एक घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा शरीर के सभी कणों की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है:

किसी भी कण का द्रव्यमान, उसकी रैखिक (परिधि) गति, घूर्णन अक्ष से इस कण की दूरी के समानुपाती होती है। इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर और योग के चिह्न से सभी कणों के लिए कोणीय वेग o उभयनिष्ठ लेते हुए, हम पाते हैं:

एक घूर्णन शरीर की गतिज ऊर्जा के लिए इस सूत्र को अनुवाद गति की गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति के समान रूप में कम किया जा सकता है यदि हम शरीर की जड़ता के तथाकथित क्षण के मूल्य का परिचय देते हैं। एक भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षण बिंदु के द्रव्यमान और घूर्णन के अक्ष से इसकी दूरी के वर्ग का गुणनफल होता है। शरीर की जड़ता का क्षण शरीर के सभी भौतिक बिंदुओं की जड़ता के क्षणों का योग है:

तो, एक घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

सूत्र (2) उस सूत्र से भिन्न होता है जो किसी पिंड की गतिज ऊर्जा को ट्रांसलेशनल गति में निर्धारित करता है जिसमें शरीर द्रव्यमान के बजाय, जड़ता का क्षण I यहां प्रवेश करता है और वेग के बजाय, समूह वेग

अचानक बदलते भार के तहत मशीन की एकरूपता बनाए रखने के लिए एक घूर्णन चक्का की बड़ी गतिज ऊर्जा का उपयोग प्रौद्योगिकी में किया जाता है। सबसे पहले, चक्का को जड़ता के एक बड़े क्षण के साथ रोटेशन में लाने के लिए, मशीन को काफी काम की आवश्यकता होती है, लेकिन जब एक बड़ा भार अचानक चालू हो जाता है, तो मशीन बंद नहीं होती है और चक्का की गतिज ऊर्जा आरक्षित होने के कारण काम करती है।

इलेक्ट्रिक मोटर द्वारा संचालित रोलिंग मिलों में विशेष रूप से बड़े पैमाने पर फ्लाईव्हील का उपयोग किया जाता है। इन पहियों में से एक का विवरण यहां दिया गया है: "पहिया का व्यास 3.5 मीटर है और वजन होता है 600 आरपीएम की सामान्य गति पर, पहिया की गतिज ऊर्जा ऐसी होती है कि पहिया को घुमाते समय चक्की को एक शक्ति मिलती है। 20,000 लीटर का। साथ। बेयरिंग में घर्षण दबाव में एक परी कथा द्वारा कम से कम रखा जाता है, और केन्द्रापसारक जड़ता बलों के हानिकारक प्रभाव से बचने के लिए, पहिया को संतुलित किया जाता है ताकि पहिया की परिधि पर रखा गया भार इसे आराम से बाहर लाए।

हम कुछ निकायों की जड़ता के क्षणों के मूल्यों (गणना किए बिना) प्रस्तुत करते हैं (यह माना जाता है कि इनमें से प्रत्येक निकाय के सभी वर्गों में समान घनत्व है)।

अपने केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में एक पतली अंगूठी की जड़ता का क्षण और उसके विमान के लंबवत (चित्र। 55):

एक गोल डिस्क (या सिलेंडर) की जड़ता का क्षण अपने केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में और उसके विमान के लंबवत (डिस्क की जड़ता का ध्रुवीय क्षण; चित्र। 56):

इसके व्यास के साथ मेल खाने वाली धुरी के बारे में एक पतली गोल डिस्क की जड़ता का क्षण (डिस्क की जड़ता का भूमध्यरेखीय क्षण; चित्र 57):

गेंद के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में गेंद की जड़ता का क्षण:

केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में त्रिज्या की पतली गोलाकार परत की जड़ता का क्षण:

केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में एक मोटी गोलाकार परत (बाहरी सतह त्रिज्या और गुहा त्रिज्या वाली एक खोखली गेंद) की जड़ता का क्षण:

निकायों की जड़ता के क्षणों की गणना अभिन्न कलन का उपयोग करके की जाती है। इस तरह की गणना के पाठ्यक्रम का एक विचार देने के लिए, हम इसके लंबवत अक्ष के सापेक्ष रॉड की जड़ता का क्षण पाते हैं (चित्र। 58)। चलो छड़ी का एक खंड, घनत्व हो। हम रॉड के एक छोटे से हिस्से को अलग करते हैं, जिसकी लंबाई होती है और यह रोटेशन की धुरी से x की दूरी पर स्थित होता है। तब इसका द्रव्यमान चूँकि यह घूर्णन अक्ष से x की दूरी पर है, तो इसका जड़त्व आघूर्ण हम शून्य से I में समाकलित करते हैं:

समरूपता की धुरी के बारे में एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज की जड़ता का क्षण (चित्र। 59)

कुंडलाकार टोरस की जड़ता का क्षण (चित्र। 60)

आइए विचार करें कि विमान के साथ लुढ़कते हुए (बिना खिसके) पिंड के घूमने की ऊर्जा इस पिंड की अनुवाद गति की ऊर्जा से कैसे जुड़ी है,

एक लुढ़कते हुए पिंड की ट्रांसलेशनल गति की ऊर्जा है, पिंड का द्रव्यमान और ट्रांसलेशनल मोशन का वेग कहाँ है। चलो रोलिंग पिंड के घूर्णन के कोणीय वेग और शरीर की त्रिज्या को निरूपित करें। यह समझना आसान है कि बिना खिसके किसी पिंड के लुढ़कने की अनुवाद गति की गति पिंड के समतल के साथ संपर्क के बिंदुओं पर पिंड की परिधिगत गति के बराबर होती है (उस समय के दौरान जब पिंड एक चक्कर लगाता है, शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र एक दूरी तय करता है, इसलिए,

इस तरह,

घूर्णन ऊर्जा

फलस्वरूप,

यहाँ जड़त्व के क्षणों के उपरोक्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाते हैं कि:

ए) रोलिंग घेरा की घूर्णन गति की ऊर्जा इसकी अनुवाद गति की ऊर्जा के बराबर है;

बी) एक रोलिंग सजातीय डिस्क के घूर्णन की ऊर्जा अनुवाद गति की आधी ऊर्जा के बराबर है;

c) एक लुढ़कती हुई समांगी गेंद के घूर्णन की ऊर्जा, स्थानांतरीय गति की ऊर्जा है।

रोटेशन की धुरी की स्थिति पर जड़ता के क्षण की निर्भरता।बिंदु C पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ रॉड (चित्र। 61) को कोणीय वेग के साथ घूमने दें (o अक्ष O के चारों ओर, ड्राइंग के विमान के लंबवत। मान लीजिए कि एक निश्चित अवधि के दौरान यह स्थिति A B से स्थानांतरित हो गया) और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र ने एक चाप का वर्णन किया। इस आंदोलन की छड़ को इस तरह माना जा सकता है जैसे कि रॉड पहले ट्रांसलेशनल रूप से (अर्थात स्वयं के समानांतर शेष) स्थिति में चली गई और फिर सी के चारों ओर स्थिति में घुमाई गई आइए हम निरूपित करें (के केंद्र की दूरी) घूर्णन के अक्ष से गुरुत्वाकर्षण) a द्वारा, और कोण द्वारा जब छड़ स्थिति से चलती है और स्थिति में, इसके प्रत्येक कण का विस्थापन गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के विस्थापन के समान होता है, अर्थात यह बराबर या To होता है रॉड की वास्तविक गति प्राप्त करने के लिए, हम यह मान सकते हैं कि ये दोनों गतियाँ एक साथ की जाती हैं। O से गुजरने वाली धुरी के बारे में दो भागों में विघटित किया जा सकता है।

आइए हम एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमते हुए एक कठोर शरीर की गतिज ऊर्जा निर्धारित करें। आइए इस शरीर को n भौतिक बिंदुओं में विभाजित करें। प्रत्येक बिंदु एक रैखिक गति के साथ चलता है i =ωr i , तो बिंदु की गतिज ऊर्जा

या

एक घूर्णन कठोर पिंड की कुल गतिज ऊर्जा उसके सभी भौतिक बिंदुओं की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है:

(3.22)

(जे - रोटेशन की धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण)

यदि सभी बिंदुओं के प्रक्षेप पथ समानांतर विमानों में स्थित हैं (जैसे एक झुके हुए विमान को लुढ़कते हुए एक सिलेंडर की तरह, प्रत्येक बिंदु अपने स्वयं के समतल अंजीर में चलता है), यह है सपाट गति. यूलर के सिद्धांत के अनुसार, समतल गति को हमेशा अनंत तरीकों से अनुवादित और घूर्णी गति में विघटित किया जा सकता है। यदि गेंद झुके हुए तल पर गिरती है या फिसलती है, तो यह केवल आगे बढ़ती है; जब गेंद लुढ़कती है, तो वह भी घूमती है।

यदि कोई पिंड एक ही समय में स्थानांतरीय और घूर्णी गति करता है, तो उसकी कुल गतिज ऊर्जा बराबर होती है

(3.23)

स्थानांतरीय और घूर्णी गतियों के लिए गतिज ऊर्जा के सूत्रों की तुलना से, यह देखा जा सकता है कि घूर्णी गति के दौरान जड़ता का माप शरीर की जड़ता का क्षण होता है।

3.6 कठोर पिंड के घूर्णन के दौरान बाह्य बलों का कार्य

जब एक कठोर पिंड घूमता है, तो इसकी स्थितिज ऊर्जा नहीं बदलती है, इसलिए बाहरी बलों का प्रारंभिक कार्य शरीर की गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होता है:

डीए = डीई या

यह ध्यान में रखते हुए कि Jβ = M, dr = dφ, हमारे पास एक परिमित कोण पर शरीर का α बराबर होता है।

(3.25)

जब एक कठोर पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो बाहरी बलों का कार्य किसी दिए गए अक्ष के बारे में इन बलों के क्षण की क्रिया से निर्धारित होता है। यदि अक्ष के परितः बलों का आघूर्ण शून्य है, तो ये बल कार्य उत्पन्न नहीं करते हैं।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 2.1. चक्का द्रव्यमानएम=5 किग्रा और त्रिज्याआर= 0.2 मीटर क्षैतिज अक्ष के चारों ओर आवृत्ति के साथ घूमता हैν 0 =720 मिनट -1 और ब्रेक लगाने पर रुक जाता हैटी= 20 एस। रुकने से पहले ब्रेकिंग टॉर्क और क्रांतियों की संख्या का पता लगाएं।

ब्रेकिंग टॉर्क को निर्धारित करने के लिए, हम घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए मूल समीकरण लागू करते हैं

जहाँ I=mr 2 डिस्क की जड़ता का क्षण है; Δω \u003d ω - 0, और ω \u003d 0 अंतिम कोणीय वेग है, 0 \u003d 2πν 0 प्रारंभिक एक है। M डिस्क पर कार्य करने वाले बलों का ब्रेकिंग मोमेंट है।

सभी मात्राओं को जानकर, ब्रेकिंग टॉर्क को निर्धारित करना संभव है

श्री 2 2πν 0 = t (1)

(2)

घूर्णी गति के कीनेमेटीक्स से, डिस्क रोटेशन के दौरान रुकने के लिए रोटेशन के कोण को सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है

(3)

जहां β कोणीय त्वरण है।

समस्या की स्थिति के अनुसार: = 0 - βΔt, क्योंकि ω=0, 0 = βΔt

तब व्यंजक (2) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उदाहरण 2.2. एक ही त्रिज्या और द्रव्यमान के डिस्क के रूप में दो चक्का घूर्णन की गति तक घूमते थेएन= 480 आरपीएम और खुद पर छोड़ दिया। बीयरिंगों पर शाफ्ट के घर्षण बलों की कार्रवाई के तहत, पहले वाला बंद हो गयाटी\u003d 80 एस, और दूसरा कियाएन= 240 चक्कर बंद करने के लिए। किस चक्का में बेयरिंग पर शाफ्टों के घर्षण बल का आघूर्ण अधिक था और कितनी बार।

हम घूर्णी गति की गतिशीलता के मूल समीकरण का उपयोग करके पहले चक्का के कांटों M 1 के बल का क्षण पाएंगे

एम 1 t \u003d मैंω 2 - मैंω 1

जहाँ t घर्षण बलों के क्षण की क्रिया का समय है, I \u003d mr 2 - चक्का की जड़ता का क्षण, 1 \u003d 2πν और ω 2 \u003d 0 चक्का के प्रारंभिक और अंतिम कोणीय वेग हैं

फिर

दूसरे चक्का के घर्षण बल M 2 का क्षण घर्षण बलों के कार्य A और इसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बीच संबंध के माध्यम से व्यक्त किया जाता है ΔE k:

जहाँ = 2πN घूर्णन कोण है, N चक्का के परिक्रमणों की संख्या है।

फिर कहाँ

हे अनुपात होगा

दूसरे चक्का का घर्षण बल 1.33 गुना अधिक है।

उदाहरण 2.3। एक सजातीय ठोस डिस्क का द्रव्यमान m, भार का द्रव्यमान m 1 और एम 2 (अंजीर.15)। सिलेंडर की धुरी में धागे की कोई पर्ची और घर्षण नहीं होता है। द्रव्यमान का त्वरण और धागे के तनाव का अनुपात ज्ञात कीजिएआंदोलन की प्रक्रिया में।

धागे का कोई फिसलन नहीं है, इसलिए, जब m 1 और m 2 स्थानांतरीय गति करेंगे, तो सिलेंडर बिंदु O से गुजरने वाली धुरी के बारे में घूमेगा। आइए निश्चित रूप से मान लें कि m 2 > m 1।

फिर लोड एम 2 कम हो जाता है और सिलेंडर दक्षिणावर्त घूमता है। आइए हम निकाय में शामिल पिंडों की गति के समीकरणों को लिखें

पहले दो समीकरण उन पिंडों के लिए लिखे गए हैं जिनका द्रव्यमान m 1 और m 2 है जो अनुवाद गति करते हैं, और तीसरा समीकरण एक घूर्णन सिलेंडर के लिए है। तीसरे समीकरण में, बाईं ओर सिलेंडर पर कार्य करने वाले बलों का कुल क्षण है (बल T 1 का क्षण ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है, क्योंकि बल T 1 सिलेंडर को वामावर्त घुमाता है)। दाईं ओर, I अक्ष O के परितः बेलन का जड़त्व आघूर्ण है, जो के बराबर है

जहाँ R बेलन की त्रिज्या है; β बेलन का कोणीय त्वरण है।

चूंकि कोई धागा पर्ची नहीं है,
. I और β के व्यंजकों को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

सिस्टम के समीकरणों को जोड़ने पर, हम समीकरण पर पहुंचते हैं

यहाँ से हम त्वरण पाते हैं एकमाल

परिणामी समीकरण से यह देखा जा सकता है कि धागे का तनाव समान होगा, अर्थात। = 1 यदि बेलन का द्रव्यमान भार के द्रव्यमान से बहुत कम है।

उदाहरण 2.4. द्रव्यमान m = 0.5 kg वाली एक खोखली गेंद की बाहरी त्रिज्या R = 0.08m और आंतरिक त्रिज्या r = 0.06m है। गेंद अपने केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमती है। एक निश्चित क्षण में, गेंद पर एक बल कार्य करना शुरू कर देता है, जिसके परिणामस्वरूप गेंद के घूमने का कोण कानून के अनुसार बदल जाता है।
. लागू बल का क्षण निर्धारित करें।

हम घूर्णी गति की गतिकी के मूल समीकरण का उपयोग करके समस्या का समाधान करते हैं
. मुख्य कठिनाई खोखले गेंद की जड़ता के क्षण को निर्धारित करना है, और कोणीय त्वरण β के रूप में पाया जाता है
. एक खोखली गेंद का जड़त्व आघूर्ण R त्रिज्या की गेंद और r त्रिज्या वाली गेंद के जड़त्व आघूर्ण के बीच के अंतर के बराबर होता है:

जहां गेंद सामग्री का घनत्व है। हम एक खोखले गेंद के द्रव्यमान को जानकर घनत्व पाते हैं

यहाँ से हम गेंद के पदार्थ का घनत्व ज्ञात करते हैं

बल M के क्षण के लिए हम निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 2.5. एक पतली छड़ जिसका द्रव्यमान 300 g है और जिसकी लंबाई 50 cm है, 10 s . के कोणीय वेग से घूमती है -1 रॉड के बीच से गुजरने वाले एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर एक क्षैतिज तल में। कोणीय वेग ज्ञात कीजिए, यदि एक ही तल में घूर्णन के दौरान छड़ इस प्रकार गति करती है कि घूर्णन की धुरी छड़ के अंत से होकर गुजरती है।

हम कोणीय गति के संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं

(1)

(जे मैं - रोटेशन की धुरी के सापेक्ष रॉड की जड़ता का क्षण)।

निकायों की एक पृथक प्रणाली के लिए, कोणीय गति का वेक्टर योग स्थिर रहता है। इस तथ्य के कारण कि रोटेशन की धुरी के सापेक्ष रॉड के द्रव्यमान का वितरण बदल जाता है, रॉड की जड़ता का क्षण भी (1) के अनुसार बदलता है:

जे 0 1 = जे 2 ω 2। (2)

यह ज्ञात है कि छड़ के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का क्षण और छड़ के लंबवत के बराबर है

जे 0 \u003d एमℓ 2 / 12। (3)

स्टीनर प्रमेय के अनुसार

जे = जे 0 + एम एक 2

(J घूर्णन की एक मनमानी धुरी के बारे में छड़ की जड़ता का क्षण है; J 0 द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली समानांतर धुरी के बारे में जड़ता का क्षण है; एक- द्रव्यमान के केंद्र से रोटेशन के चयनित अक्ष तक की दूरी)।

आइए इसके सिरे से गुजरने वाली धुरी और छड़ के लंबवत के बारे में जड़ता का क्षण ज्ञात करें:

जे 2 \u003d जे 0 + एम एक 2 , जे 2 = एमℓ 2 /12 +एम(ℓ/2) 2 = एमℓ 2/3। (चार)

आइए हम सूत्र (3) और (4) को (2) में प्रतिस्थापित करें:

एमℓ 2 1 /12 = एमℓ 2 ω 2 /3

2 \u003d ω 1/4 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2.5s -1

उदाहरण 2.6 . मास मैनएम= 60 किग्रा, द्रव्यमान M के साथ मंच के किनारे पर खड़ा है = 120 किग्रा, आवृत्ति के साथ एक निश्चित ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर जड़ता से घूमता है 1 =12मिनट -1 , इसके केंद्र में जाता है। प्लेटफ़ॉर्म को एक गोल सजातीय डिस्क के रूप में और व्यक्ति को एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में देखते हुए, यह निर्धारित करें कि किस आवृत्ति के साथ ν 2 इसके बाद प्लेटफॉर्म घूमेगा।

दिया गया:एम = 60 किग्रा, एम = 120 किग्रा, 1 = 12 मिनट -1 = 0.2 एस -1 .

पाना:वी 1

समाधान:समस्या की स्थिति के अनुसार, व्यक्ति के साथ मंच जड़ता से घूमता है, अर्थात। घूर्णन प्रणाली पर लागू सभी बलों का परिणामी क्षण शून्य है। इसलिए, "प्लेटफ़ॉर्म-मैन" प्रणाली के लिए, संवेग के संरक्षण का नियम पूरा होता है

मैं 1 1 = मैं 2 2

कहाँ पे
- सिस्टम की जड़ता का क्षण जब कोई व्यक्ति प्लेटफॉर्म के किनारे पर खड़ा होता है (हमने ध्यान में रखा कि प्लेटफॉर्म की जड़ता का क्षण बराबर है (R त्रिज्या p . है
प्लेटफॉर्म), प्लेटफॉर्म के किनारे पर एक व्यक्ति की जड़ता का क्षण एमआर 2 है)।

- सिस्टम की जड़ता का क्षण जब कोई व्यक्ति प्लेटफॉर्म के केंद्र में खड़ा होता है (हमने ध्यान में रखा कि प्लेटफॉर्म के केंद्र में खड़े व्यक्ति का क्षण शून्य के बराबर है)। कोणीय वेग 1 = 2π 1 और ω 1 = 2π 2।

लिखित अभिव्यक्तियों को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

जहां से वांछित घूर्णन गति

उत्तर: वी 2 =24 मिनट -1।

आइए एक निश्चित अक्ष के चारों ओर पिंड के घूमने पर विचार करके शुरू करें, जिसे हम z-अक्ष कहेंगे (चित्र 41.1)। प्राथमिक द्रव्यमान की रैखिक गति वह है जहाँ अक्ष से द्रव्यमान की दूरी है। इसलिए, प्राथमिक द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा के लिए, व्यंजक प्राप्त होता है

किसी पिंड की गतिज ऊर्जा उसके भागों की गतिज ऊर्जाओं से बनी होती है:

इस अनुपात के दाईं ओर का योग रोटेशन की धुरी के बारे में शरीर 1 की जड़ता का क्षण है। इस प्रकार, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले पिंड की गतिज ऊर्जा है

मान लीजिए कि द्रव्यमान पर एक आंतरिक बल और एक बाहरी बल कार्य करते हैं (देखिए आकृति 41.1)। (20.5) के अनुसार, ये बल समय के दौरान काम करेंगे

वैक्टर के मिश्रित उत्पादों में कारकों का चक्रीय क्रमपरिवर्तन (देखें (2.34)), हम प्राप्त करते हैं:

जहाँ N बिंदु O के सापेक्ष आंतरिक बल का क्षण है, N बाहरी बल का समरूप क्षण है।

सभी प्रारंभिक द्रव्यमानों पर अभिव्यक्ति (41.2) का योग, हम समय के दौरान शरीर पर किए गए प्राथमिक कार्य को प्राप्त करते हैं:

आंतरिक बलों के क्षणों का योग शून्य के बराबर होता है (देखें (29.12))। इसलिए, N के माध्यम से बाहरी बलों के कुल क्षण को निरूपित करते हुए, हम व्यंजक पर पहुंचते हैं

(हमने फॉर्मूला (2.21) का इस्तेमाल किया)।

अंत में, यह ध्यान में रखते हुए कि एक कोण है जिसके माध्यम से शरीर समय में घूमता है, हम प्राप्त करते हैं:

कार्य का चिन्ह संकेत पर निर्भर करता है, अर्थात, वेक्टर की दिशा में वेक्टर N के प्रक्षेपण के संकेत पर

इसलिए, जब शरीर घूमता है, तो आंतरिक बल कार्य नहीं करते हैं, जबकि बाहरी बलों का कार्य सूत्र (41.4) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

सूत्र (41.4) इस तथ्य का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है कि शरीर पर लागू सभी बलों द्वारा किया गया कार्य इसकी गतिज ऊर्जा को बढ़ाता है (देखें (19.11))। समानता के दोनों पक्षों का अंतर (41.1) लेते हुए, हम संबंध पर पहुंचते हैं

समीकरण (38.8) के अनुसार, हम के माध्यम से प्रतिस्थापित करके सूत्र (41.4) पर आ जाएगा।

तालिका 41.1

तालिका में। 41.1, घूर्णी गति के यांत्रिकी के सूत्रों की तुलना अनुवाद गति के यांत्रिकी (एक बिंदु के यांत्रिकी) के समान सूत्रों से की जाती है। इस तुलना से यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि सभी मामलों में जड़त्व के क्षण द्वारा द्रव्यमान की भूमिका निभाई जाती है, बल की भूमिका बल के क्षण द्वारा, संवेग की भूमिका संवेग के क्षण द्वारा निभाई जाती है, आदि।

सूत्र। (41.1) हम मामले के लिए प्राप्त करते हैं जब शरीर शरीर में निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है। अब मान लेते हैं कि पिंड अपने द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाने वाले एक निश्चित बिंदु के बारे में मनमाने ढंग से घूमता है।

आइए हम कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को शरीर के साथ सख्ती से जोड़ते हैं, जिसका मूल शरीर के द्रव्यमान के केंद्र में रखा जाएगा। i-वें प्राथमिक द्रव्यमान की गति है इसलिए, शरीर की गतिज ऊर्जा के लिए, हम व्यंजक लिख सकते हैं

सदिशों के बीच का कोण कहां है a को बदलकर और हमें जो मिलता है उसे ध्यान में रखते हुए:

हम शरीर से जुड़े समन्वय प्रणाली के अक्षों पर वैक्टर के अनुमानों के संदर्भ में अदिश उत्पाद लिखते हैं:

अंत में, कोणीय वेग के घटकों के समान उत्पादों के साथ शब्दों को मिलाकर और इन उत्पादों को योग के संकेतों से बाहर निकालने से, हम प्राप्त करते हैं: ताकि सूत्र (41.7) रूप ले ले (इसकी तुलना (41.1) से करें)। जब एक मनमाना शरीर जड़ता के मुख्य अक्षों में से एक के चारों ओर घूमता है, तो मान लीजिए कि कुल्हाड़ियों और सूत्र (41.7) में (41.10.1) जाता है।

इस तरह। एक घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा तीन मामलों में जड़ता के क्षण और कोणीय वेग के वर्ग के आधे उत्पाद के बराबर है: 1) एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले शरीर के लिए; 2) जड़त्व के मुख्य अक्षों में से एक के चारों ओर घूमने वाले शरीर के लिए; 3) एक बॉल टॉप के लिए। अन्य मामलों में, गतिज ऊर्जा अधिक जटिल सूत्रों (41.5) या (41.7) द्वारा निर्धारित की जाती है।

पहले एक कोणीय वेग के साथ एक निश्चित अक्ष OZ के चारों ओर घूमते हुए एक कठोर शरीर पर विचार करें ω (अंजीर.5.6)। आइए शरीर को प्राथमिक द्रव्यमान में तोड़ दें। एक प्राथमिक द्रव्यमान का रैखिक वेग होता है , जहां घूर्णन के अक्ष से इसकी दूरी होती है। गतिज ऊर्जा मैं-वह प्राथमिक द्रव्यमान के बराबर होगा

.

पूरे शरीर की गतिज ऊर्जा उसके अंगों की गतिज ऊर्जाओं से बनी होती है, इसलिए

.

यह देखते हुए कि इस संबंध के दाईं ओर का योग रोटेशन की धुरी के बारे में शरीर की जड़ता के क्षण का प्रतिनिधित्व करता है, हम अंत में प्राप्त करते हैं

. (5.30)

एक घूर्णन पिंड (5.30) की गतिज ऊर्जा के सूत्र किसी पिंड की स्थानांतरीय गति की गतिज ऊर्जा के संगत सूत्रों के समान होते हैं। वे औपचारिक प्रतिस्थापन द्वारा उत्तरार्द्ध से प्राप्त किए जाते हैं .

सामान्य मामले में, एक कठोर शरीर की गति को गतियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है - शरीर के द्रव्यमान के केंद्र की गति के बराबर गति के साथ अनुवाद, और तात्कालिक अक्ष के चारों ओर एक कोणीय वेग के साथ घूर्णन। सेंटर ऑफ मास। इस मामले में, शरीर की गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति रूप लेती है

.

आइए अब हम किसी दृढ़ पिंड के घूर्णन के दौरान बाह्य बलों के आघूर्ण द्वारा किए गए कार्य को ज्ञात करें। समय में बाह्य बलों का प्रारंभिक कार्य डीटीशरीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होगा

घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा से अंतर लेते हुए, हम इसकी वृद्धि पाते हैं

.

घूर्णी गति के लिए गतिकी के मूल समीकरण के अनुसार

इन संबंधों को ध्यान में रखते हुए, हम प्रारंभिक कार्य के लिए अभिव्यक्ति को रूप में कम करते हैं

ओजेड रोटेशन की धुरी की दिशा पर बाहरी बलों के परिणामी क्षण का प्रक्षेपण कहां है, समय की अवधि के लिए शरीर के घूर्णन का कोण है।

समाकलन (5.31), हम एक घूर्णन पिंड पर कार्य करने वाले बाह्य बलों के कार्य के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं

यदि , तो सूत्र सरल हो जाता है

इस प्रकार, एक निश्चित अक्ष के बारे में एक कठोर शरीर के रोटेशन के दौरान बाहरी बलों का कार्य किसी दिए गए अक्ष पर इन बलों के क्षण के प्रक्षेपण की क्रिया से निर्धारित होता है।

जाइरोस्कोप

जाइरोस्कोप एक तेजी से घूमने वाला सममितीय पिंड है, जिसके घूमने की धुरी अंतरिक्ष में अपनी दिशा बदल सकती है। ताकि जाइरोस्कोप की धुरी अंतरिक्ष में स्वतंत्र रूप से घूम सके, जाइरोस्कोप को तथाकथित जिम्बल सस्पेंशन (चित्र। 5.13) में रखा गया है। जाइरोस्कोप का चक्का गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरते हुए C 1 C 2 अक्ष के चारों ओर आंतरिक कुंडलाकार पिंजरे में घूमता है। आंतरिक पिंजरा, बदले में, बाहरी पिंजरे में धुरी B 1 B 2 लंबवत C 1 C 2 के चारों ओर घूम सकता है। अंत में, बाहरी दौड़ अक्ष के चारों ओर अकड़ बीयरिंगों में स्वतंत्र रूप से घूम सकती है A 1 A 2 कुल्हाड़ियों के लंबवत C 1 C 2 और B 1 B 2 । तीनों अक्ष एक निश्चित बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे निलंबन का केंद्र या जाइरोस्कोप का आधार कहा जाता है। जिम्बल में जाइरोस्कोप में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है और इसलिए, जिम्बल के केंद्र के चारों ओर कोई भी घुमाव कर सकता है। यदि जाइरोस्कोप का निलंबन केंद्र इसके गुरुत्वाकर्षण केंद्र के साथ मेल खाता है, तो निलंबन केंद्र के सापेक्ष जाइरोस्कोप के सभी हिस्सों के गुरुत्वाकर्षण का परिणामी क्षण शून्य के बराबर होता है। ऐसे जाइरोस्कोप को संतुलित कहा जाता है।

आइए अब जाइरोस्कोप के सबसे महत्वपूर्ण गुणों पर विचार करें, जिन्होंने विभिन्न क्षेत्रों में इसके लिए व्यापक आवेदन पाया है।

1) स्थिरता।

संतुलित जाइरोस्कोप रैक के किसी भी रोटेशन के साथ, इसके रोटेशन की धुरी संदर्भ के प्रयोगशाला फ्रेम के संबंध में एक ही दिशा में रहती है। यह इस तथ्य के कारण है कि सभी बाहरी बलों का क्षण, घर्षण बल के क्षण के बराबर, बहुत छोटा है और व्यावहारिक रूप से जाइरोस्कोप के कोणीय गति में परिवर्तन नहीं करता है, अर्थात।

चूंकि कोणीय गति जाइरोस्कोप के रोटेशन की धुरी के साथ निर्देशित होती है, इसलिए इसका अभिविन्यास अपरिवर्तित रहना चाहिए।

यदि कोई बाह्य बल थोड़े समय के लिए कार्य करता है, तो कोणीय संवेग की वृद्धि को निर्धारित करने वाला समाकल छोटा होगा

. (5.34)

इसका मतलब यह है कि बड़ी ताकतों के अल्पकालिक प्रभावों के तहत, संतुलित जाइरोस्कोप की गति में थोड़ा बदलाव होता है। जाइरोस्कोप, जैसा कि यह था, अपने कोणीय गति के परिमाण और दिशा को बदलने के सभी प्रयासों का विरोध करता है। इसके साथ जुड़ा उल्लेखनीय स्थिरता है कि जाइरोस्कोप की गति इसे तेजी से घुमाने के बाद प्राप्त करती है। जाइरोस्कोप की इस संपत्ति का व्यापक रूप से विमान, जहाजों, रॉकेट और अन्य वाहनों की गति को स्वचालित रूप से नियंत्रित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

यदि, हालांकि, जाइरोस्कोप पर लंबे समय तक बाहरी बलों के एक पल की दिशा में काम किया जाता है, तो जाइरोस्कोप की धुरी अंततः बाहरी बलों के क्षण की दिशा में सेट हो जाती है। इस घटना का उपयोग जाइरोकोमपास में किया जाता है। यह उपकरण एक जाइरोस्कोप है, जिसकी धुरी एक क्षैतिज तल में स्वतंत्र रूप से घूम सकती है। पृथ्वी के दैनिक घूर्णन और केन्द्रापसारक बलों के क्षण की क्रिया के कारण, जाइरोस्कोप की धुरी घूमती है ताकि बीच का कोण न्यूनतम हो जाए (चित्र 5.14)। यह मध्याह्न तल में जाइरोस्कोप अक्ष की स्थिति से मेल खाती है।

2))। जाइरोस्कोपिक प्रभाव।

यदि बलों की एक जोड़ी और एक घूर्णन जाइरोस्कोप पर लगाया जाता है, जो इसे घूर्णन की धुरी के लंबवत अक्ष के चारों ओर घुमाने के लिए जाता है, तो यह तीसरे अक्ष के चारों ओर घूमता है, जो पहले दो के लंबवत होता है (चित्र 5.15)। जाइरोस्कोप के इस असामान्य व्यवहार को जाइरोस्कोपिक प्रभाव कहा जाता है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि बलों की एक जोड़ी का क्षण ओ 1 ओ 1 अक्ष के साथ निर्देशित होता है और समय के साथ वेक्टर में एक मूल्य के परिवर्तन की दिशा समान होगी। नतीजतन, नया वेक्टर ओ 2 ओ 2 अक्ष के बारे में घूमेगा। इस प्रकार, जाइरोस्कोप का प्रतीत होने वाला अप्राकृतिक व्यवहार पूरी तरह से घूर्णी गति की गतिशीलता के नियमों से मेल खाता है

3))। जाइरो प्रिसिजन।

जाइरोस्कोप की पूर्वता उसकी धुरी की शंक्वाकार गति है। यह तब होता है जब बाहरी बलों का क्षण, परिमाण में स्थिर रहता है, जाइरोस्कोप की धुरी के साथ एक साथ घूमता है, हर समय इसके साथ एक समकोण बनाता है। पूर्वता प्रदर्शित करने के लिए, एक विस्तारित धुरी के साथ एक साइकिल पहिया, तेजी से घूर्णन में लाया जा सकता है (चित्र 5.16), सेवा कर सकता है।

यदि पहिया को धुरा के विस्तारित छोर से निलंबित कर दिया जाता है, तो इसका धुरा अपने स्वयं के वजन की कार्रवाई के तहत ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमना शुरू कर देगा। तेजी से घूमने वाला शीर्ष भी पूर्वता के प्रदर्शन के रूप में काम कर सकता है।

जाइरोस्कोप के पूर्वता के कारणों का पता लगाएं। एक असंतुलित जाइरोस्कोप पर विचार करें, जिसकी धुरी एक निश्चित बिंदु O के चारों ओर स्वतंत्र रूप से घूम सकती है (चित्र 5.16)। जाइरोस्कोप पर लागू गुरुत्वाकर्षण का क्षण परिमाण में बराबर होता है

जाइरोस्कोप का द्रव्यमान कहाँ है, बिंदु O से जाइरोस्कोप के द्रव्यमान के केंद्र की दूरी है, जाइरोस्कोप के अक्ष द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण है। वेक्टर को जाइरोस्कोप की धुरी से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर विमान के लंबवत निर्देशित किया जाता है।

इस क्षण की क्रिया के तहत, जाइरोस्कोप की कोणीय गति (इसकी शुरुआत बिंदु O पर रखी गई है) को समय में वृद्धि प्राप्त होगी, और जाइरोस्कोप की धुरी से गुजरने वाला ऊर्ध्वाधर विमान एक कोण से घूमेगा। सदिश सदैव लम्बवत होता है, इसलिए, परिमाण में परिवर्तन किए बिना, सदिश केवल दिशा में बदलता है। इस मामले में, थोड़ी देर के बाद, वैक्टर की सापेक्ष स्थिति और प्रारंभिक क्षण के समान ही होगी। नतीजतन, जाइरोस्कोप की धुरी एक शंकु का वर्णन करते हुए लगातार ऊर्ध्वाधर के चारों ओर घूमती रहेगी। इस आंदोलन को पूर्वसर्ग कहा जाता है।

आइए हम पूर्वगामी के कोणीय वेग का निर्धारण करें। चित्र 5.16 के अनुसार, शंकु के अक्ष और जाइरोस्कोप के अक्ष से गुजरने वाले समतल का घूर्णन कोण बराबर होता है

जाइरोस्कोप की कोणीय गति कहाँ है, और समय के साथ इसकी वृद्धि है।

उपरोक्त संबंधों और परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए विभाजित करके, हम पूर्वता का कोणीय वेग प्राप्त करते हैं

. (5.35)

प्रौद्योगिकी में प्रयुक्त जाइरोस्कोप के लिए, पूर्वगामी का कोणीय वेग जाइरोस्कोप की घूर्णी गति से लाखों गुना कम है।

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि इलेक्ट्रॉनों की कक्षीय गति के कारण परमाणुओं में भी पूर्वता की घटना देखी जाती है।

गतिकी के नियमों को लागू करने के उदाहरण

घुमाते समय

1. कोणीय गति के संरक्षण के कानून के कुछ उदाहरणों पर विचार करें, जिन्हें ज़ुकोवस्की बेंच का उपयोग करके लागू किया जा सकता है। सबसे सरल मामले में, ज़ुकोवस्की बेंच एक डिस्क के आकार का प्लेटफॉर्म (कुर्सी) है जो बॉल बेयरिंग पर एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर स्वतंत्र रूप से घूम सकता है (चित्र। 5.17)। प्रदर्शनकर्ता बेंच पर बैठता है या खड़ा होता है, जिसके बाद उसे घूर्णी गति में लाया जाता है। इस तथ्य के कारण कि बीयरिंगों के उपयोग के कारण घर्षण बल बहुत कम हैं, सिस्टम की कोणीय गति जिसमें एक बेंच और रोटेशन की धुरी के बारे में एक प्रदर्शनकर्ता शामिल है, समय में नहीं बदल सकता है अगर सिस्टम को खुद पर छोड़ दिया जाए। यदि प्रदर्शनकर्ता अपने हाथों में भारी डम्बल रखता है और अपनी भुजाओं को भुजाओं तक फैलाता है, तो वह सिस्टम की जड़ता के क्षण को बढ़ा देगा, और इसलिए रोटेशन का कोणीय वेग कम होना चाहिए ताकि कोणीय गति अपरिवर्तित रहे।

कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार, हम इस स्थिति के लिए एक समीकरण बनाते हैं

व्यक्ति और बेंच की जड़ता का क्षण कहाँ है, और पहली और दूसरी स्थिति में डम्बल की जड़ता का क्षण है, और सिस्टम के कोणीय वेग हैं।

पक्ष में डम्बल प्रजनन करते समय सिस्टम के रोटेशन का कोणीय वेग बराबर होगा

.

डम्बल को हिलाने पर एक व्यक्ति द्वारा किए गए कार्य को सिस्टम की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है

2. आइए ज़ुकोवस्की की बेंच के साथ एक और प्रयोग करें। प्रदर्शनकर्ता एक बेंच पर बैठता है या खड़ा होता है और उसे एक लंबवत निर्देशित अक्ष के साथ तेजी से घूमने वाला पहिया दिया जाता है (चित्र 5.18)। प्रदर्शक फिर पहिया 180 0 घुमाता है। इस मामले में, पहिया के कोणीय गति में परिवर्तन पूरी तरह से बेंच और प्रदर्शनकर्ता को स्थानांतरित कर दिया जाता है। नतीजतन, बेंच, प्रदर्शनकर्ता के साथ, कोणीय गति के संरक्षण के कानून के आधार पर निर्धारित कोणीय वेग के साथ रोटेशन में आता है।

प्रारंभिक अवस्था में निकाय का कोणीय संवेग केवल पहिए के कोणीय संवेग से निर्धारित होता है और इसके बराबर होता है

पहिए का जड़त्व आघूर्ण कहाँ है, इसके घूर्णन का कोणीय वेग है।

पहिया को 180 0 के कोण पर घुमाने के बाद, सिस्टम के संवेग का क्षण पहले से ही व्यक्ति के साथ बेंच के संवेग के योग और पहिया के संवेग के क्षण द्वारा निर्धारित किया जाएगा। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि पहिया के गति वेक्टर ने अपनी दिशा विपरीत दिशा में बदल दी है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर इसका प्रक्षेपण नकारात्मक हो गया है, हम प्राप्त करते हैं

,

"मैन-प्लेटफ़ॉर्म" प्रणाली की जड़ता का क्षण कहाँ है, व्यक्ति के साथ बेंच के रोटेशन का कोणीय वेग है।

कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार

तथा .

नतीजतन, हम बेंच के रोटेशन की गति पाते हैं

3. पतली छड़ द्रव्यमान एमऔर लंबाई मैंएक कोणीय वेग के साथ घूमता है =10 s -1 छड़ के बीच से गुजरने वाले एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर एक क्षैतिज तल में। एक ही तल में घूमना जारी रखते हुए, छड़ चलती है ताकि घूर्णन की धुरी अब छड़ के अंत से होकर गुजरे। दूसरी स्थिति में कोणीय वेग ज्ञात कीजिए।

इस समस्या में, इस तथ्य के कारण कि घूर्णन की धुरी के सापेक्ष छड़ के द्रव्यमान का वितरण बदल जाता है, छड़ की जड़ता का क्षण भी बदल जाता है। एक विलगित निकाय के कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार, हमारे पास है

यहाँ - छड़ के बीच से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का क्षण; - इसके सिरे से गुजरने वाली धुरी के बारे में छड़ की जड़ता का क्षण और स्टीनर के प्रमेय द्वारा पाया जाता है।

इन व्यंजकों को कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

,

.

4. रॉड की लंबाई ली=1.5 मीटर और वजन एम 1=10 किग्रा ऊपरी सिरे पर टिका होता है। एक गोली रॉड के केंद्र में द्रव्यमान के साथ हिट करती है एम2=10 g, क्षैतिज रूप से =500 m/s की गति से उड़ता है, और छड़ में फंस जाता है। प्रभाव के बाद छड़ किस कोण से विचलित होगी?

आइए अंजीर में कल्पना करें। 5.19. बातचीत निकायों की प्रणाली "रॉड-बुलेट"। प्रभाव के क्षण में बाहरी बलों (गुरुत्वाकर्षण, अक्ष प्रतिक्रिया) के क्षण शून्य के बराबर होते हैं, इसलिए हम कोणीय गति के संरक्षण के नियम का उपयोग कर सकते हैं

प्रभाव से पहले प्रणाली का कोणीय संवेग निलंबन बिंदु के सापेक्ष बुलेट के कोणीय संवेग के बराबर होता है

एक अकुशल प्रभाव के बाद प्रणाली का कोणीय संवेग सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

,

निलंबन बिंदु के सापेक्ष रॉड की जड़ता का क्षण कहां है, गोली की जड़ता का क्षण है, प्रभाव के तुरंत बाद गोली के साथ रॉड का कोणीय वेग है।

प्रतिस्थापन के बाद परिणामी समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं

.

आइए अब हम यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम का प्रयोग करें। आइए हम रॉड की गतिज ऊर्जा की बराबरी करते हैं जब गोली अपनी संभावित ऊर्जा के साथ चढ़ाई के उच्चतम बिंदु पर टकराती है:

,

दिए गए सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र की ऊंचाई कहां है।

आवश्यक परिवर्तन करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

रॉड का विक्षेपण कोण अनुपात द्वारा मान से संबंधित होता है

.

गणना करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं =0,1p=18 0 ।

5. यह मानते हुए कि एटवुड मशीन पर पिंडों के त्वरण और धागे के तनाव का निर्धारण करें (चित्र 5.20)। रोटेशन की धुरी के बारे में ब्लॉक की जड़ता का क्षण है मैं, ब्लॉक त्रिज्या आर. धागे के द्रव्यमान पर ध्यान न दें।

आइए भार और ब्लॉक पर अभिनय करने वाले सभी बलों को व्यवस्थित करें, और उनके लिए गतिकी समीकरणों की रचना करें

यदि ब्लॉक के अनुदिश धागे में कोई फिसलन नहीं है, तो रैखिक और कोणीय त्वरण संबंध द्वारा संबंधित हैं

इन समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

तब हम T 1 और T 2 पाते हैं।

6. ओबेरबेक क्रॉस (चित्र 5.21) की चरखी से एक धागा जुड़ा होता है, जिसमें द्रव्यमान का भार होता है एम= 0.5 किग्रा. निर्धारित करें कि भार को ऊंचाई से गिरने में कितना समय लगता है एच=1 मी नीचे की स्थिति में। चरखी त्रिज्या आर\u003d 3 सेमी। द्रव्यमान के चार भार एम=250g प्रत्येक दूरी पर आर= अपने अक्ष से 30 सेमी. भार की जड़ता के क्षण की तुलना में स्वयं क्रॉस और चरखी की जड़ता के क्षण की उपेक्षा करें।

गतिज ऊर्जा एक योगात्मक मात्रा है। इसलिए, किसी पिंड की गतिज ऊर्जा एक मनमाना तरीके से चलती है, सभी n भौतिक बिंदुओं की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है जिसमें इस शरीर को मानसिक रूप से विभाजित किया जा सकता है:

यदि शरीर कोणीय वेग के साथ एक निश्चित अक्ष z के चारों ओर घूमता है, तो i-वें बिंदु का रैखिक वेग , री रोटेशन की धुरी की दूरी है। फलस्वरूप,

तुलना करना और यह देखा जा सकता है कि पिंड I की जड़ता का क्षण घूर्णी गति के दौरान जड़ता का एक माप है, जिस तरह द्रव्यमान m अनुवाद गति के दौरान जड़ता का एक उपाय है।

सामान्य स्थिति में, एक कठोर शरीर की गति को दो गतियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है - एक गति vc के साथ अनुवादक और एक कोणीय वेग के साथ घूर्णी जड़ता के केंद्र से गुजरने वाले तात्कालिक अक्ष के चारों ओर। तब इस पिण्ड की कुल गतिज ऊर्जा

यहां आईसी जड़ता के केंद्र से गुजरने वाले घूर्णन के तात्कालिक अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण है।

घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल नियम।

घूर्णी गतिकी

घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल नियम:

या एम = जे, जहां एम बल का क्षण है एम = [आर एफ], जे -जड़ता का क्षण शरीर की गति का क्षण है।

यदि M(external)=0 - कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम। - एक घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा।

घूर्णी कार्य।

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम।

एक भौतिक बिंदु का कोणीय गति (गति) एक निश्चित बिंदु O के सापेक्ष एक वेक्टर उत्पाद द्वारा निर्धारित एक भौतिक मात्रा है:

जहाँ r बिंदु O से बिंदु A तक खींची गई त्रिज्या सदिश है, p=mv भौतिक बिंदु का संवेग है (चित्र 1); एल एक स्यूडोवेक्टर है, जिसकी दिशा आर से पी तक घूमने के दौरान दाएं स्क्रू के ट्रांसलेशनल मूवमेंट की दिशा से मेल खाती है।

संवेग सदिश मापांक

जहाँ α सदिश r और p के बीच का कोण है, l बिंदु O के सापेक्ष सदिश p का कंधा है।

स्थिर अक्ष z के सापेक्ष कोणीय संवेग, अदिश मान Lz है, जो कोणीय संवेग सदिश के इस अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर है, जो इस अक्ष के एक मनमाना बिंदु O के सापेक्ष परिभाषित है। कोणीय संवेग Lz z अक्ष पर बिंदु O की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है।

जब एक बिल्कुल कठोर पिंड एक निश्चित अक्ष z के चारों ओर घूमता है, तो शरीर का प्रत्येक बिंदु स्थिर त्रिज्या ri के एक वृत्त के साथ गति vi के साथ चलता है। वेग vi और संवेग mivi इस त्रिज्या के लंबवत हैं, अर्थात त्रिज्या वेक्टर mivi की भुजा है। अतः हम लिख सकते हैं कि एक कण का कोणीय संवेग होता है

और सही पेंच के नियम द्वारा निर्धारित दिशा में अक्ष के साथ निर्देशित किया जाता है।

अक्ष के सापेक्ष एक कठोर पिंड का संवेग व्यक्तिगत कणों के संवेग का योग होता है:

सूत्र vi = ri का प्रयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

इस प्रकार, एक अक्ष के परितः एक दृढ़ पिंड का कोणीय संवेग, उसी अक्ष के परितः पिंड की जड़ता आघूर्ण के कोणीय वेग से गुणा के बराबर होता है। आइए समय के संदर्भ में समीकरण (2) में अंतर करें:

यह सूत्र एक निश्चित अक्ष के बारे में एक कठोर शरीर की घूर्णी गति की गतिशीलता के समीकरण का दूसरा रूप है: एक अक्ष के बारे में एक कठोर शरीर के कोणीय गति का व्युत्पन्न समान अक्ष के बारे में बलों के क्षण के बराबर होता है।

यह दिखाया जा सकता है कि सदिश समानता धारण करती है

एक बंद प्रणाली में, बाहरी बलों का क्षण M = 0 होता है और जहाँ से

व्यंजक (4) कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम है: एक बंद निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है, अर्थात समय के साथ परिवर्तित नहीं होता है।

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम और साथ ही ऊर्जा के संरक्षण का नियम प्रकृति का एक मूलभूत नियम है। यह अंतरिक्ष की समरूपता संपत्ति के साथ जुड़ा हुआ है - इसकी आइसोट्रॉपी, यानी, संदर्भ प्रणाली के समन्वय अक्षों की दिशा की पसंद के संबंध में भौतिक कानूनों के आविष्कार के साथ (अंतरिक्ष में एक बंद प्रणाली के घूर्णन के संबंध में) कोई कोण)।

यहां हम ज़ुकोवस्की बेंच का उपयोग करके कोणीय गति के संरक्षण के कानून का प्रदर्शन करेंगे। एक बेंच पर बैठा व्यक्ति, एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमता है, और बाहर की ओर हाथों में डम्बल पकड़े हुए है (चित्र 2), एक बाहरी तंत्र द्वारा कोणीय वेग ω1 के साथ घुमाया जाता है। यदि कोई व्यक्ति डम्बल को शरीर पर दबाता है, तो सिस्टम की जड़ता का क्षण कम हो जाएगा। लेकिन बाह्य बलों का आघूर्ण शून्य के बराबर होता है, निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है और घूर्णन 2 का कोणीय वेग बढ़ जाता है। इसी तरह, जिमनास्ट, अपने सिर के ऊपर से कूदते हुए, अपनी जड़ता के क्षण को कम करने के लिए अपने हाथों और पैरों को शरीर के करीब खींचता है और इस तरह रोटेशन के कोणीय वेग को बढ़ाता है।

तरल और गैस में दबाव।

गैस के अणु, एक अराजक, अराजक गति करते हुए, अंतःक्रियात्मक बलों द्वारा बाध्य या कमजोर रूप से बंधे नहीं होते हैं, यही कारण है कि वे लगभग स्वतंत्र रूप से आगे बढ़ते हैं और टकराव के परिणामस्वरूप, सभी दिशाओं में बिखर जाते हैं, जबकि उन्हें प्रदान की गई संपूर्ण मात्रा को भरते हैं, यानी, गैस का आयतन गैस के कब्जे वाले आयतन पोत द्वारा निर्धारित किया जाता है।

और द्रव, जिसका एक निश्चित आयतन होता है, उस पात्र का रूप धारण कर लेता है जिसमें वह बंद रहता है। लेकिन तरल पदार्थों में गैसों के विपरीत, अणुओं के बीच की औसत दूरी औसतन स्थिर रहती है, इसलिए तरल का आयतन लगभग स्थिर होता है।

तरल पदार्थ और गैसों के गुण कई मायनों में बहुत भिन्न होते हैं, लेकिन कई यांत्रिक घटनाओं में उनके गुण समान मापदंडों और समान समीकरणों द्वारा निर्धारित होते हैं। इस कारण से, हाइड्रोएरोमैकेनिक्स यांत्रिकी की एक शाखा है जो गैसों और तरल पदार्थों के संतुलन और गति का अध्ययन करती है, उनके बीच और उनके चारों ओर बहने वाले ठोस निकायों के बीच की बातचीत, अर्थात। तरल पदार्थ और गैसों के अध्ययन के लिए एक एकीकृत दृष्टिकोण लागू किया जाता है।

यांत्रिकी में, तरल पदार्थ और गैसों को उच्च सटीकता के साथ निरंतर माना जाता है, उनके द्वारा कब्जा किए गए स्थान के हिस्से में निरंतर वितरित किया जाता है। गैसों में, घनत्व दबाव पर काफी निर्भर करता है। अनुभव से स्थापित। कि एक तरल और एक गैस की संपीड़ितता को अक्सर उपेक्षित किया जा सकता है और एक ही अवधारणा का उपयोग करने की सलाह दी जाती है - एक तरल की असंपीड़ता - हर जगह समान घनत्व वाला तरल, जो समय के साथ नहीं बदलता है।

हम इसे एक पतली प्लेट में आराम से रखते हैं, परिणामस्वरूप, प्लेट के विपरीत किनारों पर स्थित तरल के हिस्से इसके प्रत्येक तत्व ΔS पर ΔF बलों के साथ कार्य करेंगे, जो कि निरपेक्ष मान के बराबर होगा और साइट के लंबवत निर्देशित होगा ΔS, साइट के उन्मुखीकरण की परवाह किए बिना, अन्यथा स्पर्शरेखा बलों की उपस्थिति तरल के कणों को गति में स्थापित कर देगी (चित्र 1)

प्रति इकाई क्षेत्र में तरल (या गैस) की ओर से कार्य करने वाले सामान्य बल द्वारा निर्धारित भौतिक मात्रा को दबाव पी / तरल (या गैस) कहा जाता है: पी = ΔF / ΔS।

दबाव की इकाई पास्कल (Pa) है: 1 Pa 1 N के बल द्वारा बनाए गए दबाव के बराबर है, जो समान रूप से 1 m2 की सतह पर समान रूप से वितरित किया जाता है (1 Pa = 1 N/m2)।

तरल पदार्थ (गैसों) के संतुलन पर दबाव पास्कल के नियम का पालन करता है: किसी भी तरल पदार्थ के किसी भी स्थान पर दबाव सभी दिशाओं में समान होता है, और दबाव समान रूप से द्रव द्वारा कब्जा किए गए पूरे मात्रा में समान रूप से प्रसारित होता है।

आइए हम एक स्थिर असंपीड्य द्रव के अंदर दाब के वितरण पर द्रव के भार के प्रभाव की जाँच करें। जब कोई तरल संतुलन में होता है, तो किसी भी क्षैतिज रेखा के साथ दबाव हमेशा समान होता है, अन्यथा कोई संतुलन नहीं होगा। इसका अर्थ है कि विरामावस्था में द्रव का मुक्त पृष्ठ सदैव क्षैतिज होता है (हम पात्र की दीवारों द्वारा द्रव के आकर्षण को ध्यान में नहीं रखते हैं)। यदि कोई द्रव असंपीड्य है, तो द्रव का घनत्व दबाव से स्वतंत्र होता है। फिर, तरल स्तंभ के क्रॉस सेक्शन S के साथ, इसकी ऊंचाई h और घनत्व , वजन P=ρgSh है, जबकि निचले आधार पर दबाव है: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

यानी दबाव ऊंचाई के साथ रैखिक रूप से बदलता है। दबाव ρgh को हाइड्रोस्टेटिक दबाव कहा जाता है।

सूत्र (1) के अनुसार, तरल की निचली परतों पर दबाव बल ऊपरी परतों की तुलना में अधिक होगा, इसलिए आर्किमिडीज़ के नियम द्वारा निर्धारित बल एक तरल (गैस) में डूबे हुए शरीर पर कार्य करता है: ऊपर की ओर उत्प्लावक शरीर द्वारा विस्थापित द्रव (गैस) के भार के बराबर बल: FA=ρgV, जहाँ ρ तरल का घनत्व है, V तरल में डूबे हुए पिंड का आयतन है।