इस लेख में, हम निपटेंगे विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं को जोड़ना. यहां हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम देते हैं, और विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ते समय इस नियम के लागू होने के उदाहरणों पर विचार करते हैं।

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विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम

विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने के उदाहरण

विचार करना विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने के उदाहरणपिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियम के अनुसार। आइए एक साधारण उदाहरण से शुरू करते हैं।

उदाहरण।

संख्याओं −5 और 2 को जोड़ें।

फेसला।

हमें विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है। आइए सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम द्वारा निर्धारित सभी चरणों का पालन करें।

सबसे पहले, हम शर्तों के मॉड्यूल पाते हैं, वे क्रमशः 5 और 2 के बराबर हैं।

संख्या -5 का मापांक संख्या 2 के मापांक से बड़ा है, इसलिए ऋण चिह्न याद रखें।

परिणामी संख्या के सामने याद किए गए ऋण चिह्न को रखना बाकी है, हमें -3 ​​मिलता है। यह विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं के योग को पूरा करता है।

जवाब:

(−5)+2=−3 .

विभिन्न चिह्नों के साथ परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए जो पूर्णांक नहीं हैं, उन्हें साधारण अंशों के रूप में दर्शाया जाना चाहिए (यदि यह सुविधाजनक हो तो आप दशमलव अंशों के साथ काम कर सकते हैं)। आइए इस बिंदु को अगले उदाहरण में देखें।

उदाहरण।

एक धनात्मक संख्या और एक ऋणात्मक संख्या −1.25 जोड़ें।

फेसला।

आइए संख्याओं को साधारण भिन्नों के रूप में निरूपित करें, इसके लिए हम मिश्रित संख्या से अनुचित भिन्न में संक्रमण करेंगे: और दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में अनुवाद करेंगे: .

अब आप विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के लिए नियम का उपयोग कर सकते हैं।

जोड़े गए नंबरों के मॉड्यूल 17/8 और 5/4 हैं। आगे की क्रियाओं को करने की सुविधा के लिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करते हैं, परिणामस्वरूप हमारे पास 17/8 और 10/8 होते हैं।

अब हमें सार्व भिन्नों 17/8 और 10/8 की तुलना करने की आवश्यकता है। 17>10 के बाद से . इस प्रकार, धन चिह्न वाले पद का मापांक बड़ा होता है, इसलिए, धन चिह्न को याद रखें।

अब हम छोटे वाले को बड़े मॉड्यूल से घटाते हैं, यानी हम समान हर वाले भिन्नों को घटाते हैं: .

परिणामी संख्या के सामने एक याद किया हुआ प्लस चिन्ह लगाना बाकी है, लेकिन - यह संख्या 7/8 है।

इस पाठ में हम सीखेंगे कि ऋणात्मक संख्या क्या होती है और किन संख्याओं को विपरीत कहा जाता है। हम यह भी सीखेंगे कि ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं (विभिन्न चिह्नों वाली संख्याएँ) को कैसे जोड़ा जाता है और विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के कई उदाहरणों का विश्लेषण किया जाता है।

इस गियर को देखें (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1. घड़ी गियर

यह एक तीर नहीं है जो सीधे समय दिखाता है और डायल नहीं (चित्र 2 देखें)। लेकिन इस विवरण के बिना, घड़ी काम नहीं करती।

चावल। 2. घड़ी के अंदर गियर

Y अक्षर का क्या अर्थ है? ध्वनि Y के अलावा कुछ नहीं। लेकिन इसके बिना, कई शब्द "काम" नहीं करेंगे। उदाहरण के लिए, शब्द "माउस"। तो ऋणात्मक संख्याएँ हैं: वे कोई राशि नहीं दिखाती हैं, लेकिन उनके बिना गणना तंत्र बहुत अधिक कठिन होगा।

हम जानते हैं कि जोड़ और घटाव समान संचालन हैं, और उन्हें किसी भी क्रम में किया जा सकता है। सीधे क्रम में, हम गणना कर सकते हैं: , लेकिन घटाव से शुरू करने का कोई तरीका नहीं है, क्योंकि हम अभी तक सहमत नहीं हैं, लेकिन क्या है।

यह स्पष्ट है कि संख्या को बढ़ाकर और फिर घटाकर, परिणामस्वरूप, तीन की कमी। क्यों न इस वस्तु को नामित करें और इसे इस तरह से गिनें: जोड़ना है घटाना है। फिर ।

संख्या का मतलब हो सकता है, उदाहरण के लिए, सेब। नई संख्या किसी वास्तविक मात्रा का प्रतिनिधित्व नहीं करती है। अपने आप में, इसका कोई मतलब नहीं है, जैसे Y अक्षर। गणनाओं को सरल बनाने के लिए यह सिर्फ एक नया उपकरण है।

आइए नए नंबरों के नाम दें नकारात्मक. अब हम छोटी संख्या से बड़ी संख्या घटा सकते हैं। तकनीकी रूप से, आपको अभी भी छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाना होगा, लेकिन उत्तर में ऋण चिह्न लगाएं: ।

आइए एक और उदाहरण देखें: . आप सभी क्रियाओं को एक पंक्ति में कर सकते हैं:।

हालाँकि, पहली संख्या से तीसरी संख्या घटाना आसान है, और फिर दूसरी संख्या जोड़ें:

ऋणात्मक संख्याओं को दूसरे तरीके से परिभाषित किया जा सकता है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए, उदाहरण के लिए, आइए एक नई संख्या का परिचय दें, जिसे हम निरूपित करते हैं, और यह निर्धारित करते हैं कि इसमें निम्नलिखित गुण हैं: संख्या का योग और इसके बराबर है:।

संख्या को ऋणात्मक कहा जाएगा, और संख्याएँ और - विपरीत। इस प्रकार, हमें अनंत संख्या में नई संख्याएँ मिलीं, उदाहरण के लिए:

संख्या के विपरीत;

का विपरीत ;

का विपरीत ;

का विपरीत ;

छोटी संख्या से बड़ी संख्या घटाएं: आइए इस अभिव्यक्ति में जोड़ें: . हमें शून्य मिला। हालांकि, संपत्ति के अनुसार: एक संख्या जो पांच तक जुड़ती है, शून्य देती है शून्य से पांच:। इसलिए, अभिव्यक्ति के रूप में निरूपित किया जा सकता है।

प्रत्येक धनात्मक संख्या में एक जुड़वां संख्या होती है, जो केवल इस मायने में भिन्न होती है कि उसके पहले एक ऋण चिह्न होता है।ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं विलोम(चित्र 3 देखें)।

चावल। 3. विपरीत संख्याओं के उदाहरण

विपरीत संख्याओं के गुण

1. विपरीत संख्याओं का योग शून्य के बराबर होता है:।

2. यदि आप शून्य से एक धनात्मक संख्या घटाते हैं, तो परिणाम विपरीत ऋणात्मक संख्या होगी: .

1. दोनों संख्याएँ धनात्मक हो सकती हैं, और हम पहले से ही जानते हैं कि उन्हें कैसे जोड़ना है: .

2. दोनों संख्याएँ ऋणात्मक हो सकती हैं।

हम पिछले पाठ में ऐसी संख्याओं के योग को पहले ही कवर कर चुके हैं, लेकिन हम यह सुनिश्चित करेंगे कि हम समझें कि उनके साथ क्या करना है। उदाहरण के लिए: ।

इस राशि को खोजने के लिए, विपरीत सकारात्मक संख्याएं जोड़ें और ऋण चिह्न लगाएं।

3. एक संख्या धनात्मक और दूसरी ऋणात्मक हो सकती है।

हम एक ऋणात्मक संख्या के योग को बदल सकते हैं, यदि यह हमारे लिए सुविधाजनक है, तो सकारात्मक संख्या के घटाव के साथ:।

एक और उदाहरण:. दोबारा, योग को अंतर के रूप में लिखें। आप छोटी संख्या में से बड़ी संख्या को बड़ी संख्या से घटाकर, लेकिन ऋण चिह्न लगाकर बड़ी संख्या को घटा सकते हैं।

शर्तों को आपस में बदला जा सकता है: .

इसी तरह का एक और उदाहरण: .

सभी मामलों में, परिणाम एक घटाव है।

इन नियमों को संक्षेप में तैयार करने के लिए, आइए एक और शब्द को याद करें। बेशक, विपरीत संख्याएं एक दूसरे के बराबर नहीं हैं। लेकिन यह अजीब नहीं होगा कि उनके पास कुछ समान है। इसे हम आम कहते हैं संख्या का मापांक. विपरीत संख्याओं का मापांक समान होता है: एक धनात्मक संख्या के लिए यह स्वयं संख्या के बराबर होती है, और ऋणात्मक संख्या के लिए यह विपरीत, धनात्मक होती है। उदाहरण के लिए: , ।

दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए, उनका मापांक जोड़ें और ऋण चिह्न लगाएं:

एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या जोड़ने के लिए, आपको बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाना होगा और बड़े मॉड्यूल के साथ संख्या का चिह्न लगाना होगा:

दोनों संख्याएँ ऋणात्मक हैं, इसलिए, उनके मॉड्यूल जोड़ें और ऋण चिह्न लगाएं:

अलग-अलग संकेतों वाली दो संख्याएँ, इसलिए, संख्या के मापांक (बड़े मापांक) से हम संख्या के मापांक को घटाते हैं और एक ऋण चिह्न (एक बड़े मापांक के साथ संख्या का चिन्ह) लगाते हैं:

अलग-अलग संकेतों वाली दो संख्याएँ, इसलिए, संख्या के मापांक (बड़ा मापांक) से हम संख्या के मापांक को घटाते हैं और एक ऋण चिह्न (एक बड़े मापांक के साथ संख्या का चिह्न) डालते हैं: ।

अलग-अलग चिह्नों वाली दो संख्याएं, इसलिए संख्या के मॉड्यूल (बड़ा मॉड्यूल) से संख्या के मॉड्यूल को घटाएं और एक प्लस चिह्न (बड़े मॉड्यूल के साथ संख्या का चिह्न) लगाएं: ।

सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की ऐतिहासिक रूप से भिन्न भूमिकाएँ होती हैं।

सबसे पहले, हमने वस्तुओं की गिनती के लिए प्राकृतिक संख्याएँ पेश कीं:

फिर हमने गैर-पूर्णांक मात्राओं, भागों की गणना के लिए अन्य धनात्मक संख्याएँ - भिन्न प्रस्तुत कीं: .

गणनाओं को सरल बनाने के लिए ऋणात्मक संख्याएँ एक उपकरण के रूप में दिखाई दीं। ऐसी कोई बात नहीं थी कि जीवन में कुछ मात्राएँ ऐसी थीं जिन्हें हम गिन नहीं सकते थे, और हमने ऋणात्मक संख्याओं का आविष्कार किया।

अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं की उत्पत्ति वास्तविक संसार से नहीं हुई है। वे बस इतने सुविधाजनक निकले कि कुछ जगहों पर उन्हें जीवन में इस्तेमाल किया गया। उदाहरण के लिए, हम अक्सर नकारात्मक तापमान के बारे में सुनते हैं। इस मामले में, हम कभी भी सेबों की ऋणात्मक संख्या का सामना नहीं करते हैं। क्या अंतर है?

अंतर यह है कि वास्तविक जीवन में नकारात्मक मूल्यों का उपयोग केवल तुलना के लिए किया जाता है, मात्राओं के लिए नहीं। यदि होटल में एक तहखाना सुसज्जित था और वहां एक लिफ्ट शुरू की गई थी, तो सामान्य मंजिलों की सामान्य संख्या को छोड़ने के लिए, पहली मंजिल माइनस दिखाई दे सकती है। इस माइनस वन का अर्थ है जमीनी स्तर से केवल एक मंजिल नीचे (चित्र 1 देखें)।

चावल। 4. पहली मंजिल घटाकर दूसरी मंजिल घटाएं

एक नकारात्मक तापमान केवल शून्य की तुलना में ऋणात्मक होता है, जिसे स्केल के लेखक एंडर्स सेल्सियस ने चुना था। अन्य पैमाने हैं, और वही तापमान अब नकारात्मक नहीं हो सकता है।

उसी समय, हम समझते हैं कि शुरुआती बिंदु को बदलना असंभव है ताकि पांच नहीं, बल्कि छह सेब हों। इस प्रकार, जीवन में, मात्राओं (सेब, केक) को निर्धारित करने के लिए धनात्मक संख्याओं का उपयोग किया जाता है।

हम नाम के बजाय उनका उपयोग भी करते हैं। प्रत्येक फोन को अपना नाम दिया जा सकता है, लेकिन नामों की संख्या सीमित है, और कोई संख्या नहीं है। इसलिए हम फोन नंबर का इस्तेमाल करते हैं। ऑर्डर करने के लिए भी (शताब्दी सदी के बाद)।

जीवन में ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग अंतिम अर्थ में किया जाता है (शून्य से नीचे की पहली मंजिल और पहली मंजिल को घटाकर)

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. एम .: मेनेमोसिन, 2012।
2. मर्ज़लीक ए.जी., पोलोन्स्की वी.वी., याकिर एम.एस. गणित छठी कक्षा। "व्यायामशाला", 2006।
3. डेपमैन I.Ya।, विलेनकिन N.Ya। गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। मॉस्को: शिक्षा, 1989।
4. रुरुकिन ए.एन., त्चिकोवस्की आई.वी. गणित ग्रेड 5-6 के पाठ्यक्रम के लिए कार्य। एम.: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
5. रुरुकिन ए.एन., सोचिलोव एस.वी., त्चिकोवस्की के.जी. गणित 5-6. एमईपीएचआई पत्राचार स्कूल के ग्रेड 6 में छात्रों के लिए एक गाइड। एम.: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
6. शेवरिन एल.एन., गेइन ए.जी., कोर्याकोव आई.ओ., वोल्कोव एम.वी. गणित: हाई स्कूल के 5-6 ग्रेड के लिए पाठ्यपुस्तक-वार्ताकार। एम।: शिक्षा, गणित शिक्षक पुस्तकालय, 1989।

1. Math-prosto.ru ()।
2. यूट्यूब()।
3. स्कूल-सहायक.ru ()।
4. Allforchild.ru ()।

गृहकार्य

"विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं का जोड़" - गणित की पाठ्यपुस्तक ग्रेड 6 (विलेनकिन)

संक्षिप्त वर्णन:

इस खंड में, आप विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के नियम सीखेंगे: अर्थात ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं को जोड़ना सीखें।
आप पहले से ही जानते हैं कि उन्हें एक समन्वय रेखा पर कैसे जोड़ना है, लेकिन प्रत्येक उदाहरण में आप एक रेखा नहीं खींचेंगे और उसके साथ गिनती करेंगे? इसलिए, आपको सीखना होगा कि इसके बिना कैसे जोड़ना है।
आइए आपके साथ एक सकारात्मक संख्या में एक ऋणात्मक संख्या जोड़ने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए आठ घटा छह: 8+(-6) जोड़ें। आप पहले से ही जानते हैं कि ऋणात्मक संख्या जोड़ने से मूल संख्या ऋणात्मक संख्या के मान से घट जाती है। इसका मतलब है कि आठ को छह से घटाया जाना चाहिए, यानी आठ को आठ से घटाया जाना चाहिए: 8-6 = 2, यह दो निकला। इस उदाहरण में, सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है, हम आठ में से छह घटाते हैं।
और अगर हम यह उदाहरण लेते हैं: एक सकारात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या में जोड़ें। उदाहरण के लिए, माइनस आठ में छह जोड़ें: -8+6। सार वही रहता है: हम नकारात्मक के मूल्य से सकारात्मक संख्या को कम करते हैं, हमें छह घटाना आठ शून्य से दो होगा: -8 + 6 = -2।
जैसा कि आपने देखा, पहले और दूसरे उदाहरण दोनों में, संख्याओं के साथ घटाव किया जाता है। क्यों? क्योंकि उनके अलग-अलग चिन्ह (प्लस और माइनस) होते हैं। विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को जोड़ते समय गलतियाँ न करने के लिए, आपको क्रियाओं के निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन करना चाहिए:
1. संख्याओं के मॉड्यूल खोजें;
2. छोटे मॉड्यूल को बड़े मॉड्यूल से घटाएं;
3. परिणाम से पहले, एक बड़े मापांक के साथ एक संख्या चिह्न लगाएं (आमतौर पर केवल एक ऋण चिह्न लगाया जाता है, और एक प्लस चिह्न नहीं लगाया जाता है)।
यदि आप इस एल्गोरिथम का पालन करते हुए विभिन्न संकेतों के साथ संख्याएँ जोड़ते हैं, तो आपके पास गलती करने की संभावना बहुत कम होगी।

इस पाठ में परिमेय संख्याओं के जोड़ और घटाव को शामिल किया गया है। विषय को जटिल के रूप में वर्गीकृत किया गया है। यहां पहले से अर्जित ज्ञान के पूरे शस्त्रागार का उपयोग करना आवश्यक है।

पूर्णांकों को जोड़ने और घटाने के नियम भी परिमेय संख्याओं के लिए मान्य हैं। याद रखें कि परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ ए -एक भिन्न का अंश है बीभिन्न का भाजक है। वहीं, बीशून्य नहीं होना चाहिए।

इस पाठ में, हम भिन्नों और मिश्रित संख्याओं को एक सामान्य वाक्यांश के रूप में उत्तरोत्तर संदर्भित करेंगे - परिमेय संख्या.

सबक नेविगेशन:

उदाहरण 1एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि व्यंजक में जो जोड़ दिया गया है वह संक्रिया का चिह्न है और भिन्नों पर लागू नहीं होता है। इस भिन्न का अपना धन चिह्न होता है, जो इस तथ्य के कारण अदृश्य होता है कि इसे लिखा नहीं गया है। लेकिन हम इसे स्पष्टता के लिए लिखेंगे:

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। विभिन्न चिह्नों के साथ परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाना होगा, और उस परिमेय संख्या का चिह्न लगाना होगा जिसका मॉड्यूल उत्तर से पहले बड़ा है। और यह समझने के लिए कि कौन सा मॉड्यूल बड़ा है और कौन सा कम, आपको गणना करने से पहले इन अंशों के मॉड्यूल की तुलना करने में सक्षम होना चाहिए:

एक परिमेय संख्या का मापांक एक परिमेय संख्या के मापांक से अधिक होता है। इसलिए, हमने से घटाया। जवाब मिला। फिर, इस भिन्न को 2 से घटाकर, हमें अंतिम उत्तर प्राप्त हुआ।

कुछ आदिम क्रियाएँ, जैसे कोष्ठक में संख्याएँ डालना और मॉड्यूल नीचे रखना, को छोड़ दिया जा सकता है। इस उदाहरण को संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है:

उदाहरण 2एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि परिमेय संख्याओं के बीच का माइनस और ऑपरेशन का संकेत है और भिन्नों पर लागू नहीं होता है। इस भिन्न का अपना धन चिह्न होता है, जो इस तथ्य के कारण अदृश्य होता है कि इसे लिखा नहीं गया है। लेकिन हम इसे स्पष्टता के लिए लिखेंगे:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें। याद रखें कि इसके लिए आपको मिनीएंड में सबट्रेंड के विपरीत संख्या को जोड़ना होगा:

हमें ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग प्राप्त हुआ। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल जोड़ने होंगे और उत्तर से पहले एक माइनस डालना होगा:

टिप्पणी।प्रत्येक परिमेय संख्या को कोष्ठक में संलग्न करना आवश्यक नहीं है। यह सुविधा के लिए किया जाता है, ताकि स्पष्ट रूप से यह देखा जा सके कि परिमेय संख्याओं में कौन से चिन्ह होते हैं।

उदाहरण 3एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

इस व्यंजक में भिन्नों के भिन्न-भिन्न भाजक होते हैं। अपने लिए इसे आसान बनाने के लिए, आइए इन भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं। यह कैसे करना है, इसके बारे में हम विस्तार से नहीं बताएंगे। यदि आप कठिनाइयों का अनुभव करते हैं, तो पाठ को दोहराना सुनिश्चित करें।

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के बाद, व्यंजक निम्नलिखित रूप लेगा:

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। हम छोटे मॉड्यूल को बड़े मॉड्यूल से घटाते हैं, और प्राप्त उत्तर से पहले हम परिमेय संख्या का चिन्ह लगाते हैं, जिसका मॉड्यूल बड़ा होता है:

आइए इस उदाहरण के हल को संक्षेप में लिखें:

उदाहरण 4व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

हम इस व्यंजक की गणना निम्न प्रकार से करते हैं: हम परिमेय संख्याएँ जोड़ते हैं और फिर प्राप्त परिणाम से परिमेय संख्या घटाते हैं।

पहली क्रिया:

दूसरी क्रिया:

उदाहरण 5. एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

आइए पूर्णांक -1 को भिन्न के रूप में निरूपित करें, और मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में अनुवाद करें:

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं:

हमें विभिन्न चिन्हों वाली परिमेय संख्याओं का योग मिला। हम छोटे मॉड्यूल को बड़े मॉड्यूल से घटाते हैं, और प्राप्त उत्तर से पहले हम परिमेय संख्या का चिन्ह लगाते हैं, जिसका मॉड्यूल बड़ा होता है:

जवाब मिला।

एक दूसरा उपाय भी है। इसमें पूरे भागों को अलग-अलग एक साथ रखना शामिल है।

तो, मूल अभिव्यक्ति पर वापस जाएं:

प्रत्येक संख्या को कोष्ठक में संलग्न करें। इस मिश्रित संख्या के लिए अस्थायी रूप से:

आइए पूर्णांक भागों की गणना करें:

(−1) + (+2) = 1

मुख्य व्यंजक में, (−1) + (+2) के बजाय, हम परिणामी इकाई लिखते हैं:

परिणामी अभिव्यक्ति। ऐसा करने के लिए, इकाई और भिन्न को एक साथ लिखें:

आइए समाधान को इस तरह से संक्षिप्त में लिखें:

उदाहरण 6व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलें। हम बिना बदलाव के बाकी को फिर से लिखते हैं:

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

आइए इस उदाहरण के हल को संक्षेप में लिखें:

उदाहरण 7मूल्य अभिव्यक्ति खोजें

आइए पूर्णांक −5 को भिन्न के रूप में निरूपित करें, और मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में अनुवाद करें:

आइए इन भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं। उन्हें एक सामान्य भाजक में लाने के बाद, वे निम्नलिखित रूप लेंगे:

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

हमें ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग मिला। हम इन नंबरों के मॉड्यूल जोड़ते हैं और प्राप्त उत्तर से पहले एक माइनस डालते हैं:

इस प्रकार, अभिव्यक्ति का मूल्य है।

आइए इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल करते हैं। आइए मूल अभिव्यक्ति पर वापस जाएं:

आइए मिश्रित संख्या को विस्तारित रूप में लिखें। हम बाकी को बिना बदलाव के फिर से लिखते हैं:

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं:

आइए पूर्णांक भागों की गणना करें:

मुख्य व्यंजक में परिणामी संख्या −7 . लिखने की बजाय

व्यंजक मिश्रित संख्या लिखने का विस्तारित रूप है। आइए संख्या −7 और भिन्न को मिलाकर अंतिम उत्तर लिखें:

आइए इस समाधान को शीघ्र ही लिखें:

उदाहरण 8व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

हमें ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग मिला। हम इन नंबरों के मॉड्यूल जोड़ते हैं और प्राप्त उत्तर से पहले एक माइनस डालते हैं:

इस प्रकार, व्यंजक का मान है

इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है। इसमें पूरे और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ना शामिल है। आइए मूल अभिव्यक्ति पर वापस जाएं:

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

हमें ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग मिला। हम इन नंबरों के मॉड्यूल जोड़ते हैं और प्राप्त उत्तर से पहले एक माइनस डालते हैं। लेकिन इस बार हम अलग-अलग पूर्णांक भागों (−1 और −2), और भिन्नात्मक और . को जोड़ते हैं

आइए इस समाधान को शीघ्र ही लिखें:

उदाहरण 9अभिव्यक्ति अभिव्यक्ति खोजें

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

हम परिमेय संख्या को उसके चिह्न के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं। एक परिमेय संख्या को कोष्ठक में संलग्न करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह पहले से ही कोष्ठक में है:

हमें ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग मिला। हम इन नंबरों के मॉड्यूल जोड़ते हैं और प्राप्त उत्तर से पहले एक माइनस डालते हैं:

इस प्रकार, व्यंजक का मान है

आइए अब उसी उदाहरण को दूसरे तरीके से हल करने का प्रयास करें, अर्थात् पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़कर।

इस बार, एक संक्षिप्त समाधान प्राप्त करने के लिए, आइए कुछ क्रियाओं को छोड़ने का प्रयास करें, जैसे मिश्रित संख्या को विस्तारित रूप में लिखना और घटाव को जोड़ से बदलना:

ध्यान दें कि भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में घटा दिया गया है।

उदाहरण 10व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

परिणामी व्यंजक में ऋणात्मक संख्याएँ नहीं हैं, जो त्रुटियों का मुख्य कारण हैं। और चूंकि कोई ऋणात्मक संख्या नहीं है, हम सबट्रेंड के सामने प्लस को हटा सकते हैं, और कोष्ठक भी हटा सकते हैं:

परिणाम एक सरल अभिव्यक्ति है जिसकी गणना करना आसान है। आइए इसे हमारे लिए सुविधाजनक किसी भी तरह से गणना करें:

उदाहरण 11.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। आइए हम छोटे मॉड्यूल को बड़े मॉड्यूल से घटाएं, और प्राप्त उत्तरों के सामने परिमेय संख्या का चिह्न लगाएं, जिसका मॉड्यूल बड़ा है:

उदाहरण 12.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

व्यंजक में कई परिमेय संख्याएँ होती हैं। इसके अनुसार, सबसे पहले, आपको कोष्ठक में क्रियाओं को करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति की गणना करते हैं, फिर अभिव्यक्ति हम प्राप्त परिणामों को जोड़ते हैं।

पहली क्रिया:

दूसरी क्रिया:

तीसरी क्रिया:

जवाब:अभिव्यक्ति मूल्य बराबरी

उदाहरण 13व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

हम परिमेय संख्या को उसके चिह्न के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं। एक परिमेय संख्या को कोष्ठक में संलग्न करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह पहले से ही कोष्ठक में है:

आइए इन भिन्नों को एक सामान्य हर में दें। उन्हें एक सामान्य भाजक में लाने के बाद, वे निम्नलिखित रूप लेंगे:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

हमें विभिन्न चिन्हों वाली परिमेय संख्याओं का योग मिला। आइए हम छोटे मॉड्यूल को बड़े मॉड्यूल से घटाएं, और प्राप्त उत्तरों के सामने परिमेय संख्या का चिह्न लगाएं, जिसका मॉड्यूल बड़ा है:

इस प्रकार, अभिव्यक्ति का मूल्य बराबरी

दशमलव भिन्नों के जोड़ और घटाव पर विचार करें, जो परिमेय संख्याएँ भी हैं और जो धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकती हैं।

उदाहरण 14व्यंजक −3.2 + 4.3 . का मान ज्ञात कीजिए

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि व्यंजक में जो जोड़ दिया गया है वह संक्रिया का चिह्न है और दशमलव भिन्न 4.3 पर लागू नहीं होता है। इस दशमलव का अपना धन चिह्न है, जो इस तथ्य के कारण अदृश्य है कि इसे लिखा नहीं गया है। लेकिन हम इसे स्पष्टता के लिए लिखेंगे:

(−3,2) + (+4,3)

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। विभिन्न चिह्नों के साथ परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको एक बड़े मॉड्यूल से एक छोटे मॉड्यूल को घटाना होगा, और उस परिमेय संख्या को रखना होगा जिसका मॉड्यूल उत्तर के सामने बड़ा है। और यह समझने के लिए कि कौन सा मापांक बड़ा है और कौन सा छोटा है, आपको गणना करने से पहले इन दशमलव अंशों के मापांक की तुलना करने में सक्षम होना चाहिए:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

4.3 का मापांक -3.2 के मापांक से बड़ा है, इसलिए हमने 4.3 से 3.2 घटाया। उत्तर मिला 1.1। इसका उत्तर हां है, क्योंकि उत्तर उस परिमेय संख्या के चिह्न से पहले होना चाहिए जिसका मापांक अधिक है। और 4.3 का मापांक −3.2 . के मापांक से अधिक है

अत: व्यंजक −3.2 + (+4.3) का मान 1.1 . है

−3,2 + (+4,3) = 1,1

उदाहरण 15व्यंजक 3.5 + (−8.3) का मान ज्ञात कीजिए।

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। पिछले उदाहरण की तरह, हम बड़े मॉड्यूल से छोटे वाले को घटाते हैं और परिमेय संख्या का चिह्न लगाते हैं, जिसका मॉड्यूल उत्तर से पहले बड़ा होता है:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

अत: व्यंजक 3.5 + (−8.3) का मान −4.8 . के बराबर है

इस उदाहरण को छोटा लिखा जा सकता है:

3,5 + (−8,3) = −4,8

उदाहरण 16व्यंजक −7.2 + (−3.11) का मान ज्ञात कीजिए

यह ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग है। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल जोड़ने होंगे और उत्तर से पहले एक माइनस डालना होगा।

अभिव्यक्ति को अव्यवस्थित करने से बचने के लिए आप मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ सकते हैं:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

इस प्रकार, व्यंजक −7.2 + (−3.11) का मान −10.31 . के बराबर है

इस उदाहरण को छोटा लिखा जा सकता है:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

उदाहरण 17.व्यंजक −0.48 + (−2.7) का मान ज्ञात कीजिए।

यह ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग है। हम उनके मॉड्यूल जोड़ते हैं और प्राप्त उत्तर से पहले एक माइनस डालते हैं। अभिव्यक्ति को अव्यवस्थित करने से बचने के लिए आप मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ सकते हैं:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

उदाहरण 18.व्यंजक −4.9 - 5.9 . का मान ज्ञात कीजिए

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि माइनस जो परिमेय संख्याओं -4.9 और 5.9 के बीच स्थित है, ऑपरेशन का संकेत है और संख्या 5.9 पर लागू नहीं होता है। इस परिमेय संख्या का अपना धन चिह्न है, जो इस तथ्य के कारण अदृश्य है कि इसे लिखा नहीं गया है। लेकिन हम इसे स्पष्टता के लिए लिखेंगे:

(−4,9) − (+5,9)

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

(−4,9) + (−5,9)

हमें ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग मिला। हम उनके मॉड्यूल जोड़ते हैं और प्राप्त उत्तर से पहले एक माइनस डालते हैं:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

इस प्रकार, व्यंजक −4.9 - 5.9 का मान −10.8 . के बराबर है

−4,9 − 5,9 = −10,8

उदाहरण 19.व्यंजक 7 - 9.3 . का मान ज्ञात कीजिए

प्रत्येक संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करें

(+7) − (+9,3)

आइए घटाव को जोड़ से बदलें

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

इस प्रकार, व्यंजक 7 - 9.3 का मान −2.3 . है

आइए इस उदाहरण के हल को संक्षेप में लिखें:

7 − 9,3 = −2,3

उदाहरण 20.व्यंजक −0.25 - (−1.2) का मान ज्ञात कीजिए

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

−0,25 + (+1,2)

हमें विभिन्न चिन्हों वाली परिमेय संख्याओं का योग मिला। हम छोटे मॉड्यूल को बड़े मॉड्यूल से घटाते हैं, और उत्तर से पहले हम उस संख्या का चिह्न लगाते हैं जिसका मॉड्यूल बड़ा है:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

आइए इस उदाहरण के हल को संक्षेप में लिखें:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

उदाहरण 21.व्यंजक -3.5 + (4.1 - 7.1) का मान ज्ञात कीजिए।

कोष्ठक में क्रियाएँ करें, फिर प्राप्त उत्तर को संख्या −3.5 . के साथ जोड़ें

पहली क्रिया:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

दूसरी क्रिया:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

जवाब:व्यंजक −3.5 + (4.1 - 7.1) का मान −6.5 है।

उदाहरण 22.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए (3.5 - 2.9) - (3.7 - 9.1)

आइए कोष्ठक करते हैं। फिर, पहले कोष्ठक के निष्पादन के परिणामस्वरूप हुई संख्या से, दूसरे कोष्ठक के निष्पादन के परिणामस्वरूप हुई संख्या घटाएँ:

पहली क्रिया:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

दूसरी क्रिया:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

तीसरा अधिनियम

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

जवाब:व्यंजक (3.5 - 2.9) - (3.7 - 9.1) का मान 6 है।

उदाहरण 23.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों सहित कोष्ठकों में संलग्न कीजिए

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

जहां संभव हो, घटाव को जोड़ से बदलें:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

अभिव्यक्ति में कई शब्द होते हैं। जोड़ के साहचर्य नियम के अनुसार, यदि व्यंजक में कई पद हैं, तो योग क्रियाओं के क्रम पर निर्भर नहीं करेगा। इसका मतलब है कि शर्तों को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है।

हम पहिया को फिर से नहीं खोजेंगे, लेकिन बाएं से दाएं सभी शब्दों को उस क्रम में जोड़ देंगे जिसमें वे दिखाई देते हैं:

पहली क्रिया:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

दूसरी क्रिया:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

तीसरी क्रिया:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

जवाब:व्यंजक -3.8 + 17.15 - 6.2 - 6.15 का मान 1 के बराबर है।

उदाहरण 24.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए दशमलव भिन्न -1.8 को मिश्रित संख्या में बदलें। हम बिना बदलाव के बाकी को फिर से लिखेंगे:

व्यावहारिक रूप से गणित का संपूर्ण पाठ्यक्रम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं वाले संक्रियाओं पर आधारित होता है। आखिरकार, जैसे ही हम समन्वय रेखा का अध्ययन करना शुरू करते हैं, प्लस और माइनस संकेतों वाली संख्याएं हमें हर जगह, हर नए विषय में मिलने लगती हैं। साधारण सकारात्मक संख्याओं को एक साथ जोड़ने से आसान कुछ नहीं है, एक को दूसरे से घटाना मुश्किल नहीं है। यहां तक ​​कि दो ऋणात्मक संख्याओं वाला अंकगणित भी शायद ही कभी एक समस्या है।

हालांकि, कई लोग अलग-अलग संकेतों वाली संख्याओं को जोड़ने और घटाने में भ्रमित हो जाते हैं। उन नियमों को याद करें जिनके द्वारा ये क्रियाएं होती हैं।

विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं का योग

यदि समस्या को हल करने के लिए हमें एक निश्चित संख्या "ए" में एक ऋणात्मक संख्या "-बी" जोड़ने की आवश्यकता है, तो हमें निम्नानुसार कार्य करने की आवश्यकता है।

• आइए दोनों संख्याओं के मॉड्यूल लें - |a| और |बी| - और इन निरपेक्ष मूल्यों की एक दूसरे से तुलना करें।
• ध्यान दें कि कौन सा मॉड्यूल बड़ा है और कौन सा छोटा है, और छोटे मान को बड़े मान से घटाएं।
• हम परिणामी संख्या से पहले उस संख्या का चिह्न लगाते हैं जिसका मापांक अधिक होता है।

यह उत्तर होगा। इसे और अधिक सरलता से रखा जा सकता है: यदि अभिव्यक्ति में ए + (-बी) संख्या "बी" का मॉड्यूलस "ए" के मॉड्यूलस से अधिक है, तो हम "ए" को "बी" से घटाते हैं और "माइनस" डालते हैं "परिणाम के सामने। यदि मापांक "ए" बड़ा है, तो "बी" को "ए" से घटाया जाता है - और समाधान "प्लस" चिह्न के साथ प्राप्त होता है।

ऐसा भी होता है कि मॉड्यूल बराबर होते हैं। यदि ऐसा है, तो आप इस बिंदु पर रुक सकते हैं - हम विपरीत संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, और उनका योग हमेशा शून्य होगा।

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का घटाव

हमने जोड़ का पता लगा लिया, अब घटाव के नियम पर विचार करें। यह काफी सरल भी है - और इसके अलावा, यह दो ऋणात्मक संख्याओं को घटाने के लिए एक समान नियम को पूरी तरह से दोहराता है।

एक निश्चित संख्या "ए" से घटाने के लिए - मनमाना, यानी किसी भी संकेत के साथ - एक नकारात्मक संख्या "सी", आपको हमारी मनमानी संख्या "ए" में "सी" के विपरीत संख्या जोड़ने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए:

• यदि "ए" एक सकारात्मक संख्या है, और "सी" नकारात्मक है, और "सी" को "ए" से घटाया जाना चाहिए, तो हम इसे इस तरह लिखते हैं: ए - (-सी) \u003d ए + सी।
• यदि "ए" एक ऋणात्मक संख्या है, और "सी" सकारात्मक है, और "सी" को "ए" से घटाया जाना चाहिए, तो हम इसे निम्नानुसार लिखते हैं: (- ए) - सी \u003d - ए + (-सी )

इस प्रकार, विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को घटाते समय, हम अंततः जोड़ के नियमों पर लौटते हैं, और विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को जोड़ते समय, हम घटाव के नियमों पर लौटते हैं। इन नियमों को याद रखने से आप समस्याओं को जल्दी और आसानी से हल कर सकते हैं।