अभाज्य संख्याएँ सबसे दिलचस्प गणितीय घटनाओं में से एक हैं जिन्होंने दो सहस्राब्दियों से अधिक समय से वैज्ञानिकों और आम नागरिकों का ध्यान आकर्षित किया है। इस तथ्य के बावजूद कि हम अब कंप्यूटर और सबसे आधुनिक सूचना कार्यक्रमों के युग में रहते हैं, अभाज्य संख्याओं के कई रहस्य अभी तक हल नहीं हुए हैं, यहां तक ​​​​कि ऐसे भी हैं जिन्हें वैज्ञानिक नहीं जानते हैं कि कैसे संपर्क किया जाए।

अभाज्य संख्याएँ, जैसा कि प्रारंभिक अंकगणित के पाठ्यक्रम से जाना जाता है, वे हैं जो केवल एक और स्वयं से शेषफल के बिना विभाज्य हैं। वैसे, यदि कोई प्राकृत संख्या, ऊपर सूचीबद्ध संख्याओं के अतिरिक्त, किसी अन्य संख्या से विभाज्य हो, तो वह संमिश्र कहलाती है। सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक में कहा गया है कि किसी भी समग्र संख्या को अभाज्य संख्याओं के एकमात्र संभावित उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

कुछ रोचक तथ्य। सबसे पहले, इकाई इस मायने में अद्वितीय है कि, वास्तव में, यह न तो अभाज्य या मिश्रित संख्याओं से संबंधित है। उसी समय, वैज्ञानिक समुदाय में अभी भी इसे पहले समूह के लिए विशेषता देने का रिवाज है, क्योंकि औपचारिक रूप से यह अपनी आवश्यकताओं को पूरी तरह से पूरा करता है।

दूसरे, एकमात्र सम संख्या जो "अभाज्य संख्या" समूह में प्रवेश कर गई है, निश्चित रूप से, दो है। कोई अन्य सम संख्या यहाँ नहीं मिल सकती है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार, स्वयं और एक के अलावा, यह दो से भी विभाज्य है।

अभाज्य संख्याएँ, जिनकी सूची, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक से शुरू हो सकती हैं, एक अनंत श्रृंखला हैं, प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला के रूप में अनंत हैं। अंकगणित के मौलिक प्रमेय के आधार पर, कोई इस निष्कर्ष पर पहुंच सकता है कि अभाज्य संख्याएँ कभी भी बाधित नहीं होती हैं और न ही कभी समाप्त होती हैं, अन्यथा प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला अनिवार्य रूप से बाधित हो जाएगी।

अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक श्रृंखला में यादृच्छिक रूप से प्रकट नहीं होती हैं, क्योंकि यह पहली नज़र में लग सकती हैं। उनका सावधानीपूर्वक विश्लेषण करने के बाद, आप तुरंत कई विशेषताओं को नोटिस कर सकते हैं, जिनमें से सबसे उत्सुक तथाकथित "जुड़वां" संख्याओं से जुड़े हैं। उन्हें ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि किसी न किसी तरह से वे एक दूसरे के बगल में समाप्त हो गए, केवल एक समान सीमांकक (पांच और सात, सत्रह और उन्नीस) से अलग हो गए।

यदि आप उन्हें ध्यान से देखें, तो आप देखेंगे कि इन संख्याओं का योग सदैव तीन का गुणज होता है। इसके अलावा, बाएं साथी के एक तिहाई से विभाजित होने पर, शेष हमेशा दो रहता है, और दायां एक - एक रहता है। इसके अलावा, प्राकृतिक श्रृंखला के साथ इन संख्याओं के वितरण की भविष्यवाणी की जा सकती है यदि इस पूरी श्रृंखला को ऑसिलेटरी साइनसॉइड के रूप में दर्शाया गया है, जिनमें से मुख्य बिंदु तब बनते हैं जब संख्याओं को तीन और दो से विभाजित किया जाता है।

अभाज्य संख्याएं न केवल दुनिया भर के गणितज्ञों द्वारा बारीकी से जांच की वस्तु हैं, बल्कि लंबे समय से संख्याओं की विभिन्न श्रृंखलाओं को संकलित करने में सफलतापूर्वक उपयोग की जाती हैं, जो कि आधार है, जिसमें सिफरोग्राफी भी शामिल है। साथ ही, यह माना जाना चाहिए कि इन अद्भुत तत्वों से जुड़े बड़ी संख्या में रहस्य अभी भी हल होने की प्रतीक्षा कर रहे हैं, कई प्रश्न न केवल दार्शनिक हैं, बल्कि व्यावहारिक महत्व भी हैं।

परिभाषा 1. अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है जो केवल स्वयं और 1 से विभाज्य है।

दूसरे शब्दों में, एक संख्या अभाज्य होती है यदि उसमें केवल दो भिन्न प्राकृत भाजक हों।

परिभाषा 2. कोई भी प्राकृत संख्या जिसके अपने और एक के अलावा अन्य भाजक हो, कहलाती है संयुक्त संख्या।

दूसरे शब्दों में, वे प्राकृत संख्याएँ जो अभाज्य नहीं हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। परिभाषा 1 का तात्पर्य है कि एक भाज्य संख्या में दो से अधिक प्राकृतिक भाजक होते हैं। संख्या 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य। केवल एक भाजक 1 है और इसके अलावा, अभाज्य संख्याओं के बारे में कई प्रमेय एकता के लिए मान्य नहीं हैं।

यह परिभाषा 1 और 2 से इस प्रकार है कि 1 से बड़ा प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक या तो एक अभाज्य या एक भाज्य संख्या है।

नीचे 5000 तक अभाज्य संख्याएँ प्रदर्शित करने का एक कार्यक्रम है। कक्षों में भरें, "बनाएँ" बटन पर क्लिक करें और कुछ सेकंड प्रतीक्षा करें।

प्राइम नंबर टेबल

कथन 1. यदि एक पीएक अभाज्य संख्या है और एकोई पूर्णांक, फिर या तो एद्वारा विभाजित पी, या पीऔर एअपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ।

सच में। यदि एक पीअभाज्य संख्या है, तो यह केवल स्वयं से विभाज्य है और 1 यदि एसे विभाज्य नहीं है पी, तो सबसे बड़ा सामान्य भाजक एऔर पीबराबर 1. फिर पीऔर एअपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ।

कथन 2. यदि कई संख्याओं का गुणनफल ए 1 , ए 2 , ए 3 , ... एक अभाज्य संख्या से विभाज्य है पी, तो कम से कम एक संख्या ए 1 , ए 2 , ए 3 , ... से विभाज्य है पी.

सच में। यदि कोई भी संख्या से विभाज्य नहीं है पी, फिर संख्या ए 1 , ए 2 , ए 3 , ... के संबंध में अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ होंगी पी. लेकिन कोरोलरी 3 () से यह इस प्रकार है कि उनका उत्पाद ए 1 , ए 2 , ए 3 , ... के संबंध में भी सहअभाज्य है पी, जो दावे की स्थिति के विपरीत है। इसलिए, संख्याओं में से कम से कम एक संख्या से विभाज्य है पी.

प्रमेय 1. किसी भी भाज्य संख्या को हमेशा अभाज्य संख्याओं की परिमित संख्या के गुणनफल के रूप में, और इसके अलावा एक अनोखे तरीके से दर्शाया जा सकता है।

प्रमाण। रहने दो कसंयुक्त संख्या, और चलो ए 1 इसका एक भाजक है जो 1 और स्वयं से भिन्न है। यदि एक ए 1 मिश्रित है, तो इसमें 1 और . के अतिरिक्त है ए 1 और दूसरा विभक्त ए 2. यदि एक ए 2 एक भाज्य संख्या है, तो इसमें 1 और . के अतिरिक्त है ए 2 और दूसरा डिवाइडर ए 3. इस तरह से बहस करना और संख्याओं को ध्यान में रखना ए 1 , ए 2 , ए 3, ... घटती है और इस श्रृंखला में पदों की एक सीमित संख्या है, हम कुछ अभाज्य संख्या तक पहुंचेंगे पीएक । फिर कके रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

मान लीजिए किसी संख्या के दो प्रसार हैं क:

जैसा के = पी 1 पी 2 पी 3 ... एक अभाज्य संख्या से विभाज्य है क्यू 1 , फिर कम से कम एक कारक, उदाहरण के लिए पी 1 से विभाज्य है क्यूएक । लेकिन पी 1 अभाज्य है और केवल 1 और स्वयं से विभाज्य है। इसलिये पी 1 =क्यू 1 (क्योंकि क्यू 1 ≠1)

फिर (2) से हम बहिष्कृत कर सकते हैं पी 1 और क्यू 1:

इस प्रकार, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि कोई भी अभाज्य संख्या जो एक या अधिक बार कारक के रूप में पहले विस्तार में प्रवेश करती है, दूसरे विस्तार में कम से कम उतनी ही बार प्रवेश करती है और इसके विपरीत, कोई भी अभाज्य संख्या जो एक या कई कारक के रूप में दूसरे विस्तार में प्रवेश करती है। टाइम्स भी पहले विस्तार में कम से कम कई बार प्रवेश करता है। इसलिए, कोई भी अभाज्य संख्या दोनों प्रसारों में समान संख्या में गुणनखंड के रूप में प्रवेश करती है और इस प्रकार, ये दोनों प्रसार समान होते हैं।■

एक समग्र संख्या का अपघटन कनिम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

कहाँ पे पी 1 , पी 2 , ... भिन्न अभाज्य संख्याएँ, α, β, γ ... पूर्णांक धनात्मक संख्याएँ।

अपघटन (3) कहा जाता है विहित अपघटनसंख्याएं।

प्राकृत संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से आती हैं। श्रृंखला के कुछ हिस्सों में उनमें से कुछ अधिक हैं, दूसरों में - कम। हम संख्या श्रृंखला के साथ जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही दुर्लभ होती हैं। सवाल यह है कि क्या कोई सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने सिद्ध किया कि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं। इसका प्रमाण हम नीचे प्रस्तुत कर रहे हैं।

प्रमेय 2. अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत होती है।

प्रमाण। मान लीजिए कि अभाज्य संख्याओं की एक सीमित संख्या है, और मान लीजिए कि सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है पी. आइए सभी नंबरों पर विचार करें पी. कथन की धारणा के अनुसार, ये संख्याएं समग्र होनी चाहिए और कम से कम एक अभाज्य संख्या से विभाज्य होनी चाहिए। आइए एक संख्या चुनें जो इन सभी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल 1 हो:

संख्या जेडअधिक पीजैसा 2पीपहले से ही अधिक पी. पीइनमें से किसी भी अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है, क्योंकि जब उनमें से प्रत्येक से विभाजित किया जाता है, तो यह शेषफल 1 देता है। इस प्रकार हम एक अंतर्विरोध पर पहुंचते हैं। इसलिए, अनंत संख्या में अभाज्य संख्याएँ हैं।

यह प्रमेय अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष मामला है:

प्रमेय 3. मान लीजिए एक समांतर श्रेणी दी गई है

तब कोई अभाज्य संख्या in एन, में भी शामिल किया जाना चाहिए एम, तो में एनअन्य प्रमुख कारकों को शामिल नहीं किया जा सकता है जो इसमें शामिल नहीं हैं एमऔर, इसके अलावा, इन प्रमुख कारकों में एनसे अधिक बार नहीं दिखाई दें एम.

विपरीत भी सही है। यदि किसी संख्या का प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड एनकम से कम एक ही बार होता है एम, तब एमद्वारा विभाजित एन.

कथन 3. रहने दो ए 1 ,ए 2 ,ए 3 ,... विभिन्न अभाज्य संख्याएँ प्रदर्शित हो रही हैं एमइसलिए

कहाँ पे मैं=0,1,...α , जे=0,1,...,β , के = 0,1,..., γ . नोटिस जो एक मैंस्वीकार α +1 मान, β जे स्वीकार करता है β +1 मान, γ कश्मीर लेता है γ +1 मान, ....

• अनुवाद

अभाज्य संख्याओं के गुणों का अध्ययन सबसे पहले प्राचीन यूनान के गणितज्ञों ने किया था। पाइथागोरस स्कूल (500 - 300 ईसा पूर्व) के गणितज्ञ मुख्य रूप से अभाज्य संख्याओं के रहस्यमय और संख्यात्मक गुणों में रुचि रखते थे। वे सबसे पहले पूर्ण और मैत्रीपूर्ण संख्याओं के बारे में विचार लेकर आए।

एक पूर्ण संख्या के अपने भाजक स्वयं के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 6 के उचित भाजक हैं: 1, 2 और 3. 1 + 2 + 3 = 6. संख्या 28 के भाजक 1, 2, 4, 7 और 14 हैं। इसके अलावा, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28।

संख्याएँ मित्रवत कहलाती हैं यदि एक संख्या के उचित भाजक का योग दूसरी संख्या के बराबर हो, और इसके विपरीत - उदाहरण के लिए, 220 और 284। हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण संख्या स्वयं के अनुकूल होती है।

300 ईसा पूर्व में यूक्लिड के "बिगिनिंग्स" के काम की उपस्थिति के समय तक। अभाज्य संख्याओं के बारे में कई महत्वपूर्ण तथ्य पहले ही सिद्ध हो चुके हैं। तत्वों की पुस्तक IX में, यूक्लिड ने सिद्ध किया कि अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या होती है। वैसे, यह विरोधाभास द्वारा प्रमाण के उपयोग के पहले उदाहरणों में से एक है। उन्होंने अंकगणित के मूल प्रमेय को भी सिद्ध किया - प्रत्येक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीय तरीके से दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने यह भी दिखाया कि यदि संख्या 2 n -1 अभाज्य है, तो संख्या 2 n-1 * (2 n -1) पूर्ण होगी। एक अन्य गणितज्ञ, यूलर, 1747 में यह दिखाने में सक्षम था कि सभी सम पूर्ण संख्याओं को इस रूप में लिखा जा सकता है। आज तक, यह ज्ञात नहीं है कि विषम पूर्ण संख्याएँ मौजूद हैं या नहीं।

वर्ष 200 ई.पू. में ग्रीक एराटोस्थनीज ने अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक एल्गोरिथम का आविष्कार किया जिसे इरेटोस्थनीज की छलनी कहा जाता है।

और फिर मध्य युग से जुड़ी अभाज्य संख्याओं के अध्ययन के इतिहास में एक बड़ा विराम आया।

निम्नलिखित खोजें 17वीं शताब्दी की शुरुआत में गणितज्ञ फ़र्मेट द्वारा की गई थीं। उन्होंने अल्बर्ट गिरार्ड के इस अनुमान को साबित कर दिया कि 4n+1 के रूप की किसी भी अभाज्य संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है, और एक प्रमेय भी तैयार किया कि किसी भी संख्या को चार वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने बड़ी संख्याओं के लिए एक नई गुणनखंडन विधि विकसित की, और इसे संख्या 2027651281 = 44021 × 46061 पर प्रदर्शित किया। उन्होंने फ़र्मेट की छोटी प्रमेय को भी सिद्ध किया: यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो किसी भी पूर्णांक a के लिए, a p = a modulo p सत्य होगा। .

यह कथन "चीनी परिकल्पना" के रूप में जाना जाने वाला आधा साबित होता है और 2000 साल पहले की तारीखें: एक पूर्णांक n अभाज्य है यदि और केवल यदि 2n-2 n से विभाज्य है। परिकल्पना का दूसरा भाग गलत निकला - उदाहरण के लिए, 2341 - 2, 341 से विभाज्य है, हालाँकि संख्या 341 संयुक्त है: 341 = 31 × 11।

Fermat's Little Theorem संख्या सिद्धांत और परीक्षण के तरीकों में कई अन्य परिणामों का आधार था कि क्या संख्याएं अभाज्य हैं, जिनमें से कई आज भी उपयोग में हैं।

फ़र्मेट ने अपने समकालीनों के साथ बड़े पैमाने पर पत्राचार किया, विशेष रूप से मारिन मेर्सन नामक एक भिक्षु के साथ। अपने एक पत्र में, उन्होंने अनुमान लगाया कि 2 n + 1 के रूप की संख्या हमेशा अभाज्य होगी यदि n दो की शक्ति है। उन्होंने n = 1, 2, 4, 8, और 16 के लिए इसका परीक्षण किया, और यह सुनिश्चित था कि जब n दो की शक्ति नहीं है, तो संख्या अनिवार्य रूप से अभाज्य नहीं थी। इन नंबरों को फ़र्मेट नंबर कहा जाता है, और 100 साल बाद तक यूलर ने यह नहीं दिखाया कि अगली संख्या, 232 + 1 = 4294967297, 641 से विभाज्य है और इसलिए अभाज्य नहीं है।

प्रपत्र 2 n - 1 की संख्याएँ भी शोध का विषय रही हैं, क्योंकि यह दिखाना आसान है कि यदि n संयुक्त है, तो संख्या स्वयं भी संमिश्र है। इन नंबरों को मेर्सन नंबर कहा जाता है क्योंकि उन्होंने सक्रिय रूप से उनका अध्ययन किया था।

लेकिन 2 n-1 के रूप की सभी संख्याएँ अभाज्य नहीं हैं, जहाँ n अभाज्य है। उदाहरण के लिए, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89। यह पहली बार 1536 में खोजा गया था।

कई सालों तक, इस तरह की संख्याओं ने गणितज्ञों को सबसे बड़ा ज्ञात अभाज्य संख्या दी। यह कि संख्या M 19 को कैटलडी द्वारा 1588 में सिद्ध किया गया था, और 200 वर्षों के लिए सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या थी, जब तक कि यूलर ने यह साबित नहीं कर दिया कि M 31 भी अभाज्य है। यह रिकॉर्ड एक और सौ वर्षों तक रहा, और फिर लुकास ने दिखाया कि एम 127 प्राइम है (और यह पहले से ही 39 अंकों की संख्या है), और उसके बाद, कंप्यूटर के आगमन के साथ शोध जारी रहा।

1952 में, M 521, M 607, M 1279, M 2203 और M 2281 संख्याओं की प्रधानता साबित हुई।

2005 तक, 42 Mersenne primes पाए गए थे। उनमें से सबसे बड़ा, एम 25964951 , 7816230 अंकों का होता है।

यूलर के काम का अभाज्य संख्याओं सहित संख्या सिद्धांत पर बहुत प्रभाव पड़ा। उन्होंने फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का विस्तार किया और -फ़ंक्शन की शुरुआत की। 5वें फ़र्मेट नंबर 2 32 +1 का गुणनखंडन किया, अनुकूल संख्याओं के 60 जोड़े मिले, और पारस्परिकता के द्विघात नियम को तैयार किया (लेकिन साबित करने में विफल)।

उन्होंने सबसे पहले गणितीय विश्लेषण के तरीकों की शुरुआत की और संख्याओं के विश्लेषणात्मक सिद्धांत को विकसित किया। उन्होंने साबित किया कि न केवल हार्मोनिक श्रृंखला ∑ (1/n), बल्कि रूप की एक श्रृंखला भी है

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

अभाज्य संख्याओं के प्रतिलोम राशियों के योग से प्राप्त होने पर भी विचलन होता है। हार्मोनिक श्रृंखला के n पदों का योग लगभग लॉग (n) की तरह बढ़ता है, जबकि दूसरी श्रृंखला अधिक धीरे-धीरे विचलन करती है, जैसे लॉग [लॉग (एन)]। इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, आज तक मिली सभी अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग केवल 4 देगा, हालाँकि श्रृंखला अभी भी अलग है।

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि अभाज्य संख्याओं को पूर्णांकों के बीच यादृच्छिक रूप से वितरित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1000000 से ठीक पहले की 100 संख्याओं में से 9 अभाज्य संख्याएँ हैं, और इस मान के ठीक बाद की 100 संख्याओं में से केवल 2 हैं। लेकिन बड़े खंडों पर, अभाज्य संख्याएँ समान रूप से वितरित की जाती हैं। लीजेंड्रे और गॉस ने उनके वितरण से निपटा। गॉस ने एक बार एक दोस्त से कहा था कि किसी भी खाली 15 मिनट में वह हमेशा अगले 1000 नंबरों में अभाज्य संख्याओं की गणना करता है। अपने जीवन के अंत तक, उन्होंने सभी अभाज्य संख्याओं को 3 मिलियन तक गिन लिया था। लीजेंड्रे और गॉस ने समान रूप से गणना की कि बड़े एन के लिए प्राइम की घनत्व 1/लॉग (एन) है। लीजेंड्रे ने 1 और n के बीच अभाज्य संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाया था

(एन) = एन/(लॉग(एन) - 1.08366)

और गॉस - एक लघुगणकीय समाकल के रूप में

(एन) = / 1/लॉग(टी) डीटी

2 से n के एकीकरण अंतराल के साथ।

अभाज्य संख्याओं के घनत्व के बारे में कथन 1/log(n) को अभाज्य संख्या प्रमेय के रूप में जाना जाता है। उन्होंने 19वीं शताब्दी में इसे साबित करने की कोशिश की और चेबीशेव और रीमैन ने प्रगति की। उन्होंने इसे रीमैन हाइपोथिसिस के साथ जोड़ा, जो अब तक रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य के वितरण के बारे में एक अप्रमाणित अनुमान है। 1896 में हैडमर्ड और डे ला वेली-पॉसिन द्वारा प्राइम्स के घनत्व को एक साथ साबित किया गया था।

अभाज्य संख्याओं के सिद्धांत में, अभी भी कई अनसुलझे प्रश्न हैं, जिनमें से कुछ सैकड़ों वर्ष पुराने हैं:

• जुड़वां अभाज्य परिकल्पना - अभाज्य संख्याओं के युग्मों की अनंत संख्या के बारे में जो एक दूसरे से 2 . से भिन्न होते हैं
• गोल्डबैक का अनुमान: 4 से शुरू होने वाली किसी भी संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है
• क्या n 2 + 1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
• क्या n 2 और (n + 1) 2 के बीच एक अभाज्य संख्या ज्ञात करना हमेशा संभव है? (तथ्य यह है कि n और 2n के बीच हमेशा एक अभाज्य संख्या होती है जिसे चेबीशेव ने सिद्ध किया था)
• क्या फ़र्मेट अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? क्या चौथे के बाद कोई फ़र्मेट प्राइम हैं?
• क्या किसी दी गई लंबाई के लिए लगातार अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति है? उदाहरण के लिए, लंबाई 4: 251, 257, 263, 269 के लिए। अधिकतम लंबाई 26 मिली है।
• क्या एक समान्तर श्रेणी में तीन क्रमागत अभाज्य संख्याओं के समुच्चय अनंत हैं?
• n 2 - n + 41 0 n ≤ 40 के लिए एक अभाज्य संख्या है। क्या ऐसी अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? सूत्र n 2 - 79 n + 1601 के लिए वही प्रश्न। ये संख्याएँ 0 n 79 के लिए अभाज्य हैं।
• क्या n# + 1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? (n# n से कम सभी अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का परिणाम है)
• क्या n# -1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
• क्या n के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है! +1?
• क्या n के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है! - एक?
• यदि p अभाज्य है, तो क्या 2 p -1 हमेशा चुकता अभाज्य संख्याओं के गुणनखंडों में शामिल नहीं होता है
• क्या फाइबोनैचि अनुक्रम में अनंत अभाज्य संख्याएँ होती हैं?

सबसे बड़ी जुड़वां अभाज्य संख्याएँ 2003663613 × 2 195000 ± 1 हैं। इनमें 58711 अंक होते हैं और 2007 में पाए गए थे।

सबसे बड़ी भाज्य अभाज्य संख्या (प्ररूप n! ± 1 का) 147855 है! - 1. इसमें 142891 अंक होते हैं और 2002 में पाए गए थे।

सबसे बड़ी मूल अभाज्य संख्या (n# ± 1 के रूप की एक संख्या) 1098133# + 1 है।

विभाजकों की सूची।परिभाषा के अनुसार, संख्या एनकेवल तभी अभाज्य है जब यह 2 और 1 और स्वयं के अलावा किसी भी पूर्णांक से समान रूप से विभाज्य नहीं है। उपरोक्त सूत्र अनावश्यक चरणों को हटाता है और समय बचाता है: उदाहरण के लिए, यह जाँचने के बाद कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, यह जाँचने की कोई आवश्यकता नहीं है कि क्या यह 9 से विभाज्य है।

• फ़्लोर (x) फ़ंक्शन x को x से कम या उसके बराबर के निकटतम पूर्णांक तक ले जाता है।

मॉड्यूलर अंकगणित के बारे में जानें।ऑपरेशन "x mod y" (मॉड लैटिन शब्द "मॉड्यूलो" के लिए छोटा है, जिसका अर्थ है "मॉड्यूल") का अर्थ है "x को y से विभाजित करें और शेष खोजें"। दूसरे शब्दों में, मॉड्यूलर अंकगणित में, एक निश्चित मूल्य तक पहुंचने पर, जिसे कहा जाता है मापांक, संख्याएं "बारी" वापस शून्य हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक घड़ी मॉड्यूलस 12 में समय को मापती है: यह 10, 11 और 12 बजे दिखाती है और फिर 1 पर लौट आती है।

• कई कैलकुलेटर में एक आधुनिक कुंजी होती है। इस खंड का अंत दिखाता है कि बड़ी संख्या में इस फ़ंक्शन की मैन्युअल रूप से गणना कैसे करें।

संख्याएँ भिन्न हैं: प्राकृतिक, प्राकृतिक, परिमेय, पूर्णांक और भिन्नात्मक, धनात्मक और ऋणात्मक, सम्मिश्र और अभाज्य, विषम और सम, वास्तविक, आदि। इस लेख से आप अभाज्य संख्याएँ क्या हैं, यह जान सकते हैं।

अंग्रेजी के शब्द "सरल" को किन संख्याओं का नाम दिया गया है?

बहुत बार, स्कूली बच्चे यह नहीं जानते कि गणित में सबसे सरल प्रश्नों में से एक का उत्तर कैसे दिया जाए, एक अभाज्य संख्या क्या है। वे अक्सर अभाज्य संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं के साथ भ्रमित करते हैं (अर्थात, वे संख्याएँ जिनका उपयोग लोग वस्तुओं की गिनती करते समय करते हैं, जबकि कुछ स्रोतों में वे शून्य से शुरू होते हैं, और अन्य में - एक से)। लेकिन ये दो पूरी तरह से अलग अवधारणाएं हैं। अभाज्य संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ हैं, अर्थात् पूर्णांक और धनात्मक संख्याएँ जो एक से बड़ी हों और जिनमें केवल 2 प्राकृत भाजक हों। इस मामले में, इनमें से एक भाजक एक दी गई संख्या है, और दूसरा एक इकाई है। उदाहरण के लिए, तीन एक अभाज्य संख्या है क्योंकि यह स्वयं और एक के अलावा किसी अन्य संख्या से समान रूप से विभाज्य नहीं है।

समग्र संख्या

अभाज्य संख्याओं के विपरीत भाज्य संख्याएँ होती हैं। वे प्राकृतिक भी हैं, एक से भी बड़े, लेकिन दो नहीं, बल्कि अधिक भाजक हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्याएँ 4, 6, 8, 9, आदि प्राकृतिक, संयुक्त हैं, लेकिन अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, ये ज्यादातर सम संख्याएं हैं, लेकिन सभी नहीं। लेकिन अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला में "दो" एक सम संख्या और "पहली संख्या" है।

परिणाम को

अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला बनाने के लिए, उनकी परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, सभी प्राकृतिक संख्याओं में से चयन करना आवश्यक है, अर्थात आपको विरोधाभास से कार्य करने की आवश्यकता है। इस विषय पर प्रत्येक प्राकृतिक सकारात्मक संख्याओं पर विचार करना आवश्यक है कि क्या इसमें दो से अधिक भाजक हैं। आइए एक श्रृंखला (अनुक्रम) बनाने का प्रयास करें जिसमें अभाज्य संख्याएँ हों। सूची दो से शुरू होती है, फिर तीन आती है, क्योंकि यह केवल अपने आप से और एक से विभाज्य है। संख्या चार पर विचार करें। क्या इसमें चार और एक के अलावा अन्य भाजक हैं? हाँ, वह संख्या 2 है। अतः चार एक अभाज्य संख्या नहीं है। पांच भी अभाज्य है (1 और 5 के अलावा, यह किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं है), लेकिन छह विभाज्य है। और सामान्य तौर पर, यदि आप सभी सम संख्याओं का अनुसरण करते हैं, तो आप देखेंगे कि "दो" के अलावा, उनमें से कोई भी अभाज्य नहीं है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दो को छोड़कर सम संख्याएँ अभाज्य नहीं होती हैं। एक और खोज: सभी संख्याएँ जो तीन से विभाज्य हैं, स्वयं ट्रिपल को छोड़कर, चाहे सम या विषम, भी अभाज्य नहीं हैं (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, आदि)। वही उन संख्याओं पर लागू होता है जो पाँच और सात से विभाज्य हैं। उनका सारा सेट भी सरल नहीं है। आइए संक्षेप करते हैं। इसलिए, एक और नौ को छोड़कर सभी विषम संख्याएं साधारण एकल-अंक वाली संख्याओं से संबंधित होती हैं, और सम संख्याओं में से केवल "दो" होती हैं। दहाई स्वयं (10, 20,... 40, आदि) अभाज्य नहीं हैं। दो-अंकीय, तीन-अंकीय, आदि अभाज्य संख्याओं को उपरोक्त सिद्धांतों के आधार पर परिभाषित किया जा सकता है: यदि उनके पास स्वयं और एक के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं है।

अभाज्य संख्याओं के गुणों के बारे में सिद्धांत

एक ऐसा विज्ञान है जो अभाज्य संख्याओं सहित पूर्णांकों के गुणों का अध्ययन करता है। यह गणित की एक शाखा है, जिसे उच्चतर कहा जाता है। पूर्णांकों के गुणों के अलावा, वह बीजगणितीय, अनुवांशिक संख्याओं के साथ-साथ इन संख्याओं के अंकगणित से संबंधित विभिन्न मूल के कार्यों से भी संबंधित है। इन अध्ययनों में प्राथमिक और बीजगणितीय विधियों के अलावा विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय विधियों का भी उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, अभाज्य संख्याओं का अध्ययन "संख्या सिद्धांत" से संबंधित है।

अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के "बिल्डिंग ब्लॉक्स" हैं

अंकगणित में एक प्रमेय होता है जिसे मुख्य प्रमेय कहा जाता है। इसके अनुसार, एकता को छोड़कर किसी भी प्राकृतिक संख्या को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके कारक अभाज्य संख्याएँ हैं, और कारकों का क्रम अद्वितीय है, जिसका अर्थ है कि प्रतिनिधित्व विधि अद्वितीय है। इसे एक प्राकृत संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन कहते हैं। इस प्रक्रिया का एक और नाम है - संख्याओं का गुणनखंडन। इसके आधार पर, प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण के लिए अभाज्य संख्याओं को "निर्माण सामग्री", "ब्लॉक" कहा जा सकता है।

प्राइम नंबर खोजें। सादगी परीक्षण

अलग-अलग समय के कई वैज्ञानिकों ने अभाज्य संख्याओं की सूची खोजने के लिए कुछ सिद्धांत (सिस्टम) खोजने की कोशिश की। विज्ञान एटकिन की चलनी, सुंदरतम की चलनी, एराटोस्थनीज की चलनी नामक प्रणालियों को जानता है। हालांकि, वे कोई महत्वपूर्ण परिणाम नहीं देते हैं, और अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक साधारण परीक्षण का उपयोग किया जाता है। एल्गोरिदम भी गणितज्ञों द्वारा बनाए गए थे। उन्हें प्रारंभिक परीक्षण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, राबिन और मिलर द्वारा विकसित एक परीक्षण है। इसका उपयोग क्रिप्टोग्राफर्स द्वारा किया जाता है। कायला-अग्रवाला-सास्केन परीक्षण भी होता है। हालांकि, इसकी पर्याप्त सटीकता के बावजूद, इसकी गणना करना बहुत मुश्किल है, जिससे इसका व्यावहारिक मूल्य कम हो जाता है।

क्या अभाज्य संख्याओं के समुच्चय की कोई सीमा होती है?

यह तथ्य कि अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अनंत है, प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक यूक्लिड द्वारा "बिगिनिंग्स" पुस्तक में लिखा गया था। उन्होंने यह कहा: "आइए एक पल के लिए कल्पना करें कि अभाज्य संख्याओं की एक सीमा होती है। फिर आइए उन्हें एक-दूसरे से गुणा करें, और उत्पाद में एक जोड़ें। इन सरल संक्रियाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या अभाज्य संख्याओं की किसी भी श्रृंखला से विभाज्य नहीं हो सकती, क्योंकि शेष हमेशा एक ही रहेगा। और इसका मतलब है कि कुछ अन्य संख्याएँ हैं जो अभी तक अभाज्य संख्याओं की सूची में शामिल नहीं हैं। इसलिए, हमारी धारणा सत्य नहीं है, और इस सेट की कोई सीमा नहीं हो सकती है। यूक्लिड के प्रमाण के अलावा, अठारहवीं शताब्दी के स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर द्वारा दिया गया एक और आधुनिक सूत्र है। उनके अनुसार, योग, पहली n संख्याओं के योग का व्युत्क्रम, संख्या n की वृद्धि के साथ अनिश्चित काल तक बढ़ता है। और यहाँ अभाज्य संख्याओं के वितरण के संबंध में प्रमेय का सूत्र है: (n) n / ln (n) की तरह बढ़ता है।

सबसे बड़ी अभाज्य संख्या क्या है?

वही लियोनार्ड यूलर अपने समय के लिए सबसे बड़ी अभाज्य संख्या खोजने में सक्षम थे। यह 2 31 - 1 = 2147483647 है। हालांकि, 2013 तक, अभाज्य संख्याओं की सूची में एक और सबसे सटीक सबसे बड़ी गणना की गई - 2 57885161 - 1. इसे मेर्सन संख्या कहा जाता है। इसमें लगभग 17 मिलियन दशमलव अंक हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, अठारहवीं शताब्दी के एक वैज्ञानिक द्वारा खोजी गई संख्या इससे कई गुना छोटी है। ऐसा होना चाहिए था, क्योंकि यूलर ने यह गणना मैन्युअल रूप से की थी, लेकिन हमारे समकालीन को शायद एक कंप्यूटर ने मदद की थी। इसके अलावा, यह संख्या अमेरिकी विभागों में से एक में गणित विभाग में प्राप्त की गई थी। इस वैज्ञानिक के नाम पर दिए गए नंबर ल्यूक-लेहमर प्राइमलिटी टेस्ट से गुजरते हैं। हालांकि, विज्ञान यहीं रुकना नहीं चाहता है। इलेक्ट्रॉनिक फ्रंटियर फ़ाउंडेशन, जिसे 1990 में संयुक्त राज्य अमेरिका (EFF) में स्थापित किया गया था, ने बड़े अपराधों को खोजने के लिए एक मौद्रिक इनाम की पेशकश की है। और अगर 2013 तक उन वैज्ञानिकों को पुरस्कार दिया जाता था जो उन्हें 1 और 10 मिलियन दशमलव संख्याओं में से ढूंढते हैं, तो आज यह आंकड़ा 100 मिलियन से 1 बिलियन तक पहुंच गया है। पुरस्कार 150 से 250 हजार अमेरिकी डॉलर तक हैं।

विशेष अभाज्य संख्याओं के नाम

वे संख्याएँ जो कुछ वैज्ञानिकों द्वारा बनाए गए एल्गोरिदम के लिए धन्यवाद पाई गईं और सरलता परीक्षण पास कर लीं, विशेष कहलाती हैं। उनमें से कुछ यहां हैं:

1. मेर्सिन।

4. कलन।

6. मिल्स एट अल।

उपरोक्त वैज्ञानिकों के नाम पर इन संख्याओं की सरलता निम्नलिखित परीक्षणों का उपयोग करके स्थापित की जाती है:

1. लुकास-लेमर।

2. पेपिना।

3. रिसेल।

4. बिलहार्ट - लेहमर - सेल्फ्रिज और अन्य।

आधुनिक विज्ञान यहीं नहीं रुकता है, और शायद निकट भविष्य में दुनिया उन लोगों के नाम जानेगी जो सबसे बड़ी अभाज्य संख्या ढूंढकर 250,000 डॉलर का पुरस्कार जीतने में सक्षम थे।