उदाहरण
फ़ंक्शन के चरम का पता लगाएं, बशर्ते कि एक्सऔर परअनुपात से संबंधित हैं: . ज्यामितीय रूप से, समस्या का अर्थ निम्न है: एक दीर्घवृत्त पर 
विमान 
.
इस समस्या को इस प्रकार हल किया जा सकता है: समीकरण से 
पाना 
एक्स:
उसे उपलब्ध कराया 
, अंतराल पर एक चर के एक फ़ंक्शन के चरम को खोजने की समस्या को कम कर दिया 
.
ज्यामितीय रूप से, समस्या का अर्थ निम्न है: एक दीर्घवृत्त पर 
सिलेंडर को पार करके प्राप्त किया 
विमान 
, आवेदन का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना आवश्यक है 
(चित्र 9)। इस समस्या को इस प्रकार हल किया जा सकता है: समीकरण से 
पाना 
. y के पाए गए मान को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक चर का एक फलन प्राप्त होता है एक्स:
इस प्रकार, फ़ंक्शन के चरम को खोजने की समस्या 
उसे उपलब्ध कराया 
, एक खंड पर एक चर के एक समारोह के चरम को खोजने की समस्या को कम कर दिया।
इसलिए, एक सशर्त चरम खोजने की समस्याउद्देश्य समारोह के चरम को खोजने की समस्या है 
, बशर्ते कि चर एक्सऔर परप्रतिबंध के अधीन 
बुलाया कनेक्शन समीकरण।
हम कहेंगे कि दूरसंचार विभाग
, बाधा समीकरण को संतुष्ट करना, स्थानीय सशर्त अधिकतम का एक बिंदु है (न्यूनतम) अगर कोई पड़ोस है 
ऐसा कि किसी भी बिंदु के लिए 
, जिनके निर्देशांक बाधा समीकरण को संतुष्ट करते हैं, असमानता धारण करती है।
यदि संचार के समीकरण से के लिए एक व्यंजक खोजना संभव है पर, फिर, इस अभिव्यक्ति को मूल फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हुए, हम बाद वाले को एक चर के जटिल फ़ंक्शन में बदल देते हैं एक्स।
सशर्त चरम समस्या को हल करने की सामान्य विधि है लैग्रेंज गुणक विधि. आइए एक सहायक फ़ंक्शन बनाएं, जहां 
कुछ संख्या। इस फ़ंक्शन को कहा जाता है लैग्रेंज फ़ंक्शन, ए 
लैग्रेंज गुणक। इस प्रकार, लैग्रेंज फ़ंक्शन के लिए स्थानीय चरम बिंदुओं को खोजने के लिए एक सशर्त चरम को खोजने की समस्या को कम कर दिया गया है। एक संभावित चरम के बिंदुओं को खोजने के लिए, तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है एक्स, वाईऔर।
फिर किसी को निम्नलिखित पर्याप्त चरम स्थिति का उपयोग करना चाहिए।
प्रमेय.
लैग्रेंज फ़ंक्शन के लिए बिंदु को संभावित चरम बिंदु होने दें। हम मानते हैं कि बिंदु के आसपास के क्षेत्र में 
कार्यों के निरंतर दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न हैं 
और 
. निरूपित
तो अगर 
, तब 
समारोह का सशर्त चरम बिंदु 
बाधा समीकरण पर 
इस बीच, अगर 
, तब 
─ सशर्त न्यूनतम बिंदु, यदि 
, तब 
सशर्त अधिकतम का बिंदु।
§आठ। ढाल और दिशात्मक व्युत्पन्न
चलो समारोह 
कुछ (खुले) डोमेन में परिभाषित। किसी भी बिंदु पर विचार करें 
यह क्षेत्र और कोई निर्देशित सीधी रेखा (अक्ष) 
इस बिंदु से गुजरते हुए (चित्र 1)। रहने दो 
- इस धुरी का कोई अन्य बिंदु, 
- के बीच के खंड की लंबाई 
और 
, एक प्लस चिह्न के साथ लिया गया, यदि दिशा 
अक्ष की दिशा के साथ मेल खाता है 
, और ऋण चिह्न के साथ यदि उनकी दिशाएं विपरीत हैं।
रहने दो 
अनिश्चित काल तक पहुंचता है 
. सीमा
बुलाया फ़ंक्शन व्युत्पन्न 
की ओर
(या अक्ष के साथ 
) और निम्नानुसार दर्शाया गया है:
.
यह व्युत्पन्न बिंदु पर फ़ंक्शन के "परिवर्तन की दर" की विशेषता है 
की ओर 
. विशेष रूप से, और साधारण आंशिक डेरिवेटिव 
,
"दिशा के संबंध में" डेरिवेटिव के रूप में भी सोचा जा सकता है।
अब मान लीजिए कि फ़ंक्शन 
विचाराधीन क्षेत्र में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है। चलो अक्ष 
निर्देशांक अक्षों के साथ कोण बनाता है 
और 
. की गई मान्यताओं के तहत, दिशात्मक व्युत्पन्न 
मौजूद है और सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है
.
यदि वेक्टर 
इसके निर्देशांक द्वारा निर्धारित 
, फिर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 
वेक्टर की दिशा में 
सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:
.
निर्देशांक के साथ वेक्टर 
बुलाया ढाल वेक्टरकार्यों 
बिंदु पर 
. ग्रेडिएंट वेक्टर किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की सबसे तेज़ वृद्धि की दिशा को इंगित करता है।
उदाहरण
एक फ़ंक्शन दिया गया है, एक बिंदु A(1, 1) और एक वेक्टर 
. खोजें: 1) बिंदु ए पर ग्रेड जेड; 2) सदिश की दिशा में बिंदु A पर अवकलज 
.
किसी बिंदु पर दिए गए फलन का आंशिक अवकलज 
:
;
.
फिर इस बिंदु पर फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट वेक्टर है: 
. ग्रेडिएंट वेक्टर को वेक्टर विस्तार का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है 
और 
:
. फ़ंक्शन व्युत्पन्न 
वेक्टर की दिशा में 
:
इसलिए, 
,
.◄
दो चर के एक समारोह के चरम के लिए एक पर्याप्त शर्त
1. मान लें कि फलन बिंदु के कुछ पड़ोस में निरंतर अवकलनीय है और निरंतर द्वितीय-क्रम आंशिक व्युत्पन्न (शुद्ध और मिश्रित) है।
2. दूसरे क्रम के निर्धारक द्वारा निरूपित करें
चरम चर व्याख्यान समारोह
प्रमेय
यदि निर्देशांक वाला बिंदु फ़ंक्शन के लिए एक स्थिर बिंदु है, तो:
ए) जब यह स्थानीय चरम सीमा का एक बिंदु है और, स्थानीय अधिकतम पर, - एक स्थानीय न्यूनतम;
सी) जब बिंदु स्थानीय चरम बिंदु नहीं है;
सी) अगर, शायद दोनों।
प्रमाण
हम स्वयं को दो सदस्यों तक सीमित रखते हुए, फ़ंक्शन के लिए टेलर सूत्र लिखते हैं:
चूंकि, प्रमेय की स्थिति के अनुसार, बिंदु स्थिर है, दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं, अर्थात। और। फिर
निरूपित
तब फ़ंक्शन की वृद्धि का रूप ले लेगा:
दूसरे क्रम (शुद्ध और मिश्रित) के आंशिक व्युत्पन्नों की निरंतरता के कारण, एक बिंदु पर प्रमेय की स्थिति के अनुसार, हम लिख सकते हैं:
कहाँ या; ,
1. चलो और, यानी, या।
2. हम फलन की वृद्धि को गुणा करते हैं और इससे भाग देते हैं, हमें प्राप्त होता है:
3. योग के पूर्ण वर्ग में घुँघराले कोष्ठकों में व्यंजक को लागू करें:
4. घुँघराले कोष्ठकों में व्यंजक ऋणात्मक नहीं है, क्योंकि
5. इसलिए, यदि और इसलिए, और, तब और, इसलिए, परिभाषा के अनुसार, बिंदु स्थानीय न्यूनतम का एक बिंदु है।
6. यदि और का अर्थ है, और, तो, परिभाषा के अनुसार, निर्देशांक वाला एक बिंदु स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
2. एक वर्ग त्रिपद पर विचार करें, इसका विवेचक, .
3. यदि, तो ऐसे बिंदु हैं कि बहुपद
4. I में प्राप्त व्यंजक के अनुसार किसी बिंदु पर फलन की कुल वृद्धि, हम इस रूप में लिखते हैं:
5. दूसरे क्रम के आंशिक अवकलजों की निरंतरता के कारण, एक बिंदु पर प्रमेय की स्थिति के अनुसार, हम लिख सकते हैं कि
इसलिए, एक बिंदु का एक पड़ोस मौजूद है, जैसे कि, किसी भी बिंदु के लिए, वर्ग ट्रिनोमियल शून्य से बड़ा है:
6. विचार करें - बिंदु का पड़ोस।
आइए कोई भी मान चुनें, तो यही बात है। यह मानते हुए कि फ़ंक्शन की वृद्धि के सूत्र में
हमें क्या मिलता है:
7. तब से।
8. इसी प्रकार मूल के लिए तर्क करने पर, हम पाते हैं कि बिंदु के किसी भी पड़ोस में एक बिंदु है जिसके लिए, बिंदु के पड़ोस में यह चिह्न को संरक्षित नहीं करता है, इसलिए बिंदु पर कोई चरम नहीं है।
दो चर के एक समारोह की सशर्त चरम सीमा
दो चर के एक समारोह के एक्स्ट्रेमा की खोज करते समय, तथाकथित सशर्त चरम से संबंधित समस्याएं अक्सर उत्पन्न होती हैं। इस अवधारणा को दो चरों के एक फलन के उदाहरण द्वारा समझाया जा सकता है।
मान लीजिए 0xy तल पर एक फलन और एक रेखा L दी गई है। कार्य रेखा L पर ऐसे बिंदु P (x, y) को खोजना है, जिस पर निकट स्थित रेखा L के बिंदुओं पर इस फ़ंक्शन के मानों की तुलना में फ़ंक्शन का मान सबसे बड़ा या सबसे छोटा है बिंदु पी। ऐसे बिंदु पी को लाइन एल पर सशर्त चरम बिंदु फ़ंक्शन कहा जाता है। सामान्य चरम बिंदु के विपरीत, सशर्त चरम बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की तुलना फ़ंक्शन के मानों से की जाती है, सभी बिंदुओं पर नहीं इसके कुछ पड़ोस में, लेकिन केवल उन पर जो लाइन L पर स्थित हैं।
यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सामान्य चरम का बिंदु (वे बिना शर्त चरम भी कहते हैं) इस बिंदु से गुजरने वाली किसी भी रेखा के लिए सशर्त चरम का बिंदु भी है। बातचीत, ज़ाहिर है, सच नहीं है: एक सशर्त चरम बिंदु पारंपरिक चरम बिंदु नहीं हो सकता है। आइए एक उदाहरण के साथ जो कहा गया है उसे स्पष्ट करें।
उदाहरण 1।फलन का ग्राफ ऊपरी गोलार्द्ध है (चित्र 2)।
चावल। 2.
इस फ़ंक्शन के मूल में अधिकतम है; यह गोलार्द्ध के शीर्ष M से मेल खाती है। यदि रेखा L बिंदु A और B (इसका समीकरण) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, तो यह ज्यामितीय रूप से स्पष्ट है कि इस रेखा के बिंदुओं के लिए फ़ंक्शन का अधिकतम मान बिंदु A और बिंदुओं के बीच में स्थित बिंदु पर पहुंच जाता है। बी। यह इस लाइन पर सशर्त चरम (अधिकतम) बिंदु कार्य है; यह गोलार्द्ध पर बिंदु एम 1 से मेल खाता है, और यह इस आंकड़े से देखा जा सकता है कि यहां किसी भी सामान्य चरम का कोई सवाल नहीं हो सकता है।
ध्यान दें कि किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या के अंतिम भाग में, इस क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन के चरम मूल्यों को खोजना होता है, अर्थात। कुछ लाइन पर, और इस तरह एक सशर्त चरम के लिए समस्या का समाधान।
परिभाषा 1.वे कहते हैं कि जहां एक बिंदु पर एक सशर्त या सापेक्ष अधिकतम (न्यूनतम) है जो समीकरण को संतुष्ट करता है: यदि कोई समीकरण को संतुष्ट करता है, तो असमानता
परिभाषा 2.फॉर्म के समीकरण को बाधा समीकरण कहा जाता है।
प्रमेय
यदि कार्य और एक बिंदु के पड़ोस में लगातार भिन्न होते हैं, और आंशिक व्युत्पन्न और बिंदु बाधा समीकरण के संबंध में फ़ंक्शन के सशर्त चरम के बिंदु हैं, तो दूसरा क्रम निर्धारक शून्य के बराबर है:
प्रमाण
1. चूँकि, प्रमेय की शर्त के अनुसार, आंशिक अवकलज और फलन का मान, तो किसी आयत में
निहित कार्य परिभाषित
एक बिंदु पर दो चर के एक जटिल कार्य में एक स्थानीय चरम होगा, इसलिए, या।
2. वास्तव में, प्रथम-क्रम अंतर सूत्र की अपरिवर्तनीय संपत्ति के अनुसार
3. कनेक्शन समीकरण को इस रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसका अर्थ है
4. समीकरण (2) को और (3) से गुणा करें और उन्हें जोड़ें
इसलिए, अत
स्वेच्छाचारी। एच.टी.डी.
परिणाम
व्यवहार में दो चर के एक फ़ंक्शन के सशर्त चरम बिंदुओं की खोज समीकरणों की एक प्रणाली को हल करके की जाती है
तो, उपरोक्त उदाहरण नंबर 1 में संचार के समीकरण से हमारे पास है। यहां से यह जांचना आसान है कि अधिकतम पर क्या पहुंचता है। लेकिन फिर संचार के समीकरण से। हमें ज्यामितीय रूप से ज्ञात बिंदु P प्राप्त होता है।
उदाहरण # 2।बाधा समीकरण के संबंध में फ़ंक्शन के सशर्त चरम बिंदु खोजें।
आइए दिए गए फ़ंक्शन और कनेक्शन समीकरण के आंशिक व्युत्पन्न खोजें:
आइए दूसरे क्रम का निर्धारक बनाएं:
आइए सशर्त चरम बिंदुओं को खोजने के लिए समीकरणों की प्रणाली को लिखें:
इसलिए, निर्देशांक के साथ फ़ंक्शन के चार सशर्त चरम बिंदु हैं: .
उदाहरण #3।फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें।
आंशिक अवकलज को शून्य के बराबर करने पर: हम एक स्थिर बिंदु पाते हैं - मूल। यहां,। इसलिए, बिंदु (0, 0) भी एक चरम बिंदु नहीं है। समीकरण एक अतिपरवलयिक परवलयिक का समीकरण है (चित्र 3), आकृति दर्शाती है कि बिंदु (0, 0) एक चरम बिंदु नहीं है।
चावल। 3.
किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान
1. मान लीजिए कि एक परिबद्ध बंद डोमेन D में फलन परिभाषित और सतत है।
2. मान लें कि इस क्षेत्र में फलन का परिमित आंशिक अवकलज है, क्षेत्र के अलग-अलग बिंदुओं को छोड़कर।
3. वीयरस्ट्रैस प्रमेय के अनुसार, इस क्षेत्र में एक ऐसा बिंदु होता है जिस पर फलन सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान लेता है।
4. यदि ये बिंदु क्षेत्र D के आंतरिक बिंदु हैं, तो स्पष्ट है कि इनका अधिकतम या न्यूनतम होगा।
5. इस मामले में, हमारे लिए रुचि के बिंदु चरम सीमा पर संदिग्ध बिंदुओं में से हैं।
6. हालाँकि, फलन क्षेत्र D की सीमा पर अधिकतम या न्यूनतम मान भी ले सकता है।
7. क्षेत्र डी में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान खोजने के लिए, आपको चरम के लिए संदिग्ध सभी आंतरिक बिंदुओं को खोजने की जरूरत है, उनमें फ़ंक्शन के मान की गणना करें, फिर फ़ंक्शन के मान के साथ तुलना करें क्षेत्र के सीमा बिंदु, और सभी पाए गए मूल्यों में सबसे बड़ा बंद क्षेत्र डी में सबसे बड़ा होगा।
8. स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम ज्ञात करने की विधि पर पहले खंड 1.2 में विचार किया गया था। और 1.3.
9. यह क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों को खोजने की विधि पर विचार करना बाकी है।
10. दो चरों के फलन के मामले में, क्षेत्र आमतौर पर एक वक्र या कई वक्रों से घिरा होता है।
11. ऐसे वक्र (या कई वक्र) के साथ, चर और या तो एक दूसरे पर निर्भर करते हैं, या दोनों एक पैरामीटर पर निर्भर करते हैं।
12. इस प्रकार, सीमा पर, फलन एक चर पर निर्भर हो जाता है।
13. एक चर के फलन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करने की विधि की चर्चा पहले की गई थी।
14. मान लीजिए कि क्षेत्र D की सीमा पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दी गई है:
फिर इस वक्र पर दो चरों का फलन पैरामीटर का एक जटिल फलन होगा: . ऐसे फ़ंक्शन के लिए, सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान एक चर के फ़ंक्शन के लिए सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करने की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।
मान लीजिए फलन z - f(x, y) किसी प्रांत D में परिभाषित है और Mo(xo, y0) इस प्रांत का एक आंतरिक बिंदु है। परिभाषा। यदि ऐसी संख्या मौजूद है कि असमानता उन सभी के लिए सही है जो शर्तों को पूरा करती हैं, तो बिंदु Mo(xo, yo) को फ़ंक्शन f(x, y) के स्थानीय अधिकतम का बिंदु कहा जाता है; अगर, हालांकि, सभी डीएक्स, डू शर्तों को पूरा करने के लिए | तब बिंदु Mo(x0, y0) को सूक्ष्म स्थानीय न्यूनतम कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, बिंदु M0(x0, y0) फ़ंक्शन f(x, y) के अधिकतम या न्यूनतम का बिंदु है यदि बिंदु A/o(x0, y0) का 6-पड़ोस मौजूद है जैसे कि सभी इस पड़ोस के अंक एम (एक्स, वाई), फ़ंक्शन की वृद्धि संकेत को संरक्षित करती है। उदाहरण। 1. किसी फलन के लिए, एक बिंदु एक न्यूनतम बिंदु होता है (चित्र 17)। 2. फलन के लिए, बिंदु 0(0,0) अधिकतम बिंदु है (चित्र 18)। 3. फलन के लिए, बिंदु 0(0,0) स्थानीय अधिकतम बिंदु है। 4 वास्तव में, बिंदु 0(0, 0) का एक पड़ोस है, उदाहरण के लिए, त्रिज्या j का एक वृत्त (चित्र 19 देखें), जिसके किसी भी बिंदु पर, बिंदु 0(0, 0) से भिन्न होता है। फलन का मान f(x, y) 1 से कम = हम केवल सख्त अधिकतम और न्यूनतम फलनों के बिंदुओं पर विचार करेंगे जब सख्त असमानता या सख्त असमानता सभी बिंदुओं M(x) y) के लिए कुछ पंचर 6-पड़ोस से होती है बिंदु एमक्यू। अधिकतम बिंदु पर फ़ंक्शन के मान को अधिकतम कहा जाता है, और न्यूनतम बिंदु पर फ़ंक्शन के मान को इस फ़ंक्शन का न्यूनतम कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को फ़ंक्शन के चरम बिंदु कहा जाता है, और फ़ंक्शन के मैक्सिमा और मिनिमा को स्वयं इसका एक्स्ट्रेमा कहा जाता है। प्रमेय 11 (एक चरम के लिए आवश्यक शर्त)। यदि कार्य कई चर के एक समारोह का चरम कई चर के एक समारोह के एक चरम की अवधारणा। एक चरम सशर्त चरम के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियां निरंतर कार्यों के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों में बिंदु पर एक चरम होता है, इस बिंदु पर प्रत्येक आंशिक व्युत्पन्न और आप या तो गायब हो जाते हैं या मौजूद नहीं होते हैं। मान लें कि फलन z = f(x) y) का बिंदु M0(x0, y0) पर एक चरम है। आइए वेरिएबल y को मान yo दें। तब फलन z = /(x, y) एक चर x\ का फलन होगा क्योंकि x = xo पर इसका एक चरम (अधिकतम या न्यूनतम, चित्र 20) होता है, तो x = "o के संबंध में इसका अवकलज, | (*o,l>)" शून्य के बराबर है, या मौजूद नहीं है। इसी तरह, हम इसे सत्यापित करते हैं) या शून्य के बराबर है, या मौजूद नहीं है। जिन बिंदुओं पर = 0 और u = 0 या मौजूद नहीं हैं फ़ंक्शन z = Dx, y के महत्वपूर्ण बिंदु कहलाते हैं। वे बिंदु जिन पर $£ = u = 0 को फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु भी कहा जाता है। प्रमेय 11 एक चरम के लिए केवल आवश्यक शर्तों को व्यक्त करता है, जो पर्याप्त नहीं हैं। 18 Fig.20 imt डेरिवेटिव जो गायब हो जाते हैं। लेकिन यह फ़ंक्शन इम्वत "स्ट्रौमम" पर काफी पतला है। वास्तव में, फ़ंक्शन बिंदु 0(0, 0) पर शून्य के बराबर है और बिंदु M(x, y) पर लेता है, जैसा कि आप चाहते हैं, बिंदु 0(0, 0) के करीब, kkk सकारात्मक और नकारात्मक मान। इसके लिए, इसलिए बिंदुओं पर बिंदुओं (0, y) पर मनमाने ढंग से छोटे बिंदुओं के लिए, इस प्रकार के बिंदु 0(0, 0) को मिनी-अधिकतम बिंदु (चित्र 21) कहा जाता है। निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दो चरों के एक फलन के चरम के लिए पर्याप्त शर्तें व्यक्त की जाती हैं। प्रमेय 12 (फजी चर के एक चरम के लिए पर्याप्त शर्तें)। मान लीजिए बिंदु Mo(xo, y0) फलन f(x, y) का एक स्थिर बिंदु है, और बिंदु के कुछ पड़ोस में / बिंदु Mo सहित, फलन f(r, y) में निरंतर आंशिक अवकलज ऊपर हैं। दूसरे क्रम में समावेशी। तब "1) बिंदु Mq(xq, V0) पर फलन f(x, y) का अधिकतम होता है यदि सारणिक इस बिंदु 2 पर है) बिंदु Mo(x0, V0) पर फलन f(x, y) न्यूनतम है यदि बिंदु Mo(xo, yo) पर फलन f(x, y) का कोई चरम नहीं है यदि D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> वाह) फलन का चरम f(x, y) हो भी सकता है और नहीं भी। इस मामले में, आगे के शोध की आवश्यकता है। हम अपने आप को प्रमेय के अभिकथन 1) और 2) को सिद्ध करने तक सीमित रखते हैं। आइए फ़ंक्शन /(i, y) के लिए दूसरे क्रम का टेलर सूत्र लिखें: कहा पे। धारणा से, जहां से यह स्पष्ट है कि वृद्धि डी/ का चिह्न दाहिनी ओर त्रिपद के चिह्न द्वारा निर्धारित किया जाता है (1), यानी दूसरे अंतर d2f का चिह्न। आइए हम संक्षिप्तता के लिए निरूपित करें। तब समानता (l) को इस प्रकार लिखा जा सकता है: मान लीजिए कि बिंदु MQ(so, y0) पर हमारे पास बिंदु M0(s0,yo) का पड़ोस है। यदि शर्त (बिंदु A/0) संतुष्ट है, और निरंतरता के कारण, अवकलज /,z(s, y) बिंदु Af0 के कुछ पड़ोस में अपना चिह्न बनाए रखेगा। उस क्षेत्र में जहां A 0, हमारे पास बिंदु M0(x0) y0) के कुछ पड़ोस में 0 है, तो ट्रिनोमियल AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 का चिन्ह बिंदु C पर चिह्न A के साथ मेल खाता है, अलग-अलग संकेत नहीं हो सकते हैं)। चूँकि बिंदु पर योग AAs2 + 2BAxAy + CAy2 का चिह्न (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) अंतर का चिन्ह निर्धारित करता है, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुँचते हैं: यदि फलन f(s, y) पर स्थिर बिंदु (s0, yo) स्थिति को संतुष्ट करता है, फिर पर्याप्त रूप से छोटे के लिए || असमानता रहेगी। इस प्रकार, बिंदु (sq, y0) पर फलन /(s, y) का अधिकतम मान होता है। लेकिन अगर स्थिति स्थिर बिंदु (s0, yo) पर संतुष्ट है, तो सभी के लिए पर्याप्त रूप से छोटा |Ar| और |करो| असमानता सत्य है, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन /(s, y) का बिंदु पर न्यूनतम है (इसलिए, yo)। उदाहरण। 1. एक चरम के लिए फ़ंक्शन 4 की जांच करें एक चरम के लिए आवश्यक शर्तों का उपयोग करके, हम फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं की तलाश करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम आंशिक व्युत्पन्न, u पाते हैं और उन्हें शून्य के बराबर करते हैं। हमें समीकरणों का एक निकाय प्राप्त होता है जहाँ से - एक स्थिर बिंदु। आइए अब प्रमेय 12 का प्रयोग करें। इसलिए, बिंदु M पर एक अतिम है। क्योंकि यह न्यूनतम है। यदि हम फ़ंक्शन g को रूप में रूपांतरित करते हैं, तो यह देखना आसान है कि इस फ़ंक्शन का पूर्ण न्यूनतम होने पर दाईं ओर (")" न्यूनतम होगा। 2. एक चरम के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। हमें फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु मिलते हैं, जिसके लिए हम यहां से समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं ताकि बिंदु स्थिर हो। चूंकि, प्रमेय 12 के आधार पर, बिंदु M पर कोई चरम नहीं है। * 3. एक चरम के लिए फ़ंक्शन की जांच करें फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु खोजें। समीकरणों की प्रणाली से हम इसे प्राप्त करते हैं, ताकि बिंदु स्थिर रहे। इसके अलावा, हमारे पास ऐसा है कि प्रमेय 12 एक चरम की उपस्थिति या अनुपस्थिति के प्रश्न का उत्तर नहीं देता है। आइए इसे इस तरह से करें। एक बिंदु के अलावा अन्य सभी बिंदुओं के बारे में एक फ़ंक्शन के लिए, परिभाषा के अनुसार, बिंदु ए/ओ (0,0) पर फ़ंक्शन आर का पूर्ण न्यूनतम है। अनुरूप सुखाने से, हम यह स्थापित करते हैं कि फ़ंक्शन का बिंदु पर अधिकतम होता है, लेकिन फ़ंक्शन में बिंदु पर एक चरम नहीं होता है। मान लीजिए कि स्वतंत्र चरों का एक फलन एक बिंदु पर अवकलनीय है। बिंदु मो को फलन का एक स्थिर बिंदु कहा जाता है यदि। प्रमेय 13 (एक चरम के लिए पर्याप्त शर्तें)। फ़ंक्शन को परिभाषित करने दें और ठीक लाइन Mc(xi... के कुछ पड़ोस में दूसरे क्रम के निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं, जो एक स्थिर ठीक फ़ंक्शन है, यदि द्विघात रूप (फ़ंक्शन का दूसरा अंतर) जुर्माना में f बिंदु सकारात्मक-निश्चित (ऋणात्मक-निश्चित) है, फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु (क्रमशः, ठीक अधिकतम) ठीक है यदि द्विघात रूप (4) संकेत-वैकल्पिक है, तो ठीक LG0 में कोई चरम नहीं है। 15.2 सशर्त एक्सट्रीम अब तक, हम इसकी परिभाषा के पूरे डोमेन में एक फ़ंक्शन के स्थानीय एक्स्ट्रेमा की तलाश कर रहे हैं, जब फ़ंक्शन के तर्क किसी भी अतिरिक्त शर्तों से बंधे नहीं हैं। इस तरह के एक्स्ट्रेमा को बिना शर्त कहा जाता है। हालांकि, तथाकथित खोजने की समस्याएं सशर्त एक्स्ट्रेमा का अक्सर सामना किया जाता है। फ़ंक्शन z \u003d / (x, y) को क्षेत्र D में परिभाषित करने दें। मान लें कि वक्र L इस क्षेत्र में दिया गया है, और केवल फ़ंक्शन f (x> y) के एक्स्ट्रेमा को खोजना आवश्यक है इसके उन मानों में से जो वक्र L के बिंदुओं के अनुरूप हैं। उसी एक्स्ट्रेमा को वक्र L पर फ़ंक्शन z = f(x) y) का सशर्त एक्स्ट्रेमा कहा जाता है। परिभाषा यह कहा जाता है कि एक बिंदु पर झूठ बोलना वक्र L पर, फलन f(x, y) का एक सशर्त अधिकतम (न्यूनतम) होता है, यदि असमानता क्रमशः सभी बिंदुओं M (s, y) वक्र L पर होती है, जो बिंदु M0(x0, के कुछ पड़ोस से संबंधित है) यो) और बिंदु M0 से अलग (यदि वक्र L एक समीकरण द्वारा दिया गया है, तो वक्र पर फ़ंक्शन r-f(x, y) के सशर्त चरम को खोजने की समस्या! निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: क्षेत्र डी में फ़ंक्शन x = / (z, y) का चरम खोजें, बशर्ते कि इस प्रकार, फ़ंक्शन z = y के सशर्त एक्स्ट्रेमा को खोजने पर, तर्क zn पर अब विचार नहीं किया जा सकता है स्वतंत्र चर के रूप में: वे संबंध y ) = 0 द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं, जिसे बाधा समीकरण कहा जाता है। बिना शर्त और सशर्त चरम के रूप में एम «* डी वाई के बीच अंतर को स्पष्ट करने के लिए, आइए एक और उदाहरण देखें, बिना शर्त अधिकतम फ़ंक्शन (चित्र। 23) एक के बराबर है और बिंदु (0,0) पर पहुंच जाता है। यह बिल्कुल M से मेल खाता है - pvvboloid का शीर्ष। आइए हम बाधा समीकरण y = j जोड़ते हैं। तब सशर्त अधिकतम स्पष्ट रूप से बराबर होगा। यह बिंदु (o, |) पर पहुंच गया है, और यह pvvboloid के शीर्ष Afj से मेल खाता है, जो विमान y = j के साथ pvvboloid के चौराहे की रेखा है। बिना शर्त न्यूनतम s के मामले में, हमारे पास सतह के सभी अन्वेषणों में सबसे छोटा अनुप्रयोग है * = 1 - n;2 ~ y1; स्लमवव सशर्त - केवल pvrboloidv के सभी बिंदुओं में से, सीधी रेखा के बिंदु * के अनुरूप y \u003d j xOy विमान का नहीं। उपस्थिति और कनेक्शन में किसी फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने के तरीकों में से एक इस प्रकार है। कनेक्शन समीकरण y)-0 को y को तर्क x के एकल-मूल्यवान विभेदक कार्य के रूप में परिभाषित करने दें: फ़ंक्शन में y के बजाय फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करने पर, हम एक तर्क का एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं जिसमें कनेक्शन की स्थिति को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। . फ़ंक्शन का (बिना शर्त) चरम वांछित सशर्त चरम है। उदाहरण। इस शर्त के तहत एक फ़ंक्शन के चरम का पता लगाएं कई चर के एक फ़ंक्शन का चरम कई चर के एक फ़ंक्शन के चरम की अवधारणा। चरम सशर्त चरम के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें निरंतर कार्यों का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ए \u003d 1 - महत्वपूर्ण बिंदु;, ताकि फ़ंक्शन आर (छवि 24) का एक सशर्त न्यूनतम प्रदान किया जा सके। आइए हम हल करने का एक और तरीका इंगित करें सशर्त चरम की समस्या, जिसे लैग्रेंज गुणक विधि कहा जाता है। एक कनेक्शन की उपस्थिति में फ़ंक्शन के सशर्त चरम का एक बिंदु होने दें। आइए मान लें कि कनेक्शन का समीकरण बिंदु के कुछ पड़ोस में एक अद्वितीय निरंतर भिन्न कार्य को परिभाषित करता है xi. यह मानते हुए कि हम प्राप्त करते हैं कि फ़ंक्शन के x के संबंध में व्युत्पन्न /(r, ip(x)) बिंदु xq पर शून्य के बराबर होना चाहिए या, जो इसके बराबर है, f (x, y) का अंतर ) बिंदु मो "ओ पर) कनेक्शन समीकरण से हमारे पास (5) है फिर, dx की मनमानी के कारण, हम समानताएं (6) प्राप्त करते हैं और (7) लैग्रेंज फ़ंक्शन नामक फ़ंक्शन के एक बिंदु पर बिना शर्त चरम के लिए आवश्यक शर्तों को व्यक्त करते हैं। इस प्रकार, फ़ंक्शन के सशर्त चरम का बिंदु / (x, y), यदि आवश्यक रूप से लैग्रेंज फ़ंक्शन का एक स्थिर बिंदु है जहां ए कुछ संख्यात्मक गुणांक है। यहां से हम सशर्त एक्स्ट्रेमा खोजने के लिए एक नियम प्राप्त करते हैं: उन बिंदुओं को खोजने के लिए जो एक कनेक्शन की उपस्थिति में एक फ़ंक्शन के पूर्ण चरम के बिंदु हो सकते हैं, 1) हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं, 2) इस फ़ंक्शन के डेरिवेटिव और डब्ल्यू की बराबरी करते हैं शून्य करने के लिए और परिणामी समीकरणों के लिए कनेक्शन समीकरण को जोड़ने पर, हम तीन समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं जिससे हम ए के मान और निर्देशांक x, y संभावित चरम बिंदुओं का पता लगाते हैं। सशर्त चरम के अस्तित्व और प्रकृति का प्रश्न शर्तों के तहत (8) से प्राप्त मूल्यों x0, यो, ए की मानी गई प्रणाली के लिए लैग्रेंज फ़ंक्शन के दूसरे अंतर के संकेत के अध्ययन के आधार पर हल किया जाता है। कि यदि, तो बिंदु (x0, Yo) पर फलन f(x, y ) का एक सशर्त अधिकतम है; यदि d2F > 0 - तो सशर्त न्यूनतम। विशेष रूप से, यदि एक स्थिर बिंदु (xo, J/o) पर फलन F(x, y) के लिए सारणिक D धनात्मक है, तो बिंदु (®o, V0) पर फलन का एक सशर्त अधिकतम होता है /( x, y) यदि, और सशर्त न्यूनतम फ़ंक्शन /(x, y), यदि उदाहरण। आइए हम फिर से पिछले उदाहरण की शर्तों की ओर मुड़ें: फ़ंक्शन के चरम का पता लगाएं, बशर्ते कि x + y = 1. हम लैग्रेंज गुणक विधि का उपयोग करके समस्या का समाधान करेंगे। इस मामले में लैग्रेंज फ़ंक्शन का रूप है स्थिर बिंदुओं को खोजने के लिए, हम एक सिस्टम बनाते हैं सिस्टम के पहले दो समीकरणों से, हम प्राप्त करते हैं कि x = y। फिर प्रणाली के तीसरे समीकरण (युग्मन समीकरण) से हम पाते हैं कि x - y = j - एक संभावित चरम के बिंदु के निर्देशांक। इस मामले में (यह इंगित किया गया है कि ए \u003d -1। इस प्रकार, लैग्रेंज फ़ंक्शन। फ़ंक्शन का एक सशर्त न्यूनतम बिंदु है * \u003d x2 + y2 इस शर्त के तहत कि लैग्रैंगियन फ़ंक्शन के लिए कोई बिना शर्त चरम सीमा नहीं है। पी ( x, y) का अर्थ अभी तक कनेक्शन की उपस्थिति में फ़ंक्शन /(x, y) के लिए एक सशर्त चरम की अनुपस्थिति का मतलब नहीं है उदाहरण: शर्त के तहत फ़ंक्शन का चरम खोजें y 4 लैग्रेंज फ़ंक्शन लिखें और लिखें ए और संभावित चरम बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए प्रणाली: y = ए = 0। इस प्रकार, संबंधित लैग्रेंज फ़ंक्शन का रूप बिंदु (0, 0) पर होता है, फ़ंक्शन F(x, y; 0) में एक नहीं होता है बिना शर्त चरम, लेकिन फ़ंक्शन r = xy का सशर्त चरम। जब y = x, "वास्तव में, इस मामले में r = x2 है। यहां से यह स्पष्ट है कि बिंदु (0,0) पर एक सशर्त न्यूनतम है "लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि को किसी भी संख्या में तर्कों के कार्यों के मामले में स्थानांतरित किया जाता है / फ़ंक्शन के चरम को कनेक्शन समीकरणों की उपस्थिति में मांगा जाता है, लैग्रेंज फ़ंक्शन सोस्टाल्याम जहां ए |, एज़, ..., ए ", - नहीं कुछ स्थिर कारक। फ़ंक्शन F के पहले क्रम के सभी आंशिक व्युत्पन्नों को शून्य के बराबर करने और प्राप्त समीकरणों को जोड़ने वाले समीकरणों (9) को जोड़ने पर, हम n + m समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं, जिससे हम Ab A3|..., Am और निर्धारित करते हैं। निर्देशांक x\) x2)। » सशर्त चरम के xn संभावित बिंदु। सवाल यह है कि क्या लैग्रेंज विधि द्वारा पाए गए बिंदु वास्तव में सशर्त चरम बिंदु हैं, जिन्हें अक्सर भौतिक या ज्यामितीय प्रकृति के विचारों के आधार पर हल किया जा सकता है। 15.3. निरंतर कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम मान मान लें कि कुछ विस्तारित बाउंडेड डोमेन डी में निरंतर फ़ंक्शन z = / (x, y) का अधिकतम (सबसे छोटा) मान खोजने की आवश्यकता है। प्रमेय 3 के अनुसार, इस क्षेत्र में एक बिंदु (xo, V0) है जिस पर फलन सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान लेता है। यदि बिंदु (xo, y0) डोमेन D के अंदर स्थित है, तो फ़ंक्शन / में अधिकतम (न्यूनतम) है, ताकि इस मामले में हमारे लिए रुचि का बिंदु फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच समाहित हो /(x , वाई)। हालाँकि, फलन /(x, y) क्षेत्र की सीमा पर अपने अधिकतम (सबसे छोटे) मान तक भी पहुँच सकता है। इसलिए, एक सीमित बंद क्षेत्र में फ़ंक्शन z = / (x, y) द्वारा लिए गए सबसे बड़े (सबसे छोटे) मान को खोजने के लिए, इस क्षेत्र के अंदर हासिल किए गए फ़ंक्शन के सभी मैक्सिमा (न्यूनतम) को खोजना आवश्यक है। , साथ ही इस क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान। इन सभी संख्याओं में से सबसे बड़ी (सबसे छोटी) क्षेत्र 27 में फलन z = /(x, y) का वांछित अधिकतम (सबसे छोटा) मान होगा। आइए हम दिखाते हैं कि यह एक अवकलनीय फलन के मामले में कैसे किया जाता है। पीआरएमआर। क्षेत्र 4 के फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें। हम क्षेत्र डी के अंदर फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं। यहां से हमें x \u003d y \u003e 0 मिलता है। , ताकि बिंदु 0 (0,0) फ़ंक्शन x का महत्वपूर्ण बिंदु हो। चूंकि आइए अब हम क्षेत्र डी की सीमा पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजें। सीमा के हिस्से पर हमारे पास y \u003d 0 एक महत्वपूर्ण बिंदु है, और तब से \u003d तब इस पर फ़ंक्शन को इंगित करें z \u003d 1 + y2 में न्यूनतम एक के बराबर है। खंड G के सिरों पर", बिंदुओं पर (, हमारे पास है। समरूपता के विचारों का उपयोग करते हुए, हम सीमा के अन्य भागों के लिए समान परिणाम प्राप्त करते हैं। अंत में, हम प्राप्त करते हैं: फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान z \u003d x2 + y2 in क्षेत्र "बी" शून्य के बराबर है और यह आंतरिक बिंदु 0( 0, 0) क्षेत्र पर पहुंच गया है, और इस फ़ंक्शन का अधिकतम मान, दो के बराबर, सीमा के चार बिंदुओं पर पहुंच गया है (चित्र 25) अंजीर। 25 अभ्यास कार्य: कार्यों के आंशिक व्युत्पन्न और उनके कुल अंतर खोजें: जटिल कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: 3 खोजें जे। कई चर के एक फ़ंक्शन का चरम कई चर के एक फ़ंक्शन के चरम की अवधारणा आवश्यक और पर्याप्त शर्तों के लिए एक चरम सशर्त चरम निरंतर कार्यों का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान 34. एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करना दो चर, ढूंढें और कार्य करें: 35. एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करना दो चरों में, |J और फलन खोजें: jj निहित फलन खोजें: 40. सीधी रेखा x = 3 के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्पर्शरेखा वक्र का ढलान ज्ञात करें। 41. उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जहाँ x-वक्र की स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है। . निम्नलिखित कार्यों में, खोजें और Z: स्पर्शरेखा तल के समीकरण और सतह के सामान्य लिखें: 49. सतह के स्पर्शरेखा विमानों के समीकरण लिखें x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21, समतल x + के समानांतर 4y + 6z \u003d 0. टेलर सूत्र का उपयोग करके विस्तार के पहले तीन से चार पद ज्ञात करें: 50. y बिंदु के पड़ोस में (0, 0)। किसी फ़ंक्शन के चरम की परिभाषा का उपयोग करते हुए, एक चरम के लिए निम्नलिखित कार्यों की जांच करें :)। दो चर के फ़ंक्शन के चरम के लिए पर्याप्त स्थितियों का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन के चरम की जांच करें: 84. फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें z \u003d x2 - y2 एक बंद सर्कल में 85. सबसे बड़ा और सबसे छोटा खोजें फ़ंक्शन के मान * \u003d x2y (4-x-y) एक त्रिकोण में x \u003d 0, y = 0, x + y = b से बंधे हैं। 88. सबसे छोटी सतह के साथ एक आयताकार खुले पूल के आयाम निर्धारित करें, बशर्ते कि इसका आयतन V के बराबर हो। 87. 5 अधिकतम आयतन की दी गई कुल सतह के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आयाम खोजें। उत्तर 1. और | इसकी भुजाओं सहित रेखाखंडों x द्वारा निर्मित एक वर्ग। 3. संकेंद्रित वलयों का परिवार 2= 0,1,2,... .4। सीधी रेखाओं y के बिंदुओं को छोड़कर संपूर्ण तल। परवलय के ऊपर स्थित विमान का भाग y \u003d -x?. 8. वृत्त अंक x। सीधी रेखाओं को छोड़कर संपूर्ण तल x मूल अभिव्यक्ति गैर-ऋणात्मक है दो स्थितियों में j * ^ या j x ^ ^ जो क्रमशः असमानताओं की एक अनंत श्रृंखला के बराबर है। परिभाषा का क्षेत्र छायांकित वर्ग है (चित्र 26) ; l जो एक अनंत श्रृंखला के बराबर है। फ़ंक्शन को बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है। a) रेखा x के समानांतर रेखाएँ b) मूल पर केंद्रित संकेंद्रित वृत्त। 10. a) परवलय y) परवलय y a) परवलय b) अतिपरवलय | .विमान xc. 13. प्राइम - ओज़ अक्ष के चारों ओर क्रांति के एक-गुहा हाइपरबोलॉइड; के लिए और ओज़ अक्ष के चारों ओर क्रांति के दो-शीट वाले हाइपरबोलाइड हैं, सतहों के दोनों परिवारों को एक शंकु द्वारा अलग किया जाता है; कोई सीमा नहीं है, b) 0. 18. मान लीजिए y = kxt फिर z lim z = -2, ताकि बिंदु (0,0) पर दिए गए फलन की कोई सीमा न हो। 19. क) बिंदु (0.0); बी) बिंदु (0,0)। 20. क) विराम रेखा - वृत्त x2 + y2 = 1; बी) ब्रेक लाइन एक सीधी रेखा y \u003d x है। 21. ए) ब्रेक लाइन - समन्वय अक्ष ऑक्स और ओए; बी) 0 (खाली सेट)। 22. सभी बिंदु (एम, एन), जहां और एन पूर्णांक हैं
सशर्त चरम
किसी दिए गए फ़ंक्शन (या कार्यात्मक) द्वारा प्राप्त न्यूनतम या अधिकतम मान बशर्ते कि कुछ अन्य फ़ंक्शन (कार्यात्मक) दिए गए स्वीकार्य सेट से मान लेते हैं। यदि ऐसी कोई स्थिति नहीं है जो संकेतित अर्थों में स्वतंत्र चर (कार्यों) में परिवर्तन को सीमित करती है, तो कोई बिना शर्त चरम की बात करता है।
क्लासिक डब्ल्यू ई के लिए कार्य कई चर के एक समारोह के न्यूनतम निर्धारित करने की समस्या है
बशर्ते कि कुछ अन्य कार्य दिए गए मान लेते हैं:
इस समस्या में G, जिससे सदिश के मान कार्य करते हैं जी =(जी 1 , ..., जी एम),
अतिरिक्त शर्तों में शामिल (2) एक निश्चित बिंदु है सी =(सी 1, ..., टी के साथ) एम-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में
यदि में (2) समान चिह्न के साथ, असमानता के संकेतों की अनुमति है
यह समस्या की ओर जाता है गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग(तेरह)। समस्या (1), (3) में, वेक्टर फ़ंक्शन जी के स्वीकार्य मूल्यों का सेट जी एक निश्चित वक्रता है, जो (एन-एम 1) से संबंधित है - एम 1 द्वारा परिभाषित हाइपरसर्फेस , एम 1
समस्या का एक विशेष मामला (1), (3) एक यूवी पर। कार्य है रैखिक प्रोग्रामिंग,जिसमें सभी कार्यों को f और . माना जाता है गी x l . में रैखिक हैं , ..., एक्स पी।एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में, वेक्टर फ़ंक्शन के संभावित मानों का सेट G जी,चर की सीमा को सीमित करने वाली शर्तों में शामिल x 1 , .....एक्स एन, is , जो (n-t 1)-आयामी हाइपरप्लेन से संबंधित है, जिसे m 1 समानता-प्रकार की स्थितियों (3) में परिभाषित किया गया है।
इसी तरह, व्यावहारिक प्रतिनिधित्व करने वाले कार्यात्मकताओं के लिए अधिकांश अनुकूलन समस्याएं ब्याज, यू.ई. पर कार्यों के लिए कम कर दिया गया है। (से। मी। आइसोपेरिमेट्रिक समस्या, रिंग समस्या, लैग्रेंज समस्या, तरीके की समस्या).
ठीक वैसे ही जैसे गणित में। प्रोग्रामिंग, भिन्नताओं की गणना की मुख्य समस्याएं और इष्टतम नियंत्रण का सिद्धांत उत्तल ई पर समस्याएं हैं।
यू.ई. में समस्याओं को हल करते समय, खासकर सैद्धांतिक पर विचार करते समय। सी पर समस्याओं से संबंधित प्रश्न, अनिश्चितकालीन उपयोग करने के लिए यह बहुत उपयोगी साबित होता है लग्रांगियन गुणक,समस्या को कम करने की अनुमति यू.ई. बिना शर्त पर समस्या के लिए और आवश्यक इष्टतमता शर्तों को सरल बनाएं। लैग्रेंज मल्टीप्लायरों का उपयोग अधिकांश शास्त्रीय का आधार है यू.ई. में समस्याओं को हल करने के तरीके
लिट: हेडली जे।, नॉनलाइनियर और, ट्रांस। अंग्रेजी से, एम।, 1967; ब्लिस जीए, लेक्चर्स ऑन द कैलकुलस ऑफ वेरिएशन, ट्रांस। अंग्रेजी से, एम।, 1950; पोंट्रीगिन एल.एस. [एट अल।], गणितीय इष्टतम प्रक्रियाएं, दूसरा संस्करण।, एम।, 1969।
आई बी वापनयार्स्की।
गणितीय विश्वकोश। - एम .: सोवियत विश्वकोश. आई एम विनोग्रादोव। 1977-1985।
देखें कि "CONDITIONAL EXTREME" अन्य शब्दकोशों में क्या है:
सापेक्ष चरम, n + m चर के फलन f (x1,..., xn + m) का चरम, यह मानते हुए कि ये चर m अधिक युग्मन समीकरणों (शर्तों) के अधीन हैं: k (x1,..., xn + एम) = 0, 1≤ के एम (*) (चरम देखें)।… …
एक खुले समुच्चय और चालू को फंक्शन दें। रहने दो। इन समीकरणों को बाधा समीकरण कहा जाता है (शब्दावली यांत्रिकी से उधार ली गई है)। एक फ़ंक्शन को G पर परिभाषित होने दें ... विकिपीडिया
- (लैटिन एक्सट्रीम एक्सट्रीम से) एक निरंतर फ़ंक्शन f (x) का मान, जो या तो अधिकतम या न्यूनतम है। अधिक सटीक: बिंदु x0 पर निरंतर एक फ़ंक्शन f (x) का अधिकतम (न्यूनतम) x0 पर होता है यदि इस बिंदु का पड़ोस (x0 + δ, x0 ) है, ... ... महान सोवियत विश्वकोश
इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, चरम (अर्थ) देखें। गणित में चरम (लैटिन चरम चरम) किसी दिए गए सेट पर किसी फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान है। जिस बिंदु पर चरम सीमा पर पहुँच जाता है वह है ... ... विकिपीडिया
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आइए पहले हम दो चरों वाले फलन की स्थिति पर विचार करें। फ़ंक्शन का सशर्त चरम $z=f(x,y)$ बिंदु पर $M_0(x_0;y_0)$ इस फ़ंक्शन का चरम है, इस शर्त के तहत पहुंचा कि चर $x$ और $y$ में इस बिंदु के आस-पास बाधा समीकरण $\ varphi(x,y)=0$ को संतुष्ट करता है।
"सशर्त" चरम नाम इस तथ्य के कारण है कि अतिरिक्त शर्त $\varphi(x,y)=0$ चरों पर लगाई गई है। यदि कनेक्शन समीकरण से एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना संभव है, तो सशर्त चरम को निर्धारित करने की समस्या एक चर के एक समारोह के सामान्य चरम की समस्या तक कम हो जाती है। उदाहरण के लिए, यदि $y=\psi(x)$ बाधा समीकरण से अनुसरण करता है, तो $y=\psi(x)$ को $z=f(x,y)$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक चर $ का एक फ़ंक्शन मिलता है z=f\बाएं (x,\psi(x)\right)$. सामान्य स्थिति में, हालांकि, यह विधि बहुत कम उपयोग की है, इसलिए एक नए एल्गोरिथम की आवश्यकता है।
दो चरों के फलनों के लिए लैग्रेंज गुणक की विधि।
लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि यह है कि सशर्त चरम को खोजने के लिए, लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना की जाती है: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (पैरामीटर $\lambda $ को लैग्रेंज गुणक कहा जाता है)। आवश्यक चरम स्थितियां समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दी जाती हैं जिससे स्थिर बिंदु निर्धारित किए जाते हैं:
$$ \बाएं \( \शुरू (गठबंधन) और \ frac (\ आंशिक एफ) (\ आंशिक एक्स) = 0; \\ और \ फ्रैक (\ आंशिक एफ) (\ आंशिक वाई) = 0; \\ और \ varphi (एक्स, वाई) = 0। \ अंत (गठबंधन) \ दाएं। $$
चिह्न $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$। यदि एक स्थिर बिंदु पर $d^2F > 0$, तो फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ इस बिंदु पर एक सशर्त न्यूनतम है, लेकिन यदि $d^2F< 0$, то условный максимум.
चरम की प्रकृति को निर्धारित करने का एक और तरीका है। बाधा समीकरण से हमें मिलता है: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, इसलिए किसी भी स्थिर बिंदु पर हमारे पास है:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\दाएं)$$
दूसरा कारक (कोष्ठक में स्थित) इस रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है:
$\बाएं| . के तत्व \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (सरणी) \right|$ जो लैग्रेंज फ़ंक्शन का हेसियन है। यदि $H > 0$ तो $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, यानी हमारे पास $z=f(x,y)$ फ़ंक्शन का एक सशर्त न्यूनतम है।
$H$ सारणिक के रूप पर ध्यान दें। दिखाओ छुपाओ
$$ एच=-\बाएं|\शुरू (सरणी) (सीसीसी) 0 और \varphi_(x)^(") और \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") और F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ अंत (सरणी) \ दाएँ | $$
इस स्थिति में, ऊपर दिया गया नियम निम्नानुसार बदलता है: यदि $H> 0$, तो फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम है, और $H के लिए< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
एक सशर्त चरम के लिए दो चर के एक समारोह का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम
- लैग्रेंज फ़ंक्शन $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ लिखें
- सिस्टम $ \ बाएँ \ ( \ start (गठबंधन) और \ frac (\ आंशिक F) (\ आंशिक x) = 0; \\ और \ frac (\ आंशिक F) (\ आंशिक y) = 0; \\ और \ को हल करें varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
- पिछले पैराग्राफ में पाए गए प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति का निर्धारण करें। ऐसा करने के लिए, निम्न विधियों में से किसी का उपयोग करें:
- सारणिक $H$ की रचना करें और उसका चिह्न ज्ञात करें
- बाधा समीकरण को ध्यान में रखते हुए, $d^2F$ . के चिह्न की गणना करें
n चरों के फलनों के लिए लैग्रेंज गुणक विधि
मान लीजिए कि हमारे पास $n$ चर $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ और $m$ बाधा समीकरण ($n > m$) का एक फ़ंक्शन है:
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
लैग्रेंज गुणक को $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ के रूप में निरूपित करते हुए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
एक सशर्त चरम की उपस्थिति के लिए आवश्यक शर्तें समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दी जाती हैं जिससे स्थिर बिंदुओं के निर्देशांक और लैग्रेंज गुणक के मान पाए जाते हैं:
$$\बाएं\(\शुरू(गठबंधन) और \frac(\आंशिक एफ)(\आंशिक x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ और \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
$d^2F$ चिह्न का उपयोग करके यह पता लगाना संभव है कि किसी फ़ंक्शन में पहले की तरह पाए गए बिंदु पर सशर्त न्यूनतम या सशर्त अधिकतम है या नहीं। यदि पाया बिंदु $d^2F > 0$ पर है, तो फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम है, लेकिन यदि $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
मैट्रिक्स निर्धारक $\बाएं| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) और \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) और \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\आंशिक x_(3) \आंशिक x_(1)) और \frac(\partial^2F)(\आंशिक x_(3)\आंशिक x_(2)) और \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$L$ मैट्रिक्स में लाल रंग में हाइलाइट किया गया $ Lagrange फ़ंक्शन का हेसियन है। हम निम्नलिखित नियम का उपयोग करते हैं:
- यदि कोने के नाबालिगों के संकेत हैं $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ मैट्रिक्स $L$ साइन $(-1)^m$ के साथ मेल खाता है, तो अध्ययन के तहत स्थिर बिंदु $z फ़ंक्शन का सशर्त न्यूनतम बिंदु है =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$।
- यदि कोने के नाबालिगों के संकेत हैं $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ वैकल्पिक, और नाबालिग का चिन्ह $H_(2m+1)$ संख्या के चिन्ह के साथ मेल खाता है $(-1)^(m+1 )$, फिर अध्ययन किया गया स्थिर बिंदु फ़ंक्शन का सशर्त अधिकतम बिंदु है $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$।
उदाहरण 1
$x^2+y^2=10$ शर्त के तहत $z(x,y)=x+3y$ फ़ंक्शन के सशर्त चरम का पता लगाएं।
इस समस्या की ज्यामितीय व्याख्या इस प्रकार है: सिलेंडर $x^2+y^2 के साथ इसके चौराहे के बिंदुओं के लिए विमान $z=x+3y$ के अनुप्रयोग के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य को खोजने की आवश्यकता है = 10$।
बाधा समीकरण से एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करना और इसे फ़ंक्शन $z(x,y)=x+3y$ में प्रतिस्थापित करना कुछ मुश्किल है, इसलिए हम लैग्रेंज विधि का उपयोग करेंगे।
$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ को निरूपित करते हुए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial) एफ)(\आंशिक एक्स)=1+2\लैम्ब्डा एक्स; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए आइए समीकरणों की प्रणाली को लिखें:
$$ \बाएं \( \शुरू (गठबंधन) और 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (गठबंधन)\दाएं।$$
यदि हम मान लेते हैं $\lambda=0$, तो पहला समीकरण बन जाता है: $1=0$। परिणामी विरोधाभास कहता है कि $\lambda\neq 0$। शर्त के तहत $\lambda\neq 0$, पहले और दूसरे समीकरणों से हमारे पास है: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. प्राप्त मूल्यों को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
$$ \बाएं(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \बाएं[ \शुरू (गठबंधन) और \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ और \lambda_2=\frac(1)(2). \end(गठबंधन) \दाएं।\\ \शुरू (गठबंधन) और \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ और \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$
तो, सिस्टम के दो समाधान हैं: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ और $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. आइए हम प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति का पता लगाएं: $M_1(1;3)$ और $M_2(-1;-3)$। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक बिंदु पर सारणिक $H$ की गणना करते हैं।
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") और F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \बाएं| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
बिंदु $M_1(1;3)$ पर हमें मिलता है: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, तो बिंदु पर $M_1(1;3)$ फ़ंक्शन $z(x,y)=x+3y$ में एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=z(1;3)=10$।
इसी तरह, बिंदु $M_2(-1;-3)$ पर हम पाते हैं: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$। $H . के बाद से< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
मैं ध्यान देता हूं कि प्रत्येक बिंदु पर सारणिक $H$ के मूल्य की गणना करने के बजाय, इसे सामान्य तरीके से खोलना अधिक सुविधाजनक है। विवरण के साथ पाठ को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैं इस पद्धति को एक नोट के नीचे छिपाऊंगा।
सामान्य रूप में निर्धारक $H$ संकेतन। दिखाओ छुपाओ
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\बाएं(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
सिद्धांत रूप में, यह पहले से ही स्पष्ट है कि $H$ का कौन सा चिन्ह है। चूंकि $M_1$ या $M_2$ में से कोई भी बिंदु मूल बिंदु से मेल नहीं खाता है, तो $y^2+x^2>0$। इसलिए, $H$ का चिह्न $\lambda$ के चिह्न के विपरीत है। आप गणना भी पूरा कर सकते हैं:
$$ \ start (गठबंधन) और H (M_1) = -8 \ cdot \ बाएँ (- \ frac (1) (2) \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (3 ^ 2 + 1 ^ 2 \ दाएँ) = 40; \ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(गठबंधन) $$
स्थिर बिंदुओं $M_1(1;3)$ और $M_2(-1;-3)$ पर चरम की प्रकृति के बारे में प्रश्न को निर्धारक $H$ का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है। प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $d^2F$ का चिह्न खोजें:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$
मैं ध्यान देता हूं कि नोटेशन $dx^2$ का अर्थ है $dx$ को दूसरी शक्ति तक बढ़ा दिया गया है, अर्थात। $\बाएं(डीएक्स\दाएं)^2$. इसलिए हमारे पास है: $dx^2+dy^2>0$, इसलिए $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ के लिए हमें $d^2F मिलता है< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
जवाब: बिंदु पर $(-1;-3)$ फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम, $z_(\min)=-10$ है। बिंदु $(1;3)$ पर फ़ंक्शन में एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=10$
उदाहरण #2
$x+y=0$ शर्त के तहत $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ फ़ंक्शन के सशर्त चरम का पता लगाएं।
पहला तरीका (लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि)
$\varphi(x,y)=x+y$ को निरूपित करते हुए हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$।
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ लैम्ब्डा=0;\\&x+y=0.\end(गठबंधन)\दाएं।$$
सिस्टम को हल करने पर, हमें मिलता है: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ और $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$। हमारे पास दो स्थिर बिंदु हैं: $M_1(0;0)$ और $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$। आइए हम सारणिक $H$ का उपयोग करके प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति का पता लगाएं।
$$ एच=\बाएं| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") और F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \बाएं| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
बिंदु पर $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, इसलिए इस बिंदु पर फ़ंक्शन में एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=\frac(500)(243)$।
हम $d^2F$ के संकेत के आधार पर, प्रत्येक बिंदु पर एक अलग विधि द्वारा चरम सीमा की प्रकृति की जांच करते हैं:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
बाधा समीकरण $x+y=0$ से हमारे पास है: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$।
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
चूंकि $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, तो $M_1(0;0)$ फ़ंक्शन का सशर्त न्यूनतम बिंदु है $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$। इसी तरह, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
दूसरा रास्ता
बाधा समीकरण $x+y=0$ से हमें मिलता है: $y=-x$। $y=-x$ को फ़ंक्शन $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ में प्रतिस्थापित करने पर, हम $x$ चर के कुछ फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं। आइए इस फ़ंक्शन को $u(x)$ के रूप में निरूपित करें:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
इस प्रकार, हमने दो चर के एक फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने की समस्या को एक चर के एक फ़ंक्शन के चरम को निर्धारित करने की समस्या में कम कर दिया।
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9)।$$
अंक $M_1(0;0)$ और $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ मिले। आगे के शोध को एक चर के कार्यों के विभेदक कलन के पाठ्यक्रम से जाना जाता है। प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $u_(xx)^("")$ के चिह्न की जांच करना या पाए गए बिंदुओं पर $u_(x)^(")$ के संकेत परिवर्तन की जांच करना, हमें वही निष्कर्ष मिलता है जो पहले हल करते समय मिलता है विधि। उदाहरण के लिए, चेक साइन $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
चूंकि $u_(xx)^("")(M_1)>0$, तो $M_1$ फ़ंक्शन $u(x)$ का न्यूनतम बिंदु है, जबकि $u_(\min)=u(0)=0 $। चूंकि $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
दी गई कनेक्शन स्थिति के तहत फ़ंक्शन $u(x)$ के मान फ़ंक्शन $z(x,y)$ के मानों के साथ मेल खाते हैं, अर्थात। फ़ंक्शन $u(x)$ का पाया गया एक्स्ट्रेमा फ़ंक्शन $z(x,y)$ का वांछित सशर्त एक्स्ट्रेमा है।
जवाब: बिंदु $(0;0)$ पर फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम, $z_(\min)=0$ है। बिंदु पर $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ फ़ंक्शन में एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
आइए एक और उदाहरण पर विचार करें, जिसमें हम $d^2F$ के संकेत को निर्धारित करके चरम सीमा की प्रकृति का पता लगाते हैं।
उदाहरण #3
फ़ंक्शन $z=5xy-4$ के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें यदि चर $x$ और $y$ सकारात्मक हैं और बाधा समीकरण $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$।
लैग्रेंज फ़ंक्शन लिखें: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$। लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु खोजें:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(गठबंधन) \दाएं।$$
आगे के सभी परिवर्तन $x > 0 को ध्यान में रखते हुए किए जाते हैं; \; y > 0$ (यह समस्या की स्थिति में निर्धारित है)। दूसरे समीकरण से, हम $\lambda=-\frac(5x)(y)$ व्यक्त करते हैं और पाए गए मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$। $x=2y$ को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $वाई = 1$।
चूंकि $y=1$, फिर $x=2$, $\lambda=-10$। बिंदु $(2;1)$ पर चरम की प्रकृति $d^2F$ के संकेत से निर्धारित होती है।
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
चूंकि $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, तब:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\बाएं(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y)। $$
सिद्धांत रूप में, यहां आप तुरंत स्थिर बिंदु $x=2$, $y=1$ और पैरामीटर $\lambda=-10$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
हालांकि, सशर्त चरम के लिए अन्य समस्याओं में, कई स्थिर बिंदु हो सकते हैं। ऐसे मामलों में, सामान्य रूप में $d^2F$ का प्रतिनिधित्व करना बेहतर होता है, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति में प्रत्येक स्थिर बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करता है:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
चूंकि $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
जवाब: बिंदु $(2;1)$ पर फ़ंक्शन की एक सशर्त अधिकतम, $z_(\max)=6$ है।
अगले भाग में, हम बड़ी संख्या में चरों के फलनों के लिए लैग्रेंज विधि के अनुप्रयोग पर विचार करेंगे।
