पाठ शिक्षक की कहानी से शुरू हो सकता है।

वाशचेंको एन.एम., पाठ में

प्राचीन ग्रीस में, सभी वक्ताओं को ज्यामिति सिखाई जाती थी। स्कूल के दरवाजे पर लिखा था: "जो ज्यामिति नहीं जानता, वह यहां प्रवेश न करे।" क्यों? हाँ, क्योंकि ज्यामिति सिद्ध करना सिखाती है। एक व्यक्ति का भाषण तभी आश्वस्त होता है जब वह अपने निष्कर्ष साबित करता है। अपने तर्क में, लोग अक्सर सबूत की विधि का उपयोग करते हैं, जिसे "विरोधाभास द्वारा" कहा जाता है।

आइए ऐसे प्रमाणों के उदाहरण दें।

उदाहरण 1स्काउट्स को यह पता लगाने का काम दिया गया था कि क्या दिए गए गाँव में दुश्मन का टैंक कॉलम है। टोही कमांडर रिपोर्ट करता है: अगर गाँव में एक टैंक स्तंभ होता, तो कैटरपिलर के निशान होते, लेकिन हमें वह नहीं मिला।

तर्क योजना। यह साबित करना आवश्यक है: कोई स्तंभ नहीं है। मान लीजिए कि एक कॉलम है। फिर निशान होना चाहिए। विरोधाभास - कोई निशान नहीं हैं। निष्कर्ष: धारणा गलत है, जिसका अर्थ है कि कोई टैंक कॉलम नहीं है।

उदाहरण 2बीमार बच्चे की जांच के बाद डॉक्टर कहते हैं:

“बच्चे को खसरा नहीं है। अगर उसे खसरा होता, तो उसके शरीर पर दाने हो जाते, लेकिन दाने नहीं होते।"

उपरोक्त योजना के अनुसार डॉक्टर का तर्क भी किया गया था।

प्रश्न पूछा जाता है: "विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने की विधि का सार क्या है?" - और एक तालिका पोस्ट की जाती है (तालिका 5)।

विरोधाभास से पहले से ज्ञात समस्याओं को हल करना संभव है।

1. दिया गया: a||b, रेखाएँ c और एक प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध करना:रेखाएँ c और b प्रतिच्छेद करती हैं।

प्रमाण।

1) मान लें कि b||c.

2) फिर यह पता चलता है कि दो अलग-अलग रेखाएँ a और b बिंदु O (रेखाओं a और c के प्रतिच्छेदन बिंदु) से होकर गुजरती हैं, जो रेखा b के समानांतर हैं।

3) यह समानांतर रेखाओं के अभिगृहीत का खंडन करता है।

निष्कर्ष: इसका मतलब है कि हमारी धारणा गलत है, लेकिन जो साबित करना आवश्यक था वह सच है, यानी कि रेखाएं एक दूसरे को काटती हैं।

2. दिया गया: A, B, C - रेखा के बिंदु a, AB = 5 सेमी, AC = 2 सेमी, BC = 7 सेमी। सिद्ध करना:

प्रमाण।

1) मान लीजिए कि बिंदु C, बिंदु A और B के बीच स्थित है।

2) फिर, खंडों को मापने के स्वयंसिद्ध के अनुसार AB = AC + CBA

3) यह स्थिति का खंडन करता है: AB \u003d AC + CB, AB \u003d 5 सेमी, AC + C5 \u003d 9 सेमी के बाद से।

निष्कर्ष:बिंदु C, बिंदु A और B के बीच में नहीं है।

3. दिया गया:एबी - आधा लाइन, सी एबी, एसी< АВ. सिद्ध करना:

प्रमाण।

1) मान लीजिए कि बिंदु B, बिंदु A और C के बीच स्थित है।

2) फिर, खंड AB + BC = AC, यानी AB . को मापने के स्वयंसिद्ध के अनुसार

3) यह समस्या की स्थिति के विपरीत है: AS<АВ.

निष्कर्ष:बिंदु B, बिंदु A और C के बीच में नहीं है।

समस्या समाधान नोटबुक में लिखा जाता है। छात्रों को विरोधाभास से साबित करने की विधि का सार सीखने के लिए, साथ ही साथ समस्याओं को हल करते समय समय बचाने के लिए, आप संकेत कार्ड का उपयोग कर सकते हैं जो मोटे कागज से बने होते हैं और प्लास्टिक की थैलियों में डाले जाते हैं। छात्र को प्लास्टिक रैप पर लापता स्थानों को भरना होगा। टेप रिकॉर्ड आसानी से मिटा दिए जाते हैं, और इसलिए कार्ड को बार-बार इस्तेमाल किया जा सकता है।

कार्ड इस तरह दिखता है:

जो साबित करने की आवश्यकता है, उसके विपरीत मान लें, अर्थात।

यह इस धारणा से चलता है कि (…… के आधार पर)

हमें एक विरोधाभास मिलता है।

इसका मतलब है कि हमारी धारणा गलत है, लेकिन जो साबित करना जरूरी था वह सच है, यानी।

गृहकार्य:

एन। "विरोधाभास द्वारा सबूत" 2 शब्दों के लिए: "चलो इसे समझाएं ..."।

1. सिद्ध कीजिए कि यदि MN = 8 m, MK = 5 m, NK-10 m, तो बिंदु M, N और K एक सीधी रेखा पर नहीं हैं।

2. सिद्ध कीजिए कि यदि<(ab) = 100°, <(be) - 120°, то луч с не проходит между сторонами угла (ab).

3. प्रमेय 1.1 को विरोधाभास से सिद्ध कीजिए।

अक्सर प्रमेयों को सिद्ध करते समय, प्रमाण की विधि का उपयोग किया जाता है। विरोध. इस पद्धति का सार पहेली को समझने में मदद करता है। इसे सुलझाने का प्रयास करें।

एक ऐसे देश की कल्पना करें जिसमें मौत की सजा पाए व्यक्ति को दो समान दिखने वाले कागजों में से एक चुनने के लिए कहा जाता है: एक कहता है "मृत्यु", दूसरा कहता है "जीवन"। दुश्मनों ने इस देश के एक निवासी की निंदा की। और इसलिए कि उसके पास बचने का कोई मौका नहीं था, उन्होंने इसे ऐसा बनाया कि कागज के दोनों टुकड़ों के पीछे, जिसमें से उसे एक चुनना होगा, "मृत्यु" लिखा हुआ था। दोस्तों को इस बात की जानकारी हुई और दोषी को सूचना दी। उन्होंने इस बारे में किसी को न बताने को कहा। एक पेपर निकाला। और रहने लगा। उसने ऐसा कैसे किया था?

जवाब। अपराधी ने अपने चुने हुए कागज के टुकड़े को निगल लिया। यह निर्धारित करने के लिए कि उसके पास कौन सा लॉट गिर गया, न्यायाधीशों ने कागज के शेष टुकड़े को देखा। उस पर लिखा था: "मृत्यु।" यह साबित हुआ कि वह भाग्यशाली था, उसने कागज का एक टुकड़ा निकाला जिस पर लिखा था: "जीवन।"

जैसा कि पहेली के बारे में बताता है, सबूत के दौरान केवल दो मामले संभव हैं: यह संभव है ... या यह असंभव है ... यदि आप सुनिश्चित कर सकते हैं कि पहला असंभव है (कागज के टुकड़े पर कि न्यायाधीशों को मिला, यह लिखा है: "मृत्यु"), तो हम तुरंत निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दूसरी संभावना मान्य है (कागज के दूसरे टुकड़े पर लिखा है: "जीवन")।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है।

1) किसी समस्या को हल करते समय या प्रमेय को सिद्ध करते समय सैद्धांतिक रूप से कौन से विकल्प संभव हैं, यह स्थापित करें। दो विकल्प हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, विचाराधीन रेखाएँ लंबवत हैं या नहीं); तीन या अधिक उत्तर विकल्प हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, कौन सा कोण प्राप्त होता है: तीव्र, सीधा या अधिक)।

2) सिद्ध करो। कि हमें जिन विकल्पों को अस्वीकार करने की आवश्यकता है उनमें से कोई भी प्रदर्शन नहीं किया जा सकता है। (उदाहरण के लिए, यदि यह साबित करना आवश्यक है कि रेखाएं लंबवत हैं, तो हम देखते हैं कि यदि हम गैर-लंबवत रेखाओं पर विचार करते हैं तो क्या होता है। एक नियम के रूप में, यह स्थापित करना संभव है कि इस मामले में कोई भी निष्कर्ष जो दिया गया है उसका खंडन करता है स्थिति में, और इसलिए असंभव है।

3) इस तथ्य के आधार पर कि सभी अवांछनीय निष्कर्ष खारिज कर दिए जाते हैं और केवल एक (वांछनीय) पर विचार नहीं किया जाता है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वह सही है।

आइए विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग करके समस्या का समाधान करें।

दिया गया है: रेखाएँ a और b ऐसी हैं कि कोई भी रेखा जो a को प्रतिच्छेद करती है, b को भी काटती है।

"विरोधाभास द्वारा" प्रमाण की विधि का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि a ll b.

प्रमाण।

केवल दो मामले संभव हैं:

1) रेखाएँ a और b समानांतर (जीवन) हैं;

2) रेखाएँ a और b समानांतर (मृत्यु) नहीं हैं।

यदि अवांछनीय मामले को बाहर करना संभव है, तो यह निष्कर्ष निकालना बाकी है कि दो संभावित मामलों में से दूसरा होता है। अवांछित मामले को त्यागने के लिए, आइए सोचें कि क्या होता है यदि रेखाएँ a और b प्रतिच्छेद करती हैं:

धारणा के अनुसार, कोई भी रेखा जो a को प्रतिच्छेद करती है, b को भी काटती है। इसलिए, यदि कम से कम एक ऐसी रेखा खोजना संभव है जो a को काटती है लेकिन b को नहीं काटती है, तो इस मामले को छोड़ दिया जाना चाहिए। आप जितनी चाहें ऐसी रेखाएँ पा सकते हैं: यह रेखा a के किसी भी बिंदु K से होकर जाने के लिए पर्याप्त है, बिंदु M को छोड़कर, b के समानांतर रेखा KS:

चूंकि दो संभावित मामलों में से एक को खारिज कर दिया गया है, कोई तुरंत निष्कर्ष निकाल सकता हैक्या होगा बी.

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सबूत "इसके विपरीत" (लैटिन में "रिडक्टियो एड एब्सर्डम") इस तथ्य की विशेषता है कि एक राय को साबित करने की प्रक्रिया विपरीत निर्णय का खंडन करके की जाती है। एक विरोधी को इस तथ्य को स्थापित करके झूठा साबित किया जा सकता है कि यह एक सच्चे प्रस्ताव के साथ असंगत है।

आमतौर पर इस तरह की विधि को एक सूत्र का उपयोग करके नेत्रहीन रूप से प्रदर्शित किया जाता है जहां ए विपरीत है और बी सत्य है। यदि समाधान से पता चलता है कि चर A की उपस्थिति से परिणाम B से भिन्न होते हैं, तो A गलत साबित होता है।

सत्य के उपयोग के बिना "विरोधाभास द्वारा" प्रमाण

"विपरीत" के मिथ्यात्व का एक आसान प्रमाण भी है - विरोधी। ऐसा सूत्र-नियम कहता है: "यदि चर A के साथ हल करते समय सूत्र में कोई विरोधाभास उत्पन्न होता है, तो A गलत है।" इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि विरोधी नकारात्मक है या सकारात्मक। इसके अलावा, विरोधाभास से साबित करने के एक सरल तरीके में केवल दो तथ्य होते हैं: थीसिस और एंटीथिसिस, सत्य बी का उपयोग नहीं किया जाता है। यह प्रमाण प्रक्रिया को बहुत सरल करता है।

अपागोग

विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने की प्रक्रिया में (जिसे "बेतुकापन में कमी" भी कहा जाता है), अक्सर अपादान का प्रयोग किया जाता है। यह एक तार्किक युक्ति है, जिसका उद्देश्य किसी भी निर्णय की गलतता को सिद्ध करना है ताकि उसमें या उससे उत्पन्न होने वाले परिणामों में सीधे तौर पर एक विरोधाभास प्रकट हो। विरोधाभास को स्पष्ट रूप से अलग-अलग वस्तुओं की पहचान में या निष्कर्ष के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: संयोजन या जोड़े बी और बी नहीं (सत्य और सत्य नहीं)।

"विरोधाभास द्वारा" साक्ष्य का स्वागत अक्सर प्रयोग किया जाता है। कई मामलों में, किसी अन्य तरीके से किसी निर्णय की गलतता को साबित करना संभव नहीं है। उपाख्यान के अलावा, विरोधाभास द्वारा प्रमाण का एक विरोधाभासी रूप भी है। इस फॉर्म का उपयोग यूक्लिड के तत्वों के रूप में किया गया था और निम्नलिखित नियम का प्रतिनिधित्व करता है: ए को सिद्ध माना जाता है यदि ए के "सच्चे झूठ" को प्रदर्शित करना संभव है।

इस प्रकार, विरोधाभास द्वारा साक्ष्य की प्रक्रिया (इसे अप्रत्यक्ष और अपोजिट साक्ष्य भी कहा जाता है) इस प्रकार है। एक विपरीत राय सामने रखी जाती है, इस विरोध से परिणाम निकाले जाते हैं, जिनमें से झूठ की तलाश की जाती है। वे सबूत पाते हैं कि परिणामों में वास्तव में एक झूठा है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रतिवाद गलत है, और चूंकि प्रतिवाद गलत है, तार्किक निष्कर्ष इस प्रकार है कि सत्य थीसिस में निहित है।

गणितीय शब्दों का व्याख्यात्मक शब्दकोश व्युत्क्रम प्रमेय के विपरीत एक प्रमेय के विरोधाभास द्वारा प्रमाण को परिभाषित करता है। "विरोधाभास द्वारा प्रमाण एक प्रमेय (वाक्य) को सिद्ध करने की एक विधि है, जिसमें स्वयं प्रमेय नहीं, बल्कि इसके समकक्ष (समकक्ष), विपरीत प्रतिलोम (विपरीत से विपरीत) प्रमेय को सिद्ध करना शामिल है। जब भी प्रत्यक्ष प्रमेय को सिद्ध करना कठिन होता है, तो विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग किया जाता है, लेकिन विपरीत प्रतिलोम आसान होता है। विरोधाभास से सिद्ध होने पर, प्रमेय के निष्कर्ष को उसके निषेध से बदल दिया जाता है, और तर्क से कोई भी शर्त के निषेध पर पहुंच जाता है, अर्थात। एक विरोधाभास के लिए, इसके विपरीत (जो दिया गया है उसके विपरीत; गैरबराबरी में यह कमी प्रमेय को सिद्ध करती है।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग अक्सर गणित में किया जाता है। विरोधाभास द्वारा प्रमाण अपवर्जित मध्य के कानून पर आधारित है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि दो कथनों (कथनों) A और A (A का निषेध) में से एक सत्य है और दूसरा असत्य है।/ गणितीय शब्दों का व्याख्यात्मक शब्दकोश: शिक्षकों के लिए एक गाइड / ओ। वी। मंटुरोव [और अन्य]; ईडी। वी.ए. डिटकिना.- एम.: एनलाइटेनमेंट, 1965.- 539 पी.: बीमार.-सी.112/.

यह खुले तौर पर घोषित करना बेहतर नहीं होगा कि विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि गणितीय विधि नहीं है, हालांकि इसका उपयोग गणित में किया जाता है, कि यह एक तार्किक विधि है और तर्क से संबंधित है। क्या यह कहना वैध है कि विरोधाभास द्वारा प्रमाण "जब भी प्रत्यक्ष प्रमेय को साबित करना मुश्किल होता है" का उपयोग किया जाता है, जब वास्तव में इसका उपयोग किया जाता है, और केवल तभी, इसके लिए कोई विकल्प नहीं होता है।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों के बीच संबंध की विशेषता भी विशेष ध्यान देने योग्य है। "किसी दिए गए प्रमेय (या किसी दिए गए प्रमेय के लिए) के लिए एक उलटा प्रमेय एक प्रमेय है जिसमें शर्त निष्कर्ष है, और निष्कर्ष दिए गए प्रमेय की शर्त है। विलोम प्रमेय के संबंध में इस प्रमेय को प्रत्यक्ष प्रमेय (प्रारंभिक) कहा जाता है। साथ ही, विलोम प्रमेय का विलोम प्रमेय दिया गया प्रमेय होगा; इसलिए, प्रत्यक्ष और प्रतिलोम प्रमेय परस्पर प्रतिलोम कहलाते हैं। यदि प्रत्यक्ष (दिया गया) प्रमेय सत्य है, तो विलोम प्रमेय हमेशा सत्य नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है, तो उसके विकर्ण परस्पर लंबवत (प्रत्यक्ष प्रमेय) होते हैं। यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है - यह सत्य नहीं है, अर्थात विलोम प्रमेय सत्य नहीं है।/ गणितीय शब्दों का व्याख्यात्मक शब्दकोश: शिक्षकों के लिए एक गाइड / ओ। वी। मंटुरोव [और अन्य]; ईडी। वी। ए। डिटकिना।- एम।: ज्ञानोदय, 1965.- 539 पी .: बीमार।-सी। 261 /।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों के बीच संबंध का यह लक्षण वर्णन इस तथ्य को ध्यान में नहीं रखता है कि प्रत्यक्ष प्रमेय की स्थिति को बिना प्रमाण के दिया जाता है, ताकि इसकी शुद्धता की गारंटी न हो। व्युत्क्रम प्रमेय की स्थिति को दी गई के रूप में नहीं लिया जाता है, क्योंकि यह सिद्ध प्रत्यक्ष प्रमेय का निष्कर्ष है। प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण से इसकी सत्यता की पुष्टि होती है। प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेय की शर्तों के बीच यह आवश्यक तार्किक अंतर इस प्रश्न में निर्णायक साबित होता है कि कौन से प्रमेय विपरीत से तार्किक विधि द्वारा सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं।

आइए मान लें कि मन में एक प्रत्यक्ष प्रमेय है, जिसे सामान्य गणितीय विधि द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, लेकिन यह कठिन है। हम इसे सामान्य रूप में संक्षिप्त रूप में निम्नानुसार बनाते हैं: से लेकिनचाहिए इ . प्रतीक लेकिन प्रमेय की दी गई शर्त का मान है, जिसे बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है। प्रतीक इ सिद्ध किए जाने वाले प्रमेय का निष्कर्ष है।

हम प्रत्यक्ष प्रमेय को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करेंगे, तार्किकतरीका। तार्किक विधि एक प्रमेय को सिद्ध करती है जिसमें गणितीय नहींहालत, और तार्किकस्थिति। यह प्राप्त किया जा सकता है यदि प्रमेय की गणितीय स्थिति से लेकिनचाहिए इ , विपरीत स्थिति के साथ पूरक से लेकिनये मत करो इ .

नतीजतन, नए प्रमेय की एक तार्किक विरोधाभासी स्थिति प्राप्त हुई, जिसमें दो भाग शामिल हैं: से लेकिनचाहिए इ और से लेकिनये मत करो इ . नए प्रमेय की परिणामी स्थिति बहिष्कृत मध्य के तार्किक नियम से मेल खाती है और विरोधाभास द्वारा प्रमेय के प्रमाण से मेल खाती है।

कानून के अनुसार, विरोधाभासी स्थिति का एक हिस्सा झूठा है, दूसरा हिस्सा सच है, और तीसरे को बाहर रखा गया है। विरोधाभास द्वारा प्रमाण का अपना कार्य और लक्ष्य है कि प्रमेय की स्थिति के दो भागों में से कौन सा भाग गलत है। जैसे ही शर्त का झूठा हिस्सा निर्धारित किया जाता है, यह स्थापित किया जाएगा कि दूसरा हिस्सा सही हिस्सा है, और तीसरे को बाहर रखा गया है।

गणितीय शब्दों के व्याख्यात्मक शब्दकोश के अनुसार, "सबूत तर्क है, जिसके दौरान किसी भी कथन (निर्णय, कथन, प्रमेय) की सच्चाई या असत्यता स्थापित होती है". प्रमाण विरोधएक चर्चा है जिसके दौरान इसे स्थापित किया गया है असत्यता(बेतुकापन) निष्कर्ष का जो इस प्रकार है झूठाप्रमेय की शर्तों को सिद्ध किया जा रहा है।

दिया गया: से लेकिनचाहिए इऔर यहां ये लेकिनये मत करो इ .

सिद्ध करना: से लेकिनचाहिए इ .

प्रमाण: प्रमेय की तार्किक स्थिति में एक विरोधाभास होता है जिसके समाधान की आवश्यकता होती है। शर्त के अंतर्विरोध को इसका समाधान प्रमाण और उसके परिणाम में खोजना होगा। यदि तर्क निर्दोष और अचूक हो तो परिणाम असत्य हो जाता है। तार्किक रूप से सही तर्क के साथ गलत निष्कर्ष का कारण केवल एक विरोधाभासी स्थिति हो सकती है: से लेकिनचाहिए इ और से लेकिनये मत करो इ .

इसमें संदेह की कोई छाया नहीं है कि स्थिति का एक हिस्सा झूठा है, और दूसरा इस मामले में सच है। स्थिति के दोनों भागों की उत्पत्ति समान है, जैसा दिया गया है, मान लिया गया है, समान रूप से संभव है, समान रूप से स्वीकार्य है, आदि। तार्किक तर्क के दौरान, एक भी तार्किक विशेषता नहीं पाई गई है जो स्थिति के एक हिस्से को स्थिति से अलग करती है। अन्य। इसलिए, उसी हद तक, से लेकिनचाहिए इ और शायद से लेकिनये मत करो इ . कथन से लेकिनचाहिए इ शायद झूठा, फिर बयान से लेकिनये मत करो इ सच होगा। कथन से लेकिनये मत करो इ गलत हो सकता है, तो बयान से लेकिनचाहिए इ सच होगा।

इसलिए, प्रत्यक्ष प्रमेय को विरोधाभास विधि द्वारा सिद्ध करना असंभव है।

अब हम उसी प्रत्यक्ष प्रमेय को सामान्य गणितीय विधि से सिद्ध करेंगे।

दिया गया: लेकिन .

सिद्ध करना: से लेकिनचाहिए इ .

प्रमाण।

1. से लेकिनचाहिए बी

2. से बीचाहिए पर (पहले सिद्ध प्रमेय के अनुसार))।

3. से परचाहिए जी (पहले सिद्ध प्रमेय के अनुसार)।

4. से जीचाहिए डी (पहले सिद्ध प्रमेय के अनुसार)।

5. से डीचाहिए इ (पहले सिद्ध प्रमेय के अनुसार)।

पारगमन के नियम के आधार पर, से लेकिनचाहिए इ . प्रत्यक्ष प्रमेय सामान्य विधि से सिद्ध होता है।

माना कि सिद्ध प्रत्यक्ष प्रमेय में एक सही विलोम प्रमेय है: से इचाहिए लेकिन .

आइए इसे सामान्य से साबित करें गणितीयतरीका। प्रतिलोम प्रमेय के प्रमाण को गणितीय संक्रियाओं के एल्गोरिथम के रूप में प्रतीकात्मक रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

दिया गया: इ

सिद्ध करना: से इचाहिए लेकिन .

प्रमाण।

!. से इचाहिए डी

1. से डीचाहिए जी (पहले सिद्ध प्रतिलोम प्रमेय द्वारा)।

2. से जीचाहिए पर (पहले सिद्ध प्रतिलोम प्रमेय द्वारा)।

3. से परये मत करो बी (इसका उलट सत्य नहीं है)। इसीलिए से बीये मत करो लेकिन .

इस स्थिति में, व्युत्क्रम प्रमेय के गणितीय प्रमाण को जारी रखने का कोई मतलब नहीं है। स्थिति का कारण तार्किक है। गलत व्युत्क्रम प्रमेय को किसी भी चीज़ से बदलना असंभव है। इसलिए, इस व्युत्क्रम प्रमेय को सामान्य गणितीय विधि द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है। सारी आशा इस प्रतिलोम प्रमेय को विरोधाभास से सिद्ध करने की है।

इसे विरोधाभास से साबित करने के लिए, इसकी गणितीय स्थिति को एक तार्किक विरोधाभासी स्थिति से बदलना आवश्यक है, जिसके अर्थ में दो भाग होते हैं - असत्य और सत्य।

उलटा प्रमेयदावे: से इये मत करो लेकिन . उसकी हालत इ , जिससे निष्कर्ष निकलता है लेकिन , सामान्य गणितीय विधि द्वारा प्रत्यक्ष प्रमेय को सिद्ध करने का परिणाम है। इस शर्त को बनाए रखा जाना चाहिए और बयान के साथ पूरक होना चाहिए से इचाहिए लेकिन . जोड़ के परिणामस्वरूप, नए व्युत्क्रम प्रमेय की एक विरोधाभासी स्थिति प्राप्त होती है: से इचाहिए लेकिन और से इये मत करो लेकिन . इस पर आधारित तर्क मेंविरोधाभासी स्थिति, विलोम प्रमेय को सही द्वारा सिद्ध किया जा सकता है तार्किककेवल तर्क, और केवल, तार्किकविपरीत विधि। विरोधाभास के प्रमाण में, कोई भी गणितीय क्रिया और संचालन तार्किक लोगों के अधीन होते हैं और इसलिए उनकी गिनती नहीं होती है।

विरोधाभासी बयान के पहले भाग में से इचाहिए लेकिन स्थिति इ प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण द्वारा सिद्ध किया गया था। दूसरे भाग में से इये मत करो लेकिन स्थिति इ बिना प्रमाण के मान लिया गया और स्वीकार कर लिया गया। उनमें से एक झूठा है और दूसरा सच है। यह साबित करना आवश्यक है कि उनमें से कौन सा झूठा है।

हम सही साबित करते हैं तार्किकतर्क करते हैं और पाते हैं कि इसका परिणाम एक गलत, बेतुका निष्कर्ष है। झूठे तार्किक निष्कर्ष का कारण प्रमेय की विरोधाभासी तार्किक स्थिति है, जिसमें दो भाग होते हैं - असत्य और सत्य। झूठा हिस्सा केवल एक बयान हो सकता है से इये मत करो लेकिन , जिसमें इ बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया। यही इसे इससे अलग करता है इ बयान से इचाहिए लेकिन , जो प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण से सिद्ध होता है।

इसलिए, कथन सत्य है: से इचाहिए लेकिन , जिसे साबित करना था।

निष्कर्ष: केवल वही विलोम प्रमेय विपरीत से तार्किक विधि द्वारा सिद्ध होता है, जिसमें गणितीय विधि द्वारा प्रत्यक्ष प्रमेय सिद्ध होता है और जिसे गणितीय विधि द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

प्राप्त निष्कर्ष फ़र्मेट के महान प्रमेय के विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि के संबंध में एक असाधारण महत्व प्राप्त करता है। इसे सिद्ध करने के अधिकांश प्रयास सामान्य गणितीय पद्धति पर नहीं, बल्कि विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने की तार्किक पद्धति पर आधारित होते हैं। फ़र्मेट विल्स के महान प्रमेय का प्रमाण कोई अपवाद नहीं है।

दूसरे शब्दों में, गेरहार्ड फ्रे ने सुझाव दिया कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , सकारात्मक पूर्णांकों में समाधान है। वही समाधान हैं, फ्रे की धारणा के अनुसार, उनके समीकरण के समाधान
वाई 2 + एक्स (एक्स - ए एन) (वाई + बी एन) = 0 , जो इसके अण्डाकार वक्र द्वारा दिया गया है।

एंड्रयू विल्स ने फ्रे की इस उल्लेखनीय खोज को स्वीकार किया और इसकी मदद से गणितीयविधि ने साबित कर दिया कि यह खोज, यानी फ्रे का अण्डाकार वक्र मौजूद नहीं है। इसलिए, ऐसा कोई समीकरण और उसका समाधान नहीं है जो एक गैर-मौजूद अण्डाकार वक्र द्वारा दिया गया हो। इसलिए, विल्स को यह निष्कर्ष निकालना चाहिए था कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय और फ़र्मेट के प्रमेय का कोई समीकरण नहीं है। हालांकि, वह अधिक विनम्र निष्कर्ष लेता है कि फर्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का सकारात्मक पूर्णांक में कोई समाधान नहीं है।

यह एक निर्विवाद तथ्य हो सकता है कि विल्स ने एक धारणा को स्वीकार किया जो कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय द्वारा बताए गए अर्थ के सीधे विपरीत है। यह विल्स को फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को विरोधाभास से साबित करने के लिए बाध्य करता है। आइए उसके उदाहरण का अनुसरण करें और देखें कि इस उदाहरण से क्या होता है।

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय में कहा गया है कि समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2

विरोधाभास द्वारा प्रमाण की तार्किक विधि के अनुसार, इस कथन को संरक्षित किया जाता है, बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है, और फिर अर्थ में विपरीत कथन के साथ पूरक किया जाता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , सकारात्मक पूर्णांकों में समाधान है।

परिकल्पित कथन को भी बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है। तर्क के मूल नियमों की दृष्टि से माने जाने वाले दोनों कथन समान रूप से स्वीकार्य, अधिकारों में समान और समान रूप से संभव हैं। सही तर्क द्वारा, यह स्थापित करना आवश्यक है कि उनमें से कौन सा असत्य है, ताकि यह स्थापित किया जा सके कि दूसरा कथन सत्य है।

सही तर्क एक झूठे, बेतुके निष्कर्ष के साथ समाप्त होता है, जिसका तार्किक कारण केवल प्रमेय के सिद्ध होने की एक विरोधाभासी स्थिति हो सकती है, जिसमें सीधे विपरीत अर्थ के दो भाग होते हैं। वे बेतुके निष्कर्ष के तार्किक कारण थे, विरोधाभास द्वारा प्रमाण का परिणाम।

हालांकि, तार्किक रूप से सही तर्क के दौरान, एक भी संकेत नहीं मिला, जिससे यह स्थापित करना संभव हो सके कि कौन सा विशेष कथन गलत है। यह एक कथन हो सकता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , सकारात्मक पूर्णांकों में समाधान है। उसी आधार पर, यह कथन हो सकता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

तर्क के परिणामस्वरूप, केवल एक ही निष्कर्ष हो सकता है: फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय विरोधाभास द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है.

यह बहुत अलग बात होगी यदि फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय एक व्युत्क्रम प्रमेय थी जिसमें सामान्य गणितीय विधि द्वारा सिद्ध एक प्रत्यक्ष प्रमेय होता है। इस मामले में, यह विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। और चूंकि यह एक प्रत्यक्ष प्रमेय है, इसका प्रमाण विरोधाभास द्वारा प्रमाण की तार्किक पद्धति पर नहीं, बल्कि सामान्य गणितीय पद्धति पर आधारित होना चाहिए।

डी. अबरारोव के अनुसार, सबसे प्रसिद्ध समकालीन रूसी गणितज्ञ, शिक्षाविद वी. आई. अर्नोल्ड ने विल्स के प्रमाण "सक्रिय रूप से संदेहपूर्ण" पर प्रतिक्रिया व्यक्त की। शिक्षाविद ने कहा: "यह वास्तविक गणित नहीं है - वास्तविक गणित ज्यामितीय है और इसका भौतिकी के साथ मजबूत संबंध है।" शिक्षाविद का कथन विल्स के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के गैर-गणितीय प्रमाण के सार को व्यक्त करता है।

विरोधाभास से, यह साबित करना असंभव है कि या तो फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का कोई समाधान नहीं है, या कि इसका समाधान है। विल्स की गलती गणितीय नहीं है, बल्कि तार्किक है - विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग जहां इसका उपयोग समझ में नहीं आता है और फर्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित नहीं करता है।

न ही फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय सामान्य गणितीय पद्धति का उपयोग करके सिद्ध होती है यदि इसमें शामिल है दिया गया: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , का धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है, और यदि साबित करने के लिए आवश्यक: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है। इस रूप में, एक प्रमेय नहीं है, लेकिन अर्थ से रहित एक तनातनी है।

पाठ 2 अकादमियों के लिए बनाया गया है। घंटे।

लक्ष्य: साक्ष्य के विभिन्न तरीकों का अध्ययन (प्रत्यक्ष तर्क, "विरोधाभास द्वारा" और विपरीत तर्क की विधि), तर्क की पद्धति का वर्णन करते हुए। गणितीय प्रेरण की विधि पर विचार करें।

सैद्धांतिक सामग्री सबूत के तरीके

प्रमेयों को सिद्ध करते समय तार्किक तर्क का प्रयोग किया जाता है। कंप्यूटर विज्ञान में प्रमाण एल्गोरिदम की शुद्धता की जाँच का एक अभिन्न अंग हैं। प्रमाण की आवश्यकता तब उत्पन्न होती है जब हमें प्रपत्र (AB) के कथन की सत्यता को स्थापित करने की आवश्यकता होती है। निम्नलिखित सहित कई मानक प्रकार के साक्ष्य हैं:

प्रत्यक्ष तर्क (प्रमाण)।

हम मानते हैं कि कथन ए सत्य है और बी की वैधता दिखाता है। सबूत की यह विधि उस स्थिति को बाहर करती है जब ए सत्य है और बी झूठा है, क्योंकि यह इसमें है और केवल इस मामले में निहितार्थ (एबी) लेता है एक गलत मूल्य (तालिका देखें)।

इस प्रकार, प्रत्यक्ष प्रमाण तर्कों पर विचार करने से लेकर थीसिस को सिद्ध करने तक जाता है, अर्थात थीसिस की सच्चाई सीधे तर्कों द्वारा प्रमाणित होती है। इस प्रमाण की योजना इस प्रकार है: दिए गए तर्कों से (ए, बी, सी,...) एक सिद्ध थीसिस का अनिवार्य रूप से पालन करना चाहिए क्यू।

इस प्रकार के साक्ष्य न्यायिक अभ्यास में, विज्ञान में, विवाद में, स्कूली बच्चों के लेखन में, शिक्षक द्वारा सामग्री की प्रस्तुति में, आदि में किए जाते हैं।

उदाहरण:

1. पाठ में शिक्षक थीसिस के प्रत्यक्ष प्रमाण के साथ "लोग इतिहास के निर्माता हैं", दिखाता है; सबसे पहलेकि लोग भौतिक संपदा के निर्माता हैं, दूसरे, राजनीति में लोकप्रिय जनता की विशाल भूमिका की पुष्टि करता है, बताता है कि कैसे आधुनिक युग में लोग सक्रिय रूप से शांति और लोकतंत्र के लिए लड़ रहे हैं, तीसरे, आध्यात्मिक संस्कृति के निर्माण में अपनी महान भूमिका को प्रकट करता है।

2. रसायन विज्ञान के पाठों में, चीनी की ज्वलनशीलता का प्रत्यक्ष प्रमाण एक श्रेणीबद्ध न्यायशास्त्र के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है: सभी कार्बोहाइड्रेट दहनशील होते हैं। चीनी एक कार्बोहाइड्रेट है।चीनी ज्वलनशील होती है।

आधुनिक फैशन पत्रिका "बर्दा" में, थीसिस "ईर्ष्या सभी बुराई की जड़ है" को निम्नलिखित तर्कों के साथ प्रत्यक्ष साक्ष्य की मदद से प्रमाणित किया जाता है: "ईर्ष्या न केवल लोगों के दैनिक जीवन को जहर देती है, बल्कि इससे अधिक गंभीर परिणाम भी हो सकते हैं। इसलिए, ईर्ष्या, क्रोध और घृणा के साथ, निस्संदेह सबसे खराब चरित्र लक्षणों में से एक है। अदृश्य रूप से रेंगते हुए, ईर्ष्या दर्द और गहराई से दर्द करती है। एक व्यक्ति दूसरों की भलाई के लिए ईर्ष्या करता है, इस चेतना से पीड़ित होता है कि कोई अधिक भाग्यशाली है।

2. रिवर्स रीजनिंग(प्रमाण) . हम मानते हैं कि कथन B गलत है और A की भ्रांति को दर्शाता है। वास्तव में, हम सीधे निहितार्थ की सच्चाई की जाँच करते हैं ((B नहीं) (A नहीं)), जो तालिका के अनुसार तार्किक रूप से समतुल्य है मूल कथन (ए  बी) की सच्चाई के लिए।

3. विधि "विरोधाभास द्वारा"।

इस पद्धति का प्रयोग अक्सर गणित में किया जाता है। रहने दो ए- एक थीसिस या प्रमेय साबित करने के लिए। हम विरोधाभास से मानते हैं कि एझूठा, यानी सच नहीं(या )। धारणा से हम ऐसे परिणाम निकालते हैं जो वास्तविकता या पहले सिद्ध किए गए प्रमेयों का खंडन करते हैं। हमारे पास है
, जिसमें - असत्य, इसलिए, इसका निषेध सत्य है, अर्थात। , जो, दो-मूल्यवान शास्त्रीय तर्क के नियम के अनुसार ( →ए) देता है ए।तो यह सच है ए, जिसे साबित करना था।

स्कूल गणित पाठ्यक्रम में "विरोधाभास द्वारा" प्रमाण के बहुत सारे उदाहरण हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रमेय सिद्ध हो जाता है कि एक सीधी रेखा के बाहर स्थित एक बिंदु से इस सीधी रेखा पर केवल एक लंबवत गिराया जा सकता है। विरोधाभास से, निम्नलिखित प्रमेय भी सिद्ध होता है: "यदि दो रेखाएँ एक ही तल पर लंबवत हैं, तो वे समानांतर हैं।" इस प्रमेय का प्रमाण सीधे शब्दों से शुरू होता है: "इसके विपरीत मान लें, कि रेखाएँ अबऔर सीडीसमानांतर नहीं।"