सम्मिश्र संख्याओं के बारे में आवश्यक जानकारी याद करें।

जटिल संख्यारूप की अभिव्यक्ति है ए + द्वि, कहाँ पे ए, बीवास्तविक संख्याएं हैं, और मैं- तथाकथित काल्पनिक इकाई, वह प्रतीक जिसका वर्ग -1 है, अर्थात। मैं 2 = -1। संख्या एबुलाया असली हिस्सा, और संख्या बी - काल्पनिक हिस्साजटिल संख्या जेड = ए + द्वि. यदि एक बी= 0, फिर . के बजाय ए + 0मैंसरलता से लिखो ए. यह देखा जा सकता है कि वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याओं की एक विशेष स्थिति होती हैं।

सम्मिश्र संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ वास्तविक संख्याओं की तरह ही होती हैं: उन्हें एक दूसरे से जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है। जोड़ और घटाव नियम के अनुसार आगे बढ़ते हैं ( ए + द्वि) ± ( सी + डि) = (ए ± सी) + (बी ± डी)मैं, और गुणा - नियम के अनुसार ( ए + द्वि) · ( सी + डि) = (एसी – बीडीओ) + (विज्ञापन + बीसी)मैं(यहाँ बस यही प्रयोग किया गया है कि मैं 2 = -1)। संख्या = ए – द्विबुलाया जटिल सन्युग्मको जेड = ए + द्वि. समानता जेड · = ए 2 + बी 2 आपको यह समझने की अनुमति देता है कि एक सम्मिश्र संख्या को दूसरी (गैर-शून्य) सम्मिश्र संख्या से कैसे विभाजित किया जाए:

(उदाहरण के लिए, .)

जटिल संख्याओं का एक सुविधाजनक और दृश्य ज्यामितीय प्रतिनिधित्व होता है: संख्या जेड = ए + द्विनिर्देशांक के साथ एक वेक्टर के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है ( ए; बी) कार्तीय तल पर (या, जो लगभग समान है, एक बिंदु - इन निर्देशांकों के साथ सदिश का अंत)। इस स्थिति में, दो सम्मिश्र संख्याओं के योग को संबंधित सदिशों के योग के रूप में दर्शाया जाता है (जिसे समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा पाया जा सकता है)। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, निर्देशांक के साथ वेक्टर की लंबाई ( ए; बी) के बराबर है । इस मान को कहा जाता है मापांकजटिल संख्या जेड = ए + द्विऔर द्वारा निरूपित किया जाता है | जेड|. यह सदिश x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ जो कोण बनाता है (वामावर्त गिना जाता है) कहलाता है बहसजटिल संख्या जेडऔर Arg . द्वारा निरूपित जेड. तर्क विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है, लेकिन केवल 2 . के गुणज के योग तक ही है π रेडियन (या 360°, यदि आप डिग्री में गिनते हैं) - आखिरकार, यह स्पष्ट है कि मूल के चारों ओर इस तरह के कोण से घूमने से वेक्टर नहीं बदलेगा। लेकिन अगर लंबाई का सदिश आरएक कोण बनाता है φ x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ, तो इसके निर्देशांक बराबर होते हैं ( आरक्योंकि φ ; आरपाप φ ) इसलिए यह पता चला है त्रिकोणमितीय संकेतनजटिल संख्या: जेड = |जेड| (क्योंकि(अर्ग .) जेड) + मैंपाप(अर्ग जेड))। इस रूप में जटिल संख्याएँ लिखना अक्सर सुविधाजनक होता है, क्योंकि यह गणनाओं को बहुत सरल करता है। त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं का गुणन बहुत सरल लगता है: जेडएक · जेड 2 = |जेड 1 | · | जेड 2 | (क्योंकि(अर्ग .) जेड 1+आर्ग जेड 2) + मैंपाप(अर्ग जेड 1+आर्ग जेड 2)) (दो सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करते समय, उनके मापांक गुणा किए जाते हैं और तर्क जोड़े जाते हैं)। यहां से फॉलो करें डी मोइवर सूत्र: जेड एन = |जेड|एन(क्योंकि( एन(आर्गो जेड)) + मैंपाप ( एन(आर्गो जेड)))। इन सूत्रों की सहायता से सम्मिश्र संख्याओं से किसी भी अंश के मूल निकालना सीखना आसान है। z . का nवां मूलइतनी जटिल संख्या है वू, क्या डब्ल्यू नहीं = जेड. यह स्पष्ट है कि , और कहाँ कसेट से कोई भी मान ले सकते हैं (0, 1, ..., एन- एक)। इसका मतलब है कि हमेशा सटीक होता है एनजड़ों एनएक सम्मिश्र संख्या से वें डिग्री (विमान पर वे एक नियमित के शीर्ष पर स्थित होते हैं एन-गॉन)।