लेख 2017 के लिए गणित में प्रोफाइल परीक्षा से 15 कार्यों के विश्लेषण के लिए समर्पित है। इस कार्य में, छात्रों को असमानताओं को हल करने की पेशकश की जाती है, सबसे अधिक बार लघुगणक वाले। हालांकि वे सांकेतिक हो सकते हैं। यह आलेख लघुगणकीय असमानताओं के उदाहरणों का विश्लेषण प्रदान करता है, जिसमें लघुगणक के आधार पर एक चर शामिल है। सभी उदाहरण गणित (प्रोफाइल) में यूएसई कार्यों के खुले बैंक से लिए गए हैं, इसलिए परीक्षा में इस तरह की असमानताएं आपके सामने आने की संभावना है क्योंकि कार्य 15. उन लोगों के लिए आदर्श है जो दूसरे से कार्य 15 को हल करना सीखना चाहते हैं। प्रोफ़ाइल का हिस्सा परीक्षा में उच्च अंक प्राप्त करने के लिए गणित में कम समय में उपयोग करें।

गणित में प्रोफाइल परीक्षा से कार्य 15 का विश्लेषण

उदाहरण 1. असमानता को हल करें:

यूनिफाइड स्टेट एग्जामिनेशन इन मैथमेटिक्स (प्रोफाइल) के टास्क 15 में अक्सर लॉगरिदमिक असमानताएं पाई जाती हैं। लॉगरिदमिक असमानताओं का समाधान स्वीकार्य मूल्यों की सीमा की परिभाषा से शुरू होता है। इस मामले में, दोनों लघुगणक के आधार में कोई चर नहीं है, केवल संख्या 11 है, जो कार्य को बहुत सरल करती है। इसलिए, हमारे यहां एकमात्र प्रतिबंध यह है कि लघुगणक चिह्न के तहत दोनों अभिव्यक्ति सकारात्मक हैं:

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प्रणाली में पहली असमानता द्विघात असमानता है। इसे हल करने के लिए, हम वास्तव में बाईं ओर का गुणनखंड करना अच्छा करेंगे। मुझे लगता है कि आप जानते हैं कि फॉर्म का कोई भी वर्ग त्रिपद इसे निम्नानुसार गुणनखंडित किया जाता है:

जहां और समीकरण की जड़ें हैं। इस स्थिति में, गुणांक 1 है (यह सामने का संख्यात्मक गुणांक है)। गुणांक भी 1 के बराबर है, और गुणांक एक मुक्त पद है, यह -20 के बराबर है। विएटा के प्रमेय का उपयोग करके एक ट्रिनोमियल की जड़ें निर्धारित करना सबसे आसान है। हमारा समीकरण दिया गया है, जिसका अर्थ है जड़ों का योग और विपरीत चिह्न वाले गुणांक के बराबर होगा, अर्थात -1, और इन जड़ों का गुणनफल गुणांक के बराबर होगा, अर्थात -20। यह अनुमान लगाना आसान है कि मूल -5 और 4 होंगे।

अब असमानता के बायीं ओर का गुणनखंड किया जा सकता है: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} एक्सबिंदु -5 और 4 पर। इसलिए, असमानता का वांछित समाधान अंतराल है। जो लोग यहां क्या लिखा है यह नहीं समझते हैं, आप वीडियो में विवरण देख सकते हैं, अभी से शुरू करें। वहां आपको इस बात की विस्तृत व्याख्या भी मिलेगी कि सिस्टम की दूसरी असमानता को कैसे हल किया जाता है। इसका समाधान किया जा रहा है। इसके अलावा, उत्तर प्रणाली की पहली असमानता के समान ही है। यानी ऊपर लिखा सेट असमानता के स्वीकार्य मूल्यों का क्षेत्र है।

तो, कारककरण को ध्यान में रखते हुए, मूल असमानता रूप लेती है:

सूत्र का उपयोग करते हुए, आइए पहले लघुगणक के चिह्न के तहत अभिव्यक्ति की शक्ति में 11 जोड़ें, और दूसरे लघुगणक को असमानता के बाईं ओर ले जाएं, जबकि इसके चिह्न को विपरीत में बदलते हुए:

कमी के बाद हमें मिलता है:

फ़ंक्शन में वृद्धि के कारण अंतिम असमानता, असमानता के बराबर है , जिसका हल अंतराल है . इसे असमानता के स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र के साथ पार करना बाकी है, और यह पूरे कार्य का उत्तर होगा।

तो, कार्य के वांछित उत्तर का रूप है:

हमने इस कार्य का पता लगा लिया, अब हम गणित (प्रोफाइल) में एकीकृत राज्य परीक्षा के कार्य 15 के अगले उदाहरण पर चलते हैं।

उदाहरण 2. असमानता को हल करें:

हम इस असमानता के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा निर्धारित करके समाधान शुरू करते हैं। प्रत्येक लघुगणक का आधार एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए जो 1 के बराबर न हो। लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत सभी व्यंजक धनात्मक होने चाहिए। भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए। अंतिम शर्त के बराबर है, क्योंकि अन्यथा हर में दोनों लघुगणक गायब हो जाते हैं। ये सभी शर्तें इस असमानता के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा निर्धारित करती हैं, जो असमानताओं की निम्नलिखित प्रणाली द्वारा दी गई है:

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स्वीकार्य मूल्यों की श्रेणी में, हम असमानता के बाईं ओर को सरल बनाने के लिए लघुगणक परिवर्तन सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। सूत्र का उपयोग करना भाजक से छुटकारा पाएं:

अब हमारे पास केवल आधार लघुगणक हैं। यह पहले से ही अधिक सुविधाजनक है। इसके बाद, हम निम्नलिखित रूप में महिमा के लायक अभिव्यक्ति लाने के लिए सूत्र और सूत्र का भी उपयोग करते हैं:

गणना में, हमने स्वीकार्य मूल्यों की सीमा में क्या उपयोग किया है। प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए, हम व्यंजक पर पहुँचते हैं:

आइए एक और प्रतिस्थापन का उपयोग करें: . परिणामस्वरूप, हम निम्नलिखित परिणाम पर पहुँचते हैं:

तो, धीरे-धीरे मूल चर पर वापस आएं। पहले चर के लिए:

अक्सर, लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करते समय, लॉगरिदम के एक चर आधार के साथ समस्याएं होती हैं। तो, फॉर्म की असमानता

एक मानक स्कूल असमानता है। एक नियम के रूप में, इसे हल करने के लिए, सिस्टम के समकक्ष सेट में संक्रमण का उपयोग किया जाता है:

इस पद्धति का नुकसान सात असमानताओं को हल करने की आवश्यकता है, न कि दो प्रणालियों और एक सेट की गणना करना। दिए गए द्विघात फलन के साथ भी, जनसंख्या समाधान में बहुत समय लग सकता है।

इस मानक असमानता को हल करने का एक वैकल्पिक, कम समय लेने वाला तरीका प्रस्तावित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रमेय को ध्यान में रखते हैं।

प्रमेय 1. एक सेट एक्स पर एक निरंतर बढ़ते कार्य को दें। फिर इस सेट पर फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि का संकेत तर्क की वृद्धि के संकेत के साथ मेल खाएगा, अर्थात। , कहाँ पे .

नोट: यदि समुच्चय X पर एक सतत घटते फलन है, तो .

आइए असमानता पर वापस जाएं। आइए दशमलव लघुगणक पर चलते हैं (आप एक से अधिक स्थिर आधार वाले किसी भी पर जा सकते हैं)।

अब हम प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं, अंश में कार्यों की वृद्धि को देखते हुए और हर में। तो यह सच है

नतीजतन, उत्तर की ओर जाने वाली गणनाओं की संख्या लगभग आधी हो जाती है, जो न केवल समय बचाता है, बल्कि आपको संभावित रूप से कम अंकगणित और लापरवाह त्रुटियां करने की अनुमति देता है।

उदाहरण 1

(1) की तुलना में हम पाते हैं , , .

पासिंग (2) हमारे पास होगा:

उदाहरण 2

(1) की तुलना में हम पाते हैं , , ।

पासिंग (2) हमारे पास होगा:

उदाहरण 3

चूँकि असमानता का बायाँ भाग और . के लिए एक बढ़ता हुआ फलन है , तो उत्तर निर्धारित है।

यदि टर्म 2 को ध्यान में रखा जाए तो उदाहरणों का सेट जिसमें टर्म 1 को लागू किया जा सकता है, आसानी से बढ़ाया जा सकता है।

सेट पर चलो एक्सकार्यों , , , परिभाषित कर रहे हैं, और इस सेट पर संकेत और संयोग, यानी, तो यह उचित होगा।

उदाहरण 4

उदाहरण 5

मानक दृष्टिकोण के साथ, उदाहरण को योजना के अनुसार हल किया जाता है: उत्पाद शून्य से कम होता है जब कारक विभिन्न संकेतों के होते हैं। वे। हम असमानताओं की दो प्रणालियों के एक समूह पर विचार करते हैं, जिसमें, जैसा कि शुरुआत में संकेत दिया गया था, प्रत्येक असमानता सात और में टूट जाती है।

यदि हम प्रमेय 2 को ध्यान में रखते हैं, तो प्रत्येक कारक, (2) को ध्यान में रखते हुए, एक अन्य फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसका O.D.Z के इस उदाहरण में समान चिह्न है।

प्रमेय 2 को ध्यान में रखते हुए, तर्क की वृद्धि के साथ फ़ंक्शन की वृद्धि को बदलने की विधि, विशिष्ट C3 USE समस्याओं को हल करते समय बहुत सुविधाजनक हो जाती है।

उदाहरण 6

उदाहरण 7

. आइए निरूपित करें। पाना

. ध्यान दें कि प्रतिस्थापन का तात्पर्य है:। समीकरण पर लौटने पर, हम प्राप्त करते हैं .

उदाहरण 8

जिन प्रमेयों का हम प्रयोग करते हैं, उनमें फलनों के वर्ग पर कोई प्रतिबंध नहीं है। इस लेख में, उदाहरण के तौर पर, लघुगणकीय असमानताओं के समाधान के लिए प्रमेयों को लागू किया गया था। निम्नलिखित कुछ उदाहरण अन्य प्रकार की असमानताओं को हल करने की विधि के वादे को प्रदर्शित करेंगे।

उपयोग में लघुगणक असमानताएँ

सेचिन मिखाइल अलेक्जेंड्रोविच

कजाकिस्तान गणराज्य के छात्रों के लिए विज्ञान की लघु अकादमी "साधक"

MBOU "सोवियत माध्यमिक विद्यालय नंबर 1", ग्रेड 11, शहर। सोवियत्स्की सोवियत जिला

एमबीओयू "सोवियत माध्यमिक विद्यालय नंबर 1" के शिक्षक गुंको ल्यूडमिला दिमित्रिग्ना

सोवियत्स्की जिला

उद्देश्य:गैर-मानक विधियों का उपयोग करके C3 लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए तंत्र का अध्ययन, लघुगणक के बारे में दिलचस्प तथ्यों का खुलासा करना।

अध्ययन का विषय:

3) गैर-मानक विधियों का उपयोग करके विशिष्ट लघुगणक C3 असमानताओं को हल करना सीखें।

परिणाम:

विषय

परिचय …………………………………………………………………………….4

अध्याय 1. पृष्ठभूमि………………………………………………………5

अध्याय 2. लघुगणकीय असमानताओं का संग्रह ………………………… 7

2.1. समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि …………… 7

2.2. युक्तिकरण विधि ………………………………………………… 15

2.3. गैर-मानक प्रतिस्थापन ………………………………………………………………………………………………… 22

2.4. जाल के साथ कार्य …………………………………………… 27

निष्कर्ष………………………………………………………… 30

साहित्य……………………………………………………………………। 31

परिचय

मैं 11वीं कक्षा में हूं और मेरी योजना ऐसे विश्वविद्यालय में प्रवेश करने की है जहां गणित एक मुख्य विषय है। यही कारण है कि मैं भाग सी के कार्यों के साथ बहुत काम करता हूं। कार्य सी 3 में, आपको गैर-मानक असमानता या असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होती है, जो आमतौर पर लॉगरिदम से जुड़ी होती है। परीक्षा की तैयारी करते समय, मुझे C3 में दी गई परीक्षा लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के तरीकों और तकनीकों की कमी की समस्या का सामना करना पड़ा। इस विषय पर स्कूली पाठ्यक्रम में जिन विधियों का अध्ययन किया जाता है, वे कार्य C3 को हल करने के लिए आधार प्रदान नहीं करते हैं। गणित के शिक्षक ने सुझाव दिया कि मैं उनके मार्गदर्शन में अपने दम पर C3 असाइनमेंट के साथ काम करता हूं। इसके अलावा, मुझे इस सवाल में दिलचस्पी थी: क्या हमारे जीवन में लघुगणक हैं?

इसे ध्यान में रखते हुए, विषय चुना गया था:

"परीक्षा में लघुगणकीय असमानताएँ"

उद्देश्य:लघुगणक के बारे में दिलचस्प तथ्यों का खुलासा करते हुए, गैर-मानक तरीकों का उपयोग करके C3 समस्याओं को हल करने के लिए तंत्र का अध्ययन।

अध्ययन का विषय:

1) लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक विधियों के बारे में आवश्यक जानकारी प्राप्त करें।

2) लघुगणक के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्राप्त करें।

3) गैर-मानक विधियों का उपयोग करके विशिष्ट C3 समस्याओं को हल करना सीखें।

परिणाम:

व्यावहारिक महत्व C3 की समस्याओं को हल करने के लिए तंत्र के विस्तार में निहित है। इस सामग्री का उपयोग कुछ पाठों में, गणित में हलकों, वैकल्पिक कक्षाओं के संचालन के लिए किया जा सकता है।

परियोजना उत्पाद "समाधान के साथ लघुगणक C3 असमानताओं" का संग्रह होगा।

अध्याय 1. पृष्ठभूमि

16वीं शताब्दी के दौरान, अनुमानित गणनाओं की संख्या में तेजी से वृद्धि हुई, मुख्यतः खगोल विज्ञान में। उपकरणों में सुधार, ग्रहों की चाल का अध्ययन, और अन्य कार्यों के लिए बहुत अधिक, कभी-कभी कई वर्षों, गणनाओं की आवश्यकता होती है। अधूरी गणनाओं में खगोल विज्ञान के डूबने का वास्तविक खतरा था। अन्य क्षेत्रों में भी कठिनाइयाँ उत्पन्न हुईं, उदाहरण के लिए, बीमा व्यवसाय में, विभिन्न प्रतिशत मूल्यों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की तालिकाओं की आवश्यकता थी। मुख्य कठिनाई गुणन, बहु-अंकीय संख्याओं का विभाजन, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय मात्राएँ थीं।

लघुगणक की खोज 16वीं शताब्दी के अंत तक प्रगति के प्रसिद्ध गुणों पर आधारित थी। आर्किमिडीज ने भजन संहिता में ज्यामितीय प्रगति q, q2, q3, ... और उनके संकेतकों 1, 2, 3, ... के अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के बीच संबंध के बारे में बात की। एक और पूर्वापेक्षा थी डिग्री की अवधारणा का नकारात्मक और भिन्नात्मक घातांकों तक विस्तार। कई लेखकों ने इंगित किया है कि गुणा, भाग, एक शक्ति तक बढ़ाना, और एक जड़ निकालने से अंकगणित में समान रूप से मेल खाता है - उसी क्रम में - जोड़, घटाव, गुणा और भाग।

यहाँ एक घातांक के रूप में लघुगणक का विचार था।

लघुगणक के सिद्धांत के विकास के इतिहास में, कई चरण बीत चुके हैं।

प्रथम चरण

लघुगणक का आविष्कार 1594 के बाद स्वतंत्र रूप से स्कॉटिश बैरन नेपियर (1550-1617) द्वारा और दस साल बाद स्विस मैकेनिक बर्गी (1552-1632) द्वारा किया गया था। दोनों अंकगणितीय गणनाओं का एक नया सुविधाजनक साधन प्रदान करना चाहते थे, हालाँकि उन्होंने इस समस्या को अलग-अलग तरीकों से हल किया। नेपियर ने कीनेमेटिक रूप से लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को व्यक्त किया और इस प्रकार फ़ंक्शन सिद्धांत के एक नए क्षेत्र में प्रवेश किया। बर्गी असतत प्रगति के विचार के आधार पर बने रहे। हालाँकि, दोनों के लिए लघुगणक की परिभाषा आधुनिक के समान नहीं है। शब्द "लघुगणक" (लघुगणक) नेपियर से संबंधित है। यह ग्रीक शब्दों के संयोजन से उत्पन्न हुआ: लोगो - "संबंध" और अरीक्मो - "संख्या", जिसका अर्थ "संबंधों की संख्या" था। प्रारंभ में, नेपियर ने एक अलग शब्द का प्रयोग किया: संख्यात्मक कृत्रिम - "कृत्रिम संख्या", जैसा कि संख्यात्मक प्राकृतिक - "प्राकृतिक संख्या" के विपरीत है।

1615 में, लंदन के ग्रेश कॉलेज में गणित के प्रोफेसर हेनरी ब्रिग्स (1561-1631) के साथ बातचीत में, नेपियर ने एक के लघुगणक के लिए शून्य लेने का सुझाव दिया, और दस के लघुगणक के लिए 100, या, इसके बराबर क्या है? , बस 1. इस तरह दशमलव लघुगणक और प्रथम लघुगणक तालिकाएँ मुद्रित की गईं। बाद में, ब्रिग्स टेबल को डच बुकसेलर और गणितज्ञ एंड्रियन फ्लैक (1600-1667) द्वारा पूरक किया गया। नेपियर और ब्रिग्स, हालांकि वे किसी और से पहले लघुगणक में आए, उन्होंने अपनी तालिकाओं को दूसरों की तुलना में बाद में प्रकाशित किया - 1620 में। साइन लॉग और लॉग 1624 में आई. केप्लर द्वारा पेश किए गए थे। शब्द "प्राकृतिक लघुगणक" 1659 में मेंगोली द्वारा पेश किया गया था, उसके बाद 1668 में एन। मर्केटर द्वारा, और लंदन के शिक्षक जॉन स्पैडल ने "न्यू लॉगरिदम" नाम के तहत 1 से 1000 तक की संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाएँ प्रकाशित कीं।

रूसी में, पहली लॉगरिदमिक टेबल 1703 में प्रकाशित हुई थी। लेकिन सभी लघुगणकीय तालिकाओं में गणना में त्रुटियां की गईं। जर्मन गणितज्ञ के. ब्रेमिकर (1804-1877) के प्रसंस्करण में बर्लिन में 1857 में पहली अचूक तालिकाएँ सामने आईं।

चरण 2

लघुगणक के सिद्धांत का और विकास विश्लेषणात्मक ज्यामिति और अन्तर्निहित कलन के व्यापक अनुप्रयोग से जुड़ा है। उस समय तक, एक समबाहु अतिपरवलय के चतुर्भुज और प्राकृतिक लघुगणक के बीच संबंध स्थापित हो चुका था। इस काल के लघुगणक का सिद्धांत कई गणितज्ञों के नामों से जुड़ा है।

जर्मन गणितज्ञ, खगोलशास्त्री और इंजीनियर निकोलस मर्केटर अपने निबंध में

"लॉगरिथमोटेक्निक" (1668) एक श्रृंखला देता है जो एलएन (एक्स + 1) के विस्तार को दर्शाता है

शक्तियां एक्स:

यह अभिव्यक्ति उनके विचार के पाठ्यक्रम से बिल्कुल मेल खाती है, हालांकि, निश्चित रूप से, उन्होंने d, ..., लेकिन अधिक बोझिल प्रतीकों का उपयोग नहीं किया था। लॉगरिदमिक श्रृंखला की खोज के साथ, लॉगरिदम की गणना करने की तकनीक बदल गई: उन्हें अनंत श्रृंखला का उपयोग करके निर्धारित किया जाने लगा। 1907-1908 में पढ़े गए अपने व्याख्यान "एक उच्च बिंदु से प्राथमिक गणित" में, एफ। क्लेन ने लघुगणक के सिद्धांत के निर्माण के लिए सूत्र का उपयोग प्रारंभिक बिंदु के रूप में करने का सुझाव दिया।

चरण 3

व्युत्क्रम के एक समारोह के रूप में एक लघुगणकीय कार्य की परिभाषा

घातीय, लघुगणक किसी दिए गए आधार के घातांक के रूप में

तुरंत तैयार नहीं किया गया था। लियोनहार्ड यूलर का काम (1707-1783)

"इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण का परिचय" (1748) ने आगे के रूप में कार्य किया

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के सिद्धांत का विकास। इस तरह,

लॉगरिदम को पहली बार पेश किए 134 साल बीत चुके हैं

(1614 से गिनती) गणितज्ञों की परिभाषा के साथ आने से पहले

लघुगणक की अवधारणा, जो अब स्कूल पाठ्यक्रम का आधार है।

अध्याय 2. लघुगणकीय असमानताओं का संग्रह

2.1. समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि।

समतुल्य संक्रमण

अगर एक> 1

अगर 0 < а < 1

सामान्यीकृत अंतराल विधि

लगभग किसी भी प्रकार की असमानताओं को हल करने में यह विधि सबसे सार्वभौमिक है। समाधान योजना इस तरह दिखती है:

1. असमानता को ऐसे रूप में लाएं, जहां फलन बाईं ओर स्थित हो
, और 0 दाईं ओर।

2. फ़ंक्शन का दायरा खोजें
.

3. किसी फलन के शून्यक ज्ञात कीजिए
, अर्थात्, समीकरण को हल करें
(और समीकरण को हल करना आमतौर पर असमानता को हल करने से आसान होता है)।

4. एक वास्तविक रेखा पर परिभाषा का प्रांत और फलन के शून्यक खींचिए।

5. फ़ंक्शन के संकेत निर्धारित करें
प्राप्त अंतराल पर।

6. उन अंतरालों का चयन करें जहां फ़ंक्शन आवश्यक मान लेता है, और उत्तर लिखें।

उदाहरण 1

समाधान:

अंतराल विधि लागू करें

कहाँ पे

इन मानों के लिए, लघुगणक के चिह्नों के अंतर्गत सभी व्यंजक धनात्मक होते हैं।

उत्तर:

उदाहरण 2

समाधान:

1 मार्ग . ODZ असमानता से निर्धारित होता है एक्स> 3. ऐसे के लिए लघुगणक लेना एक्सआधार 10 में, हम प्राप्त करते हैं

अंतिम असमानता को अपघटन नियमों को लागू करके हल किया जा सकता है, अर्थात। कारकों की शून्य से तुलना करना। हालांकि, इस मामले में फ़ंक्शन की स्थिरता के अंतराल को निर्धारित करना आसान है

इसलिए अंतराल विधि लागू की जा सकती है।

समारोह एफ(एक्स) = 2एक्स(एक्स- 3.5) एलजीǀ एक्स- 3ǀ निरंतर है एक्स> 3 और बिंदुओं पर गायब हो जाता है एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 3,5, एक्स 3 = 2, एक्स 4 = 4. इस प्रकार, हम फलन की स्थिरता के अंतरालों को निर्धारित करते हैं एफ(एक्स):

उत्तर:

दूसरा रास्ता . आइए हम अंतराल की विधि के विचारों को सीधे मूल असमानता पर लागू करें।

इसके लिए हमें याद है कि व्यंजक एबी- एग और ( ए - 1)(बी- 1) एक चिन्ह है। तब हमारी असमानता एक्स> 3 असमानता के बराबर है

या

अंतिम असमानता को अंतराल विधि द्वारा हल किया जाता है

उत्तर:

उदाहरण 3

समाधान:

अंतराल विधि लागू करें

उत्तर:

उदाहरण 4

समाधान:

2 . के बाद से एक्स 2 - 3एक्स+ 3 > 0 सभी वास्तविक के लिए एक्स, तब

दूसरी असमानता को हल करने के लिए, हम अंतराल विधि का उपयोग करते हैं

पहली असमानता में, हम परिवर्तन करते हैं

तब हम असमिका 2y 2 पर पहुँचते हैं - आप - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те आप, जो असमानता को संतुष्ट करता है -0.5< आप < 1.

कहाँ से, क्योंकि

हमें असमानता मिलती है

जिसके साथ किया जाता है एक्स, जिसके लिए 2 एक्स 2 - 3एक्स - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

अब, प्रणाली की दूसरी असमानता के समाधान को ध्यान में रखते हुए, हम अंततः प्राप्त करते हैं

उत्तर:

उदाहरण 5

समाधान:

असमानता सिस्टम के एक सेट के बराबर है

या

अंतराल विधि लागू करें या

जवाब:

उदाहरण 6

समाधान:

असमानता एक प्रणाली के समान है

रहने दो

तब आप > 0,

और पहली असमानता

सिस्टम रूप लेता है

या, विस्तार

कारकों के लिए वर्ग त्रिपद,

अंतराल विधि को अंतिम असमानता पर लागू करना,

हम देखते हैं कि इसके समाधान स्थिति को संतुष्ट करते हैं आप> 0 सब होगा आप > 4.

इस प्रकार, मूल असमानता प्रणाली के बराबर है:

तो, असमानता के सभी समाधान हैं

2.2. युक्तिकरण विधि।

पहले, असमानता के युक्तिकरण की विधि हल नहीं हुई थी, यह ज्ञात नहीं था। यह "घातीय और लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए एक नया आधुनिक प्रभावी तरीका है" (कोलेनिकोवा एस.आई. द्वारा पुस्तक से उद्धरण)
और भले ही शिक्षक उसे जानता था, एक डर था - लेकिन क्या USE विशेषज्ञ उसे जानता है, और वे उसे स्कूल में क्यों नहीं देते? ऐसे हालात थे जब शिक्षक ने छात्र से कहा: "कहां से मिला? बैठ जाओ - 2।"
अब हर जगह इस पद्धति का प्रचार किया जा रहा है। और विशेषज्ञों के लिए, इस पद्धति से जुड़े दिशानिर्देश हैं, और समाधान C3 में "प्रकार के प्रकारों का सबसे पूर्ण संस्करण ..." में इस पद्धति का उपयोग किया जाता है।
तरीका बढ़िया है!

"मैजिक टेबल"

अन्य स्रोतों में

यदि a >1 और b >1, फिर a b >0 और (a -1)(b -1)>0 लॉग करें;

यदि ए> 1 और 0

अगर 0<ए<1 и b >1, फिर एक बी लॉग करें<0 и (a -1)(b -1)<0;

अगर 0<ए<1 и 00 और (ए -1) (बी -1)> 0।

उपरोक्त तर्क सरल है, लेकिन लॉगरिदमिक असमानताओं के समाधान को स्पष्ट रूप से सरल करता है।

उदाहरण 4

लॉग एक्स (एक्स 2 -3)<0

समाधान:

उदाहरण 5

लॉग 2 x (2x 2 -4x +6)≤लॉग 2 x (x 2 +x )

समाधान:

जवाब. (0; 0.5) यू।

उदाहरण 6

इस असमानता को हल करने के लिए, हम हर के बजाय (x-1-1) (x-1) और अंश के बजाय गुणन (x-1) (x-3-9 + x) लिखते हैं।

जवाब : (3;6)

उदाहरण 7

उदाहरण 8

2.3. गैर-मानक प्रतिस्थापन।

उदाहरण 1

उदाहरण 2

उदाहरण 3

उदाहरण 4

उदाहरण 5

उदाहरण 6

उदाहरण 7

लॉग 4 (3 x -1) लॉग 0.25

आइए प्रतिस्थापन करें y=3 x -1; तब यह असमानता रूप लेती है

लॉग 4 लॉग 0.25
.

इसलिये लॉग 0.25 = -लॉग 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , फिर हम अंतिम असमानता को 2log 4 y -log 4 2 y के रूप में फिर से लिखते हैं।

आइए एक प्रतिस्थापन करें t =log 4 y और असमानता t 2 -2t +≥0 प्राप्त करें, जिसका समाधान अंतराल है - .

इस प्रकार, y का मान ज्ञात करने के लिए, हमारे पास दो सरल असमानताओं का एक समुच्चय है
इस संग्रह का हल अंतराल 0 . है<у≤2 и 8≤у<+.

इसलिए, मूल असमानता दो घातीय असमानताओं के समुच्चय के बराबर है,
यानी समुच्चय

इस सेट की पहली असमानता का समाधान अंतराल 0 . है<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. इस प्रकार, मूल असमानता 0 . के अंतराल से x के सभी मानों के लिए है<х≤1 и 2≤х<+.

उदाहरण 8

समाधान:

असमानता एक प्रणाली के समान है

दूसरी असमानता का समाधान, जो ODZ निर्धारित करता है, उन का समुच्चय होगा एक्स,

जिसके लिए एक्स > 0.

पहली असमानता को हल करने के लिए, हम परिवर्तन करते हैं

तब हमें असमानता मिलती है

या

अंतिम असमानता के समाधान का सेट विधि द्वारा पाया जाता है

अंतराल: -1< टी < 2. Откуда, возвращаясь к переменной एक्स, हम पाते हैं

या

उनमें से कई एक्स, जो अंतिम असमानता को संतुष्ट करता है

ओडीजेड से संबंधित है ( एक्स> 0), इसलिए, सिस्टम का एक समाधान है,

और इसलिए मूल असमानता।

उत्तर:

2.4. जाल के साथ कार्य।

उदाहरण 1

.

समाधान।असमानता का ODZ सभी x है जो 0 . की स्थिति को संतुष्ट करता है . अत: अंतराल 0 . से सभी x

उदाहरण 2

लॉग 2 (2x +1-x 2)>लॉग 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? बात यह है कि दूसरी संख्या स्पष्ट रूप से . से बड़ी है

निष्कर्ष

विभिन्न शैक्षिक स्रोतों की एक विशाल विविधता से C3 समस्याओं को हल करने के लिए विशेष तरीके खोजना आसान नहीं था। किए गए कार्य के दौरान, मैं जटिल लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक विधियों का अध्ययन करने में सक्षम था। ये हैं: समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि, युक्तिकरण की विधि , गैर-मानक प्रतिस्थापन , ODZ पर ट्रैप के साथ कार्य। ये विधियां स्कूली पाठ्यक्रम में अनुपस्थित हैं।

विभिन्न तरीकों का उपयोग करते हुए, मैंने USE में भाग C, अर्थात् C3 में दी गई 27 असमानताओं को हल किया। विधियों द्वारा समाधान के साथ इन असमानताओं ने "समाधान के साथ लघुगणक C3 असमानता" संग्रह का आधार बनाया, जो मेरी गतिविधि का प्रोजेक्ट उत्पाद बन गया। परियोजना की शुरुआत में मैंने जो परिकल्पना सामने रखी थी, उसकी पुष्टि हो गई थी: यदि इन विधियों को जाना जाए तो C3 समस्याओं को प्रभावी ढंग से हल किया जा सकता है।

इसके अलावा, मैंने लघुगणक के बारे में रोचक तथ्य खोजे। मेरे लिए इसे करना दिलचस्प था। मेरे प्रोजेक्ट उत्पाद छात्रों और शिक्षकों दोनों के लिए उपयोगी होंगे।

जाँच - परिणाम:

इस प्रकार, परियोजना का लक्ष्य प्राप्त किया जाता है, समस्या हल हो जाती है। और मुझे काम के सभी चरणों में परियोजना गतिविधियों में सबसे पूर्ण और बहुमुखी अनुभव मिला। परियोजना पर काम करने के दौरान, मेरा मुख्य विकासात्मक प्रभाव मानसिक क्षमता, तार्किक मानसिक संचालन से संबंधित गतिविधियों, रचनात्मक क्षमता के विकास, व्यक्तिगत पहल, जिम्मेदारी, दृढ़ता और गतिविधि पर था।

के लिए एक शोध परियोजना बनाते समय सफलता की गारंटी मैं बन गया: महत्वपूर्ण स्कूल अनुभव, विभिन्न स्रोतों से जानकारी निकालने की क्षमता, इसकी विश्वसनीयता की जांच करना, इसे महत्व के आधार पर रैंक करना।

गणित में सीधे विषय ज्ञान के अलावा, उन्होंने कंप्यूटर विज्ञान के क्षेत्र में अपने व्यावहारिक कौशल का विस्तार किया, मनोविज्ञान के क्षेत्र में नया ज्ञान और अनुभव प्राप्त किया, सहपाठियों के साथ संपर्क स्थापित किया और वयस्कों के साथ सहयोग करना सीखा। परियोजना गतिविधियों के दौरान, संगठनात्मक, बौद्धिक और संचारी सामान्य शैक्षिक कौशल और क्षमताओं का विकास किया गया।

साहित्य

1. कोर्यानोव ए। जी।, प्रोकोफिव ए। ए। एक चर के साथ असमानताओं की प्रणाली (विशिष्ट कार्य C3)।

2. मल्कोवा ए.जी. गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी।

3. एस. एस. समरोवा, लघुगणकीय असमानताओं का समाधान।

4. गणित। ए.एल. द्वारा संपादित प्रशिक्षण कार्यों का संग्रह। सेम्योनोव और आई.वी. यशचेंको। -एम.: एमटीएसएनएमओ, 2009. - 72 पी.-