है जिसमें हमें मूल भिन्न लाने की आवश्यकता है।

तो हमें एक अतिरिक्त कारक मिला। चर x और y के स्वीकार्य मानों की सीमा पर व्यंजक लुप्त नहीं होता है, इसलिए, हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं:

जवाब:

ए) , बी) .

अंशों वाले अंशों की कमी में भी कोई नई बात नहीं है: अंश और हर को एक निश्चित संख्या में कारकों के रूप में दर्शाया जाता है, और अंश और हर के समान कारक कम हो जाते हैं।

उदाहरण।

अंश कम करें: ए) , बी)।

फेसला।

a) सबसे पहले, अंश और हर को संख्या 30 और 45 से घटाया जा सकता है, जो कि 15 के बराबर है। इसके अलावा, जाहिर है, आप x 0.5 +1 और by . तक कम कर सकते हैं . यहाँ हमारे पास क्या है:

बी) इस मामले में, अंश और हर में समान कारक तुरंत दिखाई नहीं देते हैं। उन्हें प्राप्त करने के लिए, आपको प्रारंभिक परिवर्तन करने होंगे। इस मामले में, वे वर्ग सूत्र के अंतर के अनुसार भाजक को कारकों में विघटित करते हैं:

जवाब:

ए)

बी) .

भिन्नों को एक नए हर में कम करना और भिन्नों को कम करना मुख्य रूप से भिन्नों पर संचालन करने के लिए उपयोग किया जाता है। ज्ञात नियमों के अनुसार क्रियाएं की जाती हैं। अंशों को जोड़ने (घटाने) पर, वे एक सामान्य हर में कम हो जाते हैं, जिसके बाद अंश जोड़े (घटाए) जाते हैं, और हर समान रहता है। परिणाम एक अंश है जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर हर का गुणनफल है। भिन्न से भाग उसके व्युत्क्रम से गुणा है।

उदाहरण।

उनके नक़्शे - कदम पर चलिए .

फेसला।

सबसे पहले, हम अंशों को कोष्ठक में घटाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें एक सामान्य भाजक के पास लाते हैं, जो है , फिर अंशों को घटाएं:

अब हम भिन्नों को गुणा करते हैं:

जाहिर है, शक्ति x 1/2 से कमी संभव है, जिसके बाद हमारे पास है .

आप वर्ग अंतर के सूत्र का उपयोग करके हर में घात व्यंजक को भी सरल बना सकते हैं: .

जवाब:

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं .

फेसला।

जाहिर है, इस भिन्न को (x 2.7 +1) 2 से घटाया जा सकता है, इससे भिन्न मिलता है . यह स्पष्ट है कि x की शक्तियों के साथ कुछ और करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिणामी अंश को एक उत्पाद में परिवर्तित करते हैं। यह हमें समान आधारों के साथ शक्तियों को विभाजित करने की संपत्ति का उपयोग करने का अवसर देता है: . और प्रक्रिया के अंत में, हम अंतिम उत्पाद से भिन्न तक जाते हैं।

जवाब:

.

और हम जोड़ते हैं कि यह संभव है और कई मामलों में घातांक के चिह्न को बदलकर अंश से हर या हर से अंश में ऋणात्मक घातांक वाले कारकों को स्थानांतरित करना वांछनीय है। इस तरह के परिवर्तन अक्सर आगे की कार्रवाइयों को सरल बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक शक्ति अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

भावों को जड़ों और शक्तियों के साथ परिवर्तित करना

अक्सर उन अभिव्यक्तियों में जिनमें कुछ परिवर्तनों की आवश्यकता होती है, भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री के साथ, जड़ें भी होती हैं। इस तरह की अभिव्यक्ति को वांछित रूप में बदलने के लिए, ज्यादातर मामलों में यह केवल जड़ों तक या केवल शक्तियों तक जाने के लिए पर्याप्त है। लेकिन चूंकि डिग्री के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, वे आमतौर पर जड़ों से डिग्री तक जाते हैं। हालांकि, इस तरह के एक संक्रमण को अंजाम देने की सलाह दी जाती है जब मूल अभिव्यक्ति के लिए चर के ओडीजेड आपको मॉड्यूल तक पहुंचने या ओडीजेड को कई अंतरालों में विभाजित करने की आवश्यकता के बिना जड़ों को डिग्री से बदलने की अनुमति देता है (हमने इस पर विस्तार से चर्चा की है लेख, जड़ों से शक्तियों में संक्रमण और इसके विपरीत एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री से परिचित होने के बाद एक तर्कहीन संकेतक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो एक मनमानी वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री की बात करना संभव बनाता है। इस स्तर पर, स्कूल पढ़ना शुरू करता है घातांक प्रकार्य, जो विश्लेषणात्मक रूप से डिग्री द्वारा दिया जाता है, जिसके आधार पर एक संख्या होती है, और संकेतक में - एक चर। इसलिए हमें डिग्री के आधार में संख्याओं वाले घातीय अभिव्यक्तियों का सामना करना पड़ता है, और एक्सपोनेंट में - चर के साथ अभिव्यक्ति, और स्वाभाविक रूप से ऐसे अभिव्यक्तियों के परिवर्तन करने की आवश्यकता उत्पन्न होती है।

यह कहा जाना चाहिए कि संकेतित प्रकार के भावों का परिवर्तन आमतौर पर हल करते समय करना पड़ता है घातीय समीकरणऔर घातीय असमानताएँ, और ये परिवर्तन काफी सरल हैं। अधिकांश मामलों में, वे डिग्री के गुणों पर आधारित होते हैं और ज्यादातर भविष्य में एक नया चर पेश करने के उद्देश्य से होते हैं। समीकरण हमें उन्हें प्रदर्शित करने की अनुमति देगा 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

सबसे पहले, घातांक, जिनके घातांक में कुछ चर (या चर के साथ व्यंजक) और एक संख्या का योग पाया जाता है, को उत्पादों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह बाईं ओर के व्यंजक के पहले और अंतिम पदों पर लागू होता है:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x -2 7 2 x =0.

इसके बाद, समानता के दोनों हिस्सों को अभिव्यक्ति 7 2 x से विभाजित किया जाता है, जो मूल समीकरण के लिए चर x के ODZ पर केवल सकारात्मक मान लेता है (यह इस तरह के समीकरणों को हल करने के लिए एक मानक तकनीक है, हम नहीं हैं इसके बारे में अभी बात कर रहे हैं, इसलिए शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों के बाद के परिवर्तनों पर ध्यान दें):

अब घातांक वाले भिन्नों को रद्द कर दिया जाता है, जो देता है .

अंत में, समान घातांक वाली घातों के अनुपात को अनुपातों की घातों से बदल दिया जाता है, जो समीकरण की ओर ले जाता है , जो के बराबर है . किए गए परिवर्तन हमें एक नया चर पेश करने की अनुमति देते हैं, जो मूल घातीय समीकरण के समाधान को द्विघात समीकरण के समाधान तक कम कर देता है

आई. वी. बोइकोव, एल.डी. रोमानोवापरीक्षा की तैयारी के लिए कार्यों का संग्रह। भाग 1. पेन्ज़ा 2003।

बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाना बीजगणित सीखने की चाबियों में से एक है और सभी गणितज्ञों के लिए एक अत्यंत उपयोगी कौशल है। सरलीकरण आपको एक जटिल या लंबी अभिव्यक्ति को सरल अभिव्यक्ति में कम करने की अनुमति देता है जिसके साथ काम करना आसान है। बुनियादी सरलीकरण कौशल उन लोगों के लिए भी अच्छा है जो गणित के प्रति उत्साही नहीं हैं। कुछ सरल नियमों का पालन करके, कई सबसे सामान्य प्रकार के बीजीय व्यंजकों को बिना किसी विशेष गणितीय ज्ञान के सरल बनाया जा सकता है।

कदम

महत्वपूर्ण परिभाषाएं

1. समान सदस्य।ये एक ही क्रम के चर वाले सदस्य हैं, समान चर वाले सदस्य, या मुक्त सदस्य (वे सदस्य जिनमें कोई चर नहीं है)। दूसरे शब्दों में, समान शब्दों में एक चर को समान सीमा तक शामिल किया जाता है, कई समान चरों को शामिल किया जाता है, या एक चर को बिल्कुल भी शामिल नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में शर्तों का क्रम मायने नहीं रखता।

   • उदाहरण के लिए, 3x 2 और 4x 2 समान पद हैं क्योंकि उनमें दूसरे क्रम का चर "x" है (द्वितीय घात में)। हालांकि, x और x 2 समान सदस्य नहीं हैं, क्योंकि उनमें विभिन्न ऑर्डर (पहले और दूसरे) के चर "x" होते हैं। इसी तरह, -3yx और 5xz समान सदस्य नहीं हैं क्योंकि उनमें विभिन्न चर होते हैं।

2. गुणनखंडन।यह ऐसी संख्याएँ ज्ञात कर रहा है, जिनका गुणनफल मूल संख्या की ओर जाता है। किसी भी मूल संख्या के कई गुणनखंड हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 12 को कारकों की निम्नलिखित श्रृंखला में विघटित किया जा सकता है: 1 × 12, 2 × 6 और 3 × 4, इसलिए हम कह सकते हैं कि संख्या 1, 2, 3, 4, 6 और 12 कारक हैं संख्या 12. गुणनखंड भाजक के समान हैं, अर्थात वे संख्याएँ जिनसे मूल संख्या विभाज्य है।

   • उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या 20 का गुणनखंड करना चाहते हैं, तो इसे इस प्रकार लिखें: 4×5.
   • ध्यान दें कि फैक्टरिंग करते समय, चर को ध्यान में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, 20x = 4(5x).
   • अभाज्य संख्याओं का गुणनखंड नहीं किया जा सकता क्योंकि वे केवल स्वयं से विभाज्य हैं और 1.

3. गलतियों से बचने के लिए संचालन के क्रम को याद रखें और उसका पालन करें।

   • कोष्टक
   • डिग्री
   • गुणा
   • विभाजन
   • योग
   • घटाव

   सदस्यों की तरह कास्टिंग

   1. अभिव्यक्ति लिखिए।सरलतम बीजीय व्यंजक (जिसमें भिन्न, मूल आदि नहीं होते हैं) को कुछ ही चरणों में हल (सरलीकृत) किया जा सकता है।

      • उदाहरण के लिए, व्यंजक को सरल कीजिए 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. समान सदस्यों को परिभाषित करें (समान क्रम के चर वाले सदस्य, समान चर वाले सदस्य, या मुक्त सदस्य)।

      • इस व्यंजक में समान पद ज्ञात कीजिए। पद 2x और 4x में एक ही क्रम (प्रथम) का एक चर है। साथ ही, 1 और -3 मुक्त सदस्य हैं (एक चर शामिल नहीं है)। इस प्रकार, इस अभिव्यक्ति में, पद 2x और 4xसमान हैं, और सदस्य 1 और -3भी समान हैं।

   3. समान पद दीजिए।इसका अर्थ है उन्हें जोड़ना या घटाना और व्यंजक को सरल बनाना।

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. दिए गए सदस्यों को ध्यान में रखते हुए व्यंजक को फिर से लिखिए।आपको कम शब्दों के साथ एक सरल अभिव्यक्ति मिलेगी। नई अभिव्यक्ति मूल के बराबर है।

      • हमारे उदाहरण में: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, अर्थात्, मूल व्यंजक सरलीकृत है और इसके साथ काम करना आसान है।

   5. उस क्रम का निरीक्षण करें जिसमें समान पदों की ढलाई करते समय संचालन किया जाता है।हमारे उदाहरण में, समान शब्दों को लाना आसान था। हालांकि, जटिल अभिव्यक्तियों के मामले में जिसमें सदस्य कोष्ठक में संलग्न हैं और अंश और मूल मौजूद हैं, ऐसे शब्दों को लाना इतना आसान नहीं है। इन मामलों में, संचालन के क्रम का पालन करें।

      • उदाहरण के लिए, व्यंजक 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x पर विचार करें। यहां 3x और 2x को समान पदों के रूप में तुरंत परिभाषित करना और उन्हें उद्धृत करना एक गलती होगी, क्योंकि पहले आपको कोष्ठक का विस्तार करने की आवश्यकता है। इसलिए, उनके क्रम में संचालन करें।
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x। अभी, जब व्यंजक में केवल जोड़ और घटाव संक्रियाएं होती हैं, तो आप समान पदों को कास्ट कर सकते हैं।
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • एक्स 2 + 12x + 3

   गुणक को छोटा करना

   1. व्यंजक के सभी गुणांकों का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक (gcd) ज्ञात कीजिए। GCD वह सबसे बड़ी संख्या है जिससे व्यंजक के सभी गुणांक विभाज्य होते हैं।

      • उदाहरण के लिए, समीकरण 9x 2 + 27x - 3 पर विचार करें। इस मामले में, gcd=3, क्योंकि इस व्यंजक का कोई भी गुणांक 3 से विभाज्य है।

   2. व्यंजक के प्रत्येक पद को gcd से भाग दें।परिणामी शब्दों में मूल व्यंजक की तुलना में छोटे गुणांक होंगे।

      • हमारे उदाहरण में, प्रत्येक व्यंजक पद को 3 से भाग दें।
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • यह अभिव्यक्ति निकला 3x2 + 9x-1. यह मूल अभिव्यक्ति के बराबर नहीं है।

   3. मूल व्यंजक को परिणामी व्यंजक के gcd गुणा के गुणनफल के बराबर लिखिए।यही है, परिणामी अभिव्यक्ति को कोष्ठक में संलग्न करें, और GCD को कोष्ठक से बाहर रखें।

      • हमारे उदाहरण में: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. गुणक को कोष्ठक से निकालकर भिन्नात्मक व्यंजकों को सरल बनाना।गुणक को कोष्ठक से बाहर क्यों निकालें, जैसा कि पहले किया गया था? फिर, भिन्नात्मक व्यंजकों जैसे जटिल व्यंजकों को सरल बनाने का तरीका जानने के लिए। इस मामले में, गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने से भिन्न (हर से) से छुटकारा पाने में मदद मिल सकती है।

      • उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक व्यंजक (9x 2 + 27x - 3)/3 पर विचार करें। इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए कोष्ठकों का प्रयोग करें।
        • गुणनखंड 3 का गुणनखंड करें (जैसा आपने पहले किया था): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • ध्यान दें कि अंश और हर दोनों में अब संख्या 3 है। इसे कम किया जा सकता है, और आपको व्यंजक मिलता है: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • चूँकि कोई भी भिन्न जिसका हर में नंबर 1 होता है, वह अंश के बराबर होता है, मूल भिन्नात्मक व्यंजक को सरल बनाया जाता है: 3x2 + 9x-1.

   अतिरिक्त सरलीकरण तकनीक

4. एक साधारण उदाहरण पर विचार करें: (90)। संख्या 90 को निम्नलिखित कारकों में विघटित किया जा सकता है: 9 और 10, और 9 से, वर्गमूल (3) लें और जड़ के नीचे से 3 निकालें।
   • √(90)
   • (9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों को सरल बनाना।कुछ भावों में, डिग्री के साथ गुणा या पदों के विभाजन के संचालन होते हैं। एक आधार से पदों के गुणन के मामले में, उनकी डिग्री जोड़ दी जाती हैं; समान आधार वाले पदों को विभाजित करने की स्थिति में, उनकी डिग्री घटा दी जाती है।

   • उदाहरण के लिए, व्यंजक 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15) पर विचार करें। गुणा के मामले में, घातांक जोड़ें, और भाग के मामले में, उन्हें घटाएं।
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • पदों को एक अंश से गुणा और भाग करने के नियम की व्याख्या निम्नलिखित है।
     • पदों को घातों से गुणा करना, पदों को अपने आप से गुणा करने के बराबर है। उदाहरण के लिए, चूंकि x 3 = x × x × x और x 5 = x × x × x × x × x, तो x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × एक्स), या एक्स 8।
     • इसी तरह, शब्दों को शक्तियों से विभाजित करना, शब्दों को स्वयं से विभाजित करने के बराबर है। x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x)। चूँकि अंश और हर दोनों में समान पदों को कम किया जा सकता है, दो "x" या x 2 का गुणनफल अंश में रहता है।

• किसी व्यंजक की शर्तों के सामने हमेशा चिह्नों (धन या ऋण) से अवगत रहें, क्योंकि बहुत से लोगों को सही चिह्न चुनने में कठिनाई होती है।
• जरूरत पड़ने पर मदद मांगें!
• बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाना आसान नहीं है, लेकिन यदि आप इस पर अपना हाथ रखते हैं, तो आप इस कौशल का उपयोग जीवन भर कर सकते हैं।

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अंश कैलकुलेटर केवल 2 साधारण अंशों के साथ संचालन कर सकता है। वे या तो सही हो सकते हैं (अंश हर से छोटा है) या गलत (अंश हर से बड़ा है)। अंश और हर में संख्याएँ ऋणात्मक और 999 से अधिक नहीं हो सकती हैं।
हमारा ऑनलाइन कैलकुलेटर भिन्नों को हल करता है और उत्तर को सही रूप में परिवर्तित करता है - अंश को कम करता है और यदि आवश्यक हो तो पूर्णांक भाग को हाइलाइट करता है।

यदि आपको ऋणात्मक भिन्नों को हल करने की आवश्यकता है, तो केवल ऋणात्मक गुणों का उपयोग करें। जब ऋणात्मक भिन्नों को गुणा और भाग दिया जाता है, तो ऋण से घटाकर धनात्मक होता है। अर्थात्, ऋणात्मक भिन्नों का गुणनफल और विभाजन समान धनात्मक अंशों के गुणनफल और विभाजन के बराबर होता है। यदि गुणा या भाग करने पर एक अंश ऋणात्मक होता है, तो बस ऋण को हटा दें, और फिर उसे उत्तर में जोड़ दें। ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ने पर, परिणाम वही होगा जैसे कि आपने वही धनात्मक भिन्न जोड़े हों। यदि आप एक ऋणात्मक भिन्न जोड़ते हैं, तो यह उसी धनात्मक अंश को घटाने के समान है।
नकारात्मक अंशों को घटाते समय, परिणाम वही होगा जैसे कि उन्हें उलट दिया गया और सकारात्मक बना दिया गया। यही है, इस मामले में माइनस से माइनस एक प्लस देता है, और योग शर्तों के पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है। भिन्नों को घटाते समय हम उन्हीं नियमों का उपयोग करते हैं, जिनमें से एक ऋणात्मक है।

मिश्रित भिन्नों को हल करने के लिए (अंश जिसमें पूरे भाग को हाइलाइट किया गया है), बस पूरे भाग को भिन्न में चलाएं। ऐसा करने के लिए, पूर्णांक भाग को हर से गुणा करें और अंश में जोड़ें।

यदि आपको 3 या अधिक भिन्नों को ऑनलाइन हल करना है, तो आपको उन्हें एक-एक करके हल करना चाहिए। सबसे पहले, पहले 2 अंशों को गिनें, फिर अगले अंश को प्राप्त उत्तर से हल करें, और इसी तरह। 2 भिन्नों के लिए बारी-बारी से संचालन करें, और अंत में आपको सही उत्तर मिलेगा।