19 टिकट 1. फैलाव ऑपरेशन
2. स्थानिक-वर्णक्रमीय विशेषताएं
फैलाव संचालन।
मान लीजिए A और B को Z 2 से सेट किया जाता है। समुच्चय B के संबंध में समुच्चय A का फैलाव (या B के संबंध में) A⊕B द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है
इसे निम्नलिखित रूप में फिर से लिखा जा सकता है:
सेट बी को संरचना बनाने वाला सेट या फैलाव आदिम कहा जाएगा।
(11) अपने प्रारंभिक निर्देशांक (केंद्र बी) के सापेक्ष सेट बी का एक केंद्रीय प्रतिबिंब प्राप्त करने पर आधारित है, फिर इस सेट को बिंदु z पर स्थानांतरित करना, सेट ए को बी के साथ फैलाना - ऐसे सभी बदलावों का सेट z, जिस पर और ए कम से कम एक तत्व में मेल खाता है।
यह परिभाषा अकेली नहीं है। हालाँकि, फैलाव प्रक्रिया कुछ मायनों में कनवल्शन ऑपरेशन के समान है जो सेट पर किया जाता है।
स्थानिक-वर्णक्रमीय विशेषताएं
(1.8) के अनुसार, द्वि-आयामी फूरियर रूपांतरण को परिभाषित किया गया है
कहाँ पे डब्ल्यू एक्स, आपस्थानिक आवृत्तियाँ हैं।
स्पेक्ट्रम के मापांक का वर्ग M( डब्ल्यू एक्स, आप) = |Ф( डब्ल्यू एक्स, आप)| 2 का उपयोग कई विशेषताओं की गणना के लिए किया जा सकता है। समारोह एकीकरण एम(डब्ल्यू एक्स, आप) स्थानिक आवृत्तियों के तल पर कोण द्वारा एक स्थानिक-आवृत्ति विशेषता देता है जो छवि के बदलाव और रोटेशन के संबंध में अपरिवर्तनीय है। समारोह शुरू करके एम(डब्ल्यू एक्स, आप) ध्रुवीय निर्देशांक में, हम इस विशेषता को रूप में लिखते हैं
 |
कहाँ पे क्यू= आर्कटन ( आप/डब्ल्यू एक्स); आर 2 = डब्ल्यू एक्स 2 +आप 2 .
पैमाने के संबंध में सुविधा अपरिवर्तनीय है
20 टिकट 1. कटाव ऑपरेशन
छवि नमूना मैट्रिक्स के असतत द्वि-आयामी फूरियर रूपांतरण को एक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया गया है:
जहां , और असतत व्युत्क्रम परिवर्तन का रूप है:
निरंतर फूरियर रूपांतरण की शब्दावली के अनुरूप, चर को स्थानिक आवृत्तियां कहा जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी शोधकर्ता परिभाषा (4.97), (4.98) का उपयोग नहीं करते हैं। कुछ सभी पैमाने के स्थिरांक को व्युत्क्रम अभिव्यक्ति में रखना पसंद करते हैं, जबकि अन्य कर्नेल में संकेतों को उलट देते हैं।
चूंकि रूपांतरण कर्नेल सममित और वियोज्य हैं, द्वि-आयामी परिवर्तन छवि मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों पर क्रमिक एक-आयामी परिवर्तनों के रूप में किया जा सकता है। बुनियादी परिवर्तन कार्य जटिल घातांक वाले घातांक हैं, जिन्हें साइन और कोसाइन घटकों में विघटित किया जा सकता है। इस प्रकार,
छवि स्पेक्ट्रम में कई दिलचस्प संरचनात्मक विशेषताएं हैं। आवृत्ति विमान के मूल में वर्णक्रमीय घटक
में वृद्धि के बराबर एनछवि चमक के औसत (मूल तल पर) मान का गुणा।
समानता में प्रतिस्थापन (4.97)
जहाँ और अचर हैं, हम पाते हैं:
किसी भी पूर्णांक मान के लिए और समानता का दूसरा घातांक कारक (4.101) एक हो जाता है। इस प्रकार, पर,
जो आवृत्ति तल की आवधिकता को इंगित करता है। यह परिणाम चित्र 4.14 में दिखाया गया है, a.
एक छवि का 2डी फूरियर स्पेक्ट्रम अनिवार्य रूप से फूरियर श्रृंखला के रूप में 2डी क्षेत्र का प्रतिनिधित्व है। इस तरह के प्रतिनिधित्व के मान्य होने के लिए, मूल छवि में एक आवधिक संरचना भी होनी चाहिए, अर्थात। एक पैटर्न है जो लंबवत और क्षैतिज रूप से दोहराता है (चित्र 4.14, बी)। इस प्रकार, छवि का दायां किनारा बाईं ओर से सटा हुआ है, और शीर्ष किनारा नीचे से सटा हुआ है। इन स्थानों में चमक मूल्यों में असंतुलन के कारण, छवि स्पेक्ट्रम में अतिरिक्त घटक दिखाई देते हैं, जो आवृत्ति विमान के समन्वय अक्षों पर स्थित होते हैं। ये घटक छवि के आंतरिक पिक्सेल के चमक मूल्यों से संबंधित नहीं हैं, लेकिन वे इसके तेज किनारों को पुन: पेश करने के लिए आवश्यक हैं।
यदि छवि नमूनों की एक सरणी एक ल्यूमिनेन्स क्षेत्र का वर्णन करती है, तो संख्याएं वास्तविक और सकारात्मक होंगी। हालांकि, इस छवि के फूरियर स्पेक्ट्रम में आम तौर पर जटिल मूल्य होते हैं। चूंकि स्पेक्ट्रम में वास्तविक और काल्पनिक भागों, या प्रत्येक आवृत्ति के लिए वर्णक्रमीय घटकों के चरण और मापांक का प्रतिनिधित्व करने वाला एक घटक होता है, ऐसा लग सकता है कि फूरियर रूपांतरण छवि आयाम को बढ़ाता है। हालाँकि, यह मामला नहीं है, क्योंकि इसमें जटिल संयुग्मन के तहत समरूपता है। यदि समानता (4.101) में हम पूर्णांकों के बराबर और सेट करते हैं, तो जटिल संयुग्मन के बाद हमें समानता मिलती है:
प्रतिस्थापन और src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif> की सहायता से हम यह दिखा सकते हैं कि
जटिल संयुग्म समरूपता की उपस्थिति के कारण, लगभग आधे वर्णक्रमीय घटक निरर्थक हो जाते हैं, अर्थात। इन्हें शेष घटकों से बनाया जा सकता है (चित्र 4.15)। बेशक, हार्मोनिक्स जो निचले हिस्से में नहीं, बल्कि दाहिने आधे-प्लेन में आते हैं, निश्चित रूप से, अतिरिक्त घटक माने जा सकते हैं।
छवि प्रसंस्करण में फूरियर विश्लेषण का उपयोग एक-आयामी संकेतों के समान उद्देश्यों के लिए किया जाता है। हालांकि, आवृत्ति डोमेन में, छवियां किसी भी सार्थक जानकारी का प्रतिनिधित्व नहीं करती हैं, जो फूरियर रूपांतरण को छवि विश्लेषण के लिए ऐसा उपयोगी उपकरण नहीं बनाती है। उदाहरण के लिए, जब एक फूरियर रूपांतरण को एक-आयामी ऑडियो सिग्नल पर लागू किया जाता है, तो समय डोमेन में एक कठिन-से-औपचारिक और जटिल तरंग आवृत्ति डोमेन में आसानी से समझने वाले स्पेक्ट्रम में बदल जाती है। तुलना करके, एक छवि के फूरियर ट्रांसफॉर्म (फूरियर ट्रांसफॉर्म) को लेकर, हम स्थानिक डोमेन (स्थानिक डोमेन) में ऑर्डर की गई जानकारी को फ़्रीक्वेंसी डोमेन (फ़्रीक्वेंसी डोमेन) में एन्कोडेड रूप में बदल देते हैं। संक्षेप में, छवियों में एन्कोड की गई जानकारी को समझने में आपकी सहायता के लिए फूरियर रूपांतरण की अपेक्षा न करें।
इसी तरह, फ़िल्टर डिज़ाइन करते समय फ़्रीक्वेंसी डोमेन का संदर्भ न लें। छवियों में मुख्य विशेषता विशेषता सीमा है - एक को अलग करने वाली रेखा एक वस्तुया क्षेत्रदूसरे से वस्तुया क्षेत्रों. चूंकि छवि में आकृति में आवृत्ति घटकों की एक विस्तृत श्रृंखला होती है, इसलिए आवृत्ति स्पेक्ट्रम में हेरफेर करके छवि को बदलने की कोशिश करना एक अप्रभावी कार्य है। इमेज प्रोसेसिंग फिल्टर आमतौर पर स्थानिक डोमेन में डिज़ाइन किए जाते हैं, जहाँ जानकारी को उसके सबसे सरल और सबसे सुलभ रूप में प्रस्तुत किया जाता है। छवि प्रसंस्करण समस्याओं को हल करते समय, संचालन के संदर्भ में काम करना आवश्यक है समरेखणऔर अंडरस्कोरके संदर्भ में समोच्च (स्थानिक डोमेन) उच्च पास फिल्टरऔर लो पास फिल्टर(आवृत्ति डोमेन)।
इसके बावजूद, फूरियर छवि विश्लेषण में कई उपयोगी गुण हैं। उदाहरण के लिए, घुमावस्थानिक डोमेन में से मेल खाती है गुणाआवृत्ति डोमेन में। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि गुणन कनवल्शन की तुलना में एक सरल गणितीय संक्रिया है। 1D संकेतों की तरह, यह गुण FFT कनवल्शन और विभिन्न deconvolution तकनीकों की अनुमति देता है। फ़्रीक्वेंसी डोमेन में एक और उपयोगी गुण है फूरियर सेक्टर प्रमेय, जो छवि और उसके अनुमानों (विभिन्न पक्षों से एक ही छवि के विचार) के बीच पत्राचार स्थापित करता है। यह प्रमेय इस तरह की दिशाओं का सैद्धांतिक आधार बनाता है: परिकलित टोमोग्राफी, प्रतिदीप्तिदर्शनव्यापक रूप से दवा और उद्योग में उपयोग किया जाता है।
एक छवि के आवृत्ति स्पेक्ट्रम की गणना कई तरीकों से की जा सकती है, लेकिन स्पेक्ट्रम की गणना के लिए सबसे व्यावहारिक तरीका एफएफटी एल्गोरिदम है। एफएफटी एल्गोरिथम का उपयोग करते समय, मूल छवि में होना चाहिए एनरेखाएं और एनकॉलम, और संख्या एन 2 की घात का गुणज होना चाहिए, अर्थात 256, 512, 1024 और
आदि। यदि स्रोत छवि आयाम में 2 की शक्ति का गुणज नहीं है, तो छवि को वांछित आकार में पैड करने के लिए शून्य-मान पिक्सेल जोड़ा जाना चाहिए। इस तथ्य के कारण कि फूरियर रूपांतरण सूचना के क्रम को बनाए रखता है, कम-आवृत्ति घटकों के आयाम द्वि-आयामी स्पेक्ट्रम के कोनों पर स्थित होंगे, जबकि उच्च-आवृत्ति घटक इसके केंद्र में होंगे।
एक उदाहरण के रूप में, एक ऑपरेशनल एम्पलीफायर (चित्र। 4.16) के इनपुट चरण की इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप छवि के फूरियर रूपांतरण के परिणाम पर विचार करें। चूंकि फ़्रीक्वेंसी डोमेन में नकारात्मक मान वाले पिक्सेल हो सकते हैं, इसलिए इन छवियों के ग्रे स्केल को इस तरह से स्थानांतरित किया जाता है कि नकारात्मक मानों को छवि में अंधेरे बिंदु, शून्य मान ग्रे के रूप में और सकारात्मक मान के रूप में माना जाता है उज्ज्वल अंक। आमतौर पर, छवि स्पेक्ट्रम के कम-आवृत्ति वाले घटक उच्च-आवृत्ति वाले की तुलना में आयाम में बहुत बड़े होते हैं, जो स्पेक्ट्रम छवि के चारों कोनों में बहुत उज्ज्वल और बहुत गहरे डॉट्स की उपस्थिति की व्याख्या करता है (चित्र। 4.16, बी)। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, एक विशिष्ट
छवियों का रैखिक फ़िल्टरिंग स्थानिक और आवृत्ति डोमेन दोनों में किया जा सकता है। इस मामले में, यह माना जाता है कि "कम" स्थानिक आवृत्तियां छवि की मुख्य सामग्री के अनुरूप होती हैं - पृष्ठभूमि और बड़े आकार की वस्तुएं, और "उच्च" स्थानिक आवृत्तियां - छोटे आकार की वस्तुएं, बड़े आकार के छोटे विवरण और शोर अवयव।
परंपरागत रूप से, $\textit(Fourier ट्रांसफॉर्म)$ पर आधारित विधियों का उपयोग स्थानिक आवृत्तियों के क्षेत्र में जाने के लिए किया जाता है। हाल के वर्षों में, $\textit(wavelet-transform (wavelet-transform))$ पर आधारित विधियों का उपयोग भी बढ़ रहा है।
फूरियर रूपांतरण।
फूरियर रूपांतरण आपको साइन और कोसाइन जैसे त्रिकोणमितीय कार्यों के संयोजन के रूप में लगभग किसी भी फ़ंक्शन या डेटा सेट का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है, जो आपको डेटा में आवधिक घटकों की पहचान करने और मूल डेटा की संरचना या आकार में उनके योगदान का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। कार्यक्रम। परंपरागत रूप से, फूरियर रूपांतरण के तीन मुख्य रूप हैं: अभिन्न फूरियर रूपांतरण, फूरियर श्रृंखला और असतत फूरियर रूपांतरण।
इंटीग्रल फूरियर ट्रांसफॉर्म एक वास्तविक फ़ंक्शन को वास्तविक कार्यों की एक जोड़ी या एक जटिल फ़ंक्शन को दूसरे में बदल देता है।
वास्तविक फलन $f(x)$ को त्रिकोणमितीय फलनों की एक ओर्थोगोनल प्रणाली के रूप में विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है
$$ f\बाएं(x \right)=\int\limits_0^\infty (A\बाएं(\omega \right)) \cos \left((2\pi \omega x) \right)d\omega -\ int\limits_0^\infty (B\left(\omega \right)) \sin \ left((2\pi \omega x) \right)d\omega , $$
जहां $A(\omega)$ और $B(\omega)$ को इंटीग्रल कोसाइन और साइन ट्रांसफॉर्म कहा जाता है:
$$ A\बाएं(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty)^(+\infty ) (f\left(x \right)) \cos \left((2\pi \omega x) )\दाएं)डीएक्स; \quad B\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \sin \left((2\pi \omega x) )\दाएं)डीएक्स. $$
फूरियर श्रृंखला आवधिक फ़ंक्शन $f(x)$ को अंतराल $$ पर साइन और कोसाइन में एक अनंत श्रृंखला के रूप में परिभाषित करती है। अर्थात्, आवर्त फलन $f(x)$ फूरियर गुणांकों के अनंत अनुक्रम से जुड़ा है
$$ f\बाएं(x \right)=\frac(A_0 )(2)+\sum\limits_(n=1)^\infty (A_n ) \cos \left((\frac(2\pi xn)( b-a)) \right)+\sum\limits_(n=1)^\infty (B_n \sin \left((\frac(2\pi xn)(b-a)) \right)) , $$
$$ A_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \cos \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx ; \quad B_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \sin \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx . $$
असतत फूरियर रूपांतरण वास्तविक संख्याओं के परिमित अनुक्रम को फूरियर गुणांक के परिमित अनुक्रम में बदल देता है।
चलो $\बाएं\( (x_i ) \right\), i= 0,\ldots, N-1 $ वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है - उदाहरण के लिए, एक छवि रेखा के साथ पिक्सेल चमक की रीडिंग। इस क्रम को फॉर्म के परिमित योगों के संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है
$$ x_i =a_0 +\sum\limits_(n=1)^(N/2) (a_n ) \cos \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)+\sum\limits_ (n=1)^(N/2) (b_n \sin \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)) , $$
$$ a_0 =\frac(1)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) , \quad a_(N/2) =\frac(1)(N)\sum \limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) \left((-1) \right)^i, \quad a_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0) ^(N-1) (x_i \cos \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right)), $$
$$ b_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i \sin \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right) ), \quad i\le k फूरियर ट्रांसफॉर्म के तीन रूपों के बीच मुख्य अंतर यह है कि अगर इंटीग्रल फूरियर ट्रांसफॉर्म को फंक्शन $f(x)$ के पूरे डोमेन पर परिभाषित किया जाता है, तो सीरीज़ और असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म को केवल असतत सेट पर परिभाषित किया जाता है अंक, जो फूरियर श्रृंखला के लिए अनंत है और असतत परिवर्तनों के लिए सीमित है। जैसा कि फूरियर ट्रांसफॉर्म की परिभाषाओं से देखा जा सकता है, डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग सिस्टम के लिए सबसे बड़ी दिलचस्पी असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म है। डिजिटल मीडिया या सूचना स्रोतों से प्राप्त डेटा को वैक्टर या मैट्रिस के रूप में लिखे गए नंबरों के सेट का आदेश दिया जाता है। आमतौर पर यह माना जाता है कि असतत परिवर्तन के लिए इनपुट डेटा $\Delta $ के एक चरण के साथ एक समान नमूना है, जबकि मूल्य $T=N\Delta $ को रिकॉर्ड की लंबाई, या मुख्य अवधि कहा जाता है। मौलिक आवृत्ति $1/T$ के बराबर है। इस प्रकार, असतत फूरियर रूपांतरण में, इनपुट डेटा को उन आवृत्तियों में विघटित किया जाता है जो मौलिक आवृत्ति के एक पूर्णांक गुणक होते हैं। इनपुट डेटा के आयाम द्वारा निर्धारित अधिकतम आवृत्ति $1/2 \Delta $ के बराबर है और इसे $\it(Nyquist फ़्रीक्वेंसी)$ कहा जाता है। असतत परिवर्तन का उपयोग करते समय Nyquist आवृत्ति के लिए लेखांकन आवश्यक है। यदि इनपुट डेटा में आवधिक घटक होते हैं जिनकी आवृत्ति Nyquist आवृत्ति से अधिक होती है, तो असतत फूरियर रूपांतरण की गणना करते समय, उच्च-आवृत्ति डेटा को कम आवृत्ति से बदल दिया जाएगा, जिससे असतत परिवर्तन के परिणामों की व्याख्या करने में त्रुटियां हो सकती हैं। डेटा विश्लेषण के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण भी $\it(ऊर्जा स्पेक्ट्रम)$ है। आवृत्ति $\omega $ पर सिग्नल की शक्ति निम्नानुसार निर्धारित की जाती है: $$ पी \ लेफ्ट (\ ओमेगा \ राइट) = \ फ्रैक (1) (2) \ लेफ्ट ((ए \ लेफ्ट (\ ओमेगा \ राइट) ^ 2 + बी \ लेफ्ट (\ ओमेगा \ राइट) ^ 2) \ राइट ) . $$ इस मान को अक्सर $\omega $ की आवृत्ति पर $\it(सिग्नल एनर्जी)$ कहा जाता है। पारसेवल के प्रमेय के अनुसार, इनपुट सिग्नल की कुल ऊर्जा सभी आवृत्तियों पर ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है। $$ E=\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i^2) =\sum\limits_(i=0)^(N/2) (P \left((\omega _i ) \सही)) । $$ पावर बनाम फ़्रीक्वेंसी के प्लॉट को एनर्जी स्पेक्ट्रम या पावर स्पेक्ट्रम कहा जाता है। ऊर्जा स्पेक्ट्रम इनपुट डेटा में छिपी आवधिकताओं को प्रकट करना और इनपुट डेटा की संरचना में कुछ आवृत्ति घटकों के योगदान का मूल्यांकन करना संभव बनाता है। असतत फूरियर रूपांतरण के त्रिकोणमितीय रूप के अलावा, $\it(जटिल प्रतिनिधित्व)$ का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। फूरियर रूपांतरण का जटिल रूप व्यापक रूप से बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में और विशेष रूप से छवि प्रसंस्करण में उपयोग किया जाता है। त्रिकोणमितीय से जटिल रूप में संक्रमण यूलर सूत्र के आधार पर किया जाता है $$ e^(j\omega t)=\cos \omega t+j\sin \omega t, \quad j=\sqrt (-1) । $$ यदि इनपुट अनुक्रम $N$ जटिल संख्या है, तो इसका असतत फूरियर रूपांतरण होगा $$ G_m =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (x_n ) e^(\frac(-2\pi jmn)(N)), $$ और उलटा परिवर्तन $$ x_m =\sum\limits_(n=1)^(N-1) (G_n ) e^(\frac(2\pi jmn)(N))। $$ यदि इनपुट अनुक्रम वास्तविक संख्याओं की एक सरणी है, तो इसके लिए एक जटिल और साइन-कोसाइन असतत परिवर्तन दोनों हैं। इन अभ्यावेदन का संबंध इस प्रकार व्यक्त किया गया है: $$ a_0 =G_0 , \quad G_k =\left((a_k -jb_k ) \right)/2, \quad 1\le k\le N/2; $$ परिवर्तन के शेष $N/2$ मूल्य जटिल संयुग्म हैं और कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं है। इसलिए, असतत फूरियर रूपांतरण के पावर स्पेक्ट्रम का ग्राफ $N/2$ के संबंध में सममित है। असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी) की गणना करने का सबसे सरल तरीका प्रत्यक्ष योग है, जिसके परिणामस्वरूप प्रति गुणांक $N$ संचालन होता है। कुल मिलाकर $N$ गुणांक हैं, इसलिए कुल जटिलता $O\left((N^2) \right)$ है। यह दृष्टिकोण व्यावहारिक रुचि का नहीं है, क्योंकि डीएफटी की गणना करने के लिए और अधिक कुशल तरीके हैं, जिसे फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) कहा जाता है, जिसमें $ ओ (एन \ लॉग एन) $ जटिलता है। FFT केवल उन अनुक्रमों पर लागू होता है जिनकी लंबाई (तत्वों की संख्या) होती है जो कि 2 की शक्ति का गुणक होता है। FFT एल्गोरिथ्म के पीछे सबसे सामान्य सिद्धांत इनपुट अनुक्रम को दो अर्ध-लंबाई वाले अनुक्रमों में विभाजित करना है। पहला अनुक्रम सम-संख्या वाले डेटा से भरा है, और दूसरा अनुक्रम विषम-संख्या वाले डेटा से भरा है। यह दो $N/2$ परिवर्तनों के माध्यम से DFT गुणांकों की गणना करना संभव बनाता है। निरूपित $\omega _m =e^(\frac(2\pi j)(m))$, फिर $G_m =\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n) ) ) \omega _(N/2)^(mn) +\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n+1) ) \omega _(N/2) ^(mn) \omega _N^m $. $m . के लिए< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. $M\times N$ संख्याओं के द्वि-आयामी सरणी के लिए असतत फूरियर रूपांतरण को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: $$ G_(uw) =\frac(1)(NM)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (\sum\limits_(m=1)^(M-1) (x_(mn) ) ) ) e^((-2\pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ), $$ और उलटा परिवर्तन $$ x_(mn) =\sum\limits_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw)) ) e^( (2 \pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]))। $$ छवि प्रसंस्करण के मामले में, 2डी फूरियर रूपांतरण के घटकों को $\textit(स्थानिक आवृत्तियों)$ कहा जाता है। द्वि-आयामी फूरियर रूपांतरण की एक महत्वपूर्ण संपत्ति एक-आयामी एफएफटी प्रक्रिया का उपयोग करके इसकी गणना की संभावना है: $$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) ( \left[ (\frac(1)(M)\sum\limits_(m=) 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) ) \right] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$ यहां, वर्ग कोष्ठक में अभिव्यक्ति डेटा मैट्रिक्स का एक-आयामी पंक्ति परिवर्तन है, जिसे एक-आयामी FFT के साथ किया जा सकता है। इस प्रकार, द्वि-आयामी फूरियर रूपांतरण प्राप्त करने के लिए, किसी को पहले एक-आयामी पंक्ति परिवर्तनों की गणना करनी चाहिए, परिणामों को मूल मैट्रिक्स में लिखना चाहिए, और परिणामी मैट्रिक्स के स्तंभों के लिए एक-आयामी परिवर्तनों की गणना करना चाहिए। द्वि-आयामी फूरियर रूपांतरण की गणना करते समय, कम आवृत्तियों को मैट्रिक्स के कोनों में केंद्रित किया जाएगा, जो प्राप्त जानकारी के आगे के प्रसंस्करण के लिए बहुत सुविधाजनक नहीं है। द्वि-आयामी फूरियर रूपांतरण के प्रतिनिधित्व का अनुवाद करने के लिए, जिसमें कम आवृत्तियों को मैट्रिक्स के केंद्र में केंद्रित किया जाता है, आप एक सरल प्रक्रिया कर सकते हैं, जिसमें मूल डेटा को $-1^(m+n)$ से गुणा करना शामिल है। . अंजीर पर। 16 मूल छवि और उसके फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है। ग्रेस्केल छवि और इसकी फूरियर छवि (LabVIEW सिस्टम में प्राप्त छवियां) फ़ंक्शन $s(t)$ और $r(t)$ के कनवल्शन को परिभाषित किया गया है: $$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau । $$ व्यवहार में, किसी को असतत दृढ़ संकल्प से निपटना पड़ता है, जिसमें एक समान ग्रिड के नोड्स पर मूल्यों के सेट द्वारा निरंतर कार्यों को प्रतिस्थापित किया जाता है (आमतौर पर एक पूर्णांक ग्रिड लिया जाता है): $$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k)। $$ यहां $-N$ और $P$ एक सीमा को परिभाषित करते हैं जिसके आगे $r(t) = 0$। फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके कनवल्शन की गणना करते समय, फूरियर ट्रांसफॉर्म की संपत्ति का उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार फ़्रीक्वेंसी डोमेन में फ़ंक्शंस की छवियों का उत्पाद टाइम डोमेन में इन फ़ंक्शंस के कनवल्शन के बराबर होता है। सामंजस्य की गणना करने के लिए, मूल डेटा को फ़्रीक्वेंसी डोमेन में बदलना आवश्यक है, अर्थात, उनके फूरियर रूपांतरण की गणना करें, परिवर्तन के परिणामों को गुणा करें, और मूल प्रतिनिधित्व को बहाल करते हुए, उलटा फूरियर रूपांतरण करें। एल्गोरिथ्म के संचालन में एकमात्र सूक्ष्मता इस तथ्य से संबंधित है कि असतत फूरियर रूपांतरण (एक निरंतर एक के विपरीत) के मामले में, दो आवधिक कार्यों को दोषी ठहराया जाता है, अर्थात, हमारे मूल्यों के सेट u200bइन कार्यों की अवधि को ठीक से निर्दिष्ट करें, न कि केवल अक्ष के कुछ अलग खंड पर मान। यही है, एल्गोरिथ्म मानता है कि बिंदु $x_(N )$ के बाद शून्य नहीं, बल्कि बिंदु $x_(0)$, और इसी तरह एक सर्कल में आता है। इसलिए, कनवल्शन की सही गणना करने के लिए, सिग्नल को पर्याप्त रूप से लंबा शून्य अनुक्रम निर्दिष्ट करना आवश्यक है। रैखिक फ़िल्टरिंग विधियाँ अच्छी तरह से संरचित विधियों में से हैं, जिसके लिए तेज़ कनवल्शन एल्गोरिदम और वर्णक्रमीय विश्लेषण पर आधारित कुशल कम्प्यूटेशनल योजनाएँ विकसित की गई हैं। सामान्य तौर पर, रैखिक फ़िल्टरिंग एल्गोरिदम प्रपत्र का परिवर्तन करते हैं $$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta , $$ जहां $K(\zeta ,\eta)$ रैखिक परिवर्तन का कर्नेल है। संकेत के असतत प्रतिनिधित्व के साथ, इस सूत्र में अभिन्न एक निश्चित एपर्चर के भीतर मूल छवि के नमूनों के भारित योग में पतित हो जाता है। इस मामले में, एक या किसी अन्य इष्टतमता मानदंड के अनुसार कर्नेल $K(\zeta ,\eta)$ की पसंद से कई उपयोगी गुण हो सकते हैं (छवि के संख्यात्मक भेदभाव की समस्या के नियमितीकरण में गाऊसी चौरसाई) , आदि।)। आवृत्ति डोमेन में रैखिक प्रसंस्करण विधियों को सबसे प्रभावी ढंग से कार्यान्वित किया जाता है। फ़िल्टरिंग संचालन करने के लिए छवि की फूरियर छवि का उपयोग मुख्य रूप से इस तरह के संचालन के उच्च प्रदर्शन के कारण होता है। एक नियम के रूप में, फ़िल्टर की फूरियर छवि के गुणांक द्वारा प्रत्यक्ष और उलटा दो-आयामी फूरियर रूपांतरण और गुणा करना मूल छवि के दो-आयामी दृढ़ संकल्प करने से कम समय लेता है। फ़्रीक्वेंसी डोमेन में फ़िल्टरिंग एल्गोरिदम कनवल्शन प्रमेय पर आधारित होते हैं। द्वि-आयामी मामले में, कनवल्शन ट्रांसफ़ॉर्मेशन इस तरह दिखता है: $$ जी \ बाएं ((यू, वी) \ दाएं) = एच \ बाएं ((यू, वी) \ दाएं) एफ \ बाएं ((यू, वी) \ दाएं), $$ जहां $G$ कनवल्शन परिणाम का फूरियर रूपांतरण है, $H$ फ़िल्टर का फूरियर रूपांतरण है, और $F$ मूल छवि का फूरियर रूपांतरण है। यही है, फ़्रीक्वेंसी डोमेन में, द्वि-आयामी कनवल्शन को मूल छवि और संबंधित फ़िल्टर की छवियों के तत्व-वार गुणन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। रोलअप करने के लिए, आपको निम्न कार्य करने होंगे: फ़्रीक्वेंसी डोमेन में फ़िल्टर फ़ंक्शन और स्थानिक डोमेन के बीच संबंध को कनवल्शन प्रमेय का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है $$ \Phi \बाएं[(f\बाएं((x,y)\right)\ast h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)H\left(( यू, वी) \दाएं), $$ $$ \Phi \बाएं[(f\बाएं((x,y)\right)h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)\ast H\left(( यू, वी)\दाएं)। $$ एक आवेग समारोह के साथ एक समारोह के संकल्प को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है: $$ \sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (s\left((x,y) \right)) \delta \left((x-x_0 , y-y_0 ) \right)=s(x_0 ,y_0). $$ आवेग समारोह का फूरियर रूपांतरण $$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \) बाएँ ((x, y) \ दाएँ)) ) e^( (-2\pi j\left((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \right)) ) =\ फ्रैक (1) (एमएन)। $$ चलो $f(x,y) = \delta (x,y)$, फिर कनवल्शन $$ f\बाएं((x,y) \right)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\left((x,y) \right), $$ $$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)) \right]H\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)H\left((u,v) \right). $$ इन अभिव्यक्तियों से यह देखा जा सकता है कि आवृत्ति और स्थानिक डोमेन में फ़िल्टर कार्य फूरियर रूपांतरण के माध्यम से परस्पर जुड़े हुए हैं। किसी दिए गए फ़्रीक्वेंसी डोमेन फ़िल्टर फ़ंक्शन के लिए, आप हमेशा व्युत्क्रम फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म को लागू करके संबंधित स्थानिक डोमेन फ़िल्टर पा सकते हैं। रिवर्स केस के लिए भी यही सच है। इस संबंध का उपयोग करके, स्थानिक रैखिक फिल्टर के संश्लेषण की प्रक्रिया निर्धारित करना संभव है। ($\textit(आदर्श कम-पास फ़िल्टर)$) $H(u,v)$ $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v) है< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($\textit(आदर्श उच्च-पास फ़िल्टर)$) आदर्श निम्न-पास फ़िल्टर को उलट कर प्राप्त किया जाता है: $$ एच" (यू, वी) = 1-एच (यू, वी)। $$ यहां, उच्च-आवृत्ति वाले घटकों को बनाए रखते हुए कम-आवृत्ति वाले घटकों को पूरी तरह से दबा दिया जाता है। हालांकि, जैसा कि एक आदर्श लो-पास फिल्टर के मामले में होता है, इसका उपयोग महत्वपूर्ण विकृति की उपस्थिति से भरा होता है। न्यूनतम विरूपण के साथ फिल्टर डिजाइन करने के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जाता है। उनमें से एक घातांक-आधारित फ़िल्टर संश्लेषण है। इस तरह के फिल्टर परिणामी छवि में न्यूनतम विकृति का परिचय देते हैं और आवृत्ति डोमेन में संश्लेषण के लिए सुविधाजनक होते हैं। छवि प्रसंस्करण में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है वास्तविक गाऊसी फ़ंक्शन के आधार पर फ़िल्टर का एक परिवार। $\textit(लो पास गाऊसी फ़िल्टर)$ का रूप है $$ h\बाएं(x \right)=\sqrt (2\pi) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \right)^2) \mbox( and ) H\left( u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$ फ़्रीक्वेंसी डोमेन में फ़िल्टर प्रोफ़ाइल जितना छोटा होगा (बड़ा $\sigma $), यह स्थानिक डोमेन में उतना ही चौड़ा होता है। ($\textit(हाई पास गाऊसी फ़िल्टर)$) का रूप है $$ h\बाएं(x \right)=\sqrt (2\pi) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \right)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Be^(-2\left((\pi \sigma _B x) \right)^2), $$ $$ H\बाएं(u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2 ))। $$ द्वि-आयामी मामले में ($\it(low-pass)$) गाऊसी फ़िल्टर इस तरह दिखता है: $$ एच \ लेफ्ट ((यू, वी) \ राइट) = ई ^ (- \ फ्रैक (डी ^ 2 \ लेफ्ट ((यू, वी) \ राइट)) (2 डी_0 ^ 2))। $$ ($\it(हाई-पास)$) गाऊसी फ़िल्टर का रूप है $$ एच \ लेफ्ट ((यू, वी) \ राइट) = 1-ई ^ (- \ फ्रैक (डी ^ 2 \ लेफ्ट ((यू, वी) \ राइट)) (2 डी_0 ^ 2))। $$ फ़्रीक्वेंसी डोमेन (चित्र 17 - 22) में छवि फ़िल्टरिंग (चित्र 1) के एक उदाहरण पर विचार करें। ध्यान दें कि छवि की फ़्रीक्वेंसी फ़िल्टरिंग स्मूथिंग ($\textit(low-pass filtering)$) और समोच्च और छोटी वस्तुओं ($\textit(high-pass filtering)$) को हाइलाइट करने के लिए दोनों समझ में आ सकती है। जैसे कि चित्र से देखा जा सकता है। 17, 19, जैसे-जैसे छवि के कम-आवृत्ति घटक में फ़िल्टरिंग की "शक्ति" बढ़ती है, छवि के "स्पष्ट डिफोकसिंग" या $\it(धुंधला)$ का प्रभाव अधिक स्पष्ट हो जाता है। उसी समय, छवि की सूचना सामग्री का एक बड़ा हिस्सा धीरे-धीरे उच्च-आवृत्ति घटक में चला जाता है, जहां शुरुआत में केवल वस्तुओं की आकृति देखी जाती है (चित्र 18, 20 - 22)। आइए अब छवि में योगात्मक गाऊसी शोर की उपस्थिति में उच्च-पास और निम्न-पास फ़िल्टर (चित्र 23 - 28) के व्यवहार पर विचार करें (चित्र 7)। जैसे कि चित्र से देखा जा सकता है। 23, 25, एडिटिव रैंडम शोर को दबाने में कम-आवृत्ति वाले फिल्टर के गुण पहले से माने गए रैखिक फिल्टर के गुणों के समान हैं - पर्याप्त फिल्टर शक्ति के साथ, शोर को दबा दिया जाता है, लेकिन इसके लिए कीमत आकृति का एक मजबूत धुंधलापन है और पूरी छवि का "डीफोकसिंग"। शोर छवि का उच्च-आवृत्ति घटक सूचनात्मक होना बंद कर देता है, क्योंकि समोच्च और वस्तु की जानकारी के अलावा, शोर घटक अब भी पूरी तरह से वहां मौजूद है (चित्र 27, 28)। आवृत्ति विधियों का उपयोग सबसे उपयुक्त होता है जब शोर प्रक्रिया के सांख्यिकीय मॉडल और/या छवि संचरण चैनल के ऑप्टिकल स्थानांतरण फ़ंक्शन ज्ञात होते हैं। पुनर्स्थापना फ़िल्टर के रूप में निम्न प्रपत्र के सामान्यीकृत नियंत्रणीय (पैरामीटर $\sigma$ और $\mu$ द्वारा) फ़िल्टर चुनकर इस तरह के प्राथमिक डेटा को ध्यान में रखना सुविधाजनक है: $$ F(w_1,w_2)= \left[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2)) )\right] \cdot \left[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2) \vert )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\right]। $$ जहां $0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. रैखिक फ़िल्टरिंग विधियों के लाभों में उनका स्पष्ट भौतिक अर्थ और परिणामों के विश्लेषण में आसानी शामिल है। हालांकि, सिग्नल-टू-शोर अनुपात में तेज गिरावट के साथ, क्षेत्रीय शोर के संभावित रूपों और उच्च-आयाम आवेग शोर की उपस्थिति के साथ, रैखिक प्रीप्रोसेसिंग विधियां पर्याप्त नहीं हो सकती हैं। इस स्थिति में, गैर-रेखीय तरीके बहुत अधिक शक्तिशाली होते हैं। रहने दो एफ(एक्स 1 , एक्स 2) दो चर का एक कार्य है। एक-आयामी फूरियर रूपांतरण के अनुरूप, हम दो-आयामी फूरियर रूपांतरण पेश कर सकते हैं: निश्चित मूल्यों पर कार्य ω 1 , ω 2 विमान में एक समतल तरंग का वर्णन करता है एक्स 1 , एक्स 2 (चित्र 19.1)। मात्रा 1 , 2 में स्थानिक आवृत्तियों और आयाम का अर्थ है मिमी-1 , और फलन F(ω 1 , ω 2) स्थानिक आवृत्तियों के स्पेक्ट्रम को निर्धारित करता है। एक गोलाकार लेंस एक ऑप्टिकल सिग्नल के स्पेक्ट्रम की गणना करने में सक्षम है (चित्र 19.2)। चित्र 19.2 में, निम्नलिखित संकेतन प्रस्तुत किया गया है: φ - फोकस दूरी, चित्र 19.1 - स्थानिक आवृत्तियों की परिभाषा के लिए द्वि-आयामी फूरियर रूपांतरण में एक-आयामी परिवर्तन के सभी गुण हैं, इसके अलावा, हम दो अतिरिक्त गुणों पर ध्यान देते हैं, जिसका प्रमाण द्वि-आयामी फूरियर रूपांतरण की परिभाषा से आसानी से अनुसरण करता है। चित्र 19.2 - उपयोग करके ऑप्टिकल सिग्नल के स्पेक्ट्रम की गणना गुणन. यदि द्वि-आयामी संकेत को गुणनखंडित किया जाता है, तब इसका स्पेक्ट्रम भी गुणनखंडित होता है: रेडियल समरूपता. यदि 2D सिग्नल रेडियल रूप से सममित है, अर्थात जीरो ऑर्डर बेसेल फंक्शन कहां है। वह सूत्र जो रेडियल रूप से सममित द्वि-आयामी सिग्नल और उसके स्थानिक स्पेक्ट्रम के बीच संबंध को निर्धारित करता है, हेंकेल ट्रांसफॉर्म कहलाता है। व्याख्यान 20. असतत फूरियर रूपांतरण। लो पास फिल्टर प्रत्यक्ष दो-आयामी असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी) एक स्थानिक समन्वय प्रणाली में दी गई छवि को बदल देता है ( एक्स, वाई), आवृत्ति समन्वय प्रणाली में निर्दिष्ट द्वि-आयामी असतत छवि परिवर्तन में ( आप, वो): व्युत्क्रम असतत फूरियर रूपांतरण (IDFT) का रूप है: यह देखा जा सकता है कि डीएफटी एक जटिल परिवर्तन है। इस परिवर्तन का मापांक छवि स्पेक्ट्रम के आयाम का प्रतिनिधित्व करता है और इसकी गणना डीएफटी के वास्तविक और काल्पनिक भागों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में की जाती है। चरण (चरण शिफ्ट कोण) को वास्तविक भाग के लिए डीएफटी के काल्पनिक भाग के अनुपात के चाप स्पर्शरेखा के रूप में परिभाषित किया गया है। ऊर्जा स्पेक्ट्रम स्पेक्ट्रम के आयाम के वर्ग के बराबर है, या स्पेक्ट्रम के काल्पनिक और वास्तविक भागों के वर्गों के योग के बराबर है। कनवल्शन प्रमेय कनवल्शन थ्योरम के अनुसार, स्पेस डोमेन में दो फंक्शन्स का कनवल्शन उनके DFT के प्रोडक्ट के ODFT द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, यानी। फ़्रीक्वेंसी डोमेन में फ़िल्टरिंग आपको छवि के DFT से फ़िल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया का चयन करने की अनुमति देता है, आवश्यक छवि परिवर्तन प्रदान करता है। सबसे आम फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया पर विचार करें।फूरियर रूपांतरण का जटिल प्रतिनिधित्व।
फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म।
द्वि-आयामी फूरियर रूपांतरण।
फूरियर रूपांतरण का उपयोग कर कनवल्शन।
फ़्रीक्वेंसी डोमेन में छवियों को फ़िल्टर करना।
गोलाकार लेंस
