प्रत्येक व्यक्ति, गणित की समस्याओं को हल करते समय, अक्सर भिन्नों के साथ समस्याओं का सामना करता था। उनमें से बहुत सारे हैं, इसलिए हम मुख्य ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए विभिन्न विकल्पों पर विचार करेंगे।

भिन्न क्या हैं

किसी भी भिन्न की सबसे बड़ी संख्या को अंश कहा जाता है, और नीचे की संख्या को हर कहा जाता है। साधारण भिन्न दो संख्याओं का भागफल होता है, इनमें से एक संख्या भिन्न के अंश में होती है, दूसरी भिन्न के हर में होती है। इन साधारण भिन्नों के प्रकार भिन्न के हर और अंश की तुलना करके निर्धारित किए जाएंगे।

यदि किसी भिन्न का हर (एक प्राकृत संख्या) किसी भिन्न के अंश (एक प्राकृत संख्या) से बड़ा है, तो भिन्न को उचित कहा जाता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 7/19; 9/13; 31/152; 5/17.

यदि किसी भिन्न का हर (एक प्राकृत संख्या) किसी भिन्न के अंश (एक प्राकृत संख्या) से कम या उसके बराबर हो, तो भिन्न को अनुचित भिन्न कहा जाता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.

अनुचित भिन्न का अनुवाद कैसे करें

मिश्रित भिन्न को अनुचित में बदलने के लिए, आपको भिन्न के पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग में हर से गुणा करना होगा और अंश को इस उत्पाद में जोड़ना होगा। फिर योग को अंश के रूप में लें, उसी हर को पहले की तरह लिखें। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11।
• 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9।

एक अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलने के लिए, आपको इस अनुचित भिन्न के अंश को उसके हर से भाग देना होगा। परिणामी पूर्णांक को भिन्न के पूर्णांक भाग के रूप में लिया जाता है, और शेष (बेशक, यदि यह मौजूद है) को सही भिन्न के भिन्नात्मक भाग के अंश के रूप में लिया जाता है, जो पहले की तरह ही हर को लिखता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
• 156/12 = (13x12)/12 = 13.

एक अनुचित भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या ऐसा कोई कारक मौजूद है, जो आपको अनुपयुक्त भिन्न के भिन्नात्मक भाग के हर को दस के बराबर संख्या में लाने की अनुमति देगा। शक्ति (10, 100, 1000 और उससे अधिक)। यदि ऐसा कारक है, तो इसे जांचने के लिए अनुचित अंश के अंश और हर को इस कारक से गुणा करना आवश्यक है। अब गुणा किए गए अंश को अल्पविराम से अलग किया जाना चाहिए। , अनुचित भिन्न के पूर्णांक भाग के लिए। हम उदाहरण देते हैं:

• गुणक "5" - 8/20 = (8x5) / (20x5) = 40/100 = 0.4।
• गुणक "4" - 14/25 = (14x4) / (25x4) = 56/100 = 0.56।
• गुणक "25" - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0.075।

यदि ऐसा कोई कारक मौजूद नहीं है, तो इसका मतलब है कि इस अनुचित दशमलव अंश का कोई स्पष्ट समकक्ष नहीं है। अर्थात्, प्रत्येक अनुचित भिन्न को दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। इस मामले में, आपको आवश्यक सटीकता की डिग्री के साथ अंश के अनुमानित मूल्य को खोजने की आवश्यकता है। आप कैलकुलेटर पर, अपने दिमाग में या एक कॉलम में इस तरह के अंश की गणना कर सकते हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 41/7 = 5(6/7) = 5.9 (दसवें तक पूर्णांकित), = 5.86 (सौवें तक गोल), = 5.857 (हजारवें तक गोल); 3/7, 7/6, 1/3 और अन्य। वे भी स्पष्ट रूप से अनुवादित नहीं होते हैं और एक कैलकुलेटर पर, दिमाग में या एक कॉलम में गिने जाते हैं।

अब आप जानते हैं कि अनुचित भिन्न को उचित या दशमलव में कैसे बदला जाता है!

प्रत्येक आधुनिक व्यक्ति, जब वह स्कूल में था, गणितीय समस्याओं को हल करते समय, अक्सर विभिन्न प्रकार की भिन्नात्मक समस्याओं का सामना करता था। उनमें से बहुत सारे हैं, इसलिए इन समस्याओं में से सबसे बुनियादी को हल करने के लिए विभिन्न विकल्पों पर विचार करना समझ में आता है।

उचित और अनुचित भिन्न

किसी भी भिन्न की शीर्ष संख्या को अंश कहा जाता है, जबकि नीचे की संख्या को हर कहा जाता है। साधारण भिन्न दो संख्याओं के भाग होते हैं, इसके अलावा, इनमें से एक भिन्न के अंश में होता है, और दूसरा, क्रमशः, इस भिन्न का हर होता है। ऐसे साधारण भिन्नों के प्रकार उनके हर और अंश के मानों की तुलना करके निर्धारित किए जाते हैं।

उचित अंश

ऐसी स्थिति में जब किसी भिन्न का हर एक प्राकृत संख्या हो, जिसका मान उसके अंश से अधिक हो, साथ ही एक प्राकृत संख्या हो, तो भिन्न को उचित कहा जाता है। इनके उदाहरण हो सकते हैं: 8/19; 9/14; 31/162; 5/37 और इतने पर।

यदि किसी भिन्न का हर उसके अंश से कम या उसके बराबर हो, तो ऐसे भिन्न को पहले से ही अनुचित कहा जाता है। उदाहरण के लिए, ये इस प्रकार हैं: 7/4; 19/6; 15/3; 231/83 और इसी तरह।

अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में क्यों बदलें?

इस तरह के गणितीय हेरफेर आवश्यक है यदि एक ऑपरेशन कई अंशों के साथ किया जाता है, उदाहरण के लिए, उन्हें जोड़ा जाता है।

सलाह

यदि मिश्रित भिन्न है, तो पहले इसे अनुचित में परिवर्तित किया जाना चाहिए, फिर अन्य गणितीय कार्य किए जाने चाहिए।

अनुचित भिन्न में बदलना

किसी भी मिश्रित भिन्न को अनुचित में बदलने के लिए, आपको पहले उसके पूरे भाग को उसके भिन्नात्मक भाग के हर से गुणा करना होगा, और फिर इस उत्पाद में अंश जोड़ना होगा। इसके अलावा, योग को अंश के रूप में लिया जाता है, लेकिन पहले के समान हर के साथ। एक अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलने के लिए, आपको ऐसे अनुपयुक्त भिन्न के अंश को उसके हर से भाग देना होगा। इसके अलावा, इस तरह से प्राप्त पूर्णांक को भिन्न के पूर्णांक भाग के रूप में लिया जाना चाहिए, जबकि शेष, यदि यह मौजूद है, तो निश्चित रूप से, सही भिन्न के भिन्नात्मक भाग का अंश बनाया जाना चाहिए। भाजक जैसा था वैसा ही लिखा जाता है। किसी भी अनुचित भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, आपको सबसे पहले यह पता लगाना होगा कि क्या ऐसा कोई कारक है जो आपको इसके भिन्नात्मक भाग के हर को गलत प्रारूप में किसी संख्या में दस या दस के बराबर लाने की अनुमति देता है। यानी 10, 100, 1000 और इसी तरह। यदि ऐसा कोई गुणनखंड है, तो अनुपयुक्त भिन्न के अंश और हर दोनों को इस गुणनखंड से गुणा किया जाना चाहिए, इस प्रकार, जैसे वह था, उसकी जाँच करना। और उसके बाद, गुणा किए गए अंश को अल्पविराम से अलग करके, अनुचित अंश के पूर्णांक भाग में जोड़ना होगा।

पूर्णांकन से दहाई तक अनुवादित नहीं किया जा सकता

इस घटना में कि ऐसा कारक मौजूद नहीं है, इसका मतलब है कि इस तरह के अनुचित अंश का दशमलव रूप में स्पष्ट समतुल्य नहीं है। सीधे शब्दों में कहें तो हर अनुचित अंश को दशमलव बनाकर अनुवाद नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, आपको भिन्न का अनुमानित, अधिकतम संगत मान ज्ञात करना होगा। यह सब किसी विशेष कार्य की स्थिति में आवश्यक सटीकता की डिग्री पर निर्भर करता है। कैलकुलेटर पर इस अंश की गणना करना सबसे आसान है, लेकिन आप इसे अपने दिमाग में या एक कॉलम में कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, "41/7 = 5(6/7) = 5.9", इसे दसवें तक पूर्णांकित किया जाता है, या "= 5.86" जब सौवें भाग की आवश्यकता होती है, और "= 5.857" अगर हज़ारवें तक पूर्णांकित किया जाता है। कई भिन्नों का स्पष्ट रूप से दशमलव में अनुवाद नहीं किया गया है, इसलिए उन्हें दिमाग में नहीं और कॉलम में नहीं, बल्कि कैलकुलेटर का उपयोग करके गिनना आसान है।

निष्कर्ष:

भिन्नों के साथ जोड़तोड़ के बिना, एक भी स्कूल गणित पाठ्यक्रम संभव नहीं है। हां, और रोजमर्रा की जिंदगी में आपको शायद ही कभी केवल पूर्ण संख्याओं से निपटना पड़ता है, और इसलिए हर किसी को उचित अंशों को अनुचित अंशों में बदलने या उन्हें ऐसे मिश्रित अंशों में बदलने में सक्षम होना चाहिए। यह बहुत आसान है और इसलिए आप याद कर सकते हैं कि कागज पर कुछ व्यावहारिक उदाहरणों को हल करने के बाद इसे शाब्दिक रूप से कैसे करना है, और फिर सामान्य तौर पर - आपके दिमाग में। दशमलव भिन्नों के साथ, स्थिति कुछ भिन्न होती है और हर चीज़ का दशमलव रूप में सटीक रूप से अनुवाद नहीं किया जा सकता है।

गणितीय भिन्न

सरल गणितीय नियम और तरकीबें, यदि उनका लगातार उपयोग नहीं किया जाता है, तो उन्हें सबसे तेजी से भुला दिया जाता है। शब्द स्मृति से और भी तेजी से लुप्त हो रहे हैं।

इन सरल क्रियाओं में से एक अनुचित अंश का उचित अंश या दूसरे शब्दों में मिश्रित अंश में परिवर्तन है।

अनुचित अंश

एक अनुचित भिन्न एक भिन्न होता है जिसमें अंश (अंशात्मक बार के ऊपर की संख्या) हर (बार के नीचे की संख्या) से अधिक या उसके बराबर होता है। ऐसा भिन्न भिन्नों को जोड़कर या किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। गणित के नियमों के अनुसार, ऐसे अंश को नियमित अंश में बदलना चाहिए।

उचित अंश

यह मान लेना तर्कसंगत है कि अन्य सभी भिन्नों को सही कहा जाता है। सख्त परिभाषा - एक सही अंश कहलाता है, जिसमें अंश हर से छोटा होता है। जिस भिन्न का पूर्णांक भाग होता है उसे कभी-कभी मिश्रित भिन्न कहा जाता है।

अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलना

• पहला मामला: अंश और हर एक दूसरे के बराबर हैं। ऐसे किसी भी अंश के परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक प्राप्त किया जाएगा। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह तीन-तिहाई है या एक सौ पच्चीस एक सौ पच्चीसवां। वास्तव में, ऐसा भिन्न किसी संख्या को स्वयं से विभाजित करने की क्रिया को दर्शाता है।

• दूसरा मामला: अंश हर से बड़ा है। यहां आपको संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने की विधि याद रखने की आवश्यकता है।
  ऐसा करने के लिए, आपको अंश के मूल्य के निकटतम संख्या को खोजने की आवश्यकता है, जो शेष के बिना हर से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, आपके पास उन्नीस तिहाई का अंश है। निकटतम संख्या जिसे तीन से विभाजित किया जा सकता है वह अठारह है। छह प्राप्त करें। अब परिणामी संख्या को अंश से घटाएं। हमें एक इकाई मिलती है। यह शेष है। परिवर्तन का परिणाम लिखें: छह पूर्णांक और एक तिहाई।

लेकिन इससे पहले कि आप भिन्न को सही रूप में लाएं, आपको यह जांचना होगा कि क्या इसे कम किया जा सकता है।
अंश और हर में एक सामान्य भाजक होने पर एक अंश को कम किया जा सकता है। अर्थात् वह संख्या जिससे दोनों बिना शेषफल के विभाज्य हों। यदि ऐसे कई भाजक हैं, तो आपको सबसे बड़ा खोजने की आवश्यकता है।
उदाहरण के लिए, सभी सम संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक होता है - दो। और सोलहवें बारहवें के अंश में एक और सामान्य भाजक है - चार। यह सबसे बड़ा भाजक है। अंश और हर को चार से विभाजित करें। कमी परिणाम: चार-तिहाई। अब, एक अभ्यास के रूप में, इस भिन्न को एक उचित भिन्न में परिवर्तित करें।

भिन्न एक संख्या है जिसमें एक इकाई के एक या अधिक भिन्न होते हैं। गणित में भिन्न तीन प्रकार के होते हैं: सामान्य, मिश्रित और दशमलव।

• 
  सामान्य भिन्न

एक साधारण भिन्न को उस अनुपात के रूप में लिखा जाता है जिसमें अंश यह दर्शाता है कि संख्या के कितने भाग लिए गए हैं, और हर यह दर्शाता है कि इकाई को कितने भागों में विभाजित किया गया है। यदि अंश हर से छोटा है, तो हमारे पास एक उचित भिन्न है। उदाहरण के लिए: ½, 3/5, 8/9।

यदि अंश हर के बराबर या उससे बड़ा है, तो हम एक अनुचित अंश के साथ काम कर रहे हैं। उदाहरण के लिए: 5/5, 9/4, 5/2 अंश को विभाजित करने से एक परिमित संख्या प्राप्त हो सकती है। उदाहरण के लिए, 40/8 \u003d 5. इसलिए, किसी भी पूर्णांक को साधारण अनुचित अंश या ऐसे अंशों की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है। एक ही संख्या को भिन्न की श्रंखला के रूप में लिखने पर विचार करें।

• मिश्रित भिन्न

सामान्य तौर पर, मिश्रित अंश को सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है:

इस प्रकार, एक मिश्रित भिन्न को एक पूर्णांक और एक साधारण उचित भिन्न के रूप में लिखा जाता है, और इस तरह के रिकॉर्ड को एक संपूर्ण और उसके भिन्नात्मक भाग के योग के रूप में समझा जाता है।

• दशमलव

दशमलव एक विशेष प्रकार की भिन्न होती है जिसमें हर को 10 की घात के रूप में दर्शाया जा सकता है। अनंत और परिमित दशमलव होते हैं। इस प्रकार के भिन्न को लिखते समय पहले पूर्णांक भाग को इंगित किया जाता है, फिर भिन्नात्मक भाग को विभाजक (डॉट या अल्पविराम) के माध्यम से तय किया जाता है।

भिन्नात्मक भाग का रिकॉर्ड हमेशा उसके आयाम से निर्धारित होता है। दशमलव प्रविष्टि इस तरह दिखती है:

विभिन्न प्रकार के भिन्नों के बीच अनुवाद नियम

• मिश्रित भिन्न को उभयनिष्ठ भिन्न में बदलना

मिश्रित भिन्न को केवल अनुचित भिन्न में बदला जा सकता है। अनुवाद के लिए, पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग के समान भाजक में लाना आवश्यक है। सामान्य तौर पर, यह इस तरह दिखेगा:
विशिष्ट उदाहरणों पर इस नियम के उपयोग पर विचार करें:

• साधारण भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलना

एक अनुचित सामान्य अंश को साधारण विभाजन द्वारा मिश्रित भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक पूर्णांक भाग और एक शेष (आंशिक भाग) होता है।

उदाहरण के लिए, आइए 439/31 भिन्न का मिश्रित रूप में अनुवाद करें:
​​

• एक साधारण अंश का अनुवाद

कुछ मामलों में, भिन्न को दशमलव में बदलना काफी सरल है। इस मामले में, एक अंश की मूल संपत्ति को लागू किया जाता है, भाजक को 10 की शक्ति में लाने के लिए अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है।

उदाहरण के लिए:

कुछ मामलों में, आपको एक कोने से भाग देकर या कैलकुलेटर का उपयोग करके भागफल को खोजने की आवश्यकता हो सकती है। और कुछ भिन्नों को अंतिम दशमलव भिन्न तक कम नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंश 1/3 विभाजित होने पर कभी भी अंतिम परिणाम नहीं देगा।

इस सामग्री में, हम मिश्रित संख्याओं जैसी किसी चीज़ का विश्लेषण करेंगे। हम, हमेशा की तरह, एक परिभाषा और छोटे उदाहरणों के साथ शुरू करते हैं, फिर हम मिश्रित संख्याओं और अनुचित अंशों के बीच संबंध की व्याख्या करेंगे। उसके बाद, हम सीखेंगे कि किसी भिन्न से पूर्णांक भाग को सही तरीके से कैसे निकाला जाए और परिणामस्वरूप पूर्णांक प्राप्त किया जाए।

मिश्रित संख्या की अवधारणा

यदि हम योग n + a b लेते हैं, जहाँ n का मान कोई भी प्राकृत संख्या हो सकता है, और a b एक उचित साधारण भिन्न है, तो हम a का उपयोग किए बिना एक ही चीज़ लिख सकते हैं: n a b । आइए स्पष्टता के लिए विशिष्ट संख्याएँ लें: तो, 28 + 5 7 28 5 7 के समान है। किसी पूर्णांक के आगे भिन्न लिखने को मिश्रित संख्या कहते हैं।

परिभाषा 1

मिश्रित संख्याएक संख्या है जो एक प्राकृतिक संख्या n के योग के बराबर है जिसमें एक उचित साधारण अंश a b है। इस स्थिति में, n संख्या का पूर्णांक भाग है, और a b इसका भिन्नात्मक भाग है।

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि कोई भी मिश्रित संख्या उसके पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के परिणाम के बराबर होती है। इस प्रकार, समानता n a b = n + a b धारण करेगी।

इसे n + a b = n a b के रूप में भी लिखा जा सकता है।

मिश्रित संख्याओं के कुछ उदाहरण क्या हैं? तो, 5 1 8 उनका है, जबकि पांच इसका पूरा हिस्सा है, और एक आठवां अंश भिन्न है। और उदाहरण: 1 1 2 , 234 34 53 , 34000 6 25 ।

हमने ऊपर लिखा है कि मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग में केवल एक उचित भिन्न होना चाहिए। कभी-कभी आपको 5 22 3 , 75 7 2 जैसी प्रविष्टियां मिल सकती हैं। वे मिश्रित संख्या नहीं हैं, क्योंकि उनका भिन्नात्मक भाग गलत है। उन्हें एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग के योग के रूप में समझने की आवश्यकता है। ऐसी संख्याओं को इन उदाहरणों में क्रमशः अनुचित भिन्न के पूर्णांक भाग को 5 और 75 में जोड़कर मानक मिश्रित संख्याओं में घटाया जा सकता है।

फॉर्म 0 3 14 की संख्याएं भी मिश्रित नहीं हैं। शर्त का पहला भाग यहां पूरा नहीं हुआ है: पूर्णांक भाग को केवल एक प्राकृतिक संख्या द्वारा दर्शाया जाना चाहिए, और शून्य नहीं है।

अनुचित भिन्न और मिश्रित संख्या कैसे संबंधित हैं?

यह कनेक्शन किसी विशिष्ट उदाहरण पर ट्रेस करना सबसे आसान है।

उदाहरण 1

चलो एक पूरा केक और उसी का एक और तीन चौथाई लेते हैं। अतिरिक्त नियमों के अनुसार, हमारे पास टेबल पर 1 + 3 4 केक हैं। इस राशि को मिश्रित संख्या के रूप में 1 3 4 केक के रूप में दर्शाया जा सकता है। अगर हम एक पूरा केक लें और उसे भी चार बराबर भागों में काट लें, तो हमारे पास मेज पर 7 4 केक होंगे। जाहिर है, काटने से राशि नहीं बढ़ी, और 1 3 4 = 7 4।

हमारा उदाहरण साबित करता है कि किसी भी अनुचित अंश को मिश्रित संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए टेबल पर बचे हमारे 7 4 केक पर वापस जाएं। आइए एक केक को उसके टुकड़ों में से वापस रख दें (1 + 3 4)। हमारे पास फिर से 1 3 4 होगा।

जवाब: 7 4 = 1 3 4 .

हमने यह पता लगाया कि एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में कैसे बदला जाए। यदि किसी अनुचित भिन्न के अंश में एक ऐसी संख्या है जिसे हर द्वारा बिना शेष के विभाजित किया जा सकता है, तो आप ऐसा कर सकते हैं, और तब हमारी अनुचित भिन्न एक प्राकृत संख्या बन जाएगी।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए,

8 4 = 2 8: 4 = 2 के बाद से।

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में कैसे बदलें

समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, विपरीत क्रिया करने में सक्षम होना, यानी मिश्रित संख्याओं से अनुचित अंश बनाना उपयोगी है। इस अनुच्छेद में, हम विश्लेषण करेंगे कि इसे सही तरीके से कैसे किया जाए।

ऐसा करने के लिए, आपको क्रियाओं के निम्नलिखित अनुक्रम को पुन: पेश करने की आवश्यकता है:

1. सबसे पहले, हम उपलब्ध मिश्रित संख्या n a b को पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के रूप में प्रस्तुत करते हैं। यह पता चला है n + a b

3. उसके बाद, हम पहले से ही परिचित क्रिया करते हैं - हम दो साधारण अंश n 1 और a b जोड़ते हैं। परिणामी अनुचित भिन्न स्थिति में दी गई मिश्रित संख्या के बराबर होगा।

आइए इस क्रिया का एक विशिष्ट उदाहरण पर विश्लेषण करें।

उदाहरण 3

5 3 7 को एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखिए।

फेसला

हम उपरोक्त एल्गोरिथम के चरणों को क्रम से करते हैं। हमारी संख्या 5 3 7 पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का योग है, अर्थात् 5 + 3 7। अब पाँचों को 5 1 के रूप में लिखते हैं। हमें 5 1 + 3 7 का योग मिला।

अंतिम चरण भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना है:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

संक्षिप्त रूप का संपूर्ण हल 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7 के रूप में लिखा जा सकता है।

जवाब: 5 3 7 = 38 7 .

इस प्रकार, उपरोक्त क्रियाओं की श्रृंखला की सहायता से, हम किसी भी मिश्रित संख्या n a b को अनुचित भिन्न में बदल सकते हैं। हमने सूत्र n a b = n b + a b प्राप्त किया है, जिसे हम आगे की समस्याओं को हल करने के लिए लेंगे।

उदाहरण 4

15 2 5 को अनुचित भिन्न के रूप में लिखिए।

फेसला

इस सूत्र को लें और इसमें वांछित मानों को प्रतिस्थापित करें। हमारे पास n = 15, a = 2, b = 5, इसलिए 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5 है।

जवाब: 15 2 5 = 77 5 .

हम आमतौर पर गलत अंश को अंतिम उत्तर के रूप में सूचीबद्ध नहीं करते हैं। गणनाओं को अंत तक लाने और इसे एक प्राकृतिक संख्या (हर से अंश को विभाजित करने) या मिश्रित संख्या के साथ बदलने की प्रथा है। एक नियम के रूप में, पहली विधि का उपयोग तब किया जाता है जब अंश को भाजक द्वारा बिना शेष के विभाजित करना संभव हो, और दूसरा - यदि ऐसी क्रिया असंभव है।

जब हम एक अनुचित भिन्न से पूरा भाग निकालते हैं, तो हम इसे केवल एक समान मिश्रित संख्या से बदल देते हैं।

आइए देखें कि यह वास्तव में कैसे किया जाता है।

परिभाषा 2

हम इस दावे का सबूत पेश करते हैं।

हमें यह समझाने की आवश्यकता है कि q r b = a b क्यों है। ऐसा करने के लिए, मिश्रित संख्या q r b को पिछले पैराग्राफ से एल्गोरिथम के सभी चरणों का पालन करके एक अनुचित अंश के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। चूँकि एक अपूर्ण भागफल है, और r, a को b से विभाजित करने का शेषफल है, तो समानता a = b · q + r अवश्य ही होनी चाहिए।

तो q b + r b = a b तो q r b = a b । यह हमारे दावे का प्रमाण है। संक्षेप में:

परिभाषा 3

अनुचित अंश a b से पूर्णांक भाग का चयन निम्नानुसार किया जाता है:

1) हम शेषफल के साथ a को b से विभाजित करते हैं और अपूर्ण भागफल q और शेष r को अलग-अलग लिखते हैं।

2) परिणाम q r b के रूप में लिखें। यह हमारी मिश्रित संख्या है, जो मूल अनुचित भिन्न के बराबर है।

उदाहरण 5

1074 को मिश्रित संख्या के रूप में व्यक्त करें।

फेसला

हम एक कॉलम में 104 को 7 से विभाजित करते हैं:

अंश a = 118 को हर b = 7 से भाग देने पर हमें अपूर्ण भागफल q = 16 और शेष r = 6 प्राप्त होता है।

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि अनुचित भिन्न 118 7 मिश्रित संख्या q r b = 16 6 7 के बराबर है।

जवाब: 118 7 = 16 6 7 .

यह देखना हमारे लिए बाकी है कि एक अनुचित भिन्न को एक प्राकृत संख्या से कैसे बदला जाए (बशर्ते इसका अंश हर से विभाज्य हो और शेष न हो)।

ऐसा करने के लिए, याद रखें कि साधारण भिन्न और विभाजन के बीच क्या संबंध है। इससे हम समानताएं प्राप्त कर सकते हैं: a b = a: b = c । यह पता चला है कि अनुचित अंश a b को प्राकृतिक संख्या c से बदला जा सकता है।

उदाहरण 6

उदाहरण के लिए, यदि उत्तर एक अनुचित अंश 27 3 निकला, तो हम इसके बजाय 9 लिख सकते हैं, क्योंकि 27 3 \u003d 27: 3 \u003d 9।

जवाब: 27 3 = 9 .

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