(№ 2475) शैम्पू की एक बोतल की कीमत 200 रूबल है, बिक्री के दौरान 1000 रूबल के लिए आप कितनी बोतलें खरीद सकते हैं, जब छूट 15% है?

(नंबर 2491) एक बॉलपॉइंट पेन की कीमत 20 रूबल है। 15% की कीमत वृद्धि के बाद 700 रूबल के लिए खरीदे जा सकने वाले ऐसे पेन की सबसे बड़ी संख्या क्या है?

(नंबर 2503) नोटबुक की कीमत 40 रूबल है। कीमत में 15% की कमी के बाद 550 रूबल के लिए खरीदी जा सकने वाली ऐसी नोटबुक की सबसे बड़ी संख्या क्या है?

(नंबर 2513) स्टोर 100 रूबल प्रति पीस के थोक मूल्य पर फूल के बर्तन खरीदता है। ट्रेडिंग मार्जिन 15% है। 1300 रूबल के लिए आप इस स्टोर में ऐसे बर्तनों की सबसे बड़ी संख्या क्या खरीद सकते हैं?

(नंबर 2595) एक वयस्क के लिए ट्रेन टिकट की कीमत 550 रूबल है। एक छात्र के लिए टिकट की कीमत एक वयस्क के लिए टिकट की कीमत का 50% है। समूह में 18 छात्र और 4 वयस्क शामिल हैं। पूरे समूह के लिए टिकट कितने हैं?

(नंबर 2601) एक इलेक्ट्रिक केतली की कीमत में 21% की वृद्धि की गई और इसकी राशि 3,025 रूबल थी। मूल्य वृद्धि से पहले उत्पाद का मूल्य कितना था?

(नंबर 2617) टी-शर्ट की कीमत 800 रूबल है। कीमत कम करने के बाद, इसकी कीमत 680 रूबल होने लगी। टी-शर्ट के मूल्य में कितने प्रतिशत की कमी की गई?

(नंबर 6193) सिटी एन में 250,000 निवासी हैं। इनमें 15% बच्चे और किशोर हैं। वयस्कों में, 35% काम नहीं करते (पेंशनभोगी, गृहिणियां, बेरोजगार)। कितने वयस्क काम कर रहे हैं?

(नंबर 6235) ग्राहक ने बैंक से 3000 रूबल का ऋण लिया। प्रति वर्ष 12% पर। उसे हर महीने उतनी ही राशि बैंक में जमा करके ऋण चुकाना होगा, ताकि एक वर्ष में वह ब्याज सहित ऋण पर ली गई पूरी राशि का भुगतान कर सके। उसे हर महीने बैंक को कितना भुगतान करना पड़ता है?

(नंबर 24285) आयकर वेतन का 13% है। आयकर वापस लेने के बाद, मारिया कोन्स्टेंटिनोव्ना को 13,050 रूबल मिले। मारिया कोंस्टेंटिनोव्ना का वेतन कितने रूबल है?

(नंबर 24261) आयकर वेतन का 13% है। इवान कुज़्मिच का वेतन 14,500 रूबल है। आयकर में कटौती के बाद उसे कितने रूबल मिलेंगे?

(नंबर 2587) पाठ्यपुस्तक का थोक मूल्य 170 रूबल है। खुदरा मूल्य थोक मूल्य से 20% अधिक है। 7,000 रूबल के खुदरा मूल्य पर खरीदी जा सकने वाली ऐसी पाठ्यपुस्तकों की सबसे बड़ी संख्या क्या है?

परिमेय संख्याओं का विषय काफी व्यापक है। आप इसके बारे में अंतहीन बात कर सकते हैं और हर बार नए चिप्स से आश्चर्यचकित होकर पूरी रचनाएँ लिख सकते हैं।

भविष्य में गलतियों से बचने के लिए, इस पाठ में हम परिमेय संख्याओं के विषय में थोड़ा तल्लीन करेंगे, इससे आवश्यक जानकारी प्राप्त करेंगे और आगे बढ़ेंगे।

पाठ सामग्री

एक परिमेय संख्या क्या है

एक परिमेय संख्या एक संख्या है जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ ए -एक भिन्न का अंश है बीभिन्न का भाजक है। और बीशून्य नहीं होना चाहिए, क्योंकि शून्य से विभाजन की अनुमति नहीं है।

परिमेय संख्याओं में संख्याओं की निम्नलिखित श्रेणियां शामिल हैं:

• पूर्णांक (उदाहरण के लिए -2, -1, 0 1, 2, आदि)

• दशमलव अंश (उदाहरण के लिए 0.2 आदि)

• अनंत आवर्त भिन्न (उदाहरण के लिए, 0, (3), आदि)

इस श्रेणी की प्रत्येक संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण 1पूर्णांक 2 को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। तो संख्या 2 न केवल पूर्णांकों पर लागू होती है, बल्कि परिमेय संख्याओं पर भी लागू होती है।

उदाहरण 2मिश्रित संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह भिन्न मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में परिवर्तित करके प्राप्त की जाती है।

अतः मिश्रित संख्या एक परिमेय संख्या होती है।

उदाहरण 3दशमलव 0.2 को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह भिन्न दशमलव भिन्न 0.2 को साधारण भिन्न में परिवर्तित करके प्राप्त किया गया था। यदि आपको इस समय कठिनाई हो रही है, तो विषय को दोहराएं।

चूँकि दशमलव भिन्न 0.2 को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसका अर्थ है कि यह परिमेय संख्याओं पर भी लागू होता है।

उदाहरण 4अनंत आवर्त भिन्न 0, (3) को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह भिन्न एक शुद्ध आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न में परिवर्तित करके प्राप्त की जाती है। यदि आपको इस समय कठिनाई हो रही है, तो विषय को दोहराएं।

चूँकि अनंत आवर्त भिन्न 0, (3) को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसका अर्थ है कि यह भी परिमेय संख्याओं से संबंधित है।

भविष्य में, सभी संख्याएँ जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, हम उत्तरोत्तर एक वाक्यांश कहेंगे - परिमेय संख्या.

निर्देशांक रेखा पर परिमेय संख्याएं

जब हमने ऋणात्मक संख्याओं का अध्ययन किया तो हमने निर्देशांक रेखा पर विचार किया। याद रखें कि यह एक सीधी रेखा है जिस पर कई बिंदु स्थित हैं। निम्नलिखित नुसार:

यह आंकड़ा -5 से 5 तक समन्वय रेखा का एक छोटा सा टुकड़ा दिखाता है।

निर्देशांक रेखा पर प्रपत्र 2, 0, -3 के पूर्णांकों को अंकित करना कठिन नहीं है।

बाकी संख्याओं के साथ चीजें बहुत अधिक दिलचस्प हैं: साधारण अंशों, मिश्रित संख्याओं, दशमलव अंशों आदि के साथ। ये संख्याएँ पूर्णांकों के बीच में होती हैं और इनमें से अपरिमित रूप से अनेक संख्याएँ होती हैं।

उदाहरण के लिए, आइए निर्देशांक रेखा पर एक परिमेय संख्या अंकित करें। यह संख्या बिल्कुल शून्य और एक के बीच है।

आइए यह समझने की कोशिश करें कि भिन्न अचानक शून्य और एक के बीच क्यों स्थित होता है।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, पूर्णांकों के बीच अन्य संख्याएँ होती हैं - साधारण भिन्न, दशमलव भिन्न, मिश्रित संख्याएँ, आदि। उदाहरण के लिए, यदि आप निर्देशांक रेखा के खंड को 0 से बढ़ाकर 1 कर देते हैं, तो आप निम्न चित्र देख सकते हैं

यह देखा जा सकता है कि पूर्णांक 0 और 1 के बीच पहले से ही अन्य परिमेय संख्याएँ हैं, जो दशमलव भिन्न हैं जिनसे हम परिचित हैं। यहाँ हमारा भिन्न भी दिखाई देता है, जो दशमलव भिन्न 0.5 के समान स्थान पर स्थित होता है। इस आकृति की सावधानीपूर्वक जांच इस प्रश्न का उत्तर देती है कि भिन्न ठीक वहीं स्थित क्यों है।

भिन्न का अर्थ है 1 को 2 से भाग देना। और यदि हम 1 को 2 से भाग दें, तो हमें 0.5 . प्राप्त होता है

दशमलव अंश 0.5 को अन्य भिन्नों के रूप में प्रच्छन्न किया जा सकता है। किसी भिन्न के मूल गुण से हम जानते हैं कि यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा।

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को किसी संख्या से गुणा किया जाए, उदाहरण के लिए संख्या 4 से, तो हमें एक नई भिन्न प्राप्त होती है, और यह भिन्न भी 0.5 के बराबर होती है।

इसका अर्थ है कि निर्देशांक रेखा पर भिन्न को उसी स्थान पर रखा जा सकता है जहाँ भिन्न स्थित था

उदाहरण 2आइए निर्देशांक पर एक परिमेय संख्या अंकित करने का प्रयास करें। यह संख्या 1 और 2 . के ठीक बीच में स्थित है

भिन्न का मान 1.5 . है

यदि हम निर्देशांक रेखा के खंड को 1 से बढ़ाकर 2 कर दें, तो हमें निम्न चित्र दिखाई देगा:

यह देखा जा सकता है कि पूर्णांक 1 और 2 के बीच पहले से ही अन्य परिमेय संख्याएँ हैं, जो दशमलव भिन्न हैं जिनसे हम परिचित हैं। यहाँ हमारा भिन्न भी दिखाई देता है, जो दशमलव भिन्न 1.5 के समान स्थान पर स्थित होता है।

इस खंड पर शेष संख्याओं को देखने के लिए हमने समन्वय रेखा पर कुछ खंडों को बढ़ाया है। नतीजतन, हमें दशमलव अंश मिले जिनमें दशमलव बिंदु के बाद एक अंक था।

लेकिन इन खंडों पर पड़े ये एकमात्र नंबर नहीं थे। निर्देशांक रेखा पर अपरिमित रूप से बहुत सी संख्याएँ होती हैं।

यह अनुमान लगाना आसान है कि दशमलव बिंदु के बाद एक अंक वाले दशमलव अंशों के बीच पहले से ही अन्य दशमलव अंश हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद दो अंक हैं। दूसरे शब्दों में, एक खंड का सौवां हिस्सा।

उदाहरण के लिए, आइए दशमलव भिन्नों 0.1 और 0.2 . के बीच स्थित संख्याओं को देखने का प्रयास करें

एक और उदाहरण। दशमलव बिंदु के बाद दो अंक वाले और शून्य और परिमेय संख्या 0.1 के बीच स्थित दशमलव इस तरह दिखते हैं:

उदाहरण 3हम निर्देशांक रेखा पर एक परिमेय संख्या अंकित करते हैं। यह परिमेय संख्या शून्य के बहुत करीब होगी।

भिन्न का मान 0.02 . है

यदि हम खंड को 0 से बढ़ाकर 0.1 कर दें, तो हम देखेंगे कि वास्तव में परिमेय संख्या कहाँ स्थित है

यह देखा जा सकता है कि हमारी परिमेय संख्या दशमलव भिन्न 0.02 के स्थान पर स्थित है।

उदाहरण 4आइए निर्देशांक रेखा पर एक परिमेय संख्या 0 अंकित करें, (3)

परिमेय संख्या 0, (3) एक अनंत आवर्त भिन्न है। इसका भिन्नात्मक भाग कभी समाप्त नहीं होता, यह अनंत है

और चूंकि संख्या 0, (3) में एक अनंत भिन्नात्मक भाग होता है, इसका मतलब है कि हम निर्देशांक रेखा पर सटीक स्थान नहीं खोज पाएंगे जहाँ यह संख्या स्थित है। हम केवल इस स्थान को लगभग इंगित कर सकते हैं।

परिमेय संख्या 0.33333... सामान्य दशमलव 0.3 . के बहुत करीब होगी

यह आंकड़ा 0,(3) की सही स्थिति नहीं दिखाता है। यह सिर्फ एक उदाहरण है जो दर्शाता है कि आवधिक भिन्न 0.(3) नियमित दशमलव 0.3 के कितना करीब हो सकता है।

उदाहरण 5हम निर्देशांक रेखा पर एक परिमेय संख्या अंकित करते हैं। यह परिमेय संख्या संख्या 2 और 3 . के मध्य में स्थित होगी

यह 2 (दो पूर्णांक) और (एक सेकंड) है। एक अंश को "आधा" भी कहा जाता है। इसलिए, हमने समन्वय रेखा पर दो पूरे खंड और खंड के दूसरे आधे हिस्से को चिह्नित किया।

यदि हम एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न में अनुवाद करते हैं, तो हमें एक साधारण भिन्न प्राप्त होती है। निर्देशांक रेखा पर यह भिन्न भिन्न के समान स्थान पर स्थित होगी

भिन्न का मान 2.5 . है

यदि हम निर्देशांक रेखा के खंड को 2 से बढ़ाकर 3 कर दें, तो हमें निम्न चित्र दिखाई देगा:

यह देखा जा सकता है कि हमारी परिमेय संख्या दशमलव भिन्न 2.5 . के स्थान पर स्थित है

एक परिमेय संख्या से पहले माइनस

पिछले पाठ में, जिसे कहा गया था, हमने सीखा कि पूर्णांकों को कैसे विभाजित किया जाता है। लाभांश और भाजक धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ हो सकती हैं।

सबसे सरल अभिव्यक्ति पर विचार करें

(−6) : 2 = −3

इस व्यंजक में, लाभांश (−6) एक ऋणात्मक संख्या है।

अब दूसरी अभिव्यक्ति पर विचार करें

6: (−2) = −3

यहाँ भाजक (−2) पहले से ही एक ऋणात्मक संख्या है। लेकिन दोनों ही स्थितियों में हमें एक ही उत्तर-3 मिलता है।

यह देखते हुए कि किसी भी भाग को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, हम ऊपर वर्णित उदाहरणों को भिन्न के रूप में भी लिख सकते हैं:

और चूँकि दोनों ही स्थितियों में भिन्न का मान समान होता है, अंश या हर में खड़े होने वाले ऋण को भिन्न के सामने रखकर सामान्य बनाया जा सकता है

इसलिए, व्यंजकों और और के बीच आप एक समान चिह्न लगा सकते हैं, क्योंकि उनका मान समान होता है

भविष्य में, भिन्नों के साथ कार्य करते हुए, यदि हम अंश या हर में ऋणात्मक पाते हैं, तो हम भिन्न के सामने रखकर इस ऋण को सामान्य बना देंगे।

परिमेय संख्याओं के विपरीत

एक पूर्णांक की तरह, एक परिमेय संख्या की विपरीत संख्या होती है।

उदाहरण के लिए, एक परिमेय संख्या के लिए, विपरीत संख्या है। यह मूल के सापेक्ष स्थान के सममित रूप से समन्वय रेखा पर स्थित है। दूसरे शब्दों में, ये दोनों संख्याएँ मूल से समान दूरी पर हैं

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें

हम जानते हैं कि मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने के लिए, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग के हर से गुणा करना होगा और भिन्नात्मक भाग के अंश में जोड़ना होगा। परिणामी संख्या नई भिन्न का अंश होगी, जबकि हर वही रहेगा।

उदाहरण के लिए, आइए मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलें

भिन्नात्मक भाग के हर से पूर्णांक भाग को गुणा करें और भिन्नात्मक भाग का अंश जोड़ें:

आइए इस अभिव्यक्ति की गणना करें:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

परिणामी संख्या 5 नई भिन्न का अंश होगी, और हर वही रहेगा:

पूरी प्रक्रिया इस प्रकार लिखी गई है:

मूल मिश्रित संख्या को वापस करने के लिए, अंश में पूर्णांक भाग का चयन करना पर्याप्त है

लेकिन मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने का यह तरीका केवल तभी लागू होता है जब मिश्रित संख्या धनात्मक हो। ऋणात्मक संख्या के लिए, यह विधि काम नहीं करेगी।

आइए एक अंश पर विचार करें। आइए इस भिन्न का पूर्णांक भाग लें। पाना

मूल भिन्न को वापस करने के लिए, आपको मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलना होगा। लेकिन अगर हम पुराने नियम का उपयोग करते हैं, अर्थात्, हम पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग के हर से गुणा करते हैं और भिन्नात्मक भाग के अंश को परिणामी संख्या में जोड़ते हैं, तो हमें निम्नलिखित विरोधाभास मिलता है:

हमें एक अंश मिला, लेकिन हमें एक अंश मिलना चाहिए था।

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि मिश्रित संख्या का गलत तरीके से अनुचित अंश में अनुवाद किया गया था:

एक नकारात्मक मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश में सही ढंग से अनुवाद करने के लिए, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग के हर से गुणा करना होगा, और परिणामी संख्या से घटानाभिन्नात्मक अंश। इस मामले में, सब कुछ ठीक हो जाएगा

एक ऋणात्मक मिश्रित संख्या मिश्रित संख्या के विपरीत होती है। यदि धनात्मक मिश्रित संख्या दाईं ओर स्थित है और इस तरह दिखती है

इस लेख में, हम अध्ययन करना शुरू करेंगे परिमेय संख्या. यहां हम परिमेय संख्याओं की परिभाषा देते हैं, आवश्यक स्पष्टीकरण देते हैं और परिमेय संख्याओं के उदाहरण देते हैं। उसके बाद, हम इस बात पर ध्यान देंगे कि यह कैसे निर्धारित किया जाए कि दी गई संख्या परिमेय है या नहीं।

पृष्ठ नेविगेशन।

परिमेय संख्याओं की परिभाषा और उदाहरण

इस उपभाग में हम परिमेय संख्याओं की कई परिभाषाएँ देते हैं। शब्दों में अंतर के बावजूद, इन सभी परिभाषाओं का एक ही अर्थ है: परिमेय संख्याएं पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याओं को जोड़ती हैं, जैसे पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं, उनकी विपरीत संख्याओं और संख्या शून्य को जोड़ते हैं। दूसरे शब्दों में, परिमेय संख्याएँ पूर्ण और भिन्नात्मक संख्याओं का सामान्यीकरण करती हैं।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं परिमेय संख्याओं की परिभाषाजिसे सबसे स्वाभाविक माना जाता है।

ध्वनि की परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि एक परिमेय संख्या है:

• कोई भी प्राकृत संख्या n. वास्तव में, किसी भी प्राकृत संख्या को एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 3=3/1।
• कोई भी पूर्णांक, विशेष रूप से संख्या शून्य। दरअसल, किसी भी पूर्णांक को या तो एक सकारात्मक सामान्य अंश के रूप में, या एक नकारात्मक सामान्य अंश के रूप में, या शून्य के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 26=26/1 , .
• कोई भी साधारण अंश (सकारात्मक या नकारात्मक)। यह परिमेय संख्याओं की दी गई परिभाषा द्वारा सीधे तौर पर कहा गया है।
• कोई भी मिश्रित संख्या। वास्तव में, एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित सामान्य भिन्न के रूप में निरूपित करना हमेशा संभव होता है। उदाहरण के लिए, और।
• कोई भी परिमित दशमलव या अनंत आवर्त भिन्न। ऐसा इसलिए है क्योंकि निर्दिष्ट दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, , और 0,(3)=1/3 ।

यह भी स्पष्ट है कि कोई भी अनंत गैर-दोहराव वाला दशमलव एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि इसे एक सामान्य भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

अब हम आसानी से ला सकते हैं परिमेय संख्याओं के उदाहरण. संख्याएँ 4, 903, 100,321 परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि वे प्राकृत संख्याएँ हैं। पूर्णांक 58 , −72 , 0 , −833 333 333 भी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं। साधारण भिन्न 4/9, 99/3 भी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं। परिमेय संख्याएँ भी संख्याएँ होती हैं।

उपरोक्त उदाहरणों से पता चलता है कि धनात्मक और ऋणात्मक दोनों परिमेय संख्याएँ हैं, और परिमेय संख्या शून्य न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।

परिमेय संख्याओं की उपरोक्त परिभाषा को संक्षिप्त रूप में तैयार किया जा सकता है।

परिभाषा।

परिमेय संख्याकॉल संख्याएँ जिन्हें भिन्न z/n के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ z एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है।

आइए हम सिद्ध करें कि परिमेय संख्याओं की यह परिभाषा पिछली परिभाषा के समतुल्य है। हम जानते हैं कि हम भिन्न के दंड को भाग का चिह्न मान सकते हैं, फिर पूर्णांकों को विभाजित करने के गुणों और पूर्णांकों को विभाजित करने के नियमों से निम्नलिखित समानताएँ अनुसरण करती हैं और . इस प्रकार, जो प्रमाण है।

हम इस परिभाषा के आधार पर परिमेय संख्याओं के उदाहरण देते हैं। संख्याएँ −5 , 0 , 3 , और परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि उन्हें एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक हर के साथ भिन्न के रूप में और क्रमशः लिखा जा सकता है।

निम्नलिखित सूत्रीकरण में परिमेय संख्याओं की परिभाषा भी दी जा सकती है।

परिभाषा।

परिमेय संख्यावे संख्याएँ हैं जिन्हें एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है।

यह परिभाषा भी पहली परिभाषा के बराबर है, क्योंकि कोई भी साधारण अंश एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश से मेल खाता है और इसके विपरीत, और किसी भी पूर्णांक को दशमलव बिंदु के बाद शून्य के साथ दशमलव अंश से जोड़ा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5 , 0 , -13 , परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं क्योंकि इन्हें निम्न दशमलव 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 और −7,(18) के रूप में लिखा जा सकता है।

हम इस खंड के सिद्धांत को निम्नलिखित कथनों के साथ समाप्त करते हैं:

• पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ (धनात्मक और ऋणात्मक) परिमेय संख्याओं का समुच्चय बनाती हैं;
• प्रत्येक परिमेय संख्या को एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक हर के साथ भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, और ऐसा प्रत्येक भिन्न कुछ परिमेय संख्या है;
• प्रत्येक परिमेय संख्या को एक परिमित या अनंत आवर्त दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, और ऐसा प्रत्येक भिन्न कुछ परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

क्या यह संख्या तर्कसंगत है?

पिछले पैराग्राफ में, हमने पाया कि कोई भी प्राकृतिक संख्या, कोई पूर्णांक, कोई साधारण अंश, कोई मिश्रित संख्या, कोई अंतिम दशमलव अंश, और कोई भी आवधिक दशमलव अंश एक परिमेय संख्या है। यह ज्ञान हमें लिखित संख्याओं के समुच्चय से परिमेय संख्याओं को "पहचानने" की अनुमति देता है।

लेकिन क्या होगा यदि संख्या कुछ के रूप में दी गई है, या के रूप में, आदि, प्रश्न का उत्तर कैसे दिया जाए, क्या दी गई संख्या तर्कसंगत है? कई मामलों में इसका जवाब देना बहुत मुश्किल होता है। आइए हम विचार के पाठ्यक्रम के लिए कुछ दिशाओं की ओर संकेत करें।

यदि किसी संख्या को एक संख्यात्मक व्यंजक के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है जिसमें केवल परिमेय संख्याएँ और अंकगणितीय चिह्न (+, -, · और:) होते हैं, तो इस व्यंजक का मान एक परिमेय संख्या है। यह इस प्रकार है कि कैसे परिमेय संख्याओं पर संक्रियाओं को परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक में सभी संक्रियाओं को करने के बाद, हमें एक परिमेय संख्या 18 प्राप्त होती है।

कभी-कभी, व्यंजकों के सरलीकरण और अधिक जटिल रूप के बाद, यह निर्धारित करना संभव हो जाता है कि दी गई संख्या परिमेय है या नहीं।

चलिए और आगे बढ़ते हैं। संख्या 2 एक परिमेय संख्या है, क्योंकि कोई भी प्राकृत संख्या परिमेय होती है। संख्या के बारे में क्या? क्या यह तर्कसंगत है? यह पता चला है कि नहीं, यह एक परिमेय संख्या नहीं है, यह एक अपरिमेय संख्या है (विरोधाभास द्वारा इस तथ्य का प्रमाण कक्षा 8 के लिए बीजगणित पर पाठ्यपुस्तक में दिया गया है, जो संदर्भों की सूची में नीचे दर्शाया गया है)। यह भी सिद्ध होता है कि किसी प्राकृत संख्या का वर्गमूल एक परिमेय संख्या होती है, केवल उन्हीं स्थितियों में जब मूल के नीचे कोई संख्या होती है जो किसी प्राकृत संख्या का पूर्ण वर्ग होती है। उदाहरण के लिए, और परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि 81=9 2 और 1 024=32 2 , और संख्याएँ और परिमेय नहीं हैं, क्योंकि संख्याएँ 7 और 199 प्राकृतिक संख्याओं के पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

संख्या तर्कसंगत है या नहीं? इस मामले में, यह देखना आसान है कि, इसलिए, यह संख्या परिमेय है। क्या संख्या तर्कसंगत है? यह सिद्ध होता है कि किसी पूर्णांक का kवाँ मूल एक परिमेय संख्या तभी होती है जब मूल चिह्न के नीचे की संख्या किसी पूर्णांक की kth घात हो। इसलिए, यह एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसकी पाँचवीं घात 121 हो।

विरोधाभास विधि हमें यह साबित करने की अनुमति देती है कि कुछ संख्याओं के लघुगणक किसी कारण से परिमेय संख्याएँ नहीं हैं। उदाहरण के लिए, आइए सिद्ध करें कि - एक परिमेय संख्या नहीं है।

इसके विपरीत मान लीजिए, मान लीजिए कि यह एक परिमेय संख्या है और इसे एक साधारण भिन्न m/n के रूप में लिखा जा सकता है। फिर और निम्नलिखित समानताएँ दें: . अंतिम समानता असंभव है, क्योंकि इसके बाईं ओर है विषम संख्या 5 n , और दाईं ओर एक सम संख्या 2 m है। इसलिए, हमारी धारणा गलत है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या नहीं है।

अंत में, यह जोर देने योग्य है कि संख्याओं की तर्कसंगतता या अपरिमेयता को स्पष्ट करते समय, अचानक निष्कर्ष से बचना चाहिए।

उदाहरण के लिए, किसी को तुरंत यह दावा नहीं करना चाहिए कि अपरिमेय संख्याओं और e का गुणनफल एक अपरिमेय संख्या है, यह "जैसे कि स्पष्ट" है, लेकिन सिद्ध नहीं है। यह प्रश्न उठाता है: "उत्पाद एक परिमेय संख्या क्यों होगी"? और क्यों नहीं, क्योंकि आप अपरिमेय संख्याओं का उदाहरण दे सकते हैं, जिसका गुणनफल एक परिमेय संख्या देता है:।

यह भी अज्ञात है कि संख्याएँ और कई अन्य संख्याएँ परिमेय हैं या नहीं। उदाहरण के लिए, ऐसी अपरिमेय संख्याएँ हैं जिनकी अपरिमेय घात एक परिमेय संख्या है। उदाहरण के लिए, हम रूप की डिग्री प्रस्तुत करते हैं, इस डिग्री का आधार और घातांक परिमेय संख्या नहीं हैं, लेकिन, और 3 एक परिमेय संख्या है।

ग्रंथ सूची।

• गणित।ग्रेड 6: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान / [एन. हां। विलेनकिन और अन्य]। - 22वां संस्करण, रेव. - एम .: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-00897-2।
• बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता।- एम।; उच्चतर स्कूल, 1984.-351 पी।, बीमार।

भाषण: भिन्न, प्रतिशत, परिमेय संख्याएं

परिमेय संख्यावे हैं जिन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

तो वैसे भी अंश क्या हैं?

अंश- एक संख्या जो एक निश्चित संख्या के भागों को दर्शाती है, अर्थात इकाइयाँ।

भिन्न दशमलव और साधारण हो सकते हैं। एक गणितीय ऑपरेशन के रूप में, अंश- यह विभाजन के अलावा और कुछ नहीं है। प्रत्येक अंश . से बना होता है मीटर(विभाज्य), जो सबसे ऊपर है, भाजक(भाजक), जो सबसे नीचे है, और एक अंश की रेखा, जो सीधे विभाजन कार्य करता है। एक भिन्न का हर दिखाता है कि एक पूरे को कितने बराबर भागों में बांटा गया है। अंश दिखाता है कि पूरे के कितने बराबर भाग लिए गए हैं।

एक भिन्न को मिश्रित किया जा सकता है, अर्थात इसमें भिन्नात्मक और पूर्णांक दोनों भाग हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, 1; 5,03.

एक साधारण अंश में एक मनमाना अंश और हर हो सकता है।

उदाहरण के लिए, 1/5, 4/7, 7/11, आदि।

हर में दशमलव में हमेशा 10, 100, 1000, 10000 आदि अंक होते हैं।

उदाहरण के लिए, 1/10 = 0.1; 6/100 = 0.06 आदि।

आप भिन्नों पर वही गणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं जो पूर्णांकों पर होती हैं:

1. भिन्नों का जोड़ और घटाव

इन भिन्नों के लिए, वह सबसे छोटी संख्या जो एक और दूसरे हर से विभाज्य हो, वह संख्या 30 है।

दोनों भिन्नों को 30 के हर में लाने के लिए, आपको एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजने की आवश्यकता है। पहली भिन्न में हर 30 प्राप्त करने के लिए, इसे 6 से गुणा किया जाना चाहिए। दूसरी भिन्न में हर 30 प्राप्त करने के लिए, इसे 5 से गुणा किया जाना चाहिए, ताकि भिन्न का मान न बदले, हम दोनों अंश को गुणा करते हैं। और इन नंबरों से भाजक। इसके परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

समान हर वाली संख्याओं को जोड़ने या घटाने के लिए, हर को 30 पर छोड़ दें और अंशों को जोड़ें:

2. भिन्नों का गुणन

दो भिन्नों को गुणा करते समय, उनके अंशों को गुणा करें, फिर हरों को गुणा करें और परिणाम लिखें:

3. भिन्नों का विभाजन

दो भिन्नों को विभाजित करते समय, आपको दूसरी भिन्न को पलटना होगा और गुणन क्रिया करनी होगी:

4. भिन्नों को कम करना

यदि अंश और हर किसी समान संख्या के गुणज हैं, तो अंश और हर दोनों को किसी दी गई संख्या से विभाजित करके ऐसे अंश को कम किया जा सकता है।

मूल भिन्न में अंश और हर दोनों 3 से विभाज्य हैं, इसलिए उस संख्या से पूर्ण भिन्न को घटाया जा सकता है।

5. भिन्नों की तुलना

भिन्नों की तुलना करते समय, आपको कई नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है:

- यदि उन भिन्नों की तुलना की जाती है जिनका हर समान लेकिन भिन्न अंश होता है, तो बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होगी। यही है, यह तुलना अंशों की तुलना में कम हो जाती है।

- यदि भिन्नों का अंश एक ही है, लेकिन हर भिन्न है, तो हर की तुलना की जानी चाहिए। वह भिन्न बड़ा होगा, जिसका हर कम होगा।

- यदि भिन्नों के अलग-अलग अंश और हर होते हैं, तो उन्हें एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए।

उभयनिष्ठ हर 42 है, इसलिए, पहली भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 7 है और दूसरी भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 6 है। हमें प्राप्त होता है:

अब तुलना पहले नियम पर आती है। बड़ा अंश बड़ा भाजक वाला होता है:

रुचि

कोई भी संख्या जो किसी पूर्णांक का सौवां भाग हो, एक कहलाती है। प्रतिशत.

1% = 1/100 = 0,01.

एक अंश को प्रतिशत अंकन में बदलने के लिए, इसे दशमलव अंश में परिवर्तित किया जाना चाहिए, और फिर 100% से गुणा किया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए,

ब्याज का उपयोग तीन मुख्य मामलों में किया जाता है:

1. यदि आपको किसी संख्या का कुछ प्रतिशत ज्ञात करना है।कल्पना कीजिए कि आपको हर महीने अपने माता-पिता के वेतन का 10% मिलता है। हालाँकि, यदि आप गणित नहीं जानते हैं, तो आप यह गणना नहीं कर पाएंगे कि आपकी मासिक आय क्या होगी। तो, यह करना काफी आसान है।

कल्पना कीजिए कि आपके माता-पिता को प्रति माह 100,000 रूबल मिलते हैं। आपको मासिक प्राप्त होने वाली राशि का पता लगाने के लिए, आपको अपने माता-पिता की आय को 100 से विभाजित करने और 10% से गुणा करने की आवश्यकता है, जो आपको प्राप्त होनी चाहिए:

100000: 100 * 10 = 10000 (रूबल)।

2. यदि आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि आपके माता-पिता को मासिक कितना मिलता है, यदि आप जानते हैं कि वे आपको 6,000 रूबल देते हैं, और यह बदले में, 3% है, तो ब्याज के साथ इस क्रिया को इसके प्रतिशत से संख्या खोजना कहा जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको प्राप्त राशि को 100 से गुणा करना होगा और अपनी रुचि से विभाजित करना होगा:

6000 * 100: 3 = 200000 (रूबल)।

3. यदि आप दिन में 1 लीटर पानी पीते हैं, और उदाहरण के लिए, आपको 2 लीटर पानी पीने की आवश्यकता है, तो आप आसानी से कितने प्रतिशत पानी पीते हैं, इसका मूल्य ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, 1 लीटर को 2 लीटर से विभाजित करें और 100% से गुणा करें।

1: 2 * 100% = 50%.

प्रतिलिपि

2 मुख्य लहर 2013 मध्य यूराल साइबेरिया पूर्व: अंश प्रतिशत तर्कसंगत संख्या सिद्धांत: तर्कसंगत संख्याओं का सेट 1 1 ~ एचओडी जीई एन जेड मुख्य संपत्ति 0 0. अनुपात दो अनुपातों की समानता है। संपत्ति: सीधे आनुपातिक निर्भरता की परिणाम योजना। मुख्य गुण 1. आदेश: 0; 0; अतिरिक्त संचालन: ; एचओके 3. गुणा और भाग का संचालन: 4. क्रम संबंध की ट्रांजिटिविटी: 5. कम्यूटेटिविटी: 6. सहयोगीता: 7. वितरण: 8. शून्य की उपस्थिति: विपरीत संख्याओं की उपस्थिति: एक की उपस्थिति: पारस्परिक संख्याओं की उपस्थिति: आर आर। 12. अतिरिक्त संचालन के साथ आदेश संबंध का संबंध। एक ही परिमेय संख्या को एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में जोड़ा जा सकता है। 2 बी1

3 13. गुणन के संचालन के साथ क्रम संबंध का संबंध। एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को उसी धनात्मक परिमेय संख्या से गुणा किया जा सकता है जो आर्किमिडीज़ का अभिगृहीत है। परिमेय संख्या जो भी हो, आप इतनी इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग a से अधिक हो जाए। N k समान चिन्ह की परिमेय असमानताओं को पद दर पद जोड़ा जा सकता है। किसी भी परिमेय भिन्न को हर के अंश को एक कॉलम में विभाजित करके उसके बराबर दशमलव में बदला जा सकता है। 1 शेष शून्य के बराबर हो सकता है और भागफल को एक परिमित दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किया जाएगा, उदाहरण के लिए 3: 4 = शेष में शून्य कभी भी काम नहीं करेगा, क्योंकि शेष अनिश्चित काल तक दोहराएगा और भागफल को अनंत आवधिक के रूप में व्यक्त किया जाएगा दशमलव अंश। उदाहरण के लिए 2:3=0666 =06 7:13= = :15=21333 = ? रुचि। किसी संख्या के सौवें भाग को उसका प्रतिशत कहते हैं। प्रतिशत के लिए तीन प्रकार के कार्य ए 100% 1. दी गई संख्या ए पी% x का प्रतिशत ढूँढना। x p% 100% संख्या "ए" का पी% खोजने के लिए आपको "ए" ए का 1% खोजने की जरूरत है: 100% और पी% से गुणा करें। 2. वांछित संख्या के प्रतिशत के रूप में किसी अन्य संख्या द्वारा एक संख्या और उसके मान का पता लगाना। x 100% 100% x. p% p% दिए गए मान "a" से किसी संख्या को खोजने के लिए इसका p% आपको दिए गए मान "a" को p% से विभाजित करके वांछित संख्या का 1% खोजने की आवश्यकता है और परिणाम को 100% A से गुणा करें 100% 3 संख्याओं का प्रतिशत ज्ञात करना। 100% x% x% ए हमें संख्या "ए" और संख्या "ए" के अनुपात को खोजने और 100% से गुणा करने की आवश्यकता है। 3

4 केंद्र विकल्प 1;8। दवा की एक गोली का वजन 70 मिलीग्राम होता है और इसमें 4% सक्रिय पदार्थ होता है। 6 महीने से कम उम्र के बच्चे के लिए, डॉक्टर 5 महीने की उम्र के लिए 105 मिलीग्राम सक्रिय पदार्थ और दिन में 8 किलो वजन निर्धारित करता है? विकल्प 2. दवा की एक गोली का वजन 20 मिलीग्राम होता है और इसमें 5% सक्रिय पदार्थ होता है। 6 महीने से कम उम्र के बच्चे के लिए, डॉक्टर तीन महीने की उम्र के लिए 04 मिलीग्राम सक्रिय पदार्थ और दिन के दौरान 5 किलो वजन निर्धारित करता है? विकल्प 3. दवा की एक गोली का वजन 20 मिलीग्राम होता है और इसमें 5% सक्रिय पदार्थ होता है। 6 महीने से कम उम्र के बच्चे के लिए, डॉक्टर चार महीने की उम्र के लिए 1 मिलीग्राम सक्रिय पदार्थ और दिन में 7 किलो वजन निर्धारित करता है? विकल्प 4;5. दवा की एक गोली का वजन 20 मिलीग्राम होता है और इसमें 9% सक्रिय पदार्थ होता है। 6 महीने से कम उम्र के बच्चे के लिए, डॉक्टर चार महीने की उम्र के लिए 135 मिलीग्राम सक्रिय पदार्थ और दिन में 8 किलो वजन निर्धारित करता है? विकल्प 6. दवा की एक गोली का वजन 30 मिलीग्राम होता है और इसमें 5% सक्रिय पदार्थ होता है। 6 महीने से कम उम्र के बच्चे के लिए, डॉक्टर 5 महीने की उम्र के लिए 075 मिलीग्राम सक्रिय पदार्थ और दिन में 8 किलो वजन निर्धारित करता है? विकल्प 7. दवा की एक गोली का वजन 40 मिलीग्राम होता है और इसमें 5% सक्रिय पदार्थ होता है। 6 महीने से कम उम्र के बच्चे के लिए, डॉक्टर प्रत्येक तीन महीने की उम्र के लिए 125 मिलीग्राम सक्रिय पदार्थ और दिन में 8 किलो वजन निर्धारित करता है? ध्यान दें कि आठ विकल्प अलग-अलग संख्यात्मक डेटा वाले छह कार्यों से बने होते हैं लेकिन एक ही सामग्री। गणना के लिए आवश्यक जानकारी तालिका में लिखी गई थी: एक प्रतिशत का वजन विकल्प पकाने की विधि मिलीग्राम एक बच्चे का वजन किलो टैबलेट मिलीग्राम सक्रिय पदार्थ% 1 और और विकल्प 1 का समाधान। विचार: एक टैबलेट में सक्रिय पदार्थ का प्रतिशत ज्ञात है, जिसका अर्थ है कि आप मिलीग्राम में पदार्थ की संगत मात्रा पा सकते हैं। बच्चे के वजन और प्रति 1 किलो वजन में सक्रिय पदार्थ की खुराक को जानकर, आप सक्रिय पदार्थ की दैनिक दर पा सकते हैं। फिर गोलियों की संख्या सक्रिय पदार्थ के दैनिक मानदंड को एक टैबलेट में सक्रिय पदार्थ की मात्रा से विभाजित करने का भागफल है। क्रिया: 1. एक गोली में सक्रिय पदार्थ की मात्रा निर्धारित करें। हम अनुपात बनाते हैं: हम 70 मिलीग्राम के एक टैबलेट का वजन 100% लेते हैं और इस वजन का 4% एक टैबलेट में सक्रिय पदार्थ की मात्रा का x मिलीग्राम होगा। आइए हम इस अनुपात को योजनाबद्ध तरीके से लिखें। यहाँ से हमें अनुपात का अज्ञात पद ज्ञात होता है। ऐसा करने के लिए, एक विकर्ण के ज्ञात सदस्यों का x 4% गुणा करें और दूसरे विकर्ण के ज्ञात सदस्य से विभाजित करें: 70 4% x 28 मिलीग्राम। 100% 4

5 2. बच्चे के वजन को ध्यान में रखते हुए, डॉक्टर के पर्चे के अनुसार निर्धारित सक्रिय पदार्थ की मात्रा निर्धारित करें। पदार्थ की खुराक को बच्चे के वजन से गुणा किया जाना चाहिए: मिलीग्राम। तो बच्चे को प्रति दिन 84 मिलीग्राम सक्रिय पदार्थ लेने की जरूरत है सक्रिय पदार्थ के 84 मिलीग्राम युक्त गोलियों की संख्या निर्धारित करें। 3 टैब। 28 उत्तर 3. अन्य विकल्पों को भी इसी प्रकार हल किया जाता है। यूआरएल विकल्प 1;5 में। जिस अपार्टमेंट में अनास्तासिया रहती है, वहां ठंडे पानी का मीटर लगाया जाता है। 1 सितंबर को, मीटर ने 122 क्यूबिक मीटर पानी की खपत दिखाई, और 1 अक्टूबर को 142 क्यूबिक मीटर। सितंबर के लिए ठंडे पानी के लिए अनास्तासिया को कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए यदि 1 घन मीटर ठंडे पानी की कीमत 9 रूबल 90 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 2. मैक्सिम जिस अपार्टमेंट में रहता है, उसमें ठंडे पानी का मीटर लगाया जाता है। 1 फरवरी को, मीटर ने 129 क्यूबिक मीटर पानी की खपत दिखाई, और 1 मार्च को 140 क्यूबिक मीटर। फरवरी के लिए मैक्सिम को ठंडे पानी के लिए कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए यदि 1 घन मीटर ठंडे पानी की कीमत 10 रूबल 60 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 3. जिस अपार्टमेंट में एलेक्स रहता है, वहां ठंडे पानी का मीटर लगाया जाता है। 1 जून को मीटर ने 151 क्यूबिक मीटर पानी की खपत दिखाई, और 1 जुलाई को 165 क्यूबिक मीटर। मार्च के लिए ठंडे पानी के लिए एलेक्सी को कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए यदि 1 घन मीटर ठंडे पानी की कीमत 20 रूबल 80 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 4. जिस अपार्टमेंट में आसिया रहती है, उसमें एक गर्म पानी का मीटर लगाया जाता है। 1 मई को मीटर ने 84 क्यूबिक मीटर पानी की खपत दिखाई, और 1 जून को 965 क्यूबिक मीटर। जनवरी में गर्म पानी के लिए अनास्तासिया को कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए यदि 1 घन मीटर गर्म पानी की कीमत 72 रूबल 60 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 6;8। जिस अपार्टमेंट में अनफिसा रहती है, उसमें गर्म पानी का मीटर लगाया जाता है। 1 सितंबर को मीटर ने 239 क्यूबिक मीटर पानी की खपत दिखाई, और 1 अक्टूबर को 349 क्यूबिक मीटर। सितंबर के लिए गर्म पानी के लिए अनफिसा को कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए यदि 1 घन मीटर गर्म पानी की कीमत 78 रूबल 60 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 7. जिस अपार्टमेंट में अल्ला रहता है, उसमें एक गर्म पानी का मीटर लगाया जाता है। 1 जुलाई को मीटर ने 772 क्यूबिक मीटर पानी की खपत दिखाई, और 1 अगस्त को 797 क्यूबिक मीटर। जुलाई में गर्म पानी के लिए अल्ला को कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए यदि 1 घन मीटर गर्म पानी की कीमत 144 रूबल 80 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें। यूआरएएल क्षेत्र ने मीटर के अनुसार पानी की खपत के भुगतान की समस्या का समाधान किया। विकल्पों द्वारा गणना के लिए संख्यात्मक डेटा तालिका में दर्ज किया गया था: शुरुआत में वारी मीटर रीडिंग शुरुआत में मीटर रीडिंग कैलेंडर माह के 1 क्यूबिक मीटर की कीमत अगले कैलेंडर माह के क्यूबिक मीटर क्यूबिक मीटर 1 और रूबल 90 कोप्पेक रूबल 60 कोप्पेक रूबल 80 कोप्पेक रूबल 60 कोप्पेक 6 और रूबल 60 कोप्पेक रूबल 80 कोप्पेक विकल्प 1 का समाधान। आइडिया: मीटर रीडिंग क्यूबिक मीटर के कैलेंडर महीने की शुरुआत में और क्यूबिक मीटर के अगले कैलेंडर महीने की शुरुआत में जानी जाती है। तो आप देय महीने के लिए पानी की खपत का पता लगा सकते हैं। उपयोग किए गए क्यूबिक मीटर पानी की संख्या और एक क्यूबिक मीटर पानी की कीमत जानकर, आप इस पानी के लिए भुगतान की जाने वाली राशि का पता लगा सकते हैं। 5

6 क्रियाएँ: महीने के लिए पानी की खपत निर्धारित करें महीने के लिए खपत पानी के लिए देय राशि का निर्धारण करें p उत्तर 198। अन्य विकल्प इसी तरह हल किए जाते हैं। TO SIBERIA विकल्प 1. 1 किलोवाट-घंटे बिजली की लागत 1 रूबल 40 कोप्पेक है। 1 जून को बिजली के मीटर ने किलोवाट-घंटे और 1 जुलाई को किलोवाट-घंटे दिखाए। आपको जून में बिजली के लिए कितना भुगतान करना होगा? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 2. 1 किलोवाट-घंटे बिजली की लागत 1 रूबल 20 कोप्पेक है। 1 नवंबर को बिजली मीटर ने 669 किलोवाट-घंटे और 1 दिसंबर को 846 किलोवाट-घंटे दिखाए। नवंबर में आपको बिजली के लिए कितना भुगतान करना होगा? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 3. 1 किलोवाट-घंटे बिजली की लागत 2 रूबल 40 कोप्पेक है। 1 अक्टूबर को बिजली के मीटर ने किलोवाट-घंटे और 1 नवंबर को किलोवाट-घंटे दिखाए। आपको अक्टूबर में बिजली के लिए कितना भुगतान करना होगा? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 4;5. 1 किलोवाट-घंटे बिजली की लागत 2 रूबल 50 कोप्पेक है। 1 जनवरी को बिजली के मीटर ने किलोवाट-घंटे और 1 फरवरी को किलोवाट-घंटे दिखाए। आपको जनवरी में बिजली के लिए कितना भुगतान करना होगा? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 6. 1 किलोवाट-घंटे बिजली की लागत 1 रूबल 30 कोप्पेक है। 1 सितंबर को बिजली मीटर ने किलोवाट-घंटे और 1 अक्टूबर को किलोवाट-घंटे दिखाए। सितंबर में आपको बिजली के लिए कितना भुगतान करना होगा? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 7;8. 1 किलोवाट-घंटे बिजली की लागत 1 रूबल 70 कोप्पेक है। 1 अप्रैल को बिजली के मीटर ने किलोवाट-घंटे और 1 मई को किलोवाट-घंटे दिखाए। अप्रैल में आपको बिजली के लिए कितना भुगतान करना होगा? अपना उत्तर रूबल में दें। साइबेरिया क्षेत्र ने मीटर द्वारा बिजली की खपत के भुगतान की समस्या का समाधान किया। विकल्पों द्वारा गणना के लिए संख्यात्मक डेटा तालिका में दर्ज किया गया था: विकल्प कैलेंडर माह की शुरुआत में मीटर रीडिंग अगले कैलेंडर माह की शुरुआत में kWh मीटर रीडिंग kWh 7 kopecks और 70 kopecks रूबल विकल्प 1 का समाधान। विचार: मीटर रीडिंग किलोवाट-घंटे कैलेंडर माह की शुरुआत में और अगले किलोवाट-घंटे कैलेंडर माह की शुरुआत में जाना जाता है। तो आप देय महीने के लिए बिजली की खपत का पता लगा सकते हैं। किलोवाट-घंटे बिजली की खपत की संख्या और एक किलोवाट-घंटे की कीमत जानकर, आप इस बिजली के लिए भुगतान की जाने वाली राशि का पता लगा सकते हैं। क्रियाएँ: महीने के लिए बिजली की खपत का निर्धारण महीने के लिए खपत बिजली के लिए देय राशि का निर्धारण करें। 6

7 p उत्तर शेष विकल्पों को इसी प्रकार हल किया जाता है। पूर्व में विकल्प 1; 5; 8. जिस अपार्टमेंट में एकातेरिना रहती है, वहां ठंडे पानी का मीटर लगाया जाता है। 1 सितंबर को, मीटर ने 189 क्यूबिक मीटर पानी की खपत दिखाई, और 1 अक्टूबर को 204 क्यूबिक मीटर। सितंबर के लिए कैथरीन को ठंडे पानी के लिए कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए यदि 1 घन मीटर ठंडे पानी की कीमत 16 रूबल 90 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 2. जिस अपार्टमेंट में वालेरी रहता है, उसमें ठंडे पानी का मीटर लगाया जाता है। 1 मार्च को मीटर ने 182 क्यूबिक मीटर पानी की खपत दिखाई, और 1 अप्रैल को 192 क्यूबिक मीटर। मार्च के लिए ठंडे पानी के लिए वालेरी को कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए यदि 1 घन मीटर ठंडे पानी की कीमत 23 रूबल 10 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 3. जिस अपार्टमेंट में मरीना रहती है, उसमें ठंडे पानी का मीटर लगाया जाता है। 1 जुलाई को मीटर ने 120 क्यूबिक मीटर पानी की खपत दिखाई, और 1 अगस्त को 131 क्यूबिक मीटर। जुलाई में मरीना को ठंडे पानी के लिए कितना भुगतान करना चाहिए यदि 1 घन मीटर ठंडे पानी की कीमत 20 रूबल 60 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 4. जिस अपार्टमेंट में येगोर रहता है, उसमें एक गर्म पानी का मीटर लगाया जाता है। 1 नवंबर को मीटर ने 879 क्यूबिक मीटर पानी और 1 दिसंबर को 969 क्यूबिक मीटर पानी की खपत दिखाई। नवंबर में गर्म पानी के लिए येगोर को कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए यदि 1 घन मीटर गर्म पानी की कीमत 108 रूबल 20 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 6. जिस अपार्टमेंट में मिखाइल रहता है, उसमें एक गर्म पानी का मीटर लगाया जाता है। 1 मार्च को मीटर ने 708 क्यूबिक मीटर पानी की खपत दिखाई, और 1 अप्रैल को 828 क्यूबिक मीटर। मार्च के लिए गर्म पानी के लिए मिखाइल को कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए यदि 1 घन मीटर गर्म पानी की कीमत 72 रूबल 20 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें। विकल्प 7. जिस अपार्टमेंट में अनास्तासिया रहती है, उसमें एक गर्म पानी का मीटर लगाया जाता है। 1 जनवरी को, मीटर ने 894 क्यूबिक मीटर पानी की खपत दिखाई, और 1 फरवरी को 919 क्यूबिक मीटर। जनवरी में गर्म पानी के लिए अनास्तासिया को कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए यदि 1 घन मीटर गर्म पानी की कीमत 103 रूबल 60 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें। "वोस्तोक" क्षेत्र के कार्य "यूआरएल" क्षेत्र के कार्यों के साथ संख्यात्मक डेटा में अंतर के साथ मेल खाते हैं। विकल्प कैलेंडर माह की शुरुआत में मीटर रीडिंग क्यूबिक मीटर अगले कैलेंडर माह की शुरुआत में मीटर रीडिंग क्यूबिक मीटर 1 क्यूबिक मीटर 1 और 5 की कीमत और रूबल 90 कोप्पेक रूबल 10 कोप्पेक रूबल 60 कोप्पेक रूबल 20 कोप्पेक रूबल 20 कोप्पेक रूबल 60 kopecks इसलिए, समाधान और कार्यों का विचार URAL क्षेत्र के लिए पहले विचार किए गए समान होगा। पर

अंशों के साथ अनुभाग संचालन अनुभाग दशमलव अंशों का रूपांतरण और इसके विपरीत अनुभाग प्रतिशत (संख्या का प्रतिशत, संख्याओं का प्रतिशत, प्रतिशत परिवर्तन) अनुभाग जमा, सरल और जटिल

"जीसीडी और एनओसी" विषय पर परीक्षण उपनाम, नाम। प्राकृत संख्याएँ सहअभाज्य कहलाती हैं यदि: क) उनके दो से अधिक भाजक हों; बी) उनकी जीसीडी बराबर है; c) उनके पास एक भाजक है .. संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक a

गणित में ज्ञान की समीक्षा के लिए प्रश्न। 5-6 ग्रेड। 1. प्राकृतिक, पूर्णांक, परिमेय संख्याओं की परिभाषा। 2. विभाज्यता के चिन्ह 10 से, 5 से, 2 से 3. विभाज्यता के चिन्ह 9 से, 3 से 4.

विषय। संख्या की अवधारणा का विकास। साधारण भिन्नों पर अंकगणितीय संक्रियाएँ। योग। एक ही हर के साथ भिन्नों का योग एक ही भाजक के साथ भिन्न होता है, और अंश योग होता है

4 प्रश्नों की समीक्षा करें I. प्राकृतिक संख्याएँ। प्राकृतिक श्रृंखला .. संख्याएं और संख्याएं। दशमलव संख्या प्रणाली। 3. रैंक और कक्षाएं। बिट शब्दों के योग के रूप में किसी संख्या का प्रतिनिधित्व। 4. प्राकृतिक की तुलना

एक चर के साथ रैखिक समीकरण परिचय निकिता सरुखानोव ग्रेड 7 बीजगणित समीकरणों का उपयोग करके विभिन्न समस्याओं के समाधान के संबंध में उत्पन्न हुआ। आमतौर पर कार्यों में एक या अधिक खोजने की आवश्यकता होती है

1. किसी संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना सहायता B1 ब्याज 1% - यह किसी चीज़ का सौवां भाग है, अर्थात 1% \u003d 0.01 \u003d। तदनुसार, 2%=0.02=, 5%=0.05=, 10%=0.10=0.1==. उदाहरण के लिए, 25% खोजें

गणित ग्रेड 6 विषय। संख्याओं की विभाज्यता। बुनियादी अवधारणाओं। एक प्राकृत संख्या का भाजक एक ऐसी प्राकृत संख्या है जिससे a शेषफल के बिना विभाज्य है। उदाहरण के लिए, ; 2; 5; 0, 0 का भाजक है। संख्या 3 एक भाजक है

विषयवस्तु परिचय... 4 बीजगणित... 5 संख्याएँ, मूल और घात... 5 त्रिकोणमिति के मूल सिद्धांत... 20 लघुगणक... 0 परिवर्तित व्यंजक... 5 समीकरण और असमानताएँ... 57 समीकरण... 57 असमानताएं ... 91

बेसिक साइंसेज में यूराल फेडरल डिस्ट्रिक्ट इलेवन इंटरनेशनल ओलंपियाड के शिक्षक का घर दूसरा चरण। मुख्य लीग। विषय परियोजना के वैज्ञानिक पर्यवेक्षक: ग्रिवकोवा ऐलेना लावोवना, उच्च गणित के शिक्षक

गणित ग्रेड 6 डीएनआर में परीक्षा टिकटों के उत्तर >>> गणित ग्रेड 6 डीएनआर में परीक्षा टिकटों के उत्तर गणित ग्रेड 6 डीएनआर में परीक्षा टिकटों के उत्तर जोड़ घटाव मिश्रित

संदर्भ सामग्री "गणित ग्रेड 5" प्राकृतिक संख्याएँ गिनती में प्रयुक्त होने वाली संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं। उन्हें लैटिन अक्षर एन द्वारा दर्शाया गया है। संख्या 0 प्राकृतिक नहीं है! रिकॉर्डिंग विधि

अंक शास्त्र। शिक्षक के लिए सब कुछ! दशमलव अंश और उन पर क्रियाएँ डिडक्टिक डेटा लाइब्रेरी BLIO IOTE हम "दशमलव भिन्न" विषय पर उपदेशात्मक सामग्री प्रदान करते हैं: व्यक्तिगत के लिए कार्ड

एक बीजीय अंश के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को खोजने के लिए एल्गोरिदम। उदाहरण। स्वीकार्य मानों की सीमा ज्ञात कीजिए: x 25 (x 5) (2x + 4)। 1. एक बीजीय भिन्न का हर लिखिए; 2. जारी किए गए बराबर करें

विषय 3. “रिश्ते। अनुपात। प्रतिशत" दो संख्याओं का अनुपात उनमें से एक को दूसरे से विभाजित करने का भागफल है। अनुपात दर्शाता है कि पहली संख्या दूसरी संख्या से कितनी गुनी है या पहली संख्या का कितना भाग है

संख्याएँ ज्ञात करना उदाहरण 1. तीन भिन्नों के अंश, संख्या 1, 2, 5 और हर के क्रमशः संख्या 1, 3, 7 के समानुपाती होते हैं। भिन्नों का अंकगणितीय माध्य बराबर होता है। इन अंशों को खोजें। फेसला। शर्त के अनुसार

तिमाही 1 कौन सी संख्याएं प्राकृतिक हैं? एक नंबर कैसे पढ़ें? किसी संख्या को अंकों में कैसे लिखें? इकाइयों के बीच संबंध एक समन्वय किरण कैसे बनाएं और इस किरण पर अंक कैसे चिह्नित करें? संख्याओं के लिए सूत्र

पाठ संख्या पाठ विषय कैलेंडर - विषयगत योजना ग्रेड 6 घंटों की संख्या अध्याय 1. साधारण भिन्न। 1. संख्याओं की विभाज्यता 24 घंटे 1-3 भाजक और गुणज 3 भाजक, गुणज, प्राकृतिक का न्यूनतम गुणज

विषय। संख्या सार की अवधारणा का विकास: पाठ्यपुस्तक को सामान्य शैक्षिक अनुशासन ODP.0 गणित के कार्य कार्यक्रम के अनुसार विकसित किया गया था। अध्ययन गाइड में शामिल हैं: सैद्धांतिक

"सहमत" "अनुमोदित" स्कूल के ओडब्ल्यूआरएम निदेशक के लिए उप निदेशक, गणित में छठी कक्षा कैलेंडर-विषयगत योजना (शिक्षा का पत्राचार रूप) 2018-2019 शैक्षणिक वर्ष पाठ्यपुस्तक: विलेनकिन एन.वाईए।, झोखोव

भिन्नात्मक-तर्कसंगत व्यंजक वेरिएबल के साथ व्यंजक द्वारा विभाजन वाले व्यंजक भिन्नात्मक (अंशकालिक-तर्कसंगत) व्यंजक कहलाते हैं चर के कुछ मानों के लिए भिन्नात्मक व्यंजक नहीं होते हैं

विषय 1 "संख्यात्मक अभिव्यक्ति। प्रक्रिया। संख्याओं की तुलना। एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति एक या एक से अधिक संख्यात्मक मान (संख्याएं) है जो अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों द्वारा परस्पर जुड़ी होती है: जोड़,

कैलेंडर-विषयगत नियोजन गणित पाठ का ग्रेड 6 (प्रति सप्ताह 5 घंटे, कुल 170 घंटे) पाठ विषय 1-3 समान हर के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव, दशमलव का जोड़ और घटाव

अध्याय 1 बीजगणित संख्या समुच्चयों की मूल बातें मूल संख्या समुच्चयों पर विचार करें। प्राकृत संख्या N के समुच्चय में 1, 2, 3 आदि के रूप की संख्याएँ शामिल हैं, जिनका उपयोग वस्तुओं को गिनने के लिए किया जाता है। गुच्छा

परिमेय संख्याएँ साधारण भिन्न परिभाषाएँ सामान्य भिन्न कहलाने वाले रूप के भिन्न साधारण भिन्न, नियमित और अनुचित परिभाषा एक भिन्न, उचित यदि< при, где Z, N Z, N Z,

1 अपरिमेय और वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ एक इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई मापने का सबसे सरल उदाहरण यह दर्शाता है कि एक परिमेय संख्या का वर्गमूल निकालने की क्रिया

26. पूर्णांकों के लिए कार्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें (1 8): 1. 247 और 221. 2. 437 और 323. 3. 357 और 391. 4. 253 और 319. 5. 42 4 और 54 3. 6 78 4 और 65 2. 7. 77 3 और 242 2. 8. 51 3 और 119 2. 9. योग

सामग्री: 1. प्राकृतिक संख्याओं का जोड़ और घटाव। प्राकृतिक संख्याओं की तुलना। 2. संख्यात्मक और वर्णमाला के भाव। समीकरण। 3. प्राकृत संख्याओं का गुणन। 4. प्राकृत संख्याओं का विभाजन साधारण

व्याख्यान 6 रैखिक संयोजन और रैखिक निर्भरता मुख्य लेम्मा रैखिक निर्भरता के आधार पर और वैक्टर की एक प्रणाली के एक रैखिक अंतरिक्ष रैंक के आयाम 1 रैखिक संयोजन और रैखिक निर्भरता

भिन्न का मुख्य गुण नियम और कार्य के नमूने और I भिन्न को एक नए हर में लाते हैं: 1) भिन्न के हर को संख्या से गुणा (या विभाजित) करते हैं। 2) भिन्न के अंश को उसी संख्या से गुणा (या विभाजित) करें।

I विकल्प 8B वर्ग, 4 अक्टूबर, 007 1 लुप्त शब्द सम्मिलित करें: परिभाषा 1 संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल, जो संख्या a (a 0) से a के बराबर है, निम्नानुसार दर्शाया गया है: व्यंजक द्वारा खोजने की क्रिया

प्रश्न प्राकृत संख्याएँ क्या हैं? उत्तर प्राकृत संख्याएँ वे संख्याएँ कहलाती हैं जिनका प्रयोग गिनती में किया जाता है लेखन संख्याओं में वर्ग और अंक क्या होते हैं? जोड़े जाने पर संख्याओं को क्या कहते हैं? एक सहयोगी तैयार करें

तैयारी विभाग के विदेशी छात्रों के लिए AUTHOR: Starovoitova Natalya Alexandrovna पूर्व-विश्वविद्यालय प्रशिक्षण और कैरियर मार्गदर्शन विभाग 1 2 3 8 4 नंबर; ; ; ; 2 3 7 5 4 - साधारण भिन्न।

प्राकृतिक संख्याओं और साधारण भिन्नों के साथ अंकगणितीय क्रियाएँ। प्रक्रिया) यदि कोई कोष्ठक नहीं हैं, तो वें डिग्री (एक प्राकृतिक शक्ति को बढ़ाने) की क्रियाएं पहले की जाती हैं, फिर वें डिग्री (गुणा)

सामग्री गणितीय प्रतीक ... 3 संख्याओं की तुलना ... 4 जोड़ ... 5 जोड़ के घटकों के बीच संबंध ... 5 जोड़ का कम्यूटेटिव कानून ... 6 जोड़ का साहचर्य कानून ... 6 प्रक्रिया ...

6वीं कक्षा में गणित स्थानान्तरण परीक्षा के सैद्धांतिक प्रश्न के उत्तर की तैयारी के लिए संदर्भ सामग्री (संदर्भ सामग्री में, इंटरनेट संसाधनों के हाइपरलिंक नीले रंग में हाइलाइट किए गए हैं) टिकट

विशिष्ट प्रकार "जटिल संख्याएँ बहुपद और परिमेय भिन्न" कार्य दो सम्मिश्र संख्याओं को देखते हुए और cos sn बीजगणितीय रूप में परिणाम खोजें और लिखें परिणाम त्रिकोणमितीय में लिखें

अध्याय बीजगणित का परिचय .. वर्ग तीन-सदस्य ... बेबीलोन की समस्या दो संख्याओं को उनके योग और उत्पाद द्वारा खोजने की है। बीजगणित की सबसे पुरानी समस्याओं में से एक बेबीलोन में प्रस्तावित की गई थी, जहां

विषय 1. गिनती की दिशा विषयों द्वारा समस्या समाधान का विश्लेषण अध्याय 1 "ऋणात्मक संख्या" इस विषय के कार्य व्यावहारिक प्रकृति के हैं, जो "+" संकेतों के उपयोग को समझने और कौशल विकसित करने के लिए महत्वपूर्ण हैं।

जोड़ किसी संख्या में 1 जोड़ने का अर्थ है दी गई संख्या के बाद वाली संख्या प्राप्त करना: 4+1=5, 1+1=14, आदि। संख्या 5 जोड़ने का अर्थ है एक को 5 में तीन बार जोड़ना: 5+1+1+1=5+=8. घटाना एक संख्या से 1 घटाना मतलब

2. सामान्य रैखिक और यूक्लिडियन रिक्त स्थान एक समुच्चय X को वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में एक रैखिक स्थान कहा जाता है, या केवल एक वास्तविक रैखिक स्थान, यदि किसी भी तत्व के लिए

व्याख्यान मैट्रिक्स और उसके गुणों की अवधारणा मैट्रिक्स पर क्रियाएँ एक मैट्रिक्स की अवधारणा एक ऑर्डर (आयाम) मैट्रिक्स संख्याओं की एक आयताकार तालिका या कॉलम युक्त शाब्दिक अभिव्यक्ति है: () मैं पंक्तियाँ

अंकगणित - वर्ग उत्तर: विषय गुणन और दशमलव अंशों का विभाजन)) 00.0 विषय अलग-अलग हर के साथ अंशों का जोड़ और घटाव)) सामान्य अंशों का विषय विभाजन)) और विषय अनुपात) विषय

3 प्रिय पाठक! आपके हाथ में एक आधुनिक संदर्भ पुस्तक है जो ग्रेड 5-11 में आपकी पढ़ाई में आपकी सहायता करेगी, आपको परीक्षा की तैयारी में मदद करेगी, और विश्वविद्यालय में प्रवेश करना आसान बना देगी। निर्देशिका में

पाठ विषय नोट संख्या 16 h की विभाज्यता।

विषय 1. सेट। संख्यात्मक सेट एन, जेड, क्यू, आर 1. सेट। सेट पर संचालन। 2. प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N. 3. पूर्णांकों का समुच्चय Z. पूर्णांकों की विभाज्यता। विभाज्यता के संकेत 4. तर्कसंगत

मॉस्को: एएसटी पब्लिशिंग हाउस: एस्ट्रेल, 2016. 284, पी। (प्राथमिक शिक्षा अकादमी)। 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 सामग्री प्रिय वयस्क!... 6 अंक

दिमित्री गुशचिन द्वारा प्रारंभिक गणित की वेबसाइट wwwthetspru Gushchin डी डी गणित सत्रीय कार्य में उपयोग के लिए तैयारी के लिए संदर्भ सामग्री B7: गणना और परिवर्तन सामग्री तत्वों और प्रकारों की जाँच की जानी है

अंतर्वस्तु समीकरण………………………… पूर्णांक व्यंजक……… ............... शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति ............... ......... ......... 3 एकपदी ……………………………… ......

वीवी रसिन रियल नंबर येकातेरिनबर्ग 2005 फेडरल एजेंसी फॉर एजुकेशन यूराल स्टेट यूनिवर्सिटी। ए.एम. गोर्की वी.वी. रसिन वास्तविक संख्या येकातेरिनबर्ग 2005 यूडीसी 517.13(075.3)

समीकरण बीजगणित में, दो प्रकार की समानताएं मानी जाती हैं - पहचान और समीकरण। पहचान एक समानता है जो सभी स्वीकार्य के लिए रखती है) इसमें शामिल अक्षरों के मान। पहचान के लिए, संकेतों का उपयोग किया जाता है

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\ के लिए संग्रह

कक्षा 9 के छात्रों के लिए OGE संदर्भ सामग्री की तैयारी बीजगणित प्राकृतिक संख्याएँ और उन पर क्रियाएँ एक प्राकृतिक संख्या की अवधारणा गणित की सबसे सरल, प्रारंभिक अवधारणाओं को संदर्भित करती है और इसे परिभाषित नहीं किया जाता है।

तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम के अनुसार एसएलई को हल करने के पहले तरीके पर विचार करें: उत्तर की गणना क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके की जाती है: डी, ​​डी 1, डी 2, डी 3 निर्धारक हैं

समीकरणों के निकाय मान लें कि दो अज्ञात दो समीकरण f(x, y)=0 और g(x, y)=0 दिए गए हैं, जहां f(x, y), g(x, y) चर x और के साथ कुछ व्यंजक हैं। वाई यदि कार्य डेटा के सभी सामान्य समाधान खोजना है

गणित की क्लास। शिक्षक डेमिडोवा ऐलेना निकोलायेवना तिमाही .. NUMBERS भाजक और गुणकों की विभाज्यता। 0 से विभाज्यता के लिए परीक्षण, और। 9 से और द्वारा विभाज्यता के लक्षण। अभाज्य और भाज्य संख्याएँ। सरल में अपघटन

पाठ का ग्रेड 6 (FGOS LLC) शैक्षिक गतिविधि की मुख्य प्रकार की सामग्री (अनुभाग, विषय) गणित के पाठ्यक्रम की पुनरावृत्ति ग्रेड 5 (घंटे) घंटों की संख्या पाठ्यपुस्तक सामग्री गणित पाठ्यक्रम की सुधार पुनरावृत्ति।

कक्षा। मनमानी वास्तविक घातांक के साथ डिग्री, इसके गुण। पावर फ़ंक्शन, इसके गुण, ग्राफिक्स .. एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री के गुणों को याद करें। a a a a a a a a प्राकृतिक समय के लिए

व्याख्यान 2 रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना। 1. क्रैमर विधि द्वारा 3 रैखिक समीकरणों के निकाय का हल। परिभाषा। 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली रूप की एक प्रणाली है इस प्रणाली में, आवश्यक मात्रा,

पाठ 16 संबंध। अनुपात। प्रतिशत भागफल 12: 6 = 2 संख्या 12 और 6 का अनुपात है। संख्या 12 और 6 का अनुपात संख्या 2 के बराबर है। संख्या 2। भागफल 2: = 2 संख्या 2 और का अनुपात है। संख्या 2 और बराबर का अनुपात

समस्या 1 एकीकृत राज्य परीक्षा -2015 (मूल) यदि आपको केवल एक उत्तर की आवश्यकता है, तो पहला उदाहरण 2.65 है - दूसरा उदाहरण 3.2 है - तीसरा उदाहरण है -1.1 यह साधारण अंशों के साथ क्रियाओं के लिए एक कार्य है। यहाँ उन लोगों के लिए एक छोटा सिद्धांत है जो थोड़े हैं

अध्याय I. रैखिक बीजगणित के तत्व रैखिक बीजगणित बीजगणित का एक हिस्सा है जो रैखिक रिक्त स्थान और उप-स्थान, रैखिक ऑपरेटरों, रैखिक, द्विरेखीय और रैखिक रिक्त स्थान पर द्विघात कार्यों का अध्ययन करता है।

प्रगति एक अनुक्रम एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है। एक सामान्य शब्द सूत्र द्वारा अनुक्रम निर्दिष्ट करना: ए एन = एफ (एन), एन एन, उदाहरण के लिए, ए एन = एन + एन + 4, ए = 43, ए = 47, ए 3 = 3,. अनुक्रमण

विषय 1.4. क्रैमर के सूत्र गेब्रियल क्रैमर (1704 1752) स्विस गणितज्ञ के दो (तीन) रैखिक समीकरणों के सिस्टम का समाधान। यह विधि केवल रैखिक समीकरणों के निकाय के मामले में लागू होती है, जहाँ चरों की संख्या

गणित ग्रेड 6 सीखने की सामग्री अंकगणितीय प्राकृतिक संख्याएँ। प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता। 5, 9, 0 से विभाज्यता के लक्षण। अभाज्य और भाज्य संख्याएँ। एक प्राकृत संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन।